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ANALISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA
APLICADO AL SISTEMA DEL VALLE
TOMO I
LUIS HERNANDO DUQUE QUINTERO/-MARCO EMILIO POLO LEDESMA
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;nrí¿rsiL.ú - ! ('m0 de omiden$Q6:-riÁq tibirrl*rO
g 5 dl8t
CORPORACION UNIVERSITARIA AUTONOMA DE OCCIDENTE
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRICA
Cal i , 1987
l8f rruUüfiillmJfilüUlUru
r0'',!.''] | '1
ANALiSIS DE ESTABILIDAD DE SISTE}4AS DE POTENCIA
APLICADO AL SISTEMA DEL VALLE
T0140 I
LUIS HERNANDO DUQUE QUINTERO
MARCO EMILIO POLO LEDESMA
Trabajo de Grado presentado comorequÍsito parcial para optar a'ltítulo de Ingeniero Electricista.
Dírector; LUIS ALF0NSO ELVIRA
CORPORACION UNIYERSITARIA AUTONOM DE OCCIDENTE
PROGRAIVIA DE INGENIERIA ELECTRICA
Cali, 1987
, i-r-A r -,t . Í:J_- ta.
o, r'l / 'i- r¡
t/. _
Nota de Aceotación
Aprobado por el comité de traba j o de Grado en cump I 'imi en tode los requisitos exigidos porI a Corporaci ón Uni versj tari a
Autónoma de 0cci dente para optar al título de IngenieroElectricista.
Pres'i dente del Jurado
Jurado
Jurado.
Cali, Junio 7? de 7987
't1
TABLA DE CONTENIDO
TOMO I
INTRODUCCION
1 . ESTABI LI DAD
1.1 DEFINICION ELEMENTAL DE ESTABI LIDADT.2 EL PROBLEMA DE LA ESTABI LI DAD
1.3 ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA
7.4 EFECTOS INDESEABLES DE LA INESTABILIDADSITORIA
.5 ESTABI LI DAD EN REGIMEN PERMANENTE
.6 MODELO ELEMENTAL
.7 SIMULACION DEL PROBLEMA
I1
1
Pá9.
I
3
6
7
9
RAN10
14
20
27
26
26
27
28
31
31
35
39
?
2.I2.2
3.3.1
I4AQUINAS SI NCRONI ZADAS
ESTABILIDAD DE MAQUINAS
OPERACION TNPARALELO DECOS
REQUISITOS PARA CONECTAR GENERADORES SINCRON I COS EN PARALE LO.
ECUACI OI{ES DE POTENCIA
ECUACION DE PTENCIA DE UNA MAQUINA ROTOR CILINDRICO
ECUACION DE POTENCIA DE UNA MAQUINA DE POLOS SALI ENTES
ECUACI ON DE LA OSCI LACI ON O PENDULO
SINCRONICAS
GENERADORES SINCRONI
2.3
3.2
3.3
rtl
3.4 CRI TE RI O
DAD.DE I GUALDAD DE AREA PARA ESTABILI
SISTEHAS DE EXCITACI0T{ PARA I,IAQUINAS SINCRoNIZADAS
5. EL GOBERNADOR
5.1 OPERACION DE GOBERNADORES EN PARALELO
. METODOS MODERNOS DE SOLUCION
.1 SOLUCI ON EN BASE DE NODOS
.2 ESTUDIO DE FLUJOS DE CARGA
. 3 SUPOSI CI ONES E I N FORMACI ON
.4 INTEGRACION NUMERICA POR EL METODO DE PASO APASO
.5 C0MBINACI0N DE MAQUINAS
.6 METODOS DE REDUCCION DE LAS REDES
Pág
4?
6
6
6
6
6
48
51
58
68
68
72
73
74
79
81
83
83
90
99
T2I
122
I?2728
r29136
737
742
6
6
7. SIMULACION DEL PROBLEMA
7.I SOLUCION DE LA ECUACION DE OSCILACION POR ELMETODO DE RUNGE KUTTA PARA ESTABILIDAD TRAN
SITORIA EN SISTEMAS DE MULTIMAQUINAS
8.
8.
9.
9.1
APLI CACI ON PRACTI CA
1 FORMACION DE LA MATRIZ Y-BUS DE FALLA
PROGRAI-IA DE ESTABI LI DAD RESUELTO POR EL METODODE RUNGE KUTTA 4'ORDEN
DIAGRAMA DE FLUJOS DE LA SECUENCIA DE PROGRAMAS PARA UN ESTUDI O DE ESTABI LI DAD .
9.1.1 Programa 1 (Primer)9.7.2 Programa 2 (Segest )
9.1.3 Programa 3 (Simula)9.1.4 Subruti na Terest9.1.5 Subrutina R Kest9.1.6 Subrutina Estab
'tv
9.
9.
1.2
7 Su bruti na
MAN UAL DELBILIDAD POR
EsstaUSUARIO PARA E
EL METODO DE
L PROGRAMARUNGE KUTTA
DE ESTA4'ORDEN
Pág
744
146
156
160
762
166
170
777
777
10. AIIALISIS DE RESULTADOS
10.1 ANALISIS DE RESULTADOS VALLE 1984
CONCLUSIONES
RECOMENDACI ONES
BIBLIOGRAFIA
AP END I CE
AN EXOS
TOüO II
RESULTADOS DE L
RESULTADOS DEL
PROGRAMA VALLE I984
PROGRAMA YALLE I986
v
TABLA 1.
TABLA 2.
TABLA 3.
TABLA 4.
TAB LN 5
TABLA 6.
TABLA 7.
TABLA 8.
TABLA 9.
LISTA DE TABLAS
Datos del Si stema
Matri z de Y Bus Prefal I a
Constantes YLkj
Resultados del estudjo de flujospor el método de Gaus Seidel
Datos Adi ci onales del Si stema
Matri z Y BUS Modi fi cada
Primer Estudi o de Vol tajes por el
Pá9.
90
92
94
de carga9B
. nn
101
métodode Gauss Seidel llzSegundo estudio de Voltajes por el métodode Gauss Seidel 116
Tercer estudio de Voltajes por el métodode Gauss Seidel. lZ0
vl
FI GURA 1 .
FI GURA 2.
FIGURA 3.
FIGURA 4.
FIGURA 5.
FIGURA 6.
FIGURA 7.
FI GURA 9.
FI GURA 10.
FIGURA 11.
FI GURA 12.
FIGURA 13.
FI GURA 14.
FI GURA 8. Potenci a el éctri ca de entrada a un motoren función del ángul o
L I STA DE FI GURAS
Di agrama Uni fi I ar de una Generador
Di agrama Vectori al de Vol taje
Expl i caci ón de I aumento de potenci ahasta 11egar a Pmax = 90o
Di agrama Vectori al de vol taje de unamáqui na rotor ci I índri co.
Di agrama Vectori al de Vol tajes de unamáqui na de Pol os Sal i entes.
Característi cas del ángul o de potenci ade una máqui na de pol os sal ientes
Desplazamiento angular del rotor de ungenerador
Exp'l i caci ón gráf i ca de I os ti pos de excitaci ón de generadores si ncrón i cos
Esquema típi co de un gobernador mecáni co
Característi cas de cai da de vel oci dad deun gobernador mecáni co
Explicacjón gráfjca con un 3% de la carga
Gobernador Isocrónico con 3% de carga
Dos Unidades en Paralelo con velocidad simi lar
Pás
14
15
19
32
35
3B
47
45
49
52
54
55
57
61
vi í
FIGURA 15.
FIGURA 16.
FIGURA 17.
FI GURA 18.
FIGURA 19.
Gobernador Mecáni co 3% y Gobernador Hi dráulico unidos para operación Isocrónica
Di agrama Uni fi I ar de vari as máquinas paraformar un sistema
Di agrama Uni fi I ar de un generador una detransmisión y un bus infinitoDi agrama Uni fi I ar de dos sub-estaci ones desuministro y una sub-estación de carga
Diagrama Unifi lar del problema y creaciónde nuevos nodos
Pág
64
75
86
90
99
yl 11
DI AGRAMA 1 .
DIAGRAMA 2.
DIAGRAMA 3.
DIAGRAMA 4.
DI AGRAMA 5 .
DI AGRAMA 6.
DIAGRAMA 7.
DI AGRAMA 8.
DIAGRAMA 9.
DIAGRAMA 10.
LISTA DE DIAGRAMAS-Pás.
Fl uj o de I a Secuencj a de programas paraun estudio de Estabilidad 123
Flujo del Programa 1 (Primer) 127
Esquema 1 del Programa 2. 130
Esquema 2 de1 Programa 2 73I
Esquema 3 del Programa 2 I32
Fl uj o del Programa 3. 135
Fl ujo de la Subruti na Terest 138
Fl uj o de I a Subru ti na R Kest 141
Fl uj o de I a Subruti na Estab 145
Flujo de la Subruti'na Essta 747
I'X
LISTA DE ANEXOS
Pág.
ANEXO 1. LISTA DE NODOS DEL SISTEMA ELECTRICO DEL
VALLE AÑO I.986 T7 8
RESUMEN
El proyecto Estabilidad de Sistemas de Potencia se realizó
tomando como modelo el macrosistema del Valle del Cauca
que tenía problemas de estabilidad en 1984. Con la jnclu
sión en el S'istema de la Central Hidroeléctrica de Salvaji
na se pud'ieron remediar notablemente los problemas existen
tes sobre la estabil'i dad del sistema, pues su ayuda de po
tenci a ofreci ó más el asti ci dad para casos de fal I a y poder
amorti guar I as osci I aci ones que se presenten ' E I estudi o
realizado incluye un estudio de flujos de carga ya que di
cho estudio es básico para los anál'isis de estabjlidad de
s i stemas de potenci a.
La solución de la ecuación de la osci lación para estabi I i
dad transitoria de multimáquinas se lleva a cabo por el mé
todo Runge Kutta de cuarto orden Se estableció un para'le
lo entre los Sistemas Valle del Cauca 1984 y 1986 para mi
rar I as di ferenci as que en cuanto a estabi I i dad habían en
estos dos sistemas; notándose la estabilidad que existe en
Valle 1986 contra Valle 1984, debido a la inclusión de Sal
vajina.
xi
INTRODUCCION
En este proyecto se trata el tema de estabilidad de los
S'istemas de Potencia, específ jcamente el caso de estab'i l'i
dad en el estado transitorio (T'iempo 0-1 sgdo).
El estudi o dará i nformaci ón sobre si el si stema permanece
en sincronismo durante las posibles fallas o cambios que
se puedan presentar. El s'istema a estudi ar será el corres
pondiente a Emcalj-CVC0 Chidral, en su estado actual y pro
yectado. Se tendrán así en cuenta las inyecciones de poten
cia al sistema por parte de las nueVas centrales de Salva
jína, Betania, Calima III, Calima IV, según pr0gramas de
ensanche por parte de ISA hasta 1990.
Las condi cj ones que se obtengan permi ti rán proponer una Se
¡ie de recomendaciones para una operacjón más adecuada del
s'istema. Se obtendrá además, toda la información que Se re
quiere para real i zar un estudi o de Estabi I i dad Transi tori a
por el sistema Emcali-CVC-Chidral, en su conformación ac
tual y proyectada hasta 1990.
Se utili zará como método de solución de las ecuaciones de
penduleo de la máquina, el de Runge Kutta de 4oorden com
pl ementado con I a técni ca de Gauss- Sei de1 para I os anál i
sis de fluio de carga requerido en el estudio.
Se implementará un programa de computador que contemple
con anteri ores técnicas en la sol uci ón de problemaS de es
ta índole.
ESTABILIDAD
La revolución industrial del hombre ha hecho que se incre
mente el consumo de energía. La invenci ón del motor por
Nikola Tesla en .|.888 significó un importante avance de
la energía eléctrica en el mundo industrial como fue lai I umi naci ón arti fi ci al . Una gran parte de I a energía que
consume la sociedad moderna se suministra en forma de ener
gía eléctrica.
Las sociedades industrialmente desarrol ladas necesitan in
crementar el suministro de potencia y 1a demanda del con
ti nente ameri cano se dupl'ica cada diez años.
Sistemas cornplejos de potencja han sido construídos para
satisfacer el incremento de esta demanda. Para mejorar
la producci6n de potencia eléctrica se han desarrol lado
redes i nterconectadas de I fneas de transmÍ s i ón , generado
res y cargas dentro de un sistena integrado que pueden co
bijar continentes enteros.
En los Estados Unidos y Canadá existen generadores ubica
dos a miles de millas de distancia y operados en paralelo.
Esta vasta empresa de suministro de energía eléctrica pre
senta muchos probl emas de i ngeni ería que hace que el i nge
n'iero tenga una yariedad de campos de acción. La planea
ción, costrucción y operación de algunos sistemas es exce
sivamente complejo. Algunos de los problemas estimulan
la capacidad y talento de los'i ngenieros.
La sucesiva operacjón de un sistema de potencia depende
en un al to porcentaje de I a habi I i dad de I os i ngenj eros
para proyeer un sery'ici o i ni nterrumpi do a I os usuari os.
Este tema toca I os probl emas de a1 gunos aspectos del di
seño, parti cul armente I a di námi ca ejecuci ón de I os siste
mas de potenci a i nterconectada.
La caracterÍsti ca de I os yari os componentes de un si ste
ma de potencia durante condiciones normales de operación
y durante perturbaciones serán examinados y los efectos
sobre todo el si stema de ejecuci ón que se real i cen serán
exami nados.
Se hará énfasis en la conducta transitoria en que el sis
tema se descri be matemati camente por ecuaci ones di feren
ci al es ord i nari as.
La sucesiva operación de un sistema de potencia depende
en gran parte de la capacidad y habílidad de los ingen'ie
ros de proporcionar un confiable e ininterrumpido servi
cio a las cargas.
La confi abi I idad de sumi ni stro de potenci a impl i ca mucho
más que la simple disponib'i lidad de éste. Idealmente las
cargas deben ser al inentadas a vol taje y frecuenci a cons
tantes todo el tiempo. Estas dos medidas (voltaje y frecuencia) deben haber sido medidas lo más exacto posible
para que el equi po opere correctamente.
El probl ema de I a estabi I i dad es concerniente a I funci ona
mi ento de I as máqu i nas s i ncróni cas 'luego que éstas han su
frido alguna perturbación. Si la perturbación no ofrece
ningún cambjo en la red de potencja, las máquinas deben
yolyer a su estado orig'i nal de funcionamiento.
Si un desbalance entre el suministro de demanda es originado por un cambio en la carga, en la generación o en lared, es necesarj o una nueva operaci ón en el si stema. En
algunos casos todas las máquinas sincrónicas deben perma
necer en sincronismo si el sistema es estable. Todas de
ben permanecer operando a la misma velocidad.
El pri ncÍ pal requerimi ento para un servf ci o confi abl e es
que los generadores sincrónicos funcionen en paralelo y
con una capacidad adecuada para ali'mentar la demanda de
carga. Si en a1gún momento un generador pierde su sin
cronismo con el resto del sistema significaría fl uctua
ci ones en co)"ri ente y vol taje que harán operar I as pro
tecciones de las líneas de transmisión en forma automá
tica.
I. I DEFINICION ELEMENTAL DE ESTABILIDAD.
Conocirendo el término estabilidad, se presentará una de
finición s'imp1e, no matemática que satisfaga problemas ele
mentales. Más adelante se dará una definición matemática
en forma rigurosa de dicho término.
El primer probJema de i nterés es la perturbaci ón de un
si stema de potencia que opera bajo condi ciones estables
de carga causado por él cambio en los ángulos de voltajede las máquinas sincrónicas. Si ocurre tal cosa, crearl-a
un desbal ance entre el s i stema de generaci ón y carga, con
I o que resul ta que se establezca una nueva condición de
operaci ón de estado establ e con el subsecuente ajuste de
los ángulos de voltaje.
ajuste a las nuevas condic'iones de operación es llama
período transitorio.EI
do
La conducta del si stema durante este tiempo es conocida
como la ejecución dinámica del sistema que es una defíni
ción concerniente al sistema de estabilidad.
El pri nci pal cri teri o para estabi I idad es que I as máqui
nas sincrónicas mantengan el sjncronismo hasta el finaldel período transitorio.
Definición:
Si la respuesta osci latoria de un sistema de potencia du
rante el período transitorio que sigue a una perturbación
es amortiguada y el sistema se estabiliza en un tiempo de
finido para una nueya condic"ión de operación, se djce que
el sistema es estable; de lo contrario se consideraría
inestable.
La def inición prim'itiya de estabi lidad requiere que las
osc'ilaciones sean amortiguadas. Esta condición es llama
da al gunas yeces estabi I i dad asi ntót'ica y es el medi o que
contiene el sistema para reducir las oscilaciones. Este
es un rasgo característico conveni ente en muchos si stemas
y es cons i derado necesari o para si stemas de potenci a.
1.2 EL PROBLEMA DE LA ESTABILIDAD.
Se considera un motor sincrono conectado por un transfor
mador a una fuente de energÍa. La potencia entregada almotor viene determinada por la tensión de la fuente, latensi ón i nterna del motor y el ángu'lo de f ase entre estasdos tensiones. El ángu1o de fase depende de la posíción
del rotor del motor. La potencia api icada al motor cuan
do marcha con velocidad constante es, desde lue9o, igua'la I a proporci onada por el motor más sus pérdi das.
sÍ aumenta I a carga mecáni ca de'l motor, éste no puede su
mÍnistrar toda la carga hasta que aumenta la potencia tomada. Por tanto el motor marchará más despaci o. El des
fase entre la tensión interna del motor y la tensión del
sistema aumenta hasta que la potencia aplicada al motorsea igual a la suministrada más las pérdidas.
Mientras el ángulo aumenta, er exceso de potencia exigidapor el rnotor sobre la tomada de la red se compensa con laenergía almacenada por el sistema giratorio. Al disminuírI a vel oci dad de I motor r a energía almacenada sumi ni straparte de I a carga. si el motor osci la al rededor del nue
vo punto de equilibrio y eventualmente'l lega al reposo, laaplicación de la carga no ha sido causa de la pérdida de es
tabi I idad del motor. si el aumento de carga es excesivamente grande o se apl i ca muy bruscamente, el motor puede
perder el sincronismo, en cuyo caso se dice que ha sobrepasado el I ími te de estabi I i dad.
8
Si aumenta la reactanc'i a del transformador o la de una I
nea de transporte entre el motor y la fuente de energía
la probabilidad de mantener la estab'i lidad disminuye.
I.3 ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA.
Cuando I os gene radores de corri ente al terna eran acci ona
dos por máqui nas de vapor al ternati vas, uno de I os proble
mas fundamental es de servi ci o era el de I as osci I aci ones.
Las variaciones periódicas en el par apf icado a Ios gene
radores originaba variaciones periódicas de velocidad.
Las variaciones resultantes en la tensión, y la frecuencia
se transmi tían a I os motores conectados al si stema. Las
osci I aci ones de I os motores, ori gi nadas por I as vari aci o
nes de tens i ón y de frecuenci a, hacía que, a veces, perdi e
ran completamente el s'incronismo, si su frecuencia natural
de oscilación coincidía con la frecuencia de oscilación originada por las máquinas de accionamiento de los generadores
Se utilizaron primeramente arrolamientos amort'iguadores
con el fín de reducir al mínimo la oscilación aprovechan
do la accjón amortiguadora de las pérdidas originadas por
I as corri entes i nduci das en di chos arrol I ami entos por
cualqujer movimiento relati vo entre el rotor y el campo
gi ratori o estableci do por I a corriente en el i nduci do,
llnivcrsid¡d auronom0 dc 0rcidcnta
Sccción 3iblioteco
El empl eo de I as turbi nas ha reduci do el prob'l ema de I aosci lación aunque todavía subsiste cuando el accionamien
t0 se real i za con un motor di esel . si n embaFgo, el mante
nimiento del sincronismo entre las diversas partes del
sistema de energía se hace cada vez más difícil a medida
que crecen los sistemas y sus interconexiones. "La tenden
cia de un sistema o de sus partes componentes a desarroI lar fuerzas para mantener er si ncroni smo y el equi I ibrio,se conoce como estabÍl idu¿,,1/Estudio real izado por el INS
TITUTE OF ELECTRICAL ENGINEERS.
1 .4 EFECTOS INDESEABLES DE LA INESTABI LI DAD (TRANSITORIA) .
- una redistribucÍón de la potenc'i a eléctrica en la red
al mod i fi carse sus condi ci ones normal es.
- una variaci6n de la potencia de la red trae consÍgo una
variación de la potencia de los generadores, que varían su
par mecán i co de acuerdo con I a vari acj ón de I a ve I oci dad
(aceleración) angular y la inercia propia del motor(Tm{a)
- si la inestabi I idad del sistema fue originada por una
falla la I iberación de la falla no hace necesariamente es
table el sistema.
1/-' STEVENSON, Willian
Estabilidad deL.97I p.332.
D. análisis d.e Sistemas EIéctricos de potencia;Sistemas. ¡,1éxico Mc Grar,rr HilI Latinoamerica S.A
l0
- En los generadores puede ocurrir que en
gar energía el éctri ca al si stema demanden
porte como motores.
'lugar de entre
ésta y se com
- Durante el trans i tori o pueden ocurri r fl uctuaci ones de
voltaje que puede ser que no desaparezca con la el imina
ción de la falla.
Una máqu i na o grupo de máqui nas puede quedar en s'i ncro
nismo o fuera de éste después de la liberación de la fa
lla.
El invento de los reguladores de tensión hizo posible y
práctica la uti I ización de I íneas con mayor impedancia y
costo más bajo; pero el aumento de reactancia presentó
al ingeniero electricista un agudizado problema de estabi
I ización. El crecimiento e interconexión de los sistemas
de producción agrayó más el probl ema después de la prime
ra guerra Mund'ial .
Una definición de estabi I idad es considerada como la con
dición entre máquinas sincrón'icas en las cuales las posi
ciones angulares de los rotores de las máquinas relativasentre Sí, permanecen constantes cuando no hay perturbacio
nes o se hacen constantes cuando se presenta una perturba
ción aperiódica.
'l I
El límite de estabilidad es el máximo fluio posihle de
energía que puede pasar por un punto particular determina
do del sistema sin causar pérdidas de estabilidad.
Los términos estabilidad y límíte'de estabjlidad se ap'l i
can tanto al regimen permanente como al transitorio. El
límite de estabilidad de regimen permanente se refiere al
máximo fl ujo pos i bl e de energ ía que puede pasar por un
punto determinado sjn que hrya Pérdida de estabilidad cuan
do se aunenta la energía muy gradualmente. El I ímite de
estabílidad en regirnen transitorio'se refiere al máximo
flujo posible de energía que pueda pasar por un punto de
terminado sin pérdjda de estabilidad al presentarse una
brusca perturbación. La perturbación transitoria puede
ser, por ejemplo, un brusco aumento de la carga que podría
lleyarse a cabo con estabilidad si se verifica gradualmen
te pero que orígina la pérdida de estabilidad a causa de
la yelocidad de aplicación. Más frecuentemente la pertur
baci ón para que se desea conocer el I ími te de estabi I i dad
transitoria, se debe a un fallo, o a la desconexión del
circuito de una de las diversas líneas en paralelo, o por
la combinación de un fallo y de su.subsiguiente aislamien
to por desconexi ón de parte del si stema.
Todo sistema está sometido a perturbaciones en regimen
transitorio, siendo el I ímite de estabil idad en regimen
12
transitorio, casi siemp'F€, más bajo que el lfmite de esta
bi 1 idad en el regimen permanente; por todo el I o se dedi ca
rá la mayor atención a la estabil idad en el reg'imen tran
s i tori o.
Un si stema de energía muy
nerador o motor conectado
sencillo como éste, es un
dos máquinas sincronas.
sencillo está formado por un ge
a una barra infinita. Casi tan
sistema que contenga sólamente
Dado que las máquinas si tuadas en un punto cual quiera de
un s i stema actúan juntas, se acostumbra en I os estudi os
de estabil idad a considerar todas las máqu'inas que están
en un punto como una sól a más grande. Frecuentemente se
considera a máquinas que realmente no están conectadas a
una mi sma barra, pero que no están separadas por I íneas
de reactanci a grande, como concentradas en una sól a máqu i
na.
