Um tÌrne de futeboi feminino rnontou um cempode 100 m de comprimento por 70 m de largura e, pofmedida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando en-Ìre 0 campo e a cêrca uma pista corn 3 m de largura.oual é a área do terreno l imitado pela cercê?

A áreâ da região cercada é:

(100 + 2.3) (70 + 2.3) = m6 Z6 =g 0s6 m,

5e a largufa da pista fosse de 4 m, a área da re-gião cercada seria:

(roa + 2. a) (?o + z. 4) = roï. ?B = I4?4 nz

A(x) = (100 + zx) (20 + 2x)A(x) = 7 000+ 200x+ 140x+4x'zA(x)=4x2+340x+7000

Esse é um caso part iculaf de funçào polinomialdo 29 grau ou função qladfárica.

DefiniçãoChamâ.se íunção quâdrática, ou função polino-

miaì do 29 grau, qualquer função/de R em R dadâporuma leida forma f(x) = ax2 + bx+ c, em que d, b ecsão números rêâise â + 0.

Vejamos alguns exemplos de Íunções qua-dfáticas:. Í(x) = 2x'z+ 3x+ 5,sendoa = 2, b = 3 e c= 5. f(x) = 3x'z-4x+ l,sendoa = 3, b =-4e c = 1. f (x) =x'z- l ,sendoa = 1, b = 0 e c=-1

54

. f (x) = x2+2x,sendoa= 1,b=2ec=0

. f (x) = -4x2, sendo a = 4,b=0ec=0

Sriãfi*m0 gráfìco de urna função polinomiã do 29 grau,

! = ax2 + bx + c, com a + 0, é uma curvâ chamâda

paraDora.

Vamos construiro gráfico de função dada por

PrÌmeìro alr ibuímos e x al8uns valores, de_

pois calculamos o valor correspondente deg pâra

cada valor de.x e, em seguida, l igamos os pontos

ãssirn obtidos.

Vamos construiro gráfico dafunção g = -12 a 1,Repetindo o procedimento usado no exêmplo

1, obtemos o gráfico seguinte:

1,, . . ,"fl'"":

O. grarrco. da' íu ìcoe' .eguinle5 \do oarc-

boÌas. Classifrque como C â paráboÌa que tem

concavidade voÌtada para cima e -B a parábola

que tem concavidade voltada para baixo:

a) y=3n'? 5x+Ib) Y=2-x '+:xcJ I=-x2 2x+l.{) Y= +*'c) Y= 4x + 3xrf) y=(x, lF-(2n 1) '

È

T5

'',' ll I ìr i:

Ao const_urro gráfco oe,ma Íunçêo quad.âtica

U = âx2 + bx + c, notamos sempre que:

, se a > 0, a parábola tem a concãvidade vol_tada para crmai

, ' . se a < 0, a pâÍáboLa tem a concãvidâde vol

tada para beixo.

Esboce o gráfìco deÌunções reais:

b) v=zt '

cada uma das seguintes

d) Y= 2,.'Vamos calculâr as raízes da função:

í(x) = 4x'z 4x + 1

Ìemosa=4,b=-4ec=1Construa o gráfico de cada uma das seguintestunções:a) Y=x2-zxb) Y = -*' +:xc) Y = x2 -zx+ 4

:tqi,: .': , i r'r,riiiFr ,t,i t:.ie*;;;ïìiÌii;l,1iiï

Zeros e equâçãodo Z9 grau

Châmam-se ze-os ou raizes da função polinomiado 29gràu í(I) - ax' r bx - c, a - 0, os núne'os reaisxtais que f(x) = 0.

EnÌào as rã.zes da funçào tr 'x) - êx' bl c saoas soluções da êquação do 29 grau axz + bx + c = 0,as quais são dadas pêla chamâda fórmula deBhaskâral

-u t'rruz- +ac2a

-n t lG'?- aac-2e

e ês raízes são

Vamos câlcular os zeros dâ íunção

f(x)=2tz*3**o

Temosa=2,b=3ec=4.Então:

* -r t rfÈz +ac - : t.,G :z2a

. _JÌ \_ZJ -^4 -"

Portanto, essâ função não tem zeros reais.

, , , , . , r ,1,- i i i i ; ,

DeteÌmine as raízes (zeros) reais dc caoa urnadâs funções s€guintesia) y= 2xl 3n+ Ib) Y=4x-x2c) y= xr+2x+Ì5, l ) y=9x,- te) Y=-x ' ]+or-s

ResoÌ1'a as seguintes €quâcões:â) (3x 1)r + (r 2), = 25b) (r-1) (x+3)=s

c) 11! = 3

d) (-x:+Ì) . (x2 3x+2)=0e) (x- 1) . ( r -2)= (x- 1) . (2Ì+3)f) (x+5),=(2x 3),

Então:

41\'16 16 I

1^1

ASSlm, tem0Sl

f (x)=0=ax2+bx+c=0+x=

Vâmos obtef os zeros dâ função

f(x) = Yz- 5" * 5

Temosa=1,b= 5ec= 6.Então:

. . otrG:-qac 5 +.Ds - 24^= za-= ?

