Análisis Conjunto Tiempo-Frecuencia … · analítica asociada o envolvente compleja xa(t). Recordar: dada x(t), () ˆ() xa tx=+tjxt con xˆ(t) Transformada de Hilbert de x(t). Las

ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P.

Análisis Conjunto Tiempo-Frecuencia Representaciones Cuadráticas

ELIZABETH VERA DE PAYER

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad Nacional de Córdoba, Argentina Introducción

En el análisis y procesamiento de las señales se cuenta con distintas herramientas cuyo uso tiene por objeto lograr a partir de un número finito de datos muestra, obtener información importante referida a un fenómeno o sistema que ellos representan.

Desde el punto de vista matemático, una señal puede venir descripta de muy distintas maneras. Un problema central es encontrar una representación en la cual ciertos atributos de la señal se hagan explícitos. A menudo, éstas vienen dadas como funciones del tiempo. Pero en el estudio de las señales es generalmente provechoso disponer de una representación en el dominio de la frecuencia ya que permite extraer características que suelen no estar puestas en evidencia en el dominio temporal y que son de gran utilidad para comprender su naturaleza o facilitar el diseño de sistemas asociados.

Así, mientras que una función en el dominio temporal indica cómo la amplitud de la señal cambia en el tiempo, su representación en el dominio de la frecuencia permite conocer cuan a menudo esos cambios tienen lugar. La vinculación entre estas dos presentaciones la brinda la Transformada de Fourier cuya idea fundamental es la de descomponer la señal en la suma pesada de funciones sinusoidales.

Si bien la Transformada de Fourier en muchas situaciones es de gran utilidad, no resulta en todos los casos apta para analizar señales de la vida real, que son normalmente de duración finita y aun a veces de corta duración.

Comparar señales del tipo de las sísmicas o las biomédicas, como así también los transitorios y las señales de radar con las señales sinusoidales que se extienden en el tiempo de - ∞ a + ∞ no resulta ser lo más adecuado.

Recordando la expresión de la Transformada de Fourier:

( ) ( ). j tX x t e dtωω∞

−

−∞

= ∫

se observa que es necesario el conocimiento de toda la información temporal de la señal para realizar su análisis en frecuencia. Luego no es posible implementarla para aplicaciones en tiempo real porque carecemos de información sobre la 110

PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES

evolución de la señal en el futuro. De igual forma, discontinuidades o transiciones abruptas que pueden ser debidas a características particulares de la misma o por adición de ruido en un instante determinado, produce efectos que se extienden sobre todo el rango de frecuencias. Es también inadecuada para el trabajo con señales transitorias, las cuales presentan componentes de vida corta, salvo el caso de que puedan asimilarse a un impulso en el que su tiempo de ocurrencia se considera conocido (Williams 1998).

Estos inconvenientes son consecuencia de que hay una hipótesis subyacente en el análisis de Fourier, que es la estacionariedad de la señal en estudio.

Para las señales aleatorias esto se traduce en que las características estadísticas de la señal son independientes del tiempo, en particular el valor medio, la variancia y la autocorrelación la cual depende entonces sólo del lag.

Para señales determinísticas la estacionariedad se relaciona con tener características espectrales que no cambian en el tiempo.

Una limitación importante de la Transformada de Fourier es que no es posible analizar la evolución de los contenidos de frecuencia de la señal en el tiempo. En efecto, cuando se pasa al dominio de la frecuencia se pierde toda información temporal por lo que no se puede determinar los instantes en que una señal presenta cambios, alteraciones o rupturas. Frecuencia instantánea y retardo de grupo

En el caso de señales determinísticas la no estacionaridad se refleja en tener un espectro variable en el tiempo.

Un índice de esa variación la da la frecuencia instantánea (IF) de la señal compleja ( )x t definida como la derivada de la fase con respecto al tiempo

12

( ) (arg ( ))xdf tdtπ

= x t (1)

Para señales determinísticas reales ésta se establece sobre la base de la señal

analítica asociada o envolvente compleja xa(t). Recordar: dada x(t), ˆ( ) ( ) ( )ax t x t j x t= + con ˆ( )x t Transformada de Hilbert de

x(t). Las señales de duración finita, y en particular los transitorios, en los cuales la

duración es corta comparada con el tiempo de observación, son no estacionarios. Una cantidad dual de la IF es el retardo de grupo (GD) definido por:

( ) (arg ( ))xdt X

dω ω

ω= − (2)

en el que arg ( )X ω corresponde a la fase del espectro.

111


El GD es especialmente significativo cuando ( )x t es la respuesta al impulso de un sistema LTI. Bajo ciertas condiciones, ( )xt ω puede ser interpretado como el tiempo de retardo introducido por el sistema a la frecuencia ω (Hlawatsch 1992a).

Sin embargo, la IF y el GD son sólo capaces de describir adecuadamente la localización de componentes espectrales para una muy restringida clase de señales.

La IF representa la frecuencia como una función explícita del tiempo con lo que de hecho asume que para un instante de tiempo, existe sólo una componente simple de frecuencia.

Una señal sencilla que no cumple esta hipótesis es 12 2( ) exp( ) exp( )2x t j f t j f tπ π= + , ya que contiene dos componentes de

frecuencia 1 2,f f durante todo el tiempo. Esta misma restricción se aplica al GD. Aquí la hipótesis explícita es que una

frecuencia dada está concentrada alrededor de un instante de tiempo. Estos inconvenientes pueden ser solucionados describiendo la estructura

tiempo-frecuencia de una señal no por una curva 1-dimensional sino por una superficie 2D (Hlawatsch 1992b).

De aquí la necesidad de un Análisis Conjunto Tiempo-Frecuencia que al realizar un mapeo de una señal x(t) en una función 2-dimensional del tiempo y la frecuencia, exhiba la localización temporal del espectro de la señal.

Esto equivale a una representación en frecuencia variante en el tiempo que pueda brindar indicación de los instantes precisos en los cuales se observa la presencia de ciertas componentes espectrales. Posibles soluciones

La Transformada de Fourier a tiempo corto (STFT), la Transformada Ondita (WT) y la Expansión de Gabor son las opciones usuales. Se las suelen denominar soluciones lineales en el sentido en que se basan en comparar la señal a analizar con un conjunto de funciones adecuadamente seleccionadas. La diferencia entre ellas estriba en cómo son construidos los conjuntos de funciones elementales de referencia.

Otra aproximación al problema consiste en tomar la energía de la señal como una función del tiempo y la frecuencia.

Un primer ejemplo es el espectrograma el cual corresponde al módulo al cuadrado de la STFT, y refleja la densidad espectral de energía de la señal ventanada localmente:

2

( , ) ( ) ( )exp( )xS t x h t j dω τ τ ωτ τ∞

−∞

= − −∫ (3)

112


con : ventana de análisis. ( )h tEl espectrograma es afectado no sólo por la elección de la forma de la ventana,

sino también por sus dimensiones. Se crea una situación de compromiso referida a menudo como Principio de Incerteza: ventanas largas proveen buena resolución en frecuencia pero pobre resolución en el tiempo, mientras que lo contrario sucede con ventanas cortas.

El ( , )xS t ω brinda el espectro dependiente del tiempo más simple, por lo cual es de uso frecuente cuando se quiere tener una visión rápida aunque no necesariamente muy precisa de la energía de la señal en el dominio conjunto tiempo-frecuencia.

La Distribución de Wigner-Ville y los miembros de la Clase de Cohen ofrecen una importante alternativa para el estudio de señales no estacionarias. Densidad de energía tiempo-frecuencia

Tomando como punto de partida la observación de que la Energía de la señal puede ser expresada sobre la base del módulo al cuadrado de su desarrollo en el tiempo o en frecuencia:

2 212

( ) ( )xE x t dt X dω ωπ

∞ ∞

−∞ −∞

= =∫ ∫ (4)

es posible interpretar tanto a 2)(tx como a 2( )X ω como densidades de Energía.

Aparece entonces la idea de buscar una densidad de Energía ( , )x tρ ω que dependa simultáneamente del tiempo y la frecuencia:

( , )x xE t dtdρ ω∞ ∞

−∞ −∞

= ∫ ∫ ω (5)

Es natural requerir que satisfaga las llamadas propiedades marginales:

2

2

( , ) ( )

( , ) ( )

x

x

t dt X

t d x t

ρ ω ω

ρ ω ω

∞

−∞

∞

−∞

=

=

∫

∫ (6)

113


Hay muchas distribuciones ( , )x tρ ω con estas propiedades, de tal manera que es posible exigir condiciones adicionales como las de covarianza en tiempo y frecuencia las cuales revisten importancia fundamental.

Las distribuciones de Energía tiempo-frecuencia que cumplen todas estas condiciones se engloban en la denominación de miembros de la clase de Cohen.

De acuerdo al Teorema de Wiener–Khintchine, la densidad espectral de energía puede también ser vista como la Transformada de Fourier de la función de autocorrelación R(τ).

2( ) ( ) ( ) exp( )XP X R j dω ω τ ωτ= = −∫ τ (7) con: ( ) ( ) ( )R x t x t dtτ τ= −∫ la cual es en realidad un promedio temporal de la correlación instantanea ( ). ( )x t x t τ− .

( )XP ω no es una función del tiempo. Ella indica con cuanta energía contribuye la frecuencia ω analizada sobre todo el intervalo de tiempo. Basándonos en la ecuación (7) no hay forma de decir si el espectro de energía evoluciona, luego es inadecuado para describir señales con contenidos de frecuencia que varían en el tiempo, como sucede con la mayoría de las señales biomédicas, de voz y las vibraciones en general.

Una solución es hacer la autocorrelación dependiente del tiempo. Se busca una R(t, τ) adecuada de tal forma que su Transformada de Fourier

respecto a la variable τ resulte ser una función del tipo:

( , ) ( , ) exp( )P t R t j dω τ ωτ= −∫ τ (8) la cual se llamará espectro de energía dependiente del tiempo. El problema a resolver es como determinar la función de autocorrelación R(t,τ).

La elección de R(t,τ) no es arbitrario ya que entre otras exigencias se pretende que P(t,ω) cumpla las propiedades marginales (6). Además, si P(t,ω ) representa la distribución de energía de la señal en el dominio tiempo-frecuencia, es de esperar que sea real valuada con el agregado que, teniendo en cuenta el concepto clásico de energía, sería deseable que P(t,ω ) fuera no negativa.

Sin embargo, lo más importante es que se necesita asegurar que P(t,ω ) efectivamente identifique los cambios en los contenidos de frecuencia de la señal. Esta es la motivación principal del análisis tiempo-frecuencia pero al mismo tiempo, lo más dificil de justificar.

Para las opciones lineales como la Transformada de Fourier a tiempo corto o la Transformada Ondita, la bondad de la representación puede ser juzgada al menos en parte, analizando las funciones elementales: mientras más concentradas

114


en tiempo y frecuencia están, más adecuadamente la solución propuesta describe los comportamientos locales de la señal.

Hay que destacar que en las transformaciones para el análisis tiempo-frecuencia más generales no se tiene a la vista las funciones elementales explícitas y debe encararse de otra manera la comparación de uno y otro tipo de representación. La distribución de Wigner–Ville

Tomando como función de autocorrelación:

( , )2 2

R t x t x tτ ττ ⎛ ⎞ ⎛= + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

(9)

se define la distribución de Wigner-Ville:

( , ) exp( )2 2

WVD t x t x t j dτ τω ωτ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ (10)

esto es, como la Transformada de Fourier de la función de autocorrelación (9) respecto a la variable τ. Esta expresión corresponde a la autoWVD.

De forma similar, la WVD cruzada se define por :

( , ) exp( )2 2xyWVD t x t y t j dτ τω ωτ τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ (11)

con x(t) y y(t) dos señales diferentes.

Es fácil verificar que: ( , ) ( , )yxxyWVD t WVD tω ω=

luego ( , ) ( , )xxWVD t WVD tω ω= lo cual implica que la auto-WVD es real valuada. La WVD puede también ser computada operando en el dominio de la

frecuencia:

Sea 1 1( ) ; ( )2 2

s s t g g tτ ττ τ⎛ ⎞ ⎛= + = −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

Luego:

1 1 1 1( ) ( ) 2 (2 )exp( 2 ) ; ( ) ( ) 2 (2 )exp( 2 )s S S j t g G G j tτ ω ω ω τ ω ω↔ = ↔ = − ω Del teorema de la Convolución:

115


,

1 1 1 1

( , ) exp( )2 2

( ) ( )exp( ) ( )* ( )

4 (2 ) (2 2 )exp(4 2 )2

s gWVD t s t g t j d

s g j d S G

S G t d

τ τω ωτ τ

τ τ ωτ τ ω ω

α ω α α ω απ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − =

= − −

∫

∫

∫

Haciendo 2 / 2α ω= +Ω :

,1( , ) exp( )

2 2 2

1( , ) exp( )2 2 2

s g

s

WVD t S G j t d

WVD t S S j t d

ω ω ωπ

ω ω ωπ

Ω Ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − Ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ω Ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − Ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

∫

Ω

Ω

o

(12)

Estas fórmulas indican que la WVD es simétrica en los dominios del tiempo y

la frecuencia. Por lo tanto, propiedades derivadas en el dominio del tiempo tienen su propiedad dual en el dominio de la frecuencia. Propiedades

La WVD satisface un gran número de propiedades importantes tales como:

• es siempre real valuada

• preserva los corrimientos en tiempo y en frecuencia ( ) ( ) ( , ) ( , )( ) ( ) exp( ) ( , ) ( , )

o y x o

o x

y t x t t WVD t WVD t ty t x t j t WVD t WVD t

ω ω

ω ω ω

= − → = −

= → = ω−

• satisface las propiedades marginales

2

2

( , ) ( )

1 ( , ) ( )2

x

x

WVD t dt X

WVD t d x t

ω ω

ω ωπ

+∞

−∞

+∞

−∞

=

=

∫

∫

• conservación de la Energía

116


1 ( , )2x xE WVD t dt dω ωπ

+∞ +∞

−∞ −∞

= ∫ ∫

• compatibilidad con filtrado

( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )y h xy t h t s x s ds WVD t WVD t s WVD s dsω ω+∞ +∞

−∞ −∞

= − → = −∫ ∫ ω

(convolución en el tiempo)

• compatibilidad con modulación

( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )y m xy t m t x t WVD t WVD t WVD t dω ω ν ν ν+∞

−∞

= → = −∫

(convolución en frecuencia)

• conservación de soporte en el sentido amplio ( ) 0 ( , ) 0

( ) 0 ( , ) 0x

x

x t si t T WVD t para t T

X si B WVD t para B

ω

ω ω ω ω

= > ⇒ = >

= > ⇒ = >

• unitario (expresa la conservación del producto escalar)

2

( ) ( ) ( , ) ( , )x yx t y t dt WVD t WVD t dtdω ω+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

=∫ ∫ ∫ ω Fórmula de Moyal

Ejemplo 1

Sea la señal 1/ 4

2( ) exp2

x t απ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

tα función Gaussiana con energía unitaria

Su WVD es:

2 2

2 2 2

( , ) exp exp( )2 2 2

1exp( ) exp( ) 2exp4

xWVD t t t j d

t j d t

α α τ τω ωπ

α αα τ ωτ τ απ α

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

2

τ τ

ω⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛= − − − = − + ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝⎩ ⎭

∫

∫ ⎟⎠

Esto indica que la WVD de la función Gaussiana está concentrada en el origen

del plano tiempo-frecuencia. El parámetro α controla la dispersión de la WVD. Un valor grande de α conduce a mayor concentración en el tiempo pero mayor dispersión en frecuencia y viceversa.

117


Si la señal estuviera corrida en el tiempo en to y en frecuencia ωo, de las propiedades de preservación de los corrimientos en tiempo y frecuencia resultaría:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−−= 2

02 )(1)(exp2),( ωω

ααω ox tttWVD

esto es, centrada en (t0,ω0).

En la Figura 1 se muestra la WVD de la señal:

1 42128

2 2

/

( ) exp ( )x t t j tα α ππ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Los conjuntos de nivel de la WVD de esta señal consisten en elipses

concéntricas centradas en 128 2( , / )π .

Ejemplo 2 En la Figura 2 se muestra la WVD de un chirp lineal en la cual se visualiza

fácilmente la evolución en el tiempo de los contenidos de frecuencia.

Figura 1: Distribución de Wigner-Ville de la señal Gaussiana.

118


Ejemplo 3

Sea la señal 1 4

2

2

/

( ) exps t t j tα α βπ⎛ ⎞ ⎧ ⎫= − + 2

⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎩ ⎭

que corresponde a un chirp

lineal con envolvente Gaussiana. Se observa que la primera derivada de la fase 2'( )t tϕ β= se incrementa linealmente con el tiempo.

Su Distribución de Wigner-Ville es:

2 2

2 2

24

12 2

( , ) exp exp exp ( )

exp ( )

sWVD t t j t d

t t

α αω α τ ω β τ τπ

α ω βα

⎧ ⎫= − − − −⎨ ⎬⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤= − + −⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

∫

Figura 2: WVD chirp lineal.

Interpretando que esta ecuación representa la distribución de energía de la señal en el dominio conjunto tiempo-frecuencia, el primer momento sobre la frecuencia nos da la frecuencia condicional media de la WVD en el tiempo t: 119


2

2 2

2

1 12 2

12

1 1 22

( , ) ( , )

( )( , )

exp exp ( )

( )

s s

t

s

WVD t d WVD t d

s tWVD t d

t tt

s t

d

ω ω ω ω ω ωπ πω

ω ωπ

α ω ω β ωπ α β

= =

⎧ ⎫− −⎨ ⎬⎩ ⎭= =

∫ ∫

∫

∫

la cual indica el centro del espectro en el instante t. Notar que el último miembro no es sino la derivada primera de la fase de la

señal. Esta propiedad es general y expresa una característica muy importante de la WVD, a la que se designa como Propiedad de la Frecuencia Instantánea:

2

1 12 2

12

( , ) ( , )'( )

( )( , )

s s

t

s

WVD t d WVD t dt

s tWVD t d

ω ω ω ω ω ωπ πω ϕ

ω ωπ

= = =∫ ∫

∫ (13)

Esto es, en el instante t, la frecuencia condicional media de la WVD es igual a

la frecuencia instantánea de la señal analizada. Salvo señales muy particulares como la sinusoide compleja o el chirp lineal de

amplitud constante, la frecuencia de la señal en un instante determinado no tiene un único valor, luego )´(tϕ en realidad representa un valor promedio de las frecuencias de la señal en el instante t razón por lo cual se la suele denominar frecuencia instantánea media.

En el análisis conjunto tiempo-frecuencia, se usa a menudo )´(tϕ para evaluar el mérito de la transformación propuesta.

Estimaciones precisas de la frecuencia instantánea son un problema importante en muchas aplicaciones tan diversas como el análisis de señales sísmicas (Odegard 1997, Steeghs 1996, Asanuma 2002), en series de tiempo cardiovascular (van Steenis 2001), y en general en sistemas biológicos (Marchant 2003).

Para un espectro dependiente del tiempo se espera que:

)´(),(

),(t

dtP

dtPϕ

ωω

ωωω=

∫∫ (14)

Es espectrograma no goza de esta propiedad.

120


Como para un instante determinado, en general la señal exhibe más de un valor de frecuencia, '( )tϕ en realidad representa un valor medio. Luego es pertinente hablar de un ancho de banda instantáneo el que indica cómo se expande la energía de la señal respecto a la frecuencia instantánea media. A veces es posible encontrar dicho ancho de banda como un momento de segundo orden de la WVD. Esto sucede cuando la WVD es no negativa:

22 ( ) ( ,

( , )t x

tx

WVD t d

WVD t d

)ω ω ω

ω ω

− < >∆ = ∫

∫ω

(15)

Como consecuencia de la Propiedad de Dualidad de la WVD, se muestra que

para una señal x(t) con Transformada de Fourier ))(exp()( ωψω jX se verifica:

2 2( , ) ( , )

´( )( , ) ( )x x

x

t WVD t dt t WVD t dtt

WVD t dt Xω

ω ωπ ψ ω

ω ω= = = −∫ ∫∫

(16)

Como )(')( ωψ≅ft x (ver ecuación 2) resulta que el group delay es el

momento de primer orden respecto al tiempo de la WVD. Términos interferentes

La Distribución de Wigner–Ville no sólo posee muy buenas propiedades sino que también exhibe mejor resolución que la STFT y el espectrograma. Sin embargo presenta un inconveniente que ha limitado su aplicación y es la existencia de términos interferentes.

