Analisi Matematica 1 Esercizi di esame e di controllo ...daniele.andreucci/pdf/20131202_esercizi_am1... · 110. Estremo superiore Indice 110. Estremo superiore 2 150. Generalita sulle

Analisi Matematica 1

Esercizi di esame e di controllo

Versione senza risoluzioni

Daniele Andreucci

Dipartimento di Scienze di Base e Applicate per

l’Ingegneria

Universita di Roma La Sapienza

via A.Scarpa 16, 00161 Roma

[email protected]

launch˙dagroup 20131202 10.25

• a.a. 2010-2011: codocente dr Dario Bellaveglia.

• a.a. 2011-2012: codocente prof. Filomena Pacella.

• a.a. 2012-2013: codocente prof. Paola Vernole.

Note:

1. (ex): esercizi d’esame; (hw): esercizi di controllo.

2. La numerazione delle formule e relativa al singolo esercizio.

3. Il simbolo [x] denota la parte intera del reale x, ossia il massimo intero ≤ x.

1

110. Estremo superiore

Indice

110. Estremo superiore 2

150. Generalita sulle funzioni 5

200. Numeri complessi 5

310. Infiniti e infinitesimi 9

420. Calcolo di limiti 12

520. Calcolo di integrali 17

580. Integrali impropri 22

600. Derivabilita 25

620. Calcolo di derivate 26

630. Studio della derivata prima 27

710. Successioni definite per ricorrenza 27

720. Limiti di successioni 29

750. Serie 31

770. Convergenza di serie 32

800. Studio di funzioni 37


1. [1/10/2010 (hw)I] Calcolare:

sup{|x|+ |y| | x2 + y2 < R2} ,sup{x2 + y2 | |x|+ |y| < R} ,

inf{

∣

∣

∣

∣

2n

2n+ 1− (2m+ 1)2

(2m+ 1)2 + 1

∣

∣

∣

∣

| m,n = 1, 2, 3, . . .}

2. [1/10/2010 (hw)I] Definiamo per x ∈ R, A ⊂ R, A 6= ∅,

dist(x,A) = inf{|x− y| | y ∈ A} .

2


1. Dimostrare che per ogni x, z ∈ R, A ⊂ R

dist(x,A) ≤ |x− z|+ dist(z,A) .

2. Dare un esempio di x ∈ R, A ⊂ R tali che x 6∈ A, e dist(x,A) = 0.

3. [1/10/2010 (hw)I] Calcolare sup e inf dell’insieme A dato da

A ={

y − 1

x2| (x, y) ∈ B

}

, B ={

(x, y) | 1x< y < 1 , x > 1

}

.

(Sugg.: disegnare B.)

4. [7/2/2011 (ex)I] Determinare estremo superiore ed estremo inferiore dellafunzione f : [0,∞) → R definita da

f(x) =4n+

∣

∣cos(√

n− π2

)∣

∣

n, n− 1 ≤ x < n , n = 1, 2, . . .

precisando se si tratta o no di massimo o di minimo.

5. [7/2/2011 (ex)II] Determinare estremo superiore ed estremo inferioredella funzione f : [0,∞) → R definita da

f(x) =n2 + |sin(n+ π)|

n2, n− 1 ≤ x < n , n = 1, 2, . . .


6. [7/2/2011 (ex)III] Determinare estremo superiore ed estremo inferioredella funzione f : [0,∞) → R definita da

f(x) =3n+

[

cos(√

n+ π2

)]2

n, n− 1 ≤ x < n , n = 1, 2, . . .


7. [5/4/2011 (ex)I] Dimostrare che, definita la successione

an =

n∑

k=1

(−1)k arctg k , n ≥ 1 ,

le due quantita inf an e sup an sono entrambe finite e soddisfano

supn≥1

an − infn≥1

an =π

2.

3


8. [16/9/2011 (ex)I] Dati gli insiemi numerici

A ={

1 + (−1)nlnn

n| n ≥ 3

}

, B ={ 1

n

n2

∑

k=1

e−√k | n ≥ 1

}

,

C ={

[x]x | 1 ≤ x < 3}

,

calcolaresupA , inf A , inf B , supC , inf C .

[Qui [x] indica il massimo intero non maggiore di x.]

9. [1/10/2011 (hw)I] Trovare estremi superiore e inferiore di

A = {x+ y2 | 0 < x, y < 1} , B = {y − x | 1 < x < y < 2x} .

10. [1/10/2011 (hw)I] Trovare estremi superiore e inferiore dell’insieme Adefinito da

A ={ 1

x2− y | (x, y) ∈ B

}

, B ={

(x, y) | 1

2x< y <

1

x, 0 < x <

1

2

}

.

11. [1/10/2011 (hw)I] Si trovino estremo superiore e inferiore dell’insieme

A = {√n+ 1−

√n | n ≥ 1} .

12. [15/10/2012 (hw)I] Trovare

sup{

[x]∑

n=1

xn | 1 ≤ x ≤ 5}

.

13. [15/10/2012 (hw)I] A) Dimostrare che una funzione f : R → R chee crescente in (−∞, 0] e decrescente in [0,+∞) assume il suo massimo inx = 0.B) Dare un controesempio di funzione limitata f : R → R che sia crescentein (−∞, 0) e decrescente in [0,+∞), ma che non assuma il suo massimo.

14. [10/11/2012 (ex)I] Determinare estremo superiore e inferiore delleseguenti successioni:

an =1

n1

2

− 1

21

n

, n ≥ 1 ;

bn =2n∑

k=0

1

3k, n ≥ 0 .

4

200. Numeri complessi

150. Generalita sulle funzioni

1. [1/10/2010 (hw)I] Disegnare i due insiemi

A ={

x ∈ R | esiste n ∈ N tale che |x− n| ≤ 1

n+√10

}

,

B ={

x ∈ R | esiste n ∈ N tale che |x− n| ≤ 1√10− n

}

.

2. [8/10/2010 (hw)I] Identificare il numero positivo c tale che per ogni y > 0si ha

arctg y + arctg1

y= c ,

e dimostrare questa relazione.

3. [15/10/2012 (hw)I] Dimostrare che la funzione

f(x) = logx a , x > 1 ,

ove a > 1 e fissato, e decrescente.

4. [15/10/2012 (hw)I] Discutere la monotonia delle funzioni seguenti:

f(x) = arctgx

x+ 1, x ∈ [0,∞) ;

g(x) = sin(π

2+

x

x+ 1

)

, x ∈ [0,∞) ;

h(x) =x

[x] + 1, x ∈ [0,∞) .


1. [17/1/2011 (ex)I] Sia z =√3 + 3i ∈ C.

• Determinare 1z4

(nella forma x+ iy) e le radici quarte di z4 (in formatrigonometrica).

• Risolvere nel campo complesso l’equazione (soluzioni nella forma x+iy)

(w + i)6 + (w + i)3 − 2 = 0 .

2. [17/1/2011 (ex)II] Sia z = 3−√3i ∈ C.

