Analiticka geometrijaˇ · 2019-11-18 · kanonska jednacina centrirane parabole simetriˇ cne u odnosu naˇ y osu Milica Žigi´c (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrijaˇ predavanje

Analiticka geometrija

Predavanje 3

Konusni preseci(krive drugog reda, kvadratne krive)

Novi Sad, 2019.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 3 1 / 22

Ime – s obzirom na karakteristike

1 konusni presek (konika)→ kriva u preseku konusa i ravni u raznimpoložajima

2 kvadratna kriva→ jednacina Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 03 kriva drugog reda→ sa pravom može da ima najviše dve presecne tacke

Konusne preseke koristimo da opišemo kretanje nebeskih tela, kretanjeelektrona u atomu, u optici opisuju oblik sociva i ogledala...

















Kanonske jednacine konusnih preseka

0◦ KružnicaDefinicija. Neka je u ravni data tacka C. Kružnica je skup tacaka u ravnitakvih da im je rastojanje od date tacke C konstantno i iznosi r , r > 0. Datatacka C se naziva centar kružnice, a dato rastojanje r je poluprecnikkružnice.

Podsetimo se

d(T ,0) =√

x2 + y2 = r ⇒

x2 + y2 = r2

d(T ,C) =√

(x − h)2 + (y − k)2 = r ⇒

(x − h)2 + (y − k)2 = r2




Podsetimo se

d(T ,0) =√

x2 + y2 = r ⇒

x2 + y2 = r2

d(T ,C) =√

(x − h)2 + (y − k)2 = r ⇒

(x − h)2 + (y − k)2 = r2




Podsetimo se

d(T ,0) =√

x2 + y2 = r ⇒

x2 + y2 = r2

d(T ,C) =√

(x − h)2 + (y − k)2 = r ⇒

(x − h)2 + (y − k)2 = r2




Podsetimo se

d(T ,0) =√

x2 + y2 = r ⇒

x2 + y2 = r2

d(T ,C) =√

(x − h)2 + (y − k)2 = r ⇒

(x − h)2 + (y − k)2 = r2




Podsetimo se

d(T ,0) =√

x2 + y2 = r ⇒

x2 + y2 = r2

d(T ,C) =√

(x − h)2 + (y − k)2 = r ⇒

(x − h)2 + (y − k)2 = r2




Podsetimo se

d(T ,0) =√

x2 + y2 = r ⇒

x2 + y2 = r2

d(T ,C) =√

(x − h)2 + (y − k)2 = r ⇒

(x − h)2 + (y − k)2 = r2




Podsetimo se

d(T ,0) =√

x2 + y2 = r ⇒

x2 + y2 = r2

d(T ,C) =√

(x − h)2 + (y − k)2 = r ⇒

(x − h)2 + (y − k)2 = r2



1◦ ParabolaDefinicija. Neka su date prava d i tacka F u ravni. Skup tacaka u ravni koje senalaze na jednakom rastojanju od date prave d i date tacke F naziva separabola. Tacka F zove se fokus, a prava d direktrisa parabole.

Specijalno, ako tacka F pripada pravoj d(odnosno, F ∈ d) za opisani skup tacakadobijamo da je prava koja je normalna nad u tacki F (degenerisanu parabolu,izoblicenu, odrodenu) slika

U nastavku, pretpostavimo da F /∈ d .

















Kanonska jednacina parabole

Koordinatni sistem podesimo tako da je fokusF (0, c), a direktrisa d : y = −cNeka je P(x , y) proizvoljna tacka sa parabole.Oznacimo sa Q projekciju tacke P na direktrisu d .Jasno, važi Q(x ,−c). Tada