Toda aplicación bilineal satisface el Principio de Superposición Cuadrático, esto es si en particular TFR representa una Transformación cuadrática tiempo-frecuencia, luego:

1 1 2 2

2 21 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1

* *, ,

( ) ( ) ( )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )x x x x x x

x t c x t c x t

TFR t c TFR t c TFR t c c TFR c c TFR txω ω ω

= +

= + + + ω(17)

donde: son los äutotérminos¨ y los son los ¨términos cruzados¨ también llamados términos interferentes.

xiTFR ,xi xjTFR

Generalizando el Principio de Superposición Cuadrático a una señal con N

componentes, 1

( ) ( )N

k kk

x t c x=

=∑ t , se obtienen las siguientes reglas (Flandrin 1984,

Hlawatsch 1992b):

121


• A cada componente de la señal , le corresponde un autotérmino ( )k kc x t

2 ( , )k xkc TFR t ω • para cada par de componentes de la señal le

corresponde una componente cruzada ( ), ( )k k l lc x t c x t k l≠

* *, ,k l xk xl l k xl xkc c TFR c c TFR+

Luego para una señal ( )x t con N componentes, la tendrá N

autotérminos y términos interferentes. xTFR

1 2( ) /N N −Es de destacar que el número de términos interferentes aumenta con el

cuadrado del número de componentes, lo que a menudo hace el análisis visual de la TFR de señales multicomponentes dificultoso.

En el espectrograma, los términos interferentes están restringidos a aquellas regiones del plano tiempo-frecuencia (T-F) donde los autotérminos se solapan.

Luego en este caso, si dos componentes de la señal están suficientemente separadas en el plano T-F, sus términos interferentes serán casi nulos.

No sucede lo mismo con la WVD, en la cual los términos cruzados usualmente son tales que su magnitud es dos veces mayor que los autotérminos y a menudo oscurecen los patrones útiles del espectro dependiente del tiempo.

En los casos más simples es relativamente fácil de identificar los términos interferentes. Sin embargo, para señales de la vida real, los términos cruzados normalmente se solapan con los autotérminos volviendo el espectro dependiente del tiempo confuso.

La forma de reducir estos términos interferentes sin modificar las importantes propiedades de la WVD ha sido motivo de intensos estudios en los últimos años. Sin embargo puede demostrarse (Classen 1980) que algunos términos interferentes deben existir si se pretende que la TFR goce de las propiedades de frecuencia instantánea y group delay , como así también de la validez de la fórmula de Moyal la cual es básica para desarrollar los métodos de estimación y detección óptima en el dominio conjunto tiempo-frecuencia.

Los términos cruzados en realidad reflejan la correlación de los correspondientes pares de autotérminos. Su localización y tasa de oscilación están determinados por los centros de tiempo y frecuencia de los autotérminos, esto es, si se conoce con precisión la posición de los autotérminos se pueden ubicar perfectamente los términos cruzados. Ejemplo 4

En la Figura 3 se presenta la Distribución de Wigner–Ville de una señal suma de dos componentes Gaussianas desplazadas en tiempo y frecuencia, apreciándose claramente la presencia del término interferente entre los autotérminos.

122


Supuesto que los autotérminos estén centrados en respectivamente, el término interferente se ubica en con

1 1 2 2y( , ) ( , )t f t f

12 12( , )t f

1 2 1 212 122 2

;t t f ft f+ += = .

Se muestra que la tasa de oscilación de los términos cruzados es proporcional a la distancia entre los autotérminos correspondientes en el dominio de la frecuencia con una dirección de oscilación perpendicular a la línea que conecta las dos componentes, mientras que su magnitud decae exponencialmente con la distancia de las mismas en el dominio del tiempo. Esto significa que mientras más distantes temporalmente estén los autotérminos, menos energía contienen los términos cruzados (Flandrin 1984, Hlawatsch 1984, Hlawatsch 1992b). Suavisado de la wvd - señales analíticas Es interesante analizar como están relacionados el espectrograma y la WVD.

Para una señal arbitraria ( )x t se muestra que (Shie Qian 1996):

2( , ) ( , ) ( , ) ( , )x x x hP t STFT t WVD u v WVD t u v dudvω ω ω= = − −∫∫ (18) con ( , ) , ( , )x hWVD t WVD tω ω las distribuciones de Wigner-Ville de la señal en estudio y de la ventana de análisis respectivamente. ( )h t

La fórmula (18) corresponde a una convolución 2D, luego cuando la ( , )hWVD t ω es pasabajo, como sucede en la mayoría de las aplicaciones, el

espectrograma es una versión suavizada de la WVD. Más generalmente, sabemos que la WVD de la suma de multicomponentes es

una combinación lineal de los autotérminos y de los términos cruzados. Mientras los primeros son relativamente suaves, los segundos son fuertemente

oscilantes. Luego, una forma natural de disminuir la interferencia de los términos

cruzados es aplicar un filtro pasa-bajo ),( ωtH a la WVD:

∫∫ −−= dydxyxtHyxWVDtSWVD xx ),(),(),( ωω (19)

Debido a que los filtros pasa-bajo realizan una operación de suavizado, llamaremos a ésta Distribución Wigner Ville Suavizada (SWVD). Usualmente el filtrado pasa-bajo suprime sustancialmente los términos cruzados, pero por otro lado disminuye la resolución. Luego nuevamente existe una situación de compromiso entre el grado de suavizado y la resolución.

Si H(t,ω) es la WVD de una función h(t) luego la ecuación (19) es similar a la ecuación (18) y representa el espectrograma con h(t) como función ventana. En 123


ese caso la SWVT es no negativa pero ha perdido las propiedades marginales, la frecuencia instantánea y otras propiedades útiles que, poseyéndolas la WVD, no valen para el espectrograma.

Figura 3: Presencia en la WVD de los términos interferentes entre los

autotéminos.

Normalmente, la SWVD mejora el problema de los términos interferentes pero a costa de perder resolución y algunas otras propiedades importantes.

Las señales con las que a menudo se trabaja son real-valuadas. Como consecuencia directa, los espectros de las mismas son simétricos.

En realidad sólo la mitad del espectro suministra información. Para eliminar la redundancia es práctica común trabajar con la señal analítica asociada a x(t).

En el caso de la WVD las componentes de frecuencia negativa no sólo introducen redundancia, sino que crean términos interferentes, de aquí las ventajas de esta solución.

Sin embargo, debe tenerse en cuenta que la señal analítica difiere de la señal original en varios aspectos (Cohen 1995). Así, si bien una señal real y su analítica asociada tienen el mismo espectro de potencia positivo, sus propiedades instantáneas pueden ser sustancialmente distintas.

124


Es posible establecer la relación entre la WVD de la señal dato y de su analítica (Shie Qian 1996):

ΩΩΩ−Ω+Ω=

ΩΩΩ

−Ω

+=

ΩΩΩ

−Ω

+=

∫

∫

∫

∞

∞−

−

∞

∞−

dtjXXH

dtjXX

dtjXXtWVD aaa

)exp()2

()2

()(21

)exp()2

()2

(21

)exp()2

()2

(21),(

2

2

ωωπ

ωωπ

ωωπ

ω

ω

ω

(20)

donde H(Ω) es un filtro pasa-bajo ideal con frecuencia de corte 2ω

La expresión (20) puede ser escrita:

τωττ

τωω dtWVDtWVD xa ),()2sin(2),( −= ∫∞

∞−

resultado de convolucionar la WVD de la señal con el filtro pasa-bajo ideal

dependiente de la frecuencia t

tth )2sin()( ω= y trae como consecuencia un

suavizado de la WVD en el tiempo afectando también en este caso las propiedades marginales de la WVD. La función de ambigüedad

Se vio que el espectro de energía tradicional podía generalizarse en un espectro dependiente del tiempo:

∫ −= τωττω djtRtP )exp(),(),(

Si la función de autocorrelación se elige como:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

22),( τττ txtxtR (21)

luego tomando su Transformada de Fourier respecto a la variable τ ( lag), el

espectro de energía resultante es la Distribución de Wigner-Ville

125


2 2( , ) ( ) ( )exp( )xWVD t x t x t j dτ τω ωτ τ= + − −∫ (22)

Si se toma la Transformada de Fourier con respecto a la variable t en vez de τ

se obtiene otra representación tiempo-frecuencia conjunto: la función de ambigüedad simétrica (AF):

∫ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += dttjtxtxAFx exp

22),( ϑτττϑ (23)

a la cual se la llama también la auto-AF. En correspondencia, la AF- cruzada se define 1:

∫ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += dttjtytxAF yx )exp(

22),(, ϑτττϑ (24)

A diferencia de la auto-WVD, la cual es real para cualquier señal, la AF es

generalmente compleja con: ),(),( ,, τϑτϑ xyyx AFAF ≠ . A partir de la AFx, mediante la Transformada Inversa de Fourier, es posible

computar la función de autocorrelación dependiente del tiempo de la señal:

∫ −+= )2

()2

()exp(),(21 ττϑϑτϑπ

txtxdtjAFx

Sustituyendo en (22):

∫ ∫ −−= τϑϑτωτϑπ

ω ddtjAFtWVD xx )(exp).,(21),( (25)

que indica que la WVD es una doble Transformada de Fourier de la función

de ambigüedad simétrica 2. De las relaciones vistas, la función de ambigüedad y la Distribución de

Wigner-Ville pueden ser consideradas duales en el sentido de que ellas son un par transformado de Fourier. Esta dualidad está reflejada en sus propiedades 1 las variables ¨t¨ y ¨ω¨ de la WVD han sido reemplazadas por ¨ϑ ¨ y ¨ τ¨ llamadas respectivamente doppler y delay. 2 estrictamente hablando, contiene una Transformada de Fourier y una Transformada de Fourier Inversa. Por simplicidad, en la mayoría de la literatura se dice “doble Transformada de Fourier”. 126


matemáticas (TABLA I) (Van Trees 1971, Papoulis 1974). Ejemplo 5

Sea la función Gaussiana ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= tjtttx oo ωαπα 2

4/1

)(2

exp)(

centrada en tiempo y frecuencia en to y ωo respectivamente. La

correspondiente función de ambigüedad es:

))(exp(44

1exp),( 22oox tjAF ϑτωταϑ

ατϑ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= (26)

donde se observa que está centrada en el origen y oscila (Figura 4). La fase )( oo tt ϑω + está relacionada con el corrimiento en el tiempo to y la

modulación en frecuencia ωo de la señal. En contraste, la WVD de la función Gaussiana es:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−−= 22 )(1)(exp2),( oox tttWVD ωω

ααω

que está centrada en (to,ωo), esto es el corrimiento en el tiempo y modulación en frecuencia de la señal está asociado con la ubicación en el plano tiempo – frecuencia de su WVD (Figura 1).

