Si bien con lo estudiado hasta ahora pueden resolverse gran
nmero de estructuras, existen algunas situaciones particulares que
exigen el conocimiento se unas tcnicas complementarias de anlisis
matricial que van a ser estudiadas.En una estructura pueden existir
condiciones de contorno en algunos grados de libertad cuyas
direcciones son no concordantes con los ejes globales, ser pues
necesario en ellos definir unas nuevas coordenadas, llamadas
nodales y realizar la transformacin del sistema de ecuaciones.Todas
las estructuras vistas hasta ahora estaban soportadas por apoyos
infinitamente rgidos que impedan uno o ms movimientos del nudo
totalmente. En algunas ocasiones se presentan apoyos elsticos en
los que los movimientos so son nulos sino proporcionales a la
fuerza que se desea transmitir.A continuacin se van a exponer los
fundamentos y aplicaciones de la condensacin elstico, que es una
tcnica numrica que se utiliza para desacoplar unos grados de
libertad de otros as como dos de sus aplicaciones ms comunes: las
borras con libertades y las subestructuras o macro elementos.A
veces adems de existir sobre la estructura unas condiciones de
contorno de fuerzas y desplazamientos, es necesario que para la
mejor modelizacin de la realidad se impongan ligaduras entre grados
de libertad, un ejemplo de ello puede ser los elementos o conjuntos
mucho ms rgidos que el resto de la estructura.
Condiciones de contorno no concordantes Para analizar una
estructura como la de la figura en la que en el nudo es A es precio
imponer una condicion de contorn en este caso en desplazamiento, no
concordante con los ejes globales, sera necesario definir unos ejes
nodales en la direccion de dicha condicion de contorno. La relacion
existente entre estas ordenadas y las globales vendra dada por:
Si la estructura fuera un portico plano los vectores y matrices
de la ecuacion anterior serian:
Siendo facil extrapolar a otro tipo de estructuras.Las fuerzas
sobre dicho nuedo tambien podran expresar analogamente.
Y por lo tanto la ecucion matricial de equilibrio a ese nudo,
expresada en coordenadas globales podra ser modificada de la
siguiente forma.
Habiendo recogido en el sumatorio con la posibilidad de que
puedan existir otros nudos con coordenadas nodales, no
necesariamente iguales a las del i, de forma que si en nodo j las
coordenadas globales son idnticas a las nodales en la matriz
identidad.La expresion anterior equivale a premultiplicar por el
grupo de filas correspondientes a las ecuuaciones de equilibrio del
nudo no concordante, y postmultiplicar por el grupo de columnas que
multiplica a los grados de libertad de dicho nudo.Estas
transformaciones pueden hacerse a nivel elemental y expresar
directamente las ecuciones de cada elemento en coordenadas nodale.
Para ello se tendra en cada etremo del elemnto de una matriz de
tranformacion distinta ya que en el caso general las coordendas
nodales de los dos extremo del elemento pueden ser diferentes, asi
las fuerzas y movimientos elementales con coordenadas nodales
sern
Convirtiendo la ecuacion matricial en coordenadas locales
nodales aprovechando la ortogonalidad de las matrices de
tranformacin.
Siendo
Apoyos elasticos.
Subestructuracin.El procedimiento de Subestructuracin sirve para
disminuir el gran trabajo computacional que representa en estudio
de las estructuras muy compleja, y consiste en descomponerla en
partes, denominadas subestructuras, que se estudian por separado,
pero teniendo en cuenta su interaccin, si observamos la estructura
plana de la fig. podemos ver que est descompuesta en tres
subestructuras A, B y C. estudiaremos la subestructura B aislndolo
del resto, segn se muestra, en la que se indican los corrimientos
de los nodos de sus bordes.Si designamos: por el vector columna EB
TODOS LOS CORRIMIENTOS generalizados interiores y de borde de la
subestructura B, por 1B es de los corrimientos de los nodos de
borde y por 2B los corrimientos de los nodos por FEB el vector de
cargas total de la subestructura B, de las que representamos por
F1B las fuerzas elsticas nodales que ejercen la subestructura A y C
contra la subestructura B, y por:
Las cargas nodales de sus puntos interiores y finalmente, por
KEB la matriz de rigidez global de la subestructura B, obtenida
ensamblando las matrices de sus elementos, podemos escribir:
Y en forma particionada:
Podemos escribir:
Si despejamos de la segunda ecuacin, tendremos expresados los
corrimientos interiores en funcin de los exteriores as:
