Ángulos de Euler

Leonard Euler (1707-1783) fue uno de los gigantes en las matemáticas. Entre la multitud

de notables contribuciones que hizo a la Ciencias Físicas en general, y las matemáticas

en particular, muchas de los cuales llevan su nombre, es su trabajo en Mecánica y

Dinámica. En relación con su trabajo en mecánica celeste y Euler afirmó demostró un

teorema que está estrechamente relacionado con este trabajo.

El teorema establece que

“Cualquiera de los dos sistemas coordenados ortonormales pueden estar relacionados por una secuencia de rotaciones (no más de tres) sobre ejes

coordenados, donde dos rotaciones sucesivas no pueden realizarse sobre el mismo eje”.

Cuando decimos "dos sistemas coordenados independientes están

relacionados” significa que una secuencia de rotaciones alrededor de ejes

coordenados sucesivos girará el primer sistema en el segundo.

El ángulo de rotación alrededor de un eje de coordenados se llama ángulo de Euler. Una

secuencia de rotaciones de este tipo a menudo se llama secuencia de ángulos de Euler,

o más precisamente, una secuencia ángulo -eje de Euler, ya que el orden secuencial de

los ejes sobre los que se toma cada rotación es un asunto importante.

Representación Convencional de las Rotaciones: Ángulos de

Euler

- La forma matemática de la matriz de rotación es la que más afecta a la

complejidad del sistema de ecuaciones resultante.

- El uso de Ángulos de Euler o similares genera sistemas de ecuaciones

con funciones trascendentes.

- La resolución numérica es posible, no así la algebraica.

Orientación del elemento terminal

Ángulos de Euler ZXZ – Es una de las representaciones más habituales. – Se suele asociar con los movimientos básicos de un giroscopio. – Si se parte de los sistemas OXYZ y OUVW, inicialmente coincidentes, podemos colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos (en orden): 1. Girar el sistema OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OZ, convirtiéndose en el OU´V´W´. 2. Girar el sistema OU´V´W´ un ángulo θ con respecto al eje OU´ (X inicial), convirtiéndose en el OU´´V´´W´´. 3. Girar el sistema OU´´V´´W´´ un ángulo ψ con respecto al eje OW´´ (Z inicial), convirtiéndose finalmente en el OU´´´V´´´W´´´.

Ángulos de Euler ZYZ – Si se parte de los sistemas OXYZ y OUVW, inicialmente coincidentes, podemos colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos (en orden): 1. Girar el sistema OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OZ, convirtiéndose en el OU´V´W´. 2. Girar el sistema OU´V´W´ un ángulo θ con respecto al eje OV´ (Y inicial), convirtiéndose en el OU´´V´´W´´. 3. Girar el sistema OU´´V´´W´´ un ángulo ψ con respecto al eje OW´´ (Z inicial), convirtiéndose finalmente en el OU´´´V´´´W´´´.

Ángulos RPY – “roll” (balanceo), “pitch” (inclinación) y “yaw” (orientación). En náutica corresponde a alabeo, cabeceo y guiñada. – Representación utilizada generalmente en aeronáutica.

– Si se parte de los sistemas OXYZ y OUVW, inicialmente coincidentes, podemos colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos (en orden): 1. Girar el sistema OUVW un ángulo ψ con respecto al eje OX. Es el denominado Yaw o guiñada. 2. Girar el sistema OUVW un ángulo θ con respecto al eje OY. Es el denominado Pitch o cabeceo. 3. Girar el sistema OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OZ. Es el denominado Roll o alabeo.

BILBIOGRAFIA

http://www.dim.cinvestav.mx/DimPrimerGnra/rotaciones/contact-us.html

http://mecclas.fisica.edu.uy/teorico/angeul.pdf

http://centrodeartigo.com/articulos-utiles/article_121352.html

http://mecfunnet.faii.etsii.upm.es/Xitami/webpages/euler/wwwangeu.html

http://www2.elo.utfsm.cl/~elo377/documentos/TMA-RoboticaJHS.pdf

http://www.ehu.es/compmech/wp.../PresentacionTheoreticalKinematics.pdf

http://www.industriaynegocios.cl/Academicos/AlexanderBorger/Docts%20Doce

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https://estudiarfisica.wordpress.com/2011/03/17/ampliacion-del-solido-rigido-

matrices-de-rotacion-angulos-y-transformaciones-de-euler-velocidad-angular-

momento-angular-tensor-de-inercia-teorema-de-steiner-generalizado/