Al estudiar el comportamiento de una máquina conectada a
un sistema grande, puede considerarse que el sistema tiene tensi ón y frecuencia constantes, o sea, que se asume
que el sistema es una barra infinita en el sitio de co
nexión de la máquina. Así un sistema de varias máquinas
puede reduc'irse, algunas veces, a un sistema equivalente
de dos máqui nas. Los factores que afectan a I a estabi 1 i
l3
dad de un sistema de dos máquinas o
una máqu i na unida a una barra i nfj ni
que infl uyen en un si stema de varias
d i o de I os probl emas de estabi I idad
ci a del yal I e del Cauca será I a base
a la estabilidad de
td, son los mismos
máqui nas. El estu
del sistema de poten
para este estudio.
I .5 ESTABI LIDAD EN REGIMEN PERMANENTE
El circuito equivalente de un sistema de dos máquinas se
considera que es una red simple de dos pares de termina
les. La tensión en el extremo transmisor para las condi
ciones de regimen permanente, es la tensión detrás de la
reactancia sincrónica del generador y la tensión del ex
tremo receptor es la tensión detrás de la reactancia sin
crónica del motor. Se considera entonces, e1 sistema ge
nerador-l ínea-motor en el cual por s impl i fi caci ón en I a
impedancia se considera únicamente la parte reactÍva.
FIGURA 1. oiagrana r¡:ifilar de rn generadorrnctor {carga).
MOTOR
14
lfnea de transnisi6n
XL: Representa la reactancia de la I ínea.
I : Es la corriente que circula por el sistema.
X¿=Xg+Xr+XL
Egy *n Representan
E, y X* representan
motor.
//\/--o'
tensíón y reactanci a del generador.
la reactancia del motor y tensi ón de I
Los voitajes Eg V E, Se generan por el flujo producido por
los devanados de campo de las máquinas y tienen el mismo
defasaje que tienen los rotores de las máquinas.
Diagrama Vectorial de Voltajes:
I
Eg= E, + JXI
Se ha tomado
-f-^/= E, o o
/Eg/= 'n 6
/Eg*/ = Eg-6
(t )
E, como referencia
( conj ugado de Eo)
Fi.gura
En la
tores
ángu'l
2. Diagrana rrecborial de voltajes.
figura anterior el ángu1o d se forma entre los vec
E* y Eg. Este ángu 1 o se denomi na ángu'lo de pa r o
o de potencia y es el defasaje existente entre las
15
tensiones de genefación y carga. El estudio de q,ste 6ngv
lo es la claye de los estudios de estabili.dad.
La potenci a de sa I i da del generador está dada por:
P = R. (Eg* I) = R" ( EgI*) (.2) Donde R. representa laparte real.
Se había yj sto en ( I ) quer
Eg = E, + JXI; desPejando I
r_ Eg - Em ( 3)
JX
Se reemplaza (3 ) en (2)
P = R. (Eg" Eg- E|]l )
JX
Desarrol lando:
P = Re ( Esl-6 . (Eg ¿_O_- Em /0" )
JX
=Ro (E^Z - E^ /-d Em / 0' )UYY
JX
=R. (EoZ - Eq E, /-6 ¡VYY
JX
t6
Ro (E^2 E^. E- /-6:90 )-..:JX X
=R. (En2 -
JX
-rg.r|11 (cos (- 6 -90) + sen (* o _SO¡
-Eg.E, (COS (-O) OgO"+ sen (-6 ) sen 90)
-Eg.E* (sen(-d¡ como sen (-6)=send
tn. t* (-sen 6)
=R. (E29 + En. Em (-sen 6 )
JX X
Como se refiere a la parte real por lo tanto,
EEp =ffseno
Ecuaci6n que se conoce como de "ángu1o de potencia", don
de d es el desfasamiento de la potencia que es transmitida de la parte de generación a la carga que es el motor.
La potenci a máxima se obt'iene cuando d = 90o
Pru* =
tn' t*x
17
La potenci.a se puede aumentar de tres maneras:
- Aumentando En
- Aumentando E*
- Di smi nuyendo X
Pru, es el límite de estabilidad en estado estable y has
ta el se puede 11egar aumentando poco a poco la potencia
a transmi ti r.
Como se desprecía la resistencia, no hay pérdidas del ti2po I-R se obtiene un cálculo optimista de Prax, €l valor
real es menor que el calculado puesto que en I = R +JX el
módulo (7) es mayor que X y como está en el denominador,
Pru* real es menor. Lo contrarjo sucede si se desprecia
I a capacidad en paral elo. 0rdi nari amente despreci ar I a
capacidad en paralelo proporciona un resultado pesimista
del I ími te de estabi I i dad. En I o cál cul os de estab'i I idad
es prec'i so usar el mismo criterio respecto a la inclusi,ón
en el análisjs de la resistencia y la admitancia en para
lelo que en cualqujer otro tipo de cálculo.
Es frecuente que el tgrado de exactitud que se obtiene, ha
ciendo un cálculo más precjso, no compense con las comp'l i
caciones que trae cons'igo. En el caso de estabi I idad en
l8
el regimen transitorio, la resistencia es importante en
las oscilaciones amortiguadas y despreciarla lleva a un
resultado pesimista.
Una manera de disminuír X es construír líneas de transpor
te en paralelo; porque éstas contribuyen en cantidad con
siderable a la reactancia del sistema al mismo tíempo se
consigue mayor seguridad en el suministro.
Para entender mejor e1 concepto de estabi I jdad se anal iza
rá I a fi gura 3.
Prot.
iri_q d2 9Oo
,T
IalI
FIQJRA 3. Eqclicación de1 aurento de potencia hasta llegar a P 6 =90oITId(
univcrsidod !ul0n0m0 dc 0ccilcnfr
Sección Biblioteco
l9
Se considera un generador que tiene yelocidad constante,
un motor conectado a dicho generador y una carga que varía
En un momento dado el generador entrega una potenc'ia que
se denominará P,i 'la cual corresponde a un ángL'lo de po
tencia 6r. Si al motor se le aumenta la carga hasta llegar a Pro se obtendrá un ángulo 6zQue indica el aumento
de carga en su eje. En este momento la estabilidad no se
ha peoldi cio. La carga puede i rse aumentando poco a poco en
el eie del motor hasta llegar a P¡¡¿¡, en ese momento 6=903
Si de este punto se sigue aumentando la carga, la potencia
transmitida no puede aumentar debido a que ya 11egó a su
valor máximo, por lo tanto lo que sucederá es que el ángu
lo siga en aumento perdiéndose así el sincronismo. En es
te punto se dice que se ha perdido la estabilidad lo que
hace que el motor entregue la energía que recibe del gene
rador y empiece a perder velocidad o sea que la energía
ci néti ca se estará frenando.
I.6 MODELO ELEMENTAL
Un sistema de potencia estable, es aquel en el cual las má
quinas sincrónicas cuando son perturbadas retornan a su es
tado original si no hay cambio en la red de potencia o se
adquiere un nuevo estado asinLóticamente sin pérdida de sin
cronismo. usualmente la perturbación causa un transitorioque es una oscilación natural; pero si el sistema es esta
20
bl e, I as osci laci ones
Se orig i na entonces I a
feri bl emente e1 éctri ca
bi I i dad.
El pri nci pal objeto de esta
de estabi I idad basado en la
grandes máqu i nas.
pueden ser amorti guadas.
pregunta, Qué cantidad o señal pre
se permi'tiría para probar la esta
investígación es el estudio
conducta del ángu1o de las
Una cantidad conveniente sería el ángul o del rotor de I a
máqui na medido con respecto a una ref erencia s'incrónica
de rotación. Si la diferencia en ángu1o entre dos máqui
nas incrementa indefinidamente o si la oscilación transi
toria no es suficientemente amortiguada el sistema es ines
table.
1 .7 SIMULACI ON DEL PROBLEMA.
Si se ve un gran sistema de potencia en sus numerosas má
quinas, líneas y cargas y se considera la comp'lejídad
de las consecuencias de alguna fal la se tiende a pensar
en un atento y desesperado análisis. Afortunadamente a
menudo I as constantes de ti empo del fenómeno pueden ser
apreciablemente diferentes, permitiendo concentración en
los elementos afectados por e1 transitorio en el área de
21
estudi'0. El primer paso en un estudio de estabilidad es
hacer un modelo mate.mático del sistema du,rante el transitorio. Los elementos inclufdos en el modelo son los afec
tados por I a acel eración o desaceleración de I os rotores
de la máquina. La complejidad del modelo depende del tipo de transi tori o y del s i stema que se i nvesti ga.
Generalmente I os componentes
que i nf1 uyen en I os torques
ser incluídos en el modelo.
de un si stema de potenci a
eléctricos y mecánicos deben
Estos componentes son:
-La red antes, durante y después del transitorio.
-Las cargas y sus características.
-Los parámetros de las máquinas sincrónicas.
-Los s'i stemas de exc'i tación de las máquinas
-La velocidad y gobernador de la turbina mecánica.
-0tros componentes importantes de la planta de potencia
que inf'luyen en el torque mecánico.
-0tros controles complementarios como
(contro'l ), considerados necesarios en
mática del sistema.
el
la
sistema de líneas
descripc'ión mate
Así los ingredientes básicos para la solución son conoci
dos de las condicjones inicíales de un sistema de poten
22
cia inportante para iniciar la descnipción matemátíca de
un transitori'o y los más i'mportantes componentes que afec
tan el funcionamiento del sistema en el transitorio de las
máouinas sincrónicas.
El número de componentes de un sistema de potencia incluídos en el estudio y la compleji'dad de su descripción mate
máti ca dependerá de muchos factores. En general a menudo
se han usado ecuaciones diferenciales para describir sus
variados componentes. El estudio del funcionamiento mecá
nico de un si stema depende naturalmente de estas ecuaci ones
d'iferenciales.
23
2.MAQUINAS SINCR0NICAS
Sistemas convencionales de la Industria de potencia son
al imentadas por generadores si ncróni cos tri fásicos que
caen en dos clasificaciones generales: Máquinas de rotorci I índri co y máqui nas de pol os sal j entes.
La construcci ón de rotor ci I índri co es propi o de genera
dores sincrónicos impulsados por turbinas de vapor y que
también son conoci das como turbo-al ternadores o generado
res de turbina. Las turbinas de vapor operan a velocida
des de 1800 y 3600 RPM para 60H7, considerados para la cons
trucci ón de rotor ci I índri co, que debi do a su ri gi dé z fáci lmente resi ste las fuerzas centrífugas desarrol ladas en
los grandes tamaños a esas velocidades. Además lo suave
del contorno del rotor si rve para pérdidas reducidas del
embobi nado y para una operaci ón si I enci osa.
Los rotores de po'l os sal'ientes se uti I izan en generadores
sincrónicos de bajas velocidades; tales como los impulsa
24
dos por ruedas de agua. Tambi én son usados en motores si n
crónicos. Debido a sus bajas velocidades, los generadores
de polos salientes requ'ieren de un alto número de po1os,
como por ejempl o, 12 po'los para un generador de .|00 RPM y
60 Hz. Esto resul ta del hecho de que en una revol ución
el voltaje se desplaza P/Z ciclos y la relación entre la
frecuencia y la velocidad es:
P
- nsln| =-120
Donde: P- número de polos y Nsin =Velocidad si.ncrónica en
RPM.
La estructura de polos salientes es más sencilla y más eco
nómi ca de constru írse de I o que sería una ci I índri ca con
un mayor número de polos.
En contraste con una máquina de C.D; el embob'i nado de cam
po en vez del embobinado de armadura de las máquinas sin
crónica's conyenciona'les, está montado en el motor, debido
a que el embobinado de campo es menos masivo que el embo
binado de la armadura, op€rando como lo hace a menores vol
tajes con pequeñas corrientes. Además el embobinado de
campo es exitado con corriente di recta, necesi tando el
terminarse en sólo dos anillos deslizantes. Si en el ro
tor, el embob'inado de I a armadura necesi taría por lo me
25
nos tres anillos deslizantes y en la mayoría de los casos
un cuarto para el neutro del embobinado trifásico que ge
neralmente está conectado en estrel I a. por ejempl o, un
cierto generador de 432.000 KVA, 22KU,3 fases,1800 RpM,
60 Hz, tiene una corriente de armadura nominal de .|1.340
amperios, mientras el campo tiene un valor nominal de 500
voltios y .l940 anperios
2.1 ESTABILIDAD DE MAQUiNAS SINCRONICAS.
Debe hacerse una distincÍón entre cambios ímprevi.stos y
grandes cambi os que se I I amarán grandes impactos y I os
más normal es que son impactos al azar.
una falla en la red de transmisión de alto voltaje o ra
pérdida de una unidad importante de generaci ón son ejem
plos de grandes impactos. si uno de estos grandes impac
tos ocurre,'las máquinas sincrónicas pueden perder sincronismo. Este problema tecnícamente es similar al problema
de la estabilidad transitoria. sin detalrar Ia discusión
algunos comentarios se presentan a continuaciónr
Estos impactos ti enen una probabi I idad muy r imi tada de
ocurrencia y en el diseño original (inicial ) deben tenerse en cuenta estos detal I es.
26
-La habil idad de los sistemas para subsistir o ciertas per
turbaci ones depende de su preci sa condici ón de operaci ón
en el momento que ocurre la falla. Un cambio en el siste
ma de carga, generación o en el sístema de interconexión
o en el si stema de proteccj ón puede dar resul tados di fe
rentes en un estudio de estabilidad para la misma falla.Así el estudio de estabil idad transjtoria es muy especÍfi
co, de lo cual el ingeniero concluye que dadas ciertas
condiciones en un sistema y este recibe un gran impacto
(fal I a ) I as máqui nas no permanecen en si ncroni smo. La es
tabilidad depende en gran porcentaje de la magnitud y lo
cal ización de la falla y de las condiciones de operación
del sistema.
2.?. OPERACI ON EN PARALELO DE GENERADORES S I NCRON I COS.
Los sistemas eléctricos de potencia se interconectan exten
samente para dar una economía y confiabi lidad de operación.
La jnterconexión de sistemas de potencia de C.A. requiere
generadores sincrónicos operando en paralel o entre sí y es
común para una planta generadora eléctrica en donde dos o
más generadores están conectados en paraleloo por med'io de
transformadores y líneas de transmisión, con otras plantas
generadoras di semi nadas sobre un área que es practi camente
la nación. Bajo condiciones normales de operacíón, todos
los generadores y motores sincrónicos en un sistema inter
27
conectado operan en si ncroni smo entre sí. Las frecuen
cias de todas las máquinas sincrónicas son exactamente
iguales excepto durante cambiss momentáneos en carga ó
exitación.
Sí una o varj as máqui nas si ncróni cas grandes se salen de
sincronísmo respecto al resto del si stema, resul ta una
perturbación seyera y a menos que pasos preventivos se
tomen inmed'iatamente, el sistema se vuelve inestable,
una condición que puede tener como resultado un paro com
pleto del sjstema. El comportamiento de generadores sin
crónicos operando en paralelo es por lo tanto de impor
tanci a fundamental en el estudi o de I a operación del si s
tema.
2.3 REQUISTT0S pARA C0NECTAR GENERAD0RES SINCR0NIC0S EN
PARALELO.
Es una práctica común la de si,ncronizar un generador sin
cróni co grande o un motor si ncróníco grande con el si ste
ma antes de ser conectado al mismo. La sincronización re
quiere de las siguientes condiciones de la nueva máquina:
-Secuenci a correcta de fases.
-Los vol tajes de fase deben estar en fase con aquel I os
del sístema.
28
-La frecuencia debe ser casi e.xactamente igual a la del
sistema.
-El voltaje de la máquina debe de se'r aproximadamente
'igua1 al voltaje del s'istema.
La secuenci a de fases del generador gene'ralmente se revi
sa cuidadosamente durante el tiempo de su instalación.
Las condiciones (l ) y (2) se aseguran por medio de un me
didor de ángulo de fase conocido como sincronoscopio que
compara el voltaje de una fase de la máquina de entrada
con aquel de la fase correspondiente del sistema trifásico:
Potenc'ia real v Reactiva V.S ángu 1 o de potenci a.
La potenci a real y reacti va sumi ni strada por un generador
sincrónico puede expresarse como una función del vo1 taje
en los terminales, vo'ltaje generado, impedancia sincróni
ca y el ángulo de potencia o el ángulo del par -d Este
también es aplicado para la potencia real y reactiva toma
da por un motor sincrónico. Si el ángulo d aumenta gra
dualmente la sal ida de potencia aumenta alcanzando un má
= tanEl¡J_ ó practi camente r/2. Esto seRs
límite de potencia de estado estable.
ximo cuando
conoce como
\̂¿
el
Univcnidrd iutonomo Jc 0cciimtrS¡rrión líblirtcc¡
29
El par máximo o par de salida de un motor sincrónico ocu
rre ¿ 6=n/2 en base a la teoría del rotor cilíndrico, si
la resistencia de armadura ya se desprecia. Cualquier
aumento en la potencia mecánica al generador sincrónico o
en la sal ida mecánica del motor sinc16nico después de que
6 ha alcanzando 90" produce una disminución en la poten
cia real eléctrica y el generador se acelera mientras que
el motor se desacel era resul tando una pérdida de sincro
n i smo.
30
3. ECUACIONES DE POTENCIA
3.I ECUACION DT POTENCIA DE UNA MAQUINA ROTOR CILINDRICO.
Consi dérase un generador si ncróni co de rotor ci I índrico
impulsado a velocidad sincrónica y sea:
V - Voltaie de las terminales o voltajes bus
Eaf=Vol taj e generado
Zd=ra + Jxd = l a impedanci a si ncróni ca '
Las cantidades V, Euf y Zd pueden expresarse en voltios
y 0hms por fase, en cuyo caso las potencias real y activa
son tambj én por fase, o pueden expresarse por unidad, con
las potencias real y activa también en unjdad.
La sal ida de potencia compleia del generador en volteo
amperios por fase o por unidad viene de la ecc.
S= P + JQ donde P y a son la potencia real y reactiva res
pecti vamente pero,
3t
S= P + .JQ = VI* y el voltaje en
[=V+J0la FEM generada es
Eaf= Eaf [Cos 6 + Jsen 6
La corri ente será:
Eaf Cos 6- V + J Eaf Sen 6
zd
I os termi na I es es
Y su
I*
conj u gado
EufCos 6 - - JEaf Sen 6
7d
- Jxd es la coniugada de la impedancia sinDond " Zd
crónica.
*= ra
FIGJRA 4. DÍagrana VecborÍal deco.
JXdI
_--__fl-i--- I
--J:/
voltages
32
de wra mágr:rna rotor cilf¡:dri
Si se multip'l ica la expres'ión anterior por Zd
I* =Zd [Eaf Cos 6- V- J Eaf Sen 6 ) Pero Z¿ = ru + JXD
zzd
=fa (E^. Cos 6- V) -Xd (Eaf Sen 6) +Jxd(Eafi'Coso-V)ra(EafSeno)AT
ComoS=P+JQ=VI*
S= ra (V E..Cos6- V2)+ xd {vE"rsen6 )+Jxd(VEurCos 6- Vz)-.{*¡t.* la-f L 'Lfl zza
S jendo 'la potencia real = P, V
reactiva = Q donde
o= r,zza
Q= xd (vEurcos 6- v2) ra (vEu, sen 6 )
zza
En máquinas sincrón'icas polifásicas prácticas ra<<xd y ra
puede despreci arse en I a ecuaci ón de potenci a de tal ma
nera que zd - xd Y Por lo tanto
33
P = )lEa¡ Sen 5
Xd
VEufCos 6-V2
Para obtener la potencia tota'l para un generador de tres
f ases las ecuaciones anteri ores deben mul ti p'l i carse por 3
cuando I os vol tajes son de I ínea a neutro.
Sin embargo s'i los valores (magnitudes) de línea a línea
se usan, estas ecuaciones expresan la potencia trifásicatotal. La sal ida máxima de potencia real por fase del ge
nerador para un voltaje en los terminales dado y una FEM
inducida es:
Pru* -v Eaf
Cual qui er aumento posterior en I a entrada del motor prima
rjo al generador causa que la salida de potencja real se
di smi nuya, 'l a potenci a exces i va que pasa a una acel eracÍ ón
causa que el generador aumente su velocidad y se salga de
sj ncroni smo. Por I o tanto, el I ímí te de estabi I i dad de es
tado estable se alcanza cuando d=nl2 el límite de estabilidad transitorio es generalmente el de mayor interés en la
operaci ón de si stemas de potenc'ia.
:Q
xd
xd
34
3.2 ECUACION DE POTENCIA DE UNA MAQUINA DE POLOS SALIENTES.
La resistencia -yq de la armadura tiene efectos desprecia
bles en la relacjón entre la potencia de salida de una má
quina sincrónica y Su ángulo de par y es por lo tanto no
considerada a continuación. Ya se desprecia en el siguien
te diagrama fasarial para un generador de polo saliente.
FIGIRA 5. Diagrarna vectorial de voltagessalientes.
de ura náquina de
Potencia asociada con Iq La potencia compleja
con el eie de cuadratura de la corriente IO es
- vt*- vrqq
polos
asociada
35
Se toma la ecuación de voltaje
V- V + J0
Iq= Iq (Cos5 + Jsen 6)-*-rIq^= Iq (cosd -Jsen 6)
También
I^= Vsen 69--------¡-.XO
Si sustituímos las ecuaciones anteriores en la ecuación
de potenci a Sq
Se ti ene: S q = V2 ( sen 6 cos 6 -Jsen2 O)
xg
Potencia asociada con I¿ : La potencia compleja asociada
con I a corriente de eie di recto Id es:
S ¿ = VI*d
En I a fi gu ra ante ri or
Id= I¿(send -Jcos6 )
Id*=Id(seno+ Jcosd)I¿ = Eaf - V cosd
XO
Susti tuyendo I as ecuaci ones anteri ores en I a ecuaci ón de po
tenci as.
36
Sd = tenemos
Potencía total (compleia).
S=SO+SO
xq
Que puede reducirse a:
VE
s = llti5 sen6 +ffi
vEuf - v? coso send + Jcos6 )
"ü=......'..'T-
La potencia compleia de salida
11xdJ
xd
t H cos&t$* tt-o +xq)-
V.Euf sen 6 .2 (v Eut cosd-v2cos2d!- sen6 cosd + J 'ff
V2 ser¡26 )
v2r.n26-r@cos6- #,^')
.((xo +xq) -(xd-xq) cos' o) |J
Esta ecuación expresa la potencia por fase
unídad. Por lo tanto, la potencía real
rador cuando se expresa en t^IATTS es:
3p=3ReS=3#Sen6 V2sen 26
Y la potencia reactíva en YARS es
3 Q = J I, S (3 por la parte imaginaria de S)
a menos que sea por
de salida de un gene
37
(xd-xq) .os2o )
La característica del ángu 1 o
polos sal ientes se muestra
MOrOR-
de potenci a de una máqu i na
en la siguiente figura: (6)
+ GENERADOR
de
I-IGJRA 6. Caracter{sticas deI ángulo de potencia de tr-ra nráquina dePolos salientes.
Una acción motor resulta cuando6 es negativa. La potencia
reactiva de salida es independiente de1 signo 6 lo que sig
nifica que cuando la es despreciable, una máquina sincrónj
ca sobre-exitada suministra una potencia reactiva ya sea
que opere como motor o generador. Generalmente los motores
s i ncrón i cos se sobre-exi tan con el fín de que además de su
ministrar una carga mecánica, también suministren una poten
cia reactiva. Las cargas industriales normalmente operan
con una corri ente atrasada y cuando un motor si ncróni co so
bre-exitado es parte de la carga, tiende a mejorar el fac
tor de potenci a de I a carga combi nada, es una característi
38
ca conocida como correcc'i ón del factor de potencia
3.3 ECUACION DE LA OSCILACION O PENDULEO.
Las 'leyes de rotaci ón de mecáni ca son ap f i cabl es a I os
problemas de estabi lidad en el estado transitorio, ya que
se di scuten problenas de cuerpos en movimiento.
El par desarrol lado por un cuerpo en movimiento está da
do por:
Don de :
En el caso de una máqu'i na sincrónica el par resultante se
I I ama par de aceleraci ón que es I a di ferencia entre el
par mecáni.co corregido por pérdidas de friccfón y el par
eléctrico, correg'ido por las pérdidas electromagnéticas.
