Vektori u prostoru....Analiticka geometrijaˇ Predavanje 8 Vektori u prostoru. Skalarni proizvod vektora Novi Sad, 2019. Milica Žigi´c (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrijaˇ

Analiticka geometrija

Predavanje 8

Vektori u prostoru.Skalarni proizvod vektora

Novi Sad, 2019.

Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 8 1 / 11

Vektori u prostoru i pravougli koordinatni sistem

DefinicijaSkup svih duži u prostoru koje su istog intenziteta, pravca i smera naziva sevektor u prostoru.

Bazni vektori u prostoru su:ı = (1,0,0) = (0,1,0)

k = (0,0,1)

Napomena: Podsetimo se, za tacku P(a,b, c) odgovarajuci vektor položajaje rP = OP = aı+ b+ ck = (a,b, c)Sa druge strane, predstavnik vektora v = aı+ b+ ck = (a,b, c) sa pocetkomu koordinatnom pocetku O je baš vektor OP





k = (0,0,1)






k = (0,0,1)






k = (0,0,1)






k = (0,0,1)






k = (0,0,1)






k = (0,0,1)



Vektori u prostoru – operacije

Množenje vektora v = aı+ b+ ck = (a,b, c) skalarom α ∈ R je dato saαv = (αa)ı+ (αb)+ (αc)k = α(a,b, c) = (αa, αb, αc)

Sabiranje vektora v1 = a1ı+ b1+ c1k = (a1,b1, c1) iv2 = a2ı+ b2+ c2k = (a2,b2, c2) je dato sav1 + v2 = (a1 + a2)ı+ (b1 + b2)+ (c1 + c2)k = (a1 + a2,b1 + b2, c1 + c2)

Primer 8.1 Izraziti vektor P1P2 preko baznih vektora ı, , k, ako je P1(x1, y1, z1)i P2(x2, y2, z2)

Koplanarni vektori

Tri ne-nula vektora a,b i c u prostoru su koplanarni (pripadaju istoj ravni) akosu linearno zavisni, odnosno ako postoje α, β ∈ R tako da je c = αa + βb.






Koplanarni vektori







Koplanarni vektori







Koplanarni vektori



Vektori u prostoru – osobine

Intenzitet vektoraNeka je dat vektor v = aı+ b+ ck. Tada je

I |v | =√|OP′|2 + c2 =

√a2 + b2 + c2

... primenom Pitagorine teoremeI Podsetimo se, važi i |αv | = |α||v |, α ∈ R

Nula vektor je 0 = 0ı+ 0+ 0k; i on je zapravo tacka.Jedinicni vektor je vektor dužine 1, odnosno onaj vektor v za koji je|v | = 1.

Važi |ı| = |1ı+ 0+ 0k| =√

12 + 02 + 02 = 1,kao i || = 1 i |k| = 1.



Intenzitet vektora

Neka je dat vektor v = aı+ b+ ck. Tada je

I |v | =√|OP′|2 + c2 =

√a2 + b2 + c2



Važi |ı| = |1ı+ 0+ 0k| =√

12 + 02 + 02 = 1,kao i || = 1 i |k| = 1.



Intenzitet vektora


I |v | =√|OP′|2 + c2 =

√a2 + b2 + c2



Važi |ı| = |1ı+ 0+ 0k| =√

12 + 02 + 02 = 1,kao i || = 1 i |k| = 1.



Intenzitet vektora


I |v | =√|OP′|2 + c2 =

√a2 + b2 + c2



Važi |ı| = |1ı+ 0+ 0k| =√

12 + 02 + 02 = 1,kao i || = 1 i |k| = 1.



Intenzitet vektora


I |v | =√|OP′|2 + c2 =

√a2 + b2 + c2



Važi |ı| = |1ı+ 0+ 0k| =√

12 + 02 + 02 = 1,kao i || = 1 i |k| = 1.



