ANNO SCOLASTICO 2009-20010

CLASSE 5 B

Abbiamo scelto di studiare diverse dimostrazioni del Teorema di Pitagora perchè questo permette di agganciarsi

a temi che si stanno trattando in matematica quali•Le potenze•Gli angoli

•Le figure geometriche (triangoli, quadrati)•Il concetto di superficie

Un primo approccio a questi temi deve essere comunque stato fatto prima di affrontare l’argomento.

Nel contempo in ambito storico si studia la civiltà dei Greci, con il suo interesse per la conoscenza, i suoi filosofi e la sua

democrazia.

Prendiamo spunto, come già fatto in altre occasioni, dalla lettura del libro “I MAGNIFICI DIECI”.

In particolare, nel capitolo 13, i protagonisti (Filo e il nonno) affrontano la dimostrazione del teorema partendo dalle terne pitagoriche e arrivando ad usare tavolette di cioccolata...

Ci proviamo anche noi con cordicella, nodi, cartoncino e puntine

Proseguiamo con la lettura...

Si spiega così perchè il tutto funziona con la terna 3, 4, 5 e non per esempio con 5, 6, e 7

Su carta quadrettata i bambini si allenano a costruire le figure e possono verificare l’esattezza dei calcoli

Quindi vengono loro presentate altre quattro diverse dimostrazioni...

(Si disegna sulle mattonelle)

(Oppure si usano tavolette di linoleum)

DIMOSTRAZIONE DELLE PIASTRELLE

Si racconta, ma è leggenda, che Pitagora abbia scoperto il suo teorema mentre stava aspettando di essere ricevuto da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo del tiranno di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento. Se avesse tagliato in due una piastrella lungo una diagonale, avrebbe ottenuto due triangoli rettangoli uguali. Inoltre l'area del quadrato costruito sulla diagonale di uno dei due triangoli rettangoli risultava il doppio dell'area di una piastrella. Questo quadrato risultava infatti composto da quattro mezze piastrelle, cioè da due piastrelle. Ma i quadrati costruiti sugli altri lati del triangolo corrispondevano ognuno all'area di una piastrella. In altre parole il quadrato costruito sull'ipotenusa èequivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.

DIMOSTRAZIONE DAL LIBRO CHOU PEI SUAN CHING

Molte dimostrazioni si basano semplicemente sulla scomposizione di aree in parti uguali. Una di queste potrebbe provare che anche in Cina il teorema "di Pitagora" era già noto almeno mille anni prima della nascita di Pitagora. E' collegata a una figura, che si trova nel Chou Pei Suan Ching , uno dei piùantichi testi cinesi di matematica, Il libro classico dello gnomone e delle orbite circolari del cielo, scritto al tempo della dinastia Shang, 1500 - 1000 a. C.. Questa figura potrebbe essere una dimostrazione del teorema di Pitagora, chiamato dai cinesi kou ku. Nel disegno di si vede infatti un triangolo rettangolo di lati 3, 4 e 5 e un quadrato grande di lato 7 = 3 + 4.

DIMOSTRAZIONE DILIU HUI

In Cina Liu Hui, un grande matematico del terzo secolo d. C., diede una dimostrazione del teorema "di Pitagora" che è stata ricostruita da alcuni matematici moderni seguendo le indicazioni che è stato possibile ricuperare. Dice Liu Hui: Siano il quadrato su kou [il cateto a] rosso e il quadrato su ku [il cateto b] blu. Usate il principio della mutua sottrazione e addizione di specie simili per inserire i resti, in modo che non ci sia alcun cambiamento nell'area con l'aspetto di un quadrato sull'ipotenusa.

DIMOSTRAZIONE DISIR GEORGE AIRY

I due triangoli gialli con la parte bianca formano il quadrato dell'ipotenusa, mentre la stessa parte bianca con i due triangoli verdi, equivalenti ai precedenti, formano i quadrati dei cateti, com'è facilmente verificabile.Airy presenta poeticamente la figura in questo modo:

SI PASSA QUINDI A LAVORARE NEI GRUPPI COLLABORATIVI...

Nella pratica il gruppo collaborativo prevede l’organizzazione di

piccoli gruppi di allievi che

lavorano insieme con lo scopo principale di migliorare l’apprendimento (Vianello, 1995).

È una tecnica molto efficace per agire contemporaneamente a livello didattico su tre prospettive:1. motivazionale: motivazione all’apprendimento, immagine di

sé, autostima;

2. sociale: gestione del compito in gruppo, autonomia,

assunzione di ruoli;

3. cognitiva: per esempio nell’abilità ad individuare e risolvere

problemi.

In base alla natura del problema e alle risorse esistenti, il gruppo si organizza in forme di lavoro centrate sulla collaborazione o sulla

differenziazione.

Nella forma della collaborazione le diverse persone operano facendo la stessa attività. In questo caso ogni persona si impegna nel compito comune affinché il gruppo raggiunga l’obiettivo prefissato, ed in questo modo si moltiplicano le potenzialità di ogni singolo e si rafforza l’identità del singolo stesso rispetto al gruppo.

Nella forma della differenziazione invece le diverse persone operano facendo diversi tipi di attività.Quindi ogni persona del gruppo si impegna nel compito secondo la propria attività, che sarà distinta da quelle degli altri, ma sempre con lo scopo comune di raggiungere l’obiettivo previsto del gruppo intero.In questo modo si acquisisce efficienza attraverso la specializzazione e si

amplificano le potenzialità individuali di ciascuno.

RUOLI NEL GRUPPO

MANAGER

AiutaCorreggeAspetta gli altriSi consulta con i compagniCollaboraAiuta il gruppo a concentrarsiFa in modo che il lavoro venga finito

SEGRETARIO

Scrive e fa scrivere, disegnare, colorare, leggereSi aggiornaPrende appunti

CONTROLLORE DELLA SERENITÀ DEL GRUPPO

Aiuta a parlare sottovoceFavorisce l’amiciziaAiuta ad accordarsiAiuta a condividereAiuta ad andare d’accordo

COMUNICATORE

Comunica al gruppo, agli insegnanti, alle altre classiAscolta e fa ascoltare la consegna

OSSERVATORE

Sta attento che tutti imparinoSta attento che tutti conoscanoSta attento che ogni organizzatore faccia bene il suo lavoroFa in modo che tutti osservino cose utiliAiuta gli altri ad esplorareAiuta gli altri ad immaginare

Nelle attività di gruppo collaborativo il ruolo dell’insegnante è di conduttore

ed agisce in base a questo profilo:

- prende decisioni preliminari su:

dimensioni e formazione dei gruppitipologia dei ruoli da far scegliere od assegnaresistemazione dei gruppi nell’aula e uso di materiali;

-descrive il compito e l’approccio collaborativo: dà la consegna e definisce i

tempi di lavoro, spiega la responsabilità individuale, la collaborazione nel gruppo e i criteri di valutazione;

-organizza l’intervento e il monitoraggio: offre interventi di aiuto nel rispetto

ed esercizio dei ruoli, interventi di aiuto nello svolgimento del compito, interventi di aiuto nel clima di gruppo;

- pianifica la discussione e la valutazione: gestisce il lavoro dell’assemblea

plenaria, dà la valutazione dell’apprendimento individuale, la valutazione della produttività del gruppo e lanvalutazione sull’esercizio dei ruoli;

I GRUPPI AL LAVORO

I gruppi sono quattro.A questo punto ciascuno di essi e’ invitato a scegliere una delle diverse dimostrazioni e a individuare un mezzo (cartellone, computer, teatro...) attraverso il quale illustrare la dimostrazione scelta

GRUPPO N. 1

Sceglie di lavorare sulla dimostrazionedelle piastrelle e di allestire una piccola rappresentazione teatrale adatta ad una classe terza di scuola primaria

Il gruppo prepara il

copione

Si disegnano i pezzi per

illustrare il teoremaClicca qui per

vedere il lavoro realizzato dal

gruppo

GRUPPO N. 2

Sceglie di realizzare un cartelloneche illustri ad una classe seconda di scuola secondaria la dimostrazione di sir George Airy

Ecco alcune fasi di preparazione

del cartellone Clicca qui per vedere il lavoro realizzato dal gruppo

GRUPPO N. 3

Clicca qui per vedere il lavoro realizzato dal

gruppo

Sceglie la dimostrazione di Liu Huie, per illustrarla ad una classe prima di scuola secondaria, decide di creare un reportage televisivo

Il gruppo elabora il

copione

GRUPPO N. 4

Clicca qui per vedere il lavoro realizzato dal gruppo

Anche questo gruppo sceglie la dimostrazione di sir George Airy.Attraverso una presentazione in PowerPoint lo illustrerà ad una classe seconda di scuola secondaria

Ecco i componenti del gruppo al computer

nell’aula di informatica

Clicca qui per vedere il lavoro realizzato dal gruppo

PER SPIEGARE

LA DIMOSTRAZIONE

DELLE PIASTRELLE

Cari bambini, grazie per essere venuti al nostro spettacolino.

Vi vogliamo presentare la storia di un grande filosofo chiamato

Pitagora.Sapete, ha inventato un

famoso teorema!Ora il mio collega Francesco vi

spiegherà dove e quando èvissuto Pitagora...

Pitagora è vissuto in Grecia verso il 500 a. C.Come potete vedere la Grecia si trova in Europa,

vicino all’Italia; ha molte isole, ha molte montagne e poca pianura...

Le città della Grecia si chiamavano Polis e nella piazza, chiamata “agorà” si discutevano le leggi. Tutti

gli abitanti liberi potevano partecipare alle discussioni.

Le prime leggi nacquero proprio verso il 500 a. C., proprio il periodo in cui visse Pitagora!

Tra i greci c’erano uomini che amavano studiare,

conoscere e che vennero chiamati

“filosofi”

CARO PITAGORA, SICCOME SEI UN FAMOSO FILOSOFO TI INVITO AL MIO CASTELLO.FIRMATO :RE POLICRATE

UN GIORNO PITAGORA RICEVETTE UNA LETTERA DAL

RE CHE LO INVITAVA NELLA SUA REGGIA...

ARRIVATO ALLA

REGGIA PITAGORA

INCONTRO’ UN

SERVITORE CHE GLI

DISSE DI

ASPETTARE

MEZZ’ORETTA.

POI RE POLICRATE

SAREBBE

ARRIVATO...

MENTRE ASPETTAVA , PITAGORA SI MISE AD OSSERVARE LE

PIASTRELLE DEL PAVIMENTO. POI PRESE UN GESSETTO,

TRACCIO’ DELLE LINEE E SI ACCORSE DI AVER FATTO UNA

GRANDISSIMA SCOPERTA...!!!

Scusate l’interruzione ma ora vi vogliamo spiegare cosa scoprì

Pitagora.

Come potete vedere, questo èun triangolo rettangolo.

Infatti ha un angolo retto, cioè di 90 gradi e due angoli acuti, cioè

minori di 90 gradi.

Nel triangolo rettangolo i lati hanno dei nomi speciali: il lato lungo si chiama IPOTENUSA e i

lati corti, che in questo caso sono lunghi uguali, si chiamano

CATETI.

Questo triangolo è metà di una piastrella osservata da Pitagora...

Il teorema di Pitagora dice che SE COSTRUIAMO DUE QUADRATI SUI CATETI, LA LORO SOMMA EQUIVALE

AL QUADRATO COSTRUITO SULL’IPOTENUSA.

Ecco, qui abbiamo costruito i quadrati sui

cateti.

Se adesso togliamo i pezzi usati per i due quadrati e li riusiamo

attaccandoli all’ipotenusa otteniamo il quadrato costruito

sull’ipotenusa

GUARDA, MENTRE TI

ASPETTAVO HO OSSERVATO

LE PIASTRELLE E...

HO VISTO CHE LA SOMMA DEI

QUADRATI COSTRUITI SUI DUE

CATETI EQUIVALE AL

QUADRATO COSTRUITO

SULL’IPOTENUSA!!!

FINALMENTE RE POLICRATE INCONTRO’ PITAGORA CHE

GLI MOSTRO’ SUBITO LA SUA IMPORTANTISSIMA

SCOPERTA...

MMM....

VEDIAMO....

FANTASTICO!!!

TI NOMINO IL PIU’ GRANDE

FILOSOFO DEL MIO REGNO!!!

RE POLICRATE FU MOLTO ORGOGLIOSO DEL SUO

SUDDITO...

Ecco gli attori che salutano il loro pubblico

Alla fine si apre il dibattito ed il pubblico può fare delle domande...

• “Pitagora era un GRANDE filosofo o era un filosofo come tutti gli altri?”

• “Cosa vuol dire TEOREMA?”

•“Non ho capito quando è vissuto...”(bisogna spiegare la datazione a.C.)

• “Come si riconosce un triangolo rettangolo?”

•“Ma i Greci si vestivano proprio così?”

Gli attori erano molto emozionati ed hanno recitato un po’ “di corsa”.

E’ sembrato opportuno quindi riproporre la spiegazione aiutando i bambini più piccoli a riconoscere le figure,

triangoli e quadrati, facendo loro rivedere scomposizioni, spostamenti e ricomposizioni

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per spiegare

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Dice Liu Hui:Siano il quadrato sul cateto “a”e il quadrato sul cateto “b”.

Usate il principio della mutua sottrazione e addizione di specie

simili per inserire i resti, in modo che non ci sia alcun

cambiamento nell’area con l’aspetto di un quadrato

sull’ipotenusa

Il nostro gruppo spiegherà la dimostrazione del teorema di Pitagora ideata da Liu Huiusando una comunicazione speciale:

notizia trasmessa da un telegiornale

Salve! E’ Freddy, il guastafeste, che vi parla da Tele 2012 e, queste che ascolterete, potrebbero essere le ultime notizie. Perciò … occhio!

