ÂNGULOS

Prof. Vitor Dias

Apresentação

Definição

Medidas

Congruência

Classificação

Bissetriz

Complemento e Suplemento

Aplicações no dia-a-dia

O que são ângulos ?

Ângulo é a região de um plano formado de

duas semirretas que tem origem em um ponto

comum (denominado de vértice).

Medidas de Ângulo

A medida em graus de um ângulo é o

comprimento de um arco dividido pela

circunferência de um círculo e multiplicado por

360.

O gradiano, também chamado de grado, é uma

medida angular onde o arco é dividido pela

circunferência e multiplicado por 400.

Congruência de Ângulos

A congruência entre ângulos é uma noção

primitiva. Dizemos que dois ângulos são

congruentes se, a medida de seus elementos

coincidem (ângulo e lados).

Classificação Quanto a Posição

Ângulos Consecutivos: Dois ângulos são

chamados consecutivos se um dos lados de um

deles coincide com um dos lados do outro

ângulo.

Ângulos Adjacentes: Dois ângulos são chamados

adjacentes quando são consecutivos e não

possuem pontos internos em comum.

Ângulos Opostos pelo Vértice (O.P.V): Os

Ângulos opostos pelo vértice ou simplesmente

ângulos opv, são aqueles compostos por duas

retas, cujo os ângulos interno ou externo a estas

retas e diagonalmente opostos são congruentes.

Classificação Quanto ao Ângulo

Ângulo Nulo: O ângulo nulo mede 0°;

Ângulo Agudo: Cuja medida é maior que 0° e

menor que 90°;

Ângulo Obtuso: Cuja medida está entre 90° e

180°;

Ângulo Reto: Ângulo que mede exatamente 90°;

Ângulo Raso: Ângulo que mede exatamente

180°;

Ângulo Côncavo: Cuja medida do ângulo é

maior que 180° e menor que 360°;

Ângulo Completo: Ângulo que mede 360°;

Classificação Quanto a Complementação

Ângulos Complementares: Dois ângulos são

complementares quando a soma de suas medidas é

igual a 90°. Nesse caso um é complemento do outro;

Ângulos Suplementares: Dois ângulos são

suplementares quando a soma de suas medidas

equivale a 180°. Nesse caso cada um é suplemento do

outro;

ÂNGULOS RUPLEMENTARES

• Ângulos Replementares: Ainda existem os

ângulos replementares, que é quando a

soma de suas medidas é igual a 360°.

Nesse caso cada um é replemento do

outro;

Bissetriz

Bissetriz é a semirreta com origem no

vértice desse ângulo dividindo-o em duas

partes congruentes.

Exemplo: A bissetriz do ângulo abaixo

divide o mesmo em duas partes

congruentes;

Aplicações no dia-a-dia

Os ângulos estão sempre presentes em nosso

cotidiano, e na maioria das vezes não percebemos.

Por exemplo: Na elaboração de uma planta de uma

casa ou edifício, fazemos cálculos com os ângulos.

Os físicos e engenheiros usam muito os ângulos para

fazer cálculos precisos.

ÂNGULO NA CONSTRUÇÃO CIVIL

ÂNGULOS

• Ângulos formados entre retas

r

s

t

a

g f

e

c

b

d

h

Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.)

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados

de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro.

O

A

D

B C

Os ângulos AÔC e BÔD são opostos pelo

vértice.

PROPRIEDADE: dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Ângulos formados por duas retas coplanares

cortadas por uma transversal

2 1

3 4

6 5

7 8

Correspondentes: 1 e 5, 2 e

6, 3 e 7, 4 e 8.

Alternos internos: 3 e 5, 4 e

6.

Alternos externos: 1 e 7, 2 e

8.

Colaterais internos: 3 e 6, 4

e 5.

Colaterais externos:1 e 8, 2

e 7.

Ângulos formados por duas retas com

uma transversal

Correspondentes: são pares de ângulos que estão

do mesmo lado da transversal, sendo que um está na

região exterior, e o outro na região interior.

Os ângulos correspondentes ocupam a mesma

posição em relação à reta transversal.

Colaterais: são pares de ângulos que estão

localizados do mesmo lado da transversal (mesma

região).

Alternos: são pares de ângulos não-adjacentes,

alternados em relação à transversal, ou seja, estão

em lados opostos em relação à transversal.

TEOREMA FUNDAMENTAL DO

PARALELISMO DE RETAS

Se duas retas concorrentes formarem ângulos correspondentes

congruentes, então elas são paralelas.

a

b

r

s

t

Na figura ao lado, se a = b,

então r//s.

CONSEQUÊNCIAS:

(1) Os ângulos alternos internos (ou externos) são

congruentes.

(2) Os ângulos colaterais internos (ou externos) são

suplementares.

Observando a figura, em que r//s, tem-se que:

(1) a = e, b = f, c = g, d = h, por serem ângulos

correspondentes formados por retas paralelas.

(2) c = e e b = h, pois são alternos internos

formados por paralelas.

(3) b + e = 180º, c + h = 180º, pois são colaterais

internos formados por paralelas.

h g

f

e

d

b c

a r

s

t

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS

Disponível

em<http://construcaociviltips.blogspot.com.br/se

arch/label/TELHADO>acesso em 08 de set.2012

Disponível

em<http://construcaociviltips.blogspot.com.br/se

arch/label/ALICERCES>08 de set. 2012

Disponível em<www.jesuitas-

pi.com.br/.../70900aebdb43f55739db8f19fe1305

623c >acesso em set. 2012