1

ELEKTROMAGNETIZMUS

Doc. RNDr. Andrej TIRPK, CSc.

Katedra rdiofyziky Fakulta matematiky, fyziky a informatiky

Univerzita Komenskho Bratislava

2. opraven verzia

Bratislava 2004

2

Kniha bola odmenen prmiou Literrneho fondu SR za rok 1999

This textbook is a comprehensive introduction to the study of electromagnetic phenomena at

the undergraduate level. The book is suitable to students of physics and electrical engineering at the universities, technological institutes, partly to students in non-technical branches of universities like the biology, medicine, agriculture, etc. It can also be useful to the postgraduate students, scientists and to all interested in modern approaches to the electromagnetic theory.

Besides the classical parts of electromagnetism like the electrostatics, magnetostatics and electrodynamics the book deals with such modern subjects of electromagnetism like the superconductivity, Josephson effect, quantum Hall-effect, electron-spin resonance (ESR), nuclear magnetic resonance (NMR) as a modern tool of medical diagnostics. Various older and recent methods of the measurements of the velocity of the light are described. Special attention is paid to the magnetism of matter, modern magnetic materials and their applications. In the chapter dealing with electromagnetic waves the transfer of electromagnetic signals by transmission lines is described in some detail.

The textbook involves the fundamentals of vector algebra and some differential operations on scalar and vector fields. Detailed explanation of concept of gradient, divergence and curl are also given. The essential mathematical prerequisites for the subjects discussed in this book are integral calculus, linear real and complex algebra. Some acquaintance with differential equations would be helpful, but not strictly essential.

The textbook includes 326 selected and solved problems. Recenzenti: Prof. RNDr. Viktor Bezk, DrSc.

Prof. Ing. Matej Rko, DrSc.

Prv knin vydanie 1999

ISBN 80-88780-26-8

Oblku navrhol Doc. RNDr. Andrej Tirpk, CSc. a RNDr. Frantiek Kundracik, CSc.

1999 Doc. RNDr. Andrej Tirpk, Csc. Rukopis nepreiel jazykovou pravou

3

Vetkm mojim tudentom, minulm aj sasnm, ktor dvali mojej prci zmysel a robili z nej poteenie

4

Uebnica "Elektromagnetizmus" vznikla z dvoch prin. Prvou je neustly nedostatok univerzitnch uebnc zkladnho kurzu fyziky, druhou prinou je mj sn nie neskromn nzor, e v priebehu viac ako dvadsa rokov prednky z elektromagnetizmu som nadobudol ist pohad na didaktick problmy predmetu. Tento pohad povaujem za pvodn, a na jeho zklade predkladm pojednanie o elektromagnetizme sn trochu netradin. Nzov "Elektromagnetizmus" uprednostujem pred doteraz pouvanm nzvom "Elektrina a magnetizmus" ktor je zastaral a neodra dnen chpanie elektromagnetickch javov v svojej vntornej nedelitenej jednote. lenenie textu je takmer klasick, teda tak, ktor sa rokmi z hadiska nvznosti vkladu, a tm aj zrozumitenosti dokonale osvedilo. Rozsah je limitovan mnostvom informci, ktor uite doke analyzova a tudent absorbova v rmci zkladnho kurzu fyziky prednanho na matematicko-fyziklnych, prrodovedeckch a technickch fakultch naich univerzt. Do textu z toho dvodu neboli zahrnut napr. elektrick meracie prstroje a meracie metdy (s vnimkou merania magnetickch pol), technolgia vroby elektrotechnickch a elektronickch siastok a pod. S nimi sa tudent oboznmi v praktickch cvieniach. Terie elektrickej vodivosti tuhch ltok, kvapaln a plynov s dnes samostatn vedn oblasti. Modern obvodov elektronika sa stala disciplnou silne poznaenou technologickmi problmami vroby integrovanch obvodov a jej vklad na niekokch stranch by bol nemon. Na druhej strane, do textu boli zahrnut niektor modern fyziklne javy, ktor posunuli nae poznanie sveta dopredu a zsadne ovplyvnili technick rozvoj. Takmi javmi s napr. jadrov magnetick rezonancia, supravodivos, kvantov Hallov jav, Josephsonov jav a in. Uebnica obsahuje 326 rieench loh.

Jazyk uebnice nie je strohm rigidnm jazykom vedeckch trakttov a odbornch publikci, ale skr jazykom fyzika v laboratriu, na seminroch alebo prednkach. Chcem tm demontrova, e fyzika je humnna a pekn vedeck disciplna, a domnievam sa, e aj itateom-tudentom bude tento jazyk viac vyhovova. i sa mi to podarilo to nech u posdia pouvatelia uebnice! Aj pri vonejch jazykovch prstupoch som sa vak snail o maximlnu presnos formulci pri vyuit tch matematickch prostriedkov, ktormi mono tvori zkladn uebnicu elektromagnetizmu.

Uebnica by nebola vznikla bez podpory a pomoci mojich spolupracovnkov a priateov. RNDr. Peter Kohaut cel text poas jeho vzniku priebene tal, upozoroval ma na jeho odborn a jazykov nedostatky a pomohol mi pri kreslen obrzkov. Patr mu za to moja najsrdenejia vaka. akujem i kolegom z Katedry rdiofyziky MFF UK doc. RNDr. Andrejovi Jaroeviovi, CSc., RNDr. Frantikovi Kundracikovi, CSc., a kolegovi doc. RNDr. Teodorovi Obertovi, CSc. z Katedry chemickej fyziky ChTF STU za ich ochotu k diskusim. Osobitn poakovanie patr recenzentom Prof. Ing. Matejovi Rkoovi, DrSc. a Prof. RNDr. Viktorovi Bezkovi, DrSc., ktorch pripomienky k textu pomohli podstatne zvi kvalitu mojej prce.

***** V elektronickej verzii tejto uebnice s predovetkm odstrnen zisten chyby,

spresnen niektor formulcie, upresnen fyziklne kontanty poda najnovch dajov, rozren zoznam pouitch symbolov velin a ich jednotky v SI-sstave. akujem vetkm kolegom, ale predovetkm doc. RNDr. Frantikovi Kundracikovi, PhD. a Mgr. Mikulovi Prakovi za pomoc pri objavovan chb v ndeji, e ich poet bude postupne konvergova k nule.

Mj 2004

5

Obsah

Zoznam symbolov velin a ich jednotky v SI-sstave 10 Tabuka fyziklnych kontnt 11 vod 13

1 Elektrick nboje 15 1.1 Zkladn vlastnosti elektrickch nbojov 15 1.2 Mikroskopick nosie elektrickch nbojov 16 1.3 Pojem bodovho nboja a hustoty nboja v klasickej elektrodynamike 19

2. Elektrostatika nbojov vo vkuu 21 2.1 Silov psobenie nbojov. Coulombov zkon 21 2.2 Elektrick pole. Intenzita elektrickho poa 25 2.3 Intenzita elektrickho poa nbojov spojito rozloench na iarach, plochch a v objeme 33 2.4 Gaussov zkon. Tok vektora plochou 42 2.5 Vpoet intenzt elektrickch pol s vyuitm Gaussovho zkona 48 2.6 Divergencia elektrickho poa. Gaussova veta 56 2.7 Divergencia vektorovho poa v pravouhlch sradniciach 60 2.8 Elektrick potencil 62

2.8.1 Prca v elektrostatickom poli 62 2.8.2 Vpoet potencilovch funkci rznych nbojovch rozloen 66 2.8.3 Gradient skalrnej funkcie.

Vzah medzi intenzitou a potencilom elektrostatickho poa 76 2.9 Pole elektrostatickho diplu a vych multiplov 80

2.9.1 Bodov elektrostatick dipl 80 2.9.2 Energia diplu v elektrostatickom poli 85 2.9.3 Silov inky elektrostatickho poa na dipl 86

2.10 Multiplov rozklad potencilu 87 2.11 Potencil a pole elektrickej dvojvrstvy 89 2.12 Rotcia vektorovej funkcie. Diferencilne opertory pol 93

2.12.1 Rotcia elektrostatickho poa. Stokesova veta 93 2.12.2 Rotcia vektorovej funkcie v pravouhlch sradniciach 97 2.12.3 Diferencilne opertory vektorovch pol. Poissonova a Laplaceova rovnica 100

lohy 1 37 104

3 Elektrostatick pole za prtomnosti vodiov 109 3.1 Nabit vodi a jeho elektrostatick pole 109 3.2 Nenabit vodi v elektrostatickom poli 113 3.3 Experimentlny dkaz platnosti zkona prevrtench kvadrtov v elektrostatike 117 3.4 Vpoet elektrostatickch pol nbojov na vodioch 118 3.5 Kapacita vodiov a kondenztorov 122 3.6 Elektrick obvody s kondenztormi 128 3.7 Energia elektrostatickho poa. Energia nabitho kondenztora 135

3.7.1 Energia sstavy bodovch nbojov 135 3.7.2 Energia elektrostatickho poa 136 3.7.3 Elektrick energia nabitho kondenztora 137

lohy 38 64 139

6

4. Elektrostatick pole v dielektriku 144 4.1 Polarizcia dielektrika. Vektor polarizcie 144 4.2 Gaussov zkon v dielektriku 149

4.2.1 Vektor D 151 4.3 Permitivita a elektrick susceptibilita dielektrika 152 4.4 Dielektrick materily 155 4.5 Elektrick pole na rozhran dvoch prostred. Hranin podmienky 157 4.6 Energia elektrickho poa v dielektriku 159 4.7 Kondenztor s dielektrikom.

Premeny energie v kondenztore a sily psobiace na dielektrikum 161 4.8 Mikrofyziklna podstata polarizcie dielektrika 167

4.8.1 Elektrnov polarizcia 167 4.8.2 Nepolrne plyny a kvapaliny. Clausiusov-Mossottiho vzah 170 4.8.3 Polrne ltky. Orientan polarizcia 172

lohy 65 96 177

5 Elektrick prd 183 5.1 Pohyb elektrickch nbojov. Elektrick prd 183

5.1.1 Vlastnosti elektrickch prdov. Klasifikcia prdov 183 5.1.2 Zkon zachovania elektrickho nboja. Rovnica spojitosti elektrickho prdu 188 5.1.3 Prv Kirchhoffov zkon (Kirchhoffov zkon pre prdy) 189

5.2 Ohmov zkon 190 5.2.1. Zklady terie vodivosti kovov a polovodiov 195

5.3 Elektromotorick naptie zdroja 198 5.4 Jednoduch elektrick obvod 199 5.5 Prenos energie v elektrickom obvode. Joulov zkon 203 5.6 Elektrick sie 207

5.6.1 Ohmov zkon pre as uzavretho obvodu 207 5.6.2 Druh Kirchhoffov zkon (Kirchhoffov zkon pre naptia) 209

5.7 Princpy analzy elektrickch siet 211 5.7.1 Wheatstonov most 211 5.7.2 Metda obvodovch prdov 213 5.7.3 Metda uzlovch potencilov 214 5.7.4 Dve vety z terie elektrickch siet 216

5.8 Elektrick prd v RC obvode. Prechodov jav v RC obvode 219 lohy 97 151 226

6 Magnetizmus elektrickch prdov 236 6.1 Magnetick pole elektrickho prdu 239

6.1.1 Magnetick silov psobenie dvoch bodovch nbojov vo vkuu 239 6.1.2 Magnetick pole prdu elektrickch nbojov 245 6.1.3 Biotov-Savartov-Laplaceov zkon 246 6.1.4 Magnetick indukcia v okol nekonene dlhho priameho prdovodia 247 6.1.5 Divergencia magnetickho poa. Neriedlovos magnetickho poa

ako jedna z jeho zkladnch vlastnost 249 6.1.6 Amprov zkon. Rotcia magnetickho poa.

Vrovos magnetickho poa ako jedna z jeho zkladnch vlastnost 253 6.1.7 Vektorov potencil 255 6.1.8 Vektorov potencil priameho nekonenho prdovodia 257 6.1.9 Vpoet niektorch dleitch magnetickch pol 260

6.2 Intenzita magnetickho poa 272 6.3 Maxwellov posuvn prd 274 6.4 Silov inky magnetickch pol na prdov obvody 277

6.4.1 Prdov sluka v magnetickom poli 278

7

6.4.2 Vzjomn silov psobenie elektrickch prdov. Defincia jednotky ampr (A) 281 6.5 Lorentzove transformcie elektromagnetickch pol 283 lohy 152 193 294

7 Elektromagnetick indukcia 303 7.1 Experimentlne zklady elektromagnetickej indukcie 303 7.2 Lenzov zkon 306 7.3 Teoretick princpy elektromagnetickej indukcie 307 7.4 Zkladn aplikcie zkona elektromagnetickej indukcie 310 7.5 Samoindukcia a vzjomn indukcia. Induknos a vzjomn induknos 314

7.5.1 Vpoet induknost a vzjomnch induknost 321 7.6 Vplyv sekundrneho prdu na pomery v primrnom obvode 326 7.7 Energetick vahy v obvode RL. Energia magnetickho poa 328

7.7.1. Hustota energie magnetickho poa 331 7.8 Elektrick prd v obvode RL. Prechodov jav v obvode RL 332 7.9 Prechodov jav v obvode RLC. Von kmity v obvode RLC 335

7.9.1. Kvalita kmitavho obvodu 343 lohy 194 223 346

8 Magnetizmus ltok 352 8.1 Magnetick vlastnosti atmov 353 8.2 Makroskopick teria magnetizmu ltok 358

8.2.1 Vektor magnetizcie 358 8.2.2 Amprov zkon pre ltkov prostredia 360 8.2.3 Vektor H 362 8.2.4 Magnetick pole na rozhran dvoch prostred. Hranin podmienky 366

8.3 Mikroskopick teria diamagnetizmu a paramagnetizmu 369 8.3.1 Diamagnetizmus 369 8.3.2 Paramagnetizmus 373

8.4 Fenomenologick teria feromagnetizmu 377 8.4.1 Hysterzna sluka 380 8.4.2 Magnetostrikcia a magnetoelastick jav 385 8.4.3 Klasifikcia a vroba feromagnetickch materilov 386 8.4.4 Permanentn magnety 389 8.4.5 Elektromagnety 391 8.4.6 Magnetick obvody 395 8.4.7 Experimentlne snmanie magnetizanch kriviek a hysterznej sluky 397

8.4.7.1 Balistick metda 397 8.4.7.2 Dynamick snmanie hysterznej sluky 399

8.5 Meranie magnetickch pol 399 8.5.1 Indukn metdy 399 8.5.2 Hallov jav 400 8.5.3 Kvantov Hallov jav 403 8.5.4 Jadrov magnetick rezonancia a elektrnov paramagnetick rezonancia 403

8.6 Supravodivos 409 8.6.1 Josephsonov jav 415

8.7 Maxwellove rovnice a klasick elektrodynamika 417 lohy 224 230 419

9 Striedav elektrick prdy 422 9.1 Charakteristiky striedavch elektrickch priebehov 422 9.2 Harmonick naptia a prdy 425

8

9.2.1 Harmonick naptia na prvkoch RLC obvodu 425 9.2.2 Harmonick prd v obvode RLC 427 9.2.3 Harmonick prd v obvodoch RC a RL 429

9.3 Vkon striedavho prdu 431 9.4 Symbolicko-komplexn metda analzy obvodov so striedavmi prdmi 434 9.5 Komplexn vkon 438

9.5.1 Objemov harmonick prdy v nedokonalch dielektrikch Stratov uhol dielektrika. Objemov hustota vkonu 440

9.6 Striedav elektrick siete. Pojem admitancie a susceptancie 443 9.6.1 Kirchhoffove zkony pre elektrick siete s harmonickmi prdmi 445

9.7 Vynten kmity v RLC obvodoch. Sriov a paraleln rezonancia 447 9.7.1 Sriov rezonann obvod 447 9.7.2 Paraleln rezonann obvod 453 9.7.3 Napjanie rezonannch obvodov a ich pouitie 458

9.8 Frekvenn filtre 459 9.8.1 Dolnofrekvenn R-C priepust 461 9.8.2 Hornofrekvenn R-C priepust 464 9.8.3 Psmov R-C priepust (Wienov deli) 465 9.8.4 Induktvne viazan obvody ako psmov filter 467

lohy 231 276 474

10 Pohyb nabitch astc v elektrickch a magnetickch poliach 486 10.1 Von nabit astica v elektrickom poli 486 10.2 Pohyb nabitch astc v statickch magnetickch poliach 490 10.3 Pohyb astc pod sasnm inkom elektrickch a magnetickch pol 494

10.3.1 Urchovanie nabitch astc. Cyklotrn 495 10.3.2 Hmotnostn spektrograf alebo separtor izotopov 499

lohy 277 292 500

11 Elektromagnetick vlny 505 11.1 Podstata elektromagnetickch vn 505 11.2 Vlnov rovnice 506 11.3 Rovinn elektromagnetick vlna 510 11.4 Tok vkonu v elektromagnetickej vlne. Poyntingov vektor 516 11.5 Povrchov jav (skin-efekt) 520

11.5.1 Jednorozmern rovinn prpad 520 11.5.2 Povrchov jav vo valcovom vodii 524

11.6 Zklady terie dlhch veden 528 11.6.1 Prdov a napov vlny na dvojvodiovch vedeniach 528 11.6.2 Impedancia na veden a koeficient odrazu 534 11.6.3 Bezstratov dlh vedenia 537 11.6.4 Stojat vlny na bezstratovch vedeniach 541

11.7 Meranie rchlosti svetla 545 lohy 293 326 551

Dodatok I: Strun prehad vektorovej analzy 556 Dodatok II: Sradnicov systmy 558 Niekoko literrnych prameov k predmetu "Elektromagnetizmus" 565 Rieenia loh 567 Register 704

9

TABUKY

Tabuka fyziklnych kontnt 11 Tabuka 1: Diplov momenty molekl 81 Tabuka 2: Niektor identity s nabla opertorom 103 Tabuka 3: Koeficient f pre doskov kondenztor 125 Tabuka 4: Typy dielektrk a ich permitivity 156 Tabuka 5: Permitivity a elektrick pevnos vybranch materilov 156 Tabuka 6: Sbor vzahov pre elektrick veliiny kondenztorov 166 Tabuka 7: Rezistivity a tepeln odporov koeficienty vybranch materilov 194 Tabuka 8: Koeficient k pre solenoid 322 Tabuka 9: Susceptibility vybranch materilov 366 Tabuka 10: Vzahy medzi magnetickmi veliinami 367 Tabuka 11: Magneticky mkk materily 388 Tabuka 12: Magneticky tvrd materily 388 Tabuka 13: Koncentrcie vodivostnch elektrnov pre niektor kovy 402 Tabuka 14: Niektor supravodiv prvky 410 Tabuka 15: Niektor supravodiv zliatiny 414 Tabuka 16: Najdleitejie vlastnosti komplexnch sel 436 Tabuka 17: Permitivita a stratov uhol materilov v striedavch poliach 442 Tabuka 18: Terminolgia striedavch prdov 446 Tabuka 19: Decibelov kla 463 Tabuka 20: Spektrum elektromagnetickch vn 507 Tabuka 21: Rchlos svetla vo vkuu 550 Tabuka 22: Diferencilne opercie na skalrnych a vektorovch poliach 564 Tabuka 23: Laplaceov opertor 565

10

Zoznam symbolov velin a ich jednotky v SI-sstave (Vektorov a komplexn veliiny s tlaen tunou kurzvou)

Symbol Veliina Jednotka v SI-sstave

A vektorov potencil Wb/m = T.m A prca J B vektor magnetickej indukcie T B susceptancia, imaginrna as admitancie S bei u Besselova (funkcia) imaginrna argumentu u ber u Besselova (funkcia) relna argumentu u C kapacita F kapacita na jednotku dky F/m c rchlos svetla vo vonom priestore (vo vkuu) m/s D vektor elektrickej indukcie C/m2 = A.s/m2 d dka vedenia m E vektor intenzity elektrickho poa V/m elektromotorick naptie zdroja V e elementrny nboj C = A.s e zklad prirodzench logaritmov F vektor sily N f frekvencia Hz G vodivos, relna as admitancie S vodivos na jednotku dky dvojvodiovho vedenia S/m H vektor intenzity magnetickho poa A/m I stly elektrick prd, amplitda prdu A Ief efektvna hodnota prdu I+, I amplitda postupujcej a odrazenej prdovej vlny A i okamit hodnota prdu A i, j, k jednotkov vektory pravouhlho sradnicovho systmu J, j prdov hustota, amplitda objemovej prdovej hustoty A/m2 Js amplitda plonej prdovej hustoty A/m j imaginrna jednotka K koeficient renia vlny m1 L induknos H induknos na jednotku dky dvojvodiovho vedenia H/m l dka m ln prirodzen logaritmus log dekadick logaritmus M vektor magnetizcie A/m moment dvojice sl N.m M vzjomn induknos H magnetomotorick naptie A, Az m magnetick moment A.m2 Np neper* jednotka tlmu *Np nie je SI

jednotkou n poet koncentrcia m3 n0 jednotkov vektor normly P vektor elektrickej polarizcie C.m2

10a

Symbol Veliina Jednotka v SI-sstave

p elektrick diplov moment C.m P elektrick vkon W Pkompl komplexn vkon W p objemov hustota vkonu W.m3

okamit vkon W PSV pomer stojatej vlny Q integrlny elektrick nboj C = A.s kvalita rezonannho obvodu (faktor kvality) q elektrick nboj C = A.s R elektrick odpor (rezistancia), relna as impedancie odpor na jednotku dky dvojvodiovho vedenia /m r pomer stojatej vlny polomer m r, , z cylindrick (valcov) sradnice m, rad (), m r, , sfrick (guov) sradnice m, rad (), rad () S Poyntingov vektor W/m2 S plocha m2 T perida s absoltna teplota K t as s tg inite strt, tangens stratovho uhla dielektrika U, U0 stle naptie, amplitda naptia V Uef efektvna hodnota naptia V U+, U amplitda postupujcej a odrazenej napovej vlny V Vm skalrny magnetick potencil pre vektor B Wb/m = T.m vektor rchlosti m/s f fzov rchlos vn m/s g grupov (skupinov) rchlos m/s W elektromagnetick energia J = W.s welmag hustota energie elektromagnetickho poa J/m3 X reaktancia, imaginrna as impedancie x, y, z pravouhl (kartzske) sradnice m Y komplexn admitancia S komplexn admitancia na jednotku dky S/m Yv charakteristick admitancia vedenia S y komplexn konduktivita S/m Z komplexn impedancia komplexn impedancia na jednotku dky /m Z, Z

charakteristick (vlnov) impedancie TEM-vn

Z0 charakteristick impedancia neohranienho bezstratovho dielektrika

Z00 charakteristick impedancia vonho priestoru zmin vzdialenos (kladn alebo zporn) uvaovanej roviny

od minima stojatej vlny m

koeficient tlmu (tlmenia) m1, dB/m fzov koeficient (fzov kontanta) rad/m, /m 0 fzov koeficient (fzov kontanta) v neohranienom

dielektriku rad/m, /m

koeficient renia m1, dB/m

10b

Symbol Veliina Jednotka v SI-sstave

konduktivita S/m magnetomechanick (gyromagnetick) pomer Hz/T = C/kg hbka vniku (skinov hbka) m stratov uhol dielektrika rad, 0 elektrick kontanta F/m permitivita F/m * komplexn permitivita F/m r relatvna permitivita innos uhol rad, teplota v Celsiovej stupnici C elektrick susceptibilita vlnov dka m kr kritick (medzn) vlnov dka m dka vlny vo vlnovode m

0 dka vlny vo vonom priestore (vo vkuu) m magnetick moment A.m2

permeabilita H/m 0 magnetick kontanta (permeabilita vonho priestoru) H/m r relatvna permeabilita kruhov kontanta, Ludolfovo slo koeficient odrazu U, I koeficient odrazu napovej alebo prdovej vlny rezistivita .m objemov hustota nboja C/m3 = A.s/m3 konduktivita S/m plon hustota nboja C/m2 = A.s/m2 asov kontanta s objem m3

magnetick indukn tok Wb uhol, fzov uhol rad, m skalrny magnetick potencil pre vektor H A magnetick susceptibilita , m3/kg,

m3/kmol tok vektora E alebo D V.m, C priestorov uhol rad uhlov frekvencia rad/s

11

Tabuka fyziklnych kontnt1

Veliina Hodnota v SI sstave

Rchlos svetla vo vonom priestore (vo vkuu) c 299 792 458 m.s1 (presne)

Magnetick kontanta (permeabilita vkua) 0 4.107 H.m1 (z defincie)

Elektrick kontanta (permitivita vkua) 0 = 1/(0c2) 8,854 187 817.1012 F.m1

Charakteristick impedancia vonho priestoru Z00 = 0 0 = 0c

376,73

Elementrny nboj e 1,602 176 462.1019 C (A.s)

Elektrnvolt eV 1,602 176 462.1019 J

Pokojov hmotnos elektrnu me 9,109 381 88.1031 kg

Pokojov hmotnos protnu mp 1,672 621 58.1027 kg

Pokojov energia elektrnu mec2 8,187 104.1014 J = 0,511.106 eV

Pokojov energia protnu mpc2 1,503 277.1010 J = 0,938.109 eV

Planckova kontanta h = 2 6,626 068 76.1034 J.s

Bohrov polomer a0 = h2/(0c2e2me) 5,291 768 909.10

11 m

Bohrov magnetn B = e/(2me) 9,274 008 992.1024 A.m2 (J.T1)

Jadrov magnetn J = e/(2mp) 5,050 783 182.1027 A.m2 (J.T1)

Kvantum elektrickej vodivosti 0 = 2e2/h 7,748 091 694.105 S

von Klitzingova kontanta 0 = h/e2 2,581 280 758.104

Kvantum induknho toku 0 = h/(2e) 2,067 833 637.1015 Wb

Josephsonova kontanta KJ = 2e/h 4,835 978 979.1014 Hz.V1

Gravitan kontanta 6,673.1011 m3.kg1.s2

Avogadrova kontanta NA 6,022 141 99.1026 kmol1

Faradayova kontanta F 9,648 534 15.107 C.kmol1

Boltzmannova kontanta k 1,380 650 3.1023 J.K1

1 Kontanty boli aktualizovan poda CODATA Internationally recommended values of the Fundamental

Physical Constants (1998) www.physics.nist.gov/constants

12

James Clerk MAXWELL (1831 Edinburgh 1879 Cambridge)

13

vod

"Pravda je to, o obstoj v skke sksenosti" Albert Einstein: Ako vidm svet

Predmet "Elektromagnetizmus" sa zaober tdiom sboru javov, ktor vznikaj ako

dsledok pecifickho silovho psobenia medzi tm, o sme sa rozhodli nazva elektrick nboje. Silov psobenie elektrickch nbojov m dve strnky elektrick a magnetick. Vzhadom na neodmysliten sptos elektrickch a magnetickch javov a ich spolon podstatu je vhodnejie tento sbor javov nazva elektromagnetizmus, ako oddelene elektrina a magnetizmus.

V kontexte fyziky zaujma elektromagnetizmus vrazne popredn postavenie, jednak pre svoje obrovsk praktick dsledky, ale tie preto, e predstavuje jednu z dleitch strnok poznania sveta, v ktorom ijeme. Modern, technicky vyspel spolonos tvor a vyuva technick prostriedky, ktorch podstata spova v zkonoch elektromagnetizmu. Predovetkm je to elektrick energetika. Dnes najrozrenejia a najistejia forma energie je elektrick energia, aj ke spsoby jej produkcie nie s vdy ekologicky najistejie. Na princpoch elektromagnetizmu je zaloen innos takch mdi, ako je telefn, rdio, televzia, zznam obrazu a zvuku a ich drtov alebo bezdrtov, prakticky okamit prenos na ubovon miesto na zemeguli alebo do blzkeho kozmickho priestoru. Pozemn, nmorn a vesmrna navigcia s nemysliten bez existencie elektromagnetizmu. V dvadsiatom storo bolo vymyslen, skontruovan a do nepredstavitenej dokonalosti doveden zariadenie, ktor spsobilo revolciu vo vede, v technike a v ekonomike elektronick pota. Mobiln telefny a internet poskytuj nebval monosti poskytovania a zskavania informci, o sa tka rchlosti aj objemu. Mono len kontatova, e pokrok civilizcie spolonosti je determinovan mierou vyuitia javov elektromagnetickho pvodu.Mono len kontatova, e pokrok civilizcie spolonosti je determinovan mierou vyuitia javov elektromagnetickho pvodu.

Elektrick silov psobenia maj vak principilnej vznam, pretoe na nich je zaloen existencia nho materilneho sveta. Vieme, e ltky sa skladaj z atmov, a z molekl. Naskyt sa otzka, o dr atmy pohromade tak, e ltka je v konenom dsledku tuh alebo kvapaln? Chemici hovoria, e atmy v ltke s viazan chemickmi vzbami. no, ale tieto vzby s elektrickho pvodu. Medzi atmami ltky psobia aj praliv gravitan sily (gravitan interakcie), tie s vak v porovnan s elektrickmi silami (elektromagnetick interakcie) vemi slab, a tak ich pri interakcii astc mono v prvom priblen zanedba. Gravitan interakcie s zodpovedn za sily v makrosvete, s urujce pre vznik a existenciu hviezdnych systmov a galaxi.

A nakoniec, aj na naej biologickej existencii s podpsan zkony elektromagnetizmu. Nervov vlkna s cestami, po ktorch sa ria elektrick signly od receptorov do

14

mozgu, kde sa vyhodnocuj a s podnetom pre nau biologick a psychick aktivitu. V istom zmysle je udsk bytos ten najdmyselnej a najvekolepej elektronick mechanizmus pozostvajci z dokonalho informanho a potaovho systmu, ktor sa sotva niekedy podar umelo realizova.

Veda o elektromagnetizme sa zaala rozvja asi pred 250-timi rokmi a dnes mono poveda, e je najucelenejou a najlepie prepracovanou oblasou fyziky. Bola budovan fenomenologicky bez toho, aby jej tvorcovia poznali atomrnu truktru ltok. Dnes sme fascinovan skutonosou, e tto teria je konzistentn s modernmi oblasami fyziky, ako je kvantov mechanika, kvantov teria tuhch ltok, a hlavne teria relativity, po zroden ktorej zaiatkom dvadsiateho storoia nebolo potrebn na stavbe elektromagnetizmu ni zsadnho opravova.

Na budovan terie elektromagnetizmu sa podiealo mnoho vynikajcich uencov. Spomenieme len niekokch, ktorch men s nezmazatene spojen so zkladnmi zkonmi elektromagnetizmu: Charles Augustin de COULOMB (1736 1806) objavil a matematicky formuloval zkon o silovom psoben elektrickch nbojov; Andr Marie AMPRE (1775 1836) vykonal rozsiahle tdie o silovch inkoch elektrickho prdu; Hans Christian OERSTED (1777 1851) objavil silov psobenia elektrickho prdu na magnetku, m sa potvrdila jednota elektrickch a magnetickch javov; Michael FARADAY (1791 1867) objavil slvny zkon o elektromagnetickej indukcii; Karl Friedrich GAUSS (1777 1855) vykonal a publikoval priekopncke prce o vlastnostiach potencilovch pol (Gaussov zkon); Georg Simon OHM (1789 1854) objavil vzah medzi prdom a naptm v linernych vodioch; James Clerk MAXWELL (1831 1879) vytvoril unifikovan teria elektromagnetizmu aj s ohadom na optick javy, formuloval tyri zkladn zkony elektromagnetizmu Maxwellove rovnice; Hendrik Antoon LORENTZ (1853 1928) prispel podstatnou mierou k objasneniu Maxwellovej terie, k terii elektrnu a k terii relativity; Gustav Robert KIRCHHOFF (1824 1887) formuloval zkony o elektrickch sieach popri principilnejch zkonoch iarenia ierneho telesa; Heinrich HERTZ (1857 1894) experimentlne dokzal existenciu elektromagnetickch vn; Albert EINSTEIN (1879 1955) vypracoval pecilnu a veobecn teriu relativity.

15

1 ELEKTRICK NBOJE

1.1 ZKLADN VLASTNOSTI ELEKTRICKCH NBOJOV

Zkladnm objektom a pojmom elektromagnetizmu, pvodcom vetkch elektromagnetickch silovch psoben, je elektrick nboj. Nem zmysel kls otzku o nboj je, pretoe na u nevieme odpove rovnako, ako na otzku o je hmota. Tieto pojmy s natoko principilne, e ich nememe vyjadri pomocou inch, menej zkladnch pojmov, preto meme hovori iba o vlastnostiach elektrickch nbojov. Zkladn vlastnosti elektrickch nbojov boli stanoven zo sksenost a z fyziklnych meran, a na zklade stavu sasnch poznatkov sme presveden, e s pravdiv. Tieto zkladn vlastnosti mono zhrn do nasledovnch vpoved:

1. V prrode existuj dva druhy elektrickho nboja nboje kladn, oznaujeme ich znamienkom "+", a nboje zporn, oznaujeme ich znamienkom "". Ak sa teles v naom okol javia ako elektricky neutrlne, neznamen to, e na nich nie s elektrick nboje, ale iba to, e nboje na nich s zkostlivo vykompenzovan, t. j. e je na nich rovnak mnostvo kladnho aj zpornho nboja. Nevykompenzovanos o i len zlomkov percenta by viedla k nepredstavitenm silm v telesch alebo medzi telesami. Pripsanie druhu znamienka elektrickm nbojom bolo historicky nhodn. Dnes vieme, e nositeom kladnho naboja je protn a nositeom zpornho nboja je elektrn.

2. Nboje psobia na seba silovo nboje rovnakho znamienka (shlasn) sa odpudzuj, nboje rzneho znamienka (neshlasn) sa priahuj. Tto skutonos bola znma u starm Grkom. Silov psobenie medzi nbojmi bolo kvantitatvne skman a v 18. storo lordom Henrym Cavendishom, ktor vak svoje pozorovania nepublikoval. O 13 rokov neskr v roku 1785 silov psobenie medzi nbojmi vo forme znmeho zkona zverejnil Ch. A. Coulomb.

3. Elektrick nboje s kvantovan. Existuje najmenie, nedeliten kvantum elektrickho nboja s absoltnou hodnotou

e = 1,602 176 462.1019 C (A.s)

Toto kvantum sa nazva elementrny nboj. Nositemi tohoto nboja s elementrne astice, priom protn m nboj +e a elektrn e. Von zlomky alebo neceloseln nsobky tohoto nboja neboli v prrode pozorovan.

4. Elektrick nboje sa zachovvaj. Zkon zachovania elektrickho nboja patr medzi zkladn prrodn zkony. Prleitostn zdanliv vymiznutie elektrickho nboja je zaprinen kompenzciou nboja jednho znamienka nbojom opanho znamienka. Celkov (kladn a zporn) nboj vesmru zostva kontantn a s najvou pravdepodobnosou nulov. Elektrick nboje s invariantn voi Lorentzovm transformcim, t. j. vekos

16

elektrickho nboja nezvis od pohybovho stavu nboja. Tto dleit vlastnos elektrickch nbojov bola potvrden mnohmi experimentmi.

5. Elektrick nboje s viazan na materilne objekty elementrne astice. Aj ke v naich vahch budeme asto hovori o sprvan sa elektrickch nbojov, nesmieme strca zo zretea, e v skutonosti hovorme o sprvan sa elementrnych astc, molekl, alebo zloitejch hmotnch agregtov. O elementrnych asticiach ako nosioch elektrickch nbojov je pojednan v nasledujcom odseku.

1.2 MIKROSKOPICK NOSIE ELEKTRICKCH NBOJOV

Mikroskopickmi nosimi elektrickch nbojov s nabit elementrne astice a iny, na ktorch me by kladn alebo zporn nboj. Tento nboj me by iba celoselnm nsobkom elementrneho nboja. Napriek vekmu experimentlnemu siliu sa doteraz nepodarilo objavi von astice s neceloselnm nbojom.

Dnes je znmych asi 200 elementrnych astc a vek mnostvo inov, atmov a molekl. Vina astc po vzniku existuje ist, nie prli dlh as, po uplynut ktorho sa rozpadaj na in astice, t. j. astice maj konen dobu ivota. Vo vine prpadov je tto doba vemi krtka a predstavuje iba nepatrn zlomky sekundy. Niekoko astc m vak nekonen dobu ivota s to elektrn, protn a ich antiastice pozitrn a antiprotn. Protny sa podieaj na stavbe atmovch jadier, elektrny tvoria elektrnov obal atmu. Mono poveda, e prve tieto astice s pvodcami skoro vetkch elektromagnetickch javov. Na tvorbe atmovch jadier sa podieaj okrem protnov aj neutrny. Elektricky s neutrlne a ich doba ivota v atmovom jadre je nekonen. Mimo jadra ij asi 17 mint, potom sa rozpadn na protny, elektrny a antineutrno.

Elektrick nboj inov je podmienen nedostatkom jednho alebo viac elektrnov v atme (kladn in katin), alebo naopak, prebytkom elektrnov (zporn in anin). Iny vznikaj obyajne rozpadom molekl alebo ionizciou atmu, t. j. stratou jednho alebo viac z jeho elektrnov.

Elektrn. Elektrn je materilnym nosiom zpornho elementrneho nboja. Poda sasnch nzorov je elektrn bodovou beztruktrnou asticou, t. j. cel nboj elektrnu je sstreden v bode. Takto predstava je vntorne protireiv, pretoe energia elektrickho poa budenho bodovm nbojom je nekonen, a teda mala by by nekonen aj zotrvan hmota (hmotnos) bodovho elektrnu. To vak odporuje sksenosti, pretoe hmotnos elektrnu bola experimentom stanoven na hodnotu

me = 9,109 381 88.1031 kg

S touto protireivosou sa vak musme zmieri, pretoe neexistuje lepia a menej rozporn predstava o truktre (alebo o beztruktrnosti) elektrnu. Pri vpotoch sa nekonen energia elektrnu uvauje ako aditvna kontanta, ktor pri interakcich astc mono v konenom dsledku ignorova.

Protn. Nositeom kladnho elementrneho nboja je protn astica pribline 1836-krt hmotnejia ako elektrn. Hmotnos protnu

mp = 1,672 621 58.1027 kg

17

Obr. 1.1

Merania potvrdzuj, e na rozdiel od elektrnu, protn nie je bodov astica, ale e m efektvny priemer rdovo 1015 m. Taktie sa ukazuje, e elektrick nboj vo vntri protnu m svoju truktru. Experimentlne je dobre preskman rozloenie elektrickho nboja vo vntri protnu metdou, ktor na zaiatku dvadsiateho storoia pouil anglick fyzik Ernest Rutherford (1871 1937) na preskmanie truktry atmov. Metda spova v ostreovan protnov elektrnmi s vemi vekou energiou (niekoko GeV) a v pozorovan rozptylu elektrnov na protnoch. Vsledok tchto experimentov je prekvapiv a je zobrazen na obr. 1.1. Graf znzoruje zvislos sumrneho nboja protnu 4r2 v guovej vrstve jednotkovej hrbky polomeru r od stredu protnu. Z uvedenho grafu vidno, e prakticky cel nboj protnu je sstreden v guli s polomerom r0 < 10

15 m. Po prvom maxime 4r2 nekles so vzdialenosou r monotnne, ale vykazuje ete jedno maximum.

Obr. 1.2

18

Neutrn. Podobn experimenty ako s protnmi boli uroben aj s rozptylom elektrnov na neutrnoch. Merania ukzali, e neutrn m tie svoju elektromagnetick truktru, a nie je bodovou, elektricky neutrlnou asticou.