Intenzitet vektora


I |v | =√|OP′|2 + c2 =

√a2 + b2 + c2



Važi |ı| = |1ı+ 0+ 0k| =√

12 + 02 + 02 = 1,kao i || = 1 i |k| = 1.


Vektori u prostoru – osobineIntenzitet vektora


I |v | =√|OP′|2 + c2 =

√a2 + b2 + c2



Važi |ı| = |1ı+ 0+ 0k| =√

12 + 02 + 02 = 1,kao i || = 1 i |k| = 1.



Prezentacija vektora v :

I v

|v|jedinicni vektor istog pravca i smera (paralelan i isto usmeren) kao i v

(normiranje vektora v )

I Onda je v = |v |︸︷︷︸intenzitet

· v|v |︸︷︷︸

usmerenje

Primer 8.2 Normirati vektor P1P2, ako je P1(1,0,1) i P2(3,2,0)

Primer 8.3 Odrediti vektor dužine 6 paralelan vektoru v = 2ı+ 2− k




I v




· v|v |︸︷︷︸

usmerenje






I v




· v|v |︸︷︷︸

usmerenje




Skalarni proizvod vektoraje operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u · v

Neka je θ ∈ [0, π] ugao izmedu vektora u iv , koji nije usmerenSkalarni proizvod vektora u i v , u · v , je

u · v = |u||v | cos θ

Primetimo:ako je θ ∈ [0, π2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u · v ≥ 0;ako je θ ∈ [π2 , π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u · v ≤ 0;ako je θ = π

2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u · v = 0;

vazi u · u = |u||u| cos0 = |u|2, odnosno |u| =√

u · u

Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v =√

2ı+√

2k.

Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izmedu vektora u i v ,pokušacemo da utvrdimo i drugi nacin za izracunavanje u · v




u · v = |u||v | cos θ




u · u


2ı+√

2k.





u · v = |u||v | cos θ




u · u


2ı+√

2k.





u · v = |u||v | cos θ




u · u


2ı+√

2k.





u · v = |u||v | cos θ




u · u


2ı+√

2k.





u · v = |u||v | cos θ




u · u


2ı+√

2k.





u · v = |u||v | cos θ




u · u


2ı+√

2k.





u · v = |u||v | cos θ




u · u


2ı+√

2k.





u · v = |u||v | cos θ




u · u


2ı+√

2k.





u · v = |u||v | cos θ




u · u


2ı+√

2k.





u · v = |u||v | cos θ




u · u


2ı+√

2k.



Skalarni proizvod vektora – izracunavanjeNeka je:

u = x1ı+ y1+ z1k

v = x2ı+ y2+ z2k

w = v −u = (x2−x1)ı+(y2−y1)+(z2−z1)k

Primenom kosinusne teoreme dobijamo: |w |2 = |u|2 + |v |2 − 2|u||v | cos θ.Koristeci da je u · v = |u||v | cos θ, dobijamo da je u · v = |u|2+|v |2−|w|2

2 ;

odnosno, u · v =x2

1+y21+z2

1+x22+y2

2+z22−((x2−x1)

2+(y2−y1)2+(z2−z1)

2)2 = 2(x1x2+y1y2+z1z2)

2

u · v = x1x2 + y1y2 + z1z2

Koristeci ovo, sada možemo izracunati ugao izmedu vektora u i v :

θ = arccosu · v|u||v |

, θ ∈ [0, π]

Primer 8.5 Odrediti ugao izmedu vektora u = ı− 2− 2k i v = (6,3,2).



u = x1ı+ y1+ z1k

v = x2ı+ y2+ z2k

w = v −u = (x2−x1)ı+(y2−y1)+(z2−z1)k


2 ;

odnosno, u · v =x2

1+y21+z2

1+x22+y2

2+z22−((x2−x1)

2+(y2−y1)2+(z2−z1)

2)2 = 2(x1x2+y1y2+z1z2)

2

u · v = x1x2 + y1y2 + z1z2



, θ ∈ [0, π]




u = x1ı+ y1+ z1k

v = x2ı+ y2+ z2k

w = v −u = (x2−x1)ı+(y2−y1)+(z2−z1)k


2 ;

odnosno, u · v =x2

1+y21+z2

1+x22+y2

2+z22−((x2−x1)

2+(y2−y1)2+(z2−z1)

2)2 = 2(x1x2+y1y2+z1z2)

2

u · v = x1x2 + y1y2 + z1z2



, θ ∈ [0, π]




u = x1ı+ y1+ z1k

v = x2ı+ y2+ z2k

w = v −u = (x2−x1)ı+(y2−y1)+(z2−z1)k


2 ;

odnosno, u · v =x2

1+y21+z2

1+x22+y2

2+z22−((x2−x1)

2+(y2−y1)2+(z2−z1)

2)2 = 2(x1x2+y1y2+z1z2)

2

u · v = x1x2 + y1y2 + z1z2



, θ ∈ [0, π]




u = x1ı+ y1+ z1k

v = x2ı+ y2+ z2k

w = v −u = (x2−x1)ı+(y2−y1)+(z2−z1)k


2 ;

odnosno, u · v =x2

1+y21+z2

1+x22+y2

2+z22−((x2−x1)

2+(y2−y1)2+(z2−z1)

2)2 = 2(x1x2+y1y2+z1z2)

2

u · v = x1x2 + y1y2 + z1z2



, θ ∈ [0, π]




u = x1ı+ y1+ z1k

v = x2ı+ y2+ z2k

w = v −u = (x2−x1)ı+(y2−y1)+(z2−z1)k


2 ;

odnosno, u · v =x2

1+y21+z2

1+x22+y2

2+z22−((x2−x1)

2+(y2−y1)2+(z2−z1)

2)2 = 2(x1x2+y1y2+z1z2)

2

u · v = x1x2 + y1y2 + z1z2



, θ ∈ [0, π]




u = x1ı+ y1+ z1k

v = x2ı+ y2+ z2k

w = v −u = (x2−x1)ı+(y2−y1)+(z2−z1)k


2 ;

odnosno, u · v =x2

1+y21+z2

1+x22+y2

2+z22−((x2−x1)

2+(y2−y1)2+(z2−z1)

2)2 = 2(x1x2+y1y2+z1z2)

2

u · v = x1x2 + y1y2 + z1z2



, θ ∈ [0, π]



Skalarni proizvod vektora – osobine

Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora:komutativnost skalarnog proizvoda: u · v = v · umnoženje skalarom i skalarni proizvod: (αu) · v = u · (αv) = α(u · v)distributivnost skalarniog proizvoda:u · (v + w) = u · v + u · w ;(u + v) · w = u · w + v · w i(u + v) · (w + z) = u · w + u · z + v · w + v · z

Pokažimo da važi u · (v + w) = u · v + u · w . Zaista,

~u · (~v + ~w) = (u1,u2,u3) ·((v1, v2, v3) + (w1,w2,w3)

)= (u1,u2,u3) ·

((v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)

)= u1(v1 + w1) + u2(v2 + w2) + u3(v3 + w3)

= u1v1 + u2v2 + u3v3 + u1w1 + u2w2 + u3w3

= u · v + u · w





~u · (~v + ~w) = (u1,u2,u3) ·((v1, v2, v3) + (w1,w2,w3)

)= (u1,u2,u3) ·

((v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)

)= u1(v1 + w1) + u2(v2 + w2) + u3(v3 + w3)

= u1v1 + u2v2 + u3v3 + u1w1 + u2w2 + u3w3

= u · v + u · w





~u · (~v + ~w) = (u1,u2,u3) ·((v1, v2, v3) + (w1,w2,w3)

)= (u1,u2,u3) ·

((v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)

)= u1(v1 + w1) + u2(v2 + w2) + u3(v3 + w3)

= u1v1 + u2v2 + u3v3 + u1w1 + u2w2 + u3w3

= u · v + u · w





~u · (~v + ~w) = (u1,u2,u3) ·((v1, v2, v3) + (w1,w2,w3)

