Analiza rizika i pouzdanosti u građevinarstvu · 2014. 3. 6. · 12-Jan-11 3 Građevinski fakultet Beograd g rađevinarstvu, Doktorske studije 2010/2011, Analiza rizika i pouzdanosti

12-Jan-11

1

Univerzitet u Beogradu, Građevinski fakultetDoktorske studije 2010/2011

Analiza rizika i pouzdanosti Analiza rizika i pouzdanosti u građevinarstvuu građevinarstvu

Dr Jasna Plavšić, docent

ić f

1

Dr Jovan Despotović, v. prof.

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad


građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

2

12-Jan-11

2

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad


građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

3

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad


građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

4

12-Jan-11

3

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

5

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad

Analiza rizika i pouzdanosti Analiza rizika i pouzdanosti u građevinarstvuu građevinarstvu Cilj

osposobljavanje kandidata za uvođenje i korišćenje probabilističkog pristupa u probleme građevinarstva

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11, pristupa u probleme građevinarstva

upoznavanje studenata sa kvantitativnom analizom neizvesnosti i procenom rizika u inženjerskim zadacima

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

6

12-Jan-11

4

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad

Analiza rizika i pouzdanosti Analiza rizika i pouzdanosti u građevinarstvuu građevinarstvu Sadržaj

Osnovni pojmovi iz verovatnoće

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

Slučajne promenljive i njihova svojstva Raspodele verovatnoće Metode estimacije iz uzorka i testiranje statističkih hipoteza Regresiona analiza Analiza učestalosti pojave ekstremnih događaja Analiza rizika i pouzdanosti

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

7

Simulacione tehnike

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad LiteraturaLiteratura

Kottegoda NT and Rosso R (1997) Statistics, Probability and Reliablity for Civil and Environmental Engineers, McGraw-Hill

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11, Hill.

Jovanović S (1987) Primena matematičke statistike u hidrologiji, Građevinski fakultet u Beogradu.

Petković M (?), Elektronski fakultet u Nišu verovatnoca.pdf i statistika.pdf

http://www elfak ni ac rs/phptest/new/index php

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

8

http://www.elfak.ni.ac.rs/phptest/new/index.php(meni Studije/Predavanja i literatura)

12-Jan-11

5

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad LiteraturaLiteratura

MIT Open Courses Probability and Statistics in Engineering

htt // it d / / i il d i t l i i /1 151

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11, http://ocw.mit.edu/courses/civil-and-environmental-engineering/1-151-

probability-and-statistics-in-engineering-spring-2005/

Engineering Risk-Benefit Analysis http://ocw.mit.edu/courses/engineering-systems-division/esd-72-

engineering-risk-benefit-analysis-spring-2007/

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

9

1

II. Osnovni pojmovi iz verovatnoćeII. Osnovni pojmovi iz verovatnoće

1

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad SadržajSadržaj

Osnovni pojmovi iz verovatnoće Slučajni događaji

Sk l t ih d đ j i d đ ji

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11, Skup elementarnih događaja i događaji

Nemoguć događaj, komplementaran događaj, presek događaja, unija događaja

Verovatnoća Definicije verovatnoće Aksiomi verovatnoće Teorema zbira verovatnoće

bi

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

2

Osobine verovatnoće Uslovna verovatnoća i teorema proizvoda verovatnoća Nezavisni događaji Totalna verovatnoća i Bajesova teorema

2

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad Osnovni pojmoviOsnovni pojmovi

Teorija verovatnoće matematička disciplina koja se bavi izučavanjem slučajnih pojava

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

slučajne pojave – empirijski fenomeni čiji ishodi nisu uvek strogo definisani (neizvesni su)

Eksperiment (opit) – osnovni model u teoriji verovatnoće pomoću koga se proučava veza između uzroka i posledica ako se eksperiment ponavlja mnogo puta pod istim uslovima, pojavljuje

se određena zakonomernost u skupu ishoda

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

3

verovatnoća – kvantitativna mera kojom se procenjuje mogućnost/ nemogućnost nastupanja ishoda

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad Osnovni pojmoviOsnovni pojmovi

Eksperiment/opit stvarni ili zamišljeni eksperiment čiji je rezultat NEIZVESAN

(ispitivanje čvrstoće betona; pojava zemljotresa; pojava poplava)

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11, ( sp t va je čv stoće beto a; pojava e jot esa; pojava pop ava)

Ishodi ili realizacije rezultati eksperimenta

Skup svih mogućih ishoda = prostor elementarnih događaja svi mogući rezultati eksperimenta

Slučajni događaj

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

4

j g j podskup skupa svih mogućih ishoda: A nemoguć događaj: A = siguran događaj: A =

3

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad Slučajni događajiSlučajni događaji

Operacije sa događajima/skupovimaSkup svih mogućih ishoda Ω

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

presek A B ili proizvod AB: realizuje se samo ako se realizuju A i B za AB = događaji se međusobno

isključuju (disjunktni ili nesaglasni događaji)

A

A B

B

Skup svih mogućih ishoda Ω

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

5

unija A B ili zbir A + B: realizuje se ako se realizuje A ili B A

A B

B

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr


Operacije sa događajima/skupovimaSkup svih mogućih ishoda Ω

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

razlika A \ B ili A – B: realizuje se ako se realizuje Ai ne realizuje se B

komplement ili suprotan

A

A – B

B

Skup svih mogućih ishoda Ω

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

6

komplement ili suprotan događaj AC: realizuje se akose A ne realizuje A

AC

4

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr


Operacije sa događajima/skupovima uopštenje preseka i unije

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

potpun skup događaja

n

n

ii

n

n

ii

AAAA

AAAA

211

211

n

AAAA

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

7

potpun skup disjunktnih događaja (AiAj = , i ≠ j)

ni

i AAAA 211

n

n

ii

n

ii AAAAA 21

11

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr


Polje događaja F – skup svih događaja koji odgovaraju jednom eksperimentu

F

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

F Ako A F, tada Ac F Ako A1 F i A2 F, tada A1 + A2 F

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

8

5

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr


Primer: Visina kiše kao slučajna promenljiva X

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

Skup svih mogućih ishoda: 0 X < ∞

Skup svih mogućih ishoda

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

9

X0 10 20 30 40 50 60

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr


Primer: Opit: merenje visine kiše X

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

Skup svih mogućih ishoda: 0 X < ∞ Ishod ili realizacija (osmatranja): X = 52.1 mm

Jedan ishod

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

10

X0 10 20 30 40 50 60

6

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr



građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

Skup svih mogućih ishoda: 0 X < ∞ Ishod ili realizacija (osmatranja): X = 52.1 mm Slučajni događaj:

X > 20 mm

Događaj X > 20

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

11

X0 10 20 30 40 50 60

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr



građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,


X > 20 mm, X 10 mm

Događaj X < 10

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

12

X0 10 20 30 40 50 60

7

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr



građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,


X > 20 mm, X 10 mm, 30 X 60 mm

Događaj 30 < X < 60

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

13

X0 10 20 30 40 50 60

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr


Primer: Maksimalna visina dnevne kiše X i broj dana u mesecu Y sa kišom

većom od 10 mm

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11, većom od 10 mm

Skup svih mogućih ishoda: 0 X < ∞, Y = 0, 1, 2, ..., 30(31)

20

30

Y

A = {30 < X < 60}

B = {10 < Y < 20}

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

14

X0

0

10

10

20 30 40 50 60

B {10 Y 20}

8

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad Definicija verovatnoćeDefinicija verovatnoće

Klasična definicija verovatnoća događaja A je količnik broja nA (povoljnih) ishoda koji

dovode do realizacije događaja A i broja n svih ishoda

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11, dovode do realizacije događaja A i broja n svih ishoda

intuitivno i iskustveno određivanje šanse za realizaciju događaja primer: izvlačenje jedne karte iz špila od 52 karte

t ji 52 ć i h d k ji đ b i klj č j ( k t

nnAP A}{

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

15

postoji 52 moguća ishoda koji se međusobno isključuju (sve karte su različite)

ako je igra fer (špil je dobro promešan), 52 ishoda su jednako verovatna npr. verovatnoća za izvlačenje trefa jednaka je 13/52 = 1/4

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr


Klasična definicija posledica: za događaje koji se međusobno isključuju

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

k

ii

k

ii

BABA

APAP

BPAPn

nn

nn

nnABP

11}{}{

}{}{}{

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

16

9

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr


Statistička definicija verovatnoća događaja A može se proceniti ako se posmatra uzorak od n

osmatranja u kome ima m vrednosti iz skupa A odnosno kao m /n; što

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11, osmatranja u kome ima mn vrednosti iz skupa A, odnosno kao mn/n; što

je veći uzorak (što je veće n), to je mn/n bolja ocena verovatnoće događaja A

nmAP n

n lim}{

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

17

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr


Uprošćena aksiomatska definicija (Kolmogorov, 1933) preslikavanje P{.} kojim se polje događaja slučajnog opita preslikava u

skup realnih vrednosti između 0 i 1 u skladu sa sledećim aksiomima:

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11, skup realnih vrednosti između 0 i 1 u skladu sa sledećim aksiomima:

1° P{A} ≥ 0, za svako A F2° P{} = 13° Ako je: A1, A2 F, A1A2 = , tada je P{A1 + A2} = P{A1} + P{A2}

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

18

10

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad Osobine verovatnoćeOsobine verovatnoće

Normiranost: 0 ≤ P{A} ≤ 1

V ć k / ć d đ j

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

Verovatnoća praznog skupa/nemogućeg događaja:P{} = 0

Verovatnoća sigurnog događaja:P{} = 1

Potpuna (totalna) verovatnoća: ako se prostor verovatnoće podeli na M disjunktnih skupova odnosno događaja A1, A2, ...,

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

19

AM koji se međusobno isključuju, tada je P{A1} + P{A2} + ... + P{AM} = P{} = 1

Suprotna verovatnoća (verovatnoća suprotnog događaja): P{AC} = 1 – P{A}

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad Osobine verovatnoćeOsobine verovatnoće

Teorema zbira verovatnoća (verovatnoća unije događaja):P{A B} = P{A} + P{B} – P{AB}

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

Verovatnoća podskupa: ako je A B, tada je P{A} ≤ P{B}

Bulova nejednakost:P{A1 + A2 + ... + An} ≤ P{A1} + P{A2} + ... + P{An}

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

20

11

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr

ad Uslovna verovatnoćaUslovna verovatnoća

Uslovna verovatnoća: verovatnoća događaja B pod uslovom da se desio događaj A:

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

prema klasičnoj definiciji verovatnoće

}{}{}|{

APABPABP

ABn

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

21

A

AB

A

AB

nn

nnn

APABPABP

}{}{}|{

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr


Teorema proizvoda verovatnoća (verovatnoća preseka događaja)

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

iz definicije uslovne verovatnoće:

}{}|{}{}|{}{

}{}{}|{

}{}{}|{

BPBAPAPABPABP

BPABPBAP

APABPABP

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

22

uopštenje

}{}|{}|{}{}|{}){(}{ APABPABCPABPABCPCABPABCP

}|{}|{}|{}{}{ 12121312121 nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP

12

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr


Nezavisnost događaja: događaj B ne zavisi od događaja A, pa je P{B|A} = P{B} i

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

}{}{}{ BPAPABP

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

23

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr


Formula potpune (totalne) verovatnoće za disjunktne (međusobno isključive) događaje H1, H2, ..., Hn koji čine

skup svih mogućih ishoda verovatnoća događaja B je

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11, skup svih mogućih ishoda ,verovatnoća događaja B je

n

iii

nn

n

n

HPHBP

HPHBPHPHBPHPHBPBHPBHPBHP

HHHBPBPBP

1

2211

21

21

}{}|{

}{}|{}{}|{}{}|{}{}{}{)}({}{}{

H H H

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

24

Hi – hipoteze (stanja sistema) B – uzorak P{Hi} – apriorne verovatnoće (poznate unapred) P{Hi|B} – aposteriorne verovatnoće

H1 H2 H3

Hi

Hn

...

B

13

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr


Bajesova formula

BPBHPHPHBPBHP }{}|{}{}|{}{

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11,

n

iii

iiiii

iiii

HPHBP

HPHBPBP

HPHBPBHP

BPBHPHPHBPBHP

1}{}|{

}{}|{}{

}{}|{}|{

}{}|{}{}|{}{

H H H

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

25

H1 H2 H3

Hi

Hn

...

B

Gra

đevi

nski

faku

ltet B

eogr


A priori verovatnoća može se odrediti “unapred”, dedukcijom, bez sprovođenja

eksperimenata

građ

evin

arst

vu, D

okto

rske

stu

dije

201

0/20

11, e spe e ata

npr. verovatnoća da pri bacanju novčića padne pismo je 1/2, da će se izvući as iz špila karata je 1/13, da pri bacanju kocke padne šestica je 1/6, itd.

A posteriori verovatnoća određuje se “naknadno”, na osnovu eksperimenata odnosno osmatranja npr. laboratorijsko ispitivanje čvrstoće na savijanje drvene grede:

9 lt t d k 165 k i t l i i đ 20 i 24 99

Anal

iza

rizik

a i p

ouzd

anos

ti u

g

26

9 rezultata od ukupno 165 eksperimenata nalazi se između 20 i 24.99 N/mm2 , pa se može zaključiti da je verovatnoća da je čvrstoća u ovom intervalu jednaka relativnoj frekvenciji od 9/165 = 0.055

18-Jan-11

1

III. Slučajne promenljiveIII. Slučajne promenljive

1

SadržajSadržaj

Slučajna promenljiva Definicija Raspodela verovatnoće Osobine slučajnih promenljivih Višedimenzionalne slučajne promenljive Funkcije slučajnih promenljivih

18-Jan-11

2

Slučajna promenljivaSlučajna promenljiva

Promenljiva koja uzima vrednosti na nedeterministički način, sa određenom verovatnoćom

Predstavlja preslikavanje prostora elementarnih događaja u skup realnih brojeva:

X: R

Slučajna promenljivaSlučajna promenljiva

Prekidna ili diskretna slučajna promenljiva koja uzima konačno ili prebrojivo mnogo

vrednosti najčešće uzima celobrojne vrednosti

broj dana u godini sa kišom većom od 10 mm broj dana u godini sa temperaturom ispod 0oC broj talasa velikih voda u godini sa maksimalnim protokom većim od neke

vrednosti

Neprekidna ili kontinualna slučajna promenljiva koja uzima vrednosti iz neprebrojivog skupaj p j j p j g p najčešće uzima vrednosti iz skupa realnih brojeva

visina kiše vodostaj (nivo vode) protok zapremine talasa velikih voda nivo podzemnih voda

18-Jan-11

3

Zakon raspodele verovatnoćeZakon raspodele verovatnoće

Ishodi ili realizacije i događaji vezani za slučajnu promenljivu se dešavaju sa određenom verovatnoćom, tj prema RASPODELI VEROVATNOĆEtj. prema RASPODELI VEROVATNOĆE


DISKRETNA SLUČAJNA PROMENLJIVA Raspodela verovatnoće za diskretnu slučajnu promenljivu

}{

:3

3

2

2

1

1

ii xXPp

px

px

px

X

1321 i

ipppp

18-Jan-11

4


DISKRETNA SLUČAJNA PROMENLJIVA

Primer:

bacanje novčića

bacanje kocke

5.05.0

:GP

X

6/1

66/1

56/1

46/1

36/1

26/1

1:X

ocena na ispitu

05.0

1012.09

25.08

18.07

10.06

30.05

:X



Grafički prikazp primer: ocena na ispitu

0.200.250.300.35

vatn

oća

0.000.050.100.15

5 6 7 8 9 10

ocena na ispitu

vero

v

18-Jan-11

5



Primer događaja: ocena na ispitug j p verovatnoća da se padne ispit: P{X = 5} = 0.30 verovatnoća da se položi ispit: P{X > 5} = P{X ≥ 6} =

P{X = 6 ili X = 7 ili X = 8 ili X = 9 ili X = 10} =P{X = 6} + P{X = 7} + P{X = 8} + P{X = 9} + P{X = 10} =0.10 + 0.18 + 0.25 + 0.12 + 0.05 = 0.70iliP{X ≠ 5} = 1 – P{X = 5} = 1 – 0.30 = 0.70

t ć dlič 0.30

0.35

verovatnoća za odličnu ocenu:P{X ≥ 9} = P{X = 9} + P{X = 10} =0.12 + 0.05 = 0.17

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

5 6 7 8 9 10

ocena na ispituve

rova

tnoć

a


KONTINUALNA SLUČAJNA PROMENLJIVA

G ti d l t ć f( ) f( ) Gustina raspodele verovatnoće f(x)

Funkcija raspodele verovatnoće F(x)

1)(

duuf

x

f x( )

x

F x( )

P X x{ }

1

x

duufxXPxF )(}{)(

dxxdFxf )()(

0 x

P X x{ }

x

18-Jan-11

6


KONTINUALNA SLUČAJNA PROMENLJIVA Verovatnoće događaja

x

f x( )

x

P X x{ } = ( )F x P X x{ > } = 1 ( ) F x–

x

f x( )

x

0 x

F x( )

P X x{ } P X x{ }

P X x{ > }

x

1

0 x

F x( )

x

1


KONTINUALNA SLUČAJNA PROMENLJIVA Verovatnoće događaja

f x( )

P{x1 < X < x2} = = 1 – P{X < x1} – P{X > x2} = = 1– P{X > x2} – P{X < x1} = = P{X < x2} – P{X < x1} = F(x2) – F(x1)

P x X x{ < }1 = ( ) F x 1– ( )F x

x

f( )

x2x1

F x( )1

P x X x{ < }1

x2x10 x

F x( )1

F x( )2

1

18-Jan-11

7


KONTINUALNA SLUČAJNA PROMENLJIVA Primer: eksponencijalna raspodela:

1.2

xxux

ux

x

eedueduufxXPxF

xexf

1)(}{)(

0,)(

000

233.0135.0368.011)1()2(}21{

632.0368.011)1(}1{12

1

eeFFXP

eFXP0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7

x

f(x)

1

000.1050.0085.0233.0632.0}3{}32{}21{}1{

050.011)3(1}3{

085.0050.0135.011)2()3(}32{

3

23

XPXPXPXP

eFXP

eeFFXP

00.1

0.20.3

0.40.50.6

0.70.8

0.9

0 1 2 3 4 5 6 7

xF

(x)


Primer: maksimalni godišnji protoci na Savi kod Sremske Mitrovice – raspodela iz uzorka

40

50

60

70

kven

cije 40

50

60

70

frekvkumul. frekv.

Klasa od

Klasa do

Frekv. n

Kumul. frekv. F = Σn

2400 2800 1 1

2800 3200 3 4

3200 3600 14 18

3600 4000 14 32

4000 4400 15 47

1 3

14 14 15

5

11

3 3 10

10

20

30

2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600 6000 6400

x

frek

0

10

20

304400 4800 5 52

4800 5200 11 63

5200 5600 3 66

5600 6000 3 69

6000 6400 1 70

18-Jan-11

8



0 5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

venc

ije

0 5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

rel. frekv.kumul. rel. frekv.

Klasa od

Klasa do

Rel. frekv. n* = n/N

Kumul. rel. frekv. F* = F/N

2400 2800 0.014 0.014

2800 3200 0.043 0.057

3200 3600 0.200 0.257

3600 4000 0.200 0.457

4000 4400 0.214 0.671

0.014 0.043

0.200 0.200 0.214

0.071

0.157

0.043 0.043 0.0140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600 6000 6400

x

rel.

frekv

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

4400 4800 0.071 0.743

4800 5200 0.157 0.900

5200 5600 0.043 0.943

5600 6000 0.043 0.986

6000 6400 0.014 1



4.E-04

5.E-04

6.E-04

7.E-04

8.E-04

9.E-04

1.E-03

stin

a ra

spod

ele

Klasa od

Klasa do

Gustina f *= n*/Δx

Kumul. rel. frekv. F* = F/N

2400 2800 3.57E-05 0.014

2800 3200 1.07E-04 0.057

3200 3600 5.00E-04 0.257

3600 4000 5.00E-04 0.457

4000 4400 5.36E-04 0.671

0.E+00

1.E-04

2.E-04

3.E-04

2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600 6000 6400

x

gus

4400 4800 1.79E-04 0.743

4800 5200 3.93E-04 0.900

5200 5600 1.07E-04 0.943

5600 6000 1.07E-04 0.986

6000 6400 3.57E-05 1

18-Jan-11

9

Osobine raspodela verovatnoće Osobine raspodela verovatnoće ––Numeričke karakteristike slučajnih promenljivihNumeričke karakteristike slučajnih promenljivih Matematičko očekivanje (srednja vrednost, sredina)

za kontinualnu raspodelu

za diskretnu raspodelu

Operator očekivanja

dxxfxXE X )(][

ix

iiX xXPxXE }{][

Operator očekivanja

dxxfxgXgE )()()]([

Osobine raspodela verovatnoćeOsobine raspodela verovatnoće

Matematičko očekivanje osobine

za nezavisne promenljive X1 i X2

][][ XcEcXE

][][][ YEXEYXE

cXEcXE ][][

][][][ 2121 XEXEXXE ][][][ 2121 XEXEXXE

18-Jan-11

10


Momenti raspodele momenti oko koordinatnog početka

momenti oko sredine

dxxfxXE rrr )(]['

dxxfxXE rrr )()(])[(

ix

iri

rr xXPxXE }{]['

ix

ir

ir

r xXPxXE }{)(])[(


Momenti raspodele Veze između dve vrste momenata

r

j

jrj

jrrr j

rXE

0')1(])[(

4223444

32333

22222222

1

364][

23][

2]2[][

0][

EXEXEXXEEXEXXE

EXEXEXXXEXEEXXE

r

j

jrj

rr j

rXE

0]['

42234

44

323

33

22

22

1

64'

3'

'

'

EXEXEXEX

18-Jan-11

11


Disperzija ili varijansa

])[(]var[][ 22 XEXXD

za kontinualnu promenljivu

za diskretnu promenljivu

XPXD }{)(][ 2

dxxfxXD )()(][ 22

ix

ii xXPxXD }{)(][2

2


Standardna devijacija

][XD

Koeficijent varijacije

][

2/1

2vC

18-Jan-11

12


Disperzija ili varijansa osobine

za nezavisne promenljive X1 i X2

0][ cD

][][][ YDXDYXD

][][ XDcXD

][][ 2 XDccXD

][][][ YDXDYXD


Srednja vrednost – mera centralne tendencije težište gustine raspodele

f x( )

težište gustine raspodele

Medijana – još jedna mera centralne tendencije:

dxxfx )('1

50)()()( Me

dfdfMF

x

f x( )

0 50.5

Mod – maksimalna ordinata gustine raspodele

5.0)()()( Me

dxxfdxxfMeF

max)( fMof Me x

0.5

18-Jan-11

13


Disperzija – mera odstupanja od srednje vrednosti, mera varijabilnosti slučajne promenljive

dxxfxDX )()( 22 f x( )malo

veliko

x

veliko


Asimetrija raspodele treći momenat: pozitivna negativna

koeficijent asimetrije:

dxxfx )()( 33

33

2/32

3

sC

f x( )

asimetrijaCs > 0

asimetrijaCs < 0

x

18-Jan-11

14


Spljoštenost raspodele četvrti momenat:

koeficijent spljoštenosti:

dxxfx )()( 44

44

22

4

kC

eksces: u odnosu na normalnu raspodelu (Ck = 3)

3 kCe


Ocena iz uzorka srednja vrednost:

it tičk di N1

aritmetička sredina

standardna devijacija

momenti oko sredine

i

ixNx

1

N

ii xxN

S1

2)(1

1

N

i

rir xxN

m1

)(1iN 1

18-Jan-11

15

Standardizovana slučajna promenljivaStandardizovana slučajna promenljiva

Standardizovana slučajna promenljiva ili normirano odstupanje od srednje vrednosti

X

XXXD

XEXX

][

][*

1][1][1*][

0)][(1][1*][

XDXDXD

XEXEXE

X

XX

XX

1][][][ 22

XDXDXD

XX

X

Višedimenzionalna slučajna promenljivaVišedimenzionalna slučajna promenljiva

Dve ili više slučajnih promenljivih koje se zajedno (simultano) posmatraju

Zajednička raspodela više promenljivih je višedimenzionalna raspodela koja definiše verovatnoće sa kojima se javljaju vrednosti slučajnih promenljivih

Funkcija raspodele 2D slučajne promenljive:

}{),( yYxXPyxF YX }{)(, yyYX

18-Jan-11

16


Raspodela 2D slučajne promenljive diskretnog tipa jijiYX yYxXPyxp }{),(,

xx yyjiYXYX

x yjiYX

i j

i j

yxpyYxXPyxF

yxp

),(}{),(

1),(

,,

,

2D raspodela


Raspodela 2D slučajne promenljive diskretnog tipa marginalne raspodele

)(),(

)(),(

,

,

jYx

jiYX

iXy

jiYX

ypyxp

xpyxp

i

j

2D raspodela

marginalne raspodele

18-Jan-11

17


Raspodela 2D slučajne promenljive diskretnog tipa uslovna raspodela

Y = 1

)(),(

}{}{

}|{)|( ,|jY

jYX

j

jjjYX yp

yxpyYP

yYxXPyYxXPyxp

uslovna raspodela Xza Y = 1

2D raspodelaY = 1

0.1350 0.8054 0.0562 0.0034 1.0000


Raspodela 2D slučajne promenljive kontinualnog tipa

b d

d dfdYbXP )(}{

a b

YXYX

YX

a cYX

dxdyyxfbYaXPbaF

dxdyyxf

dxdyyxfdYcbXaP

),(}{),(

1),(

),(}{

,,

,

,

f(x,y

)

18-Jan-11

18


Raspodela 2D slučajne promenljive kontinualnog tipa marginalne raspodele

uslovne raspodele

dxyxfyf

dyyxfxf

YXY

YXX

),()(

),()(

,

,

)(),(

)|(

)(),(

)|(

,|

,|

yfyxf

yxf

xfyxf

xyf

Y

YXYX

X

YXXY

Funkcije slučajnih promenljivihFunkcije slučajnih promenljivih

Funkcije čiji su argumenti slučajne promenljive Neka je X slučajna promenljiva sa raspodelom fX(x) Ako je Y = g(X) neka funkcija slučajne promenljive, i neka je

inverzna funkcija X = h(Y) = g–1(Y) Tada je Y slučajna promenljva sa raspodelom fY(y)

)]([||)]([)()( yhfJyhfyhdydyf XXY

Primer:

bcyf

byf

bdydx

bcYXcbXY

XY1)(

1;;

18-Jan-11

19

Funkcije slučajnih promenljivihFunkcije slučajnih promenljivih

Funkcije više slučajnih promenljivih Neophodno formulisati višedimenzionalnu raspodelu Npr. zbir dve slučajne promenljive: Z = X + Y

dyyyzfdxxzxfzFzf

dydxyxf

XzYPzYXPzZPzF

YXYXZZ

xz

YX

Z

),(),()()(

),(

}{}{}{)(

,,

,

z

,,

x

y

y = z – x

y < z – x

1

Teorijske raspodele verovatnoTeorijske raspodele verovatnoćće e u hidrologijiu hidrologiji

Normalna i log-normalna raspodela

Gumbelova raspodela

Pirson III i log-Pirson III raspodela

Normalna raspodelaNormalna raspodela

gustina raspodele:

funkcija raspodele:

∞

2


parametri:μ – srednja vrednost (μ = μ’1)σ – standardna devijacija (σ2 = μ2)

x

f(x)

μ

F(x)

x

1

0

0.5

μμ – parametar

lokacije

σ – parametar razmere

σ1

σ2

σ1

σ2

Normalna raspodelaNormalna raspodelaStandardna normalna raspodela

smena:

gustina i funkcija raspodele:

parametri:

σμ−

=xz

1,0 =σ=μ

z

φ(z)

0

Φ(z)

z

1

0

duuzz

∫∞−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

π=Φ

2exp

21)(

2

0.5

0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

π=ϕ

2exp

21)(

2zz

3


važna osobina: simetričnost → Cs = 0

z

φ(z)

0

Φ(z)

z

1

0

0.5

0z–z

φ(–z)= φ(z)

z–z

Φ(–z)Φ(z)

1 – Φ(–z) = Φ(z)

1 – Φ(z) = Φ(–z)


Veza između normalne i standardne normalne raspodele:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σμ−

Φ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σμ−

≤=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σμ−

≤σμ−

=

=μ−≤μ−=≤=

xxZP

xXP

xXPxXPxF }{}{)(⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σμ−

Φ=xxF )(

σμ−

=Φ=xzzxF ),()(

4


Određivanje parametara na osnovu uzorka

Postupak proračuna

F = NORMSDIST(z)z = NORMSINV(F)


