Anderson 局在の数学的側面 - eonet.ne.jpkotani/kennkyuu.files/anderson.pdfAnderson局在とはなにか？P.W.Anderson は1958年に不純物を含む物質の物性の理論的研究の方向

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Anderson 局在の数学的側面

小谷眞一

関西学院大学理工学部

2008年12月

小谷眞一 (関西学院大学理工学部) Anderson 局在の数学的側面 2008年 12月 1 / 14

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講演の内容

Anderson局在とは何か？

主な結果

関連する話題

未解決の問題


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Anderson局在とはなにか？

P.W.Anderson は1958年に不純物を含む物質の物性の理論的研究の方向性を示す論文を発表した。そこでモデルとしてランダムなポテンシャルの場の中を１電子が動き回る一体問題を論じ、一般的に運動の局在化が起こることを主張した。この講演ではその後のこの問題の発展について数学的な側面から解説する。


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Andersonのtight bindingモデル

Andersonのtight bindingモデル： Zd での離散ラプァシアン

∆u (x) = ∑y :|y−x |=1

(u(x) − u(y))

ポテンシャルVの下での１体問題

i∂u

∂t= Hu = −∆u + λVu

Vはランダムで次の形を仮定

{V ω(x)}x∈Zd は独立同分布の確率変数

V ω(x)の分布は密度g(v)を持ち 0 ≤ g(v) ≤ ∃M

Rd でも同様のモデルが考察されているが技術的な困難が発生することが多い。


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∆u (x) = ∑y :|y−x |=1

(u(x) − u(y))


i∂u

∂t= Hu = −∆u + λVu






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∆u (x) = ∑y :|y−x |=1

(u(x) − u(y))


i∂u

∂t= Hu = −∆u + λVu






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局在化・非局在化（Dynamical localization）

分散(mean square displacement)

r(t)2 = ∑x∈Zd

|x |2 |u (t, x)|2

V = 0 または周期的な場合

r(t)2 ∼ Ct2 as t → ∞

局在化（Dynamical localization）

r(t)2 ∼ C as t → ∞

拡散的（Brown motion）

r(t)2 ∼ Ct as t → ∞


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r(t)2 = ∑x∈Zd

|x |2 |u (t, x)|2


r(t)2 ∼ Ct2 as t → ∞


r(t)2 ∼ C as t → ∞


r(t)2 ∼ Ct as t → ∞


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r(t)2 = ∑x∈Zd

|x |2 |u (t, x)|2


r(t)2 ∼ Ct2 as t → ∞


r(t)2 ∼ C as t → ∞


r(t)2 ∼ Ct as t → ∞


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r(t)2 = ∑x∈Zd

|x |2 |u (t, x)|2


r(t)2 ∼ Ct2 as t → ∞


r(t)2 ∼ C as t → ∞


r(t)2 ∼ Ct as t → ∞


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局在化・非局在化（スペクトルによる定式化）

Hは自己共役=⇒ H =∫ ∞

E0

EΣ (dE ) , (Σ (dE )：スペクトル測度)

Schrodinger方程式の解

u(t, ·) =(e−itHu0

)(·) =

(∫ ∞

E0

e−itE Σ (dE ) u0

)(·)

Σ (dE )がEでpoint massをもつ⇐⇒ Hの固有値。よって初期波動関数u0がEでの固有関数φなら

u(t, ·) = e−itE φ (·) =⇒ t → ∞ で u(t, ·) は非減衰Σ (dE )が滑らかならばu(t, x)はt → ∞で速く減衰する

∑x∈Zd

|u (t, x)|2 = ∑x∈Zd

|u0 (x)|2 =⇒ u(t, ·) は t → ∞ で非局在化

Σ (dE )の分解： Σ (dE ) = Σac (dE ) ⊕ Σsc (dE ) ⊕ Σp (dE )Σ (dE ) = Σp (dE )なら局在化、Σ (dE ) = Σac (dE )なら非局在化(extended states)


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E0




)(·) =

(∫ ∞

E0

e−itE Σ (dE ) u0

)(·)



∑x∈Zd

|u (t, x)|2 = ∑x∈Zd

|u0 (x)|2 =⇒ u(t, ·) は t → ∞ で非局在化



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E0




)(·) =

(∫ ∞

E0

e−itE Σ (dE ) u0

)(·)


u(t, ·) = e−itE φ (·) =⇒ t → ∞ で u(t, ·) は非減衰

Σ (dE )が滑らかならばu(t, x)はt → ∞で速く減衰する

∑x∈Zd

|u (t, x)|2 = ∑x∈Zd

|u0 (x)|2 =⇒ u(t, ·) は t → ∞ で非局在化



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E0




)(·) =

(∫ ∞

E0

e−itE Σ (dE ) u0

)(·)



∑x∈Zd

|u (t, x)|2 = ∑x∈Zd

|u0 (x)|2 =⇒ u(t, ·) は t → ∞ で非局在化



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E0




)(·) =

(∫ ∞

E0

e−itE Σ (dE ) u0

)(·)



∑x∈Zd

|u (t, x)|2 = ∑x∈Zd

|u0 (x)|2 =⇒ u(t, ·) は t → ∞ で非局在化



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予想

物理学者の予想（物理では予想ではなく既知の事実）

1D, 2Dでは局在化

3D以上では領域が局在・非局在領域に分離される

数学的には特に3D以上での非局在領域の存在が証明できていない。


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予想

物理学者の予想（物理では予想ではなく既知の事実）

1D, 2Dでは局在化

3D以上では領域が局在・非局在領域に分離される

数学的には特に3D以上での非局在領域の存在が証明できていない。


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空間一次元の場合

K.Ishii: Localization of eigenstates and transport phenomena in1-dim. disordered systems, Prog.Theor.Phys.Suppl. 53(1973)

Σωac (dE ) = 0 絶対連続スペクトルの不存在の証明

I.Goldseid,S.Molchanov,L.Pastur: A pure point spectrum of thestochastic 1-dimensional Schroinger equation. Funct. Anal. Appl.11(1977)

Σω (dE ) = Σωp (dE ) の証明、同時に固有関数の指数関数的局在の証明

１次元の場合にはcoupling定数λの大きさによらず、常に局在化


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空間一般次元の場合

J.Frolich, T.Spencer: Absence of diffusion in the Andersontight-binding model for large disorder or low energy, CMP. 88(1983)

λ ≫ 1 =⇒ 局在化、λ = 0 =⇒ スペクトルの端の近傍で局在化

証明の要点 (Green関数の評価） GE = (H − E )−1

Wegner評価： Λ ⊂ Zdの有限集合に対して HΛ = H |ΛProb (dist (E , spHΛ) ≤ δ) ≤ nλ(E )δ |Λ| , nλ(E ) = 状態密度

Combes-Thomas評価： dist (E , spHΛ) = κ (E ∈ C) とすると

|GΛ,E (x , y)| ≤ κ−1e−cκ|x−y |, c は次元にのみ依存

Resolvent等式： H = H0 + H1 =⇒ GE = G0,E − G0,EH1GEMultiscale analysis: H0 = HΛ ⊕HΛc

H1 (x , y) ={ −1 if |x − y | = 1, x ∈ Λ, y ∈ Λc or vise versa

0 otherwise

Resolvent等式に繰り返し代入しランダム・ウォーク展開を実行Green関数評価：

∣∣GωE (0, y)

∣∣ ≤ cωe−c ′|y |


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λ ≫ 1 =⇒ 局在化、λ = 0 =⇒ スペクトルの端の近傍で局在化証明の要点 (Green関数の評価） GE = (H − E )−1






0 otherwise


∣∣GωE (0, y)

∣∣ ≤ cωe−c ′|y |


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0 otherwise


∣∣GωE (0, y)

∣∣ ≤ cωe−c ′|y |


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0 otherwise


∣∣GωE (0, y)

∣∣ ≤ cωe−c ′|y |


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Resolvent等式： H = H0 + H1 =⇒ GE = G0,E − G0,EH1GE

Multiscale analysis: H0 = HΛ ⊕HΛc


0 otherwise


∣∣GωE (0, y)