d(P,F ) = d(P,Q)√(x − 0)2 + (y − c)2 =

√(x − x)2 + (y + c)2

x2 + y2 − 2yc + c2 = y2 + 2yc + c2

x2 = 4yc

y =14c

x2

kanonska jednacina centrirane parabole simetricne u odnosu na y−osu




d(P,F ) = d(P,Q)√(x − 0)2 + (y − c)2 =

√(x − x)2 + (y + c)2

x2 + y2 − 2yc + c2 = y2 + 2yc + c2

x2 = 4yc

y =14c

x2





d(P,F ) = d(P,Q)√(x − 0)2 + (y − c)2 =

√(x − x)2 + (y + c)2

x2 + y2 − 2yc + c2 = y2 + 2yc + c2

x2 = 4yc

y =14c

x2





d(P,F ) = d(P,Q)√(x − 0)2 + (y − c)2 =

√(x − x)2 + (y + c)2

x2 + y2 − 2yc + c2 = y2 + 2yc + c2

x2 = 4yc

y =14c

x2





d(P,F ) = d(P,Q)√(x − 0)2 + (y − c)2 =

√(x − x)2 + (y + c)2

x2 + y2 − 2yc + c2 = y2 + 2yc + c2

x2 = 4yc

y =14c

x2





d(P,F ) = d(P,Q)√(x − 0)2 + (y − c)2 =

√(x − x)2 + (y + c)2

x2 + y2 − 2yc + c2 = y2 + 2yc + c2

x2 = 4yc

y =14c

x2





d(P,F ) = d(P,Q)√(x − 0)2 + (y − c)2 =

√(x − x)2 + (y + c)2

x2 + y2 − 2yc + c2 = y2 + 2yc + c2

x2 = 4yc

y =14c

x2





d(P,F ) = d(P,Q)√(x − 0)2 + (y − c)2 =

√(x − x)2 + (y + c)2

x2 + y2 − 2yc + c2 = y2 + 2yc + c2

x2 = 4yc

y =14c

x2





d(P,F ) = d(P,Q)√(x − 0)2 + (y − c)2 =

√(x − x)2 + (y + c)2

x2 + y2 − 2yc + c2 = y2 + 2yc + c2

x2 = 4yc

y =14c

x2





d(P,F ) = d(P,Q)√(x − 0)2 + (y − c)2 =

√(x − x)2 + (y + c)2

x2 + y2 − 2yc + c2 = y2 + 2yc + c2

x2 = 4yc

y =14c

x2




Primetimo da je na prethodnom crtežu korišceno da je c > 0; za c < 0 samose crtež, odnosno usmerenje parabole menja, a kanonska jednacina parabolesimetricne u odnosu na y−osu ostaje y = 1

4c x2

c > 0

c < 0

osa parabole – osa simetrije parabole (sada, y−osa)teme parabole – presek parabole sa njenom osom (sada, T(0,0))




4c x2

c > 0 c < 0





4c x2

c > 0 c < 0





4c x2

c > 0 c < 0





4c x2

c > 0 c < 0




kanonska jednacina centrirane parabole simetricne u odnosu na x−osuse dobija na potpuno analogan nacina

neka je direktrisa d : x = −c i fokus F (c, 0) (naslici c > 0)projekcija proizvoljne tacke P(x , y) sa parabole nadirektrisu je Q(−c, y) i važi