)()(TAB xFzFS

xxzx XZx

=⎯⎯ →⎯−

=→

xZX SzxxzzFxF ⋅+=→⎯⎯ →⎯=TAB)()(

xSx

=σ=μ

LogLog--normalna raspodelanormalna raspodela

Primena normalne raspodele na logaritmovane podatkeako slučajna promenljiva Y = log X prati normalnu raspodelu, tada X prati log-normalnu raspodeluparametri: srednja vrednost i standardna devijacija logaritmovanog niza

Veza sa standardnom normalnom raspodelomYY σμ ,

)(log}log{}10{}{)(

xFxYPxPxXPxF

Y

Y

=≤==≤=≤=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σμ−

Φ==xxFxF Y

log)(log)(

σμ−

==Φ==yzxyzyFxF Y ,log),()()(

5

LogLog--normalna raspodelanormalna raspodela


Postupak proračuna



yY

Y

Sy

=σ=μ

)()()(log TAB xFyFzFS

yyzxyx XYZy

==⎯⎯ →⎯−

=→=→

yyZX xSzyyzzFxF 10)()(

TAB =→⋅+=→⎯⎯ →⎯=

Gumbelova raspodelaGumbelova raspodela

gustina raspodele:

funkcija raspodele:

inverzna funkcija raspodele:

drugi nazivi:dvostruko eksponencijalna raspodelaraspodela ekstremnih vrednosti I tipa

∞

6


parametri:α – parametar razmereu – parametar lokacije

osobine:srednja vrednost μ(u,α)standardna devijacija σ(u,α)

koef. asimetrije Cs = 1.14

x

f(x)

u

α1

α2 > α1

u – parametar lokacije

α – parametar razmere

απ

=σ

α+=μ

6

5772.0u


Standardna Gumbelova raspodela

smena:

parametri:

gustina raspodele:

funkcija raspodele:

inverzna funkcija raspodele:

∞

7

GumbelovaGumbelova raspodelaraspodela

Veza između obične i standardne Gumbelove raspodele:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

α−

≤=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

α−

≤α−

=

=−≤−=≤=

uxGuxYP

uxuXP

uxuXPxXPxF }{}{)(⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α−

=uxGxF )(

α−

==uxyyGxF ),()(



Postupak proračuna

F = EXP(–EXP(–y))y = –LN(–LN(F))

F = EXP(–EXP(–y))y = –LN(–LN(F))

x

x

SSxu

78.045.0

=α−=

)()( xFeyFuxyx Xe

Yy==→

α−

=→−−

α⋅+=→−−=→= yuxFyyFxF YX )lnln()()(

8

Familija gama raspodelaFamilija gama raspodelaDvoparametarska gama raspodela

gustina raspodele:

parametri:α – parametar oblikaβ – parametar razmere

0,)(

1)( /1

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βαΓβ

= β−−α

xexxf x

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

f(x)

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

f(x)

β = 1 α = 2

α = 1

α = 2

α = 4

β = 1

β = 2β = 4

Pirsonova raspodela III tipaPirsonova raspodela III tipa

Troparametarska gama raspodela

gustina raspodele:

parametri:α – parametar oblikaβ – parametar razmereγ – parametar lokacije

osobine:asimetrična; za Cs = 0 postaje normalna raspodelamomenti:

0,)(

1)( /)(1

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βγ−

αΓβ= βγ−−

−α

xexxf x

α=

αβ=σ

γ+αβ=μ

2sC

9

Pirsonova raspodela III tipaPirsonova raspodela III tipa


Postupak proračuna

Csx > 0: F = GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csx < 0: F = 1 – GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

Csx > 0: F = GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csx < 0: F = 1 – GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

αβ−=γ⋅

=β=α xcS

csxx

sx

,2

,42

)( za TAB xFcS

xxKx Xsxx

P ⎯⎯⎯⎯ →⎯−

=→

xPPsx

X SKxxKcxF ⋅+=→⎯⎯⎯⎯ →⎯ za TAB)(

KP – faktorfrekvencije

LogLog--Pirson III raspodelaPirson III raspodela

Log-Pirson III raspodelaako slučajna promenljiva Y = log X prati Pirson III raspodelu, tada X prati log-Pirson III raspodeluprimena Pirson III raspodele na logaritmovane podatke

10

LogLog--Pirson III raspodelaPirson III raspodela


Postupak proračuna

Csy > 0: F = GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csy < 0: F = 1 – GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

Csy > 0: F = GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csy < 0: F = 1 – GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

αβ−=γ⋅

=β=α ycS

csyy

sy

,2

,42

)()(log za TAB

xFyFc

SyyKxyx XY

sy

yP =⎯⎯⎯⎯ →⎯

−=→=→

yyPP

syX xSKyyK

cxF 10)(

za TAB=→⋅+=→⎯⎯⎯⎯ →⎯

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1950 1960 1970 1980 1990 2000

Q (m

3 /s)

PrimerPrimerSava – Sremska Mitrovica

originalni niz X

logaritmovani niz Y = log X

broj podataka 51 51

srednja vrednost 4187 3.6147

standardna devijacija 781.3 0.07936

koeficijent varijacije 0.187 0.022

koeficijent asimetrije 0.623 0.196

11

PrimerPrimer

Proračun parametara raspodela

Normalna raspodela:

Log-normalna raspodela:

Gumbelova raspodela:

X Y = log X

broj podataka 51 51



koeficijent asimetrije 0.623 0.196/sm3.781

/sm41873

3

==σ

==μ

xS

x

07936.06147.3

==σ==μ

yY

Y

Sy

/sm4.6093.78178.078.0

/sm38353.78145.0418745.03

3

=⋅=⋅=α

=⋅−=⋅−=

x

x

S

Sxu

PrimerPrimer

Proračun parametara raspodela

Pirson III raspodela:

Log-Pirson III raspodela:

X Y = log X

broj podataka 51 51



koeficijent asimetrije 0.623 0.196

/sm1678623.0

3.781241872

3.2432

623.03.7812

31.10623.044

3

22

=⋅

−=−=γ

=⋅

=⋅

=β

===α

sx

x

sxx

sx

cS

x

cSc

804.2196.007936.026147.3

2

007771.02

196.007936.02

31.104196.044

22

=⋅

−=−=γ

=⋅

=⋅

=β

===α

sy

y

syy

sy

cS

y

cSc

12

PrimerPrimer

Proračun teorijskih raspodelaprotok za F(x) = 0.95

Normalna raspodela:

Log-normalna raspodela:

/sm54723.781645.14187

645.1)95.0(95.0)(3

XL TAB,

=⋅+=⋅+=

=⎯⎯⎯ →⎯=

x

X

Szxx

zxF

/sm556210

74524.307936.0645.16147.3645.1)95.0(95.0)(

3

XL TAB,

==

=⋅+=⋅+==⎯⎯⎯ →⎯=

y

y

X

x

SzyyzxF

PrimerPrimer


Gumbelova raspodela:

Pirson III raspodela:

/sm56454.609970.23835

970.2)95.0lnln()95.0(95.0)(3=⋅+=α⋅+=

=−−=→=

yux

yxFX

/sm55953.781802.14187

802.1)623.0,95.0(819.1)7.0,95.0(,797.1)6.0,95.0(95.0)(

3

TAB

=⋅+=⋅+=

=========⎯⎯ →⎯=

xP

sxP

sxPsxPX

Skxx

cFkcFkcFkxF

/sm55953.243098.161678

098.1695.0)(

3

XL

=⋅+=β⋅+γ=

===βγ−

⎯→⎯=

ux

uxxFX 1)10.311,.95,GAMMAINV(0

13

PrimerPrimer


Log-Pirson III raspodela:

/sm561710

74953.307936.0699.16147.3

699.1)196.0,95.0(

700.1)2.0,95.0(,673.1)1.0,95.0(95.0)(

3

TAB

==

=⋅+=⋅+=

===

======⎯⎯ →⎯=

y

yP

syP

syPsyPX

x

SkyycFk

cFkcFkxF

/sm561700777.066.1218041.2

66.12195.0)(

3

XL

=⋅+=β⋅+γ=

===βγ−

⎯→⎯=

uy

uyxFX 1)104.31,.95,GAMMAINV(0

PrimerPrimer

Sava – Sremska MitrovicaRezultati proračuna kvantila od 95%

Raspodela Protok sa F(x) = 0.95

(m3/s)

Normalna 5472

Log-normalna 5562

Gumbelova 5645

Pirson III 5595

Log-Pirson 3 5617

Diskretne raspodele_tekst.doc

1

DISKRETNE RASPODELE VEROVATNOĆE

Diskretne raspodele se koriste za opisivanje slučajnih promenljivih koje mogu uzeti celobrojne vrednosti.

U nekim slučajevima eksperimenti mogu da se sastoje od jednog jedinog opita čiji se ishod može svrstati u dve kategorije. Takvi opiti se nazivaju Bernulijevim opitima, a iz njih su prostekli probabilistički modeli kao što su binomna, geometrijska i negativna binomna raspodela. Niz Bernulijevih opita čini Bernulijev proces. Bernulijeva raspodela

Raspodela za slučajnu promenljivu sa dva ishoda (uspeh/neuspeh) u jednom eksperimentu (tzv. Bernulijev opit), pri čemu se ta dva ishoda međusobno isključuju i čine potpun skup događaja. Osnovne postavke su:

− Moguća su samo dva ishoda, koji se nazivaju uspeh i neuspeh. − Verovatnoća pojave uspeha p (ili neuspeha 1 – p) je konstantna. − Opiti su nezavisni (tj. ishod jednog opita ne zavisi od ishoda drugih opita).