)= (u1,u2,u3) ·

((v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)

)= u1(v1 + w1) + u2(v2 + w2) + u3(v3 + w3)

= u1v1 + u2v2 + u3v3 + u1w1 + u2w2 + u3w3

= u · v + u · w





~u · (~v + ~w) = (u1,u2,u3) ·((v1, v2, v3) + (w1,w2,w3)

)= (u1,u2,u3) ·

((v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)

)= u1(v1 + w1) + u2(v2 + w2) + u3(v3 + w3)

= u1v1 + u2v2 + u3v3 + u1w1 + u2w2 + u3w3

= u · v + u · w





~u · (~v + ~w) = (u1,u2,u3) ·((v1, v2, v3) + (w1,w2,w3)

)= (u1,u2,u3) ·

((v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)

)= u1(v1 + w1) + u2(v2 + w2) + u3(v3 + w3)

= u1v1 + u2v2 + u3v3 + u1w1 + u2w2 + u3w3

= u · v + u · w





~u · (~v + ~w) = (u1,u2,u3) ·((v1, v2, v3) + (w1,w2,w3)

)= (u1,u2,u3) ·

((v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)

)= u1(v1 + w1) + u2(v2 + w2) + u3(v3 + w3)

= u1v1 + u2v2 + u3v3 + u1w1 + u2w2 + u3w3

= u · v + u · w





~u · (~v + ~w) = (u1,u2,u3) ·((v1, v2, v3) + (w1,w2,w3)

)= (u1,u2,u3) ·

((v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)

)= u1(v1 + w1) + u2(v2 + w2) + u3(v3 + w3)

= u1v1 + u2v2 + u3v3 + u1w1 + u2w2 + u3w3

= u · v + u · w





~u · (~v + ~w) = (u1,u2,u3) ·((v1, v2, v3) + (w1,w2,w3)

)= (u1,u2,u3) ·

((v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)

)= u1(v1 + w1) + u2(v2 + w2) + u3(v3 + w3)

= u1v1 + u2v2 + u3v3 + u1w1 + u2w2 + u3w3

= u · v + u · w


Projekcija vektora

Neka su dati vektori a = PS i b = PQ.Projekcija vektora b na vektor a je vektor PR,gde je R projekcija tacke Q na pravu p(P,S).

Koristicemo zapis: proj~a b = PR

Primetimo da važi:

proj~a ~b = (|~b| cos θ)︸︷︷︸±duzina

~a|~a|︸︷︷︸

pravac

=a · b|a|

a|a|

=

(b · a|a|

)a|a|

=a · ba · a

a.

Vrednost |~b| cos θ =~a · ~b|~a|

= ~b ·~a|~a|

naziva se skalarna komponenta projekcije

proj~a b.


Projekcija vektora



Primetimo da važi:


~a|~a|︸︷︷︸

pravac

=a · b|a|

a|a|

=

(b · a|a|

)a|a|

=a · ba · a

a.


= ~b ·~a|~a|


proj~a b.


Projekcija vektora



Primetimo da važi:


~a|~a|︸︷︷︸

pravac

=a · b|a|

a|a|

=

(b · a|a|

)a|a|

=a · ba · a

a.


= ~b ·~a|~a|


proj~a b.


Projekcija vektora



Primetimo da važi:


~a|~a|︸︷︷︸

pravac

=a · b|a|

a|a|

=

(b · a|a|

)a|a|

=a · ba · a

a.


= ~b ·~a|~a|


proj~a b.


Projekcija vektora



Primetimo da važi:


~a|~a|︸︷︷︸

pravac

=a · b|a|

a|a|

=

(b · a|a|

)a|a|

=a · ba · a

a.


= ~b ·~a|~a|


proj~a b.


Projekcija vektora



Primetimo da važi:


~a|~a|︸︷︷︸

pravac

=a · b|a|

a|a|

=

(b · a|a|

)a|a|

=a · ba · a

a.