Rozloenie elektrickho nboja vo vntri neutrnu je graficky znzornen na obr. 1.2. Ukazuje sa, e neutrn, podobne ako protn, je objemovo nabit blzko jeho stredu je rozloen kladn elektrick nboj a alej od stredu nboj zporn. Plochy ohranien nad a pod osou r s rovnak, a teda mnostvo kladnho nboja v neutrne sa rovn mnostvu zpornho nboja. Objem, v ktorom s kladn a zporn nboje neutrnu uzavret, je prakticky rovnak ako u protnu.

Je otzkou, ako sa m interpretova spojit rozloenie elektrickho nboja vo vntri protnu ak jeho nboj je elementrny. Plocha ohranien iarou a osou r na obr. 1.1 sa selne rovn nboju protnu a zarafovan plocha predstavuje nboj, ktor je uzavret vo vntri protnu v guovej vrstve s polomerom r a hrbkou dr. Je jasn, e tento nboj predstavuje iba mal as elementrneho nboja. Teda je namieste otzka, ak vznam m tvrdenie, e v danom objeme 4r2dr sa nachdza nboj men ako elementrny?

Poda sasnch predstv terie elementrnych astc pozostvaj protny a neutrny z dvoch rznych bodovch objektov, ktor nes spolon nzov kvarky. Jeden z tchto kvarkov s nbojom +2e/3 sa nazva "up" (u), a druh s nbojom e/3 je "down" (d). Protn pozostva z dvoch kvarkov u a jednho kvarku d, take celkov nboj protnu je +e. Kvarky sa v objeme protnu pohybuj a hustota nboja v protne je takto mern dobe, za ktor kvarky v danom mieste zotrvvaj. Neutrn pozostva z dvoch kvarkov d a jednho kvarku u, take celkov nboj neutrnu sa rovn nule. Vysvetlenie spojitho rozloenia nboja v neutrne je analogick ako v protne.

Von kvarky neboli v prrode pozorovan, ich existencia vak bola potvrden experimentmi na urchovaoch protibench zvzkov protnov a antiprotnov s energiami do 0,9 TeV. Experimentlne sa dokzalo, e kvark u m pokojov energiu mqc

2 rdovo ~5 MeV a kvark d pokojov energiu ~10 MeV. Existencia kvarkov umouje vysvetli mnoh javy fyziky elementrnych astc.1

Dleitou charakteristikou elementrnych astc je ich moment hybnosti, alebo spin. Spin nemono vysvetova ako dsledok rotcie astc, pretoe pri rozumnch predpokladoch o rozmeroch astc by sa museli pripa oben rchlosti astc vyie ako rchlos svetla. Preto sa spin uvauje ako vntorn vlastnos astice. So spinom astice je spojen jej magnetick moment, ktor tie nemono vysvetli ako dsledok pohybu nboja a treba ho uvaova ako principilnu vlastnos astice.

1 Okrem uvedench kvarkov u a d boli po roku 1964 predpovedan a postupne objaven alie tyri

kvarky: "strange" (s) s nbojom e/3 a s energiou 200 MeV; "charm" (c) [+2e/3, 1 500 MeV]; "bottom" (b) [e/3, 5 000 MeV]; "top" (t) [+2e/3, >100 000 MeV]. Posledn, t kvark, bol objaven v marci 1995. Tieto kvarky sa podieaj na stavbe exotickejch elementrnych astc ako napr. meznov. Mylienku o existencii kvarkov prv vyslovil americk teoretick fyzik Murray Gell-Mann, ktor v roku 1969 dostal za prce v terii elementrnych astc Nobelovu cenu.

19

1.3 POJEM BODOVHO NBOJA A HUSTOTY NBOJA V KLASICKEJ ELEKTRODYNAMIKE

Pri vpote silovch psoben medzi elektrickmi nbojmi sa asto pracuje s pojmami "bodov nboj" alebo "hustota nboja". Pojem bodovho nboja bol v klasickej elektrodynamike zaveden v ase, ke kvantovanie nboja ete nebolo znme. Pod bodovm nbojom sa rozumel konen nboj lokalizovan v matematickom bode (teda nboj s nekonenou hustotou). Bodov nboj sa povaoval za uiton fikciu, ktor umouje analzu interakcie objemnejch nbojovch rozloen umiestnench v relatvne vekch vzjomnch vzdialenostiach. Poda dnench predstv bodov nboje v prrode existuj, je to u spomnan elektrn a jeho antiastica pozitrn. V naom texte budeme bodov nboje oznaova symbolmi q alebo Q.

Popri bodovch nbojoch sa asto uvdza pojem hustoty elektrickho nboja, priom sa predpoklad, e nboj je v priestore rozloen spojito ako funkcia polohovho vektora r. Pre opis takho rozloenia zavdzame matematick funkciu (r) nazvan objemov hustota nboja dan limitnm pomerom nboja q v objeme , ak sa bli k nule, teda

( ) limr = =

0

q qdd

(1.1)

Pri tejto matematickej defincii objemovej hustoty nboja sa samozrejme nevyluuje, e v objeme sa me nachdza ubovone mal nboj, teda aj nboj men ako je elementrny. Nboje s vak kvantovan, a preto matematick pojem "nekonene mal nboj dq" mus fyzik interpretova ako vemi mal nboj, ktor vak ete stle predstavuje vek mnostvo elementrnych nbojov tak, aby akkovek mal zmeny potu nbojov bolo mon povaova za takmer spojit. Prsne vzat, relna objemov hustota nboja neme by matematicky spojitou funkciou polohy, v skutonosti je to funkcia, ktor od miesta k miestu vykonva jemn skoky. Obrazne povedan, nbojov rozloenie predstavuje vemi jemn kau.

Okrem objemovej hustoty nbojov sa asto uvdza tie plon hustota nboja

( )r = dd

qS

(1.2)

kde dS je nekonene mal plon element uvaovanej plochy, na ktorom sa nachdza nekonene mal nboj dq, a nakoniec tie dkov hustota nboja na iare

( )r = ddql

(1.3)

priom dl je nekonene krtky sek iary, na ktorom sa nachdza nekonene mal nboj dq. Ak je v objeme , na ploche S, resp. na iare l dan rozloenie nboja ako funkcie polohy (r), (r), resp. (r), potom celkov nboj v objeme, na ploche, resp. na iare je dan integrciou prslunch hustt nboja v danej oblasti, teda v objeme celkov nboj je

SpokeHighlightSpokeHighlightSpokeHighlightSpokeHighlightSpokeHighlight

20

Q =

( )r d (1.4)

na ploche S

Q SS

= ( )r d (1.5)

a na iare l

Q ll

= ( )r d (1.6)

Zavedenie pojmu hustoty elektrickho nboja svis so veobecne platnm a vo fyzike iroko pouvanm princpom, poda ktorho vsledn fyziklne psobenie niekokch zdrojov nejakho systmu sa rovn stu (integrlu) psoben jednotlivch zdrojov. Tento princp sa nazva princpom superpozcie. Tak napr. vsledn sila psobiaca od niekokch nbojov sa rovn stu jednotlivch sl.

SpokeHighlight

21

2 ELEKTROSTATIKA NBOJOV VO VKUU

2.1 SILOV PSOBENIE NBOJOV. COULOMBOV ZKON

Pri tdiu elektromagnetickch javov je otzkou zsadnho vznamu silov psobenie medzi elektrickmi nbojmi. Toto silov psobenie je v skutonosti vemi zloit, pretoe zvis od mnostva a pohybovho stavu nbojov, ktor s v interakcii, a aj od rozloenia nbojov v priestore. Jednoduch je iba prpad silovho psobenia dvoch bodovch nbojov (napr. nabitch elementrnych astc), ktor s vo zvolenom sradnicovom systme v pokoji a s umiestnen v istej vzjomnej vzdialenosti. Takto systm nezodpoved relnej situcii, pretoe nboje v pokoji sa v prrode nevyskytuj. Ak hovorme o nbojoch v pokoji, obyajne mme na mysli vek tatistick sbor elementrnych nbojov, ktor sce v nejakom objeme mu vykonva fluktuan tepeln pohyb, ale ich poet v danom objeme sa nemen (napr. nboj na nabitej guke).

Silov psobenie medzi dvoma bodovmi nbojmi skmal v polovici 18. storoia franczsky uenec Charles Augustin de Coulomb. Coulomb vykonal mnostvo experimentov na zariaden nazvanom torzn vhy, na ktorch bodov nboje boli modelovan kovovmi nabitmi gukami. Z jeho meran vyplynula skutonos, e bodov nboje (nabit guky) psobia na seba silou, ktor je mern sinu nbojov a nepriamo mern tvorcu ich vzdialenosti. Sila je odpudiv, ak s nboje rovnakho znamienka a praliv, ak s znamienka opanho, a psob pozd spojnice nbojov. Silov psobenie spa tret Newtonov zkon, t. j. psobiace sily na jednotliv nboje s v absoltnej hodnote rovnak bez ohadu na vekos jednotlivch nbojov. Tieto experimentlne zisten skutonosti mono vyjadri v nasledovnej matematickej formulcii

F kq qr

= 1 22 (2.1)

kde F je sila psobiaca medzi nbojmi, q1 a q2 s vekosti nbojov, r je vzdialenos nbojov a k je rozmerov kontanta, ktor zvis od vberu sstavy jednotiek. V sstave fyziklnych jednotiek SI (Systme International dUnits) je jej seln hodnota

k = 8,987551786.109 kg.m3.s4.A2 (2.2)

Hodnota kontanty k vyplynie z alch naich vah. Z dvodov racionalizcie vzahov v elektrodynamike je vhodnejie kontantu k psa v tvare

k = 14 0

(2.3)

SpokeHighlight

22

kde 0 je univerzlna prrodn kontanta svisiaca s rchlosou svetla vo vkuu a nazva sa elektrick kontanta (star nzov permitivita vkua). Jej seln hodnota je

0 = 8,854 187 818.1012 F.m1 (2.4)

Sila je ale vektorov veliina, a preto vraz pre u mus obsahova aj informciu o smere jej psobenia. Ak je nboj q1 vo vektorovej vzdialenosti r12 od nboja q2 (pozri obr. 2.1), potom sila F12 psobiaca na nboj q1 od nboja q2 (nboje s zadan s prslunm znamienkom) je uren vektorovm vzahom

F r12 12=1

4 01 2

123

q qr

(2.5)

Obr. 2.1

kde r12 je absoltna vzdialenos nbojov. Ak zavedieme jednotkov vektor r r120

12 12= / r , potom vraz pre silu mono napsa v tvare

F r120

1201

4=

q qr1 2

122 (2.6a)

Existuje ete jeden spsob zpisu Coulombovho zkona, pri ktorom sa polohy nbojov q1 a q2 zadaj polohovmi vektormi r1 a r2 vzhadom na nejak referenn bod 0 ako na obr. 2.2. V takom prpade

r r r12 1 2,= r12 1 2= r r , a

r r rr r12

0 1 2

1 2=

take vraz (2.6a) mono prepsa na tvar

( )

321

2121

021

212

21

21

012 4

14

1

rr

rrrrrr

rrF

=

= qqqq

(2.6b)

Posledn vraz je najveobecnejm matematickm vyjadrenm Coulombovho zkona, ale aj najzloitejm, a preto ho budeme vyuva iba vnimone.

Platnos zkona o silovom psoben bodovch nbojov overoval Coulomb prostriedkami, ktor mal v jeho dobe k dispozcii. Naa dvera k silovmu zkonu sa vak neme

SpokeHighlight

23

zaklada na experimentoch, pri ktorch je ako mera sily s presnosou vou ako niekoko percent. Takto merania ns nemu presvedi, e zvislos sily od vzdialenosti je skutone kvadratick, teda e mocnite je 2 a nie napr. 2,001. Neskr uvidme, e platnos Coulombovho zkona mono dokza nepriamo experimentmi, poda ktorch mocnite r sa rovn 2 s presnosou lepou ako 2.109.

Obr. 2.2

Coulombov zkon ako zkladn experimentlny zkon elektrostatiky sa ukazuje ako mimoriadne vhodnm na stanovenie jednotkovho mnostva elektrickho nboja. Skutone, ak vo vzahu (2.1) polome k = 1, potom za jednotkov meme vyhlsi tak dve mnostv elektrickho nboja, ktor v jednotkovej vzdialenosti psobia na seba jednotkovou silou. Tak bola uren jednotka mnostva elektrickho nboja v sstave jednotiek cgs (Gaussovej sstave), ktor sa dnes v praxi nepouva, v ktorej jednotka nboja, a nsledne jednotka elektrickho prdu, nie je zkladnou, ale odvodenou jednotkou. Kee meranie sily medzi nbojmi (gukami) je obtiane a zaaen znanou chybou, je v sstave fyziklnych jednotiek SI jednotka nboja uren inm spsobom. V SI sstave je zkladnou elektrickou jednotkou jednotka elektrickho prdu ampr (A), ktor dokeme pohodlne mera zo silovch inkov medzi prdmi. Kee elektrick prd I je definovan ako mnostvo elektrickho nboja q, ktor prejde prierezom vodia za jednotku asu t, teda I = q/t, mono jednotkov nboj definova ako mnostvo nboja, ktor pri prde 1 A preteie prierezom vodia za jednu sekundu (s). Toto jednotkov mnostvo nboja sa nazva coulomb (C). Teda 1 C = 1 A 1s = 1 A.s. Teraz je jasn pvod hodnoty kontanty k (2.2) vo vzahu (2.1). Dva bodov nboje, kad vekosti 1 C, umiestnen vo vzjomnej vzdialenosti 1 m psobia na seba obrovskou silou, ktor sa selne (v newtonoch) rovn hodnote kontanty k, danej vyjadrenm (2.2).

seln hodnota kontanty k alebo 0 sa vak stanovuje inm spsobom. V elektromagnetizme sa popri kontante 0 zavdza ete jedna univerzlna kontanta poa, a to magnetick kontanta 0 (star nzov permeabilita vkua). Jej hodnota

0 = 4.107 H/m (2.7)

je dan definitoricky. Obidve kontanty poa svisia s rchlosou c svetla vo vkuu vzahom

24

1

0 0= c (2.8)

ktor plynie z vlnovch rovnc elektromagnetickho poa. Z toho elektrick kontanta

0 0

21=c

(2.9)

s selnou hodnotou danou vyjadrenm (2.4). Presnos urenia 0 je dan presnosou, s ktorou je v sasnosti znma rchlos svetla vo vkuu (pozri odsek 11.7).

