Analisis Rekayasa

7-14 The Electrocomp Corporation memproduksi dua produk listrik: AC dan

kipas besar. Proses perakitan untuk masing-masing serupa bahwa keduanya

membutuhkan sejumlah kabel dan pengeboran. Setiap AC memakan waktu

3 jam dari kabel dan 2 jam pengeboran. Setiap kipas harus melalui 2 jam

pemasangan kabel dan 1 jam pengeboran. Selama periode produksi

berikutnya, 240 jam waktu kabel yang tersedia dan hingga 140 jam waktu

pengeboran dapat digunakan. Setiap yang kondisioner yang dijual

menghasilkan keuntungan sebesar $25. Setiap kipas dirakit dapat dijual

untuk $15 profit. Merumuskan dan memecahkan situasi ini campuran

produksi LP untuk menemukan kombinasi terbaik dari AC dan kipas yang

menghasilkan keuntungan tertinggi. Gunakan corner point graphical

approach.

Penyelesaian :

Maximize Profit = 25X1 + 15X2

Constrain = 3X1 + 2X2 ≤ 240

2X1 + 1X2 ≤ 140

Didapatkan; X1 = 40 , X2 = 60

Sehingga, MP = 25X1 + 15X2 = 25.40 + 15.60 = $1900

7-15 Manajemen Electocamps ini menyadari bahwa itu lupa untuk menyertakan

dua kendala kritis (lihat Soal 7-14). Secara khusus, manajemen

memutuskan bahwa harus ada jumlah minimum AC yang diproduksi untuk

memenuhi kontrak. Juga, karena kelebihan pasokan penggemar di periode

sebelumnya, batas harus ditempatkan pada jumlah kipas yang dihasilkan.

a. Jika Electrocomp memutuskan bahwa setidaknya 20 AC harus

diproduksi tetapi tidak lebih dari 80 penggemar harus diproduksi, apa

yang akan menjadi solusi optimal? Berapa banyak slack ada untuk

masing-masing empat constraint?

Penyelesaian :

Pada penyelesain kali ini menggunakan software QM. Berikut hasil

perhitungannya,

Electrocomp's Management

Linear, Integer and Mixed Integer Programming

Signs< less than or equal to= equals (You need to enter an apostrophe first.)> greater than or equal to

Data Results Problem setup areaAC LF LHS Slack/Surplus

Objective 25 15 sign RHS 1700Constraint 1 3 2 < 240 220 20 220 240 0 0Constraint 2 2 1 < 140 120 20 120 140 0 0Constraint 3 1 0 >= 20 20 1,10845E-11 20 20 20 20Constraint 4 0 1 < 80 80 7,67386E-13 80 80 0 0

ResultsVariables 20 80Objective 1700

-A- SLACKConstrain AC <= 20 1700 -0Tambahan LF >= 80

< constraints > constraints

Diperoleh Slack = $0

b. Jika Electrocomp memutuskan bahwa setidaknya 30 AC harus

diproduksi tetapi tidak lebih dari 50 penggemar harus diproduksi, apa

yang akan menjadi solusi optimal?

Penyelesaian :

Pada penyelesain kali ini juga menggunakan software QM. Berikut hasil

perhitungannya,

Electrocomp's Management

Linear, Integer and Mixed Integer Programming


Data Results Problem setup areaAC LF LHS Slack/Surplus

Objective 25 15 sign RHS 1500Constraint 1 3 2 < 240 190 50 190 240 0 0Constraint 2 2 1 < 140 110 30 110 140 0 0Constraint 3 1 0 >= 30 30 0 30 30 30 30Constraint 4 0 1 < 50 50 0 50 50 0 0