= ~b ·~a|~a|


proj~a b.


Projekcija vektora



Primetimo da važi:


~a|~a|︸︷︷︸

pravac

=a · b|a|

a|a|

=

(b · a|a|

)a|a|

=a · ba · a

a.


= ~b ·~a|~a|


proj~a b.


Vektor kao suma ortogonalnih vektora

Primer 8.6 Odrediti proj~a b kao i skalarnu komponentu projekcije, ako jea = ı− 2− 2k i b = 6ı+ 3+ 2k.

Neka je dat vektor a. Napisati vektor b kaosumu vektora paralelnog i normalnog na a.Jasno, b = proj~a b + (b − proj~a b).Kako je proj~a b paralelan vektoru a, ostaje jošda se pokaže da je b − proj~a b normalan na a.Zaista,a · (b − proj~a b) = a · b − a · proj~a b =

a · b − a · ~a·~b~a·~a a = a · b −(~a·~b~a·~a

)a · a = 0.

Primer 8.7 Napisati vektor b = 2ı+ − 3k kao zbir vektora paralelnog inormalnog na a = 3ı− .





a · b − a · ~a·~b~a·~a a = a · b −(~a·~b~a·~a

)a · a = 0.






a · b − a · ~a·~b~a·~a a = a · b −(~a·~b~a·~a

)a · a = 0.






a · b − a · ~a·~b~a·~a a = a · b −(~a·~b~a·~a

)a · a = 0.






a · b − a · ~a·~b~a·~a a = a · b −(~a·~b~a·~a

)a · a = 0.






a · b − a · ~a·~b~a·~a a = a · b −(~a·~b~a·~a

)a · a = 0.



Rad sile ili mehanicki rad, A

Podsetimo se: Sila vrši mehanicki rad ako pri svom delovanju pokrece telo,menja brzinu kretanja tela, menja oblik tela i sl. Dakle, da bi se vršiomehanicki rad treba da budu ispunjena dva uslova: da deluje sila i da se, naprimer, telo krece pod dejstvom te sile.

Definicija. Proizvod dužine puta, r , koje prede telo pod dejstvom neke sile, F ,i intenziteta one komponente te sile koja je u pravcu kretanja tela se nazivarad sile i obeležava sa A.

A = |r |∣∣proj~r F

∣∣ = |r ||F | cos θ = r · F

Napomena. Primetimo da rad može biti i negativan, npr. sila trenja proizvodinegativan rad.

Primer 8.8 Odrediti rad ucinjen delovanjem sile jacine 40N pod uglom od 60◦

pri pomeranju tela za 3m. (Jedinica za rad sile je Džul, J = Nm)


Rad sile ili mehanicki rad, A

Podsetimo se: Sila vrši mehanicki rad ako pri svom delovanju pokrece telo,menja brzinu kretanja tela, menja oblik tela i sl. Dakle, da bi se vršiomehanicki rad treba da budu ispunjena dva uslova: da deluje sila i da se, naprimer, telo krece pod dejstvom te sile.



∣∣ = |r ||F | cos θ = r · F





Rad sile ili mehanicki rad, APodsetimo se: Sila vrši mehanicki rad ako pri svom delovanju pokrece telo,menja brzinu kretanja tela, menja oblik tela i sl. Dakle, da bi se vršiomehanicki rad treba da budu ispunjena dva uslova: da deluje sila i da se, naprimer, telo krece pod dejstvom te sile.



∣∣ = |r ||F | cos θ = r · F








∣∣ = |r ||F | cos θ = r · F








∣∣ = |r ||F | cos θ = r · F








∣∣ = |r ||F | cos θ = r · F








∣∣ = |r ||F | cos θ = r · F





Documents

Vektori u prostoru....Analiticka geometrijaˇ Predavanje 8 Vektori u prostoru. Skalarni proizvod vektora Novi Sad, 2019. Milica Žigi´c (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrijaˇ