Método de Análisis para problemas no lineales de Control óptimo y discreto D. Patiño, R. Meziat Departamento de Matemáticas Universidad de los Andes Colombia,

Método de Análisis Método de Análisis para problemas no para problemas no lineales de Control lineales de Control óptimo y discretoóptimo y discreto

D. Patiño, R. MeziatDepartamento de MatemáticasUniversidad de los AndesColombia, 2005

XV Congreso Nacional de MatemáticasXV Congreso Nacional de Matemáticas

ContenidoContenido

Introducción

Confexificación

Método de los momentos

Casos de Aplicación

Conclusiones y trabajo futuro

Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.

IntroducciónIntroducción

Proponemos una forma alternativa para resolver problemas de control óptimo discreto no lineal:

1

0

1 2

0

( , , )

. . ( , , )

, , ,

(0) (1)n

f

Min f x u t dt

s a x g x u t

u u u u

x x x x

Caso II:Caso II: Control discreto, sistema continuo.


fxxxx

tuxgxas

dttuxfMin

)1()0(

),,(..

),,(

0

1

0

Caso I:Caso I: Control continuo, sistema continuo.


x: Variables de estado del sistema

u: Señal de control


1

1 2

0

, ,

. . ( , , )

, , ,

i i i

i i i i

n

N

Min f x u t

s a x g x u t

u u u u

x a x b

Caso III:Caso III: Control discreto, sistema discreto.

n

u

Rxxx

uxtgxts

xF

00

,,..

1min

Caso IV:Caso IV: Forma de Mayer

1

2

0

0

, , ,

, , ,

Nk

kk

Nk

kk

f x t u a x t u

g x t u c x t u


Dificultades de linealidad:

NO LINEAL:

Integración

Inestabilidad

Caos

Singularidades

Dificultades de convexidad:Dificultades de convexidad:

NO CONVEXO :NO CONVEXO :

No aplica la teoría clásica No aplica la teoría clásica para establecer para establecer existencia de la existencia de la solución.solución.

Técnicas clásicas: Análisis por espacio de estados, Control BIG-BANG, Optimización dinámica



Método de relajación en medidas de probabilidad (MEDIDAS PARAMETRIZADAS SOBRE EL CONTROL

- YOUNG).

)(),,(..

)(),,(1

0

dtxgxas

dtdtxfMin

Espacio de control

(Lineal – Convexo en medidas de probabilidad)

*Pedregal y Muñoz. Universidad de Castilla – La Mancha 1998

)(P


ConvexificaciónConvexificación

Proceso de convexificación en el espacio de control , mediante integración con distribuciones de probabilidad:

ff

co(co())Obtenemos un problema definido Obtenemos un problema definido

en la envoltura convexa del en la envoltura convexa del espacio de control.espacio de control.

fd

*Pedregal y Muñoz.


Método de los momentosMétodo de los momentos

Estructura:

N

ii ucuf0

)()(

mmii: Momentos: Momentos

•Lineal

•Convexa

)()( comi

N

iimcduf0

)(



Estructura polinomial:

Mi

i

Ni

i

utxdtuxg

utxctuxf

0

0

,,,

,,,

M

ii

N

ii

mtxddtxg

mtxcdtxf

0

0

,,,

,,,



Caracterización de momentos

f

M

ii

N

iim

xxxx

tmtxdx

dttmtxc

10

,

,min

0

0

1

0 0

Problema de control óptimo con forma lineal para el control con una familia convexa de controles m co()

0

21

32

1321

210

NNN

N

N

mmm

mm

mmmm

mmmm

mH

Hankel Semidefinida Positiva



Medida en P() m Vector de

momentos

COVEXIFICACICOVEXIFICACIÓNÓN

Convexo Proyección Convexo Proyección ConvexoConvexo

A A BB


Análisis del problemaAnálisis del problema

1

1

0

, ,

. . ( , , )i i i

i i i i

N

Min f x u t

s a x g x u t

u u

x a x b

Supongamos el caso donde el control solo toma dos valores:

1

2 2 21 1

0

, ,

. . ( , , )

0

i i i

i i i i

N

Min f x u t

s a x g x u t

h u u u u u u

x a x b

EL PROBLEMA ES NO LINEAL EN EL CONTROL !!!!!

EL PROBLEMA PUEDE NO SER CONVEXO!!!! h(u) ES COERCIVO!



Para abordar el problema de no linealidad y el de no convexidad, utilizamos una relajación en medidas de probabilidad.

Espacio de control

(Lineal – Convexo en medidas de probabilidad)

)(P

1

0

1

, ,

. . ( , , ) ( )

( ) ( ) 0

i i i

i i i i

i

Min f x t d dt

s t x g x t d

h d

ff

co(co()) fd

Obtenemos un problema definido Obtenemos un problema definido en la envoltura convexa del en la envoltura convexa del espacio de control.espacio de control.