Zakon raspodele:

⎩⎨⎧

≠≠=−

===−

1,01,0

0,)1(

}{1

xxxpp

xXPpxx

x

odnosno

1,010

,0,

,1}{

≠≠==

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −==

xxxx

pp

xXP

Svojstva raspodele:

pEXDXI

ppDXpEX

D −==

−==

1

)1(

Parametar:

xp =

Generatorska funkcija momenata:

t

x

txX eppxXPetM ⋅+−=== ∑

=)1(}{)(

1

0

Binomna raspodela

Posmatra se niz od n Bernulijevih opita, od kojih svaki ima dva ishoda (uspeh/neuspeh) sa verovatnoćom uspeha p i verovatnoćom neuspeha 1 – p. U n opita se može javiti x uspeha i (n – x)

neuspeha na ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xn

načina. Binomna raspodela je raspodela za slučajnu promenljivu X koja predstavlja broj

uspešnih opita x od ukupno n opita. Značajna osobina binomnih slučajnih promenljivih je ta da je njihov zbir takođe binomna slučajna

promenljiva. Ako je X1 binomna slučajna promenljiva sa parametrima p i n1, a X2 sa parametrima p i n2, onda je Y = X1 + X2 binomna promenljiva sa parametrima p i n = n1 + n2. Ova definicija važi i za zbir više promenljivih.


2

Zakon raspodele:

nxppxn

xXPp xnxx ,,1,0,)1(}{ K=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== −

Svojstva raspodele:

pIpnpDX

npEX

D −=−=

=

1)1(

Generatorska funkcija momenata:

nt

x

txX eppxXPetM ])1[(}{)(

1

0⋅+−=== ∑

=

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 5 10 15 20

x

p(x)

n = 5n = 10n = 20n = 30

p = 0.3

00.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

0.45

0 5 10 15 20

x

p(x)

p = 0.1p = 0.3p = 0.5p = 0.8

n = 10

Parametri:

− ako je poznat parametar n (broj opita):

nxp =

− ako je parametar n nepoznat najpre se računa:

DIx

pxn

−==

1


3

a zatim se tako sračunat parametar n zaokružuje na celobrojnu vrednost i računa parametar p:

nxp =

Zakon raspodele u Excelu:

p(x) = BINOMDIST(x, n, p, FALSE) Negativna binomna raspodela

Posmatramo Bernulijeve opite koji se nastavljaju sve dok se ne javi tačno r uspeha, a broj opita x do ostvarenja ovog zahteva predstavlja slučajnu promenljivu X. To znači da se posle x – 1 opita javilo tačno r – 1 uspeha, dok se u x-tom opitu javio r-ti uspeh.

Negativna binomna raspodela ima i alternativni oblik ako se umesto ukupnog broja opita x do r-tog uspeha posmatra slučajna promenljiva Y koja predstavlja broj neuspeha y = x – r do r-tog uspeha. Zakon raspodele:

rxpprx

xXPp rxrx ≥−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=== − ,)1(11

}{

ili, za Y = X – r:

0,)1(1

1}{ ≥−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

=== yppr

yryYPp yry

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 5 10 15 20

y

p(y)

r = 1r = 2r = 4r = 8

p = 0.3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 5 10 15 20

y

p(y)

p = 0.2p = 0.5p = 0.6p = 0.8

r = 5


4

Svojstva raspodele:

pI

pprDY

pprEY

ppI

pprDX

prEX

DY

DX

1,)1(,)1(

1,)1(,

2

2

=−

=−

=

−=

−==

Parametri: najpre se računa:

1+==

DXIxxpr ili

11 −=

−=

DYIy

pypr

a zatim se tako sračunat parametar r zaokružuje na celobrojnu vrednost i računa parametar p:

xrp = ili

ryrp+

=

Zakon raspodele u Excelu:

p(y) = NEGBINOMDIST(y, r, p) Poasonova raspodela Dobija se kao granični slučaj binomne raspodele ako je p malo, a n veliko (n → ∞ i p → 0). Proizvod np = Λ je očekivani broj uspeha u nizu od n Bernulijevih opita, kada n → ∞ (Λ je prosečan broj uspeha u beskonačnom broju opita).

Za male vrednosti Λ Poasonova raspodela je pozitivno asimetrična, dok za velike vrednosti Λ teži ka simetričnosti.

Zbir dve Poasonove slučajne promenljive je takođe Poasonova slučajna promenljiva. Ako su X1 i X2 Poasonove promenljive sa parametrima Λ1 i Λ2, onda je Y = X1 + X2 Poasonova promenljiva sa parametrom Λ = Λ1 + Λ2. Ova definicija važi i za zbir više promenljivih. Zakon raspodele:

0,!

}{ ≥Λ===λ−

xxexXPp

x

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 5 10 15 20

x

p(x)

lam = 0.5lam = 1.2lam = 2.5lam = 10


5

Svojstva raspodele:

1==

Λ==

EXDXI

DXEX

D

Parametar:

x=Λ Zakon raspodele u Excelu:

p = POISSON(x, lambda, FALSE) Poasonov proces

Parametar Λ Poasonove raspodele se posmatra kao prosečan broj javljanja u nekom intervalu vremena t. Tada t/Λ=λ predstavlja prosečni intenzitet javljanja uspeha u jedinici vremena. Ukoliko je intenzitet javljanja λ konstantan tokom celog intervala vremena t, a time i prosečan broj javljanja Λ, u pitanju je homogen Poasonov proces. Ako se interval vremena t podeli na n podintervala Δt (t = nΔt), verovatnoća pojave jednog uspeha u podintervalu Δt približno je jednaka λΔt. Kada 0→Δt , ova verovatnoća postaje tačna verovatnoća. Dakle, u jedinici vremena može se javiti najviše jedan uspeh, odnosno, verovatnoća pojave više od jednog uspeha jednaka je nuli. Pored toga, ishod u jednom Δt ne zavisi od ishoda u drugom Δt, jer su to disjunktni intervali vremena. Dakle, pojava uspeha u podintervalu Δt predstavlja Bernulijev opit.

U ovako opisanom Poasonovom procesu, slučajna promenljiva predstavlja broj događaja u nekom intervalu vremena.

Postulati Poasonovog procesa mogu se matematički izraziti na sledeći način:

Verovatnoća da se u intervalu vremena 0→Δt javi više od jednog uspeha jednaka je nuli:

0}1)()({lim0

=Δ

>−Δ+→Δ t

tXttXPt

Verovatnoća pojave jednog uspeha u intervalu vremena 0→Δt jednaka je:

λ=Δ

=−Δ+→Δ t

tXttXPt

}1)()({lim0

ili

)(}1)()({ tottXttXP Δ+Δλ==−Δ+

Verovatnoća da se u intervalu vremena 0→Δt ne javi nijedan uspeh jednaka je onda:

))((1}0)()({ tottXttXP Δ+Δλ−==−Δ+

Zbog nezavisnosti broja javljanja u disjunktnim vremenskim intervalima, verovatnoća da se u intervalu vremena (0, t + Δt) ne javi nijedan uspeh jednaka je:

))]((1}[0)({}0)()({}0)({}0)({

tottXPtXttXPtXPttXP

Δ+Δλ−====−Δ+⋅===Δ+

U skraćenoj notaciji:

)](1[)(),()()( 0000 tottPtttPtPttP Δ−Δλ−⋅=Δ+⋅=Δ+

Preuređivanjem gornjeg izraza dobija se:

)())(()()(

000 tP

tto

ttPttP

ΔΔ

+λ−=Δ

−Δ+


6

Prelaskom na granične vrednosti sledi:

)()()()(

lim 0000

0tP

dttdP

ttPttP

tλ−==

Δ−Δ+

→Δ

Rešenje gornje diferencijalne jednačine uz početni uslov 0)0(0 =P je:

tetP λ−=)(0

Na sličan način, verovatnoća da se u intervalu vremena (0, t + Δt) javi jedan uspeh jednaka je:

)]([)()](1[)(),()(),()()(

01

10011

tottPtottPtttPtPtttPtPttP

Δ+Δλ⋅+Δ−Δλ−⋅==Δ+⋅+Δ+⋅=Δ+

odakle sledi:

)()()()()(

lim 01111

0tPtP

dttdP

ttPttP

tλ+λ−==

Δ−Δ+

→Δ

Indukcijom sledi za proizvoljan broj uspeha k:

)()()(

1 tPtPdttdP

kkk

−λ+λ−=

odakle se dobija:

!)()( t

k

k ekttP λ−λ=

Nehomogen Poasonov proces. U nehomogenom Poasonovom procesu intenzitet javljanja λ nije konstantan, već se menja u vremenu, pa se označava sa λ(t). Tada priraštaji procesa X(t1) – X(t2) prate Poasonovu raspodelu sa parametrom:

∫ λ=Λ2

1

)(t

tdtt

Ovi priraštaji predstavljaju niz nezavisnih slučajnih promenljivih. Geometrijska raspodela

Ako se posmatra slučaj kada se Bernulijevi opiti nastavljaju sve dok se ne pojavi jedan uspeh (r = 1), negativna binomna raspodela postaje geometrijska raspodela. Ona opisuje događaj da se u n – 1 opita nije javio nijedan uspeh, dok se u n-tom opitu javio uspeh. Verovatnoća takvog događaja je:

K,3,2,1,)1(}{ 1 =−== − nppnXP n

Očekivanje i varijansa geometrijske raspodele su:

21]var[

1][

ppX

pXE

−=

=

Primena geometrijske raspodele na povratni period. Neka su Yi maksimalni godišnji protoci za godine i = 1, 2, ..., koji predstavljaju međusobno nezavisne i jednako raspoređene događaje. U svakoj godini razmatra se da li će maksimalni godišnji protok biti veći od neke vrednosti y, što predstavlja niz Bernulijevih opita. Pretpostavimo da je u nekoj godini došlo do prevazilaženja protoka y, pa opite počinjemo od naredne godine. Postavljamo pitanje sa kojom verovatnoćom će doći do ponovnog prevazilaženja protoka y za n godina. Ovakav model odgovara geometrijskoj raspodeli, a to je da tokom