d(P,F ) = d(P,Q)√(x − c)2 + (y − 0)2 =

√(x + c)2 + (y − y)2

x2 − 2xc + c2 + y2 = x2 + 2xc + c2

y2 = 4xc

x =14c

y2





d(P,F ) = d(P,Q)√(x − c)2 + (y − 0)2 =

√(x + c)2 + (y − y)2

x2 − 2xc + c2 + y2 = x2 + 2xc + c2

y2 = 4xc

x =14c

y2





d(P,F ) = d(P,Q)√(x − c)2 + (y − 0)2 =

√(x + c)2 + (y − y)2

x2 − 2xc + c2 + y2 = x2 + 2xc + c2

y2 = 4xc

x =14c

y2





d(P,F ) = d(P,Q)√(x − c)2 + (y − 0)2 =

√(x + c)2 + (y − y)2

x2 − 2xc + c2 + y2 = x2 + 2xc + c2

y2 = 4xc

x =14c

y2





d(P,F ) = d(P,Q)√(x − c)2 + (y − 0)2 =

√(x + c)2 + (y − y)2

x2 − 2xc + c2 + y2 = x2 + 2xc + c2

y2 = 4xc

x =14c

y2





d(P,F ) = d(P,Q)√(x − c)2 + (y − 0)2 =

√(x + c)2 + (y − y)2

x2 − 2xc + c2 + y2 = x2 + 2xc + c2

y2 = 4xc

x =14c

y2





d(P,F ) = d(P,Q)√(x − c)2 + (y − 0)2 =

√(x + c)2 + (y − y)2

x2 − 2xc + c2 + y2 = x2 + 2xc + c2

y2 = 4xc

x =14c

y2





d(P,F ) = d(P,Q)√(x − c)2 + (y − 0)2 =

√(x + c)2 + (y − y)2

x2 − 2xc + c2 + y2 = x2 + 2xc + c2

y2 = 4xc

x =14c

y2



ako je c < 0jednacina parabole simetricne u odnosu nax−osu ostaje x = 1

4c y2

medutim, grafik parabole je obrnuto usmerenosa simetrije posmatrane parabole je x−osateme parabole je T (0,0)

Primer 3.1 Za parabolu y2 = 10x odrediti direktrisu, fokus, osu simetrije iteme, te je na kraju i skicirati




4c y2

medutim, grafik parabole je obrnuto usmeren

osa simetrije posmatrane parabole je x−osateme parabole je T (0,0)





4c y2







4c y2







4c y2






Jednacina parabole translirane tako da joj je teme T (x0, y0)krenemo od parabole, npr.v = 1

4c u2, c > 0pomerimo je na "desno" za x0zatim na "gore" za y0Tada, za tacku P(x , y) sa translirane parabole u odnosu na odgovarajucutacku P ′(u, v) sa centrirane parabole važi:

nove koordinate (x , y) stare kordinate (u, v)x = u + x0 u = x − x0y = v + y0 v = y − y0



Jednacina parabole translirane tako da joj je teme T (x0, y0)

krenemo od parabole, npr.v = 1

4c u2, c > 0pomerimo je na "desno" za x0zatim na "gore" za y0

Tada, za tacku P(x , y) sa translirane parabole u odnosu na odgovarajucutacku P ′(u, v) sa centrirane parabole važi:
































Za pocetnu (centriranu) parabolu važi:

jednacina je v = 14c u2

fokus je F ′(0, c)direktrisa je d ′ : v = −cteme je T ′(0,0)simetricna je u odnosu na pravu u = 0

Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x0, y0)) zadovoljava:

jednacina je y − y0 = 14c (x − x0)

2

fokus je F (x0, y0 + c)direktrisa je d : y − y0 = −cteme je T (x0, y0)simetricna je u odnosu na pravu x − x0 = 0: osa je x = x0

Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabolex2 + 2x + 4y − 11 = 0; zatim je i skicirati








2










2










2










2










2










2










2




Kanonska jednacina elipse

2◦ ElipsaDefinicija. Neka su date dve fiksirane tacke F1 i F2 u ravni. Elipsa je skuptacaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tacaka F1 i F2konstantan. Date tacke F1 i F2 nazivaju se fokusi elipse.

prava odredena fokusima F1 i F2 senaziva fokalna osasredina duži F1F2 se naziva centar elipseza proizvoljnu tacku P sa elipse važid(P,F1) + d(P,F2) = const = 2a,ako je d(F1,F2) = 2c, c > 0, tada jasnovaži a ≥ cu preseku elipse i fokalne ose dobijamotemena elipse



























Specijalno, iz definicije elipseako je c = 0, odnosno F1 = F2 i a > 0 dobijamo kružnicu;ako je c = a = 0 jednu tacku;a ako je c = a > 0 dobijamo duž F1F2 slika

kanonska jednacina centrirane elipse sa fokusima na x−osiKoordinatni sistem podesimo tako da je x−osa fokalna osa i da je centar elipse ukoordinatnom pocetkudakle, F1(−c, 0) i F2(c, 0)Tada za proizvoljnu tacku P(x , y) sa elipsevaži

d(P,F1) + d(P,F2) = 2a





d(P,F1) + d(P,F2) = 2a





d(P,F1) + d(P,F2) = 2a





d(P,F1) + d(P,F2) = 2a




kanonska jednacina centrirane elipse sa fokusima na x−osi

Koordinatni sistem podesimo tako da je x−osa fokalna osa i da je centar elipse ukoordinatnom pocetkudakle, F1(−c, 0) i F2(c, 0)Tada za proizvoljnu tacku P(x , y) sa elipsevaži

d(P,F1) + d(P,F2) = 2a






d(P,F1) + d(P,F2) = 2a






d(P,F1) + d(P,F2) = 2a


Kanonska jednacina elipseDakle, koristeci da je F1(−c,0),F2(c,0) i P(x , y) dobijamo:

d(P,F1) + d(P,F2) = 2a√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a√(x + c)2 + y2 = 2a−

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = a2 − c2, jer je a > c

x2

a2 +y2

b2 = 1, a > b




d(P,F1) + d(P,F2) = 2a√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a√(x + c)2 + y2 = 2a−

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = a2 − c2, jer je a > c

x2

a2 +y2

b2 = 1, a > b




d(P,F1) + d(P,F2) = 2a√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a√(x + c)2 + y2 = 2a−

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = a2 − c2, jer je a > c

x2

a2 +y2

b2 = 1, a > b




d(P,F1) + d(P,F2) = 2a√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a√(x + c)2 + y2 = 2a−

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = a2 − c2, jer je a > c

x2

a2 +y2

b2 = 1, a > b




d(P,F1) + d(P,F2) = 2a√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a√(x + c)2 + y2 = 2a−

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = a2 − c2, jer je a > c

x2

a2 +y2

b2 = 1, a > b




d(P,F1) + d(P,F2) = 2a√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a√(x + c)2 + y2 = 2a−

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = a2 − c2, jer je a > c

x2

a2 +y2

b2 = 1, a > b




d(P,F1) + d(P,F2) = 2a√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a√(x + c)2 + y2 = 2a−

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = a2 − c2, jer je a > c

x2

a2 +y2

b2 = 1, a > b




d(P,F1) + d(P,F2) = 2a√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a√(x + c)2 + y2 = 2a−

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = a2 − c2, jer je a > c

x2

a2 +y2

b2 = 1, a > b




d(P,F1) + d(P,F2) = 2a√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a√(x + c)2 + y2 = 2a−

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = a2 − c2, jer je a > c

x2

a2 +y2

b2 = 1, a > b




d(P,F1) + d(P,F2) = 2a√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a√(x + c)2 + y2 = 2a−

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = a2 − c2, jer je a > c

x2

a2 +y2

b2 = 1, a > b




Neke osobine elipse koje proizilaze iz njene kanonske jednacine:

x2

a2 +y2

b2 = 1

x2

a2 ∈ [0,1]⇒ x ∈ [−a,a]y2

b2 ∈ [0,1]⇒ y ∈ [−b,b]tacke (±a,0) i (0,±b) pripadaju elipsiElipsa je simetricna u odnosu i na x−osu i na y−osuP(x , y)←→ P ′(x ,−y), kao i P(x , y)←→ P ′′(−x , y)




x2

a2 +y2

b2 = 1

x2

a2 ∈ [0,1]⇒ x ∈ [−a,a]y2





x2

a2 +y2

b2 = 1

x2

a2 ∈ [0,1]⇒ x ∈ [−a,a]y2





x2

a2 +y2

b2 = 1

x2

a2 ∈ [0,1]⇒ x ∈ [−a,a]y2





x2

a2 +y2

b2 = 1

x2

a2 ∈ [0,1]⇒ x ∈ [−a,a]y2





x2

a2 +y2

b2 = 1

x2

a2 ∈ [0,1]⇒ x ∈ [−a,a]y2




centrirana elipsa sa fokusima na x−osi

x2

a2 +y2

b2 = 1, a > b

fokusi na x−osi su Fi(±c, 0), i = 1, 2gde je c =

√a2 − b2

temena su Ti(±a, 0), i = 1, 2

centrirana elipsa sa fokusima na y−osix2

a2 +y2

b2 = 1, a < b

fokusi na y−osi su Fi(0,±c), i = 1, 2gde je c =

√b2 − a2

temena su Ti(0,±b), i = 1, 2


Kanonska jednacina elipsecentrirana elipsa sa fokusima na x−osi

x2

a2 +y2

b2 = 1, a > b


√a2 − b2

temena su Ti(±a, 0), i = 1, 2

centrirana elipsa sa fokusima na y−osi

x2

a2 +y2

b2 = 1, a < b


√b2 − a2

temena su Ti(0,±b), i = 1, 2



Jednacina elipse sa centrom u S(x0, y0) je

(x − x0)2

a2 +(y − y0)

2

b2 = 1

Primer 3.3 Nacrtati elipsux2

16+

y2

9= 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i same

fokuse i temena


9+

y2


fokuse i temena




(x − x0)2

a2 +(y − y0)

2

b2 = 1


16+

y2


fokuse i temena


9+

y2


fokuse i temena




(x − x0)2

a2 +(y − y0)

2

b2 = 1


16+

y2


fokuse i temena


9+

y2


fokuse i temena




(x − x0)2

a2 +(y − y0)

2

b2 = 1


16+

y2


fokuse i temena


9+

y2


fokuse i temena




(x − x0)2

a2 +(y − y0)

2

b2 = 1


16+

y2


fokuse i temena


9+

y2


fokuse i temena


Kanonska jednacina hiperbole

3◦ HiperbolaDefinicija. Neka su date dve tacke u ravni F1 i F2. Hiperbola je skup tacaka uravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tacaka F1 i F2 konstantna.Date tacke F1 i F2 nazivaju se fokusi hiperbole.

prava odredena fokusima F1 i F2 senaziva fokalna osasredina duži F1F2 se naziva centarhiperboleza proizvoljnu tacku P sa hiperbole važi|d(P,F1)− d(P,F2)| = const = 2a,neka je d(F1,F2) = 2c, c > 0, tada važia ≤ cu preseku hiperbole i fokalne osedobijamo temena hiperbole



























kanonska jednacina centrirane hiperbole sa fokusima na x−osiKoordinatni sistem podesimo tako da je x−osa fokalna osa i da je centar hiperbole ukoordinatnom pocetkudakle, F1(−c, 0) i F2(c, 0)Tada za proizvoljnu tacku P(x , y) sahiperbole važi

|d(P,F1)− d(P,F2)| = 2a



kanonska jednacina centrirane hiperbole sa fokusima na x−osi

Koordinatni sistem podesimo tako da je x−osa fokalna osa i da je centar hiperbole ukoordinatnom pocetkudakle, F1(−c, 0) i F2(c, 0)Tada za proizvoljnu tacku P(x , y) sahiperbole važi

|d(P,F1)− d(P,F2)| = 2a





|d(P,F1)− d(P,F2)| = 2a





|d(P,F1)− d(P,F2)| = 2a


Kanonska jednacina hiperboleDakle, koristeci da je F1(−c,0),F2(c,0) i P(x , y) dobijamo:

d(P,F1)− d(P,F2) = ±2a√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = ±2a√(x + c)2 + y2 = ±2a +

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2∓ a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = c2 − a2, jer je a < c

x2

a2 −y2

b2 = 1




d(P,F1)− d(P,F2) = ±2a√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = ±2a√(x + c)2 + y2 = ±2a +

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2∓ a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = c2 − a2, jer je a < c

x2

a2 −y2

b2 = 1




d(P,F1)− d(P,F2) = ±2a√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = ±2a√(x + c)2 + y2 = ±2a +

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2∓ a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = c2 − a2, jer je a < c

x2

a2 −y2

b2 = 1




d(P,F1)− d(P,F2) = ±2a√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = ±2a√(x + c)2 + y2 = ±2a +

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2∓ a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = c2 − a2, jer je a < c

x2

a2 −y2

b2 = 1




d(P,F1)− d(P,F2) = ±2a√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = ±2a√(x + c)2 + y2 = ±2a +

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2∓ a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = c2 − a2, jer je a < c

x2

a2 −y2

b2 = 1




d(P,F1)− d(P,F2) = ±2a√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = ±2a√(x + c)2 + y2 = ±2a +

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2∓ a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = c2 − a2, jer je a < c

x2

a2 −y2

b2 = 1




d(P,F1)− d(P,F2) = ±2a√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = ±2a√(x + c)2 + y2 = ±2a +

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2∓ a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = c2 − a2, jer je a < c

x2

a2 −y2

b2 = 1




d(P,F1)− d(P,F2) = ±2a√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = ±2a√(x + c)2 + y2 = ±2a +

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2∓ a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = c2 − a2, jer je a < c

x2

a2 −y2

b2 = 1




d(P,F1)− d(P,F2) = ±2a√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = ±2a√(x + c)2 + y2 = ±2a +

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2∓ a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = c2 − a2, jer je a < c

x2

a2 −y2

b2 = 1




d(P,F1)− d(P,F2) = ±2a√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = ±2a√(x + c)2 + y2 = ±2a +

√(x − c)2 + y2

∣∣∣2∓ a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx∣∣∣2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

x2

a2 +y2

a2 − c2 = 1 . . . b2 = c2 − a2, jer je a < c

x2

a2 −y2

b2 = 1



Kanonska jednacina hiperboleNeke osobine hiperbole koje proizilaze iz njene kanonske jednacine:

x2

a2 −y2

b2 = 1

x2

a2 ≥ 1⇒ x ∈ (−∞,−a] ∪ [a,∞)

što još implicira da je x 6= 0, tj. hiperbola ne sece y−osutacke (±a,0) pripadaju hiperboliHiperbola je simetricna u odnosu i na x−osu i na y−osu

Hiperbola ima asimptote jer iz y2

b2 = x2

a2 − 1 dobijamoy = ± b

a

√x2 − a2 odakle vidimo y ≈ ± b

a x kada x →∞



x2

a2 −y2

b2 = 1

x2

a2 ≥ 1⇒ x ∈ (−∞,−a] ∪ [a,∞)



b2 = x2


a


a x kada x →∞



x2

a2 −y2

b2 = 1

x2

a2 ≥ 1⇒ x ∈ (−∞,−a] ∪ [a,∞)



b2 = x2


a


a x kada x →∞



x2

a2 −y2

b2 = 1

x2

a2 ≥ 1⇒ x ∈ (−∞,−a] ∪ [a,∞)



b2 = x2


a


a x kada x →∞



x2

a2 −y2

b2 = 1

x2

a2 ≥ 1⇒ x ∈ (−∞,−a] ∪ [a,∞)



b2 = x2


a


a x kada x →∞



x2

a2 −y2

b2 = 1

x2

a2 ≥ 1⇒ x ∈ (−∞,−a] ∪ [a,∞)



b2 = x2


a


a x kada x →∞



centrirana hiperbola sa fokusima na x−osi

x2

a2 −y2

b2 = 1


√a2 + b2

temena su (±a, 0)asimptote y = ± b

a x

centrirana hiperbola sa fokusima na y−osiy2

b2 −x2

a2 = 1


√a2 + b2

temena su (0,±b)asimptote y = ± b

a x


Kanonska jednacina hiperbolecentrirana hiperbola sa fokusima na x−osi

x2

a2 −y2

b2 = 1


√a2 + b2

temena su (±a, 0)asimptote y = ± b

a x

centrirana hiperbola sa fokusima na y−osi

y2

b2 −x2

a2 = 1


√a2 + b2

temena su (0,±b)asimptote y = ± b

a x



Jednacina hiperbole sa centrom u S(x0, y0) je

(x − x0)2

a2 − (y − y0)2

b2 = 1

Primer 3.5 Nacrtati hiperbolux2

4− y2

5= 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i

same fokuse, temena i asimptote

Primer 3.6 Nacrtati hiperboluy2

5− x2






(x − x0)2

a2 − (y − y0)2

b2 = 1


4− y2




5− x2






(x − x0)2

a2 − (y − y0)2

b2 = 1


4− y2




5− x2






(x − x0)2

a2 − (y − y0)2

b2 = 1


4− y2




5− x2






(x − x0)2

a2 − (y − y0)2

b2 = 1


4− y2




5− x2




Documents

Analiticka geometrijaˇ · 2019-11-18 · kanonska jednacina centrirane parabole simetriˇ cne u odnosu naˇ y osu Milica Žigi´c (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrijaˇ predavanje