ANALIZO

M6262

Sumas y restas con rayas y letrasValora la importancia de sistemas de numeración distintos del decimal.

¿Cómo crearías una contraseña con números romanos?

¿En qué se parecen el sistema de numeración maya y los que se usan en computación?

¿Cómo se expresa el número 10 solo con ceros y unos?

Esfera 2

6363

RECONOZCO

Comienza la Esfera de Exploración en tu Diario de aprendizaje de Matemáticas identificando cuáles de estos reactivos puedes contestar basado en lo que ya sabes y registra en la lista de cotejo cuántos puntos obtuviste (no importa que haya algo que no puedas resolver). Al termi-nar la Esfera de Exploración, responde de nuevo los reactivos en tu cuaderno para que reconozcas cuánto avanzaste.

1.1 Completa la sucesión de números mayas. +2.5

Año Edición Ciudad País

2000 XXVII Sídney Australia

2004 Atenas Grecia

2008 Pekín China

2012 Londres Reino Unido

2016 Río de Janeiro Brasil

2020 Tokio Japón

2024 París Francia

2028 Los Ángeles Estados Unidos de América

01 Lee y haz lo que se indica. +3.5En el año 2000, con el nuevo milenio, se celebró la edición XXVII de los Juegos Olímpicos modernos en Sídney, Australia. Un dato curioso es que, en esa edición, la atleta Cathy Freeman fue la segunda mujer en la historia en encender el pebetero.

Completa la tabla con la numeración de la edición de los juegos hasta el año 2028, que se celebrarán en Estados Unidos de América. Observa el ejemplo.

6464

02 Escribe con sistema de numeración decimal los siguientes números romanos. +3

03 Completa la tabla con números del sistema decimal o números mayas, según corresponda. +4

2.2 Expresa con números romanos las siguientes cantidades. +3

IV MMXVIII DXLIX XXXIX LXXII MI

25 301 3 449 6 74 555

1 2 4 7 8 9

11 13 15 16 20

Antes de la Esfera de Exploración

Al terminar la Esfera de Exploración

Sí No Sí No

1. Identifico distintos sistemas de numeración, como el roma-no y el maya.

2. Comprendo y uso los sistemas de numeración romano y maya.

3. Contrasto los sistemas de numeración romano y maya con el sistema de numeración decimal.

Puntos obtenidos:

Marca una en la casilla que corresponda. Al final de la Esfera de Exploración regresarás a esta lista de cotejo.

Aprendizaje esperado › Valora la importancia de sistemas de

numeración distintos del decimal.

INVESTIGO

Key Sistemas de numeración romano y maya

Video

6565

Un viejo dicho menciona que “lengua es cultura”, esto quiere decir que nuestra lengua define cómo pensamos. Esto se ejemplifica fácilmente si comparamos una palabra en alemán con su significado en español: Sturmfrei, que quiere decir, más o menos, cuando no están tus papás en casa y puedes hacer lo que quieras . ¿Con los números sucede algo pare-cido? En casi todo el mundo usamos el sistema decimal de numeración representado con los números indoarábigos (0, 1, 2, 3, ..., 9) y sus combinaciones. Este sistema es muy práctico: nos permite representar cualquier número, desde muy pequeño hasta

muy grande, y hacer operaciones con ellos; sin embargo, aún usamos otros números, ¿sabes cuáles?, ¿por qué piensas que seguimos utilizando

otros sistemas de numeración?, ¿dónde los has visto?

Uno de los sistemas de numeración más difundidos en la actua-lidad es el romano. ¿Te has fijado que están por todos lados? Aún utilizamos estos números para los ordinales reales: nombres de reyes y otras dinastías, como Felipe VI de España . Todavía hay muchos relojes que marcan las horas con números romanos, y también se usan para designar las secuelas de películas (pregúntale a tu mamá o papá cuál película de Rocky le gusta más). También los utilizamos para escribir el nombre de los siglos, pero ¿por qué no usamos los números indoarábigos para estos casos? ¿Será igual escribir

siglo 21 que siglo XXI?

La presencia de los números romanos se debe en gran parte a su tradición en la cultura occidental. Sin embargo, hay otra

razón más práctica para la permanencia del uso de estos números: se trata de un sistema aditivo (el valor de las cifras no depende de su posición) y son un poco más difíciles de alterar. Por ejemplo, con los números romanos es imposible confundir un 1 con un 7 o un 8 borroso con un 3, algo que ojalá no te haya pasado en algún examen. ¿O tú confundirías el VIII con el III?

Además, al menos para cifras pequeñas, los números se asemejan a las marcas que hacemos para contar en un

papel o con los dedos . Esto hace que se trate de un sistema útil para llevar la cuenta de números pequeños. Esa ventaja también la presenta un sistema de numeración que hace muchos siglos ya nadie utiliza: el maya, que usa puntos para representar las unidades y rayas horizontales, para representar el cinco.

¿Pero qué pasa con los números que jamás vemos ni utilizamos, como los mayas? ¿Ya no debemos estudiarlos ni saber de ellos? Pensemos: si ya no los usamos, si ya no están en ¡ningún lado!, entonces, no hay razón para estudiarlos… ¿o sí? Sí, la hay: los mayas diseñaron su numeración con una base vigesimal, es decir, base 20, lo que les permitía llevar con facilidad cálculos exactos de los años solares y lunares (con una exactitud que podría incluso rivalizar con la actual); y la civilización maya fue de las primeras en proponer el cero como un número, que se representaba con una concha o caracol . Todo lo anterior nos ayuda a comprender otros sistemas de numeración posicionales que no son decimales, usados en la actualidad, como el binario y

el hexadecimal. Este último se utiliza mucho para crear contraseñas de dispositivos elec-trónicos , ya que usa letras para designar los valores del 10 al 15. ¿Cómo es una

contraseña con números y letras, y cómo funciona? ¿Conoces algún dispositivo que use contraseñas así? ¿Crees que los números romanos o mayas serían buena

opción para proteger con una contraseña tus dispositivos electrónicos? ¿Por qué? ¿Imaginarías que el estudio de los números mayas te podría ayudar a descifrar cualquier contraseña?

René López Villamar ¡Síguelo en Twitter! @erreeleve

COMPRENDO

Los números romanos se asemejan a los dedos de las manos.

6666

Contrasta la información que investigaste con la que acabas de leer y representa tus conclusiones.

Dibuja, resume, pega, ¡lo que quieras!

¿Hay algo que no te queda claro? No te preocupes, anótalo aquí y cuando termines la Esfera, regresa y dale solución.

6767

PRACTICO

Resuelve las actividades, apóyate en tu indagación.

01 Realiza lo que se indica.

› Forma un equipo de cuatro a seis integrantes. › Cada uno debe elaborar 7 tarjetas con los 7 símbolos de la numeración romana (I, V, X, L, C, D, M),

uno por tarjeta. › Junten todas las tarjetas de cada jugador y revuélvanlas. › Determinen cuál será la consigna con la que jugarán, es decir, las reglas que seguirán; por

ejemplo, gana un punto el integrante que obtenga la tarjeta con el número mayor, con el menor, con el más cercano a cierto número.

› Repartan cinco tarjetas a cada integrante del equipo y jueguen con la consigna que determi-naron, mostrando una carta a la vez. Durante el juego, anoten en el espacio correspondiente la consigna que siguieron y los números obtenidos; rodea los números con los que ganaste.

› Repitan la actividad dos veces más, cambiando la consigna en cada ocasión. › Gana el juego quien haya obtenido más puntos al finalizar las tres rondas.

Consigna 1:

Consigna 2:

Consigna 3:

Puntos totales obtenidos:

02 Expresa cada número romano como la suma y resta, según corresponda, de los valores de cada símbolo. Observa el ejemplo. Después, explica en la tercera columna qué hiciste en cada caso.

Notación romana

Notación romana

Notación romana

Número romano Suma o resta decimal Explicación

XVIII

XXXIV 30 + (5 − 1) = 34 Hay tres X y el I está antes del V, entonces a 30 se le suman cinco menos uno.

XLIX

XCVIII

CCXLI

CDLXXVIII

DCCXXIII

MMXVII

MI

Cura

duría de Apps

6868

03 Reúnete con un compañero y realicen la siguiente actividad. Después, respondan.

Escriban en tarjetas de papel reciclado los siguientes números romanos, uno por tarjeta.

04 Realiza las siguientes sumas y restas usando solo números romanos.

Responde.

¿Qué estrategia seguiste para sumar y restar los números romanos?

¿Es posible usar los algoritmos de la suma y la resta con números romanos? ¿Por qué?

› Acomoden las tarjetas en orden ascendente según el valor del número que representan. › Escriban individualmente en los recuadros los números en el orden en que acomodaron sus tarjetas.

¿Cómo supieron ordenar los números?

¿Cuáles son las similitudes y diferencias entre los números anteriores?

XVCCXXIV

XVCCXCIV

XVCDXXXIV

XVCDXCIV

XVCCIV

XVCCXXXIV

XVCDXLIV

XVCDIV

ESPACIO

Los sistemas de numeración no son solo formas de notación, sino maneras de enten-der el Universo. Por eso, aunque somos dife-rentes de los mayas y los romanos, podemos comprender su numeración e incluso usarla. Considerando esto y a fin de intentar comuni-carse con posible vida extraterrestre , en 1974 Carl Sagan, Frank Drake y otros científicos enviaron al espacio el “Mensaje de Arecibo”, para el que usaron el lenguaje con más posibilidades de ser entendido por cualquier civilización del universo: las ma-temáticas. Lo construyeron codificando en sistema numérico binario (de base 2) informa-ción sobre nosotros y nuestro planeta. Como este mensaje tardará 25 000 años en llegar a su destino (el Cúmulo de Hércules o M13), en los últimos años se han lanzado otros a lu-gares más cercanos. Por ejemplo, en 2017, la organización METI envió uno hacia la estrella GJ 273 (o estrella de Luyten), que está a 12 años luz de nosotros y es orbitada por un pla-neta similar al nuestro. De haber una respues-ta, tardaría unos 25 años en llegar, así que muy pronto podríamos estar conversando con civilizaciones extraterrestres.

¿Por qué piensas que los sistemas de nume-ración podrían servir como lengua universal? ¡Discútelo con tus compañeros!

XCVIII + CCXLI

CDXCI – CDLXXVIII

DCCXXIII + CMXCIX

MCCLXVII – MCXLIV

=

=

=

=

6969

05 Reúnete con cuatro compañeros, lean la información y jueguen a “Me cayó el veinte”. Después contesten las preguntas.

En el sistema de numeración decimal, las unidades se podrían considerar como el “primer nivel” y las decenas, como el “segundo nivel”. Así, 10 piezas en el primer nivel (10 unidades) se convierten en 1 pieza del segundo nivel (1 decena). El siguiente juego es algo parecido, excepto porque los niveles van de abajo hacia arriba (en lugar de derecha a izquierda) y para pasar al siguiente nivel hay que reunir 20 piezas, en vez de 10.

Me cayó el veinte

Material › Por integrante: 4 palitos de madera de 10 cm o mitades de popotes biodegrada-

bles (valen 5), 4 monedas de $1 (valen 1) y 1 goma (vale 0) › Tres dados › Tablero: copien en una hoja carta la Tabla de registro que se muestra del lado derecho.

ProcedimientoPaso 1: por turnos, lancen los tres dados.Paso 2: tomen palitos y monedas para representar el número que suman los tres dados; registren con números mayas cada resultado que vayan obteniendo.Paso 3: coloquen los palitos y monedas en el primer cuadro del tablero (de abajo hacia arriba, primer nivel) y en la columna que le corresponde, según el participante que tiró.Paso 4: después de una ronda, lancen de nuevo los dados por turnos y representen la suma obtenida con palitos y monedas.Paso 5: sumen los resultados de los dos tiros del participante, haciendo los cambios necesarios (al juntar cinco monedas se cambian por un palito, y al juntar cuatro palitos se cambian por una moneda que pasa al segundo nivel; si no hay monedas, se coloca una goma en el primer nivel). Gana el participante que primero consiga 400 puntos o más.

Ejemplo › Primer turno del participante: 1 + 3 + 5 = 9; coloca un palito y cuatro monedas en

el primer nivel. › Segundo turno del mismo participante: 2 + 2 + 1 = 5; toma un palito. › Suma los dos resultados, usando el material: como 9 + 5 = 14, el participante ahora

toma dos palitos y cuatros monedas, y los coloca en el primer nivel. › Tercer turno del mismo participante: 5 + 2 + 4 = 11; toma dos palitos y una moneda. › Suma de nuevo el resultado obtenido y el anterior: 14 + 11 = 25, es decir, cuatro

palitos se cambian por una moneda en el segundo nivel y quedan cinco monedas en el primer nivel, es decir, un palito.

Segundo nivel Primer nivel

10 1

Tabla de registro

Parti

cipan

te 1

Parti

cipan

te 2

Parti

cipan

te 3

Parti

cipan

te 4

Parti

cipan

te 5

20 20 20 20 20

1 1 1 1 1

¿Cuál es el número más grande que se puede escribir en el primer nivel? ¿Por qué?

¿Cuáles son los números más pequeños y más grandes que se pueden representar empleando los dos niveles?

¿Cuál es la base del sistema de numeración maya y por qué las reglas del juego anterior permiten comprenderlo?

¿Por qué piensas que el juego lo gana quien obtenga 400 puntos o más?

7070

06 Expresa cada número maya como la suma y productos según el valor posi-cional que ocupan los símbolos. Guíate con los ejemplos.

20 × 4 = 80

1 × 7 = 7

400 × 4 = 1600

20 × 5 = 100

87

1 7091 × 9 = 9

1 709

¿Cómo convierto un número en notación decimal a notación maya?

1. Determino cuál es la mayor potencia de 20 que sea menor que ese número (las potencias de 20 son 1, 20, 20 × 20 = 400, 20 × 20 × 20 = 8 000, etcétera). Por ejemplo, para el número 10 924, la potencia más grande, pero menor que el número, es 8 000 porque 8 000 < 10 924 < 160 000.

2. Divido el número entre la potencia: la parte entera se representa con los símbolos mayas y en el lugar posicional de la potencia. Como 10 924 ÷ 8 000 = 1 y sobran 2 924, coloco un punto en el cuarto nivel.

3. Repito el paso 2, pero ahora con el residuo. En este caso, 2 924 ÷ 400 = 7 y sobran 124, así que coloco una rayita y dos puntos en el tercer nivel.

4. Una vez más repito el paso 2 con el nuevo residuo. En el ejemplo, 124 ÷ 20 = 6 y sobran 4, entonces agrego una raya y un punto en el segundo nivel.

5. Por último, represento el residuo en el primer nivel, colocando cuatro puntos.

Valor del nivel

20 × 20 × 20 = 8000

20 × 20 = 400

20

1

Número decimal: 8000 + 2800 + 120 + 4 = 10924

1

5

0

7171

365 75 1 220 17 534 24 057

07 Escribe con notación maya los siguientes números.

08 Haz las siguientes sumas y restas sin cambiar de notación.

Contesta.

¿Qué estrategia seguiste para sumar y restar los números mayas en la actividad anterior?

Si existieran números decimales en el sistema de numeración maya, ¿se lla-marían así o cómo los llamarías? ¿Por qué?

+

+

=

=

–

–

=

=

#ObservatorioMaya #Tulum

7272

09 Lee el texto y responde.

¿Cuántos huecos tiene el fragmento de hueso del Congo y Uganda?

¿Qué se cree que significaba ese registro en el hueso?

¿Qué símbolos usaban los egipcios para el 10 y para el 100 000? ¡Dibújalos!

¿Cuánto llevamos contando?

La cuenta hacia el infinito empezó hace varios milenios. Se cree que el primer pensamiento racional del ser humano cons-ciente estuvo relacionado con contar. Los humanos necesitaban llevar la cuenta del paso del tiempo. El resto más antiguo que se tiene de la representación de la cuenta que llevaba el ser humano de la Antigüedad es un hueso encontrado en la Border Cave, situada en los montes Lebombo entre Sudáfrica y Suazilandia. Mediante estudios se estima que el hueso data del año 35000 a. n. e. y se cree que era utilizado para medir el tiempo durante un ciclo lunar. Otro resto hallado es el hueso encontrado entre el Congo y Uganda, llamado el “hueso de Ishango”, fechado en el año 20000 a. n. e. Este hueso tiene cuatro columnas con huecos marcados; en una columna se cuentan 11 huecos, y en las otras se cuentan 13, 17 y 19, respectivamente. De lo anterior, surge una pregunta: ¿será coincidencia que esos números son justamente los números primos que hay entre 10 y 20? Existen otros lugares en el mundo en los que también se registra que el ser humano de la Antigüedad estaba interesado en las cuentas, por ejemplo, en las pinturas rupestres de Lascaux (15000 a. n. e.), se pueden ver secuencias de puntos; la hipótesis apunta que esto indica los cuartos de la Luna. Se ven 13 puntos que derivan en una pintura de un ciervo: si cada punto refleja un cuarto de luna, trece puntos comprenden la cuarta parte de un año, es decir, una de las cuatro estaciones. Quizá lo hayan utilizado para indicar el momento del año para cazar a ciervos en celo. Sin embargo, contar con huecos o puntos no era un sistema útil. A fin de poder avanzar, diversas culturas de todo el mundo empezaron a desarrollar formas de cálculo más sofisticadas.

Los antiguos egipcios idearon una serie de símbolos para indicar que habían llegado hasta 10, hasta 100 o hasta potencias de 10. Para representar el 10 dibujaban un talón, y una rana para indicar que habían llegado a 100 000. Otras culturas descu-brieron el poder del sistema de notación posicional, mediante el cual es posible intentar contar hasta infinito con un número finito de símbolos, por ejemplo, los mayas empezaron a utilizar el sistema de puntos, pero al llegar al cuarto punto cruzaban los puntos con una línea para indicar el 5. Cuando llegaban a 20, en vez de añadir más puntos y más líneas recurrían a la notación posicional de los símbolos y añadían una segunda posición para llevar la cuenta de las veintenas que llevaban ya. El sistema de puntos y rayas de los mayas era muy sofisticado, a tal grado que permitía a los astrónomos mantener un registro de extensísimos periodos de tiempo.

Los antiguos babilonios contaban en múltiplos de 60. Tenían símbolos que llegaban hasta 59, y a continuación abrían una nueva columna para indicar la cuenta de otro bloque de 60. Si optamos por el sistema decimal no fue porque el 10 tuviese una importancia matemática especial, sino simplemente porque contábamos con las manos. Entonces, ¿por qué contaban los babilonios en grupos de 60? Una razón a tener en cuenta está en las propiedades matemáticas especiales de esa cifra. Es un número altamente divisible. Puede dividirse de manera exacta entre 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15 y 30, y eso lo hace muy flexible. Aunque hoy contamos de 10 en 10, aún quedan reductos del sistema sexagesimal babilonio en la forma en que registramos el paso del tiempo: un minuto tiene 60 segundos y una hora, 60 minutos.

Marcus Du Sautoy, “¿Cuánto llevamos contando?”, El País (adaptación con fines pedagógicos). Disponible en https://elpais.com/elpais/ 2018/03/05/ciencia/1520266949_912895.html (Consulta: 5 de abril de 2018)

¿Qué importancia tiene el cero?

¿Cuál es la importancia del uso del 60?

¿En qué se parecen el sistema maya y el sistema de numeración decimal?

¿Cuál es la diferencia entre una numeración con valor posicional y una que no?

10 100 000

7373

¡Pon a prueba tu destreza matemática! Registra el tiempo que requieres para resolver cada ejercicio, ¡hazlo lo más rápido que puedas!

01 Expresa los siguientes números romanos con el sis-tema de numeración decimal.

03 Convierte los números mayas a números indoarábigos.

04 Expresa números indoarábigos con el sistema de numeración maya.

02 Ahora convierte las cantidades a números romanos.

Calcula tus puntos en cada ejercicio.

› Menos de 30 segundos (s): 10 puntos › Entre 30 s y 60 s: 5 puntos › Más de un minuto: 1 punto › Puntos por respuesta correcta: 10

XIV

25

CMXLIV

1 456

LXIV

93

CDXVII

1 965

CXXIII

124

XCLIV

32 413

MCCXVI

391

483

CXXICCXLII

81 001

156 024

13 417

176 1 804

359 134 912

Tu tiempo (en segundos) Tu tiempo (en segundos)

Tu tiempo (en segundos)

Tu tiempo (en segundos)

Tabla de registro de puntos

Puntos totales

7474

Reflexiona sobre las preguntas de la sección ANALIZO, ¿ya puedes contestarlas? Escribe tus respuestas, considera lo que aprendiste en esta Esfera de Exploración.

APLICO

Es momento de valorar tu progreso de aprendizaje. Resuelve de nuevo en tu cua-derno la sección RECONOZCO.

¡YA LO HICE!

Notas sobre mi aprendizaje

¡Regresa de nuevo a la página 53 y soluciona las dudas que tenías en ese momento!

¿Qué nuevas inquietudes te surgen acerca del tema trabajado en la Esfera? ¡Registra tus ideas aquí y discútelas con tus compañeros!

Cura

duría de Apps

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