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Analisi limite di sistemi di travi
L’analisi limite o calcolo a rottura consente di
valutare direttamente la capacità portante
ultima di una struttura, ovvero di valutare
direttamente lo stato limite ultimo di unadirettamente lo stato limite ultimo di una
struttura che rappresenta l’ultimo stadio
dell’analisi incrementale elasto-
perfettamente-plastica (EPP) ovvero il collasso
plastico.
Analisi limite di sistemi di travi
Il moltiplicatore di collasso dei carichi non
dipende da eventuali stati di coazione o
cedimenti vincolari né dalla rigidezza degli
elementi strutturali e fornisce quindi unaelementi strutturali e fornisce quindi una
valutazione molto più affidabile e sintetica del
grado di sicurezza di una struttura di quella
che può fornire una analisi in campo elastico
Vantaggi:- Il valore del moltiplicatore dei carichi al collasso
risulta indipendente dalla storia di carico e dalla
presenza di cedimenti , autotensioni e stati di
coazione.
Analisi limite di sistemi di travi
coazione.
- Il risultato è immediatamente interpretabile ed è
sostanzialmente indipendente dai parametri
numerici da cui dipende la procedura di calcolo.
-E’ possibile analizzare strutture anche significative
senza l’ausilio a codici di calcolo.
Svantaggi:-E’ di limitata applicabilità
-Vale per:
• piccoli spostamenti
• duttilità illimitata
• plasticità perfetta
• leggi di flusso di tipo associato.
Analisi limite di sistemi di travi
• leggi di flusso di tipo associato.
- Non è in genere disponibile in molti codici di
calcolo.
- Per strutture non metalliche, es. muratura (OPCM
3274 sulle costruzioni in zona sismica), va applicata
con opportuni controlli sull’entità delle deformazioni
e degli spostamenti all’atto del collasso
Collasso plastico
Il collasso plastico è associato alla formazione
di un numero di cerniere sufficiente a
trasformare la struttura od una sua parte in un trasformare la struttura od una sua parte in un
meccanismo con un grado di libertà (o di
labilità)
Equilibrio
All’atto del collasso ( o collasso incipiente) i carichi e gli
sforzi interni (N,M,T) sono in equilibrio:
le equazioni di equilibrio globale dell’intera struttura e
quelle locali sono verificate.
Se si considera una generica struttura soggetta a un Se si considera una generica struttura soggetta a un
sistema di forze esterne qz0, qy0 e di coppie c0
Analisi limite di sistemi di travi
Consideriamo un cinematismo come il seguente
(3 cerniere allineate)
Compatibilità
A collasso l’atto di moto è
caratterizzato dalla velocità v&
l&
l&&
&
θ== )(vf
f c mezzeria invelocitàla sia
z
ll
l
&l
&&&
l
l
&&&
l&
l&&
≤≤−=−θ−=
≤≤=θ=
θ==
z2
)z
1(f2)2
z(f)z(v
2z0
zf2z)z(v
2)
2(vf
ccc
cc
cc
allora
Teorema della potenza virtuale (PLV)
Il PLV è stato dimostrato nel corso di Scienza delle
Costruzioni con riferimento a mezzi continui
caratterizzati da equazioni costitutive qualunque
purché il campo di sollecitazioni sia equilibrato e
quello degli spostamenti e deformazioni siaquello degli spostamenti e deformazioni sia
cinematicamente ammissibile o compatibile.
Il PLV comporta l’eguaglianza fra la potenza
dissipata esterna (Lve) e quella interna (Lvi).
PLV per travi elasto-perfettamente- plastiche
Indicando con rispettivamente le velocità della
deformazione assiale, della curvatura e dello
scorrimento da taglio associate all’atto di moto si può
scrivere
ccc ,, γχε &&&
Dove Lve indica la potenza esterna ovvero il lavoro per
unità di tempo compiuto dai carichi per le velocità dei
loro punti di applicazione
PLV per travi elasto-perfettamente- plastiche
Poiché il meccanismo di collasso è un meccanismo
“rigido” e, dunque, le aste non si deformano, il
primo termine della potenza interna è nullo.
