Embed Size (px)
Citation preview
André Santos Dória
ANÁLISE DA ESTABILIDADE DE PÓRTICOS PLANOS DE AÇO
COM BASE NO CONCEITO DE FORÇAS HORIZONTAIS FICTÍCIAS
Dissertação apresentada à Escola de
Engenharia de São Carlos da Universidade
de São Paulo, como parte dos requisitos
para obtenção do Título de Mestre em
Engenharia de Estruturas.
Orientador: Maximiliano Malite
São Carlos
2007
III
À minha mãe, ao meu irmão e ao
meu pai, com amor e gratidão.
IV
Agradecimentos
A Deus, pela tranqüilidade e serenidade.
Aos meus pais e ao meu irmão, pelo amor, compreensão e apoio.
À Michele, pelo carinho, paciência e compreensão.
Ao Prof. Maximiliano Malite, pelo aprendizado e atenção.
Aos Professores Dagoberto Dario Mori e Eduardo de Miranda Batista, pelo empenho
e contribuições na avaliação do trabalho.
Ao Saulo José, o Joseph, pela paciência e apoio nos momentos mais complicados.
Muito obrigado e sucesso na sua vida.
Aos verdadeiros amigos, pelas palavras de incentivo, conselhos e apoio irrestrito.
Aos amigos de Maceió e do departamento, pelos incontáveis momentos de alegria e
descontração. Aliás, um agradecimento especial aos desbravadores da turma do funil, pelas
viagens e eventos sociais promovidos durante essa temporada.
Aos professores do Curso de Engenharia Civil da UFAL, pelo incentivo antes e
durante o Mestrado.
Ao Sr. Wilson, guardião do Res. Ubatuba, pela prontidão e destreza inquestionáveis,
garantindo a segurança durante as madrugadas. Na sua prosa coloquial e sábia havia sempre
palavras de incentivo.
V
“...não vem pra fazer barulho
vem só dizer... e com satisfação
queiram ou não queiram os juízes
o nosso bloco é de fato campeão....”
(Capiba, 1963)
VI
Resumo
DÓRIA, A.S. (2007). Análise da Estabilidade de Pórticos Planos de Aço com Base no Conceito de Forças Horizontais Fictícias. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2007.
Esse trabalho apresenta um estudo comparativo entre métodos simplificados para avaliação da estabilidade de pórticos planos de aço. Aspectos relacionados à classificação das estruturas de aço quanto à deslocabilidade e sistema de contraventamento são apresentados e discutidos. O tradicional procedimento do comprimento efetivo de flambagem, ainda presente em algumas normas, é confrontado com métodos que empregam forças horizontais fictícias para contabilizar os efeitos desestabilizantes, tais como imperfeições geométricas iniciais e tensões residuais. Uma análise numérica avançada via MEF que permite a modelagem explícita dos efeitos que contribuem para a instabilidade de pórticos é empregada como referência na comparação dos resultados. É avaliada a resposta de pilares isolados, edifícios industriais e de múltiplos andares. Os métodos que empregam forças horizontais fictícias foram considerados adequados, pois além de eliminar o cálculo do comprimento efetivo de flambagem, apresentaram resultados mais consistentes em relação à análise avançada.
Palavras-chave: estabilidade estrutural, edifícios de aço, comprimento efetivo de flambagem, forças horizontais fictícias, análise estrutural avançada.
VII
Abstract
DÓRIA, A.S. (2007). Notional Load Approach for Steel Frame Stability Analisys. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2007.
Two strategies for assessing steel frame stability and beam-column design are studied and compared. Some aspects related to bracing system and sway or non-sway classification are also discussed. The traditional procedure based on effective lengths are compared with some approaches based on notional loads, which propose a set of notional horizontal loads for account stability effects such as initial geometric imperfections and residual stresses. The results are compared with an advanced analysis using FEM, which consists in an explicit modeling of stability effects. Some industrial and multistory frames are studied and the results show that the notional load based procedures are accurate. These procedures are also practical because the need for effective length factors is eliminated.
Keywords: structural stability, steel frames, effective length, notional load, advanced structural analysis.
VIII
Lista de Símbolos
K coeficiente de flambagem L comprimento da barra h altura do pavimento Δ1h deslocamento relativo entre pavimentos obtido em análise de primeira ordem N força normal u1 deslocamento em relação à base do edifício, obtido em análise de primeira ordem u2 deslocamento em relação à base do edifício, obtido em análise de segunda ordem P força vertical aplicada Δ deslocamento transversal relativo entre as extremidades da barra δ deslocamento do eixo da barra em relação à corda δ0 imperfeição geométrica inicial local Δ0 imperfeição geométrica inicial global E Módulo de Elasticidade longitudinal I momento de inércia fy resistência ao escoamento do aço fp tensão correspondente ao limite de proporcionalidade NSd força normal solicitante de cálculo NRd força normal resistente de cálculo MSd momento fletor solicitante de cálculo MRd momento fletor resistente de cálculo GA, GB rigidezes relativas B1 coeficiente de amplificação dos momentos fletores devido ao efeito P-δ Mnt momento fletor solicitante para a estrutura contida lateralmente Cm coeficiente de uniformização dos momentos δ1 deslocamento do eixo da barra em relação à corda obtido em análise de primeira
ordem Ne força axial de flambagem elástica M1 momento fletor na extremidade da barra; momento de primeira ordem M2 momento fletor na extremidade da barra B2 coeficiente de amplificação dos momentos fletores devido ao efeito P-Δ HSd força cortante solicitante de cálculo Δ2h deslocamento relativo entre pavimentos obtido em análise de segunda ordem Mlt momento fletor solicitante para a estrutura não-contida lateralmente Rm coeficiente que considera a influência do efeito P-δ no P-Δ γz coeficiente de majoração dos esforços finais de primeira ordem ΔMtot,d soma dos produtos da todas as forças verticais, com seus valores de cálculo, pelo
deslocamento horizontal de primeira ordem do ponto de aplicação
IX
M1,tot,d momento de tombamento F força horizontal aplicada
2B valor médio do coeficiente B2 ξ fração da força horizontal k parâmetro para correção da intensidade da força horizontal fictícia np número de pilares no pavimento contidos no plano do pórtico r raio de giração cr número de pilares que contribuem com a resistência às ações horizontais MSd,(R) momento fletor solicitante de cálculo obtido na análise R MSd,(N) momento fletor solicitante de cálculo obtido na análise N Ny força normal de escoamento Mpl momento fletor de plastificação p força distribuída λ(L) esbeltez reduzida da barra considerando-se o comprimento real A área da seção transversal τb parâmetro de redução da rigidez fyd resistência de cálculo ao escoamento do aço fyk resistência característica ao escoamento do aço γm coeficiente de ponderação das resistências frt tensão residual de tração frc tensão residual de compressão bf largura da mesa tf espessura da mesa tw espessura da alma d altura do perfil γf coeficiente de ponderação das ações γf1 parte do coeficiente de ponderação das ações que considera a variabilidade das
ações γf2 parte do coeficiente de ponderação das ações que considera a simultaneidade de
atuação das ações γf3 parte do coeficiente de ponderação das ações que considera os desvios gerados nas
construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações ψ0 fator de combinação das ações variáveis diretas u deslocamento axial da barra g ação permantente q ação variável v ação do vento
X
Sumário
Capítulo 1: INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 1
Capítulo 2: REVISÃO BIBLIOGRÁFICA................................................................................ 4
2.1 TIPOS DE ANÁLISE DE ESTABILIDADE.................................................................. 4
2.2 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS....................................................................... 6
2.2.1 QUANTO AO SISTEMA DE CONTRAVENTAMENTO ..................................... 6
2.2.2 QUANTO À DESLOCABILIDADE........................................................................ 6
2.2.3 PROCEDIMENTO DA NORMA BRITÂNICA BS 5950-1:2000........................... 7
2.2.4 PROCEDIMENTO DA NORMA BRASILEIRA NBR 8800:1986......................... 8
2.2.5 PROJETO DE REVISÃO DA NBR 8800 (SET. 2006) ........................................... 8
2.3 EFEITOS QUE CONTRIBUEM PARA A INSTABILIDADE DE PÓRTICOS ......... 10
2.4 EXPRESSÕES DE INTERAÇÃO................................................................................. 16
2.5 MODELOS PARA AVALIAÇÃO DE PÓRTICOS ..................................................... 18
2.5.1 COMPRIMENTO EFETIVO DE FLAMBAGEM................................................. 18
2.5.2 EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM....................................................................... 22
2.5.2.1 EFEITO P-δ ..................................................................................................... 22
2.5.2.2 EFEITO P-Δ ..................................................................................................... 24
2.5.2.3 COMPOSIÇÃO DOS EFEITOS ..................................................................... 32
2.5.3 MÉTODOS DAS FORÇAS HORIZONTAIS FICTÍCIAS.................................... 34
2.5.3.1 MÉTODO SIMPLIFICADO............................................................................ 35
2.5.3.2 MÉTODO MODIFICADO .............................................................................. 36
2.5.3.3 MÉTODO REFINADO (ASCE, 1997) ........................................................... 37
2.5.3.4 MÉTODO R–N (ASCE, 1997) ........................................................................ 41
2.5.4 MÉTODO ELÁSTICO MODIFICADO................................................................. 42
2.5.5 EFEITOS DE PLASTIFICAÇÃO DA SEÇÃO TRANSVERSAL........................ 44
XI
2.6 CALIBRAÇÃO DOS MÉTODOS SIMPLIFICADOS..................................................47
2.7 RECOMENDAÇÕES NORMATIVAS.........................................................................50
2.7.1 PROCEDIMENTO DA NORMA CANADENSE CSA S16.1-94..........................50
2.7.2 PROCEDIMENTO DA NORMA AUTRALIANA AS 4100/1990........................51
2.7.3 PROCEDIMENTO DO EUROCÓDIGO prEN 1993:3/2003.................................52
2.7.4 ESPECIFICAÇÃO DO AISC LRFD (2005a,b)......................................................54
2.7.5 PROJETO DE REVISÃO DA NBR 8800 (SET. 2006)..........................................57
2.7.5.1 ESTRUTURAS DE PEQUENA DESLOCABILIDADE ................................57
2.7.5.2 ESTRUTURAS DE MÉDIA E GRANDE DESLOCABILIDADE.................57
Capítulo 3: ANÁLISE ESTRUTURAL ...................................................................................61
3.1 MÉTODOS SIMPLIFICADOS......................................................................................62
3.2 ANÁLISE NUMÉRICA AVANÇADA.........................................................................63
3.2.1 NÃO-LINEARIDADE FÍSICA ..............................................................................63
3.2.2 ELEMENTO FINITO..............................................................................................64
3.2.3 TENSÕES RESIDUAIS..........................................................................................65
3.2.4 IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS .......................................................................66
3.2.5 VALIDAÇÃO .........................................................................................................67
3.3 ANÁLISES COMPARATIVAS ....................................................................................71
Capítulo 4: ANÁLISE COMPARATIVA – EXEMPLOS.......................................................73
4.1 EXEMPLO 1 – PILAR EM BALANÇO .......................................................................73
4.2 EXEMPLO 2 – PÓRTICO REGULAR COM UM PAVIMENTO ...............................76
4.3 EXEMPLO 3 – EDIFÍCIO INDUSTRIAL SEM PONTE ROLANTE .........................78
4.4 EXEMPLO 4 – EDIFÍCIO INDUSTRIAL COM PONTE ROLANTE.........................80
4.5 EXEMPLO 5 – PÓRTICO ASSIMÉTRICO COM DOIS PAVIMENTOS ..................82
4.6 EXEMPLO 6 – PÓRTICO IRREGULAR E ASSIMÉTRICO ......................................88
4.7 EXEMPLO 7 – EDIFÍCIO COM 15 PAVIMENTOS ...................................................93
Capítulo 5: CONCLUSÃO.....................................................................................................101
REFERÊNCIAS .....................................................................................................................104
1
Capítulo 1: INTRODUÇÃO
Os projetos de estruturas em geral são tradicionalmente desenvolvidos considerando-
se a estrutura perfeita, sem imperfeições iniciais e utilizando uma análise elástica linear. Essa
é uma situação confortável para o projetista, pela facilidade de modelagem e avaliação
estrutural que, no entanto, não reflete a condição real.
Devido à simplicidade dos modelos estruturais, alguns métodos aproximados foram
desenvolvidos para contabilizar os efeitos não contemplados na análise estrutural. Deste
modo, permite-se que a avaliação estrutural seja elástica linear, com a estrutura perfeita e sem
contabilizar os efeitos de segunda ordem. O dimensionamento dos elementos é que traz as
expressões aproximadas para considerar a não-linearidade física, as tensões residuais, as
imperfeições geométricas e os efeitos de segunda ordem.
Vários pacotes comerciais de análise estrutural já permitem, por exemplo, calcular os
efeitos de segunda ordem diretamente. Conforme será apresentado, uma tendência semelhante
se verifica para avaliação aproximada das imperfeições geométricas e a não-linearidade física,
uma vez que os métodos propostos estão saindo do contexto do dimensionamento do
elemento para a análise estrutural.
Seguindo esse raciocínio, estão incluídos os métodos das forças horizontais fictícias e
o método da análise direta, os quais serão investigados no presente trabalho.
O conceito de comprimento efetivo de flambagem foi introduzido no AISC em 1963
(ASCE, 1997). Para verificação da estabilidade de uma barra com restrições elásticas à
2
rotação nas extremidades, efetua-se uma correção no comprimento real (L) por um coeficiente
de flambagem K, obtendo-se uma barra bi-rotulada com comprimento efetivo de flambagem
(KL), mantendo-se a força crítica de flambagem. Para cada barra da estrutura, calcula-se o
coeficiente K, que considera a contribuição de rigidez à flexão dos elementos conectados às
extremidades.
O conceito de comprimento efetivo é admitido até hoje e novas técnicas de cálculo do
coeficiente de flambagem K foram sendo desenvolvidas para capturar efeitos como a semi-
rigidez das ligações entre vigas e pilares (ANTUNES, 2001) e o regime inelástico. A
evolução dessas técnicas aprimorou o método, mas penalizou a praticidade e se mostrou
pouco interessante para implementação computacional (HAJJAR; WHITE, 2000).
Uma alternativa ao modelo de comprimento efetivo foi apresentada pelas normas
australiana (AS4100, 1990) e canadense (CSA-S16.1, 1994), além do regulamento europeu
(prEN 1993-3, 2003). O modelo consiste em utilizar forças horizontais fictícias1 aplicadas aos
pavimentos da estrutura, as quais representam efeitos que influenciam na estabilidade do
pórtico, tais como imperfeições geométricas da estrutura e do pilar, não-linearidade física e
tensões residuais.
A utilização desse método resgatou a praticidade do cálculo estrutural, mantendo os
conceitos associados à estabilidade. Em 1997, foi publicado um estudo detalhado sobre
estabilidade de pórticos de aço (ASCE, 1997), o qual comparou o método do comprimento
efetivo de flambagem com o das forças horizontais fictícias. O estudo confirmou resultados
existentes (LIEW; WHITE; CHEN, 1994) que apontavam o método das forças horizontais
fictícias como ferramenta mais interessante para aplicação cotidiana, fazendo algumas
ressalvas.
1 Em inglês, notional loads.
3
Hajjar e White (2000) constataram algumas deficiências do método, para as quais
foram propostas alterações (MALECK; WHITE, 2004a). Essa versão modificada do método
das forças horizontais fictícias como instrumento de consideração da instabilidade de pórticos
planos foi adotado pelo do Projeto de Revisão da NBR 8800 (set. 2006), pela nova versão da
norma americana de perfis pesados (AISC, 2005a) e está em discussão no comitê de revisão
da norma americana de perfis formados a frio (AISI, 2006).
A atual norma brasileira de estruturas de aço NBR 8800:1986 não considera
explicitamente os efeitos desestabilizantes das imperfeições geométricas globais e insere as
imperfeições locais no contexto das curvas de resistência à compressão. O Projeto de Revisão
da NBR 8800 (set. 2006) apresenta o método da análise direta como procedimento
aproximado para consideração das imperfeições geométricas globais e não-linearidade física,
permitindo o dimensionamento com o comprimento real da barra (K=1).
Nesse contexto, o objetivo desse trabalho é investigar a estabilidade de pórticos planos
não-contraventados de aço, com base no Método das Forças Horizontais Fictícias e Método
da Análise Direta, comparando os resultados aos obtidos pelo tradicional procedimento do
comprimento efetivo de flambagem, no contexto da proposta do Projeto de Revisão da NBR
8800 (set. 2006).Equation Chapter 2 Section 2
4
Capítulo 2: REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
A avaliação de uma estrutura deve levar em consideração a resistência e estabilidade
dos elementos estruturais e da estrutura como um todo. De acordo com o Structural Stability
Research Council – SSRC (1976), Kanchanalai e Le-Wu (1979) os estudos mostram de forma
conclusiva que pórticos susceptíveis a deslocamentos horizontais são mais propensos à falha
por instabilidade do que por formação de mecanismo plástico, e qualquer análise racional
deve levar em consideração esse efeito.
O dimensionamento de estruturas de aço pode ser dividido, segundo os procedimentos
normativos, em duas etapas: análise estrutural e dimensionamento dos elementos. Conforme a
recomendação do SSRC, os critérios suficientes para garantir a estabilidade global da
estrutura devem estar contidos em uma das duas etapas.
2.1 TIPOS DE ANÁLISE DE ESTABILIDADE
A estabilidade de pórticos pode ser avaliada à luz da teoria da estabilidade elástica ou
empregando-se uma análise estrutural de segunda ordem que considere os efeitos
desestabilizantes.
Na análise de estabilidade conhecida como “flambagem clássica” considera-se a
estrutura sem imperfeições iniciais e com as forças centradas nos pilares. As forças
distribuídas nas vigas são substituídas por forças nodais equivalentes. Nesse caso, a estrutura
5
apresenta apenas deslocamentos axiais até que a configuração de forças seja correspondente à
bifurcação do equilíbrio.
Uma das técnicas de avaliação dessa configuração crítica é a análise pelo MEF. As
equações de equilíbrio são escritas para a configuração deslocada do elemento dando origem à
matriz de rigidez elástica clássica e uma matriz geométrica. A montagem do sistema de
equações recai em um problema de autovalor, cuja solução fornece o carregamento de
referência correspondente à bifurcação do equilíbrio.
O emprego da flambagem elástica para avaliação da estabilidade de pórticos de aço
não é usual em projeto, entretanto é possível definir um modelo simplificado que represente
um pilar genérico, contendo outros pilares e vigas conectados aos nós. Para o modelo
simplificado, desenvolvem-se expressões que avaliam a estabilidade e estende-se a solução
para pórticos maiores. Esse é o conceito envolvido para o cálculo do comprimento efetivo de
flambagem utilizando o diagrama de alinhamento, o qual será detalhado mais adiante.
A segunda possibilidade envolve uma análise onde as forças distribuídas são aplicadas
diretamente nas vigas, transferindo esforços de flexão aos pilares. Os efeitos de flexão e as
imperfeições iniciais geram excentricidades que, associadas às forças de compressão,
provocam a amplificação dos momentos fletores e deslocamentos laterais. Nesse caso, a
instabilidade é definida quando pequenos incrementos de força produzem grandes
incrementos de deslocamentos, ou seja, a rigidez da estrutura torna-se insuficiente para sua
sustentação (KANCHANALAI; LE-WU, 1979). Bem entendido, o problema da flambagem
clássica é substituído por um problema de flexo-compressão, considerando os efeitos de
segunda ordem.
A susceptibilidade da estrutura aos deslocamentos laterais depende fortemente das
condições de vínculo e dos elementos que compõem o sistema de contraventamento. A partir
dessas características é possível classificar as estruturas quanto à estabilidade.
6
2.2 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
Existem duas classificações distintas para estruturas de edifícios que algumas vezes
são confundidas. As estruturas podem ser classificadas quanto ao sistema de
contraventamento e quanto à deslocabilidade.
2.2.1 QUANTO AO SISTEMA DE CONTRAVENTAMENTO
São classificadas como contraventadas e não-contraventadas. Sistemas de
contraventamento são aqueles que resistem aos efeitos das ações horizontais e das
imperfeições geométricas. Quando a resistência às ações horizontais é garantida pela rigidez à
flexão de vigas e pilares rigidamente ligados entre si, diz-se que a estrutura é não-
contraventada. Quando existe um sistema de contraventamento constituído por diagonais e/ou
paredes de cisalhamento, diz-se que a estrutura é contraventada.
Ainda, para que a estrutura seja considerada contraventada é necessário que o sistema
de contraventamento possua elevada rigidez em relação à estrutura. Segundo Ballio e
Mazzolani (1983) e Englekirk (1994), os sistemas de contraventamento são suficientes para
conter um pórtico quando aumentam em pelo menos cinco vezes a rigidez da estrutura. Ou
seja, os deslocamentos laterais da estrutura contraventada devem ser inferiores a 20% dos
deslocamentos da estrutura sem o sistema de contraventamento.
2.2.2 QUANTO À DESLOCABILIDADE
São classificadas como deslocáveis e indeslocáveis. De acordo com Liew e Chen
(1999), uma estrutura pode ser considerada indeslocável quando a influência dos efeitos de
segunda ordem puder ser desprezada. Essa influência dos efeitos de segunda ordem pode ser
7
avaliada, por exemplo, pela razão entre os deslocamentos de segunda e primeira ordem ou
pela razão entre os deslocamentos relativos entre pavimentos e a altura do pavimento.
É interessante ressaltar que a classificação quanto ao sistema de contraventamento é
baseada na rigidez relativa do sistema de contraventamento e da estrutura. A classificação
quanto à deslocabilidade dá uma idéia da rigidez da estrutura às ações horizontais. Portanto, é
possível que uma estrutura contenha um sistema de contraventamento suficientemente rígido,
em relação à estrutura sem contraventamento, mas que apresente deslocamentos elevados e
seja classificada como deslocável.
A norma brasileira de estruturas de concreto NBR 6118:2003 define um critério
baseado num coeficiente global γz para avaliar a importância do efeito de segunda ordem
global. Portanto, é um parâmetro de classificação da estrutura quanto à deslocabilidade. Esse
parâmetro será discutido no item 2.5.2.2.
2.2.3 PROCEDIMENTO DA NORMA BRITÂNICA BS 5950-1:2000
A norma britânica de estruturas de aço define estrutura indeslocável como aquela
cujos deslocamentos são suficientemente pequenos de modo que os incrementos nos esforços
internos devido ao efeito de segunda ordem sejam desprezíveis.
Para edifícios de múltiplos andares, é apresentado o seguinte critério para classificar
uma estrutura como indeslocável:
1 2000hh
Δ ≤ (2.1)
onde Δ1h é o máximo valor do deslocamento entre pavimentos, obtido em análise de primeira
ordem, desprezando-se a contribuição de rigidez dos elementos de fechamento e sob ação de
forças horizontais fictícias aplicadas em cada pavimento, com intensidade igual a 0,5% das
8
forças verticais que atuam no respectivo pavimento e h é a altura do pavimento. Quando essa
condição não é atendida, a estrutura é classificada como deslocável e os efeitos de segunda
ordem devem ser considerados.
2.2.4 PROCEDIMENTO DA NORMA BRASILEIRA NBR 8800:1986
A NBR 8800:1986 classifica as estruturas apenas como contraventadas e não-
contraventadas, ou seja, a classificação depende do sistema de contraventamento da estrutura,
mas não estabelece um critério para definir a eficiência do sistema de contraventamento.
O problema é que essa classificação é empregada para indicar um procedimento de
avaliação da carga crítica de flambagem dos pilares. Esse é um parâmetro que depende da
interação entre a estabilidade do pórtico e do pilar e está relacionado com a deslocabilidade da
estrutura e não com o sistema de contraventamento.
A terminologia empregada pela NBR 8800:1986 não é interessante, pois, no escopo
desta norma, as estruturas contraventadas são confundidas com estruturas indeslocáveis e as
estruturas não-contraventadas com estruturas deslocáveis, o que nem sempre é verdadeiro.
Uma classificação que parece ser mais adequada é simplesmente tratar as estruturas
como contidas ou não contidas lateralmente, onde a contenção pode ser interpretada como
nodal ou relativa, conforme a descrição apresentada pelo Projeto de Revisão da NBR 8800
(set. 2006). Nesse caso, a classificação indica qual sistema estrutural será responsável pela
rigidez da estrutura e, portanto, resistirá às ações horizontais.
2.2.5 PROJETO DE REVISÃO DA NBR 8800 (SET. 2006)
O Projeto de Revisão da NBR 8800 (set. 2006) define dois tipos de contenção lateral:
nodal e relativa. A contenção nodal atua diretamente no ponto contido, sem interação com os
9
pontos adjacentes. Um apoio pontual é um exemplo de contenção nodal (Figura 2.1b).
Enquanto que a relativa atua entre dois pontos contidos adjacentes, por exemplo, os painéis
rígidos e diagonais de contraventamento (Figura 2.1a). Claramente, essa é uma classificação
aplicável aos sistemas de contraventamento.
(a) relativa (b) nodal
Figura 2.1 – Contenções laterais (Projeto de Revisão da NBR 8800, set. 2006).
O parâmetro de classificação das estruturas quanto à deslocabilidade é a razão entre o
deslocamento horizontal obtido numa análise de segunda ordem e o deslocamento obtido por
uma análise de primeira ordem (u2/u1).
Quando essa razão é inferior a 1,10, diz-se que a estrutura é de pequena
deslocabilidade. Para valores entre 1,10 e 1,50, classifica-se como média deslocabilidade.
Finalmente, para valores acima de 1,50, a estrutura é de grande deslocabilidade. As
implicações de cada grupo são discutidas no item 2.7.5.
A classificação quanto à deslocabiliadade é importante, pois permite ao projetista
avaliar quais serão relevantes na verificação da estabilidade da estrutura.
10
2.3 EFEITOS QUE CONTRIBUEM PARA A INSTABILIDADE DE PÓRTICOS
Os efeitos desestabilizantes são provenientes de imperfeições geométricas oriundas
dos processos de fabricação, transporte, montagem e da própria constituição do material
(aspectos físicos). Uma lista dos fenômenos que contribuem para a perda de estabilidade de
um pórtico é fornecida pela ASCE (1997) e Galambos (1998), dentre os quais citam-se:
• Efeito P-Δ: efeito da força axial associada ao deslocamento transversal relativo
entre as extremidades da barra, proveniente da rotação da corda (Figura 2.2);
• Efeito P-δ: efeito da força axial associada aos deslocamentos do eixo da barra em
relação à corda (Figura 2.2);
• Imperfeições iniciais de caráter local (elemento) e global (pórtico) (Figura 2.3);
• Tensões residuais;
• Plastificação ao longo do elemento;
• Condições de vínculo dos elementos; e
• Rigidez das ligações e estruturas de contraventamento.
Figura 2.2 – Efeitos P-Δ e P-δ (ASCE, 1997).
P
P
Δ
δ
11
Os efeitos P-δ e P-Δ podem ser avaliados empregando-se uma análise estrutural de
segunda ordem ou por meio de expressões aproximadas de amplificação dos esforços
internos. Esses métodos serão detalhados no item 2.5.2.
As imperfeições iniciais caracterizam-se pela falta de alinhamento ao longo do
elemento (local) ou da estrutura como um todo (global). A imperfeição local tem como
principais causas os processos de fabricação, armazenagem e transporte, enquanto que a
imperfeição global decorre principalmente do processo de montagem da estrutura (Figura
2.3).
(a) local (b) global
Figura 2.3 – Imperfeições geométricas iniciais.
Um problema que ocorre na avaliação das imperfeições iniciais e existe até nas
análises mais sofisticadas é a definição da forma, amplitude e sentido, ou seja, da
configuração imperfeita da estrutura.
Alvarenga e Silveira (2006) realizaram estudo sobre a influência da configuração
geométrica inicial na resposta de pórticos planos. A configuração geométrica inicial inclui
imperfeições nas barras (locais) e desaprumos (globais). Foi empregada uma análise numérica
avançada considerando a não-linearidade física e geométrica. Os resultados mostraram que
quando a força normal nos pilares é baixa, a configuração geométrica inicial pouco interfere
nos resultados. Por outro lado, quando a força normal nos pilares é significativa, a
P
P
Δ0
P
P
δ0
12
configuração geométrica inicial mais severa é aquela que mais se aproxima do modo de
flambagem inelástica.
A ASCE (1997) fornece uma lista com as tolerâncias admitidas pelas normas e
regulamentos estrangeiros para as imperfeições geométricas, as quais são complementadas e
apresentadas na Tabela 2.1.
Tabela 2.1 – Tolerância das imperfeições geométricas.
δ0/L(a) Δ0/h(b)
AISC (2005) 1/1000 1/500
CSA – S16.1 (1994) 1/1000 1/1000
AS 4100 – 1990 1/1000 ou 3 mm 1/500
prEN 1993 – 3 (2004) 1/1000 1/500
NBR 8800:1986 1/1000 –
Projeto de Revisão da NBR 8800 (set. 2006) 1/1000 1/500
δ0 e Δ0 conforme Figura 2.3. (a) L é o comprimento da barra. (b) h é a altura do pavimento.
Chan e Zhou (1995) utilizaram elementos finitos curvos para representar as
imperfeições locais das barras. A geometria das barras foi definida por uma função
parabólica, cujo valor máximo pode ser ajustado de acordo com a norma vigente. A análise
estrutural de duas cúpulas mostrou que as imperfeições iniciais locais são mais significativas
em estruturas cuja estabilidade não é muito afetada pelo efeito P-Δ. Entretanto, como esse
julgamento não foi considerado trivial, recomendou-se a utilização de elementos curvos em
todas as estruturas.
Liew et al. (1995) propuseram a utilização de conjunto de forças concentradas
transversais ao eixo da barra para representar a imperfeição local. Esse conjunto de forças
transversais é constituído por uma força aplicada no meio do vão com intensidade αNSd, além
de uma força aplicada em cada extremidade da barra com intensidade 0,5αNSd, onde α é uma
fração da força normal atuante no pilar.
13
É importante ressaltar que as imperfeições geométricas locais já estão inseridas nas
curvas de resistência para dimensionamento de barras comprimidas apresentadas pelas
normas. Portanto, a introdução dessas imperfeições na análise estrutural deve acompanhar
modificações no dimensionamento da barra para que o efeito não seja contabilizado duas
vezes. Esse cuidado deve ser estendido para todos os efeitos desestabilizantes.
As imperfeições globais podem ser inseridas ao modelo geométrico da estrutura
diretamente, mas esse não é um procedimento prático. Outras formas de inserir imperfeições é
aplicar deslocamentos nodais ou utilizar um modo de flambagem da estrutura afetado por um
fator de escala para definir a configuração inicial de aplicação dos carregamentos (HIBBITT,
KARLSSON AND SORENSON INC., 2005).
Bayo e Loureiro (2001) apresentaram um procedimento que utiliza o primeiro modo
de flambagem do pórtico como configuração inicial da estrutura. É empregada uma análise
linear com as forças gravitacionais para determinar a energia de deformação dos pilares. Em
seguida, uma análise de autovalor determina o primeiro modo de flambagem. O fator de
escala que é aplicado ao modo de flambagem é calculado por uma expressão que envolve a
energia de deformação dos pilares. Finalmente, aplica-se uma análise geometricamente não-
linear para a estrutura considerando a configuração inicial imperfeita.
O método das forças horizontais fictícias e o método da análise direta propõem a
utilização de forças horizontais aplicadas aos pavimentos da estrutura e à cobertura para
representar as imperfeições geométricas globais.
Com o objetivo de avaliar estratégias simplificadas de simulação das imperfeições
iniciais globais, Chen e Kim (1996, 1998) utilizaram um programa de análise estrutural
baseado no MEF que considerava a não-linearidade física e as tensões residuais. As
imperfeições globais foram modeladas de três formas: (i) modelagem explícita da estrutura
imperfeita, (ii) inclusão de forças horizontais, definidas como fração (0,2%) do total de forças
14
gravitacionais que atuam no pavimento, e (iii) redução da rigidez à flexão das barras
(EIred=0,85EI).
As duas estratégias aproximadas (ii e iii) foram capazes de reproduzir o efeito das
imperfeições quando comparadas à modelagem explícita. Entretanto, a redução da rigidez à
flexão das barras foi considerada mais adequada pela simplicidade do processo e porque, em
alguns casos, a aplicação de forças horizontais apresentou resultados diferentes dependendo
do lado da estrutura que fosse carregado.
As tensões residuais são ocasionadas principalmente pelo processo de laminação e de
fabricação dos perfis (perfis soldados, por exemplo). De acordo com Galambos (1998), no
processo de laminação são originadas tensões residuais auto-equilibradas devido ao gradiente
térmico da seção transversal do perfil que podem ser da ordem de 30% da resistência ao
escoamento (fy) do aço (Figura 2.4).
Figura 2.4 – Diagrama de tensões residuais provenientes do processo de laminação (EDESP, 2006).
Segundo Bild e Trahair (1989), a distribuição e a magnitude das tensões residuais do
perfil variam bastante de acordo com o processo de fabricação (laminação, soldagem) e com a
geometria. Deste modo, é difícil estabelecer uma configuração que represente razoavelmente
todos os casos. Para os perfis I, amplamente utilizados em pilares, o parâmetro que mais
influencia a resistência é a tensão residual atuante nas extremidades das mesas. Esse
parâmetro foi definido como 35% da resistência ao escoamento do aço.
15
O estado de tensões iniciais (residuais) é responsável pelo aparecimento antecipado de
deformações plásticas. Evidentemente, esse fenômeno se verifica apenas quando as tensões
provenientes do carregamento externo possuem o mesmo sinal da tensão residual no ponto
considerado. Em um perfil I laminado submetido à compressão centrada as extremidades das
mesas irão desenvolver deformações plásticas para um nível de tensão proveniente do
carregamento externo igual a fp=0,7fy, que é somado à tensão residual no ponto e dá origem a
um trecho de comportamento inelástico (Figura 2.5).
Figura 2.5 – Diagrama tensão-deformação de um perfil I laminado comprimido (REIS e CAMOTIM, 2006).
Os estudos realizados por Galambos e Ketter (1959) mostram que a influência das
tensões residuais é mais significativa em barras submetidas a uma força axial de compressão
elevada, superior a 60% da força que provoca o escoamento da seção transversal.
O processo de plastificação da estrutura não é pontual. O início da plastificação se dá
numa seção mais solicitada, mas se propaga ao longo da seção e do comprimento do
elemento. A representação desse fenômeno numa análise numérica não é trivial, uma vez que
são necessárias ferramentas que permitam captar o efeito da plastificação ao longo da seção e
do elemento.
As condições de vinculação da estrutura e dos elementos entre si são mais fáceis de
serem compreendidas e modeladas. Os programas de análise estrutural utilizados nos
escritórios já permitem considerar ligações semi-rígidas entre vigas e pilares e diversos tipos
de vinculação de apoio. Ademais, as estruturas de contraventamento compostas por barras e
fy
fp
fy
fy
sem tensões residuais com tensões residuais
ε
σ
frc=0,3fy
16
painéis também podem ser inseridas facilmente (COMPUTER AND STRUCTURES INC.,
2004).
Os efeitos desestabilizantes podem ser modelados explicitamente, utilizando
ferramentas numéricas ou por meio de expressões e métodos simplificados apresentados na
literatura. Segundo Maleck et al. (2005), embora as ferramentas computacionais avançadas
que consideram modelos não-lineares físicos e geométricos, imperfeições geométricas e
tensões residuais evoluam rapidamente, ainda não existe um programa comercial disponível
com esses recursos para uso em escritórios. A grande contribuição das análises avançadas é
aprimorar o entendimento do comportamento estrutural e servir de referência para calibração
de ferramentas mais simples.
Existem outras formas de levar em consideração os efeitos da plastificação e das
tensões residuais. Os métodos da força horizontal fictícia e o método da análise direta também
consideram esses efeitos e são exemplos apresentados por normas estrangeiras (AISC, 2005;
prEN 1993-3, 2003).
2.4 EXPRESSÕES DE INTERAÇÃO
As normas de estruturas de aço adotam expressões de interação para a verificação de
barras submetidas à flexão composta e definem uma superfície de escoamento em função do
momento fletor e força normal solicitantes na seção transversal. Esse é o efeito predominante
nas barras de pórticos planos admitindo-se contenção lateral apropriada e perfis de seção
compacta, isto é, não propensas à instabilidade lateral e instabilidades locais.
As normas de dimensionamento de estruturas de aço apresentam algumas variações
nos procedimentos de avaliação da capacidade resistente de elementos submetidos à flexo-
compressão. A especificação do AISC (2005a) apresenta as seguintes expressões de interação,
que também foram incorporadas ao Projeto de Revisão da NBR 8800 (set. 2006).
17
8 1 se 0, 29
Sd Sd Sd
Rd Rd Rd
N M NN M N
+ ≤ ≥ (2.2)
1 se 0,22
Sd Sd Sd
Rd Rd Rd
N M NN M N
+ ≤ < (2.3)
onde N e M são os esforços normais e momentos fletores, respectivamente e os índices Sd e
Rd referem-se aos esforços solicitantes e resistentes de cálculo, respectivamente. Os esforços
solicitantes devem incluir os efeitos de segunda ordem.
A análise de qualquer uma das expressões anteriores é suficiente para discutir as
estratégias de avaliação da estabilidade de pórticos deslocáveis. Nos procedimentos que
envolvem o cálculo do comprimento efetivo de flambagem, o comprimento real do elemento
é aumentado, portanto a força normal de compressão resistente de cálculo (NRd) diminui.
Deste modo, o resultado final das expressões sofre um aumento.
Os efeitos de segunda ordem têm como uma das conseqüências a amplificação dos
momentos solicitantes (MSd). Portanto, também provocam um aumento no resultado da
expressão de interação. De acordo com Liew et al. (1991), a avaliação do momento fletor
solicitante por meio de uma análise de segunda ordem ou de procedimentos simplificados já
foi considerada como garantia da verificação da estabilidade da estrutura, ou seja, quando os
efeitos de segunda ordem eram considerados, permitia-se dimensionar os elementos com seu
comprimento real (K=1).
A explicação mais provável é que o aumento dos momentos solicitantes compensaria
o acréscimo do esforço normal resistente. Entretanto, mostrou-se que os resultados obtidos
por esse procedimento eram contra a segurança e deixaram evidentes que outros efeitos ainda
precisavam ser considerados.
O método das forças horizontais fictícias e o método da análise direta foram propostos
para avaliação aproximada dos efeitos desestabilizantes das imperfeições geométricas além da
18
análise de segunda ordem. Deste modo, esses métodos buscam representar o comportamento
de elementos submetidos à flexo-compressão sem precisar recorrer ao cálculo do
comprimento efetivo de flambagem.
2.5 MODELOS PARA AVALIAÇÃO DE PÓRTICOS
Os modelos aqui apresentados são propostas de representação aproximada dos efeitos
de segunda ordem, das tensões residuais, imperfeições geométricas e não-linearidade física.
2.5.1 COMPRIMENTO EFETIVO DE FLAMBAGEM
O comprimento efetivo de flambagem é uma estratégia que modifica o comprimento
real da barra para a avaliação da força normal resistente. A análise estrutural é realizada sem
alteração da configuração de forças de projeto. O coeficiente K associado às curvas de
resistência é que irá contabilizar a contribuição de rigidez à flexão que os elementos
conectados fornecem às extremidades do pilar em análise. Segundo Liew et al. (1991), o
comprimento efetivo tem por objetivo relacionar a susceptibilidade à flambagem do elemento
isolado com a da estrutura.
Um dos procedimentos mais difundidos para cálculo do coeficiente de flambagem K é
o diagrama de alinhamento, que será apresentado segundo as recomendações da NBR
8800:1986. Outros métodos para cálculo do comprimento efetivo de flambagem são
apresentados por Duan e Chen (1999).
O procedimento da NBR 8800:1986 foi proposto por Julian e Lawrence e apresentado
por Kavanagh (1962). Esse procedimento adota uma subestrutura que represente um pilar
pertencente a um pórtico plano. Essa subestrutura é capaz de representar a contribuição de
19
rigidez dos pilares superior e inferior bem como das vigas conectadas aos nós do pilar
considerado (Figura 2.6).
Figura 2.6 – Modelo estrutural para cálculo do coeficiente K em estruturas deslocáveis (AISC, 2005b).
A solução apresentada para o problema da estabilidade dessa subestrutura está sujeita
às seguintes simplificações:
• todos os pilares são contínuos;
• comportamento elástico;
• cada barra da estrutura tem seção transversal constante;
• todas as ligações são rígidas;
• nas estruturas indeslocáveis, as rotações nas extremidades opostas das vigas
rigidamente conectadas são iguais em intensidade, produzindo curvatura simples;
• nas estruturas deslocáveis, as rotações nas extremidades opostas das vigas
rigidamente conectadas são iguais em intensidade, produzindo curvatura reversa;
• o parâmetro de rigidez ( )SdL N EI de todos os pilares são iguais;
• a rigidez do nó é distribuída para os pilares imediatamente acima e abaixo do
mesmo, na proporção do parâmetro I/L desses dois pilares;
• todos os pilares atingem a força crítica simultaneamente;
• não ocorre força normal de compressão significativa nas vigas.
P
20
A partir dessas idealizações, é possível determinar a força normal no pilar
correspondente à bifurcação do equilíbrio, que é igual à carga crítica de flambagem da
subestrutura. Em seguida, calcula-se o comprimento efetivo de flambagem (KL)
correspondente ao esforço normal atuante no pilar. Para estruturas deslocáveis, a solução do
problema é dada pela expressão que segue:
( )7,5 4 1,67,5
A B A B
A B
G G G GK
G G+ + +
=+ +
(2.4)
p
p
v
v
IL
G IL
=∑
∑ (2.5)
onde os índices A e B referem-se aos nós inferior e superior do pilar e os índices p e v
referem-se aos pilares e vigas rigidamente conectados ao nó considerado. A mesma solução
do problema pode ser obtida empregando-se o diagrama de alinhamento apresentado na
Figura 2.7 cujos parâmetros de entrada são GA e GB.
A utilização da subestrutura torna o procedimento de cálculo da carga crítica mais
fácil e passível de parametrização, mas limita significativamente a capacidade de
representação da estrutura original. Além disso, de acordo com a ASCE (1997), para os casos
onde as simplificações apresentadas não são atendidas, o método do diagrama de alinhamento
pode conduzir a erros significativos contra a segurança.
21
Figura 2.7 – Diagrama de alinhamento para estruturas deslocáveis (AISC, 2005b).
De acordo com Girgin et al. (2006), a principal desvantagem do método do diagrama
de alinhamento é a falta de sensibilidade à configuração de forças que a estrutura está
submetida. A expressão (2.4) não contém informações sobre o nível de solicitação e a
contribuição de rigidez aos deslocamentos laterais dos pilares próximos.
Num grupo de pórticos planos analisados em regime elástico por dois procedimentos
diferentes de determinação do coeficiente K, o método do diagrama de alinhamento
apresentou erros considerados intoleráveis, entre -55% e 77%. O outro método, proposto no
trabalho e baseado num conceito energético para obtenção de forças horizontais virtuais que
representem o primeiro modo de flambagem foi capaz de reduzir o erro para 3%, sempre a
favor da segurança.
Antunes (2001) fez um estudo sobre o cálculo do coeficiente K em pilares
pertencentes a pórticos não-contraventados. Verificou-se que a rigidez do pórtico é uma
propriedade que influencia o comprimento efetivo de flambagem. Por isso, foram
22
desenvolvidos ábacos semelhantes ao apresentado pela norma brasileira específicos para
alguns valores de rigidez do pórtico.
Outros métodos mais sofisticados para avaliação do coeficiente K para pilares sujeitos
à instabilidade em regime inelástico podem ser encontrados na literatura e apresentam
resultados mais precisos (ASCE, 1997; DUAN e CHEN, 1999). Entretanto, os ajustes
necessários para contabilizar esses efeitos tornam os procedimentos pouco práticos e
abrangentes (HAJJAR e WHITE, 2000; MALECK e WHITE, 2004).
2.5.2 EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM
Os efeitos de segunda ordem compreendem a amplificação dos momentos fletores e
deslocamentos devido à presença de uma força axial associada a deslocamentos transversais,
devido à curvatura da barra e rotação da corda, P-δ e P-Δ, respectivamente.
Serão apresentados os métodos aproximados propostos mais difundidos na literatura
para avaliação dos efeitos P-δ e P-Δ. Embora esses efeitos também envolvam a amplificação
dos deslocamentos laterais, a apresentação que segue será restrita à amplificação de
momentos fletores.