ResultsVariables 30 50Objective 1500

-B- SLACKConstrain AC <= 30 1500 0Tambahan LF >= 50


Diperoleh Slack = $0

7-19 MSA Computer Corporation memproduksi dua model minicomputer, Alpha

4 dan Beta 5. Perusahaan mempekerjakan lima teknisi, bekerja 160 jam per

bulan masing-masing, pada baris perakitan. Manajemen bersikeras bahwa

kesempatan kerja penuh (yaitu, semua 160 jam waktu) dipertahankan untuk

setiap pekerja selama operasi bulan depan. Hal ini membutuhkan 20 jam

kerja untuk merakit setiap Alpha 4 komputer dan 25 jam kerja untuk

merakit setiap Beta 5 Model. MSA ingin melihat setidaknya 10 Alpha 4s

dan setidaknya 15 5s Beta dihasilkan selama masa produksi. Alpha 4s

menghasilkan $1200 keuntungan per unit, dan 5s Beta menghasilkan

$1.800 masing-masing. Tentukan jumlah paling menguntungkan dari setiap

model komputer mini untuk menghasilkan selama bulan mendatang.

Penyelesaian :

Maximize Profit = 1200X1 + 1800X2

Constrain = 20X1 + 25X2 ≤ 800 (semua teknisi digunakan)

X1 ≥ 10

X2 ≥ 15

Perhitungan menggunakan software POM QM, didaptkan lah hasil seperti

berikut ini,

Dengan memproduksi jumlah Alpha 4 minimal (10 unit) dan

memaksimalkan jumlah Beta 5 (24 unit) akan didapatkan profit sebesar

$55.200

7-24 Perusahaan pialang saham Blank, Leibowitz, dan Weinberger telah

menganalisis dan merekomendasikan dua saham ke klub para investor dari

dosen. Para profesor yang tertarik pada faktor-faktor seperti pertumbuhan

jangka pendek, pertumbuhan menengah, dan tingkat dividen. Data ini pada

masing-masing saham adalah sebagai berikut:

Factor

Stock ($)Louisiana Gas and

PowerTrimex Insulation

CompanyShot-term growth potential, per dollar invested

0,36 0,24

Intermediate growth potential (over next three years), per dollar invested

1,67 1,50

Dividend rate potential 4% 8%Setiap anggota klub memiliki tujuan investasi (1) apresiasi tidak kurang

dari $720 dalam jangka pendek, (2) penghargaan minimal $5000 dalam tiga

tahun ke depan, dan (3) pendapatan dividen minimal $200 per tahun. Apa

investasi terkecil yang profesor dapat lakukan yang memenuhi tiga tujuan

tersebut?

Penyelesaian :

Maximize = X1 + X2

Constraint = 0,36X1 + 0,24X2 ≥ 720

1,67X1 + 1,50X2 ≥ 5000

0,04X1 + 0,08X2 ≥ 200

Penyelesain menggunakan software QM, dengan hasil seperti berikut :Linear, Integer and Mixed Integer Programming


Data Results Problem setup areax 1 x 2 LHS Slack/Surplus

Objective 1 1 sign RHS 3179,348Constraint 1 0,36 0,24 > 720 926,087 -206,0870 0 0 926,09 720Constraint 2 1,67 1,5 >= 5000 5000 0 5000 5000 5000 5000Constraint 3 0,04 0,08 >= 200 200 0 200 200 200 200

ResultsVariables 1359 1820,652Objective 3179,348


Didapatkan hasil X1=1359,696 dan X2=1820,652 dengan smallest

investment $3179,348.

7-27 Pertimbangkan empat formulasi LP berikut. Menggunakan pendekatan

grafis, menentukan

Persamaan 1Maximize 10X1 + 10X2

subject to 2X1 ≤ 10 2X1 + 4X2 ≤ 16 4X2 ≤ 8 X1 = 6


subject to X1 + X2 ≥5 X1 ≥ 2 2X2 ≥8

Persamaan 2Maximize X1 + 2X2

subject to X1 ≤ 1 2X2 ≤ 2 X1 + 2X2 ≤ 2


subject to 4X1 + 6X2 ≤ 48 4X1 + 2X2 ≤ 12 3X2 ≥ 3 2X1 ≥ 2

a. Persamaan mana yang memiliki lebih dari satu solusi optimal ?

