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L’accelerazione riferita alla traiettoria. Partendo dalla velocità riferita alla traiettoria Ci calcoliamo l’accelerazione. Accelerazione tangenziale fa cambiare il modulo della velocità. ?. - PowerPoint PPT Presentation
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G.M. - Edile A 2002/03
Accelerazione tangenziale
fa cambiare il modulo della velocità
L’accelerazione riferita alla traiettoria
• Partendo dalla velocità riferita alla traiettoria
• Ci calcoliamo l’accelerazione
r v =v
r u t
r a =
dr v dt
=d vr u t( )
dt
r a =
d vr u t( )dt
=dvdt
r u t +v
dr u tdt
?
Per valutare la seconda componente studiamo un moto in cui varia la direzione della velocità ma non il suo modulo: il moto circolare uniforme
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Il moto circolare
• Il punto P percorre una traiettoria circolare
• Il modulo di r è costante.
O Asse x
Asse y
r
r =costante
x
y
Δs=rθ
v =rω
s
x =rcosθ
y =rsenθ
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Moto circolare uniforme• La traiettoria è una circonferenza ed il modulo della velocità è costante.
• Come appare dal disegno la velocità (come vettore) non è costante.
O Asse x
Asse y
r(t)r(t+ t)
v(t)v(t+t)
v(t)
v(t+t)
v
Sonouguali
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Accelerazione nel moto circolare uniforme
• L’accelerazione media nell’intervallo t è:
• L’accelerazione all’istante di tempo t si ottiene facendo il limite dell’accelerazione media per t che tende a zero.
am =ΔvΔt
a =limΔt→ 0ΔvΔt
=dvdt t
v(t)
v(t+t)
v
Vettore cheha la direzione ed il verso di v. (t >0)
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Accelerazione nel moto circolare uniforme
• Direzione e verso– Quando t tende a zero anche tende a zero
– Poiché la somma degli angoli interni in un triangolo è sempre 180, se tende a zero, gli angoli alla base tendono a 90°. (Il triangolo è isoscele)
– L’accelerazione è perpendicolare a v(t)
– Poiché v(t) è tangente alla circonferenza, l’accelerazione è radiale diretta verso il centro (accelerazione centripeta)
v(t)
v(t+t)
v
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Accelerazione nel moto circolare uniforme
• modulo
v(t)
v(t+t)
v
O Asse x
Asse y
r(t)r(t+ t) r
s
a=limΔt→ 0ΔvΔt
Poiché i due triangoli isosceledella figura sono simili (hannolo stesso angolo al vertice)
Δvv
=Δrr
a=limΔt→ 0ΔvΔt
=limΔt→ 0vr
ΔrΔt
=limΔt→ 0vr
ΔsΔt
=v2
r
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Accelerazione nel moto su traiettoria non rettilinea
• Abbiamo trovato che nel moto circolare uniforme (velocità costante in modulo) c’è solo l’accelerazione centripeta.
• Se il modulo della velocità non è costante ci sarà:
– L’accelerazione normale (centripeta) an
• responsabile del cambiamento della direzione della velocità
– L’accelerazione tangenziale at
• responsabile del cambiamento del modulo
• Ogni volta che un punto materiale si muove su una traiettoria curva (la velocità cambia direzione) c’è un’accelerazione centripeta,
r a =
r a t +
r a n =at
r u t +an
r u n
an =v2
rr = raggio di curvatura della traiettoria
r u n versore normale, direttor verso il centro
di curvatura della traiettoria
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Problema
• Un’automobile di 1000 Kg affronta una curva avente un raggio di 40 m alla velocità di 36 km/h. Determinare il valore dell’accelerazione centripeta.
36kmh
=361000m3600s
=10ms
a=v2
r=
10040
=2,5ms2
r v
r a
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Il moto circolare uniforme ed il moto armonico
O Asse x
Asse y
r
x
y
sa
r a =−
v2
rr u r
v =rω
r a =−
ω2r2
rr u r =−ω2r
r u r =−ω2r r
r a =−ω2r r
ax =−ω2x
ay =−ω2y
d2xdt2
=−ω2xd2ydt2
=−ω2y
x =rcosθ=rcosωt+ϕ( )
y =rsenθ=rsenωt+ϕ( )
dθdt
=ω ⇒ θ(t) =θoϕ{ +ωt
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Applicazio
ne
La lancetta dei minuti di un orologio misura 12.0 cm dal suo perno all’estremità libera. Qual è lo spostamento della sua estremità A) da 15 a 30 minutiB) nella successiva mezzoraC) nella successiva oraD) calcolare la velocità angolare media ed istantaneaE) calcolare la velocità media nel caso AF) il modulo della velocità istantanea e dell’accelerazione.
r r 1 =l
r i
r r 2 =−l
r j
r r 3 =l
r j
Δr r 1 =
r r 2 −
r r 1 =−l
r j −l
r i
modulo= 2l
Δr r 2 =
r r 3 −
r r 2 =l
r j − −l
r j ( ) =2l
r j
modulo=2l
Δr r 3 =r r 3 −r r 3 =0
modulo=0
ωm =π2
15×60=1.74×10−3 rad
s
ω =ωm
r v 1 =Δr r 1
Δt=
−lr j −l
r i
Δt
modulo=2l
Δt=
1.41×12×10−2
15×60=0.0188×10−2 m
s
v =ωl =1.74×10−3 rad
s ×12×10−2m=20.88×10−5 ms
a=ω2l =1.742 ×10−6 rad
s ×12×10−2m=36.33×10−8 ms2
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Applicazio
ne
Il treno veloce francese, TGV, compie viaggi ad una velocità media di 216 Km/h. Se abborda una curva a questa velocità e la massima accelerazione centripeta accettabile dai passeggeri è 0.050g, qual è il minimo raggio ammissibile per le curve dei binari.Se una curva ha un raggio di 1.00 km, a quale valore deve essere ridotta la velocità per rispettare il limite di accelerazione consentito?
216kmh
=216103m3600s
=60ms
v2
R≤0.050g ⇒ R ≥
v2
0.050g=
60ms( )
2
0.050×9.81m
s2
=7.4km
v2
R≤0.050g ⇒ v2 ≤0.050gR=0.050×9.81×1000=490m
s( )2
v ≤22.1ms =22.110−3km
3600−1h=79.7km
h
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Applicazio
ne
Una ruota panoramica di un luna park ha un raggio di 15 m e compie ogni minuto cinque giri attorno al proprio asse orizzontaleQual è il periodo di rotazione?A quale accelerazione centripeta è sottoposto un passeggero nel punto più alto? E nel punto più basso?
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Cambiamento del Sistema di Riferimento
• Il moto dipende dal sistema di riferimento dal quale viene osservato:– Un viaggiatore seduto sul sedile di una carrozza ferroviaria non si muove rispetto
al vagone– Se osservato dal marciapiede della stazione, egli invece percorre diversi metri al
secondo.– Il viaggiatore, se lascia cadere un oggetto nel vagone, descriverà il moto come un
moto rettilineo (uniformemente accelerato)– Lo stesso moto apparirà parabolico (moto del proiettile) ad un osservatore sul
marciapiede della stazione.
x
y
z
Ox'
y'z'
O'
PrrOrr'O
• Come si fa a trasformare le grandezze cinematiche, posizione , velocità, accelerazione da un sistema di riferimento ad un altro?
r r =
r r '+OO'
⏐ → ⏐
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Sistemi di riferimento in moto traslatoriotrasformazioni della posizione
r r =
r r '+OO'
⏐ → ⏐
r r =x
r i +y
r j +z
r k
r r '=x'
r i '+y'
r j '+z'
r k '=x'
r i +y'
r j +z'
r k
OO'→
=xO'
r i
⇔
x =x'+xo'
y =y'
z =z'
y y'
x≡x'
zz
z'
O O'
rrrr'Studieremo il caso molto particolare in cui gli assi del sistema O’x’y’z’ sono costantemente paralleli a quelli corrispondenti nel sistema Oxyz e l’origine O’ del secondo sistema si muove sull’asse delle x.
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Sistemi di riferimento in moto traslatoriotrasformazioni della velocità
r v =
dr r
dt=
d xr i +y
r j +z
r k ( )
dt=
dxdt
r i +
dydt
r j +
dzdt
r k
r v '=
dr r 'dt
=d x'
r i '+y'
r j '+z'
r k '( )
dt=
dx'dt
r i +
dy'dt
r j +
dz'dt
r k
r v O' =
dOO'→
dt=
d xO'
r i ( )
dt=
dxO'
dt
r i
r v =
dr r
dt=
dr r '+OO'
→⎛ ⎝
⎞ ⎠
dt=
dr r '
dt+
dOO'→
dt=
dr r '
dt+
r v O'
r v =
r v '+
r v O' ⇔
vx =v'x' +vxO'
vy =v'y'
vz =v'z'
y y'
x≡x'
zz
z'
O O'
rrrr'
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Sistemi di riferimento in moto traslatoriotrasformazioni dell’accelerazione
r a =
dr v
dt=
d r v '+r v O'( )dt
=dr v '
dt+
dr v O'
dt=
dr v '
dt+
r a O'
r a =
r a '+
r a O'
ax =a'x' +axO'
ay =a'y'
az =a'z'
Solo se ao=0 l’accelerazione nei due sistemi di riferimento è la stessa!
r a =
r a '+
r a O'
ax =a'x' +axO'
ay =a'y'
az =a'z'
r a O' =0 ⇒
r a =
r a '
y y'
x≡x'
zz
z'
O O'
rrrr'
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Trasformazioni di Galileiy y'
x≡x'
zz
z'
O O'
rrrr'Se O’ si muove lungo l’asse x con velocità costante e O’ coincide con O a t=0:
x =x'+vxO't
y =y'
z =z'
ax =a'x'
ay =a'y'
az =a'z'
vx =v'x' +vxO'
vy =v'y'
vz =v'z'
r r =
r r '+OO'
⏐ → ⏐
r v =
r v '+
r v O'
r a =
r a '
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r v '
−r v O'
x’
Applicazione
• Consideriamo il sistema di riferimento Oxyz fermo rispetto al suolo co n l’asse x diretto lungo la strada e il sistema O’x’y’z’ fermo rispetto al guidatore.
• il sistema O’x’y’z’ si muove con velocità costante rispetto al sistema Oxyz
• Possiamo applicare le trasformazioni di Galilei:
La neve sta cadendo verticalmente ad una velocità costante di 8 m/s. A quale angolo rispetto alla verticale sembrano cadere i fiocchi di neve per il guidatore di un auto che viaggia a 50 km/h?
• La velocità dei ficchi di neve rispetto alla macchina (sistema O’x’y’z’ ) sarà:
r v =
r v '+
r v O'
x
y
O
y’
O’
50kmh
=501000m3600s
=13,9m/s r v
r v O'
r v '=
r v −
r v O'
r v
θtanθ =
va
v=
13.98.0
=1.737
θ=60°
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Applicazione
Un fiume largo 200 m ha una corrente che scende a velocità uniforme di 1.1 m/s verso est attraverso al giungla.Un esploratore vuole lasciare la sua radura posta sulla sponda sud per raggiungere la riva nord con la sua barca a motore capace di navigare a velocità costante di 4.0 m/s rispetto all’acqua.Sulla riva nord c’è un’altra radura situata a 82 m più a monte rispetto al punto posto di fronte alla posizione iniziale dell’esploratore.In quale direzione occorre puntare la barca per raggiungere la radura sulla sponda opposta con una traversata in linea retta?Quanto dura questa traversata?
x
y
O
r v =
r v '+
r v O'
r v O'
r v
r v
r v O'
r v '
v'cosθ'=vcosθ
v'senθ'=vsenθ+vo'
cosθ=200
2002 +822=0.925
senθ=82
2002 +822=0.379
tanθ'=vsenθ+vo'
vcosθ
v'2 =v2 +2vvo' senθ+vo'2
θ'=37°
v =3.38ms