2.5.2.1 EFEITO P-δ
A influência desse efeito pode ser avaliada para uma barra isolada bi-rotulada,
solicitada por carregamentos transversais ou momentos de extremidade e a uma força axial de
compressão. A dedução das equações de amplificação do momento fletor para os dois casos é
apresentada na literatura (ENGLEKIRK, 1994; SALMON e JOHNSON, 1996).
Considerando-se a presença de carregamento transversal e da força axial de
compressão (NSd) é possível determinar a expressão analítica para a amplificação do momento
23
fletor de primeira ordem, admitindo-se que o diagrama de momento fletor de segunda ordem,
provocado pela presença da força axial de compressão associada aos deslocamentos
transversais de primeira ordem, assume uma forma senoidal. Assim, obtém-se a seguinte
expressão:
1Sd ntM B M= (2.6)
onde Mnt é o momento fletor solicitante de cálculo, obtido em análise elástica de primeira
ordem, provocado pelo carregamento transversal e B1 é o coeficiente de amplificação devido
ao efeito P-δ, dado pela seguinte expressão:
1
1
m
Sd
e
CB NN
=−
(2.7)
onde Ne é força normal crítica de flambagem elástica da barra, no plano em que atua a força
transversal, calculada com o comprimento efetivo de flambagem considerando a barra contida
numa estrutura indeslocável, ou seja, K ≤ 1. O coeficiente Cm é dado por:
2
121 1 Sd
mnt e
NEICM L N
π δ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠ (2.8)
onde δ1 é o deslocamento transversal no meio do vão, obtido em análise elástica de primeira
ordem, devido ao carregamento transversal. O termo entre parênteses da equação (2.8) vale
0,028 para uma força distribuída constante. Por isso, algumas normas permitem a utilização
de Cm igual a 1,00 nesse caso (NBR 8800:1986; AISC, 2005).
Para o caso da barra estar submetida a momentos aplicados nas extremidades e à força
axial de compressão (sem carregamento transversal), é possível determinar uma expressão
24
idêntica à equação (2.7), variando-se apenas a definição do parâmetro Cm, cuja expressão
aproximada é dada por:
1
2
0,60 0,40mMCM
= − (2.9)
onde M1 e M2 são, respectivamente, o menor e maior dos momentos fletores solicitantes nas
extremidades da barra, em valor absoluto. A razão entre esses momentos é tomada positiva
quando provocam curvatura reversa e negativa quando provocarem curvatura simples. O
momento de referência (Mnt) é igual a M2.
Para barras sob força transversal, Cm é parte integrante do coeficiente de amplificação
B1. Para barras sem força transversal e sob momentos aplicados nas extremidades, Cm é um
fator de uniformização de momentos, isto é, CmM2 indica o momento constante
correspondente.
2.5.2.2 EFEITO P-Δ
Salmon e Johnson (1996) apresentam a dedução de uma equação aproximada para
amplificação de momentos fletores devido ao efeito P-Δ. Para o estudo do efeito de segunda
ordem, admite-se uma barra que representa um pavimento da estrutura. Essa barra é
submetida a uma força axial com intensidade igual ao somatório de todas as forças normais
nos pilares contidos no pavimento (ΣNSd) e a uma força horizontal igual ao somatório das
forças cortantes nos referidos pilares (ΣHSd).
25
(Mlt1+Mlt2) = hΣHSd B2(Mlt1+Mlt2) = hΣHSd+Δ2hΣNSd
Figura 2.8 – Efeitos P-Δ (SALMON e JONHSON, 1996).
O estudo do equilíbrio dos esquemas estruturais sem efeito de segunda ordem e
considerando esse efeito permite escrever:
22 1 h Sd
Sd
NB
h HΔ
= + ∑∑
(2.10)
Admitindo-se que a rigidez da estrutura avaliada em primeira e segunda ordem é a
mesma, é possível relacionar os deslocamentos relativos de segunda e primeira ordem. Após
várias manipulações algébricas, é possível obter a seguinte expressão para o fator de
amplificação dos momentos:
21
1
1 h Sd
Sd
BN
h H
=Δ
− ∑∑
(2.11)
onde Δ1h é o deslocamento relativo entre pavimentos, obtido em análise elástica de primeira
ordem, HSd é o somatório das forças horizontais no pavimento considerado que produzem Δ1h
e h é a altura do pavimento. De acordo com Englekirk (1994), a equação seguinte também
pode ser utilizada como alternativa à equação (2.11).
ΣNSd
ΣNSd
Δ1h
ΣHSd
ΣHSd
Mlt1
Mlt2
ΣNSd
Δ2h
ΣHSd B2M2t1
B2Mlt1 ΣHSd
ΣNSd
26
21
1 Sd
e
BNN
=− ∑
∑
(2.12)
Nesse caso, a força normal de flambagem elástica no plano de flexão considerado é
obtida utilizando o comprimento efetivo de flambagem referente à estrutura deslocável
(K ≥ 1). Segundo Kanchanalai e Le-Wu (1979), as equações (2.12) e (2.11) foram propostas
em 1971 e 1976, respectivamente.
De acordo com Gomes (2005), a avaliação do parâmetro B2 por meio da expressão
(2.12) pode causar confusão, devido à necessidade de se avaliar o coeficiente de flambagem
K. Por isso, recomendou-se a eliminação desta equação, ficando apenas com a equação (2.11).
Essa recomendação está sendo seguida pelo Projeto de Revisão da NBR 8800 (set. 2006).
Para pórticos planos deslocáveis, o momento fletor de segunda ordem considerando-se
apenas o efeito P-Δ é dado por:
2Sd ltM B M= (2.13)
onde Mlt é o momento fletor solicitante de cálculo, obtido em análise elástica de primeira
ordem, considerando-se apenas as forças laterais.
O parâmetro B2 depende da intensidade das forças laterais aplicadas na estrutura. Em
combinações de ações em que só atuem forças gravitacionais, o cálculo de B2 pela equação
(2.11) não é possível, ainda que o efeito P-Δ exista e deva ser considerado. Nesses casos,
Kanchanalai e Le-Wu (1979) recomendam a utilização de forças horizontais fictícias
aplicadas aos pavimentos com intensidade igual a 0,5% do total das forças verticais atuantes
no respectivo pavimento.
27
A expressão (2.11) é apresentada pelas normas de estruturas de aço canadense (CSA,
1994), americana (AISC, 2005) e foi proposta para pelo Projeto de Revisão da NBR 8800
(set. 2006). Nestas duas últimas, foi introduzido um coeficiente Rm, como segue:
21
1
1 h Sd
m Sd
BN
R h H
=Δ
− ∑∑
(2.14)
O coeficiente Rm é igual a 1,0 quando toda a rigidez da estrutura é garantida por
elementos de contraventamento e 0,85 quando a rigidez é garantida pela rigidez à flexão dos
pilares e vigas. Esse valor (0,85) representa um acréscimo em B2 devido à influência do efeito
P-δ no efeito P-Δ (AISC, 2005b).
A norma brasileira de estruturas de concreto NBR 6118:2003 apresenta o coeficiente
γz como parâmetro para classificação da estrutura quanto à deslocabilidade e permite que seja
utilizado para amplificação dos esforços globais finais de 1ª ordem para obtenção dos finais
de 2ª ordem. Esse parâmetro foi proposto por Franco e Vasconcelos (19912 apud PINTO,
1997) e apresenta alguma semelhança com a expressão do coeficiente B2:
,
1, ,
1
1z
tot d
tot d
MM
γ =Δ
− (2.15)
onde ΔMtot,d é a soma do produto de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na
combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de
seus respectivos pontos de aplicação, obtidos na análise de 1ª ordem. M1,tot,d é o momento de
tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais da combinação
considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura.
2 FRANCO, M.; VASCONCELOS, A.C. Pratical Assessment of second order effects in tall buildings. In: COLLOQUIUM ON THE CEB-FIP MC 90, Rio de Janeiro, 1991, p.307-324.
28
A amplificação dos momentos de primeira ordem é dada por:
10,95Sd zM Mγ= (2.16)
onde M1 é o momento fletor solicitante de cálculo de primeira ordem, considerando-se todas
as ações verticais e horizontais.
A majoração dos momentos fletores de primeira ordem é válida apenas para γz ≤ 1,30.
Além disso, a análise estrutural deve ser realizada adotando-se a redução de rigidez dos
elementos definida nessa norma para representação aproximada da não-linearidade física do
concreto.
Pinto (1997) realizou um estudo comparativo entre o procedimento de amplificação
dos esforços de primeira ordem utilizando o coeficiente γz e uma análise de segunda ordem.
Foram analisados 25 edifícios usuais de concreto armado submetidos a forças verticais e a
ação do vento em duas direções ortogonais. Os parâmetros de comparação foram os esforços
internos solicitantes nas vigas e pilares.
Os desvios médios encontrados nos valores estimados dos esforços internos
solicitantes foram inferiores a 5% para valores de γz inferiores a 1,20. O estudo apontou esse
valor como limite para a utilização do coeficiente γz. Os desvios médios apresentaram valores
superiores a 7% quando γz>1,30.
A questão é que esse estudo foi realizado tomando-se como parâmetro de comparação
a média dos desvios entre o procedimento aproximado e a análise de segunda ordem e esse
não é um parâmetro estatístico interessante, pois pode induzir a conclusões equivocadas. O
desvio padrão também deve ser estudado para avaliar a dispersão dos resultados.
Os coeficientes B2 e γz são empregados como procedimentos simplificados para
classificar a estrutura quanto à deslocabilidade e avaliar a influência dos efeitos de segunda
29
ordem. A dedução da expressão de cada coeficiente segue uma idéia semelhante de avaliar o
momento de tombamento devido às forças horizontais e verticais. A diferença é que o
coeficiente B2 é aplicado a um pavimento, enquanto que o γz é aplicado à estrutura como um
todo.
Embora não tenha sido encontrada na literatura nenhuma relação entre esses
parâmetros, é possível mostrar que sob algumas condições, essa relação existe. As expressões
para os coeficientes B2,i (relativo ao i-ésimo pavimento) e γz são:
( )( )
2,1
1i
i Sd i
i Sd i
Bu N
h H
=Δ
−∑∑
(2.17)
,
1, ,
1
1z
tot d
tot d
MM
γ =Δ
− (2.18)
É possível escrever o momento de tombamento devido às forças verticais como segue:
,1
n
tot d i ii
M Pu=
Δ = ∑ (2.19)
onde Pi é carregamento total no pavimento na combinação de ações considerada, ui é o
deslocamento do pavimento em relação à base e n é o número de pavimentos. O deslocamento
do pavimento i em relação à base pode ser obtido pela soma dos deslocamentos relativos dos
pavimentos inferiores, ou seja:
1
i
i jj
u u=
= Δ∑ (2.20)
Portanto,
30
( ) ( ) ( ), 1 1 2 2 21
n
tot d n n n n i Sd ii
M u P P P u P P u P u N=
Δ = Δ + + + + Δ + + + + Δ = Δ∑ ∑… … …
Agrupando-se os deslocamentos relativos entre pavimentos Δui e considerando-se que
o somatório das forças que atuam acima do pavimento é igual ao somatório dos esforços
normais no pilares do respectivo pavimento (ΣNSd)i, tem-se:
( ) ( ), 1 1 2 2 2tot d n n n nM u P P P u P P u PΔ = Δ + + + + Δ + + + + Δ… … …
ou seja,
( ),1
n
tot d i Sd ii
M u N=
Δ = Δ∑ ∑ (2.21)
Nota-se que o termo do somatório da equação (2.21) também aparece na expressão
(2.17).
Adotando um procedimento semelhante para o momento de tombamento devido às
ações horizontais, tem-se:
1, ,1
n
itot d ii
M F h=
= ∑ (2.22)
Onde h é a distância do pavimento até a base da estrutura, dada pelo somatório das
alturas dos pavimentos inferiores. Deste modo:
( ) ( )1 1 2 1 2 1 21
n
ii n ni
F h F h F h h F h h h=
= + + + + + + +∑ … …
Agrupando os termos hi e considerando-se que a força horizontal que atua acima do
pavimento é igual ao somatório das forças cortantes solicitantes nos pilares do pavimento,
tem-se:
31
( ) ( )1, , 1 1 2 2 2tot d n n n nM h F F F h F F h F= + + + + + + + +… … …
Ou seja,
( )1, ,1
n
tot d i Sd ii
M h H=
= ∑ ∑ (2.23)
Novamente, o termo do somatório em (2.23) aparece na expressão (2.17). Isolando-se
o termo ( )iSdi Nu ∑Δ na expressão (2.17) tem-se.
( ) ( )iSdi
iiSdi Hh
BNu ∑∑ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=Δ
,2
11
Somando-se o resultado anterior em todos os pavimentos da estrutura, chega-se a:
( ) ( ) ( )1 1 1 2,
n n ni Sd i
i Sd i Sdi ii i i i
h Hu N h H
B= = =
Δ = −∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Substituindo-se os resultados obtidos em (2.21) e (2.23) na expressão anterior, tem-se:
( ), 1, ,
1 2,
ni Sd i
tot d tot di i
h HM M
B=
Δ = −∑∑
Uma hipótese razoável em estruturas com geometria e distribuição de carregamentos
regulares é que o parâmetro B2 não varia de forma significativa entre os pavimentos, o que
permite ajustar o resultado da expressão anterior. Assim, é possível substituir o valor do
coeficiente B2,i em cada pavimento, pelo seu valor médio 2B , que é constante, portanto, pode
ser retirado do somatório.
( ), 1, ,2 1
1 n
tot d tot d i Sd ii
M M h HB =
Δ = − ∑ ∑
32
Avaliando-se a expressão (2.23), nota-se que o somatório da expressão anterior é o
momento de tombamento devido às forças horizontais. Deste modo:
2,,1
, 11BM
M
dtot
dtot −=Δ
Escrevendo o primeiro membro da expressão anterior em função do parâmetro γz,
obtém-se:
2
1111Bz
−=−γ
ou seja:
2z Bγ = (2.24)
Portanto, admitindo válida a hipótese que o parâmetro B2 não varia de forma
significativa entre os pavimentos, a expressão (2.24) estabelece uma relação entre os
parâmetros B2 e γz.
Essa demonstração ainda pode ser desenvolvida considerando-se o coeficiente Rm
Naturalmente, para estruturas onde o sistema de contraventamento não é composto por vigas e
pilares rigidamente conectados entre si, Rm é igual a 1,0 e o resultado será o mesmo.
2.5.2.3 COMPOSIÇÃO DOS EFEITOS
Para estruturas deslocáveis, ambos os efeitos supracitados são importantes. Por isso, é
preciso definir como será composto o momento fletor solicitante de segunda ordem
proveniente do cálculo aproximado dos efeitos locais e globais.
33
Kanchanalai e Le-Wu (1979) propuseram que o momento fletor final fosse o produto
do momento fletor solicitante de primeira ordem pelos coeficientes de amplificação B1 e B2.
1 2 1SdM B B M= (2.25)
A especificação do AISC (2005) e o Projeto de Revisão da NBR 8800 (set. 2006)
adotam a seguinte expressão para o momento fletor total:
1 2Sd nt ltM B M B M= + (2.26)
A estrutura é entendida como a superposição de duas estruturas (Figura 2.9), as quais
são empregadas para avaliação dos coeficientes B1 e B2. Uma delas é contraventada por
contenções nodais dispostas em cada nível (pavimento) e serve como modelo para o cálculo
dos momentos fletores solicitantes Mnt (o índice nt significa no translation). Os momentos
fletores Mlt (o índice lt significa lateral translation) são obtidos a partir da segunda estrutura,
na qual as contenções nodais são removidas e aplicam-se as respectivas reações obtidas na
análise da primeira estrutura, em sentido contrário.
Figura 2.9 – Modelo de análise estrutural para cálculo de Mnt e Mlt (Projeto de Revisão da NBR 8800, set.
2006).
RSd,3
RSd,2
RSd,1
= +
RSd,2
RSd,3
RSd,1
34
Al-Mashray e Chen (1990) citam algumas desvantagens do método de amplificação
pelos coeficientes B1 e B2:
• o método é restrito a pórticos retangulares;
• não considera redistribuição de esforços;
• dificuldade de avaliação dos pontos onde serão aplicadas as contenções nodais de
cálculo e interpretação dos parâmetros Cm e K.
• os momentos fletores totais são obtidos como a soma dos momentos fletores de
segunda ordem para cada efeito e nem sempre esses momentos solicitantes atuam
na mesma seção;
• duas análises de primeira ordem são necessárias para cada combinação de ações.
Certamente, a principal desvantagem apresentada é a duplicação do número de
análises estruturais a realizar.
2.5.3 MÉTODOS DAS FORÇAS HORIZONTAIS FICTÍCIAS
Uma das técnicas de avaliação das imperfeições iniciais globais que dispensa a
modelagem da estrutura na configuração imperfeita é a utilização de forças horizontais
fictícias aplicadas aos pavimentos da estrutura. Essa metodologia também já foi empregada
como técnica aproximada para capturar o efeito P-Δ (WILSON e HABIBULLAH, 1987 apud
GALAMBOS, 1998)3. Essas forças horizontais fictícias são calculadas como uma fração (ξ)
do somatório das forças verticais (Pi) que atuam no pavimento considerado (Figura 2.10).
3 WILSON, E.L.; HABIBULLAH, A. (1987). Static and Dynamic Analysis of Multi-story Building Including P-Δ Effects. Earthquake Spectra, Vol. 3, No. 2, pp. 289-298.
35
Figura 2.10 – Esquema de forças horizontais.
As variações propostas na literatura para o método das forças horizontais fictícias
diferem essencialmente pela intensidade da força horizontal e pelo fenômeno representado. A
nomenclatura aqui apresentada pode variar entre autores, mas o conceito envolvido é
preservado.
2.5.3.1 MÉTODO SIMPLIFICADO
O método simplificado consiste em aplicar um coeficiente constante ( 0ξ ) e igual a
0,5% da força vertical total do pavimento. Esse valor foi calibrado para representar o efeito da
imperfeição global equivalente a L/500, que corresponde a um coeficiente de força horizontal
igual a 0,002, além das tensões residuais e do comportamento inelástico da estrutura, que
correspondem ao restante do coeficiente proposto (0,003). A calibração do método foi
realizada para um modelo de plastificação concentrada (item 2.5.5). Para os casos estudados
foram encontrados erros máximos de 5 e 26% quando considerados pilares pertencentes a
pórticos e submetidos à flexão em torno do eixo de maior e menor inércia, respectivamente,
(LIEW; WHITE; CHEN, 1994). Esse método já era apresentado pela norma canadense (CSA,
1994).
ξΣP3
ξΣP2
ξΣP1
36
A aplicação do método simplificado em edifícios de múltiplos andares não se
mostrava interessante, porque a intensidade da força horizontal fictícia não considerava o
número de pilares nem o número de pavimentos. Por isso, os fatores de correção desses
parâmetros apresentados pelo regulamento europeu já se mostravam uma alternativa atraente.
Diante da validade e, principalmente, praticidade do método, esperava-se que a norma
americana incorporasse algum procedimento nesse sentido, uma vez que a especificação do
AISC ainda abordava unicamente o método do comprimento efetivo de flambagem
(SCHMITH, 1999). Entretanto, estudos posteriores mostraram que, no contexto da norma
americana, o método simplificado era muito conservador para os fenômenos representados
(MALECK; WHITE, 2004; ASCE, 1997).
2.5.3.2 MÉTODO MODIFICADO
Segundo a ASCE (1997), a intensidade da força horizontal fictícia necessária para
representar os efeitos inelásticos varia até 25% quando a razão fy/E é alterada. Por isso, foi
proposta uma modificação ao método simplificado em função dessa razão, que preserva a
simplicidade do método das forças horizontais fictícias e reduz os erros apresentados pelo
método simplificado. O coeficiente da força horizontal é dado pela seguinte expressão:
0 ykξ ξ= (2.27)
onde
22 yy
fk
E=
fy é a resistência ao escoamento e E é o módulo de elasticidade do aço. Essa expressão resulta
em coeficientes de força horizontal iguais a 0,4% para fy=250MPa e 0,5% para fy=450MPa.
37
Note-se que para a resistência ao escoamento igual a 250MPa, o método modificado já
apresenta uma redução de 20% na intensidade da força horizontal em relação ao método
simplificado.
2.5.3.3 MÉTODO REFINADO (ASCE, 1997)
A aplicação de um coeficiente único em toda estrutura apresenta bons resultados para
pórticos simples, com um pavimento. Entretanto, a análise de pilares com esbeltez mediana
ou baixa, submetidos à curvatura reversa e com contribuição de rigidez à flexão significativa
nas extremidades devido a outros elementos conectados, mostrou que os métodos anteriores
forneciam resultados muito conservadores. Pilares com essas características são comuns em
edifícios de múltiplos pavimentos, principalmente nos pavimentos inferiores. Por isso,
algumas modificações foram sugeridas e deram origem ao método refinado.
Nessa nova proposta, buscou-se uma expressão que avaliasse melhor a esbeltez e
rigidez do elemento isolado ou do pavimento, permitindo inclusive variação na intensidade da
força horizontal entre os pavimentos. Apresentou-se, enfim, a seguinte expressão:
0 y s npk k k kλξ ξ= (2.28)
com
( )( )
1,0 se 0,0 0,5
2 1 se 0,5 1,0
10,5 1,0
s
L
np
Sk
S S
kS
knp
λ
λ
⎧ ≤ ≤⎪= ⎨− < ≤⎪⎩
=
= + ≤
38
onde np é o número de pilares do pavimento contidos no plano do pórtico em estudo, λ(L) é a
esbeltez reduzida do pilar, calculada com o comprimento real:
( )y
L
fLr E
λπ
= (2.29)
S é um parâmetro associado à rigidez do pavimento e, para pilares pertencentes a pórticos
deslocáveis, pode ser calculado de forma aproximada da seguinte forma:
2
1SK
= (2.30)
e K é o coeficiente de flambagem do pilar, portanto:
( )L yfKLkr ESλ
λ
π= = (2.31)
A expressão (2.31) é aplicável apenas a pilares isolados, os quais são utilizados
inicialmente para a calibração e validação do método. Para edifícios cujos pavimentos
possuem vários pilares o parâmetro S é redefinido como segue:
( )1 2
002 f
M MS
M+
= ∑∑
(2.32)
onde M1 e M2 são os momentos fletores nas extremidades inferior e superior de cada pilar,
obtidos numa análise elástica de primeira ordem contendo apenas forças horizontais fictícias.
Essas forças laterais fictícias são aplicadas em cada pavimento com intensidade igual a uma
fração constante (qualquer) das forças gravitacionais atuantes no respectivo pavimento. Os
somatórios estendem-se para todos os pilares do pavimento, inclusive aqueles que não
contribuem com rigidez. O parâmetro Mf00 é definido pela seguinte expressão:
39
100 2
6 hf
EIML
Δ= (2.33)
onde os parâmetros físicos e geométricos referem-se ao pilar considerado e Δ1h é o
deslocamento relativo entre as extremidades do pilar, obtido na análise de primeira ordem
supracitada. Finalmente, o parâmetro kλ é definido por:
( )1
1 rc
L jjr
kc Sλ λ
=
= ∑ (2.34)
onde o somatório estende-se apenas aos cr pilares que contribuem para a rigidez do
pavimento.
É interessante citar que os parâmetros ks e kλ permitem reduzir significativamente a
intensidade da força horizontal nos pavimentos que apresentarem rigidez elevada e/ou
esbeltez baixa. De fato, em um pavimento com alta rigidez, os deslocamentos relativos entre
as extremidades dos pilares são menores e, portanto, o efeito das imperfeições geométricas
referente ao respectivo pavimento na resposta global da estrutura é reduzido. Além disso,
estruturas que possuem elementos de contraventamento, mas classificadas como deslocáveis,
terão a força horizontal fictícia reduzida, refletindo a contribuição do contraventamento.
O parâmetro knp depende do número de pilares contidos no plano do pórtico analisado.
Em pórticos tridimensionais, basta repetir o procedimento para cada fila, aplicando a força
horizontal nas extremidades dos pilares correspondentes. A variação decrescente desse
parâmetro é bastante plausível quando se remete às imperfeições geométricas que estão sendo
modeladas. O fato é que a probabilidade que todos os pilares apresentem imperfeições
geométricas com a intensidade máxima e mesmo sentido é reduzida à medida que o número
de pilares aumenta.
40
O método das forças horizontais fictícias foi apresentado como alternativa ao método
do diagrama de alinhamento, o qual utiliza o conceito de comprimento efetivo de flambagem.
Em uma investigação inicial, o método simplificado apresentou-se conservador, por isso
foram propostos os métodos modificado e refinado.
Parece estranho que este resgate o conceito de comprimento efetivo e a necessidade de
cálculo do coeficiente K. Acontece que no contexto do método refinado das forças horizontais
fictícias, o coeficiente K pode ser calculado diretamente pela equação (2.4), sem a
necessidade dos ajustes indesejáveis necessários para contabilizar os efeitos inelásticos, os
quais estão embutidos na intensidade das forças horizontais.
O grande problema da expressão proposta é que o cálculo dos parâmetros k não é
imediato e a praticidade do método outrora ressaltada deixou de ser uma vantagem. A ASCE
(1997) recomenda que os parâmetros kλ e ks sejam adotados de forma conservadora iguais a
1,0. Particularmente, esta simplificação pode levar a resultados contra a segurança, porém
considerados aceitáveis, para pilares com esbeltez elevada.
A Tabela 2.2 apresenta a variação do coeficiente ξ em função do número de pilares
(np) e da resistência de escoamento. Essa calibração apresenta valores bem inferiores aos
0,5% propostos pelo método simplificado, quando considerados apenas os dois parâmetros
mais simples de serem obtidos (ky e knp).
Tabela 2.2 – Parâmetro ξ (%) para o método refinado.
fy (MPa)
np 250 350 450
2 0,384 0,455 0,515
4 0,333 0,394 0,446
6 0,314 0,371 0,421
8 0,304 0,359 0,407
10 0,298 0,352 0,399
41
2.5.3.4 MÉTODO R–N (ASCE, 1997)
A proposta do método das forças horizontais fictícias é modelar as imperfeições
iniciais. Esses efeitos alteram os esforços internos solicitantes e os deslocamentos. Entretanto,
a aplicação das forças horizontais fictícias pode alterar os esforços normais da estrutura. Os
pilares de um lado do pórtico apresentam um alívio de esforço normal e os pilares opostos,
aumento. Isso não é verificado como conseqüência dos referidos efeitos na intensidade que
surge com o emprego das forças horizontais fictícias e é mais acentuado nos pilares dos
andares inferiores de edifícios de múltiplos pavimentos com alta relação entre a altura total e a
largura.
Uma alternativa encontrada para solucionar o problema é realizar a análise estrutural
considerando-se duas situações, denominadas R e N. A análise R é realizada com todas as
ações reais da estrutura, incluindo as forças horizontais (Fi), se houver, e desprezando-se as
imperfeições geométricas. Portanto, sem aplicar forças horizontais fictícias (Figura 2.11a).
Desta análise extraem-se as forças normais e os momentos fletores MSd,(R).
(a) análise R (b) análise N
Figura 2.11 – Método R-N. (Adaptação de ASCE, 1997)
ξ(ΣP)3
ξ(ΣP)2
ξ(ΣP)1
P31 P32 P33
P21 P22 P23
P11 P12 P13
F3
F2
F1
p3
p2
p1
42
A análise N é realizada sem as forças horizontais reais da estrutura e considerando-se
as imperfeições, aplicando-se as forças horizontais fictícias aos pavimentos da estrutura
(Figura 2.11b). Além disso, as forças verticais distribuídas provenientes das ações
gravitacionais (pj) são convertidas em forças nodais equivalentes aplicadas nas extremidades
dos pilares (Pij). Dessa análise extraem-se apenas os momentos fletores MSd,(N), os quais são
somados aos momentos fletores da análise R (MSd,(R)) para obtenção do esforço final (MSd).
As forças normais a serem verificados são as obtidas na análise R, sem qualquer alteração.
É interessante perceber que o momento fletor final, obtido como a soma dos
momentos fletores pontuais das análises R e N, não necessariamente ocorrerá nos mesmos
pontos de momentos máximos obtido pela soma dos diagramas de momentos fletores, porque
as seções mais solicitadas em cada análise podem estar em posições diferentes. Entretanto,
para a maior parte dos casos práticos, os pontos de momentos máximos coincidem e atuam
nas seções de extremidade dos pilares.
O Método R-N é uma estratégia empregada para a redução da influência das forças
horizontais fictícias nas forças normais dos pilares e pode ser utilizado em conjunto com os
métodos simplificado, modificado ou refinado.
2.5.4 MÉTODO ELÁSTICO MODIFICADO
Os resultados conservadores observados e a dificuldade de encontrar um
procedimento prático que fosse abrangente levaram à separação da modelagem dos conceitos
da seguinte forma: a imperfeição geométrica inicial seria modelada com forças horizontais
(ξ=0,2%), enquanto que as tensões residuais e o regime inelástico seriam representados pela
redução na rigidez dos pilares. De acordo com Maleck e White (2004a), os valores para a
rigidez à flexão reduzida dos elementos são EIred=0,9τΕΙ e EIred=0,8τΕΙ, respectivamente,
para os eixos de maior e menor inércia e o parâmetro τ é dado por:
43
1,0 se / 0,39
2,724 ln se / 0,39
Sd y
Sd SdSd y
y y
N N
N N N NN N
τ
≤⎧⎪
⎛ ⎞= ⎨− >⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩
(2.35)
Segundo os autores, nas estruturas em que a estabilidade é garantida pela rigidez das
ligações viga-pilar, o efeito das tensões residuais na rigidez axial é menos importante em
relação à rigidez à flexão, por isso foi proposta uma redução constante igual a EAred=0,8EA.
Uma idéia semelhante, que propõe a redução das rigidezes à flexão dos pilares, vigas e
lajes por coeficientes distintos, é sugerida pela NBR 6118:2003 para a consideração da não-
linearidade física do concreto.
Maleck e White (2004b) fizeram um estudo comparativo entre o procedimento
recomendado pelo AISC (1999), o qual utilizava o diagrama de alinhamento para cálculo do
coeficiente de flambagem K, o método simplificado das forças horizontais fictícias (ξ=0,005)
apresentado pela ASCE (1997) e o método elástico modificado. As estratégias de modelagem
das imperfeições geométricas e tensões residuais propostas por cada método são apresentadas
na Tabela 2.3.
Tabela 2.3 – Modelos simplificados de avaliação de estabilidade.
Imperfeição global Imperfeição local Tensões residuais
Comprimento da barra
Comprimento efetivo de flambagem – Curva de resistência Curva de
resistência KL
Forças horizontais fictícias
Força horizontal (ξ=0,002)
Curvas de resistência ou força horizontal transversal à barra
Força horizontal adicional e curva
de resitência L
Elástico modificado Força horizontal (ξ=0,002) Curvas de resistência
Redução de rigidez e curvas de resistência
L
FONTE: Adaptação de MALECK e WHITE, 2004a.
Os resultados foram comparados a valores de referência fornecidos por um modelo
explícito de plastificação distribuída e imperfeições geométricas. O método elástico
modificado foi o que apresentou melhores resultados, reduzindo o caráter conservador
44
apresentado pelo método simplificado das forças horizontais fictícias e eliminando o cálculo
do comprimento efetivo de flambagem. Uma proposta semelhante ao método elástico
modificado foi introduzida pelo AISC (2005a), nesse caso denominada Método da Análise
Direta (item 2.7.4), e também consta no Projeto de Revisão da NBR 8800:1986.
2.5.5 EFEITOS DE PLASTIFICAÇÃO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
Basicamente, existem dois modelos para avaliar a plastificação da seção transversal: o
modelo da zona plástica, ou plastificação distribuída, e o modelo das rótulas plástica, ou
plastificação concentrada.
De acordo com Machado (2005), existem duas formulações para definir um modelo
de plastificação concentrada: a elasto-plástica e a plástica-refinada. Na formulação elasto-
plástica, a seção assume dois comportamentos: perfeitamente elástica, quando os esforços
internos ainda não atingiram a capacidade resistente da seção, e perfeitamente plástico,
quando a capacidade resistente é atingida. Na formulação plástica-refinada, permite-se uma
degradação da rigidez da seção transversal à medida que os esforços internos se aproximam
da capacidade limite da seção.
Landesman e Batista (2005) empregaram uma formulação plástica-refinada para
análise de pórticos de aço em situação de incêndio. Foi definido um limite elástico
correspondente a uma contração da superfície que define a capacidade limite da seção por um
fator igual a 0,50. Quando o estado de solicitação da seção ultrapassa esse limite elástico, a
rigidez associada ao elemento é reduzida seguindo uma função parabólica.
Uma modelo de zona plástica foi apresentado por Jiang et al. (2002). O estudo propõe
uma formulação para o método dos elementos finitos capaz de captar esses efeitos em pontos
internos ao elemento. Em cada ponto interno do elemento é feita uma integração das tensões
45
atuantes na seção transversal (Figura 2.12), permitindo inserir o efeito das tensões residuais
de forma explícita e captar a redução de rigidez ao longo da barra.
Figura 2.12 – Discretização da seção transversal de um perfil I (JIANG et al., 2002).
Esse procedimento mostrou-se preciso, porém com elevado custo computacional. Por
isso, foi utilizada uma discretização adaptativa para as barras. Inicialmente cada barra foi
discretizada por um elemento finito convencional para análise de pórticos tridimensionais. À
medida que os incrementos de força são inseridos, as barras mais solicitadas são detectadas,
os respectivos elementos finitos são substituídos por elementos contendo pontos internos e a
discretização ao longo da barra é refinada.
Um procedimento de divisão da seção transversal em poligonais foi empregado por
Caldas (2004) e Muniz (2005) para avaliação de estruturas mistas aço-concreto. Cada
poligonal representa um tipo de material com sua respectiva relação constitutiva. Os esforços
resistentes e rigidezes da seção são calculados com o auxílio do Teorema de Green, que
relaciona integrais de área com integrais de linha ao longo do perímetro das poligonais.
A análise avançada apresentada por Gomes (2005), emprega elementos planos de
casca para discretizar a estrutura. Esse procedimento gera um modelo tridimensional mais fiel
à realidade e capaz de capturar melhor a plastificação da seção e efeitos localizados, como
instabilidade local de alma e mesa. Entretanto, o custo computacional para a solução do
problema é bem maior quando comparado com a discretização por elementos de pórtico. Por
46
isso, essa metodologia torna-se pouco interessante para estruturas onde o número de barras é
grande. Além disso, o efeito das instabilidades locais não é relevante quando a seção dos
perfis é compacta.
Diante da variedade de ferramentas disponíveis para avaliação dos efeitos
desestabilizantes da estrutura é necessário que o projetista entenda o escopo de aplicação de
cada método – análise estrutural ou dimensionamento – para evitar que um efeito seja
considerado duas vezes. A Tabela 2.4 traz um resumo dessas ferramentas e o contexto em que
estão inseridas.
Tabela 2.4 – Estratégias para avaliação da estabilidade de pórticos.
Análise estrutural Dimensionamento
Efeito P-δ Análise de segunda ordem
Amplificação de momentos (B1) –
Efeito P-Δ Análise de segunda ordem
Amplificação de momentos (B2, γz) –
Imperfeição local Elementos curvos
Forças transversais à barra Curvas de resistência
Imperfeição global
Forças horizontais fictícias Modelagem explícita
Modo de flambagem da estrutura Redução de rigidez à flexão
–
Tensões residuais Tensões iniciais na seção transversal
Redução de rigidez Curvas de resistência
Plastificação do material Forças horizontais fictícias
Redução de rigidez Análise não-linear física
Curvas de resistência associadas à correção do fator K
Critério de escoamento Superfície de escoamento em esforços/tensões Expressões de interação
Os procedimentos descritos para avaliação dos efeitos que contribuem para a
instabilidade do pórtico são apresentados na Tabela 2.4 com as respectivas estratégias de
avaliação e a etapa do projeto estrutural em que estão inseridas. A análise numérica avançada
47
empregada neste trabalho envolve os procedimentos apresentados na segunda coluna,
enquanto que os métodos da força horizontal fictícia e da análise direta propõem uma
combinação entre os procedimentos da segunda e terceira coluna.
2.6 CALIBRAÇÃO DOS MÉTODOS SIMPLIFICADOS
Para calibrar os métodos simplificados define-se uma estrutura padrão e representativa
de outras estruturas mais complexas. Por exemplo, um pilar bi-rotulado com molas de rotação
nas extremidades representa os pilares de pórticos de múltiplos pavimentos. Um pórtico
retangular simples pode representar subestruturas de contraventamento contidas em edifícios
de múltiplos andares.
Definida a estrutura padrão, a configuração das imperfeições geométricas, tensões
residuais e condições de vínculo, adotam-se as grandezas de referência para comparação dos
resultados. Os deslocamentos laterais são parâmetros interessantes para a avaliação dos
efeitos de segunda ordem. Entretanto, são os esforços solicitantes, portanto, os momentos
fletores e forças normais que mais interessam.
A mesma estrutura é estudada com base nos diferentes procedimentos simplificados.
Uma análise numérica avançada também é empregada, da qual se extraem os resultados
“exatos” dessa estrutura que serão empregados na calibração dos procedimentos aproximados.
A Figura 2.13 apresenta os modelos simplificados empregados no estudo de pilares
pertencentes a pórticos deslocáveis. O pilar está submetido a uma força horizontal (F) e uma
vertical (P), ambas provenientes de ações reais (atuantes).
48
(a) (b) (c)
Figura 2.13 – Modelos utilizados para calibrar os métodos simplificados (ASCE, 1997).
Para análise numérica avançada, as imperfeições geométricas iniciais são inseridas
diretamente no modelo e uma análise não-linear física e geométrica é empregada (Figura
2.13a). Uma prática comum (KANCHANALAI e LE-WU, 1979; ASCE, 1997) na análise
numérica avançada é aplicar as forças verticais na estrutura e, em seguida, introduzir as forças
laterais. Esse procedimento é mais coerente com a situação real de solicitação da estrutura.
O incremento de forças laterais é efetuado até a estrutura “perder a rigidez” e
apresentar deslocamentos exagerados, caracterizando a falha. Obtém-se um par de forças (P e
F) correspondente à capacidade da barra. Variando-se a intensidade da força P obtêm-se
novos pares de forças, definindo uma envoltória.
A Figura 2.13b ilustra o modelo utilizado para análise estrutural do pilar com base em
procedimentos aproximados que utilizam o conceito do comprimento efetivo de flambagem.
É empregada uma análise elástica linear e a imperfeição local, as tensões residuais e a não-
linearidade física são consideradas na avaliação do esforço normal resistente à compressão
por meio das curvas de resistência. É feita uma correção no comprimento da barra, pelo
coeficiente de flambagem K, dando origem ao comprimento efetivo de flambagem (KL), para
levar em consideração a rigidez à rotação das molas de extremidade.
P
P
F+ξP
P
P
F
Δ0 P
P
F
δ0
49
O método das forças horizontais fictícias propõe que a imperfeição geométrica global
seja modelada por meio da aplicação de uma força horizontal adicional obtida como uma
fração da força axial (ξP), que é somada à força horizontal real (F). Nesse caso, a avaliação do
esforço normal resistente é feita considerando-se o comprimento real da barra (K=1,0).
Para os procedimentos simplificados, efetua-se uma análise de segunda ordem para
uma determinada intensidade de força axial, aumentando-se a força horizontal até atingir o
momento fletor solicitante de segunda ordem correspondente ao esgotamento da capacidade
resistente do perfil. Essa capacidade resistente é definida pela expressão (2.2) ou (2.3). A
repetição desse procedimento para diferentes intensidades de P fornece a envoltória de forças
aplicadas (P e F) correspondente à análise simplificada.
As envoltórias obtidas pelas análises numérica avançada e simplificada são
comparadas adotando-se um critério de aceitação. A ASCE (1997) admite como aceitáveis
erros inferiores a 5% contra a segurança em relação aos procedimentos avançados. As
envoltórias são apresentadas e comparadas em diagramas normalizados em relação aos
respectivos esforços correspondentes à plastificação da seção. Assim, evita-se trabalhar com
grandezas elevadas e a comparação é mais imediata.
Portanto, calibra-se o parâmetro ξ com a análise numérica. Essa metodologia pode
ainda ser estendida para uma análise paramétrica, definindo expressões para ξ em função de
propriedades físicas e geométricas de interesse, tais como, resistência ao escoamento do aço e
rigidez da barra. Daí o surgimento dos diferentes métodos de avaliação da intensidade da
força horizontal fictícia.
50
2.7 RECOMENDAÇÕES NORMATIVAS
Serão apresentadas as recomendações normativas para avaliação das imperfeições
geométricas iniciais, tensões residuais e regime inelástico. As recomendações serão expostas
à luz dos métodos de aplicação de forças horizontais fictícias. Outros procedimentos
alternativos disponíveis pelas normas para avaliação desses efeitos serão apenas citados. O
objetivo desta apresentação é simplesmente tornar evidente a variação dos métodos de forças
horizontais. Logo, qualquer conclusão sobre a precisão de cada procedimento fora do
contexto das expressões de dimensionamento à flexo-compressão e de exemplos de projeto é
precipitada.
2.7.1 PROCEDIMENTO DA NORMA CANADENSE CSA S16.1-944
Esta versão da norma canadense exige que os efeitos desestabilizantes provocados
pela assimetria do carregamento, da estrutura ou de ambos devem ser considerados em todas
as combinações de ações que contenham apenas forças gravitacionais. Por isso, em todas as
combinações de ações em que só atuem forças gravitacionais, esses efeitos desestabilizantes
não devem ser inferiores aos provocados por forças horizontais fictícias, aplicadas em cada
pavimento, iguais a 0,5% do total de forças gravitacionais atuantes no pavimento. Segundo
Kennedy et al. (1993), a norma canadense exige a aplicação de forças horizontais fictícias
desde 1974 e nas três versões anteriores a intensidade das forças era igual a 0,2% do total de
forças verticais atuantes no pavimento.
O cálculo do comprimento efetivo de flambagem é previsto apenas para as
verificações da estabilidade fora do plano do pórtico. Nesse caso, o coeficiente de flambagem
K é determinado considerando-se a estrutura indeslocável. Na verificação da estabilidade no
4 Substituída pela CSA S16.1-01.
51
plano, o coeficiente K é sempre adotado igual a 1, uma vez que os efeitos da deslocabilidade
da estrutura são inseridos pelas forças horizontais fictícias.
Esse é um procedimento semelhante ao método simplificado das forças horizontais,
com uma diferença: neste último, as forças horizontais devem ser aplicadas em todas as
combinações de ações, inclusive naquelas que contêm forças laterais.
Essa e Kennedy (2000) realizaram um estudo sobre o dimensionamento de pilares de
acordo com a CSA S16.1-94 com o objetivo de propor alterações para a nova versão dessa
norma que estava em revisão. O estudo de um pórtico retangular com um pavimento mostrou
que as forças horizontais fictícias deviam ser aplicadas em todas as combinações de ações,
inclusive naquelas que continham forças horizontais reais, porque a função dessas forças
fictícias é compensar o fato do dimensionamento ser efetuado com o comprimento real do
pilar (K=1).
Outra questão interessante abordada por Essa e Kennedy (2000) diz respeito ao efeito
das forças horizontais fictícias no dimensionamento das ligações. A norma canadense utiliza
as forças horizontais fictícias para permitir o dimensionamento com o comprimento real da
barra. Considerando que o comprimento efetivo de flambagem não altera em nada a
configuração de esforços para o dimensionamento das ligações, é coerente admitir que as
forças horizontais fictícias também não devam alterá-lo. Uma opção para este caso é utilizar o
método R-N e dimensionar as ligações com os esforços obtidos na análise R.
2.7.2 PROCEDIMENTO DA NORMA AUTRALIANA AS 4100/1990
A recomendação da norma australiana (AS, 1990 apud CLARKE e WHITE, 1997a)5 é
que devem ser incluídas forças horizontais fictícias no valor de 0,2% da carga total do
5 STANDARDS AUSTRALIA (1990). Steel Structures. AS4100-1990. Sydney.
52
pavimento em análises de estruturas com mais de um pavimento e sujeitas a combinações de
ações em que atuem apenas forças gravitacionais. Esse efeito é considerado representativo das
imperfeições geométricas globais.
2.7.3 PROCEDIMENTO DO EUROCÓDIGO prEN 1993:3/2003
O regulamento europeu exige que as imperfeições geométricas globais e locais sejam
consideradas na análise estrutural ou no dimensionamento das barras. As imperfeições
geométricas globais são definidas pela rotação da corda do pilar (ξ), cuja intensidade é dada
pela expressão (2.36).
0 h npk kξ ξ= (2.36)
com
2 2e 1,03h hk k
H= ≤ ≤
1 112npk
np⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠
onde H é a altura total do edifício, em metros, e np é o número de pilares do pavimento que
estão solicitados por uma força normal igual ou superior a 50% da média das forças normais
atuantes nos pilares pertencentes ao pavimento. Uma simulação da variação do parâmetro ξ
em função de np e H é apresentada na Tabela 2.5.
53
Tabela 2.5 – Variação do parâmetro ξ (%) segundo o prEN 1993:3 (2003).
H(metros)
np 3,0 6,0 >9,0
2 0,433 0,354 0,289
4 0,395 0,323 0,264
6 0,382 0,312 0,255
8 0,375 0,306 0,250
10 0,371 0,303 0,247
Alternativamente à introdução direta destas imperfeições globais na estrutura, é
permitido aplicar forças horizontais fictícias aos pavimentos da estruturas com intensidade
igual a ξΣPi.
O método apresentado pelo regulamento europeu apresenta semelhança com o método
refinado das forças horizontais fictícias (equação (2.28)) para consideração do número de
pilares do pavimento contidos no plano do pórtico.
Além das forças horizontais fictícias aplicadas aos pavimentos, permite-se aplicar
forças distribuídas transversais ao eixo do pilar para representar o efeito das imperfeições
locais. A intensidade da força distribuída é dada por:
02
8 SdNpL
δ= (2.37)
onde NSd é a força normal de cálculo do pilar e δ0 é a imperfeição geométrica inicial da barra,
cujos valores são apresentados na Tabela 2.6.
A consideração das imperfeições geométricas, seja por modelagem direta ou forças
horizontais fictícias, permite ao projetista dimensionar os pilares com o comprimento real
(K=1).
54
Tabela 2.6 – Imperfeição local δ0/L.
Curva de resistência Análise elástica Análise inelástica
a0 1/350 1/300
a 1/300 1/250
b 1/250 1/200
c 1/200 1/150
d 1/150 1/100 FONTE: prEN 1993:3/2003.
As imperfeições geométricas das barras (locais) são consideradas na verificação da
estabilidade dos elementos comprimidos por meio das curvas de resistência. Portanto, caso o
projetista opte por introduzir as imperfeições da barra utilizando elementos curvos ou
inserindo forças transversais, a verificação da estabilidade da barra torna-se desnecessária.
Nesse caso, basta verificar a resistência ao escoamento da seção transversal.
2.7.4 ESPECIFICAÇÃO DO AISC LRFD (2005a,b)
A versão mais recente da especificação do AISC manteve o método do diagrama de
alinhamento para avaliação do comprimento efetivo de flambagem. Para estruturas que
apresentam a razão entre os deslocamentos laterais de segunda e primeira ordem superior a
1,5 em pelo menos uma combinação de ações, a análise estrutural deve ser realizada
considerando-se imperfeições geométricas globais. Essas imperfeições podem ser
representadas, quando considerados os efeitos de segunda ordem, por forças horizontais
fictícias de 0,2% do total das forças verticais do pavimento.
Para estruturas que apresentam a razão entre os deslocamentos laterais de segunda e
primeira ordem inferior a 1,5 em todas as combinações de ações, permite-se que as forças
horizontais fictícias sejam consideradas como forças horizontais mínimas a serem aplicadas
na estrutura.
55
Uma estimativa permitida para avaliação da razão ente os deslocamentos de segunda e
primeira ordem são os coeficientes de amplificação de momentos fletores (B2). A verificação
pode ser feita diretamente com esses coeficientes para determinar a necessidade de incluir as
imperfeições geométricas.
A exigência da consideração das imperfeições iniciais através da modelagem explícita
ou de forças horizontais foi introduzida na versão de 2005 da especificação do AISC. Os
efeitos de segunda ordem e o comprimento efetivo de flambagem já eram considerados em
versões anteriores e não sofreram alterações (AISC, 1999).
É permitido verificar a estabilidade de estrutura por meio do método da análise direta,
ou seja, reduzindo a rigidez axial (EAred=0,8EA) e à flexão (EIred=0,8τbΕΙ) das barras que
compõem a estrutura e introduzindo forças horizontais fictícias.
Essa redução possui duas interpretações. Primeiro, para pórticos contendo pilares
esbeltos, propensos à instabilidade elástica, a redução é entendida como limitação da
capacidade resistente em 80% da carga crítica elástica do pilar. Segundo, para pilares com
esbeltez média ou baixa, a redução é interpretada como influência dos efeitos inelásticos. A
redução da rigidez deve ser feita apenas nas barras que contribuem para a estabilidade do
pórtico.
Esse conceito é diferente daquele proposto para o método elástico modificado. Neste
último, a redução de rigidez foi apresentada para representar os efeitos inelásticos e as tensões
residuais. Na especificação do AISC, o efeito das tensões residuais está incluído na força
horizontal fictícia.
O parâmetro τb depende da força normal (NSd) atuante na barra e da força de
compressão correspondente ao escoamento da seção transversal (Ny=Afy), como segue:
56
1,0 se 0 5
4,0 1 se 0,5
Sd y
b Sd SdSd y
y y
N /N ,
N N N /NN N
τ
≤⎧⎪
⎛ ⎞= ⎨ − >⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩
(2.38)
Permite-se adotar um valor constante igual a 1,0 para o parâmetro τb desde que a força
horizontal fictícia seja aumentada em 0,1% das forças verticais do pavimento, ou seja,
ξ=0,003. Este é um procedimento mais prático, uma vez que a redução das rigidezes axial e à
flexão pode ser entendida unicamente como uma redução do módulo de elasticidade
(Ered=0,8E).
A redução das rigidezes axial e à flexão permite dimensionar as barras utilizando os
comprimentos reais (K=1,0). De acordo com o AISC (2005b), este procedimento associado às
forças horizontais fictícias é considerado o maior avanço na análise estrutural de pórticos em
relação às edições anteriores desta norma.
Um procedimento semelhante ainda é apresentado para estruturas analisadas em
primeira ordem. Neste caso, a intensidade da força horizontal fictícia é aumentada para incluir
os efeitos de segunda ordem e deve ser aplicada em todas as combinações de ações. O
coeficiente de força horizontal é dado por:
12,1 0,0042h
Lξ Δ
= ≥ (2.39)
onde a razão entre o deslocamento horizontal de primeira ordem entre pavimentos (Δ1h) e o
comprimento do pilar (L) deve ser a maior da estrutura. Além disso, só é permitido o emprego
desse procedimento se as forças normais de cálculo em cada pilar dos sistemas resistentes a
forças laterais, em todas as combinações de ações, não forem superiores a 50% da força
normal de escoamento (Ny) desses pilares.
Nota-se que o procedimento do AISC é bastante eclético. Fundamentalmente, as
forças horizontais fictícias são utilizadas para modelar as imperfeições iniciais, porém
57
permitem-se adaptações para representar os efeitos de segunda ordem e a não-linearidade
física do material por meio da alteração da intensidade da força horizontal fictícia.
2.7.5 PROJETO DE REVISÃO DA NBR 8800 (SET. 2006)
O Projeto de Revisão da norma brasileira de estruturas de aço propõe um
procedimento idêntico ao da especificação americana. A principal diferença está na
classificação das estruturas, as quais podem ser classificadas em pequena, média e grande
deslocabilidade.
2.7.5.1 ESTRUTURAS DE PEQUENA DESLOCABILIDADE
Os efeitos das imperfeições geométricas iniciais da estrutura devem ser levados em
conta diretamente na análise por meio da consideração, em cada andar, de um deslocamento
horizontal relativo entre pavimentos de h/500, sendo h a altura do andar. Admite-se também
que sejam levados em conta por meio da aplicação, em cada andar, de uma força horizontal
fictícia, igual a 0,2% do valor das cargas gravitacionais de cálculo aplicadas em todos os
pilares e outros elementos resistentes a cargas verticais, no andar considerado.
Os efeitos das imperfeições de material não precisam ser considerados na análise.
2.7.5.2 ESTRUTURAS DE MÉDIA E GRANDE DESLOCABILIDADE
Os efeitos das imperfeições geométricas iniciais da estrutura devem ser levados em
conta aumentando o deslocamento interpavimento para h/333 ou a força horizontal fictícia
para 0,3% do valor das cargas gravitacionais de cálculo.
58
Os efeitos das imperfeições iniciais de material devem ser levados em conta na análise
reduzindo-se a rigidez à flexão (EI) e a rigidez axial (EA) das barras para 80% dos valores
originais.
Nas estruturas de pequena deslocabilidade e média deslocabilidade, os efeitos das
imperfeições geométricas iniciais podem ser entendidos como uma força horizontal mínima
atuante na estrutura, não sendo necessário que sejam considerados nas combinações em que
atuem ações variáveis devidas ao vento. Entretanto, devem ser consideradas nas combinações
em que atuem apenas ações permanentes diretas e ações variáveis constituídas pelas cargas
acidentais previstas para o uso da construção. Nas estruturas de grande deslocabilidade, os
efeitos das imperfeições geométricas iniciais deverão ser adicionadas também às combinações
de ações em que atuem ações variáveis devidas ao vento.
A Tabela 2.7 apresenta os procedimentos do AISC (2005) para análise de estruturas
deslocáveis, de acordo com a classificação quanto à deslocabilidade. A Tabela 2.8 apresenta
um resumo comparativo entre os procedimentos das demais normas estrangeiras supracitadas
e da NBR 8800:1986.
Tabela 2.7 – Procedimentos do AISC (2005) para análise de estruturas deslocáveis.
Deslocabilidade
Pequena Média Alta(a)
Procedimento simplificado de análise de segunda ordem
amplificação com B1 e B2
amplificação com B1 e B2
−
Comprimento efetivo K=1 K ≥ 1(b) K=1
Força horizontal fictícia ξ=0,002; força horizontal mínima
ξ=0,002; força horizontal mínima
ξ=0,002; adicionada às forças reais
Redução de rigidez − EIred=0,8τEI(c); EAred=0,8EA
EIred=0,8τE(c); EAred=0,8EA
(a) o método da análise direta deve se empregado. (b) K=1 quando o método da análise direta for empregado, ou seja, ξ=0,002 e redução de rigidez. (c) Permite-se adotar τb=1, desde que ξ=0,003.
59
Os procedimentos apresentados pelo AISC (2005) são semelhantes àqueles
apresentados pelo Projeto de Revisão da NBR 8800 (set. 2006). A diferença é que este último
eliminou definitivamente o coeficiente de flambagem K, ou seja, K=1 em todos os casos. O
parâmetro τb também foi eliminado, ou seja, ξ=0,003 quando aplicável.
Tabela 2.8 – Procedimentos normativos para análise de estruturas deslocáveis.
NBR 8800:1986 CSA 16.1-1994 prEN 1993:3/2003 AS 4100/1990
Método de análise sugerido
Elástico de primeira ordem
Elástico de segunda ordem
Elástico de primeira ou segunda ordem
Elástico de segunda ordem
Limitação dos métodos simplificados de segunda ordem
− Δ2h/Δ1h<1,4 Δ2h/Δ1h<1,33 Δ2h/Δ1h<1,4
Comprimento efetivo
K ≥ 1 se análise de primeira ordem
K ≤ 1 se análise de segunda ordem.
K=1
K ≥ 1 se análise de primeira ordem
K=1 se análise de segunda ordem
K=1
Força horizontal fictícia –
ξ=0,005 apenas nas combinações de ações em que só
atuem forças gravitacionais
ξ é variável(a); em
todas as combinações de
ações
ξ=0,002 apenas nas combinações de ações em que só
atuem forças gravitacionais
Redução de rigidez – – – – (a) Ver Tabela 2.5.
FONTE: Adaptação de Galambos, 1998.
A utilização do conceito de comprimento efetivo de flambagem ainda persiste como
alternativa de avaliação da estabilidade apresentada pelas normas e é objeto de trabalhos
publicados recentemente, os quais propõem outros métodos para avaliação do fator K como
alternativa ao diagrama de alinhamento (GIRGIN et al., 2006; TONG; WANG, 2006).
A necessidade de considerar as imperfeições geométricas iniciais na análise estrutural
levou à difusão do método das forças horizontais fictícias, que incorporou os efeitos
inelásticos e tensões residuais. Esse conceito foi alterado pelo método da análise direta, o qual
propõe a utilização de forças horizontais apenas para representação das imperfeições
geométricas, enquanto que os efeitos inelásticos são representados pela redução da rigidez.
60
Estes últimos métodos apresentam a vantagem de substituir o conceito de
comprimento efetivo por procedimentos bastante práticos que podem ser inseridos na análise
estrutural. A avaliação e análise comparativa desses métodos no contexto do Projeto de
Revisão da NBR 8800 (set. 2006) frente a uma análise numérica avançada é o cerne do
presente estudo.
61
Capítulo 3: ANÁLISE ESTRUTURAL
Os exemplos analisados correspondem a pórticos planos de aço cuja estabilidade é
garantida pela rigidez das ligações viga-pilar (pórticos não-contraventados). Essas ligações
serão consideradas rígidas. Serão utilizados perfis I com seção transversal compacta para
vigas e pilares. Esta hipótese foi admitida porque a análise numérica avançada proposta para o
presente estudo não permite avaliar instabilidade local (alma e mesa).
Os perfis I foram adotados porque são amplamente utilizados em vigas e pilares
pertencentes a edifícios de múltiplos andares, os quais constituem o foco do presente trabalho.
A extensão dessa metodologia para outros perfis é imediata, desde que o panorama de tensões
residuais seja conhecido.
A estabilidade fora do plano do pórtico também será admitida garantida por alguma
contenção apropriada. Nesse caso, uma análise numérica avançada aplicada a pórticos
espaciais também pode considerar o efeito da flexão e imperfeições geométricas iniciais fora
do plano. A introdução desse efeito na análise complicaria bastante a validação dos métodos
em foco, uma vez que envolveria procedimentos aproximados apresentados pelas normas para
verificação da estabilidade lateral e a interpretação dos resultados e desvios apresentados seria
prejudicada.
Com base nas simplificações admitidas são analisados exemplos propostos em outros
trabalhos e sugeridos no presente estudo. Neste caso, a estrutura foi concebida verificando-se
os estados limites último e de serviço. Os estados limites de serviço aplicados foram o
62
deslocamento de topo do edifício e o deslocamento relativo entre pavimentos. Essas
verificações aproximam os exemplos de situações práticas.
3.1 MÉTODOS SIMPLIFICADOS
As análises estruturais que envolvem procedimentos simplificados foram realizadas
empregando-se o programa SAP 2000 (COMPUTER AND STRUCTURES INC., 2004), o
qual permite avaliar os efeitos P-δ e P-Δ diretamente e contém recursos que facilitam a
avaliação de diferentes combinações de ações. A análise estrutural empregada para os
procedimentos simplificados foi elástica linear.
Cada barra (vigas e pilares) da estrutura é discretizada em 4 elementos finitos,
conforme Figura 3.1. Para avaliar a precisão da discretização proposta foram analisadas barras
isoladas submetidas à flexo-compressão variando-se as condições de vínculo das
extremidades.
Os deslocamentos transversais e momentos fletores foram comparados com uma
discretização bem mais refinada, composta por 20 elementos por barra. Os resultados
apresentaram um desvio inferior a 0,5% nos deslocamentos e 2% nos esforços internos.
Quando se utilizou apenas um elemento por barra, obtiveram-se desvios da ordem de 0,7% e
8%. Portanto, a discretização proposta foi considerada suficiente.
Figura 3.1 – Discretização de uma barra em quatro elementos finitos.
As tensões residuais e as imperfeições geométricas iniciais locais serão consideradas
por meio das curvas de resistência à compressão apresentadas pelo Projeto de Revisão da
L/10 L/2
63
NBR 8800 (set. 2006). As imperfeições geométricas iniciais globais, quando consideradas na
análise, serão modeladas pelas forças horizontais fictícias.
O coeficiente de flambagem K será determinado empregando-se o diagrama de
alinhamento para estruturas deslocáveis apresentado pela NBR 8800:1986.
3.2 ANÁLISE NUMÉRICA AVANÇADA
A análise numérica avançada considerando a não-linearidade física e geométrica é
empregada para validar os métodos simplificados. Nessa análise, os efeitos desestabilizantes
são considerados diretamente. Foi empregado o programa ABAQUS 6.5 (HIBBITT,
KARLSSON AND SORENSON INC., 2005), o qual também foi utilizado na análise
avançada de pórticos planos de aço realizada por Essa e Kennedy (2000) e Kim e Lee (2002).
A não-linearidade é avaliada por meio do procedimento incremental e iterativo com
controle de força empregando-se o algoritmo de Newton-Rapson. Apenas na validação da
análise avançada com a expressão de interação (Figura 3.6) é que será empregado controle de
deslocamentos.
3.2.1 NÃO-LINEARIDADE FÍSICA
A não-linearidade física será considerada empregando-se um modelo constitutivo do
tipo elastoplástico perfeito associado ao critério de escoamento de von Mises. Foi adotado o
valor de cálculo resistência ao escoamento do aço (fyd), dada pela razão entra a resistência
característica (fyk) e o respectivo coeficiente de ponderação (γm) igual a 1,10. Esse valor é
apresentado pelo Projeto de Revisão da NBR 8800 (set. 2006) para verificações do estado
limite último relacionadas ao escoamento do aço estrutural.
64
O procedimento de minoração da resistência foi adotado porque os valores dos
esforços internos resistentes também utilizam a resistência de cálculo. Um procedimento
alternativo seria simplesmente adotar o valor característico da resistência ao escoamento na
análise numérica em foco e também no cálculo dos esforços internos resistentes.
3.2.2 ELEMENTO FINITO
A estrutura foi discretizada empregando-se elementos finitos de pórticos
tridimensionais (B32) capazes de representar um desenvolvimento geométrico parabólico e
com 6 graus de liberdade por nó – três rotações e três deslocamentos. A descrição geométrica
parabólica foi adotada para representar melhor as imperfeições geométricas locais (Figura
3.2).
Figura 3.2 – Elemento finito B32.
Esse elemento possui alguns graus de liberdade que não são relevantes na análise
plana, porém a distribuição dos pontos de integração da seção transversal é que justifica o
emprego desse elemento frente ao elemento de pórtico plano. Os pontos de integração
permitem reproduzir o diagrama de tensões residuais proposto, enquanto que o elemento
finito para análise plana não possui pontos de integração ao longo das mesas (Figura 3.3).
65
(a) (b)
Figura 3.3 – Pontos de integração da seção transversal: (a) elemento plano e (b) tridimensional.
As rótulas, quando existirem, serão modeladas com elementos finitos de contato
(Join+Flexion-Torsion) conectando as extremidades dos elementos de pórtico. Esses
elementos de contato permitem acoplar os graus de liberdade referentes às translações (Join) e
definir um parâmetro de rigidez para cada grau de liberdade referente à rotação (Flexion-
Torsion). Desse modo, é possível representar uma rótula definindo valores baixos de rigidez à
rotação no plano do pórtico (10-5) e acoplando os demais graus de liberdade de rotação. A
consistência do valor adotado para a rigidez à rotação do grau de liberdade referente à rótula é
verificada observando-se os momentos fletores nas extremidades dos elementos adjacentes ao
elemento de contato. Esses momentos fletores devem apresentar valores desprezíveis. Caso
contrário, a rigidez à rotação é reduzida.
3.2.3 TENSÕES RESIDUAIS
A distribuição de tensões residuais adotada para os perfis foi proposta por Galambos e
Ketter (1959) (Figura 3.4). De acordo com Essa e Kennedy (2000), essa distribuição é muito
severa porque toda a alma do perfil está tracionada, entretanto foi adotada porque é bastante
simples de ser inserida ao modelo. Além disso, os valores da tensão residual nas extremidades
das mesas estão de acordo com outras distribuições e segundo Bild e Trahair (1989), essa é a
propriedade mais significativa para a resistência dos pilares.
66
As tensões residuais são inseridas no modelo como um estado de tensões inicias auto-
equilibrado (resultantes nulas) definido para os pontos de integração da seção transversal dos
elementos. A atribuição dessas tensões residuais é realizada com o emprego de uma rotina
computacional desenvolvida em linguagem FORTRAN e incorporada ao processamento do
modelo. Essa rotina contém o valor das tensões residuais em cada ponto de integração da
seção transversal.
Figura 3.4 – Distribuição de tensões residuais adotada (GALAMBOS e KETTER, 1959).
A identificação do perfil e do diagrama a ser atribuído é realizada com uma
verificação da coordenada nodal y (altura) dos pontos de integração do elemento. Quando
essa coordenada coincide com a altura do pavimento, é atribuído o diagrama referente às
vigas que compõem o respectivo pavimento. Caso contrário é atribuído o diagrama referente
ao pilar localizado entre os pavimentos imediatamente superior e inferior.
3.2.4 IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS
As imperfeições geométricas iniciais foram inseridas diretamente no modelo.
Adotaram-se os valores de L/1000 e L/500, respectivamente, para as imperfeições local e
global. Esses valores foram sugeridos pela ASCE e pelo Projeto de Revisão da NBR 8800
σrt T
T
T
C C
C C
σrt
σrc
( ) rcfwff
ffrt
yrc
f2tdttb
tbf
0,30ff
−+=
=
frt
frt
frc
67
(set. 2006). A configuração das imperfeições geométricas será adotada conforme o
procedimento da ASCE (1997), apresentado na Figura 3.5.
Figura 3.5 – Configuração das imperfeições geométricas iniciais (ASCE, 1997).
3.2.5 VALIDAÇÃO
De acordo com Alvarenga e Silveira (2006) uma análise numérica pode ser
considerada avançada quando cumpre as seguintes exigências:
a) emprego de uma teoria matemática rigorosa fundada em teorias bem conhecidas da
mecânica dos sólidos e dos materiais;
b) os esforços solicitantes nas seções não podem violar a resistência máxima definida pela
condição de plasticidade completa da seção;
c) a plasticidade distribuída deve ser avaliada, tanto na deformação axial, como na
deformação por flexão, ou combinadas; e, quando a seção solicitada está num ponto da
superfície de plastificação, acréscimos de força normal devem provocar a redução do
momento fletor correspondente;
Δ0 = L/500
δ0 = L/1000 L
68
d) as resistências, as deformações, as distribuições internas dos esforços, as tensões, etc.
devem ser confrontadas, previamente, com resultados de ensaios em escala real ou
pórticos de calibragem. A carga limite encontrada pela análise avançada, não poderá
ser superior em 5% à carga limite obtida experimentalmente.
A condição a) foi verificada no manual do programa empregado nesta análise
numérica avançada (HIBBITT, KARLSSON AND SORENSON INC., 2005). As condições
b) e c) serão verificadas por meio da análise de um pilar submetido à flexo-compressão. A
condição d) será verificada por meio da análise comparativa com um exemplo bem difundido
na literatura e bastante empregado neste tipo de verificação.
Para verificar a concordância entre as superfícies de escoamento, utilizou-se uma
barra comprimida rotulada nas extremidades. Analisaram-se duas situações, variando-se a
intensidade da imperfeição inicial da barra (δ0): L/1000 e L/500. Aplicou-se um deslocamento
vertical (u) na extremidade livre. Obtiveram-se os valores de momento fletor e força normal
no meio do vão. Esses esforços foram normalizados pelos respectivos esforços de
plastificação e são apresentados graficamente na Figura 3.6.
A avaliação do histórico de esforços internos na barra apresenta boa concordância
com a superfície de escoamento definida pelo AISC (2005) e também pelo Projeto de Revisão
da NBR 8800 (set. 2006), por isso o procedimento numérico avançado foi considerado
adequado para representação das expressões de interação. Portanto, os desvios na expressão
de interação entre os procedimentos simplificados e a análise numérica avançada serão
atribuídos ao modo de representar os fenômenos desestabilizantes.
69
Figura 3.6 – Comparação entre trajetórias de equilíbrio e as expressões (2.2) e (2.3).
A comparação entre as trajetórias de equilíbrio e a superfície de interação permite
verificar que as condições b) e c) são atendidas, ou seja, a resistência da seção, definida pela
superfície de plastificação não foi violada e, para pontos da trajetória de equilíbrio sobre a
superfície de plastificação, incrementos de força normal são associados à redução do
momento fletor.
Para avaliar a condição d), empregou-se a análise numérica avançada do “Portal de
Vogel”, o qual é apresentado na Figura 3.7. De acordo com Kim e Lee (2002), Gomes (2005),
Alvarenga e Silveira (2006) esse pórtico já foi amplamente estudado e empregado na
calibração de análises avançadas.
Os pilares e a viga têm seção I padrão europeu, as quais foram convertidas para perfis
I equivalentes (ALVARENGA e SILVEIRA, 2006).
δ0
u
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
M/M pl
N/N
y
δ0=L/1000
δ0=L/500
Expressão de interação
70
Figura 3.7 – Portal de Vogel (adaptação de Alvarenga e Silveira, 2006).
Foi empregada uma análise incremental iterativa para aplicação simultânea das forças
verticais e horizontal. A Figura 3.8 ilustra a comparação entre os resultados experimentais
apresentados por Kim e Lee (2002) e pela análise numérica descrita nesta seção.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0,00 5,00 10,00 15,00 20,0
Deslocamento do topo (mm)
Fato
r de
carg
a Kim e Lee (2002)
Presente trabalho
Figura 3.8 – Trajetórias de equilíbrio para portal de Vogel.
Obteve-se carregamento igual a 99,68% daquele ilustrado na Figura 3.7 e uma boa
concordância com outra resposta apresentada na literatura, verificando-se a exigência d).
Portanto, atendidas as exigências apresentadas, segue-se com uma análise comparativa entre
os métodos simplificados, tomando-se como referência os resultados obtidos por meio desta
análise numérica avançada.
fyd = 23,50 kN/cm2 E = 20500 kN/cm2 Imperfeições iniciais: Δ0 = L/400 δ0 = L/1000 para a direita Tensões residuais: frc = 0,5fy (Figura 3.4)
35 kN
4,00 m
5,00 m
2800 kN 2800 kN Dimensões dos perfis (mm) Viga: d = 330 bf = 300 tf = 17,50 tw = 9,50 Pilares: d = 300 bf = 300 tf = 19,97 tw = 11,23
71
3.3 ANÁLISES COMPARATIVAS
Para cada exemplo proposto, foi investigada a resposta dos métodos do comprimento
efetivo de flambagem (NBR 8800:1986), da força horizontal fictícia (ASCE, 1997) e da
análise direta (Projeto de Revisão da NBR 8800, set. 2006). Foram empregadas 6 análises
envolvendo procedimentos simplificados de avaliação dos efeitos desestabilizantes.
As análises 0 e 1 compreendem os procedimentos de análise estrutural apresentados
pela NBR 8800:1986, ou seja, sem força horizontal fictícia e avaliando-se o coeficiente de
flambagem por meio do diagrama de alinhamento. A diferença é que a análise 0 é de primeira
ordem e a análise 1 de segunda ordem.
A análise 2 traz os conceitos do método simplificado das forças horizontais fictícias,
que foi sugerido para a norma canadense (ESSA e KENNEDY, 2000). Aplicam-se as forças
horizontais fictícias e o coeficiente de flambagem é sempre igual a 1,0.
Na análise 3 é empregado o método da análise direta, apresentado pela última versão
da especificação do AISC (2005) e pelo Projeto de Revisão da NBR 8800 (set. 2006), no qual
são aplicadas forças horizontais fictícias e redução de rigidez.
A análise 4 é uma alternativa apresentada pelo AISC (2005), que consiste na aplicação
de forças horizontais fictícias e avaliação do coeficiente de flambagem por meio do diagrama
de alinhamento.
Na análise 5, será realizada uma análise de primeira ordem e serão introduzidas forças
horizontais fictícias adicionais para simular os efeitos de segunda ordem.
A análise 6 é semelhante à 3, mas os efeitos de segunda ordem são avaliados por meio
dos coeficientes de amplificação dos esforços (B1 e B2).
As combinações de ações referentes às análises 1 e 4 serão utilizadas para avaliação
dos métodos aproximados de análise dos efeitos de segunda ordem, de acordo com a
72
necessidade de adicionar ou não as forças horizontais que representam as imperfeições
geométricas às forças horizontais de vento.
A Tabela 3.1 apresenta um resumo dos procedimentos simplificados que foram
avaliados, destacando a metodologia de modelagem dos efeitos desestabilizantes.
Após a análise estrutural, a verificação dos pilares foi feita com base nas expressões
de interação (2.2) e (2.3) (Projeto de Revisão da NBR 8800, set. 2006), o qual foi empregado
como parâmetro de comparação entre as análises. O valor de referência admitido é aquele
obtido na análise numérica avançada (análise 7).
Tabela 3.1 – Procedimentos empregados para as análises estruturais e dimensionamento dos pilares.
análise Efeitos de segunda ordem Comprimento da barra Coeficiente de força
horizontal fictícia (ξ) Redução de rigidez
(Ered/E)
0 não KL 0,000 1,0
1 análise de 2ª ordem KL 0,000 1,0
2 análise de 2ª ordem L 0,005 1,0
3 análise de 2ª ordem L 0,003 0,8
4 análise de 2ª ordem KL 0,002 1,0
5 força horizontal fictícia adicional(a) L 2,1(Δ/h)>0,0042 1,0
6 amplificação dos momentos B1 – B2
(b) L 0,003 0,8
7 Análise numérica avançada (item 3.2) (a) é empregada uma análise de 1ª ordem. Os efeitos de 2ª ordem são considerados pela força horizontal fictícia adicional. (b) é empregada uma análise de 1ª ordem. Os efeitos de 2ª ordem são considerados os coeficientes de amplificação B1 e B2.
73
Capítulo 4: ANÁLISE COMPARATIVA – EXEMPLOS
Os exemplos serão analisados inicialmente com ênfase na comparação entre os
procedimentos que utilizam o comprimento efetivo de flambagem e aqueles que propõem o
emprego de forças horizontais fictícias, tomando-se como referência a análise numérica
avançada (item 3.2).
Também será investigada a resposta do coeficiente γz como parâmetro global de
classificação das estruturas quanto à deslocabilidade, comparando-se com o coeficiente B2,
para um edifício de múltiplos andares.
4.1 EXEMPLO 1 – PILAR EM BALANÇO
O exemplo 1 consiste em um pilar em balanço sob compressão centrada. Admitindo-
se uma contenção adequada para o eixo de menor inércia, a análise fica restrita ao eixo de
maior inércia.
Inicialmente, avalia-se o pilar com base no comprimento efetivo de flambagem, sem
imperfeição geométrica global. Será adotado K=2,10, de acordo com a NBR 8800:1986,
resultando em λ=126,50. Desta forma, obtém-se um esforço normal resistente igual 326kN,
que será admitido igual à força normal solicitante de cálculo. Portanto, não há folga no
dimensionamento.
74
Figura 4.1 – Pilar em balanço sob compressão centrada.
O método da análise direta propõe a aplicação de uma força horizontal igual a 0,002Pg
para simular a imperfeição geométrica global. Avaliando-se o coeficiente B2 para essa
estrutura, obtém-se B2=2,85. Nesse caso, o parâmetro é uma estimativa razoável para a razão
entre os deslocamentos de segunda e primeira ordem (u2/u1=3,02). Portanto, a estrutura é
classificada como de alta deslocabilidade e deve-se considerar a redução de rigidez, Ered=0,8E
(τb=1,00).
Analisando-se a estrutura com a rigidez reduzida obtém-se B2 igual a 5,38, que é
empregado como fator de amplificação do momento fletor de primeira ordem, obtendo-se o
momento fletor solicitante de cálculo de segunda ordem igual a 1.750 kN.cm.
Para avaliar o resultado da expressão de interação, considera-se K=1,00 no cálculo do
esforço normal resistente. Deste modo, a expressão de interação resulta igual a 0,74. Os
resultados obtidos por meio dos dois procedimentos são apresentados na Tabela 4.1
Tabela 4.1 – Esforços internos no pilar, em kN.cm e kN.
Procedimento NSd NRd MSd MRd Expr.
interação
Comprimento efetivo de flambagem 326,00 326,00 0,00 6007,00 1,00
Análise direta 326,00 681,00 1750,00 6007,00 0,74
Análise numérica avançada 326,00 790,91 1198,28 6007,00 0,59
Nota-se que o esforço normal resistente avaliado por meio do método da análise direta
é maior que o obtido considerando o comprimento efetivo de flambagem (K>1), o que é
fyk = 25,00 kN/cm2
I 203x27,30 kg/m Ações*: Pg = 326 kN * valor de cálculo
5,00 m
Pg
75
compensado pela introdução do momento fletor solicitante na análise. Entretanto, percebe-se
que essa compensação retornou em um dimensionamento mais folgado. Quando a estrutura é
estudada por meio da análise numérica avançada, a folga no dimensionamento é reduzida,
apontando o método da análise direta como mais adequado.
A diferença acentuada verificada entre o método do comprimento efetivo de
flambagem e o método da análise direta acontece por causa de dois motivos: a esbeltez da
barra e a ausência de forças horizontais significativas que solicitem a barra à flexão.
O pilar apresentado possui esbeltez igual a 126,5, que é um valor elevado. Por isso, a
redução da força normal resistente é bastante significativa quando o comprimento efetivo de
flambagem é considerado.
O exemplo apresentado foi estudado alterando-se a seção transversal a fim de obter
uma esbeltez igual a 80. Deste modo, obteve-se uma força normal resistente igual a 830,3 kN,
considerando o coeficiente de flambagem igual a 2,1. Portanto, admitindo-se uma força
vertical solicitante igual a 830,3 kN, o dimensionamento da barra por meio do procedimento
do comprimento efetivo de flambagem não apresenta folga.
Aplicando-se uma força vertical igual a 830,3 kN e avaliando-se o dimensionamento
do pilar empregando o método da análise direta (K=1,0), obtém-se um resultado igual a 0,91
para a expressão de interação. Ou seja, o desvio entre a análise direta e o comprimento efetivo
de flambagem é inferior a 10% e menor do que o desvio apresentado na Tabela 4.1.
Além disso, o resultado da expressão de interação para o exemplo em tela depende
essencialmente da parcela referente à força normal, uma vez que o momento fletor solicitante
só é induzido pela força horizontal fictícia. Em geral, os pilares de edifícios pertencentes a
estruturas de contraventamento são solicitados por momento fletor significativo. Nesse caso, a
diferença na avaliação da parcela referente à força normal tem uma influência menor no
resultado da expressão de interação.
76
4.2 EXEMPLO 2 – PÓRTICO REGULAR COM UM PAVIMENTO
O pórtico de um pavimento, constituído por uma viga contínua apoiada em três pilares
igualmente espaçados, submetido a um carregamento distribuído devido ao peso próprio e
sobrecarga e uma força horizontal de vento (Figura 4.2) foi apresentado e resolvido pela
ASCE (1997). A estabilidade do pórtico depende exclusivamente da ligação viga-pilar e da
rigidez à flexão do pilar central.
Figura 4.2 – Pórtico de um pavimento (ASCE, 1997).
Nesse exemplo, empregaram-se os coeficientes de ponderação das ações extraídos da
norma brasileira de ações e segurança NBR 8681:2003 (Tabela 4.2). Os métodos estudados
nesse exemplo serão avaliados apenas para a combinação de ações com força do vento.
Entretanto, a combinação de ações gravitacionais será empregada para obter a razão entre os
deslocamentos de segunda e primeira ordem e classificar a estrutura quanto à deslocabilidade.
Tabela 4.2 – Coeficientes de ponderação das ações.
γf1γf3 γf2 γf
pp 1,40 1,00 1,40
sobrecarga 1,40 0,50(a) 0,70 com força de vento
vento 1,40 1,00 1,40
pp 1,40 1,00 1,40 apenas forças gravitacionais sobrecarga 1,40 1,00 1,40 (a) γf2 = ψ0 = 0,5. Edificações residenciais de acesso restrito.
Vigas: W33x118 Pilares: W14x43 * valor característico das ações
15,57 kN
pg = 11,67 kN/m pq = 11,67 kN/m
18,30 m 18,30 m
5,50 m
77
A combinação de ações empregada para a estrutura em estudo contém ação de vento e
a razão u2/u1 é igual a 1,39. Quando a combinação de ações em que só atuam forças
gravitacionais é estudada, obtém-se u2/u1=1,53. Portanto, uma vez que em uma das
combinações de ações a razão u2/u1 excedeu o limite de 1,50, as imperfeições geométricas
globais equivalentes a h/500 devem ser consideradas em todas as combinações de ações.
A intensidade das forças horizontais fictícias depende do somatório das forças
verticais de cálculo atuantes no pavimento. A Tabela 4.3 apresenta os valores da força
horizontal para cada análise realizada. Já que a estrutura é simétrica, basta aplicar essa força
em um sentido (o mesmo da ação do vento).
Tabela 4.3 – Intensidade da força horizontal fictícia (kN).
Análise 0 1 2 3 4 5 6 7
ξ 0,000 0,000 0,005 0,003 0,002 0,014 0,003 0,000
ξ(ΣP) 0,00 0,00 4,48 2,69 1,79 2,96 2,69 0,00
O coeficiente de flambagem K foi determinado por meio da expressão (2.4),
admitindo-se G tendendo a infinito (10.000) para a extremidade inferior do pilar central.
Assim, obteve-se K=2,09 e λ=77,62.
O resultado das expressões de interação para o pilar central são apresentados na
Tabela 4.4. Observa-se que a análise numérica avançada não foi capaz de atingir a força de
vento total, sendo interrompida em 87% do valor característico. Ainda, os procedimentos
simplificados também indicaram que a estrutura não suporta as forças apresentadas. Portanto,
para avaliar a resposta dos métodos simplificados, tomou-se como parâmetro de comparação
o valor característico da força de vento (Fu) correspondente ao estado limite último da
estrutura, apresentado na 7ª coluna da Tabela 4.4.
78
Tabela 4.4 – Esforços internos no pilar central e força horizontal máxima (Fu), em kN.m e kN.
Análise NSd NRd MSd MRd Expr.
interação Fu(a)
0 559,23 1246,86 119,45 282,93 0,862 20,77
1 559,23 1246,86 166,60 282,93 1,024 14,90
2 559,23 1687,03 201,59 282,93 1,028 14,81
3 559,23 1687,03 208,40 282,93 1,052 14,32
4 559,23 1246,86 180,20 282,93 1,071 13,61
5 559,23 1687,03 191,95 282,93 0,995 15,57
6 559,23 1687,03 232,04 282,93 1,133 13,83
7 558,60 2017,39 229,78 282,93 –(b) 13,59 (a) Valor característico da ação de vento que corresponde à expressão de interação igual a 1,0. (b) A análise numérica avançada atingiu 87% da força de vento.
As análises 1 e 2 apresentaram resultados próximos. Isso acontece porque o modelo de
calibração do método das forças horizontais fictícias (Figura 2.13) representa bem a situação
da estrutura, cuja estabilidade depende essencialmente do pilar central e para esse modelo os
métodos fornecem resultados próximos.
A comparação entre as análises 1 e 4 ilustra a influência das imperfeições geométricas
iniciais da estrutura na capacidade resistente e nos momentos fletores solicitantes de cálculo.
Os dois métodos apresentaram um desvio relativo de 10% entre si na avaliação do valor
característico da força horizontal máxima e dos momentos fletores de cálculo. Quando as
imperfeições geométricas não foram consideradas (análise 1) obtiveram-se resultados contra a
segurança, mas com desvios inferiores a 5% em relação ao modelo numérico avançado.
4.3 EXEMPLO 3 – EDIFÍCIO INDUSTRIAL SEM PONTE ROLANTE
Nesse caso, só será estudada a combinação em que atuam apenas ações gravitacionais.
A combinação de ações com vento comanda o dimensionamento, mas não será estudada
porque produz tração nos pilares.
79
Figura 4.3 – Edifício industrial sem ponte rolante (SIDERBRÁS, 2001).
A razão entre os deslocamentos de segunda e primeira ordem é igual a 1,01. Portanto,
segundo o critério de classificação do Projeto de Revisão da NBR 8800 (set. 2006), a
estrutura é de pequena deslocabilidade.
Admitindo-se que as vigas restringem totalmente a rotação do topo dos pilares, obtém-
se K=2,10, segundo a NBR 8800:1986, o que resulta em λ=98,60. O valor da força horizontal
fictícia empregado em cada análise e o resultado da expressão de interação são apresentados
nas Tabela 4.5 e Tabela 4.6, respectivamente.
Tabela 4.5 – Intensidade da força horizontal fictícia (kN).
Análise 0 1 2 3 4 5 6 7
ξ 0,000 0,000 0,005 0,003 0,002 0,0042 0,003 0,000
ξ(ΣP) 0,00 0,00 0,28 0,17 0,11 0,23 0,17 0,00
fyk = 25,00 kN/cm2
Pilares e viga: PS 300x33,4 Ações: pg = 1,06 kN/m pq = 0,90 kN/m Pg = 6,40 kN * valor característico das ações
pg ; pq
15,00 m
6,00 m
Pg Pg 7,32 m
80
Tabela 4.6 – Esforços internos no pilar mais solicitado, em kN.cm e kN, e resultado da expressão de interação.
Análise NSd NRd MSd MRd Expr.
interação
0 28,10 541,96 3747,80 11659,09 0,35
1 28,10 541,96 3761,60 11659,09 0,35
2 28,20 841,58 3843,74 11659,09 0,35
3 28,16 841,58 3815,20 11659,09 0,34
4 28,14 541,96 3794,40 11659,09 0,35
5 28,20 841,58 3819,40 11659,09 0,34
6 28,22 841,58 3832,14 11659,09 0,35
7 28,15 965,91 3795,72 11659,09 0,34
Observa-se que, apesar da diferença significativa entre a força normal resistente, o
resultado da expressão de interação é praticamente o mesmo, pois a força normal solicitante é
relativamente baixo. Nesse caso, o dimensionamento em geral é governado pela análise de
estabilidade fora do plano do pórtico, de modo que o procedimento de análise da estabilidade
no plano pouco influencia o dimensionamento.
4.4 EXEMPLO 4 – EDIFÍCIO INDUSTRIAL COM PONTE ROLANTE
Será estudada a combinação de ações contendo ações permanentes, sobrecarga e ação
da ponte rolante, conforme apresentado na Figura 4.4.
Foram considerados coeficientes de ponderação iguais a 1,3 para os carregamentos
permanentes e 1,5 para a sobrecarga na cobertura e ação da ponte rolante. Nesse caso, optou-
se por aplicar a força horizontal fictícia em cada nível de força vertical aplicada, ou seja,
foram aplicadas uma força no nível das cargas Pg2 e outra força no topo do pilar, a qual
representa a contribuição das forças no telhado e do fechamento lateral (Pg1).
81
Figura 4.4 – Edifício industrial com ponte rolante (BELLEI, 1994).
Foi adotado K = 1,75 para os pilares (BELLEI, 1994), que resulta em λ=76,50. A
Tabela 4.7 apresenta os esforços internos resistentes e solicitantes e o resultado das
expressões de interação para o pilar mais solicitado.
Tabela 4.7 – Esforços internos no pilar mais solicitado, em kN.cm e kN, e resultado da expressão de interação.
Análise NSd NRd MSd MRd Expr.
interação
0 303,77 1677,64 15259,22 46802,05 0,42
1 303,88 1677,64 15535,50 46802,05 0,42
2 303,90 2170,81 16248,00 46802,05 0,42
3 303,90 2170,81 16035,00 46802,05 0,41
4 303,86 1677,64 15820,00 46802,05 0,43
5 303,93 2170,81 16045,35 46802,05 0,41
6 303,90 2170,81 15841,00 46802,05 0,41
7 303,35 2445,45 15853,40 46802,05 0,40
Nota-se que a força normal solicitante continua baixa em relação à força resistente.