inoltre
Analisi limite di sistemi di travi
Si osservi che la dissipazione può avvenire:
-nelle aste ed allora vale
-nelle cerniere dove vale
∆&0F
θ&0M
più precisamente, con riferimento al secondo
caso, il momento nella cerniera vale M0 se
e -M0 se 0>θ&
0<θ&
Analisi limite di sistemi di travi
Dal teorema della potenza virtuale pertanto
si ottiene la relazione fondamentale:
oext
intc W
D&
=µ
Poiché Dint>0 e μc>0 ne consegue che affinché
un cinematismo sia ammissibile anche la
potenza esterna deve risultare positiva.ext0W&
oextW
Postulato della Dissipazione massima
(o di Hill)
Sia Ns (Ms) uno stato plasticamente ammissibile
in ogni sezione, ovvero che verifichi la condizione
φ(Ns) = |Ns|- N0 <= 0(φ (Ms) = |Ms|- M0 <=0 ) per
ogni z allora risulta
ove : velocità di deformazione plastica generalizzate. pp ,∆θ &&
Postulato della Dissipazione Massima (Hill)
Pertanto le azioni interne N e M che inducono
incrementi effettivi di deformazione plastica rendono
massimi i prodotti
fra tutti gli stati di sollecitazione plasticamente
ammissibili Ns e Ms
psps MeN θ∆ &&
rappresenta l’insieme degli stati plasticamente ammissibili
dove
Postulato della Dissipazione massima
(o di Hill)
Il Postulato della Massima Dissipazione è
stato introdotto da R. Hill nel 1950
nel caso di mezzi continui Il Postulato della nel caso di mezzi continui Il Postulato della
Massima dissipazione vale se e solo se la
funzione di snervamento è convessa e la
legge di flusso associata.
Stato staticamente ammissibile
Stato staticamente ammissibile è ogni stato
plasticamente ammissibile che è anche
equilibrato, ovvero è in equilibrio con i carichi
di riferimento moltiplicati da un assegnatodi riferimento moltiplicati da un assegnato
moltiplicatore dei carichi.
Il moltiplicatore μs per cui ciò accade è detto
moltiplicatore staticamente ammissibile.
Stato cinematicamente ammissibile
Stato cinematicamente ammissibile è ogni
potenziale meccanismo di collasso per cui la
potenza esterna risulti positiva.
Il corrispondente moltiplicatore dei carichi μk è
detto moltiplicatore cinematicamente
ammissibile ed è dato dalla relazioneammissibile ed è dato dalla relazione
fondamentale
Dove le potenze interne ed esterne sono valutate con
riferimento al potenziale meccanismo di collasso
Teoremi fondamentali dell’analisi limite
Teorema :
Ogni moltiplicatore staticamente
ammissibile è minore od al più uguale ad un
qualunque moltiplicatore cinematicamente
ammissibileammissibile
Teoremi fondamentali dell’analisi limite
Teorema :
Ogni moltiplicatore staticamente ammissibile è
minore od al più uguale ad un qualunque
moltiplicatore cinematicamente ammissibile.
Dim: La dimostrazione di questo teorema si basa sul
postulato della dissipazione massima.postulato della dissipazione massima.
Si consideri un insieme di azioni interne {Ns} ({Ms})
plasticamente ammissibile, i.e. tale che
Teoremi fondamentali dell’analisi limite
Per il postulato citato con riferimento ad un
stato cinematicamente ammissibile { } { })( pkpk θ∆ &&
Ricordando la definizione data di moltiplicatore
cinematicamente ammissibile μk risulta
Teoremi fondamentali dell’analisi limite
Il PLV applicato facendo lavorare uno stato di sforzo
staticamente ammissibile per un potenziale
meccanismo di collasso fornisce:
Di conseguenza essendo la potenza esterna
sempre positiva si ha:
Teoremi fondamentali dell’analisi limite
In sintesi
Esempio
a) Una qualunque trave caricata
b) Un qualunque sistema staticamente ammissibile
c) Un qualunque sistema cinematicamente ammissibile
Esempio
In figura è rappresentato uno stato staticamente In figura è rappresentato uno stato staticamente
ammissibile (equilibrato e tale che |Ms|<=M0)
un potenziale meccanismo di collasso è
Esempio
un potenziale meccanismo di collasso è
Esempio
Il postulato della dissipazione massima comporta
Per ogni stato cinematicamente ammissibile risultaPer ogni stato cinematicamente ammissibile risulta
Il PLV, facendo lavorare le forze del sistema staticamente
ammissibile per le velocità del sistema cinematicamente
ammissibile, si scrive:
Il moltiplicatore di collasso
Poiché per definizione lo stato di collasso
incipiente è sia staticamente che
cinematicamente ammissibile si ha che
Il moltiplicatore di collasso è quindi
l’elemento di separazione tra i due insiemi
di moltiplicatori.