En el caso de una señal multicomponente, los elementos de la AF correspondiente a los autotérminos están fundamentalmente ubicados alrededor del origen, mientras que los elementos correspondientes a los términos interferentes aparecen a una distancia del origen que es proporcional a la distancia en tiempo-frecuencia de las componentes involucradas (Janssen 1982, Hlawatsch 1992b). Ejemplo 6

Sea la señal suma de dos componentes moduladas en frecuencia lineal, de 0.2 a 0.5 en frecuencia normalizada la primera y de 0.3 a 0.0 la segunda, con amplitudes Gaussianas (Figura 5).

En la AF correspondiente pueden observarse los autotérminos centrados en el origen y alejados del mismo los términos interferentes (Figura 6).

127


Figura 4: Función de Ambigüedad de la señal Gaussiana.

Ejemplo 7 Se desarrollará analíticamente un caso simplificado del ejemplo anterior:

Sea la señal:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+= tjtttjtttxtxtx 2

22

4/1

12

1

4/1

21 )(2

exp)(2

exp)()()( ωαπαωα

πα

esto es, la suma de dos funciones Gaussianas concentradas en ),(;),( 2211 ωω tt respectivamente.

La función de ambigüedad es:

),(),(),(),(),(122121 ,, τϑτϑτϑτϑτϑ xxxxxxx AFAFAFAFAF +++=

Los dos primeros términos son similares a los desarrollados en el ejemplo 5,

fórmula (26), y están concentrados en el origen mientras los términos cruzados son de la forma:

128


[ ])(exp.))(4

)(41(exp),( 22

, 21 uduuddxx ttjtAF ωϑτωταωϑα

τϑ +−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−−= (27)

con 21212121 ;;

2;

2ωωω

ωωω −=−=

+=

+= dduu tttttt

Figura 5: Señal formada por dos componentes moduladas en frecuencia lineal con amplitudes Gaussianas.

La fórmula (27) indica que la está concentrada en (t

21 ,xxAF 1 - t2, ω1 - ω2) fuera del origen. La tiene una forma similar, pero concentrada en (t

12 ,xxAF 2 – t1, ω2 - ω1) (Figura 6). Por otro lado, la WVD cruzada de estas dos señales tiene la forma:

[ ] ttjtttWVD dduuuxx ωωωωωα

αω +−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−−= )(exp.)(1)(exp2),( 22

, 21

en la que vemos que los términos interferentes están centrados entre los autérminos. 129


Figura 6: Función de Ambigüedad de la señal.

En la Figura 7 se esquematiza la posición de los autotérminos y de los términos interferentes en el caso de la WVD y de la Función de Ambigüedad para una señal de dos componentes.

Llamando ),( τϑϕ AF a la fase de la resulta: 21 ,xxAF

uAFuAF t ωτϑϕδτδτϑϕ

δϑδ

=−= ),(;),(

que muestra que las derivadas parciales de la fase de la función de ambigüedad de los términos cruzados, coinciden con el centro en el dominio tiempo–frecuencia, de la WVD cruzada correspondiente.

Recíprocamente, llamando ),( ωϕ tWVD la fase de la : 1 2,x xWVD

dWVDdWVD tt

tt ωωϕδδωϕ

δωδ

== ),(;),(

130


que expresa que las derivadas parciales de la fase de la WVD de los términos cruzados resultan igual al centro de la función de ambigüedad cruzada.

a) b)

autotérminos

t ϑ

autotérminos autotérminos

términos interferentes (ωd,,td) términos interferentes

(tu,,ωu)

ω τ

términos interferentes (-ωd,,-td)

Figura 7: Ubicación de los términos interferentes a) en la WVD, y b)en la AF.

Como la derivada de la fase es normalmente considerada como una

frecuencia, la localización de los términos cruzados de la función de ambigüedad está directamente relacionada con la tasa de oscilación de la WVD.

En general, los términos cruzados de la WVD exhiben fuertes oscilaciones, lo cual implica que la derivada parcial de la fase es grande, de donde los términos interferentes de la función de ambigüedad están alejados del origen. Recíprocamente, mientras más alejados estén los mayor es la oscilación de la , en cuyo caso presentan un valor promedio muy pequeño y por lo tanto contribuciones despreciables en las propiedades útiles de la WVD de la señal. De aquí que los alejados del origen puedan ser ignorados.

21 ,xxAF

21 ,xxWVD

21 ,xxAFEste hecho motiva la idea que si se aplica un filtro 2D pasa-bajo alrededor del

origen a la función de ambigüedad y luego se calcula la WVD por una doble Transformada de Fourier, los términos interferentes se encontrarán fuertemente atenuados.

La función de ambigüedad AF y su magnitud al cuadrado, superficie de ambigüedad, AS han sido intensamente usadas en los campos de radar (Rihaczek 1971), sonar, radio astronomía y en telecomunicaciones en el estudio de canales variantes en el tiempo (Sayeed 1997, Parsons 2000) entre otros.

131


En el caso del radar el problema es la estimación de la distancia y velocidad de un blanco móvil, donde la distancia y velocidad corresponden al parámetro de retardo (delay) τ y el corrimiento Doppler. La ubicación del máximo de la AS cruzada de la señal recibida y la transmitida puede ser interpretada como el estimador de máxima similitud de τ y ϑ en el caso de un blanco no fluctuante (Lieb 1990). También la auto AS de la señal transmitida provee de información pertinente acerca de la performance del estimador de máxima similitud y es por lo tanto uno de los principales criterios para el diseño de la señal a transmitir. La clase de Cohen

En 1966 León Cohen (Cohen 1989), trabajando en Mecánica Cuántica y la Teoría de los Operadores, derivó un tipo de representaciones conjuntas tiempo-frecuencia, bilineales e invariantes frente a corrimientos en tiempo y frecuencia, esto es:

1 1( ) ( )exp( ) ( , )o o x x ox t x t t j t TFR TFR t t oω ω ω= − → = − −

mostrando que pueden ser escritas en una forma general única. Actualmente a este conjunto de representaciones se las identifica como la Clase de Cohen.

Se toma como punto de partida la siguiente definición de la función de autocorrelación dependiente del tiempo:

∫ Φ= ϑϑτϑτϑπ

τ dtjAFtR )exp(),(),(21),( (28)

donde ),( τϑΦ se llama función kernel o función de parametrización.

Del Teorema de la Convolución:

∫ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

=Φ= −−

duutuxux

ttxtx

FAFFtR

),(22

),(*)2

().2

(

)),((*),((),( 11

τφττ

τφτττϑτϑτ

ecuación que dice que la función de autocorrelación dependiente del tiempo

propuesta por Cohen es la función de autocorrelación dependiente del tiempo:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

22ττ txtx empleada en la WVD, filtrada linealmente.

132


Los distintos miembros de la clase de Cohen tales como la Distribución Choi-Williams o la Distribución Cono están completamente determinados por la naturaleza del filtro ),( τφ t . Si éste es pasa-todo, esto es: ),( τϑΦ =1, la expresión de R(t,τ ) da exactamente la función de autocorrelación de Wigner-Ville.

Cuando la función kernel ),( τϑΦ es una AF válida para una función del tiempo arbitraria γ (t), luego la C(t,ω) corresponde al espectrograma STFT con función ventana γ (t) .

Luego, tanto la WVD como el Espectrograma pertenecen a la Clase de Cohen. Este tipo de representaciones responde a la forma general:

τϑωϑτϑτϑπ

ω ddttjAFtC )(exp),(),(21),( −Φ= ∫∫ (29)

o equivalentemente:

ττωτφττω djduutuxuxtC exp),(2

.2

),( −−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∫∫ (30)

La importancia del trabajo de Cohen es que reduce el problema del diseño de

un espectro dependiente del tiempo a la selección de la función kernel. Algunas propiedades importantes se dan en la Tabla II (Claasen 1980). En general, los miembros de la clase de Cohen pueden tomar valores negativos a menos que el kernel sea dependiente de la señal o corresponda a la función de ambigüedad de una función γ(t), en cuyo caso, como ya hemos mencionado, la C(t,ω) es equivalente al espectrograma STFT 3.

Uno de los requerimientos para que ( , )C t ω pueda ser efectivamente interpretada como una función densidad de energía, es que sea no negativa. Wigner mostró sin embargo, que una transformación bilineal no puede satisfacer las condiciones marginales y ser simultáneamente no negativa.

Una pregunta natural a hacer es ver si existen distribuciones tiempo-frecuencia que representen la función de densidad, tengan las propiedades marginales y la de positividad. La respuesta es afirmativa si no nos limitamos a transformaciones bilineales (Cohen 1989) por ejemplo:

22

2

)()(

)(),( ωω S

ts

tstP = con ∫ ∫== ωω

πdSdttsts 222 )(

21)()(

3 que en este caso la ( , )C t ω resultante no cumple las propiedades 4, 5, 6, 7, 9 y 10 de la TABLA II. 133


Es evidente que P(t,ω) es no negativo y satisface las condiciones tiempo –frecuencia marginales, pero no tiene mayor significado en el análisis tiempo-frecuencia, ya que no brinda información respecto al comportamiento local de la señal.

Luego la segunda pregunta a hacer es si existe alguna distribución tiempo – frecuencia no negativa y significativa. La respuesta es no se sabe. Aunque hay muchos caminos para crear estas funciones ninguna de ellas ha probado ser eficiente en reflejar la naturaleza cambiante de la señal. Algunos miembros de la clase de Cohen

Uno de los principales objetivos perseguidos en el estudio de la Clase de Cohen es buscar un espectro dependiente del tiempo que no sólo preserve todas las propiedades útiles de la WVD, sino que también reduzca la interferencia de los términos cruzados.

Éstos aparecen debido a que cualquier representación bilineal tiempo-frecuencia (TFR) satisface el “Principio de Superposición Cuadrático”.

La observación de que la porción de la función de ambigüedad que corresponde a los autotérminos está conectada al origen, mientras que la parte de la misma vinculada a los términos cruzados tiende a esparcirse por todo el plano T-F, orientaron la búsqueda a encontrar una función kernel ( , )ϑ τΦ tal que el producto ),().,( τϑτϑ AFΦ respete la vecindad del origen y suprima todo lo demás.