∣∣ ≤ cωe−c ′|y |


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0 otherwise

Resolvent等式に繰り返し代入しランダム・ウォーク展開を実行

Green関数評価：∣∣Gω

E (0, y)∣∣ ≤ cωe−c ′|y |


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0 otherwise


∣∣GωE (0, y)

∣∣ ≤ cωe−c ′|y |


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非局在に関する部分的な結果

空間３次元以上ではスペクトル領域が局在・非局在領域に分離することが予想されている。これを数学的に示した結果はまだないが、この問題に関して現在一番近い結果を紹介する。

Erdos, Lazlo- Salmhofer, Manfred- Yau, Horng-Tzer: Towards thequantum Brownian motion. Mathematical physics of quantummechanics, 233–257, Lecture Notes in Phys., 690, Springer, Berlin,2006

3 ≤ d , 1 ≫ λ =⇒ ⟨r(t)2

⟩ ∼ Dt if λ−2 ≤ t ≤ λ−2−ε for ε > 0⟨r(t)2

⟩ ∼ Ct2 if t ≤ λ−2

3Dの場合の予想は、1 ≫ λのとき⟨r(t)2

⟩ ∼ Dt as t → ∞A.Klein: Extended states in the Anderson model on the Bethe lattice.Adv. Math. 133(1998)Bethe格子でスペクトル領域に絶対連続部分と点スペクトル部分が共存することを証明


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3 ≤ d , 1 ≫ λ =⇒ ⟨r(t)2

⟩ ∼ Dt if λ−2 ≤ t ≤ λ−2−ε for ε > 0⟨r(t)2

⟩ ∼ Ct2 if t ≤ λ−2


⟩ ∼ Dt as t → ∞

A.Klein: Extended states in the Anderson model on the Bethe lattice.Adv. Math. 133(1998)Bethe格子でスペクトル領域に絶対連続部分と点スペクトル部分が共存することを証明


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3 ≤ d , 1 ≫ λ =⇒ ⟨r(t)2

⟩ ∼ Dt if λ−2 ≤ t ≤ λ−2−ε for ε > 0⟨r(t)2

⟩ ∼ Ct2 if t ≤ λ−2


⟩ ∼ Dt as t → ∞A.Klein: Extended states in the Anderson model on the Bethe lattice.Adv. Math. 133(1998)Bethe格子でスペクトル領域に絶対連続部分と点スペクトル部分が共存することを証明


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空間１次元の場合：概周期的ポテンシャルを含む結果１

２つの基本量

状態分布関数（IDS）： N(E ) = limΛ↑Z

1

|Λ|#{Hω

Λの固有値 ≤ E}

Lyapounov指数：γ (E ) = lim

x↑∞

1

xlog ∥Uω(x ,E )∥ ≥ 0,

Uω(x + 1,E ) =(

0 1−1 2 + E − V ω(x + 1)

)Uω(x ,E )

基本定理

スペクトル： Σω (= suppΣω (dE )) = suppdN(E )絶対連続スペクトル： Σω

ac (= suppΣωac (dE )) = {E ; γ (E ) = 0}ess

無反射性： mω±をWeyl関数とすると

mω+(E + i0) = −mω−(E + i0) a.e. {E ; γ (E ) = 0}


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２つの基本量


1

|Λ|#{Hω



x↑∞

1

xlog ∥Uω(x ,E )∥ ≥ 0,

Uω(x + 1,E ) =(

0 1−1 2 + E − V ω(x + 1)

)Uω(x ,E )

基本定理




mω+(E + i0) = −mω−(E + i0) a.e. {E ; γ (E ) = 0}


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２つの基本量


1

|Λ|#{Hω



x↑∞

1

xlog ∥Uω(x ,E )∥ ≥ 0,

Uω(x + 1,E ) =(

0 1−1 2 + E − V ω(x + 1)

)Uω(x ,E )

基本定理




mω+(E + i0) = −mω−(E + i0) a.e. {E ; γ (E ) = 0}


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２つの基本量


1

|Λ|#{Hω



x↑∞

1

xlog ∥Uω(x ,E )∥ ≥ 0,

Uω(x + 1,E ) =(

0 1−1 2 + E − V ω(x + 1)