Persamaan 3.

b. Persamaan mana yang tak terbatas ? Persamaan 3.

c. Persamaan mana yang tidak memiliki solusi yang layak ? Persamaan 1.

d. Persamaan mana yang benar adanya ? Persamaan 4 dan persamaan 2.

7-28 Buatlah grafik masalah LP berikut dan menunjukkan titik solusi optimal:

Maximize profit = $3X + $2Y

subject to 2X + Y ≤ 150

2X + 3Y ≤ 300

Terlihat dari grafik diatas, bahwa titik optimum terdapat pada titik (4,0)

dengan nilai Maximize Profit, $12.

a. Apakah perubahan solusi optimal jika laba per unit perubahan X untuk

$4,50 ?

Persamaan solusi optimal pada variabel X di ganti menjadi $4,50

sehingga terjadi perubahan pada nilai Maximize Profit, yaitu $18. Titik

optimum tetap terdapat pada titik (4,0).

b. Apa yang terjadi jika fungsi laba seharusnya $3X + $3Y?

Persamaan solusi optimal diganti menjadi $3X + $3Y, sehingga terjadi

perubahan pada titik optimum ( X=2 dan Y=3 ) dan pada nilai Maximize

Profit, yaitu $15.

7-31 Pertimbangkan masalah LP berikut:

Maximize profit = 5X + 6Y

subject to 2X + Y ≤ 120

2X + 3Y ≤ 240

X,Y ≥ 0

a. Apa solusi optimal untuk masalah ini? Pecahkan dengan grafis.

Terlihat dari grafik diatas, bahwa titik optimum terdapat pada titik

(30,60) dengan nilai Maximize Profit, $510.

b. Jika terobosan teknis terjadi yang mengangkat laba per unit X $8, akan

mempengaruhi solusi optimalnya?

Persamaan solusi optimal pada variabel X di ganti menjadi $8 sehingga

terjadi perubahan pada nilai Maximize Profit, yaitu $600. Titik optimum

tetap terdapat pada titik (30,60).

c. Alih-alih peningkatan laba koefisien X untuk $8, anggaplah bahwa

keuntungan yang berlebihan dan seharusnya hanya menjadi $3. Apakah

perubahan ini solusi optimal?

Persamaan solusi optimal variabel X dianggap berlebihan sehingga

diganti menjadi X = $3, terjadi perubahan pada titik optimum ( X=0 dan

Y=80 ) dan pada nilai Maximize Profit, yaitu $480.

7-37 Bhavika Investasi, sekelompok penasihat keuangan dan perencana pensiun,

telah diminta untuk memberikan saran tentang cara untuk berinvestasi

$200.000 untuk satu klien. Klien telah menetapkan bahwa uang tersebut

harus dimasukkan ke dalam baik dana saham atau reksa dana pasar uang,

dan kembali tahunan harus setidaknya $14.000. Kondisi lain yang

berhubungan dengan risiko juga telah ditentukan, dan program linear

berikut ini dikembangkan untuk membantu dengan keputusan investasi ini:

Minimize risk = 12S + 5M

Subject to

S + M = 200000 total investment is $200000

0,10 S + 0,05M ≥ 14000 return must be at least $14000

M ≥ 40000 at least $40000 must be in money market

fund

S, M ≥ 0

Where

S = dollars invested in stock fund

M = dollars invested in money market fund

Hasil dari Excel QM for Windows terlampir,

a. Berapa banyak uang yang akan diinvestasikan didana saham atau reksa

dana pasar uang. Berapa total resiko dari keduanya ? Stock Fund sebesar

$80000, money market fund sebesar $120000, dan total risk sebesar

$156000.

b. Apa itu total of return ? What rate of return is this ?

c. Apakah solusi akan berubah jika ukuran risiko untuk setiap Dolar dalam

dana saham adalah 14, bukan 12 ? Berubah, pada total risk menjadi

$172000.

d. Untuk setiap tambahan yang tersedia, berapa banyak yang dapat

mengubah risiko? Dua, pada constraint 1 dan 2 karena nilai slack/surplus

bernilai 0 yang berarti pada batasan tersebut memiliki kesensitivan yang

besar.

e. Apakah solusi akan berubah jika jumlah dari investasi atau reksa dana

pasar diganti dari $40000 menjadi $50000 ? Tidak ada perubahan,

karena pada garis money market fund masih berada jauh dari titik

optimal sehingga tidak berpengaruh terhadap total resikonya.

