Viktor RadovićDušan MarčetaMarko PavlovićMatematički fakultet Beograd

1 2 3I I I glavni momenti inercije

1 2 3, ,x x x glavne ose inercije

dijagonalizacija

Rotaciona kinetička energija asteroida

22

min 3 33

12 2

LE II

2

max12LEI

min maxE E E “ekscitovano” stanje

složena rotacija asteroida (tumbling asteroids)

vreme relaksacije

-prvi evidentirani slučaj asteroida sa složenom rotacijom-posmatran decembra 1992. godine-prošao na udaljenosti 3.63 miliona kilometara od Zemlje-fotometrijska posmatranja iz 25 mesta na Zemlji dala složenu krivu sjaja

Najčešća aproksimacija oblika asteroida je troosni elipsoid.

a b c poluose asteroida

1 2 3I I I glavni momenti inercije

KLASIČNA TEORIJSKA MEHANIKAProstorna orijentacija asteroida u odnosu na fiksirani koordinatni sistem može biti opisana sa 3 ugla:

, , Ojlerovi uglovi

11 3 2 2 3

22 1 3 1 3

33 2 1 1 2

0

0

0

dI I IdtdI I Idtd

I I Idt

1 2

1 23

1 2

sin cossin

cos sin cossin

cos sin

ddtddtddt

NUMERIČKA INTEGRACIJA

, ,t t t

Skup od osam parametara koji opisuje slobodnu rotaciju asteroida

Vektor momenta impulsa zadaje se kao konstanta

1 2,I I dužine glavnih osa inercije, normalne na treću osu oko koje asteroid rotira i čija dužina je normirana na 1

1 21, 1I I

1 21, 1I I

SAM mod rotacije (short-axis)

LAM mod rotacije (long-axis)

Složenu rotaciju asteroida opisuju dva perioda:

PP

period rotacije asteroida oko glavne ose

period precesije glavne ose oko vektora momenta impulsa

Furijeova analiza pokazuje da se glavni pikovi u spektru nalaze na frekvencijama koje su linearne kombinacije i gde je tj.f f 1/f P

Glavni pikovi su najčešće na frekvencijama i . 2 f 2 f f U Furijeovim spektrima kriva sjaja asteroida javljaju se i druge frekvencije (Kaasalainen 2001, naš rad).

LCGENERATOR

Razvijen od strane Mikko Kaasalainen-a u Fortranu i Josef Durech-a u C-u. Deo je obimnijeg softverskog paketa za analizu kriva sjaja asteroida i modeliranje njihovog oblika.

LCGENERATOR

input_par

out_lcs

shape

lcs

Dinamički parametri sistema i periodi rotacije

Sadrži položaje Sunca, Zemlje i posmatranog asteroida sa odgovarajućim epohama.

Oblik asteroida: konveksni poliedar sastavljen iz trouglova

Kriva sjaja

Kriva sjaja asteroida koju generiše lcgenerator

360L

15L

Spektar dobijen primenom brze Furijeove transformacije (FFT)

Projekat je rađen u okviru studentske letnje prakse, u periodu od 29. juna do 19. jula 2009. godine, na Češkoj opservatoriji Ondrejov.

Naši mentori su bili gospodin Petr Pravec i gospodin Petr Scheirich sa odseka za asteroide.

Zahvaljujemo se opservatoriji Ondrejov i Petr-u Pravec-u na dozvoli da se uključimo u njihov tekući projekat.

Zahvalnost dugujemo i Petr-u Scheirich-u na konkretnoj i stručnoj pomoći.