Por isso, a contribuição do primeiro termo da expressão de interação é pequena e a diferença
observada na avaliação da força normal resistente não é percebida no valor final da expressão
de interação.
fyk = 25,00 kN/cm2
Ações: pg = 1,27 kN/m pq = 0,88 kN/m Pg1 = 15,70 kN Pg2 = 7,65 kN PPR1 = 64,72 kN PPR2 = 161,81 kN FPR = 10,79 kN Mg = 3,82 kN.m MPR1 = 32,36 kN.m MPR2 = 80,90 kN.m * valor característico das ações
pg ; pq
20,00 m
Pg1 Pg1 10,80 m
Pg2, PPR1 Pg2, PPR2
6,40 m
Mg, MPR2 Mg, MPR1
FPR FPR
7,00 m
9,00 m
VS 400x49 VS 400x49
PS 5
00x8
5
PS 5
00x8
5
82
4.5 EXEMPLO 5 – PÓRTICO ASSIMÉTRICO COM DOIS PAVIMENTOS
O quinto exemplo consiste num pórtico assimétrico constituído por dois pavimentos
apoiados em três pilares rotulados na base e submetido apenas a forças verticais distribuídas
nas vigas, apresentado na Figura 4.5.
Figura 4.5 – Pórtico assimétrico com dois pavimentos (ASCE, 1997).
O exemplo será estudado para a combinação de ações em que só atuam forças
gravitacionais, cujos coeficientes de ponderação são os mesmos aplicados no exemplo 2
(Tabela 4.2).
Avaliando-se os deslocamentos do topo da estrutura para a referida combinação de
ações e considerando-se as forças horizontais fictícias atuando da direita para a esquerda (é a
situação mais desfavorável), obtém-se a razão u2/u1 igual a 1,55. Portanto, as imperfeições
geométricas globais e materiais devem ser consideradas.
A Tabela 4.8 apresenta os valores do coeficiente de flambagem para os pilares do
exemplo 5. O parâmetro G referente à base dos pilares do térreo foi considerado tendendo a
infinito (10.000).
6,10 m 10,66 m
6,10 m
4,60 m
P1 W8x31
P2 W14x90
P3 W10x60
P4 W8x31
P05 W14x90
P6 W10x60
V3 W33x118
V1 W30x108
V4 W27x84
V2 W24x62
pg,V1; pq,V1 pg,V3; pq,V3
pg,V2; pq,V2 pg,V4; pq,V4
fyk = 25,00 kN/cm2
pg,V1=pq,V1=63,84 kN/m
pg,V2=pq,V2=36,48 kN/m
pg,V3=pq,V3=45,60 kN/m
pg,V4=pq,V4=18,24 kN/m
* valor característico das ações
83
Tabela 4.8 – Coeficiente de flambagem K e esbeltez (λ) dos pilares.
Pilar P1 P2 P3 P4 P5 P6
K 2,04 2,18 2,14 1,04 1,20 1,14
λ(a) 140,65 85,16 116,84 54,13 35,06 46,81 (a) A esbeltez foi avaliada com base no comprimento efetivo (KL) do pilar.
Devido à falta de simetria da estrutura, os procedimentos de avaliação dos efeitos das
imperfeições geométricas globais devem ser aplicados duas vezes, considerando-se um
desaprumo para a esquerda e outro para a direita. Assim, as forças horizontais fictícias devem
ser aplicadas nos dois sentidos, bem como a análise avançada deve contemplar um modelo
para cada configuração imperfeita. Os valores da força horizontal fictícia em cada pavimento
são apresentados na Tabela 4.9.
Tabela 4.9 – Intensidade da força horizontal fictícia (kN).
Análise 0 1 2 3 4 5 6 7
ξ 0,000 0,000 0,005 0,003 0,002 0,0042 0,003 0,000
1º pav. 0,00 0,00 12,27 7,34 4,89 10,28 7,34 0,00 ξ(ΣP)
2º pav. 0,00 0,00 5,83 3,51 2,38 4,89 3,51 0,00
Deste modo, obtêm-se os resultados apresentados na Tabela 4.10 e Figura 4.6
correspondentes à situação mais desfavorável para cada pilar.
Tabela 4.10 – Resultado da expressão de interação dos pilares.
Pilar Análise 0 Análise 1 Análise 2 Análise 3 Análise 4 Análise 5 Análise 6 Análise 7
P1 1,499 1,489 0,795 0,757 1,544 0,707 0,630 0,566
P2 1,014 1,009 0,941 0,891 1,082 0,827 0,704 0,795
P3 1,015 0,997 0,802 0,757 1,052 0,720 0,771 0,660
P4 0,495 0,494 0,515 0,508 0,503 0,398 0,427 0,422
P5 0,388 0,390 0,390 0,389 0,391 0,350 0,402 0,395
P6 0,735 0,736 0,752 0,746 0,742 0,781 0,742 0,747
Os resultados das análises que foram realizadas de acordo com o método do
comprimento efetivo de flambagem apresentam um desvio elevado para o pilar P1. Para
descobrir uma possível causa desse desvio tão acentuado, basta investigar as simplificações
84
admitidas para a obtenção do coeficiente de flambagem K segundo o diagrama de
alinhamento.
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1 2 3 4 5 6Pilar
Resu
ltado
da
expr
essã
o de
inte
raçã
o Análise 0
Análise 1
Análise 2
Análise 3
Análise 4
Análise 5
Análise 6
Análise 7
Figura 4.6 – Resultado da expressão de interação para os pilares do exemplo 2.
A principal violação das condições impostas à solução do problema está no parâmetro
( )EINL Sd . Esse parâmetro é admitido constante em todos os pilares do pavimento.
Entretanto, para o caso em tela, obtêm-se valores iguais a 0,99 e 1,03 para os pilares P2 e P3 e
1,57 para o pilar P1. No segundo pavimento essa diferença também é verificada, obtendo-se
valores próximos a 0,41, para os pilares P5 e P6, e igual a 0,74 para o pilar P4.
De fato, conforme discutido pela ASCE (1997), quando as hipóteses admitidas para a
utilização do diagrama de alinhamento não são atendidas os erros podem ser elevados.
Entretanto, tem-se observado o uso indiscriminado do diagrama de alinhamento como prática
freqüente em projetos.
Verifica-se que os métodos da análise direta e das forças horizontais fictícias, apesar
de fornecerem resultados mais próximos da análise numérica avançada, ainda apresentam
desvios relativos elevados para os pilares P1, P3 e P4. Isso acontece principalmente porque a
força normal resistente sofre reduções mais significativas nessas barras.
85
Associados à alteração da força normal resistente estão os desvios provocados pela
avaliação dos esforços internos, em destaque os momentos fletores. Isso é evidente para os
pilares do primeiro pavimento (Figura 4.7). No segundo pavimento essa variação foi
tolerável. Portanto, para o pilar P4 o desvio é atribuído à força normal resistente. Note-se que
o método da análise direta fornece resultados bem próximos da análise numérica avançada.
A variação apresentada pelas análises 0, 1 e 2 é bem mais pronunciada em relação
àquela avaliada para a expressão de interação. Isso acontece porque o momento fletor e a
força normal resistentes também mudam entre os métodos, reduzindo o desvio no
dimensionamento do pilar. Quando normalizados em relação ao respectivo esforço de
plastificação da seção, as discrepâncias são evidentes e serão refletidas no dimensionamento
das ligações.
Imperfeição para a direita
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80
MSd/Mpl,Rd
NSd
/Ny,
Rd
Análise 0
Análise 1
Análise 2
Análise 3
Análise 4
Análise 5
Análise 6
Análise 7
Imperfeição para a esquerda
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80
MSd/Mpl,Rd
NSd
/Ny,
Rd
Análise 0
Análise 1
Análise 2
Análise 3
Análise 4
Análise 5
Análise 6
Análise 7
Figura 4.7 – Esforços internos máximos nos pilares.
Percebe-se que a força normal solicitante não sofre alteração significativa devido à
aplicação das forças horizontais fictícias, o que fica ilustrado na Figura 4.7 pela dispersão
praticamente horizontal dos resultados em cada pilar.
Os procedimentos apresentados pela ASCE (1997) para o método refinado das forças
horizontais fictícias foram efetuados para esse exemplo, obtendo-se frações da força vertical
P4;P5
P2
P1
P3
P6
P4; P5
P2
P1
P6
P3
86
de cálculo total (ξ) iguais a 0,45% e 0,19% a serem aplicadas no primeiro pavimento com
sentido para a direita e esquerda, respectivamente. Para o segundo pavimento, obtiveram-se
intensidades nulas em ambos os sentidos de aplicação da força horizontal fictícia (ks=0,00).
O segundo pavimento da estrutura desloca-se pouco em relação ao primeiro. Por isso,
o efeito das imperfeições geométricas iniciais é pequeno e a influência desse efeito é avaliada
pelo método refinado. Esse método é mais trabalhoso, porém mais racional, pois a fração ξ
pode variar entre os pavimentos.
A Tabela 4.11 apresenta os desvios dos métodos simplificados em relação à análise
numérica avançada. Observa-se uma redução significativa do desvio relativo quando o
método refinado é empregado em comparação com os demais métodos simplificados. A
redução dos coeficientes de força horizontal reduziu o desvio para menos da metade daqueles
encontrados pelo método simplificado das forças horizontais fictícias (análise 2).
Tabela 4.11 – Desvios (%) para os métodos simplificados, considerando todos os pilares.
Análise 0 1 2 3 4 5 6 refinado
Desvio mínimo(a) -2,25 -1,84 -1,68 -1,87 -1,56 -11,37 -11,54 -2,80
Desvio médio(a) 37,25 36,46 13,73 9,98 41,52 4,26 3,17 5,81
Desvio máximo(a) 147,64 145,95 30,86 24,29 155,46 25,00 16,83 14,49 (a) O sinal negativo indica que o resultado da expressão de interação é menor que o obtido pela análise avançada, portanto contra a segurança.
Foram analisados os momentos fletores e forças cortantes atuantes nas ligações viga-
pilar para discutir a influência das forças horizontais fictícias na avaliação desses esforços
internos solicitantes. A análise 1 foi adotada como referência porque não utiliza forças
horizontais. Os resultados obtidos são apresentados graficamente na Figura 4.8.
87
0,00
200,00
400,00
600,00
800,00
1000,00
1200,00
1400,00
1600,00
V1-e V1-d V2-e V2-d V3-e V3-d V4-e V4-d
Mom
ento
flet
or (k
N.m
)Análise 1
Análise 2
Análise 3
Análise 4
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
800,00
V1-e V1-d V2-e V2-d V3-e V3-d V4-e V4-d
Forç
a co
rtant
e (k
N)
Análise 1
Análise 2
Análise 3
Análise 4
Figura 4.8 – Esforços internos nas extremidades das vigas.
Note-se que não há variação significativa entre os momentos fletores e forças
cortantes. Os desvios encontrados em relação à análise 1 são pequenos (Tabela 4.12), à
exceção do momento fletor na extremidade esquerda da viga V1, que é muito baixo, portanto
a variação não é muito importante.
Tabela 4.12 – Desvio (%) em relação à análise 1 na avaliação dos momentos fletores e forças cortantes.
Análise 2 Análise 3 Análise 4
Viga Extremidade MSd VSd MSd VSd MSd VSd
Esquerda 49,64 3,49 34,13 2,51 15,89 1,04 V1
Direita 5,47 1,78 4,07 1,32 1,07 0,36
Esquerda 7,87 0,47 5,27 0,32 2,78 0,14 V2
Direita 0,84 0,29 0,51 0,19 0,39 0,11
Esquerda 4,91 1,41 3,64 1,07 1,16 0,28 V3
Direita 18,37 1,89 12,85 1,35 6,46 0,55
Esquerda 1,08 0,37 0,71 0,24 0,31 0,12 V4
Direita 3,66 0,50 2,43 0,32 1,15 0,18
Todos os desvios são a favor da segurança.
Os esforços internos analisados nas vigas têm como principal causa as forças
distribuídas de peso próprio e sobrecarga. As forças horizontais fictícias exercem pouca
influência nesses esforços. Apenas quando a intensidade dos momentos fletores é baixa é que
se percebe alguma perturbação significativa devido às forças horizontais.
88
4.6 EXEMPLO 6 – PÓRTICO IRREGULAR E ASSIMÉTRICO
Admita-se o pórtico irregular e assimétrico apresentado na Figura 4.9 submetido a
forças gravitacionais e à ação do vento. Nesse exemplo adotou-se γf2 igual a 0,7 para a
sobrecarga de utilização.
Devido à assimetria geométrica, a força de vento foi considerada nos dois sentidos. Os
resultados são apresentados para a situação mais desfavorável em cada pilar.
Figura 4.9 – Pórtico irregular e assimétrico com cinco pavimentos.
A Tabela 4.13 apresenta os valores de alguns parâmetros necessários para
classificação da estrutura quanto à deslocabilidade.
4,00 m
fyk = 25,00 kN/cm2
cobertura:
pg = 18,70 kN/m
pq = 6,00 kN/m
tipo:
pg = 24,70 kN/m
pq = 12,00 kN/m
* valor característico das ações
4,00 m
4,00 m
4,00 m
4,00 m
6,00 m 9,00 m
V4 W16x31
V2 W16x31
V7 W16x31
V6 W16x31
V3 W21x55
V1 W21x55
V5 W21x55
P4 W14x61
P7 W14x38
P2 W14x61
P9 W14x22
P11 W14x22
P6 W14x38
P5 W14x43
P8 W14x38
P3 W14x43
P10 W14x22
P12 W14x22
P1 W14x43
pg; pq
pg; pq
pg; pq
pg; pq
pg; pq
pg; pq
pg; pq
8,77 kN
17,55 kN
16,42 kN
14,70 kN
12,24 kN
89
Tabela 4.13 – Parâmetros necessários para classificação quanto à deslocabilidade.
Comb. pav. B2 u1 (cm) u2 (cm) u2/u1 M2/M1
(a)
1 1,057 0,072 0,076 1,063
2 0,959(b) 0,042 0,046 1,098
3 1,000 0,010 0,016 1,550 1,005
4 1,047 0,380 0,400 1,053
1,4g+1,4q+FHF (ξ=0,002)
5 1,084 0,500 0,530 1,060 1,000
1 1,074 0,940 1,000 1,064 1,044
2 1,087 2,200 2,330 1,059
3 1,057 3,230 3,420 1,059
4 1,063 4,130 4,350 1,053
1,4g+1,4v+1,5(0,7q)+FHF (ξ=0,002)
5 1,042 4,690 4,930 1,051 (a) Máxima razão entre o momento fletor de segunda ordem pelo de primeira ordem para os pilares do pavimento. (b) B2<1,0 significa que os deslocamentos do pavimento apresentaram sentido oposto ao da força horizontal.
Observa-se que a máxima razão u2/u1 resultou maior que 1,50 para a combinação de
ações gravitacionais. Portanto, de acordo com o Projeto de Revisão da NBR 8800 (set. 2006),
a estrutura é de grande deslocabilidade. Entretanto, quando os esforços internos são avaliados
por meio de uma análise de segunda ordem, obtêm-se resultados praticamente iguais àqueles
obtidos por meio de uma análise de primeira ordem (ver M2/M1), ou seja, os efeitos de
segunda ordem não são relevantes na análise estrutural.
O contraste entre a classificação quanto à delocabilidade e a influência dos efeitos de
segunda ordem observado para a combinação de ações gravitacionais acontece porque os
valores absolutos obtidos para os deslocamentos horizontais u2 e u1 são baixos, de modo que a
pequena diferença entre esses deslocamentos resulta em um valor elevado para a razão u2/u1.
Quando a combinação em que atua força devido ao vento é avaliada, o contraste já
não é observado, pois as forças horizontais são suficientes para induzir deslocamentos
significativos na estrutura. Essa inconsistência não foi verificada para o parâmetro B2, o qual
mostrou-se coerente em ambos os casos de combinação de ações.
90
A Tabela 4.14 apresenta os valores do coeficiente de flambagem para os pilares do
exemplo 6. O parâmetro G referente à base dos pilares do térreo foi considerado igual a 1,00,
seguindo a recomendação da NBR 8800:1986.
Tabela 4.14 – Coeficiente de flambagem K e esbeltez (λ) dos pilares.
Pilar P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12
K 1,62 1,64 1,64 1,81 1,94 1,98 1,50 1,40 1,84 1,54 1,39 1,39
λ(a) 87,80 43,17 44,29 47,71 52,52 53,10 40,42 37,66 52,20 43,91 39,63 39,63 (a) A esbeltez foi avaliada com base no comprimento efetivo (KL) do pilar.
Os valores da força horizontal fictícia aplicada em cada pavimento são apresentados
na Tabela 4.15.
Tabela 4.15 – Intensidade da força horizontal fictícia (kN).
Análise 0 1 2 3 4 5 6 7
ξ 0,000 0,000 0,005 0,003 0,002 var. (a) var. (b) 0,003 0,000
1º pav. 0,00 0,00 2,09 1,25 0,83 2,39 1,97 1,25 0,00
2º pav. 0,00 0,00 3,48 2,09 1,39 4,85 4,38 2,09 0,00
3º pav. 0,00 0,00 2,83 1,70 1,13 2,92 2,97 1,70 0,00
4º pav. 0,00 0,00 1,39 0,83 0,56 2,51 1,24 0,83 0,00
ξ(ΣP)
5º pav. 0,00 0,00 1,35 0,81 0,54 1,14 1,14 0,81 0,00 (a) Força de vento atuando da esquerda para a direita. (b) Força de vento atuando da direita para a esquerda.
De acordo com os resultados ilustrados na Figura 4.10 a resposta dos métodos
aproximados foi mais próxima daquela obtida pela análise numérica avançada, quando
comparada aos exemplos 2 e 5. Os desvios mais acentuados foram detectados para os pilares
P1 e P10. No primeiro caso, provocado principalmente pela diferença na avaliação da força
normal resistente e no segundo caso, pela diferença no momento fletor solicitante.
91
0,000,100,200,300,400,50
0,600,700,800,901,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Análise 0Análise 1Análise 2Análise 3Análise 4Análise 5Análise 6Análise 7
Figura 4.10 – Expressão de interação para os pilares do exemplo 6.
Comparando-se os resultados das análises 0 e 1 percebe-se que os efeitos de segunda
ordem exercem pouca influência nessa estrutura (B2<1,10) devido à baixa relação
altura/largura.
A análise numérica avançada também foi aplicada para estudar a influência dos efeitos
desestabilizantes no comportamento da estrutura. Foram estudadas três situações para esse
mesmo exemplo, considerando apenas as imperfeições locais, apenas as globais e com a
estrutura perfeita. Em cada caso, manteve-se a análise geométrica e fisicamente não-linear.
Observou-se que as imperfeições geométricas, locais e globais, exercem pouca
influência nos resultados da análise. Os momentos fletores nos pilares obtidos quando
consideradas apenas as imperfeições locais ou apenas as globais apresentaram desvios
inferiores a 5% em relação aos momentos obtidos com a estrutura perfeita.
Em outra simulação, foram compararados os momentos fletores nos pilares obtidos
pela análise numérica avançada considerando-se imperfeições geométricas locais e globais
com a análise admitindo-se a estrutura perfeita. A alteração nos momentos fletores dos pilares
manteve-se inferior a 5%.
A proximidade dos métodos se explica pela baixa relação altura/largura do pórtico e
baixa esbeltez dos pilares, que reduzem a influência das imperfeições globais e locais na
Pilar
Res
ulta
do d
a ex
pres
são
de in
tera
ção
92
avaliação dos esforços solicitantes e resistentes, respectivamente, além dos efeitos de segunda
ordem. Nesse exemplo, a análise estrutural poderia ser feita considerando-se K=1,00 e
desprezando-se a redução da rigidez, as forças horizontais fictícias e os efeitos de segunda
ordem.
De forma geral os métodos simplificados apresentaram valores a favor da segurança.
A Tabela 4.16 apresenta um resumo dos desvios médio, mínimo e máximo em relação à
análise numérica avançada.
Tabela 4.16 – Desvios (%) para os métodos simplificados considerando todos os pilares.
Análise 0 1 2 3 4 5 6
Desvio mínimo(a) -6,11 -3,76 -2,67 -11,60 -2,56 -3,85 -8,48
Desvio médio(a) 2,60 4,47 3,86 2,09 5,51 2,65 1,77
Desvio máximo(a) 19,66 21,83 11,83 11,18 23,76 10,77 7,56 (a) O sinal negativo indica que o resultado da expressão de interação é menor que o obtido pela análise avançada, portanto contra a segurança.
Observa-se uma redução acentuada dos desvios máximos e médios obtidos pelos
métodos que empregam forças horizontais fictícias (análises 2 3, por exemplo) em relação
àqueles que empregam o comprimento efetivo de flambagem (análises 1 e 4).
Foram analisados os momentos fletores e forças cortantes nas ligações viga-pilar e nas
emendas dos pilares. Os valores obtidos pela análise sem e com forças horizontais fictícias
(análises 1, 2 e 3) foram comparados e apresentaram desvios máximos inferiores a 5%.
Apenas na base dos pilares do térreo foram encontrados desvios um pouco maiores, entre 5%
e 10%. Esses resultados sugerem que a introdução das forças horizontais fictícias não
modifica o dimensionamento das ligações de forma significativa.
93
4.7 EXEMPLO 7 – EDIFÍCIO COM 15 PAVIMENTOS
Esse exemplo consiste em um edifício com 20 pavimentos cuja planta é apresentada
na Figura 4.11. O sistema resistente às ações horizontais na direção “y” é constituído pelos
dois pórticos extremos, cujas ligações viga-pilar são rígidas. As vigas dos pórticos internos
possuem extremidades rotuladas e a inércia à flexão dos pilares contidos nesses pórticos foi
desprezada.
Serão discutidas as considerações necessárias para avaliar os efeitos de segunda
ordem nos pórticos que constituem o sistema de contraventamento na direção y empregando-
se uma análise plana. Além disso, por se tratar de uma estrutura regular e que possui um
número razoável de pavimentos, será apresentada uma comparação entre os parâmetros γz e
B2, empregados na classificação quanto à deslocabilidade.
Figura 4.11 – Planta do pavimento (Adaptação de Englekirk, 1994).
Os valores característicos da força de vento na direção “y” que atua em cada pórtico e
os perfis empregados na análise são apresentados na Figura 4.12.
x
y
10,67 m
10,67 m
6,10 m
7 x 9,14 m = 68,00 m fyk = 34,5 kN/cm2
Altura do pavimento: 4,57 m
Ações no pavimento* Peso próprio = 4,30 kN/m2 Sobrecarga = 4,30 kN/m2
* valores característicos
94
Figura 4.12 – Ação do vento e perfis dos pórticos de extremidade (ENGLEKIRK, 1994).