8-15 (Masalah perencanaan produksi pertanian ) Keluarga Margaret Black

memiliki lima bidang lahan pertanian rusak ke north sector, northwest

sector, west sector, and southwest sector. Margaret terlibat terutama dalam

menumbuhkan gandum, alfalfa, tanaman barley dan saat ini sedang

mempersiapkan rencana produksi nya untuk tahun depan. The Pennsylvania

Otoritas Air baru saja mengumumkan Water Authority tahunannya baru

saja mengumumkan penjatahan air tahunannya, dengan Black pertanian

menerima 7400 acre-feet. Setiap paket hanya dapat mentolerir jumlah

tertentu irigasi per musim tanam, sebagaimana ditentukan dalam tabel

berikut:

Parcel Area Water Irrigation Limit(Acres) (Acres-Feet)

Southeast 2000 3200North 2300 3400Northwest 600 800

West 1100 500Southwest 500 600

Setiap tanaman Margaret membutuhkan jumlah minimum air per hektar,

dan ada batas proyeksi penjualan masing-masing tanaman. Data tanaman

sebagai berikut:

Crop Maximum Sales Water Needed per Acre(Acres-Feet)

Wheat 110000 bushels 1,6Alfalfa 1800 tons 2,9Barley 2200 tons 3,5

Estimasi terbaik Margaret adalah bahwa dia dapat menjual gandum di laba

bersih sebesar $2 per bushel, alfalfa pada $40 per ton, dan barley $50 per

ton. Satu hektar lahan menghasilkan rata-rata 1,5 ton alfalfa dan 2,2 ton

barley. Hasil panen gandum adalah sekitar 50 bushel per acre.

a. Merumuskan rencana produksi Margaret

misal : wheat (X1), Alfalfa (X2), Barley (X3)

asumsi : X1 , X2 , X3 adalah bilangan bulat, karena satuan terkecil yang

digunakan adalah 1 acre

maximize profit = 2 X1 + 40 X2+ 50 X3

Subject to = X1 ≤ 110,000

X2 ≤ 1,800

X3 ≤ 2,200

X1 + X2 + X3 ≤ 6,500 (luas lahan tersedia)

1.6 X1 + 2.9 X2 + 3.5 X3 ≤ 8,500 (jumlah air tersedia)

X1, X2, X3 ≥ 0

b. Apa yang harus rencana tanaman, dan apa keuntungan itu akan

menghasilkan?

Perhitungan pada problem ini menggunakan software POM-QM, yang

menghasilkan :

Wheat = 0 Alfalfa = 277 Barley = 2199 Max. provit = $121,030

Berikut adalah gambar dari hasil perhitungan menggunakan POM-QM.

c. Otoritas air menginformasikan Margaret bahwa, untuk biaya khusus

$6.000 tahun ini, peternakannya akan memenuhi syarat untuk penjatahan

tambahan 600 kaki acre air. Bagaimana dia harus bersikap?

Dengan penambahan biaya $6,000 dolar akan memberikan tambahan air

sebesar 600 acre-feet. Maka dari itu perlu dihitung apakah keuntungan

yang didapat lebih besar daripada biaya tambahan yang dikeluarkan atau

tidak.

ΔProfit = $129,300 - $121,030 =$8,270

Berarti dengan penambahan $6,000, keuntungan bersih yang didapatkan

adalah:

$8,270 > $6000

Profit yang didapatkan lebih besar dari biaya tambahan yang dikeluarkan

maka sebaiknya Margaret mengambil kesempatan tersebut.