Luego, el concepto de las clases de Cohen se centra en torno a la reducción de los términos interferentes. Sin embargo, como ya hemos mencionado, algunas propiedades importantes y la supresión de los términos interferentes no pueden lograrse simultáneamente. En efecto, para reducir los términos interferentes, el producto ),().,( τϑτϑ AFΦ tiene que anularse para valores grandes de ϑ y τ . Por otro lado, para preservar las condiciones marginales en tiempo y frecuencia, (TABLA II) debe verificarse:

)0,()0,().0,( ϑϑϑ AFAF =Φ ),0(),0().,0( τττ AFAF =Φ

lo que implica que todas las partes de la AF(ϑ,τ) tanto en el eje ϑ como en el eje τ deben ser mantenidas, sin interesar cuan lejos del origen se encuentren. Esto trae como consecuencia directa que la representación resultante debería preservar todos los términos cruzados que tengan el mismo centro de tiempo o centro de frecuencia.

Cuando esto se lleva a cabo a través de un kernel que actúa como un filtro pasabajo en yϑ τ estamos en presencia de un kernel RID (reduced interference distribution).

134


Distribución Choi-Williams (o exponencial) Choi y Williams introdujeron el kernel exponencial (Choi 1989, Williams

1992)

2( , ) exp( ( ) )ϑ τ α ϑ τΦ = −

el cual satisface casi todas las propiedades de la TABLA II. En particular, no cumple la (8), esto es, la positividad.

Además, Φ(0,0)=1 y Φ(ϑ,τ)<1 para ϑ ≠ 0 y τ ≠ 0 lo que implica que el kernel exponencial suprime los términos cruzados creados por dos funciones que tienen centros diferentes tanto en tiempo y como en frecuencia.

El parámetro α controla la velocidad de decaimiento. Mientras más grande es α, más términos cruzados son suprimidos, pero también más autotérminos son afectados. Luego hay una relación de compromiso en la selección de este parámetro. La Transformada de Fourier inversa del kernel exponencial es:

222

1 144

( , ) expt tφ τατπατ

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

de donde:

∫∫ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

= τωτττταπατ

ω ddujuxuxuttCWD )exp(2

.24

)(exp4

1),( 2

2

2 (31)

la cual es llamada Distribución de Choi-Williams (CWD)

La eficiencia de esta distribución depende fuertemente de la naturaleza de la señal analizada.

En la Figura 8 se muestra la WVD y la CWD de la señal z compuesta por dos señales Gaussianas corridas tanto en tiempo como en frecuencia, donde se aprecia la presencia de los términos interferentes en la WVD mientras que éstos han sido eliminados en la CWD. El kernel exponencial de la CWD suprime los términos interferentes alejados del origen, pero en cambio preserva los que provienen de componentes igualmente corridos en tiempo o en frecuencia (Figura 9) apareciendo en consecuencia como réplicas horizontales o verticales. La distribución cono o ZAM (de zaho-atlas-marks)

A diferencia de la CWD en el cual el objetivo explícito es lograr la eliminación por filtrado de los términos interferentes, la distribución cono pone el énfasis en garantizar que se satisfagan las propiedades 9, 10 de la TABLA II, esto

135


es que la distribución no se extienda más allá del soporte de la señal tanto en tiempo como en frecuencia. Con esa premisa elige:

⎩⎨⎧ ≥

=otros

tparagt

02)(

),(ττ

τφ

con lo cual genera una región en forma de cono en el plano ( , )t τ

Así resulta: 2

2

22/

/

sen( / )( , ) ( ) exp( ) ( )g t dt gτ

τ

ϑ τϑ τ τ ϑ τϑ−

Φ = − =∫ (32)

El kernel en el plano ( , )ϑ ω toma también la forma de cono, con lo cual garantiza la propiedad 10 de la TABLA II (Zhao 1990).

Haciendo: )exp(1)( 2τατ

τ −=g

Luego: 0)exp(2/

)2/sen(),( 2 >−=Φ ατατϑϑτϑ parat

El parámetro α controla el grado de supresión de los términos interferentes. Mientras más grande es α, se suprimen más términos cruzados a expensas de producir mayores perturbaciones en los autotérminos.

Se verifica: ⎩⎨⎧

=−=

=Φ0)exp(

01),( 2 ϑτα

ττϑ

En la Figura 9 se observa una reducción importante de los términos

interferentes al considerar la Distribución Cono frente a la Distribución de Choi-Williams.

Se puede ver que la Distribución Cono produce un buen resultado si bien ubica los términos interferentes en casi la misma posición en el plano tiempo-frecuencia que los autotérminos de la señal.

Esta TFR está siendo usada fuertemente en el área de análisis de voz en reemplazo del STFT espectrograma. En la Figura 10 se presenta el espectrograma del fonema /a/ y la Distribución Cono correspondiente donde se visualiza una mayor nitidez en la ubicación de los formantes.

Es necesario destacar que ninguna transformación es óptima para todas las situaciones. Dentro del tipo RID, habrá casos en que en lugar de usar las Distribuciones estandarizadas, resulte de interés diseñar un kernel adecuado para algun tipo especial de señales.

136


Pero también debe tenerse en cuenta que si bien con una elección particular del kernel es posible mejorar la acción de la WVD en lo que a términos interferentes se refiere, generalmente es a costa de perder algunas propiedades importantes. Diseño de kernels RID

William J. Williams (Williams 1998) sugiere el siguiente procedimiento para una primera aproximación al diseño de kernels RID:

1) Diseñar una función real-valuada que satisfaga: ( )h ta) debe tener área unitaria: ( )h t 1( )h t dt =∫ b) debe ser una función simétrica del tiempo: ( )h t ( ) ( )h t h t= − c) debe ser limitada en el tiempo, por Ej. Sí [-1/2,1/2], ( )h t

0 1( ) /h t para t= > 2 d) disminuye suavemente hacia ambos extremos del intervalo de tal

manera que su respuesta en frecuencia tenga escasos contenidos de alta frecuencia ( )h t

1 0( )H paraω ω<< >> . A veces para aplicaciones especiales puede que se necesite requerir que

esté en alguna banda de frecuencias particular. ( )h t

2) Tomar la Transformada de Fourier de:

( ) ( ).exp( )H h t j tϑ ϑ= −∫ dt

3) Reemplazar ( )por en Hϑ ϑτ ϑ

La función inicial puede ser considerada como una ventana o la respuesta al impulso de un filtro. Por lo tanto se puede incorporar todo el importante marco teórico del diseño de filtros para el de los kernel RID.

( )h t

La expresión para una Transformación general de este tipo es:

12 2

( , , ) exp( )xu tRID t h h x u x u j dudτ τω ωτ τ

τ τ−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫∫ (33)

donde la función de autocorrelación generalizada es:

1

2 2( , )x

u tR t h x u x u duτ τττ τ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ −

137


Como hemos mencionado, si bien es posible lograr muy buenos resultados con el uso de estas transformaciones, se debe ser conciente de sus limitaciones:

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250DISTRIBUCION DE WIGNER-VILLE

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250DISTRIBUCION DE CHOI-WILLIAMS

Figura 8: WVD y CWD de una señal suma de dos señales Gaussianas corridas en tiempo y frecuencia.

1) El RID no es no-negativo como lo es el espectrograma. Sin embargo se ha

observado que en casi todos los casos, tiene en este sentido, un mejor comportamiento que la WVD, lo cual tiene un justificativo teórico: los términos interferentes de la WVD son los que generalmente exhiben valores negativos. El RID reduce la negatividad como consecuencia de disminuir la magnitud de los términos interferentes.

Es sabido que no es posible obtener una distribución tiempo-frecuencia positiva para todas las señales con un kernel fijo manteniendo todas las propiedades de la WVD. Valores de Energía negativa no pueden tener una interpretación física convencional, pero ellos son necesarios para lograr los buenos atributos de la distribución. Debe analizarse entonces los beneficios que se obtienen relajando la exigencia de positividad o perdiendo propiedades.

138


50 100 150 200 250

50

100

150

200

250DISTRIBUCION DE CHOI-WILLIAMS

50 100 150 200 250

50

100

150

200

250DISTRIBUCION CONO

Figura 9: CWD y Distribución Cono de una señal con dos componentes Gaussianas corridas en frecuencia.

2) En general, los términos interferentes no pueden ser totalmente eliminados. Cuando dos componentes de la señal están poco separadas en tiempo o frecuencia, los términos interferentes son más importantes. En realidad, si dos componentes están solapadas exactamente, los términos cruzados deben existir para obtener los valores correctos de la energía de las señales combinadas. A veces, los términos cruzados resultan de interés ya que reflejan las relaciones entre las componentes de la señal.

3) En el análisis tiempo-frecuencia de la señal se utiliza en la mayoría de los

casos la forma analítica de la misma, con lo cual se logra eliminar los términos cruzados entre las componentes de frecuencia positiva y negativa. Sin embargo, para algunas señales de baja frecuencia esto no resulta conveniente porque crea algunas distorsiones y se prefiere usar la señal real dato directamente. De cualquier forma en las distribuciones RID los problemas de los términos cruzados son menores que en la WVD y por lo tanto disminuyen las ventajas de usar la señal analítica. 139


En la TABLA III se exhiben algunas Distribuciones, sus kernels correspondientes y las propiedades de la TABLA II que satisfacen.

Figura 10: ESPECTROGRAMA y Distribución CONO del fonema /a/. Representacion tiempo–frecuencia dependiente de la señal

A diferencia de las representaciones anteriores que enfatizan la eliminación de los términos interferentes tratando de preservar la mayor cantidad posible de las propiedades de la Distribución de Wigner-Ville, los kernels dependientes de la señal, tienen por objetivo optimizar el pasaje de las autocomponentes y suprimir las componentes cruzadas para señales particulares.

Es práctica común relajar los requerimientos del kernel con el fin de ganar flexibilidad en la ubicación de las regiones de atenuación donde se encuentran los términos cruzados, manteniendo baja atenuación en las regiones de los autotérminos.

Podemos llamarlos kernel dependiente de la señal en el sentido que se diseñan para una señal específica o tipo de señal. Sin embargo se tienen que tomar cuidados especiales ya que para alcanzar ese objetivo pueden verse comprometidas propiedades básicas de la Transformación.

