Faculdade de Engenharia

Análise Matemática 2

MIEEC 2015/2016

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AM2 1516

Funcionamento

• Teórico-práticas•exposição e discussão da matéria•resolução de exercícios

• Trabalho extra-aula•resolução dos exercícios propostos (ficha da aula + caderno de problemas)

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Material disponível – conteúdos no SiFEUP

• Apontamentos

• “slides” com resumo da matéria

• Exercícios por tema

• Caderno global de exercícios

• Exames de anos anteriores + resolução

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• Obtenção de frequência•não exceder limite de faltas (25% das aulas previstas)

Avaliação

• Classificação final• CF= (4*T1+7*T2+9*T3)/20 (T3 com toda a matéria)

• CF= R (classificação obtida no recurso)

• Alunos com dispensa de frequência• Estudantes ao abrigo de estatutos especiais que lhes facultam esta dispensa.

• Estudantes que já tenham inscrição anterior na UC no passado.

• Melhoria• CF= R (classificação obtida no recurso)

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Avaliação –datas dos testes 1 e 2

• Classificação final• CF= (4*T1+7*T2+9*T3)/20 (T3 com toda a matéria)

• CF= R (classificação obtida no recurso)

• Testes 1 e 2• T1 – 14/março

• T2 – 9/maio

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FVVR - Curvas

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AMAT2

:fAMAT1 – estudo de funções reais de variável real (FRVR):

AMAT2 – estudo de funções

1. funções vetoriais de variável real (FVVR)

2. funções reais de variável vetorial (FRVV)

3. funções vetoriais de variável vetorial (FVVV)

nmF :

nF :

mf :

nmF :

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Programa

1. Funções de R em Rn (FVVR)• Continuidade e derivadas, curvas, tangente, velocidade, comprimento

2. Funções de Rn em R (FRVV)• Limites, continuidade e derivadas, recta normal e plano tangente,

função implícita, regra da cadeia e fórmula de Taylor

3. Máximo e mínimos de FRVV• Pontos críticos, máximos e mínimos condicionados

4. Funções de Rn em Rm (FVVV)• Limites, continuidade e derivadas, matriz jacobiana, função inversa

5. Integrais múltiplos• Integrais duplos e triplos, mudança de variável

6. Integrais de linha

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FVVR – motivação

A posição de uma partícula no plano pode ser definida pelas coordenadas , as quais definem o vetor de posição :

yx, yxr ,

x

yr

Se a partícula estiver em movimento, a sua trajetória é descrita por tytxtr ,

trFVVR

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FVVR – motivação

A caraterização do movimento da partícula no intervalo é feita parametrizandoa trajetória através de uma FVVR definida em :

tr

21, ttI I

tytxtIF

,: 2

onde: t parâmetro

importante: com 21, ttI 21 tt

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FVVR – definição

Uma FVVR pode ser vista como uma generalização de um vetor cujas componentes não são constantes, mas sim funções reais de variável real

Assim, muitas das propriedades das FVVR podem ser deduzidas a partir das propriedades das suas funções componentes e também das operações efetuadas sobre vetores

tftftftIF

n

n

,,,:

21

onde

tftIf

i

i

:

Em geral, uma função vetorial de variável real (FVVR) satisfaz

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FVVR – curva descrita e problemas típicos

tftftftIF

n

n

,,,:

21

A partir de é possível identificar a curva descrita, a qual é definida por

F

IttftfxxxxC nnn

n ,,,,,:,,111

C

Problemas típicos:

1. A FVVR é conhecida e pretende-se determinar C

2. C é conhecida e pretende-se obter uma parametrização (isto é, uma FVVR) que corresponda a C

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FVVR – problemas típicos

Exemplos:

1. Determine a curva descrita pela FVVR

2. Obtenha uma parametrização para as curvas

a) desde até

b) desde até

c) inicio em , percorrida 1 vez no sentido negativo

tttF

2,: 2

xy 2 0x 1x

422 yx 0,2 2,0

422 yx 2,0

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FVVR – exercícios

1 – b) d) e) h) j) k)2 – a) b) c) d)

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FVVR – exercícios

extra) 2,0,cos,1sin ttttF 3 – a) c) d) extra) e)

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FVVR – definição

Uma FVVR pode ser vista como uma generalização de um vetor cujas componentes não são constantes, mas sim funções reais de variável real

Assim, muitas das propriedades das FVVR podem ser deduzidas a partir das propriedades das suas funções componentes e também das operações efetuadas sobre vetores

tftftftIF

n

n

,,,:

21

onde

tftIf

i

i

:

Em geral, uma função vetorial de variável real (FVVR) satisfaz

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OPERAÇÕES COM FVVR

tftftIF

n

n

,,:

1

soma

tutIu

:Seja

tgtgtIG

n

n

,,:

1

tgtftgtftIGF

nn

n

,,:

11 tGtFtGF

multiplicação por FRVR tftutftut

IuF

n

n

,,:

1

tFtutuF

produto interno tgtftgtft

IGF

nn

11

: tGtFtGF

produto externo (se n=3)

tgtgtg

tftftfkji

t

IGF

321

321

3

ˆˆˆ:

tGtFtGF

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OPERAÇÕES COM FVVR

tftftIF

n

n

,,:

1

composição de funções

tutJu

:Seja

tuftuftJuF

n

n

,,:

1

tuFtuF

com J e IJu

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Limite e continuidade de FVVR

tftftIF

n

n

,,:

1

limite

Seja

tftftF ntttttt 000lim,,limlim 1

só existe o limite de uma FVVR se existirem os limites de todas as suas funções componente

continuidade

uma FVVR será contínua se forem contínuas todas as suas funções componente

contínua emF It 0 00lim tFtFtt

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Derivada de FVVR

tftftIF

n

n

,,:

1

Seja

derivada se existir este limite 0

00 0

lim'tt

tFtFtF tt

contínua

se nIF : for derivável em todos os pontos de , I tftft

IF

n

n

',,':'

1

também é FVVR

F

se nIF :' for derivável em todos os pontos de , I tftft

IF

n

n

'',,'':''

1

também é FVVR

NOTA: F é de classe se existirem e foremcontínuas todas as derivadas de até àordem

nCF

n

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Derivação de FVVR – regras de cálculo

Seja

tftftIF

n

n

,,:

1

tut

Iu

: tgtgt

IG

n

n

,,:

1

tGtFtGF '''

tFtutFtutuF '''

tGtFtGtFtGF '''

tGtFtGtFtGF '''

tutuFtuF '''

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Para determinar

a)

b)

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FVVR – limite e derivada

Exemplo:

ttttF ,12,2

tFt 1lim

2'F

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Tangente à curva

Seja uma FVVR que parametriza a curva : F C

x

y

C

Considere-se ainda as posições em e em 0t t

0tF

tF

0tFtF

0

0

tttTtF

tem a direção de 0tTtF

IMPORTANTE: apenas é a direção tangente quando 0' 0 tF

(não há nenhuma direção associada a ) 0' 0 tF

00

0 'lim0

tFtt

tFtFtt

é a direção tangente a em

C0t

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Reta tangente e velocidade

se , a direção tangente em é 0' 0 tF 0' tF

Reta tangente

reta tangente: ,',,:,, 00011 tFttFxxxx nn

n

tftftIF

n

n

,,:

1

em o vetor velocidade é 0' tF

Vetor velocidade

0t

0t

em a velocidade escalar é 202

010 ''' tftftF n

Velocidade escalar

0t

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Comprimento de arco

nbaF ,:

o comprimento da linha poligonal é dado por

x

y

C 0tF

1tF

seja de classe C1 uma parametrização da curva C

considere-se uma partição do intervalo em partes iguais:

ba,n

t0ta 1t 2t 1nt btn

considere-se ainda a linha poligonal obtida por união dos pontos por segmentos de reta

itF

1ntF 2tF

ntF

1

0

11

01

n

i

iin

iiip t

tFtFttFtFL

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Comprimento de arco

o comprimento da linha poligonal é dado por

x

y

C 0tF

1tF 1ntF

2tF

ntF

t

ttFtF

tFtFLn

i

iin

iiip

1

0

11

01

no limite em que , e tende para o comprimento da curva: n dtt pL L

dttFLb

a '

iii

t tFt

tFtF 'lim 10

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FVVR - exercícios