8-16 Material blending problem) Produk Amalgamated hanya menerima kontrak

dalam pembuatan konstruksi rangka baja untuk automobiles yang akan

memproduksi the new Japanese factory di Tennessee. Japanese auto

manufactor memiliki standar kualitas kontrol yang tepat untuk semua

subkontraktor dan telah memberi tahu bahwa masing-masing rangka harus

memiliki kandungan sebagai berikut :

Material Minimum MaximumPercentage Percentage

Manganese 2,1 2,3Silicon 4,3 4,6Carbon 5,05 5,35

Amalgamated mencampur dari delapan material yang tersedia untuk

memproduksi satu ton rangka baja. Detail dari material terdapat pada tabel

berikut :

Material MangeneseSilicon Carbon

Pounds Cost PerAvailable (%) Availabl

ePounds ($)

Alloy 1 70.0 15.0 3.0 No limit 0,12Alloy 2 55.0 30.0 1.0 300 0,13Alloy 3 12.0 26.0 0 No limit 0,15Iron 1 1.0 10.0 3.0 No limit 0,09Iron 2 5.0 2.5 0 No limit 0,07Carbide 1 0 24.0 18.0 50 0,10Carbide 2 0 25.0 20.0 200 0,12Carbide 3 0 23.0 25.0 100 0,09

Formulasikan dan selesaikan model LP tersebut, akan menjelaskan berapa

banyak masing-masing dari 8 material akan dicampur ke dalam 1-ton baja

sehingga ditemukan biaya minimumnya.

Answer :

Variables : x1 = Alloy 1

x2 = Alloy 2

x3 = Alloy 3

x4 = Iron 1

x5 = Iron 2

x6 = Carbide 1

x7 = Carbide 2

x8 = Carbide 3

Constrain :

70 x1 + 55 x2 +12 x3+1 x4+5 x5 ≤ 4200

15 x1 + 30 x2 +26 x3+10 x4+2,5 x5 +24 x6 +25 x7 +23 x8 ≤ 8600

3 x1 + 1 x2 +3 x4+18 x6+20 x7+25 x8 ≤ 10100

Perhitungan dilakukan menggunakan software Excel QM, dengan hasil

sebagai berikut :

Dari hasil diatas, pada box dikatakan bahwa “Solver Could not find a feasible solution“ , karena dapat diperkirakan bahwa garis

tidak saling bersinggungan sehingga tidak dapat membentuk wilayah yang feasible.

10-13Sebuah maskapai penerbangan memiliki armada penuaan Boeing 737

pesawat jet. Hal ini mempertimbangkan pembelian besar hingga 17 Boeing

model baru 757 dan 767 jet. Keputusan harus memperhitungkan berbagai

biaya dan kemampuan faktor, termasuk yang berikut:

1. maskapai dapat membiayai hingga $ 1,6 miliar dalam pembelian

2. masing-masing Boeing 757 akan biaya $80 juta dan masing-masing

Boeing 767 akan biaya $110.000.000

3. setidaknya sepertiga dari pesawat yang dibeli harus semakin lama jarak

757.

4. anggaran pemeliharaan tahunan adalah tidak lebih dari $8 juta

5. biaya pemeliharaan tahunan per 757 diperkirakan $800.000

6. masing-masing 757 dapat membawa 125.000 penumpang per tahun,

sedangkan masing-masing 767 bisa terbang 81000 penumpang per

tahun.

Merumuskan ini dengan integer programming untuk memaksimalkan

kemampuan membawa penumpang. Apa kategori masalah integer

progamming ini? Pecahkan masalah ini.

Penyelesaian:

misal: - Boeing 757 = X

- Boeing 767 = Y

- jumlah pesawat adalah bilangan bulat (integer) karena satuan

terkecil adalah 1 pesawat

Maximize capacity = 125,000X + 81,000Y

Constraint

80X + 110Y ≤ 1600 (in million) Financial

X ≥ 1/3 (X+ Y) 2X - Y ≥ 0 Jumlah Pesawat

0.8X + 0.5Y ≤ 8 (in million) Maintenance Cost

Jumlah pesawat harus dalam bentuk integer (semua variabel harus dalam

bentuk integer), maka kasus ini termasuk dalam pure integer

programming.