140


Cuando se tiene un kernel fijo, éste actúa sobre la función de ambigüedad como un filtro pero tiene limitaciones en cumplir su cometido debido a que la localización de los autotérminos y de los cruzados depende de la señal a ser analizada. De aquí que se espere que pueda conseguirse una buena performance usando un kernel especialmente diseñado para una determinada clase de señales.

Para lograr la distribución tiempo- frecuencia bilineal para una señal dato que provea en algún sentido la ¨mejor¨ representación tiempo-frecuencia, Baraniuk y Jones formularon un procedimiento para el diseño del kernel dependiente de la señal como un problema de optimización. Método del kernel óptimo (OK) 1/0

Dada una señal y su AF, el kernel óptimo 1/0 se define como una función φopt real y no negativa que resuelve el siguiente problema de optimización (Baraniuk 1994):

∫∫ Φ τϑτϑτϑφ

ddAF 2),(),(max (34)

sujeto a las condiciones:

1) 1)0,0( =Φ2) ),( τϑΦ radialmente no creciente

lo cual puede ser expresado explícitamente como que debe cumplir:

ψγγψγψγ ∀≤∀Φ≥Φ ,),(),( 2121

en el que γ y ψ corresponden a las coordenadas polares radio y ángulo

respectivamente. Es usual agregar una tercera condición:

3) 212

( , ) d dφ ϑ τ ϑ τ απ

∞ ∞

−∞ −∞

≤∫ ∫

donde 0α ≥ es un parámetro de escala, el cual controla la importancia relativa entre el mejoramiento de los autotérminos y la supresión de los términos interferentes, ajustando el volumen bajo el kernel óptimo.

Las restricciones de ),( τϑΦ obligan al kernel óptimo a ser un filtro pasa-bajo de volumen fijo α. La maximización de la medición de performance hace que la banda pasante del kernel se encuentre sobre las autocomponentes.

141


Fijando el volumen bajo el kernel óptimo, el parámetro α regula la situación de compromiso entre la supresión de los términos cruzados y el derrame de las autocomponentes. Cotas razonables son 51 ≤≤α .

Para la cota inferior, el kernel óptimo tiene el mismo volumen que un kernel para el STFT espectrograma y a medida que α aumenta, la Distribución de kernel óptimo converge a la WVD.

Es posible agregar restricciones para que el kernel elegido permita que se satisfagan algunas propiedades que figuran en la TABLA I tales como que se cumplan las condiciones marginales tanto en tiempo como en frecuencia, si bien a costa de perder calidad en la optimización. Método del kernel radial gaussiano

Aunque el kernel 1/0 es óptimo de acuerdo al criterio fijado, su corte abrupto puede introducir oscilaciones en la Distribución OK, especialmente para pequeños valores del parámetro α.

Como alternativa se puede agregar restricciones de suavizado explícito a las fórmulas de optimización (34) tales como que el kernel está obligado a ser Gaussiano radialmente (Baraniuk 1993):

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−=Φ

)(2exp),( 2

22

ψστϑτϑ (35)

El término σ(ψ) representa la dependencia de la apertura Gaussiana con el

ángulo radial )/arctan( ϑτψ = . El kernel de la forma (35) es acotado, radialmente no creciente, y además,

suave si σ lo es. Como la forma del kernel radial Gaussiano está completamente parametrizado por esta función, basta encontrar la función óptima σopt de la señal para determinar el kernel buscado. Formulaciones adaptivas

Si bien las Distribuciones OK 1/0 y Radial Gaussiana tienen generalmente buena performance, diseñan un solo kernel para toda la señal.

Para analizar señales con características cambiantes en el tiempo o para trabajo en tiempo real con señales de larga duración, sería conveniente una TFR adaptiva dependiente de la señal.

La adaptación del kernel a las características locales de la señal requiere que el proceso de optimización se adecue a esta nueva restricción.

En el dominio de la función de ambigüedad esta situación no es inmediatamente admitida ya que la determinación de la AF incluye información sobre todo el tiempo y toda la frecuencia de la señal, dificultad que puede ser superada por el desarrollo de una AF a tiempo corto (Jones 1995), lo cual permite 142


la aplicación a posteriori del procedimiento de optimización de determinación del kernel radial Gaussiano ),,( 0topt τϑΦ y un slice de Distribución en frecuencia de kernel óptimo en t

),( 0 ftCopt

0. En particular, la Distribución kernel cono adaptivo (Czerwinski 1995, Khadra

1998), se ha popularizado debido a su habilidad en resolver componentes transitorias de la señal o cambios abruptos en sus características. Esta capacidad se apoya en una propiedad deseable para todas las representaciones tiempo-frecuencia que es el de anularse fuera del soporte en el tiempo de la señal y que la función cono la satisface plenamente.

El kernel cono es a menudo parametrizado por un solo valor, la longitud del cono, que controla fuertemente el comportamiento de la TFR resultante. Conos cortos permiten a la TFR exhibir los rápidos cambios en las características de los transitorios de la señal, mientras un cono largo suministra alta resolución en las componentes de la señal de larga duración (Khadra 1998).

Trabajos recientes han permitido desarrollar una técnica que selecciona adaptivamente la longitud del cono en los distintos instantes de tiempo, la cual es elegida por un criterio de optimización similar al usado en (34) que maximiza la energía y permite seleccionar las distintas longitudes del cono mediante un algoritmo rápido que computa recursivamente una función de ambigüedad a tiempo corto con longitudes variables. La Figura 11 esquematiza el diagrama de flujo.

Sin embargo, pueden hacerse algunas críticas a este tipo de representaciones adaptivas. (Williams 1998) Ante todo no es más una distribución bilineal o cuadrática, lo que dificulta interpretar los resultados en términos de energía. Además el tiempo computacional requerido se incrementa notablemente lo que entorpece el trabajo a tiempo real y los resultados obtenidos parecen no justificar estos inconvenientes. Influencia del ruido

El comportamiento de la WVD frente al ruido es malo (Cohen 1995). La WVD expande el ruido sobre todo el plano tiempo-frecuencia, además de producirse términos cruzados entre los autotérminos y los términos ruidosos y éstos entre sí. La Distribución de Choi-Williams tiene una mejor respuesta frente al ruido.

143


Transforma RTF en WVD

adaptiva

Suaviza la AF (kernel)

Computa la AF

Aplica Señal ventana de

análisis

Estimación del kernel

óptimo

Figura 11: Esquema de aplicación del kernel óptimo adoptivo.

En la Figura 12 se observa una mayor cantidad de términos interferentes para el chirp lineal contaminado con ruido Gaussiano (SNR = 10.9 dB) en la representación de Wigner–Ville en comparación al de la misma señal con una representación de Choi–Williams.

Figura 12: Representaciones tiempo-frecuencia del chirp lineal ruidoso.

144


Formulación discreta Las Distribuciones Tiempo-Frecuencia se presentan en la forma continua para

los desarrollos teóricos y discusión de sus propiedades. Sin embargo, es necesario contar con su forma discreta para poder implementarlas en computadoras.

Debido a la naturaleza cuadrática de la WVD su muestreo debe ser hecho con cuidado.

Partiendo de la expresión: ∫ −−+= ττωττω djtxtxtWVDx )exp()2

()2

(),(

Haciendo 2τ

=u : duujutxutxtWVDx ∫ −−+= )2exp()()(2),( ωω

Por integración numérica con u=n∆ se obtiene una primera aproximación:

)2exp()()(2),( ∆−∆−∆+∆= ∑ njntxntxtWVDn

x ωω

Si se muestrea la señal x(t) con período ∆t=∆ , escribiendo y

evaluando la WVD en los puntos de muestreo m∆[ ] )( tmxmx ∆=

t se obtiene una expresión discreta en el tiempo y continua en frecuencia:

[ ] [ ]∑ ∆−∆−∆+∆=∆n

njttttx

tenmxnmxmWVD ωω 2)()(2),[ (36)

Esta expresión es periódica en frecuencia con período t∆/π , en contrapartida

del período t∆/2π obtenido para la Transformada de Fourier de una señal muestreada en la tasa de Nyquist. La expresión (36) implica que la componente de más alta frecuencia debe ser menor o a lo sumo igual que t∆2/π . De lo contrario, la versión de la WVD estará afectada de aliasing.

Para evitar el aliasing se presentan dos alternativas. Una de ellas es sobremuestrear la señal en al menos un factor 2, y la segunda, aplicable sólo si x(t) es real, es usar la señal analítica con las ventajas e inconvenientes que se han expuesto anteriormente.

El próximo paso es muestrear la frecuencia usando la Transformada de Fourier Discreta lo que lleva después de algún algebreo a una expresión apta para la implementación de algoritmos rápidos de cálculo. Así la Distribución de Wigner Ville Discreta responde a la fórmula:

1

0

24 2[ , ] [ ] [ ]exp [ ] [ ]L

xn

knDWVD m k e x m n x m n j x m x mLπ−

=

⎧ ⎫⎧ ⎫= ℜ + − − −⎨ ⎨ ⎬⎬⎩ ⎭⎩ ⎭

∑ (37)

145


La forma discreta de la WVD goza de muchas de las propiedades de su versión continua y también similares limitaciones.

En principio cualquier representación tiempo-frecuencia continua puede ser discretizada.

Sin embargo, a menudo suelen surgir dificultades, razón por la cual a veces se prefiere obtener las formas discretas a partir de sus principios básicos en lugar de por aproximaciones de la forma continua (Cunningham 1994).

Los requerimientos para las formas discretas del RID son similares a los de la WVD discreta. Éste puede ser expresado por:

( , ) ( , )* ( , )exp( )x x nm

RID n R n m n m j nω φ ω∞

=−∞

= −∑

donde ( , ) ( , )exp( )n

m n m j nω φ ω∞

=−∞

Φ = −∑

es el kernel RID discreto. El ( , )xRID n ω puede por lo tanto ser obtenido calculando la autocorrelación

local ( , )xR n m , convolucionándolo respecto a n con ( , )n mφ y haciendo la DTFT del resultado respecto a m.