5


• Determinare 1z4



(w − i)6 + 3(w − i)3 − 4 = 0 .

3. [17/1/2011 (ex)III] Sia z = −√2 +

√6i ∈ C.

• Determinare 1z4



(w + 1)6 + 2(w + 1)3 − 3 = 0 .

4. [5/4/2011 (ex)I] Calcolare tutte le radici complesse della seguente equa-zione e disegnarle sul piano complesso:

z8 − 2√3z4 + 4 = 0 .

5. [10/6/2011 (ex)I] Calcolare nella forma z = r(cosϕ + i sinϕ) tutte leradici complesse della seguente equazione e disegnarle sul piano complesso:

z3 = wj ,

nei due casi

w1 =2

1− i, w2 =

1

2.

6. [10/6/2011 (ex)II] Calcolare nella forma z = r(cosϕ + i sinϕ) tutte leradici complesse della seguente equazione e disegnarle sul piano complesso:

z3 = wj ,

nei due casi

w1 =4√3− i

, w2 =1

3.

7. [11/7/2011 (ex)I] Risolvere la seguente equazione nel campo complesso:

zi− 3|z|2 + 4 Im(z) +1

2z = 1 .

6


8. [11/7/2011 (ex)II] Risolvere la seguente equazione nel campo complesso:

zi− 3zz − 4 Im(z) +1

2z = 1 .

9. [8/11/2011 (ex)I] Trovare le soluzioni complesse di

z6 + 64 = 0 ,

e usarle per calcolare la scomposizione polinomiale reale di

x6 + 64 .

10. [9/1/2012 (ex)I] Calcolare le radici complesse dell’equazione

z4 + (1− 2i)z2 − 2i = 0 .

11. [9/1/2012 (ex)II] Calcolare le radici complesse dell’equazione

2z4 + (3 +√3i)z2 + 1 +

√3i = 0 .

12. [17/4/2012 (ex)I] Determinare α ∈ R in modo tale che il numerocomplesso

z =α

α+ i

abbia argomento π/4. Quindi determinare tutte le radici quinte di z5, perz come sopra.

13. [14/6/2012 (ex)I] Trovare e descrivere l’insieme delle (eventuali) solu-zioni in C di ciascuna delle equazioni

A)Re(z)

z= 3z Im(z) ;

B) 2Im(z)

z= z .

7


14. [14/6/2012 (ex)II] Trovare e descrivere l’insieme delle (eventuali) solu-zioni in C di ciascuna delle equazioni

A)Im(z)

z= zRe(z) ;

B) 2Re(z)

z= z .

15. [10/7/2012 (ex)I] Trovare i valori di z, w ∈ C che soddisfano il sistema

z3 − wz = 0 ,

w3 − zw = 0 .

16. [10/7/2012 (ex)II] Trovare i valori di z, w ∈ C che soddisfano il sistema

w3 − wz = 0 ,

z3 − zw = 0 .

17. [13/9/2012 (ex)I] Trovare tutte le soluzioni z ∈ C di

2z3 = |z|3 + 8 .

18. [13/9/2012 (ex)II] Trovare tutte le soluzioni z ∈ C di

3z3 = 2|z|3 + 8 .

19. [10/11/2012 (ex)I] Trovare tutte le soluzioni complesse di ciascuna delledue equazioni:

z4 + 2iz2 + 3 = 0 ,

z + z

z − z= i .

20. [17/1/2013 (ex)I] Trovare tutte le soluzioni complesse di ciascuna delledue equazioni:

A) z2z = 1 + i ;

B) z2 + |z + i| = 1 .

8

310. Infiniti e infinitesimi

21. [17/1/2013 (ex)II] Trovare tutte le soluzioni complesse di ciascuna delledue equazioni:

A) z2z = 2 + i ;

B) z2 − |z − i| = −1 .

22. [17/1/2013 (ex)III] Trovare tutte le soluzioni complesse di ciascuna delledue equazioni:

A) z2z = 1 + 2i ;

B) z2 + |z + i| = 1 .

23. [8/4/2013 (ex)I] Determinare tutte le soluzioni complesse di

ez = i(ez)2 .

24. [16/7/2013 (ex)I] Calcolare le radici cubiche di

z =(1− i)9

(1 + i)13.

25. [16/7/2013 (ex)II] Calcolare le radici cubiche di

z =(1 + i)9

(1− i)13.

26. [17/9/2013 (ex)I] Calcolare tutte le soluzioni (z, w) ∈ C×C del sistema

z + i = 2w ,

w2 = z ,

esprimendole in forma esponenziale.


9


1. [7/2/2011 (ex)I] A) Determinare l’ordine di infinitesimo per x → 0, di

f(x) =√

1 + 2x2 − cosh(√2x) , h(x) =

arctan(√x)−√

x

1− esinx.

B) Determinare, inoltre, il polinomio P (x) di grado minimo tale che lafunzione

g(x) = (cos(x2))−2 + P (x) ,

sia un infinitesimo di ordine maggiore di 8, quando x → 0.

2. [7/2/2011 (ex)II] A) Determinare l’ordine di infinitesimo per x → 0+, di

f(x) =√

1 + 2x2 − cos(√2x) , h(x) =

arctan(x)− x

1− e√sinx

.


g(x) = (cosh(x2))−2 + P (x) ,


3. [7/2/2011 (ex)III] A) Determinare l’ordine di infinitesimo per x → 0, di

f(x) =√

1 + x2 − ex2

2 , h(x) =ln(1 +

√x)−√

x

1− etan√x

.


g(x) = (1 + x2 sin(x2))−2 + P (x) ,


4. [11/7/2011 (ex)I] Stabilire l’ordine di infinitesimo per x → 2 delleseguenti funzioni

f(x) =5

√

1

8− 1

x3, g(x) = x− 2− sin(x− 2) +

1− e(x−2)3

3,

h(x) =(√

x−√2)2

.

5. [11/7/2011 (ex)II] Stabilire l’ordine di infinitesimo per x → 2 delleseguenti funzioni

f(x) =(√

3−√x+ 1

)2, g(x) =

7

√

1

16− 1

x4,

h(x) = x− 2− arctg(x− 2) +e(x−2)4 − 1

4.

10


6. [10/11/2012 (ex)I] Determinare l’ordine di infinitesimo per x → 0 di

f(x) = 3√

1 + arctg x− cos x− x

3.

Determinare poi il polinomio P (x) di grado minimo tale che

f(x)− P (x) = o(x3) , x → 0 .

7. [17/1/2013 (ex)I] Determinare il polinomio P (x) di grado minimo taleche valga

limx→0

[1 + (sinx)3]1+sinx − P (x)

x cos(

π2 cos x

) = 0 .

8. [17/1/2013 (ex)II] Determinare il polinomio P (x) di grado minimo taleche valga

limx→0

(cos x)1+sinx − P (x)

cos(

π2 cos x

) = 0 .

9. [17/1/2013 (ex)III] Determinare il polinomio P (x) di grado minimo taleche valga

limx→0

[1 + (sinx)2]cos x − P (x)

cos(

π2 cos x

) = 0 .