7

n – 1 godine maksimalni godišnji protoci budu manji od y, a u n-toj godini da dođe do prevazilaženja. Slučajna promenljiva koju sada razmatramo je vreme čekanja T između dva prevazilaženja protoka y. Dakle:

K,3,2,1,)]()][(1[}]{[}{)1(}{ 111 =−=≤⋅>=−== −−− nyFyFyYPyYPppnTP nYYnn

Prosečno vreme čekanja između dva prevazilaženja protoka y je veličina:

)(11

}{11][~

yFyYPpTET

Y−=

>===

Ova veličina predstavlja povratni period velikih voda sračunat na osnovu funkcije raspodele maksimalnih godišnjih protoka. Njegova definicija je dakle: to je prosečan broj godina u kome će doći do tačno jednog prevazilaženja protoka y. Osobina nedostatka memorije geometrijske raspodele. Ukoliko se u nizu od k ili više opita javilo k neuspeha, raspodela ukupnog broja opita k + l potrebnih pre nego što dođe do prvog uspeha ostaje ista. Ovo se može pokazati na sledeći način:

}{)1()1(

)1()1()1(

}{}{}|{ lXPp

pp

pppp

kXPlkXPkXlkXP lk

lk

knn

lknn

≥=−=−−

=−

−=

≥+≥

=≥+≥+

∞=

∞+=

∑∑

1

Neke teorijske raspodele za kontinualne slučajne promenljive

Uniformna raspodela Funkcija gustine raspodele:

bxaab

xf ≤≤−

= ,1)(

Funkcija raspodele:

bxaabaxxF ≤≤

−−

= ,)(

Svojstva raspodele:

12)(,

2

2abDXbaEX −=+=

Normalna raspodela Funkcija raspodele:

∫∞− ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

σμ−

−πσ

=x

dxxxF 22

2)(exp

21)(

Funkcija standardizovane normalne raspodele:

∫∞− ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧−

π=Φ

z

dzzz2

exp21)(

2

gde je:

σμ−

=xz

Parametri:

x=μ , xS=σ

Funkcija raspodele u Excelu:

F = NORMDIST(x,a,b,TRUE) ili F = NORMSDIST(z)

Inverzna funkcija raspodele u Excelu:

x = NORMINV(F,a,b) ili x = a + b*NORMSINV(F)

Log-normalna raspodela Funkcija raspodele:

∫ ⎪⎭⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

σ

μ−−

πσ=

x

y

y

y

dxx

xxF

02

2

2

)(lnexp1

21)(

2

Sa smenom:

xy ln=

log-normalna raspodela se svodi na normalnu raspodelu promenljive Y. Sa smenom

y

yyzσ

μ−=

log-normalna raspodela se svodi na standardizovanu normalnu raspodelu. Parametri na osnovu metode momenata:

)1ln(,2

ln 222

vxyy

y Cx +=σσ

−=μ

Parametri na osnovu metode maksimalne verodostojnosti:

yy =μ , yy S=σ


F = LOGNORMDIST(x,mi_y,sigma_y) ili F = NORMSDIST(z)

Inverzna funkcija raspodele u Excelu:

x = LOGINV(F, mi_y,sigma_y) ili x = EXP(mi_y + sigma_y *NORMSINV(F))

Napomena: U lognormalnoj raspodeli može da se radi i sa dekadnim logaritmima umesto sa prirodnim (smena xy log= ). Medjutim, Excelove funkcije LOGNORMDIST i LOGINV rade samo sa prirodnim logaritmima, tako da kada se radi sa transformacijom preko dekadnih logaritama treba koristiti funkcije za standardizovanu normalnu raspodelu NORMSDIST i NORMSINV. Gumbelova raspodela Funkcija raspodele:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

α−

−−=uxxF expexp)(

Inverzna funkcija raspodele:

)]lnln([ Fux −−α+=

Smenom

α−

=uxy

dolazi se do funkcije standardizovane Gumbelove raspodele:

[ ]{ }yxF −−= expexp)( čija je inverzna forma

)lnln( Fy −−=

Parametri:

xSxu 45.0−= , xS78.0=α

3

Pirson 3 raspodela Funkcija raspodele:

∫ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

αΓ=

−x

c

a

dxb

cxb

cxb

xF exp)(

1)(1

Ako se Pirson 3 raspodela i njena inverzna funkcija odredjuju iz tablica, tada se koristi faktor frek-vencije

xP S

xTxTk −= )()(

koji je tabulisan u zavisnosti od vrednosti funkcije raspodele i koeficijenta asimetrije. Parametri:

24

sxCa = ,

2sxxCSb = , abxc −=

Funkcija raspodele u Excelu: u Excelu figuriše samo dvoparametarska gama raspodela GAMMADIST (x,a,b,kum), čija je primena ograničena samo za pozitivne vrednosti koeficijenta asimetrije Csx i para-metra b. Ovu funkciju onda treba koristiti na sledeći način:

− za Csx > 0 i b > 0:

F = GAMMADIST((x-c)/b,a,1,TRUE)

− za Csx < 0 i b < 0:

F = 1 – GAMMADIST((x-c)/b,a,1,TRUE) Inverzna funkcija raspodele u Excelu:

− za Csx > 0 i b > 0:

x = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

− za Csx < 0 i b < 0:

x = c + b * GAMMAINV(1-F,a,1) Log-Pirson 3 raspodela Log-Pirson 3 raspodela se koristi analogno Pirson 3 raspodeli uz transformaciju:

xy ln= ili xy log=

Eksponencijalna raspodela Funkcija raspodele:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−−=

axxF exp1)(

Inverzna funkcija raspodele:

)1ln( Fax −−=

Parametri:

xa =

4


F = EXPONDIST(x,a,TRUE) Dvoparametarska Vejbulova raspodela Funkcija raspodele:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

b

axxF exp1)(

Inverzna funkcija raspodele: bFax /1)]1ln([ −−=

Parametri: parametar b se računa numerički iz izraza

22 1)/11(

)/21()( vxCbbbf +=

+Γ+Γ

=

a parametar a kao:

)/11( bxa+Γ

=

Gama funkcija u Excelu:

Γ(x) = EXP(GAMMALN(x)) Funkcija raspodele u Excelu:

F = WEIBULL(x,b,a,TRUE) Studentova t-raspodela Funkcija raspodele:

( )( ) ∫∞−

+ν−

ν

+ν

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν

+Γνπ

Γ=

t

dtttF2

12

2

21

1)(

Parametri:

ν = broj stepeni slobode = N – 1

Kada ∞→ν , Studentova raspodela teži normalnoj raspodeli. Funkcija raspodele u Excelu:

− za t > 0:

F = 1 – TDIST(t, ν, 1)

− za t < 0:

F = TDIST(| t |, ν, 1) Inverzna funkcija raspodele u Excelu:

t = TINV(2(1-F), ν)

Za potrebe proračuna kritičnih vrednosti tα/2 i t1– α/2 u okviru t-testa, gornji izraz se svodi na:

5

t1– α/2 = TINV(α, ν)

dok je tα/2 = –t1– α/2 zbog simetrije ove raspodele. Hi-kvadrat raspodela Funkcija raspodele:

∫ −−νν νΓ=x

x dxexxF0

2/12/2/ )2/(2

1)(

Parametri:

ν = broj stepeni slobode


F = 1 – CHIDIST(x, ν) Inverzna funkcija raspodele u Excelu:

x = CHIINV(1-F, ν)

Za potrebe proračuna kritičnih vrednosti χ2 u okviru hi-kvadrat testa za zadati prag značajnosti α, gornji izraz se svodi na:

21, α−νχ = CHIINV(α, ν)

Ocena parametara.doc

1

OCENE PARAMETARA

Populacija se sastoji o svih mogućih osmatranja neke slučajne promenljive ili procesa.

Uzorak je podskup populacije.

Slučajni uzorak je onaj koji je reprezentativan za populaciju.

Ako se zna (ili pretpostavi) da populacija ima određeni tip raspodele verovatnoće, ali su parametri te raspodele nepoznati, tada se oni moraju oceniti na osnovu slučajnog uzorka osmatranja.

Neka je (X1, X2, ..., Xn) slučajan uzorak dužine n iz neke raspodele sa nepoznatim parametrom θ. Statistika je bilo koja funkcija osmatranja iz uzorka koja ne sadrži nepoznate parametre raspodele (npr. srednja vrednost, medijana, standardna devijacija...). Ocena parametra θ je statistika

),,,(ˆˆ 21 nXXX Kθ=θ .

Ocena nekog parametra može biti tačkasta ili intervalna.

Postoje različite metode za dobijanje tačkastih ocena parametara (metoda momenata, metoda maksimalne verodostojnosti i mnoge druge). Cilj svake metode je da se dobije što bolja ocena parametra prema određenom kriterijumu (neki kriterijumi su: pristrasnost ocene, stabilnost ocene, efikasnost ocene, najmanja varijansa itd).

Svaka ocena parametra je slučajna promenljiva.

Intervali poverenja

Intervalne ocene parametara se nazivaju intervali poverenja. Interval poverenja je interval u kome se tačna vrednost parametra θ može naći sa određenom (unapred zadatom) verovatnoćom:

β=θ

Ocena parametara.doc

2

nXnD

nxD

nx

nDxD

n

ii

n

ii

2

21

21

][1][11][ σ=⋅==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑∑

==

Da bi se formirao interval poverenja od 90% za aritmetičku sredinu, traže se donja i gornja granica intervala poverenja koje odgovaraju vrednostima funkcije normalne raspodele od 5% i 95%.