Trabajando directamente de forma discreta, se han generado otras transformaciones RID interesantes como la Distribución Binomial que utiliza un kernel del tipo:

12

( , ) ( )n

mn m n m k

kφ δ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠+

que satisface en equivalente discreto el requerimiento de soporte en el tiempo:

0 2( , )n m si m nφ = <

con DTFT:

12

( , ) ( ) ( )mj jmm e e cosπϑ πϑϑ πϑ−Φ = + =

Se muestra que este kernel posee muchas de las propiedades deseadas para un

RID, con resultados similares a la de la Distribución Choi-Williams, pero con la diferencia de haber sido totalmente diseñado en tiempo discreto. No es por lo

146


tanto una aproximación de una forma continua y puede ser computado en forma eficiente. Evaluación de las distintas representaciones

Para evaluar las distintas representaciones tiempo-frecuencia es de uso común el considerar el ancho de banda instantáneo, definido por:

∫∫ ><−

=∆=∆ωω

ωωωωω

dtP

dtPt

tt

),(

),()()(

222

con

∫∫=><

ωω

ωωωω

dtP

dtPt

),(

),( frecuencia media condicional.

El ancho de banda instantáneo da una indicación de cómo de expande la

energía de la señal con respecto a la frecuencia media condicional. Un buen espectro dependiente del tiempo P(t,ω) satisface que su frecuencia

media condicional es igual a la frecuencia media instantánea de la señal, que se corresponde con la primera derivada de su fase. Para una señal

x t A t j t tϕ ϕ=( ) ( )exp( ( )) , '( ) representa la frecuencia instantánea. En el caso de la WVD se cumple:

)´(),()(2

1),(

),(2 tdtWVD

txdtWVD

dtWVDx

x

xt ϕωωω

πωω

ωωωω ===>< ∫∫

∫

propiedad ésta no satisfecha por el espectrograma STFT, aunque cuando se aplica una ventana angosta la frecuencia media condicional del mismo es muy próxima a la primera derivada de la fase de la señal.

El ancho de banda instantáneo debe ser lo más pequeño posible. En la Figura 13 se grafica el chirp lineal con frecuencias normalizadas entre

0.1 y 0.4, mientras en la Figura 14 aparece su espectrograma STFR y la Distribución de Wigner- Ville correspondiente.

Se observa que si bien en ambos casos se refleja la evolución de la frecuencia en el tiempo, la precisión de la WV D es mayor que el del espectrograma. Ello es debido a que el ancho de banda instantáneo de la WVD es menor que la del espectrograma STFT.

147


Señales aleatorias Aunque nos hemos referido exclusivamente a señales determinísticas, un

grupo numeroso e importante de aplicaciones requiere que las señales sean modeladas como procesos estocásticos (Hlawatsch 1999, Matz 2003).

Para señales aleatorias estacionarias se define la densidad espectral de potencia:

2( ) ( )exp( )

( ) ( ) ( )

x x

x

S f R j f d

con R E x t x t

τ π τ τ

τ τ

= −

= +

∫

Figura 13: CHIRP LINEAL y la representación de su frecuencia instantánea.

Debido a la estacionalidad, ésta no cambia con el tiempo. Cuando el proceso bajo análisis es no estacionario, las propiedades espectrales

de la densidad de potencia cambian con el tiempo por lo que se necesita un espectro que refleje esta situación. Se obtiene entonces una representación tiempo-frecuencia de las estadísticas de segundo orden del proceso.

148


Una primera aproximación a la que llamaremos Espectro Wigner-Ville Generalizado (Matz 1997):

2

1 12 2

( , ) ( , )exp( )

( , ) ,

x x

x x

W t f R t j f d

con R t R t t

α α

α

τ π τ τ

τ α τ α τ

= −

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ (38)

siendo: ( , ´) ( ) ( ´)xR t t E x t x t= ; α ∈ en principio arbitrario.

Casos especiales son: Con α = 0 Espectro de Wigner-Ville α = ½ Espectro de Rihaczek

con propiedades en general similares a las TFR para señales determinísticas.

Figura 14: ESPECTROGRAMA STFT y WVD del chirp lineal.

149


Distribuciones afines La Clase de Cohen reúne en una formulación única todas las distribuciones

bilineales covariantes en tiempo y frecuencia, ofreciendo una amplia variedad de herramientas para el análisis de las señales no estacionarias.

La más destacada de esta Clase es sin dudas la Distribución de Wigner–Ville, la cual, si bien presenta el mejor conjunto de propiedades útiles, tiene el problema de la aparición de los términos interferentes que pueden obscurecer características importantes de la señal.

Las otras distribuciones analizadas parten de la premisa de tratar de eliminar los términos cruzados intentando mantener la mayor cantidad posible de las propiedades de la WVD. Existen distribuciones de energía tiempo-frecuencia que no pertenecen a las Clases de Cohen ya que no son covariantes por corrimientos en tiempo y en frecuencia. Tal es el caso de las Distribuciones Afines (A) basadas en la propiedad de covariancia por corrimientos en tiempo y dilatación (escala).

Comprende todas las TFR cuadráticas, que preservan el escalamiento en el tiempo (duplicando la escala de tiempo de la señal, también se duplica la escala de tiempo de la representación tiempo-frecuencia, mientras divide por dos la escala de frecuencia) y preserva los corrimientos en el tiempo:

111( ) ( , ) ,

' ''o o

x xt t t t ax t x T t a T

a aa− −⎛ ⎞ ⎛= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ 'a⎞⎟⎠

Los miembros de esta clase pueden derivarse a partir de la WVD por medio de

una transformación afín.

( , , ) , ( , )x xs tT t a a WVD s ds d

aη η

∞ ∞

−∞ −∞

−⎛ ⎞Π = Π⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ η (39)

donde ( , )s ηΠ es un kernel 2-dimensional que depende del tiempo y la frecuencia pero no de la señal.

Se muestra que tanto la Distribución de Wigner-Ville como la de Choi–Williams también son miembros de esta Clase.

Entre los miembros de la Clase afín que no pertenecen a la Clase de Cohen figuran el escalograma, la distribución de Flandrin y la de Bertrand y Bertrand.

Conceptualmente, estas representaciones son similares al análisis Q-Constante de la Transformada Ondita pero en el marco de la energía de la señal. Otras representaciones

Mientras que distribuciones tiempo-frecuencia y tiempo-escala son las herramientas naturales para el análisis y procesado de una gran cantidad de señales, no son en todos los casos las más aptas, teniendo en cuenta que los 150


corrimientos en tiempo, corrimientos en frecuencia y cambios de escala no son las transformaciones fundamentales que aparecen en todas las aplicaciones.

Para estos diferentes tipos de señales, se han desarrollado distribuciones conjuntas basadas en otros conceptos distintos de tiempo, frecuencia y escala.

Usando métodos que se apoyan en la Teoría de los Operadores se trata de asociar un atributo físico “a” a un operador generalmente unitario o Hermitiano, en la búsqueda de transformaciones que puedan medir la dependencia con “a” con los contenidos de energía de la señal (Cohen 1996a, Cohen 1996b).

De cualquier forma, cuál es el tipo de representación a usar depende de la naturaleza particular de la señal en estudio y del objetivo perseguido con ese análisis. Algunas aplicaciones

Las representaciones tiempo-frecuencia incluyendo la Transformada Ondita permiten visualizar nuevos fenómenos y en cierta medida han cambiado nuestra forma de ver a las señales. Su campo de aplicación crece día a día incursionando fuertemente en las señales biomédicas, de radar, sísmicas y todo otro proceso de características no estacionarias (Marchant 2003, Nelson 2000, Chen 1998, Saito 1996).

Elegida la Distribución a usar, el problema básico reside en interpretar una imagen en el plano tiempo-frecuencia que describe la evolución en el tiempo de los contenidos de frecuencia de la señal. Aun cuando las distintas representaciones tienen el mismo objetivo, cada una de ellas tiene que ser analizada de acuerdo a las propiedades que posee.

Temas relacionados con caracterización, detección y clasificación de señales no estacionarias se encuentran en una gran variedad de problemas y es en ese contexto que las TFR pasan a ser una herramienta muy importante.

Los momentos de primer y segundo orden describen la posición promedio y dispersión tanto en tiempo como en frecuencia de la señal. Para algunas distribuciones, si se considera su forma analítica, el momento de primer orden en tiempo se corresponde con la frecuencia instantánea y el en frecuencia con el group delay.

De igual forma, los momentos centrales de tercer y cuarto orden permiten definir el skew y kurtosis instantáneos con posibles aplicaciones a la identificación de sistemas (Davidson 2000).

Pero además, los momentos conjuntos tiempo-frecuencia han encontrado utilidad en la clasificación de señales no estacionarias (Tacer 1998, Akan 2000).

En problemas de reconocimiento de patrones se utilizan a menudo transformaciones lineales o no lineales con el objeto de lograr extraer más fácilmente alguna característica o mejorar la clasificación. En el caso de señales cuyo espectro varía en el tiempo, distintas TFR han sido usadas con éxito

151


Sin embargo se presenta un inconveniente: dada una serie de tiempo de longitud N, la TFR tiene del orden de N2 puntos (asumiendo que se realiza una FFT punto N) con lo cual se tiene un problema de dimensionalidad ya que se ha incrementado considerablemente el número de datos a tener en cuenta con el consiguiente gasto computacional.

La colección de todos los momentos conjuntos definidos por:

( , )n m n mt t TFR t dt dω ω ω∞ ∞

−∞ −∞

= ∫ ∫ ω (40)

preservan toda la información de la TFR. A los fines de un proceso de clasificación, se pretende que sea necesario conocer sólo unos pocos de ellos.

La idea es computar y normalizar un número p de momentos conjuntos con p N<< para armar un vector de características de dimensión mucho menor que

N 2 y que a pesar de ello capte las propiedades de la señal en el dominio tiempo-frecuencia.

La normalización de los momentos se realiza a fin de reducir su rango dinámico:

1 2 3,

, log ; , , , , ...! !

i ji j

tt i

i jω

ω⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠

j

Otra fuente de información la constituyen los términos interferentes, aun

cuando hacen más confusa la representación y a menudo se busque eliminarlos. Sin embargo, el conocimiento de la estructura y formación de los mismos, es necesario para poderlos interpretar correctamente. En general permite inferir sobre las fases relativas de dos componentes como así también sobre las discontinuidades de fase de la señal observada. Medida de los contenidos de información

El término ¨componente¨ no está definido claramente en el área de procesamiento de señales. A pesar de ello en la Distribución de Wigner-Ville se habla de la aparición de términos interferentes debido a las componentes cruzadas, como así también de la concentración y resolución de las autocomponentes (Flandrin 1994).

Intuitivamente una componente se interpreta como una concentración de energía en algún dominio. Este concepto fue desarrollado por Cohen para el plano tiempo-frecuencia (Cohen 1992).

