Embed Size (px)
Citation preview
ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FARK DENKLEMLERİ
Vildan KUTAY
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA 2010
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
FARK DENKLEMLER·I
Vildan KUTAY
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬sman: Prof.Dr. Hüseyin BEREKETO¼GLU
Bu tez yedi bölümden olusmaktad¬r.
·Ilk bölümde literatür hakk¬nda bilgi verilmis; � ve E operatörlerinin tan¬mlar¬veonlar¬n önemli özelikleri aç¬klanm¬st¬r.
·Ikinci bölümde, lineer skaler fark denklemlerinin temel teorisi ifade edilmis ve çözüm-leri hesaplanm¬st¬r.
Üçüncü bölümde, lineer fark denklem sistemlerinin temel teorisi ile birlikte An mat-risinin hesab¬üzerinde durulmus ve periyodik katsay¬l¬lineer sistemlerin periyodikçözümlere sahip olma kosullar¬verilmistir.
Dördüncü bölümde baz¬lineer olmayan skaler denklemlerin çözümleri hesaplanm¬st¬r.
Besinci bölümde, muhtelif kararl¬l¬k tan¬mlar¬verilmis ve bunlar uygun örneklerledesteklenmistir. Ayr¬ca lineer skaler denklemlerin ve sistemlerin kararl¬l¬k durumla-r¬n¬garanti eden kriterler ayr¬nt¬l¬olarak anlat¬lm¬st¬r. Bu bölümde son olarak fazanalizi yard¬miyle iki boyutlu lineer otonom sistemler için denge noktas¬n¬n türlerive kararl¬l¬k durumlar¬incelenmistir.
Alt¬nc¬bölümde, Lyapunov do¼grudan yöntemi ve temel teoremleri sunulmustur.
Son bölümde ise, lineerlestirme metodu yard¬miyle baz¬lineer olmayan sistemlerinkararl¬l¬k durumlar¬ele al¬nm¬st¬r.
Ocak 2009, 138 sayfa
Anahtar Kelimeler : Fark denklemleri, Fark denklem sistemleri, Faz analizi,Kararl¬l¬k, Lineerlestirme, Lyapunov do¼grudan yöntemi, Periyodik katsay¬l¬lineersistemler
i
ABSTRACT
Master Thesis
DIFFERENCE EQUATIONS
Vildan KUTAY
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof.Dr. Huseyin BEREKETOGLU
This thesis consists of seven chapters.
In the �rst chapter, the literature about di¤erence equations is mentioned; theoperators � and E are introduced.
In the second chapter, the fundamental theory of linear scalar di¤erence equationshas been expressed and the solutions are calculated.
In the third chapter, fundamental theory of linear di¤erence systems and the calcu-lation of An are presented. Moreover, the conditions that makes linear systems withperiodic coe¢ cients had periodic solutions are given.
In the fourth chapter, solutions of some nonlinear scalar di¤erence equations arecalculated.
In the �fth chapter, various de�nitions of stability with suitable examples are stated.Moreover, stability criterions for linear scalar equations are studied in detail. Finally,in this chapter, by phase analysis two dimensional linear autonomous systems havebeen considered and the types of equilibrium points are clari�ed.
In the sixth chapter, Lyapunov direct method with its fundamental theorems areexplained.
The last chapter deals with status of stability of some nonlinear systems by thelinearization method.
January 2009, 138 pages
Key Words: Di¤erence equations, Systems of di¤erence equations, Phaseanalysis, Stability, Linearization, Lyapunov direct method, Linear systems withperiodic coe¢ cients
ii
TESEKKÜR
Yüksek lisans tezimi yönetmeyi kabul ederek kars¬last¬¼g¬m güçlüklerde de¼gerli yard¬m-
lar¬n¬esirgemeyen, büyük bir sab¬r ve titizlikle beni yönlendiren sayg¬de¼ger hocam,
Say¬n Prof. Dr. Hüseyin BEREKETO¼GLU (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi
Matematik Anabilim Dal¬)�na, yüksek lisans yapt¬¼g¬m süre boyunca verdi¼gi burs
ile beni destekleyen TÜB·ITAK�a ve hayat¬m¬n her asamas¬nda bana yard¬mc¬olan
aileme en içten sayg¬ve tesekkürlerimi sunar¬m.
Vildan KUTAY
Ankara, Ocak 2010
iii
·IÇ·INDEK·ILER
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
TESEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
SEK·ILLER D·IZ·IN·I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
1. G·IR·IS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. L·INEER SKALER FARK DENKLEMLER·I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1 Temel Kavramlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Birinci Basamaktan Lineer Fark Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 ·Ikinci Basamaktan Sabit Katsay¬l¬Lineer Homogen Fark
Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 ·Ikinci Basamaktan De¼gisken Katsay¬l¬Lineer Homogen Fark
Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 k. Basamaktan Lineer Sabit Katsay¬l¬Homogen Fark Denklemleri 21
2.6 Homogen Olmayan Fark Denklemleri ·Için Özel Çözümler . . . . . . . . 23
3. L·INEER FARK DENKLEM S·ISTEMLER·I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 Temel Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Sabit Katsay¬l¬Lineer Homogen Sistemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Lineer Periyodik Sistemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4. L·INEER OLMAYAN SKALER FARK DENKLEMLER·I . . . . . . . . . . 73
4.1 Otonom Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Otonom Olmayan Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5. KARARLILIK TEOR·IS·I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1 Giris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Vektör Fark Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3 k y¬nc¬Basamaktan Skaler Lineer Homogen Denklemler . . . . . . . . . 86
iv
5.4 Birinci Basamaktan Lineer Olmayan Otonom Fark Denklemleri 90
5.5 Lineer Sistemlerin Kararl¬l¬¼g¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.6 Faz Uzay¬Analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6. LYAPUNOV DO¼GRUDAN YÖNTEM·I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1 Giris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2 Lineer Olmayan Otonom Sistemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.3 Lineer Otonom Sistemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7. L·INEERLEST·IRME METODU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
ÖZGEÇM·IS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
v
SEK·ILLER D·IZ·IN·I
Sekil 5.1 Hiyerarsik düzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Sekil 5.2 Faz düzleminde kararl¬denge noktas¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Sekil 5.3 Çözüm uzay¬nda kararl¬denge noktas¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Sekil 5.4 �2 < �1 < 1; (0,0) asimtotik kararl¬dü¼güm noktas¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Sekil 5.5 1 < �2 < �1; (0,0) karars¬z dü¼güm noktas¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Sekil 5.6 0 < �1 < 1; �2 > 1; (0,0) semer noktas¬(karars¬z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Sekil 5.7 0 < �1 = �2 < 1; (0,0) asimtotik kararl¬dü¼güm noktas¬ . . . . . . . . . . . . . 106
Sekil 5.8 �1 = 1; �2 < 1; (0,0) dejenere dü¼güm noktas¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Sekil 5.9 �1 = �2 < 1; (0,0) asimtotik kararl¬dü¼güm noktas¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Sekil 5.10 �1 = �2 = 1; dejenere durum (karars¬z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Sekil 5.11 j�j < 1; asimtotik kararl¬odak noktas¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Sekil 5.12 j�j > 1; karars¬z odak noktas¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Sekil 5.13 j�j = 1; merkez (kararl¬) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Sekil 5.14 (0,0) semer noktas¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Sekil 5.15 (0,0) semer noktas¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Sekil 5.16 (0,0) karars¬z odak noktas¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Sekil 6.1 Bir kuadratik Lyapunov fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Sekil 6.2 Seviye e¼grileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
vi
1. G·IR·IS
Ba¼g¬ms¬z de¼giskeni ayr¬k (discrete) ya da onu bir ayr¬k de¼gisken gibi görmek mate-
matiksel bak¬mdan uygun oldu¼gu zaman fark denklemmodelleri ortaya ç¬kar. Örne¼gin,
genetik alanda genetik özellikler kusaktan kusa¼ga de¼gisim gösterirler. Dolay¬siyle, bir
kusa¼g¬gösteren de¼gisken bir ayr¬k de¼giskendir. Ekonomide �yat de¼gisimleri y¬ldan
y¬la veya aydan aya veya haftadan haftaya veya günden güne hesaplan¬r ve böyle bir
durumda zaman de¼giskeni ayr¬kt¬r. Ayr¬ca, popülasyon dinamiklerinde, yas-gruplar¬
aras¬ndaki nüfus de¼gisimi ele al¬n¬rken, yas-gruplar¬n¬gösteren de¼gisken yine ayr¬k
bir de¼giskendir.
Fark denklemleri son 30 y¬l içerisinde pek çok bilim adam¬n¬n ilgisini çekmistir ve bu
durum zengin bir literatürün ortaya ç¬kmas¬na neden olmustur. Bununla ilgili olarak
Miller 1968, Goldberg 1986, Lakshmikantham ve Trigiante 1988, Mickens 1990, Ak¬n
ve Bulgak 1998, Elaydi 1999, Agarwal 2000, Kelley ve Peterson 2001 kitaplar¬ndan
ve Sugiyama 1969, 1971, Gordon 1971, LaSalle 1977, 1986, Peterson 1987, Elaydi ve
Peterson 1988 gibi makalelerden sözedilebilir.
Fark denklemleri genis bir uygulama alan¬na sahiptir. Örne¼gin, biyolojide canl¬
popülasyon say¬s¬n¬n arast¬r¬lmas¬nda, t¬pta hücre hareketlerinin takibinde, kontrol
teorisinde kararl¬l¬k durumunun tespitinde ve daha birçok alanda fark denklemleriyle
kars¬las¬lmaktad¬r.
Önemli fark denklem modellerine iliskin baz¬örnekler sunlard¬r:
(i) Nüfus art¬s modeli:
x(n+ 1)� x(n) = bx(n)� dx(n) ya da x(n+ 1) = ax(n);
(ii) Logistik art¬s modeli:
x(n+ 1)� x(n) = ax(n)� bx2(n);
1
(iii) Av-avc¬modeli:8<: x(n+ 1)� x(n) = �ax(n) + bx(n)y(n); a > 0; b > 0;
y(n+ 1)� y(n) = cy(n)� dx(n)y(n); c > 0; d > 0;
(iv) Rekabet modeli:
8<: x(n+ 1)� x(n) = ax(n)� bx(n)y(n); a > 0; b > 0;
y(n+ 1)� y(n) = cx(n)� dx(n)y(n); c > 0; d > 0;
(v) Bulas¬c¬hastal¬k modeli:
8<: x(n+ 1)� x(n) = ��x(n)y(n); � > 0;
y(n+ 1)� y(n) = �x(n)y(n):
Ayr¬ca, bilinen önemli bir fark denklem örne¼gi x(n), n = 0; 1; 2; :::; F ibonacci dizisidir.
Bu dizi
x(n+ 2) = x(n+ 1) + x(n); x(0) = 0; x(1) = 1; n > 0;
fark denkleminin tek çözümüdür ve bunun için
limn!1
x(n+ 1)
x(n)u 1:618
dir. Bu ise alt{n oran¬ifade etmektedir.
Tan¬m 1.1. Bir x : N! R fonksiyonu için � fark operat�or�u
�x(n) = x(n+ 1)� x(n)
seklinde tan¬mlan¬r ve �x fonksiyonuna, x in birinci basamaktan fark{ denir; bu-
rada N = f0; 1; 2; :::g do¼gal say¬lar cümlesi ve R reel say¬lar cümlesidir.
Buna göre x in ikinci basamaktan fark{ (�2x)
2
�2x(n) = �(�x(n))
= x(n+ 2)� 2x(n+ 1) + x(n);
ve genel olarak x in k y{nc{ basamaktan fark{ (�kx)
�kx(n) =kXj=0
(�1)j�k
j
�x(n+ k � j) (1.1)
seklinde hesaplan¬r.
Tan¬m 1.2. E operatörü
Ex(n) = x(n+ 1)
seklinde tan¬mlan¬r ve �oteleme operat�or�u ad¬n¬al¬r.
Bu tan¬ma göre
Ekx(n) = x(n+ k) (1.2)
yaz¬labilir. Ayr¬ca, a ve b sabitleri için
E(ax(n) + by(n)) = aEx(n) + bEy(n)
dir; yani E operatörü lineerlik özeli¼gine sahiptir.
� ve E operatörleri aras¬ndaki iliski
� = E � I
dir; burada I �ozdeslik operat�or�udür, yani Ix(n) = x(n):
Buradan �kx(n) fark¬Binom formülü yard¬miyle yeniden yaz¬labilir:
3
�kx(n) = (E � I)k x(n)
=kXj=0
�k
j
�(�I)j Ek�jx(n)
=
kXj=0
�k
j
�(�1)j x(n+ k � j):
Benzer olarak
Ekx(n) = (� + I)k x(n)
=
kXj=0
�k
j
��k�jx(n):
� n¬n temel özelikleri asa¼g¬daki teoremde verilmektedir:
Teorem 1.1.
(a) �k��lx(n)
�= �k+lx(n); 8 k; l 2 Z+ = f1; 2; :::g ;
(b) �(ax(n) + by(n)) = a�x(n) + b�y(n); a ve b sabitler;
(c) �(x(n)y(n)) = y(n)�x(n) + x(n+ 1)�y(n);
(d) �
0@ x(n)
y(n)
1A =y(n)�x(n)� x(n)�y(n)
y(n)Ey(n).
Ayr¬ca, � ve E operatörleri hakk¬nda söylenebilecek di¼ger temel sonuçlar sunlard¬r:
Teorem 1.2. k y¬nc¬dereceden
p(n) = a0nk + a1n
k�1 + :::+ ak
polinomu için
�k p(n) = a0 (k!) (1.3)
ve
�k+i p(n) = 0; i > 1; (1.4)
dir, burada a0 6= 0; a1; :::; ak katsay¬lar¬reel sabitlerdir.
4
Teorem 1.3. E öteleme operatörü cinsinden k y¬nc¬basamaktan
p(E) = a0Ek + a1E
k�1 + :::+ akI (1.5)
polinomu verilsin; burada a0 6= 0; a1; :::; ak reel sabitler ve I birim operatördür. Bu
durumda
p(E)bn = bnp(b) (1.6)
ve
p(E)(bng(n)) = bnp(bE)g(n) (1.7)
dir; burada b bir sabit ve g(n) herhangi bir fonksiyondur.
Tan¬m 1.3. �F (n) = f(n) olsun. Bu durumda
��1f(n) = F (n) + c ; c bir key� sabit,
seklinde tan¬mlanan ��1 operatörüne ters fark operat�or�u denir.
Özel olarak, ��1(0) = c dir.
Simdi bir f(n) fonksiyonunun ters fark¬n¬hesaplamak üzere bir lemmadan söz edelim:
Lemma 1.1. � fark operatörü için
(i)
n�1Xk=n0
�x(k) = x(n)�x(n0); (1.8)
(ii) �
n�1Xk=n0
x(k)
!= x(n) (1.9)
dir.
Bu lemman¬n bir sonucu olarak
��1f(n) =
n�1Xi=0
f(i) + c (1.10)
5
elde edilir.
Buradan da ��1 in lineerlik özeli¼gi ispatlanabilir.
Teorem 1.4. ��1 operatörü lineerdir.
·Ispat. Gösterece¼giz ki a ve b reel say¬lar¬için
��1(ax(n) + by(n)) = a ��1x(n) + b ��1y(n)
dir. (1.10) formülünden,
��1(ax(n) + by(n)) =n�1Xi=0
(ax(i) + by(i)) + c
= an�1Xi=0
x(i) + bn�1Xi=0
y(i) + c
= a ��1x(n) + b ��1y(n):
Ayr¬ca 0 ve 1 fonksiyonlar¬n¬n k y¬nc¬ters farklar¬, s¬rasiyle,
��k 0 = c1nk�1 + c2n
k�2 + :::+ ck ; (1.11)
ve
��k 1 =nk
k!+ c1n
k�1 + c2nk�2 + :::+ ck ; (1.12)
seklinde hesaplan¬rlar.
Uyar¬1.1. ���1 = I; ��1� 6= I d¬r. Gerçekten, �F (n) = f(n) ve
��1f(n) = F (n) + c olsun. Bu durumda
���1f(n) = �(F (n) + c) = �F (n) = f(n);
6
��1�f(n) = ��1(f(n+ 1)� f(n)) = ��1f(n+ 1)���1f(n)
= F (n+ 1) + c1 � F (n)� c2 = F (n+ 1)� F (n) + c3
= �F (n) + c3
= f(n) + c3:
7
2. L·INEER SKALER FARK DENKLEMLER·I
Bu bölümde lineer skaler fark denklemleri hakk¬nda bilinen temel kavram ve sonuçlar-
dan sözedilecektir (Hankerson 1989, Elaydi 1999, Kelley ve Peterson 2001, Mickens
1990, Bereketo¼glu 2007).
2.1 Temel Kavramlar
Tan¬m 2.1.1. Bir S � N = f0; 1; 2; :::g say¬cümlesi üzerinde tan¬ml¬olan bir x
fonksiyonunun de¼gerlerini ve onun �x;�2x; ::: gibi farklar¬n¬içeren bir denkleme S
cümlesi üzerinde tan¬ml¬olan bir fark denklemi denir.
Tan¬m 2.1.2. a1(n); a2(n); :::; ak(n) katsay¬lar¬ve g(n); n > n0 için tan¬ml¬ reel
de¼gerli fonksiyonlar ve ak(n) 6= 0 olmak üzere
x(n+ k) + a1(n)x(n+ k � 1) + :::+ ak(n)x(n) = g(n) (2.1.1)
biçimindeki bir denkleme k: basamaktan lineer fark denklemi denir. Bu denk-
lem, g(n) � 0 oldu¼gu zaman homogen denklem; aksi durumda homogen olmayan
denklem olarak adland¬r¬l¬r. Buna göre k: basamaktan bir lineer homogen fark
denklemi
x(n+ k) + a1(n)x(n+ k � 1) + :::+ ak(n)x(n) = 0 (2.1.2)
d¬r. Ayr¬ca, bütün ai(n) katsay¬lar¬ai(n) � ai seklinde sabitse, (2:1:1) denklemine
sabit katsay¬l¬, aksi halde de�gisken katsay{l{ fark denklemi denir.
Teorem 2.1.1. ai, i = 1; 2; :::; k , katsay¬lar¬reel sabitler ve g(n); n > n0 için tan¬ml¬
reel de¼gerli bir fonksiyon ve ak 6= 0 olsun. Bu durumda
x(n+ k) + a1x(n+ k � 1) + :::+ akx(n) = g(n); (2.1.3)
x(n0) = �0; x(n0 + 1) = �1; :::; x(n0 + k � 1) = �k�1; (2.1.4)
baslang¬ç de¼ger problemi n > n0 için tan¬ml¬olan bir tek x(n) çözümüne sahiptir.
8
·Ispat. (2.1.4) kosullar¬yard¬miyle (2.1.3) den önce n = n0 için x(n0 + k), akabinde
n = n0 + 1 için x(n0 + k + 1) ve bu isleme benzer sekilde devam edilerek
x(n0+k+2); x(n0+k+3); :::de¼gerleri hesaplan¬r. Buradan (2.1.3)-(2.1.4) probleminin
bir çözümü
x(n0); x(n0 + 1); :::; x(n0 + k � 1); x(n0 + k); x(n0 + k + 1); x(n0 + k + 2); :::
seklinde bulunur. Böylece çözümün varl¬¼g¬kan¬tlanm¬s olur.
Çözümün tekli¼gi için x(n) den farkl¬bir x(n) çözümünün varl¬¼g¬n¬kabul edelim. Bu
x(n) çözümü benzer sekilde (2:1:3) ve (2:1:4) yard¬miyle hesapland¬¼g¬ zaman her
n > n0 için x(n) e özdes oldu¼gu görülür. O halde çözüm tektir.
Tan¬m 2.1.3. Her n > n0 için
a1f1(n) + a2f2(n) + :::+ arfr(n) = 0 (2.1.5)
olacak biçimde hepsi birden s¬f¬r olmayan a1; a2; :::; ar sabitleri var ise, bu durumda
f1(n); f2(n); :::; fr(n) fonksiyonlar¬na n > n0 için lineer ba�g{ml{d{r denir.
E¼ger (2:1:5) esitli¼gi her n > n0 için sadece ve sadece a1 = a2 = ::: = ar = 0
durumunda sa¼glan¬yorsa, f1(n); f2(n); :::; fr(n) fonksiyonlar¬na n > n0 için lineer
ba�g{ms{zd{r denir.
Örnek 2.1.1. 3n; n3n; n23n fonksiyonlar¬n > 1 üzerinde lineer ba¼g¬ms¬zd¬rlar. Bunugörmek için
a13n + a2n3
n + a3n23n = 0; 8 n > 1;
esitli¼gi 3n ile bölünür:
a1 + a2n+ a3n2 = 0; 8 n > 1:
Bu ise en fazla iki n > 1 için do¼grudur. Her n > 1 için esitli¼gin sa¼glanmas¬ancak veancak a1 = a2 = a3 = 0 halinde mümkündür.
Tan¬m 2.1.4. (2:1:2) nin k tane lineer ba¼g¬ms¬z çözümünün cümlesine, bir temel
c�umle denir.
9
Teorem 2.1.2 (Temel Teorem). Her n > n0 için ak(n) 6= 0 ise, bu durumda
(2.1.2) lineer homogen fark denklemi n > n0 üzerinde tan¬ml¬olan bir temel cümleye
sahiptir.
Teorem 2.1.3. (2:1:2) homogen denkleminin k tane lineer ba¼g¬ms¬z çözümü
x1(n); x2(n); :::; xk(n) olsun. Bu durumda (2:1:2) nin genel çözümü
x(n) = c1x1(n) + c2x2(n) + :::+ ckxk(n)
dir, burada c1; c2; :::; ck key� sabitlerdir.
Uyar¬2.1.1. V; k y¬nc¬basamaktan (2.1.2) homogen denkleminin bütün çözüm-
lerinin cümlesi olmak üzere + ve � islemleri asa¼g¬daki gibi tan¬mlans¬n:
(i) (x+ y)(n) = x(n) + y(n); x; y 2 V; n 2 N;
(ii) (ax)(n) = ax(n); x 2 V; a bir sabit.
Bu durumda (V;+; �), k boyutlu bir lineer vektör uzay¬d¬r.
Teorem 2.1.4. (2:1:2) homogen denkleminin genel çözümü xh(n) ve homogen ol-
mayan (2:1:1) denkleminin bir özel çözümü xp(n) ise, bu durumda (2:1:1) denklemi-
nin genel çözümü
x(n) = xh(n) + xp(n)
dir.
Tan¬m 2.1.5. x1(n); x2(n); :::; xr(n) çözümlerinin W (n) Casoratyan{
W (n) = det
0BBBBBB@x1(n) x2(n) � � � xr(n)
x1(n+ 1) x2(n+ 1) � � � xr(n+ 1)...
......
x1(n+ r � 1) x2(n+ r � 1) � � � xr(n+ r � 1)
1CCCCCCAseklinde tan¬mlan¬r.
10
Lemma 2.1.1 (Abel Lemmas¬). x1(n); x2(n); :::; xk(n); (2.1.2) homogen denk-
leminin çözümleri ve W (n) onlar¬n Casoratyan{ olsun. Bu durumda n > n0 için
W (n) = (�1)k(n�n0) n�1Yi=n0
ak(i)
!W (n0)
d¬r.
Sonuç 2.1.1. x1(n); x2(n); :::; xk(n); (2.1.2) nin çözümleri ve her n > n0 için
ak(n) 6= 0 olsun. Bu durumda her n > n0 say¬s¬na kars¬l¬k W (n) 6= 0 olmas¬için
gerek ve yeter kosul W (n0) 6= 0 d¬r.
Teorem 2.1.5. (2:1:2) homogen denkleminin x1(n); x2(n); :::; xk(n) çözümlerinin
bir temel cümle olusturmas¬için gerek ve yeter kosul herhangi bir n0 2 N say¬s¬na
kars¬l¬k W (n0) 6= 0 olmas¬d¬r.
Örnek 2.1.2. Üçüncü basamaktan homogen
x(n+ 3) + 3x(n+ 2)� 4x(n+ 1)� 12x(n) = 0
fark denkleminin 2n; (�2)n ve (�3)n çözümleri bir temel cümle olustururlar. Çünkü
onlar¬n Casoratyan¬
W (n) = det
0BBB@2n (�2)n (�3)n
2n+1 (�2)n+1 (�3)n+1
2n+2 (�2)n+2 (�3)n+2
1CCCAseklinde olup n = 0 noktas¬nda
W (0) = det
0BBB@1 1 1
2 �2 �3
4 4 9
1CCCA = �20 6= 0
d¬r.
11
2.2 Birinci Basamaktan Lineer Fark Denklemleri
Bu kesimde birinci basamaktan lineer homogen olmayan
x(n+ 1) = a(n)x(n) + g(n) ; n > n0 > 0; (2.2.1)
fark denklemi ve
x(n0) = x0 (2.2.2)
baslang¬ç kosulundan meydana gelen baslang¬ç de¼ger problemi üzerinde durulmak-
tad¬r; burada a(n) katsay¬s¬ve g(n), n > n0 için tan¬ml¬reel de¼gerli fonksiyonlar
olup a(n) 6= 0 d¬r.
(2:2:1) e iliskin homogen denklem
x(n+ 1) = a(n)x(n) ; n > n0 > 0; (2.2.3)
dir.
Ayr¬ca, bu aradakQ
i=k+1
a(i) = 1 vekP
i=k+1
a(i) = 0 kabullerini not edelim.
Teorem 2.2.1. (2.2.3) homogen fark denklemi ve (2:2:2) baslang kosulundan
olusan problemin tek çözümü
x(n) =
n�1Yi=n0
a(i)
!x0 (2.2.4)
olup (2.2.1)-(2.2.2) baslang¬ç de¼ger probleminin tek çözümü
x(n) =
n�1Yi=n0
a(i)
!x0 +
n�1Xr=n0
n�1Yi=r+1
a(i)
!g(r) (2.2.5)
dir.
·Ispat. (2.2.3) homogen denkleminden, n = n0; n0 + 1; n0 + 2 say¬lar¬için s¬rasiyle
x(n0 + 1) = a(n0)x(n0) = a(n0)x0;
12
x(n0 + 2) = a(n0 + 1)x(n0 + 1) = a(n0 + 1)a(n0)x0;
ve
x(n0 + 3) = a(n0 + 2)x(n0 + 2) = a(n0 + 2)a(n0 + 1)a(n0)x0;
elde edilir. Buradan (2.2.3), (2.2.2) probleminin çözümü
x(n) = x(n0 + n� n0)
= a(n� 1)a(n� 2):::a(n0)x0
=
�n�1Qi=n0
a(i)
�x0:
Öte yandan (2.2.1)-(2.2.2) probleminin tek çözümü asa¼g¬daki sekilde hesaplanabilir:
Önce (2.2.1) ve (2.2.2) den,
x(n0 + 1) = a(n0)x0 + g(n0);
x(n0 + 2) = a(n0 + 1)x(n0 + 1) + g(n0 + 1)
= a(n0 + 1)a(n0)x0 + a(n0 + 1)g(n0) + g(n0 + 1);
x(n0 + 3) = a(n0 + 2)x(n0 + 2) + g(n0 + 2)
= a(n0 + 2)a(n0 + 1)a(n0)x0 + a(n0 + 2)a(n0 + 1)g(n0)
+a(n0 + 2)g(n0 + 1) + g(n0 + 2)
de¼gerleri hesaplan¬r. Bunlardan yola ç¬karak, x(n) çözümü her n > n0 için (2.2.5)
seklinde ifade edilir. Sonra bunun do¼grulu¼gu tümevar¬m yöntemiyle ispatlan¬r:
Bunun için (2.2.5) ifadesi n = k için do¼gru olsun, yani,
x(k) =
k�1Yi=n0
a(i)
!x0 +
k�1Xr=n0
k�1Yi=r+1
a(i)
!g(r): (2.2.6)
Gösterece¼giz ki (2.2.5) formülü n = k + 1 için de do¼grudur.
(2.2.1) den
x(k + 1) = a(k)x(k) + g(k)
13
ve (2.2.6) dan,
x(k + 1) = a(k)
" k�1Yi=n0
a(i)
!x0 +
k�1Xr=n0
k�1Yi=r+1
a(i)
!g(r)
#+ g(k)
= a(k)
k�1Yi=n0
a(i)
!x0 +
k�1Xr=n0
a(k)
k�1Yi=r+1
a(i)
!g(r) + g(k)
=
kY
i=n0
a(i)
!x0 +
k�1Xr=n0
kY
i=r+1
a(i)
!g(r) +
kY
i=k+1
a(i)
!g(k)
=
kY
i=n0
a(i)
!x0 +
kXr=n0
kY
i=r+1
a(i)
!g(r)
bulunur. O halde (2.2.5) formülü her n > n0 için do¼grudur.
Uyar¬2.2.1. Birinci basamaktan sabit katsay¬l¬
x(n+ 1) = ax(n) + g(n) (2.2.7)
denklemi ve
x(0) = x0 (2.2.8)
kosulu için (2.2.5) çözüm formülü
x(n) = anx0 +
n�1Xr=0
an�r�1g(r) (2.2.9)
seklini al¬r. Ayr¬ca g bir sabit olmak üzere g(n) = g oldu¼gu zaman (2.2.9) dan,
x(n) =
8>>><>>>:anx0 +
0@ an � 1
a� 1
1A g ; a 6= 1;
x0 + gn ; a = 1
bulunur.
14
Örnek 2.2.1. n > 0 için
x(n+ 1) = (n+ 1)x(n) + 2n(n+ 1)! , x(0) = 1;
probleminin çözümü, (2.2.5) den,
x(n) =n�1Yi=0
(i+ 1) +
n�1Xr=0
n�1Yi=r+1
(i+ 1)
!2r(r + 1)!
= n! +
n�1Xr=0
n!2r
= 2nn!
dir.
Örnek 2.2.2.
x(n+ 1) = 2x(n) + 3n; x(1) = 0:5;
probleminin çözümü, (2.2.9) dan,
x(n) =
�1
2
�2n�1 +
n�1Xr=1
2n�r�13r
= 2n�2 + 2n�1n�1Xr=1
�3
2
�r= 3n � 5(2)n�1
dir.
15
2.3 ·Ikinci Basamaktan Sabit Katsay¬l¬Lineer Homogen Fark Denklemleri
Bu kesimde 2. basamaktan lineer sabit katsay¬l¬homogen fark denklemlerinin çözüm-
leri hesaplanmaktad¬r.
a1, a2 katsay¬lar¬reel sabitler ve a2 6= 0 olmak üzere ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬
lineer homogen
x(n+ 2) + a1x(n+ 1) + a2x(n) = 0 (2.3.1)
fark denklemini ele alal¬m. Bu denklem için �n seklinde bir çözüm aran¬rsa,
�2 + a1�+ a2 = 0 (2.3.2)
bulunur. Bu denkleme (2:3:1) fark denkleminin karakteristik denklemi denir. (2:3:2)
nin �1; �2 köklerine karakteristik k�okler ad¬verilir. (2:3:1) homogen fark denkle-
minin genel çözümü �1; �2 köklerine ba¼gl¬olarak üç farkl¬durumda hesaplan¬r.
Durum 1. �1 ve �2 kökleri reel ve farkl¬ise, bu durumda f�n1 ; �n2g cümlesi (2:3:1)
denkleminin bir temel cümlesidir. Buradan (2:3:1) in genel çözümü
x(n) = c1�n1 + c2�
n2 (2.3.3)
seklindedir; burada c1 ve c2 key� sabitlerdir.
Durum 2. �1 = �2 = � olsun. Bu durumda (2:3:1) denkleminin bir temel cümlesi
f�n; n�ng olup genel çözüm
x(n) = (c1 + c2n)�n (2.3.4)
dir.
Durum 3. �1 = � + i� ve �2 = � � i� olsun. Bu durumda (2.3.1) in bir temel
16
cümlesi frncosn�; rnsinn�g d¬r; burada
r =
q�2 + �2 ; � = tan�1
��
�
�:
Buradan (2.3.1) in genel çözümü
x(n) = rn(c1 cosn� + c2 sinn�) (2.3.5)
veya
x(n) = Arn cos(n� �B)
seklindedir; burada c1, c2; A ve B key� sabitlerdir.
2.4 ·Ikinci Basamaktan De¼gisken Katsay¬l¬Lineer Homogen FarkDenklemleri
Bu kesimde a0(n), a1(n), a2(n) katsay¬lar¬n > n0 için tan¬ml¬reel de¼gerli
fonksiyonlar ve n > n0 üzerinde a0(n) 6= 0, a2(n) 6= 0 olmak üzere ikinci basamaktan
de¼gisken katsay¬l¬lineer homogen
a0(n)x(n+ 2) + a1(n)x(n+ 1) + a2(n)x(n) = 0 ; n > n0; (2.4.1)
fark denkleminin genel çözümü hesaplanmaktad¬r. Bunun için iki yöntemden sözedi-
lecektir: Operatörün çarpanlara ayr¬lmas¬ve bir çözümün bilinmesi durumu (Kelley
ve Peterson 2001).
Operatörün Çarpanlara Ayr¬lmas¬
(2:4:1) denklemi E öteleme operatörü yard¬miyle
a0(n)E2x(n) + a1(n)Ex(n) + a2(n)x(n) = 0
�a0(n)E
2 + a1(n)E + a2(n)�x(n) = 0
17
seklinde yaz¬labilir. Buradan
a0(n)E2 + a1(n)E + a2(n)
operatörüE ye göre çarpanlara ayr¬labilirse, o zaman verilen denklemin genel çözümü
hemen bulunabilir.
Örnek 2.4.1. ·Ikinci basamaktan de¼gisken katsay¬l¬
x(n+ 2)� (n+ 1)x(n+ 1)� (n+ 1)x(n) = 0 (2.4.2)
fark denklemi verilsin. Bu denklem öteleme operatörü cinsinden
(E2 � (n+ 1)E � (n+ 1))x(n) = 0 (2.4.3)
biçiminde olup
(E + 1)(E � (n+ 1))x(n) = 0 (2.4.4)
seklinde çarpanlara ayr¬labilir. Simdi
(E � (n+ 1))x(n) = z(n) (2.4.5)
olsun. Buradan (2.4.4)
(E + 1)z(n) = 0
denklemine indirgenir. Bu ise
z(n) = (�1)nc1 (2.4.6)
genel çözümüne sahiptir; burada c1 key� sabittir. (2.4.6), (2.4.5) de yerine konursa,
(E � (n+ 1))x(n) = (�1)nc1
veya
x(n+ 1) = (n+ 1)x(n) + (�1)nc1 (2.4.7)
18
elde edilir. (2.4.7) denklemi birinci basamaktan homogen olmayan bir denklem olup
genel çözümü
x(n) =
n�1Yi=n0
(i+ 1)
!c2 +
n�1Xr=n0
n�1Yi=r+1
(i+ 1)
!(�1)rc1
= c2n! +
n�1Xr=n0
n(n� 1):::(r + 2)(�1)rc1
= c2n! + c1
n�1Xr=n0
(�1)rn!(r + 1)!
(2.4.8)
dir. Böylece verilen (2.4.2) denkleminin genel çözümü (2.4.8) biçiminde hesaplanm¬s
oldu.
Bir Çözümün Bilinmesi Durumu
(2:4:1) homogen denkleminin asikar olmayan bir çözümü bilindi¼gi takdirde bununla
ba¼g¬ms¬z olabilecek ikinci bir çözüm bulunabilir:
Lemma 2.4.1. x1(n) ve x2(n), (2:4:1) fark denkleminin iki çözümü veW (n) onlar¬n
Casoratyan{ olsun. Bu durumda
W (n+ 1) =
�a2(n)
a0(n)
�W (n) (2.4.9)
dir.
x1(n); (2:4:1) in asikar olmayan bir çözümü ve x2(n) de ayn¬denklemin di¼ger bir
çözümü olsun. Aç¬k bir durum olarak
�x2(n)
x1(n)=
x1(n)�x2(n)� x2(n)�x1(n)
x1(n)x1(n+ 1)
=W (n)
x1(n)x1(n+ 1)
dir. Buradan her iki yana ��1 uygulan¬rsa,
19
x2(n) = x1(n)n�1Xr=0
W (r)
x1(r)x1(r + 1)(2.4.10)
olur. Böylece asa¼g¬daki teorem elde edilir:
Teorem 2.4.1. x1(n); (2.4.1) denkleminin asla s¬f¬r olmayan bir çözümü olsun.
a0(n) ve a2(n) katsay¬lar¬n > n0 üzerinde s¬f¬rdan farkl¬ iseler, o zaman (2.4.10)
ifadesi (2.4.1) denkleminin di¼ger ba¼g¬ms¬z çözümünü gösterir; burada W (r), (2.4.9)
un asikar olmayan bir çözümüdür.
Bu teorem ikinci basamaktan (2.4.1) denklemi için basama¼g¬n indirgenmesi olarak
bilinir.
Örnek 2.4.2.
x(n+ 2)� x(n+ 1)� 1
n+ 1x(n) = 0
denklemi verilsin.
Bu denklemin bir çözümü x1(n) = n+ 1 dir. Lemma 2.4.1 den,
W (n+ 1) = � 1
n+ 1W (n):
Bu ise
W (n) =(�1)nn!
seklinde bir çözüme sahiptir. (2.4.10) dan,
x2(n) = (n+ 1)
n�1Xr=0
(�1)r(r + 1)(r + 2)r!
= (n+ 1)
n�1Xr=0
(�1)r(r + 2)!
elde edilir. Böylece verilen denklemin genel çözümü
x(n) = c1(n+ 1) + c2(n+ 1)
n�1Xr=0
(�1)r(r + 2)!
20
dir; burada c1 ve c2 key� sabitlerdir.
2.5 k. Basamaktan Lineer Sabit Katsay¬l¬Homogen Fark Denklemleri
Bu kesimde k. basamaktan sabit katsay¬l¬homogen
x(n+ k) + a1x(n+ k � 1) + :::+ akx(n) = 0 (2.5.1)
fark denklemi ele al¬nmaktad¬r; burada ai ler reel sabitler olup ak 6= 0 d¬r.
·Ikinci basamaktan lineer sabit katsay¬l¬homogen denklemde oldu¼gu gibi (2:5:1) denk-
leminin �n seklinde bir çözümü aran¬rsa,
�k + a1�k�1 + :::+ ak = 0 (2.5.2)
denklemi bulunur. Bu denkleme karakteristik denklem ve onun köklerine de karakteristik
k�okler ad¬ verilir. (2.5.1) fark denkleminin çözümleri karakteristik köklere ba¼gl¬
olarak hesapland¬klar¬için asa¼g¬daki durumlar¬n incelenmesi yeterlidir.
Durum 1. (2:5:2) karakteristik denkleminin �1; �2; :::; �k kökleri reel ve birbirinden
farkl¬ise, bu durumda f�n1 ; �n2 ; :::; �nkg cümlesi (2:5:1) denkleminin bir temel cümlesi
olup (2:5:1) in genel çözümü
x(n) =kXi=1
ci�ni (2.5.3)
dir; burada c1; c2; :::; ck key� sabitlerdir.
Durum 2. (2:5:2) karakteristik denkleminin �1; �2; :::; �r kökleri reel ve s¬rasiyle
m1;m2; :::;mr katl¬ olsunlar; buradarPi=1
mi = k: Bu durumda (2:5:1) denklemi E
operatörü cinsinden
(E � �1)m1(E � �2)
m2 :::(E � �r)mrx(n) = 0 (2.5.4)
seklinde yaz¬labilir. Herhangi bir i 2 [1; r] için (E � �i)mix(n) = 0 denkleminin bir
21
temel cümlesi
Gi =��ni ; n�
ni ; :::; n
mi�1�ni
dir. Dolay¬siyle (2:5:4) ün bir temel cümlesi G =rSi=1
Gi olup genel çözümü
x(n) =
rXi=1
�ni (ci0 + ci1n+ ci2n2 + :::+ cimi�1n
mi�1) (2.5.5)
dir.
Durum 3. (2:5:2) karakteristik denkleminin bir �1 = �+ i� kompleks kökü q1 katl¬
olsun (2q1 6 k): Bu durumda (2.5.1) in 2q1 tane gerçel de¼gerli ba¼g¬ms¬z çözümü
rncosn�; rnsinn�; nrncosn�; nrnsinn�; :::;nq1�1rncosn�; nq1�1rnsinn�
seklindedir.
Örnek 2.5.1.
x(n+ 3)� 7x(n+ 2) + 16x(n+ 1)� 12x(n) = 0;
x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 1
baslang¬ç de¼ger problemini ele alal¬m. Bu problemin çözümü için önce denklemin
genel çözümü bulunur: Karakteristik denklem
�3 � 7�2 + 16�� 12 = 0
olup karakteristik kökler �1 = 2 = �2; �3 = 3: Buradan genel çözüm
x(n) = c12n + c2n2
n + c33n:
Baslang¬ç kosullar¬uygulan¬rsa,
22
x(0) = c1 + c3 = 0;
x(1) = 2c1 + 2c2 + 3c3 = 1;
x(2) = 4c1 + 8c2 + 9c3 = 1
sistemi bulunur. Buradan
c1 = 3; c2 = 2; c3 = �3
olup istenen çözüm
x(n) = 3(2n) + 2n(2n)� 3n+1
biçimindedir.
2.6 Homogen Olmayan Fark Denklemleri ·Için Özel Çözümler
Bu kesimde k. basamaktan sabit katsay¬l¬
x(n+ k) + a1x(n+ k � 1) + :::+ akx(n) = g(n) (2.6.1)
denkleminin bir özel çözümü için önce belirsiz katsay¬lar yöntemi ile operatör yön-
temi verilmektedir. Daha sonra da en genel yöntem say¬lan parametrelerin de¼gisimi
yöntemi ikinci basamaktan de¼gisken katsay¬l¬bir denklem için ifade edilmektedir.
Belirsiz Katsay¬lar Yöntemi
Bu yönteme göre önce (2.6.1) e iliskin homogen
x(n+ k) + a1x(n+ k � 1) + :::+ akx(n) = 0 (2.6.2)
denkleminin genel çözümü bulunur.
Sonra g(n) in belli durumlar¬için özel çözüm olabilecek aday çözümler olusturulur
(Gupta 1994, 1998). Belli g(n) durumlar¬ve kars¬l¬k gelen aday çözümler asa¼g¬daki
tabloda görülmektedir:
23
g (n) xp (n)
an A1an
nk A0 + A1n+ :::+ Aknk
nkan A0an + A1na
n + :::+ Aknkan
sinbn veya cosbn A1sin (bn) + A2cos (bn)
ansinbn veya ancosbn (Asin (bn) +Bcos (bn))an
annksinbn veya annkcosbn(A0 + A1n+ :::+ Akn
k)ansinbn+
(B0 +B1n+ :::+Bknk)ancosbn
Örnek 2.6.1. ·Ikinci basamaktan
x(n+ 2)� 5x(n+ 1) + 6x(n) = 2 + 4n (2.6.3)
fark denkleminin bir özel çözümü için önce kars¬l¬k gelen homogen
x(n+ 2)� 5x(n+ 1) + 6x(n) = 0 (2.6.4)
denkleminin genel çözümü bulunur:
xh(n) = c13n + c22
n: (2.6.5)
g(n) = 2 + 4n; 1: dereceden bir polinom oldu¼gundan, bir aday özel çözüm
xp(n) = A0 + A1n (2.6.6)
dir; burada A0 ve A1 belirlenmesi gereken sabitlerdir. Bu xp(n) ile xh(n) nin terimleri
aras¬nda bir benzerlik bulunmad¬¼g¬ndan, kesin olarak (2.6.6) seklinde bir özel çözüm
var demektir. Bundan sonra A0 ve A1 sabitlerini belirlemek için (2.6.6) verilen
denklemde yerine konur ve
2A0 � 3A1 + 2A1n � 2 + 4n
24
özdesli¼gi bulunur. Buradan A1 = 2; A0 = 4 olup
xp(n) = 4 + 2n
dir. Böylece (2:6:3) ün genel çözümü
x(n) = xh(n) + xp(n)
= c13n + c22
n + 4 + 2n
olur.
Örnek 2.6.2. ·Ikinci basamaktan lineer
x(n+ 2)� 4x(n+ 1) + 3x(n) = n4n (2.6.7)
fark denklemini ele alal¬m. Buna iliskin homogen
x(n+ 2)� 4x(n+ 1) + 3x(n) = 0 (2.6.8)
denkleminin genel çözümü
xh(n) = c1 + c23n
dir. g(n) = n4n oldu¼gundan, verilen denklemin bir aday özel çözümü
xp(n) = (A0 + A1n)4n (2.6.9)
dir. Yine xp(n) ile xh(n) nin terimleri aras¬nda bir benzerlik yoktur. O halde (2.6.9)
seklinde bir özel çözüm kesinlikle vard¬r. A0 ve A1 in belirlenmesi için bu çözüm
(2.6.7) de yerine konur ve ortaya ç¬kan özdeslikten, A0 = �169ve A1 = 1
3bulunur.
Buradan bir özel çözüm
xp(n) =
��169+1
3n
�4n
25
seklinde elde edilir. Böylece verilen denklemin genel çözümü
x(n) = c1 + c23n +
��169+1
3n
�4n:
Örnek 2.6.3.
x(n+ 2) + 4x(n) = 8(2n) cosn�
2(2.6.10)
fark denklemi verilsin. Buna iliskin homogen
x(n+ 2) + 4x(n) = 0 (2.6.11)
denkleminin gerçel de¼gerli genel çözümü
xh(n) = 2n(c1 cos
n�
2+ c2 sin
n�
2) (2.6.12)
dir. g(n) = 8(2)n cos n�2oldu¼gundan, bir aday özel çözüm
xp(n) = 2n(A cos
n�
2+B sin
n�
2) (2.6.13)
dir. Ancak bununla genel çözümün terimleri aras¬nda benzerlikler vard¬r. Bunun için
(2.6.13) ün ikinci yan¬n ile çarp¬larak söz konusu benzerlikler yok edilir. Böylece bir
özel çözüm için kesin yap¬
xp(n) = 2n(An cos
n�
2+Bn sin
n�
2) (2.6.14)
dir. Gerekli islemler yap¬l¬rsa, A = �1 ve B = 0 olarak bulunur. Bu de¼gerler
(2.6.14) de yerlerine konulursa, verilen denklemin bir özel çözümü
xp(n) = �2nn cosn�
2
seklinde elde edilir. Buradan (2.6.10) un genel çözümü
x(n) = 2n�c1 cos
n�
2+ c2 sin
n�
2� n cos
n�
2
�:
26
Operatör Yöntemi
(2.6.1) denklemi E öteleme operatörü cinsinden
f(E)x(n) = g(n) (2.6.15)
seklinde yaz¬labilir; burada
f(E) = Ek + a1Ek�1 + :::+ ak (2.6.16)
dir. Buradan (2.6.15) in veya (2.6.1) in bir özel çözümü
xp(n) = f�1(E)g(n) (2.6.17)
dir.
Uyar¬2.6.1. g(n) in belli durumlar¬için (2.6.17) nin hesab¬; yani f�1(E) in uygu-
lan¬s biçimi asa¼g¬daki teoremlerde aç¬klanmaktad¬r (Mickens 1990).
Teorem 2.6.1.
f(E)an = f(a)an (2.6.18)
dir.
Sonuç 2.6.1. f(a) 6= 0 ise,
f�1(E)an =an
f(a): (2.6.19)
Teorem 2.6.2. F (n), n ye ba¼gl¬bir fonksiyon olmak üzere
f(E)anF (n) = anf(aE)F (n) (2.6.20)
ve
f�1(E)anF (n) = anf�1(aE)F (n)
dir.
27
Teorem 2.6.3. f(a) = 0 ve
f(E) = (E � a)mh(E); h(a) 6= 0;
olsun. Bu durumda
f�1(E)an =an�m nm
h(a)m!(2.6.21)
dir.
Örnek 2.6.4.
x(n+ 2)� 5x(n+ 1) + 6x(n) = 3n (2.6.22)
fark denklemi verilsin.
Bu denklem E operatörü cinsinden
f(E)x(n) = (E � 2)(E � 3)x(n) = 3n (2.6.23)
seklinde ifade edilebilir. f(3) = 0 oldu¼gundan, Teorem 2.6.3 uygulan¬r, ve (2.6.22)
nin veya (2.6.23) ün bir özel çözümü için önce f(E),
f(E) = (E � 3)h(E); h(E) = E � 2;
seklinde yaz¬l¬r. Buradan a = 3; m = 1; h(a) = 1 olup
xp(n) =1
f(E)3n
= 3n�1n
dir.
Örnek 2.6.5.
(E � 2)2x(n) = 2n
denklemi verilsin. Buradan f(E) = (E � 2)2 dir.
28
f(2) = 0; m = 2 ve h(E) = 1 oldu¼gundan, Teorem 2.6.3 den,
xp(n) =1
(E � 2)22n
=2n�2 n2
(1)(2!)
=n2 2n
8
özel çözümü elde edilir.
Örnek 2.6.6.
(E � 2)(E � 3)x(n) = (5� n+ n2)4n
denklemi için f (E) = (E � 2)(E � 3) dür. Bir özel çözüm için önce
xp(n) =1
(E � 2)(E � 3)(5� n+ n2)4n
yaz¬l¬r. Teorem 2.6.2 den, a = 4 ve F (n) = 5� n+ n2 için
xp(n) = 4n 1
(4E � 2)(4E � 3)(5� n+ n2)
veya
xp(n) =1
24n(1 + 6� + 8�2)�1(5� n+ n2)
bulunur. Bundan sonra (1 + 6�+ 8�2)�1 ifadesi1
1 + xe benzetilerek seriye aç¬l¬r
ve aranan bir özel çözüm
xp(n) =1
24n(61� 13n+ n2)
biçiminde hesaplan¬r.
Parametrelerin De¼gisimi Yöntemi
Parametrelerin de¼gisimi yöntemi k. basamaktan sabit katsay¬l¬veya de¼gisken kat-
say¬l¬homogen olmayan denklemlerin bir özel çözümünü bulmak için uygulanabilen
29
en genel yöntemdir.
Bu yöntemin uygulama biçimi ikinci basamaktan de¼gisken katsay¬l¬ homogen ol-
mayan
x(n+ 2) + a1(n)x(n+ 1) + a2(n)x(n) = g(n) (2.6.24)
denklemi için aç¬klanmaktad¬r (Elaydi 1999).
Önce (2.6.24) e iliskin homogen
x(n+ 2) + a1(n)x(n+ 1) + a2(n)x(n) = 0 (2.6.25)
denkleminin genel çözümü
xh(n) = c1x1(n) + c2x2(n) (2.6.26)
seklinde bulunur; burada x1(n) ve x2(n); (2:6:25) in lineer ba¼g¬ms¬z çözümleridir.
Buradan (2.6.24) ün bir özel çözümü
xp(n) = c1(n)x1(n) + c2(n)x2(n) (2.6.27)
dir; burada c1(n) ve c2(n) asa¼g¬daki sekilde hesaplan¬rlar:
�c1(n)x1(n+ 1) + �c2(n)x2(n+ 1) = 0; (2.6.28)
�c1(n)x1(n+ 2) + �c2(n)x2(n+ 2) = g(n): (2.6.29)
(2:6:28) ve (2:6:29) dan,
�c1(n) =�g(n)x2(n+ 1)W (n+ 1)
ve
�c2(n) =g(n)x1(n+ 1)
W (n+ 1)
dir; burada W (n), x1(n) ve x2(n) in Casoratyan{d¬r. Buradan
c1(n) =n�1Xr=0
�g(r)x2(r + 1)W (r + 1)
30
ve
c2(n) =n�1Xr=0
g(r)x1(r + 1)
W (r + 1):
Bunlar (2.6.27) de yerlerine konursa, (2.6.24) ün bir özel çözümü
xp(n) =
n�1Xr=0
�g(r)x2(r + 1)w(r + 1)
x1(n) +n�1Xr=0
g(r)x1(r + 1)
w(r + 1)x2(n)
seklinde bulunur.
Uyar¬2.6.2. Bu yöntem benzer sekilde k. basamaktan de¼gisken katsay¬l¬
x(n+ k) + a1(n)x(n+ k � 1) + :::+ ak(n)x(n) = g(n) (2.6.30)
denklemine de uygulanabilir: Buna iliskin homogen denklemin genel çözümü
xh(n) = c1x1(n) + c2x2(n) + :::+ ckxk(n)
olup (2.6.30) un bir özel çözümü
xp(n) = c1(n)x1(n) + c2(n)x2(n) + :::+ ck(n)xk(n)
dir; burada c1(n); c2(n); :::; ck(n) bilinmeyenleri asa¼g¬daki gibi hesaplan¬rlar:8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:
�c1(n)x1(n+ 1) + �c2(n)x2(n+ 1) + :::+�ck(n)xk(n+ 1) = 0;
�c1(n)x1(n+ 2) + �c2(n)x2(n+ 2) + :::+�ck(n)xk(n+ 2) = 0;...
�c1(n)x1(n+ k � 1) + �c2(n)x2(n+ k � 1) + :::+�ck(n)xk(n+ k � 1) = 0;
�c1(n)x1(n+ k) + �c2(n)x2(n+ k) + :::+�ck(n)xk(n+ k) = g(n):
(2:6:31)
Bu sistemden, �c1(n);�c2(n); :::;�ck(n) bulunur ve daha sonra bunlar¬n s¬rasiyle,
ters fark operatörleri al¬narak c1(n); c2(n); :::; ck(n) elde edilir.
31
Örnek 2.6.7. Parametrelerin de¼gisimi yöntemi yard¬miyle
x(n+ 2)� 7x(n+ 1) + 6x(n) = n
denkleminin bir özel çözümünü bulal¬m.
Bu denkleme iliskin homogen
x(n+ 2)� 7x(n+ 1) + 6x(n) = 0
denkleminin genel çözümü
xh(n) = c1 + c26n
dir. O halde verilen denklemin bir özel çözümü
xp(n) = c1(n) + c2(n) 6n
dir; burada c1(n) ve c2(n)8<: �c1(n) + �c2(n) 6n+1 = 0;
�c1(n) + �c2(n) 6n+2 = n
sistemini sa¼glarlar. Buradan
�c1(n) = �n
5ve �c2(n) =
n
306�n
olup
c1(n) = ��1(�n
5) =
n�1Xi=0
� i5= �1
5
n�1Xi=0
i = � 110n(n� 1);
c2(n) = ��1(
n6�n
30) =
1
30
n�1Xi=0
i6�i = � n
256�n � 1
1256�n:
Böylece bir özel çözüm
xp(n) = �n2
10+3n
50� 1
125
seklinde bulunur.
32
3. L·INEER FARK DENKLEM S·ISTEMLER·I
·Iki veya daha fazla ba¼g¬ml¬ de¼giskene ba¼gl¬ birinci basamaktan fark denklem sis-
temleri biyoloji, �zik, t¬p ve mühendislik problemlerinde yayg¬n bir sekilde ortaya
ç¬karlar. Bu yüzden fark denklem sistemlerini incelemek önem tas¬r. Bu bölümde
lineer fark denklem sistemlerinin teorisi ile birlikte çözümlerin bulunmas¬n¬sa¼glayan
yöntemler ve lineer periyodik sistemler ele al¬nacakt¬r (Tauber 1964, Lakshmikant-
ham ve Trigante 1988, Murty vd. 1997, Elaydi 1999, Agarwal 2000).
3.1 Temel Teori
Tan¬m 3.1.1. Birinci basamaktan k boyutlu bir lineer homogen fark denklem sistemi
ile homogen olmayan bir sistem, s¬rasiyle,
x(n+ 1) = A(n)x(n); (3.1.1)
x(n+ 1) = A(n)x(n) + g(n) (3.1.2)
seklinde ifade edilirler; burada A(n) = (aij(n)); k � k; n > n0 üzerinde singüler
olmayan bir matris, x(n) = (x1(n); x2(n); :::; xk(n))T 2 Rk ve g(n) 2 Rk d¬r. Ayr¬ca,
(3.1.1) veya (3.1.2) sisteminin x(n0) = x0 kosulu ile birlikte ele al¬nmas¬na bir
baslang{ç de�ger problemi denir ve bunun çözümü x(n) = x(n; n0; x0) ile gösterilir.
Teorem 3.1.1. Her bir x0 2 Rk ve n0 2 N için
x(n+ 1) = A(n)x(n); x(n0) = x0; (3.1.3)
probleminin bir tek x(n; n0; x0) çözümü vard¬r.
·Ispat. (3:1:3) den, n = n0 için
x(n0 + 1; n0; x0) = A(n0)x(n0) = A(n0)x0;
33
n = n0 + 1 için
x(n0 + 2; n0; x0) = A(n0 + 1)x(n0 + 1) = A(n0 + 1)A(n0)x0;
n = n0 + 2 için
x(n0 + 3; n0; x0) = A(n0 + 2)x(n0 + 2) = A(n0 + 2)A(n0 + 1)A(n0)x0;
ve bu sekilde devam edilirse,
x(n0 + n� n0; n0; x0) = A(n0 + n� n0 � 1):::A(n0 + 1)A(n0)x0
veya
x(n; n0; x0) = A(n� 1):::A(n0 + 1)A(n0)x0
bulunur. Bu ise
n�1Yi=n0
A(i) =
8<: A(n� 1)A(n� 2):::A(n0 + 1)A(n0); n > n0;
I ; n = n0;
olmak üzere
x(n; n0; x0) =
n�1Yi=n0
A(i)
!x0 (3.1.4)
biçiminde yaz¬labilir. Böylece (3:1:3) probleminin tek çözümü vard¬r ve bu çözüm
(3.1.4) seklindedir.
Tan¬m 3.1.2. x1(n); x2(n); :::; xk(n); (3:1:1) in çözümleri olsunlar. E¼ger
c1x1(n) + c2x2(n) + :::+ ckxk(n) = 0; n � n0; (3.1.5)
denklemi sadece ve sadece ci = 0; 1 � i � k; için sa¼glan¬yorsa, bu durumda
fx1(n); x2(n); :::; xk(n)g cümlesine n � n0 � 0 üzerinde lineer ba�g{ms{zd{r denir.
(3.1.5) denklemi hepsi birden s¬f¬r olmayan c1; c2; :::; ck sabitleri için sa¼glan¬yorsa, o
zaman fx1(n); x2(n); :::; xk(n)g cümlesine n � n0 � 0 üzerinde lineer ba�g{ml{d{r
denir.
34
Sonuç 3.1.1. �(n); kolonlar¬(3:1:1) in çözümlerinden meydana gelen k� k tipinde
bir matris olsun. Bu durumda �(n)
�(n+ 1) = A(n)�(n) (3.1.6)
matris fark denkleminin bir çözümüdür.
·Ispat. (3.1.1) in x1(n); x2(n); :::; xk(n) çözümleri için
�(n) = (x1(n); x2(n); :::; xk(n))
matrisi gözönüne al¬nd¬¼g¬zaman
�(n+ 1) = (A(n)x1(n); A(n)x2(n); :::; A(n)xk(n))
= A(n) (x1(n); x2(n); :::; xk(n))
= A(n)�(n)
olur. O halde �(n); (3:1:6) denklemini sa¼glar.
Tan¬m 3.1.3. �(n); n > n0 üzerinde singüler olmayan bir matris olmak üzere (3:1:6)
denklemini sa¼glas¬n. Bu durumda�(n)matrisine (3:1:1) sisteminin bir temel matrisi
denir.
Sonuç 3.1.2. �(n); (3:1:1) in bir temel matrisi ve C singüler olmayan bir sabit
matris ise, o zaman �(n)C de (3:1:1) için bir temel matristir.
·Ispat.
(n) = �(n)C
olsun. Buradan
35
(n+ 1) = �(n+ 1)C
= A(n)�(n)C
= A(n)(n)
olur. Böylece (n); (3:1:6) denklemini sa¼glar. Öte yandan, her n > n0 için
det(n) = det(�(n)C)
= det�(n) detC
6= 0
d¬r. O halde (n) bir temel matristir.
Uyar¬3.1.1. �(n); (3:1:1) in herhangi bir temel matrisi ise, �(n)��1(n0) de ayn¬
sistemin bir temel matrisidir. Bu özel temel matris �(n; n0) ile gösterilir ve konum
geçis matrisi ad¬n¬al¬r. Bu gösterim n � m olmak üzere �(n;m) = �(n)��1(m)
seklinde genellestirebilir; burada n;m pozitif tamsay¬lard¬r.
Uyar¬3.1.2. (3.1.1) sistemi için bir temel matris
�(n) =
n�1Yi=n0
A(i); �(n0) = I;
seklinde verilebilir. Gerçekten, bu matris için
�(n+ 1) =
nYi=n0
A(i)
= A(n)
n�1Yi=n0
A(i)
= A(n)�(n)
dir. Ayr¬ca (3.1.1) in do¼gas¬ndan, her n > n0 için A�1(n) vard¬r. Dolay¬siyle
36
det�(n) = detA(n� 1) detA(n� 2)::: detA(n0 + 1) detA(n0)
6= 0
d¬r. Böylece �(n); (3.1.6) matris fark denkleminin bir matris çözümü olup n > n0
üzerinde singüler de¼gildir.
Sonuç 3.1.3. (3:1:1) sisteminin bir temel �(n;m) matrisi için asa¼g¬daki özellikler
sa¼glan¬r:
(i) �(n;m)matrisi�(n+1;m) = A(n)�(n;m)matris fark denkleminin bir çözümüdür;
(ii) ��1(n;m) = �(m;n);
(iii) �(n;m) = �(n; r) �(r;m);
(iv) �(n;m) =n�1Yi=m
A(i) ;
(v) �(n;m) = �(n�m) = An�m; A(n) = A bir sabit matristir.
·Ispat:
(i) �(n;m) = �(n)��1(m)
�(n+ 1;m) = �(n+ 1)��1(m)
= A(n)�(n)��1(m)
= A(n)�(n;m):
(ii) �(n;m) = �(n)��1(m)
��1(n;m) = �(m)��1(n)
= �(m;n):
(iii) �(n;m) = �(n)��1(m)
= �(n)��1(r)�(r)��1(m)
37
�(n;m) = �(n; r)�(r;m):
(iv) Uyar¬3.1.2 den,
�(m) =
m�1Yi=n0
A(i)
yaz¬labilir. Buradan
��1(m) =
n0Yi=m�1
A�1(i)
olur. Simdi
�(n;m) = �(n)��1(m)
= A(n� 1)A(n� 2):::A(n0)A�1(n0)A�1(n0 + 1):::A�1(m� 1)
= A(n� 1)A(n� 2):::A(m)
=n�1Yi=m
A(i)
elde edilir.
Sonuç 3.1.4. x(n0) = x0 olmak üzere (3:1:1) in tek x(n; n0; x0) çözümü
x(n; n0; x0) = �(n; n0)x0 (3.1.7)
dir.
Lemma 3.1.1 (Abel Formülü). �(n); (3.1.6) n¬n bir çözüm matrisi olsun. Bu
durumda n � n0 > 0 için
det�(n) =
n�1Yi=n0
detA(i)
!det�(n0) (3.1.8)
d¬r.
·Ispat. (3.1.6) dan,
det�(n+ 1) = detA(n) det�(n); n � n0;
38
bulunur. Bu skaler fark denkleminin çözümü (3.1.8) seklindedir.
Sonuç 3.1.5. (3.1.1) deki A(n) matrisi A(n) � A seklinde singüler olmayan bir
sabit matris ise, o zaman
det�(n) = (detA)n�n0 det�(n0) (3.1.9)
d¬r.
Sonuç 3.1.6. Bir �(n) çözüm matrisinin n � n0 üzerinde singüler olmamas¬için
gerek ve yeter kosul det�(n0) 6= 0 d¬r.
·Ispat. Abel formülünden ve i > n0 için detA(i) 6= 0 oldu¼gundan, ispat tamamlan¬r.
Sonuç 3.1.7. (3:1:1) in x1(n); x2(n); :::; xk(n) çözümlerinin n � n0 üzerinde lineer
ba¼g¬ms¬z olmalar¬için gerek ve yeter kosul �(n0) ¬n singüler olmamas¬d¬r.
·Ispat. Sonuç 3.1.6 dan ç¬kar.
Teorem 3.1.2. (3:1:1) sisteminin n � n0 için k tane lineer ba¼g¬ms¬z çözümü vard¬r.
·Ispat. Her bir i = 1; 2; :::; k için ei = (0; 0; :::1; :::0)T ; Rk da i: bileseni 1 di¼ger
bilesenleri 0 olan bir birim vektör olsun. Teorem (3:1:1) nedeniyle (3:1:1) in her bir ei;
1 � i � k; için x(n0) = ei olacak biçimde bir tek x(n; n0; ei) çözümü vard¬r. Böylece
elde edilen fx(n; n0; ei) : 1 � i � kg çözümler cümlesinin lineer ba¼g¬ms¬z olmas¬için
det�(n0) 6= 0 oldu¼gunu göstermek yeterlidir (Sonuç 3.1.6). Bu ise aç¬kt¬r, çünkü
�(n0) = I d¬r. Böylece ispat tamamlanm¬s olur.
Sonuç 3.1.8. (3.1.1) in bütün çözümlerinin V cümlesi k boyutlu bir lineer uzayd¬r.
Uyar¬3.1.3. Sonuç 3.1.8 e göre x1(n); x2(n); :::; xr(n); (3:1:1) in çözümleri ise, o
zaman
x(n) =Xr
i=1cixi(n)
39
toplam¬da (3:1:1) in bir çözümüdür; burada ci ler key� sabitlerdir. Bu gerçek bizi
(3.1.1) in genel çözümünün tan¬m¬na götürür.
Tan¬m 3.1.4. fxi(n) : 1 � i � kg ; (3:1:1) in lineer ba¼g¬ms¬z çözümlerinin bir cüm-
lesi olsun. Bu durumda (3:1:1) in genel çözümü
x(n) =kXi=1
cixi(n) (3.1.10)
seklinde tan¬mlan¬r; burada ci ler reel key� sabitlerdir. (3:1:10) formülü
x(n) = �(n)c
seklinde yaz¬labilir; burada �(n) = (x1(n); x2(n); :::; xk(n)) bir temel matris ve
c = (c1; c2; :::; ck)T 2 Rk dir.
Art¬k homogen olmayan (3.1.2) sisteminin genel çözümü ile ilgili olarak asa¼g¬daki
teorem verilebilir.
Teorem 3.1.3. xp(n); (3:1:2) nin özel bir çözümü olmak üzere (3:1:2) nin herhangi
bir x(n) çözümü
x(n) = �(n)c+ xp(n) (3.1.11)
seklinde yaz¬labilir; burada �(n), (3.1.1) in bir temel matrisi ve c uygun bir sekilde
seçilen sabit bir vektördür.
Simdi (3.1.2) sisteminin bir xp(n) özel çözümünü bulmak için asa¼g¬daki sonuçlara
bakal¬m.
Lemma 3.1.2. (3:1:2) sisteminin bir özel çözümü
xp(n) =
n�1Xr=n0
�(n; r + 1)g(r); xp(n0) = 0;
d¬r.
40
·Ispat.
xp(n+ 1) =
nXr=n0
�(n+ 1; r + 1)g(r)
=
n�1Xr=n0
�(n+ 1; r + 1)g(r) + �(n+ 1; n+ 1)g(n)
=
n�1Xr=n0
A(n)�(n)��1(r + 1)g(r) + g(n)
= A(n)n�1Xr=n0
�(n; r + 1)g(r) + g(n)
= A(n)xp(n) + g(n):
O halde xp(n), (3.1.2) nin bir çözümüdür. Ayr¬ca, xp(n0) = 0 d¬r.
Teorem 3.1.4 (Sabitlerin de¼gisimi formülü).
x(n+ 1) = A(n)x(n) + g(n); x(n0) = x0; (3.1.12)
baslang¬ç de¼ger probleminin tek çözümü
x(n; n0; x0) = �(n; n0)x0 +n�1Xr=n0
�(n; r + 1)g(r) (3.1.13)
ya da aç¬k olarak
x(n; n0; x0) =
n�1Yi=n0
A(i)
!x0 +
n�1Xr=n0
n�1Yi=r+1
A(i)
!g(r) (3.1.14)
dir.
·Ispat. Teorem 3.1.3 den,
x(n; n0; x0) = �(n; n0)x0 + xp(n; n0; 0)
41
ve Lemma 3.1.2 den,
xp(n; n0; 0) =
n�1Xr=n0
�(n; r + 1)g(r)
oldu¼gundan, teorem ispatlanm¬s olur.
Sonuç 3.1.9. A sabit bir matris oldu¼gu zaman (3:1:12) nin tek çözümü
x(n; n0; x0) = An�n0x0 +
n�1Xr=n0
An�r�1g(r) (3.1.15)
dir.
Örnek 3.1.1.
x(n+ 1) = Ax(n) + g(n); x(0) = x0;
probleminin çözümü asa¼g¬daki gibi verilebilir; burada
A =
0@ 2 1
0 2
1A ; g(n) =
0@ n
1
1A ; x(0) =
0@ 1
0
1A :
Önce homogen
x(n+ 1) = Ax(n)
sisteminin temel matrisi
�(n) = An =
0@ 2n n2n�1
0 2n
1Aseklinde bulunur. Sonuç 3.1.9 dan, problemin tek x(n) çözümü
42
x(n) =
0@ 2n n2n�1
0 2n
1A0@ 1
0
1A+ n�1Xr=0
0@ 2n�r�1 (n� r � 1)2n�r�2
0 2n�r�1
1A0@ r
1
1A=
0@ 2n
0
1A+ n�1Xr=0
0@ r2n�r�1 + (n� r � 1)2n�r�2
2n�r�1
1A=
0@ 2n
0
1A+0@ n2n�1 � 3
4n
2n � 1
1A=
0@ 2n + n2n�1 � 34n
2n � 1
1Adir.
Uyar¬3.1.4. k y¬nc¬basamaktan bir skaler denklem daima birinci basamaktan k
boyutlu bir sisteme dönüstürülebilir. Bunu görmek için k y¬nc¬basamaktan skaler
y(n+ k) + p1(n)y(n+ k � 1) + :::+ pk(n)y(n) = g(n) (3.1.16)
denklemini ele alal¬m. Simdi
x1(n) = y(n); x2(n) = y(n+1); x3(n) = y(n+2); :::; xk(n) = y(n+ k� 1) (3.1.17)
dönüsümü (3.1.16) ya uygulan¬rsa,8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:
x1(n+ 1) = x2(n);
x2(n+ 1) = x3(n);...
xk�1(n+ 1) = xk(n);
xk(n+ 1) = �pk(n)x1(n)� pk�1(n)x2(n)� :::� p1(n)xk(n) + g(n)
(3.1.18)
sistemi elde edilir.
(3.1.18) sisteminin herhangi bir çözümü (x1(n); x2(n); :::; xk(n)) seklinde bir k l¬d¬r.
43
(3.1.17) dönüsümü nedeniyle (3.1.16) skaler denkleminin kars¬l¬k gelen çözümü
y(n) = x1(n) dir.
Tersine olarak y(n), (3.1.16) n¬n bir çözümü ise, bu durumda (3.1.18) sisteminin
kars¬l¬k gelen çözümü
(y(n); y(n+ 1); y(n+ 2); :::; y(n+ k � 1))
dir.
Öte yandan, (3.1.18) sistemi,
A(n) =
0BBBBBBBBB@
0 1 0 ::: 0
0 0 1 ::: 0...
......
......
0 0 0 ::: 1
�pk(n) �pk�1(n) �pk�2(n) ::: �p1(n)
1CCCCCCCCCA; (3.1.19)
x(n) =
0BBBBBB@x1(n)
x2(n)...
xk(n)
1CCCCCCA ve h(n) =
0BBBBBB@0
0...
g(n)
1CCCCCCAolmak üzere
x(n+ 1) = A(n)x(n) + h(n) (3.1.20)
seklinde bir matris-vektör formunda yaz¬labilir. g(n) � 0 ve pi(n) = pi; 1 6 i 6 k,
sabit olursa, o zaman
x(n+ 1) = Ax(n) (3.1.21)
homogen sistemi elde edilir.
Böyle bir durumda A matrisinin özde¼gerleri ile k y¬nc¬basamaktan sabit katsay¬l¬
skaler homogen
y(n+ k) + p1y(n+ k � 1) + :::+ pky(n) = 0 (3.1.22)
44
denkleminin karakteristik kökleri ayn¬d¬r. Yani A n¬n karakteristik denklemi, (3.1.22)
nin karakteristik
�k + p1�k�1 + :::+ pk�1�+ pk = 0
denklemine esittir.
3.2 Sabit Katsay¬l¬Lineer Homogen Sistemler
Bu kesimde n > n0 üzerine tan¬ml¬k bilinmeyenli k tane denklemden olusan sabit
katsay¬l¬lineer homogen8>>>>>><>>>>>>:
x1(n+ 1) = a11x1(n) + a12x2(n) + :::+ a1kxk(n);
x2(n+ 1) = a21x1(n) + a22x2(n) + :::+ a2kxk(n);...
xk(n+ 1) = ak1x1(n) + ak2x2(n) + :::+ akkxk(n)
fark denklem sistemi ele al¬nacakt¬r; burada x1(n); x2(n); :::; xk(n) sistemin bilin-
meyenleri olup
aij; 1 6 i; j 6 k, katsay¬lar¬verilen reel sabitlerdir. Böyle bir sistem daima
x(n+ 1) = Ax(n); n > n0; (3.2.1)
seklinde vektör-matris formunda yaz¬labilir; burada A = (aij); k � k boyutlu reel
singüler olmayan bir matris ve x(n) = (x1(n); x2(n); :::; xk(n))T dir.
(3.2.1) sisteminin
x(n0) = x0 (3.2.2)
baslang¬ç kosulunu sa¼glayan çözümünün
x(n; n0; x0) = An�n0x0 (3.2.3)
biçiminde oldu¼gu önceki kesimde gösterildi; burada A0 = I; k � k tipinde birim
matristir.
45
Bu kesimde esas olarak An in hesab¬üzerinde durulmaktad¬r. Bununla ilgili olarak
Putzer Algoritmas¬ve Jordan kanonik formu gibi yöntemlerden söz edilecektir. Ama
önce baz¬hat¬rlatmalarda bulunal¬m.
Bir A = (aij); k � k; reel matrisi için
A� = �� (3.2.4)
olacak sekilde s¬f¬r olmayan bir � 2 Ck vektörü varsa, � say¬s¬na A n¬n bir �ozde�geri
ve � vektörüne de A n¬n bir �ozvekt�or�u denir; burada Ck; k boyutlu kompleks uzayd¬r.
(3.2.4) esitli¼gi esde¼ger olarak
(A� �I)� = 0 (3.2.5)
seklinde yaz¬labilir. Bu denklemin s¬f¬r olmayan bir çözüme sahip olmas¬için gerek
ve yeter kosul
det(A� �I) = 0 (3.2.6)
ya da aç¬k olarak
p(�) = �k + a1�k�1 + a2�
k�2 + :::+ ak�1�+ ak = 0 (3.2.7)
d¬r. (3.2.7) denklemi A n¬n karakteristik denklemi olarak bilinir. Karakteristik
denklemin � köklerine de A matrisinin �ozde�gerleri denir.
�1; �2; :::; �k, A n¬n özde¼gerleri ise, o zaman (3.2.7) denklemi
p(�) =kYj=1
(�� �j) (3.2.8)
seklinde yaz¬labilir (özde¼gerlerin hepsi veya bir k¬sm¬birbirlerine esit olabilir).
Putzer Algoritmas¬
A, k � k türünde bir reel sabit matris olsun. Bu durumda
An =
kXj=1
uj(n)M(j � 1) (3.2.9)
46
dir; burada
M(j) = (A� �jI)M(j � 1); M(0) = I; (3.2.10)
veya aç¬k olarak j = m için
M(m) = (A� �mI)(A� �m�1I):::(A� �1I); (3.2.11)
uj(n), j = 1; 2; :::; k , skaler fonksiyonlar¬8<: u1(n+ 1) = �1u1(n); u1(0) = 1;
uj(n+ 1) = �juj(n) + uj�1(n); uj(0) = 0; j = 2; 3; :::; k;(3.2.12)
sisteminin çözümleridir. Bu çözümler
u1(n) = �n1 ; uj(n) =n�1Xr=0
�n�1�rj uj�1(r); j = 2; 3; :::; k ; (3.2.13)
seklinde hesaplan¬rlar; burada �1; �2; :::; �k lar A n¬n özde¼gerleri olup birbirlerinden
farkl¬olmalar¬gerekmez.
Böylece An nin hesab¬için kullan¬lan (3.2.11) ve (3.2.13) denklemleri bir algoritma
olustururlar. Buna Putzer Algoritmas{ denir (Elaydi ve Harris 1998).
Örnek 3.2.1. x(n+ 1) = Ax(n) fark denklemini çözelim; burada
A =
0BBB@4 1 2
0 2 �4
0 1 6
1CCCA :
Bu fark denklem sisteminin x(0) = (x1(0); x2(0); x3(0))T kosulunu sa¼glayan çözümü
x(n) = Anx(0) (3.2.14)
dir. Putzer yöntemine göre An matrisi
47
An =
3Xj=1
uj(n)M(j � 1)
= u1(n)M(0) + u2(n)M(1) + u3(n)M(2); M(0) = I; (3.2.15)
seklindedir.
A matrisinin özde¼gerleri �1 = �2 = �3 = 4 oldu¼gundan, (3.2.10) dan,
M(1) = A� 4I =
0BBB@0 1 2
0 �2 �4
0 1 2
1CCCA ;
M(2) = (A� 4I)M(1) =
0BBB@0 0 0
0 0 0
0 0 0
1CCCA :
(3.2.13) den, u1(n); u2(n) ve u3(n) skaler fonksiyonlar¬
u1(n) = 4n;
u2(n) =n�1Xr=0
(4n�1�r)(4r) = n4n�1;
u3(n) =n�1Xr=0
(4n�1�r)(r4r�1) =n(n� 1)
24n�2
seklinde bulunur. Hesaplanan bu de¼gerler (3.2.15) de yerlerine konursa,
An = 4n
0BBB@1 0 0
0 1 0
0 0 1
1CCCA+ n4n�1
0BBB@0 1 2
0 �2 �4
0 1 2
1CCCA
+n(n� 1)
24n�2
0BBB@0 0 0
0 0 0
0 0 0
1CCCA
48
An =
0BBB@4n n4n�1 2n4n�1
0 4n � 2n4n�1 �n4n
0 n4n�1 4n + 2n4n�1
1CCCAelde edilir. Böylece istenen çözüm, (3.2.14) den,
x(n) =
0BBB@4nx1(0) + n4n�1x2(0) + 2n4
n�1x3(0)
(4n � 2n4n�1)x2(0)� n4nx3(0)
n4n�1x2(0) + (4n + 2n4n�1)x3(0)
1CCCA :
Jordan Kanonik Formu
Tan¬m 3.2.1. k � k tipindeki A ve B matrisleri için P�1AP = B olacak biçimde
singüler olmayan bir P matrisi mevcutsa, A ve B matrislerine benzerdir denir.
Benzer A ve B matrisleri ayn¬özde¼gerlere sahiptir.
Tan¬m 3.2.2. A matrisi bir D = diag(�1; �2; :::; �k) kösegen matrisine benzer ise,
A ya k�osegenlestirilebilir matris denir. Bu durumda D nin �1; �2; :::; �k kösegen
elemanlar¬ayn¬zamanda A n¬n özde¼gerleridir.
Uyar¬3.2.1. Kösegenlestirilebilen bir A matrisi için An matrisi kolayl¬kla hesapla-
nabilir. Gerçekten,
P�1AP = D = diag(�1; �2; :::; �k)
ise, o zaman
A = PDP�1
olup
An = (PDP�1)n
= PDnP�1
49
veya aç¬k olarak
An = P
0BBBBBB@�n1 0 ::: 0
0 �n2 ::: 0...
......
...
0 0 ::: �nk
1CCCCCCAP�1 (3.2.16)
olur.
Ayr¬ca, (3.2.16) dan, (3.2.1) sisteminin baska bir temel matrisi
�(n) = AnP = P
0BBBBBB@�n1 0 ::: 0
0 �n2 ::: 0...
......
...
0 0 ::: �nk
1CCCCCCA (3.2.17)
seklinde verilebilir. Buradan �(0) = P oldu¼gundan,
An = �(n)��1(0): (3.2.18)
Uyar¬3.2.2. (3.2.17) formülü ancak P matrisi bilindi¼gi takdirde kullan¬sl¬olabilir.
Böyle bir P matrisinin kolonlar¬daima A n¬n lineer ba¼g¬ms¬z özvektörleridir. Gerçek-
ten P = (�1; �2; :::; �k) olsun. P�1AP = D oldu¼gundan, AP = PD; A�i = �i�i;
i = 1; 2; :::; k , bulunur. Buradan �i; i = 1; 2; :::; k , A n¬n �i özde¼gerine kars¬l¬k
gelen özvektördür. Demek ki P nin i yinci kolonu A n¬n �i özde¼gerine kars¬l¬k gelen
özvektördür. P singüler olmad¬¼g¬ndan, P nin kolonlar¬dolay¬siyle A n¬n �1; �2; :::; �k
özvektörleri lineer ba¼g¬ms¬zd¬rlar. Böylece asa¼g¬daki teorem verilebilir:
Teorem 3.2.1. k� k tipinde bir A matrisinin kösegenlestirilebilir olmas¬için gerek
ve yeter kosul A n¬n k tane lineer ba¼g¬ms¬z özvektöre sahip olmas¬d¬r.
Buna göre bir �(n) temel matrisi, (3.2.17) formülünden,
50
�(n) = (�1; �2; :::; �k)
0BBBBBB@�n1 0 ::: 0
0 �n2 ::: 0...
......
...
0 0 ::: �nk
1CCCCCCA= (�n1�1; �
n2�2; :::; �
nk�k) (3.2.19)
biçiminde elde edilir; burada �1; �2; :::; �k lar A n¬n özde¼gerleri ve �1; �2; :::; �k lar
kars¬l¬k gelen ba¼g¬ms¬z özvektörlerdir. �(n) nin kolonlar¬(3.2.1) sisteminin çözümleri
olduklar¬ndan her bir i , 1 6 i 6 k , için �i(n) = �ni �i ifadesi (3.2.1) in bir çözümüdür.
Böylece asa¼g¬daki teorem verilebilir:
Teorem 3.2.2. A n¬n özde¼gerleri �1; �2; :::; �k ve kars¬l¬k gelen lineer ba¼g¬ms¬z özvek-
törleri �1; �2; :::; �k olsun. Bu durumda (3:2:1) in genel çözümü
x(n) = c1�n1�1 + c2�
n2�2 + :::+ ck�
nk�k (3.2.20)
dir; burada c1; c2; :::; ck lar key� sabitlerdir.
Örnek 3.2.2.
x(n+ 1) = Ax(n) (3.2.21)
sisteminin genel çözümünü bulal¬m; burada
A =
0BBB@2 2 1
1 3 1
1 2 2
1CCCA :
A n¬n özde¼gerleri �1 = 5; �2 = �3 = 1 olup kars¬l¬k gelen lineer ba¼g¬ms¬z özvektörler,
s¬rasiyle,
�1 =
0BBB@1
1
1
1CCCA ; �2 =
0BBB@1
0
�1
1CCCA ; �3 =
0BBB@0
1
�2
1CCCA51
dir. Genel çözüm, (3.2.20) formülünden,
x(n) = c15n
0BBB@1
1
1
1CCCA+ c2
0BBB@1
0
�1
1CCCA+ c3
0BBB@0
1
�2
1CCCAveya
x(n) =
0BBB@c15
n + c2
c15n + c3
c15n � c2 � 2c3
1CCCAdir.
Ek olarak, (3.2.21) sisteminin
x(0) =
0BBB@0
1
0
1CCCAbaslang¬ç kosulunu sa¼glayan çözümü
x(n) =
0BBB@125n � 1
2
125n + 1
2
125n � 1
2
1CCCAdir. Ayn¬çözüm
x(n) = �(n)��1(0)x(0) (3.2.22)
seklinde de hesaplanabilir; burada
�(n) = (�n1�1; �n2�2; �
n3�3) =
0BBB@5n 1 0
5n 0 1
5n �1 �2
1CCCA ;
�(0) =
0BBB@1 1 0
1 0 1
1 �1 �2
1CCCA ve ��1(0) =
0BBB@14
12
14
34
�12�14
�14
12
�14
1CCCA :
52
Bunlar¬(3.2.22) de yerlerine koyarsak,
x(n) =
0BBB@5n 1 0
5n 0 1
5n �1 �2
1CCCA0BBB@
14
12
14
34
�12�14
�14
12
�14
1CCCA0BBB@0
1
0
1CCCA
=
0BBB@125n � 1
2
125n + 1
2
125n � 1
2
1CCCAelde edilir.
Uyar¬3.2.3. A reel sabit bir matris oldu¼gundan, � = �+ i� kompleks say¬s¬A n¬n
bir özde¼geri oldu¼gu zaman �� = � � i� esleni¼gi de A n¬n bir özde¼gerleridir. Ayr¬ca,
A n¬n � = � + i� ya kars¬l¬k gelen özvektörü � ise, bu durumda �� esleni¼gi de A n¬n
�� = �� i� ya kars¬l¬k gelen özvektörüdür.
Simdi � = �1 + i�2 olsun. Bu durumda (3:2:1) in bir çözümü
x(n) = (�+ i�)n (�1 + i�2)
dir. Bu çözüm,
r =
q�2 + �2 ve � = tan�1
��
�
�olmak üzere
x(n) = [r(cos � + i sin �)]n (�1 + i�2)
= rn(cosn� + i sinn�)(�1 + i�2)
= rn [(cosn�)�1 � (sinn�)�2] + irn [(cosn�)�2 + (sinn�)�1]
� u(n) + iv(n)
seklinde yaz¬labilir; burada
u(n) = rn [(cosn�)�1 � (sinn�)�2] ; v(n) = rn [(cosn�)�2 + (sinn�)�1]
53
dir. u(n) ve v(n); (3:2:1) in gerçel de¼gerli lineer ba¼g¬ms¬z çözümleri olduklar¬ndan,
�� ve �� taraf¬ndan üretilen çözümleri bulmam¬za gerek yoktur.
Örnek 3.2.3.
x(n+ 1) = Ax(n)
sisteminin bir genel çözümünü bulal¬m; burada
A =
0@ 1 �5
1 �1
1A :
A n¬n özde¼gerleri, �1 = 2i ve �2 = �2i olup kars¬l¬k gelen özvektörler, s¬rasiyle,
�1 =
0@ 15� 2
5i
1
1A ; �2 =
0@ 15+ 2
5i
1
1Adir. Buradan
x(n) = (2i)n
0@ 15� 2
5i
1
1Abir çözümdür.
i = cos �2+ i sin �
2oldu¼gundan, in = cos n�2 + i sin n�
2dir. O halde yukar¬daki çözüm
x(n) = 2n�cos
n�
2+ i sin
n�
2
�0@ 15� 2
5i
1
1A
= 2n
0@ 15cos n�
2+ 2
5sin n�
2
cos n�2
1A+ i2n
0@ �25cos n�
2+ 1
5sin n�
2
sin n�2
1Aseklinde yaz¬labilir. Dolay¬siyle gerçel de¼gerli lineer ba¼g¬ms¬z çözümler
u(n) = 2n
0@ 15cos n�
2+ 2
5sin n�
2
cos n�2
1A ;
v(n) = 2n
0@ �25cos n�
2+ 1
5sin n�
2
sin n�2
1A
54
dir. Buradan bir genel çözüm
x(n) = c12n
0@ 15cos n�
2+ 2
5sin n�
2
cos n�2
1A+ c22n
0@ �25cos n�
2+ 1
5sin n�
2
sin n�2
1A= 2n
0@ (15c1 � 2
5c2) cos
n�2+ (2
5c1 +
15c2) sin
n�2
c1 cosn�2+ c2 sin
n�2
1A :
Simdiye kadar A matrisinin kösegenlestirilmesi halinde (3.2.1) sisteminin bir temel
matrisini ve dolay¬siyle bir genel çözümünü hesaplad¬k. Bu arada belirtelim ki k� k
türünde bir A matrisinin kösegenlestirilmesi için bir yeter kosul, onun k tane farkl¬
özde¼gere sahip olmas¬d¬r. Bununla birlikte A bir normal matris (yani ATA = AAT )
olmak kosuluyla, tekrarl¬özde¼gerlere sahip olsa bile yine kösegenlestirilebilir
(Ortega, 1987). Örne¼gin, simetrik matrisler (AT = A) ve ters simetrik matrisler
(AT = �A) normal matrislerdir.
Simdi daha genel olarak A matrisinin kösegenlestirilememesi durumunu gözönüne
alal¬m. Böyle bir durum A tekrarl¬özde¼gerlere sahip olup k tane lineer ba¼g¬ms¬z
özvektör bulunamad¬¼g¬zaman ortaya ç¬kar. Örne¼gin
0@ 2 1
0 2
1A ;
0BBB@2 0 0
0 2 1
0 0 2
1CCCA ;
0BBBBBB@2 0 0 0
0 3 0 0
0 0 4 1
0 0 0 4
1CCCCCCAmatrisleri kösegenlestirilemeyen türden matrislerdir.
Tan¬m 3.2.3. k � k tipinde bir A matrisi kösegenlestirilebilir de¼gilse, o zaman A
matrisine bir Jordan formuna benzerdir denir; yani P�1AP = J dir; burada
J = diag(J1; J2; :::; Jr); 1 6 r 6 k; (3.2.23)
55
ve
Ji =
0BBBBBBBBB@
�i 1 0 � � � 0 0
0 �i 1 � � � 0 0...
...... � � � ...
...
0 0 0 � � � �i 1
0 0 0 � � � 0 �i
1CCCCCCCCCA: (3.2.24)
Bu Ji matrisine de bir Jordan bloku denir.
Teorem 3.2.3 (Jordan Kanonik Formu). k � k tipinde her A matrisi (3.2.23)
ile verilen bir Jordan formuna benzerdir; buradarPi=1
si = k olmak üzere her bir Ji ,
si � si; (3.2.24) biçiminde bir matristir.
Tan¬m 3.2.4. Bir � özde¼gerine kars¬l¬k gelen Jordan bloklar¬n¬n say¬s¬na � n¬n
geometrik katl{l{�g{ denir. Bu say¬� ya kars¬l¬k gelen lineer ba¼g¬ms¬z özvektörlerin
say¬s¬na esittir. Bir � özde¼gerinin tekrarlanma say¬s¬na � n¬n cebirsel katl{l{�g{ denir.
� n¬n cebirsel katl¬l¬¼g¬1 (yani, � tekrar etmiyor) ise, � ya basit �ozde�ger denir. � n¬n
geometrik katl¬l¬¼g¬cebirsel katl¬l¬¼g¬na esit (yani, sadece 1� 1 tipinde Jordan bloklar¬
� ya kars¬l¬k geliyor) ise, o zaman � ya yar{ basit �ozde�ger ad¬verilir. Örne¼gin
0BBBBBBBBB@
3 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 5 1
0 0 0 0 5
1CCCCCCCCCAmatrisi için 3 say¬s¬basit bir özde¼ger, 2 say¬s¬yar¬basit bir özde¼ger ve 5 say¬s¬ne
basit ne de yar¬basit bir özde¼gerdir.
Jordan kanonik formunu aç¬klamak üzere asa¼g¬daki örne¼gi verelim.
Örnek 3.2.4. 3� 3 tipinde bir A matrisinin � = 5 özde¼geri 3 katl¬olsun. Böyle bir
56
matris için olas¬Jordan formlar¬
B =
0BBB@5 0 0
0 5 0
0 0 5
1CCCA ; C =
0BBBBB@5 1
0 5
0
0
0 0 5
1CCCCCA ;
D =
0BBBBB@5 0 0
0
0
5 1
0 5
1CCCCCA ; E =
0BBBB@5 1 0
0 5 1
0 0 5
1CCCCAdir; burada kareler farkl¬Jordan bloklar¬n¬göstermektedir. Ayr¬ca, hat¬rlatal¬m ki
si; i yinci Jordan blokunun basama¼g¬ve r bir Jordan formundaki Jordan bloklar¬n¬n
say¬s¬d¬r.
B matrisi bir kösegen matris olup hepsi 1�1 tipinde 3 tane Jordan blokuna sahiptir.
Böylece s1 = s2 = s3 = 1; r = 3 ve � = 5 in geometrik katl¬l¬¼g¬3 dür.
C matrisinin 2 tane Jordan bloku vard¬r. Yani r = 2 dir. Bunlar¬n basamaklar¬,
s¬rasiyle, s1 = 2; s2 = 1 dir. � = 5 in geometrik katl¬l¬¼g¬2 dir.
D matrisi için r = 2 , s1 = 1; s2 = 2 ve � = 5 in geometrik katl¬l¬¼g¬2 dir.
E matrisinin kendisi bir Jordan blokudur. Dolay¬s¬yla r = 1; s1 = 3 ve � = 5 in
geometrik katl¬l¬¼g¬1 dir.
Böylece olas¬B;C;D ve E Jordan formlar¬n¬n � = 5 özde¼gerine kars¬l¬k gelen lineer
ba¼g¬ms¬z özvektörleri, s¬rasiyle,8>>><>>>:0BBB@1
0
0
1CCCA ;
0BBB@0
1
0
1CCCA ;
0BBB@0
0
1
1CCCA9>>>=>>>; ;
8>>><>>>:0BBB@1
0
0
1CCCA ;
0BBB@0
0
1
1CCCA9>>>=>>>; ;
8>>><>>>:0BBB@1
0
0
1CCCA ;
0BBB@0
1
0
1CCCA9>>>=>>>; ve
8>>><>>>:0BBB@1
0
0
1CCCA9>>>=>>>;
dir.
57
Uyar¬3.2.4. 0BBBBBBBBB@
� 1 0 � � � 0 0
0 � 1 � � � 0 0......... � � � ...
...
0 0 0 � � � � 1
0 0 0 � � � 0 �
1CCCCCCCCCA(3.2.25)
seklinde bir matris sadece e1 = (1; 0; :::; 0)T özvektörüne sahiptir. Buradan ve Örnek
3.2.4 den, (3.2.23) ile verilen J Jordan formunun lineer ba¼g¬ms¬z özvektörleri
e1; e1+s1 ; e1+s1+s2 ; :::; e1+s1+s2+:::+sr�1
dir.
An nin hesab¬:
Kösegenlestirilemeyen k � k tipinde A matrisi için Teorem 3.2.3 den,
P�1AP = J (3.2.26)
ve dolay¬siyle
An =�PAP�1
�n= PJnP�1 (3.2.27)
olur; burada
Jn =
0BBBBBBBBB@
Jn1 0 � � � 0 0
0 Jn2 � � � 0 0...
... � � � ......
0 0 � � � Jnk�1 0
0 0 � � � 0 Jnk
1CCCCCCCCCAk�k
dir.
Simdi P matrisini olusturmak için (3.2.26) denklemini
AP = PJ (3.2.28)
58
biçiminde yazal¬m.
P = (�1; �2; :::; �k) olsun. (3.2.28) denkleminde her iki yan¬n ilk s1 kolonlar¬esitlenirse,
A�1 = �1�1; :::; A�i = �1�i + �i�1; i = 2; 3; :::; s1 (3.2.29)
bulunur. Aç¬k olarak A n¬n �1; �2; :::; �s1 Jordan zinciri içindeki tek özvektörü �1
dir. Di¼ger �2; �3; :::; �s1 vektörleri A n¬n genellestirilmis �ozvekt�orleri ad¬n¬al¬rlar
ve (3.2.29) formülünden veya
(A� �1I)�i = �i�1; i = 2; 3; :::; s1 (3.2.30)
seklinde hesaplan¬rlar.
Bu isleme geri kalan Jordan bloklar¬ için devam edilirse, m yinci Jordan blokuna
kars¬l¬k gelen genellestirilmis özvektörler için
(A� �mI)�mi= �mi�1 ; i = 2; 3; :::; sm (3.2.31)
formülü bulunur. Böylece P matrisi elde edilmis olur.
Öte yandan, herhangi bir Ji Jordan bloku
Ji = �iI +Ni; i = 1; 2; :::; r
biçiminde yaz¬labilir; burada Ni
Ni =
0BBBBBBBBB@
0 1 0 ::: 0
0 0 1 ::: 0...
......
......
0 0 0 ::: 1
0 0 0 ::: 0
1CCCCCCCCCAsi�si
seklinde si � si tipinde bir nilpotent matristir (yani, her k > si için Nki = 0):
59
Buradan
Jin = (�iI +Ni)
n
= �ni I +
�n
1
��n�1i Ni +
�n
2
��n�2i N2
i + :::+
�n
si � 1
��n�si+1i N si�1
i
=
0BBBBBBBBB@
�ni�n1
��n�1i
�n2
��n�2i � � �
�n
si�2��n�si+2i
�n
si�1��n�si+1i
0 �ni�n1
��n�1i � � �
�n
si�3��n�si+3i
�n
si�2��n�si+2i
......
... � � � ......
0 0 0 � � � �ni�n1
��n�1i
0 0 0 � � � 0 �ni
1CCCCCCCCCA(3.2.32)
dir. Bu tip matrislerde kösegen elemanlar¬n¬n özdes olduklar¬görülmektedir.
Böylece (3.2.1) sisteminin genel çözümü
x(n) = Anc = PJnP�1c
ya da
x(n) = PJnc; c = P�1c;
seklinde yaz¬labilir. Buradan veya (3.2.27) den, (3.2.1) in di¼ger bir temel matrisi
�(n) = AnP
veya
�(n) = PJn
dir. Ayr¬ca, bu durumda �(n; n0) konum geçis matrisi
�(n; n0) = PJn�n0P�1
biçiminde verilebilir.
(3.2.32) formülünden asa¼g¬daki sonuç hemen elde edilir.
60
Sonuç 3.2.1. A; k � k tipinde bir matris olmak üzere limn!1An = 0 olmas¬için
gerek ve yeter kosul, A n¬n bütün � özde¼gerleri için j�j < 1 olmas¬d¬r.
Bu sonucun önemi sudur: limn!1An = 0 oldu¼gu zaman
limn!1 x(n) = limn!1Anx(0) = 0 olur. Buradan A n¬n bütün özde¼gerleri için
j�j < 1 oldu¼gu zaman (3.2.1) in bütün x(n) çözümleri n!1 halinde s¬f¬ra yaklas¬r.
Örnek 3.2.5.
x(n+ 1) = Ax(n)
sisteminin genel çözümünü bulal¬m; burada
A =
0BBB@4 1 2
0 2 �4
0 1 6
1CCCA :
A n¬n özde¼gerleri �1 = �2 = �3 = 4 tür. Özvektörleri bulmak için
(A� 4I)� = 0
denklemi çözülür. Buradan0BBB@0 1 2
0 �2 �4
0 1 2
1CCCA0BBB@
d1
d2
d3
1CCCA =
0BBB@0
0
0
1CCCAveya
d2 + 2d3 = 0;
�2d2 � 4d3 = 0;
d2 + 2d3 = 0
61
bulunur. Bu denklemler esas itibariyle d2+2d3 = 0 denklemini ifade ederler. Buradan
�1 =
0BBB@0
�2
1
1CCCA ; �2 =
0BBB@1
�2
1
1CCCAözvektörleri elde edilir.
Simdi genellestirilmis �3 özvektörünü bulmak için (3.2.30) dan,
(A� 4I)�3 = �1;
yani 0BBB@0 1 2
0 �2 �4
0 1 2
1CCCA0BBB@
a1
a2
a3
1CCCA =
0BBB@0
�2
1
1CCCAsistemi gözönüne al¬n¬r. Bu sistem ar¬zal¬bir sistem oldu¼gundan hiç bir çözüme sahip
de¼gildir. Bu defa
(A� 4I)�3 = �2
yani 0BBB@0 1 2
0 �2 �4
0 1 2
1CCCA0BBB@
a1
a2
a3
1CCCA =
0BBB@1
�2
1
1CCCAsistemi gözönüne al¬n¬r. Buradan a2+2a3 = 1 denklemi bulunur ve bunun bir çözümü
�3 =
0BBB@0
�1
1
1CCCA :
Böylece
P =
0BBB@0 1 0
�2 �2 �1
1 1 1
1CCCA
62
ç¬kar. Buradan
J =
0BBB@4 0 0
0 4 1
0 0 4
1CCCA ve Jn =
0BBB@4n 0 0
0 4n n4n�1
0 0 4n
1CCCAolup
x(n) = PJnc =
0BBB@0 4n n4n�1
�2(4)n �2(4)n �2n4n�1 � 4n
�4n 4n n4n�1 + 4n
1CCCA0BBB@
c1
c2
c3
1CCCA :
Örnek 3.2.6.
x(n+ 1) = Ax(n); x(0) =
0BBB@1
1
1
1CCCAproblemini ele alal¬m; burada
A =
0BBB@32
12
12
12
52�12
0 1 2
1CCCA :
A n¬n özde¼gerleri �1 = �2 = �3 = 2 dir. Bu durumda bir tek
�1 =
0BBB@1
0
1
1CCCAözvektörü vard¬r.
Simdi (3.2.30) dan, di¼ger iki genellestirilmis özvektörü bulal¬m:
(A� 2I)�2 = �1 den, �2 =
0BBB@1
1
2
1CCCA
63
ve
(A� 2I)�3 = �2 den, �3 =
0BBB@1
2
1
1CCCA :
Buradan
P =
0BBB@1 1 1
0 1 2
1 2 1
1CCCAolup
J =
0BBB@2 1 0
0 2 1
0 0 2
1CCCA ; Jn =
0BBB@2n n2n�1 n(n�1)
22n�2
0 2n n2n�1
0 0 2n
1CCCAbulunur.
Böylece verilen problemin çözümü
x(n; 0; x0) = PJnP�1x0
= 2n�4
0BBB@n2 � 5n+ 16 n2 + 3n �n2 + 5n
4n 4n+ 16 �4n
n2 � n n2 + 7n �n2 + n+ 16
1CCCA0BBB@1
1
1
1CCCA
= 2n�4
0BBB@n2 + 3n+ 16
4n+ 16
n2 + 7n+ 16
1CCCAdir.
64
3.3 Lineer Periyodik Sistemler
Bu kesimde lineer periyodik
x(n+ 1) = A(n)x(n) (3.3.1)
sistemi ele al¬nmaktad¬r; burada her n 2 Z ve bir pozitif N tamsay¬s¬için
A(n+N) = A(n) dir.
Bu tür bir sistemin incelenmesi diferensiyel denklemlerdeki Floquet teorisine ben-
zerdir. Bunu göstermek için önce asa¼g¬daki lemmalar¬verelim (Lakshmikantham ve
Trigiante 1988).
Lemma 3.3.1. B; k � k tipinde singüler olmayan bir matris ve m de pozitif bir
tamsay¬olsun. Bu durumda
Cm = B
olacak biçimde k � k tipinde bir C matrisi mevcuttur.
Lemma 3.3.2. (3:3:1) sisteminin bir temel matrisi �(n) ise, bu durumda asa¼g¬daki
ifadeler gerçeklenir:
(i) �(n+N) de bir temel matristir;
(ii) �(n+N) = �(n)C dir; burada C singüler olmayan bir matristir;
(iii) �(n+N;N) = �(n; 0) d¬r.
·Ispat.
(i) �(n); (3:3:1) in bir temel matrisi olsun. Bu durumda
�(n+ 1) = A(n)�(n):
Buradan
�(n+N + 1) = A(n+N)�(n+N)
= A(n)�(n+N):
65
Dolay¬siyle �(n + N) bir çözüm matrisidir. Ayr¬ca, det�(n + N) 6= 0 oldu¼gundan,
�(n+N) bir temel matristir.
(ii) Sonuç 3.1.2 den ç¬kar.
(iii) �(n+N;N) =n+N�1Qi=N
A(i)
= A(n+N � 1)A(n+N � 2):::A(N)
= A(n� 1)A(n� 2):::A(0)
=n�1Qi=0
A(i)
= �(n; 0):
Teorem 3.3.1 (Floquet Teoremi). (3:3:1) sisteminin her �(n) temel matrisi için
�(n) = P (n)Bn (3.3.2)
olacak biçimde singüler olmayan N -periyotlu periyodik bir P (n) matrisi ve yine
singüler olmayan bir sabit B matrisi vard¬r.
·Ispat. Lemma (3.3.1) den, singüler olmayan C matrisi için BN = C olacak biçimde
bir B matrisi vard¬r; burada C; Lemma 3.3.2 (ii) deki C dir. P (n) = �(n)B�n
tan¬mlans¬n; burada B�n = (Bn)�1 dir. Buradan ve Lemma 3.3.2 (ii) den,
P (n+N) = �(n+N)B�N�n
= �(n)CB�NB�n
= �(n)B�n
= P (n)
olur. Böylece P (n); N -periyotlu periyodik bir matris olup singüler de¼gildir. P (n)
nin tan¬m¬ndan (3:3:2) elde edilir.
66
Uyar¬3.3.1. z(n);
z(n+ 1) = Bz(n) (3.3.3)
sisteminin bir çözümü ise, bu durumda
x(n) = �(n)c = P (n)Bnc
veya
x(n) = P (n)z(n): (3.3.4)
Buna göre (3:3:1) periyodik sisteminin kalitatif incelenmesi, (3:3:3) otonom sistemi-
nin incelenmesine indirgenmis bulunuyor.
Tan¬m 3.3.1. C = BN matrisine (3:3:1) sisteminin bir monodromi matrisi denir.
B nin � özde¼gerleri (3:3:1) in Floquet �usleri ve kars¬l¬k gelen BN nin �N özde¼gerleri
(3:3:1) in Floquet çarpanlar{ olarak adland¬r¬l¬r.
Lemma 3.3.3. �(n) ve (n); (3:3:1) sisteminin
�(n+N) = �(n)C; (3.3.5)
(n+N) = (n)E (3.3.6)
olacak biçimde iki temel matrisi ise, bu durumda C ve E benzerdir.
Bu lemmaya göre (3.3.1) sisteminin Floquet üsleri veya çarpanlar¬seçilen monodromi
matrisine ba¼gl¬de¼gildir.
Teorem 3.3.2. Bir kompleks � say¬s¬n¬n (3:3:1) in bir Floquet üssü olmas¬ için
gerek ve yeter kosul (3:3:1) sisteminin �nq(n) formunda asikar olmayan bir çözüme
sahip olmas¬d¬r; burada q(n) her n için q(n +N) = q(n) sart¬n¬sa¼glayan bir vektör
fonksiyonudur.
·Ispat. Önce � n¬n (3:3:1) in bir Floquet üssü oldu¼gunu kabul edelim. Buna göre
67
det(Bn � �nI) = 0 d¬r. Simdi her n için
(Bn � �nI)x0 = 0
olacak biçimde bir x0 2 Rk; x0 6= 0; vektörünü seçelim. Buradan
Bnx0 = �nx0
ve dolay¬siyle
P (n)Bnx0 = �nP (n)x0
yaz¬labilir; burada P (n), (3.3.2) formülünde tan¬mlanan bir periyodik matristir.
Böylece
x(n; n0; x0) = �(n; n0)x0 = P (n)Bnx0 = �nP (n)x0 = �nq(n)
çözümü bulunur; burada q(n) = P (n)x0 olup q(n+N) = q(n) dir.
Tersine olarak �nq(n), q(n + N) = q(n) 6= 0; (3.3.1) in bir çözümü olsun. Teorem
(3.3.1) nedeniyle s¬f¬r olmayan bir x0 vektörü için
�nq(n) = P (n)Bnx0 (3.3.7)
yaz¬labilir. Buradan
�n+Nq(n) = P (n)Bn+Nx0: (3.3.8)
(3:3:7) den,
�n+Nq(n) = �NP (n)Bnx0 (3.3.9)
olur. (3:3:8) ve (3:3:9) un sa¼g tara�ar¬n¬esitlersek,
P (n)Bn(BN � �NI)x0 = 0
ve dolay¬siyle
det(BN � �NI) = 0
bulunur. Bu da bize � n¬n (3:3:1) için bir Floquet üssü oldu¼gunu gösterir.
68
Teorem 3.3.3. (3.3.1) Floquet sistemi için bir Floquet çarpan¬� olsun. Bu durumda
(3.3.1) sisteminin her n 2 Z için
x(n+N) = � x(n)
olacak sekilde belirgin olmayan bir x(n) çözümü vard¬r.
·Ispat. (3.3.1) in bir Floquet çarpan¬� olsun. Bu durumda �; C = BN matrisinin
bir özde¼geridir. x0; C nin bu � özde¼gerine kars¬l¬k gelen bir özvektörü olsun. Bu
durumda (3.3.1) in belirgin olmayan bir çözümü
x(n) = �(n)x0
seklindedir; burada �(n), (3.3.1) in bir temel matrisidir. Buradan ve Floquet Teo-
reminden her n 2 Z için
x(n+N) = �(n+N)x0
= �(n)C x0
= �(n)� x0
= � x(n)
elde edilir.
Sonuç 3.3.1. Asa¼g¬daki ifadeler gerçeklenir:
(i) (3:3:1) sisteminin N -periyotlu periyodik bir çözüme sahip olmas¬ için gerek ve
yeter kosul bir Floquet çarpan¬n¬n 1 olmas¬d¬r.
(ii) (3:3:1) sisteminin 2N -periyotlu periyodik bir çözüme sahip olmas¬için gerek ve
yeter kosul bir Floquet çarpan¬n¬n -1 olmas¬d¬r.
Uyar¬3.3.2. Lemma (3.3.2) (ii) den, C = BN monodromi matrisi
C = ��1(n)�(n+N)
69
veya n = 0 için
C = ��1(0)�(N) (3.3.10)
biçiminde bulunur. �(N) = A(N � 1)A(N � 2):::A(0) seklinde al¬n¬rsa, �(0) = I
olur. Buradan (3:3:10) formülü
C = �(N)
veya
C = A(N � 1)A(N � 2):::A(0) (3.3.11)
halini al¬r.
Örnek 3.3.1.
x(n+ 1) = A(n)x(n)
sistemini ele alal¬m; burada
A(n) =
0@ 0 (�1)n
(�1)n 0
1A :
Aç¬k olarak her n 2 Z için A(n+ 2) = A(n) dir. Buradan N = 2 olup (3.3.11) den,
B2 = C = A(1)A(0) =
0@ �1 0
0 �1
1A :
Dolay¬siyle Floquet çarpanlar¬�1;�1 dir. O halde Sonuç 3.3.1 e göre verilen sistem
4-periyotlu periyodik bir çözüme sahiptir.
Örnek 3.3.2.
x(n+ 1) = A(n)x(n)
sistemini gözönüne alal¬m; burada
70
A(n) =
0BBBBBB@0
2 + (�1)n
2
2� (�1)n
20
1CCCCCCA :
Bu sistem 2-periyotludur. Ancak bu defa
B2 = C = A(1)A(0) =
0@ 140
0 94
1Aolup karakteristik çarpanlar 1
4ve 9
4dür. Buradan verilen sistemin periyodik çözümleri
yoktur.
Teorem 3.3.4 (Agarwal 2000). (3.3.1) homogen sistemi N -periyotlu periyodik bir
sistem ve �(n) bu sistemin bir temel matrisi olsun. Bu durumda (3.3.1) sisteminin
asikar olmayan N -periyotlu periyodik bir x(n) çözüme sahip olmas¬ için gerek ve
yeter kosul
det(�(0)� �(N)) = 0
d¬r.
Sonuç 3.3.2. A(n) = A sabit bir matris olsun. Bu durumda (3.3.1) sisteminin
asikar olmayan periyodik bir çözüme sahip olmas¬için gerek ve yeter kosul
det(I � AN) = 0
d¬r.
Simdi lineer homogen olmayan periyodik
x(n+ 1) = A(n)x(n) + g(n) (3.3.12)
71
sistemini ele alal¬m; burada her n 2 Z ve pozitif bir N tamsay¬s¬için
A(n+N) = A(n) ve g(n+N) = g(n): (3.3.13)
Teorem 3.3.5. (3.3.12) sistemi N üzerinde N - periyotlu periyodik bir sistem olsun.
Bu durumda (3.3.12) nin N - periyotlu bir periyodik x(n) çözümüne sahip olmas¬için
gerek ve yeter kosul x(0) = x(N) dir.
Teorem 3.3.6. (3.3.12) sistemiN -periyotlu periyodik bir sistem olsun. Bu durumda
(3.3.12) nin N periyotlu bir tek periyodik çözüme sahip olmas¬için gerek ve yeter
kosul (3.3.1) homogen sisteminin asikar çözüm d¬s¬nda periyodik bir çözüme sahip
olmamas¬d¬r.
72
4. L·INEER OLMAYAN SKALER FARK DENKLEMLER·I
Bu bölümde baz¬lineer olmayan skaler fark denklemlerinin çözümleri hesaplanmak-
tad¬r.
4.1 Otonom Denklemler
f : R!R olmak üzere
x(n+ 1) = f(x(n)); n > n0 (4.1.1)
denklemini ele alal¬m. Böyle bir denklem otonom denklem ad¬n¬al¬r.
(4:1:1) denkleminin
x(n0) = x0 (4.1.2)
kosulunu sa¼glayan çözümü
x(n) = fn�n0(x0); n > n0
d¬r; burada
f 0(x0) = x0; f1(x0) = f(x0); f
2(x0) = f(f(x0)); f3(x0) = f(f(f(x0))); :::
d¬r.
Örnek 4.1.1.
x(n+ 1) =px(n); x(0) = x0
problemini ele alal¬m. Denklemde s¬ras¬yla n = 0; 1; 2; ::: al¬n¬rsa,
x(1) =px(0) =
px0;
x(2) =px(1) =
qpx0;
x(3) =px(2) =
rqpx0
73
olur. Buradan problemin çözümü
x(n) = x1=2n
0
dir.
4.2 Otonom Olmayan Denklemler
Bu kesimde otonom olmayan
x(n+ 1) = g(n; x(n))
denkleminin baz¬özel durumlar¬gözönüne al¬nmaktad¬r; burada g : N� R!R dir.
Riccati Türü Denklemler:
x (n+ 1) x (n) + p (n)x (n+ 1) + q (n)x (n) = 0 (4.2.1)
denklemi Riccati t�ur�u denklem olarak bilinir. Bu denklemi çözmek için
z (n) =1
x (n)
konumu yap¬l¬r. Buradan
1
z (n+ 1)
1
z(n)+ p(n)
1
z(n+ 1)+ q(n)
1
z(n)= 0
veya
q(n)z(n+ 1) + p(n)z(n) + 1 = 0
elde edilir. Bu ise 1: basamaktan bir lineer denklemdir.
Ayr¬ca, homogen olmayan Riccati t�ur�u
x(n+ 1)x(n) + p(n)x(n+ 1) + q(n)x(n) = g(n) (4.2.2)
74
denklemi için
x(n) =z(n+ 1)
z(n)� p(n)
dönüsümü uygulan¬r. Bu durumda
�z(n+ 2)
z(n+ 1)� p(n+ 1)
��z(n+ 1)
z(n)� p(n)
�+ p(n)
�z(n+ 2)
z(n+ 1)� p(n+ 1)
�+
q(n)
�z(n+ 1)
z(n)� p(n)
�� g(n) = 0
veya düzenleme yap¬l¬rsa,
z(n+ 2) + [q(n)� p(n+ 1)] z(n+ 1)� [g(n) + q(n)p(n)] z(n) = 0
lineer denklemi elde edilir.
Örnek 4.2.1.
x(n+ 1)x(n) + 4x(n+ 1) + 4x(n) = 0 (4.2.3)
denklemi verilsin.
Bu denkleme
x(n) =1
z(n)
dönüsümü uygulan¬rsa,
4z(n+ 1) + 4z(n) + 1 = 0 (4.2.4)
lineer fark denklemi bulunur. Bu denklemin genel çözümü
z(n) = c1(�1)n �1
8
dir; burada c1 key� sabittir. Buradan verilen denklemin genel çözümü
x(n) =1
z(n)=
1
c1(�1)n � 18
biçiminde bulunur.
75
Örnek 4.2.2. Homogen olmayan
x(n+ 1)x(n) + 3x(n+ 1) + 5x(n) = �16 (4.2.5)
Riccati türü denklemini ele alal¬m. Bu denkleme
x(n) =z(n+ 1)
z(n)� 3
dönüsümü uygulan¬rsa,
z(n+ 2) + 2z(n+ 1) + z(n) = 0 (4.2.6)
elde edilir. (4.2.6) denkleminin genel çözümü
z(n) = (c1 + c2n) (�1)n
dir; burada c1; c2 key� sabitlerdir.
Buradan verilen denklemin genel çözümü
x(n) = �4c+ 4n+ 1c+ n
olur; burada c key� sabittir.
Genel Riccati Türü Denklemler:
n > n0 için c(n) 6= 0 ve a(n)d(n)� b(n)c(n) 6= 0 olmak üzere
x(n+ 1) =a(n)x(n) + b(n)
c(n)x(n) + d(n)(4.2.7)
denklemi Genel Riccati t�ur�u bir denklem olarak bilinir. Bu denklemi bir lineer
denkleme götüren dönüsüm
c(n)x(n) + d(n) =y(n+ 1)
y(n)
76
veya
x(n) =y(n+ 1)
y(n)c(n)� d(n)
c(n)
dir. Buna göre (4.2.7) den,
y(n+ 2)
c(n+ 1)y(n+ 1)� d(n+ 1)
c(n+ 1)=a(n)
�y(n+1)c(n)y(n)
� d(n)c(n)
�+ b(n)
c(n)�y(n+1)c(n)y(n)
� d(n)c(n)
�+ d(n)
ve düzenlenirse,
y(n+ 2) + p1(n)y(n+ 1) + p2(n)y(n) = 0;
y(n0) = 1; y(n0 + 1) = c(n0)x(n0) + d(n0)
elde edilir; burada
p1(n) = �d(n+ 1)�a(n)c(n+ 1)
c(n)
ve
p2(n) =a(n)d(n)c(n+ 1)
c(n)� b(n)c(n+ 1):
Örnek 4.2.3.
x(n+ 1) =2x(n) + 3
3x(n) + 2(4.2.8)
denklemi genel Riccati türünden bir denklemdir; burada a(n) = 2; b(n) = 3;
c(n) = 3; d(n) = 2 olup a(n)d(n)� b(n)c(n) 6= 0 d¬r. O halde
3x(n) + 2 =y(n+ 1)
y(n)(4.2.9)
dönüsümü uygulan¬r ve
y(n+ 2)� 4y(n+ 1)� 5y(n) = 0;
y(0) = 1; y(1) = 3x(0) + 2(4.2.10)
lineer denklemi elde edilir. (4.2.10) un genel çözümü
y(n) = c1(5)n + c2(�1)n (4.2.11)
77
olur. (4.2.9) dan, verilen denklemin genel çözümü
x(n) =1
3
c1(5)n+1 + c2(�1)n+1
c1(5)n + c2(�1)n� 23
veya
x(n) =5n � c(�1)n5n + c(�1)n
seklinde bulunur; burada c = c2c1.
Homogen Denklemler:
f
�x(n+ 1)
x(n)
�= 0 (4.2.12)
denklemi homogen fark denklemi olarak bilinir. Bunun için
z(n) =x(n+ 1)
x(n)
dönüsümü uygulan¬r.
Örnek 4.2.4. Homogen denklem türünde bir
x2(n+ 1)� 3x(n+ 1)x(n) + 2x2(n) = 0 (4.2.13)
fark denklemini ele alal¬m. Bu denklem
�x(n+ 1)
x(n)
�2� 3x(n+ 1)
x(n)+ 2 = 0 (4.2.14)
seklinde yaz¬labilir ve simdi
z(n) =x(n+ 1)
x(n)(4.2.15)
dönüsümü uygulan¬rsa,
z2(n)� 3z(n) + 2 = 0
veya
(z(n)� 2)(z(n)� 1) = 0 (4.2.16)
78
bulunur. (4.2.16) denkleminin
z(n) = 2 veya z(n) = 1
seklinde iki çözümü vard¬r. Bunlar için (4.2.15) den, s¬rasiyle,
x(n+ 1) = 2x(n) ; x(n+ 1) = x(n)
fark denklemleri ortaya ç¬kar. Bunlar¬n çözümleri de, s¬rasiyle,
x(n) = 2nc ve x(n) = c
dir.
Logaritmik Dönüsüm Gerektiren Denklemler:
Her n > n0 için g(n) > 0 olmak üzere
(x(n+ k))r1 (x(n+ k � 1))r2 ::: (x(n))rk+1 = g(n) (4.2.17)
denklemini ele alal¬m. Bu denklem için
z(n) = lnx(n) (4.2.18)
dönüsümü uygulan¬rsa, sabit katsay¬l¬lineer homogen olmayan
r1z(n+ k) + r2z(n+ k � 1) + :::+ rk+1z(n) = ln g(n) (4.2.19)
denklemi bulunur.
Örnek 4.2.5.
x(n+ 2) =x2(n+ 1)
x2(n)(4.2.20)
79
denklemi verilsin. Bu denklem
x(n+ 2)x�2(n+ 1)x2(n) = 1 (4.2.21)
seklinde yaz¬labildi¼gi için (4.2.17) biçimindedir. Dolay¬siyle
z(n) = lnx(n)
dönüsümü (4.2.21) e uygulan¬r ve
z(n+ 2)� 2z(n+ 1) + 2z(n) = 0
lineer denklemi bulunur. Bu denklemin karakteristik kökleri �1 = 1 + i; �2 = 1 � i
olup genel çözümü
z(n) = (2)n2
hc1 cosn
�
4+ c2 sinn
�
4
idir. Böylece verilen lineer olmayan denklemin genel çözümü
x(n) = exph(2)
n2
�c1 cosn
�
4+ c2 sinn
�
4
�ibiçiminde bulunur.
80
5. KARARLILIK TEOR·IS·I
5.1 Giris
Bu bölümde 1: basamaktan k boyutlu fark denklem sistemleri için kararl¬l¬k özelikleri
incelenecektir. Uyar¬3.1.4 de gösterildi¼gi gibi, bu inceleme her basamaktan skaler
fark denklemlerini kapsayacak niteliktedir.
Pratikte kars¬las¬lan problemler genellikle lineer de¼gildir ve pek ço¼gu da çözülemezdir.
Bu yüzden çözümleri bulmadan onlar¬n davran¬slar¬ hakk¬nda bilgi sahibi olmak
önem tas¬r.
Bu tür çal¬smalar¬n bas¬nda kararl¬l¬k konusu yer al¬r. Zira, do¼gadaki bir olay¬karak-
terize ederken kurulan matematiksel modelin güvenilirli¼gi, ancak onun kararl¬olup
olmamas¬test edilerek anlas¬labilir.
Böylece, bilim adamlar¬, mühendis ve uygulamal¬matematikçilerin hakl¬olarak il-
gisini çeken bu konuda, hat¬r¬say¬l¬r bir teori ortaya ç¬km¬st¬r. Belirtelim ki kararl¬l¬k
teorisi, ço¼gunlukla Lyapunov�un diferensiyel metod ve tekniklerinin fark denklemler-
ine uyarlanmasiyle elde edilmistir.
5.2 Vektör Fark Denklemleri
Bu kesimde k boyutlu
x(n+ 1) = f(n; x(n)); x(n0) = x0 (5.2.1)
vektör fark denklemi ele al¬nmaktad¬r; burada x(n) 2 Rk ve f : Z+ � Rk ! Rk
olmak üzere f(n; x) fonksiyonu x e göre süreklidir. Denklemin ikinci yan¬nda n
de¼giskeni aç¬k olarak gözükmüyor, yani f(n; x(n)) � f(x(n)) ise, (5.2.1) denklemi
otonom denklem ad¬n¬al¬r.
Her n 2 Z ve pozitif bir N tamsay¬s¬için
f(n+N; x) = f(n; x)
ise, f(n; x) fonksiyonuna periyodiktir denir.
81
Her n > n0 için
f(n; x�) = x�
esitli¼gini sa¼glayan x� 2 Rk noktas¬na (5.2.1) denkleminin bir denge noktas{ veya
sabit ç�oz�um�u denir. Özel olarak, x� = 0 denge noktas¬s{f{r ç�oz�um�u ad¬n¬al¬r; yani
x(n) = 0 d¬r. x� 6= 0 ise, daima
y(n) = x(n)� x�
dönüsümü yard¬miyle, (5.2.1) denklemi
y(n+ 1) = f(n; y(n) + x�)� x� � g(n; y(n)) (5.2.2)
denklemine indirgenir ki bu denklem y(n) = 0 çözümüne sahiptir, yani (5.2.1) in
s¬f¬rdan farkl¬x = x� sabit çözümü (5.2.2) nin s¬f¬r çözümüne kars¬l¬k gelir. Bundan
dolay¬ baz¬ kaynaklarda genelli¼gi bozmad¬¼g¬ için s¬f¬rdan farkl¬ bir denge noktas¬
yerine orijin noktas¬ele al¬nmaktad¬r.
Kararl¬l¬k incelemesinden önce çözümlerin varl¬k ve tekli¼gi mutlaka garanti edilme-
lidir. Diferensiyel denklemlerde sorun teskil eden bu durum, fark denklemlerinde
kolayl¬kla as¬lmaktad¬r. f in süreklili¼ginden dolay¬(5.2.1) in çözümlerinin varl¬k ve
tekli¼gi n > n0 için Bölüm 3 teki lineer sistemlerin ispat¬na benzer olarak yap¬labilir.
x(n; n0; x0); (5.2.1) in x(n0) = x0 kosulunu sa¼glayan çözümü olsun. Simdi (5.2.1) in
bir x� denge noktas¬n¬n kararl¬l¬k tan¬mlar¬n¬verelim (Ortega, 1973).
Tan¬m 5.2.1. Verilen bir " > 0 ve n0 > 0 için
kx0 � x�k < �
oldu¼gu zaman n > n0 üzerinde
kx(n; n0; x0)� x�k < "
olacak sekilde bir � = �("; n0) > 0 say¬s¬varsa, x� denge noktas¬na kararl{d{r denir.
� = �(") ise, x� sabit çözümüne d�uzg�un kararl{d{r denir.
82
Tan¬m 5.2.2. Kararl¬olmayan bir x� denge noktas¬na karars{zd{r denir.
Tan¬m 5.2.3. kx0 � x�k < � oldu¼gu zaman
limn!1
x(n; n0; x0) = x�
olacak sekilde bir � = �(n0) varsa, x� denge noktas¬na atraktiftir denir. E¼ger �, n0
dan ba¼g¬ms¬z ise, o zaman x� d�uzg�un atraktif ad¬n¬al¬r.
Baska bir ifadeyle, her " > 0 ve her n0 > 0 için
kx0 � x�k < �
oldu¼gu zaman n > n0 +N üzerinde
kx(n; n0; x0)� x�k < "
olacak sekilde � > 0 ve N = N(") > 0 say¬lar¬ varsa, o zaman x� a d�uzg�un
atraktiftir denir.
Tan¬m 5.2.4. Kararl¬ ve atraktif olan bir denge noktas¬na asimtotik kararl{d{r
denir.
Düzgün kararl¬ve düzgün attraktif olan bir denge noktas¬na da d�uzg�un asimtotik
kararl{d{r denir.
Tan¬m 5.2.5. x� denge noktas¬na,
kx0 � x�k < �
halinde
kx(n; n0; x0)� x�k �M kx0 � x�k �n�n0
sa¼glanacak sekilde � > 0, M > 0 ve � 2 (0; 1) say¬lar¬varsa, �ustel kararl{d{r denir.
83
Tan¬m 5.2.6. Bir x(n; n0; x0) çözümüne, her n > n0 için
kx(n; n0; x0)k �M
olacak sekilde pozitif bir M sabiti varsa, s{n{rl{d{r denir.
Tan¬m 5.2.7. Tan¬m 5.2.3 ve 5.2.4 deki � =1 ya da Tan¬m 5.2.5 deki � =1 ise,
o zaman kars¬l¬k gelen kararl¬l¬klar globaldir.
Bu tan¬mlardan, baz¬kararl¬l¬k durumlar¬n¬n aç¬k olarak di¼gerlerinden bir ya da daha
fazlas¬n¬ ihtiva etti¼gi görülmektedir. Bunlar aras¬ndaki hiyerarsik düzen asa¼g¬daki
diyagramda sergilenmistir.
Sekil 5.1 Hiyerarsik düzen
Uyar¬5.2.1. Genel olarak Sekil 5.2.1 deki oklar¬n hiçbiri tersine çevrilemez. Bununla
birlikte, bu durum baz¬hallerde mümkündür:
(i) Lineer sistemler için,
Düzgün Asimtotik Kararl¬ () Üstel Kararl¬.
84
(ii) Otonom sistemler ve hatta periyodik sistemler için,
Kararl¬ () Düzgün Kararl¬,
Asimtotik Kararl¬ () Düzgün Asimtotik Kararl¬,
Atraktif () Düzgün Atraktif.
Örnek 5.2.1.
x(n+ 1) = x(n)
skaler denkleminin x(n0) = x0 kosulunu sa¼glayan çözümü x(n; n0; x0) = x0 olup s¬f¬r
çözümü düzgün kararl¬d¬r, ama asimptotik kararl¬de¼gildir.
Örnek 5.2.2. Skaler
x(n+ 1) = a(n)x(n) (5.2.3)
denkleminin x(n0) = x0 kosulunu sa¼glayan çözümü
x(n; n0; x0) =
"n�1Yi=n0
a(i)
#x0 (5.2.4)
dir. Buradan asa¼g¬daki sonuçlar elde edilir:
(i) S¬f¬r çözümünün kararl¬olmas¬için gerek ve yeter kosul�����n�1Yi=n0
a(i)
����� �M(n0) �M (5.2.5)
dir; burada M; n0 a ba¼gl¬pozitif bir sabittir. Örne¼gin bu kosul a(n) =(1+2n)2n
için
sa¼glan¬r.
(ii) S¬f¬r çözümünün düzgün kararl¬olmas¬için gerek ve yeter kosul�����n�1Yi=n0
a(i)
����� �M (5.2.6)
dir; buradaM; n0 dan ba¼g¬ms¬z bir pozitif sabittir. Böyle bir kosul a(n) = sin(n+1)
85
için sa¼glan¬r.
(iii) S¬f¬r çözümünün asimtotik kararl¬olmas¬için gerek ve yeter kosul
limn!1
�����n�1Yi=n0
a(i)
����� = 0 (5.2.7)
d¬r. Aç¬k olarak a(n) = (n+1)(n+2)
için (5.2.7) sa¼glan¬r.
(iv) S¬f¬r çözümünün düzgün asimtotik kararl¬ (ve dolayisiyle üstel kararl¬) olmas¬
için gerek ve yeter kosul �����n�1Yi=n0
a(i)
����� �M�n�n0 (5.2.8)
d¬r; burada M > 0 ve 0 < � < 1 dir. Bu kosul a(n) = 1niçin daima sa¼glan¬r.
5.3 k y¬nc¬Basamaktan Skaler Lineer Homogen Denklemler
Bu kesimde k: basamaktan skaler lineer sabit katsay¬l¬homogen
x(n+ k) + p1x(n+ k � 1) + p2x(n+ k � 2) + :::+ pkx(n) = 0 (5.3.1)
fark denklemi ele al¬nmaktad¬r; burada pi ler reel sabitlerdir. Buna iliskin karakte-
ristik polinom
p(�) = �k + p1�k�1 + p2�
k�2 + :::+ pk: (5.3.2)
Bölüm 2.5 deki incelemelerden, özellikle (2.5.5) den, asa¼g¬daki teorem verilebilir.
Teorem 5.3.1. (5.3.1) in s¬f¬r çözümünün asimtotik kararl¬olmas¬için gerek ve yeter
kosul (5.3.2) nin her � karakteristik kökü için j�j < 1 olmas¬d¬r. Ayr¬ca (5.3.1) in s¬f¬r
çözümünün kararl¬olmas¬için gerek ve yeter kosul, j�j = 1 esitli¼gini sa¼glayan � lar
basit olmak üzere, j�j � 1 dir. Öte yandan, j�j = 1 olacak biçimde katl¬karakteristik
kökler varsa, bu durumda (5.3.1) in s¬f¬r çözümü karars¬zd¬r.
86
Simdi (5.3.1) in karakteristik köklerinin birim çember içinde kalmas¬n¬ sa¼glayan
Schur-Cohn kriteri ifade edilebilir (Jury 1964, 1971, 1981). Ama önce bir haz¬rl¬k
yapal¬m.
Bir B = (bij) matrisinin iç matrisleri o matrisin kendisi, ilk ve son sat¬rlar¬ile ilk
ve son kolonlar¬n¬n at¬lmasiyle, ard¬s¬k olarak bulunan matrislerin tümüdür. Bütün
iç matrislerinin determinatlar¬pozitif olan bir B matrisine pozitif iç matrislidir
denir. Örne¼gin asa¼g¬daki matrislerin iç matrisleri üzerlerinde gösterilmistir:
0BBB@b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
1CCCA3�3
;
0BBBBBBB@b11
b21
b31
b41
b12 b13
b22 b23
b32 b33
b42 b43
b14
b24
b34
b44
1CCCCCCCA4�4
;
0BBBBBBBBBB@
b11
b21
b31
b41
b51
b12 b13 b14
b22 b23 b24
b32 b33 b34
b42 b43 b44
b52 b53 b54
b15
b25
b35
b45
b55
1CCCCCCCCCCA5�5
:
Teorem 5.3.2 (Schur-Cohn Kriteri). (5.3.2) karakteristik polinomunun s¬f¬r-
lar¬n¬n birim çember içinde kalmas¬ için gerek ve yeter kosul asa¼g¬daki kosullar¬n
sa¼glanmas¬d¬r:
(i) p(1) > 0;
(ii) (�1)kp(�1) > 0;
(iii) (k � 1)� (k � 1) türünde
87
B�k�1 =
0BBBBBBBBB@
1 0 � � � 0 0
p1 1 � � � 0 0...
......
...
pk�3 pk�4 � � � 1 0
pk�2 pk�3 � � � p1 1
1CCCCCCCCCA�
0BBBBBBBBB@
0 0 � � � 0 pk
0 0 � � � pk pk�1...
......
...
0 pk � � � p4 p3
pk pk�1 � � � p3 p2
1CCCCCCCCCAmatrisleri pozitif iç matrislidir.
Bu kriter ayn¬zamanda asimtotik kararl¬l¬k için bir kriterdir.
Örnek 5.3.1.
x(n+ 2) + p1x(n+ 1) + p2x(n) = 0 (5.3.3)
denklemini ele alal¬m. Bunun karakteristik polinomu
p(�) = �2 + p1�+ p2
dir. Schur-Cohn kriterine göre (5.3.3) ün s¬f¬r çözümünün asimtotik kararl¬olmas¬
için gerek ve yeter kosullar
0 < 1 + p1 + p2; 0 < 1� p1 + p2; 0 < 1 + p2 < 2
seklinde bulunur. Bu kosullar da
jp1j < 1 + p2 < 2 (5.3.4)
seklinde özetlenebilir.
Simdi asa¼g¬daki örnekte uygulamak üzere kompleks analizin bir sonucu olarak bilinen
Rouche teoremini ifade edelim.
Teorem 5.3.3 (Rouche Teoremi). f(z) ve g(z) kompleks fonksiyonlar¬ basit
kapal¬bir e¼grisi içinde ve üzerinde analitik ve üzerinde jg(z)j < jf(z)j ise, bu
88
durumda f(z) ve f(z) + g(z) fonksiyonlar¬ içinde ayn¬say¬da s¬f¬rlara sahiptir.
Örnek 5.3.2. k y¬nc¬basamaktan skaler
x(n+ k) + ax(n+ k � 1) + bx(n) = 0 (5.3.5)
denkleminin s¬f¬r çözümünü asimtotik kararl¬ya da karars¬z k¬lan kosullar¬bulal¬m;
burada a ve b katsay¬lar¬reel sabitlerdir.
Bunun için
p(�) = �k + a�k�1 + b
karakteristik polinomunun bütün � s¬f¬rlar¬n¬n birim çember içinde kal¬p kalmad¬¼g¬n¬
göstermeliyiz. e¼grisi jzj = 1 seklinde birim çember, g(z) = azk�1 + b ve f(z) = zk
olsun. Buradan jzj = 1 üzerinde jg(z)j � jaj+ jbj ve jf(z)j = 1 dir. Simdi,
jaj+ jbj < 1 (5.3.6)
al¬n¬rsa, jzj = 1 üzerinde jg(z)j < jf(z)j olur. Rouche teoremine göre
p(z) = f(z) + g(z) ile f(z) = zk birim çember içinde ayn¬say¬da s¬f¬rlara sahip olur.
f(z) = zk = 0 denklemi birim çember içinde kalan k katl¬bir s¬f¬ra (z = 0) sahiptir.
O halde p(�) n¬n da k tane s¬f¬r¬(yani karakteristik köklerinin tümü) birim çember
içinde bulunur. Buradan (5.3.6) kosulu alt¬nda (5.3.5) in s¬f¬r çözümü asimtotik
kararl¬d¬r.
Simdi (5.3.5) in s¬f¬r çözümünü karars¬z k¬lan kosullar¬bulal¬m.
f(z) = azk�1, g(z) = zk+ b ve e¼grisi olarak jzj = 1+ " çemberi al¬ns¬n. Bu çember
üzerinde jf(z)j = jaj (1 + ")k�1; jg(z)j � (1 + ")k + jbj dir.
Simdi
jaj � jbj > 1 (5.3.7)
olsun. Buradan : jzj = 1 + " çemberi üzerinde jaj � jbj > 1 + ", jg(z)j < jf(z)j
olacak sekilde " yeterince küçük seçilebilir. Dolay¬siyle, Rouche teoremine göre f(z)
ve p(z) = f(z)+ g(z) fonksiyonlar¬ çemberi içinde ayn¬say¬da (k�1 tane) s¬f¬rlara
sahiptirler. Buradan (5.3.7) kosulu alt¬nda (5.3.5) in s¬f¬r çözümü karars¬zd¬r.
89
5.4 Birinci Basamaktan Lineer Olmayan Otonom Fark Denklemleri
Bu kesimde birinci basamaktan bir boyutlu otonom fark
x(n+ 1) = f(x(n)) (5.4.1)
denkleminin denge noktalar¬ için basit ama etkili olan kararl¬l¬k kriterlerinden söz
edilecektir.
Teorem 5.4.1. x�
x(n+ 1) = f(x(n))
denklemin bir denge noktas¬olsun; burada f , x� noktas¬n¬içeren bir aç¬k aral¬kta
sürekli türevlenebilir bir fonksiyondur. Bu durumda asa¼g¬daki ifadeler gerçeklenir:
(i) jf 0(x�)j < 1 ise, x� asimtotik kararl¬d¬r;
(ii) jf 0(x�)j > 1 ise, x� karars¬zd¬r.
·Ispat. (i) jf 0(x�)j < M < 1 olsun. Bu durumda her x 2 J için jf 0(x)j � M < 1
olacak sekilde x� noktas¬n¬içeren bir J = (x� � �; x� + �) aral¬¼g¬vard¬r. x(0) 2 J
için
jx(1)� x�j = jf(x(0))� f(x�)j
dir. Ortalama De¼ger Teoreminden
jf(x(0))� f(x�)j = jf 0(�)j jx(0)� x�j
olacak biçimde x(0) ile x� aras¬nda bir � say¬s¬vard¬r. Buradan
jf(x(0))� x�j �M jx(0)� x�j
ve dolay¬siyle
jx(1)� x�j �M jx(0)� x�j : (5.4.2)
(5.4.2) esitsizli¼ginden ve M < 1 den, x(1) de¼gerinin x(0) a göre x� denge noktas¬na
daha yak¬n oldu¼gu görülmektedir. Sonuç olarak, x(1) 2 J dir. Ayn¬sekilde devam
90
edersek, tümevar¬mla
jx(n)� x�j �Mn jx(0)� x�j
elde edilir. Bir " > 0 için � = "2M
olsun. Böylece jx(0)� x�j < � iken her n > n0 için
jx(n)� x�j < " sa¼glan¬r. Bu da kararl¬l¬¼g¬ifade eder. Ayr¬ca, limn!1 jx(n)� x�j = 0
oldu¼gundan, limn!1 x(n) = x� d¬r. O halde x� asimtotik kararl¬d¬r.
(ii) jf 0(x�)j > M > 1 olsun. f 0 nün süreklili¼ginden dolay¬her x 2 J için
jf 0(x)j >M > 1 olacak sekilde x� noktas¬n¬kapsayan bir J = (x���; x�+�) aral¬¼g¬
vard¬r. x(0) 2 J için
jx(1)� x�j = jf(x(0))� f(x�)j
olup benzer sekilde Ortalama De¼ger Teoreminden
jf(x(0))� x�j >M jx(0)� x�j
elde edilir. Buradan
jx(1)� x�j >M jx(0)� x�j
ve tümevar¬mdan
jx(n)� x�j >Mn jx(0)� x�j
bulunur. Böylece jx(0)� x�j < � iken, M > 1 oldu¼gunda jx(n)� x�j < " olacak
biçimde bir � > 0 say¬s¬bulunamaz. Dolay¬siyle x� denge noktas¬karars¬zd¬r.
Teorem 5.4.1, jf 0(x�)j = 1 olmas¬halinde x� denge noktas¬n¬n kararl¬l¬¼g¬hakk¬nda
bir sey söylemiyor. Bu yüzden f 0(x�) = 1 ve f 0(x�) = �1 durumlar¬için s¬rasiyle
asa¼g¬daki teoremler gözönüne al¬nabilir (Elaydi 1999).
Teorem 5.4.2. x�; (5.4.1) denkleminin bir denge noktas¬olmak üzere f 0(x�) = 1
olsun. Bu durumda asa¼g¬daki ifadeler sa¼glan¬r:
(i) f 00(x�) 6= 0 ise, x� karars¬zd¬r;
(ii) f 00(x�) = 0 ve f 000(x�) > 0 ise, x� karars¬zd¬r;
(iii) f 00(x�) = 0 ve f 000(x�) < 0 ise, x� asimtotik kararl¬d¬r.
91
Teorem 5.4.3. (5.4.1) in x� denge noktas¬ için f 0(x�) = �1 olsun. Ayr¬ca f in
Schwarzian t�urevi
Sf(x) =f 000(x)
f 0(x)� 32
�f 00(x)
f 0(x)
�2ile gösterilsin. Bu durumda asa¼g¬daki ifadeler do¼grudur:
(i) Sf(x�) < 0 ise, x� asimtotik kararl¬d¬r;
(ii) Sf(x�) > 0 ise, x� karars¬zd¬r.
Örnek 5.4.1.
x(n+ 1) = x2(n) + 3x(n)
denkleminin denge noktalar¬n¬n kararl¬l¬l¬k durumlar¬n¬inceleyelim.
Bu denklemin denge noktalar¬
x� = 0 ve x� = �2
dir. f 0(x) = 2x + 3 olup f 0(0) = 3 > 1 dir. O halde Teorem 5.4.1. den, x� = 0
karars¬zd¬r. f 0(�2) = �1 oldu¼gundan, Teorem 5.4.3. uygulanabilir ve
Sf(�2) = �12 < 0 bulunur. Bu da x� = �2 denge noktas¬n¬n asimtotik kararl¬
oldu¼gunu ifade eder.
5.5 Lineer Sistemlerin Kararl¬l¬¼g¬
Bu kesimde 1. basamaktan k boyutlu de¼gisken katsay¬l¬lineer
x(n+ 1) = A(n)x(n), n > n0 > 0 (5.5.1)
sisteminin kararl¬l¬¼g¬ incelenecektir; burada A(n), k � k tipinde her n > n0 için
singüler olmayan reel de¼gerli bir matristir. Ayr¬ca, (5.5.1) için elde edilen sonuçlar,
sabit katsay¬l¬lineer
x(n+ 1) = Ax(n) (5.5.2)
sistemi için özel olarak ele al¬nacakt¬r (Hunt 1967, Lakshmikantham ve Trigiante
1988).
92
Teorem 5.5.1. �(n), (5.5.1) in bir temel matrisi olsun. Bu durumda (5.5.1) in s¬f¬r
çözümünün
(i) kararl¬olmas¬için gerek ve yeter kosul
k�(n)k �M , n > n0 > 0 (5.5.3)
olacak biçimde bir M > 0 say¬s¬n¬n var olmas¬d¬r;
(ii) düzgün kararl¬olmas¬için gerek ve yeter kosul
k�(n;m)k �M , n0 � m � n <1 (5.5.4)
olacak biçimde bir M sabitinin bulunmas¬d¬r;
(iii) asimtotik kararl¬olmas¬için gerek ve yeter kosul
limn!1
k�(n)k = 0 (5.5.5)
d¬r;
(iv) düzgün asimtotik kararl¬olmas¬için gerek ve yeter kosul
k�(n;m)k �M�n�m, n0 � m � n <1 (5.5.6)
olacak biçimde pozitif M ve � 2 (0; 1) say¬lar¬n¬n varolmas¬d¬r.
·Ispat. �(n0) = I olsun. Buradan (5.5.1) in herhangi bir çözümü
x(n; n0; x0) = �(n)x0 d¬r.
(i) (5.5.3) sa¼glans¬n. Bu durumda
kx(n; n0; x0)k 6M kx0k
d¬r. Dolay¬siyle bir " > 0 için bir � say¬s¬� = "Mseklinde seçilirse, kx0k < � halinde
kx(n; n0; x0)k < " olur. Buradan s¬f¬r çözümü kararl¬d¬r. Tersine olarak s¬f¬r çözümü
kararl¬olsun. Yani bir " > 0 için kx0k < � iken kx(n; n0; x0)k = k�(n)x0k < " olacak
93
sekilde bir � > 0 vard¬r. Öte yandan kx0k < � dan, 1�kx0k < 1 yaz¬labilir. Buradan
k�(n)k = supk�k61
k�(n)�k = 1
�supkx0k6�
k�(n)x0k 6"
�=M
bulunur. Bu da (5.5.3) esitsizli¼gidir.
(ii) x(n; n0; x0); (5.5.1) in bir çözümü olsun. m > n0 için
x(n; n0; x0) = �(n)��1(m)x(m) = �(n;m)x(m)
yaz¬labilir; burada x(m) = �(m)x0 d¬r. (5.5.4) sa¼glans¬n. Bu durumda
kx(n; n0; x0)k 6 �(n)��1(m) kx(m)k = k�(n;m)k kx(m)k
6 M kx(m)k ; n0 6 m 6 n <1;
olur. Bir " > 0 say¬s¬na kars¬l¬k m > n0 ve kx(m)k < "2M= �(") > 0 al¬n¬rsa,
kx(n)k < "; n > m
bulunur. O halde s¬f¬r çözümü düzgün kararl¬d¬r. Tersine (5.5.1) düzgün kararl¬
olsun. O zaman verilen bir " > 0 için bir � = �(") mevcuttur öyleki m > n0 ve
kx(m)k < � iken n > m için kx(n)k < " dur. Böylece
k�(n;m)x(m)k < "; n > m
elde edilir. x(m); i: eleman¬ �2ve di¼ger elemanlar¬s¬f¬r olan bir vektör olarak al¬n¬rsa, �i �2
< "
veya
k�ik <2"
�
olur; burada �i, �(n;m) nin i yinci kolonudur. Bu durum �(n;m) nin k tane kolonu
94
için gözönüne al¬n¬rsa,
k�(n;m)k < 2k"
�=M; n0 6 m 6 n <1
bulunur bu da ispat¬tamamlar.
(iii) (5.5.5) den, k�(n)k 6M olacak biçimde bir pozitifM sabiti mevcuttur. Böylece
s¬f¬r çözümü kararl¬d¬r. ·Ilaveten n ! 1 iken limn!1 k�(n)k = 0 oldu¼gundan, s¬f¬r
çözümü asimtotik kararl¬d¬r.
(iv) (5.5.6) sa¼glans¬n. Bu durumda (ii) nedeniyle s¬f¬r çözümü düzgün kararl¬d¬r. Her
" 2 (0;M) için � = 1 ve N say¬s¬�N < "Mbiçimde al¬ns¬n. Bu durumda kx0k < 1
oldu¼gu zaman n > n0 +N için
kx(n; n0; x0)k = k�(n; n0)x0k
6 M�n�n0 < "
bulunur. Böylece s¬f¬r çözümü düzgün asimtotik kararl¬d¬r. Tersine olarak s¬f¬r
çözümü düzgün asimtotik kararl¬ olsun. O zaman düzgün kararl¬d¬r. Dolay¬siyle
(ii) den k�(n;m)k 6M; 0 6 n0 6 m 6 n <1, dir. Düzgün atrakti�ikten kx0k 6 �
oldu¼gunda, 0 < " < 1 olacak biçimde bir " için n > n0 +N üzerinde k�(n; n0)k < "
sart¬n¬sa¼glayanN > 0 ve � > 0 say¬lar¬vard¬r. Buradan n > n0 için k�(n; n0)k 6M
yaz¬labilir. n 2 [n0 +mN;n0 + (m+ 1)N ] ; m > 0; için
k�(n; n0)k 6 k�(n; n0 +mN)k k�(n0 +mN;n0 + (m� 1)N)k
::: k�(n0 +N; n0)k
6 M"m 6 M
"("
1N )(m+1)N = ~M�(m+1)N
6 ~M�(n�n0); mN 6 n� n0 6 (m+ 1)N
bulunur; burada ~M = M"ve � = "
1N dir. Böylece teoremin ispat¬tamamlanm¬s olur.
Bu teoremden asa¼g¬daki sonuçlar ç¬kar:
95
Sonuç 5.5.1. (5.5.1) lineer sistemi için asa¼g¬daki ifadeler do¼grudur:
(i) S¬f¬r çözümünün kararl¬olmas¬ için gerek ve yeter kosul tüm çözümlerin s¬n¬rl¬
olmas¬d¬r;
(ii) S¬f¬r çözümünün üstel kararl¬olmas¬için gerek ve yeter kosul düzgün asimtotik
kararl¬olmas¬d¬r.
Sonuç 5.5.2. (5.5.1) lineer sisteminin s¬f¬r çözümü için gerçeklenen bütün lokal
kararl¬l¬k sonuçlar¬global anlamda sonuçlard¬r.
Simdi düzgün kararl¬l¬k ve düzgün asimtotik kararl¬l¬k için basit ama etkili bir kri-
terden sözedelim (Carlson, 1989).
Teorem 5.5.2.
(i)kXi=1
jaij(n)j � 1, 1 � j � k, n > n0; ise, bu durumda (5.5.1) sisteminin s¬f¬r
çözümü düzgün kararl¬d¬r.
(ii)kXi=1
jaij(n)j � 1 � v, bir v 2 (0; 1), 1 � j � k; n > n0; ise, bu durumda s¬f¬r
çözümü düzgün asimtotik kararl¬d¬r.
·Ispat. Önce bir B = (bij); 1 � i; j � k; matrisinin normunu
kBk1 = max1�j�k
kXi=1
jbijj
seklinde gözönüne alal¬m.
(i)
kXi=1
jaij(n)j � 1 den, her n > n0 için kA(n)k1 � 1 dir. Buradan
k�(n;m)k1 =
n�1Yi=m
A(i)
1
� kA(n� 1)k1 kA(n� 2)k1 ::: kA(m)k1 � 1
elde edilir. O halde Teorem 5.5.1 (ii) den dolay¬s¬f¬r çözümü düzgün kararl¬d¬r.
96
(ii)kXi=1
jaij(n)j � 1� v den,
k�(n;m)k1 =
n�1Yi=m
A(i)
1
� kA(n� 1)k1 kA(n� 2)k1 ::: kA(m)k1
� (1� v)n�m
bulunur. M = 1 ve � = 1� v 2 (0; 1) oldu¼gundan, Teorem 5.5.1 (iv) den dolay¬s¬f¬r
çözümü düzgün asimtotik kararl¬olur.
Simdi lineer sabit katsay¬l¬(5.5.2) sistemi için temel kararl¬l¬k sonuçlar¬özetlenebilir:
Teorem 5.5.3. Asa¼g¬daki ifadeler gerçeklenir:
(i) (5.5.2) nin s¬f¬r çözümünün kararl¬olmas¬için gerek ve yeter kosul �(A) � 1 ve
birim modüllü özde¼gerlerin yar¬basit olmas¬d¬r (yani kars¬l¬k gelen Jordan bloku bir
kösegen matristir);
(ii) (5.5.2) nin s¬f¬r çözümünün asimtotik kararl¬ olmas¬ için gerek ve yeter kosul
�(A) < 1 olmas¬d¬r.
Burada �(A) = max fj�j : �; A n¬n bir özde¼geridirg ; A n¬n spektral yar¬çap¬d¬r.
·Ispat. A = PJP�1 al¬ns¬n; burada J = diag(J1;J2; :::; Jr); A n¬n Jordan formudur
ve 1 6 i 6 r için
Ji =
0BBBBBBBBB@
�i 1 0 � � � 0 0
0 �i 1 � � � 0 0...
....... . .
......
0 0 0 � � � �i 1
0 0 0 � � � 0 �i
1CCCCCCCCCAdir. Teorem 5.5.1 (i) den, (5.5.2) nin s¬f¬r çözümünün kararl¬olmas¬için gerek ve
yeter kosul
kAnk = PJnP�1 �M
97
veya
kJnk � ~M
dir; burada ~M =M= (kPk kP�1k) : Öte yandan, Jn = diag(Jn1;Jn2 ; :::; J
nr ) dir; burada
Jni =
0BBBBBBBBB@
�ni�n1
��n�1i
�n2
��n�2i � � �
�n
si�2��n�si+2i
�n
si�1��n�si+1i
0 �ni�n1
��n�1i � � �
�n
si�3��n�si+3i
�n
si�2��n�si+2i
......
......
......
0 0 0 � � � �ni�n1
��n�1i
0 0 0 � � � 0 �ni
1CCCCCCCCCA:
j�ij > 1 ise, veya j�ij = 1 ve Ji; 1� 1 tipinde de¼gilse, o zaman Jni s¬n¬rs¬zd¬r. j�ij < 1
ise, n ! 1 iken Jni ! 0 olur. Bunu göstermek için l pozitif bir tamsay¬olmak
üzere n ! 1 halinde j�ijn nl ! 0 oldu¼gunu göstermek yeterlidir. Bu da L0Hopital
kural¬ndan ç¬kar, çünkü j�ijn nl = nlen lnj�ij dir.
(ii) Asimtotik kararl¬l¬k için kAnk ! 0 oldu¼gu gösterilmelidir. Bunun için de
j�ij < 1 olmal¬d¬r. Bu da (i) deki ad¬mlardan görülmektedir.
Uygulamalarda daha çok A n¬n özde¼gerleri bulunmadan �(A) < 1 hesaplan¬r. Bu da
Schur-Cohn kriteri (Teorem 5.3.2) yard¬miyle yap¬labilir.
·Iki boyutlu bir sistem için �(A) < 1 ya da esde¼ger olarak s¬f¬r çözümünün asim-
totik kararl¬oldu¼gunu garanti eden bir kriter (5.3.4) kosulu yard¬miyle bulunabilir.
Gerçekten, 2� 2 türünde bir A matrisi için karakteristik denklemin
�2 � (trA)�+ detA = 0
seklinde yaz¬labildi¼gine dikkat edilirse, asa¼g¬daki teorem elde edilir:
Teorem 5.5.4. A, 2� 2 tipinde bir matris olmak üzere (5.5.2) nin s¬f¬r çözümünün
asimtotik kararl¬olmas¬için gerek ve yeter kosul
jtrAj < 1 + detA < 2 (5.5.7)
98
dir; burada trA, A n¬n izidir.
Simdi periyodik katsay¬l¬lineer
x(n+ 1) = A(n)x(n); A(n+N) = A(n) (5.5.8)
sistemini ele alal¬m.
Teorem 5.5.5. (5.5.8) periyodik sisteminin s¬f¬r çözümünün
(i) kararl¬olmas¬için gerek ve yeter kosul Floquet üslerinin büyüklüklerinin 1 den
küçük veya yar¬basit olmak kosuluyla 1 e esit olmas¬d¬r;
(ii) asimtotik kararl¬olmas¬için gerek ve yeter kosul bütün Floquet üslerinin birim
çemberin içinde kalmas¬d¬r.
·Ispat. �(n); (5.5.8) in bir temel matrisi ise, bu durumda Floquet teoreminden
(Teorem 3.3.1),
�(n) = P (n)Bn
olacak biçimde özde¼gerleri Floquet üsleri olarak bilinen bir sabit B matrisi ve peri-
yodik bir P (n) matrisi vard¬r; burada P (n+N) = P (n) dir. Böylece Bn s¬n¬rl¬ise, o
zaman �(n) de s¬n¬rl¬d¬r. Ayr¬ca n!1 iken Bn ! 0 ise, ozaman limn!1�(n) = 0.
Simdi pratik önemi bak¬m¬ndan asa¼g¬daki sonucu ifade edelim.
Sonuç 5.5.3.
(i) C = A(N �1)A(N �2):::A(0) matrisinin her bir özde¼geri 1 den küçük büyüklü¼ge
veya yar¬basit olmas¬durumda 1 e esit büyüklü¼ge sahip ise, o zaman (5.5.8) in s¬f¬r
çözümü kararl¬d¬r.
(ii) C = A(N�1)A(N�2):::A(0) matrisinin her bir özde¼geri 1 den küçük büyüklü¼ge
sahip ise, o zaman (5.5.8) in s¬f¬r çözümü asimtotik kararl¬d¬r.
Yukar¬daki sonuçlar¬k¬saca özetleyecek olursak sunlar söylenebilir:
Sabit katsay¬l¬bir lineer x(n + 1) = Ax(n) sisteminde A n¬n özde¼gerleri sistemin
kararl¬l¬k özeliklerini belirleyebilirler. Ama periyodik bir x(n + 1) = A(n)x(n) sis-
99
teminde A(n) nin özde¼gerleri kararl¬l¬k özeliklerini belirlemede bir rol oynamazlar.
Bunun yerine A(n) nin Floquet çarpanlar¬kararl¬l¬k özeliklerini belirler. Asa¼g¬daki
örnek bu konudaki yanl¬s anlamalar¬bertaraf edecek niteliktedir.
Örnek 5.5.1. x(n+ 1) = A(n)x(n) sistemi verilsin; burada A(n) matrisi
A(n) =
0BBBBBB@0
2 + (�1)n
2
2� (�1)n
20
1CCCCCCA :
Bu 2-periyotlu bir sistem olup A(n) in özde¼gerleri �p32dir. Dolay¬siyle �(A(n)) < 1
dir. Sonuç 5.5.3 uygulan¬rsa, N = 2 oldu¼gundan,
C = A(1)A(0) =
0@ 140
0 94
1Abulunur. Buradan A(n) nin Floquet çarpanlar¬1
4ve 9
4dür. 9
4> 1 oldu¼gundan, bütün
çözümler s¬n¬rl¬olamaz ve dolay¬siyle s¬f¬r çözümü karars¬zd¬r.
Nitekim bu sistemin temel matrisi
�(n) =
0BBBBBB@21�n � (�2)1�n
2
(32)n � (�3
2)n
2
2�n � (�2)�n
2
(32)n � (�3
2)n
2
1CCCCCCAoldu¼gundan, bütün çözümlerin s¬n¬rl¬olmad¬¼g¬aç¬kt¬r. Sonuç olarak, s¬f¬r çözümü
karars¬zd¬r. Böylece bu örnekten, otonom olmayan fark sistemlerinde özde¼gerlerin
genellikle kararl¬l¬k hakk¬nda bir bilgi vermedikleri aç¬k olarak görülmüstür.
100
5.6 Faz Uzay¬Analizi
x(n+ 1) = f(n; x(n)); n > n0 (5.6.1)
denklemi verilsin; burada x 2 Rk, f : N� Rk ! Rk dir. (5.6.1) in bir
(x1(n); x2(n); :::; xk(n)); n > n0 (5.6.2)
çözümü k + 1 boyutlu nx1x2:::xk-uzay¬nda n > n0 için ayr¬k
(n; x1(n); x2(n); :::; xk(n))
noktalar¬ndan olusan bir gra�¼ge sahiptir. n ekseni kald¬r¬l¬r veya n de¼giskeni bir
parametre olarak düsünülürse, o zaman (5.6.2) çözümü bir parametrik gösterim olup
gra�¼gi k boyutlu x1x2:::xk-uzay¬nda bulunur. Bu gra�¼ge veya (5.6.2) parametrik
çözümüne (5.6.1) denkleminin bir yolu veya y�or�ungesi denir; x1x2:::xk-uzay¬na da
faz uzay{ ad¬verilir. Buna, iki boyutlu olmas¬durumunda faz d�uzlemi denir. Sekil
5.2�de, x1x2 faz düzleminde �-yar¬çapl¬bir yuvar içinde baslayan ve sonraki bütün
x(n; n0; x0), n > n0; konumlar¬"-yar¬çapl¬bir yuvar içinde kalan bir çözümün hareketi
gösterilmektedir. Bu da bize kararl¬l¬k durumlar¬n¬baska bir perspektiften inceleme
f¬rsat¬n¬sa¼glar. Sekil 5.3, n zaman de¼giskeninin üç boyutlu koordinat sisteminin bir
ekseni oldu¼gunu; yani çözüm uzay¬n¬ göstermektedir.
Sekil 5.2 Faz düzleminde kararl¬denge noktas¬
101
Sekil 5.3 Çözüm uzay¬nda kararl¬denge noktas¬
Bu kesimde iki boyutlu lineer sabit katsay¬l¬8<: x1(n+ 1) = a11x1(n) + a12x2(n);
x2(n+ 1) = a21x1(n) + a22x2(n)
sisteminin kararl¬l¬k özellikleri incelenecektir; burada a11; a12; a21; a22 katsay¬lar¬
a11a22 � a12a21 6= 0 olacak sekilde verilen reel sabitlerdir. Bu sistem
x(n+ 1) = Ax(n) (5.6.3)
seklinde vektör-matris formunda yaz¬labilir; burada
A =
0@ a11 a12
a21 a22
1A ; x(n) =
0@ x1(n)
x2(n)
1A
olup A matrisi singüler de¼gildir.
Ax� = x� ya da (A� I)x� = 0 ise, x� sabit vektörü (5.6.3) ün bir denge noktas¬d¬r.
(A � I) matrisi singüler de¼gilse, o zaman x� = 0 s¬f¬r vektörü (5.6.3) ün tek denge
noktas¬d¬r. (A � I) matrisi singülerse, o zaman denge noktalar¬n¬n bir ailesi var
demektir. x� 6= 0 ise, y(n) = x(n)� x� dönüsümü (5.6.3) e uygulan¬r ve
y(n + 1) = Ay(n) bulunur ki bu (5.6.3) ile ayn¬d¬r. Dolay¬siyle, (5.6.3) sisteminin
x� 6= 0 seklinde herhangi bir denge noktas¬n¬n kararl¬l¬k özelikleri ile ayn¬sistemin
102
x� = 0 denge noktas¬n¬n kararl¬l¬k özelikleri ayn¬d¬r. Bu yüzden bundan böyle x� = 0;
(5.6.3) sisteminin tek denge noktas¬olarak ele al¬nacakt¬r.
Simdi A matrisine iliskin Jordan formlar¬n¬gösteren bir teorem verelim.
Teorem 5.6.1. A; 2� 2 türünde bir reel sabit matris olsun. Bu durumda
A = PJP�1
olacak sekilde bir singüler olmayan reel P matrisi vard¬r; burada J
(a) Amatrisi reel �1, �2 özde¼gerlerine (farkl¬olmalar¬gerekmez) ve iki lineer ba¼g¬ms¬z
özvektöre sahip ise, bu durumda
J =
0@ �1 0
0 �2
1Adir;
(b) Amatrisi tek özde¼gere (�1 = �2) ve tek ba¼g¬ms¬z özvektöre sahip ise, bu durumda
J =
0@ � 1
0 �
1A ;(c) A n¬n özde¼gerleri �� i� ise, bu durumda
J =
0@ � �
�� �
1Ad¬r.
Bu teorem esas itibariyle koordinat de¼gisiminin bir sonucudur. Gerçekten,
x(n) = Py(n) (5.6.4)
dönüsümü (5.6.3) sistemini
y(n+ 1) = Jy(n) (5.6.5)
103
sistemine indirger. x(0) = x0; (5.6.3) sistemi için bir baslang¬ç kosulu ise, o zaman
y(0) = y0 = P�1x0, (5.6.5) sistemi için kars¬l¬k gelen baslang¬ç kosuludur. A ve J
matrisleri benzer olduklar¬ndan, (5.6.3) ile (5.6.5) sistemlerinin denge noktalar¬n¬n
kalitatif özelikleri özdestir.
Simdi (5.6.5) sisteminin faz portresi (a); (b) ve (c) durumlar¬için ayr¬ayr¬olusturu-
labilir. Bunun için yap¬lacak sey y1y2-faz düzleminde bir
y0 =
0@ y10
y20
1Abaslang¬ç de¼gerinden baslayarak
y(1); y(2); y(3); :::
noktalar¬n¬n hareketini izlemektir. Esas itibariyle
fy(n; 0; y0) : n > 0g
yolunu çizmektir. Ayr¬ca, unutulmamas¬gereken bir durum, yolun üzerine bir okun
konmas¬d¬r. Bu ok, zaman¬n art¬s istikametini; yani, hareketin yönünü gösterir.
Durum (a) Bu durumda (5.6.5) sistemi8<: y1(n+ 1) = �1y1(n);
y2(n+ 1) = �2y2(n)
halini al¬r. Buradan 0@ y1(n)
y2(n)
1A =
0@ �n1y10
�n2y20
1Aolup
y2(n)
y1(n)=
��2�1
�n�y20y10
�dir. j�1j > j�2j ise, limn!1
y2(n)y1(n)
= 0 ve j�1j < j�2j ise, limn!1y2(n)y1(n)
=1 elde edilir.
Buradan asa¼g¬daki faz portreleri çizilebilir:
104
Sekil 5.4 0 < �2 < �1 < 1, (0; 0) asimtotik kararl¬dü¼güm noktas¬
Sekil 5.5 1 < �2 < �1, (0; 0) karars¬z dü¼güm noktas¬
Sekil 5.6 0 < �1 < 1; �2 > 1; (0; 0) semer noktas¬(karars¬z)
105
Sekil 5.7 0 < �1 = �2 < 1; (0; 0) asimtotik kararl¬dü¼güm noktas¬
Sekil 5.8 �1 = 1; �1 < �2 < 1; (0; 0) dejenere dü¼güm noktas¬
Bu durumda faz portrelerinden (0; 0) denge noktas¬için asa¼g¬daki sonuç ç¬kar:
Sonuç 5.6.1.
(a1) � 1 < �2 < �1 < 1 ise, (0; 0) asimtotik kararl¬dü¼güm noktas¬d¬r;
(a2) 1 < �2 < �1 ise, (0; 0) karars¬z dü¼güm noktas¬d¬r;
(a3) 0 < �1 < 1 ve �2 > 1 ise, (0; 0) semer (karars¬z) noktas¬d¬r;
(a4) 0 < �1 = �2 < 1 ise, (0; 0) asimtotik kararl¬dü¼güm noktas¬d¬r;
(a5) �1 = 1 ve �1 < �2 < 1 ise, (0; 0) dejenere dü¼güm noktas¬d¬r.
106
Durum (b) Bu durumda (5.6.5) sisteminin y(0) = (y10; y20)T kosulunu sa¼glayan
çözümü 0@ y1(n)
y2(n)
1A = Jn
0@ y10
y20
1A=
0@ �n n�n�1
0 �n
1A0@ y10
y20
1Aya da 8<: y1(n) = �ny10 + n�n�1y20
y2(n) = �ny20
dir. Buna göre
limn!1
y2(n)
y1(n)= 0
olur.
Bu durum için asa¼g¬daki faz portreleri elde edilir:
Sekil 5.9 �1 < �1 = �2 < 1, (0; 0) asimtotik kararl¬dü¼güm noktas¬
107
Sekil 5.10 �1 = �2 = 1; dejenere durum (karars¬z)
Buradan asa¼g¬daki sonuç ç¬kar:
Sonuç 5.6.2.
(b1) � 1 < �1 = �2 < 1 ise, (0; 0) asimtotik kararl¬dü¼güm noktas¬d¬r;
(b2) �1 = �2 = 1 ise, (0; 0) dejenere noktad¬r (karars¬z);
(b3) �1 = �2 > 1 ise, (0; 0) karars¬z dü¼güm noktas¬d¬r.
Durum (c) Bu durumda A n¬n özde¼gerleri
�1 = �+ i�, �2 = �� i�, � 6= 0;
seklinde eslenik komplekstir. �1 = � + i� e kars¬l¬k gelen özvektör �1 =
0@ 1
i
1A dir.
Buradan (5.6.5) in bir çözümü
y(n) =
0@ 1
i
1A (�1)n =0@ 1
i
1A j�1jn (cosn! + i sinn!)
= j�1jn0@ cosn!
� sinn!
1A+ i j�1jn0@ sinn!
cosn!
1Adir; burada ! = tan�1(�
�). Buradan bir genel çözüm
0@ y1(n)
y2(n)
1A = j�1jn0@ c1 cosn! + c2 sinn!
�c1 sinn! + c2 cosn!
1A108
biçiminde olup y1(0) = y10, y2(0) = y20 baslang¬ç kosullar¬n¬sa¼glayan çözüm8<: y1(n) = j�1jn (y10 cosnw + y20 sinnw);
y2(n) = j�1jn (�y10 sinnw + y20 cosnw)
dir. Bu ise 8<: y1(n) = j�1jn r0 cos(n! � );
y2(n) = � j�1jn r0 sin(n! � )
seklinde yaz¬labilir; burada
cos =y10r0; sin =
y20r0ve r0 = (y210 + y220)
1=2
dir. Kutupsal koordinatlarda bu çözüm
r(n) = r0 j�1jn , �(n) = �(n! � )
biçimindedir.
Böylece asa¼g¬daki sonuç elde edilir:
Sonuç 5.6.3.
(c1) j�1j < 1 ise, (0; 0) bir asimtotik kararl¬odak noktas¬d¬r (Sekil 5.11);
(c2) j�1j > 1 ise, (0; 0) karars¬z odak noktad¬r (Sekil 5.12);
(c3) j�1j = 1 ise, (0; 0) bir merkezdir (kararl¬) (Sekil 5.13):
Bu sonuç için asa¼g¬daki faz semalar¬gözönüne al¬nabilir:
109
Sekil 5.11 j�j < 1; (0; 0) asimtotik kararl¬odak noktas¬
Sekil 5.12 j�j > 1; (0; 0) karars¬z odak noktas¬
Sekil 5.13 j�j = 1; (0; 0) merkez noktas¬
110
Böylece (5.6.5) Jordan sisteminin olas¬faz portreleri elde edilmis olur. Bundan sonra
(5.6.4) dönüsümü yard¬miyle (5.6.3) sisteminin kars¬l¬k gelen faz portresi
x1x2-düzleminde çizilmis olur. Bunu aç¬klamak üzere asa¼g¬daki örnekler verilebilir.
Örnek 5.6.1.
x(n+ 1) = Ax(n)
sisteminin faz portresini çizelim; burada
A =
0@ 1 1
141
1A :
det(A � I) 6= 0 oldu¼gundan, bu sistemin tek denge noktas¬x� =
0@ 0
0
1A d¬r. A
n¬n özde¼gerleri �1 =32ve �2 = 1
2oldu¼gundan, Sonuç 5.6.1 (a3) deneniyle s¬f¬r
denge noktas¬bir semer noktas¬d¬r. A n¬n bu özde¼gerlere kars¬l¬k gelen özvektörleri,
s¬rasiyle,
�1 =
0@ 2
1
1A ; �2 =
0@ 2
�1
1Adir. Buna göre
P =
0@ 2 2
1 �1
1Aolup
J = P�1AP =
0@ 320
0 12
1Adir. Buradan Jordan kanonik
y(n+ 1) = Jy(n)
sisteminin (0; 0) denge noktas¬civar¬ndaki faz portresi asa¼g¬daki gibidir:
111
Sekil 5.14 (0; 0) semer noktas¬
Verilen sistemin faz portresi için x(n) = Py(n) dönüsümü gözönüne al¬narak
y1y2-sisteminden x1x2-sistemine geçilir. Bunun için y1y2-sistemindeki
0@ 1
0
1A ile0@ 0
1
1A vektörlerinin x1x2-sistemindeki kars¬l¬klar¬bulunur:
P
0@ 1
0
1A =
0@ 2
1
1A ve P
0@ 0
1
1A =
0@ 2
�1
1A :
Buradan y1-ekseni �1 = tan�1(0:5) kadar döndürülerek x1-ekseni ve y2-ekseni
�2 = tan�1(�0:5) kadar döndürülürse, x2-ekseni bulunur. Böylece verilen sistemin
faz semas¬Sekil 5.15�de verilmektedir:
Sekil 5.15 (0; 0) semer noktas¬
112
Örnek 5.6.2.
x(n+ 1) = Ax(n); A =
0@ 1 3
�1 1
1Asistemini ele alal¬m. det(A � I) = 3 6= 0 oldu¼gundan, sistemin tek denge noktas¬
orijindir.
A n¬n özde¼gerleri �1 = 1 +p3i ve �2 = 1 �
p3i olup j�1j = 2 > 1 dir. O halde,
Sonuç 5.6.3 (c2) den, orijin denge noktas¬karars¬z bir odak noktas¬d¬r.
Öte yandan, �1 = 1 +p3i özde¼gerine kars¬l¬k gelen özvektör
�1 =
0@ p3
i
1A =
0@ p3
0
1A+ i
0@ 0
1
1Aoldu¼gundan,
P =
0@ p3 0
0 1
1Adir. Buradan
y(n+ 1) = Jy(n); J = P�1AP =
0@ 1p3
�p3 1
1AJordan kanonik formu bulunur.
Bu sistemin kutupsal koordinatlardaki çözümü8<: r(n) = r0 j�1jn =p(y210 + y220) 2
n;
�(n) = �� n!
dir; burada
� = tan�1�y20y10
�; ! = tan�1(
p3) =
�
3:
Bu çözüm, özel olarak y10 = � 116; y20 = 0 baslang¬ç de¼gerleri için8<: r(n) = 1
16(2)n = 2n�4;
�(n) = � � n�3
seklini al¬r.
113
Buradan Jordan kanonik formunun faz semas¬asa¼g¬daki gibidir:
Sekil 5.16 (0; 0) karars¬z odak noktas¬
Simdi x(n) = Py(n) dönüsümünü gözönüne al¬n¬rsa,
P
0@ 1
0
1A =
0@ p3 0
0 1
1A0@ 1
0
1A =
0@ p3
0
1A =p3
0@ 1
0
1A ;
P
0@ 0
1
1A =
0@ p3 0
0 1
1A0@ 0
1
1A =
0@ 0
1
1Aelde edilir. Buradan y1 ve y2 eksenlerini döndürmeye gerek yoktur. Dolay¬siyle
verilen sistemin x1x2-düzlemindeki faz semas¬Sekil 5.16�ya benzer olacakt¬r. Sekil
5.16�da gra�¼gi çizilen özel e¼grinin x1x2-düzlemindeki baslang¬ç noktas¬(�p316; 0) d¬r.
114
6. LYAPUNOV DO¼GRUDAN YÖNTEM·I
6.1 Giris
Rus matematikçi A.M Liapunov 1892 y¬l¬nda yay¬nlad¬¼g¬doktora tezinde lineer ol-
mayan diferensiyel denklemlerin kararl¬l¬¼g¬n¬ incelemek için yeni ve harikulade bir
yöntem gelistirdi¼gini belirtti. Bu yönteme daha sonra Lyapunov do�grudan y�ontemi
veya Lyapunov ikinci yöntemi ad¬verildi. Bu yöntem, çözümleri bulmadan onlar¬n
kalitatif yap¬s¬n¬ inceleme f¬rsat¬n¬ tan¬maktad¬r. Bu yüzden Lyapunov do¼grudan
yöntemi stabilite teorisinde en önemli araçlardan biri olarak ifade edilir. Belirtelim ki
bu yöntem Lyapunov fonksiyonu olarak adland¬r¬lan gerçel de¼gerli bir fonksiyonun
bulunmas¬na dayan¬r. Ancak, her denklem için bir Lyapunov fonksiyonu olusturmak
kolay bir is de¼gildir. Bu da yöntemin bir eksikli¼gi olarak kabul edilir.
Bu bölümde, Lyapunov do¼grudan yönteminin fark denklemlerine nas¬l uyguland¬¼g¬
anlat¬lacakt¬r (LaSalle ve Lefschetz 1961, Diamond 1978, Peterson 1989).
6.2 Lineer Olmayan Otonom Sistemler
Bu kesimde k-boyutlu lineer olmayan
x(n+ 1) = f(x(n)) (6.2.1)
otonom fark denklemi ele al¬nmaktad¬r; burada f : G � Rk ! Rk sürekli vektör
de¼gerli bir fonksiyondur.
x�, (6.2.1) in bir denge noktas¬; yani, f(x�) = x� olsun.
V : Rk ! R reel de¼gerli bir fonksiyon olsun. V nin (6.2.1) sistemine göre de�gisimi
(varyasyonu);
�V (x) = V (f(x))� V (x)
115
seklinde olup
�V (x(n)) = V (f(x(n)))� V (x(n))
= V (x(n+ 1))� V (x(n))
dir. Buradan �V (x) � 0 ise, o zaman V fonksiyonu (6.2.1) in çözümleri boyunca
artmayand¬r.
Tan¬m 6.2.1. Asa¼g¬daki kosullar¬sa¼glayan bir V : H � Rk ! R fonksiyonuna H
bölgesinde bir Lyapunov fonksiyonu denir:
(i) V , H üzerinde süreklidir,
(ii) �V (x) � 0; x ve f(x) 2 H:
B(x; ); Rk da x merkezli -yar¬çapl¬aç¬k yuvar olsun; yani,
B(x; ) =�y 2 Rk : ky � xk <
:
Orijin merkezli B(0; ) yuvar¬yerine k¬saca B( ) kullan¬lacakt¬r.
Tan¬m 6.2.2. Bir reel de¼gerli V fonksiyonuna, asa¼g¬daki kosullar¬n sa¼glanmas¬
halinde, x� noktas¬nda pozitif definit denir:
(i) V (x�) = 0;
(ii) V (x) > 0; 8 x 2 B(x�; ), x 6= x�:
Simdi Lyapunov kararl¬l¬k teoremlerini ifade edelim.
Teorem 6.2.1. x� denge noktas¬n¬n bir H komsulu¼gunda (6.2.1) denklemi için bir
V Lyapunov fonksiyonu varsa ve bu fonksiyon x� noktas¬nda pozitif de�nit ise, o
zaman x� denge noktas¬kararl¬d¬r.
Bu teoremin ispat¬n¬vermeden önce, iki-boyutlu sistem için konuya geometriksel bir
aç¬klama yapmak faydal¬olacakt¬r.
116
(6.2.1) sisteminin x� denge noktas¬ x1x2-düzleminin orijini, yani x� = 0 olsun.
Ayr¬ca, bu sistem H = B ( ) yuvar¬nda pozitif de�nit bir V Lyapunov fonksi-
yonuna sahip olsun. Buna göre V nin gra�¼gi 3-boyutlu dik koordinat sisteminde
bir paraboloid yüzeyine benzerken (Sekil 6.1); V (x1; x2) = c; x1x2-düzleminde V nin
seviye e¼grilerini ifade eder (Sekil 6.2).
" > 0 say¬s¬için B (") yuvar¬V nin seviye e¼grilerinden birini kesinlikle kapsar. Böyle
bir seviye e¼grisi V (x) = c2 olsun. Bu seviye e¼grisi de bir � 2 (0; ") say¬s¬için B (�)
yuvar¬n¬kapsar.
E¼ger bir x(n; 0; x0) yolu B (�) yuvar¬nda harekete basl¬yorsa; yani x0 2 B (�) ise,
o zaman V (x0) < c2 dir. �V 6 0 oldu¼gundan, V fonksiyonu (6.2.1) in çözümleri
boyunca artmayand¬r. Dolay¬siyle her n > 0 için V (x(n)) 6 V (x0) < c2 dir. Bu-
radan x(n; 0; x0) yolu ilelebet B (") yuvar¬içinde kal¬r. Bu da s¬f¬r çözümünün kararl¬
olmas¬demektir.
Sekil 6.1 Bir kuadratik Lyapunov fonksiyonu
117
Sekil 6.2 Seviye e¼grileri
Teorem 6.2.1 in ·Ispat¬. B (x�; �1) � G \ H olacak biçimde bir �1 > 0 say¬s¬
seçelim.
f sürekli oldu¼gundan, x 2 B (x�; �2) halinde f(x) 2 B (x�; �1) olacak sekilde bir
�2 > 0 seçilebilir. Bir " 2 (0; �2] say¬s¬verilsin.
(") = min fV (x) : " 6 kx� x�k 6 �1g
olsun. Ara de¼ger teoreminden,
kx� x�k < � iken V (x) < (")
olacak sekilde bir � 2 (0; ") say¬s¬vard¬r.
Buradan x0 2 B (x�; �) oldu¼gu zaman her n > 0 için x(n) 2 B (x�; ") oldu¼gu iddia
edilebilir. Gerçekten bu iddia do¼grudur. E¼ger de¼gilse, o zaman 1 6 r 6 m için
x(r) 2 B (x�; ") ve x(m+1) =2 B (x�; ") olacak sekilde bir x0 2 B (x�; �) ve bir m > 0
say¬s¬var demektir. x(m) 2 B (x�; ") � B (x�; �2) oldu¼gundan,
x(m + 1) 2 B (x�; �1) olur. Buradan V (x(m + 1)) > (") bulunur. Bu ise bir
çeliskidir, çünkü V (x(m + 1)) 6 ::: 6 V (x0) < (") dur. Böylece kararl¬l¬k durumu
ispatlanm¬s oldu.
118
Teorem 6.2.2. Teorem 6.2.1 in hipotezlerine ek olarak x 6= x� olmak üzere
x; f(x) 2 H için �V (x) < 0 ise, o zaman x� denge noktas¬asimtotik kararl¬d¬r.
·Ispat. x0 2 B (x�; �) olsun. Bu durumda her n > 0 için x(n) 2 B (x�; ") olur.E¼ger fx(n)g dizisi x� noktas¬na yak¬nsam¬yorsa, o zaman bir y 2 Rk vektörüne
yak¬nsayan bir fx(ni)g alt dizisi var demektir.
E � B (x�; �1) ; x� =2 E, y nin bir aç¬k komsulu¼gu olsun.
h(x) =V (f(x))
V (x)
fonksiyonu E üzerinde iyi tan¬ml¬ve sürekli olup her x 2 E için h(x) < 1 dir.
Simdi, � 2 (h(y); 1) ise, o zaman x 2 B (y; �) için h(x) 6 � olacak sekilde bir � > 0
say¬s¬vard¬r. Böylece yeterince büyük bir ni için
V (f(x(ni))) 6 �V (x(ni � 1)) 6 �2V (x(ni � 2)) 6 ::: 6 �niV (x0)
d¬r. Dolay¬siyle
limni!1
V (x(ni)) = 0 (6.2.2)
elde edilir.
limni!1 V (x(ni)) = V (y) oldu¼gundan, (6.2.2) nedeniyle, V (y) = 0 d¬r ve sonuç
olarak y = x� bulunur. Böylece ispat tamamlanm¬s olur.
Teorem 6.2.3. Teorem 6.2.2 nin hipotezlerine ek olarak G = H = Rk ve
limkxk!1V (x) =1 (6.2.3)
ise, o zaman x� denge noktas¬global asimtotik kararl¬d¬r.
·Ispat. ·Ispat için bütün çözümlerin s¬n¬rl¬ oldu¼gunu gösterip yukar¬daki islemleri
tekrarlamak yeterli olacakt¬r.
S¬n¬rl¬ olmayan bir x(n) çözümü mevcut olsun. Bu durumda ni ! 1 halinde
fx(ni)g ! 1 olacak sekilde bir fx(ni)g alt dizisi var demektir. Buradan ve (6.2.3)
119
kosulundan
ni !1 halinde V (x(ni))!1
elde edilir. Bu ise bir çeliskidir. Çünkü, her i için V (x0) > V (x(ni)) dir. O halde
teoremin kosullar¬alt¬nda (6.2.1) sisteminin bütün çözümleri s¬n¬rl¬d¬r. Böylece kan¬t
tamamlan¬r.
S¬n¬rl¬l¬k durumunun önemi ve basl¬ bas¬na ba¼g¬ms¬z bir arast¬rma konusu olmas¬
nedeniyle ayr¬bir teorem seklinde ifade edilebilir.
Teorem 6.2.4. V , bir � > 0 say¬s¬için�x 2 Rk : kxk > �
üzerinde bir Lyapunov
fonksiyonu ve (6.2.3) kosulu sa¼glan¬yorsa, o zaman (6.2.1) sisteminin bütün çözümleri
s¬n¬rl¬d¬r.
Örnek 6.2.1. ·Ikinci basamaktan fark
x(n+ 1) =�x(n� 1)1 + �x2(n)
, � > 0;
denklemini ele alal¬m. Bu denklem ço¼gunlukla bir gecikmeli denklem olarak bilinir.
Bu denklemin
x� = 0, x� = �r�� 1�
; � > 1
seklinde üç tane denge noktas¬vard¬r. Denklemi önce
y1(n) = x(n� 1); y2(n) = x(n)
dönüsümü yard¬miyle 8>>><>>>:y1(n+ 1) = y2(n)
y2(n+ 1) =�y1(n)
1 + �y22(n)
sistemine indirgeyelim.
(0; 0) denge noktas¬n¬gözönüne alal¬m. Bir Lyapunov fonksiyonu
V (y1; y2) = y21 + y22
120
seklinde seçilsin. Bu aç¬k olarak R2 de sürekli ve pozitif de�nittir. Ayr¬ca,
y(n) = (y1(n); y2(n)) olmak üzere
�V (y(n)) = V (y(n+ 1))� V (y(n))
= V (y1(n+ 1); y2(n+ 1))� V (y1(n); y2(n))
= y21(n+ 1) + y22(n+ 1)� y21(n)� y22(n)
dir. Buradan
�V (y1(n); y2(n)) =
��2
(1 + �y22(n))2 � 1
�y21(n)
� (�2 � 1)y21(n) (6.2.4)
elde edilir.
�2 � 1 ise, o zaman �V (y(n) � 0 d¬r. Bu durumda x� = 0 verilen denklemin tek
denge noktas¬olup Teorem 6.2.1 den kararl¬d¬r.
Ayr¬ca limkxk!1 V (x) = 1 oldu¼gundan, Teorem 6.2.4 den dolay¬bütün çözümler
s¬n¬rl¬d¬r. y2-ekseni üzerindeki her noktada �V = 0 oldu¼gundan, Teorem 6.2.2 orijin
noktas¬n¬n asimtotik kararl¬l¬¼g¬n¬belirtmede yetersiz kal¬r.
Simdi s¬f¬r çözümünün karars¬zl¬k durumunu ifade eden bir sonuçtan sözedelim.
Teorem 6.2.5. �V orijinin bir komsulu¼gunda pozitif de�nit ve V (ai) > 0 ola-
cak sekilde bir faig ! 0 dizisi var ise, bu durumda (6.2.1) sisteminin s¬f¬r çözümü
karars¬zd¬r.
Uyar¬6.2.1. �V negatif de�nit ve V (ai) < 0 ise, Teorem 6.2.5 in sonucu yine do¼gru
kal¬r.
Örnek 6.2.2. 8<: x1(n+ 1) = x1(n) + x22(n) + x21(n)
x2(n+ 1) = x2(n)(6.2.5)
121
sistemini ele alal¬m. (0; 0) bu sistemin bir denge noktas¬d¬r. Simdi,
V (x1; x2)) = x1 + x2
olsun. Bu fonksiyon için
�V (x(n)) = x21(n) + x22(n) > 0; (x1; x2) 6= (0; 0)
d¬r; yani, �V (x) orijinin herhangi bir komsulu¼gunda pozitif de�nittir.
Ayr¬ca genel terimi
ai =
�1
1 + i; 0
�olan faig dizisi için
limi!1
ai = (0; 0) ve V (ai) =1
1 + i> 0; i 2 N
dir. O halde Teorem 6.2.5 den, verilen sistemin s¬f¬r denge çözümü karars¬zd¬r.
6.3 Lineer Otonom Sistemler
Önceki bölümden, k-boyutlu lineer
x(n+ 1) = Ax(n); n > n0 > 0 (6.3.1)
otonom fark sistemi için asimtotik kararl¬l¬k kosulunun �(A) < 1 oldu¼gu biliniyor
(Teorem 5.5.3); burada A, k� k tipinde reel sabit elemanl¬singüler olmayan bir ma-
tristir. Tabii ki bu kosul, A n¬n özde¼gerlerini hesaplamay¬gerekli görüyor. Halbu ki,
Lyapunov ikinci yöntemi kullan¬lacak olursa, böyle bir hesaba gerek kalmayacakt¬r.
Bu yöntemi uygulamak için önce bir haz¬rl¬k yapal¬m (Carvalho 1996).
Tan¬m 6.3.1. k � k tipinde reel simetrik bir B = (bij) matrisine, skaler
V (x) = xTBx =
kXi=1
kXj=1
bijxixj
122
fonksiyonu pozitif de�nit ise, pozitif definit matris denir.
Tan¬m 6.3.2. Bir matrisin esas asli min�orleri, o matrisin kendisi ile ard¬s¬k olarak
son sat¬r ve son kolonlar¬n¬n at¬lmas¬yla elde edilen karesel matrislerdir. Örne¼gin,
B =
0BBB@3 2 0
2 5 �1
0 �1 1
1CCCA (6.3.2)
matrisinin esas asli minörleri
(3);
0@ 3 2
2 5
1A ; B
dir.
Teorem 6.3.1 (Sylvester kriteri). Reel simetrik bir B matrisinin pozitif de�nit
olmas¬için gerek ve yeter kosul onun bütün esas asli minörlerinin determinantlar¬n¬n
pozitif olmas¬d¬r.
Örnek 6.3.1. (6.3.2) ile verilen reel simetrik B matrisi pozitif de�nittir. Gerçekten,
onun esas asli minörlerinin
det(3) = 3; det
0@ 3 2
2 5
1A = 11 ve detB = 8
determinantlar¬pozitiftir.
Ayr¬ca, bu matrise kars¬l¬k gelen kuadratik
V (x) = xTBx = 3x21 + 5x22 + x23 + 4x1x2 � 2x2x3
fonksiyonu pozitif de�nittir; burada x = (x1; x2; x3)T dir. Çünkü V (0) = 0 ve her
x 6= 0 için V (x) > 0 d¬r.
123
Uyar¬6.3.1. Verilen bir kuadratik
V (x) = ax21 + bx22 + cx23 + dx1x2 + ex1x3 + fx2x3
fonksiyonu daima
V (x) = xTBx
seklinde yaz¬labilir; burada x = (x1; x2; x3)T ve
B =
0BBB@a d=2 e=2
d=2 b f=2
e=2 f=2 c
1CCCA :
Dolay¬siyle, V (x) in pozitif de�nit olmas¬ için gerek ve yeter kosul B nin pozitif
de�nit olmas¬d¬r. Bu durum genel kuadratik V (x) =kXi=1
kXj=1
bijxixj formu için de
aynen geçerlidir.
Teorem 6.3.2. Reel simetrik bir B matrisi pozitif de�nit ise, bu durumda B nin
bütün özde¼gerleri pozitiftir. Ayr¬ca, �1; �2; :::; �k; B nin özde¼gerleri ise, o zaman
�min kxk2 6 V (x) 6 �max kxk2 ; 8 x 2 Rk (6.3.3)
dir; burada
�min = min fj�ij : 1 6 i 6 kg ;
�max = �(A) = max fj�ij : 1 6 i 6 kg ;
V (x) = xTBx ve k:k Öklid normudur.
Böylece, B pozitif de�nit simetrik bir matris oldu¼gu sürece bir aday Lyapunov
fonksiyonu olarak
V (x) = xTBx (6.3.4)
124
seçilebilir. Sonra bu fonksiyonun (6.3.1) sistemine göre �V (x) de¼gisimi hesaplan¬r:
�V (x(n)) = xT (n+ 1)Bx(n+ 1)� xT (n)Bx(n)
= xT (n)ATBAx(n)� xT (n)Bx(n)
= xT (n)(ATBA�B)x(n): (6.3.5)
Buna göre �V (x) < 0 olmas¬için gerek ve yeter kosul
ATBA�B = �C (6.3.6)
olmas¬d¬r; burada C bir pozitif de�nit simetrik matristir. (6.3.6) denklemi (6.3.1)
sistemi için Lyapunov denklemi olarak bilinir. Böylece asa¼g¬daki teorem verilebilir.
Teorem 6.3.3. (6.3.1) sisteminin s¬f¬r çözümünün asimtotik kararl¬olmas¬için gerek
ve yeter kosul, bir pozitif de�nit simetrik C matrisine kars¬l¬k (6.3.6) denkleminin
bir tek pozitif de�nit simetrik B matrisine sahip olmas¬d¬r.
·Ispat. (6.3.1) in s¬f¬r çözümü asimtotik kararl¬ olsun. C pozitif de�nit simetrik
bir matris olsun. Gösterece¼giz ki (6.3.6) Lyapunov denklemi bir tek B çözümüne
sahiptir. (6.3.6) denklemini soldan (AT )r ve sa¼gdan Ar ile çarparsak,
(AT )r+1BAr+1 � (AT )rBAr = �(AT )rCAr
olur. Buradan
limn!1
nXr=0
�(AT )r+1BAr+1 � (AT )rBAr
�= � lim
n!1
nXr=0
(AT )rCAr
ve
limn!1
�B � (AT )n+1BAn+1
�=
1Xr=0
(AT )rCAr (6.3.7)
yaz¬labilir.
Teorem 5.5.3 (ii) den, �(A) < 1 ve dolay¬siyle �(AT ) < 1 olur. Buradan
125
limn!1(AT )n+1BAn+1 = 0 (s¬f¬r matrisi) elde edilir. Böylece (6.3.7) den,
B =1Xr=0
(AT )rCAr (6.3.8)
elde edilir. Bu seri yak¬nsakt¬r. Çünkü AT < 1 ve kAk < 1 olacak sekilde bir norm
vard¬r. Ayr¬ca, (6.3.8) formunda verilen B matrisi simetrik ve pozitif de�nittir.
Uyar¬6.3.2. Teorem 6.3.3 deki C matrisi yerine I birim matrisi al¬nabilir. O zaman
(6.3.6) n¬n bir çözümü, (6.3.8) den,
B =1Xr=0
(AT )rAr (6.3.9)
biçimindedir.
Sonuç 6.3.1. �(A) > 1 ise, bu durumda pozitif de�nit bir C matrisi için (6.3.6)
Lyapunov denklemi sa¼glanacak sekilde pozitif yar¬de�nit olmayan bir reel simetrik
B matrisi vard¬r.
126
7. L·INEERLEST·IRME METODU
Lineerlestirme metodu kararl¬l¬k teorisinde bilinen en eski yöntemdir. Bu metodu,
bilim adamlar¬ve mühendisler daha çok kontrol sistemlerini dizayn ve analiz eder-
ken kullan¬rlar. Lineerlestirme yöntemi, ilk kez Lyapunov ve Perron taraf¬ndan dife-
rensiyel denklemlerin kararl¬l¬k teorisi hakk¬nda yap¬lan özgün çal¬smalarda ortaya
ç¬km¬st¬r. Bu bölümde, esas olarak Perron yaklas¬m¬n¬n lineer olmayan fark denklem
sistemlerine nas¬l uyguland¬¼g¬üzerinde durulacakt¬r.
Lineer olmayan fark denklem sistemi
x(n+ 1) = A(n)x(n) + g(n; x(n)) (7.1)
olsun; burada A(n); k � k tipinde her n için singüler olmayan bir matris ve
g : N�G! Rk; G � Rk; sürekli bir fonksiyondur. (7.1) e iliskin lineer sistem
y(n+ 1) = A(n)y(n) (7.2)
dir.
(7.1) sistemi,
x(n+ 1) = f(n; x(n)) (7.3)
seklinde bir denklemin lineerlestirilmesi esnas¬nda elde edilebilir; burada
f : N � G ! Rk; G � Rk; bir x� denge noktas¬nda sürekli türevlenebilen bir
fonksiyondur (yani, @f@xijx� ; 1 6 i 6 k; mevcut ve x� ¬n bir aç¬k komsulu¼gunda
süreklidir).
K¬sal¬k için x� = 0; ve ayr¬ca her n 2 N için f(n; 0) = 0 olsun. Simdi, lineerlestirme
yöntemini aç¬klamak üzere (7.3) sistemini gözönüne alal¬m.
f = (f1; f2; :::; fk)T nin Jacobian matrisi
127
@f(n; x)
@xjx=0 =
@f(n; 0)
@x=
0BBBBBB@
@f1(n;0)@x1
@f1(n;0)@x2
� � � @f1(n;0)@xk
@f2(n;0)@x1
@f2(n;0)@x2
� � � @f2(n;0)@xk
......
...@fk(n;0)@x1
@fk(n;0)@x2
� � � @fk(n;0)@xk
1CCCCCCAdir. Yine k¬sal¬k için @f(n;0)
@x= f 0(n; 0) olsun.
@f(n; 0)
@x= A(n) ve g(n; x) = f(n; x)� A(n)x(n)
al¬n¬rsa, (7.3) sistemi (7.1) biçiminde yaz¬labilir.
(7.3) sisteminin bir önemli özel durumu
x(n+ 1) = f(x(n)) (7.4)
otonom sistemidir. Bu da
x(n+ 1) = Ax(n) + g(x(n)) (7.5)
seklinde yaz¬labilir; burada A = f 0(0) Jacobian matris ve g(x) = f(x)�Ax dir. f ; 0
da türevlenebilir oldu¼gundan, kxk ! 0 halinde g(x) = o(x) (yani, " > 0 için kxk < �
halinde kg(x)k 6 " kxk olacak sekilde bir � > 0 vard¬r) ya da esde¼ger olarak
limkxk!0
kg(x)kkxk = 0
d¬r.
Bu arada daha fazla ilerlemeden diferensiyel denklemlerde yo¼gun bir sekilde kul-
lan¬lan Gronwall esitsizli�ginin ayr¬k analo¼gunu verelim (Popenda 1985).
128
Lemma 7.1 (Ayr¬k Gronwall Esitsizli¼gi). z(n) ve h(n); n > n0 > 0; reel
say¬lar¬n iki dizisi olmak üzere h(n) > 0 olsun. Bir M > 0 için
z(n) 6M
"z(n0) +
n�1Xj=n0
h(j)z(j)
#
yaz¬labiliyorsa, bu durumda
z(n) 6 z(n0)
n�1Yj=n0
(1 +Mh(j)) ; n > n0 (7.6)
veya
z(n) 6 z(n0) exp
n�1Xj=n0
Mh(j)
!; n > n0 (7.7)
d¬r.
·Ispat.
u(n) =M
"u(n0) +
n�1Xj=n0
h(j)u(j)
#; u(n0) = z(n0) (7.8)
olsun.
j > n0 için h(j) > 0 oldu¼gundan, her n > n0 için z(n) 6 u(n) dir. (7.8) den,
u(n+ 1)� u(n) =Mh(n)u(n)
ya da
u(n+ 1) = [1 +Mh(n)]u(n)
bulunur. Bu birinci basamaktan denklemin çözümü
u(n) =n�1Yj=n0
[1 +Mh(j)]u(n0)
129
d¬r. Bu da (7.6) fomülünü ifade eder. Simdi
1 +Mh(j) 6 exp (Mh(j))
esitsizli¼gi gözönüne al¬n¬rsa, (7.7) formülü elde edilir.
Teorem 7.1. kxk ! 0 halinde düzgün olarak g(n; x) = o(kxk) olsun. (7.2) homogen
sisteminin s¬f¬r çözümü düzgün asimtotik kararl¬ise, bu durumda lineer olmayan (7.1)
sisteminin s¬f¬r çözümü üstel kararl¬d¬r.
·Ispat. Teorem 5.5.1 (iv) den, bir M > 1 ve � 2 (0; 1) için
k�(n;m)k 6M�(n�m); n > m > n0
elde edilir.
(7.1) in x(n; n0; x0) çözümü, (3.1.13) formülünden,
x(n; n0; x0) = �(n; n0)x0 +n�1Xj=n0
�(n; j + 1)g(j; x(j))
biçiminde verilir. Buradan
kx(n)k 6M�(n�n0) kx0k+M��1n�1Xj=n0
�(n�j) kg(j; x(j))k (7.9)
olur. Küçüklük kosulundan, verilen bir " > 0 say¬s¬na kars¬l¬k kxk < � halinde
g(j; x) 6 " kxk olacak sekilde bir � > 0 vard¬r.
Buradan, kx(j)k < � oldu¼gu sürece (7.9) dan,
��n kx(n)k 6M
"��n0 kx0k+
n�1Xj=n0
"��j�1 kx(j)k#
(7.10)
yaz¬labilir.
130
z(n) = ��n kx(n)k al¬n¬r ve sonra (7.6) Gronwall esitsizli¼gi uygulan¬rsa,
��n kx(n)k 6 ��n0 kx0kn�1Yj=n0
�1 + "��1M
�bulunur. Buradan
kx(n)k 6 kx0k (� + "M)n�n0 ; n > n0 > 0 (7.11)
ç¬kar. " < 1��M
seçiminden, � + "M < 1 olur. Böylece, (7.11) esitsizli¼ginden, s¬f¬r
çözümünün üstel kararl¬l¬¼g¬elde edilir.
Sonuç 7.1. �(A) < 1 ise, (7.5) in s¬f¬r çözümü üstel kararl¬d¬r.
·Ispat. Teorem 5.5.3 (ii) ve Teorem 7.1 den ispatlan¬r.
Sonuç 7.2. kf 0(0)k < 1 ise, bu durumda (7.4) ün s¬f¬r çözümü üstel kararl¬d¬r.
·Ispat. � (f 0(0)) 6 kf 0(0)k oldu¼gundan, ispat Sonuç 7.1 den ç¬kar.
Örnek 7.1. 8>>>>>><>>>>>>:x1(n+ 1) =
ax2(n)
1 + x21(n);
x2(n+ 1) =bx1(n)
1 + x22(n)
(7.12)
sisteminin s¬f¬r çözümünün kararl¬l¬k durumunu inceleyelim. Burada, f = (f1; f2)T
olmak üzere
f1 =ax2(n)
1 + x21(n)ve f2 =
bx1(n)
1 + x22(n)
dir. Bu durumda Jacobian matrisi
@f(0; 0)
@x=
0@ @f1(0;0)@x1
@f1(0;0)@x2
@f2(0;0)@x1
@f2(0;0)@x2
1A =
0@ 0 a
b 0
1A
131
d¬r. O halde verilen sistem0@ x1(n+ 1)
x2(n+ 1)
1A =
0@ 0 a
b 0
1A0@ x1(n)
x2(n)
1A+0@ �ax2(n)x21(n)= (1 + x21(n))
�bx22(n)x1(n)= (1 + x22(n))
1Aya da
x(n+ 1) = Ax(n) + g(x(n))
seklinde yaz¬labilir.
A n¬n özde¼gerleri �1 =pab ve �2 = �
pab dir. Buradan jabj < 1 ise, o zaman
lineer
x(n+ 1) = Ax(n)
denkleminin s¬f¬r çözümü asimtotik kararl¬olur. g(x) fonksiyonu (0; 0) da türevlenebilir
oldu¼gundan, g(x) = o(x) dir. Böylece, Sonuç 7.1 den, (7.12) sisteminin s¬f¬r çözümü
üstel kararl¬d¬r.
Örnek 7.2 (Pielou, 1969). Pielou lojistik gecikme denklemi olarak bilinen skaler
y(n+ 1) =�y(n)
1 + �y(n� 1) ; � > 1; � > 0 (7.13)
denkleminin y� = ��1�denge noktas¬n¬gözönüne alal¬m.
�y(n) = y(n)� �� 1�
dönüsümü (7.13) e uygulan¬rsa,
�y(n+ 1) =��y(n)� (�� 1)�y(n� 1)
�+ ��y(n� 1) (7.14)
bulunur. Böylece (7.14) ün �y�(n) = 0 denge noktas¬ y� = ��1�denge noktas¬na
kars¬l¬k gelmis olur.
(7.14) denklemine
x1(n) = �y(n� 1) ve x2(n) = �y(n)
132
dönüsümü uygulan¬rsa,
0@ x1(n+ 1)
x2(n+ 1)
1A =
0BBB@x2(n)
�x2(n)� (�� 1)x1(n)
�+ �x1(n)
1CCCA (7.15)
esde¼ger sistemi elde edilir.
(7.15) sistemi (0; 0) civar¬nda lineerlestirilirse,
x(n+ 1) = Ax(n) + g(x(n)) (7.16)
bulunur; burada
A =
0BBB@0 1
1� �
�1
1CCCAve
g(x) =
0BBB@0
�(�� 1)x21 � ��x1x2
�(�+ �x1)
1CCCAdir. A n¬n karakteristik denklemi
�2 � �+�� 1�
= 0
d¬r. Buradan, (5.3.4) kosulundan, A n¬n özde¼gerlerinin birim disk içinde kalmalar¬
için gerek ve yeter kosul
1 <�� 1�
+ 1 < 2 ya da 0 <�� 1�
< 1
olmas¬d¬r. Bu ise � > 1 oldu¼gundan daima sa¼glan¬r.
Böylece, her � > 1 için �(A) < 1 dir. Ayr¬ca, g(x); (0; 0) da sürekli türevlenebilir
oldu¼gundan, (7.15) in s¬f¬r çözümü düzgün asimtotik kararl¬d¬r.
Sonuç olarak, (7.13) sisteminin y� = ��1�denge noktas¬asimtotik kararl¬d¬r.
133
Son olarak �(A) = 1 ve �(A) > 1 durumlar¬için asa¼g¬daki teorem verilebilir (LaSalle
1986).
Teorem 7.2.
(i) �(A) = 1 ise, o zaman (7.5) sisteminin s¬f¬r çözümü kararl¬ya da karars¬z olabilir.
(ii) �(A) > 1 ve kxk ! 0 halinde g(x) = o(x) ise, o zaman (7.5) in s¬f¬r çözümü
karars¬zd¬r.
Örnek 7.3. 8<: x1(n+ 1) = x1(n) + x22(n) + x21(n)
x2(n+ 1) = x2(n)(7.17)
sisteminin (0; 0) denge noktas¬n¬n karars¬z oldu¼gu Örnek 6.2.2 de gösterildi. Bununla
birlikte, bu sistemin lineer k¬sm¬8<: x1(n+ 1) = x1(n)
x2(n+ 1) = x2(n)(7.18)
olup
A =
0@ 1 0
0 1
1Aiçin �(A) = 1 oldu¼gu aç¬kt¬r. Öte yandan, ayn¬lineer k¬sma sahip olan di¼ger bir8<: x1(n+ 1) = x1(n)� x31(n)x
22(n)
x2(n+ 1) = x2(n)(7.19)
sistemi için (0; 0) denge noktas¬kararl¬d¬r. Çünkü (7.19) sistemi için bir V (x) Lya-
punov fonksiyonu
V (x) = x21 + x22
seklinde seçilebilir ve dolay¬siyle
�V (x(n)) = x41(n)x22(n)(�2 + x21(n)x22(n))
olur. Buradan x21x22 6 2 ise, �V (x) 6 0 d¬r.
134
KAYNAKLAR
Agarwal, R.P. 2000 . Di¤erence Equations and Inequalities . Marcel Dekker, 970 ,
New York .
Ak¬n, Ö. ve Bulgak, H. 1998 . Lineer Fark Denklemleri ve Kararl¬l¬k Teorisi . Selçuk
Üniversitesi Rektörlü¼gü Bas¬mevi, 180 , Konya.
Bereketo¼glu, H. 2007 . Dinamik Sistemler Ders Notlar¬.
Carlson, D.C. 1989 . The stability of �nite di¤erence equations. Master�s Thesis,
University of Colorado, Colorado Springs.
Carvalho, L.A.V. 1996 . On quadratic Liapunov functionals for linear di¤erence
equations. Linear Algebra and it�s applications , 240 ; 41-64.
Diamond, P. 1978 . Dicrete Liapunov Function with V>0 . J. Austral. Math. Soc.
Ser. B , 20 ; 280-284.
Elaydi, S. 1999. An ¬ntroduction to Di¤erence Equations . Springer-Verlag , 428 ,
New York .
Elaydi, S. and Peterson, A. 1988 . Stability of di¤erence equations . Proceedings of
the International Conference on Theory and Applications of Di¤erential
Equations, edited by Aftabizadeh R. ; 417-422
Elaydi, S. and Harris, W. 1998 . On the Computation of An . SIAM Review , 40 (4)
; 965-971
Goldberg, S. 1986. Introduction to Di¤erence equations with Illustrative examples
from Economics, Psychology and Sociology . Dover, 260 , New York.
Gordon, S. 1971 , Stability and summability of solutions of di¤erence equations .
Math. Syst. Theory , 5 ;56-75.
Gupta, G.C. 1994 . On linear di¤erence equations with constant coe¢ cients: An
alternative to the method of undetermined coe¢ cients . Mathematics
Magazine , 67 ; 131-135.
Gupta, G.C. 1998 . On particular solutions of linear di¤erence equations with
constant coe¢ cients . SIAM Review , 40 ; 680-684.
Hankerson, D. 1989 . An existence and uniqueness theorem for di¤erence equations
. SIAM J. Math , 20 ; 1208-1217.
135
Hunt, J. 1967 . Some stability theorems for ordinary di¤erence equations .
SIAM J. Numer. Anal . , 4 ; 582-596.
Jury, E. 1964 . Theory and Applications of the Z-transform, Wiley, New York .
Jury, E. 1971. ·Inners approach to some problems of system theory . IEEE
Transaction on Aut. Cont. , 16 (3) ; 233-240.
Jury, E. 1981 . Anderson B. A note on the reduced Schur- Criterion IEEE
Transaction on Aut. Cont. , 26 (2) ; 612-614 .
Kelley, W.G. and Peterson , A.C. 1991. Di¤erence Equations An Introduction
with Applications. Academic , 403 , New York .
Lakshmikantham, V. and Trigiante, D. 1998. Theory of Di¤erence Equations:
Numerical Methods and Applications . Academic , 242 , New York.
LaSalle, J. P. and Lefschetz, S. 1961 . Stability by Liapunov�s Direct Method with
Applications . Academic Press , New York .
LaSalle, J. P. 1977 . Stability theory for di¤erence equations . MAA Studies in
Mathematics, 14 ; 1-31 .
LaSalle, J. P. 1986. The Stability and Control of Discrete Processes. App. Math.
Sci., 82 .
Mickens, R. 1990. , Di¤erence Equations . Van Nostrand , Reinhold , 448 , New
York.
Miller, K. S. 1968 . Linear Di¤erence Equations . W. A Benjamin , New York
Murty, K. N., Anand, P.V.S. and Lakshmi-Prasannam, V. 1997. First order
di¤erence systems existence and uniqueness Proc. Amer. Math. Soc. ,
125 (12) ; 3533-3539
Peterson, A. 1987. Existence and uniqueness theorems for nonlinear di¤erence
equations. J. Math. Anal. Appl. , 125 ; 185-191 .
Peterson, A. 1989. Stability of di¤erence equations via Liapunov functions.
Proceedings of the international Conference on Di¤erential Equations
(Ohio University Press) , 235-238 .
Pielou, E.C. 1969 . An Introduction to Mathematical Ecology . Wiley Interscience
, New York, Popenda J. , 1983 . On the discrete analogy of Gronwall
lemma , Demonstration Mathematica , 16 ; 11-15
136
Popenda, J. 1985 . On some discrete Gronwall type inequalities , Fasciculi Mathe
matici , 14 ; 109-114
Ortega, J. M. 1973 . Stability of di¤erence equations and convergence of iterative
process . SIAM J. Numer. Anal. , 10 (2) ; 268-282 .
Sugiyama, S. 1969 . On the stability problems on di¤erence equations . Bull. Sci.
Eng. Research Lab. Waseda Univ. , 45 ; 140-144
Sugiyama, S. 1971 . On periodic solutions of di¤erence equations . Bull Sci. Eng.
Res. Lab. Wasenda Univ. 52 ; 87-94
Tauber, S. 1964. Existence and Uniqueness Theorems for Solutions of Di¤erence
Equations. Mathematical Association of America . 71 (8) ; 859-862
137
ÖZGEÇM·IS
Ad¬Soyad¬ : Vildan KUTAY
Do¼gum Yeri : Ankara
Do¼gum Tarihi : 15.12.1984
Medeni Hali : Bekar
Yabanc¬Dili : ·Ingilizce
E¼gitim Durumu (Kurum ve Y¬l)
Lise : Ayd¬nl¬kevler Lisesi (2003)
Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2007)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬ (Eylül 2007 - Ocak 2010)
138
