Upload
lediep
View
256
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Analytische en andere soorten meetkunde
van Mavo tot Maple
Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG
Jeroen Spandaw [email protected]
Puzzel mavo 3
Puzzel mavo 3
Puzzel mavo 3
• Veronderstel: – zijde 1 – rechte hoeken – enzovoorts
• Relaties tussen x en y • Geven x = 2/3. • Analytische meetkunde
zonder coördinaten!
Dudeney
• Puzzel van 4 stukjes, • waarmee je een
vierkant kunt leggen • en een gelijkzijdige
driehoek. • Construeer!
Synthetisch versus Analytisch
• Synthetisch: – samenvoegen – opbouw van start (gegevens) tot finish (conclusie) – axiomatisch
• Analytisch: – uit elkaar halen – van finish (conclusie) naar start (gegevens) – coördinaten, vectoren – algebraïsche (!) & analytische methoden (= limieten) – R2, R3 en deelverzamelingen (bollen, torus, wilder)
Samenvatting
• Synthetische oplossingen kunnen – mooi zijn – inzicht geven – lastig te vinden zijn
• Maar het tegendeel kan ook • Voor analytische oplossingen
Samenvatting
• Synthetische oplossingen kunnen – mooi zijn – inzicht geven – lastig te vinden zijn
• Maar het tegendeel kan ook • Voor analytische oplossingen geldt hetzelfde. • Wees dus niet dogmatisch en geniet van alle
soorten mooie wiskunde!
Maar ik moet wel toegeven dat
• coördinatenmeetkunde flexibeler en daarom belangrijker is dan axiomatische meetkunde.
• coördinatenmeetkunde heeft geleid tot: – differentiaalmeetkunde & relativiteitstheorie – algebraïsche meetkunde (verband met algebra) – analytische meetkunde (verbanden met analyse) – arithmetische meetkunde (verband met
getaltheorie)
Rode Draad: Stelling van Pythagoras
• Gegeven: Rechthoekige driehoek in R2 • Lengtes zijden a, b, c ; c tegenover rechte hoek • Dan: a2 + b2 = c2
Euclides
Pythagoras volgens Euclides
• Vierkanten op zijden • Oppervlakten A, B, C • C tegenover rechte hoek • Dan: A + B = C.
Bewijs volgens Euclides
• Hoogtelijn op zijde c deelt vierkant op c in twee rechthoeken.
• Deze rechthoeken hebben oppervlakte A en B.
• Gevolg: A + B = C.
Bewijs volgens Euclides
• Bewijzen alleen de linkerkant, want rechts analoog.
Bewijs volgens Euclides
• Bewijzen alleen de linkerkant, want rechts analoog.
• Beide rechthoeken halveren door diagonaal
• Voldoende te bewijzen: Rode driehoeken hebben gelijke oppervlakte.
Tussenstap 1
• Rode driehoek ACP heeft dezelfde oppervlakte als
• blauwe driehoek ABP, • want BC // AP.
Tussenstap 2
• Rode driehoek ABP congruent met
• blauwe driehoek AQC • wegens ZHZ. • Dus hebben ABP en AQC
dezelfde oppervlakte.
Bewijs volgens Euclides
• Rode driehoek ACQ heeft dezelfde oppervlakte als
• blauwe driehoek ARQ, • want CR // AQ.
Bewijs volgens Euclides
• Dus hebben de rode driehoeken inderdaad dezelfde oppervlakte
Bewijs volgens Euclides
• Dus hebben de rode rechthoeken inderdaad dezelfde oppervlakte.
• Q.E.D.
Terugblik
Waar werd in dit bewijs gebruikt: 1) vierkant op b? 2) vierkant op c? 3) hoogtelijn op zijde c? 4) rechte hoek in C?
Legpuzzelbewijs van Pythagoras
Legpuzzelbewijs van Pythagoras
• Waarom deed Euclides het niet zo?
• Gemakkelijk te begrijpen zonder algebra!
• Hoe kunnen leerlingen Pythagoras zelf ontdekken?
Brugklassers ontdekken Pythagoras
• Scheef vierkant op ruitjespapier
• Hoekpunten op rooster • Bereken de oppervlakte • Ze konden het allemaal! • Pythagoras = methode
voor oppervlaktebepaling • Generaliseerbaar! • Rekenen → algebra
Stellingen
1) Analytische meetkunde kan mooie, betekenisvolle problemen opleveren in algebra, analyse & goniometrie.
2) Probleemoplossen overstijgt meetkunde:
– strategie (keuze, vergelijk & mix van methoden) – controle, verificatie & interpretatie (goede spoor?
speciale gevallen, symmetrie, dimensieanalyse, …)
Pythagoras in coördinaten
• Afstand tussen (x1, y1) en (x2, y2) is per definitie gelijk aan (∆𝑥𝑥)2+(∆𝑦𝑦)2
• Dus Pythagoras (over lengtes van zijden van rechthoekige driehoek) geldt vrijwel per definitie in R2.
• Verdacht eenvoudig…
Verdienste synthetisch bewijs
• Pythagoras volgt uit verzameling ‘redelijke’ meetkundige axioma’s
• ‘Redelijk’: ze lijken “vlakke werkelijkheid” te modelleren.
• Standaardmodel waarin al deze axioma’s gelden is R2 met standaarddefinities van ‘punt’, ‘lijn’, ‘ordening van 3 punten op een lijn’, ‘congruentie van lijnstukken’ en ‘congruentie van hoeken’.
