ANIPOLAZIONE OBOTICA · mi PDL2 propri del contollore. Su questa scheda è presente un’area di memo- ... le della programmazione e dell’interpolazione della traiettoria (sia in

Universitàdegli Studidi Bologna

FACOLTÀ DI I NGEGNERI A

Corsodi Laureain IngegneriaElettronica

ROBOTICA INDUSTRIALE

MANIPOLAZIONE ROBOTICA :

STRATEGIE DI PRESA OTTIMA

DI OGGETTI PLANARI

Tesidi Laureadi:

RAFFAEL L A CARL ONI

Relatore:

CHI AR.M O PROF. I NG. CL AUDI O M EL CHI ORRI

Correlatori:

CHI AR.M O PROF. I NG. CL AUDI O BONI VENTO

DOTT. I NG. AL ESSANDRO M ACCHEL L I

SessioneI

AnnoAccademico2001/2002

Parolechiave:

manipolazionerobotica

presaottima

form closure

pinzarobotica

visione

L.A.R.,Laboratorio di Automazionee Robotica.

D.E.I.S.,Dipartimentodi Elettronica, Informaticae Sistemistica.

Universitàdi Bologna.

Le simulazioni sono effettuatein MATLAB e SIMUL INK, MATLAB e SIMUL INK sono

marchiregistrati di THE MATHWORKS, INC.

La tesiè scritta in LATEX 2ε, la stampaè in POSTSCRIPT.

Le immagini sonocreate in ADOBE ILLUSTRATOR 7.0. ADOBE ILLUSTRATOR 7.0 è un

marchioregistratoADOBE SYSTEMS INC..

ai mieigenitori

iv

Indice

Intr oduzione 1

1 Descrizionedel sistema 3

1.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 RobotComauSmart-3S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Descrizionedellacinematica. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Il controlloreC3G9000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3 Il controlloutente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 GripperA.S.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Strutturameccanicadellapinza . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Descrizionedellacinematica. . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.3 Descrizionedegli attuatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.4 L’apparatosensoriale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.5 Architetturahardwaredel sistema di controllo . . . . . . . . 14

1.3.6 Controllodellapinza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Telecamera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1 Algoritmo di Canny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.2 Calcolodel centrodi gravità . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.3 Calcolodelladistanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Il problemadella presarobotica 23

2.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Forceclosuree form closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Analisi dellaforza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Mobilità delprimoordinedi oggettiin contatto . . . . . . . . . . . 28

2.4.1 La rappresentazionedellospaziodi configurazione. . . . . 29

2.4.2 Le forzedi contattonellospaziodi configurazione . . . . . 30

2.4.3 Moti liberi del primoordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

vi Indice

2.4.4 Interpretazionegraficadeimoti liberi del primoordine . . . 36

2.5 L’indice di mobilità delprimoordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 L’indice di mobilità del secondoordine 41

3.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Mobilitàdel secondoordinedi oggettiin contatto . . . . . . . . . . 41

3.2.1 Moti liberi del secondoordine . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.2 La curvaturadeldito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.3 Interpretazionegraficadeimoti liberi del secondoordine.. . 47

3.3 Mobilitàdel secondoordinein unapresadi equilibrio . . . . . . . . 49

4 Implementazioneeprove sperimentali 53

4.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Analisi del contornodell’oggetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.1 Edge-tracking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.2 Parametrizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Vincoli imposti dallageometriadelgripper . . . . . . . . . . . . . 58

4.4 Le presedi equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.5 Le presedi immobilizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.6 La presaottima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.7 Prestazionidell’algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Conclusioni 65

Bibliografia 66

Elencodelle figure

1.1 Schemacomplessivo del robot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Complessivo delgripper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Catenacinematicadi undito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Principioutilizzatopergarantireunmototraslatoriodi undito. . . . 9

1.5 Definizionedei sistemidi riferimentoperla cinematicadi undito. . 10

1.6 Architetturahardwaredel sistemadi controllo.. . . . . . . . . . . . 15

1.7 Modellodel sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8 Schemadi controllocomplessivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Presedi equilibrio con duedita, con la stessamobilità del primo

ordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Presedi equilibrio contre dita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Sistemacostituito dall’oggetto edalledita. . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 La rappresentazionedel c-space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Approssimazionedelprimoordinedelmotodi��

q� in q0 . . . . . . 32

2.6 Il semispaziodeimovimenti liberi del primoordinecomerotazioni

istantanee.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.7 (a) � 1q0

��è un sottospaziomonodimensionale.(b) � 1

q0

�� è un

sottospaziobidimensionale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1 Indice di mobilità del secondoordineper presedi equilibrio con

equivalenteindicedelprimoordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 (a) movimentidi escapedel secondoordine.(b) movimenti di roll-

slidedelsecondoordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Movimenti di roll-slide del primo e secondoordinedi un contatto

planare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1 Esempidi immagini prelevate dallatelecamera.. . . . . . . . . . . 54

4.2 Esempiodi immaginedi unapallinaprelevatadallatelecamera.. . . 54

4.3 Ricostruzionedelcontornomediantel’algoritmo di Canny. . . . . . 55

viii Elencodellefigure

4.4 Ricostruzionedelcontornomediantel’algoritmo di Canny. . . . . . 56

4.5 Ricostruzionedelcontorno:edge-tracking.. . . . . . . . . . . . . . 57

4.6 Ternadi presa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.7 Ternadi presa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.8 Ternadi presa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Bologna, 17Luglio 2002

Oggi si realizzaunsogno!

Nelle occasionipiù importanti della vita, ci si sentespessosoli, ma, sesono

arrivata adoggi, èperchèhoavutoaccantodellepersoneveramentespeciali.

Graziea chi nonhamaismessodi credere in me!

Graziea chi, con le giuste parole, è riuscito a sollevarmi nei momentidi diffi-

coltàea darmi la sicurezzae la forzanecessarie.

Grazie,

Raffaella

x

Intr oduzione

Lo sviluppo costantedella ricercanel campodella tecnologiaroboticae, più in

generale,dell’automazione,ha portatoalla realizzazionedi macchinein gradodi

sostituire l’operatoreumanonello svolgimentodi attività ripetitive, rischioseo che

richiedonograndeprecisione.

La maggioranzadelle applicazioniroboticheè rivolta ad ambientistrutturati,

in cui l’allocazionedeterministica e la descrizionegeometricadegli elementico-

stituenti la cella di lavoro assumonouna fondamentaleimportanzanella pianifi-

cazionedei moti e delle interazioni. Vi è tuttavia un grandeinteresseversotutte

quelleapplicazioniove, al contrario,la parzialeo completaincapacitàdi model-

lazionedell’ambientedi lavoro rendenecessariosviluppareopportune tecnichedi

controllo.

Questoobiettivo, resoperseguibileanchedallacrescentevelocitàdi elaborazio-

nedeisistemireal-timechesovrintendonoal controllodeimanipolatori, di fattoim-

plicala ricercadi adeguatialgoritmicheconferisconouncomportamentopiùumano

alla macchina:essadeve esseredotatadi un certaautonomia funzionale,deve cioè

esserein gradodi modificareil proprio comportamentoin basead informazioni

assuntein temporealesull’ambientecircostante.

L’attenzionedi questolavoro è statarivolta all’interazionerobot-ambiente, con

riferimentoadunaspettoparticolare:la manipolazionerobotica.

In operazionidi manipolazioneavanzata,in ambienticioènonstrutturati, assu-

megrandeimportanzala capacitàdi afferrarein manierastabileoggettisconosciuti

e di mantenerela presadurantela manipolazionestessa.La diversità delle forme

e delle dimensionidegli oggettirendeparticolarmentedifficoltosae complessala

strategia di presada partedell’end-effector: ciò è tantopiù vero nel campodelle

applicazionispazialiin quantogli oggettisospesiin assenzadi gravità o in condi-

zioni di microgravità non possiedonogiaciturepreferenzialio forze frizionali che

possanoconservarela posizione iniziale dell’oggetto. In questocasoun qualsiasi

contattononequilibratodapartedelgripperdeterminerebbela fugadell’oggettoal

2 Intr oduzione

di fuori dello spaziodi lavoro conil conseguentefallimento dell’interaoperazione

di presa.

Il sistemasensorialedevepermetteredi riconoscerela formadell’oggetto prima

cheavvengail contatto,in modotale da calcolarenel più breve tempopossibile i

puntidi presamigliori: i punti “target”. L’oggetto verràafferratoin corrispondenza

di tali puntimedianteuncontattosincronoconcontrollodellaforzaapplicata:solo

in questomodole forzeesercitatesull’oggetto costituiranno, istanteper istante,un

sistemaequilibrato.

In questocontesto,obiettivo della tesi è statosviluppareuna metodologia di

determinazionedi prese“ottime” di oggettiplanariutilizzandounmanipolatore ro-

boticosul cui polsosonomontatiunapinzaedunatelecamera.La presentetesiè

statastruttuta in questomodo: il capitolo1 descrive il sistemacostituito da robot,

grippere telecamera,il capitolo2 tratta il problemadella manipolazioneroboti-

ca in generalee introduceil concettodi mobilità del primo ordine,il capitolo3 è

dedicatoall’indice di mobilità del secondoordineed infine il capitolo4 presenta

l’impl ementazionedellasoluzionepropostae i risultatidelleprovesperimentali.

Capitolo 1

Descrizionedel sistema

1.1 Intr oduzione

Il sistemastudiatoècostituito datre parti fondamentali:� manipolatorerobotico;� 3-dofgripper;� telecamera;

1.2 Robot ComauSmart-3S

1.2.1 Descrizionedella cinematica

Il robotSmart-3SdellaComau[10] è un manipolatoreroboticoindustriale,costi-

tuito da un bracciocon basefissae sei giunti di tipo rotoidalecheconferiscono

all’end-effectorseigradidi libertàdi movimentonello spaziodi lavoro. Non pos-

siedeil polsosfericoa causadi un offsettra il quartoe il quintogiuntocheimpe-

discel’intersezionedegli assiin un punto: nonè perciòpossibile disaccoppiareil

problemadell’orientamentoda quello del posizionamentoe nemmenosoddisfare

la condizionesufficientecheassicuradi riuscirea risolvereil problemacinemati-

co inverso(vedi figura 1.1). I giunti del robotsonocontrollati da attuatoridi tipo

brushlessconresolvercalettatisull’alberoperla misuradellarotazione[33].

1.2.2 Il controlloreC3G 9000

Il controllore C3Gècostituito datre sistemi principali:

4 Descrizionedel sistema

Figura1.1: Schemacomplessivo del robot.� interfacciaoperatore;� unitàdi controllochegestiscele funzionidell’ interfacciaoperatoreedesegue

gli algoritmi di controllodelmovimento;� unitàdriver motore,ossiala partedi amplificazionedi potenza.

L’unità di controlloC3Gè basatasul busMotorolaVME e comprendedueschede

conCPU:� RBC: gestiscel’interfacciauomo-macchinaetraduceedinterpretai program-

mi PDL2propridelcontollore. Suquestaschedaèpresenteun’areadi memo-

ria, chiamata“sharedmemory”,alla qualesi puòaccederedatuttele schede

collegate al busVME, schedaRBC inclusa.� SCC: è dotataanchedi un DSP (Digital SignalProcessor).È responsabi-

le della programmazionee dell’interpolazionedella traiettoria(sia in coor-

dinate di giunto che in quelle cartesiane),della cinematicainversa,della

microinterpolazioneedel controlloposizionegiunto.

1.2. Robot ComauSmart-3S 5

Nella attualeversioneil controllorestandardC3G-9000è statoaggiornatoper

permetterela cosiddettamodalità di controllo“aperta”,cioèè possibile la comuni-

cazionetra il C3G-9000edil PC,interfacciandoil busVME del controlloreconil

busISA di unPCtramitedueschedeBit3, collegate tra di loro conuncavo adalta-

velocità. Lo scambiodi dati avvienenella sharedmemorydella RBC. La sincro-

nizzazionetra il controlloreC3Gedil PCsi ottienetramiteun segnaledi interrupt

generatodalcontrolloreC3Gconperiodofunzionedellamodalità utilizzata.

Nella modalità apertaesistonocinquemodi di funzionamento del controllore.

Essisi distinguonol’uno dall’altroasecondadelpuntoin cui vieneapertolo schema

di controllostandarddelC3G.

La modalitàpiù utilizzataè caratterizzatada un periododi campionamentodi

1ms. Il controllodelC3Gèapertoavalledel loopdi posizioneevelocitàassi:il PC

leggele posizionideiseigiunti escrivedirettamente i setpoint di corrente,contutti

i controlli di sicurezzadisabilitati. Eccoperchéquestamodalitàè la più pericolosa

maèanchequellachepermettemaggiorilibertà.

1.2.3 Il controllo utente

Il controllodi unmanipolatoreconsistenel determinarele coppiee le forzechegli

attuatoridevono applicareai giunti, in mododa garantirel’esecuzionedei movi-

mentidesiderati.Si distinguefra controllonello spaziodi giunto e controllonello

spaziooperativo. Il primopresentacomevantaggioil minorcaricocomputazionale

e presupponel’inseguimentodi traiettoriegeneratenello spaziodi giunto, il con-

trollo sulle grandezzenello spaziooperativo avvienequindi in catenaaperta. La

secondastrategia,pur richiedendounamaggiorecomplesitàalgoritmica,presuppo-

nel’inversionecinematicainternaall’anellodi controllo,quindi le misurevengono

fattedirettamentenellospaziooperativo.

Il softwaredi controllo del robot inizialmenteerastatofatto in MS-DOS,poi

si è passatiadun sistemaoperativo più potentecomeRTAI-Linux. I processireal-

time diventanoa maggiorepriorità e utilizzanoun unico spaziodi indirizzamento

a livello kernel. Il sistemaLinux mettea disposizione un potentestrumentoper

realizzarei taskreal-time:i loadable kernelmodules. Questisonofile oggettoche

possonoesserecaricati dall’utente in modo dinamicoall’interno dello spaziodi

indirizzamentodel kernele linkati con il codicedel kernelstesso.Si ottienecosì

un’agevolegestionedeimoduliedel loro interfacciamentocondriver o periferiche.

Peravereunacertaflessibilitàerobustezzalo scambiodeidatiavvienemediante

le FIFO, ossiabuffer chevengonoletti e scritti comenormalifile dai processireal-


time e consentonoil passaggiodi informazioni tra il kernel di Linux o processi

Linux e i task real-time,mantenendol’ordine temporalecon cui le informazioni

sonoscambiate(gestioneacodaFIFO).

I moduli realizzatisono[47]:� comunicazioneconil C3G:hail compitodi leggerei datidalC3G,in partico-

larela posizionedei seimotori e di restituire i setpointdi corrente;è l’unico

modulo chehaaccessoalla sharedmemory, eseguele funzionidi accensione

espegnimento deimotori,rispondeall’interruptdi sincronizzazionegenerato

dalcontrolloreC3Gfiltrandoquellospuriochearrivaogni10ms;� sicurezza:nel funzionamentoa 1msil controlloè effettuatodal PCe il C3G

applicasemplicementeai motori le coppieimpostate.In questomodulosono

definiti i fine corsasoftware,le velocità e i setpointdi corrente;� controllo: questomodulo si occupadella generazionedelle traiettoriesia

nellospaziooperativo chenellospaziodi giuntoedellaregolazione.

Perla regolazioneèstatousatouncontrolloredecentralizzatodi tipo industriale

PID. Lo svantaggiodi tale tecnicariguardal’accoppiamentofra i vari giunti, maè

abbastanzaridotta.Si potrebbeusareuncontrollodi tipo centralizzato,peròrisulta

più complesso.

La regolazioneavvienemediante unaroutine di interrupt eseguitaadogni mil-

lisecondo,quandoavvienela richiestadal controlloreC3G.Nella modalitàad un

mill isecondoil C3G,anchesenonprovvededirettamentealla regolazionedei mo-

vimenti del robot,mantieneun ruolo fondamentaleperchégestiscele temporizza-

zioni: ogni mill isecondoviene inviato un interruptchesettaun flag. Il PC resta

in attesafinchènon vienesettatoil flag, poi può leggeredalla memoriacondivisa

la posizioneattualedei motori in bit resolver, effettuarel’algoritmo di controlloe

scriverele correntinellamemoriacondivisa.

Se il controllo fossea polling, il PC dovrebbeaspettarel’arrivo dell’interrupt

testandocontinuamenteil flag, nonpotendosvolgerealtri compiti. Utilizzandoun

controllo ad interrupt il processorepuò eseguire un qualsiasialtro programmaed

essereinterrottosolamente quandoarriva la chiamatadalC3G.

1.3 Gripper A.S.I.

Il gripper, al qualesi fa riferimentoin questatesi,è unapinzaroboticaprogettata

e costruitainteramentenei dipartimentiDEIS e DIEM della Facoltàdi Ingegne-

1.3. Gripper A.S.I. 7

ria dell’Università di Bologna;rappresentala propostaall’ASI (AgenziaSpaziale

Italiana)di comedotareil manipolatoreSPIDERdi un organodi presaidoneoad

eseguireoperazionidi manipolazione all’internodi unstazionespazialeorbitante.

1.3.1 Struttura meccanicadella pinza

Dopoaver dimostratole potenzialità di un meccanismodi presaa tre punti,è stato

realizzatoil grippernellaconfigurazioneattuale(vedifigura1.2,[13]). Essoèdota-

��

� � ��

� � !"�� Figura1.2: Complessivo delgripper.

to di tre dita identichetra di loro, ciascunacaratterizzatadaun gradodi libertàche

consenteun movimentoradialedellestesse.Questesonopoi movimentatedadue

falangi(mediaemotrice)azionatedaunattuatorelinearedi tipo elettrico.

La sceltadi unacatenacinematicaa tre falangitrova motivazioninella ricerca

dellaprecisionedi presae nell’adattabilità adoggettidi formadiversa,considerate

comeprioritarierispettoalla forzadi presa.La pinzaè in gradodi afferrareoggetti

di grossedimensioni rispettoagli ingombri della manorichiusa,operandosenza

difficoltàanchesuoggettidi piccoledimensioni.


1.3.2 Descrizionedella cinematica

La catenacinematicaè concepitaper ottenereun moto traslatoriodell’ultima fa-

langemantenendoil suoassesemprenella medesima direzione(normalea quella

di avvicinamento).Ciò è statoottenutomovimentandoil dito con duemembridi

egualelunghezza,unabiellaeunamanovella,eimponendotragli stessiunrapporto

di trasmissione1:2. Il meccanismoèsintetizzatonelloschemadi figura1.3.

θ# $ θ

#θ# $ θ

# θ# %

θ# &

θ# %

'(

) θ# % %

* ()

+-,/.1032�465�5�, 798:465�5�,'

*θ#

Figura1.3: Catenacinematicadi undito.

Bloccandoil giunto tra i duemembrie assegnandounarotazioneθ ; a quello

collegato al telaio, l’estremitàdella biella eseguirà, insiemealla manovella, una

rotazioneintornoaOpariaθ ; . Perriportarel’estremoB sull’asseorizzontalesideve

applicarealla biella unarotazioneθ ;�; in versooppostointorno all’asseA. Poichè

biellaemanovella sonodi eguallunghezza,è soddisfattala relazione:

θ ;�;=< 2θ ;ossiaper muovereB lungo la rettaorizzontale,ad unarotazionedi θ ; attornoa O

devecorrispondereunarotazioneattornoadA paria 2θ ; .A questopunto restasolo da analizzarecome è stato soddisfatto l’ulteriore

vincolodi mantenerele ditaparalleleduranteil moto.

Il meccanismoutilizzato si basasul principio del parallelogrammaarticolato

(vedifigura1.4,[13]): essogarantiscechel’estremitàliberasi muovain ognipunto

delpianomantenendosiperòsempreparallelaal sistemadi riferimentodi base;nel

nostrocasotuttavia il movimentolungol’assey è impedito meccanicamentepercui

il dito puòsolotraslarelungol’assex.

Perdescrivereil modellocinematicosi utilizzanole matrici di trasformazione


Figura1.4: Principioutilizzatopergarantireunmototraslatoriodi undito.

omogeneecheesprimonoposizionieorientamentirelativi tra i sistemidi riferimen-

to postisuiquattrolink dellapinza,secondola convenzionedi Denavit-Hartemberg.

In particolareil sistema di riferimentodi base(FF0) ha l’origine corrispondenteal

primo giunto ed è orientatocomein figura 1.5, mentreil sistemadi riferimento

associatoall’ulti ma falangedel dito (FF3) è disposto in assecon quest’ultima ed

hal’origine allineatacol sensoreottico di cui ciascundito è dotato(vedi paragrafo

1.3.4).Il modelloacui si pervieneè del tipo:

0Tn < 0H1�q1 � 1H2

�q2 �?>�>@> n A 1Hn

�qn �

dove qi è la varabilerelativa al giunto i-esimoe i A 1Hi e la matricecheconsentedi

passaredalsistemadi riferimentoassociatoal link i-esimoal sistemadi riferimento

associatoal link�i B 1� -esimo. Nel casoparticolareil modello è il seguente:

0T3C < DEEEF 0 B 1 0 2l cosθ1 B dB 1 0 0 h

0 0 1 0

0 0 0 1

GIHHHJ <LK 0R3C 0o3C0 1 M

L’ultimo link (e quindi il sistemadi riferimentoassociatoFF3C ) è in gradounica-

mentedi effettuaretraslazionilungo l’assex0, infatti la partedi rotazione( 0R3C )dellamatricehatutti terminicostantie 0o3C , cherappresentala posizionedell’origi-

nedel sistemadi riferimentoFF3C , haun unicoterminechedipendedallavariabile


N N

NOIOOIO

OIO

OIOP

PP

NOIOQ�RS3R

QUT

Q�VQ3WQ3W

S"TS3VS3WSXW Y

Figura1.5: Definizionedei sistemidi riferimentoperla cinematicadi undito.

di giuntoθ1, quellorelativo appuntoall’assex0. Possiamoquindi riassumeretutta

la cinematicaconla semplicerelazione:

x0 < 2l cosθ1 B d

Persemplicitàsi puòusarela variabilex in luogodi x0 eθ, chepuòesseremisurata

direttamente dal sensoredi posizione (cheverràdescrittonel paragrafo1.3.4),in-

vecedi θ1 legataaquestadallarelazioneθ < π2 Z θ1 (conla consuetaconvenzione

suisegni). L’espressionedellacinematicadeldito allafine risulta:

x < 2l sinθ B d

Per quantoriguardala cinematicadifferenzialeè sufficientederivare l’ultima

relazioneottenendo:

x < J�θ � θ


con

J�θ � < 2l cosθ

dove J�θ � è lo jacobianochemettein relazionele velocitàdi giunto del manipo-

latoree le velocità dell’ultimo link rispettoal sistemadi riferimentodi base,θ è

la velocità angolaredel primo giunto, ossiadi quello movimentatodirettamente

dall’attuatore,mentrex è la velocitàlinearedeldito lungox (o meglio x0).

1.3.3 Descrizionedegli attuatori

Perla movimentazionedel grippervengonoutilizzati attuatorilineari di tipo elet-

trico, denominati muscoliartificiali e progettatipressoil DLR (GermanAerospace

ResearchEstablishment)specificamenteperapplicazionispaziali.

Questotipo di motori presentaottime caratteristiche,infatti essiunisconoil

meccanismodella“trasmissionea vite conrulli planetari”(PlanetaryRoller screw

Gearingsystem, PRG),chetrasformail motoda rotatorioa linearecon un’ottima

precisioneeassenzadi giochi,amotoribrushlessdi dimensioni moltoridotterealiz-

zandoattuatorilineari piccoli, potenti, caratterizzatidaunadinamicaelevatae che

risultanosuperioriaqualsiasialtrotipodi attuatore,siaessoidraulicoo pneumatico.

Benchédal puntodi vistadelleprestazioniappaianoinsuperabili, i muscoliar-

tificiali presentanounaseriedi inconvenienti tipici dei dispositivi di nuova conce-

zione(e sviluppatiperapplicazioniparticolari): innanzitutto il prezzomolto eleva-

to, la mancanzadi documentazionee la scarsaesperienzacirca il loro uso,senza

dimenticarela limitatezzadelle taglie disponibili, cheha costrettoa utilizzareat-

tuatorisovradimensionati,connotevoli problemisiaperla sicurezzadellastruttura

meccanicacheessidevonomuovere,siaperil loro pesoeccessivo.

In particolare,gli attuatoriimpiegati sonogli AM-41-14-56prodottidalladitta

tedescaWittenstein. L’elementocentraledi questimuscoliartificiali è unsistemaa

vite caratterizzatodaun passodi soli 0 > 1mmcheconsentedi avereun’elevatissima

precisionee unaforza di trazionepari a oltre 5 volte quelladi un sistemamecca-

nico tradizionale.Il motoreelettricoimpiegatoè un DC brushlesstrifasedotatodi

sensoriadeffettoHall perrilevarela posizionedel rotore.

Percontrollaremotorielettriciacommutazioneelettronica,comequelli concui

sonoequipaggiatii muscoli artificiali, sononecessarieschededi potenzaprogettate

ad hoc, le quali dovrannopoi essereopportunamentepilotatedall’unitàdi governo

del robot. Al momento sonoin usoi servocontrolloricommercialirealizzatiappo-


sitamente dalla stessaWittenstein,i quali integranoun controllo di velocità e, in

opzione,ancheuncontrollodi posizione.

1.3.4 L’apparato sensoriale

Si èdecisodi integraresuciascundito unnumerocospicuodi sensori:� un sensoredi posizione, indispensabile per poterrealizzareil classicocon-

trollo in retroazione;� un sensoredi prossimità, per esplorarel’oggettochesi vuoleafferrare(cer-

candola posizionepiù favorevole per effettuarela presa)e per chiuderein

manierasincronatuttele ditasull’oggetto stesso;� un sensoredi forza,peresercitareforzenotesull’oggetto preso,evitandoda

un latochequestoscivoli edall’altro chepossaesseredanneggiato.

Il sensoredi posizione

Questosensorehail compitodi individuarela posizionedeldito nellospazio.Esso

èstatosviluppatoappositamenteperil gripper[55] edècompostodi dueelementi:� unsensoreaeffettoHall;� unapiastrinamagneticadi formaopportuna.

Il sensoreHall risulta sensibile al campomagneticogeneratoda unasorgente,di

solito rappresentatada un magnetepermanente,ed è in gradoquindi di fornire

informazionisullaposizionerelativa tra il sensorestessoe il campo.

Essoè statocollegato al telaio che sostieneil dito ed affacciatoad essoma,

solidaleconla primafalange,èstatapostala piastrinache,durante,il motosubisce

unospostamento.La piastrinamagneticapresentaduecoronecircolari in ciascuna

dellequaliè incollataunaseriedi magnetidisposti in mododaaffacciareal sensore

semprelo stessopolo. In questomodosi realizzaunasorgentedi campoconle linee

di flussochepartonodaunacoronaesi chiudononell’altra.

A causadelmovimentodellafalangeegrazieallaconformazionedellapiastrina

stessa,il sensoreHall si muoverà tra le duecorone(in manieralinearerispettoalla

rotazionedella falangestessa)e misureràla diversaintensitàdel campo,fornendo

quindiunamisuraindirettadellospostamento.


Il sensoredi prossimità

Ciascundito del gripperè dotatodi un sensoredi prossimità il cui impiego risulta

fondamentalein un’applicazionecomequesta,specificamentepensataper funzio-

narenello spazio. Infatti il gripperdeve poteravvicinarele dita all’oggettochesi

desideraafferrare,senzarischiaredi urtarloaccidentalmenteperché,in assenzadi

gravità, senzaforzechelo trattengano,questopotrebbecomportarela perditadel-

l’oggetto stesso.Deve poi, prima di effettuarela presa,esplorarnela superficie.

Occorreinoltre cheil sensoreabbiaun’uscitaanalogicaed un ingombro estrema-

mentecontenutoper poteressercollocatosul dito. Perquestosi è sceltoun foto-

sensoreanalogicoin fibra ottica cheforniscein uscitaunatensione proporzionale

alla quantitàdi luce ricevuta,chein determinatecondizionisignificaunatensione

proporzionalealladistanzadall’oggetto.Il sensoresi componedi dueparti:� il sensoreveroeproprio,cioèla sorgentedi luceetuttal’elettronicadi misura;� duefibreottiche(unaperla luceemessaeunaperraccoglierela luceriflessa),

compresoil connettoreperl’attaccoal sensore.

Il sensoreè costituito daunasorgenteluminosa(un diodofotoemettitoreo LED) a

lucerossae daun fotodiodo.La luceemessadal LED vieneconvogliataattraverso

unadellefibre ottichecontrol’oggettodacui si vuolemisurarela distanza.La se-

condafibraotticahalo scopodi raccoglierela luceriflessaeriportarlaal fotodiodo:

il sensoreforniràquindiunsegnalein tensioneproporzionaleall’intensitàdi questa

lucedi ritorno.

Le misurefornite dal sensore,per caratteristichestrutturalidello stesso,sono

fortementedipendentidalla pigmentazionedella superficieriflettentedell’oggetto

di cui si vuolemisurarela distanza:in particolaresi vadaun’uscitaabbastanzaalta

epocodifferenziatain corrispondenzadeicolori chiari(bianco,gialloeancherosso)

versouscitepiù bassein corrispondenzadei colori via via più scuri (adesempioil

blu) fino al limite inferiorerappresentatodalnero.La tensionedi uscitadelsensore

(e quindiancheil corrispondentevaloredi distanzacheessofornisce)dipendenon

solo dal coloredella superficiema anchedall’inclinazionedi questarispettoalla

testadellafibraottica.

Questocomportamentoèprevedibile,infatti l’uscitadelsensoreèfunzionedella

quantitàdi luce riflessadall’oggettochegli vienepostodavanti, ed è noto come

questaè tantominore quantopiù l’oggettoè scuro;in particolare,poichéil sensore

utilizzaunraggiodi lucerossa,saràpiù sensibile a queicolori checontengonouna


forte componentecromaticarossa(eccoperchéil rossopresentaunacaratteristica

molto vicinaa quelladelbiancoo delgiallo).

Il sensoredi forza

Il sensoredi forza,di cui ogni dito è dotato,è il cosiddettosensore intrinsecosvi-

luppatoall’interno del LAR [59]; essoè costituito daunastruttura cava, a sezione

quadratae internamentedeformabile,collegatarigidamente,medianteunastruttura

cilindrica indeformabile, alla superficieesternadel dito chedovrà entrarein con-

tatto con l’ambiente. L’azionedelle forze e coppiescambiatesi trasmetteràcosì

fino al sensoreproducendounaflessionedi questo,flessionechepuòessererilevata

e trasdottain un segnaleelettricomediantel’uso di estensimetriopportunamente

incollati sullasuperficiedell’elementodeformabile.

Per misurareunadeformazione,la soluzioneimpiegatae l’unica plausibile è

quelladi disporretutti gli estensimetriin serie.Gli strain gageutilizzati sonoafilo

metallico e presentanoindubbivantaggidi robustezzameccanica,facilità di incol-

laggiosullastrutturadeformabile,ridotti fenomenidi derive termichee di isteresi;

percontrosonocaratterizzatidaungage factormolto bassochecostringeadeffet-

tuareun’amplificazionedei segnali abbastanzaelevatae decisamentedelicatadal

puntodi vistadel rapportosegnale/rumore.

1.3.5 Ar chitettura hardware del sistema di controllo

Elementoprincipaledelsistemadi controllodelgripperèunaschedaDSPdenomi-

nataFastProt.

L’architetturageneral purposeeil sistemaoperativo di unPCcommerciale,non

dedicatoa supportareapplicazionireal-time,non consentono di realizzareil con-

trollo sincronodi dispositivi periferici unitamentea operazionidi visualizzazione

grafica,comerichiestodallanostraapplicazione,utilizzandola solaCPUdi unper-

sonalcomputer. Bisognaallorafarericorsoadunsecondomicroprocessore(questa

volta un DSP)chesi facciacaricodi tutta l’elaborazionefloatingpoint necessaria

perrealizzareuncontrolloreal-time,lasciandoal PCil compitodi gestiresolamente

le funzionigraficheorientateall’interazioneconl’utente.

Proprioaquestoscopoèstatarealizzata,pressola nostraUniversità,la FastProt,

unaschedamunitadel DSPTexasInstruments TMS320C32chepuòessereallog-

giatain unoslot ISA a16bit (AT-BUS) di unqualsiasicomputerIBM-compatibile,

realizzandoappuntoquellachevienechiamatastazionedi prototipazionerapida.


Se la FastProtrappresentail nucleodel sistemadi controllo, occorretuttavia

osservarecomesiastatonecessarioaggiungerediverseschededi interfaccia:quelle

con i controllerdegli attuatorie quelledi acquisizionedei segnali provenienti dal

gripper.

Complessivamentel’architetturahardwarerisultaquindiquelladi figura1.6.

s[ cheda acquisizione s[ ens. posizione e prossimita'

g\ ripper

s[ cheda controllo m] otori

p^ orta digitale

h_

ost computer

p^ orta a` nalogica

s[ cheda acquisizione sens. forza

Figura1.6: Architetturahardwaredel sistema di controllo.

1.3.6 Controllo della pinza

Il controllodi forzaedi manipolabilità èstatorealizzatoin mododarenderela pinza

quantopiù versatilee funzionalepossibile.

Il gripperècostituitodatreditaidenticheedisaccoppiate(meccanicamenteeper

quantoriguardal’attuatore),perquestomotivo si è sceltodi realizzareunoschema

di controllo a giunto indipendente, considerandoil modellodinamico di un solo

dito (vedi figura 1.7) e usando,comecontrollo, un semplice regolatorea singolo

ingressoesingolauscita(SISO).

Plant

Nel sistemala dinamicadellastrutturameccanicadeldito èpressochétrascurabile,

rispettoaquelladell’attuatore,e risulta:

G�s� < Pos

�s�

V�s� < k

eA τs

s


Dove Pos è la misura di posizionedel giunto fornita dal sensoread effetto Hall,

V è la tensionefornita all’attuatore(riferimentodi velocità), mentrek e τ sonoi

parametrichecaratterizzanoil sistema e valgonorispettivamente0 > 65 e 35ms. Si

deve aggiungere,inoltre, la presenzadella zonamortaa montedell’ingressodel

plant:

va � t � <cb v�t �dB 1 > 8 se v

�t �fe 0

v�t � Z 1 > 8 se v

�t �fg 0

Il modellocomplessivo del sistemaèquindi:

G�s� < Pos

�s�

V a � s� < keA τs

s

Ritardo

k

s

IntegratoreZona Morta

V(s) V (s)* Pos(s)

Gh

(s)

Figura1.7: Modellodel sistema.

Regolatore

Il controlloavvienenello spaziooperativo; sonopresentiblocchidi cinematicadi-

retta(nel ramodi retroazione)e cinematicainversa(a montedel regolatore)tutta-

via, vista la semplicità del sistemae del modellocinematico,questononcomporta

particolaridifficoltàseparagonatoal corrispettivo nellospaziodi giunto.

Il controlloreSISOutilizzatoèunclassicoregolatorePI:

GPI�s� < Kp i 1 Z 1

Ti s j (1.1)

La versione digitaleimplementataèstataottenutadalla1.1perdiscretizzazione:

un < un A 1 Z ∆un


∆un < Kp i en B en A 1 Z TTi

en jSi può notareche il PI digitale è espressonella suaforma di velocità: que-

stainfatti risultamigliore dal puntodi vista computazionalee consenteinoltre un

semplicemeccanismoanti-windup.

I compiti chesi voglionofar compierealla pinzarichiedonol’impi ego di sche-

mi di controllo differenziati,a secondadella funzionechesi stasvolgendoe del-

lo statoin cui ci si trova: per questomotivo l’anello di controllo deve cambiare

configurazioneperpotereretroazionareil giusto setdi datidai sensori.

I task, cheil gripperèin gradodi svolgere,sonoformatidaunasequenzadi ope-

razionielementaricorrettamentecoordinate:saràquindiopportunoprevedereanche

unatransizionedaunaall’altra, evitandocomportamenti bruschiediscontinui.

Lo schemadi controllo complessivo è mostratoin figura 1.8. Essoingloba:

Figura1.8: Schemadi controllocomplessivo.

l’anello di controllo di posizione “puro”, cheviene impiegato nel primo tratto di

avvicinamentoe nell’ultima fasedella presa;il controllo di prossimità, cheviene

sfruttatonella faseintermediadi avvicinamentoper portarele dita a distanzaco-

stantedall’oggettoe sincronizzarleper l’afferraggioed infine, unavolta entratiin

contattoconl’oggetto, il controllomisto forza/posizionegarantiscela presaanche

in presenzadi disturbi esternie consentedi metterein praticaunamanipolazione

dell’oggetto.

L’approccioversol’oggettovieneimpostato comandandoalleditadi descrivere

unatraiettoriadi chiusura(lineareconprofilo del secondoordine)versoun punto

all’interno dello spaziodi lavoro della pinza. Non appenai sensoridi prossimi-


tà rilevanol’oggetto, il profilo di moto vienecorretto,le dita inseguono l’oggetto

fluttuantefinchétutte non hannoraggiuntola distanzaprefissata,poi si chiudono

simultaneamente.

Primachel’oggettoo i cinematismidellapinzavenganodanneggiatidacontatti

impropri, entrain giocoil controllodi forza(misto)col qualevieneimposta la forza

daesercitaresulcorpo,al finedi trattenerel’oggettosenzadanneggiarlo.

Controllo di posizione

Lo schemadi controllopiù elementareè indubbiamente quellobasatosullaretroa-

zionedei soli sensoridi posizione.È semprepresenteduranteil normalefunziona-

mentodel grippere, in particolare,vieneimpiegato per il movimentolibero delle

dita durantel’avvicinamentoall’oggetto e per percorreregli ultimissimi tratti di

traiettoriadopoavereraggiuntola sincroniadelleditapereffettuarela presa.

I set-pointdi posizionesononormalmenteforniti daungeneratoredi traiettorie

chegarantisceprofili di motosmoothdi tipo lineareconraccordidelsecondoordine:

questoconsenteflessibiltà di impiego e si prestaad unafacile integrazionecon il

controllodi prossimità perl’inseguimentodell’oggetto.

Controllo di prossimità

Perrealizzarel’inseguimentoa distanzacostantedi un oggetto,è necessarioutiliz-

zarei sensoridi prossimità. Lo schemadi controlloprecedentesi arricchiscecosìdi

unnuovo anellodi retroazionee di un ulteriorebloccodi generazionedei set-point

basatisuidati forniti dai sensoridi prossimità.

La pinzaoperain controllodi posizioneperl’avvicinamento; quandosi raggiun-

gela distanzadesideratadall’oggetto (misuratadalsensoreottico)si halo switching

tra i duecontrolli: i set-pointvengono forniti dal bloccogenerazionetraiettoriedi

prossimità, mentrel’anello di retroazioneriporta al nodosommanted’ingressoi

valori di distanzadal corpoanzichéla posizionedeldito.

Controllo di rigidezza

Il controllodi forzarappresentail passosuccessivo, dopoavereraggiuntoedeffet-

tuatola presasincronadell’oggetto. Peravereunapresasaldaestabile,ènecessario

chela risultante delleforzeesterne,esercitatedal grippere agentisul corpo,si an-

nulli. L’esempiopiù semplicedi controllo, cheverifica questorequisito,si fonda

1.4. Telecamera 19

sull’usodellaretroazionedei sensoria straingagesudi unsolodito, mentrel’altro

operain controllodi posizione.L’anellodi retroazionedi forzasi inseriscein sosti-

tuzionea quellodi posizionequandovienesuperataunasoglia predefinita,ovvero

quandosi ha la presenzadi un contattocon un corpoesterno;da quel momento

in poi il dito in questione svolge un inseguimentodel set-pointdi forza costante

assegnato.

La costanteelasticaK A 1e , presentenelloschema,serveametterein scalale varie

grandezzefisichedamandarein ingressoal regolatoree influenzala prontezzadel

sistemanell’inseguimentodelset-pointdi forza.

Tale configurazionedel sistemadi controllo permetteunasemplicemanipola-

zione dell’oggettoafferrato, spostandoil centrodella presamedianteun cambio

del set-pointdi posizionedel dito. La traiettoriadi quest’ultimo è impostabile in

mododaaverevelocità costantenel tratto lineare,indipendentementedal percorso

dacoprire;cosìfacendosi impone unospostamento dolcedel dito chepermettedi

conservareunapresasaldaevitandoscostamentibruschidellafalange.

Controllo misto forza/posizione

Perpotereeffettuareil controllodi forzasulledita,al finedi migliorarela presae la

manipolabilitàsull’oggettoafferrato,si è implementatountipo di controllodi forza

leggermentepiù complesso. La risultantedelle forze esterneapplicateall’oggetto

deveesserenulla. Purtroppole differenzetra i sensoridi forzae i disturbiin lettura

rendonodi fatto impossibile averegaranziesull’effettivo annullamentodel vettore

risultante. Il presentecontrolloconsistenelcombinarenellostessonodosommante

forzee posizioni adeguatamentescalate,vedi schemadi figura1.8. L’anello di po-

sizionesvolge un’azionestabilizzantesullapresae compensai problemiin lettura.

Naturalmentetalecontrolloentrain funzionequandosi vienea contattocol corpo

daafferrare.

Graziealla combinazionedei dueanelli di controlloè possibile interagirecon

la pinzae l’oggetto afferratosenzacon ciò comprometterela presa,inoltre la re-

troazionedi posizioneriportasemprel’oggettonellaposizionedesiderata,chepuò

essereliberamentemodificataagendosulset-pointdi posizione.

1.4 Telecamera

Sul polsodel robot ComauSmart-3Sc’è unatelecameracon la qualeè possibile

riconoscereil contornoe la posizionedi un oggettoal fine di afferrarlo. La video


cameraè unaPulnix TM-6CN con un obiettivo di 6mm ed è interfacciataal PC

medianteunaschedad’acquisizionevideomodelloPinnacle.È statasceltatenendo

conto che deve avere un ingombrominimo in quantofisicamenteè montatasul

grippere chel’obiettivo deve esserein gradodi metterea fuocooggettia distanza

variabile fra un minimo di 20cm ed un massimo di 2m, rangecalcolatoin base

all’areadi lavorodel robot.

Si èoptatoperl’util izzodi unasingolatelecamerain biancoeneroin quantola

maggioranzadegli algoritmi realizzatinel campodellavisione artificialesonostati

implementaticontelecameredi questotipo [1]. In futurosi potràampliareil lavoro

inserendounasecondatelecameraperavereunavisione stereo.

Il problemadi unasingolatelecamerariguardail calcolodelladistanzafra essae

l’oggettocheil gripperdeveafferrare:questoèstatorisolto comparandodueframe

acquisitidadiverseposizioni.

Si èdotatala telecameradi unsistemadi riferimento"immaginario"orientatoin

questomodo: assez (approachdel robot) coincidentecon l’assedella telecamera,

assey (slidedel robot)coincidenteconquelloorizzontale,conriferimentoall’im-

magineprodotta,e l’assex (normaldel robot) coincidenteconquelloverticale. Il

montaggiosul robotè statoeffettuatoin manierataledaaveregli assidel sistema

di riferimentodell’end-effector.

L’immagine,prelevatadallatelecameraecontenenteperinterol’oggetto,èsele-

zionataconunabounded-boxdall’operatoremedianteun’interfacciagrafica; viene

acquisitain un formato768*576pixel edesploratain modotaledadeterminareil

contornoe il centrodi gravità dell’oggettoda afferraree la distanzafra l’oggetto

stessoe la lentedellatelecamera.

1.4.1 Algoritmo di Canny

Perl’ edge-detectionvieneutilizzatol’operatoredi Canny (notoin letteratura,[18])

il qualeprendein ingressoun’immaginein toni di grigio eproducein uscitaun’im-

magineformatadaipixel in cui èpresenteunadiscontinuitàdi intensità. Nell’algo-

ritmo di Canny possonoessereconfiguratiquattroparametri:� deviation: valorein virgola mobile chespecificala deviazionestandarduti-

lizzata nella fasedi rilevamento dei contorni (per default viene utilizzato

1);� low: rappresentail minimo valorenellascaladi grigi utilizzatonella fasedi

edge-tracking (perdefaultèsettatoad1);

1.4. Telecamera 21� high: rappresentail massimo valorenellascaladi grigi (perdefaultè 200);� saturation: vieneutilizzatonella ricostruzionedell’immagine dopo l’appli-

cazionedell’algoritmo e specificail valoredel filtro passa-altocheelimina i

pixel conunvaloreinferioreallasaturazione.

1.4.2 Calcolodel centro di gravità

L’immaginecontenenteil contornovieneutilizzataper il calcolodel centrodi gra-

vità dell’oggetto[20]. Perottenerlopossonoessereutilizzati tre metodidifferenti:� hiddenfilter: partendodal centro dell’oggetto calcola il centrodi gravità

omettendogli eventualioggettipostidietro;� dis-hiddenfilter: funzionacomel’hidden-filter ma,utilizzandounafunzione

logaritmica inversa,dà maggiorepriorità ai pixel più vicini al centrodello

schermo;� nessunfiltro: tutti i punti del contornohannolo stessopesonel calcolodel

centrodi gravità. Questoè il metodomaggiormenteutilizzato.

1.4.3 Calcolodella distanza

Percalcolarela distanzachec’è fra l’end-effector, o più precisamenteil centrodella

telecamera,e l’oggetto daafferrareoccorrevalutaredueimmagini memorizzatein

posizionidiversedel robot e bisognaconoscerela distanzafra le posizioni in cui

sonostatecampionatele immagini [20]. Dallafisicaotticasappiamoche:

f < mdh

dove f rappresentala distanzafocale,m è unacostantechedipendedall’obiettivo,

d rappresentala distanzadell’oggetto dall’obiettivo e h le dimensioni dell’oggetto,

vedifigura1.4.3.Considerandodueposizioni:

f < md1

h1

f < md2

h2d1 Z l < d2


klklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklkklklklklklklklklk

mlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmmlmlmlmlmlmlmlmlmnlnlnnlnlnnlnlnololoololoololo plplplplplpplplplplplpplplplplplpplplplplplpqlqlqlqlqlqqlqlqlqlqlqqlqlqlqlqlqqlqlqlqlqlq

d

l

h

dove l rappresentala distanzapercorsaconil robot,conalcunipassaggi

d1

h1< d1 Z l

h2

d1h2 < h1�d1 Z l �

d1�h2 B h1 � < h1 l

si ottiene:

d1 < h1

h2 B h1l

dove h1 e h2 rappresentanole dimensioni dell’oggettonelle due immagini. Per i

parametrih1 e h2 si puòfareriferimentoalle altezzedell’oggetto, espressein pixel

(figura1.4.3).

Capitolo 2

Il problemadella presarobotica

2.1 Intr oduzione

Negli ultimi decenni,lamanipolazionedi oggettimediantegripperhasubitounano-

tevoleevoluzione,diventandounodeicampipiù importantiin robotica.Lo sviluppo

dell’automazione flessibileha portatoinfatti la necessitàdi sostituire end-effector

specialpurpose conaltri general purpose, chepermettonola manipolazionedi una

più ampiaclassedi oggetti. Ma, se gli end-effector diventano più versatili, allo

stessomodoil controlloe lo studiodellapresasi complicano[46].

Le più importanti funzioni sonoesplorare,tratteneree maneggiarecon abilità

oggetti. In robotica,si distinguonol’azione di afferrareoggetti,dettofixturing, e

quellodi manipolarliconle ditadellapinza,dettodexterousmanipulation [5].

L’azionedi afferraggioconsistenel posizionamentodel gripperrispettoall’og-

gettoedècaratterizzatadauninsiemedi contattichiamatigrasps. Il graspplanning

consistenellosceglierequesticontatti,la posizioneesattadelleditaeancheil modo

in cui applicarele forzee i momenti. In particolare,i contattidevono:� esserefisicamenteraggiungibili: nei dintorni dell’oggettononci devonoes-

sereostacoli,ossiala traiettoriadi afferraggiodeveesserelibera;� garantirela tenutadell’oggetto.

2.2 Forceclosuree form closure

Generalmentei puntidi contattosonoconsideratipuntiformiepossono essere:� frictionless: le dita possonoesercitaresolo forzenormalialla superficiedel-

l’oggettonelpuntodi contatto,nonvi ècioèattrito;

24 Il problemadella presarobotica� frictional: è un contattochepuòtrasmetteresiaunaforzanormalemaanche

unatangenteesi parladi attritocoloumbiano;� soft: il dito puòesercitare,oltre alle forze tangentie normali,ancheun puro

momentotorsionaleattornoallanormale.

Siparladi forceclosurequandounapresaèin gradodi resistereadisturbiesterni

considerandole dita frictional o soft, al contrariouna presaè una form closure

quandoriescead immobilizzare l’oggetto con il solo vincolo di punti di contatto

frictionless. In altre parole,si dice cheunapresaraggiungeuna form closurese

e soloseraggiungeunaforce closurecon punti di contattosenzaattrito. La form

closureèunacondizionepiù restrittivadellaforceclosure.

Perognipuntodi contattopuòesseredefinitoil vettoredeiwrench w, costituito

dallecomponenti delleforzeedeimomenti. In generale,w rts k edèdefinitocome

[16]:

w <uK F

τ Min cui F rvs 3 (o s 2) è il vettoreforzae τ rvs 3 (o s ) è il vettoredei momentiche

agisconosull’oggetto. La dimensionek è 6 sesi consideranooggetti3D esi riduce

a3 conoggetti2D.

Siano fi le forze esercitatedalledita del grippernell’ i-esimopuntodi contat-

to. A causadell’attrito, affinchél’oggettosiaafferrato,questeforzedevonoessere

interneal cono d’attrito. Siano f wi la componentedella forza lungo la normale

alla superficiedell’oggetto nel puntodi contattoe f ti la componentetangentealla

superficiedell’oggettonelpuntodi contatto.La leggecoloumbianastabilisceche:

f wi x µf ti

doveµ è il coefficiented’attrito.

Nel casodi oggettiplanari,perognicontatto,si ha:

fi < βl

Af i y l Z βr

Af i y r

dove βl z βr x 0, eAf i y l z Af i y r sonoi versori lungo le duesemirettechedelimitanoil

conod’attrito.

2.2. Forceclosure e form closure 25

Nel casotridimensionale,il conod’attrito puòessereapprossimato,cioè linea-

rizzato,conunapiramide.Si ha:

fi { m

∑h| 1

βh

Af i y h

doveβh x 0, eAf i y h sonoi versorisullasuperficiechedelimitanoil conod’attrito.

In generale,fi èdatodaunacombinazioneconvessadelleforzelungogli estremi

del conod’attrito. Nel casoplanaresi ha:

fi < αl fi y l Z αr fi y rconαl z αr x 0 z αl Z αr < 1.

In 3D, si ha:

fi { m

∑h| 1

αh fi y hdoveαh x 0 e { ∑m

h| 1αh < 1.

Sia

W <~}w1 z >�>@> z wm�la matricedei wrench,c il vettore delle intensità dei wrenchstessie g i wrench

applicatidall’esterno.Un oggettoafferratoè in equilibrioseesolose:

Wc Z g < 0

Una presaè force closedse e solo seè in equilibrio per un qualsiasiwrenchw.

Perciòla force closureimplica che, per un qualsiasiwrenchw, esisteun vettore

intensità λ taleche:

Wλ < w

Si puònotarecheλ puòesseredifferentedac, datochesi puòipotizzarechew sia

diversadallag.

La form closure è definitacomeunacondizionepercui l’oggettoafferratopuò

resistereaogniwrenchdi disturboesterno,indipendentementedallagrandezzadella

forzadi contatto.Unapresaè form closedseesoloseè forceclosedconditasenza

attrito. Unapresafrictionlessè definitaform closuresee soloseesisteun λ e 0,

taleche

Wλ < 0

26 Il problemadella presarobotica

conW di rangopieno.

2.3 Analisi della forza

Un problemafondamentalenellamanipolazioneroboticaè la sceltadelle forzeda

utilizzarenellapresain modotaledaevitare,o per lo menominimizzare,il rischio

di scivolamentodell’oggetto.Queste,chiamateanchesqueezeforces, sonole forze

di contattochesi trovanonel Ker�W � , ossianel nullo dellamatricedellapresaW.

Il problemarisultaesseredi ottimizzazioneedè risolubileconapproccidifferenti:

si noti che, computazionalmente, non si possono soddisfare i vincoli di velocità

imposti daun’applicazionereal-time.

È inoltreimportantenotarechela forceclosurenongarantiscela stabilità. Qual-

siasidefinizionedi stabilità considerala presacomeun sistema dinamicoe nede-

scrivele proprietàdelsistemadinamicoquandoessoèperturbatodallasuaconfigu-

razionedi equilibrio. Perciòla stabilità di unapresaè conseguenzadelleproprietà

geometrichelocali dellapresastessaedelladistribuzionedelleforze,oltrechedella

localizzazionedeipuntidi contattoedellenormaliallasuperficiein questipunti.

Curvaturadell’oggettoe posizionedei punti di contattosonofondamentaliper

il concettodi stabilità. Nella maggiorpartedei casi, [11, 16, 36, 7, 24, 32, 37,

28], l’analisi dellapresaè limitataadunostudiodel modellocinematicodel primo

ordinein cui le proprietàdi chiusuradelle dita riguardanosolo la determinazione

dellaposizionedei punti di contattoe nonla formadell’oggettoo le caratteristiche

geometrichedellapinza.Se,al contrario,comeèstatofattoin questolavoro,si tiene

contoanchedegli effetti della cinematicadel secondoordine,è necessarioavere

ancheun modellodellacurvaturadellasuperficiedi contatto.Ancheseunapresa

nonè form closed,le ipotesidelsecondoordinepossonogarantirela chiusuradella

presa.Ordini superioridellacinematicarichiedonounostudiodelladerivata della

curvaturadellasuperficiee unacaratterizzazionemediantei simboli di Christoffel

[29].

Uno dei principali motivi dellescelteeffettuatein questaricercaè il fallimento

delle teorietradizionalibasatesullo studiodi forze e velocità,nozioni istantanee,

per la determinazionedi presedi equilibrio. Ad esempio,consideriamole prese

in equilibrio effettuateconduedita frictionlessdi un oggettoplanare,mostratoin

figura 2.1. Un’analisi della mobilità del primo ordine,basatasulla Screw Theory

[42], può indicarechel’oggetto�

haduegradidi libertà istantaneidi motolibero

in ognunadelledueprese.L’intuizionesuggerisce,al contrario,chela presadi 2.1a

2.3. Analisi della forza 27

��

��

��

��

��

��

��

PSfragreplacements

�1

�1

�1

�1

�2

�2

�2

�2

��

��(a) Presamassimadi un’ellisse (b) Presaminimadi un’ellisse

(c) (d)

Figura2.1: Presedi equilibrioconduedita,conla stessamobilità delprimoordine.

è la più mobile, mentrequelladi 2.1dè la menomobile, ed è, infatti, immobile.

Questaintuizioneèformalizzatanellateoriadellamobilitàdelsecondoordine(vedi

capitolo 3). La teoria di mobilità del primo ordine non è, dunque,sufficiente a

distinguerepresedi equilibrioconlo stessonumerodi dita.

Vediamoancheil casodelle presein equilibrio mediantetre dita senzaattrito,

figure2.2.Tutteetrele normalineipuntidi contattosi intersecanonecessariamente

in un punto: un’analisidel primo ordinepuò indicarechel’oggettoè, in entrambi

i casi,libero di ruotareistantaneamenteattornoadun asseverticalepassanteattra-

versol’intersezionedelle normali. L’intuizione suggerisce,però,chel’oggetto in

2.2bè realmenteimmobilizzato dalle tre dita. Questaimmobilizzazione,funzione

delledita e dellacurvaturadell’oggettonei punti di contatto,è stabilita utilizzando

la teoriadelsecondoordine.La teoriadel secondoordinepuò,quindi,aiutarenella

sceltafra presedi equilibrio chesonoequivalenti nellateoriadelprimoordine,ma,

evidentemente,distinguibili conunateoriadel secondo.

Ragionandosulla mobilità di un oggettoutilizzandoi wrench,si è condottia

considerazionidel primo ordine. La mobilità non è una nozioneinfinitesimale,

bensìlocale: non bisogna,cioè, consideraresolo gli aspettitangenzialidel moto,


�-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-��-�-� - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡¢-¢-¢¢-¢-¢¢-¢-¢£-£-££-£-££-£-£

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©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©-©PSfrag replacements

�1

�1 �

2

�2 �

3

�3

�� normali di contatto

Figura2.2: Presedi equilibriocontre dita.

comeè fatto nella teoriadella mobilità del primo ordine,ma anchei movimenti

locali. L’oggetto è libero di muoversi ovunquenelle vicinanzedella suaattuale

posizione nel suospaziodi configurazionelibero. Occorrequindi considerarele

caratteristichedel secondoordine dei movimenti liberi locali, cioè nozioni della

mobilità delsecondoordine.

L’immobilizzazionedi oggetti,utilizzandoconcettigeometrici,puòessereutile

nonsolopersceglierepresesicuremaancheperla pianificazionedelfixturingeper

il work holding.

2.4 Mobilità del prim o ordine di oggetti in contatto

Con mobilità si indica la misuradel numerointrinsecodi gradi di libertà della

cinematicaistantaneapossedutidaunacoppiadi corpi rigidi.

Si cercheràdi analizzarela mobilità relativa di corpi rigidi in contattoquasi-

statico [51]. Si considerinoun corporigido, l’oggetto�

, e altri d corpi rigidi, le

ditadell’end-effector,�

1 z >�> z � d in s n, doven < 2 o 3, vedifigura2.3.

Le dita toccano�

nei punti di contattoin modofrictionlesse quindi ciascuna

di essepuòsviluppareunaforzain direzionenormaleal contornodi�

nei punti di

contatto.Pergenerarequesteforze,si puòpensareche�

1 z >@> z � d sianoattaccatead

unabasecomuneattraversolink idealimediantei quali le ditapossono esseremesse

in qualsiasiposizionee applicarele forzenecessarie.Oppuresi puòpensarechele�1 z >@> z � d sianocorpi rigidi fissi e stazionari,mentre

�è il pezzomobile sul quale

si lavora.

Sia ª lo spaziodi configurazione(c-space) di�

, e sia�L« ª il suoc-space

libero,ossiale configurazioniin cui�

nonpenetra�

1 z >�> z � d. Le dita sonorappre-

2.4. Mobilità del primo ordine di oggetti in contatto 29¬�¬�¬�¬�¬¬�¬�¬�¬�¬¬�¬�¬�¬�¬¬�¬�¬�¬�¬��®�®�®�®®�®�®�®®�®�®�®®�®�®�®®�®�®�®¯�¯�¯�¯¯�¯�¯�¯¯�¯�¯�¯¯�¯�¯�¯¯�¯�¯�¯

°�°�°�°�°�°°�°�°�°�°�°°�°�°�°�°�°°�°�°�°�°�°°�°�°�°�°�°±�±�±�±�±�±±�±�±�±�±�±±�±�±�±�±�±±�±�±�±�±�±±�±�±�±�±�±²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²�²³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³�³

´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´�´µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µµ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ�µ

PSfragreplacements�

1

�2�

3

��

q�x1

x2

x3

r1

r2r3

dita

configurazione di riferimento

Figura2.3: Sistemacostituito dall’oggettoedalledita.

sentatein ª comedelleregioni proibite,dettec-obstacle: questetengono�

in una

configurazioneq0 di equilibriostatico,conq0 r¶ª . Sed ditasorreggonol’oggetto,

q0 si trova sul contornodi�

, nell’intersezionedei contornidei d c-obstacle,che

corrispondonoalle dita. Nel paragrafosuccessivo si considereràla geometrialoca-

le di�

nellevicinanzedi q0 e di comequestageometriainfluenzamolti problemi

riguardantil’interazionedi corpi in contatto.

2.4.1 La rappr esentazionedello spaziodi configurazione

La definizionedello spaziodi configurazione,il c-space,è molto utile nell’analiz-

zarela cinematicae la mobilità dei corpi in contatto.Il modellodi questospazioè

mostratoin 2.4.

L’oggetto�

èdescrittonelsuospazionominale · < s n (n < 2 o 3), tramiteun

sistemadi riferimento,definito in · , solidalecon l’oggetto stessoe chiamato�-¸

,

ossiabodyframe. I punti in · sonoindicati con r. Nello spaziofisico ¹ < s n,

sonopresentiostacolistazionari�

1 z >�> z � d; essoè descrittomedianteil sistema di

riferimentofisso�-º

. I punti in ¹ sonoindicaticonx. Ognispostamentorigido di�in ¹ èdescrittoattraversola relazionecinematica:

x < X�r z � d z R�U�¼» Rr Z d z con r r�· z x r½¹

I punti r r � sonoruotatitramitela matriceR r SO�n� e traslatidelvettored r¾s n.


¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿À¿ÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁÀÁ

ÂÀÂÂÀÂÂÀÂÂÀÂÂÀÂÂÀÂÂÀÂÂÀÂÂÀÂÃÀÃÃÀÃÃÀÃÃÀÃÃÀÃÃÀÃÃÀÃÃÀÃÃÀÃÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÀÄÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅÀÅ

ÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÀÆÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÀÇÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÀÈÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉÀÉ

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ÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÀÌÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÀÍÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÀÎÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏÀÏ

Bq

c space

PSfragreplacements ostacolo�

1

ostacolo�

2

x < Rr Z d�q ÐÒÑ ÐÔÓc-space d R

spazio dell’oggetto R spazio fisicoW

Figura2.4: La rappresentazionedel c-space.

Lo spaziodi configurazionedi�

è la varietàsmoothC < SE�n� < s n Õ SO

�n� , di

dimensione 12n�n B 1� .

SO�n� puòessereparametrizzatamediantela variabileθ r¶s 1

2n Ö n A 1× , mentrela

traslazioned in s 3. I punti in questaparametrizzazionesonodetti q < q�r z θ � . I

punti occupatida�

nella configurazioneparametrizzatacon q, sonodetti��

q� ,vedifigura2.4.

Ora,datoungenericoostacolo�

i« ¹ , ossiaundito rigido estazionario,il suo

corrispondentec-spaceobstacle, ª � i , è l’insieme di tutte le configurazioneq tali

percui�Ø�

q� interseca�

i : ª � i »ÚÙ q rÛs k :�ÝÜ �

i Þ< /0 ßIl contornodi ª � i , chiamatoà i, corrispondeesattamenteaquelleconfigurazioni

q in cui le superficidi�Ø�

q� e�

i si toccano,mentrei loro interni sonodisgiunti.

2.4.2 Le forzedi contatto nello spaziodi configurazione

Perrappresentarele forze in ª , bisognaspecificareche,usandounaterminologia

geometrica,le forze sonocovettori, o elementidi uno spaziocotangente, e, allo

stessomodo,le velocitàsonovettoriappartenentiadunospaziotangente.

In generale,le forze,espressenellaparametrizzazioneq < �d z θ � , sonochiamate

2.4. Mobilità del primo ordine di oggetti in contatto 31

c-wrenchee indicatecon

w <LK f

τ Mw < w

�q� è unelementodellospaziocotangenteT áq ª .

Il c-wrench,dovutoalled forzeF�x1 � z >@>�> z F � xd � delleditacheagisconosu

��q�

nei punti di contattox1 z >�>@> xd, è indicatocon w�q;F

�x1 � z >@>â> z F � xd �U� ; sia w

�t � il c-

wrenchsopradefinito,in dipendenzadal tempo.

L’equazioneLagrangianadelmotodi�

è:

ddt

∂∂q

L B ∂∂q

L < w�q� (2.1)

dove L < K B U . L’energia cineticaK è espressada K�q z q� < 1

2qTM�q� q, dove

M�q� è la matriced’inerziak Õ k di

�.

Si assumecheU sianulla,perchèperquestaapplicazioneescludiamola gravità

egli effetti dell’energiapotenziale(vediparagrafo1.3).

Dal momentocherimaneL < K, da2.1si ha:

ddt

K�q z q� < w

�q�Ôã q (2.2)

La (2.2) è solitamente dettaPrincipio dei Lavori Virtuali e mettein relazionegli

effetti delle forze reali F�x1 � z >�>/> z F � xd � alle variazioni dell’energia cinetica. Si

esprimala mappacinematicadell’ i-esimopuntodi contattocon xi < X�r i z q� <

R�θ � r i Z d, dove r i r � è il puntodi contattonel sistemadi coordinatedi

�. Si

suppongacher i sia tenutocostante(ossiafissorispetto�

), percui si puòscrivere

che:

Xr i » X�r i z q�

Il vettorevelocità di r i saràdunque ddt Xr i

�q�t �X� . Il principio dei lavori virtuali

diventaperciò:ddt

K�q z q� < d

∑i | 1

Fi�xi �Òã Xr i

Si indichi con ni�q� il versorenormalea à i in q räà i , orientatoverso

�, ossia

esternamenterispetto ª � i . Si assumache à i siasmooth, in modotalecheni�q� sia

bendefinito.

Teorema1 Il c-wrench dovutoalla forza�

i�xi � di unsingolodito su

�Ø�q� è:

w�q z Fi � <å}DXr i

�q� � T Fi

�xi �


dove DXr i

�d � < d

dqXr i

�q� e w

�q z Fi � è un vettore colonna. SeFi

�xi � è normaleal

contornodi��

q� in xi e premesu��

q� , allora w è normaleal contorno à i del

c-obstaclein q epuntaesternamenterispetto ª � i , comemostrato in figura 2.5:

w�q z Fi � < λini

�q� per λi æ 0

Più in generale, sianod æ 1 leditachepremonosu��

q� conforzenormali F�x1 � z >@>/> z F � xd � .

Il totaledei c-wrench w ènormaleall’insieme ç di | 1 à i edèdatoda:

w�q;F

�x1 � z >�>�> z F � xd � < d

∑i | 1

w�q z Fi � < d

∑i | 1

λi ni�q� per λi æ 0

Perla dimostrazionedel teoremasi puòfareriferimentoa [51].

è~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~èè~è~è~è~è

é~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~éé~é~é~é~é ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~êê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~êê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~ê~êë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ëë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ëë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ë~ësemispazio di moto libero

PSfragreplacementsα ì t í

β ì t íq Ö 0ín

θdx

dy

pianotangente

c-obstacleî i

semispaziomovimenti liberi

semispazio di penetrazione

Figura2.5: Approssimazionedelprimoordinedelmotodi ï�ì qí in q0

Osservazione1 La condizionedi normalitàa ç di | 1 à i è equivalentea quelladi or-

togonalità all’intersezionedegli spazitangenti ð di | 1Tqà i. La nozione di ortogona-

lità, in questocontesto,deve essere propriamenteinterpretata: l’ortogonalità fra

w e i vettori tangenti q rñð di | 1Tqà i consistein una interpretazionedel fatto che il

covettorew èconormalea ð di | 1Tqà i, cioèw ì qí¼ò 0 per tutti i q róð d

i | 1Tqà i .

Definizione1 Sianole d dita in contattocon l’oggetto ï , il qualesi trova nella

configurazioneq0. Lanormalegeneralizzataa ô in q0 èla combinazioneconvessa


dei versori, rivolti versol’esterno,al c-obstaclein q0:õ ì q0 í¼ò d

∑i | 1

λi ni λi æ 0 per i ò 1 zUö@öâö d ed

∑i | 1

λi ò 1

Il conodel c-wrench in q è il conoindividuatodalla normalegeneralizzatain q:õø÷ ì q0 í¼ò d

∑i | 1

λini λi æ 0 per i ò 1 zUö@ö�ö/z dSi può notareche localmenteil contornodi ô è esattamenteil contornodiù d

i | 1 ª � i .õ ì q0 í è unapurastrutturachedipendesolo da q0 a dalla geometria

localedeic-obstacleª � 1 zUö�ö@ö/z ª � d. Infatti,õ ì qí è il gradientegeneralizzatodi una

funzionedistanzadi ô definitaopportunamente. Fisicamente,il conodelc-wrench

è la rappresentazionenel c-spacedi tutti i wrenchprodotti dai contattidelle dita

senzaattrito.

Sia ï sostenutodad ditanellaconfigurazioneq0. Affinché ïØì q0 í siaunapresa

di equilibrio, il sistemadei c-wrenchdeve esserenullo. Il teorema1 porta alla

seguentesemplicecondizioneperunapresadi equilibrio:

Corollario 1 Sianod leditacheapplicanosu ï le forzenormali ô 1 ì x1 í zUö@ö�ö/z ô d ì xd í ,mentre ï si trova nella configurazioneq0. q0 può essere una presadi equilibrio

scegliendoopportunamentela grandezzadi ciascunaforzaesercitata dalle dita se

esoloselo zero appartienealla normalegeneralizzatain q0:

0 r õ ì q0 íQuestasemplicecondizionegeometricapuò essereutilizzataper determinarela

posizionedelleditaperla presadi equilibrio.

2.4.3 Moti liberi del primo ordine

I moti liberi del primo ordinedi ï , quandoquestoè tenutocond dita stazionarie,

sonoqueimoti localidi ï chenonpossonoesserebloccatidanessunacombinazione

di forzedi contattosenzaattrito. Più precisamente,siaq0 la configurazionedi ï , e

sia ú un piccolointornok-dimensionalecentratain q0. I moti liberi sonopercorsi

del c-spaziochepartonodaq0 echesi trovano in ú ç ô .

Si consideriil contattodi un singolo dito fra ï�ì q0 í e�

i , che è considerato

fermo.Dal momento chei movimentidi ï devonorispettarela rigidità dell’oggetto


edelledita,i suoimovimentidelc-spaziodevonostarein ô . Questoconcettoèreso

più precisointroducendola seguentefunzionedistanzaconsegno: tramitequestasi

puòmisurarela distanzadel puntodi configurazioneq da à i , il contorno(smooth)

di ª � i:

di ì qí¼» ûüý üþ dst ì q z à i í se q èesternoa ª � i

0 se q èsu à iÿ dst ì q z à i í se q è internoa ª � i

(2.3)

dove dst ì q z à i í è la distanzaeuclideadi q da à i nell’ambientes k dellaparametriz-

zazionedel c-space.Si noti chequandoï è in contattocon�

i , alloradi ì q0 ílò 0,

dalmomentocheq0 r�à i.

Osservazione2 La dst ì q z à i í èunarappresentazioneconvenientedeivincoli rigidi

del c-space. di ì qí non deve essere necessariamenteuna distanzaeuclidea: può

essere usatainfatti unaqualsiasi altra funzionesmoothpurchésia negativadentroª � i , nulla su à i e positiva fuori ª � i .

Sia α ì t í il percorsodel c-spacetale cheα ì 0í ò q0, con q0 róà i, e α ì 0í ò q.

L’insieme dei movimenti del primo ordineè legato allo sviluppo in seriedi Taylor

delprimoordinedi di ì qí lungoα ì t í :ì di� α í�ì t í¼ò di ì q0 í Z ì ∇di ì q0 íÒã qí t Z O ì t2 í

Si può notarechedi ì q0 ílò 0, dal momentocheq0 rvà i; inoltre si può dimostrare

che�∇di ì q0 í � ò 1, per la distanzaeuclidea.Ciò implica che∇di ì q0 ífò ni ì q0 í . Si

ottieneperciò: ì di� α í�ì t í¼ò~ì ni ì q0 íÒã qí t Z O ì t2 í

in cui ni ì q0 í è fornito dal teorema1.

Definizione2 Sia ï in contattoconun unicocorpostazionario�

i (un dito), nella

configurazioneq0. I moti liberi del primo ordine di ï in q0 costituisconol’insieme

(semispazio di Tq0Rk) chesoddisfa:� 1

q0ì�ª � i í¼» Ù q r Tq0 s k : ni ì q0 íÔã q æ 0 ß

Il contornodel semispazio, � q r Tq0 s k : ni ì q0 íÔã q ò 0 � , identifica i movimenti di

roll-slidedel primo ordine. Il suointerno, � q r Tq0 s k : ni ì q0 íÒã q e 0 � , èchiamato

l’insiemedeimovimenti di escapedel primo ordine.


I movimenti liberi del primoordinedi ï , in contattocon�

i , sonoi vettori tangenti

(movimenti infinitesimali) alle curve chepartonoda q0 e chegiaccionoal primo

ordinenello spaziolibero ô , cioè,al primo ordine,di è nullo o crescentelungoun

movimento. Fisicamente,i movimenti del primo ordinesonoquellevelocità che

fannoin modoche ï abbiaistantaneamenteun moto di roll-slide su�

i , o chesi

allontanida�

i .

Se,al contrario,si consideranod dita,si hala seguentedefinizione.

Definizione3 Sia ï in contatto con d corpi stazionari,�

1 zUö�ö@ö�z � d (d dita), nella

configurazioneq0. L’insiemedei moti liberi del primo ordine di ï è il conoin

Tq0 s k generato dall’intersezionedei singoli semispazi dei moti liberi determinati

dal contattodi ï conciascundito�

i :� 1q0ì�ô í¼» dÜ

i | 0

� 1q0ì�ª � i í

dove� 1

q0ì�ô í èunmodosinteticoper indicare

� 1q0ì�ª � 1 zUö�ö@ö�z ª � d í .

Il c-obstacledi�

i , ª � i , è approssimatoconun semispazio.L’insiemedei mo-

vimenti di roll-slide del primo ordineè tangentea à i, alla configurazioneq0 r¾à i,

vedifigura2.5.

Ci sonodueimportantiproprietàdi� 1

q0 ì�ô í .Proposizione1 I moti liberi di ï�ì q0 í sonocoordinateinvarianti, ossiaindipen-

denti dalla sceltadel sistemadi riferimento. Sianoq e q dueparametrizzazioni

dellostessoc-spaceemessein relazionedaunatrasformazionedi coordinate f , un

diffeomorfismo,talecheq ò f ì qí e q ò ú f ì qí ˙q. Nesegueche:

q r � 1q0ì�ô í seesolose ˙q r � 1

q0ì ¯ôÝí

Sianooraα ì t í e β ì t í duepercorsinel c-spazio,tali cheα ì 0í=ò β ì 0í=ò q0 e α ì 0í òβ ì 0í¼ò q; ciò equivale a definireduepercorsichesonoequivalenti al primo ordine

in t ò 0, mapossonoaverediversederivatedi ordinesuperiore.

Proposizione2 Siaq r � 1q0ì�ª � i í un movimentodi escapedel primo ordine. Sia

α ì t í un percorso nel c-spaziotale che α ì 0í ò q0 e ˙α ì 0í ò q0. Allora α ì t í local-

mentesi trovanellospaziolibero, ovvero:

α ì t ífrÝô pertutti t r } 0 z ε � z perqualche ε e 0


Se, invece, q r � 1q0ì ª � i í è un movimentodi roll-slide del primo ordine, non è

possibile stabilire se α ì t í si trovi localmentenello spazio libero o se penetri inª � i . Esistonopercorsi α ì t í tali percui α ì } 0 z ε � í si trovain ô edaltri percorsi β ì t ítali per cui β ì } 0 z ε � í si trova in ª � i , vedifigura 2.5.

Perla dimostrazionedelledueproposizioni sopra,si veda[51].

2.4.4 Inter pretazionegrafica dei moti liber i del primo ordine

La definizionedei moti liberi del primo ordine implica che ª � i è approssimato

tramiteun semispaziolimitato dall’iperpianotangentea à i in q0 rvà i (vedi figura

2.5).

Consideriamoi movimentilibri delprimoordinedi unoggettoplanareï , quan-

dosi trovain contattoconil dito�

i . Riferendociallafigura2.6,possiamoaffermare

che:� un assedi istantanearotazionedeve intersecarela rettadi applicazionedella

forza;� i movimentidi roll-slidedelprimoordine,ossiai vettoritangentiappartenenti

all’iperpianoTqà i« � 1

q ì�ª � i í , sonole istantaneerotazioniattornoun asse

perpendicolareal pianoe passanteattraversola rettachecontienela normale

neipuntidi contatto.

Quandol’assedi rotazionesi trova all’infinito, si ha unapuratraslazione,in dire-

zioneperpendicolarealla lineadi applicazionedellaforza.

I movimenti liberi del primo ordinesonorotazioni istantaneedestrorsein un

semipiano,esinestrorsenell’altro, vedifigura2.6.

2.5 L’indice di mobilità del primo ordineõ ÷ ì q0 í èl’insiemedi tutti i c-wrenchchedeterminanolavariazionedellagrandezza

delleforzeesercitatedalledita. Il conoantipodaleè:ÿ õø÷ ì q0 í¼» d

∑i | 1

λi ì ÿ ni ì q0 í"í λi æ 0 per i ò 1 zUö@ö�ö@z d

2.5. L’indice di mobilità del primo ordine 37

��

PSfragreplacements

�i

normale di contatto

movimenti di roll-slidedel primo ordine

Figura 2.6: Il semispazio dei movimenti liberi del primo ordine comerotazioniistantanee.

Proposizione3 Sia ï in unapresadi equilibrio medianted dita frictionless,nella

configurazioneq0.� 1

q0ì�ô í è il conopolarea

õC ì q0 í edèdatoda:� 1

q0ì�ôÝí¼ò Ù q r Tq0 s k : w ã q � 0 pertutti w r ÿ õ C ì q0 í9ß

In particolare, sela presadi equilibrio èmantenutaanchequandole dita, chesono

in contattocon l’oggetto, applicanoforzenon nulle,� 1

q0ì ô í è il sottospazio di

Tq0 s k co-ortogonale, ossiareciproco,aõ

C ì q0 í :� 1q0ì ô í=ò õ

C ì q0 í w ì � 1q0ì�ô í èanche

dÜi | 1

Tq0 à i íCasispecialiesclusi,la dimensionedi

� 1q0ì�ô í è k ÿ d Z 1, dovek ò 3 o 6. Per

definizione� 1

q0ì�ô í=ò�� 0 � quandok ÿ d Z 1 g 0.

Perla dimostrazione,si puòsemprefareriferimentoa [51].

Consideriamoun oggettoplanare,in cui k ò 3. La proposizione implica che

in unagenericapresadi equilibrio i movimenti del primo ordinecostituisconoun

sottospaziobidimensionale,perunapinzacond ò 2,unsottospaziomonodimensio-


nale,perunapinzacond ò 3, un singolopunto,quindi l’oggettorisultaimmobile,

per pinzecon un numeromaggioredi dita. Peroggettisolidi k ò 6 e le possibili

dimensioni sono0 z 1 zXö�ö@ö�z 5.

Esistono casispecialiin cui la dimensionediõ

C ì q0 í è inferioread ÿ 1 equella

di� 1

q0ì�ô í è maggioredi k ÿ d Z 1. Vediamoquesticasi particolari per oggetti

planari. Capitadi rientrarein unodi questiseil numerodelledita d è più grande

di k, dove k ò 3 peroggettiplanari.Generalmente,� 1

q0ì ô í dovrebbeesserezero,

ma,setuttele normalineipuntidi contattosi intersecanoin unpunto,� 1

q0ì�ô í èun

sottospaziomonodimensionale.I moti annessisonole rotazioniistantaneeattorno

all’assepassanteper il puntodi intersezione,vedi figura 2.5a. Un’altra situazione

particolarericorre quandol’oggetto planareha dei buchi interni (nei quali le dita

possono entrareedesercitareforzedall’internodelbucoversol’esterno)eduedelle

ditadellapinzasi trovanoadesercitareforzenellastessadirezione,comele ditaA1

eA2 in figura2.5b.

��

��

!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!!�!�!�!�!�!�!�!�!�!�!"�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�""�"�"�"�"�"�"�"�"�"�"#�##�#$�$$�$PSfrag replacements

�1

�1

�2

�2

�3

�3�

4

(a) (b)

Figura 2.7: (a)� 1

q0ì�ô è un sottospazio monodimensionale. (b)

� 1q0ì ô í è un

sottospaziobidimensionale.

Siaoraq0 la configurazionedi ï , tenutoin equilibrio dad dita; q0 si trova sul

contornodeic-obstacledelled dita,q0 r¶ç di | 1 à i.

L’ indicedi mobilità del primo ordineè definitocomela dimensione del sotto-

spazioM1q0ì�ô í :

m1q0» dim ì � 1

q0ì ô í¼ò k ÿ d Z 1

m1q0

può assumerevalori nel range0 zUö�ö@ö�z k ÿ 1, dal momentoche k è fisso, a

secondachel’oggettosiaplanareo solido, l’indice dipendedalnumerod delledita

chepossiedela pinza.� 1

q0ì�ô í èimmobilizzatoal primoordineseil suom1

q0èzero.

2.5. L’indice di mobilità del primo ordine 39

Inoltre valela seguente proposizionedi invarianzadell’indicepercambiamenti

di coordinate:

Proposizione4 Sianoq e q dueparametrizzazioni dellostessoc-space, unitedalla

relazioneq ò f ì qí . Sia ï in unapresadi equilibrio nella configurazioneq0 nelle

coordinateqenellaconfigurazioneq0 nellecoordinateq. I sottospazideimovimenti

liberi del primo ordine nei rispettivi spazi,� 1

q0ì ô í e

� 1q0ì ¯ô í , hannola stessa

dimensione. Segueche:

m1q0ò m1

q0


Capitolo 3

L’indice di mobili tà del secondo

ordine

3.1 Intr oduzione

Il principalemotivo dello sviluppo della teoriadella mobilità del secondoordine

[52] è dovuto al fallimentodi quelladel primo nel distinguerele diverseproprietà

chepresedi equilibrio con lo stessonumerodi dita possonoavere. Infatti, tutte le

generichepresedi equilibriocond ditacondividonolo stessoindicedi mobilitàdel

primoordine.Ad esempio,le presedi figura3.1sonoidenticheperquantoriguarda

l’indice di mobilità del primo ordinemasonodifferenti sevalutatecon l’indice di

mobilità del secondoordine.Infatti le mobilità (o stabilità)sonodiverse.

Sesi studiala mobilità di un oggettoin unapresadi equilibrio usandonozioni

istantanee,comele forze e le velocità,si arriva ad un’approssimazionenon suffi-

ciente: occorrequindi introdurreconsiderazionisulla curvaturadell’oggetto,cioè

nozionidelsecondoordine.

3.2 Mobilità del secondoordine di oggetti in contatto

3.2.1 Moti liberi del secondoordine

Nel capitoloprecedentesi è dettochei moti liberi di ï , quandoè in contattocon

un sigolodito�

i , coincidono con le curve del c-spacechepartonoda q0 e, local-

mente,si trovanonellospaziolibero ô . L’insiemedei moti liberi del primo ordine

ècaratterizzatodall’iperpianotangenteal c-obstaclein q0

Siano,nuovamente,q0 la configurazionedi contattodi ï con�

i , à i il contorno

42 L’indice di mobilità del secondoordine

%&%&%%&%&%%&%&%'&'&''&'&''&'&'(&(&((&(&((&(&()&)&))&)&))&)&) *&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&**&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&**&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&**&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&**&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&**&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&**&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&**&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*&*+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&++&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&++&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&++&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&++&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&++&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&++&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&++&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+

,&,&,,&,&,,&,&,-&-&--&-&--&-&-.&.&..&.&..&.&./&/&//&/&//&/&/

0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&00&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&00&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&00&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&00&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&00&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&00&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&00&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&01&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&11&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&11&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&11&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&11&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&11&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&11&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&11&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1

2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&22&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&22&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&22&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&22&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&22&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&22&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&22&2&2&2&2&2&2&2&2&2&2&23&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&33&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&33&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&33&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&33&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&33&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&33&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&33&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3&3

4&4&44&4&44&4&45&5&55&5&55&5&56&6&66&6&66&6&67&7&77&7&77&7&7

8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&88&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&88&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&88&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&88&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&88&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&88&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&88&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&8&89&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&99&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&99&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&99&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&99&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&99&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&99&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&99&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9&9:&:&::&:&::&:&:;&;&;;&;&;;&;&;

<&<&<<&<&<<&<&<=&=&==&=&==&=&=PSfragreplacements

�1

�1

�1

�1

�2

�2

�2

�2

ï ïïï

(a) indicedel secondoordine = 2 (b) indicedel secondoordine = 1

(c) indicedel secondoordine = 1 (d) indicedel secondoordine = 0

Figura 3.1: Indice di mobilità del secondoordine per presedi equilibrio conequivalenteindicedelprimoordine.

smooth di ª � i (perciò q0 rÝà i) e α ì t í un percorsosmoothdel c-spacetale che

α ì 0í=ò q0, α ì 0í¼ò q e α ì 0í=ò q.

Si riscrivaoral’equazione2.3,ossiala distanzaconsegnodi ì qí di unpunto,di

configurazioneq, da à i :

di ì qí¼» ûüý üþ dst ì q z à i í se q èesternoa ª � i

0 se q èsu à iÿ dst ì q z à i í se q è internoa ª � i

Comei moti liberi delprimoordinesonolegatiallo sviluppoin seriedi Taylordi

di ì qí al primoordine,cosìi moti liberi delsecondoordinesonolegati allo sviluppo

in seriedel secondoordinedi di ì qí lungoα ì t í :ì di� α í�ì t í ò di ì q0 í Z ì ∇di ì q0 íÒã qí t Z 1

2ì qTD2di ì q0 í q Z ∇di ì q0 íÒã qí t2 Z O ì t3 íò ì ni ì q0 íÔã qí t Z 1

2ì qT }Dni ì q0 í � q Z ni ì q0 íÒã qí t2 Z O ì t3 í (3.1)

in cui di ì q0 í=ò 0 e ∇di ì q0 í=ò ni ì q0 í , dove ni ì q0 í è il vettorenormalea à i in q0,

direttoesternamenterispetto ª � i .

3.2. Mobilità del secondoordine di oggetti in contatto 43

In generale,seni ì q0 í ã q e 0,cioèquandoqèunmotodi escapedelprimoordine,

il terminelinearenell’equazione3.1determinail segnodi ì di� α í�ì t í per0 > t > ε,

dove ε e 0 è sufficientementepiccolo. I termini del secondoordineinfluenzanoil

segno di ì di� α íIì t í solo quandoα ì 0í ò q sta in Tq0 à i , cioè quandoq è un moto

roll-slide del primo ordine.La formaquadraticaqT }Dni ì q0 í � q in 3.1è la curvatura

di à i in q0 edèchiamatacurvature form.

I movimenti liberi del secondoordineverrannodefiniti comeun insiemedi ve-

locità edaccelerazioni. L’insieme ì q0 z q z qí di tutte le velocitàedaccelerazionidei

percorsidi α ì t í tali cheα ì 0ídò q0 èchiamatojet spacedelsecondoordinedi ª¶ò s k

in q0 edè indicatocon ? 2q0ì�ª-í .

Definizione4 Sia l’oggetto ï in contattofrictionlesscon un solo dito staziona-

rio�

i , in una configurazione q0. I moti liberi del secondoordine di ï in q0

costituisconoil sottinsiemedi ì q z qí in ? 2q0ì�ª-í chesoddisfano la relazione:� 2

q0ì�ª � i í »�� ì q z qí r@? 2

q0ì ª í : ni ì q0 íÒã q ò 0 e qT }Dni ì q0 í � q Z ni ì q0 íÔã q x 0 �

Analogamenteal casodelprimoordine, le coppievelocità-accelerazioneì q z qí , che

soddisfanoni ì q0 í ã q ò 0 e qT }Dni ì q0 í � q Z ni ì q0 í ã q ò 0, sonodettemovimenti di

roll-slide del secondoordine. Gli altri moti in� 2

q0ì�ª � i í per cui ni ì q0 í ã q ò 0 e

qT }Dni ì q0 í � q Z ni ì q0 íÔã q e 0 sonodettimovimenti di escapedel secondoordine.

Per d dita, � 2q0ì�ô í=» dÜ

1| 1

� 2q0ì ª � i í

dove� 2

q0ì�ô í staper

� 2q0ì�ª � i zUö�ö@ö�z ª � d í .

Si puònotarecheognimovimentodi escapedelprimoordineèautomaticamen-

te un moto libero del secondoordine. Con questadefinizionedei moti liberi del

secondoordinesi ponequindiattenzioneaquellecurvedi moti liberi chesonomoti

di roll-slide del primo ordine.Si puòricordare,dal capitolo2, chei moti liberi del

primoordinedi ï , in unaconfigurazionedi equilibrio, sonosoloi moti di roll-slide

delprimoordine.

Si considerinooradueparametrizzazionidellostessoc-space,legatefra loro da

unatrasformazionesmoothdi coordinate,un diffeomorfismo,q ò f ì qí . Con ¯ìXã í si

indichino oggettinel q-space.f mappavettoriedaccelerazionimediantele regole:

q ò }D f ì qí � ˙q (3.2)

q ò }D2 f ì qí � ì ˙q z ˙qí Z }D f ì qí � ¨q (3.3)


Proposizione5 I moti liberi del secondoordinesonoinvarianti rispettoa cambia-

mentidi coordinatesmooth.Sianoq eq dueparametrizzazionidellostessoc-space.

Siaq ò f ì qí la loro trasformazionedi coordinate, taleche ì q z qí e ì ˙q z ¨qí sianolegate

dalledueregole3.2e3.3.Nesegueche:ì q z qílr � 2q0ì�ô í seesolose ì ˙q z ¨qí r � 2

q0ì ¯ôÝí

Perla dimostazionesi veda[52].

Proposizione6 Sianoα ì t í e β ì t í duepercorsi smoothnel c-spaceidentici per il

secondoordine, ossiatali cheα ì 0ídò β ì 0ídò q0, α ì 0ídò β ì 0ídò q eα ì 0ídò β ì 0ídò q,

maconderivatesuperioridifferenti. Seì q z qílr � 2q0ì�ª � i í

è un movimentodi escapedel secondoordine, il suopercorsocorrispondenteα ì t ísi trova localmentenellospaziolibero, ovvero:

α ì t í rÝô perogni t r } 0 z ε � z perqualche ε e 0

Se ì q z qílr � 2q0ì�ª � i í

è un movimentodi roll-slide del secondoordine, allora nonsi puòstabilire nulla.

Sia che α ì t í penetri o menoil c-obstacleo stia nello spaziolibero per t r } 0 z ε �nulla puòessere determinato senzaconsiderare dellederivatedi ordinesuperiore

di α ì t í . Esistono percorsi α ì t í tali che α ì } 0z ε � í « ô edesistono percorsi per cui

β ì } 0z ε � í « ª � i .

La dimostrazionedi questaproposizionederiva direttamente dallo sviluppo di

Taylor3.1.

Vediamocomeinterpretarequestorisultato. Le curve identificateda ì q z qí-r� 2q0ì�ª � i í o sonomovimenti di escapedel secondoordine oppuredi roll-slide.

Questiultimi richiedonolo studio dellederivatesuperiorial fine di determinarela

loro naturalocale,dal momentocheil segno di di ì qí non può esserericavato dal

suosviluppoin seriedel secondoordinelungoquestecurve. In figura3.2(a)sono

illustratele curve associateai movimenti di escapedel secondoordine,mentrein

figura3.2(b)quelleassociateai moti di roll-slide.

Questenozionisonoinvariantipercambiamentidi coordinatesmooth:le curve


ABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABAABABABABABACBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBCCBCBCBCBC

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

PSfragreplacements

c-obstacle î ic-obstacle î i

α ì t íβ ì t íq0 q0

(a) (b)

Figura3.2: (a)movimentidi escapedelsecondoordine.(b) movimentidi roll-slidedel secondoordine.

chegiacciononello spaziolibero in unaparametrizzazionevengonotrasformatein

curvechesononellospaziolibero in ognialtraparametrizzazione.

3.2.2 La curvatura del dito

La forma quadraticaqT }Dni ì q0 í � q in (3.1) è la curvaturadel contornodel dito in

q0 r à i. Per calcolarei moti liberi del secondoordine di un contatto,occorre

trovareunaformulazioneesplicitadi questacurvatura: essainfatti giocaun ruolo

fondamentaleneldeterminarela mobilità di ï in unapresadi equilibrio.

Perdefinizione,la curvatureform di à i nellaconfigurazioneq0 r�à i è:

qT }Dni ì q0 í � q ò q ã ddt J t | 0ni ì α ì t íXí q r Tq0 à i

doveα ì t í èunpercorsonelc-spacesu à i, talecheα ì 0í ò q0 r�à i. Supponiamocheï�ì qí siaunsottoinsiemedellospaziofisico s n occupatoda ï quandosi trovanella

configurazioneq. Lungoα ì t í l’oggetto ï�ì α ì t í í esegueunmovimentodi roll-slide

sullasuperficiedeldito stazionario�

i .

La formuladellacurvaturadelc-obstacledipendedallacurvaturadeiduecorpi,

l’oggetto e il dito, per i quali si introducono le seguentinotazioni. Siano ï�ì qí e�i descritteda ï�ì qí òK� x rñs n : βq ì xíL� 0 � e

�i òK� x rñs n : γi ì xíL� 0 � , dove

βq ì xí e γi ì xí sonofunzioni smooth avalori reali chedefinisconoi contornidi ï�ì qíe�

i , rispettivamenteindicati con ∂ ï�ì qí e ∂�

i . Per definizione,la curvaturadiï�ì qí in xi r ∂ ï�ì qí e quella di�

i in xi r ∂�

i misuranola variazionedella loro

rispettivanormale: M∇βq ì xí ò ∇βq ì xíON � ∇βq ì xí � e P∇γi ì xí ò ∇γi ì xíON � ∇γi ì xí � , lungo

le varie direzioni delle tangenti. La loro curvaturaè determinatadalle seguenti


mappelineari [58]: Q ¸ Ö q× ì xi í : Txi ∂ ï�ì qíBR Txi ∂ ï�ì qíQTSi ì xi í : Txi ∂

�i R Txi ∂

�i

tali che: Q ¸ Ö q× ì xi í¼» ddt J x| xi M∇βq ì xíQ S

i ì xi í¼» ddt J x| xi M∇αi ì xí

Per semplicitàdi notazionesi può scrivere

Q ¸i

al postodi

Q ¸ Ö q× ì xi í , e

Q Si perQTS

i ì xi í .Osservazione3 Nel casodi oggetti planari gli spazitangenti Txi ∂ ïØì qí e Txi ∂

�i

sonomonodimensionali. L’effetto di

Q ¸ Ö q× ì xi í e di

Q Si ì xi í è semplicementeuna

moltiplicazioneper uno scalare: k i o k

Si . Gli scalari sonola curvatura, in xi r

∂ ï�ì qí e in xi r ∂�

i , dei contornidei rispettivi corpi.

La curvatureform dipendedalla sceltadella forma dell’oggetto. Si consideriuna

famigliadi oggettipostilungola normaledi contattoadunadistanzaρ i daipuntidi

contattostessi,dove ÿ ∞ > ρi > Z ∞. Perconvenzione,ρi è positiva dallapartediï�ì qí enegativadallapartedi�

i .

Teorema2 Sia ï in contattoconil corpostazionario�

i (il dito), nellaconfigura-

zioneq0. Siaq la parametrizzazione del c-spacequandoil contornodi ï è posto

ad unadistanza ρi dai punti di contattolungola normalesui punti di contatto.La

curvature formdi à i in q0 (la formaquadratica qT }Dni ì q0 í � q z q r Tq0 à i) èdatada:

kq0 ì vz ω í=ò~ì vT ì NiÕ ω í T íU Q ¸

i} QTS

i Z Q ¸ i �WV 1

QTSi

QTSi} QTS

i Z Q ¸ i �XV 1 ì ρi

Q ¸iÿ I íì ρi

Q ¸iÿ I í } Q S i Z Q ¸ i � V 1

Q Si ì ρi

Q ¸iÿ I í } Q S i Z Q ¸ i � V 1 ì ρi

Q Si Z I íZY K v

NiÕ ω M

doveq òåì vz wí è il vettore tangentein Tq0 à i , e Ni è il modulodel versore nel punto

di contatto,comunead�

i e ï , edirettoversol’interno di ï .

Corollario 2 La curvatura di à i in q0 in una pura traslazioneistantanea di ï è

indipendenteda ρi edèdatada:

kq0 ì vz 0í=ò vT } Q V 1S

i Z Q V 1¸i� V 1v


Nel casoplanare diventa:

kq0 ì vz 0í=ò i 1k

SiZ 1

ki j V 1

dove�v� ò 1 (3.4)

Osservazione4 Nel casoplanare i rispettivi raggi di curvatura sonor¸

i ò 1N k i e

r

Si ò 1N kS i L’equazione3.4evidenziachei raggi di curvatura sonosommatialge-

bricamenteper fornire il raggio di curvatura del c-spaceperunapura traslazione.

Corollario 3 La curvaturadi à i in q0 in unapura rotazioneistantaneadi ï attorno

un assepostoa distanzaρi lungo la normalenel puntodi contatto risulta essere

quadratica in ρi , edèdatada:

kq0 ì 0 z ω í¼ò~ì ˆõiÕ ω í T } ρi

Q ¸iÿ I � } QTS i Z Q ¸ i � V 1 } ρi

QTSi Z I � ì ˆõ

iÕ ω í

Nel casoplanare diventa:

kq0 ì 0 z ω í=ò ì ρi k iÿ 1íIì ρik

Si Z 1í

k

Si Z k

i

dove�ω� ò 1 (3.5)

3.2.3 Inter pretazionegrafica dei moti liberi del secondoordine.

Questirisultatisonodescrittiin manieragraficain figura3.3.L’oggettoplanareï è

[\[\[\[\[\[\[\[\[\[\[[\[\[\[\[\[\[\[\[\[\[[\[\[\[\[\[\[\[\[\[\[[\[\[\[\[\[\[\[\[\[\[[\[\[\[\[\[\[\[\[\[\[[\[\[\[\[\[\[\[\[\[\[]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\]]\]\]\]\]\]\]\]\]\]\] ^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^\^_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\__\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\__\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\__\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\__\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\__\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ `\`\`\`\`\`\`\`\`\`\``\`\`\`\`\`\`\`\`\`\``\`\`\`\`\`\`\`\`\`\``\`\`\`\`\`\`\`\`\`\``\`\`\`\`\`\`\`\`\`\``\`\`\`\`\`\`\`\`\`\`

a\a\a\a\a\a\a\a\a\a\aa\a\a\a\a\a\a\a\a\a\aa\a\a\a\a\a\a\a\a\a\aa\a\a\a\a\a\a\a\a\a\aa\a\a\a\a\a\a\a\a\a\aa\a\a\a\a\a\a\a\a\a\ab\b\bb\b\bb\b\bc\c\cc\c\cc\c\c d\d\dd\d\dd\d\de\e\ee\e\ee\e\ef\f\ff\f\ff\f\fg\g\gg\g\gg\g\gPSfragreplacements

�i ih

q0 j ρi

r k i

r l i

(a) (b) (c)

normaledi contatto

assedi rotazionedei moti di

insiemedegli assidi rotazionedei moti di

roll-slidedel primo ordine

roll-slidedel primo ordine

intervalli di moti liberi del secondoordine

intervallo di immobilità del secondoordine

Figura 3.3: Movimenti di roll-slide del primo e secondoordine di un contattoplanare.

in contattoconil ditoplanareestazionario�

i , figura3.3(a).Siaq0 la configurazione

di contatto,doveq è la parametrizzazionedelc-spaceassociata,e à i il contornodel

c-obstacle�

i in questaparametrizzazione.Ogni movimentodi roll-slidedel primo


ordinein q0 è un vettoretangenteappartenentea Tq0 à i (vedi capitolo2). Inoltre,

ogni q puòessererappresentatocomeunapurarotazioneistantaneadi ï attornoun

asseperpendicolareal pianoe passanteattraversola normalenel puntodi contatto.

La rotazioneistantanea,alla distanzaρi m 0 dal puntodi contattoe dalla partediï�ì q0 í , èmostratain figura3.3(a).

Si pongail sistemadi riferimentodi ï dove l’assedi istantanearotazioneinter-

secail piano,alla distanzaρi dal contatto.Nella corrispondente parametrizzazione

del c-space,q è unapurarotazione,q òåì 0 n ω í . L’approssimazionedel secondoor-

dinedi à i in q0 è datadallo sviluppodi Taylor del secondoordinedi di ì qí lungoil

percorsodelc-spaceα ì t í , talecheα ì 0í ò q0 o à i. Siaα ì t í associatoal movimento

di roll-slidedelprimoordine,con α ì 0íÔò q0 o Tq0 à i e α ì 0í ò q ò 0. Valutatolungo

α ì t í , lo sviluppo di Taylordi di ì q0 í , diviene:ì di� α í�ì t í=ò 1

2ì qT pDni ì q0 írq qí t2

dal momentochedi ì q0 ífò 0 e ni ì q0 í ã q ò 0, per q o Tq0 à i. Perciòil segnodi ì di�

α í�ì t í lungounpiccolointervallo 0 � t � ε èdeterminatosolamentedallacurvature

form. Sesi indicanoconr

Si e r s i i raggidi curvaturadi

�i e ï rispettivamentenei

puntidi contatto,allorala 3.5diventa:

kq0 ì 0 n ω í=ò ì ρiÿ r s i í�ì ρi t r

Si í

r

Si t r s i

dove�ω� ò 1

Il segnodi kq0 ì 0 n ω í èquindisolamente funzionedi ρi , distanzadell’assedi istanta-

nearotazionedalpuntodi contatto,edi r s i , vedifigura3.3.

Quindi:� seρi u r s iallora ì di

� α í�ì t í u 0 al secondoordine,pert o ì 0 n ε q : ï penetrerà

in�

i sesi imponequestarotazione,cheèunmotoliberodelprimoordine;� seρi ò r s i , si haunmovimentodi roll-slidedelprimoordine,cheèancheun

movimentosi roll-slidedelsecondo;� seρi m r s i i corpi non sonoa contattoe ì di� α í�ì t í m 0, per t o ì 0 n εq : è un

movimentodi escapedelsecondoordine.

Sel’assedi istantanearotazionesi trova dallapartedel dito, si fa un’analogaana-

lisi considerandoperòρi u 0 e r s i e r

Si invertiti. Perciò,uno studiodei moti del

secondoordineimponeunadistinzionedei moti del primo: i movimenti di escape

delsecondoordine,di roll-slidee i loro insiemicomplementari.

3.3. Mobilità del secondoordine in una presadi equilibrio 49

La figura3.3 semplifica la situazione;infatti, a unapurarotazioneistantaneaq

attornoun assea distanzaρi possonoessereassociatidiversivettori accelerazione

q. Ogni q determinaun diversomovimentodel secondoordine ì q n qí . La figurasi

riferiscesoloallecoppiein cui q ò 0.

Peroggettiplanari, i movimenti di roll-slide del primo ordinepossono essere

caratterizzatiin questomodo.Si indichiconl i la rettagiacentesullai-esimanormale

alla superficienel puntodi contatto,e sia ρi la distanzacalcolatalungo l i dall’i-

esimopuntodi contatto,talecheρi siapositiva dal lato di ï e negativa da quello

di�

i . I movimenti di roll-slide del primo ordinecorrispondonoall’insiemedelle

rotazioniistantaneedi ï attornounasseperpendicolareal pianopassanteper l i alla

distanzaρi. In coordinatemiste,i vettori tangentisonoindicaticonq ò~ì vn ω í , dove

v è la velocità linearee ω quellaangolare,e i moti di roll-slide del primo ordine

sonoistantaneerotazionidi ï chehannola formaq òåì 0 n ω í .Lemma 1 Nel casoplanare, la curvatura nel c-spacedi à i in q0, in unarotazione

istantaneaq ò ì 0 n ω í di ï attorno ad un assepostoad una distanzaρ i lungo la

linea l i , è:

ki ì q0 n qí¼ò 1k

Si t ks i

ì ρiks iÿ 1í�ì ρik

Si t 1í ω2 (3.6)

3.3 Mobilità del secondoordine in una presadi equi-

librio

La definizionedell’indice di mobilità del secondoordine è basatasul fatto chela

somma dei wrench(forze e coppie)che agisconosu ï all’equilibrio deve esse-

re zero. Il wrenchdovuto alla forza applicatadal dito�

i su ï con contatti fric-

tionlessdeve essereunacombinazione convessadei versorinormalialla superficie

dell’oggettonei punti di contatto,ni ì q0 í , diretti esternamenterispetto à 1 n ö�ö@ö n à d in

q0 o à 1 ç à 2 ç ö�ö@ö ç à d. Perciò la condizionedi equilibrio nel c-spaceè tale che

esistanod scalaritali percui:

λ1n1 ì q0 í t ö@ö�ö t λdnd ì q0 í=ò 0 con λi æ 0

Assumiamocheogni ni ì q0 í sia essenzialeper la presa,cheogni λi chedipendo-

no solodalladirezionedelleforzeapplicatedalledita e dallaposizionerelativadei

punti di contatto,sianostrettamente positivi e ched ÿ 1 wrenchsianolinearmen-

te indipendenti(vedi [52]). In questomodo i coefficienti λi sonounivocamente

determinatiamenodi uncoefficientemoltiplicativo.


Mentrela curvatureform delsingoloc-obstaclenonè in generaleinvarianteper

cambiamentidi coordinatesmooth, (vedi[52]), la sommapesatadi tuttele curvature

haunastruttura invariantechecaratterizzaal secondoordinela mobilità di ï in una

presadi equilibrio.

Definizione5 La curvature form relativa del c-spazioassociata ad unapresadi

equilibrio èdatadalla formaquadratica

krel ì q0 n qí¼ò d

∑i v 1

λiki ì q0 n qí¼ò qT p d

∑i v 1

λiDni q q (3.7)

doveq o � 1 wyxyxyxzw k ì q0 íDefinizione6 Sia ï in una configurazione di equilibrio q0. L’indice di mobilità

del secondoordinedi ï , indicatoconm2q0

, è il numero di autovalori nonnegativi

dellamatricedellacurvature formrelativadel c-space∑di v 1λiDni .

Si puòosservarechel’indice di mobilità delsecondoordine:� può assumerevalori compresinel range0 n ö�ö/ö n m1q0

: gli effetti del secondo

ordinepossonosoloeffettivamentediminuire la mobilità,nonaumentarla;� rappresentala dimensionedel più grandesottospazionelqualela formaqua-

draticakrel ì q0 n qí ènon-negativa,ossiasemidefinitapositiva.

Sem2q0ò 0 , ogni movimentolocaledi ï è o unapenetrazionedel primo ordine,

un movimentodi roll-slide del primo ordine,ovvero un moto di penetrazionedel

secondoordine; m2q0ò 0 implica, perciò,che ï è completamenteimmobilizzato.

Infine,comesi puònotaredallafigura3.1,la presamiglioreèquellache,aparitàdi

indicedelprimoordine,possiedeil minoreindicedi mobilità del secondo.

Proposizione7 Sianoq e q dueparametrizzazionidellostessoc-space, unitedalla

relazioneq ò f ì qí . Sia ï in unapresadi equilibrionelleconfigurazioni q0 eq0 nelle

rispettive parametrizzazioni. L’indice di mobilità del secondoordine è invariante

rispetto questatrasformazionedi coordinate. Risultaperciò:

m2q0ò m2

q0

La curvaturadei corpi da afferrarepuò effettivamentediminuire la mobilità di un

oggettochesi trova in unaposizione di equilibrio. Un corpoin unapresadi equi-

librio è completamenteimmobilesela suaconfigurazioneq0 è completamente iso-

lata mediantei c-obstacledallo spaziolibero. ï è immobile al primo ordinese

3.3. Mobilità del secondoordine in una presadi equilibrio 51

m1q0ò 0. L’immobilità delprimoordineèunacondizionesufficienteperla completa

immobilizzazionedi ï .

Tutti gli oggetti2D o 3D possono esseretenuti in unapresaforce-closureme-

diantek t 1 punti di contattofrictionlessdove k è la dimensionedel c-space.Per-

ciò 4 punti di contattosonosufficienti per un oggettoplanaree 7 per uno solido.

k t 1 è il più piccolonumerodi ditapossibile quandosi consideranosologli aspetti

riguardantii puntidi contatto.

Quandosi tienecontoanchedellamobilità delsecondoordine,però,gli oggetti

possonoessereimmobilizzati anchecon un numeroinferiore a k t 1 dita senza

attrito. Un corpoin unapresadi equilibrioèimmobile al secondoordinesem2q0ò 0.

Fisicamenteciò significachetutti i suoi movimenti istantaneiin q0 causanoquei

movimenti locali nel c-spaceche fannoin modoche le dita penetrinol’oggetto.

Così, comel’immobilità del primo ordine, anchequella del secondoordine può

garantirela completaimmobilità.

Peroggettin-dimensionalisonosufficienti n t 1 dita,ossia3 ditaperoggetti2D

e 4 per oggetti3D: nel casoparticolaredi questolavoro, il gripperA.S.I possiede

tre ditaegli oggettiafferrati sonobidimensionali.


Capitolo 4

Implementazioneeprove

sperimentali

4.1 Intr oduzione

La teoriaillustratanei capitoli precedentiè alla basedell’algoritmoper la determi-

nazionedella presadi immobilizzazionedi oggettiplanarisconosciuti,inquadrati

dallatelecameraedafferratimedianteil gripperA.S.I.

L’algoritmoèstatorealizzatoin linguaggioC ANSI edè integratoconil codice

di controllo del robotSmart-3SdellaComau,conquellochegestiscel’acquisizio-

ne delle immagini della telecamerae con quello della pinza. Il sistemaoperati-

vo utilizzato è Linux nella versionedella Red Hat 7.2, con kernel 2.4.4e patch

rtai-24.1.5.

Comeprimo passosi determinaun insieme di equazionitramitele quali l’og-

getto ï è tenutoin equilibrio dalletre dita { 1 n|{ 2 n|{ 3; successivamenteverràusato

l’indice di mobilità perporredeivincoli aquestoinsiemedi prese,in mododadeter-

minareun sottoinsiemecostituito dallesolepresedi immobilizzazione[48]. Nella

realtà le dita sonodischi con raggio noto pari ad 1cm ma nell’implementazione

vengonoconsideratepuntiformi.

Lo studiovienefatto nel contactconfiguration space, definito come: x : I«} ÿ R } 2, chedescrive il contornodi ï . Si indicaconxi ò x ì ui í , con i ò 1 n 2 n 3 n la

posizionedei punti di contattodelledita lungoil contornodell’oggetto. Lo spazio

definitodalleterne ì u1 n u2 n u3 í è lo spaziodi configurazionedeicontatti.

54 Implementazioneeprovesperimentali

4.2 Analisi del contorno dell’oggetto

Le unicheinformazionisull’oggettoprovengonodallatelecamera.Dopoil calcolo

delladistanza(paragrafo1.4),il polsodelmanipolatoreroboticosi trovaimmediata-

mentedi fronteall’oggetto.Peraverebuoneprestazionidi riconoscimentomediante

la telecamera,gli oggettidevonoaveremolto contrastoconlo sfondo.Inizialmente,

durantela fasesperimentaledel progetto,nonsonostati utilizzati oggettireali ma

dellesemplicifiguredisegnate;esempisonoforniti in figura4.1:

Figura4.1: Esempidi immagini prelevatedallatelecamera.

Successivamente,sonostatiutilizzati oggettirealiopportunamentesospesi,vedi

figura4.2:

Figura4.2: Esempiodi immaginedi unapallina prelevatadallatelecamera.

Ciò cheserveperl’algoritmo di presaottimaèla bitmap,in scaladi grigi, forni-

tadall’algoritmodi Canny, il valoredelparametrosaturation, peril riconoscimento

dei pixel appartenential contornodell’oggetto, e le coordinatedel centrodi gra-

vità dell’oggetto stesso. Il sistemadi riferimentousatosi riferisceall’immagine

chesi vedea monitornell’interfacciagrafica.L’origine è postanell’angoloin alto

4.2. Analisi del contorno dell’oggetto 55

a sinistra, l’assedelle x positive rivolto versoil basso,coincidentecon il normal

negativo del robot,e l’assedelley positive rivolto versodestra,coincidenteconlo

slidepositivo del robot.

4.2.1 Edge-tracking

L’edge-detection,effettuataconl’algoritmo di Canny, fornisceunabitmapin scala

di grigi; quandola si esploravengonoscelti solamentequei pixel che hannoun

valoredi grigio maggioredi saturation:sonoi punti del contornodell’oggettoda

afferrare.In figura4.3e4.4sonomostratele ricostruzionideicontornidegli oggetti

inquadratidallatelecameraemostratinel paragrafoprecedente.

Il problema,ora, consistenel caratterizzarequestoinsiemedi punti: occorre,

cioè, ordinarei pixel in mododa percorrerein un sensola curvaturadel contor-

no. Il versodeve esseresceltoa priori perchè,in seguito, deve esserefatta una

parametrizzazionedel contorno.

In letteraturanon esistonoalgoritmi per l’edge-trackinggià testatie utilizzati:

si è dovutoperciòcercaredi risolverel’ordinamento dei punti medianteconsidera-

zioni euristiche.

Si parteda un pixel generico,quello con x più piccolo; il secondoè sceltoin

modotaledaimporrecheil versodi percorrenzadellacurvasiaantiorario.Quindi,

dopoi primi due,si imponecheogni pixel confini al più conaltri due,consideran-

do un intorno 3 Õ 3. Ogni pixel chevieneordinatodiventa il pixel centraledella

finestrella3 Õ 3: questoconfineràcon il precedente,chevienecancellato,e con il

successivo, chevieneinseritofra quelli ordinati.Puòaccadereche,acausadi errori

nellacostruzionedellabitmap,in un intorno3 Õ 3 nonvi sianopixel, perciòviene

Figura4.3: Ricostruzionedel contornomediantel’algoritmo di Canny.


Figura4.4: Ricostruzionedel contornomediantel’algoritmo di Canny.

fattaunaricercain un intornopiù grande,cioè5 Õ 5. Questometodogarantisceuna

certarobustezzaalla presenzadi un eventualerumoreinterno:vengonocioèelimi-

nati queipixel interni al bordodell’oggetto. Comechiarimentosi osservila figura

4.5. In 4.5(a)il pixel rossocorrispondeall’ultimo pixel inseritonelvettoredeipunti

ordinati: in realtà,unavoltaordinato,il pixel vienecancellatodallabitmap,manel

casodellafigura vienecoloratoin rosso,in mododaavereunamaggiorechiarez-

za. L’ultimo pixel ordinatodivienecentralenellafinestrella3 Õ 3. Poi si controlla

quantisonoi pixel vicini appartenential contorno:nel casodi figura4.5(b),cen’è

solouno,chevienedirettamenteinserito. Spostandonuovamentela finestrella,si

arriva adunasituazionein cui bisognadecidere,figura4.5(c): si tieneil puntocon

distanzaminoredal centroegli altri vengonocancellati(in figurasonodisegnati in

nero).In 4.5(d)si vedechenelcasoin cui nonsi trovi nientenellafinestrella3 Õ 3,

si prova in una5 Õ 5. Si procedecosì,figure4.5e4.5,fino achenonsi ricostruisce

tutto il contorno,figura4.5(d).

In generalei punti ordinati risultanoesserecirca1000,a secondadegli oggetti

testatinelleprovesperimentali,si va daun minimo di 600adun massimodi 1500.

Peraverebuoneprestazioniin termini di tempodi calcolodell’algoritmo, si fa un

filtraggiodell’immaginein modotalechenerimanganocirca300: anchesesi per-

dequalcheinformazione,il contornodell’oggetto rimanesemprebendefinitoe le

prestazionimiglioranonotevolmente. Il tempodi calcolo, infatti, non diminuisce

esponenzialmenteconil numerodi punti.

4.2. Analisi del contorno dell’oggetto 57

x~ y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x~ y

(a)

(e)

(c)

(k)

(i)

(g)

(b)

(f)

(d)

(l)

(j)

(h)

Figura4.5: Ricostruzionedelcontorno:edge-tracking.


4.2.2 Parametrizzazione

Ordinati i punti, si puòprocederecon la descrizionegeometricadel contorno.La

sceltaeffettuataèstataquelladi considerarepixel perpixel edi legareaciascunodi

questile informazioninecessarie.

Perogniternadi punticonsecutivi si calcolala circonferenzapassanteperquesti

tre punti: per il puntocentralesi può calcolareil vettore tangenteorientatocome

il versodi percorrenzadel contorno,il vettorenormale,orientatoversol’interno

dell’oggetto e il raggiodi curvatura,datodal raggiodellacirconferenzastessa.

4.3 Vincoli imposti dalla geometria del gripper

Comesi è dettonelparagrafo1.3.2,le tre ditadelgripperA.S.I. sonopostea120� ,perciòle configurazionifisicamenteraggiungibili devonorispettarequestovincolo.

Si possono dunqueescluderele ternedei punti di presachenon sonoposti a

120� rispettounpuntoparticolare,il centrodelgripper.

L’algoritmo di presaottimanonsoloforniscel’angolo di rotazionedel gripper,

ossiai gradidi roll , positivi o negativi, di cui dovràruotareil polsodelmanipolatore

e quindi il gripper, maancheun offset relativo fra il centrodel grippere il centro

di gravità: infatti, quandovieneapplicatol’algoritmo di presa,il centrodelgripper

risulta esserein assecon il centrodi gravità, perchèper il calcolodella distanza

occorreallinearequestiduepunti,manondevonoesserenecessariamentein questa

posizioneanchenelmomentodell’afferraggio.

4.4 Le presedi equilibr io

Si indichi con ti il versoretangente,con ni quello normaleal contornodi ï nei

punti di contattoxi e con wi ò ì ni n xiÕ ni í T il corrispondentewrenchdovuto alla

forza unitariaapplicatalungo la normalesul puntodi contattoxi . La condizione

necessariaperunapresadi equilibrioècheesistanotrescalariλ1 n λ2 n λ3 tali chesia

soddisfattala relazione:

λ1w1 t λ2w2 t λ3w3 ò 0 con λi m 0 (4.1)

econi wrenchewi adueaduelinearmenteindipendenti.

L’equazione(4.1) descrive l’insieme di tutte le presedi equilibrio nello spa-

zio dei parametriu1 n u2 n u3 n λ1 n λ2 n λ3. Si vuoleperòcaratterizzarele condizionidi

4.5. Le presedi immobilizzazione 59

equilibriodirettamentenelcontactconfigurationspace:occorrecioèeliminarei pa-

rametriλ1 n λ2 n λ3. Unacondizionenecessariaperl’esistenzadei coefficienti λi , tale

chenonsianotutti ugualiazeroechesiasoddisfattal’equazione(4.1),è:

Det ì w1 n w2 n w3 í ò 0 (4.2)

chedefiniscela superficieSbidimensionalenellospaziotridimensionaledi configu-

razionedei contattidellapresau1 n u2 n u3. Pergarantirela positività dei coefficienti

λi, si costruisconoi prodottivettoriali fra i vettorinell’equazione(4.1)conn2 e n1.

Ciò portaa:

λ1n1Õ n2 t λ3n3

Õ n2 ò 0 e λ2n2Õ n1 t λ3n3

Õ n1 ò 0 (4.3)

questogarantiscechei λi abbianotutti lo stessoverso.Dallaequazione(4.3)deriva

la definizionedei coefficieni λi a menodi unacostantemoltiplicativa:

λi ò ni � 1Õ ni � 2 ò ti � 1

Õ ti � 2

dove la sommadegli indici èmodulo 3.

In particolarel’equazione(4.1)è verificatasee soloseè verificatal’equazione

(4.2)e: ì t1 Õ t2 í�ì t2 Õ t3 í m 0 e ì t1 Õ t2 í�ì t3 Õ t1 í m 0 (4.4)

L’insiemedellepresedi equilibrionel contactconfigurationspaceèdefinitodall’e-

quazione(4.1)edai vincoli (4.4).

Per imporre la condizionedi presa,occorreche i wrenchsianoa due a due

linearmenteindipendenti. Ciò accadeanchequandosi hannopreseeffettuatecon

duedita postein punti di contattoantipodali: si è sceltoperòdi eliminarequesto

tipo di presedall’insieme delle preseimmobilizzanti. Una condizionesufficiente

perla lineareindipendenzaèdunque:

ti Õ ti � 1 Þò 0 per i ò 1 n 2 n 34.5 Le presedi immobili zzazione

Le presecheimmobilizzanol’oggettocostituisconoun sottoinsiemedellepresedi

equilibriocherisultanoessereimmobili al secondoordine,ossiala relativamatrice

della curvaturadeve averetutti gli autovalori negativi. Nel nostrocasola relative


curvature formè,(3.7):

krel ò λ1k1 ì q0 n qí t λ2k2 ì q0 n qí t λ3k3 ì q0 n qí (4.5)

dove q o � 1 ì q0 í . Ricordandol’equazione(3.6),la 4.5puòessereriscritta:

krel ò 3

∑i v 1

λi

k

Si t ks i

ì ρiks iÿ 1í�ì ρik

Si t 1í ω2 u 0 (4.6)

dove ρi è la distanzaconsegnofra i punti di contattoxi e il puntox0 in cui le rette

d’azionedelletre forzedi contattosi intersecano;ρi èdefinita:

xiÿ x0 ò ρini

Conalcunipassaggi,utilizzandol’equazione(4.3),si puòricavare:

ρi ò ì xi � 1ÿ xi íÔã ti � 1

ti Õ ti � 1

4.6 La presaottima

Fratutte le ternechegarantisconopresedi equilibrioedi immobilizzazionedell’og-

getto,vieneselezionataquellacheminimizzaunafunzionecostooppurtunamente

scelta.Qualsiasicriteriodi ottimizzazionevengautilizzato,si determinanopresedi

immobilizzazionelocali.

Esempidi terneimmobilizzanti di afferraggiosonomostratenelle figure 4.6,

4.7,4.8: esserappresentanole immagini cheappaiononell’interfacciagraficauten-

te. I tre punti di presae il centrodel grippersonoevidenziati in rossomentreil

centrodi gravità dell’oggettoèpostoin giallo. Dopola visualizzazioneil robotruo-

tadell’angolofornito dall’algoritmoesi avvicina in modotalechel’oggetto si trovi

all’interno dellapinzaconle dita in corrispondenzadei punti di contatto.Infine le

ditasi chiudonosull’oggetto.

Supponiamoche ï sia un oggettoelastico. Si vuole calcolarela componente

momentodel wrench,causatadalla deformazionedel corponei punti di contatto,

quandoil corpostessoè soggettoad unapiccola rotazioneα attornoal puntodi

intersezionedellenormalineipuntidi contatto.Il criteriodi ottimizzazioneconsiste

nel massimizzareproprioquestomomento.Comesi è già dettonel paragrafo4.5,

si indicaconρi la distanzaconsegnofra il centrodi rotazionee il genericopuntodi

4.6. La presaottima 61

Figura4.6: Ternadi presa.




contatto,con rBi ò 1kBi

il raggiodi curvaturadel contornodell’oggetto nell’i-esimo

puntodi contattoe conrAi ò 1kAi

il raggiodi curvaturadel dito che,però,in questo

studio, vieneconsideratopuntiforme,perciòrAi ò 0, poichékAiÿ R t ∞.

Dopounapiccolarotazioneα, il dito penetral’oggettoadunaprofondità p. Si

suppone che la forza di reazionesia nella direzionedella linea cheunisceil dito

al più vicino puntodel contorno,con modulo proporzionalea p. Si ottienecheil

momentodellaforzadi reazionerisultaesseremi ò 12k2

i α3. In particolare,essendoci

tre contatti,verràusata,comefunzionecostodell’ottimizzazione,la quantità:

3

∑i v 1

k2i

La presaottimarisultaesserecostituia dallaternapercui questafunzionecosto

èminima.

4.7 Prestazioni dell’algoritmo

L’algoritmo di presaottima portaa buoni risultati, sia in termini di qualitàdella

presa,siain terminidi tempodi calcolo.

Inizialmentel’implementazionerichiedeva qualcheminuto nel fornire la terna

di presa:ciò eralegatoal fattochevenivanoconfrontatetutte le ternepossibili. Al

finedi velocizzare,sonostatiinseritidegli accorgimentichediminuisconoil numero

4.7. Prestazionidell’algoritmo 63

di cicli di confronto.Ora, la ternaè fornita in pochisecondi:ciò è positivo poiché

l’algoritmo è inseritonelcodicedelcontrollodel robote in quellodellatelecamera.


Conclusioni

In questolavoroèstatapresentataunastrategiadi afferraggiodi oggettiplanarisco-

nosciutimedianteunapinzaa tre dita in un sistemavisually-guided,e assicurauna

certarobustezzaalle richiestereal-time.Le unicheinformazioninecessarieproven-

gonodalla telecamera:unostudiodel profilo mediantela cinematicadel secondo

ordinee quindi della curvaturadel contornogarantisconola determinazionedella

presastabile.

I possibili sviluppi futuri riguardano:� miglioramentodellaparametrizzazionedel contornodell’oggetto;� afferraggiodi oggettinonsoloplanarimaanchetridimensionali;� inserimento di unasecondatelecamera,perunavisionedi tipo stereo;� aumentodelle prestazioni,ossiadell’efficienzadegli algoritmi in termini di

velocità di calcoloedi bontàdelleconfigurazionidi presa.

66 Conclusioni

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ANIPOLAZIONE OBOTICA · mi PDL2 propri del contollore. Su questa scheda è presente un’area di memo- ... le della programmazione e dell’interpolazione della traiettoria (sia in