Don de:
Ta =Tm-TeTa = Par de acel eraci ón
Tm - Par mecánico
Te = Par eléctrico
T
T
I
g
Io
Par en Joul e/ rad (Newton-Metro)
Momento de ínerci a Kq-m2
Aceler"ación angul ar rad/seg2
39
En estado permanente y despreciando pérdidas
lm = Te
Es deci r, Ta = Q
Esto sign'ifica que la máquina trabaia en sincronjsmo. Cuan
do Ta f O la máquina está fuera de sjncronismo y puede ser
aceleraci ón o retardaci ón (Ta> 0 o Ta< 0).
Para el caso de un generador:
Entrada mecánica Tn es Positivo.
Sal i da Eléctri ca Te es Pos'itivo
Para el caso de un motor síncrono:
Entrada el éctri ca Te es negati vo
Salida mecánica Tm es negativo.
Ta I 0 en el estado transitorio.De la Ecuación:
Ta=Isperoo=dzgdú
Ta=Io2g--;dt¿
Siendo e = ángu1o de posición angu'l ar en grados mecán'icos
o eléctricos.
Se ha encontrado que para el estudi o de estabi I idad transi
toria es más conveniente medir la posición de lotor a un eie
40
que gire a la velocidad del sincron'i smo (ws)' que con rela
ci ón a un eie estac j onari o. S'i 6 es el despl azami ento an
gular, en grados el6ctricos, a partir del eie de referen
cia que gira sincrónicamente, y tlJ es la velocidad sinc16
nica en grados eléctricos por segundo.
EIGJRA 7. Desplazaniento
Q = Illst +
Deri vando, respecto
ang:lar del rob.or de r:n generador.
ct
de t, obtenemos:
d6AT
Ws+dg =
AT
derivando
¿2g
t3
nuevamente
= dZd
l3
De la ecuación de oscil ación :
t 026-13Ta
4l
Mult'i pl icando por l,{ lo dos miembros:
TAt^l = WI ú+dt'
pero Tal,l = P (potencia)
l,lI = fvl (momento angular de inercia).pa = Md2g;comoTa=Tm-Te
d(
Tal,J = TmI,l-Tel,l
Pa = Pm - Pe
Donde: Pa - Potencia de aceleración
Pm = Potencia Mecáni ca
Pe = Potenci a el éctri ca
La ecuaci ón de osci I aci ón queda:
M ¿20 = Pm - Pe
d3
3.4 CRITERIO DE IGUALDAD DE AREA PARA ESTABILIDAD
En un sistema en el que una máquina Oscila, respecto a una
barra i nfi ni ta, no es necesari o representar y estudi ar I as
curvas de oscilacjón para determinar si el ángu1o de par
de la máquina aumenta. indefinida u oscila alrededor de una
42
posición de equi'l jbrio. La resolución de la ecuación de
I a osci I acj ón con I as hi pótesis usual es de Ps constantes '
red puramente reactiva y tensión constante detrás de la
reactanci a transi tori a demuestra que 6 osci I a al rededor
del punto de equi I i bri o con ampl i tud constante, si no se
sobrepasa el I ími te de estabi I idad del regimen transi to
¡io. El princ'i pio por el que se determina la estabilidad
en condiciones de reg'imen transitorio sin resolver la
ecuación de la oscilac'ión, eS el llamado criteri o de'igua'l
dad de áreas. Aunque no es aplicable a sistemas de va
riaS máqujnas, este método ayuda a comprender en que for
ma i nf1 uyen ci ertos factores en I a estabj I i dad ' en regi
men transitori o, de un sistema cualquiera.
,,Aunque la deducción del cri terío de igualdad de las áreas
se hace para una máquina y una barra infinita, puede tam
bíén adaptarse a un si stema de dos máqui nas"-/.La ecuaci ón
de osci I aci ón para I a máqui na conectada a I a barra eS :
2^Md-9=Pm-Pe
dt¿
Multip'l icando ambos míembros
nemos,
Md+ d6 - (pm- pe)dt' dt
de la igualdad por d6/dt te
ddAT
2/
-
-r STAGG EL ABTAD. Cornputer methods in power gystem anallrs I"Ic. Graw
hill. 1968, P348.
43
y 1 uego obtendremos:
d6 =dt
r/z Md (¿o¡gt )2 = ( Pm-Pt ) #
Reagrupando, multiplicando por dt e integrando tenemos:
¡d612\E/
o bien,
En la que 6o es el ángu1o de par cuando la máquina funcio
na sincrónicamente antes de que se produzca la perturba
ción, entonces d6/dt=0. El ángu1 o 6 dejará de variar y
I a máquína volverá a funci onar sincrónicamente después de
I a perturbaci ón,cuando d6/dt=0 o cuando
l'.-r+=t*- o
Pm-Pe
44
FIGIRA 8. potencia eléctrica de entrada a ur nn¡tor en ñ-rrcÍ&I del ángu1o 6
Como veremos 1 uego I a máqu i na no permanecerá en reposo 'respecto a la barra infinita, la primera vez que d6/dt se
hace igual a cero (o), pero el hecho de que 6 momentánea
mente deje de Variar, puede tomarse como una indicaci6n de
estabilidad, lo que corresponde a la interpretación de que
la curva de osilación indica estabi lidad cuando el ángu'lo
6 al canza el máximo y empi eza a di smi nuír.
Algunas de las condicjones originadas por el aumento brus
co de la carga mecánjca sobre un motor sincrono' conectado
a una barra 'inf inita pueden predecirse por anál isi s de Ia
Fi gura 8 La curva sinusoidal Pe es una representaci ón de
la potencia de entrada al motor despreciando la resistencia.
45
La cu rva Pe se deduce de I as ecuaci ones:
/Eq/./Em/sendX
Pmax= /tq/ . /En/X
Siendo /Eg/1a tensión de la barra infinita /Em/, 1a tensión
detrás de la reactancia transitoria del motor y X viene de
terminada a partjr de la reactancia transitoria del motor
más la reactancia del transformador y de la línea si la
hay, y la barra infinita.
principio el motor funciona a la velocidad del sinconis
con un ángulo de por de 6o y la potencia mecáníca de Po
igual a la potencia de entrada Pe, correspondiente a 6o
Si se aumenta bruscamente la carga mecánica de forma que la
potencia de salida P es Ps, que es mayor que la potencia
el éctri ca de entrada para do, I a di ferenci a de potenci a de
be ser sumi n i strada por I a energía ci nét'ica a lmacenada en
el sistema giratorio.
Este puede real'izarse sol amente a eXpensaS de I a di smi nu
ción de la velocidad, lo que da lugar a un aumento del án
gulo de por 6. Al aumentar d , 1a potencia eléctrica reci
p=
AI
mo
es
46
bida de la barra aumenta hasta que Pe = Pm en el punto b
de la curva. En este punto hay equil'i brio de los pares
de entrada y salida de forma que la aceleración es cero,
pero el motor está marchando a velocidad menor que la de
si ncroni smo con I o que 6' aumenta. El ángu1 o contínua au
mentando, p€Fo después de pasar por e1 punto b la poten
cia eléctrica de entrada Pe es mayor que Pm y la diferen
cia t'iene que ser almacenada en el sÍstema por aumento de
la energía cinética y, por lo tanto por el aumento de la
velocidad. Así pués, entre los puntos b y c, al aumentar
6 I a vel ocidad aumenta hasta que se al canza nuevamente I a
velocidad sincrónica en el punto c en el que el ángu1o de
par es 6max. En punto c Pe es todavía mayor que Pm y
pronto como la velocidad del motor sobrepasa de sincronis
mo.
E1 valor máximo de 6 es 6 max en el punto c. Al disminuír
d se al canza el b con vel oci dad superi or a I a si ncróni ca
de manera que d conti nua di smi nuyendo y el ci cl o se repi
te.
El motor osci la al rededor del ángul o d s de equi 1 i bri o, en
tre los ángulos 6o y dmax. Si hay amort'iguamiento, la os
ci lación disminuye y se obtiene un funcionamiento estable
en 0s.
47
4. SISTEMAS DE EXCITACT0N pARA MAQUINAS
SINCRONICAS
un número de arregl os para sumi ni strar corriente di recta
a los campos de máquinas sincrónicas se han puesto en uso.
Los ajustes en la corriente de campo pueden ser automáti
cas o manuales dependiendo de la complejidad y I os requi
sitos del sistema de potencia al cual está conectada el
generador.
Los sistemas de excitación son usualmente de 725 volti os
hasta valores noninales de 50 Kl¡J, con voltajes mayores pa
ra valores nominales nayores.
La fuente de potencia usual es un excitador conectado en
directa, un conjunto motor generador, rectifí cador o bate
ría. un sustema de excitación conún en donde un generador
convencional de c.D. en paralelo montado en el eje de lamáquina sincr6nica proporciona la excitaci6n del campo co
mo se nuestra en la figura 9, secciones a y b.
La saJida del excitador, es decir, la corrÍente de campo de
4B
la máqu'ina sincrónica se varía aiustando el reostato excí
tador de1 campo. Un si stema a1 go más compl eio que hace
uso de un excitador p'i 1oto, un generador de C.D. compuesto
montado también en el eie del generador que a su Vez exci
ta el campo del excitador principal como aparece en la fjgurag -cyci . Este arreg'lo proporciona mayor rapiciéz de
reSpuesta, una caracteríSti ca que es importante en el CdSo 1
de generadores sjncrónicos cuando hay perturbacioneS en el
sÍstema al cual el generador está conectado. En algunas
j nstalaci ones un exci tador Separado impul sado por un motor
proporci ona I a exci taci ón.
REOSTA O DE LAEXCITACION DEL CAu4PO uaouña
STNCRONICA
EXctrADon ptnenaoon) ESTATOR
(d)
I ___J l_ ____J LDplicaci6n gráfica de le tiPos desÍncrónicos.
e:<cÍtación de generadores
(a)
osq()
I
Univcrsid¡l ,,enorllo dc &ddmhSccrii¡ libliotcO
l'IOTORPRIMARIO DE EL6ENERADON.
CAR6A UECANICA
( oe co.)
(c)
ETqJRA 9.
49
Un motor de inducción se usa en yez de un notor sincrónico
debido a que en una perturbación Severa del sistema un mo
tor sinc16nico puede salirse de sincronismo con el sistema
Además un volante grande se usa para llevar al excitador a
través de cortos períodos de severas reducci ones del vol ta
j e de I s'r's tema .
50
5. EL GOBERNADOR
La operación de una máquina eléctrica en solitario es com
pletamente correcta. Cuando 2 o nás máquinas son opera
das en paral el o, 1 as técni cas de operaci ón se tornan más
compljcadas. A menudo un entendimiento de los principios
y prácticas descritas aquí, ayudan mucho al operario.
Los Gobernadores mecánicos y eléctricos comunmente usa
dos con máqu i nas el éctri cas serán descri tos. Tambi én se
describirán las características de operación en solitario
y en paralelo y se darán eiemplos de varias combinacio
nes de gobernadores.
Para aplicaciones especiales se usan dos tipos de gober
nadores: E1 electrohidráulico y el electrónico, éstos
son ajustables de 0% aproximadamente al 4% de caida de
velocidad. Los gobernadores tienen incluído su porcenta
je de caida de velocidad. La caida de velocidad es defi
nida como el cambio de velocidad de la máquina a plena
carga y si n carga calculada por I a siguiente ecuación:
= Velocidad sin carga - Velocidad plena carga X 100
51
Un esquema típiCo de
la siguiente figura:
un gobernador mecáni co se muestra en
10.
¡'juste bajoajuste alt
Roditlo
Tope
Resorte
Jaula
Embolo
Tornillo deSoporte
PalancaAiuste- Pe.sas
¡,Ian9o
EfGtlRA 10. Esquenra tfpico de rn (bbernador }bcánico.
Los componentes básicos son resorte gobernador, un par de
pesas y una conexión encadenada a la alimentación de la
máquina. Las pesas están manejadas di rectamente por I a
máquina. El control de velocidad de la máquina permite
regular a la velocidad deseada. Al girar la máquina com
prime e1 resorte gobernador y mueve la palanca que aumen
ta o d'i sminuye la velocidad cuando la máquina arranca,las
pesas rotan. Estas pesas están construídas sól o para mo
verse con I a acci ón de I a f uerza centríf uga, 'las pesas se
mueven haci a afuera cuando I a vel oci dad de I a máqu i na
aumenta, esta acci ón causa que I as puntas de I as pesas
compriman el resorte gobernador; este movimi ento conti núa
hasta que la fuerza centrífuga que mueve I as pesas entre
Pist
Barra de
52
en balance con la presión del resorte gobernador. Cuando
la fuerza del resorte gObernador mueVe nuevamente hacia
su sitio a las pesas, la al imentación de la máqu'ina se re
duce. La vel oci dad de I a máqui na se estabi I i za cuando I a
fuerza del resorte, la fuerza centrífuga de las pesas y
la vel ocidad de la rnáquina están en balance.
En los equipos eléctricos se acostumbra a tener un dispo
sitivo de ajuste para casos de operac'ión de vacfo del al
ternador. Los al ternadores de val or I . 200 RPM, 60Hz ' se
rán usados en el eiemplo que sigue, la siguiente figura 1i
muestra I as característ'icas de caída de vel oci dad de un
gobernador mecánico de 3%. En este caso el ajuste de ve
I oci dad es 1236 RPM. La I ínea A representa I a caracterís
tica ideal de 3%, la línea B representa la velocidad nor
mal de la máquina, porque la frícción de algunos materia
les limitan el funcionamiento y con lo cual la línea ca
racterísti ca no será una I ínea recta. Esta es una razón
por I a cual I a caracterí sti ca de caída de vel oci dad i ncl u
ye la palabra aproximadamente. La característica ideal
es la de 3% y sobre ella Ee basa la discusión, al estar
en yacío (0% de carga), la velocidad y frecuencia del al
ternador están en el mismo nivel.
Esto representa 6.|.8 Hz, para un sistema de 60 Hz, a un
100% de carga la frecuencia tiene un valor de 100%. Esto
53
representa 60 Hz para un
ti cas de ve I oci dad se dan
cia de sistena eléctricoC de la figura representa
s i stema de 60 Hz. Las caracterís
en porcentaje o rango de frecuen
en ci cl os por segundo. La I ínea
el valor de la velocidad ó fre
de \¡elocidad
cuencia.Rpl.1 % Veloc.12.36 103
Ciclos61 .8
12.20
101
1 2.00 1 00
ot.u
60.0
EIGJRA LL. Caracterfsticas de caida de relocidad de r¡r
102
O % de sar$a'gobernador l€c.
Un gobernador meóanico simp'le no puede mantener el val or
de la yelocidad con toda la carga, ésto puede ser realiza
do sólo con el uso adicional de un gobernador cuyos compo
nentes serán mencionados en la descripción de los goberna
dores hi drául i cos.
El gobernador mecánico simple puede mantener constante la
velocidad si la carga no varía. Cuando se ap1 ica carga a
la máquina (adicional ) ésta merma su velocidad y la fuer
za centrífuga de I as pesas del gobernador tamb'i én decrece,
por lo tanto el resorte gobernador se opone a la fuerza y
mueve la barra de alimentación en la dirección de dar más
al ímentación (agua-yapor-gas) a la máquina y así sostener
5+
B\
la velocidad constante con la carga que le adicionó. La
velocidad de la máquina se incrementará hasta que la fuer
za de las pesas del gobernador se balanceen nuevamente
con la fuerza del resorte qobernador.
La siguiente figura muestra el cambio en la velocidad de
la m(uina o alternador cuando se le ad'iciona un tercio de
la carga y como baja la frecuencia para un equipo e1éctri
co con un gobernador mecánico de 3%. (rigura 12)
Ciclos
61.0
60. 0
Tiempo
ETqlRA l-2. Elplicació: Gráfica ccn un 38 & la Carrga.
El gobernador hidrául ico está capaci tado para ser ajusta
do y mantener una vel oci dad constante con I a carga apl i ca
da a la máquina. Esta operación es I lamada Isocrónica.
A continuación se muestra una curva característica de ve
locidad cuando la carga es ap'licada y la respectiva caída
de yelocidad de un equipo eléctrico con un gobernador Iso
crónico.
55
Un gobernador Insocrónico eS más compleio que un goberna
dor mecánico.0tros dos tipos de gobernadores son los usa
dos para ap'licaciones especiales; los electro-hidráulicos
y los electróni cos.
Un gobernador electro-hi drául j co tiene componentes basados
en pri nc'i p'i os hi drául i cos con componentes adici onados para
una mejor respuesta a los posibles cambios del sistema.
Cuando un cambio de carga ocurre, e1 circuito eléctrjco per
cibe el cambio y acto seguido envía orden al gobernador que
med'i ante un mecani smo aumenta o d j sm'i nuye al imentaci ón a I a
turbi na (según sa el caso), para mantener constante la velo
c'i dad.
Los gobernadores mecánicos e hi drául icos sienten el cambio
enlaVelocidadcomounaseñaldequelacargahaSidoaumentada y que es requerido el cambio en la barra de ali
mentación (Ver figura 13).
Los gobernadores electro-hidráu'l icos y electr6nicos sienten
el cambio de carga en forma directa y hacen Su correspon' '
diente cambio en el equípo alimentador por lo que la veloci
dad t jene un mín'imo cambio. La descripción anterior es per
tinente a I os gobernadores isocrónicos, estoS gobernadores
pueden ser ajustados para velocidad de caída porque el las
bb
son capaces de ser operados en paralelo cuando dos de ellos
están aj ustados para operar i socróni camente, I o que no ocu
rre con I os gobernadores hidrául j cos regul ares. Una 'i nfor
mación detal lada (catálogo), que describa minuciosamente
la operación del gobernador electro-hidráulico es conside
rada determinante antes de realizar a1gún trabaio de insta
laci ón y operacíón de este tipo de gobernadores.
Ciclos61.
59FTGJRA 13. Gobernador fsocrónicro cm 38 de Carga.
Los gobernadores electróni cos
gui entes componentes:
Bomba hidrául i ca.
Depósi to de acei te.
Servo motor Hi dráu I i co.
Caj a de control el éctri co.
constan usualmente de I os si
57
La bomba hidráulica es dirigida por la máquina. Esta
(bomba) saca el aceite del depósito y lo entrega al ser
vomotor hidráu1ico. La acción del servomotor es iniciada por una el ectro-vál vul a que reci be señal el éctrí ca
de 'la ca ja de control .
El servomotor mueve I a barra de al i mentaci ón para aumentar
o disminuír la fuerza que necesita la máquína para mante
ner constante el valor de I a vel ocidad, determinado por
el equipo control del gobernador. La caia de control re
cibe señales de voltaje corriente y frecuencia de la sali
da del al ternador.
Los gobernadores electrónicos pueden ser ajustados para
caída de velocidad u operaci6n isocrónica, incluyendo ope
ración en paralelo cuando se requiera. También se acon
seja que se tenga buena información de'l fabricante del go
bernador el ectróni co (un catá1 ogo ) y documentarse muy bien
de su funcionamÍento antes de real izar a'l guna operación
de monta je y puesta en f unci onam'iento del equi po.
5. I OPERACION DE GOBERNADORES EN PARALELO.
Cuando los gobernadores de C.
lelo, 1os gobernadores deben
ti cas de caída de vel oci dad y
A están conectados en para
tener I as mi smas caracterís
la carga será dividida de
58
dcuerdo y en proporción
operac i ón.
al valor completo de su rango de
Es muy importante entender dos factores básjcos concernien
tes a I a di vi si ón de carga entre al ternadores operados en
paralelol
Primero. - La potencia suministrada por e'l al tennador asÍ
como su carga son una misma función de la misma máquina'
El equipo gobernador de la máquina y las posiciones de
control del gobernador determi nan e1 aumento de potenci a
entregada por la máquina y la potencia en K[,J que soporta
el al ternador. Si el control del gobernador avanza, el
alternador asumirá más carga en KI,l. De la misma forma
un decrecimiento del control del gobernador resultará en
una reducción de carga en la un'idad. Algunas otras unida
des en I íned:Vdr'r d reduci r o aumentar carga al mi smo ti em
po, asum'inos que no hay un cambio en I a carga total , o no
hay cambios en el equipo de control de gobernador de las
otras unidades.
SeEundo.= La división de potencia no está determinada por
la excitaci,ón del alternador o los terminales de voltaie.
E1 factor de potenci a al cual operará un al ternador cuan
do está conectado con otros en paralelo, está determinado
por su exci taci ón.
Univcrsil¡d ¡.ulrnrmo dc lccilcnh
59
Como se mencionó preViamente los gobernadores pueden ser
de dos tipos: gobernadores para velocidad fiia; éstos son
los gobernadres mecánicos y los gobernadres para velocj
dad variable, QUe pueden ser ajustados para los cambios
de vel oci dad que puedan presentarse cuando ocurre al guna
variación de carga. Los valores de caída de velocidad más
comúnmente usados son 3% Y 0%.
Los gobernadores con caÍda de vel oci dad aiustabl e pueden
ser ajustadoS aSí sus característi cas sean muy simj lares
a las de los gobernadores de caída de velocidad fjia.
LaS caracteristicas de operación de las combinaciones de
gobernadores de un equipo eléctrico en paralelo (al ternado
res ), se descri be a conti nuaci ón l
-Dos gobernadores mecánicos de1 3%.
=Un gobernador mecánico o hidráulico del 3% y un goberna
dor isocrónico del 0%.
En los d'iagraítas que siguen el porcentaie de valor de car
ga de una unidad será mostrado baio la curva.
La capacidad del sístema será I a suma de I as capacidades
de I as un j,dades porque están funci onando en paral el o. El
pOrcentaje uti I i zado es el más general . Para usos parti
60
cu I ares de i nstal aci
Kl,l como se muestra a
ón éstos pueden
conti nuaci ón:
ser converti dos en
Set A
Set B
S'istema
Set C
Set D
Sistema
100
100
100%
1 00%
kw
kw
200 kw - 200%
60
100
100%
100%
kw
kw
160 kw 200%
Ejemplo 1.- Dos gobernadores
Las característi cas de caída
unidades son muy similares.
neas A y B de la figura 14
cadas para un equ i po de al ta
frecuencia del sistema será
de frecuenci a.
Velocid.
103
1021n1
Ciclcol. AyB
mecánicos del 3%.
de velocidad de estas dos
Esta se muestra por las 1í
Si ambas unidades son arran
velocidad y sin carga, la
de 6.|,8 Hz o .|03% de valor
61 .1260.
1Q0 6Q.
0
D6
\ll --' i i
s,)--i-..-i I d.e ca-rga.
Ilnidades en Paralelo c.cn Velocidacl Similar.FIqJRA ]-4.
61
Como Se ap'l icó carga al sistema' la frecuencia decrecerá
hasta un valor de 60H2, cuando está a plena carga.
Si la unidad A está soportando sóla la carga plena, la fre
cuencia del sistema será de 60Hz como muestra la línea A
a un 100% de carga. Ahora si la frecuencia de unidad B
es ajustada para un control de vel oci dad i gual que uni dad
A y su circuito de paso está cerrado (de la unidad B) el
sistema deberá operar baio las siguientes condiciones:
-La unidad rrArl
-La unidad rrBrl
100% de carga.
0% de carga.
a 60
a 60
Hz
Hz
v
v
Las característi cas del gobernador de I a unidad B a este
tiempo es nostrado en 1a figura 14 por la línea punteada
B.
Para obtener carga a la unidad B, es necesario avanzar la
vel oci dad del equi po gobernador, sí éste es avanzado a I a
posición de carga p'lena sus características coincidirañ
con hs de la unidad A. Por lo tanto la carga fué el 100%
de una unidad, no fué hecho ningún cambio en el total de
la carga y el valor de la capacjldad ahora es del 200%-
sistema operará al 50% de carga en cada unidad y 60.9
para las dos unidades de igual capacidad (punto E).
62
EI
Hz
Para uni dad de capaci dad di ferente,
proporción a1 valor de capacidad de
capacidad total y la frecuencia del
nada por los puntos característicos
corresponden a esta carga.
