Análisis de Sistemas No Lineales - Inicio | División de ...dep.fie.umich.mx/~fornelas/data/uploads/pres_sist1er2...Sistemas de primero y segundo orden: I Sistemas de primero y segundo

Sistemas de primero y segundo orden: ISistemas de primero y segundo orden: II

Análisis de Sistemas No LinealesSistemas de Primer y Segundo Orden

Dr. Fernando Ornelas Tellez

Universidad Michoacana de San Nicolas de HidalgoMorelia, Michoacán

DEP-FIE

Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 1/59


Contenido1 Sistemas de primero y segundo orden: I

Sistemas de primer orden

Sistemas de segundo orden. Análisis en el plano de fase

El caso lineal, análisis cualitativo

Caso no lineal, múltiples puntos de equilibrio

Análisis cualitativo cerca de los puntos de equilibrio

2 Sistemas de primero y segundo orden: II

Soluciones periódicas, ciclos límite

Teorema de Bendixson

Teorema de Poincaré-Bendixson



Sistemas de primer ordenSistemas de segundo orden. Análisis en el plano de faseEl caso lineal, análisis cualitativoCaso no lineal, múltiples puntos de equilibrioAnálisis cualitativo cerca de los puntos de equilibrio

Outline1 Sistemas de primero y segundo orden: I













Sistemas Lineales

Los sistemas físicos son inherentemente no lineales. Sin embargo,cuando el rango de operación de los SNL es pequeño, y las no linea-lidades implicadas son suaves, entonces se puede tener una buenaaproximación lineal [2] del sistema no lineal descrita por el siguientesistema lineal invariante en el tiempo (LTI)

x = Ax

con las siguientes propiedades:

Si A es no singular, el sistema tiene un único punto deequilibrio (PE), x

e

= 0.El PE es estable si los eigenvalores de A tienen parte realnegativa (A es Hurwitz).Para u 6= 0, si el sistema x = Ax+Bu es estable ) estabilidadBIBO.




Sistemas de Primer Orden

Se denomina sistema lineal de primer orden de entrada u y salida y

al sistema descrito por la siguiente ecuación diferencialdy

dt

+ay = bu, y(0) = y0 (1)

donde a y b son las constantes representando los coeficientes de laecuación.

En la practica, muchos sistemas físicos pueden ser representados poruna ecuación de primer orden, siendo ésta una de las aproximacionesmás sencillas que se pueden hacer de un sistema dinámico.

Resulta útil para el estudio de la respuesta del sistema describirlocomo

t dydt

+ y = Ku, y(0) = x0

donde t = 1/a y K = b/a.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 5/59



Función de Transferencia

De una manera general, si un sistema lineal de primer orden tieneuna señal de entrada u(t) y una señal de salida y(t), su función detransferencia se escribe:

G (s) =Y (s)

U(s)=

K

1+ stdonde K es conocida como la ganancia de régimen estacionario (otambién, de corriente directa) y t la constante de tiempo del sistema.

















Sistemas Planares: Sistemas de Segundo Orden

Sistemas Planares: son también llamados sistemas de dimensióndos o sistemas de dos variables de estado. Se representan por dosecuaciones diferenciales escalares.

Las soluciones del sistema se pueden representar como curvas en elplano, que llamaremos también órbitas.

Las órbitas se representan en lo que se llama el plano de fase delsistema.




Sistemas de Segundo Orden

Un sistema de segundo orden autónomo está representado por

x1 = f1 (x1,x2)x2 = f2 (x1,x2) .

(2)

Sea x(t) = (x1(t),x2(t)) la solución de (2) con condiciones inicialesx(0) = x0 = (x10,x20). La curva en el plano de fase que pasa por x0se llama trayectoria u órbita, misma que:

Que permite una fácil visualización del comportamientocualitativo del sistema.El plano x1�x2 presenta en forma sencilla algunas de las ideasbásicas del comportamiento de los sistemas no lineales de altoorden.

El plano x1�x2 se le conoce como plano de fase o plano de estado.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 9/59



Retrato de Fase

Usando notación vectorial

x = f (x), f (x) es un campo vectorial

El campo vectorial en un punto es tangente a la trayectoria enel punto. Cada punto x asigna un vector f (x).Podemos construir el retrato de fase comenzando en x0 desdeel diagrama del campo vectorial.




Plano de Fase

El Plano de Fase:

Es un método gráfico para estudiar el comportamiento desistemas no lineales de segundo orden (se restringe sólo a estossistemas, lo cual es la principal desventaja).Permite una fácil visualización cualitativa del comportamientodel sistema.Tiene su idea básica en resolver una ecuación de segundoorden de forma gráfica, en lugar de una solución analítica (nosencilla de determinar).

Las isoclinas: es una familia de trayectorias con la misma pendientesobre un plano bidimiensional.




Construcción del Plano de Fase

La familia de todas las trayectorias o curvas de solución es llamadoretrato de fase.

Es útil repasar el retrato de fase de sistemas lineales de segundoorden como herramienta para estudiar el comportamiento local delsistema no lineal alrededor de un PE.

El retrato de fase se puede construir al graficar las trayectorias pa-ra un gran numero de condiciones iniciales sobre el plano x1 � x2,haciendo uso de herramientas computacionales. Hay otros métodospara su construcción, pero nos abocaremos al método de la isoclina.




Método de Isoclinas

La pendiente de una trayectoria en cualquier punto dado x , denotadapor s(x), se establece como:

s(x) =f2(x1,x2)

f1(x1,x2)(3)

La ecuación

s(x) = c isoclina (4)

define una curva en el plano x1�x2, donde las trayectorias del sistematienen pendiente c . Por lo tanto, para obtener el plano de fase, sedebe dar un valor a c y despejar cualquiera de x1 o x2, para tener unavariable dependiente de las otras dos, por ejemplo, x2 = h(c , x1).




Ejemplo 1: Péndulo sin Fricción

x1 = x2

x2 = �sinx1

s(x1,x2) =�sinx1

x2= c ) x2 =�1

c

sinx1




Ejemplo 2: Péndulo con Fricción

x1 = x2

x2 = �0.5x2� sinx1

isoclinas: x2 =� 10.5+ c

sinx1 (5)




Ejemplo 2: Péndulo con Fricción

















Sistemas Lineales

Considere el sistema LTI

x = Ax con A 2 R2⇥2

La solución viene dada por

x(t) =Me

J

r

t

M

�1x0 donde J

r

=M

�1AM

J

r

es la forma de Jordan real y M no singular.

Dependiendo de los eigenvalores de A, la forma de Jordan real es:

l1 00 l2

� l k

0 l

� a �bb a

�.

La primera forma corresponde a eigenvalores l1 y l2 reales y distin-tos, el segundo caso l = l1 = l2 son reales e iguales y el último aeigenvalores complejos l1,2 = a ± jb .




Síntesis de Retrato de Fase en Sistemas Lineales1Tomando t = traza(A) y 4= det(A), los eigenvalores vienen dados

por li

=t ±

pt2 �442

1Sea A una matriz de m⇥m, la traza de A se dene como la suma de los

elementos de la diagonal principal.




Sistema Lineal Planar Perturbado

Sea un sistema lineal bajo perturbaciones (en particular perturbacio-nes lineales).

Suponga que A tiene eigenvalores distintos. Considere A+4A, donde4A es una matriz diagonal cuyos elementos son magnitudes arbitra-riamente pequeñas.

Los eigenvalores de una matriz dependen en forma continua de susparámetros. Es decir, dado e > 0, 9d > 0 tal que si la magnitud dela perturbación es menor que d (e > d ), los eigenvalores de la matrizperturbada A+4A, están en una bola de radio e y centro en loseigenvalores de A.




Sistema Lineal Planar Perturbado (cont.)

A=

l1 00 l2

�; �A=

µ 00 µ

�)A+�A=

l1+µ 0

0 l2+µ

�;

Si la magnitud de la perturbación |µ|< d )��l

i

�li

��< e , siendo li

eigenvalores de A+�A.

Entonces, si el equilibrio del sistema lineal x =Ax es un nodo, foco opunto silla, el equilibrio del sistema perturbado x = (A+4A)x serádel mismo tipo.




Sistema Lineal Perturbado (cont.)Puntos de Equilibrio Estructuralmente Estables

Si el PE es un centro, por ejemplo:

J =

0 �11 0

�luego J+4J =

µ �11 µ

�, con l1.2 = µ ± j

Para µ > 0 el sistema perturbado tiene un foco inestable y si µ < 0el foco es estable.

Los equilibrios tipo nodo, foco y punto silla se llaman puntos de equili-brio estructuralmente estables dado que ellos mantienen su compor-tamiento cualitativo bajo perturbaciones infinitesimalmente peque-ñas. Los tres casos implican el signo de desigualdad.

















Equilibrios Múltiples

Un sistema no lineal puede tener múltiples equilibrios aislados (p.e.péndulo con fricción. ¿De que tipo son los PE (np,0), n 2 Z[0?)

x1 = x2

x2 = �x2� sinx1

En general, el comportamiento local de un sistema no lineal cerca deun punto de equilibrio se puede inferir a partir del comportamientodel sistema linealizado en ese punto.




Retrato de Fase Degenerado

Cuando uno o los dos eigenvalores de la matriz A son cero, el retratode fase está en algún sentido degenerado. En este caso, la matriz A

tiene un espacio nulo no trivial. Cualquier vector en el espacio nulode A es un PE del sistema.DefiniciónEl espacio nulo de A se compone de todas las soluciones de Ax = 0para x 6= 0. Estos vectores x pertenecen a Rn. El espacio nulo quecontiene todas las soluciones de x se designa como N(A).

A=

�1 2�2 4

�, �x1+2x2 = 0, �2x1+4x2 = 0, N(A) = [2,1]T .

Esto es, el sistema tiene un subespacio de equilibrio más que unpunto de equilibrio aislado. (TAREA: Determinar los PE de x+ x = 0y graficar su retrato de fase).




Retrato de Fase Degenerado

En el retrato de fase degenerado, corresponde a cuando se tiene unode los eigenvalores igual a cero. En este caso, todas las trayectoriasconvergen al subespacio de equilibrio si uno de los eigenvalores tienesigno negativo, o divergen las trayectorias en caso contrario.

Cuando los dos eigenvalores son cero, cada punto en el plano es unpunto de equilibrio.




Retrato de Fase

Un PE aislado de un sistema puede tener seis tipos de retratos defase diferentes que describen su comportamiento de forma cualita-tiva: Nodo estable, Nodo inestable, Punto silla, Foco estable, Focoinestable y Centro.

El PE está completamente especificado por la ubicación de los ei-genvalores de A.

Las características de los PE descritos anteriormente es para los siste-mas lineales. Cuando se realiza un análisis cualitativo de un sistemano lineal, el tipo de PE puede solamente determinar el comporta-miento cualitativo de las trayectorias en una vecindad de ese punto.




Resumen: PE para Sistemas Lineales de Segundo Orden

Eigenvalores de A Tipo de Equilibrio

l1, l2 reales negativos Nodo Estable

l1, l2 reales positivos Nodo Inestable

l1, l2 reales y (l1 ·l2)< 0 Silla

l1, l2 2 C con Re{li

}< 0 Foco Estable

l1, l2 2 C con Re{li

}> 0 Foco Inestable

l1, l2 imaginarios Centro




Plano de Fase: Sistemas de Primer Orden

Aunque usualmente el plano de fase está desarrollado para sistemasde segundo orden, también se puede aplicar a sistemas de primerorden de la forma

x+ f (x) = 0

La idea es graficar x con respecto a x en el plano de fase [2]. Encomparación con los sistemas de segundo orden, la diferencia estáen que el retrato de fase es sólo una trayectoria. Véase el siguienteejemplo.




Ejemplo: Plano de Fase para Sistemas de Primer Orden

Considere el sistemax =�4x+ x

3

Tiene tres puntos singulares en x = 0,�2, 2. Siendo el primero unpunto de equilibrio estable y los otros dos inestables (comprobar loanterior mediante la linealización en los PE). El retrato de fase delsistema consiste de una sola trayectoria

La dirección de las flechas esta determinado por el signo de x en esepunto.




Tarea: Determinar los Puntos de Equilibrio

Para los sig. sistemas, determine todos los PE aislados, establezcade que tipo son mediante el plano de fase en una vecindad del PE.

1 Sistema:

x1 = x2

x2 = �x1+16x

31 � x2

2 Sistema:

x1 = x2

x2 = �x1+ x2�1�3x2�2x2

2�

3 Sistema:

x1 = �x1+ x2(1+ x1)

x2 = �x1(1+ x1)Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 31/59
















Comportamiento Cualitativo Cerca de los Puntos deEquilibrio

Las características de las trayectorias en el plano de fase en una vecin-dad del los puntos de equilibrio de un sistema no lineal se comportanmuy parecido a los de un sistema lineal.

Entonces, la descripción de las propiedades de un PE de un SNL se

analizarán a partir de la linealización respectiva a cada uno de los

PE del SNL.




Comportamiento Cualitativo Cerca de los Puntos deEquilibrio

Describiendo por series de Taylor un sistema

x1 = f1(x1,x2) = f1(p1,p2)+a11(x1�p1)+a12(x2�p2)+T.O.Sx2 = f2(x1,x2) = f2(p1,p2)+a21(x1�p1)+a22(x2�p2)+T.O.S

donde p = (p1,p2) es un PE, y por tanto f1(p1,p2) = f2(p1,p2) = 0,

y a

ij

=∂ f

i

(x1,x2)

∂xj

��x1=p1, x2=p2

, i = 1,2; j = 1,2. Entonces, con el

cambio de coordenadas y1 = (x1�p1) y y2 = (x2�p2) se obtiene

y1 = a11y1+a12y2+T.O.Sy2 = a21y1+a22y2+T.O.S




o bien, en una vecindad lo suficientemente pequeña de y = 0 se tieney1y2

�=

a11 a12a21 a22

�y1y2

�, es decir, y= Ay

con (conocida como linealización por Taylor)

A=

2

64

∂ f1∂x1

∂ f1∂x2

∂ f2∂x1

∂ f2∂x2

3

75��x=p

=∂ f∂x

��x=p

Jacobiano

Nota: Si f1 y f2 tienen derivada parciales continuas en una vecin-dad de p, y el sistema linealizado es un nodo estable (inestable) coneigenvalores distintos, un foco estable (inestable) o un punto silla,entonces en un entorno pequeño (comportamiento local) del equili-brio los PE del SNL se comportarán cualitativamente del mismo tipode PE.




Teorema de Hartman-Grobman (H-G)

TeoremaConsidere el sistema no lineal planar x = f (x), con f (x)suficientemente suave. Suponemos que x0 es punto de equilibrio

aislado. Suponga además que A(x0) = ∂ f∂x

��x=x

0no tiene

eigenvalores nulos o imaginarios puros. Entonces existe un

homeomorfismo

1h (transformación continua y con inversa

continua) definida en una vecindad U ⇢R2de x

0, h : U !R2

, que

lleva las trayectorias del sistema no lineal sobre las del sistema

linealizado. En particular h(x0) = 0.

1Homeomorfismo: es una biyección entre dos espacios X y Y pormedio de una función biyectiva h, que es continua y cuya inversa escontinua.




Teorema de Hartman-Grobman

El Teorema de Hartman-Grobman afirma que es posible “deformar”de manera continua todas las trayectorias del sistema no lineal, alre-dedor del equilibrio aislado, en las trayectorias del sistema linealizado,vía el homeomorfismo h.

En general, es complicado determinar el homeomorfismo h. Sin em-bargo, el teorema indica que el comportamiento cualitativo de unsistema no lineal alrededor de un equilibrio aislado es similar al delsistema linealizado, por ejemplo, el tipo de estabilidad.




Ejemplo: Linealización en los PE del Péndulo con Fricción

Sea

x1 = x2

x2 = �0.5x2� sinx1

donde∂ f (x)

∂x =

0 1

�cosx1 �0.5

�. Evaluando el Jacobiano en los

puntos de equilibrio

∂ f (0,0)∂x =

0 1�1 �0.5

�; l1,2 =�0.25±0.97j

∂ f (±p,0)∂x =

0 11 �0.5

�; l1,2 =

l1l2

�=

�1.280.78

�

El equilibrio (0,0) es un foco estable del sistema.Los equilibrios (±p,0) son puntos sillas.




Otro Ejemplo

Considere el sistema

x1 = �x2�µx1(x21 + x

22 )

x2 = x1�µx2(x21 + x

22 )

donde (0,0) es un punto de equilibrio aislado.

Calculando el Jacobiano∂ f (x)

∂x =

0 �11 0

�cuyos eigenvalores es-

tán en ±j . Entonces x = 0 es un centro del sistema linealizado. ¿Esaplicable el Teorema de Hartman-Grobman?



Soluciones periódicas, ciclos límiteTeorema de BendixsonTeorema de Poincaré-Bendixson














Ciclos Límite

Oscilación: un sistema oscila cuando tiene al menos una soluciónperiódica no trivial.

x(t) = x(t+T ) 8t � 0 para algún T > 0

En el plano de fase, la solución periódica resulta en una órbita otrayectoria cerrada.

DefiniciónUn ciclo límite es una órbita cerrada y aislada [2].

Un ciclo límite es necesariamente una órbita cerrada, pero nonecesariamente la recíproca (ej. oscilador lineal).Los ciclos límites son una característica únicamente presenteen los SNL. No se dan para los sistemas lineales.







Ejemplo: Sistema Lineal

x1 = �x2

x2 = x1

)

0 �11 0

� l1.2 =±j

Definiendo r =qx

21 + x

22 y q = arctan(x2/x1), se puede representar

en coordenadas polares como2

r = 0q = 1

2Sea f (x) = arctan(u), entones f

0(x) =u

0

1+u

2 , y que

⇣u

v

⌘0

=u

0v �uv

0

v

2 .




Ejemplo: Sistema Lineal (cont.)

Dada la condición inicial (r0,q0) se tiene la solución al sistema encoordenadas polares como

(r(t) = r0

q(t) = t+q0

y por tanto es una trayectoria con radio r0 a un ángulo t+q0.

Las trayectorias en el plano de fases x1� x2 son

x1(t) = r0cos(t+q0)

x2(t) = r0sen(t+q0)

El sistema es un oscilador armónico lineal.




Problemas del Oscilador Lineal

Oscilador Lineal:

Pequeñas perturbaciones destruyen la oscilación. El osciladorlineal no es estructuralmente estable.La amplitud de la oscilación depende de la condición inicial.

Por el contrario, es posible construir osciladores no lineales tales que:

Sean estructuralmente estables.La amplitud de la oscilación sea independiente de la condicióninicial.




Ejemplo: Oscilador de Van Der Pol

Sea el sistema

y �µ(1� y

2)y + y = 0 con µ>0 )

(x1 = x2

x2 =�x1+µ(1� x

21 )x2

∂ f∂x

��x=0

=

0 1�1 µ

� l1.2 =

µ ±p

µ2 �42

Si µ > 0 y µ2 � 4 < 0 ) (0,0) es un foco inestable del sistema nolineal.




Ejemplo: Oscilador de Van Der Pol

Observación: De la simulación en el plano de fase se observa queexiste una órbita cerrada que “atrae” a las trayectorias que comienzanfuera de ella. En este caso se trata de una órbita cerrada aislada.(Tarea simularlo y compararlo con el oscilador lineal)Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 46/59



La órbita cerrada en el oscilador de Van Der Pol es diferente a la deloscilador armónico lineal. En el oscilador armónico, hay un conjuntocontinuo de órbitas cerradas, mientras que en el ejemplo de Van DerPol hay solamente una órbita cerrada. A esta última órbita cerraday aislada se le llama ciclo límite.

El ciclo límite tiene la propiedad que todas las las trayectorias en lavecindad del ciclo límite con el paso del tiempo (“ultimately”) tiendenhacia el ciclo límite (si éste es un ciclo límite estable), pero nunca

lo tocan para cualquier valor finito de t. Es decir, las trayectoriastenderán al ciclo limite conforme t ! •.




Tipos de Ciclos Límite

Dependiendo de los patrones de movimiento de las trayectorias setienen [2]:

1Ciclos límite estables: Todas las trayectorias en la vecindaddel ciclo límite convergen a éste conforme t ! •.

2Ciclos límite inestables: Todas las trayectorias en lavecindad del ciclo límite divergen de éste conforme t ! •.

