Upload
manolito-lazaro
View
212
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Análisis de Análisis de Problemas de Problemas de Control BinarioControl Binario
D. Patiño, R. MeziatDepartamento de MatemáticasUniversidad de los AndesColombia, 2005
XI Escuela Latinoamericana de Verano en XI Escuela Latinoamericana de Verano en Investigación de OperacionesInvestigación de Operaciones
ContenidoContenido
Introducción
Análisis del problema
Casos de Aplicación
Conclusiones y trabajo futuro
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
IntroducciónIntroducción
Proponemos una forma alternativa para resolver problemas de control óptimo discreto no lineal:
1
0
1 2
0
( , , )
. . ( , , )
, , ,
(0) (1)n
f
Min f x u t dt
s a x g x u t
u u u u
x x x x
Caso I:Caso I: Control discreto, sistema continuo.
1
1 2
0
, ,
. . ( , , )
, , ,
i i i
i i i i
n
N
Min f x u t
s a x g x u t
u u u u
x a x b
Caso II:Caso II: Control discreto, sistema discreto.
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
IntroducciónIntroducción
Dificultades de linealidad:
NO LINEAL:
Integración
Inestabilidad
Caos
Singularidades
Dificultades de convexidad:Dificultades de convexidad:
NO CONVEXO :NO CONVEXO :
No aplica la teoría clásica No aplica la teoría clásica para establecer para establecer existencia de la existencia de la solución.solución.
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
Técnicas clásicas: Análisis por espacio de estados, Control BIG-BANG, Optimización dinámica
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
Análisis del problemaAnálisis del problema
1
1
0
, ,
. . ( , , )i i i
i i i i
N
Min f x u t
s a x g x u t
u u
x a x b
Supongamos el caso donde el control solo toma dos valores:
1
2 2 21 1
0
, ,
. . ( , , )
0
i i i
i i i i
N
Min f x u t
s a x g x u t
h u u u u u u
x a x b
EL PROBLEMA ES NO LINEAL EN EL CONTROL !!!!!
EL PROBLEMA PUEDE NO SER CONVEXO!!!! h(u) ES COERCIVO!
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
Análisis del problemaAnálisis del problema
Para abordar el problema de no linealidad y el de no convexidad, utilizamos una relajación en medidas de probabilidad.
Espacio de control
(Lineal – Convexo en medidas de probabilidad)
)(P
1
0
1
, ,
. . ( , , ) ( )
( ) ( ) 0
i i i
i i i i
i
Min f x t d dt
s t x g x t d
h d
ff
co(co()) fd
Obtenemos un problema definido Obtenemos un problema definido en la envoltura convexa del en la envoltura convexa del espacio de control.espacio de control.
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
Análisis del problemaAnálisis del problema
La convexificación se realiza mediante distribuciones de probabilidad, y a su vez se discretizan por los momentos algebraicos.
N
ii ucuf0
)()(
N
iimcduf0
)(
mmii: Momentos: Momentos
)()( comi
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
Análisis del problemaAnálisis del problema
CARACTERIZACIÓN DE MOMENTOS:
0
21
32
1321
210
NNN
N
N
mmm
mm
mmmm
mmmm
mH
Hankel Semidefinida PositivaProblema de control óptimo con forma lineal para el control con una familia convexa de controles m co()
,0
10
0
min
. . ,
0
n
i i i i im
M
i i i i
i i i
N
c x t m t dt
s t x d x t m t
p m t
x a x b
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
Casos de aplicaciónCasos de aplicación
Planificación de trayectorias.Planificación de trayectorias.
Punto meta
Posibilidades de movimiento:
1. Arriba
2. Abajo
3. Quieto
Casos de aplicaciónCasos de aplicación
2
0
1
min
. .
1,0
N
ii
i i i
i
i i
x
s t x x u
u
x y
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
Formulación:
2
0
1 1,
6, 2,
1, 2, 3,
1, 2, 3, 4,
2, 3, 4, 5,
3, 4, 5, 6,
min
. .
2 0
1
0
N
ii
i i i
i i
i i i
i i i i
i i i i
i i i i
i i
x
s t x x m
m m
m m m
m m m m
m m m m
m m m m
x y
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
Casos de aplicaciónCasos de aplicación
Trayectoria Control
Casos de aplicaciónCasos de aplicación
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
Casos de aplicaciónCasos de aplicación
Control de un motor DC.Control de un motor DC.
R: Resistencia eléctrica del motor.
I: Momento de Inercia
L: Inductancia
K: Torque
i: Corriente
w: Velocidad Angular
Solo acepta tres voltajes a la entrada (+5, -5, 0)
Casos de aplicaciónCasos de aplicación
22 2 2
0
0 0
min
1. .
1,0
0 0
in
in
i V dt
Rs t i i V
L LKi
Lu
i i
Formulación I:
2
2 22
0
1
6 2
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
min
1. .
2 0
1
0
i m t dt
Rs t i i m
L LKi
Lm m
m m m
m m m m
m m m m
m m m m
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
Casos de aplicaciónCasos de aplicación
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
CorrienteVelocidad angular
Control
Casos de aplicaciónCasos de aplicación
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
22
0
0 0
min
1. .
5,0
0 0
in
in
V dt
Rs t i i V
L LKi
Lu
i i
2
2
0
1
6 2
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
min
1. .
25 0
1
0
m t dt
Rs t i i m
L LKi
Lm m
m m m
m m m m
m m m m
m m m m
Formulación II:
Casos de aplicaciónCasos de aplicación
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.
Corriente
Velocidad angular
Control
Los resultados con las técnicas de relajación son buenos y poseen una buena exactitud.
El problema transformado es convexo en el control, por lo cual posee solución (Cesari, 1983)
La señal de control se obtiene a partir del momento central en la serie de momentos de la convexificación.
Aplicaciones fuertes en economía. Próxima meta: Controlar sistemas MIMO (Multiple
Input Multiple Output)
Conclusiones y trabajo Conclusiones y trabajo futurofuturo
Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño,Análisis de Problemas de Control Binario. D. Patiño, R. Meziat, ELAVIO 2005.