Para obter os deslocamentos de segunda ordem do sistema de contraventamento é
preciso considerar todo o efeito de segunda ordem das ações verticais que atuam no
pavimento. Os pilares contraventados resistem apenas às ações verticais e a parcela de ação
horizontal proveniente do efeito P-Δ é resistida pelo sistema de contraventamento.
Uma alternativa para capturar esses efeitos de segunda ordem na análise plana, é criar
uma prumada de pilares contraventados adjacentes ao sistema de contraventamento, com
extremidades rotuladas e conectados por barras horizontais também rotuladas nas duas
extremidades (Figura 4.13).
Essa prumada de pilares contraventados recebe a força vertical do pavimento (Pi) que
é resistida pelos pilares que não pertencem ao sistema de contraventamento. Assim, o efeito
de segunda ordem (P-Δ) é induzido na estrutura de contraventamento sem alterar a rigidez da
mesma, uma vez que esses pilares adjacentes são rotulados.
125,66 kN/pav.
135,67 kN/pav.
153,46 kN/pav.
171,26 kN/pav.
95
Figura 4.13 – Modelo de pórtico plano para análise do sistema de contraventamento sugerido por Corrêa,
2006 (informação pessoal)6.
Avaliando-se a disposição dos pilares do exemplo 7 (Figura 4.11), observa-se que
metade dos pilares contraventados contribui para cada sistema de contraventamento. Portanto,
a força Pi aplicada em cada nível é dada pela metade da soma das forças verticais resistidas
pelos pilares contraventados. Além disso, são aplicadas as forças horizontais de vento (Fi) e as
forças verticais provenientes das reações das lajes nas vigas (qi) do sistema de
contraventamento.
Para representar bem o conjunto de pilares contraventados, ainda é preciso definir
uma área equivalente para os pilares da prumada adjacente, neste caso, dada pela metade da
soma das áreas dos pilares não-contidos no sistema de contraventamento. Esse procedimento
é necessário, pois em análises com não-linearidade geométrica, a matriz de rigidez depende da
6 Informação fornecida por Márcio Roberto Silva Corrêa em São Carlos, em 2006.
q3
q2
q1
Pilares contraventados
F1
F2
F3
P3
P2
P1
96
força normal em cada elemento. Portanto, a rigidez axial deve ser compatível com a força
normal aplicada.
Foram estudadas três situações de análise estrutural: (i) análise plana do sistema de
contraventamento sem considerar o efeito das forças verticais resistida pelos pilares que não
pertencem ao sistema de contraventamento; (ii) análise plana do sistema de contraventamento
com os pilares adjacentes contraventados sob a ação do quinhão de força vertical do
pavimento (Figura 4.13); e (iii) análise tridimensional. A comparação entre a configuração
deformada obtida em cada situação é apresentada na Figura 4.14.
Combinação 1
0
2
4
6
8
10
12
14
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
deslocamento em relação à base (cm)
Pavi
men
to
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Combinação 2
0
2
4
6
8
10
12
14
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00
deslocamento em relação à base (cm)
Pavi
men
to
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Combinação 1: 1,4g + 1,4q + FHF (ξ=0,002) Combinação 2: 1,4g + 1,4v + 1,5(0,5q) + FHF (ξ=0,002) Modelo 1: Pórtico plano sem pilares adjacentes sob ação vertical Modelo 2: Pórtico plano com pilares adjacentes sob ação vertical Modelo 3: Pórtico tridimensional
Figura 4.14 – Configuração deformada do edifício.
Tomando-se o modelo 3 como referência, nota-se que o modelo sem pilares
adjacentes de fato é inadequado, pois não é capaz de capturar o efeito de segunda ordem
induzido pela parcela de força vertical resistida pelos pilares contraventados. O modelo com
pilares adjacentes representou bem a estrutura para a combinação de ações gravitacional e
97
apresentou desvios inferiores a 1% para a combinação com ação do vento. Para o modelo 1,
foram encontrados desvios da ordem de 12% em relação ao modelo 3.
Os parâmetros empregados para a classificação da estrutura avaliados para o Modelo 2
são apresentados na Tabela 4.17. Percebe-se que o parâmetro γz se aproxima bastante do valor
médio do parâmetro B2. Para a combinação com vento, os valores desses parâmetros ficam
ainda mais próximos porque a variação de B2 é menor, confirmando o resultado apresentado
na equação (2.24) que os parâmetros coincidem quando a variação de B2 tende a zero.
Tabela 4.17 – Parâmetros para classificação da estrutura (Modelo 2).
Comb. 1: 1,4g+1,4q+FHF Comb. 2: 1,4g+1,4v+1,5(0,5q)+FHF
Pav. u2/u1 B2 γz u2/u1 B2 γz
1 1,218 1,210 1,331 1,151
2 1,264 1,390 1,396 1,273
3 1,285 1,415 1,426 1,289
4 1,293 1,407 1,440 1,282
5 1,304 1,397 1,445 1,277
6 1,301 1,375 1,445 1,261
7 1,299 1,363 1,443 1,253
8 1,299 1,349 1,439 1,244
9 1,293 1,335 1,434 1,234
10 1,287 1,310 1,429 1,218
11 1,286 1,299 1,424 1,211
12 1,284 1,257 1,418 1,183
13 1,275 1,233 1,412 1,166
14 1,278 1,199 1,407 1,142
15 1,275 1,146
1,27
1,403 1,121
1,19
Média 1,312 1,27 1,220 1,19
Desvio padrão 0,085 0,056
Máximo 1,304 1,415 1,445 1,289
O modelo 2 será empregado para avaliar a resposta dos métodos simplificados e da
análise numérica avançada, pois representa bem o modelo tridimensional e mantém o escopo
da análise plana deste trabalho. Os resultados do dimensionamento dos pilares mais
solicitados são apresentados graficamente na Figura 4.15.
98
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1 2 3 4 5 6 7
Pilar
Resu
ltado
da
expr
essã
o de
inte
raçã
o Análise 0
Análise 1
Análise 2
Análise 3
Análise 4
Análise 5
Análise 6
Análise 7
Figura 4.15 – Expressão de interação para os pilares do exemplo 7.
Nesse caso, observou-se que não existe variação da força normal resistente entre as
análises simplificadas. Isso acontece porque a esbeltez dos pilares é muito baixa, mesmo
quando o comprimento efetivo de flambagem (KL) é considerado. Portanto, a diferença entre
os métodos simplificados é proveniente da avaliação da força normal e momento fletor
solicitantes de cálculo.
Os métodos simplificados indicam que os pilares 1 e 5 devem ser substituídos, pois a
expressão de interação resultou maior que 1,00. Entretanto, quando a análise numérica
avançada é empregada (análise 7), verifica-se que a expressão de interação é satisfeita sem
folga (igual a 1,00). Isso acontece porque a não-linearidade física limita a capacidade
resistente da seção, de modo que o esforço adicional nas barras mais solicitadas seja
redistribuído entre as barras menos solicitadas da estrutura.
Os desvios em relação à análise numérica avançada são apresentados na Tabela 4.18.
Percebe-se que os métodos que empregam forças horizontais fictícias apresentaram desvios
mais conservadores em relação àqueles que empregam o comprimento efetivo de flambagem.
Isso acontece porque o edifício em tela é mais esbelto em relação aos exemplos 5 e 6. Assim,
a influência das forças horizontais fictícias no momento de tombamento é maior, refletindo no
aumento significativo dos momentos fletores e força normal solicitantes de cálculo.
99
Tabela 4.18 – Desvios (%) para os métodos simplificados.
Análise 0 1 2 3 4 5 6
Desvio mínimo(a) -8,59 2,04 14,74 13,99 6,61 18,03 16,32
Desvio médio(a) -8,59 2,04 14,74 13,99 6,61 18,03 16,32
Desvio máximo(a) 0,67 11,54 27,28 27,28 17,84 33,41 25,64 (a) O sinal negativo indica que o resultado da expressão de interação é menor que o obtido pela análise avançada, portanto contra a segurança.
Avaliando-se a Figura 4.16, percebe-se uma dispersão significativa entre a força
normal e o momento fletor solicitantes obtidos pelas 7 análises, quando normalizados em
relação ao respectivo esforço de plastificação. Essa dispersão se reflete no resultado da
expressão de interação, uma vez que os esforços resistentes são iguais para todas as análises.
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
MSd/Mpl,Rd
NSd
/Ny,
Rd
Análise 0
Análise 1
Análise 2
Análise 3
Análise 4
Análise 5
Análise 6
Análise 7
Expr. Interação
Figura 4.16 – Esforços internos máximos nos pilares.
Nota-se ainda, uma suave influência das forças horizontais fictícias na força normal
solicitante de cálculo. Isso é caracterizado pela falta de alinhamento horizontal entre os
resultados das análises. O desvio apresentado em relação à análise numérica avançada na
avaliação do esforço normal solicitante foi inferior a 8,0%.
Esse efeito não foi verificado na análise do exemplo 5 (Figura 4.7) porque a estrutura
é pouco esbelta, ou seja, a relação altura/largura do edifício estudado no exemplo 5 é baixa.
100
No exemplo 7, essa razão é maior, portanto a influência das forças fictícias na força normal é
mais pronunciada.
101
Capítulo 5: CONCLUSÃO
Apresentou-se uma comparação entre os parâmetros γz e B2, à luz da classificação das
estruturas quanto à deslocabilidade. Foi possível demonstrar que o parâmetro γz coincide com
o valor médio do parâmetro B2. Portanto, em estruturas com geometria e distribuição de
carregamentos regulares, o parâmetro γz pode ser empregado satisfatoriamente para
classificação.
Constatou-se que a classificação quanto à deslocabilidade por meio da razão entre os
deslocamentos de segunda (u2) e primeira ordem (u1) pode induzir a resultados equivocados
para combinações gravitacionais, quando esses deslocamentos podem apresentar valores
absolutos baixos. Assim, valores elevados da razão u2/u1 não implicam necessariamente em
influência significativa dos efeitos de segunda ordem.
Os procedimentos que utilizam o conceito do comprimento efetivo de flambagem
apresentaram desvios elevados, na maioria dos casos a favor da segurança, quando
comparados com a análise numérica avançada. Além disso, o cálculo do coeficiente de
flambagem por meio do diagrama de alinhamento foi considerado pouco prático, embora
amplamente empregado em projeto.
Para os exemplos de edifícios pouco esbeltos, os procedimentos baseados no conceito
das forças horizontais fictícias apresentaram resultados menos conservadores em relação aos
obtidos pelos procedimentos baseados no comprimento efetivo de flambagem. A avaliação do
102
coeficiente de força horizontal (ξ) foi considerada simples frente ao cálculo do coeficiente de
flambagem (K).
A avaliação de um edifício mais esbelto mostrou que a introdução das forças
horizontais fictícias pode induzir a resultados conservadores, devido principalmente ao
aumento significativo dos momentos fletores provocado pelo efeito de tombamento. Foram
encontrados desvios mais acentuados, porém não muito distantes dos desvios apresentados
pelo procedimento do comprimento efetivo de flambagem.
A verificação dos pilares por meio do método da análise direta, proposto pelo Projeto
de Revisão da NBR 8800 (set. 2006), apresentou resultados ainda melhores. Além disso, a
separação da estratégia de representação das imperfeições geométricas e regime inelástico por
meio de forças horizontais fictícias e redução de rigidez, respectivamente, mostrou-se bastante
interessante, pois facilita a compreensão e a avaliação da influência desses efeitos pelo
projetista.
O método refinado das forças horizontais fictícias também apresentou resultados bons,
mas os procedimentos necessários para contabilizar a intensidade das forças horizontais foram
considerados pouco práticos.
Em estruturas de pequena deslocabilidade, a influência dos efeitos de segunda ordem,
das imperfeições geométricas globais e do regime inelástico não foi relevante, ou seja, não
houve variação significativa dos esforços internos solicitantes. Portanto, esses efeitos
poderiam ser desprezados na análise, mesmo adotando K=1.
De forma geral, a diferença entre os resultados obtidos por meio do comprimento
efetivo de flambagem e daqueles obtidos pelos métodos que empregam forças horizontais
fictícias foi mais acentuada em pilares com esbeltez elevada e submetidos a força normal
significativa. Nesse caso, a diferença na avaliação da força normal resistente é significativa e
103
a parcela associada à força normal exerce mais influência no resultado da expressão de
interação.
Nos casos de edifícios industriais, onde a força normal solicitante nos pilares é
relativamente baixa, os resultados da expressão de interação foram bastante próximos, apesar
da diferença observada na avaliação da força normal resistente, isto porque a parcela da força
normal é muito baixa em relação à parcela do momento fletor.
O procedimento simplificado de amplificação dos esforços internos de primeira ordem
por meio dos coeficientes B1 e B2 para obtenção dos esforços de segunda ordem apresentado
pelo Projeto de Revisão da NBR 8800 (set. 2006) apresentou desvios toleráveis em relação
aos esforços avaliados por meio de uma análise de segunda ordem. Entretanto, a divisão da
análise estrutural em duas situações, contida e não-contida horizontalmente, foi considerada
pouco prática, uma vez que duplica o número de análises necessárias e que em geral os
pacotes comerciais permitem avaliar os efeitos de segunda ordem diretamente.
104
REFERÊNCIAS
AMERICAN IRON AND STEEL INSTITUTE – AISI. Cold-formed Steel Design Manual. Draft. Jun, 2006.
AL-MASHARY, F.; CHEN, W.F. Elastic Second Order Analysis for Frame Design. Journal of Constructional Steel Research, v. 15, no. 4, p. 302-322, 1990.
ALVARENGA, A.R.; SILVEIRA, R.A.M. A Configuração Geométrica Inicial na Análise Avançada de Portais Planos de Aço. Revista Escola de Minas. v. 59, no. 2, p. 185-197, 2006.
ANTUNES, M.C. Comprimento Efetivo de Colunas de Aço em Pórticos Planos Deslocáveis. 2001. 102 f. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. NBR 8800: Projeto e Execução de Estruturas de Aço de Edifícios: método dos estados limites. Rio de Janeiro, 1986.
______. NBR 6118: Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2003a.
______. NBR 8681: Ações e Segurança nas Estruturas. Rio de Janeiro, 2003b.
______. Projeto de Revisão da NBR 8800: Projeto e Execução de Estruturas de Aço e de Estruturas Mistas Aço-concreto de Edifícios – Procedimento, set. 2006. Disponível em: <http://www.dees.ufmg.br/edu/app> Acesso em 03 out. 2006.
AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION – AISC. Load and Resistence Factor Design Specification for Structural Steel Buildings. Chicago, 1999.
______. Specification for Structural Steel Buildings. Chicago, 2005a.
______. Commentary on the Specification for Structural Steel Buildings. Chicago, 2005b.
105
AMERICAN SOCIETY OF CIVIL ENGINEERS – ASCE. Effective Length and Notional Load Approaches for Assessing Frame Stability: implications for American steel design. By the Task Committee on Effective Length. New York, 1997.
BALLIO, G.; MAZZOLANI, F.M.; Theory and Design of Steel Structures. London: Chapman and Hall, 1983.
BAYO, E.; LOUREIRO, A.; An efficient and Direct Method for Buckling Analysis of Steel Frame Structures. Journal of Constructional Steel Research, v. 57, p. 1321-1336, 2001.
BELLEI, I.H. Edifícios Industriais em Aço. PINI. 1994.
BILD, S.; TRAHAIR, N.S. In-plane Strengths of Steel Columns and Beam–Columns. Journal of Constructional Steel Research, v. 13, p. 1-22, 1989.
BRITISH STANDARD. BS 5950-1:2000: Structural Use of Steelwork in Building. 2000.
CALDAS, R.B. Análise Numérica de Pilares Mistos Aço-Concreto. 2004. 200f. Dissertação (Mestrado) – Escola de Minas, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto.
CANADIAN STANDARDS ASSOCIATION – CSA. CSA-S16.1-94: Limit States Design of Steel Structures. Ontario, 1994.
CHAN, S.L.; ZHOU, Z.H. Second-Order Elastic Analysis of Frames Using Single Imperfect Element per Member. Journal of Structural Engineering, ASCE, v. 121. no. 6, p. 939-945, 1995.
COMPUTER AND STRUCTURES INC. SAP 2000 Static and Dynamic Finite Element Analysis of Structures. University Ave, Berkley, USA, 2004.
DUAN, L.; CHEN, W.F. Effective Length Factors of Compression Members. In: Structural Engineering Handbook. CRC Press LLC, 1999.
ENGLEKIRK, R. Steel Structures: Controlling Behavior through Design. John Wiley & Sons, 1994.
ESSA, H.S.; KENNEDY, D.J.L. Proposed Provisions for the Design of Steel Beam-Columns in S16-2001. Canadian Journal of Civil Engineering, no. 27, p. 610-619, 2000.
EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. prEN 1993-3: Eurocode 3: Design of Steel Structures. Part 1.1: General Rules and Rules for Buildings. Final Draft. Brussels, 2003.
EUROPEAN STEEL DESIGN EDUCATION PROGRAMME – EDESP. Stability of Slender Steel Columns, 2006. Disponível em: <www.kuleuven.be/bwk/materials/Teaching/>. Acesso em 23 Jan. 2006.
106
GALAMBOS, T.V. Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures. John Wiley & Sons, 1998.
GALAMBOS, T.V.; KETTER, R.L. Columns under Combined Bending and Thrust. Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, v. 85, no. EM2, p. 1-30, 1959.
GIRGIN, K.; ORAKDOGEN, E.; OZMEN, G. Buckling Lengths of Irregular Frame Columns. Journal of Constructional Steel Research, v. 62, no. 6, p. 605-613, 2006.
GOMES, C.H. Verificação de Pilares de Aço à Flexão Composta Considerando Comprimentos de Flambagem, Forças Horizontais Fictícias e Análise Avançada. 2005. 150 f. Dissertação (Mestrado). Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, Universidade de São Paulo, São Paulo.
HAJJAR, J.H.; WHITE, D.W. Stability of Steel Frames: The Case for Simple Elastic and Rigorous Inelastic Analysis/Design Procedures. Engineering Structures, v. 22, no. 200, p. 155-167, 2000.
HIBBITT, KARLSSON AND SORENSON INC. ABAQUS Analysis User’s Manual, 2005.
JIANG, J-M; CHEN, H; LIEW, J.Y.R. Sread-of-Plasticity Analysis of Three-Dimensional Steel Frames. Journal of Constructional Steel Research, v. 59, p. 193-212, 2002.
KANCHANALAI, T.; LE-WU, L. Analysis and Design of Framed Columns Under Minor Axis Bending. Engineering Journal, AISC, v. 16, no. 2, p. 29-41, 1979.
KAVANAGH, T.C. Effective Length of Framed Columns, Transactions, ASCE, v. 127, p. 81-101, 1962.
KENNEDY, D.J.L.; PICARD, A.; BEAULIEU, D. Limit States Design of Beam-Columns: the Canadian Approach and Some Comparisons. Journal of Constructional Steel Research, v. 25, no. 1-2, p. 141-164, 1993.
KIM, S.E.; LEE, D.H. Second-order Distributed Plasticity Analysis of Space Steel Frames. Engineering Strucutres. v. 24, no 6, p. 735-744, 2002.
LANDESMANN, A.; BATISTA, E.M. Advanced Analysis of Steel Framed Buildings to Brazilian Standard and Eurocode-3. Journal of Constructional Steel Research, Essex, Inglaterra, v. 61, nO. 8, p. 1051-1074, 2005.
LEE, J.H. Local Buckling Behaviour and Design of Cold-Formed Steel Compression Members at Elevated Temperatures. 2004. 248 f. Tese (Doutorado) – School of Civil Engineering, Queensland University of Technology, Brisbane.
LIEW, J.Y.R; CHEN, W.F. Multistory Frame Structures. Structural Engineering Handbook. CRC Press LLC, 1999.
107
LIEW, J.Y.R.; WHITE, D.W.; CHEN, W.F. Beam-Column Design in Steel Frameworks – Insights on Current Methods and Trends. Journal of Constructional Steel Research, v. 18, No. 4, p. 269-308, 1991.
LIEW, J.Y.R.; WHITE, D.W.; CHEN, W.F. Notional-Load Plastic-hinge Method for Frame Design. Journal of Structural Engineering, ASCE, v. 120, no. 5, p. 1434-1454, 1994.
MACHADO, F.C.S. Análise Inelástica de Segunda Ordem de Sistemas Estruturais Metálicos. 2005. 161f. Dissertação (Mestrado) – Escola de Minas, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto.
MALECK-S., A.E.; WHITE, D.W. Alternative Approaches for Elastic Analysis and Design of Steel Frames. I: Overview. Journal of Structural Engineering, ASCE, v. 130, no. 8, p. 1186-1196, 2004a.
MALECK-S., A.E.; WHITE, D.W. Alternative Approaches for Elastic Analysis and Design of Steel Frames. II: Verification Studies. Journal of Structural Engineering, ASCE, v. 130, no. 8, p. 1197-1205, 2004b.
MALECK-S., A.E.; WHITE, D.W.; LEON, R.T. Direct Analysis for Design of Partially Restrained Steel Framing Systems. Journal of Structural Engineering, ASCE, v. 131, no. 9, p. 1376-1389, 2005.
MUNIZ, C.F.D.G. Modelos Numéricos para Análise de Elementos Estruturais Mistos. 2005. 151f. Dissertação (Mestrado) – Escola de Minas, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto.
PINTO, R.S. Não-linearidade Física e Geométrica no Projeto de Edifícios Usuais de Concreto Armado. 1997. 108f. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos.
REIS, A.; CAMOTIM, D. Estabilidade Estrutural. Mcgraw-Hill, 2000.
SALMON, C.G.; JOHNSON, J.E. Steel Structures: Design and Behavior. HarperCollins, 1996.
SCHMITH, J.A. Design of Steel Columns in Unbraced Frames Using Notional Loads. Practice Periodical on Structural Design and Construction, v. 4, no. 1, p. 24-28, 1999.
SIDERBRÁS. Manual da Construção em Aço – Galpões para Usos Gerais. 2001.
TONG, G.S.; WANG, J.P. Column Effective Lengths Considering Inter-Story and Inter-Column. Journal of Constructional Steel Research, v. 62, no. 5, p. 413-423, 2006.
WHITE, D.W.; HAJJAR, J.F. Design of Steel Frames without Consideration of Effective Length. Engineering Structures, v. 19, no. 10, p. 797-810, 1997.