La frecuencia será la misma
I os al ternadores están funci
ve I oci dad.
la carga se divide en
cada unidad para la
sistema será determi
del gobernador que
para ambas unidades, ya que
onando en paralelo a la mi,sma
Si la unidad A.
dad B a .|00 kw
dor ajustado en
final de carga
está plenamente cargada a
en paralelo con la unjdad A
I a pos i ci ón de p 1 ena carga
y frecuenci a debe ser como
60 kw y la uni
y el goberna
, la división
sigue:
*Carga en el si sterna - 60 kw
-Capacidad del sistema 160 kw
-De l a siguiente operaci ón resul ta l a carEa de cada unidad
con 60 kw:
(.carsa del sistema) -!q-x Á5'=160
(Capacidad del Sistema)
-Con 1a unidad de 100 kw
60 * .|00 kw = 37,5 kw..|60
-La frecuencia del sistema puede
por unidad)22,5 kw
(carga en kw por cada unidad)
63
ser determí nada real mente
Por el paso
uni dad es:
22.5_TT-
100 59
TIGURA 15.
c ó el paso La carga soportada Por cada9..
que representa ser el 37.54 de la capacjdad de la otra uni
dad.
Nuevamente usando la Figura 14 para las características
del gobernador de la unidad de 100 kw y leyendo arriba el
yalor de la carga (37,5% punto F) se encontrará que la fre
cuencía del sistema es 61.125 Hz.
Veloc.
103
Ciclos
61.8
102 61.0
101 60.0
I de carga.
37 .5-flro-
o25 qn 100
Gobe:nador l,bcánÍco 3E y Gcbernador HÍdráullco tl-ridc paracper:ación fsocrónica.
\:. ^lA'\ \-.\
64
Ejemplo 2.-
un gobernador
Un gobernador
i scrónico del
o h.idráulico de 3% ymecánico
0%.
Las características de un gobernador de 3% (unidad
mostrada por la línea A de la figura anterior y las
terísti.cas del gobernador isocrónjco (un'idad B) es
da Dor la línea B.
A)
c
mo
es
arac
stra
Sól o a plena carga y a f recuencia de 60 cicl os las dos un'i
dades tienen el mi smo val or. Se acostumbra en este ti po
de sistemas que sea la gran capacidad de la unidad A la
que opere toda la carga. De esta forma la unidad A lleva
toda la carga a 60 ciclos (Hz) y las cargas adicionales y
de oscilación son maneiadas por la unidad B, también a 60
ci cl os. El s i stema puede mantener frecuenc i a constante
con este método de operaci ón.
El si stema descri to en el e jemp'lo I no puede mantener f re
cuencia constante con la carga fluctuante por las caracte
ríst'icas de caída de velocidad del gobernador.
En el si
nor que
nador de
tiene un
desconec
este ejempl o, si
unidadA(quetoportado por la u
nico 0%),1a unida
65
stema descri
la capacidad
3%) y puede
gobernador
tada del sis
to en
de I a
ser s
'isocró
tema.
I a carga es me
iene un gober
nidad B (que
d A puede ser
Si la carga no puede ser soportada por la unidad B, el
equi po gobernador de l,a uni dad A puede reducj r sus carac
terísticas tal como Ar. Así la unidad A llevará parte de
'la,carga en forma constante y la unidad B soportará la car
ga de oscilación. Si el sistema de carga se reduce al
punto donde la unidad ¡l no opera a los 60 ciclos de su
punto caracterÍstico de gobernador, la unidad A, verá la
unidad B como un motor y la frecuencia del sistema puede
ser mayor que 60 cicl os. La razón para usar un gobernador
isocrónico en un sistema de potencia es que mantiene cons
tante la frecuencia.
La expl i cac i ón anteri or y I os ejempl os de operaci ón de go
bernadores pueden ser resumidos como sigue:
-La combinación de gobernador simple para paralelar un equi
po eléctrico es tener un 3% de característica de caída de
yelocidad para cada gobernador.
Sj se requ i ere una frecuenci a constante para el si stema ya
sea en yacío o a plena carga, un gobernador para operación
isocrónica puede ser ajustado. Esta será I lamada unidad
directora.
-Hay un orden para que unidades en paralelo acepten su par
te de la carga, y los siguientes ajustes deben de tenerse
66
en cuenta en sus gobernadores.
. La mísma velocidad a carga p1ena.
.La misna velocidad de vacío, en caso de gobernadores mecá
nicos o hidrául icos aiustados para operaci ón de caída de
ve I oci dad.
.Los controles del gobernador deben estar disponibles para
vacíó o para carga plena.
-La operación de un gobernador isocrónico en paralelo con
uno en caída de velocidad, F€guiere las técnícas especia
I es descri tas en el eiempl o 2.
-Algunos equÍpos eléctricos pueden ser operados en parale
lo. Porque só10 un gobernador de un grupo puede ser aius
tado para operación 'isocrónica, excepto en casos especia
les de gobernadores electro$idráulicos o gobernadores ele
trónicos.
67
6.METODOS MODERNOS DE SOLUCION
6. 1 SOLUCI ON EN BASE DE NODOS.
Este método es el más empleado para la solución de fluios
acompañado desde luego por un método numérico para la so
lución del sistema de ecuaciones, que le dá por lo gene
ral el nombre de método.
Este método está basado en el empleo de ecuaciones de no
do para corriente y de la potencia compleia S para un no
do. El proceso de solución es iteratjvo y normalmente no
se requi ere de i nversi ón de matríces.
Las ecuaciones básicas empl.u{us en este método son I as
siguientes:
De la ley de Kjrchoff de corrientes para un nodo.
nIi - [ Yik Vk i= f ,2,.......n.
k=l
68
Ij= suma de corrientes que entran al nodo j.
Yj k= suma de admi tanci as conectadas al nodo i , cuando ilkse tiene la admitancia propia del nodo i, cuando i I k se
tiene la admitancia mutua entre los nodos i y k.
Vk = voltaje en nodo k
N - Número de ecuaci ones de nodos i ndependiéntes.
La potencia comp'leja para el bus k es:
*Sk = Vk Ik
*Pk - JQk = Yk Ik (1)
Donde Ik es la corriente del bus K que se obtiene de Ia re
I aci ón matri ci a I :
(2)
En la forma desarrollada:
(lUus) = ( ybus) (Vbus)
I1
T2
I3
IK
In
Y11 YIz.....Y1k...YlnYZI Y22.....Y?k...Y2n
= lY31 Y32.... Y32...Y3n
Ykl Ykz.....Ykk...Ykn
Yn1 Yn?.....Ynn...Ynn
V1
u2
V3
VK
Vn
Desarrollando para la fila K
Ik = Yk1Vl + Yk2U2 +.....+ Ykkvk + .....+ Yknvn
que se puede escribir en la forma:
l.niversidoi aut0n0mo dc 0ccidcnfa
Sccciln tibliotocd
69
n
Ik = YkkYk + j=. YkiYi
J lk
Sustituyendo (3) en
(3 )
(4)
*vk (Ykkvk
(1)
+Pk - iQk =
Despejando Vk
n
x Ykjvjj=1
jlr
vk =#r i vkivkij=1
Para la solución se acostumbra hacer:
CLk =
Y Lkj
La ecuaci ón (4 ) toma la forma:
Pk - jQkVk =
cLk
-VK
*YKKVK
I- Yrr nr Ykjvjj=L
n
r Yki I/ij=1jlr
Vk =
10
Para un si stema con cuatro buses el si stema de ecuaci ones
sería el siguiente:
Vl =CL1 - Yl 72U2 -YL13V3-YL14V4v 1',k
UZ = CLZ - Yl21V1 - YL23V3 - YL24U4
u2*
V3=CL3 - YL31Vl- YL3?UZ -YL34V4v3*
V4 = CL4 - YL41V1 - YL4?UZ -YL43V3
v4*
El cálculo de estos voltaies se hace normalmente por un
proceso iteratívo, con los valores finales del voltaie
de bus obtenidos y conociendo los valores de las admitan
cias de líneas entre nodos Yik y a tierra Y'ki/2 se cal
culan los flujos de potencia en las líneas de acuerdo con
I a ecuaci ón:
( 6)
I'jk - vjY'ki/2
La admitancia en derivación a tierra y el fluio de poten
cia se puede expresar como:
Pjk - JQjft = vil¡k + viI'il
donde: Ijk = (Vi - Vk) Yik
77
pJk -JQjk= vi (vi-vk)Yik+v3v¡Y'ik/z (7 )
Las ecuaci oneS anteri oreS son I as ecuaci ones bási cas para
el estudio de flujos de carga por el método de Gauss-
Seidel que es el que se empleará para el estudio de esta
bi I i dad.
6.2 ESTUDIO DE FLUJOS DE CARGA.
Para determj nar I as condi ci ones i ni cj al es del probl ema de
estabi I idad, se hace un estudi o de fl ujos de carga, para
determi nar:
- Flujos en K}'J ó KVAR en las ramas de una red.
- Tensión en los buses
- Efectos de pérdidas temporales de generación
- condi ci ones óptimas de operaci ón del si stema y de di s
trj buci ón de cargas.
La formulación de la técnica de solución puede ser cons'i
derada en tres etaPas:
. Seleccjón del marco de Referencia, Nodal o de Malla y
de acuerdo a ésto trabaia en base a admjtancias o impedan
c'ias.
. Implementación de un método de análisis numérico.
72
. Modificación de la técnica de solución básica para tener
facílidades en la simulación, tales como, buses de volta
je control ado, cambi adores de deri vaci ón de transforma
dores, control del intercambi o de Ml.l en áreas.
6.3 SUPOSICIONES E INFORMACION
- En un estudio de fluios de carga, la red de secuencia
positiva es la que se emplea únicamente debido a que el
acopl ami ento entre I as redes de secuenci a pos i ti va y ce
ro o entre las redes de secuencia negativa y cero' es ge
neralmente muy pequeño y además la carga se supone balan
ceada.
- Como é1 acoplamiento mutuo entre las redes de secuencia
es despreci abl e, el efecto mutuo es despreciabl e en el es
tudio de flujos.
- El inicio de un estudio de flujos de carga debe ser un
diagrama unifilar del sistema, con cada bus o nodo se tienen asociadas cuatro cantidades que son:
Potenci a activa (P) , Potencia Reactiva (Q) , Voltaje (V) y
Angulo de fase (O ).
- El estudio de fluios se hará en base de nodos (método
Nodal o de bus) y es necesario identificar tres tipos de
73
nodos o buses que son:
. Nodo fl otante o compensador
. Nodo de generaci ón
. Nodo de carga.
-Nodo flotante o compensador:
nodo en eI que se especifica Ia
y su ángulo de fase ( 0 )' y se
tiva (P) y reactjva (a).
-Nodo de generaci ón: En el
fi ca I a magni tud del vol taie
cj a activa (P) ya que estas
control abl es. Se desconocen
el ángu1o ( 6 ).
El nodo compensador es un
magni tud de vol taje ( V)
des conocen I a poten ci a ac
modo de generaci ón se especí
de operaci ón /U / y la poten
cantidades son físicamente
la potencia reactiva (a) y
-Nodo de Carga: El nodo de carga es aqué'l en cual hay de
manda de energía y en el que se conocen la potencia acti
va (P) y reactiva (a) y se desconocen la magnitud del vol
taje lU/ y el ángu1o de fase ( o ) del nodo que se trate.
6.4 INTEGRACION NUMERICA POR EL METODO DE PASO A PASO.
Cuando varias máquinas se conectan para formar un siste
rnd, la potencia de aceleración de cada máquina es la dife
rencia entre sus entradas mecánicas y sus sal idas totales
74
a todas las cargas y a
En I a si gu i ente fi gura
to de alimentación y de
que está conectada con
otras máqu i nas.
se muestran I as admi tanci as de pun
transferenci a para una máqu ina
otras tres máqui nas y a ti erra.
FfGURA l-6. Diagrama tlnifilar de varias máquinas para formar un sistema.
11=(E1 - EZ) Y72 + (El - E3) Y13 + (El - E4) Y14 + E1 Y15
= El (ylz + y13 + Y14 + Y15) - EjYij.
General i zando:
Ii = EiYii
Pe - Re
Pe= Re
EjYij
*ii) - Ei
4Tj=2
,l
toJ
(Ei Y EjYijJ['Í
I'i4Tj=2
75
Resolviendo todo ésto quedaría:
24p = E'iyii cos 0ii - r /Ei//Ej/lYij/ cos (o i-o i+eii)j=2
Para cada máqui na hay una ecuac'i ón semejante; en cuanto a
I as ecuaci ones de osci laci ón se puede expresar en forma
general como:
,fr1M = d'6 = pm-pe'i = Pmi -f, Ei EjYi j cos (o i- o i+0ii )
á2 j=l
En donde: 1
Yii = Y'i i
1
Yij = -Yij i = 1,2,3 ...n.siendo n # de máquinas.
Si el sistema consta de una a tres o más máquinas que pue
dan reducirse a máquinas equivalentes cuyo número no sea
mayor de tres, se puede por integración numérica, aunque
en ocasiones ésto resulta tedioso.
como pei = I lEi//Ej/lYiil cos (oij+o j-oi)j=1
Los n valores de d i son las incógnitas y se resuelve como
funciones de tiempo. Los ángulos iniciales e i (o) se obtie
76
nen de la solución del flujo de cargas. Estos son los án
gu I os i nternos de I as máqu i nas.
Como la ecuación de oscilación es de segundo orden, requ'i
re que se conozcan las velocidades iniciales de los roto
res, es decir, que estén gi rando a la velocidad sincrona.
cuando ocurra el disturbio, y si se desprecian los efec '
tos de la inercia 0, que el par de aceleración no cambie
para cada máquina, las derivadas iniciales son todas cero.
i(o)
Sust'ituyendo
obtienen las
cremento de
los ángulos iniciales en
potencias de aceleración
tiempo:
I as ecuaci ones se
pa ra el pri mer i n
Pai Pmi Pei
Si se cons i dera que I as vel oci dades son constantes para
pequeños intervalos, se calcula un nuevo conjunto de val o
res 6i, para el final de ese período.
Para el siguiente intervalo, la velocidad se ajusta de
acuerdo con el cambio que la afecta y que se debe a la nue
va potencia de aceleración; se obtiene un nuevo conjunto
de valores 6 i para esta potencia de aceleración que se em
pleará en el lapso subsecuente.
77
Por el método normal de integración númérica se conside
ra que los incrementos ocurren al principio de los inter
valos, poF lo que la aceleración promedio se toma de la
mitad de un intervalo a la mitad del siguiente.
La explicación del método normal de integración numérica,
se dará a continuación:
Los cambios de incrementos de ángulos, tales como A1 6.|,
se producen por la velocidad afectada durante el interva
I o previ o, I,{l en este caso.
El turno W1= l,{o +A 1l^l se produce por la aceleración 61.
Las siguientes relaciones son vál idas:
6l = 60 +416
Al = l,llAt
l^ll = l{o +* l,l1
AWl= 61 At
6l = pm- per = K (.pm-per)= potencia de aceleración
Constante de Inercia
De las ecuaciones se obtiene una expresión que se util iza
con más frecuenci a:
61 =60+(Wo+All,J)At
7B
Sustituyendo por la forma alternativa,
61 = g o + Wo At + Ol(¡t)Z
Extendiéndose al siguiente intervalo, resulta:
6l = 60+ (wo+alt¡J)¡t
62 = 6l + (Wl + A2t.l) At
o bién:
6l = 6o + Wo At + Ol(¡t)Z
62 = 6l + l,l1 At + OZ(¡t)2
Para el enés imo térmi no:
6n = 6n-l + (wn-l + Anlrl) at
o bién:
An = an-l + Wn-l¡ t + on(¡t)z
En Ias ecuac'iones 6n es el valor del ángulo al final del
interyalo; tln-l es la velocidad del intervalo previo, AnW
es el paso de velocidad al princ'ipio del interva'lo y 6n
es I a acel eraci ón af ectada a través del pri nci pi o del m'is
mo.
6.5 C0MBI NACI 0N DE MAQU I NAS
El núnero de máqui nas que se puede reduci r combi nado vari as
Unircrsidod ¿utonomr l¡ lcciünf¡Sección Bibliofeo
79
máquinas que oscilan en la misma forma o en forma parecí
da en una máquina equi val ente.
Cuando Ias máquinas osci lan en igual forma aunque no es
tán mecánicamente acopladas, las condiciones en una red
son las mismas que si lo estuvieran; por tanto, la cons
tante de inercia de la máquina equivalente se toma como
I a suma de I as constantes de i nerci a de cada máqui na.
nHe = f, Hi
i=ln = número de máquinas
La impedancia de la máqu'ina equ'ivalente es una reactancia
igual a la combinación en paralelo de las reactancias de
I as máqui nas i ndi vi dual es .
Xe
n=
n-f, 1
i=t IIT¡número de máquinas
La f.e.m. de la máquina equivalente es tal, que djcha má
quina suministra inicialmente a la red la misma potencia
activa y reactiva que el grupo de máquinas que reemplaza.
80
6.6 METODOS DE REDUCCION DE LAS REDES.
El método que más se utj I i za en probl emas de estabi I idad
de S i stemas de potenc'i as es I a reducci ón de I a red por
medio de representacjones matric'i ales y hacierido uso del
álgebra de matríces por ser más usual .
Como lo que jnteresa en este momento es la reducción de
la red la matríz de corriente Se obtiene de1 producto de
I a matríz de admj tanc i as en base de nodos ( barras ) y I a
matríz de I os vol tajes detrás de sus reactanci as transi
torias.
En estudios donde intervienen muchos barrajes, el cálculo
de esta matríz resulta complicado, por lo que resulta con
veniente el empleo de una computadora digital para simpl i
ficar el problema.
Para la Solución de estas matríces se utilizan varios mé
todos numéri cos como:
-Método de Euler
-Método de Eul er modi fi cado
r - ['] [']
B1
-Método de Pi card's de aproximac'i ones sucesi vas.
-Método de Runge-Kutta de cuarto orden
-Método de Mi I ne 's.
Todos estos métodos sirven para la solución de ecuacio
nes diferenciales de primer orden en adelante. Para el
caso de estabi I idad el más preci so es el de Runge-Kutta.
82
7 . S I MULACI ON DEL PROBLEMA
7.1 S0LUCI0N DE LA ECUACI0N DE 0SCILACI0N P0R EL MET0D0
DE RUNGE KUTTA PARA ESTABILIDAD TRANSITORIA EN SISTE
MA DE MU LTI MAQU I NAS .
La sol uci ón por este método, despreci a efectos de sal i en
cias (máquinas de rotor c'i líndrico), los efectos del regulador, gobernador y excitador.
La ecuación de oscilación que describe el problema, es una
ecuación diferencial de segundo orden; hay tantas ecuacio
nes como máquinas tenga el si stema.
El procedimiento matemático se basa en que siempre es posi
bl e descomponer una ecuaci ón di ferenci al de orden "n " en
Itnrr ecuaciones de primer orden; así la ecuación de oscila
ci ón de segundo orden.
o2o = Pa
dtz M
83
se puede descomponer en dos ecuaciones:
d 6 = W, dw = Fa
dt dt M
Con lo cual se puede observar que para resolver el proble
ma es suficiente tener un método numérico que sea capaz
de resolver sistemas de ecuac'iones de primer orden.
El método que más se usa es el de Runge-Kutta de cuarto
orden.
El probl ema por resol ver consta de ecuaci ones di ferenci a
les simultáneas que son de la forma siguiente:
dz = g (x,y,z )-dr
La solución de estas ecuaciones son:
dy = f (x,y,z )dx
Yl = Y0 + 1/6 (Kl + 2K2 + 2K3 + K4 )
71 = 70 + 1/6 (Ll + 2L2 + 2L3 + L4)
donde: Kl - f (Xo, Yo , Zo ) h
K2 =f [Xo+h/2, Yo+K1/2,2o +L1/2)h
K3 = f (Xo + h/2, Yo + K2/2,70+ L2/2) h
K4 -f (Xo+h,Yo+K,7o +13)h
84
Ll = g(Xo,Yo,Zo) h
LZ = g(Xo + hl2,Yo + Kl/2,2o+L1 /2)1
L3 = g(Xo + h/2,Ye+K2/2,2o +12/2) h
L4 = g(Xo + h, Yo + K3, 7o + L3) h.
Para el estudio de estabilidad se trabaja con.las siguien
tes ecuaci ones:
61 = 60 + 1/6 (Kl + zKZ + 2K3 + K4)
l,ll = l,lo +1/ 6 ( Ll +2L2+ 2L3 + L4 )
Existe un juego de estas constantes Kl, K2, K3, K4, LI,LZ
13,14, las cuales se hallan primero Kl y Ll las cuales
siryen para hallar las K2 y LZ y así sucesivamente hasta
hal I ar todas I as constantes, ésto se hace para cada i nter
valo de tiempo "h".
La solución del problema se divide básicamente en dos par
tes:
- Condiciones del d'isturbio: Para determinar las condicio
nes iniciales de1, problema, se hace un estudio normal de
flujos que permita conocer la potencia compleja y la ten
sión en magnitud Et y ángu1o en los terminales de cada má
qu i na .
85
Conoci endo I
I a corri ente
a potencia
It :
*Q = Ff"tIt = St'
*Et
Si la potenc'ia comPleja
St = Pt
en terminal es:
iQt
compleja y la tens i ón , se cal cul a
It= Pt -iQt
E*t
calcula el voltaie detrás de la reac
E'd = Et (Ra + jX'd) It
E'd = E'd /a
Con la corriente se
tancia transitoria.
El valor del
eléctrica Pe
del di sturbi o
ángulo ó es
= Etd*It es
y es igual
el valor inicialla potencia del
a Pm.
, y la potenc'ia
sistema antes
el estudio,yaEste valor de Pe Permanece
que se desprecia la acción
constante durante
de I gobernador.
Xrs
E t d,/6 rt............."....-......*.
Unifi'Iar de rrn gen
Pf-
+
ador .FIGURA f7. Oiaqrana
B6
Qr
. Condi ci ones durante el di sturbi o: Como en | = to ocurre
un disturbio, la red se modifica, y los cambios se intro
ducen en la matríz de admitancias.
Es necesario entonces considerar las condiciones un ins
tante después de que ocurra el disturbio, es decir en un
tiempo para lo cual se estima que debido a la inercia del
rotor, ni la veloiidad angulEr l,l ni el ángulo 6 cambian
i ns tantáneamente; pero como I a red se mod i fi ca , I a poten
cia eléctrica cambia y se determina como sigue:
A la rnatríz de admitancias que representa a la red se
I e agregan I as admi tanc i as de I as máqu i nas , con obieto
de trabajar con los valores de tensión y ángu1o E'd 6 co
mo un nodo más.
- Con los yalores iniciales de tensi6n y ángulo E'd y 6 se
hace un estudi o de f 'l u j os, en el cual todos I os nodos corn
pensadores, con tensiones conocidas en magnitud y ángulo
de este estudio se obtienen los valores de Pe para cada
generador. Dicho estudio de fluios se hace comúnmente
por los métodos Nodal y Gauss Seidel.
- Las ecuaciones que se emplean para la solución por Runge
Kutta son:
87
oo-dt
constantes
obtiene el
disturbio.
dl,l = Pm - Pe
, la variable
val or de Pe un
es Pe; del estud'io de
i nstante después de
dt
MyPmson
fl ujos se
ocurrir el
}J es el exceso de velocidad sobre la velocídad sincrónica
cuyo val or i ni ci al es cero.
El grupo de ecuaciones por resolver es semejante y compa
rando térmi no a térmi no con I as funci ones general es las
Itf tr para la sol ución por Runge-Kutta son W y pa/M
Además, la solución para el primer intervalo rrhrr requiere
del conocimiento de las constantes K y L; la primera K, se
calcula para los valores iniciales (to,Wo,6o) y la prime
ra L, se calcula tamb'ién para los valores iniciales (to,
t,Jo,6 o ), Wo=O, Pa/M, M es constante y Pa = Pe que se ob
ti ene con el estud i o de fl uios del i nc i s o 2.
Las constantes KZ y LZ requiere la evaluación de un segun
do estudio de flujos, en que los nuevos valores de ángulo
en I os generadores son:
QA
6=6o+Kl,dondeKl=d6-hl2dt
Se obtiene la correspondiente Pe=Pa y por tanto PalM es la
'frr para dw = Pa la "f " para 46 esl{ cuyo valor es:dTMdt
tlJ = [.|o + L1/2, Ll = PalM
Ll=dw = Pa?T_ T_
En forma aná1oga se obtienen las demás cantidades.
- Todo el proceso anterior se repite para cada espacio de
tiempo "h". Se puede observar que se requieren cuatro es
tudios de fluios por intervalo.
univclsidod nursncrno dc Occidenfr
Scrción Eibliolcco
89
8. APLICACION PRACTICA
Para el si stema mostrado en la figura si ocurre una fa
lla trifásica en el bus 3, iniciar el proceso de solución
por el método de Runge-Kutta con A't = 0..| seg.
Hf 2.s
¡r¿=j0.1V', = 1'o
ftGIRA 18. Diagrana llr:ifilary rna subestaci&r
TABLA I Datos del Sistema
H2= 4'o seg
¡r¿ =j0.08V.= 1 .5 /O"
Fde dos sr:bestaciones de sr¡nrni-stro.de carga.
EntreBuses
Independencia Admitancia Efecto a tie.rraTpg Ypg Y'pq12
1-2I -32-3
0.1 + j0.40.05 + j0.20.05 + j0.2
0.5882-j2.3s29 0.0 + j0.01.1764-j4.7059 0.0 + jo.0.|..|764-j4.7059 0.0 + jo.0
90
TABLA 1. Continuación
rVo I ta.i e
P GENERActqN
1
2
J
1.0 +j0.0
1.5 +j0.0
1.0 +j0.0
0.0
0.5
0.0
0.0
0.2
0.0
0.0
0.0
0.8
0.0
0.0
0.3
Y gu, compensador F=60H2
Con los datos anteriores se hace un estudio de fluios de
carga usando el método de Gauss-Seidel.
SOLUCION:
Las admitancias de la diagonal principal son:
Y]l =
Y22- =
y1 2 +y13_Y' 7¡2 = 0. 5882-i2. 3529+05505-i1. 8349+0+i0
1.1387 i4.1878 = 4.3398 f-74.78"y72+y23+y' 2/2 = 0.5882-j2.3529+1.1765-i4.7059+0 +i0.0
1.7647 - i7.0588 =7.2760 f -lS.gA"
y3l= y13+y23+y'3/2 = 0.5505-i1.8349+-1. 1765-i4.7059+0. +j0.0
= 7.727 - j6.5408 = 6.7649 /'75.20"
Elementos fuera de la diagonal principal.
Y72 = y21= -y72 = -y72 = -Q.5882 + j2.3529 = 2.42 /104.03'
Y13 = y31= -y13 - -0.5505 + j1.8349= 1.915 / 7Q6.7"
91
Y23 = Y32 = -y23 =
TABLA 2. Matriz de
-1.1765 + j4.7059 = 4.85 /104,03'
YBus Prefal la.
(l )
(2)
(3)
1 .1387-j 4. 1878
-0.5882+ j2.3529
-0. 5505+j I 8349
-0. 5882+¡ 2.3529
7.7647 -j77 .0588
-1.1765+j4.7059
-0 .5505+j1 .8349
-1.1765+¡ 4.7059
7.727 - j6.5408
El sístema de ecuaciones por resolver por el método de Gauss Seidel
es: J
.,k+1 CLI , yL13V3kVi-' = ffirT* - YL12U2^
.,^k+1 CL2u¿=-(vz^¡*
y3k+1 = c13,,( vsn ¡*
CLI =
ENRIQTIEZ, Flarper.Limusa, México,
YL?tvlk*1 - YL23v3k
YL3rvlk*1 - Y1z3v2k*1
anáIisis moderno1977 , p201.
= Q + j0
Los CLk se obtienen de I a si guíente manera:
Pk - iOkCLk =fr¡f; Pk - iak es la potencia neta en el bus K
*/
0.0 i0.0
92
sístemas eléctricos de potencia
= FuE-r-¡il#sgr--= o'0433 + jo'o6o
= 0. 0739 /54,78"
cL3 = TttS- =
= 0.07 - j0. l0?9 = 0.I2 /-124.2
Ahora se calculan los YLki:
YLki =
YL12 =-{;+f
= 0.5587
=ffi- -0.5586 + io.ot16
/ 778.87"
= 0.3332 / ]AO'
_ -0.8 + j0.3- Tm-463-.86{
ylr3 = # = ffi = -Q. 44zz - io.or142.
=0.4423- /778.52"
=ffi--0.3332+ jo.YL27Y27=w
93
YL23 - Y23 - .|..|765 + i4.7059Y22 1 .7 647 - i7 . 0588
=0.666 /179.99"
YL31 Y3l -
Y33
= 0.2346
YL32 _ Y32 _
Y33
Con los datos obtenidos se
bla:
TABLA 3. Constantes YLki
- 0.666 + j0.000.|1
- 0.5505 + j I .8349 0.223 - j0.073
1.727 - j6.5408
1,.|765 + j4.7059 - 0.7169 + j 0.0096
1.727 - j6.5408
=0.7169 /179.23"
puede formar I a s igu iente ta
16.|.87"
BUS
k-jYLkj
I
I
2
2
3
3
¿
J
I
J
I
2
-.0.5586+¡0.0.|.|6
-0.442j0.01142
-0.3332+j0.0
-0.666+j0.0001.|
-0.223- j0. 073
-0. 7 1 69+¡ 0. 0096
hte.u"hte .sz"
Áeo"
0.5587
0 .4423
0.3332
0.666
0.2346
0.7.|69
94
Sustjtuyendo en I as ecuaci ones para
jes Gauss-Seídel:
V'1 = - YL12 yez - YL13V"3
el cálculo de los volta
UtZ =CLZ11tr2l. - YL2lV', I - YL 23y"3
- (0.2346 /-76L.87") (1 l0")-(0.i16e /r79.23"L 10"
x ( 1.028
= 0. 89 / -7.82"
cLl
l't ?r'¡r - YlJ- - YL31V'1 - YL32V ' 2vJ-Iffir*
Se se I ecci onó e I Nodo L como Nodo Conpensador.
V' 1 - 1.0 +
u,2 0.0739
j0.0
54.18"-(o.stzz /l@ (1 l0.)-(0.666 /ne.e" ) (1 l9:)
7.5 /0"
Y'2 = 1.028 + j0.0388 = 1.028
Vt3 =
0.12 /-L24.2"
2.16"
2.16"
V'3 = 0.8901 - j 0.0121
95
Usando factores de aceleraci
más rápida. La tolerancia
el factor a uti I izar es l.factor de acel erac i ón son :
ón se obtiene una
que se considera
4 Las fórmu I as
conyergenci a
es de 0.00.| y
usadas con el
UrZ aCel = 1,t"2 + s A Urz
El cambio de vol taie A U | 2 es:
^ U'2 = Y'2- YoZ
U'2 acel = YaZ+
=0.8409
= I . 028+j0. 0.388-(l . 5+j0. 0)=-0 .472+j0.0388
cxA v'2= (t . 5+j0. 0)+1 . 4(-0. 472+j0.0388)
lg.t"
A v'3 = v'3-ve3 = 0.8901 -j0.0.|21-(1.0+j0.0)=-0..|099-j0.0121
v'3 acel = vo3 + cra v'3= (.|.0+j0.0)+.|.4(-0..|099-j0.0.|2.l )
t=0.8461 * j0.01694 = 0.846 /1.1469"
que se obtienen
siguientes:
después de cuatro iteracioLos vol taj es
nes son los
= 1.0 + j0.0 = 1/0"
0. 9638-j 0
0. 8768-i 0
.01
.il
las 1 íneas están dados por:
v4l
u4z
y4¡
54=0. 9639 /-O.glSq"
55 = 0.8843 /- l.S"
Los flujos de potenc i a en
96
Pik * iQik = V*i (vi-vt<)Yil+ v*ivi +Entre los buses 1 y 2
p12-JQ12 = V*t (Vr-Vz) vrz + v*1vl Y' 72/2
p12-JQ12 = (1 10")F zo'- -(0.e638-i0.0.1s+! c2.42 /104.03")+ 0
PI2-JQ12 = 0.0575 + i0.076?
Entre 1 y 3
P13 - JQl3 = V*1 (V1-V3) YL3 +
P13- JQl3 = (1 /0") [tt to"-
P13 -JQ13 = 0.2797 + j0.1625
Entre 2 y 7
P21 -JQ21 = V*2 (Uz
PZr-JQZ1 = (0.9639
-V1) Yzf + Y*Yz
PZI - JQ21 = -0.0566 - j0.072
Entre 3 y 1
P31 - JQ31 = \1* 3 (Y¡ - Yr )Y31 + V*
y*r.yl ry/ 106 .7 )+0
/ -0.9754 - 1 /9:] 2.42 /104.03 + 0
3y3Y'231-
0.9tr54" )
( o. 8768-io. 1155n (1.e15
Y' 27T
L
[0. sors
5
97
P31-JQ3l= (0.8843 i7:5) fto.azoa-j0.r155)-G.o*¡o.o! (r.e15 /106.7')+0
P31 - JQ 31 = *0.264 * i0.1102
Entre 2 y 3
*P23 - JQ23 = V 2 (V2-v3) Yz¡ + Y* z1z ryp23-JQ23= (0.e63e /0.e154) [O.So:a-¡O.0154)-(0.8768-i0.r155n
.(4.85 404;03) + 0
P23-JQ23 = 0.5571 + j0.2722
Entre 3 y 2
P32 - JQ32 = V*3 (Y3-Vz) Y32 + Y*3V3 ry
p 32 -JQ32= (0.8843U11 [0. szoa-¡o. 1155)-(0. e638-i0.0154n (4.85/104.91]+0
P32 - JQ32 = -0.5364 - i0.1895
TABLA 4. Resultados del estudio de fluios de carga, por e'l método de
Gauss-Sei del .
BUS VOLTAJE DE BUS GENERACION CARGApppQpPpQp
1 1.9 + ¡0.0 0.3372 0.2387 0.0 0.0
2 0.0638- i0.0154 0.5005 0.1997 0.0 0.0
3 0.8768- i0.1155 0.0 0.0 0.8004 0.2997
98
8.1 FORMACION DE LA MATRIZ YBUS DE FALLA
En condiciones de falla la matríz Ybus de prefalla se mo
difica al crearse los nodos jnternos de las máqui.nas y la
referencj a en donde Se representan I as cargas como admi
tancias constantes conectadas a tierra (ver Figura 19 ) .
Las máqujnas se representan como fuentes de voltaje de mag
nitud constante detrás de la reactancia transitoria.
TABLA 5. Datos adicionales del Sistema
EntreBuses
Reactanci a trans'itori a
de eje di recto X'dAdm'i tancia equivaI ente Ypi
t-42-5
0..|
0. 08
0.0
0.0
jr0.0jr2.5
l4
I
fTqJRA 19. DÍagrarn t-krifilar det problenra anterior y cr"eaci&r de nuer,osNodos.
Univcrsidod "r:iun0ol dc Occid¡ntr
Sección Eibliolcco
99
La matrÍz Ybus de prefalla se modíf ica aumentando dos no
dos (1os de las máquinas) y mod'ifi'cando los elementos de
la diagonal principal en donde Se crean nuevos elementos.
Yll MOD = Yll + Y14 = 1.1387 - j4..|878 +
= l.l3B7 - j.|4..|878
Y22 MOD = Y22 + Y25 = 1.7647 - j7.0588 +
=1.7647 j19.5588
0.0 - j10.0
0.0 -i12.5
Y33 MOD =
Y30 es la
nectada al
I a carga oo
Y30 - j 0 .3882(0.8768)2 + (o.lls)z
Y33 lq0D = Y33 + Y30 = 1.727- j6.5408 +1.0234 - i0.3882
2.75A4 - i6.924
Y33 + Y30
admi tanci a a ti erra que representa
bus 3:
0.8004 - j0.2992 _ .l.0234
Y 44 MOD
Y55 MOD
Y14 MOD
Y25 MOD
= yl4 = - jl0
= Y25 =- j.|2.5
= Y4l MQD = -Vl4 = jl0
= Y52 MQD = -Y25 = j.|2.5
- P3
100
TABLA. 6, l4atriz Y Bus Modificada.
(t ) (2) (3 ) (4) (5 )
1. 1387-j14..|878 -0.5882+¡2.3529 -0.5505+i1.8349 0.0+il0 0.0+i0.0
-0.5882+¡2.3529 1.7647 -jI9.558 -.|..|765+i4.7059 0.0+i0.0 0.0+i12.5
-0.5505+j1.8349 -1..l765+i4.7059 2.7504-i6.924 0.0+i0.0 0.0+i0.0
0.0 + jlO 0.0 + i0.0 0.0 + i0.0 0.0-i10. 0.0+i0.0
0.0 + j0.0 0.0 + i12.5 0.0 + i0.0 0.0+i0. 0.0-i12.5
Las ecuaciones que describen el comportamiento de la red
usando el método de Gauss-seidel , para este eiempl o son:
¡1k+l = -fL1lEzk - YL13E3k - YLl4E4k
E2k+l =-yLZt Et k+1 yLZ3E3k - yL25E5k
g3k+1 - -yL3t E'¡ k+1 - yL3 ZEZk+I
Los paraámetros YLpq se obtienen de la matríz YBUS M0D co
mo si gue:
YLpq = Ypq p,g = .|,2,........nYpp
YLl2 = Yl2mod - -0.5882 + j2.3529 =- 0..|6808 - j0.02797lTimil
101
YLI3 Yl3Yl I
YLI4
YLzI YzIY22
YL25
-0.5505 + jl.8349 _-0.1316 -j0.028241.1387 - jl4.l87B
0.0 + l0--
0 . 7 0 0 3 2 + ¡ 0 . 0 5 6 2 I
I ..|387 - jr4.l878
-0. 5882+ j2.3529 -0.1222 - j0.0.|9061 .7 647 - j r e.5588
jx'di Iti
Pti - jQr'iE* ti
i - n+l,n*2,.....n+m.
YL3l _ Y3l
Y33
YL2A Y23 1..|765 +.j4.7059 -0.2404 - j0.038r 3
Y22 1.7647 - j.|9.5588
0.0 + j.|2.5 =-0.63394 + j0.057201.7647 j I 9.5588
-0.5505 + j I .8349 _ -0.25617 + j0.022252 .7 504 - j6.924
v L32 Y32 -.|..|765 + j4.7059 -0.64532 + j0.08642Y33 2.7504 - j6.924
Determinación de las condiciones iniciales
Los voltajes detrás de las reactancias transitorias.
Ei E'ti +
Donde: Iti
702
Y (n) es el núnero de buses del sistema y (M) el número
de máqu i nas.
Para la máquina conectada el bus l.
E4 = El + jX' dl4 Iti= E1 + jX' d14 (Pl - iQl)
E1
=1.0 + j0.0 + j0.l (0.3372 - j0.2387)1.0 - j0
E4 - .|.0238 + i0.03372
La magni tud del vol taie es:
/E4 =v (1.02387)2 + (0.03372)2
1E4/ - r.024?5
La posición angular:
d4 = arctang 0.03372 = 1.8862" = 0.03292 rad.I .02387
Para la máquina conectada al bus 2.
E5 = EZ + jX'd25 (P2 - iQz)E2*
= 0.e638 - j0.0154 + (i0.08) (0.5005 - j0-19!Zl
i03
0.9638 + j0.0.| 54
E5 = 0.98104 + j0.02586
/Es¡ =/t 0.e8 104)2 + (0.02586)2 = 0.0e813807
La posici ón angul ar
6 5 = arctang (0.02586) =.¡.5099o= 0.0?635 rad.0. 981 04
La falla ocurre en el bus 3 se simula haciendo el voltaje
en este bus cero.
Los voltajes iniciales del estudio de fluios y los voltajes internos para el inicio de las condiciones de fallason:
Los voltaies internos en los buses 4 y 5 permanecen constan
tes , entonces I as ecuac i ones para I a red son:
+
3+
E1 (o) = t.o + jo.o
Ez(.o ) = 0. 9638 * j o. ot 54
E3 = 0.0 + j0.0
E4 = .|.02387 + j0.03372
E5 = 0.98]04 + j0.02586
Y 114 E4]
YL25 E5]
E1k+1 = -ELtzEzk + yll3E3
E2k*1 = - [L2t El k+l +yL23E
104
Permaneciendo constantes E3,t4,E5
E11 - (0. l7A3 / -170 :55') (0.9639'/:0.0s154")+(0.1345/-.|67.88'
El1
E27
. (0.8843 /*7 .5")+(,0.7025 /175.41" ) (1. 02M2 /1.886"
= 0.9996 - j2xl0-5 = 0.9996 /(-1.14x l0-3)"
(0. 99e6
^,l,1qrl!-3 ) "+(0.247 / -t7t .11')
E27
= -(.0.1236 /-171.13")
. (0.0+j0.0)+(0.6365
= 0.7453 - j0.05876 =
/174.84" ) (0.9813 /l .s099.)
I os resu I tados son :
durante la fal I a son obteni
bu s i nternoBus al que se conecta lamáquina.
Después
E14 =
E24
E3
E4
E5
de cuatro iteraciones
0.84r76 - j0.01797
a.72645 - j0.02588
0.0 + j0.0
1.0238 + j0.03372
0 . 981 04 +j 0. 02586
Las corrientes de las máquinas
das por la ecuación siguiente:
t-i-
0.7476/ -4.5"
Iti (Et * Ei) Yti
105
r4t =(r.02387+j0.03372)-(0.84176-j0 .017e7) (0.0-i10.0)
Para la máquína I
r4t = (E4 - El) yl4
= 0.5.|69 - j1.82ll
Para la máquina 2
rSZ = (E5 - EZ) ySZ
=0.64675 - j3.18238
Las potencias entregadas por I as máqui nas son:
Para la máquina I
Pe4 - jQeQ = I41 (E4)*
= 0.46783 - j1.882
Para la máqu'ina 2
Pe5 - jQe5 = 152 (E5)*
= (0. 98104+¡ 0.02586)-(0. 72645-j0.02588) (0.0-j .|2.5)
Pet - jQet = Iti (ft1¡*
Pe4 - jQe4 - (0.5169- j1.8211) (1.02387-j0.03372J
= (0 .6467s-j3.18238) (0.e8104-j0.02586)
= 0.55219 - j3. I 3876
106
Para calcular el cambio en la posici6n angu'lar y en la ve
locidad es necesario resolver la ecuación de oscilación.
¿2oi - nf;É
=# (Pmi - Pei) i - 7,2,""""' m
donde Pmí es constante para cada máquina al despreciar I a
acción del gobernador e igua'l al valor inicial de la poten
cia eléctrica (en el instante que se produce la fal la).
La sol uci 6n por Runge-Kutta requiere que I a ecuación ante
rior se descomponga en dos ecuaciones de primer grado:
La solución por Runge-Kutta con aproximación de cuarto or
den está dada para cada paso i terati vo como:
Donde las constantes K y L son los cambios de 6i y l.li.Los valores iniciales de estos cambios son:
6i(t+At) = 6i(t7 +1/6 (Kl,i+ ?K2,i +2K3,i +K4,i)
ulí(t+nt) = t,Ji(t7 +I/6 (11,i+ 2L2,i +213,i +14,i)
107
LJi (t) y Pei (t) son las velocidades de'las máquinas y po
tencías eléctricas iníciales, en t=0, t+ ^t
= 0.1
Kll = (t^ll (r) 2rf)A t= (Zrf - Zrf) ¡t= 0.0
KIz = (t.Jz (t) 2nf)¡t
= (Znf - 2rf) 0.1
= 0.0
Kti = (t,li (t) - Zrf )L t
¡lLli = t+-.(Pni - Pei (t) at¡ i=7,2,.........,m.
Para la máouina 1:
Para la máquína 2:
Lt1 = S {eri -Pei (o) ) ¡t
111 =
= - 0,9848
*+L72 =ff(erz - Pe2 (0)) At
= fgl (0.5005 - 0.55zrs) 0.1 = - 0.24358
108
E1 segundo juego de constantes de Runge-Kutta:
K?i = + L7i/2) - 2rr] at
LZi =rf
-H1
(pmi - Pei(1)) ^t
i= 712.
l1\Pei\" son las potencias de las máquinas cuando la posición
ha cambiado a i(t) + KL i/2, para calcular'las constantes
K2í, LZi se calaulan primero los voltajes internos y lue
go I as potenci as:
.i(1) = /Ei)/cos (oi(t) + KL,i/z) i = 712
t'i (1) = /Ei/ sen (oi (t) + KL,i/2)
ftr,ui ( t )
Se resuelyen las
jes de I os buses
En este juego de
no es necesario
ecuaciones
y así poder
constantes
resolver las
de red para obtener los volta
ca I cul ar I as potenci as Pei .
Kll y KIz tíene valor cero y
ecuaci ones de I a red.
K2I ftwr (o )
flz"qoo¡
znif nt
2rüfrwz to )
ftznr
+ LII/Z) - 2 "t] ^t(0.e84e)
+ Lr2/2)
o .2435 / 2) -
- zr(ool] 0.1 - -0.04924 rad.
0.1. = + 0.01218 rad.
Univcrsid¡d ¡ ul0rl0mt de 0ccilcntr
Scrción libliotaco
K22
109
Lzr =\+ ( pmr - Per (1) )¡t
=+.$ rc.3312- 0.4678) 0.1 =-o.ee4e
Lzz =# (pmz - pee(1))¿t
=+ (o.5oo5 - o.55zr)0.1 = - o.z43s
El tercer juego de constantes para las máquinas 1 y 2:
L3i =+{- (pmi - Pei(2)) at i - r,Z
L3r =+{- (pmr - Pei(2)) rt
L3z = Irf (pmz - pe zQ)) ^tH2
K3í = ftlli(t) + Lzi/2) - Znr] ^t
K31 = f{wrlo¡ + L27/2) - lnr] at
K31 = lrn(60) - 0.e84s/2 - 2n (60)] 0.1
- -0.04924 rad.
K32 = fwzlo¡ + L22/2 - znt] nt
= lzrr(60) - 0.243s/2 - 2n, (60)10.1
= -0 . 01 277 I rad.
110
Para calcular las potencia, p.i(2) es necesario calcular
I os vol tajes de I as máqui nas:
Ei (2 ) = ri[i) cos(d i (t) +KzUn +jEi (1) ,.n(dl(t ) +Kzllz)
i = 4r5
E4(2) = t.0?44 cos(o .ltzsz-9ffi¡ +jI.02442 sen (0.032s2- $l
E4Q) = l'.02439 + jo. oo85
E5(2) = 0.9813 cos (0.02635 - 0'0!217 ) + j0.9813 sen(0.02635 - 0'07277J
E5(2) = 0.98118 + j0.01988
Se resuelven las ecuaciones para la red.
E1k*l = -ftlrzr2k + yLt3E3 + yL14Ea + y¡15Ef
rzk*l = -fvlzrr3k*l * yLz3E3 + yLz4E4 + yL25E5]
E3k*t = -firsrnk*l * yl3zEzk+1 + yL34E4 + yL35E5]
E4k*1 = -['-+rr1k*l * yL4zEz¡+l + yL43E3 + vrases]
E5k*1 = -ftlsrnk+l + ylszrzk*l + yL53E3 + yL54E4:l
En esta etapa e1 voltaje en el bus f al'l ado es cero y se
mantienen constantes 1 os vol tajes ínternos E4 y E5, quedan
do entonces las ecuaciones:
111
¡r(1) = - [rtt zrz(o) + vrr+r+]
Ez(1) = -[vrzrEr(1) + yLzsrs]
Sustituyendo valores:
/1\E1\'/ - - L (-0.1680- i0.02797). (0.72645-i0.02588)+(-0.7003+i0.0s621)
.(1.0423e+ i0.ooesI
E1(1) = o.84o7o - j0.03566
/1\E2\' t = - u0.1222-j0.01906). (0.8407-j0.03566)+(-0.63394+j0 .0572)
.(0.98118+ i0.orsea)]
EzQ) - o .7264r -jo. 03185
Después de tres (3) iteraciones. Se obtienen los siguíentes resultados:
TABLA 7 Primer estudio de vol tajes por el método deGauss- Se i de I .
Bus P. E p
0. 84088 - j 0. 03668
0.72645 - j0.03197
0.0 + j0.0
1.02439 + j0.00850
0.98118 + j0.01988
2
4
5
77?
I41 = (E4 *El) Vtq
= f(t .oz43s + i0.0085) - (0.8408s*i0.03668ü. t-0.0-ir0.0)- 0. 4518 - j1 .8351
tsz = (E5 - Ez) y52
= [o.9Bl1B+¡0.01988) - (0 .72645=i0.031S2!.{0.0-j12.5)
= 0.6 4Bf2 -j3.18472
Las potencias eléctri cas
pe1(2) JQer(2) = r41 (r+)*= (0. 4518- j1.835r ).( 1 .0243e- j 0. 0085 )
Pel(2) = 0.44722
pez(,z) - JQeZ(2) = r5z irs¡*= (0. 68412- j3. 18412 ).(0. e8118- j 0. 01e88 )
= 0.5726?-j3.13708
PezQ ) = 0.57262
Cálculo de las corrientes de las máquinas
EntonceS:
L3r = fff { ort - Pet (') ) 0.
=+S!l (0.3372 *o.44tzz) o.l
11s
= -0.8295
L32 PezQ)) o,
E1 cuarto juego
mo si gue:
-Yr-(pmz -
(0.500s - 0.57262) 0.1 - - 0.33985
de constante de Runge-Kutta se calcula co
K4r
0.8295 - 2n 0.1
- 0.0829531
K42 + 132 )
- 0.33985
* 0 .033985
Para el cálculo de las constancias 141 y L42 se deben calcu
I ar I os nuevos val ores de I as potenci as entregadas por I asl?'l l?\
máquinas Pe1\"/, Pe2'"' , para esto se calculan previamente
los voltajes internos de las rnáquinas:
e+(3) = E4 cos (or¡O¡ + K31) + jE4 sen (or(O) + K31 )
1.024425 cos ( 0.03292 - 0.04924)
+ j1.024425 sen. (0.03292 - 0.04924).
(oo¡]
= ftr,rt(o) +
= lzn(60) -
zlrf) : at
- znr] at
= ftt^rz(o)
= lzn(60)
L3r) - znt] .at
tt4
rr(1) = - [vLtzEZ(o) + vrr+r+]
= -f(-0.16808 - i0.027s7).(0.7264- i0.03197)
+ (-0.70032 + i0.05621). ( 7.0242s - i0 .OrctZl
E4(3) = 7.02429 - jo. 0767?
E5(3) = E5 cos6( 2(0) + K32) + jE5 sen (oz(o) + K32)
= 0.98138 cos (0.02635 -0.07277) + j0.98138 sen (0.02635 - 0.01217)
E5(3) = 0,98128 + j0.01391
Se resuelven por Gauss-Seidel las ecuacíones para la red.
Se mantjenen constantes los voltaies internos de las máqui
nas y cero el bus de fal I a.
El(1) = 0.8393 - j0.05434
Ee(1) = - [v Lztn (1) + vrzsrs]
= -E rc.t2202 + i0.01906).(0.8393 - i0.05434)
+ (-0.6339 + i0.0572).(0.98128 + i0.013e1ü
E2(1) = 0.72633 - j0.031s4
Después de tres i teraciones con una tol erancia de 0.001 se
obtienen los resultados que aparecen en 1a TablaS.
-11 5
TABLA B Segundo estudio de Vol tajes por el método deGauss-Seidel.
Bus P Ep
1.
2.
J.
4.
5
0.83954 j0.05536
0.7?636 j0.03806
0.0 + j0.0
1.024?9 - j0.01672
0.98128 + j0.01391
I41=(E4-El)Vrq
Las corrientes entregadas por las máquínas:
= L( 7 .0242s-i0. 01 672)- (0.83e54-i0.055361.(0.0 -i10.0)
= 0.3864 - j1.8475
r52 = (E5 - E2) Y?5
= [0.e8128 +j0.013e1) -(0 .72636- i0.03806i1. (0.0 - i12.5)
- 0.6492 - i3.1865
Las potencias eléctricas entregadas por 1as máquinas Pel(3), Pez(3)'
per(3) - JQer(3) = r4t ( E4)*
= (0.3864 - jl.8475) (r.02429 + j0.01672)
116
pet(3) - JQel(3) = 0.4266 - jr.8859
= 0.42666
pez(3) - JQe2(3) = rsz (rsj
= (0.6492 - j3.1865) (0.98128 - j0.01391)
= 0.59313 - j3.13588
Pe2(3) = 0.59313
Las constantes 141 y L42 son entonces:
141 =5{_ (pmr - per(3) )¡t
= n(qo) rc.3s72 - 0.4?666) 0.1-T,
L4l = - 0.674663
L4z =+ts ( pmz - Pez(3))¡ t
= I l6o) (o.5oo5 - 0.59313). o.l4
L42 = - 0.4365
Los ángulos de voltaje de las máquinas y velocidades en el
771
TIEMP0t-t+At
dl (0.r)=d1[0) +1/6 (rrt+ 2K27 +2K31+ K4r)
= o.032927 +7/6 0+ Z ( -0.049246) +2 (-0 .049246) +(-0.08295 )
- -0.7869260
Para la máquÍna 2:
62[0.1) =02[0) =7/6 (K12 +2K22 +2K32 +K4Z)
=0.02635 +I/6 (0 +2(_0 .01,2179) +2(_0.012179) +(_0.033985)
=0. 720199"
Las Velocidades Angulares:
t{l (0.r) =trÍ1(0) +7/6 (ttt +ztz7 + 2L3t + 141).
=2n (60) +7/6 (-0.984e2)+2 (-0.98492)+2 (-0.984e2) +
zGA.82e53)-(0.67466)
l{1(0.1) =316.7Q97
ht2(0.1) = l1,2(0) +r/0 ítz +ztzT +2L32 +L4?)
= 2n[60) =1/6 [-0.24358) +2(-Q.24358) +2(-0.33985)
+(.:0.436508) .
118
vtz I0.1 ) = 37 6.68328
Los nuevos ángu1 os
'| os voltajes cle las
{1(0.i), o2(0.1)
náquinas.
se usan para cal cul ar
E4 (0.1) E4 cos 6 1(0.1) + jE4 sen 61 (0.1)
+j 1 .02 44 sen (-0.7.3692)7.0244 cos
t.02433 - j0.011c7
(-0.785e2)
l^ r \EC lJ.-t/ E5 cos 62 (0.1) + E5 sen 62 (0.1).
0.q8i38 cos (0.7?0199)+ j0.98138 sen (.0.7?0199)
0.9813 + i0.07234
Se resue'lven I as ecuaciones para I a red partiendo con I os
vol tajes:
E1
E2
E4
r5
c.83954 - i0.05536
0 .7 2636 - i 0. 03806
0.0 + i0.0I.02433 - i0.01407
0.98130 + i0.01?s4
Después de cinco iteracíones ' se 1 1 ega a I os resul tados de
I a Tab'la I
U¡ivcrsidoC rulr:nnfnir ¡*r;q t,[ ,Slarfl
119
TABLA 9 Tercer estudi o deGaus Seidel
voltajes por el método de
Bus P Ep
I2
3
4
5
0.83973
0.7?628
0.0
1.02433
0.98130
j o. 05364
j 0 . 03885
j0.0
j0.01407
j 0. 01234
+
Con I os datos
gadas por las
culo de las c
te hasta el tliberaci6n de
nes para la r
tre buses 2 y
en el bus de
s se ca
y poten
de Rung
pertura
cambi án
onectar
inar la
lculan las corriente
cias eléctrícas para
e-Kutta. El proceso
de interruptores pa
dose entonces las co
una I Ínea transmi s i
condÍci ón de vol tai
an te ri ore
máquinas
onstantes
iempo de a
la fallaed al desc
3) y elim
falla (3).
s entre
el cál
se repi
ra landi ci o
ón (en
e cero
Las condi ci ones de post-fal I a para I a determínaci ón de án
gulos y yelocidades hasta el tiempo de simulación del estu
dj o se obtienen a parti r de J os úl timos val ores obtenidos
para las condiciones de fal la siguíendo de hecho el mismo
procedimi,ento iteratíyo empleado hasta t=0.1 para este ejem
plo.
120
9. PROGRAMA DE ESTABILIDAD RESUELTO POR EL
METODO DE RUNGE KUTTA 4" ORDEN
El siguíente estudio de estabi I idad se hace por medi o de
tres programas; los dos primeros forman el archivo del
sistema, realjzan la lectura de datos generales, forman
la matriz de admitancias empaquetada y en forma de colum
nas, ordenan las ecuaciones e imprime en disco.
El tercer programa tiene las funcjones de formación del
Jacobi ano, triangul ari zaci ón, €frpaquetamíento y susti tu
ción regresíva, cálculo de las potencias sumínistradas
por los generadores, simulación del distrurbio y lectura
de I a canti dad y cl ase de estudi os de estabi I'idad.
Este programa está compuesto por cuatro subrutinas cuyas
funciones son:
Cálculo de los voltajes detrás de las reactancias de los
generadores, creación de nodos nuevos, modificaci ón de la
matríz de admi tanci as, sol uci ón de I as ecuaciones di feren
12T
ci al es de pendul eo de los generador€s r imprime resul tados
de estabilidad, realiza cambíos en la numeración de algu
nos nodos para que el estudio de fluios se desarrolle en
la forma correcta y reordena la información de los nodos.
A continuación se presenta un di agrama de fl ujo macroscó
pi co de I os tres programas:
9. I DIAGRAMA DE FLUJOS DE LA SECUENCIA DE PROGRAMAS PARA
UN ESTUDI O DE ESTABI LI DAD.
Ver Diagrana 1.
9..|..| Programa 1.
Nombre "PRIMER"; hacer la lectura de todos los datos del
problema, ca'lcula y forma la matriz de admitancías, crea
los huecos en la rnatriz de admitancia empaquetada que se
llenarán con las nuevas barras detrá5 de las reactancias
transitorias, indispensables en cualquíer estudio de es
tabilidad.
En esta sección presentaremos un diagrama de fluio del
programa'rPrimer"; describiremos las variables utilizadas
en el programa.
722
PROGRAMA 1
Lectura de datos y formación dematríz de admitancias enpaquetada y en forma de columna.
PROGRAMA 2
Ordenamiento de las Ecuacionesmediante tres esguemas.
" PROGRAMA 3
Formación del jacobianortriangmlarización, erpaquetarniento y sustitución regresiva.CáIculo de laspotencias suministradas por losgeneradores y sirnulaci6n del disturbio.
Subrutina ESSTARealiza carnbiosen l-a numeraci6nde algnrnos nodospara que el estudio de flujos serealice en lama correcta.
TERESTOrdenamiento delas ecuacionesrrediante tres esquemas.
Subrutina ESTABCálculos de losvoltajes detrásde Ia reactanciade los generadores y creaciónde nodos nuevos.I'pdificación deIa matríz de adrnitancia.
Subrutina RKESTResuelve las ecuaciones diferenciales de penduleo delos generadores eimprime resultadosdel- estudio de est.abilidad.
DTAGRAMA 1. Diagrana de flujo de fa seqEncia de prograrnas para r¡n esürdio de esEabilidad-
123
El programa guarda I a i nformaci ón en di sco I / o en ci nta.
Variables usadas en el Programa "Premier"
1. NTOT
2. IC
3. LI
4. Ml
5. M3
e. Pc ( r )
10. E(r)
1r. F(r)
IC = f Si el dato de la susceptancia a tierra, corresponde al val or de una de
I as ramas a ti erra del ci rcu i to Pi
de la línea.
IC = 0 Si el dato de la susceptancia a tierra de la llnea corresponde al va
I or total de I a susceptanci a a ti e
Número total de nodos.
Indicador
rra de la línea.
Número de Líneas.
Número de transformadores de tap-no
minal .
Número de condensadores o reactores
a tierra.Número de Generadores
Potencia activa generada en el nodo I
Potencia reacti va generada en el nodo
I.Potencia real de carga en el nodo I
Parte real del voltaie en el nodo I
Parte imagi naria del vol taie en elnodo I.
6. NTG
7 . PG ( r )
8. aG(r)
724
I 4. XG
r5. LT(r)
LT(I) = 1
LT(r) - -1
LT(I) = Q
16. LR(r)
17. Lc(r)
r8. R(r)
12. NGG
I 3. CMASA
1e. B(r)
20. x(r)
21. BASE
22. TOLR
23. TOLI
24. LESQ
Nodo generador
Constante de i nerci a de I os genera
dores.
Reactancia de generador
Indicador del tipo de nodo
Nodo de carga
Nodo generador
Nodo compensador
Nodo de envío
Nodo de recepción
Resistencia entre elnodo de envío
y el nodo de recepción I.Susceptancia a tierra de 1a línea
entre LR(I) y LC(I) ya sea el totalde I a I ínea o bi.en el val or de una
de las ramas a tierra del circuitoReactancia entre el nodo de envío y
el nodo de recepción I.Base de Potencia en MVA.
Tol eranci a para I a potenci a acti va.
Tolerancia para la potencia reactiva
Esquema que se desea usar para el
ordenamiento.
Esquema No.1
Esquema No,2
Esquema No.3
LESq= 1
LESq= 2
LESq= 3
125
25. D Relac'ión de voltaje real a voltajenomi nal .
26. J Nodo donde se ef ectiia el cambio de
tap.
27. K El otro nodo al que se encuentra co
nectado el transformador.
28. PF( r )
2e. q¡(r)
30. YR( )
Potencia acti va neta en el nodo I .
Potencia reactiva neta en el nodo I
Parte real de un elemento de la ma
triz de admi tanci as.
Parte imagínari.a de un el emento de
la matrÍz de admitancias.
Puede representar:
a.Número de nodos conectados a un
nodo x.
b. Cualquiera de los nodos que están
conectados al nodo X.
3.|, YI( )
32. M( )
33. N(I) Posición donde principía la'información del nodo I.
726
f,ectura de todos los datos necesarios para el estudio del flujo
Cálculo de los elementos diferentesde cero d.e la matríz de admitancia,éstos se almacenan en dos columnas,una parte para Ia paLte real y otrapara Ia parte imaginaria de acuerdoa dos indicad.ores que nos permitenobtener cualquier elemento que sedesee.En los nodos generadores sedeja rrna posición que será utilizada en el Proqrama 3.
;:::'.}
,/ ExistTransfor
con t¿\ min¿
$XISConden
orer dE
Se efectúan correccionesen la matríz de admitancia
NO
en
ctores /Yerra -/Se efectúanla matríz de
rorreccrones enadmita¡rcia.
NO
Se pasa a disc¡s toda la información que se va a necesitar enlos siguientes programas.
I-rN-llujo del prog:dna 1 (Prürer)
L27
DIAGRA¡A 2. F
9.7.2 PROGRAMA 2.
Nombre "SEGEST"; ordena los nodos
forma que preserva al máximo las
persidad del Jacobiano durante el
zación.
Guarda en disco y/o
grama si gujente van
a I as ecuaciones de talcaracterístícas de dís
proceso de triangulari
en cinta los nodos que dentro del pro
a reemplazar los originales.
- Variables usadas en el Programa "Segest"
r. LESQ
2. N(r)
5. NL(r)
3. M( )
4. No(r)
Esquema para el ordenamiento
Posici6n donde princ'ipia la informa
ci ón del nodo I.Puede representar:
a. Número de lfneas conectadas a un
Nodo X.
b. Algún nodo conectado al nodo X.
Indica el nodo que pasa a ser el no
do I.Indíca la siguiente posición donde
hay información de:a'lgún nodo; si
esta posición es cero, indica que
ya se termind la información de es
te nodo.
p8
6. NTOT Número total de nodos
Di agrama de Flujo del Programa "Segest'r.
A continuacíón se
tres esquemas de
presentan los diagramas de flujo de los
ordenamiento que contíene el programa.
9.1.3 Programa 3.
Nombre "SIMULA'r; este programa efectrfa la solución de las
ecuaciones algebraícas no ljneales del sistema. Esta la
obtiene en forma iterativa debido a la caracterÍstica no
I i neal del problema:
Recibe la información guardada en disco o cinta de los dos
programas anteriores. Acepta cualquier cantidad de información sobre clases de estudio de estabilidad, cuando hay
aislamiento de carga en algún, a'lgunos o todos los nodos
del si stema. El programa real i za estudi os de fl ujo de car
ga y necesita de cuatro programas para el est.udio de esta
bi I i dad.
-Variables usadas en eI Programa "SimuIal' Estabi1idad.
Posición donde principia la informa
ci 6n del nodo I.
Univcrsidod aur0n0m0 dc 0tcidcnt¡
Sccción Bibliotcco
N(r)
t29
Lectura de Datos de Disco
EI Nodo 1 permanece como 1
Se eliminan las líneas conectadas aI Nodo 1.
Se revisa el número de l-íneas conectadas aI Nodo l.
Es el número de líneas
Igual AEl Nodo 1 pasa aser eL Nodo J
Imprimirsul-tadosDIAfrWiX\ 3. Esqr-una 1 del prograna 2.
130
ctura de Discos
1 Nodo 1 Permanece como l
e eliminan las líneas coctadas al Nodo 1.
escoge el sigruiente Nodo aliminar rnediante el esquema 'l
se prueba que no haYa sidolimin ado arrterior¡nente .
I Nodo escogido P¿rsa a ser eI
e eliminan las líneas conectadI nodo sue se va a eliminar
e creafl líneas nuevas entre losodos vecinos aI que se va a eliinar, si es que no existen-
sultados
Dü\GlAItÍ\ 4. esquena 2 de1 Prograna 2.
131
Lectura de Disco
I Nodo.1 permanece como Nodo 1
el-iminan las 1íneas conectadas
NO
se eliminóel Nodo
J=J*1 la simulación de lael-iminaciín de1 Nodo 1.
Si cuenta el número de 1íneasnuevas gue se crean si se elimina eI Nodo 1.lmprinir
resulta
NlllN=Núnero de líneas carsadasal eliminar Nodo 1.
eI núme-o delíneas creadas
EI Nodo NE pasa a sereI Nodo J.
Se elimina.n las líneasconectadas aI N
Se crean Iíneas nuevas entre los nodosvecinos a NE si ésue no exr-sten
DIAGEAIB' 5. Esquena 3 de1 P:rcgrara 2.
132
Z. Mil Puede representart
a. Número de nodos conectados al Nodo
X
A'lguno de I os nodos conectados al
nodo X.
Parte real de los elementos de la ma
tri z de admí tan ci a s .
Parte imaginaria.de los elementos de
I a matríz de admi tanci as.
Potencia activa neta en el nodo I.Potencia reactiva neta en el nodo I.I ndi cador de I ti po de nodo I .
Parte real del voltaje.Parte imaginarfa del voltaje.Indica la siguiente posición donde
hay infornación el el renglón que se
b.
5. PF(
6. aF(
7. LF(
8. E(
e.F( )
ro.NL(
3. YR( )
4. Yr( )
r)
r)
r)\)
il.H( )
ANil
r3. AJ( )
14. AL( )
r5.MX( )
forna.
El emento del
E I emento de l
Jacobi ano EPFJacobiano AP/U/
67\7-12
Elemento del Jacobiano EQ
Elemento del Jacobinao
Col umna donde
rengl ón que se
ae
aQ/u/a/u/
hay información en el
forma.
133
.|6. N0D(I) Posición donde principia la información del nodo I en la columna
donde se almacena I a matríz tri an
gu'lar superi or.
17. AL0c( )
r8. DD(r)
r e. DV ( r )
Elemento de la matríz triangularsuperi or.
Incremento en ángu'lo del Nodo I.Incremento en L/U/ del nodo I.
/u/20. TOLR Tolerancía para la potencia acti
va.
21 . T0LI Tol erancia para la potenci a reac
tiva.22. PC(I) potencia activa de carga en el no
do I.23. Qc(r) Potenc'ia reactiva de carga en el
nodo I.24. NTG Número de Generadores
25. NGG( ) tto¿o generador
26. NF Nodo donde se provee e'l di sturbi o
27. CMASA ( ) Constante de inercia de un genera
dor
28. XG ( ) neactanci a de un generador .
29. IFF Indica si es tiempo de eliminar
el disturbí0.
134
Iectura de Di
Se obtienen las correcciones de las variables mediante sustitución regresivarusandoIa matríz triangn:Iar superior que se tienealmacenada en forma de columuna
Se corrige ta parte real e imaginaria deIos voltajes.
ST
Subrutina Te
ro de Ap y AQ violadas icrual A 0
rrió el dis
Se calcula P neta y Q neta del ndo r se calcula AP y AQ si el nodo r es de carga o sólo AP si elnodo I es qenerador. Se calculan las po
tencias eléctricasde los generadores
? Ae o bien Apdentro de Ia
leranci
Se aumenta el nro de violaciones
cálculo de las potencias eléctricasde los qeneradores
Se forma et renglón o renglones del Jacobiano correspondiente aI Nodo rrse efectúa Iatriangrulaci6n sobre el renglón o renglonesy se erTpaquetan l-os elementos diferentes decero resultantes, es una columna de acuerdoa yarios indicadores que permiten localizarcualquier elernento que se desee.
Se llama a Ia stürutina R KEST.
Se llama a la subrtitina ESTAB.
Se corriege la partereal e imaginaria deIos voltajes de lasreactancias de los generadores.
A Continue
Se calculan losgulos de los voltajes detrás de lasreactaneias de losc¡eneradores.
ienpo derliminarel-rru-na.r eisturbio ^t
Se llama a lasubrutinaFKESTEl número dd
violaciones de AP
y Ag mayor queSe provoca eldisturbioSe elimina
el disturbi
rutina ESSTA.
NO
l_
DTAffiAMA 6. Flujo del erograna 3
9.,1. 4 Subrutina Terest.
Reordena I a i nformaci ón de todos I os nodos debi do a que
en el programa 2 se cambió la numeración de los nodos.
Vari ables usadas en I a subruti na Terest:
l. NcG( ) ¡toOo Generador
2. YI ( ) Parte imaginaria de l.os elementos de
I a matríz de admi tancia.
3. YR ( ) Parte rea I de I os el ementos de I a ma
trlz de admitancia.
Potenci a aqti va neta en el nodo I .
Potenci a reactiva neta en el nodo I.Parte real del voltaje.Parte 'imaginaria del voltaje.Indicador del tipo de nodo.
Nodo que cambia al nodo I.Pos i ci ón donde pri nci pi a I a í nforma
ción del nodo I.
ll. M( ) Puede representar:
4. PF(r)
5. aF(r)
6. E( )
7. F( )
8. LT( )
e. N0(r)
ro. N(L)
12. NTG
I 3. NTOT
1 4. KOUNT
a: Numeros de nodos conectados a X
b: A1 guno de I os nodos conectados a . X.
Número de generadores.
Número tota I de nodos .
Número de nodos que les cambi6 la in,'mación.
136
I 5. ALMl , ALM2 Vari abl es auxi I i ares (1 )
ALM3, ALM4
LLM5, LLM6.
I 6. BAL1, BAL? Uari abl es auxí I i ares (2 )
BAL3, BAL4
LAL5, LAL6.
9.l.4.1Diagrama de Fluio.
En la página siguiente se presenta un diagrama de flujo de
I a subruti na Terest.
9.1.5 Subrutina Rkest.
Esta subrutina real iza la solución de las ecuaciones de pen
duleo resultantes en el problema de estabilidad de sistemas
de potencia, utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto
orden.
En esta subrutina se leen los parámetros necesarjos para ha
cer el estudio de estabiljdad del sistema,. es decir, lee la
información del tiempo inicial del aislamiento de la carga
y su reposición, el t'iempo del intervalo y la duración del
estudio.
Imprime los resultados a medida que se terminan los sucesi
137
Flujo
I-ectura d.e Disco
Se pasan aI nuevo ordenamiento l-os nodos generadores y losnodos que intervienen en el disturbio.
La información del nodo I no se
Se busca algrún nodo que no se Ie haya cambiado la información (J)
ece como
Se almacena en variables auxiliares ttl Ia información del NodoJ y se ocupan estos lugares conIa informaci-on del nodo que pasaa ser el Nodo J.
cambia laformaciónd.e todos
Se busca a que nodo cambia eI Nodo J, (KP) Se pasa al ordenamiento nuevo la colunrra M( ) que nosdá las conexionesdel sistema.
La información delodo KP es Ia que
tiene en las vavirables auxil. (1,)
se orctenan 10s enentos de ¡l( ) paracada nodo de mar¡eraque estén de nenora mayor,simultáneamente con este ordenamiento se hacenlos cambios en lascolumnas de admitanc
almacenan en variables auxiliares (2)la información del nodo KP y se osupan estos lugares con la información que se tiene en la variables auxiliares. l
Se busca a qué nodo ca¡rüia eI nodo I(P, (J)
La informacidel nodo J es laque se tiene en1as variables auxr_1r_ares. z.
Se aLmacena en variables auxiliares ( 1) la información del nodo J y se ocupan estos lugarescon la información que se tiene en las variables auxiliares. (2) .
Se pasa a disco Iainformaci6n.
DIAffiA¡M, 7. de la Subnrtina TEREST.
138
vos estudi os para fal I as en cada nodo.
Las variables PE, CIA,
una dimensión igual a1
N , CMASA, PM,
número máxímo
deben síempre tener
de generadores.
Las vari abl es Y
ble del nrlmero
,YA,VAC,F, deben estar
máximo de generadores.
dímens i onadas al do
La vari abl e N0 estará
3.
Variables usadas en la
di mens i onada de acuerdo al programa
subrut'i na R-KEST.
Contador I nte rno.
Número de generadores
Indicador de fin de fallaMasa del Generador I.Potencia el éctrica del generador I
Potencia mecáníca de1' generador I.Angulo del generador I en radianes
Núnrero del genrador I en el probl e
ma real.
Número total de nodos.
0rden de la ecuación diferencial
correspondiente al generador I.
I. NAK
2. NGEN
3. IFF
4. CMASA (r)
5. PE(r)
6. PM(r)
7. crA(r)
8. NGG(r)
9. NTOT
to. N(r)
Univcrsidod aul0ntm0 de Occidcnf¡
Sarc¡ón Bibliotcro
139
r1. Y(r)
12. YA( r )
r3. \/AC(r)
14. F(r)
r5. N0(r)
16. x
17. H
18. XM
I 9. XFF
Vector donde se guardan los valo
res transi tori os de ángu1 os y frecuencias de los generadores.
Vector donde se guardan los valo
res fijos de ángulos y frecuencias
de I os generadores .
Valor acumulado de términos para
obtener nuevos ángulos y frecuen
ci as de I os generadores.
Vector donde se almacenan los va
I ores de I as constantes de Runge
Ku tta.Conversi.ón del número del genera
dor debido al ordenamiento.
Valor ini cial de1 tiempo.
Incremento en ti empo
Valor fjnal de tiempo
Tiempo al que se l'i bera la falla.
Descri.pción:
-Del programa 3 se transfieren los valores siguientes:
. Expl ícitamente como argumentos I NAK, NGEN, IFF, CMASA,X.
. ImplÍcitamente en Common: PE, CIA, NGG' NT0T.
-Se leen por tarjeta los valores de H, X, XM, XFF.
140
Lectura de información e
inicialización de vari ables.
Programa 3. Modificación de l-os Y para laEvaluaci6n de los K
Evaluación delas firnciones
Modificación de los Y paraevaluación de las M2 y acumulación de K1
Proqrama 3.
Evaluación delas fr¡nciones.
Modificación de los Y paraevaluación de Ias K, y acumulación de las K, -
Programa 3.
Evaluación deIas funciones.
Modificación de los Y paraevafuación de las K4 y acumufación de las K3
Programa 3
Evaluación de1as fr:nciones
Acumulación de las K, y obtención de nuevos ,t.fotes.
Fal-laguitada
DfAC,RAl,lA B. Flujo de Ia Subnrti¡a RKEST
74L
-Se leen en disco los valores de N0(L), I=1,NT0T.
-Se descompone cada ecuación de 2aorden en dos ecuacíones
de I er. orden.
*Se guardan en un vector todos I os valores. Las dimensio
nes mínimas de este vector serán el doble que el de ecua
ciones de 2" orden.
-Conversión de ángulos iniciales de radianes a grados y su
ínclusión en el vectoF Y, junto con las frecuencias iniciales.
-Eval uaci ón de I as constantes K.
-Impresión de resultados al fÍnal de cada intervalo.
Sal ida de resul tados.
Para cada intervalo se produce la s'iguiente información:
-T'iempo en segundo al final del intervalo.
-Una tabla donde se muestra el ángulo y la frecuencia de
cada máquina al final del intervalo.
9.,1. 6 Subrutina Estab.
Esta subrutina del programa 3, calcula los vo'ltajes detrás
de I as reactanc i as de I os generadores , un i nstante antes de
que ocurra el di sturbi o. Además , modif i ca I a matríz de ad
mitancias debido a la creación de nodos detrás de las reac
tancias de los generadores, es decir, llena los huecos de
742
I. NTOT
2. NTG
3. NGG( )
4. E( )
5. F( )
6. YR( )
la matríz de admitancia creados por el programa l.
Vari abl es usadas en I a subrutina Estab.
Número de nodos.
Número de generadores
Nodo gene rador
Parte real de I vol taje.
Pa rte imag inari a de I vo'l ta j e .
Parte real de I os elenentos de I a
matríz de admítancias.
7. YI( ) Parte imaginaria de los elementos
de I a matrÍz de admi tanci a .
8. N(r) Posíción donde princípia I a información del nodo I.
9. M( ) Puede representar:
ro.LT( )
il.PF(r)12. QF(r)
13. PC(r)
r4. Qc(t)
-Números de nodos conectados a X.
-Algunos de los nodos conectados a X
Indicador del típo de nodo.
Potencia actÍvaneta en el nodo I.Potenci a reacti va neta en el nodo I .
Potencia activa de c.arga en el nodo I
Potencia reactiva de carga en el no
do I.Reactancia del generador.
Parte real de I a corriente sumi n i s
r5. xG( )
I 6. C0RR
143
trada por un generador.
17. CORI Parte imaginaria de la corriente
suminístrada por un generador.
9.r1.6.1 Diagrama de F1ujo.
En la página -145 se presenta un dÍagrama de f I u jo de I a sub
ruti na Estab.
9.7.7 Subrutina Essta.
Esta subruti na del programa 3 real i za un cambio de numera
ción en dos nodos para que el programa 3 pueda realizarlos estudios de flujo después del disturbio.
Variables usadas en la subrutina Essta
l. LT( ) Indicador del tipo de nodo.
2. N(I) Posición donde principia la información del nodo I.
3. PF(r)
4. QF(r)
5. M( )
Potencia actíva neta en el nodo I
Potencia reactiva neta en el Nodo
I.Puede representar:
-Número de nodos conectados al no
do X.
r44
L=NTCrI+1
DO
K = I,NTG
Calculo de 1a corriente suministradapor el NGG (K)
Se crea e1 nodo L detrás de la reactancia del generador NGG(K) y se calcula eI voltaje.
El nodo NGG(K) se carnbia a nodo deCarqa.
Se modifica la matriz de admitanciallenando eI hueco dejado en el nodoNGG(K) y'[aadmitancia propia deI nodo.
L=L*
AContinue
Retorno al programa pri-ncipal.
DfAGP.Af'IA 9. Flujo de Ia SubrutÍna ESTAB.
745
8. E( )
e. F( )
I O. NTG
6. Yr( )
-Alguno de los nodos conectados
al nodo X.
Parte imaginaria de los elemen
tos de I a matrfz de admi tanci as
Parte real de los elementos de
la rnatríz de admitancias.
Parte real del vo1 tajeParte imagÍ nari a del vol taje.Número de generadores.
7. YR( )
9.1 .8. Diagrana de F1ujo.
En la página 147se presenta un diagrama de flujo de la sub
rutina Essta.
9.2 MANUAL DE USUARIO PARA EL PROGRAMA DE ESTABI LI DAD POR
EL METODO DE RUNGE KUTTA CUARTO ORDEN.
El presente nranual de usuario es para utilizarlo con el pro
grama de estabilidad transitoria descrito en este capítulo.
El programa hace el estudio de estabil Ídad transitoria en
caso extremo de anomalía (fallo trifásico) para uno o va
rí os nodos.
El usuario es guiado por el programa, e'l cual le muestra las
746
Se intercaml¡ia 1a Ínformaci6n delnodo 1 y eI Nodo NTCI + 1
Se nodifica la oolunna M( ), sustituyendo dqrde se encuentre e1 nodo1 y eI nodo NTOT + 1 y viceversa.
Se ordena en l-a columna I"1( ) todoslos nodos de manera que estén demenor a mayor.
netorno aI Programa 3.
DI AGRAMA .10 -F 1uj o de 1a Subrutina ESSTA
747
opciones e instrucciones a seguir. Los programas están
escritos en lenguaje fortran 77 para el computador B5900;
la capacidad de'l programa es la siguientet
I 000 nodos
200 nodos de generación.|0000
I Íneas
Los datos se pueden entrar ya sea por tarjeta, por disco
o por pantalla.
El programa no acepta datos de I fneas en paral el o, poF
tanto se debe obtener el valor equívalente de los paráme
tros de I as I íneas en paral el o y entrar ese dato.
La numeraci6n que se dá a los nodos es arbitraria, solo
se reserva el número uno (1) al nodo compensador el cual
debe ser un nodo de generación.
Forma de proporcionar I os datos generales del Sistema a
" P r i me r'r .
Todos los datos en este programa entran por lfstado direc
to, es decir, las variab'les, no ímporta de qué tipo, en
tran separadas por comas.
l-4B
El orden de
reservar el
entrada es el
nodo 1 al nodo
siguiente (s6'lo es necesario
compensador)t
1o
2"
3"
breSTMA 50 (nom
50 espacios)
NTOT, IC, LI
PG(1), QG(1)
PG(61), QG(6
(En MW y MVA
Pc(1), QC(1)
del sistema a estudiar, fecha; máximo
M1, M3, NTG.
PG(2), QG(2)
PG(60), QG(60).
1)
R)
PG(NT0r),QG(NTor)
4o
PC(60), o).
PC(Nr0T),QC(NT0T).
Qc (6
Pc (6r )
(En Mt.l
5o E(1),
y MVAR).
F(1), E(2), F(2)
R(1), X(1), B(1)
R(2), x(2), B(2)
,,;;;::: ::::::l;,lllll,F(Nr.r,(En6e NGG(1), NGG(2), NGG(3)... ..NGG(NTG)
7a CMASA(I), CMASA(2).. ..CMASA(NTG).
8o xG(1), XG(2), Xc(3)....
90 LT(1), LT(2), LT(3)
Lr(60).
P.U)
LT(61
tooLR(1)
LR(2)
), LT(62)
, LC(1),
, LC(2),
Universiood ;i,iúr)0m0 de 0ccidanta
Secrión B;bti0rBco
149
LR(Lr), LC(Lr), R(Lr), X(Lr), B(Lr).
I I "BASE, TOLR, TOLI, LESQ.
Regi stros de I i stados di rectos no deben exceder de 60,
para dísco. STMA 50 es el nombre del sistema a estudiary la fecha de los datos se resume en 50 espacios.
Las demás vari abl es se han defi ni do con anteri ori dad.
Las variables para Ml. y M3 diferentes de cero entran
como los dos últimos grupos de datos:
l2oK, J, K.
.|3"0, J (D = Susceptancia del condensador
J - nodo al cual está conectado el condensador).
Ejecución en el computador B5900
El primer programa que se debe traer a 1a pantalla es el
programa "PRIMER", éste es necesario I I amarlo así
Este programa recibe los datos del sistema que se va a es
tudiar, si éstos entran por dísco, tarjeta o pantal la de
bemos ir al listado del programa y hacer los siguíentes
cambi os:
$ = 5 Lee por tarjetas
! = 3 Lee por disco
$ = 2 Lee por pantalla
150
Al correr el programa, éste,1o primero que hace es pedir
I os datos. si entran por disco o por tarjeta pregunta por
el archivo correspondiente, si Ios datos entran por panta
lla aparece '2#u y a continuación.se entran los datos co
rrespondíentes a'l sistema en la forma antes mencionada.
cuando final iza este programa en la pantar la aparece "c0
RRA SEGEST". A continuación se llama el programa /SE
GESTr QU€ es el que ordena los datos, y se hace correr.Al finalízar este programa en la pantarra aparece ,,c0RRA
SIMULA/ESTABILIDAD". por tanto el programa de estabi l idad
puede ser 1'lamado, éste se I lama así:
CODIGO DEL USUARIO
Inmedi atamente que este programa
tal la aparecen las informaciones
se hace correr en la pan
requeri das.
Todos los datos entran seguidos por comas.
Lo primero que pregunta el programa es:
.,SOBRE CUANTOS NODOS DESEA HACER EL ESTUDIO DE ESTABILIDAD,
SI EN TODOS LOS NODOS ENTRE O.
SI EN ALGUNOS DIGA CUANTOS''
Luego de entrar esta i nf ormación en I a pantal'l a aparece:
151
"ENTRE N0D0 QUE FALLA Y CARACTER DE ESTUD[0"
Existen tres caracteres de estudio:
PARTICULAR = 1
NORMAL = 2
METRO = Q
Un caracter de estudio particu'lar significa que los datos
del estudio (Delta T, tiempo de inicio del estudio, tiem
po de fin de estudio, tiempo que dura la falla) serán pre
guntados s íempre que se haga fal I ar un nodo.
Un caracter normal no pregunta sinó una sola vez I os da
tos de estudio y luego para los otros nodos que fallen
asume los misnos datos de estud'i o.
Un carácter de estudi o metro guarda I a i nformaci ón de I os
datos de estudi o en memoria, que serán uti I izados por el
carácter de estudio normal .
Una vez entrada la información, de los nodos de falla y el
carácter de estudio, el programa pregunta por pantal la:
',ENTRAR DATOS DE ESTUDTO: DELTA T, TIEMPO INICIO ' TI EMPO
TERMINA, TIEMPO DURA FALLA''
752
A continuaci ón se entran estos
(, ) y si deseanos graficar los
hacemos correr el programa
dir al operador los resultados
estabi 1 i dad.
Existe otra forma más
grama de estabi I i dad;
todo.
práctica y rápida
a contínuación se
de correr el pro
expl ica este mé
datos seguidos
resul tados del
Asl ya
compl etos del
por conas
estudio,
se puede pe
estudio de
Después de entrar el código del usuari o se dá la órden:
Esta instrucción
gest, estabil idad
do sin necesidad
hace que los
) corran con
de estarl os I
tres programas
el archivo de
lamando.
(prímer, se
datos requeri
Cuando cada programa termi na, en la pantalla aparece:
OR ,,DENY'I
Si éste ha corrido bien, se hace,'0K,t que dá la orden de
continuar con el programa siguiente; sinó se hace "DENy',
que para la ejecuci6n Índica donde fué el error.
La forma de proporcionar los datos ar programa es la misma
il0Krl
153
que se expl ic6 anteriormente.
Cuando se han terminado de correr los tres programas, en
la pantalla aparece:
'IDESEA VER GRAFICA, TECLEE? # AX SI OR NO
Si se quiere graficar los resul tados se debe teclear.
?#AX SI
con esta instrucción ya se puede pedir los resultados com
pl etos al operador.
Los datos de las potencias de carga y generación se deben
dar en megawattios y megavares, los datos de los voltajesse dan por unidad (p.U); un yalor adecuado para los datos
de los nodos de carga es:
E(I) = 1.0 F(I) = 0.0
Para los nodos generadores debe ser:
E(I ) =Magnitud especificada en el nodo
F(I) =0.0
154
Para el nodo compensador; como este se usa como referenci a
de ángulo, éste es igual a cero:
E(I) =magnitud especificada
F(I) =0.0
La constante de i nercia (M) de I os generadores (cMAsA) se
debe dar en megawtts - sg2/grado eléctrico.
Las reactancias de los generadores, las resistencias, reac
tancias y susceptancias de las lfneas se deben dar en por
unÍdad (P.U).
E1 indicador LT(I) para el nodo compensador debe ser iguala cero (0) y debe ser el nodo uno (1).
si el nodo es de generación el indicador debe ser igual a
menos uno (-1) y si el nodo es de carga el indÍcador debe
ser igual a uno.
E1 orden en que se dan las I íneas no importa.
La base de potencia se dá en MVA.
155
10. ANALISIS DE RESULTADOS
ExÍ sten dos condi ci ones que son vál i das para e I caso anal i
zado. Estas son:
- La compensación total se hace a través del nodo LA ESME
RALDA. Porque es el nodo de mayor generación además se co
noce la nagnitud del voltaie y su ángulo de fase y se des
conocen 1 a potenci a acti va y reacti va.
- La Central Ternoeléctrica de Yumbo se asume fuera de ope
raci ón, porque no está en funci onamiento, su potenci a acti va
de generac'i ón es 0 y su potenci a reacti va es 0.
Para el análisis de resultados se tiene en cuenta QUe, des
pués de haber tern'i nado el tiempo de estudio (generalmente
un segundo) , uti I i zando un i ncremento de (h ) de 0.05 seg.
se yerifica que las diferencias en el 0 de cualquier náquina
y aquella de inercia rnás grande, no haya tendjdo a aumentar
i ndef i ni damente.
156
Además que el A${ ó sea el delta de frecuencia no se salga
de un rango especi f icado de ! n 'radl'anes/seg que son equi
yalente u I eHertz (c.p.s). Las condiciones del sistema no
deben exceder a l
- Tensión minima pernjtida en Alto Anchicayá 270 Kv.
= Sobrecarga máxina perm'isible en transformadores 6%
I'lo se debe permitir ninguna sobrecarga en las lfneas.
E'l va'lor al cual se considera una tensi ón aceptable es
igual a1 valor nominal ! nY".
Todas las lfneas y transformadores están en funcionamiento
n orrna I .
CONDICIONES:
Para el año 1986 las condiciones en las plantas de genera
ción y en la lfnea La Esneralda que interconectada al sis
tema del Valle con el Sistema Nacional son:
- Al to Anchi cayá
- Bajo Anchicayá
Cal ina
- Yunbo
- Sa1 vaj i na
345 t'tw
64 Mt^l
30 Mbt
0MIll
180 t4l,l
Se realizan exportaciones pot lfnea Popayán 220 Ky de ll0ttl¡l. Salyajfna está inicialmente con dos unidades generado
Pes.
757
La lista de los nodos y el diagrana unjfilar del sistema
del Val le de 1986 son nostnados seguidamente, observándo
se que la Nueva lÍnea Esmeral(la-Yunbo que interconecta al
sistema con 4 lfneas de 220 KV y hace la compensación to
tal al sistema del Valle, a través del nodo La Esmeralda.
Esta nueya l ínea a 4 c'i rcu i tos en paral el o hace que l a
reactancia total tle la I Ínea disminuya considerablemente
y por tanto la estabilidad del sístema meiore. Porque la
Pe aumenta en caso de la saljda por desconexión en caso
de falla de uno de los circuítos en paralelo.
Bajo estas condiciones se sinula la fal ta trjfásica que
aisla instantáneamente, el análisis se hace sobre ajsla
miento trifásico con su posterior reconexión.
Se simu I aron
cons i de ra ron
Pance (-Nodo
pos de estud
At = 0.05 seg.
T'iempo de inicÍo del estudio
Tiempo fi nal de estudi o
Tíempo de desconexión
iferentes Nodos (1os que se
Al to Anchícayá (t'to¿o 19 ) ,
7 ) , con I os si guientes ti em
0. seg.
I seg.
0.4 seg
ai s I ami ento en d
más importantes )
25) y Buga (t'¡o¿o
jo:
158
- Aislam'iento de Alto Anchicayá 220 Ky Nodo N?19
Como puede obseryarse en I os t esu I tados del programa Val I e
1986, seEún Eráfi ca de ourva de osci I aci ón I as máqui nas 1,
2,3, 4,5 (.Esmeralda, Alto Anchicayá, Bajo Anchicayá, Ca
f ima, y Salyajina), se comportan muy estables antes de Ia
falla y después de eliminada la falla la náquina que osci
la con mayor ángulo es la máquina 2 (A1to Anchicayá). Ya
que I as fuerzas res tauradas tratan entonces de 1 ograr
i gual dad entre Pm y Pe para cada rnáquina.
Según los resul tados del Pr"ograna Val le 1986 I os A!Ú no sa
len de'l rango pernitido de frecuencia, esto indica que el
sistena ne se dale de estabilidad a pesar de que se ha ais
I ado este nodo.
- Aislamiento de Pance 220 Ky, Nodo N'25.
Analizando los resultados de la curva de oscilación que da
el programa, se obserya que las máqujnas 1, 2,3, 4 y 5 o
sea Esneralda, Alto Anchicayá, Bajo Anchicayá, Calima y
Salyajina respectiyamente están oscÍl ando dentro del margen
de frecuencia permitido por tanto son estables, a pesar de
ser ai sl ado este Nodo.
Univc¡sidod ;iuionofio de 0cc¡d¡nlo
Sccción Eibliotcco
159
- Aislamient0 de Buga 115 KV, Nodo Ne7,
En este caso los resultados dadOs pof e1 programa no se sa
len del rango de freouencÍa perm'itidon lo cual hace que el
sistema censet've su estabiljdad.
10.1 ANALISIS RESULTADOS VALLE 1984.
C0NDICI0NES:
Para el año 1984 las condiciones en las plantas de genera
ción y en la lÍnea Esrneralda que interconecta al sistema
Naci onal son:
- Alto Anchicayá
- Bajo Anch'icayá
- Cal ina
- Yumbo
345 MI,I
64 MI,l
30 MI,{
0M!.l
Ai.slamíento del Alto Anchicayá 220 KV, Nodo Nel9.
Como puede obsel"varse en I os resul tados del programa, 'l a
máqui na l. (Esneral da ) es I a que menos osci I a puesto que
tiene mayor inereia y la rnáquina más pequeña es la de Cali
na (t'¡o¿o #15) es Ia que más oscjIa,
Anal izados I os resul tados de A[,] de I as máqui nas l, 2, 3 y 4
160
Esmeraldas (.alto Anchicay6, Bajo Anchicayá, Calima) se no
ta un comportam'iento estable en la máqui'na No1 (Esmeralda)
que es la única que no se sale por frecuencia puesto que
se conserya dentro del margen permi s i b1 e, mi entras que
las máquinas 2,3 y 4 (Alto Anchicayá, Bajo Anchicayá y
Calima) se salen del margen permisible de frecuencia es
deci r se sal en de s i ncron i smo.
Estas máqui nas ti enden a frenarse y el [.l aumenta consi de
rablemente (¡trl = 2n AF).
- Ais'l amiento de Pance 220 KV; Nodo N"25.
Analizando los resultados que da el programa, vemos que ras
máquinas Ln 2 y 4 o sea Esmeralda, Alto Anchicayá y Bajo
Anchi cayá respectivamente están osci I ando dentro del margen
de frecuencia permitÍdo por tanto son estables, pero lamáquina Ncl5 (calima) se sale del At.l permitido luego la má
Quina es inestable.
- Aislamíento de Buga 115 KV, Nodo No7.
En este caso se obserya que los resultados dados por el pro
grama no se salen de1 rango de freeuencia permitido, I o
cual hace que el sistema conserye su estabilidad, a pesar
de ser ai'slado este nodo.
161
CON CLUS TON ES
Analízando los resultados de Valle 1984 y Val le 1986 según
a'islamiento en diferentes nodos (los que se consideraron
más importantes ).
1. Aislamiento del Alto Anchicayá 220 KV, Nodo N"lg en
valle 1984 la máquina N"L (Esmeralda) es la única que no
se sale por frecuenci a puesto que se conserva dentro del
margen permisible, pof tanto el sistema es inestable ya
que tres de las cuatro subestaci ones generadoras se salen
por baja frecuenci a (Ver tabul ado Val le 1984).
como puede observarse en I os resul tados de 't programa val le
1986, los'aw de todas las máquinas no se salen del rango
permi ti do de frecuenci a, esto i ndi ca que el si stema no se
sale de estabilidad a pesar de que se ha aislado este Nodo.
De las consideraciones anteriores se puede concruir que el
sistema eléctrico del'valle 1984 es muy inestabre puesto
que n0 es autosuficiente en generación de potenc'ia activa
162
El sistema eléctrico Valle 1986 es más estable ya que la
entrada de potencia al s'istema por Salvajina y la consti
tuci ón de nuevas subestaci ones ocasi onan que 1 as cargas
se distribuyan equítativamente; por lo cual el sistema ga
na en estabilidad. En este año (1986) el sistema no presen
ta problemas graves ya que con la entrada de salvajina y
la interconexión con Popayán a 220 KV el sistema adquiere
flexibilidad y rigidez ante cualquier falla.