10. [8/4/2013 (ex)I] Determinare l’ordine di infinitesimo per x → 0+ di

f(x) = (1 + x)1

x − e2

πarctg 1

x , x > 0 .

11. [13/6/2013 (ex)I] Trovare il polinomio di MacLaurin di ordine 10 dellafunzione

f(x) =

( ln(1+x2)∫

0

arcsin(t2) dt

)2

, −1 < x < 1 .

11

420. Calcolo di limiti

12. [13/6/2013 (ex)II] Trovare il polinomio di MacLaurin di ordine 10 dellafunzione

f(x) =

( sin(x2)∫

0

arctg(t2) dt

)2

, −1 < x < 1 .


1. [17/1/2011 (ex)I] Studiare, in dipendenza delle relazioni tra i parametripositivi α, β, γ, α > β, l’esistenza e il valore del limite seguente:

limx→0+

(sin(xα)

xβ+ cos(xα)

)1

xγ

= L .

2. [17/1/2011 (ex)II] Studiare, in dipendenza delle relazioni tra i parametripositivi α, β, γ, α > 2β, l’esistenza e il valore del limite seguente:

limx→0+

(tg(xα)

x2β+ cosh(xα)

)1

xγ

= L .

3. [17/1/2011 (ex)III] Studiare, in dipendenza delle relazioni tra i parametripositivi α, β, γ, β > α, l’esistenza e il valore del limite seguente:

limx→0+

(arctg(xβ)

xα+ ln(e+ x2β)

)1

x2γ = L .

4. [7/2/2011 (ex)I] Risolvere la seguente forma indeterminata

limx→+∞

F (x)

G(x),

dove

F (x) =

cosh( 1

x)∫

1

ln(y) dy , G(x) =

[

sin

(

1

x

)]2

.

5. [7/2/2011 (ex)II] Risolvere la seguente forma indeterminata

limx→+∞

F (x)

G(x),

12


dove

F (x) =

1+sinh( 1

x)∫

1

ln(y) dy , G(x) =

[

arctg

(

1

x

)]2

.

6. [7/2/2011 (ex)III] Risolvere la seguente forma indeterminata

limx→+∞

F (x)

G(x),

dove

F (x) =

1+sin( 1

x)∫

1

ln(y) dy , G(x) =

[

sinh

(

1

x

)]2

.


limx→+∞

√x3 + x−

√x3 + 1

ln(

1 + 1√x

) .


limx→+∞

sin e−x − [1− cos e−x4 ]2

e−x.

9. [10/6/2011 (ex)II] Risolvere la seguente forma indeterminata

limx→−∞

e2x

arctg e2x − [1− cos ex2 ]2

.

10. [16/9/2011 (ex)I] Calcolare il limite

limx→∞

x2{ex

xarctg(e−x)− (earctg

1

x − 1)}

.

11. [8/11/2011 (ex)I] Si valuti in dipendenza di a ∈ R il limite

limx→0

(1 + sinx)sinx − 1− arctg(ax2)

x(1− coshx).

13


12. [9/1/2012 (ex)I] Si studi in dipendenza dal valore di α > −1 l’esistenzae il valore del limite

L = limx→0+

ln[(1 + x2)3]

(arcsin x)3 − xα sinx.

13. [9/1/2012 (ex)II] Si studi in dipendenza dal valore di α > −1 l’esistenzae il valore del limite

L = limx→0+

ln[(1 + x3)4]

(arcsin x)3 − xα sinx.


limx→0+

(cos x)1

xα − 1

x,

in dipendenza della costante α ∈ (0, 2) assegnata.

15. [20/2/2012 (ex)II] Calcolare il limite

limx→0+

(cos√x)

1

xα − 1√x

,

in dipendenza della costante α ∈ (0, 1) assegnata.

16. [20/2/2012 (ex)III] Calcolare il limite

limx→0+

(cos x)1

x − 1

xα,

in dipendenza della costante α ∈ (0,+∞) assegnata.


limx→0

2 sin(

1− cos(x))

− tg(x2)

sinh(x) arctg(x3).

18. [14/6/2012 (ex)I] Calcolare, in dipendenza del parametro β > 0, illimite

limx→+∞

x cos(π

2

xβ

xβ + 1

)

.

14


19. [14/6/2012 (ex)II] Calcolare, in dipendenza del parametro β > 0, illimite

limx→+∞

x sin(

πxβ

xβ + 1

)

.


limx→0+

x+ x2 + cos x− esinx

sinx− tg x.


limx→0+

tg(3x) − sin(3x)

x+ 52x

2 + cos(2x) − esinx.


limx→0

(arcsinx)2 + ln(cos2(x))

2− 2 cos(x2).


limx→0

(arcsinx)2 + ln(cos2(x))

(1− cosx)2.

24. [14/2/2013 (ex)I] Si calcoli il limite

limx→+∞

[ 1

ln(1 + e−x)− eαx

]

,

in dipendenza del parametro α > 0.

25. [14/2/2013 (ex)I] Calcolare

limx→+∞

1

ex

ex∫

0

ln(1 + 2√y)

1 + (cos y)2dy .

15


26. [14/2/2013 (ex)II] Si calcoli il limite

limx→−∞

[ 1

eαx− 1

ln(1 + e2x)

]

,


27. [14/2/2013 (ex)II] Calcolare

limx→+∞

1

lnx

lnx∫

1

ey2+1

y4

1 + arctg ydy .

28. [14/2/2013 (ex)III] Si calcoli il limite

limx→+∞

[ 1

ln(1 + e−αx)− 1

e−x

]

,


29. [14/2/2013 (ex)III] Calcolare

limx→+∞

1

coshx

cosh x∫

0

1 + y2

1 + |cos√y| dy .

30. [13/6/2013 (ex)I] Si calcoli il limite

limx→0

cos(

sinx)

− e−x2

2

x4.

31. [13/6/2013 (ex)II] Si calcoli il limite

limx→0

cosh(

sinx)

− ex2

2

x4.


limx→+∞

1

xtg(π

2

x

1 + x

)

.

16

520. Calcolo di integrali


limx→+∞

x cos(

π2

x1+x

)

1 + sin(

π2

x1+x

) .


limx→0+

sin(

sin(ex2 − 1)

)

+ cos(

π2 + x2

)

x2(

tg x3

)2 .


limx→+∞

cos(

π2 − e−x

)

− e−x

e−αx,

al variare di α ∈ R,


1. [17/1/2011 (ex)I] Calcolare il valore dell’integrale

π2∫

0

1 + cos x

1 + sinxdx .

2. [17/1/2011 (ex)II] Calcolare il valore dell’integrale

5

2π∫

2π

1 + sinx

1 + cos xdx .

3. [17/1/2011 (ex)III] Calcolare il valore dell’integrale

π2∫

0

2 + sinx

2 + 2 cos xdx .

17


4. [7/2/2011 (ex)I] Calcolare il seguente integrale indefinito

∫

x2 ln(2x2 + 1) dx .