)Uω(x ,E )

基本定理




mω+(E + i0) = −mω−(E + i0) a.e. {E ; γ (E ) = 0}


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２つの基本量


1

|Λ|#{Hω



x↑∞

1

xlog ∥Uω(x ,E )∥ ≥ 0,

Uω(x + 1,E ) =(

0 1−1 2 + E − V ω(x + 1)

)Uω(x ,E )

基本定理

スペクトル： Σω (= suppΣω (dE )) = suppdN(E )

絶対連続スペクトル： Σωac (= suppΣω

ac (dE )) = {E ; γ (E ) = 0}ess


mω+(E + i0) = −mω−(E + i0) a.e. {E ; γ (E ) = 0}


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２つの基本量


1

|Λ|#{Hω



x↑∞

1

xlog ∥Uω(x ,E )∥ ≥ 0,

Uω(x + 1,E ) =(

0 1−1 2 + E − V ω(x + 1)

)Uω(x ,E )

基本定理




mω+(E + i0) = −mω−(E + i0) a.e. {E ; γ (E ) = 0}


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２つの基本量


1

|Λ|#{Hω



x↑∞

1

xlog ∥Uω(x ,E )∥ ≥ 0,

Uω(x + 1,E ) =(

0 1−1 2 + E − V ω(x + 1)

)Uω(x ,E )

基本定理




mω+(E + i0) = −mω−(E + i0) a.e. {E ; γ (E ) = 0}


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空間１次元の場合：概周期的ポテンシャルを含む結果２

ある有限集合 S ⊂ R があり V ω(x) ∈ S となるなら

V ω(x)が周期的のときのみ絶対連続スペクトルが存在

概Mathieuポテンシャル：

(Hu)x = ux+1 + ux−1 + 2λ cos 2π (αx + ω) ux

α : 無理数

λ > 1 =⇒ 点スペクトルのみ存在λ = 1 =⇒ 特異連続スペクトルのみ存在λ < 1 =⇒ 絶対連続スペクトルのみ存在

Andre-Aubry, Avila, Jitomirskya, Last, Simon, · · ·他の準周期的ポテンシャルの場合についても多くの結果がある。準周期的なポテンシャルではスペクトルのすべての部分が出現しうる。


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α : 無理数


Andre-Aubry, Avila, Jitomirskya, Last, Simon, · · ·

他の準周期的ポテンシャルの場合についても多くの結果がある。準周期的なポテンシャルではスペクトルのすべての部分が出現しうる。


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α : 無理数


Andre-Aubry, Avila, Jitomirskya, Last, Simon, · · ·他の準周期的ポテンシャルの場合についても多くの結果がある。準周期的なポテンシャルではスペクトルのすべての部分が出現しうる。


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将来の問題

空間２次元での局在の証明

空間３次元での非局在領域の存在の証明

多次元準周期的な場合（e.g.:Penroseタイル）のスペクトルの研究

磁場が存在する場合のスペクトルの研究

多体不規則系の局在・非局在、特に電子間相互作用の影響について

１次元の場合の絶対連続スペクトルと概周期性の関係の解明

ランダム行列との対比、特に固有値の間隔の極限

古典不規則系との対比

d2xω(t)dt2

= − grad V ω (xω(t))

=⇒ {xω(t)}過去の履歴に依存した確率過程=⇒ 非マルコフ確率過程の拡散・非拡散

他の不規則系（e.g.:不規則楳質中のランダム・ウォーク）との対比


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将来の問題









d2xω(t)dt2





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将来の問題









d2xω(t)dt2





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将来の問題









d2xω(t)dt2





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将来の問題









d2xω(t)dt2





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将来の問題









d2xω(t)dt2





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将来の問題









d2xω(t)dt2





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将来の問題









d2xω(t)dt2





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将来の問題









d2xω(t)dt2





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Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences

Mathematics and Physics of Anderson localization : 50 Years After14 July - 19 December 2008

(http://www.newton.ac.uk/programmes/MPA/)

Spencer, T (IAS, Princeton)Anderson localisation: phenomenology and mathematics


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