El nodo más crítico del-l sistema es el Alto Anchicayá pues
una fal I a en este haría perder la estabi I i dad dell si stema
en valle 1984. En valle 1986 el sistema no se sale de esta
bi I i dad ante fal I a en este Nodo.
Los anteriores resültados se sustentan porque:
El Nodo de Alto Anchicayá es un nodo de generación que abas
tece la carga de casi todo el valle. cuando sale Alto Anchi
cayá de generación, el sistema sigue teniendo la misma car
9d' o sea que no se abre n'i ngún interruptor que racione el
sistema. El tiempo de desconexión es relativamente alto(0. 4seg ) que son 24 ci cl os aproximadamente.
z. Aislamiento de Pance 220 KV, Nodo No25. En el valle 1984
la única máquina que está oscilando es ra No15 (calima) que
se sale del Al.J permitido, por lo que hace que el sistema sea
inestable puesto que solamente una máquina que salga de esta
163
bil idad hace al s'istema inestable. En el Val le 1986 todas
I as máqui nas están osci I ando dentro dell margen de frecuen
cia permitido por tanto hace que el sistema sea estable.(Ver Tabulado Valle 1986).
En Valle 1984 el sistema se salió de estabilidad porque co
mo mencionamos anteriormente, al sistema le seguimos sumi
n i strando I a mi sma carga ya que no habrá n i ngún i nterrup
tor y adenás el tiempo de desconexión es alto, además el
fallo en sí es muy crítico.
3. Aislaniento de Buga 115 KV, Nodo No7: Este nodo es de
carga y además su carga no es representativa, lo cual ex
plica que al aislarlo las máquinas siguen funcionando sin
perder su estabil i dad esta concl usi ón es tanto para Va I le
1984, y 1986 (Ver tabulados ).
Analizando los resultados de Pm y Pe (pm = potencia mecáni
ca y Pe= potencia eléctrica) de los sístemas Valle 1984 y
Valle 1986 vemos que durante la falla la máquina conectada
a la barra dos o sea (Alto Anchicayá)tiende a disminuír su
velocidad ya que Pm< Pe y las demás rnáquinas tienden a aumen
tar su yel ocidad ya que Pm >Pe.
Después de que el servicio se restaure es decir post-fal latiene la misma reactancia entre las barras, tal como antes
164
de la falla, pero no están rotando a velocidades idénticas
Después de restaurada I a fal I a el generador conectado a I a
barra dos (Alto Anchicayá) tomas más carga que los demás
generadores. Las fuerzas restauradas tratan entonces de I o
grar igualdad entre Pm y Pe para cada máquina. El criteriode estabilidad se establece si los generadores se apartan
en yelocídad o permanecen relatíyamente iguales y de hecho
retol.nan a la misma yeloci dad para un funcionamiento esta
ble, si se consjdera el amortfguamiento de las osci laciones
aún en el supuesto de que esta velocidad sea más grande que
antes de la falla.
165
RECOMENDACIONES
Existen ciertos factores que afectan la estabilidad transitorias y para que un sistema sea estable sería conveniente
operarlo dentro de los límites de estabilidad, es decir de
jar un gran margen de capacidad tanto en ríneas como en ge
neradores, pero esto no resulta económico y se requiere de
fender el sistema de grandes perturbaciones y garantizaren buena medida su estabi lídad.
1= Aunento de Inerci a: La presenci a de una al ta constante
de inerci a (¡4) reduce el ángu1 o de osci laci6n durante cual
quier intérvalo de tjempo lo que permite disponer más tiempo para el funci onaniento de los i nterruptores para ai sl ar
el fallo antes de que la máquina pase por su ángu1o crítico de corte. un aunento de la constante de inercia (M) ofrece pues un medio para incrementar la estabilidad, pero no
se usa en gran escal a por razones econ6micas.
En este caso se recomi enda unas constantes de i nerci a mayor
para las náquinas lsr¡Qu€ se puede lograr medíante acondicio
166
namiento de ruedas vol antes acopl adas al eje de I as máqui
nas.
2. Interruptores de alta velocidad: El aislamiento o des
peje ráp'i do de la falla es el primer requisito para que el
sistema sea estable en el estado transitorio. Durante el
tiempo que dura la fal la los voltajes sufren severas depre
si ones causando fuertes reducci ones en I a potenci a generada
(Mtl) ' por las máqui nas que en consecuenci a producen eleva
dos yalores de potencia acelerante.
El tiernpo requerido para el despeje de una falla es la suma
de tiempo de respuesta del relé mas el tiempo de operación
del interruptor. Actualmente es posible lograr despejes en
un tiempo total entre 50 y 80 mi I i segundos. protecci ón del
tipo diferencial y la zona 1 de la protección distanciapueden responder entre I y 2 ci cl os. Los i nterruptores de
alta yelociad operan entre 2 y 3 ciclos.
La estabilidad puede mejorarse también reduciendo el intervalo de tiempo entre la apertura de una 1ínea y su recjerre.s'i n embaFgo, para que el recierre sea exitoso la línea debe
permanecer desenergi zada durante un mínimo de tiempo para
permitir que el aislamiento se recupere cumpletamente. Este
tiempo varía según la severidad de la farla y no se conoce
con antelación. En este sistena si el primer recierre fal la
767
se da la orten de disparo tri fásico definitivo.
3. ResÍstencias de Frenado: 0tro método para mejorar laestabilildad donde el corte es retardado o donde súbitamen
te se pierde una carga es conectar en cero cerca de ra ba
rra generadora una resi stencia de frenado, I lamada así por
que está diseñada para reducir la aceleración de los rotores de I os generadores después de una fal I a. La resi sten
ci a se conecta 'i nmedÍatamente después de ocurri da I a fal I ay desconecta en e I momento del reci erre.
4. Líneas en Paralelo: La reducción de ra reactancia de
una I ínea de transporte hace que la potencia eléctrica (re)aumente la estabi lidad. un procedimiento paralelo corrientede reducir la reactancia es el aunento del número de líneasen paralelo entre dos puntos. si se utilizan líneas de transporte en paralelon en lugar de una Iínea única; una parte
de la potencia se transporta por la línea restante, inclusodurante un fallo trifásico en una de las líneas, a menos
que el fallo se produzca en una de las barras. En otros tipos de fallas en una línea se transmjte más potencia duran
te el fallo si hay dos líneas es paralelo que a través de lalínea simple fallada, si hay más de dos líneas en paraleloI a potenci a transmi tida durante er fal I o es todavía mayor.
si se resta la potencia transnitida de la potencia de entrada se obtiene la potencia acelerante. por tanto, a mayor po
168
tencia transmitida durante el fallo, menor es la potenc'ia
acelerante, y por consiguiente, mayor es la posjbilidad de
mantener la estabi I idad.
5. Condensadores en serie en I íneas de transmi si ón. La
inserción de condensadores mejora notablemente la estabi I i
dad transitoria de un sistema. supóngase que se instala un
condensador en una subestación intermedia de una línea de
transmisión.
En condiciones normales de operación, e1 condensador está
cortocÍrcuitado por e1 interruptor"A".Al ocurrir una fallaen cualquiera de los cuatro tonas de I a I ínea del interruprrArr se abre al mismo tiempo que abre el interruptor del
tramo de línea. De esta manera se inserta un condensador
en seri e con I os restantes tres tramos de I ínea.
La reactanci a de I condensador debe ser tal que compense e I
'incremento de reactanci a debido a la pérdida del tramo de
tal forma que la potencia de transferencÍa en el estado
transitorio post-falla se mantenga al m'i smo njveJ que exjs
tía en el estado Pre-falla. con esta técnica el sistema se
puede operar con mayores niveles de transferencia de poten
cia en el estado estacionario.
Universidod ,utonomo dc 0aidantrS ección Eiblioteco
169
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170
IAPENDICE
INFORI'IE DE INTENTOS DE ADAPTACTON
DEL PROGRAMA A LA RED TELEVIDEO
DE LA U.A.O.
Los pasos detal lados seguidos por las personas que desarro
I laron la tesis de Simulación, del cual este es un apéndice
informatiyo, fueron básicamente de estudio de compiladores
y su afínidad; además de solventar problemas de dimensiona
niento en las matrices con 'las cuales el programa de esta
bi I idad trabaja.
El algoritmo de trabaio fué el siguiente:
P1 Adquí.rir los programas fuente
PZ Editar
P3 Compilar (Análisis sintáctico)
P4 lvlientras haya errores sintáctico hagal
P5 Si hubo errores sintácticos, entonces:
P6 Cor.reqi r1os
171
P7 si no
PB Si hubo errores de compatíbi1idad, entonces:
Pg Buscar manuales y hacer compatibilidad respectivas.
PtO Fin Sí
Plt Fín Sí
PtZ Fin mientras
Pt¡ Correrl o
Pt+ Si no hubo errores entonces:
PtS I,rnprinir resultados.
PtO Si no
Pll En caso de tener errores de:
Pfg Lógíca, 0yerflow o Underflow entera, memoria del compu
tado'r ó disco;
Ptg Termin ar a 1 gori tmo.
PZO De otro modo: editar y corregír, vaya u P3
?Zt Yaya u P¡
PZZ Fín en caso de:
Pzs Fín Sl
)12
-Sintácticos
erroresSintác-ticos
Buscar manuales yhacer cornpatibles.
Corregirlos
Fin anormal
Correrlo
173
Huboerrores
AA
Errores- Iógicos-Underflcn¡-0verflow
Imprimir-resultados Fin anormal
Fin sin problemas
774
Cada paso indica una acción realizada por el grupo de tesis, mu
chas veces se atravezaron varias trayectorlaS laS cuales no
permitían correr perferctamente los programas; los dos prÍ
meros programas no tuvieron problemas, nÍentras que el ter
cero tuvo muchos problemas. Ertre estos los más señalados Son
los de dimensionamíento correcto de las matrices y yectores
con que cuenta el programa para sus cálculos, importantes
cambios se hicieron y dicho programa funcionó en su 50%; e1
50% restante no permitió resultados, ni avances en él; as
pectos ímportantes que deberfan tenerse en cuenta son los
que en dimensión de la palabra resultan; este aspecto no fué
considerado y fué el que no permitió la ejecución del progra
na ni'la generación de resultados. Si el proyecto de implan
tar estos programas persiste, se tendrían que hacer cambios
en la 16gica del programa; iunto con aiustes a la máquina
en la cual se trabaja; proyecto este que se extendería más
allá de lo esperado y que no es prop6sito final de la tesis.
Como camino para nuevas promociones, quedarla este trabajo
y el desarrollo del paquete de simulación de Estabilidad.
Aunque I a importanci a del paquete es i ndescartabl e, es tam
bién importante su ampliación y modif,icación' creando nue
yas versiones de 1a simulación de estabil idad; queda pues
una pieza de inicio para el futuro de 1a inforrnática en la
carrera.
175
Como propuesta ú'ltina quedaría el pensar en el desarrolloen las diversas materias de esta área, cono de otras, el
vinculamiento progresivo a la informática y su velocidad de
procesamiento para la apl icaci6n deseada.
También irnportante es rescatar que la simulaci6n por conpu
tador es un arma poderosa que el ingeníero posee y su am
pliacíón en e1 ámbito sería de gran utilidad.
Cono último apunte,,es el estímulo que se pretende nostrara través de este apéndice inquiriendo en el análisis por
computador asf como el diseño; denostrando con esto que no
solo procesos contables y administrativos son posibles trabajar, sino que para el ánbito científico y de ingenierfa
tambÍén existe un arnplio campo de acción en la informática
otro punto más, este, QUe mira hacia I a tecno'l ogla y el f u
turo desde ya.
176
ANEXOS
177
ANEXO 1. LISTA DE NODOS
Añ0 1986.
1-
2
3
4
5
6
7
B
9
10
11
72
13
t4
15
16
17
18
19
20
27
22
N ODO
DEL SISTEMA ELECTRICO DEL VALLE
N OMBRE
Esmeralda
Al to An ch i cayá
Bajo Anchi cayá
Bajo Anchicayá
Buenaventura
Buenaventura
Buga
Buga
Cal ima
Calima
Candel ari a
Candel ari a
Cartago
Cartago
Cal ima
Chi pi chape
Chi pi chape
Chipichape
Alto Anch'icayá
Juanchi to
Juanchi to
Juanchi to
73.2 KV
115 KV
6.6 KV
115 KV
73 .2 KV
115 KV
34.5 KV
115 KV
34.5 KV
115 KV
34 .5 KV
115 KV
73.2 KV
13.2 KV
1I5 KV
73.2 KV
34.5 KV
220 KV
115 KV
73.2 KV
34.5 KV
178
ANE XO 1 . L I STA DE NODOS . Continuación... .
N ODO NOMBRE
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
4I
4?
43
44
Pai I ón
Pa'i lón
Pance
Pance
Pance
Pance
San Anton i o
San Antonio
San Anton i o
Santa Bárbara
Santa Bárbara
Santa Bárbara
Tuluá
Tuluá
Yumbo
Yumbo
Y umbo
Yumbo
7arza1
7arza1
Cartago
Cerri to
115 KV
73.2 KV
220 KV
I15 KV
T3.2 KV
34 .5 KV
115 KV
73.2 KV
34 .5 KV
115 KV
13.2 KV
34.5 KV
115 KV
34 .5 KV
220 KV
115 KV
34.5 KV
73.2 KV
115 KV
34.5 KV
34. 5 KV
34.5 KV
17?
Univcnidod i uiorromo dc ()aidcnl¡
ANEXO 1. LISTA DE NODOS Conti nuaci ón.
NODO NOMBRE
4tr,av
46
A-71t
48
49
50
51
52
tr2JJ
54
55
56
57
Cerri to
Codazz iCodazz i
Juanch i to
L'i mon a r
Limonar
Salvajina
Salvajina
San Lui s
San Luis
San Lu'is
Tuluá
Popayán
115 KV
115 KV
T3.2 KV
220 KV
115 KV
13.2 KV
?20 KV
T3.2 KV
115 KV
L3.2 KV
34.5 KV
220 KV
220 KV
180
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1B-1
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ANALI.SIS DE ESTABILTDAD DE SISTE¡'IAS DE POTENcIAAPLICADO AL SISTEIIA DEL YALLE
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L.UIS HERNAilD0 DUqUE QUTNTER0I{ARCO EIITITO POLO LEDESMA
_. r.,r_._r.rü.. .¿qClf,l
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94 e 7'rrtCORPORACION UNIVERSITARIA AUTONOMA DE OCCIDENTE
PROGRAIIA DE TNGENIERIA ELECTRICA
Cali, 1987
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rral¡ltal¡crc¡o(f,crGocro(:
(f L)()or:rofS()ct?Jü.|crcrrf€)cloc)oor c|CtarO5iOOO(f,
F. .cL)clclc:rrJcrc)Gc¡c' r)írr:r{)c, l:¡f)r-J(ffJFr.¡a.¡¡ar.2F\il €l(:tcrr:t()(..¡cx)o(:)H ¿tcro{:x) r:trt)f-:Ef .t
ct cl cr f:rc) c:t clc)r) ctCrOü)(f(J if f)C)rJC)ooc¡(f,oocrcrc)(f,
Oatllaaa.laa clc)oc.x:) rjrcrc)(.r(,c)z. fJct(fctc) c)ff,LrfJc¡J glg(*irnr-JC¡rjlc:( rGt¿¡ ff rf,rctt^tf '-Jf)cf(:¡(f
crCf,L)-tlil C:l(3c)rf O'Z Ot)(aff(:t rltf-)f)(-)Otftr¡lrart¡aa
a tl-rrIFIFF!-!¡-F!F!Fr7z.H c)(Jcrc[]rtrcrctc](3c,
rJcr(7ff(Jf')(J(.frf(:¡Or^¡ Cf (f,C¡Ctcf cCfOOOO()(fOO(f,f)C¡tfOOtf,J CICjC¡()C)C.IOq'OOC'
ru crfi¡cr|:rot-Lrr:¡o(foIE
¡ (? í.)r-fcf(.JQr).f,cfrl5= f\c¡{f Éf(J r3(f(fcr()o. rV¿?a:)Lfm C3t:roclCt
o. {\rÉ)3Jc)cJcro().:JoctfJqXSCrq2.fg¡6r6tfrJ
TF.ol-z.\llH
c)
tc-.¡ o cr cJC] cl cf c)cr(f, c ) o crcrcj o ocro cr c¡ c¡fr ct9crcf, f¡oo(Joo c)cxf ()oooc¡ctocl
¡C¡ CICTQO c)CtCtOOO OCIO(J OOO()OCIC,o' €p ¡f C,OC) r )OTJCfOtr OOC)O OOCIOCIOO
:J. a¡raaar¡¡a la¡a l¡ata¡aurOCtC, ()OOCT O(f rSlJ C¡O()et OCtCtCt (5 Oe,
.C-r O¡rrFOe?O CICICIOOOCICf GtOOrlO OOZZI^t\\tFúll:)Fr-S.tur NdtLXrr-(('forqÍ4F^l<.r |n|\iÉt^l CrO. r+N ( {t (\ld}Cto\ F}\t r^Or al ü'l (f'F {leff r-\() ñlr.l (lrFO\ \oc)l:r-f l:F-C'\rt!(-ft t \(|t-f\tñ¡F¡tc¡Nr\¡t^ú rñe\()cr Or{tr rt^r^<CJ Oer-OCtFO\ñlFee!.1¡4Fs-Fr^l\(lnl rfl¡'lr ¡ t rt al ¡ taa al¡a a a¡l a a I(É(f r)O (f C)rlJ Ct CDOOCT rJ (:l(J r J r:r L trJrf r f L )Cr
O Érc)CrO Cr(f OCTCIO G;I()CTO()()OGC¡Cf ()r() Cl().T..f t)É) tJ(f (>fJOCtCri)(t()C¡(:¡Ot){J
FCrOO(trJc.)O (t(JCrC)CtOOCr(f ()OO(f OOqr(J |jrocf()i)CrOG)L)O I'()C)JC'CT()TJ J|Dt:'F{O f-lo etct C) O C) C'OC, O OOC) O Ct t)() Cl (.) OurrJ i.)Oürrf .-ltclr:rüxJ|.Jr r)r)ctiJ(JcJ,)lJctcr(:;tl¡J a ¡t at I I t a¡t aalt a aa- a laE{Jí:ri-'tDLt¿)rJCrfJrf Cr(fooctrf tD(:)o()q)c)
(trú|rr-t crrr) {tO\Ít)FF€ ülN\tY)t\lt-lv.C'ft{¡.f*t lfl^lt4 rv^t¡fltúlr-Ft\¡ ñlN-fsll¡lfslr
a.. O' Chfiq)F r^rÉ \O \()O\O¡r \Olofv-lltroCIF-N^f rrrFltflt'lN'/la\¡f\¡N^lr-rl--(\il
^¡^lF{i4t ttflF
t{r13 Crcrr)(3.3(JO(.-'OC¡ C!c'ÉOOOOC,e(}CTCTF() r)o crcr o ct f:tcro(f o ctcx-f o ct(fcr rf, ff (f t)O- t\?-Fet\O.úl.t\t {}ñlos'ctd)Ct ll{rc}\O \OOO(:l¡r¡f.¡ .tq- CX, \Ot l t^!-r-¡\- l:Fo\qt .{¡Fr^f:'tC) t .¡C )(,rt rf f\l FICIC¡O O(f l"rlc, rf, OOFseFr-O e{fc)ut(f rl'Ct OOC)CIL)OOC, Cf Otf r?CTOC'OOCtOÓ3r rll. a¡ talt ltataaar. la¡(¿(-t rf(f ()D(5r-t CtCrCtCt O(f,C.)r) Cr()t::,r:l(f, C¡(:,()
l¿l ra (,c)fjfcJrllor c).:)t |frrf (f cjc¡l^c)cJclrrrrr(Jñ¡c)
?t^ Étt\l|s(rr¡O -t()rOF'Xt rrtu.tlt¡€ O.f OtN €¡\lJlJa¡t 4 rfr O--af) f tfrt n¡ ñl(>\O Is6@F erlr)-f -t dX('()c¡ Fo |! : -al rf Q r^ \o f\tf\¡^út úr €ñtGt o\ tflrvlJ |? rvfa.oCE fI lñGlrn^la\¡lf1 l\f OO\.f .tf.ilú¡C(| |.|r^f\Ú(\'lO..OFl- <:rt)('Ct{fr)OOftetctFr-(JCrCtCtOClClC)ñlrr¡)lU l¡J a a¡ aa, r a¡la a aar r r¡r a l aa
= É(fO|]O()OCICTO(3OOOCTOOO(]CDOOC)fJa
ZOC'OFTC)O'OrnrnOOC,O.^Oü rr l^t^i¡\CrC)Or¡¡oFfq(rtFqt|'rú\trf¡{t.r}.f @rtl(\ll\l -tFrúr octc¡oFur |'lf\ lfrltlFFl\Ct¡4úl F <>ltlo\Ovn( )Crf\OC¡rJ@F tsr.l$ .{'\l¡ñt |ftF rOF FI€\OO O\ r¡FCtFO(fc){, OCJOOC¡ñ| OO.ür Fñ¡()l.t ()r-f\¡lúl C¡<¡Ct(f,U'o oooo(f o oo()r- _QOo oocyJC¡ oc¡ol¿r. ¡ r. a t a a a ! r a aa t r t ¡ a a t l.Éct (f cr crE, cro c) c¡rf, (]} ct c)o cr o r)oL-r r? oo(fgt^FN|\C¡tO-O¡rO|.tt¡l r^t.toolsoi úrFf.¡lO oO^¡Ct(\l|rtttlt ll\l!.rFl\tF l.\| |\lrQ :r|.+Frf| .tF
a- O\O\lrtF\O ()Ct \OO. \Ol.l ior^r\¡ooNf\U¡¡rF {¡NF('\r-eñl ñlNl\ll\|^lF- rf¡?.r l.l.?r \t
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a Or?()Cf(]ltSrJrf,OOCJrrr tsrfoor:oocre¡trtc,? {trJ|for:tr=Drf,CfocrttF O\Orf,fJO(a()f?O()OJ t a t a¡ I ll¡ ¡ IC) ()F!-FFF,FE-FF
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tllll¡llloc)(fc)c¡ct()oc¡rfrQ4rlñO'ü'JOC¡l¡.rr:ttr'.r F('.(t (t\Oúr(tclrrl r¿t-s f\lor.llJ e.fc,(f()o\ |!tj)oogrf\r
ataatallaac)rJcrcr(:ocrcroc,r rl I l! |(3c)oo()grc)o()|.J"* ñlr-o.üñlr:t().oc)rñ(f,eElOr()-t r\|(:t{tiF.tO(])\tc)rfú('FNt')Octlt')C)(fFrfl.:t'n
a-l¡aattlll:lc|ff,S()cto(:'ootlt llllllC)c)cj(f,c)ctctrf,oc()fJ (f¡fc) oct'rrrl ct()Ec¡r dlo.Üoor ctFrrrrntñor+,xtdtr^- \flv)F€Cl(fE OrúlñlFF.'fC,
ar¡lallallaec)(l|'Jc|rfc)crcrctr:)
tlllll¡¡ll,)Oi)q21¡rr3c)f)Orf(3()CIC¡(] Oc"l.lc)O.fE)rf tsl3r^ C) Sftr { rñ l^r^u¡rt +\oNf.trftúils|ft-.tFoF \tNr^{tf.}Elfv
tlalla¡aaaaIf}oo()ocroorf cJ;)
tlllllllllc)rJc(f,oc)ctecf,C)o(:r -tF{rcJooi|oc¡r-ñlf:lI\('\Or ()O{}C)0o\Of\r(J Crfrr- { c)t¡K¡ lq rJ.f(f, C.rOCr-t\lFrC)Cr\()O
tta¡aaa¡alacrl)c20r5ff,C)(f r)ct(f,
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2.21,.-.¿,rot:()t()É:(rol.)f,t.rf)'¿,=2
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3
¡
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FFFFFFFF
)
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É,(:rÉ(fÉctÉ.oÉrfÉcte.ctÉ.4F}cF.-dF}aF¡.(F)aF}€F}tF}t
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4.
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4f!I¡rJl-.4F
4.
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J'fú fJ¿. (, !F-¡-{to2<)
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