Perhitungan menggunakan software POM-QM, yang dapat dilihat pada

gambar berikut:

Dari gambar diatas dapat dilihtan bahwa, didapatkan titik optimal pada

(X=5 dan Y=8) dan maximice capacity sebesar 1,273,000 penumpang.

10-16Innis Construction Company mengkhususkan diri dalam membangun

rumah sedang dengan harga di Cincinnati, Ohio, Tom Innis telah,

mengidentifikasi delapan lokasi yang potensial untuk membangun baru

tempat tinggal keluarga tunggal, tapi dia tidak bisa memasang rumah di

semua situs karena ia hanya memiliki $300.000 untuk berinvestasi dalam

semua proyek. Tabel terlampir menunjukkan biaya membangun rumah di

daerah masing-masing dan keuntungan diharapkan akan dibuat dari

penjualan setiap rumah. Perhatikan bahwa biaya pembangunan rumah

sangat berbeda karena biaya banyak, persiapan lokasi, dan perbedaan dalam

model yang akan dibangun. Perhatikan juga bahwa sebagian kecil dari

rumah tidak bisa dibangun.

Location Cost of Building Expected Profit($) ($)

Clifton 60000 5000Mt. Auburn 50000 6000Mt. Adams 82000 10000Amberly 103000 12000Norwood 50000 8000Covinfton 41000 3000Roselawn 80000 9000Eden Park 69000 10000

a. Formulasikan problem Innis menggunakan program integer 0-1.

Misalkan :

X1 = Clifton X4 = Amberly X7 = Roselawn

X2 = Mt. Auburn X5 = Norwood X8 = Eden Park

X3 = Mt. Adams X6 = Covinfton

Maximize profit = 5X1 + 6X2 + 10X3 + 12X4 + 8X5 + 3X6 + 9X7 + 10X8

Subject to

60X1 + 50X2 + 82X3 + 103X4 + 50X5 + 41X6 + 80X7 + 69X8 ≤ 300

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 ≥ 0

b. Hitung menggunakan QM for Windows atau Excel.

Dapat dilihat dari gambar diatas yang merupakan hasil dari perhitungan

menggunakan software POM-QM, didapatkan solusi optimalnya adalah

dengan mengerjakan proyek di tempat-tempat berikut: Mt. Aubum, Mt.

Adams, Norwood, Covington, Eden Park.

Dari pengerjaan proyek di lima tempat diatas, maka Innis akan

mendapatkan profit sebesar $37,000

10-17Seorang pengembang real estate sedang mempertimbangkan tiga proyek

mungkin: kompleks kecil apartemen, pusat perbelanjaan kecil, dan mini-

warehouse. Masing-masing membutuhkan dana yang berbeda selama dua

tahun ke depan, dan net present value dari investasi juga bervariasi. Tabel

berikut jumlah yang diperlukan investasi (dalam $1000) dan net present

value (NPV) dari masing-masing (juga disajikan dalam $1000).

NPVInvestment

Year 2 Year 1

Apartment 18 40 30

Shopping center 15 30 20

Mini-warehouse 14 20 20

Perusahaan itu memiliki $80000 untuk diinvestasikan pada tahun pertama

dan $50000 pada tahun kedua.

a. Kembangkan model integer programming untuk memaksimalkan NPV

dalam situasi ini.

Maximize = 18X1 + 15X2 + 14X3

Subject to = 40X1 + 30X2 + 20X3 ≤ 80000

30X1 + 20X2 + 20X3 ≤ 50000

b. Hitung problem pada bagian (a) menggunakan software. Manakah dari

tiga proyek akan dilakukan jika NPV dimaksimalkan? Berapa banyak

uang yang akan digunakan setiap tahun?