La convexificación se realiza mediante distribuciones de probabilidad, y a su vez se discretizan por los momentos algebraicos.

N

ii ucuf0

)()(

N

iimcduf0

)(

mmii: Momentos: Momentos

)()( comi



CARACTERIZACIÓN DE MOMENTOS:

0

21

32

1321

210

NNN

N

N

mmm

mm

mmmm

mmmm

mH

Hankel Semidefinida PositivaProblema de control óptimo con forma lineal para el control con una familia convexa de controles m co()

,0

10

0

min

. . ,

0

n

i i i i im

M

i i i i

i i i

N

c x t m t dt

s t x d x t m t

p m t

x a x b


Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 11

Modelo:

x

y

S(x)

L

)(sin

cos

xSVy

Vx

Se trata de minimizar la energía del sistema y la cantidad que se aleje de la horizontal


Minimización de energía cinética (Corriente en y):

Lxyx

xSVy

Vxas

dtyxMint

)1(0)0(0)0(

)(sin

cos..

0

22

PROBLEMA PROBLEMA DE CONTROL DE CONTROL NO LINEALNO LINEAL

MÉTODO MÉTODO CLÁSICO CLÁSICO

(HAMILTON(HAMILTON))



)(sincos 221

22

xSpVpVpyxH

apgH T

0

u

Hx

Hp Principio del mínimo de Principio del mínimo de

PoyntriaguinPoyntriaguin

xxp

Vxp

xp

xVy

xp

pVx

24

4

4

2

4

221

1

221

221

1

RUNGE-KUTTA 4RUNGE-KUTTA 4toto ORDEN ORDEN


Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 1 – Método clásico1 – Método clásico

t vs X t vs t vs X t vs YY

X vs X vs YY



Lxyx

xSVy

Vxas

dtyxMint

)1(0)0(0)0(

)(sin

cos..

0

22

PROBLEMA DE PROBLEMA DE CONTROL NO CONTROL NO

LINEALLINEAL

RELAJACIÓN RELAJACIÓN CONVEXACONVEXA

PROGRAMA PROGRAMA MATEMÁTICO MATEMÁTICO

CONVEXOCONVEXO



Lxyx

xVy

Vxas

dtyxMin

)1(0000

1

..

22

22

Base trigonométrica

Matriz de TOEPLITZ semidefinida positiva

1

)(

)(

0

0

1

1

11

01

10

m

mimag

mreal

mm

mm

mm


Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 1 – Nueva propuesta1 – Nueva propuesta

t vs X t vs X t vs t vs YY

X vs X vs YY

t vs Xt vs X

t vs Yt vs Y

COMPARACION CON EL MÈTODO HABITUAL

i

iii x

xxe

0758.00555.0

1184.001047.022

YX

YX

Estimación del Error



Lxyx

xSVy

ySVxas

dtyxMint

)1(0)0(0)0(

)(sin

)(cos..

0

22

Minimización de energía cinética (Corriente en x, y):


x

y

L


PRINCIPIO DEL PRINCIPIO DEL MÍNIMO DE MÍNIMO DE

POYNTRIAGUINPOYNTRIAGUIN

1222

1221

222

22

22

22

22

pyV

p

pyV

p

pxV

y

yVx

RUNGE-KUTTA 4RUNGE-KUTTA 4toto ORDENORDEN

2

1

2

2

px

py


x

y

L


0)0(00

1

..

22

0

22

yLtxx

xVy

yVxas

dtyxMint

BASE DE LA RELAJACIÓN: {1,eit,e-it}

Lxyx

xVy

yVxas

dtyxMin

10000

sin

cos..

1

0

22



t vs X

t vs Y

20 puntos

30 puntos



# puntos

20 puntos

0.1315 0.0542 0.1432 0.0595

30 puntos

0.0961 0.0385 0.1019 0.0439

40 puntos

0.0773 0.0301 0.1010 0.0366

X 2X Y 2

Y



Ltxyx

xxSxSVy

Vxas

dtyMint

)(0)0(0)0(

)()(sin

cos..

0

2

xp

pp

Vpy

pp

Vpx

2

22

21

2

22

21

1

Lxyx

xVy

Vxas

dtyMint

)1(0)0(0)0(

1

..

22

0

2

EDOs

NO LINEALES

PROBLEMA DE CONTROL CONVEXO


Ejemplos trigonométricos Ejemplos trigonométricos 3 – Minimizar trayectoria3 – Minimizar trayectoria

t vs t vs XXt vs Yt vs Y

X vs YX vs YCOMPARACIÓN

CON PMP



# puntos

20 puntos

0.0765 0.0201 0.1012 0.0435

30 puntos

0.0645 0.0123 0.0812 0.0329

40 puntos

0.0443 0.011 0.0810 0.0387

X 2X Y 2

Y



Ejemplos polinomiales 1 – Ejemplos polinomiales 1 – Seguimiento de Seguimiento de trayectoriatrayectoria

12

0

2

10 |

. .

(0) 0

Min x t dt

s t x u ux x

x

1

2

0

2 1

0 1

1 2

10

. .

0

(0) 0

Min x t dt

s t x m m x x

m m

m m

x

22

11

12 1

0 10

1 2

10 10 12

. .

0 0

(0) 0

N

r rr

r rr r

hMin x rh x r h

x xs t m r m r x x

hm m

xm m

x


t vs X

Control signal



* * ?k

km u



Ejemplos polinomiales 2Ejemplos polinomiales 2

10

22

0

2

|

. .

(0) 0

Min x t dt

s t x u ux x

x

10

22

0

2 1

0 1

1 2

. .

0

(0) 0

Min x t dt

s t x m m x x

m m

m m

x

22 22

11

12 1

0 10

1 2

12

. .

0 0

(0) 0

N

r rr

r rr r

hMin x rh x r h

x xs t m r m r x x

hm m

xm m

x


t vs X

Control signal

Ejemplos polinomiales 2Ejemplos polinomiales 2


12 2

0

22 2

min

. .

1

0 0 0 0

u tx t y t dt

s t x u

y u x

x y

12 2

,0

1

22 4

1 2

1 2 3

2 3 4

min

. .

1 2

1

0

0 0 0 0

m xx t y t dt

s t x m

y m m x

m t m t

m t m t m t

m t m t m t

x y

2 22 2

1 1, ,

1

11

212 4

1 2

1 2 3

2 3 4

0 0

min 1 12

. .

1 2

1

0

0 0

N

r r r rm x y

r

r r

r r

hx rh y rh x r h y r h

x xs t m

hy y

m m xh

m r m r

m r m r m r

m r m r m r

x y

Ejemplos polinomiales 3 – Ejemplos polinomiales 3 – Sistema multivariableSistema multivariable


* * ?k

km u



12

0

22

min 1

. .

0 0

1

u tu x t dx x

s t x u

x

u u

12

2 4

0

1

min 1 2 1

. .

0 0

u tm m x t dx x

s t x m

x

NO EXISTE NO EXISTE MINIMIZADOR!!MINIMIZADOR!!

Ejemplos polinomiales 4 – Ejemplos polinomiales 4 – Existencia de minimizadorExistencia de minimizador


t vs X

t vs Y

Control signal



Casos de aplicación Casos de aplicación discretodiscretoPlanificación de trayectorias.Planificación de trayectorias.

Punto meta

Posibilidades de movimiento:

1. Arriba

2. Abajo

3. Quieto


Casos de aplicación Casos de aplicación discretodiscreto

2

0

1

min

. .

1,0

N

ii

i i i

i

i i

x

s t x x u

u

x y

Formulación:

2

0

1 1,

6, 2,

1, 2, 3,

1, 2, 3, 4,

2, 3, 4, 5,

3, 4, 5, 6,

min

. .

2 0

1

0

N

ii

i i i

i i

i i i

i i i i

i i i i

i i i i

i i

x

s t x x m

m m

m m m

m m m m

m m m m

m m m m

x y



Trayectoria Control




Casos de aplicación Casos de aplicación discretodiscretoControl de un motor DC.Control de un motor DC.

R: Resistencia eléctrica del motor.

I: Momento de Inercia

L: Inductancia

K: Torque

i: Corriente

w: Velocidad Angular

Solo acepta tres voltajes a la entrada (+1, -1, 0)



22 2 2

0

0 0

min

1. .

1,0

0 0

in

in

i V dt

Rs t i i V

L LKi

Lu

i i

Formulación I:

2

2 22

0

1

6 2

1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

min

1. .

2 0

1

0

i m t dt

Rs t i i m

L LKi

Lm m

m m m

m m m m

m m m m

m m m m



Corriente Velocidad angular

Control



22

0

0 0

min

1. .

5,0

0 0

in

in

V dt

Rs t i i V

L LKi

Lu

i i

2

2

0

1

6 2

1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

min

1. .

25 0

1

0

m t dt

Rs t i i m

L LKi

Lm m

m m m

m m m m

m m m m

m m m m

Formulación II:



Corriente

Velocidad angular

Control


Los resultados con las técnicas de relajación son buenos y poseen una buena exactitud.

El problema transformado es convexo en el control, por lo cual posee solución (Cesari, 1983)

La señal de control se obtiene a partir del momento central en la serie de momentos de la convexificación.

Aplicaciones fuertes en economía. Próxima meta: Controlar sistemas MIMO (Multiple

Input Multiple Output)

Conclusiones y trabajo Conclusiones y trabajo futurofuturo


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