0

μ

z

x_

-1.645

-1.645 /σ n

1.645

1.645 /σ n

90%5% 5%

Testovi.doc

1

Testiranje statističkih hipoteza

U opštem slučaju procedura testiranja se sastoji od sledećih koraka:

− Formulisanje nulte hipoteze H0 koja se testira. − Formulisanje alternativne hipoteze Ha (hipoteza koja se usvaja ako se nulta hipoteza odbaci). − Izbor statističkog testa i odgovarajuće test-statistike sa poznatom raspodelom. − Utvrđivanje regiona prihvatanja H0 za tu vrstu testa i za usvojeni prag značajnosti α. − Proračun vrednosti test-statistike. Ako je sračunata vrednost izvan regiona prihvatanja, odbaciti H0. Postoje dve vrste statističkih testova:

− parametarski i − neparametarski. Parametarski testovi se zasnivaju na testiranju neke karakteristike niza (srednja vrednost, varijansa) i uključuju određene pretpostavke o nizu:

a) podaci su međusobno nezavisni; b) podaci potiču iz normalno raspoređenih populacija; c) te populacije moraju imati istu varijansu. Za neparametarske testove, koji ne koriste statistike niza, obično je dovoljna prva pretpostavka. Statistički testovi mogu biti jednostrani i dvostrani, u zavisnosti od toga da li se region prihvatanja/odbacivanja hipoteze proteže na jedan ili na oba kraja raspodele.

0 z1 /2−αzα/2

1 − α

region prihvatanja Ho

α/2 α/2

Primer regiona prihvatanja u dvostranom testu

• Testovi homogenosti i slučajnosti nizova Najčešće korišćeni parametarski testovi su z-test i t-test za testiranje srednje vrednosti i F-test za testiranje varijanse. Među neparametarskim testovima to su testovi Men-Vitni (Mann-Whitney) i Kolmogorov-Smirnov. Pod homogenošću hidrološkog niza podrazumeva se da on potiče iz jedne populacije veličine koja se razmatra. Tipičan primer nehomogenog niza je niz godišnjih maksimuma proticaja među kojima su oni nastali usled jakih letnjih pljuskova i oni nastali usled prolećnog otapanja snega. Slučajnost niza znači da elementi niza moraju biti međusobno nezavisni.

• Testovi saglasnosti (dobrog prilagođavanja) teorijskih i empirijskih raspodela U testovima saglasnosti porede se empirijske (osmotrene) i teorijske frekvencije slučajne promenljive koje pripadaju određenim klasama, ili se porede empirijske i teorijske kumulativne relativne frevencije. Nulta hipoteza u testovima saglasnosti jeste da su empirijska i teorijska raspodela saglasne, a alternativna hipoteza je da ove dve raspodele nisu saglasne.

Testovi.doc

2

Jedan parametarski test za testiranje homogenosti statističkih nizova: testiranje jednakosti dve srednje vrednosti sa poznatim varijansama (z-test) Ovaj test testira jednakost srednjih vrednosti dva uzorka. Koristi se se za veliki uzorak. Pretpostavlja se da dva uzorka potiču iz dve normalno raspoređene populacije, X1: N(μ1, σ1) i X2: N(μ2, σ2). Uzorak X1, dužine N1, ima srednju vrednost 1x i standardnu devijaciju S1, dok uzorak X2, dužine N2 ima srednju vrednost 2x i standardnu devijaciju S2. Nulta i alternativna hipoteza glase:

210 : μ=μH

21: μ≠μaH

Ako se posmatra razlika srednjih vrednosti dva uzorka, ona takođe predstavlja normalno raspoređenu slučajnu promenljivu:

)//,(: 2221

212121 NNNXX σ+σμ−μ−

Pod uslovom da važi hipoteza H0 ( 021 =μ−μ ), standardizovana normalna promenljiva za razliku srednjih vred-nosti uzoraka glasi:

2221

21

21

// NSNS

xxz

+

−=

Promenljiva z ima raspodelu N(0,1). Ovaj test je dvostrani test, jer vrednost z može biti i pozitivna i negativna. Za zadati prag značajnosti α, region prihvatanja hipoteze H0 je:

2/12/ α−α 8, statistika U približno prati normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću i varijansom:

12)1(,

22121221 ++=σ=μ

NNNNNNUU

a statistika

U

UUuσμ−

=

prati standardnu normalnu raspodelu N(0,1). Region prihvatanja nulte hipoteze za prag značajnosti α je:

2/12/ α−α

Testovi.doc

3

Jedan test za testiranje saglasnosti raspodela: Test Kramera-Mizesa Test Kramera-Mizesa (Cramer-von Mises) takođe poredi empirijsku i teorijsku raspodelu kroz statistiku:

∫∞

∞−−=ω )()]()([ 22 xdFxFxF tte

Ako je niz uređen u rastućem redosledu i Fe(xi) = i/N, gornja statistika postaje:

∑=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−+=ω

N

iit N

ixFNN 1

2

22 5.0)(1

121

Za velike uzorke (N > 40) statistika Nω2 ima definisanu raspodelu koja ne zavisi od dužine uzorka N i može se koristiti za određivanje kritičnih vrednosti.

Testovi_primeri.doc

1

Vežba #3 Intervalne ocene parametara

i Testiranje statističkih hipoteza

PRIMER 1. Interval poverenja za srednju vrednost čvrstoće betona (Primeri 5.7 i 5.9 iz literature [1]) Ispitivanjem 40 betonskih kocki dobijena je srednja vrednost čvrstoće betona od 60.14 MPa i standardna devijacija od 5.015 MPa. Pretpostavlja se da je čvrstoća betona normalno raspoređena.1

A. Pretpostavlja se da standardna devijacija od 5.015 MPa predstavlja standardnu devijaciju populacije. Odrediti interval poverenja od 95% za procenjenu srednju vrednost čvrstoće betona.

Rešenje. Srednja vrednost X dobijena iz uzorka dužine n slučajne promenljive X koja prati normalnu raspodelu sa parametrima μ i σ2 takođe je normalno raspoređena sa srednjom vrednošću μ i disperzijom σ2/n, što se može pokazati na sledeći način (gde je uzeto u obzir da su osmatranja Xi međusobno nezavisna):

( )

μ==⋅=

=+++=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++=

][])[(1

][][][1)(1][ 2121

XEXEnn

XEXEXEn

XXXn

EXE nn KK

( )n

XDn

XDnn

XDXDXDn

XXXn

DXD

n

n

2

2212

21

][1])[(1][][][1

)(1][

σ==⋅=+++=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++=

K

K

Dakle, ako X ~ N(μ, σ2), tada X ~ N(μ, σ2/n), pa je interval poverenja od 95% definisan na sledeći način:

95.0}96.1/

96.1{ =<σ

μ−

Testovi_primeri.doc

2

1~/

−μ−

ntnSX

Kako je i Studentova raspodela simetrična pa važi tn–1(1 – α/2) = –tn–1(α/2), tada je interval poverenja za srednju vrednost od 95% definisan na sledeći način:

95.0}023.2/

023.2{)}975.0(/

)975.0({ 11 =<μ−

Testovi_primeri.doc

3

Kako je za zadati prag značajnosti od 5%:

96.196.1 2/12/ =

Testovi_primeri.doc

4

PRIMER 3. Testiranje saglasnosti empirijske raspodele niza čvrstoće betona sa normalnom raspodelom (Primeri 5.29, 5.32 iz literature [1]) Nizu od n = 40 vrednosti čvrstoće betona prilagođava se normalna raspodela sa srednjom vrednošću 60.14 i standardnom devijacijom 5.015 (tabela).

Kao empirijska raspodela uzorka koristi se kumulativna relativna frekvencija Fe(xi) = i / n. Normalna raspodela se prračunava pomoću standardizovane normalne raspodele kao:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φ=

Sxx

xF iiN )(

Standardizovana normalna raspodela računa se u Excelu pomoću funkcije NORMSDIST(z).

i x Fe(x) FN(x)

1 49.9 0.025 0.021 2 50.7 0.05 0.030 3 52.5 0.075 0.064 4 53.2 0.1 0.083 5 53.4 0.125 0.090 6 54.4 0.15 0.126 7 54.6 0.175 0.135 8 55.8 0.2 0.194 9 56.3 0.225 0.222

10 56.7 0.25 0.247 11 56.9 0.275 0.259 12 57.8 0.3 0.321 13 57.9 0.325 0.328 14 58.8 0.35 0.395 15 58.9 0.375 0.403 16 59 0.4 0.410 17 59.6 0.425 0.457 18 59.8 0.45 0.473 19 59.8 0.475 0.473 20 60 0.5 0.489 21 60.2 0.525 0.505 22 60.5 0.55 0.529 23 60.5 0.575 0.529 24 60.5 0.6 0.529 25 60.9 0.625 0.560 26 60.9 0.65 0.560 27 61.1 0.675 0.576 28 61.5 0.7 0.607 29 61.9 0.725 0.637 30 63.3 0.75 0.736 31 63.4 0.775 0.742 32 64.9 0.8 0.829 33 64.9 0.825 0.829 34 65.7 0.85 0.866 35 67.2 0.875 0.920 36 67.3 0.9 0.923 37 68.1 0.925 0.944 38 68.3 0.95 0.948 39 68.9 0.975 0.960 40 69.5 1 0.969

Test Kolmogorov-Smirnova. Prema testu Kolmogorov-Smirnova, traži se najveće odstupanje teorijske i empirijske raspodele:

|)()(|maxmax iNiex xFxFD i−=

Testovi_primeri.doc

5

U ovom primeru Dmax= 0.099 (videti sliku). Kritična vrednost testa Dn za prag značajnosti od 5% i n = 40 može se dobiti pomoći približne asimptotske formule:

215.040

3581.13581.1===

nDn

Kako je Dmax < Dn, može se usvojiti hipoteza o saglasnosti teorijske i empirijske raspodele.

61.1; 0.675

61.1; 0.576

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

45 50 55 60 65 70 75

x

F(x)

emp. rasp.norm. rasp

Testiranje normalnosti preko koeficijenta asimetrije. Normalna raspodela je simetrična, tj. njen koeficient asimetrije jednak je nuli (Cs,N = 0). Koeficijent asimetrije podataka iz uzorka jednak je cs = 0.027. Fišerova asimptotska varijansa uzoračkog koeficijenta asimetrije iznosi:

)3)(1)(2()1(6]var[++−

−=

nnnnncs

što je u ovom primeru za n = 40:

2374.014.043413839406]var[ ==⋅⋅⋅⋅

=sc

Za prag značajnosti od 5%, može se pretpostaviti da su granice intervala poverenja za koeficijent asimetrije normalne raspodele ±0.374, na osnovu čega se može zaključiti da uzorački koeficijent asimetrije ne odstupa značajno od nule.

Testiranje normalnosti na dijagramu normalne verovatnoće. Dijagram (papir) normalne verovatnoće dobija se kada se koodinatni sistem x–F transformiše u koordinatni sistem x–z(F), gde je z(F) inverzna standardna normalna raspodela.

Na dijagramima verovatnoće ne može da se koristi kumulativna relativna frekvencija kao empirijska raspodela, već se koriste odgovarajući oblici tzv. kompromisne verovatnoće (engl. plotting position). Ovde je korišćena Vejbulova kompromisna verovatnoća:

Testovi_primeri.doc

6

1)(

+=

nixF ie

0.001 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.990.980.950.90.80.5 0.999

40

45

50

55

60

65

70

75

80

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

z

x

emp. rasp.norm. rasp

F(z)

PRIMER 4. Testiranje saglasnosti empirijskih učestalosti jakih vetrova sa Poasonovom raspodelom (zadatak 5.19 na str. 334 iz literature [1]) Veliki talasi u primorskim područjima u kojima se planira izgradnja stvaraju materijalnu štetu i probleme sa erozijom. Merenja visina talasa su veoma retka, ali su prikupljeni sledeći podaci z lokalnih novina i od stanovništva:

Broj dana sa jakim vetrom 0 1 2 3 4 5 6 Učestalost 25 13 6 3 2 1 0

Skicirati histogram broja dana sa jakim vetrom na osnovu podataka iz 50-godišnjeg perioda. Testirati hipotezu da pojava visokih talasa i jakog vetra prati Poasonovu raspodelu pomoću hi-kvadrat testa. Koja je verovatnoća da je broj pojava veći od jednog dana godišnje? Rešenje Na osnovu n = 50 godina sa podacima, prosečan broj dana sa jakim vetrom jednak je

94.050471

==== ∑∑

∑

kkk

kk

kkk

fxNf

fxx

Parametar Poasonove raspodele ocenjuje se kao srednja vrednost slučajne promenljive, odnosno

94.0ˆ ==λ x Proračun frekvencija prema Poasonovoj raspodeli:

Testovi_primeri.doc

7

nxexfk

x

kP

k

⋅λ

=λ−

)!()(

Broj dana sa jakim vetrom 0 1 2 3 4 5 6 Učestalost, osmotrena 25 13 6 3 2 1 0 Učestalost, Poasonova raspodela 19.5 18.4 8.6 2.7 0.6 0.1 0.0

Hi-kvadrat test podrazumeva da se spoje klase u kojima ima manje od 5 elemenata u klasi. Tako se dobija ukupno 4 klase (donja tabela).

Broj dana sa jakim vetrom 0 1 2 3-6 Učestalost, osmotrena 25 13 6 6 Učestalost, Poasonova raspodela 19.5 18.4 8.6 3.5

Kontrolna statistika testa tada je jednaka:

727.5)(

,

2,2 =

−=χ ∑

k kP

kPk

fff

S obzirom da Poasonova raspodela ima jedan parametar, broj stepeni slobode za hi-kvadrat raspodelu jednak je 2114 =−−=ν . Kritična vrednost hi-kvadrat testa za prag značajnosti 05.0=α iznosi:

991.5)2,05.0(),( 22 =χ=ναχ

Kako je kontrolna statistika manja od kritične vrednosti, tj.

),(22 ναχ

−

λ−λ−λ−

e

eeeXPXPXPXP

2.3.2011

1

anos

ti u

građ

evin

arst

vu.

ltet U

nive

rzite

ta u

Beo

grad

u VI. VI. Korelacija i rKorelacija i regresiona analizaegresiona analiza

Analiza rizika i pouzdanosti

Jasn

a Pl

avšić:

Ana

liza

rizi

ka i

pouz

dD

okto

rske

stu

dije

, Građe

vins

ki fa

kul

Osnovni pojmoviOsnovni pojmovi

Povezanost dve ili više promenljivih može biti od velike koristi u građevinarstvu (najčešće za procenu

jedne veličine na osnovu druge koja se meri/osmatra)

anos

ti u

građ

evin

arst

vu.

ltet U

nive

rzite

ta u

Beo

grad

u

jedne veličine na osnovu druge koja se meri/osmatra)

Funkcionalna veza je najjača veza svakoj vrednosti jedne veličine odgovara tačno određena

vrednost druge veličine

Korelaciona ili stohastička veza je slabija veza između veličina koje su podložne odstupanjima

Jasn

a Pl

avšić:

Ana

liza

rizi

ka i

pouz

dD

okto

rske

stu

dije

, Građe

vins

ki fa

kul između veličina koje su podložne odstupanjima

2.3.2011

2

Osnovni pojmoviOsnovni pojmovi

Funkcionalana zavisnost primer 1: površina kruga je u funkcionalnoj vezi sa

poluprečnikom kruga:

anos

ti u

građ

evin

arst

vu.

ltet U

nive

rzite

ta u

Beo

grad

u

poluprečnikom kruga:

primer 2: starost stabla i broj godova

X – broj godova stabla

Y – starost stabla

F k i l i tS

A = r2π

Jasn

a Pl

avšić:

Ana

liza

rizi

ka i

pouz

dD

okto

rske

stu

dije

, Građe

vins

ki fa

kul

Milan Kilibarda

Funkcionalna zavisnost:

Y= f (X)

Ako znamo broj godova tada tačno znamo i starost stabla.

Starost stablau godinama

Brojgodova stabla

KorelacijaKorelacija

Stohastička zavisnost ili korelacija kada se ne može utvrditi

anos

ti u

građ

evin

arst

vu.

ltet U

nive

rzite

ta u

Beo

grad

u

kada se ne može utvrditi funkcionalna zavisnost

postoji eksperimentalni skup podataka izmerenih vrednosti parova X i Y

grafički prikaz zavisnosti i međuzavisnosti između X i Y je dijagram rasipanja

Jasn

a Pl

avšić:

Ana

liza

rizi

ka i

pouz

dD

okto

rske

stu

dije

, Građe

vins

ki fa

kul

Milan Kilibarda

2.3.2011

3


Stohastička zavisnost ili korelacija primer 1: X = telesna visina i Y = telesna težina

anos

ti u

građ

evin

arst

vu.

ltet U

nive

rzite

ta u

Beo

grad

u

primer 2: X = broj sati koje je osoba provela trenirajući i Y = telesna težina

ali: ishodi bacanja dve kocke – nekorelisane veličine

Jasn

a Pl

avšić:

Ana

liza

rizi

ka i

pouz

dD

okto

rske

stu

dije

, Građe

vins

ki fa

kul

Milan Kilibarda


Mere linearne povezanosti dve promenljive

anos

ti u

građ

evin

arst

vu.

ltet U

nive

rzite

ta u

Beo

grad

u

Kovarijansa

razlikom između E(XY) i EX·EY može se meriti jačina linearne vezeizmeđu promenljivih X i Y

Koeficijent korelacije

EYEXXYEEYYEXXEYX )()])([(),cov(

Jasn

a Pl

avšić:

Ana

liza

rizi

ka i

pouz

dD

okto

rske

stu

dije

, Građe

vins

ki fa

kul Koeficijent korelacije

YX

YXDYDXYXYX

),cov(),cov(),(

2.3.2011

4


Mere linearne povezanosti dve promenljive Korelaciona matrica više promenljivih

k j X t i i d ži

anos

ti u

građ

evin

arst

vu.

ltet U

nive

rzite

ta u

Beo

grad

u

ako je X matrica m nizova dužine n:

tada je korelaciona matrica m promenljivih:

mnnn

m

m

xxx

xxxxxx

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

X

Jasn

a Pl

avšić:

Ana

liza

rizi

ka i

pouz

dD

okto

rske

stu

dije

, Građe

vins

ki fa

kul

jiij

ii

jiij mjiXX

1

,,2,1,),,(

mmmm

m

m

,21

22221

11211

]corr[

XC gde je:

RegresijaRegresija

Regresiona analiza: pronalaženje jednačine zavisnosti jedne promenljive od druge ili više njih

anos

ti u

građ

evin

arst

vu.

ltet U

nive

rzite

ta u

Beo

grad

u

Opšti model

X – nezavisna promenljiva (prediktor ili opisna prom.) Y – zavisna promenljiva (odzivna ili prom. odgovora) ε – slučajna greška / odstupanje /rezidual sa normalnom

),0(:,)( 2 NxfY

Jasn

a Pl

avšić:

Ana

liza

rizi

ka i

pouz

dD

okto

rske

stu

dije

, Građe

vins

ki fa

kul

Milan Kilibarda

ε slučajna greška / odstupanje /rez

Documents

Analiza rizika i pouzdanosti u građevinarstvu · 2014. 3. 6. · 12-Jan-11 3 Građevinski fakultet Beograd g rađevinarstvu, Doktorske studije 2010/2011, Analiza rizika i pouzdanosti