5. [7/2/2011 (ex)II] Calcolare il seguente integrale indefinito

∫

x2 arctg(√2x) dx .

6. [7/2/2011 (ex)III] Calcolare il seguente integrale indefinito

∫

x2 arctg

(

1

x

)

dx .

7. [5/4/2011 (ex)I] Calcolare il seguente integrale definito

π∫

0

sinx(1− 2 cos x)

2− sin2 xdx .

8. [10/6/2011 (ex)I] Calcolare il seguente integrale definito

ln 3√4

∫

0

e3x arcsin e−3

2x dx .

9. [10/6/2011 (ex)II] Calcolare il seguente integrale definito

e3√4

∫

e

(lnx)2

xarccos(lnx)−

3

2 dx .

10. [11/7/2011 (ex)I] Calcolare l’integrale indefinito

∫

x cos(3x2)e−x2

dx .

18


11. [11/7/2011 (ex)II] Calcolare l’integrale indefinito∫

x sin(5x2)e−x2

dx .

12. [16/9/2011 (ex)I] Calcolare l’integrale indefinito∫

sin 2x

(cos4 x+ 4cos2 x+ 4)(cos4 x+ cos2 x+ 1)dx .

13. [9/1/2012 (ex)I] Calcolare l’integrale

π3∫

π4

√

3− tg2 x

tg2 x(1 + tg2 x) dx .

14. [9/1/2012 (ex)II] Calcolare l’integrale

√3

∫

1

√

(

π3

)2− arctg2 x

arctg2 x

dx

1 + x2.

15. [20/2/2012 (ex)I] Si calcoli il valore dell’integrale

e2∫

e−13

dx

x(|lnx| ln x+ 1).

16. [20/2/2012 (ex)II] Si calcoli il valore dell’integrale

e3∫

1√e

dx

x(|lnx| ln x+ 4).

17. [20/2/2012 (ex)III] Si calcoli il valore dell’integrale

e∫

e−1

dx

|x|(|ln x| lnx+ 9).

19



1∫

0

x√1− x2

4−√1− x2

dx .


9∫

4

(e3√x + 1)2 dx .


4∫

1

(e−2√x + 1)2 dx .


√π

∫

0

|cos(x2)| cos(x2)ex2

xdx .


√

3π2

∫

√π2

|sin(x2)| sin(x2)ex2

xdx .

23. [13/9/2012 (ex)I] Calcolare il seguente integrale:

∫

x2 − 4x+ 5

(x− 2)2ln |x+ 2| dx .

20


24. [13/9/2012 (ex)II] Calcolare il seguente integrale:

∫

x2 + 6x+ 8

(x+ 3)2ln |x− 3| dx .

25. [10/11/2012 (ex)I] Si calcoli l’integrale indefinito∫

dx3√x( 3

√x+ 6

√x)

.

26. [14/2/2013 (ex)I] Si calcoli l’integrale

2∫

1

(x+ [x]) arcsin1

xdx ;

qui [x] denota la parte intera di x, ossia il massimo intero non maggiore dix.

27. [14/2/2013 (ex)II] Si calcoli l’integrale

√2

∫

1

(x− [√2x]) arcsin

1

xdx ;

qui [y] denota la parte intera di y, ossia il massimo intero non maggiore diy.

28. [14/2/2013 (ex)III] Si calcoli l’integrale

2∫

1

(

x+[x

2

]

+ 1)

arcsin1

xdx ;

qui [y] denota la parte intera di y, ossia il massimo intero non maggiore diy.

29. [8/4/2013 (ex)I] Si calcoli l’integrale∫

1

1− (arctg ex)4ex

1 + e2xdx .

30. [13/6/2013 (ex)I] Trovare una funzione f ∈ C1((−∞,∞)) che soddisfi

f(x) =

∫

xex2

sinh(x|x|) dx .

21

580. Integrali impropri

31. [13/6/2013 (ex)II] Trovare una funzione f ∈ C1((−∞,∞)) che soddisfi

f(x) =

∫

x3ex4

sinh(x|x|3) dx .


9∫

4

√x

(x− 1)(5−√x)

dx .

33. [16/7/2013 (ex)II] Si calcoli l’integrale

9∫

4

√x

(√x− 6)(16 − x)

dx .


4∫

2

ex

(ex − 4)(ex2 − 1)

dx .


9∫

4

√x

(x+ 1)(4−√x)

dx .


1. [10/6/2011 (ex)I] Si consideri la funzione

f(x) =

[x]∑

n=1

e−nx2

, x ≥ 1 .

22


Si dimostri che ∞∫

1

f(x) dx ≤ 1

2e.

2. [10/6/2011 (ex)II] Si consideri la funzione

f(x) =

[x]∑

n=1

1

(1 + nx2)2, x ≥ 1 .

Si dimostri che ∞∫

1

f(x) dx ≤ 1

4.

3. [8/11/2011 (ex)I] Calcolare l’integrale improprio

0∫

−∞

e2x cos√

e2x + 1dx .


limx→∞

+∞∫

0

e− t2√

x dt .

(Nota: non cercare di trovare una primitiva per l’integrale sopra.)


limx→∞

+∞∫

0

dt

1 + et2

x2

.


6. [20/2/2012 (ex)III] Calcolare il limite

limx→∞

+∞∫

0

dt

10 + et2

x

.


23


7. [14/6/2012 (ex)I] Determinare al variare del parametro β > 0 la conver-genza dell’integrale improprio

∞∫

1

x2 sin1

xβdx .

8. [14/6/2012 (ex)II] Determinare al variare del parametro β > 0 la con-vergenza dell’integrale improprio

∞∫

1

√x tg

1

xβdx .

9. [10/7/2012 (ex)I] Dire per quali valori di α > 0 la seguente funzione hauna discontinuita eliminabile in x = 0.

f(x) =

1∫

|x|

dt

tα, − 1 < x < 0 ;

1

x∫

0

te−α2t2 dt , x > 0 .

10. [10/7/2012 (ex)II] Dire per quali valori di α > 0 la seguente funzioneha una discontinuita eliminabile in x = 0.

f(x) =

1

|x|∫

0

te−α2t2 dt , x < 0 ,

1

8

1

x∫

1

dt

tα, 0 < x < 1 .

11. [17/1/2013 (ex)I] Calcolare il valore di

+∞∫

1

x−√2−1 sin(lnx

√2) dx .

24

600. Derivabilita

12. [17/1/2013 (ex)II] Calcolare il valore di

1∫

0

x−1

2 cos(lnx√2) dx .

13. [17/1/2013 (ex)III] Calcolare il valore di

+∞∫

1

x−3 cos(ln x√2) dx .

14. [8/4/2013 (ex)I] Discutere la convergenza del seguente integrale impro-prio:

+∞∫

1

[

arctg(x+ 1

x2

)

− 1

x

]

dx .

600. Derivabilita

1. [13/9/2012 (ex)I] Determinare l’unica coppia (a, b), con a, b ≥ 0, cherende continua e derivabile in x = 0 la funzione

f(x) =

x+a∫

0

eat2+t dt , x > 0 ,

x∫

0

[tg2 t+ b] dt , − π

2< x < 0 .

2. [13/9/2012 (ex)II] Determinare l’unica coppia (a, b), con a, b ≥ 0, cherende continua e derivabile in x = 0 la funzione

f(x) =

a+x∫

0

eat2+bt dt , x > 0 ,

x∫

0

[tg2 t+ a+ b] dt , − π

2< x < 0 .

25

620. Calcolo di derivate

620. Calcolo di derivate

1. [16/9/2011 (ex)I] Si consideri la funzione definita da

f(x) =

1∫

0

ex2t

1 + cos2(x√t)

dt , x > 0 .

Si calcoli la derivata prima di f , e si calcolino

limx→0+

f(x) , limx→0+

f ′(x) .

(Non si tenti di calcolare l’integrale sopra.)

2. [17/4/2012 (ex)I] Sia f la funzione definita da

f(x) =

arctg x∫

0

cos2(s)es2

ds , x ∈ R .

Dopo aver verificato che l’inversa g di f e definita almeno in un intorno di0, e ivi derivabile, si calcoli g′(0).(Non cercare di calcolare l’integrale sopra.)

3. [17/1/2013 (ex)I] Si dimostri che la funzione f : R → R definita da

f(x) =

x3∫

1

sinh(t4

3 ) dt , x ∈ R ,

e invertibile su R e si calcoli, se g ne e la funzione inversa, g′(0).

4. [17/1/2013 (ex)II] Si dimostri che la funzione f : R → R definita da

f(x) =

arctg x∫

π4

sinh(t2) dt , x ∈ R ,


5. [17/1/2013 (ex)III] Si dimostri che la funzione f : R → R definita da

f(x) =

x3+x∫

2

sinh(|t|+ 1) dt , x ∈ R ,


26

710. Successioni definite per ricorrenza

630. Studio della derivata prima

1. [17/9/2013 (ex)I] Si dimostri che la funzione f : [0,+∞) → R definitada

f(x) =

x∫

0

1 +√

|sin t|1 + t+ [ln(1 + t)]π

dt , x ≥ 0 ,

ammette un’inversa g : [0,+∞) → [0,+∞).Si dimostri poi che g(y) non ammette asintoto obliquo per y → +∞.[Non si cerchi di calcolare l’integrale sopra.]

2. [21/11/2013 (ex)I] Si dimostri che la funzione

f(x) =

1√x

∫

0

sin(et) + 2

t+√t+ 1

dt , x ∈ (0,+∞) ,

ammette inversa su (0,+∞).Inoltre si calcolino

limx→0+

f(x) , limx→+∞

f(x) .

[Non si cerchi di calcolare l’integrale che definisce la f .]


1. [17/1/2011 (ex)I] Si consideri la successione definita per ricorrenza da

a1 = 1 , an+1 = 1− cos an , n ≥ 1 .

Si dimostri che esiste finito il limite

limn→∞

an = λ ,

e lo si determini.

2. [17/1/2011 (ex)II] Si consideri la successione definita per ricorrenza da

a1 = 1 , an+1 = 1− (cos an)2 , n ≥ 1 .


limn→∞

an = λ ,

e lo si determini.

27


3. [17/1/2011 (ex)III] Si consideri la successione definita per ricorrenza da

a1 = 1 , an+1 = arctg an , n ≥ 1 .


limn→∞

an = λ ,

e lo si determini.

4. [11/7/2011 (ex)I] Trovare il limite L della successione definita per ricor-renza da

an+1 =a2n4

, n ≥ 1 ; a1 = r ,

al variare di r ∈ (0,∞).

5. [11/7/2011 (ex)II] Trovare il limite L della successione definita perricorrenza da

an+1 =a4n8

, n ≥ 1 ; a1 = r ,

al variare di r ∈ (0,∞).

6. [20/2/2012 (ex)I] Stabilire se esiste il limite della successione

an+1 =

an∫

0

[

2 + e−x2

cos2(1 + x2)]3

dx , n ≥ 1 ; a1 = 1 ,

ed eventualmente calcolarlo.(Non cercare di calcolare l’integrale sopra.)

7. [20/2/2012 (ex)II] Stabilire se esiste il limite della successione

an+1 =

an∫

0

[ 4

1 + cos2(√x)

+1

1 + x8

]3dx , n ≥ 1 ; a1 = 1 ,


8. [20/2/2012 (ex)III] Stabilire se esiste il limite della successione

an+1 =

an∫

0

[

3 cosh(x) + e−x2]3dx , n ≥ 1 ; a1 = 1 ,


28

720. Limiti di successioni

9. [14/2/2013 (ex)I] Dimostrare che la successione definita per ricorrenza

an+1 =1

2

(

an +3

an

)

, n ≥ 1 ; a1 = 2 ,

converge e calcolarne il limite.

10. [14/2/2013 (ex)II] Dimostrare che la successione definita per ricorrenza

an+1 =an2

+6

an, n ≥ 1 ; a1 = 4 ,


11. [14/2/2013 (ex)III] Dimostrare che la successione definita per ricorrenza

an+1 =1

8

(

4an +3

an

)

, n ≥ 1 ; a1 = 1 ,


12. [16/7/2013 (ex)I] Si studi il carattere della successione definita perricorrenza da

an+1 = aan+1n , n ≥ 0 ,

al variare di a0 > 0.

13. [16/7/2013 (ex)II] Si studi il carattere della successione definita perricorrenza da

an+1 = aan+2n , n ≥ 0 ,

al variare di a0 > 0.

14. [ (ex)I] Studiare la convergenza della successione definita per ricorrenzada

an =

an+1∫

1

dx

3x−√x− sinx

, n ≥ 1 ; a1 = 10 .

[Non si cerchi di calcolare questo integrale.]


1. [8/10/2010 (hw)I] Sia

an =n∑

k=0

( 1

2k+

1

3k

)

.

29


CalcolareL = lim

n→∞an .

2. [8/10/2010 (hw)I] Calcolare il limite di ciascuna delle seguenti successio-ni, o dimostrare che esso non esiste.

a)√n− 4

√n ; b)

(−1)nn2 + n

n2 + 2; c) arctg

1

n;

d) nn+1

n ; e) nn

n+1 ; f)3n3

|n3 − 100| +cos(

π2n)

√n

.

3. [8/10/2010 (hw)I] Definiamo una successione {an} come segue

a0 = 0 ; a1 = 1 ; an+1 =an−1 + an

2, n ≥ 1 .

Dimostrare che an e convergente.(Sugg.: tracciare la successione dei punti nell’intervallo [0, 1] per compren-derne le proprieta.)

4. [8/11/2011 (ex)I] Calcolare il limite della successione definita da

an∫

1

dx

x+ e−√x + 1

= n , n ≥ 1 .

5. [13/6/2013 (ex)I] Studiare al variare del parametro reale c 6= 1 laconvergenza della successione

an =

(

1 + c

1− c

)n

, n ≥ 1 .

6. [13/6/2013 (ex)II] Studiare al variare del parametro reale c 6= −1/2 laconvergenza della successione

an =

(

1− 2c

1 + 2c

)n

, n ≥ 1 .

7. [21/11/2013 (ex)I] Si studi il carattere della successione definita da

an = (−1)n[

cos x+1

2

]n

, n ≥ 1 ,

al variare di x ∈ R, e se possibile se ne determini il limite.

30

750. Serie

750. Serie

1. [9/1/2012 (ex)I] Determinare la convergenza semplice e assoluta delleseguenti serie al variare del parametro x ∈ R:

∞∑

n=1

(x+ 2)n

(n+√n)9n

,

∞∑

n=1

1 + e−nx

1 + enx.

2. [9/1/2012 (ex)II] Determinare la convergenza semplice e assoluta delleseguenti serie al variare del parametro y ∈ R:

∞∑

n=1

(y + 1)n

(n2 +√n)9n

,∞∑

n=1

eny

1 + e−ny.

3. [20/2/2012 (ex)I] Determinare la convergenza semplice e assoluta delleseguenti serie al variare del parametro α ∈ R:

∞∑

n=1

en

n2sin(nα + 1

en

)

,

∞∑

n=1

(−1)nn+ α

n2 + n+ 100.

4. [20/2/2012 (ex)II] Determinare la convergenza semplice e assoluta delleseguenti serie al variare del parametro α ∈ R:

∞∑

n=1

e√n

n4arctg

(nα + 1

e√n

)

,

∞∑

n=1

(−1)nn+ 1

n2 + n+ α2.

5. [20/2/2012 (ex)III] Determinare la convergenza semplice e assoluta delleseguenti serie al variare del parametro α ∈ R:

∞∑

n=1

3n

n3sinh

(nα + 2

3n

)

,∞∑

n=1

(−1)nn+ 7

n2 + 3n+ α2.

6. [17/4/2012 (ex)I] Determinare la convergenza semplice e assoluta delleseguenti serie al variare del parametro α > 0:

∞∑

n=1

arctg(nα) sin2( en

nα + nen

)

,

∞∑

n=1

nα

α√n.

31

770. Convergenza di serie

7. [14/6/2012 (ex)I] Sia f la funzione data da

f(x) =∞∑

k=1

sin(xk)

k2 + 1arctg(k) .

Si dimostri che f e ben definita su R, ossia che la serie converge per ognix ∈ R.Si dimostri poi che

limx→0+

f(x) = 0 .

8. [14/6/2012 (ex)II] Sia f la funzione data da

f(x) =

∞∑

k=1

cos(k)

k2 + 1arctg(xk) .

Si dimostri che f e ben definita su R, ossia che la serie converge per ognix ∈ R.Si dimostri poi che

limx→0+

f(x) = 0 .


1. [17/1/2011 (ex)I] Studiare in dipendenza del parametro α ∈ R laconvergenza della seguente serie:

∞∑

n=1

n+1∫

n

dx

2αx√

arctg(x+ n).

Nei casi in cui si ha convergenza determinare anche due costanti positive γitali che la somma S della serie soddisfi

γ1 ≤ S ≤ γ2 .

2. [17/1/2011 (ex)II] Studiare in dipendenza del parametro α ∈ R laconvergenza della seguente serie:

∞∑

n=0

−n∫

−n−1

dx

(1 + 3|x|)α(1 + enx)π.

32



γ1 ≤ S ≤ γ2 .

3. [17/1/2011 (ex)III] Studiare in dipendenza del parametro α ∈ R laconvergenza della seguente serie:

∞∑

n=1

n+1∫

n

dx

x[ln(4x)]2α[π + (sin(nx))2]π.


γ1 ≤ S ≤ γ2 .

4. [7/2/2011 (ex)I] A) Determinare il carattere della serie

+∞∑

n=1

∣

∣

∣

∣

sin

(

4√n+ 1

n4

3 + 4√n3 + 5

)∣

∣

∣

∣

.

B) Determinare, al variare del parametro x ∈ [−1,∞), il carattere della serie

+∞∑

n=1

en√x+1 4

n2 + ln(n)

n5 + 5n.

5. [7/2/2011 (ex)II] Determinare, al variare del parametro x ∈ R, ilcarattere della serie

+∞∑

n=1

e4n cos x en +√n

nπ + 4e3n.

6. [7/2/2011 (ex)III] Determinare, al variare del parametro x ∈ R, ilcarattere della serie

+∞∑

n=1

en(lnx)2 4n2 + n2

n10 + 3n.

7. [5/4/2011 (ex)I] Studiare la convergenza della serie

∞∑

n=1

ln(

1 + nαAn(x))

,

33


al variare di α, x ∈ R, ove

An(x) =

2n∑

k=n+1

ek cos x .

8. [10/6/2011 (ex)I] Si studi la convergenza della serie

∞∑

n=1

cos[π

2−(

sinen + 1

ennα

)2]

,

al variare del parametro α > 0.

9. [10/6/2011 (ex)II] Si studi la convergenza della serie

∞∑

n=1

sin[

π −(

sinn! + 1

n!nα

)4]

,


10. [11/7/2011 (ex)I] Dire per quali α ∈ R converge la serie

+∞∑

k=1

kα

1

k+1∫

1

k+2

(x− sinx)1

3 dx .

11. [11/7/2011 (ex)II] Dire per quali α ∈ R converge la serie

+∞∑

k=1

kα

1

k∫

1

k+1

(1− cos x)1

3 dx .

12. [16/9/2011 (ex)I] Si studi la convergenza delle serie

∞∑

n=1

[

1− cos( e

√n

en + e√n

)]

;

∞∑

n=1

lnn!

(n!)a;

∞∑

n=2

1

lnn!.

Qui a > 0 e una costante assegnata.

13. [8/11/2011 (ex)I] Si studi in dipendenza dal valore di α la convergenzadelle serie ∞

∑

n=1

[π

2− arctg nα

]α2

.

34


Qui α > 0 e una costante assegnata.

14. [10/7/2012 (ex)I] Studiare, al variare di x ∈ R, la convergenza delledue serie

A)

∞∑

n=1

(−1)n

nsinx cos(

1n

) ; B)

∞∑

n=1

sin(n−2)

cos(n−|x|).

15. [10/7/2012 (ex)II] Studiare, al variare di x ∈ R, la convergenza delledue serie

A)∞∑

n=1

(−1)n

ncos x cos(

1n

) ; B)∞∑

n=1

tg(n−2)

cos(n−|x|).

16. [13/9/2012 (ex)I] Studiare la convergenza delle serie

A)+∞∑

n=1

(−1)n

nαtg(π

2− 1

n

)

, B)+∞∑

n=1

1

nα

|tg n|+ 1

|tg n|+ 2,

al variare del parametro α ∈ R.

17. [13/9/2012 (ex)II] Studiare la convergenza delle serie

A)

+∞∑

n=1

(−1)n

nαtg(π

2+

1

n

)

, B)

+∞∑

n=1

1

nα

|tg n|+ 2

|tg n|+ 1,

al variare del parametro α ∈ R.

18. [10/11/2012 (ex)I] Studiare la convergenza di

+∞∑

n=1

xn2

n2,

+∞∑

n=1

[

2 sin( 1

nα

)

− sin( 2

n

)]

,

in dipendenza delle costanti α > 0, x > 0.

19. [17/1/2013 (ex)I] Studiare il comportamento delle seguenti serie alvariare del parametro reale α > 0:

A)∞∑

n=1

[

1− cos( 1

nα

)]

, B)∞∑

n=1

(

√

n2 + 3− n)

[

e1

n − cos( 1

n

)]α

.

35


20. [17/1/2013 (ex)II] Studiare il comportamento delle seguenti serie alvariare del parametro reale α > 0:

A)

∞∑

n=1

[

1− cosh( 1

nα

)]

, B)

∞∑

n=2

√

n2 + 5

∣

∣

∣

∣

sin( 1

n

)

− arctg( 1

n

)

∣

∣

∣

∣

α

.

21. [17/1/2013 (ex)III] Studiare il comportamento delle seguenti serie alvariare del parametro reale α > 0:

A)

∞∑

n=1

1− 1

1 + tg2(

1nα

)

,

B)∞∑

n=2

(

√

n2 − 3 − n)

[

e1

n − cos2( 1

n

)]α

.

22. [14/2/2013 (ex)I] Calcolare l’insieme di convergenza e la somma dellaserie ∞

∑

n=1

3nxn

n!.

23. [14/2/2013 (ex)II] Calcolare l’insieme di convergenza e la somma dellaserie ∞

∑

n=0

5(n + 1)xn−1

(n+ 1)!.

24. [14/2/2013 (ex)III] Calcolare l’insieme di convergenza e la somma dellaserie ∞

∑

n=1

2nx2n

n!.

25. [8/4/2013 (ex)I] Determinare l’insieme di convergenza della serie

∞∑

n=1

( n

2n+ 1

)2n−1[(ln x)− 1]n .

26. [13/6/2013 (ex)I] Determinare al variare di α ∈ R la convergenza dellaserie

+∞∑

n=1

1

n∫

1

n+1

cosh(xα) dx .

36

800. Studio di funzioni

27. [13/6/2013 (ex)II] Determinare al variare di α ∈ R la convergenza dellaserie

+∞∑

n=1

1√n

∫

1√n+1

cosh(xα) dx .

28. [16/7/2013 (ex)I] Determinare al variare di α > 0 la convergenza dellaserie

+∞∑

n=1

cosh(α(n − lnn)) + 1

sinh(αn).

29. [16/7/2013 (ex)II] Determinare al variare di α > 0 la convergenza dellaserie

+∞∑

n=1

sinh(α(n − lnn))

cosh(αn) + 2.

30. [17/9/2013 (ex)I] Si studi la convergenza della serie

+∞∑

n=1

cos(

π2 + 1

nα

)

sin(

π + 1n

) ,


31. [21/11/2013 (ex)I] Studiare la convergenza della serie

+∞∑

n=1

1

3√n + 1

(3x+ 2)n ,

al variare di x ∈ R.


1. [17/1/2011 (ex)I] Analizzare la funzione

f(x) = ln(

e+ e|x| arctg x)

,

trovandone il dominio D, e studiandone le simmetrie, l’estremo superioree inferiore, gli insiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli

37


asintoti, gli intervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti, la concavitae convessita, i flessi. Disegnarne un grafico qualitativo.Su concavita, convessita e flessi e sufficiente mostrare che esistono sia in-

tervalli di convessita che di concavita.

2. [17/1/2011 (ex)II] Analizzare la funzione

f(x) = ln(

2e+ 2e−|x| arctg x) ,

trovandone il dominio D, e studiandone le simmetrie, l’estremo superioree inferiore, gli insiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gliasintoti, gli intervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti, la concavitae convessita, i flessi. Disegnarne un grafico qualitativo.Su concavita, convessita e flessi e sufficiente mostrare che esistono sia in-


3. [17/1/2011 (ex)III] Analizzare la funzione

f(x) = − ln( 2

e+ ex arctg|x|

)

,

trovandone il dominio D, e studiandone le simmetrie, l’estremo superioree inferiore, gli insiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gliasintoti, gli intervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti, la concavitae convessita, i flessi. Disegnarne un grafico qualitativo.Su concavita, convessita e flessi e sufficiente mostrare che esistono sia in-



f(x) =

[

arcsin

(

1

1− x

)

− π

4

]−1

,

trovandone il dominio D, e studiandone le simmetrie, l’estremo superioree inferiore, gli insiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gliasintoti, gli intervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti, la concavitae convessita, i flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. Su concavita, con-

vessita e flessi e sufficiente mostrare che esistono almeno due intervalli di

convessita e due intervalli di concavita e un punto di flesso.


f(x) =

[

2 arcsin

(

1

1− 2x

)

− π

2

]−1

,

trovandone il dominio D, e studiandone le simmetrie, l’estremo superioree inferiore, gli insiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli

38


asintoti, gli intervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti, la concavitae convessita, i flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. Su concavita, con-




f(x) =

[

arcsin

(

1

x− 1

)

+π

4

]−1

+ 1 ,

trovandone il dominio D, e studiandone le simmetrie, l’estremo superioree inferiore, gli insiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gliasintoti, gli intervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti, la concavitae convessita, i flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. Su concavita, con-




f(x) = e√

ln|x|−1 ,

trovandone il dominio D, e studiandone le simmetrie, l’estremo superioree inferiore, gli insiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gliasintoti, gli intervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti, la concavitae convessita, i flessi. Disegnarne un grafico qualitativo.


f(x) =e−x

√2cos x+

√

x2 − 1 , ove x > 0,

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli inter-valli di monotonia, gli estremi locali e assoluti, la concavita e convessita, iflessi. Disegnarne un grafico qualitativo. Per quanto riguarda lo studio dellaconvessita ci si limiti a dimostrare che la funzione e concava per x < x1 eper x > x2 con x1 < x2 opportuni.


f(x) = 1 +√2e

x2 cos

x

2+√

x2 − 4 , ove x < 0,

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli inter-valli di monotonia, gli estremi locali e assoluti, la concavita e convessita, iflessi. Disegnarne un grafico qualitativo. Per quanto riguarda lo studio della

39


convessita ci si limiti a dimostrare che la funzione e concava per x < x1 eper x > x2 con x1 < x2 opportuni.

10. [11/7/2011 (ex)I] Determinare le costanti A,B ∈ R tali che la funzione

f(x) =

{

ln (Ax+Bex) , x ≥ 0 ,1

(2−x)2−cos x, x < 0 ,

sia continua e derivabile in x = 0. Per tali valori di A e B, analizzare lafunzione, trovandone il dominio D, gli insiemi di continuita e derivabilita, ilimiti significativi, gli asintoti, gli intervalli di monotonia, gli estremi localie assoluti. Disegnarne un grafico qualitativo.