Dapat dilihat dari hasil sofware POM-QM diatas, proyek yang akan

dilakukan jika NPV dimaksimalkan adalah satu proyek pada masing

masing proyek apartement(X1) dan shopping centre (X2).

Keuntungan yang didapat setiap tahun jika NPV dimaksimalkan dan

membangun proyek pada dua tempat tersebut, akan didapatkan

keuntungan sebesar :

Tahun 1 = 40X1 + 30X2 + 20X3 = 40.1 + 30.1 + 20.0 = 70 = $70000

Tahun 2 = 30X1 + 20X2 + 20X3 = 30.1 + 20.1 + 20.0 = 50 = $50000

10-19Triangle Utilities menyediakan listrik untuk tiga kota. Perusahaan ini

memiliki empat listrik. Generator utama beroperasi 24 jam per hari, dengan

menutup sesekali turun untuk pemeliharaan rutin. Tiga generator lain (1, 2,

dan 3) yang tersedia untuk memberikan tenaga tambahan bila diperlukan.

Sebuah biaya startup tersebut terjadi setiap kali salah satu dari generator ini

dimulai. Biaya startup adalah $6.000 untuk 1, $5000 untuk 2, dan $4000

untuk 3 generator ini digunakan dengan cara berikut: Sebuah generator

dapat dimulai pada 06:00 am dan menjalankan baik untuk 8 jam atau 16

jam, atau dapat dimulai pada 2:00 pm dan berjalan selama 8 jam (sampai

10:00 pm). Semua generator kecuali generator utama ditutup pada 10:00

pm. Prakiraan menunjukkan perlunya 3200 megawatt lebih dari yang

disediakan oleh generator utama sebelum 02:00 pm, dan kebutuhan ini naik

menjadi 5700 megawatt 02:00-10:00 pm Generator 1 akan menyediakan

hingga 2.400 megawatt, pembangkit 2 akan menyediakan hingga 2.100

megawatt dan generator 3 akan menyediakan hingga 3300 megawatt. Biaya

per megawatt digunakan per periode delapan jam adalah $8 untuk 1, $9

untuk 2, dan $7 untuk 3.

a. Formulasikan problem diatas mengguanakan integer program untuk

menentukan cara yang paling murah untuk memenuhi kebutuhan daerah.

Power Startup Costs

Cost per Megawatts per 8 hours

Total Cost per 8 hours

(megawatts) ($) ($) ($)Generator 1 (G1) 2400 6000 8 19200Generator 2 (G2) 2100 5000 9 18900Generator 3 (G3) 3300 4000 7 23100

Dibuat persamaan variabel seperti berikut :X1 = 1 jika generator 1 dinyalakan pada periode-1, 0 jika tidak X2 = 1 jika generator 2 dinyalakan pada periode-1, 0 jika tidak X3 = 1 jika generator 3 dinyalakan pada periode-1, 0 jika tidak X4 = 1 jika generator 1 dinyalakan pada periode-2, 0 jika tidak X5 = 1 jika generator 2 dinyalakan pada periode-2, 0 jika tidak X6 = 1 jika generator 3 dinyalakan pada periode-2, 0 jika tidak

Minimize cost = 6C1 + 5C2 + 4C3 + 19,2T1 + 18,9T2 + 21,7T3

Pada persamaan minimize cost ini digunakan C dan T untuk

menyederhanakan fungsi tujuan.

dimana: T1= (X1+ X4) C1 = (X1 + X42 - X1 X4) T2= (X2+ X5) C2 = (X2 + X52 - X2 X5) T3= (X3+ X6) C3 = (X3 + X62 - X3 X6)

Subject to = 2,400 X1 + 2,100 X2 + 3,300 X3 ≥ 3,200 (8 jam pertama)

2,400 X2 + 2,100 X3 + 3,300 X4 ≥ 5,700 (8 jam kedua)

b. Selesaikan menggunakan software.