Teoremi dell’analisi limite
Teorema statico del calcolo a rottura
(lower bound theorem)
Il moltiplicatore di collasso è il più grande fra
quelli staticamente ammissibili
Teorema cinematico del calcolo a rottura
(upper bound theorem)
Il moltiplicatore di collasso è il più piccolo fra quelli
cinematicamente ammissibili
Teoremi dell’analisi limite
Il teorema statico può essere enunciato
anche nel modo seguente:
La struttura non perviene al collasso
sotto un sistema di carichi insotto un sistema di carichi in
corrispondenza del quale esista un
insieme di azioni interne in equilibrio
con i carichi ed all’interno del dominio di
ammissibilità.
Teoremi dell’analisi limite
Il teorema cinematico può essere
enunciato anche nel modo seguente:
La struttura certamente collassa sotto
un sistema di carichi a cui è associataun sistema di carichi a cui è associata
una potenza esterna più grande della
potenza dissipata in corrispondenza ad
un potenziale meccanismo di collasso.
Unicità del moltiplicatore di collasso
Si osservi infine che il moltiplicatore di
collasso è unico mentre non sono
necessariamente tali né il meccanismo necessariamente tali né il meccanismo
di collasso né la distribuzione delle
azioni interne al collasso.
Esempio: trave soggetta a carichi concentrati
Si consideri la trave un volta iperstatica in
figura che si assume dotata di un momento
limite superiore ed inferiore costante e pari a
M0.
Esempio 1
Per applicare il teorema cinematico si considerano i
potenziali meccanismi di collasso.
Le sezioni potenziali sede di cerniere plastiche si
trovano in corrispondenza dei carichi concentrati e
dei vincoli.
Esempio 1
Meccanismo n. 1 ( di tipo locale).
una cerniera plastica sull’appoggio
corrisponde ad un meccanismo che coinvolge
solo il tratto a mensola.
M0
µ2P
Esempio 1
Meccanismo n.2 (di tipo globale)
Si considera il meccanismo ad un grado di libertà dove
le cerniere plastiche sono poste all’incastro e sotto il
carico
l’intera struttura risulta una volta labile.
M0
µ2PM0
M0
M0
Moltiplicatore di collasso
Il moltiplicatore di
collasso è il minore dei
moltiplicatori cinemat.
Amm.
Es:
Moltiplicatore di collasso
Per applicare il teorema statico si considerano
distribuzioni di momento staticamente ammissibili. Il
diagramma del momento per essere equilibrato deve
essere lineare a tratti ed i valori massimi in modulo
sono necessariamente posti in corrispondenza dei
punti di applicazione dei carichi e dei vincolipunti di applicazione dei carichi e dei vincoli
Moltiplicatore di collasso
La struttura è 1 volta iperstatica
in fig a si assume α=5; in fig. b si assume come incognita iperstatica X
il momento all’incastro.
Moltiplicatore di collasso
il diagramma del momento è somma del diagramma M° della
struttura isostatica principale e di quello dovuto alle Xi incognite
iperstatiche.
M(z) = M°(z) + XiM*i(z)
Moltiplicatore di collasso
A B C
In tal modo, nel caso in esame, è immediato imporre
l’ammissibilità plastica:
Sez. A |X| <=M0
Sez. B | 2μPl – X/2|<=M0
Sez. C | µPl| <=M0
Moltiplicatore di collasso
Sez. A |X| <=M0
Sez. B | 2μPl – X/2|<=M0
Sez. C | µPl| <=M0
A B
C
Soluzione staticamente ammissibile n1 : M=M0 in C
Il tratto A-B è ancora staticamente indeterminato
Es: Se si pone M = M0 in B si ha|2M0-X/2|<=M0 �X>M0
Questa soluzione non è plasticamente ammissibile.