152


Aunque el tema no está cerrado, es razonable considerar que señales de alta complejidad, esto es con fuerte contenido de información, están construidas a partir de un número importante de componentes elementales.

Cuando se intenta cuantificar el grado de complejidad de una señal, mediciones basadas en los momentos como el producto duración en el tiempo-ancho de banda y su generalización a momentos de segundo orden no aportan resultados. Es fácil ver que una señal formada por dos componentes de soporte compacto puede aumentar indefinidamente su producto duración en el tiempo-ancho de banda incrementando la separación de las mismas pero la complejidad de la señal no varía.

Una aproximación al problema está basada en la entropía, explotando la analogía entre la densidad de energía de la señal y las densidades probabilísticas. Así como 2( ) ( )x t y X 2ω se comportan como densidades unidimensionales en tiempo y frecuencia respectivamente de la energía de la señal, las TFR

puede considerarse que actúan como densidades bidimensionales de energía en el plano tiempo-frecuencia.

( , )xC t f

La entropía es una medida de la información esperada a través de todos los valores que puede tomar un proceso aleatorio, luego es mayor mientras mayor es el grado de incerteza, lo que se relaciona con que la señal sea más compleja.

A partir de esta relación, puede pensarse en la clásica entropía de Shannon, que, para señales de energía unitaria, tiene la forma:

2( ) ( , ).log ( , )x x xH C C t f C t f dt df= −∫∫ (41)

El objetivo es medir la complejidad de la señal a través de su TFR ya que es

ésta y no la señal, la que se comporta como una función de densidad de probabilidades. A medida que la señal es más compleja, también lo es su TFR y en consecuencia, mayores los valores de entropía.

Sin embargo la no positividad de la mayoría de las TFR impide la aplicación de la entropía de Shannon. Williams, Brown y Hero (Williams 1991) propusieron el uso de la entropía de Rényi generalizada para señales de energía unitaria:

21

1( ) log ( , )x xH C C t f dt dfα

α α=

− ∫∫ (42)

Estudios empíricos mostraron muy buenos resultados para α =3 abarcando un

importante conjunto de señales aun en el caso en que la TFR tome localmente valores negativos, gozando de algunas propiedades realmente destacadas:

153


1) ¨cuenta el número de componentes¨ de una señal. 3( xH C ))

)

)

2) es asintóticamente invariante a los términos cruzados de la TFR y por lo tanto no los incluye en el conteo.

3( xH C

3) es extremadamente sensible a las diferencias de fase entre componentes poco espaciadas.

3( xH C

4) Los valores de la son invariantes a corrimientos tanto en tiempo como en frecuencia. Para algunas TFR resultan también invariantes frente a los cambios de escala.

3( xH C

La propiedad primaria de la Entropía de Rényi para cuantificar la complejidad

y contenidos de información de señales no estacionarias, es su capacidad de conteo del número de componentes, válida cuando éstas son idénticas. Caso contrario, su sensibilidad a las diferencias de fase y de amplitud entre componentes hacen que esta propiedad se verifique sólo asintóticamente, esto es cuando la distancia entre componentes tiende a infinito, lo que puede limitar su utilización como herramienta en el análisis tiempo-frecuencia (Michel 1994).

Es necesario destacar que la analogía entre las TFR y las densidades de probabilidades bidimensionales no es total. Por un lado, la libertad de elegir el kernel y por lo tanto la TFR a usar lleva implícito tener distintas distribuciones para el mismo conjunto de datos. Además, la no positividad de las TFR hace que no puedan ser interpretadas estrictamente como una densidad de energía de la señal.

Una condición a cumplir por la TFR para que la entropía de Rényi de orden α esté bien definida es que la TFR sea real y se satisfaga (Baraniuk 2001):

0( , )xC t f dt dfα >∫∫ (43)

Las TFR con kernels pasa-bajo conducen normalmente a estimaciones de la entropía de Rényi más robustas que cuando se usa la WVD debido a la atenuación de los términos interferentes. Sin embargo esto es a costa de que los niveles de entropía tengan un sesgo dependiente de la señal.

Las mediciones de entropía cuantifican el grado de incerteza asociado con la respuesta de un experimento. En reconocimiento de patrones, estas mediciones relacionan cuanta incerteza queda acerca de los miembros de una clase una vez que se ha medido una característica.

Así como en la Teoría de la Información, la entropía sirve de base para mediciones de distancia entre densidad de probabilidades, es de esperar que mediciones análogas entre TFRs pueden tener inmediata aplicación en problemas de detección y clasificación.

154


Una de las medidas de distancia entre dos TFR C1 y C2 definida a través de la entropía, se basa en la diferencia de Jensen, usada para TFR positivas, la cual viene dada por:

11 2 1 2 2

( ) (( ) ( ) H C H CJ C C H C C α αα α

+= − 2 ) (44)

La positividad de esta expresión está vinculada a la concavidad de la función

de entropía, propiedad de la que no goza la Entropía de Rényi para 1α ≠ . Además, si son disjuntas en el plano TF, diverge. 1 2( , ) ( , )C t f y C t f 1 2(J C Cα )

Se han realizado estudios experimentales con otras funciones de divergencia como las de Kullback que en condiciones especiales han mostrado buenos resultados.

También se han intentado introducir otras métricas no ya vinculadas a la entropía sino a geodésicas en el espacio de representaciones tiempo-frecuencia admisible (Droppo 1998).

Conclusiones

El desarrollo de técnicas de procesamiento basadas en el análisis de la señal como una función conjunta del tiempo y la frecuencia es actualmente motivo de profundas investigaciones de tal forma que aparecen continuamente nuevos métodos para encarar el problema de desentrañar las características que ayuden a comprender mejor los sistemas en estudio.

En los últimos años se han desarrollado numerosas representaciones tiempo-frecuencia que pueden interpretarse como versiones suavizadas de la Distribución de Wigner-Ville, en el que el tipo de suavizado determina la cantidad de atenuación de los términos interferentes, su concentración en el plano tiempo-frecuencia y las propiedades matemáticas de la representación.

En general, las TFR al proveernos de una representación precisa de la evolución de las señales no estacionarias, ayudan en gran medida a realizar un análisis más completo de las mismas, facilitando su clasificación, modelado, determinación de parámetros y patrones.

Hay que destacar especialmente que no existe una “mejor Transformada”que nos sirva para todos los casos, sino que la elección de uno u otro tipo va a depender no sólo de cual es la señal en análisis, sino también cual es el objetivo que se persigue al realizar la Transformación. Lo importante es conocer lo mejor posible el conjunto de posibilidades que tenemos a mano como así también las limitaciones que presenta cada opción.

En resumen, las distintas TFR nos suministran otra visión de la señal que complementa lo que puede lograrse por otros mecanismos.

155


TABLA I Propiedades de la WVD Propiedades de la función de ambigüedad

),(),( ωω tWVDtWVD xx = ),(),( τϑτϑ −−= AFAFx

( - ) ( - , )xx t to WVD t to ω→ ( - ) ( , ).exp(- )x ox t to AF j tϑ τ ϑ→

( ) exp( ) ( , - )o x ox t j t WVD tω ω ω→ ( ) exp( ) ( , )exp( )o x ox t j t AF jω ϑ τ ω τ→

∫ ==ω

ωω 2)()(),( txtpdtWVD xx ∫ +==ω

ωωϑωϑϑ dXXRAF xx )()()()0,(

∫ ==t

xx XPdttWVD 2)()(),( ωωω ∫ +==t

xx dttxtxRAF )()()(),0( τττ

1 2

1 2

0 ( , ) 0

( ) [ , ][ , ]x

x t si t t tWVD t si t t tω

= ∉ →

= ∉ 1 2

2 1

0 0( ) [ , ]

( , ) -x

x t si t t tAF si t tϑ τ τ

= ∉ →

= >

1 2

1 2

0 0

( ) [ , ]( , ) [ , ]x

X si wWVD t si

ω ω ωω ω ω ω

= ∉

= ∉

→

1 2

2 1

0 0

( ) [ , ]( , ) -x

X siAF siω ω ω ω

ϑ τ ϑ ω ω

= ∉ →

= >

)(),(

),(tf

dtWVD

dtWVD

xx

x

=∫

∫

ω

ω

ωω

ωωω

(frecuencia Instantánea)

)()exp()0,(

)exp(),(

21 0 tf

djtAF

djtAF

j xx

x

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∫

∫=

ϑ

ϑ τ

ϑϑϑ

ϑϑτϑδτδ

π

)(),(

),(ω

ω

ω

x

tx

tx

tdttWVD

dtttWVD=

∫

∫

(group delay)

)()exp(),0(

)exp(),(

21 0 ω

ττωτ

τωττϑδϑδ

πτ

τ ϑx

x

x

tdjAF

djAF

j=

−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−∫

∫=

156


TABLA II Propiedades KERNEL 1 Invariante corrimientos en el tiempo Independiente de la variable tiempo t 2 Invariante corrimiento frecuencia Independiente de la variable ω 3 Real ),( τϑΦ = ),( τϑ −−Φ 4 Marginal en tiempo )0,(ϑΦ =1 5 Marginal en frecuencia ),0( τΦ =1 6 Frecuencia instantánea

)0,(ϑΦ =1; 0),( 0 =Φ =ττϑδτδ

7 Retardo de Grupo (Group delay) 1),0( =Φ τ ; 0),( 0 =Φ =ϑτϑ

δϑδ

8 Positividad ),( τϑΦ es la función de ambigüedad de una función γ(t)

9 Soporte finito en el tiempo 0 1( , ) /tt paraφ τ

τ= > 2

10 Soporte finito en frecuencia 0 1( , ) /para ϑϑ τ

τΦ = > 2

TABLA III Distribución Kernel P

1 P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

P 10

Wigner (WD) 1 x x x x x x x x x Rihaczec 2jϑτexp( / ) x x x x x x ReRihaczec 2ϑτcos( / ) x x x x x x x x x Choi-Williams(CW) 2 2ϑ τ σ−exp( / ) x x x x x x x

Espectrograma

con ventanawA

w tϑ τ( , )

( )

x x x x x

Born-Jordan 2 2sen ϑτ ϑτ( / ) /( / ) x x x x x x x x x Windowed CW 2 W

υ ϑτυ σ υ

=−exp( / )* ( ) x x x x x x x x x

Cono (ZAM) g sen a aτ τ ϑτ ϑ( ) ( ( ) / )τ x x x x x x

157


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