Apriamo il tiggì con una notizia che ci porterà nell’ombelico della

matematica!

Ci colleghiamo con la nostra inviata

da Pechino …ELISA ORAÉLÀ!

Grazie Freddy …… mi senti?

La prof. Mali’a Pi’a, studiosa di Liu Hui, ci spiegherà come lui ha dimostrato il teorema

di Pitagora …ni hao

你好你好你好你好…

Traduco …Questa è la

dimostrazione di LiuHui

这这这这是是是是刘刘刘刘徽徽徽徽的证实的证实的证实的证实

Dobbiamo verificare che i 2 quadrati costruiti sui cateti hanno la stessa

area del quadrato costruito sull’ipotenusa

Se osservate, potete vedere

Quadrato sul cateto maggiore

Quadrato sull’ipotenusa(il triangolo rettangolo è incluso)

Quadrato sul cateto minore

我们我们我们我们开始开始开始开始画画画画

两个平方吧两个平方吧两个平方吧两个平方吧!

Mm! Ecco

i 2 quadrati …

Wow !

Abbiamo i 2

quadrati costruiti

sui cateti

Spostiamo il primo pezzo in

basso

Poi il secondo pezzo in alto

Il terzo pezzo a

sinistra ruota

E infine il pezzettino scende e completa il

quadrato

Ecco il quadrato costruito

sull’ipotenusa

Sono Ale-o-sandlo, allievo della prof. e mi piace molto guardare le cose da un’altra

prospettiva!Un-ka-ia-ci-ci-co-cò!

E lei, cosa ci dice?

Ecco un passante! Scusi, ma lei sa chi é

Liu Hui? Certo! E’ così famoso che si mangiano

anche gli “spaghetti alla LiuHui”. UKKE-BONI!

Comunque, cari telespettatori, i dati sono cambiati: la fine del

mondo verrà tra miliardi di anni, per cui avrete ancora

tempo di vivere una vita bella e … matematica!

Oh yeah!

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CLICCA PER VEDERE LA

DIMOSTRAZIONE

Buongiorno, noi siamo un gruppo della classe 5B che studia la storia della matematica

Vi vorremmo spiegare la dimostrazione del teorema di Pitagora

creata da Sir George Airy.

Nel 1835 divenne il primo astronomo reale fino al 1881. Ha fatto tante scoperte, tra le quali:• il famoso “Disco di Airy”(un filtro per perfezionare la vista del cielo) da cui

sono state create le lenti per gli astigmatici (l’astigmatismo è un difetto della vista);

• ha definito il meridiano di Greenwich, il meridiano di grado 0;• ha progettato la ricostruzione dell’orologio del Big Ben di Londra, dopo

l’incendio del 1834;• ha ideato la teoria dell’isostasia, in cui si spiega che le montagne hanno una

“radice”;• e altro ancora…

George Biddell Airyè nato a Alnwick il 27/7/1801

ed è morto a Greenwich il 2/01/1892.

Come potete vedere, sono

a² + b² - ab

Quando ci sono due triangoli sopra di me

è rappresentato il quadrato dell’ipotenusa,

ma se invece sto io sopra di loro

si leggono i quadrati dei due lati (cateti) .

Sir George Airyha voluto fare una cosa

rivoluzionaria, spiegando la dimostrazione

con una poesia:

Adesso vi spieghiamo la poesia

- ab a

b =a²b²

I’area del quadratodi lato a

+ I’area del quadratodi lato b

-I’area dei due triangoli,

Il soggetto, chi parla, nei primi due versi

ab

ab

che è uguale all’area del rettangolo di lati a e b

=

I primi due versi sono questi:

Eccomi qui, io sono

a² + b² - ab

Come potete vedere, sonoa² + b² - ab

Quando ci sono due triangoli sopra di me è rappresentato il quadrato dell’ipotenusa

.

L’ipotenusa è il lato più lungo del triangolo, che non forma l’angolo retto

Ma se invece sto io sopra di loro si leggono i quadrati dei due lati.

I due lati sono i cateti del triangolo rettangolo. I due cateti sono i lati dell’angolo retto.

Vi ringraziamo per l’attenzione.

Avete capito o ve lo dobbiamo rispiegare?

Ma sì!!!

Che siete intelligenti!!!

Luca Beatrice

Giacomo

Genni Nicola G.

Ma sì!!!

Che siete intelligenti!!!

Luca Beatrice

Giacomo

Genni Nicola G.

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FINE