Ak je vo vzjomnom silovom psoben n nbojov, potom sila Fi psobiaca na vybran i-t nboj poda princpu superpozcie je dan vrazom

F F F F F F Fi i i ii ii in ijj

n

j i= + + + + + + = =1 2 -1 +1 ( )

1

Skladanie sl od niekokch nbojov rovnakho znamienka a rovnakej absoltnej hodnoty je v proporcionlnej mierke znzornen na obr. 2.3.

Obr. 2.3

Jedna z u uvedench vlastnost elektrickch nbojov hovor o ich vzbe na materilne objekty, t. j. e nboje s vdy viazan na ist elementrne astice. Medzi asticami ako nositemi elementrnych nbojov psobia okrem elektrickch aj gravitan sily. Je otzka, akou mierou sa podieaj gravitan sily v porovnan s elektrickmi silami na vzjomnom silovom psoben dvoch elementrnych astc. Ako prklad mono posdi silov psobenie medzi protnom a elektrnom v danej vzdialenosti, naprklad v klasickom atme vodka. Medzi uvedenmi asticami psob praliv sila, ktor je vsledkom superpozcie pralivej elektrickej sily medzi dvoma neshlasnmi elementrnymi nbojmi a gravitanej pralivej sily medzi hmotnosami protnu a elektrnu. Ak uvime, e hmotnos protnu mp = 1,67.10

27 kg, hmotnos elektrnu me = 9,11.1031 kg,

elementrny nboj e = 1,602.1019 C, gravitan kontanta = 6,67.1011 m3.kg1.s2

25

a elektrick kontanta poa 0 = 8,854.1012 F.m1, potom pomer elektrickej sily Fe a gravitanej Fg je

FF

em m

e

g p e=

2

0

39

42 2710

, . !!!

Tento prklad sved o tom, e elektrick sila medzi nabitmi elementrnymi asticami je mnohokrt via ako praliv sila medzi hmotnosami astc, a preto gravitan psobenie medzi elementrnymi asticami mono vdy zanedba. Uveden prklad potvrdzuje ete jednu skutonos, e sily, ktor dria atmy pohromade, s sily elektrickho pvodu. V tejto svislosti je namieste otzka, o dr pohromade atmov jadr? Tie pozostvaj z neutrnov a protnov a medzi protnmi psobia siln elektrick odpudiv sily. Je zrejm, e ak sa pod inkom takejto sily atmov jadr nerozletia, musia medzi ich stavebnmi kamemi psobi ete in praliv sily, ktor musia by silnejie ne odpudiv sily protnov. Tmito silami s jadrov sily, sily krtkeho dosahu, ovea vie ako gravitan a elektrick sily, ktor so vzdialenosou vemi rchlo klesaj. Jadrov sily s zodpovedn za konzistenciu a stabilitu atmovch jadier. ahk jadr, ktor obsahuj rovnak poet protnov a neutrnov, s relatvne stabiln. U akch jadier je stabilita zaisten vm potom neutrnov, ktor zmenuj odpudiv silu protnov tm, e "zrieuj" protny v jadre. Stabilita akch jadier je vak vratk. Vemi ak jadr s atmovm slom vm ako 83 s nestabiln a pri sebemenej excitcii sa rozpadaj. Sily medzi nuklenmi (protnmi a neutrnmi) v jadrch atmov s siln interakcie, zatia o sily medzi jadrom a elektrnmi v atme, prpadne sily medzi atmami v molekulch a v krytloch patria medzi elektromagnetick interakcie.

Vo svete, ktor ns obklopuje, je elektrick silov psobenie poda Coulombovho zkona jedno z najdleitejch. Je zodpovedn za existenciu atmov, ale aj molekl, teda za existenciu ltok tak, ako ich v prrode poznme, so vetkmi ich mechanickmi vlastnosami. Tieto mechanick vlastnosti s v skutonosti odrazom psobenia elektrickch sl medzi zkladnmi stavebnmi kamemi ltky. Platnos Coulombovho zkona bola experimentlne overovan a potvrden v irokom rozsahu vzdialenost od rozmerov atmovho jadra (rdovo 1015 m) a do vzdialenosti rdovo 103 m a niet dvodov pochybova, e plat aj pre vie vzdialenosti.

Na zklade uvedench skutonost mono Coulombov zkon povaova za jeden zo zkladnch experimentlnych zkonov elektromagnetizmu.

2.2 ELEKTRICK POLE. INTENZITA ELEKTRICKHO POA

Vpoet silovho psobenia medzi bodovmi nbojmi je jednoduch, ak ide o interakciu dvoch nbojov. V systme viacerch nbojov potom mono vyui princp superpozcie, ale loha sa stva zloitejou. Ete zloitejou je loha, ak na bodov nboj psob rozloenie nbojov, ktor meme povaova za spojit. Je zrejm, e priamy vpoet je znane saen, alebo aj nemon. Uvaujme ete raz systm n bodovch nbojov q1, q2, , qn, ktor silovo psobia na vybran nboj qj. Sila Fj psobiaca na nboj qj je poda Coulombovho zkona a princpu superpozcie

26

F Fj jii

n

j i= =1

( ) (2.10)

kde

F r rjij i

jiji j

i

jiji

q q

rq

qr

j i= =

14

140

30

3 ( ) (2.11)

je sila, ktorou i-t nboj psob na j-t nboj. Vsledn sila psobiaca na j-t nboj je teda

F F rj jii

n

ji

jii

n

jiqqr

j i= =

=1 0

3=1

14

( ) (2.12)

a je dan sinom nboja qj a sinitea v hranatej ztvorke, ktor zvis iba od nbojov q1 a qn a ich vektorovch vzdialenost k nboju qj. Vraz v ztvorke je matematicky vektorov funkcia polohy (ako uvidme neskr v elektrodynamike, aj funkcia asu) a fyziklne predstavuje vektorov veliinu, ktor sa selne a smerom rovn sile psobiacej na jednotkov kladn nboj qj vek 1 C. Tto vektorov veliinu nazvame intenzita elektrickho poa a oznaujeme ju symbolom E. Priestorov rozloenie veliiny E nazvame elektrick pole. Poda uvedench vah je formlne intenzita elektrickho poa dan podielom sily a nboja, na ktor sila psob, teda

E F=q

(2.13)

Intenzita elektrickho poa je dleit fyziklna veliina, pre meranie ktorej treba uri jednotku, najvhodnejie priamo zo vzahu (2.13). Vidme, e takou jednotkou je 1 N/C. astejie sa vak intenzita elektrickho poa uruje v ekvivalentnch jednotkch 1 V/m = 1 N/C, kde V (volt) je jednotka elektrickho potencilu, alebo elektrickho naptia. Rozmer jednotky intenzity elektrickho poa v sstave SI jednotiek je

1 Vm

= 1 NC

= 1 m.kg.s .A 3 1

Ak v nejakom bode priestoru intenzitu elektrickho poa poznme, potom sila psobiaca na nboj q v danom bode je vyjadren jednoduchm vrazom

F = qE (2.14)

Tento vzah medzi intenzitou elektrickho poa a silou, ktor v danom bode psob na elektrick nboj, je jednm zo zkladnch vzahov elektrostatiky.

Prv, ne pristpime k vpotu elektrostatickch pol rznych nbojovch rozloen, odpovieme na jednu kardinlnu otzku: o je vlastne elektrick pole? Je to fyziklna realita alebo iba bezobsan pomocn pojem na popis silovch interakci medzi elektrickmi nbojmi. Poda spsobu jeho zavedenia sa toti mono domnieva, e elektrick pole je

SpokeHighlightSpokeHighlight

27

iba pomocn matematick funkcia, iba fikcia, ktor neodra nijak objektvnu realitu. Ak by to bola pravda, to by znamenalo, e elektrick silov psobenie je okamit psobenie nbojov na diaku, bez akejkovek asti priestoru a asu. Takto nzor na problm sa veobecne povaoval za sprvny alebo aspo logick a do vybudovania elektromagnetickej terie, a v konenom dsledku a do vybudovania terie relativity.1 Silov interakcie elektrickch nbojov sa vak uskutouj v priestore a v ase, z oho plynie, e elektrick pole je nositeom energie. O tom sa mono presvedi nasledovnm mylienkovm experimentom:

Dva bodov nboje sa nachdzaj vo vekej vzjomnej vzdialenosti. Predstavme si, e jeden z nbojov v istom okamihu zmenil polohu, "uskoil". Ptame sa: za ak dobu to pocti druh nboj? Ak by sa informcia o zmene polohy nboja rila okamite s nekonenou rchlosou, vtedy by sme mohli vyhlsi, e vzjomn interakcie nbojov s okamit v ase, a teda sa dej bezprostredne, bez asti sprostredkovatea, ktorm je priestor a as. Dnes vak vieme, e spomnan informcia o zmene polohy nboja sa ri konenou rchlosou, konkrtne vo vkuu rchlosou svetla c. Teda prenos informcie sa uskuton v priebehu doby t = l/c, kde l je vzdialenos medzi nbojmi. Poas tejto doby informcia o "uskoen" nboja mus by v nieom zakdovan, a tm niem je realita, ktor nazvame elektrick pole.

Na zdvodnenie existencie elektrickho poa netreba nm vak robi nijak mylienkov experimenty. Dnes nikto nepochybuje o relnej existencii elektromagnetickch vn, ktor sa iroko vyuvaj na prenos informci a o ktorch vieme, e sa ria konenou rchlosou, vo vkuu rchlosou c. Prenos informci je mon iba prenosom energie, teda elektromagnetick vlny predstavuj toky energie. Elektromagnetickm a tm aj elektrickm poliam teda musme pripsa energiu, hybnos a dokonca aj moment hybnosti a povaova ich za objektvnu realitu, pre ktor s splnen aj zkony zachovania. Treba si uvedomi, e ak by psobenie nbojov bolo bez asti priestoru a asu, neexistovali by elektromagnetick vlny. Interakcia elektrickch nbojov teda nie je bezprostredn, nie je to psobenie na diaku, ale psobenie prostrednctvom relneho elektrickho poa, ktor je energetickm prejavom nboja.

Intenzita elektrickho poa n bodovch nbojov. V tomto odseku uvedieme niekoko prkladov na vpoet elektrostatickch pol rznych nbojovch zoskupen. Jednoduch je vpoet intenzity elektrickho poa skupiny bodovch nbojov, alebo pecilne jednho bodovho nboja v bode, v ktorom nele iadny in nboj. Intenzita systmu bodovch nbojov je dan vrazom v ztvorke vzahu (2.12), teda

E r= 1

4 03

1

qr

i

ii

i

n

=

(2.15)

Intenzita elektrickho poa bodovho nboja. Intenzita elektrickho poa od jedinho bodovho nboja q vo vektorovej vzdialenosti r

E r=1

4 0qr3

(2.16)

1 Predstavu o bezprostrednom psoben nbojov na diaku zastval aj vznamn nemeck fyzik

Wilhelm Eduard Weber (1804 1855)

SpokeHighlight

28

Z poslednch dvoch vzahov vidme, e pre intenzitu elektrickho poa, podobne ako pre elektrick sily, plat princp superpozcie, toti, e intenzita poa sboru bodovch nbojov sa rovn vektorovmu stu intenzt jednotlivch bodovch nbojov. O elektrickom poli bodovho nboja zatia meme poveda iba to, e je to vektorov pole, ktor je radilne so stredom symetrie v mieste nboja, je priamo mern vekosti nboja a nepriamo mern druhej mocnine vzdialenosti od nboja, teda je funkciou 1/r2. V mieste nboja m pole singularitu, intenzita poa v absoltnej hodnote tam rastie nad vetky medze, a naopak, v nekonene vekch vzdialenostiach od nboja intenzita kles k nule. Takto informciu nm poskytuje vraz (2.16).