Welke axioma’s voor Pythagoras?
• Bron: Euclid and Beyond, Robin Hartshorne • Axioma’s voor Pythagoras:
– 4 axioma’s over lijnen en punten (inclusief P.P.) – 4 axioma’s over ordening van punten op lijnen – 3 axioma’s over congruentie van lijnstukken – 3 axioma’s over congruentie van hoeken
(waaronder het ZHZ-criterium!)
• Veel axioma’s: 4 + 4 + 3 + 3 = 14 stuks!
Welke axioma’s voor R2?
• 14 axioma’s + volledigheidsaxioma van Dedekind karakteriseren R2 :
• R2 met standaarddefinities is het enige vlak dat aan al die 15 axioma’s voldoet.
• Dan geen wiskundig verschil tussen axiomatische meetkunde en meetkunde in R2,
• maar wel een psychologisch verschil!
Welke structuur heeft R2?
Alleen begrip ‘afstand’ is nodig. Opgave: Alle andere begrippen (lijn, ordening, hoek) zijn daarvan afgeleid.
Vectormeetkunde in R2 en R3
• Lengte gedefinieerd via Pythagoras: • |(a1, a2, a3)|2 := a2 := a2 := a1
2 + a22 + a3
2 • Handig: dit uitbreiden naar inproduct • (a1, a2, a3) ⋅ (b1, b2, b3) := a1b1
+ a2b2 + a3b3
want dan heb je meteen ook hoeken: cos(∠(a, b)) := a ⋅ b / (a⋅b)
• Opgave: Deze definitie compatibel met onderbouwdefinitie van cosinus (SOLCALTOA)
Toepassing: Cosinusregel
• cos(γ) = a⋅ b / (a⋅ b) • a = b + c • c2 = (a – b) ⋅ (a – b) • c2 = a2 – 2 a ⋅ b + b2 • c2 = a2 – 2ab cos(γ) + b2 • Speciaal geval: γ = 90° • Pythagoras!
Vectormeetkunde zonder inproduct
• Affiene meetkunde = vectoren zonder inproduct • Dus geen begrip ‘lengte’ en geen ‘hoek’ • Dus ook niet: ‘rechthoek’, ‘ruit’, ‘cirkel’ • Maar wel:
– ‘parallel’, ‘parallellogram’, ‘trapezium’ – ‘midden van lijnstuk’ – ‘verhouding van lengtes van parallelle lijnstukken’ – ‘verhouding van oppervlakten’
Toepassing: Zwaartepunt
• Noem positievectoren van hoekpunten a, b, c
• Positievector van midden M van AB is m = ½ (a + b)
Toepassing: Zwaartepunt
• Noem positievectoren van hoekpunten a, b, c
• Positievector van midden M van AB is m = ½ (a + b)
• Neem Z op CM zodat CZ : ZM = 2 : 1.
• Positievector van Z is z = (2/3)m + (1/3)c
• z = (a + b + c) / 3.
Toepassing: Zwaartepunt
• z = (a + b + c) / 3 • is symmetrisch in a, b, c • Dus Z ligt ook op zwaarte-
lijnen door A en B • en verhoudingen 2 : 1. • Q.E.D.
2 affiene Sangaku’s
Meetkunde op boloppervlak
Pythagoras op de bol?
• Pythagoras geldt niet op de bol! • Opgaven:
– Geef een tegenvoorbeeld – Wat gaat fout in Euclides’ bewijs? – Wat gaat fout in legpuzzelbewijs? – Wat gaat fout in volgende bewijs?
Schalingsbewijs Pythagoras
• A + B = C en • A : B : C = a2 : b2 : c2, • dus a2 + b2 = c2. • Waar gaat dit bewijs
fout op de bol?
Toegift: Sangaku
• a2 + b2 = c2.
Oplossing met Pythagoras?
Gegeven: • a2
2 + b22 = 1
• a2 + b12 = 1
• a12 + b2 = 1
Te bewijzen: • ab1
+ a1b = a2b2 . Kunt u dat zonder Maple? Mijn bewijs in Appendix 1
Veel plezier!
Appendix 1
Bewijs: (1 – a2
2 – b22) ⋅ (a1b1 + ab)
+ (a2 + b12 – 1) ⋅ (a2b – a1b2)
+ (a12 + b2 – 1) ⋅ (ab2 – a2b1)
= ab1 + a1b – a2b2.
Dus: Als 1 = a2
2 + b22 = a2 + b1
2 = a12 + b2,
dan ab1 + a1b = a2b2. Q.E.D.
Appendix 2
• Gedachtenexperiment over constructie in Geogebra geeft:
• Alles is uit te drukken in ϕ! • Bij zijde 1 heeft onderste
driehoek oppervlakte ½ sin(ϕ)cos(ϕ) = ¼ sin(2ϕ)
• Andere blauwe driehoek heeft opp. ¼ sin(2ϕ + 120°)
• Rode driehoek heeft opp. ¼ sin(120° – 2ϕ)
Appendix 2
• Dus te bewijzen: • sin(2ϕ) + sin(2ϕ + 120°) = sin(120° – 2ϕ) • Symmetrischer: • sin(2ϕ) + sin(2ϕ + 120°) + sin(2ϕ – 120°) = 0 • Symmetrie vectorsom in Q.E.D.
• Bonus: Analoge formules voor 360°/n ; ook voor cos.