Dari hasil perhitungan melalui excel solver pada NLP objective function di

atas, didapatkan solusi optimal berupa:

Generator-1 dinyalakan mulai 2:00 PM (selama 8 jam) dan Generator-3

dinyalakan sejak 6:00 AM (selama 16 jam) sehingga total biaya

operasionalnya adalah $72,600

10-24Produsen Oklahoma membuat dua produk: telepon speaker (X1) dan

pushbutton (X2). Mengikuti model goal programming telah dirumuskan

untuk menemukan jumlah masing-masing untuk menghasilkan setiap hari

untuk memenuhi tujuan perusahaan:

Minimize P1d1- + P2d2

- + P3d3+ + P4d4

+

subject to 2X1 + 4X2 + d1- - d1

+ = 80

8X1 + 10X2 + d2- - d2

+ = 320

8X1 + 6X2 + d3- - d3

+ = 240

all Xi,di ≥ 0

Temukan solusi yang optimal menggunakan software.

Asumsi: setiap deviasi memiliki bobot yang sama yang bernilai 1. Dari hasil

perhitungan pada QM didapat X1 = 40, X2 = 0.

Dari solusi tersebut dapat dilihat bahwa constraint 1 dan 2 terpenuhi,

sedangkan constrain 3 menunjukkan kelebihan nilai sebesar 80, sehingga

total deviasi untuk model ini adalah 80.

10-32Masalah integer programming dalam kotak di bawah telah dikembangkan

untuk membantu Pertama-National Bank memutuskan di mana, ou dari 10

situs yang mungkin, untuk menemukan empat kantor cabang baru:

dimana Xi mewakili musim dingin taman, maitland, Osceola, Downtown,

South Orlando, Airport, WInter Garden, Apopka, Lake Mary, Cocoa Beach,

untuk i sama dengan 1 sampai 10, masing-masing.

Maximize expected returns = 120X1 + 100 X2 + 110X3 + 140 X4 +155X5 +

128 X6 +145X7 + 190 X8 +170X9 + 150 X10

Subject to20X1 + 30 X2 + 20X3 + 25 X4 +30 X5 + 30 X6 +25 X7 + 20 X8 +25 X9 + 30 X10 ≤ 110

15X1 + 5 X2 + 20X3 + 20 X4 + 5 X5 + 5 X6 +10 X7 + 20 X8 + 5 X9 + 20 X10 ≤ 50

X2 + X6 + X7 + X9 + X10 ≤ 3

X2 + X3 + X5 + X8 + X9 ≤ 2

X1 + X3 + X10 ≤ 1

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 ≤ 4

a. Dimana sebaiknya empat lokasi baru berada, dan apa yang akan menjadi

keuntungan yang diharapkan?

Pehitungan diatas menggunakan software POM-QM dan mendapatkan

hasil 4 lokasi yang baru yaitu, South Orlando (X5), Apopka (X8), Lake

Mary (X9), Cocoa (X10) dengan expected return sebesar 665.

b. Jika setidaknya satu cabang baru harus dibuka di Maitland atau Osceola,

hal ini akan merubah jawabannya? Tambahkan kendala baru dan returrn.

Kondisi pada soal (b) menyebabkan penambahan constraint, dengan

persamaan sebagai berikut:

X2 + X3 ≥ 1

Pehitungan diatas juga menggunakan software POM-QM dan

mendapatkan hasil 4 lokasi yang baru yaitu, South Osceola (X3), Orlando

(X5), Apopka (X8), Lake Mary (X9) dengan expected return sebesar 625.

c. Ekspektasi pada Apopka itu berlebihan. Nilai yang benar adalah

$160.000 per tahun (yaitu, 160). Menggunakan asumsi awal (yaitu,

mengabaikan (b)) apakah jawaban anda untuk bagian (a) berubah?

Pehitungan diatas juga menggunakan software POM-QM dan hasil yang

didapatkan berubah dari hasil pada soal (a), yaitu pada nilai expected

return menjadi sebesar 625.

Documents

Analisis Rekayasa