Intenzita elektrickho poa dvojice bodovch nbojov. Druhm dleitm systmom nbojov je dvojica bodovch nbojov q1 a q2 uloench v istej vzjomnej vzdialenosti d. Intenzita poa v ubovonom bode priestoru je dan superpozciou pol dvoch nbojov a matematicky stom dvoch vrazov typu (2.16). Ak s nboje ubovon, bliie neuren, me by pole vemi zloit. Polia rznych dvojc maj vak niektor spolon rty; v miestach nbojov polia vykazuj singularity (nekonene vek absoltne hodnoty), v nekonene pole zanik, pole m valcov (osov) symetriu okolo osi prechdzajcej nbojmi. Najjednoduchie pole vytvraj dvojice v absoltnej hodnote rovnako vekch nbojov, priom obzvl dleit je dvojica rovnako vekch nbojov opanho znamienka, ktor nazvame elektrick dipl. Pole elektrickho diplu je vhodnejie analyzova s vyuitm pojmu elektrickho potencilu, preto na tomto mieste posdime iba niektor zkladn rty tohto poa.

Obr. 2.4

Na obr. 2.4 je dvojica nbojov +q a q vo vzjomnej vzdialenosti d = 2a. Os x pravouhlho sradnicovho systmu je toton s osou dvojice nbojov a os y prechdza symetricky medzi nbojmi. Urme intenzitu elektrickho poa na dvoch miestach v bode M(x; 0) na osi x vo vzdialenosti x > a a vo zvolenom bode P(0; y) na osi y. Treba si vimn, e pole je osovo symetrick, teda rovnak pole ako v bode P je v kadom bode na krunici s polomerom y leiacej v rovine kolmej na os x a so stredom na osi x. V bode M je intenzita elektrickho poa EM dan vektorovm stom pol EM

+ a EM od

jednotlivch bodovch nbojov, teda

29

E E EM M M= ++

kde ( )

E iMq

x a+ =

+1

4 2 0 a

( )E iM

q

x a =

1

4 02

take ( ) ( )

E iMq

x a x a=

+

=4

1 1

02 2

( )

=

=

4

4

2

4 102 2 2

03

2

2

2axq

x a

qd

xax

i i (2.17)

Intenzita poa v bode M smeruje proti jednotkovmu vektoru i (do stredu sradnej sstavy). V symetrickom bode vo vzdialenosti x m intenzita elektrickho poa rovnak absoltnu hodnotu a smeruje v zpornom smere osi x. So zvovanm absoltnej vzdialenosti x kles intenzita v absoltnej hodnote k nule. V bodoch, kde sdlia nboje, intenzita v absoltnej hodnote rastie nad vetky medze (singulrne body).

V bodoch na osi x pre |x| < a m intenzita smer kladnej osi x a jej vekos je dan vrazom

( )

Eq x a

a xx =

+

2 0

2 2

2 2 2 (2.18)

o om sa itate me ahko presvedi. V strede sradnicovej sstavy (x = 0, y = 0), symetricky medzi nbojmi

Eq

ax = 2 0

2 (2.19)

teda intenzita predstavuje dvojnsobok intenzity poa bodovho nboja, o sa dalo oakva.

Vimnime si teraz vlastnosti intenzity poa v bode P na osi y. Aj tam je intenzita poa EP dan superpozciou dvoch vektorov EP

+ a EP , t. j.

E E EP P P= ++

kde

E Eqr

P P+ = = 1

4 02

a zloky tchto vektorov v smeroch os x a y v bode P s dan vrazmi

30

E Eqr

Px Px+ = = 1

4 02

cos

E Eqr

Py Py+ = = 1

4 02

sin

Vsledn intenzita v bode P je dan vektorom

jijiEEE 02)()( +=+++=+= ++++ PxPyPyPxPxPPP EEEEE

kde j je jednotkov vektor v smere osi y. Ako vidme z poslednho vrazu, pole v bode P m tie iba zloku x

E Eqr

aqr

Px Px= = =+2 2

14 4

2

02 3

cos =1

0

( )

=+

=

+

qd

y a

qd

yay

44 10

2 2 3 2

03

2

2

3 2

/ /

kde sme pri prave vyuili skutonos, e a/r = cos a

r y a= +2 2

Intenzita elektrickho poa v bode P je teda dan vektorom

E iPqd

yay

=

+

4 10

32

2

3 2

/ (2.20)

a pre rastce y kles k nule. Pre y = 0, teda v strede symetrie (v zaiatku sradnicovho systmu)

E i iP xEq

a= =

2 02

o je tak ist vsledok, ak sme dostali pri analze poa na osi dvojice nbojov [na osi diplu pozri vzah (2.19)].

Obzvl dleit je pole vo vekej vzdialenosti od dvojice nbojov, teda vo vzdialenostiach ovea vch ako je vzdialenos nbojov d = 2a. Takto dvojica nbojov pozorovan z vemi vekej vzdialenosti sa nazva bodov dipl. Intenzitu poa bodovho diplu na osiach x a y dostaneme tak, e vo vzahoch (2.17) a (2.20) sa

SpokeHighlight

31

povauje x, y a, take veliiny a2/x2 1 a a2/y2 1 meme zanedba. Ozname p = qd, potom

E iMpx

= 24 0

3 (2.21a)

E iPp

y=

4 03

(2.21b)

Veliina p je absoltna hodnota diplovho momentu. Vidme, e intenzita poa vo vekej vzdialenosti na osi diplu (osi x) je v absoltnej hodnote dvakrt via ako intenzita v rovnako vekej vzdialenosti kolmo na os diplu (na osi y).

Vzhadom na vek dleitos diplovho poa vrtime sa k nemu podrobne po zaveden pojmu elektrickho potencilu. Zatia si vimnime iba to, e diplov pole v porovnan s poom bodovho nboja je slab a kles s treou mocninou vzdialenosti na rozdiel od poa bodovho nboja, ktor, ako vieme, kles s druhou mocninou vzdialenosti.

V ubovonch inch bodoch priestoru v okol dvojice nbojov je pole dan vektorovm stom pol jednotlivch nbojov. Jeho matematick vyjadrenie me by zloit a obyajne neposkytuje nzorn predstavu o priestorovom priebehu poa.

Nzorn predstavu o poli mono zska, ak ho nejakm spsobom graficky zobrazme. Poda u uvedench matematickch vyjadren je elektrick pole spojit vektorov funkcia polohy v priestore, v blzkosti bodovho nboja rastie nad vetky medze a smerom do nekonena kles k nule. Tto funkciu by teda bolo mon znzorni pomocou nejakch iar. Existuje viacero spsobov ako graficky zobrazi elektrick pole. Najrozrenej spsob zobrazenia poa je pomocou siloiar. Siloiary v priestore, kde existuje elektrick pole, s myslen orientovan iary, ktor maj nasledovn vlastnosti:

1. V kadom bode poa m vektor intenzity smer dotynice k siloiare. Tto vlastnos implikuje skutonos, e siloiary sa nemu pretna.

2. Siloiary zanaj na kladnch a konia na zpornch nbojoch alebo v nekonene.

3. Siloiary znzorujeme tak, e ich poet prenikajci jednotkov plochu je mern intenzite poa v danom bode. Tam, kde s siloiary hustejie, je intenzita poa via, a tam kde s redie, je intenzita menia.

Nie je celkom trivilne, e existuje sbor siloiar, ktor maj uveden vlastnosti. Mono sa presvedi, e ak by neplatil Coulombov zkon, takto sbor siloiar by neexistoval. Netreba vak zabda, e elektrick siloiary s iba pomocn prostriedok na zobrazenie poa, e nijak relne iary v priestore neexistuj.

Na obr. 2.5 s znzornen siloiary kladnho a zpornho bodovho nboja. Z kladnho nboja siloiary radilne vychdzaj a strcaj sa v nekonene. Na zpornom nboji maj siloiary opan smer. Na obr. 2.6 s siloiary dvojice opanch rovnako vekch nbojov, na obr. 2.7 s siloiary dvojice rovnakch kladnch nbojov a napokon na obr. 2.8 siloiary dvojice opanch nbojov rznej vekosti. Vidme, e najm posledn siloiary s elegantn a zobrazuj relatvne zloit, v priestore osovo symetrick pole.

32

Obr. 2.5

Obr. 2.6 Obr. 2.7

Obr. 2.8

33

2.3 INTENZITA ELEKTRICKHO POA NBOJOV SPOJITE ROZLOENCH NA IARACH, PLOCHCH A V OBJEME

V praxi je elektrick nboj asto spojito rozloen na telesch rznych geometrickch foriem, priom spojitos musme chpa v uvedenom zmysle rozloenia vekho mnostva elementrnych nbojov na objektoch konench rozmerov. Pod pojmom rozloen nboj tu rozumieme dodaton nboj, ktor bol na teleso priveden alebo z neho odveden vo forme napr. istho potu elektrnov. Bez tohoto dodatonho nboja sa teleso jav ako elektricky nenabit, t. j. inok nboja vetkch protnov je kompenzovan inkom nboja presne rovnakho potu elektrnov. Je samozrejm, e tto kompenzciu treba chpa v relatvne vekom objeme, v ktorom vek poet kladnch a zpornch nbojov je rovnak. V blzkosti jednotlivch elementrnych nbojov v telese existuj siln loklne polia, ktor v dsledku chaotickho tepelnho pohybu maj fluktuan charakter a ich priestorov a asov stredn hodnota sa rovn nule. Ak teda privedieme na teleso dodaton nboj in povedan, elektricky ho nabijeme zaujm tieto nboje na telese ist polohy zvisl od truktry a elektrickch vlastnost telesa.

Na tomto mieste treba poveda, e v prrode sa vyskytujce ltky delme z hadiska ich zkladnch elektrickch vlastnost na:

a) ltky elektricky nevodiv, nazvan nevodie, izolanty, prpadne dielektrik, b) ltky elektricky vodiv, alebo jednoducho vodie. Pojem "vodivos ltok" zavedieme neskr ako fyziklnu veliinu, na tomto mieste

definujeme vodivos ako mieru vonosti pohybu nbojov v ltke. V nevodioch, dielektrikch, sa priveden nboje nemu pohybova, teda zotrvvaj na tch miestach, na ktor boli vonkajmi silami prinesen. Vo vodioch sa nboje mu pohybova, take priveden nboj si na vodivom telese njde sm miesto, na ktorom je ochotn stabilne zotrva. Toto rozmiestnenie nbojov na vodivom telese je "kolektvne", po dohode s ostatnmi nbojmi. D sa ukza, e rozloenie nbojov na vodivom telese zodpoved princpu najmenieho inku nboje sa na vodivom telese rozloia tak, e energia ich elektrickho poa je minimlna (Thomsonova veta).

Uveden triedenie ltok na vodiv a nevodiv je vemi hrub, pretoe v prrode v skutonosti neexistuj idelne ltky, ktor by patrili do jednej alebo druhej skupiny. Vetky tuh ltky s viac-menej vodiv alebo nevodiv. Naviac, popri tuhch ltkach existuj aj ltky kvapaln a plynn, ktor maj svoje pecifick zvltnosti, najm plyny, ktor ke s ionizovan, predstavuj osobitn skupenstvo hmoty nazvan fyziklna plazma. Kee sa na tomto mieste nemienime zaobera vntornou truktrou ltok, uspokojme sa s tmto hrubm triedenm, ktor potrebm elektrostatiky dostatone vyhovuje. Ltkov nabit prostredie samo vplva na intenzitu elektrickho poa. Predbene si vak tento vplyv nebudeme vma a vsledn elektrick pole budeme povaova iba za pole dodatonch, prinesench nbojov.

Venujme sa teda spsobom vpotu intenzity poa od rznych nbojovch rozloen. Vetky tieto vpoty s zaloen na platnosti princpu superpozcie a ved na integrciu prspevkov k intenzite od jednotlivch elementov nbojovho rozdelenia. Ako prv preskmame elektrick pole buden nbojom rozloenm na geometrickom tvare, podobnom matematickej iare, ktor me modelova napr. tenk vodiv nabit drt alebo nabit vlkno z umelej hmoty. Dka nosia nboja (iary) nech je l a me by konen alebo nekonen. Na iare je rozloen nboj s dkovou hustotou , priom me by kontanta (kladn alebo zporn), ak je nboj na iare rozloen rovnomerne,

34

alebo veliina zvisl od polohy na iare. V takom prpade je matematickou funkciou polohy, priom poloha me by dan rznym spsobom; najastejie ako prieben bod v pravouhlch sradniciach (x0, y0, z0), teda vzdialenosou uvaovanho bodu na iare od vhodne zvolenho zaiatku 0, pozri obr. 2.9, teda (r0). V tomto bode na iare zvolme nekonene krtky sek dl, na ktorom je celkov nekonene mal nboj dQ(r0) = (r0)dl. Tento nboj m vo vekej vzdialenosti r vlastnosti bodovho nboja, teda bud nekonene mal pole dE(r) mern dQ a klesajce ako funkcia 1/r2 so smerom pozd vektora r. Pole dE(r) mono vyjadri matematickmi vzahmi

d ( )d ( ) ( )

d( )( )

dE r r r r r r r r

r r=

=

=

1

41

41

400

30

03

0

0 0

03

Qr r

l l (2.22)

kde r = r r0 (pozri obr. 2.9). Vsledn intenzita poa od celej nabitej iary je dan vektorovm stom nekonene malch prspevkov dE od jednotlivch nbojovch elementov pozd celej iary l. Matematicky je tento set dan integrlom prspevkov (2.22), teda

=l

lr

d)(

41

)( 30

0

rrrE

(2.23)

Obr. 2.9

Vzah (2.23) pre intenzitu elektrickho poa od nabitej priamky m iba formlny vznam, pretoe nevieme priamo pota integrly z vektorovch funkci. Ak mme astie, e polia od vetkch elementov maj rovnak smer, v takom prpade ide o obyajn integrciu, ale to je zriedkavos. Vo veobecnosti treba prspevky typu (2.22) rozloi na vektorov zloky a tieto jednotlivo integrova. Vsledok dostaneme v tvare troch zloiek vektora intenzity elektrickho poa. iastone sa vpoet zjednodu aj v prpade, ke je nbojov hustota kontantn.

35

Intenzita elektrickho poa v okol nabitej priamky. Ako uiton prklad uvedieme vpoet intenzity elektrickho poa v okol nekonene dlhej priamky nabitej nbojom s kontantnou hustotou . Na obr. 2.10a je znzornen as nekonenej nabitej priamky. V kolmej vzdialenosti r od priamky (bod 0 je vzan bod) v bode P je intenzita elektrickho poa od kadho z dvoch zvolench elementov dl dan vrazom

d dd

d = = =E E lr

14 40

20

(2.24)

kde sme vyuili skutonos, e

l r lr r= = =tg d

cos cos

2d

Obr. 2.10

Tieto elementrne prspevky maj smery spojnc a v bode P sa vektorovo staj na vsledn intenzitu dvojice v absoltnej hodnote

d d cos cos dE Err

= =22 0

(2.25)

Smer tohoto prspevku je pozd spojnice r. Teraz meme integrova vetky takto dvojice pozd nekonenej priamky, teda

36

==2/

0 002

dcos2

)(rr

rEr

(2.26)

Vidme, e pole nbojov rozloench rovnomerne na nekonenej priamke je radilne okolo priamky a intenzita poa kles ako funkcia 1/r. Na obr. 2.10b s znzornen siloiary poa v okol nabitej priamky.

Intenzita elektrickho poa od nboja na krunici. Pounm prkladom je vpoet intenzity elektrickho poa na osi krunice polomeru R s nbojom Q rovnomerne rozloenm pozd nej s dkovou hustotou = Q/(2R), pozri obr. 2.11a. Intenzitu poa vypotame vo vzdialenosti z od stredu krunice. Na krunici zvolme dva proti sebe leiace nbojov elementy dl, ktor dvaj dva rovnako vek prspevky intenzity

d dd d

cos = = =E E l Rz

14

140

20

22

Obr. 2.11

kde = z/cos a dl = Rd. Tieto dva prspevky sa v bode P vektorovo skladaj a vytvraj pozd osi z element intenzity

d d coscos

dE ER

zz = =2 2 0

3

2

Po jednoduchej integrcii elementov d od 0 po dostaneme pre intenzitu poa na osi kruhu vo vzdialenosti z v mieste, odkia oblky kruhu vidie pod uhlom , vraz v tvare

( )

ER

zQ z

z Rz = =

+

2 40

3

20 2 2

3 2cos

/ (2.27)

37

Z tohoto vrazu meme urobi niektor vpovede o priebehu poa pozd osi z. Predovetkm v zaiatku, v strede krunice (z = 0), je intenzita nulov. To sce priamo z poslednho vrazu nevyplva, pretoe by tam mohli okrem zloky v smere z existova i nejak priene zloky, ale aj tie by sa v dsledku osovej symetrie rozloenia nboja v strede krunice museli rui. Pre zporn hodnoty z je intenzita poa na osi zporn, o znamen, e tam intenzita poa smeruje proti smeru osi z, a v nekonene vekch vzdialenostiach napravo a naavo od stredu 0 sa intenzita poa rovn nule. Posledn vraz meme psa aj v tvare

2/3

2

2201

1

4)(

+

=

z

Rz

QzEz

(2.28)

odkia vidme, e vo vzdialenosti z R je pole dan priblinm vrazom

2

04)(

z

QzEz

Vo vekej vzdialenosti od krunice nielen na osi, ale v ubovonom bode priestoru je pole dan poslednm vrazom, inak povedan, z vekej vzdialenosti pozorujeme nabit krunicu ako bodov nboj.

Zistili sme, e intenzita poa v zaiatku a v nekonene sa rovn nule, mus teda na osi z existova miesto, kde intenzita poa m maximum. Mono sa ahko presvedi, ke sa vypota extrm funknej zvislosti (2.27), e intenzita nadobda absoltne maxim vo vzdialenostiach R 2 od stredu krunice, kde dosahuje hodnoty

EQ

Rmax =

6 3 02

Pole siloiar v bezprostrednom okol krunice je pomerne zloit. O jeho priebehu si mono urobi predstavu z obr. 2.11b. N vpoet sa tka iba bodov na osi krunice, vo vetkch inch bodoch vpoty s zloit a ved na eliptick integrly.

Druhm, v praxi sa asto vyskytujcim nbojovm rozloenm, je spojit rozloenie nboja na ploche. Na obr. 2.12 je znzornen plocha S, ktor tie me by konen alebo nekonen, na ktorej je rozloen nboj s plonou hustotou . Vo vektorovej vzdialenosti r0 od vzanho bodu 0 je na ploche zvolen elementrna plocha dS, na ktorej sdli nekonene mal nboj dQ = dS. Tento nboj produkuje vo vektorovej vzdialenosti r elementrne mal intenzitu elektrickho poa

30

0

d)(41

)(dr

S

= rrrE

(2.29)

kde r je vektorov vzdialenos bodu P, v ktorom potame intenzitu. Vsledn intenzita poa v bode P je dan integrlom vrazu (2.29), teda

38

=S

Sr

d)(

41

)( 30

0

rrrE

(2.30)

Integrl v poslednom vraze je vo veobecnosti dvojnm integrlom a spsob jeho vpotu zvis od spsobu voby plonho elementu dS.

Obr. 2.12

Intenzita elektrickho poa od nboja na kruhovej ploche. Ako prklad uvedieme vpoet intenzity elektrickho poa na osi kruhu s polomerom R vo vzdialenosti z od nboja Q rovnomerne rozloenho s plonou hustotou = Q/(R2) na kruhu, pozri obr. 2.13a. Na kruhu si zvolme koncentrick medzikruie s polomerom r, s prrastkom dr a na om vyberieme dva proti sebe leiace plon elementy rdrd, na ktorch s nekonene mal nboje dQ = rdrd. Tieto nboje vytvoria v bode P intenzity elektrickho poa s absoltnymi hodnotami

d dd d

tg d d = = =E E r r14 40 2 0

kde sme pri zpise vyuili rovnosti

= = =z r z r zcos

tg dcos

d 2

Tieto dva prspevky sa v bode P vektorovo skladaj a vytvoria elementrne pole

d d cos tg cos d d sin d d = = =E E22 20 0

Po prvej integrcii tohto vrazu cez elementy d od 0 po dostaneme elementrnu intenzitu od celho medzikruia

d sin dEz =

2 0

39

a ak t integrujeme cez uhol od 0 po 0, dostaneme

EQ

Rz = =

2

12

10

00

2 0( cos ) ( cos ) (2.31)

Pre funkciu cos0 plat cos 0 2 2= +

z

z R

take

E zz

z R

QR R

z

z ( ) = +

=

+

2

12

11

10 2 2 0

2 2

2

(2.32)

Obr. 2.13

Z vrazov (2.31) a (2.32) meme zska zaujmav informcie o poli. Predovetkm vidme, e v nekonene vekej vzdialenosti (pre 0 = 0 alebo z ) pole vymizne a v strede kruhu (pre 0 = /2, alebo z = 0) m konen hodnotu

EQ

Rz = =

2 20 0

2 (2.33)

Vo vekej vzdialenosti od kruhu pre z R, meme prevrten hodnotu odmocniny vo vraze (2.32) rozvin do mocninovho radu a obmedzi sa na prv dva leny rozvoja, teda

1

1

1122

2

2

2

+

Rz

Rz

40

a uveden vraz nadobudne tvar

EQ

zz 4 0

2

Vidme, e vo vekch vzdialenostiach od kruhu je jeho pole podobn ako pole bodovho nboja.

Na plon nboj rozloen na kruhovej ploche je mon ete in dleit pohad. Predpokladajme, e polomer plochy R budeme zvova do nekonena. Kruhov plocha prejde na nekonen rovinu. Ak vo vraze (2.31) 0 /2 alebo vo vraze (2.32) R , dvaj tieto vrazy intenzitu elektrickho poa pred nekonenou rovinou v tvare

Ez =2 0

(2.34)

Kee nekonen rovina nem os symetrie, intenzita dan poslednm vrazom je rovnako vek v kadom bode pred a za rovinou. Ak je kladn, potom pole m smer od roviny na kad stranu. Ide o homognne polia.

Samozrejme nekonene rozahl roviny v praxi nemme, ale nae vahy s platn pre kad prpad, v ktorom z R, kde R je najmen linerny rozmer rovinnej plochy. Pole v dostatone malej blzkosti od stredu nabitej roviny meme povaova za viac alebo menej homognne s hodnotou intenzity /(20) poda vrazu (2.34). Siloiary v okol rovnomerne nabitho kruhu s znzornen na obr. 2.13b.

Obr. 2.14

Podobne ako v prpade nabitej iary a roviny meme vypota intenzitu elektrickho poa aj v prpade nboja rozloenho v objeme s objemovou hustotou v objeme poda obr. 2.14. Intenzita elektrickho poa v ubovonom bode P danom polohovm vektorom r je dan vrazom

E r r r( ) ( ) d=

14 0

03

r

(2.35)

41

kde r0 je polohov vektor nbojovho elementu dQ = (r0)d a r je vektorov vzdialenos bodu P. Bod P pritom me lea mimo objemu , ale me lea aj v tomto objeme alebo na hraninej ploche objemu. Je zaujmav, e pole zostane konen aj v tchto vntornch bodoch objemu. Takisto pole na ploche s plonou hustotou nboja je konen, avak ak s nboje rozloen na iarach, pole na samotnej iare m singularitu, o si mono vimn naprklad v prpade nekonene dlhho priamkovho nboja [vraz (2.26)].

Intenzita elektrickho poa od nboja v guli. Uvedieme prklad vpotu intenzity elektrickho poa pre nboje rozloen s objemovou hustotou. Ako uvidte, takto vpoty zanaj by neprjemne zloit. Relatvne jednoduch je vpoet intenzity v okol gule s polomerom R0 nabitej rovnomerne v objeme celkovm nbojom Q, teda s kontantnou hustotou nboja = 3Q/( 4 0

3R ). Vypotame intenzitu vo vzdialenosti R > R0 od stredu gule. Na guli zvolme element objemu d v tvare nekonene tenkho rezu tvaru disku poda obr. 2.15, ktorho obsah

d sin d = R03 3

Obr. 2.15

Vznam symbolov je zrejm z obrzku, z ktorho takisto vidme, e

r R= 0 sin l R= 0 cos x R l R R= = 0 cos

x

x r2 2+= cos

Na objemovom elementrnom disku je nboj

d d sin dQ Q= = 34

3

ktor v bode P vo vzdialenosti x od neho vytvor osov intenzitu poa vekosti

dd

( cos ) sin( cos )sin

cosdE

Qr

QR

R R

R R RR= =

+

2 0

2

0 02

02

02

0

13

8 2

42

Karl Friedrich GAUSS (1777 Braunschweig 1855 Gttingen)

Wilhelm Eduard WEBER

(1804 Wittenberg 1855 Gttingen)

43

Tento vraz sme zskali ako analgiu k vrazu pre intenzitu poa plonho rovinnho disku [pozri vzah (2.31)]. Vsledn pole dostaneme integrciou cez vetky elementrne objemov disky, teda v danom vyjadren poda uhla od 0 po , take

EQ

R

R R

R R RR

Q

R=

+

=3

8 2 40 02

0

202

002

sin

( cos )sin

cosd

0

Pri vpote integrlu mono s vhodou vyui substitciu

R R RR t2 02

02+ =cos

S prekvapenm zisujeme, e vsledok integrcie je neobyajne jednoduch. Pole mimo objemu gule je tak ist radilne pole, ako pole rovnako vekho bodovho nboja umiestnenho v strede gule, teda

E rQ

r( ) =

4 02 (2.36)

pre vetky r > R0. Vo vntri guovho rozloenia je tie nenulov pole, je takisto jednoduch, ale jeho vpoet je zloit, a preto ho na tomto mieste neuvdzame.

Uveden ilustrcie svedia o tom, e vpoet poa zloitejch rozloen nbojov priamou integrciou je mon, ale je prinajmenom nepohodln. Naastie existuje metda, ktor, aj ke nie je univerzlna, umouje v niektorch prpadoch uri intenzity pol takmer spamti a uetr itatea od mornch vpotov. Metda spova na jednom zo zkladnch zkonov elektromagnetizmu, ktor dostal nzov poda jeho objavitea vol sa Gaussov zkon.

2.4 GAUSSOV ZKON. TOK VEKTORA PLOCHOU

Pojem toku vektora je jednm zo zkladnch pojmov terie vektorovho poa. Vo fyzike sa s nm stretvame asto, naprklad v hydrodynamike. Staviteov hydrocentrl samozrejme vemi zaujma, ak mnostvo vody preteie za jednotku asu prvodnm potrubm k turbne. Mnostvo preteenej vody, napr. v m3/s, zvis predovetkm od prierezovej plochy potrubia, ale aj od charakteru prdenia a od rchlosti molekl vody v jednotlivch bodoch prierezovej plochy. Ak by prdenie bolo laminrne, v tom prpade loha o mnostve preteenej vody alebo fyziklne povedan loha o toku vektora rchlosti by bola vemi jednoduch. Ak vak podmienka laminrnosti prdenia nie je splnen, loha sa me ukza nron na vpoet.

Druh prklad toku vektorovej veliiny je tok energie elektromagnetickho poa, ak chcete, tak napr. iarivej elektromagnetickej energie Slnka, ktor prenik cez okno do Vaej izby. Neskr zavedieme vektorov veliinu, ktor sa nazva Poyntingov vektor a fyziklne udva mnostvo elektromagnetickej energie prenikajcej kolmo jednotkovou plochou za jednotku asu alebo vkon prechdzajci kolmo jednotkovou plochou. Ak

44

Poyntingov vektor vhodne integrujeme, dostaneme celkov slnen vkon cez Vae okno alebo inak povedan tok Poyntingovho vektora danou plochou.

V uvedench dvoch prkladoch ide o skuton tok relnej fyziklnej veliiny (hmotnos, energia). Ukazuje sa vak, e niekedy je vhodn zavies aj tok vektorovej veliiny, pri ktorej v znmom zmysle ni neteie. Takmto abstraktnm tokom je napr. tok intenzity elektrickho poa alebo tok magnetickej indukcie. Ich zavedenie nm umouje elegantne sformulova niektor zkladn zkony elektromagnetizmu. Poksme sa nae vahy o toku vyjadri matematicky.

Obr. 2.16

Predstavme si, e v nejakej asti priestoru je dan nejak vektorov pole. Pre jednoznanos predpokladajme, e je to pole vektora rchlosti prdiacej kvapaliny ako funkcie priestorovch sradnc. Pre zaiatok tie predpokladajme, e ide o pole homognne. Vlome do tejto prdiacej kvapaliny myslen rovinn rmek s obvodom l, napr. tvoruholnk ako na obr. 2.16a tak, e vektor je kolm na rovinn plochu S ohranien rmekom. Potom mnostvo kvapaliny, ktor pri rchlosti preteie plochou S za jednotku asu je S. Toto mnostvo vyjadren naprklad v m3/s nazveme tokom kvapaliny alebo tokom vektora plochou S a ozname ho

= S

Ak by plocha rmeka nebola kolm na smer vektora , ale kolmica k ploche by zvierala s plochou uhol ako na obr. 2.16b, potom tok rmekom by bol

= Scos (2.37)

pecilne v prpade, ak kolmica zviera s vektorom uhol = 90 ako na obr. 2.16c, potom tok = 0.

Vo vetkch predolch prpadoch sme predpokladali, e vektor rchlosti je kontantn vektor, teda jeho pole je homognne. Ak sa rchlos kvapaliny od miesta k miestu men, v tom prpade vsledn tok cez rovinn plochu bude dan integrlnym stom nekonene malch tokov d cez nekonene mal plky dS, na ktor musme plochu S rozloi. Podobne ako vo vzahu (2.37) dostaneme

d = dScos (2.38)

45

kde je uhol medzi vektorom a kolmicou na prslun plku dS. Vznik tu vak jedna akos, e na jednotlivch plkach je smer vektora rzny, a teda je funkciou polohy. Pri zpise poslednho vrazu mono s vhodou vyui pojem plonho vektora je to vektor, ktorho modul sa rovn vekosti rovinnej plochy a smer je dan smerom kolmice na plochu. Plocha m vak dve strany, preto v konkrtnom prpade treba nejakm pravidlom tento smer vybra. V danom prpade je to smer relneho toku. N plon element dS budeme teda stotoova s vektorom dS a kee rchlos je tie vektor, vraz (2.38) pre d meme napsa ako skalrny sin vektorov a dS, teda

d = .dS (2.39)

Celkov tok udva integrl jednotlivch prspevkov (2.39) po celej ploche S

= .d SS

(2.40)

Obr. 2.17

Zoveobecnme teraz nae vahy o toku kvapaliny. Plocha S nemus by rovinn, ale ubovon, a dokonca aj rmek hranin iara l, nemus lea v rovine, pozri obr. 2.17a. Aj v takomto prpade tok kvapaliny je dan integrlom (2.40), hoci jeho praktick zmysel sa strca, nie vak v prpade inch, abstraktnch vektorovch pol. V abstrakcii meme pokraova tak, e hranin iaru l budeme skracova na nulu, a z plochy s hraninou iarou vznikne uzavret plocha S ako na obr. 2.17b, ktor uzatvra nejak objem . Vypotajme tok kvapaliny takouto uzavretou plochou. Bezpochyby takto integrl po uzavretej ploche z rchlosti prdiacej nestlaitenej kvapaliny sa rovn nule, o meme matematicky napsa

= = .d S 0S

(2.41)

Integrl, teda tok vektora , sa rovn nule, pretoe koko kvapaliny do objemu plochou zava na obr. 2.17b vteie, toko jej plochou vpravo z objemu vyteie kvapalina sa toti vo vntri plochy nehromad.

46

Existuje vea vektorovch pol, ktorch integrl toku cez ubovon uzavret plochu sa rovn nule, ale aj vea takch, ktorch tok sa nule nerovn. Nulovm je tok prve diskutovanej nestlaitenej kvapaliny charakterizovanej jej rchlostnm poom, alej tok vektora magnetickej indukcie, na druhej strane, nenulovm je napr. tok intenzity elektrickho poa, tok intenzity gravitanho poa a i.

Venujme sa teda toku intenzity elektrickho poa, ktor bude teraz stredobodom nho zujmu. Analogick postup a argumentciu, ak sme aplikovali pri zaveden toku rchlosti, meme aplikova aj pri zaveden toku vektora intenzity elektrickho poa E. Ak v elektrickom poli intenzity E zvolme uzavret plochu S, formlne je tok vektora E dan integrciou prspevkov d = E.dS po uzavretej ploche S, teda

= E S.dS

(2.42)

Polome si teraz zsadn otzku omu sa takto integrl vo veobecnosti rovn, omu sa rovn tok intenzity elektrickho poa uzavretou plochou, ak zoberieme do vahy, e v priestore, kde existuj polia, sa nachdzaj aj ich zdroje bodov alebo nejako rozloen nboje. Predovetkm si treba vimn, e tok akhokovek vektorovho poa je skalrna veliina. alej, intuitvne ctime, e hodnota integrlu bude principilne in cez tak plochy, ktor vo svojom vntri obsahuj nboje, a in v prpade, ak vo vntri plochy nboje neexistuj. Otzku o toku nemono zodpoveda na zklade iadnych poznatkov z elektromagnetizmu, to musel niekto prs so spsnou mylienkou hodnou gnia. Tak gnius sa objavil na konci 18. storoia v Nemecku a volal sa Karl Friedrich Gauss, ktor vyslovil Zkon. Slvny zkon o toku vak Gauss nesformuloval pre elektrick, ale pre gravitan pole, ktor je rovnakho fyziklneho druhu, a ktor v jeho dobe bolo tudovan intenzvnejie ako vtedy takmer neznme elektrick pole. Gauss vo svojom zkone predovetkm stanovil, e tok vektora intenzity elektrickho poa je vo veobecnosti nenulov. Zkon v jeho dnenej formulcii znie:

Gaussov zkon

Tok intenzity elektrickho poa E uzavretou plochou S sa rovn nboju Q uzavretmu plochou a delenmu elektrickou kontantou poa (permitivitou vkua) 0. V matematickej formulcii:

E. SdS

Q = 0

(2.43)

Treba zdrazni, e nboj Q je celkov nboj v objeme uzavretom plochou S bez ohadu na to, ako je tam rozloen; me to by jeden bodov nboj q, teda Q = q, alebo sbor n bodovch nbojov qi, teda

Q qii

n

==

1

47

alebo nboj rozloen spojito v objeme s objemovou hustotou , t. j.

Q =

d

Ak v objeme uzavretom plochou nie s iadne nboje, vtedy sa tok uzavretou plochou rovn nule, teda

E S.d = 0S

Uveden formulcia Gaussovho zkona (2.43) je znma ako integrlny tvar Gaussovho zkona, pretoe udva vlastnosti poa vo vekom objeme. Neskr sformulujeme diferencilny tvar, ktor opisuje vlastnosti poa v bode priestoru.

Vimnime si teraz niektor zkladn vlastnosti elektrickho poa tak, ako plyn z Gaussovho zkona. Skutonos, e tok je nenulov, ak plocha obsahuje nboje, a naopak, je nulov, ak tam nboje nie s, je znakom, e pole je riedlov a riedlami s elektrick nboje elektrick siloiary vystupuj z kladnch nbojov a vstupuj do zpornch. Takto vlastnos nem napr. magnetick pole, ktorho tok ubovonou uzavretou plochou je vdy nulov. Magnetick pole je preto poom neriedlovm, poom vrovm.

Obr. 2.18

Druh zvan skutonos, ktor plynie z Gaussovho zkona, je intenzita poa bodovho nboja. Ak okolo bodovho nboja q zvolme Gaussovu plochu v tvare koncentrickej guovej plochy s polomerom r (obr. 2.18) a ak urobme jedin predpoklad o poli, e je radilne, potom vo vraze (2.43) skalrne siny E.dS s siny absoltnych hodnt EdS, pretoe vektory E a dS s vade na uvaovanej guovej ploche paraleln. alej, E je vade na ploche kontantn, teda ho mono spod integrlu vybra, a nakoniec,

S Sd = obsahu guovej plochy, teda

48

E S.d d dS S S

E S E S r Eq

= = = =4 20

z oho Eq

r=

4 02

To je nm u znmy vraz pre intenzitu elektrickho poa v okol bodovho nboja. Ak na plochu S umiestnime al naboj q0, potom sila F0 psobiaca na tento nboj

F q Eq qr

0 00

02

14

= =

o je Coulombov zkon, ku ktormu sme takto dospeli isto teoretickmi vahami z Gaussovho zkona. Mohli by sme vak nae vahy aj obrti a z Coulombovho zkona dokza platnos Gaussovho zkona. Vznik tak bludn kruh circulus vitiosus in probando! Ak sa mu chceme vyhn, musme si ujasni otzku priority a rozhodn, ktor z tchto dvoch zkonov je prvotn. Prvotn je tak zkon, ktor logicky nevyplva z inch zkonov, m neobmedzen platnos a pritom neodporuje iadnemu javu pozorovanmu v prrode. Takto atribty m Gaussov zkon, a preto ho povaujeme za prvotn zkon elektrostatiky. Coulombov zkon, ktor plat pre bodov nboje vo vkuu ho experimentlne potvrdzuje.

2.5 VPOET INTENZT ELEKTRICKCH POL S VYUITM GAUSSOVHO ZKONA

Gaussov zkon nm v niektorch prpadoch umouje neobyajne jednoducho a elegantne vypota intenzitu poa. Jeden takto vpoet sme urobili v predchdzajcom odstavci pre bodov nboj. Ak chceme vyui Gaussov zkon na vpoet intenzity pol, potrebujeme iba dve veci. Ma predstavu o priestorovom rozloen poa, t. j. ma predstavu napr. o priebehu siloiar, a na jej zklade njs Gaussovu plochu tak, aby v kadom jej bode bola intenzita poa rovnak a bola kolm na plochu. V takom prpade integrl

S SE d. prejde na sin plochy S a vekosti intenzity E, teda ESS = SE d. . Je zrejm, e nie vdy vieme njs vhodn plochu, a preto poet takto rieitench loh je obmedzen. Umenie vhodne zvoli Gaussovu plochu je mierou spenosti rieenia.

Intenzita elektrickho poa v okol nabitej priamky. Vrme sa teraz znovu k nekonene dlhej priamke nabitej nbojom s kontantnou hustotou a vypotajme intenzitu elektrickho poa v jej okol ete raz, teraz s vyuitm Gaussovho zkona. Pole je radilne, lebo je valcovo symetrick s osou symetrie na nabitej priamke. Ak zvolme ako Gaussovu plochu koaxilny valec s polomerom r a dkou l ako na obr. 2.19, bude ma pole na plti valca vade rovnak hodnotu a bude smerova kolmo na valcov plochu. Celkov nboj uzavret plochou Q = l a tok valcovou plochou je dan iba tokom cez pl valca, pretoe tok zkladami je nulov (vektory intenzity leia v rovine zkladn). S vyuitm Gaussovho zkona (2.43) dostaneme

49

Obr. 2.19

E S.d = = 20

rlE l

S

a odtia Er

= 2 0

o je ten ist vsledok ako (2.26), ktor sme dostali integrciou. Porovnajte a poste, ktor postup je jednoduch.

Intenzita elektrickho poa od nboja rozloenho v nekonene dlhom valci. Predpokladajme teraz, e nboj je rozloen nie na priamke, ale s nejakou kontantnou objemovou hustotou v nekonene dlhom valci s polomerom R (obr. 2.20a). Aj v takom prpade vpoet intenzity poa je mon priamou integrciou, avak je zloit. Vyuime k vpotu Gaussov zkon. Preskmame zvl pole mimo objemu valca (r > R) a vo valci (r < R). Zavedieme si dkov hustotu nboja (nboj na meter dky valca) = R2.

Obr. 2.20

50

V bodoch r > R meme aj teraz oakva radilne