3Ciclos límite semi-estables: Algunas de las trayectorias en lavecindad convergen a éste, mientras otras divergen de ésteconforme t ! •.




Otro Ejemplo:

(x1 = x2+ax1(b

2 � x

21 � x

22 )

x2 = x1+ax2(b2 � x

21 � x

22 )

en polares

(r = ar(b 2 � r

2)

q = �1(6)Considerando (r(0),q(0)) = (r0,q0) la solución viene dada por

r(t) =b

(1+C0e�2bat )1/2

; donde C0 =b 2

r

20�1

q(t) = �t+q0

El sistema tiene una sol. periódica (órbita cerrada) en r = b , es decirexiste una órbita cerrada aislada en r = b| {z }

r=0

. (TAREA: SIMULARLO)

















Ciclo Límite y su Existencia

DefiniciónUna órbita cerrada y aislada se llama ciclo límitea [1, 2].

aAlgunos autores llaman a estos sistemas auto-excitados .

Ahora se plantea el análisis para establecer las condiciones bajo lascuales un sistema planar tiene o no órbitas cerradas. El siguienteteorema revela la relación entre la existencia de un ciclo limite y elnúmero de puntos singulares (PE) que un ciclo límite tiene.-,




Ciclo Límite y su Existencia

En el siguiente teorema, N representar el número de nodos, centrosy focos en un ciclo límite, y S para representar el número de puntossilla que contiene.

Teorema(Poincaré) Si un ciclo límite existe en un sistema autónomo de

segundo orden (2), entonces N = S+1 [2].

Una consecuencia de éste teorema es que un ciclo límite debe con-tener al menos un PE.





El siguiente teorema establece las condiciones para la no existenciade ciclos límite.TeoremaConsidere el sistema de segundo orden

(x1 = f1(x1,x2)

x2 = f2(x1,x2)

Supongamos una región en el plano de fase D 2 R2tal que, si

—f =∂ f1(x1,x2)

∂x1+

∂ f2(x1,x2)

∂x2

no es idénticamente nulo en ninguna subregión de D y no cambia

de signo en D. Entonces D no contiene órbitas cerradas y aisladas

del sistema planar.




Ejemplo: Teorema de Bendixson

Considere el siguiente sistema no lineal

x1 = g(x2)+4x1 x22

x2 = h(x1)+4x21 x2

Dado que

—f =∂ f1(x1,x2)

∂x1+

∂ f2(x1,x2)

∂x2= 4

�x

21 + x

22�

el cual es siempre estrictamente positivo (no es idénticamente nuloen algún lugar de D, excepto la solución trivial que es el origen), yno cambia de signo, entonces el sistema no tiene ningún ciclo límite.




Ejemplo: Teorema de Bendixson

Considere el oscilador de Van Der Pol

x1 = x2

x2 = �x1+�1� x

21�x2.

Calcular —f .


















El siguiente teorema trata sobre las propiedades asintóticas de lastrayectorias del sistemas de segundo orden:

Teorema(Poincare-Bendixson) Si una trayectoria del sistema autónomo de

segundo orden permanece en una región finita de ⌦ 2R2, entonces

ha de cumplirse uno de los siguientes hechos:

La trayectoria va hacia a un punto de equilibrio.La trayectoria tiende a un ciclo límite estable asintóticamente.La trayectoria es en si misma un ciclo límite.




Comentarios Finales sobre Teoremas de Ciclos Límites

Es importante señalar que los tres teoremas anteriores, aunque sonmuy importantes en lo que respecta a ciclos límites, no se tienen teo-remas equivalentes para sistemas de orden superior, en donde puedenocurrir otros comportamientos de los ciclos límites.


Appendix For Further Reading

[allowframebreaks]For Further Reading

H. Khalil,Nonlinear Systems,Prentice-Hall, 2002.

J-J. E. Slotine and W. Li,Applied Nonlinear Control,Prentice-Hall, 1991.

M. Vidyasagar,Nonlinear Systems Analysis,Prentice-Hall, 1993.

S. H. Strogatz,Nonlinear Dynamics and Chaos,Perseus Publishing, 2002.

S. Someone.On this and that.Journal on This and That. 2(1):50–100, 2000.


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