11. [11/7/2011 (ex)II] Determinare le costanti A,B ∈ R tali che la funzione

f(x) =

{

1(2+x)2−cos x

+ 2 , x > 0 ,

ln(

Ax+ Bex

)

+ 2 , x ≤ 0 ,

sia continua e derivabile in x = 0. Per tali valori di A e B, analizzare lafunzione, trovandone il dominio D, gli insiemi di continuita e derivabilita, ilimiti significativi, gli asintoti, gli intervalli di monotonia, gli estremi localie assoluti. Disegnarne un grafico qualitativo.


f(x) = ln(ax2

2+ cos x

)

,

ove 2/π < a < 1 e una costante assegnata, trovandone il dominio D, estudiandone l’estremo superiore e inferiore, gli insiemi di continuita e de-rivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli intervalli di monotonia, gliestremi locali e assoluti. Si dimostri anche che la funzione ammette unasuccessione di punti di flesso zn → ∞ per n → ∞. Disegnarne un graficoqualitativo.


f(x) = e− arctg

(

x

x2+1

)

,

trovandone il dominioD, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gli in-siemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli interval-li di monotonia, gli estremi locali e assoluti. Si dimostri anche che la funzioneammette almeno tre punti di flesso. Disegnarne un grafico qualitativo.


f(x) = x exp{

−(

ln|x| − 1

2

)2}

,

40


trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli in-tervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti. Si dimostri anche chela funzione ammette almeno quattro punti di flesso. Disegnarne un graficoqualitativo.


f(x) = x exp{

−(

ln|3x| − 1)2}

,

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli in-tervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti. Si dimostri anche chela funzione ammette almeno quattro punti di flesso. Disegnarne un graficoqualitativo.


f(x) = 2x+1

|x| −√x2 + 1

x,

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli inter-valli di monotonia, gli estremi locali e assoluti. Lo studio di concavita e con-vessita puo essere limitato a dimostrare che esistono intervalli di convessitaper f sia in x > 0 che x < 0.Disegnare un grafico qualitativo.


f(x) = x+1

|x| −√x2 + 1

x,



f(x) = x+3

|x| −√x2 + 9

x,

41




f(x) =

√

x|x| − 8

x,

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gliintervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti, la concavita e convessita.Disegnare un grafico qualitativo.


f(x) = |x| arctg x 1

3 + e−|x| sinx ,

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli in-tervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti. Per quanto riguarda laconcavita e convessita, ci si limiti a dimostare che la funzione e convessa inuna semiretta (x0,+∞).Disegnare un grafico qualitativo.Nello studio della funzione potra essere utile sapere che

eπ4

√2arctg

(π

4

)1

3

> 1 .


f(x) = |x| arctg x3 + 1

2e−|x| sinx ,

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli in-tervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti. Per quanto riguarda laconcavita e convessita, ci si limiti a dimostare che la funzione e concava inuna semiretta (x0,+∞).Disegnare un grafico qualitativo.Nello studio della funzione potra essere utile sapere che

eπ4√2arctg

(π

4

)3>

1

2.

42



f(x) = 3x+ |9x2 + 8x− 1| 12 ,

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti. Perquanto riguarda lo studio degli intervalli di monotonia, e degli estremi, ci silimiti a dimostrare che la funzione e monotona su una semiretta. Si omettalo studio di concavita e convessita.Disegnare un grafico qualitativo, usando le informazioni ottenute.


f(x) = 2x+ |4x2 + 8x− 5| 12 ,

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti. Perquanto riguarda lo studio degli intervalli di monotonia, e degli estremi, ci silimiti a dimostrare che la funzione e monotona su una semiretta. Si omettalo studio di concavita e convessita.Disegnare un grafico qualitativo, usando le informazioni ottenute.

24. [13/9/2012 (ex)I] Determinare il piu ampio intervallo (α,+∞) tale chela funzione

f(x) = ln(

4ex +1

ex − 12

)

,

sia definita su (α,+∞). Se ne studino l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, la mo-notonia, gli estremi locali, la convessita.Disegnare un grafico qualitativo, usando le informazioni ottenute.

25. [13/9/2012 (ex)II] Determinare il piu ampio intervallo (α,+∞) tale chela funzione

f(x) = ln(

9ex +1

ex − 23

)

,

sia definita su (α,+∞). Se ne studino l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, la mo-notonia, gli estremi locali, la convessita.Disegnare un grafico qualitativo, usando le informazioni ottenute.


f(x) = x|x| − 1

e− ex2,

43


trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli in-tervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti. Lo studio di concavita econvessita puo essere limitato a dimostrare che esiste una semiretta (a,+∞)ove la f e convessa.Disegnare un grafico qualitativo.


f(x) =(

x−√x4 + 3

x+ 1)2

,

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli in-tervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti. Lo studio di concavitae convessita puo essere limitato a dimostrare che esistono sia intervalli diconvessita che di concavita.Disegnare un grafico qualitativo che tenga conto delle informazioni ottenu-te.


f(x) =(

x−√x4 + 8

x+ 2)2

,



f(x) =(

x−√x4 + 15

x+ 3)2

,



f(x) = x exp{−(ln x)2 + |lnx| − 1} ,

44




f(x) = 2x exp{−(ln(2x))2 + |ln(2x)|} ,

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli in-tervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti. Lo studio di concavitae convessita puo essere limitato a dimostrare che esistono sia intervalli diconvessita che di concavita.Disegnare un grafico qualitativo che tenga conto delle informazioni ottenute.


f(x) =x

2exp

{

−(

ln( 1

x

))2+ |ln x|

}

,

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli in-tervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti. Lo studio di concavitae convessita puo essere limitato a dimostrare che esistono sia intervalli diconvessita che di concavita.Disegnare un grafico qualitativo che tenga conto delle informazioni ottenute.


f(x) = x sin(

lnx)

,

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli inter-valli di monotonia, gli estremi locali e assoluti. Lo studio di concavita e con-vessita puo essere limitato a dimostrare che esistono intervalli di convessitadi lunghezza arbitraria.Disegnare un grafico qualitativo che tenga conto delle informazioni ottenu-te.


f(x) = ln(1 + e3x

1 + ex

)

,

45




f(x) = ln( 1 + ex

1 + e4x

)

,



f(x) =1√

4x2 + 9− 2x,

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli in-tervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti. Si prescinda dallo studiodi concavita e convessita.Disegnare un grafico qualitativo che tenga conto delle informazioni ottenu-te.


f(x) =1√

9x2 + 4− 3x,

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli in-tervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti. Si prescinda dallo studiodi concavita e convessita.Disegnare un grafico qualitativo che tenga conto delle informazioni ottenu-te.


f(x) =ex

5√x− 1

,

46


trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gliinsiemi di continuita e derivabilita, i limiti significativi, gli asintoti, gli in-tervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti, gli intervalli di concavitae convessita.Disegnare un grafico qualitativo che tenga conto delle informazioni ottenu-te.

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