Moltiplicatore di collasso
Sez. A |X| <=M0
Sez. B | 2μPl – X/2|<=M0
Sez. C | µPl| <=M0
A B C
Soluzione staticamente ammissibile n2 : M=M0 in A e B
questa particolare soluzione è plasticamente ammissibile.
Moltiplicatore di collasso
Esempio nr 2
Si consideri la trave un volta iperstatica in fig.
2.9, che si assume dotata di un momento limite
superiore ed inferiore costante e pari a M0.
Per applicare il teorema cinematico si
considerano i potenziali meccanismi di collasso.
In questo caso tuttavia la posizione della
cerniera plastica in campata non è nota a priori
Esempio nr 3
si considera un potenziale meccanismo ove la cerniera
plastica è posta in z=z*.
Esempio nr 3
E’ possibile scrivere la compatibilità del meccanismo E’ possibile scrivere la compatibilità del meccanismo
Esempio nr 3
la relativa potenza esterna èla relativa potenza esterna è
Esempio nr 3
La posizione della cerniera in campata che
determina l’effettivo meccanismo di collasso
Esempio nr 3
Per applicare il teorema statico si considerano distribuzioni di
momento staticamente ammissibili.
La struttura è una volta iperstatica ed il diagramma del momento è
determinabile a meno di una incognita, es. il momento di incastro X
Esempio nr 3
Le espressioni analitiche dei due diagrammi M° e M1
sono:
L’ammissibilità plastica richiede che il momento sia
X
L’ammissibilità plastica richiede che il momento sia
ovunque minore (o uguale) al momento limite
Esempio nr 3
Imponendo |M|= M0 all’ incastro ed in campata,
in virtù del teorema statico si ottiene
Valutazione approssimata del moltiplicatore di
collasso
I teoremi dell’analisi limite forniscono uno
strumento efficace per una valutazione molto
rapida del moltiplicatore di collasso.
Questo metodo detto della delimitazione
bilaterale ( o di Greenberg e Prager ) è basatobilaterale ( o di Greenberg e Prager ) è basato
sulle seguenti disuguaglianze
kcs µ≤µ≤µ
Valutazione approssimata del moltiplicatore di
collassoE’ di fatto possibile ottenere una stima per eccesso del moltiplicatore
di collasso μc con riferimento ad un generico meccanismo potenziale
di collasso.
Se si determina una qualunque distribuzione di azioni interne in
equilibrio con i carichi, ad esempio ponendo M uguale al momento
limite nelle cerniere, essa risulterà non ammissibile. (Se la limite nelle cerniere, essa risulterà non ammissibile. (Se la
distribuzione risultasse anche plasticamente ammissibile ovviamente
si sarebbe ottenuto il moltiplicatore di collasso).
E’ allora sufficiente diminuire proporzionalmente il moltiplicatore dei
carichi fino ad ottenere un moltiplicatore μs staticamente
ammissibile. La differenza fra i due moltiplicatori cinematico e statico
Δμ = μk- μs
consente di valutare la qualità della stima approssimata fatta.
Valutazione approssimata del moltiplicatore di
collasso
Si riconsideri l’ esempio della trave soggetta ad un
carico uniformemente distribuito.
le cerniere plastiche vengono ora introdotte
all’incastro ed in mezzeria
in tal modo si considera un meccanismo di in tal modo si considera un meccanismo di
potenziale diverso da quello effettivo
Valutazione approssimata del moltiplicatore di
collasso
1- Potenziale meccanismo di collasso ( semplificato)-
Teorema cinematico
Il moltiplicatore cinematicamente ammissibile può
essere valutato applicando il PLV
Valutazione approssimata del moltiplicatore di
collasso
2- Soluzione staticamente ammissibile - Teorema statico
Si pone il momento
in C pari ad M0
Valutazione approssimata del moltiplicatore di
collasso
Il momento massimo tuttavia non si ha in mezzeria
Valutazione approssimata del moltiplicatore di
collasso
Prima abbiamo calcolato
Dopo avere moltiplicato di un fattore 25/24 il diagramma del
momento, si ha
Valutazione approssimata del moltiplicatore di
collasso
Stima della qualità della delimitazione ottenuta
Se non è noto il valore del moltiplicatore di collasso
le seguenti disuguaglianze consentono di valutare
che l’errore che si è commesso considerando la
cerniera plastica in mezzeria non è elevatocerniera plastica in mezzeria non è elevato