(+1X= ' : =x=3ex=2

e âs raízes são 2 e 3.

f)

r )

f . ,

f,i, ResoÌva as equaçoes biquadradas: 1.r t:i $ ri I ï * iì iji ':ì

a) I 5xu +4=0 c) xr 6x ' ] -27=0b) xa+8x2-Ì5=o

, i . (PUC-RI) Dada a funçâo f(x) = (x + 1)' (r2-x+ 1), deteÌminer

a) f( 1) e f(0);b) ern R, as soÌuçòes da eqüação f(x) = v.

i*- A funçao seguirte mostrâ o desempenho de ü1neÍuiÌante nos simulados reaÌizados no cursirúopré vestibular ao longo do ano:

r)=L Í2-23 t+5936 \2 r)

sendo f(t) a nota obtidâ pelo estudaÌte no s1muÌado realizâdo no mês t (t = 2, 3, ..., 11).

â) Quâl a nota obt ida peÌo estudante nos

sinrulados ÌeaÌizados em fevereiro (primei

ro) e em nor-enbro (último), respectivâ

b) Em que lÌês o estudante obteve nota 2,0?

'ií, Para o casâmento de Verâ e Edu, um grupo deamigos escoÌheu umpresente cle R$ 300,00, va-Ìor a ser dividido entre eÌes. PoÌém, depois dacompra, três deles decidiram dar prcsentes se-parâdos,Dessa foÌma,a despesa teve que seÌ di-vjdjda entre os demais, resuÌtândo em um gasto

adicionaÌ de R$ 5,00 para cadaum. Quantas pes-

soas eüm iniciâÌmente?

r l ; ' t t \ l \P ' Derer.rrre \ C R ral que(x2 r0or) 'z (xz 101x+ 100) ' ]=0.

iírì., Um rctânguÌo tem as dimensões (em cm) e-.(pressêsPorx+3e3x-Ì .

a) Encontre a er'?ressão que deflne sua área emtunção de t

b) PaÌâ que valor de Í a área do rctânguìo é77 cmt?

:t;:1. (Fuvest-SP) Para a fabricação de bicicletas, umaempresa conprou unidades do pÌoduto Á, pa-gândo R$ 96,00, e unidades do p(oduto B,pJgindo R$ 84.00. Sabendo que o rolJ de un.dades comprêdas foi de 26 e que o pÌeçô unitá-

rio do produto A excede em R$ 2,00 o preçounitário do produto B, determine o núnero deunìdades de Á compradas.

A quantidade de raízes Íeais de uma funçãoquadrática depende do valor obtido perâ o rad -cando

^ = b2 -4âc, chamado dlscriminânte:

.." quando ^

ó posit ivo, há duas raízes reeis edist intas;

' quênoo^é7ero.LásdunardizÍeâl(ouLrÍeraiz dupla);

ii. quando ^

é negativo, não há raiz real. È

Vejamos quãis são âs condições sobre m naÍunçào g - 3x7 2x - (m - 1) a f in de oue:

âJ nao ex,stam raÌ7es reê;5:b) hâja.uma raiz duplã;c) exisËm duâs rêizes íeers e di. l intâs.

Cãlcule.do o discn'ninenre lAr. te-ros:

A-{-2ì ' 4 3 (m I t -4 l2n+12 LE 12Í

0evemos ter

a) ^<0=16-12m<O-m>$

b) Á:0 + 16 l2m:0+m:4.J

c) ^

>0-a 16-tZm-'0-+m<{

'. ' . ' , . ' ' ' . . , .". . . , .-. . . .". ' . ' . . . . . ' . . . . . .

ËF

Vamos determ nâr À a f im de qL,e umã dêsraízes dâ equeção x2 - 5x+ (k + 3) = 0 seja igualao quádruplo da outra.

ljtilizando os resultados obtidos no exemploZ ternos:

, , rx j : ( ! ) e x. r , " - t : @

Do enunciado, vem x1= 4x2 OSubstit ir indo @ em @, temos,

4xz+xz= 5 -) x?= t + xL= 4

De @, vem:

1 4=k+3+k=1

Vamos mostrar que, se a íunção qüadráticag = axz + bx + c tem zerosxl e x2, então ela podeser escritâ nâ formâ g = a(x x)(x-x,).

De Íato:

q =.* , * b* * . = " /" ,

* ! " * ! ì

g = a[x2 (x, + x,)x + xrxr]

g = alx2 xrx- xtx+ xrx,]

g = a[x(x -xJ xr(x-xJ]

g=a(x-xr)(x x,)

Esse últ ima formâ de indicara ieide uma fun-ção quadrát;ca é chamâda íorma fatorâcla.

:f,,,

Determine os valores de / a f ìm de quef(x) = x: 2* n n n*nu O.ras raízes reais e iguais.

l . r rb( leçd o, \a lu-e. de ry pa-a o, quai ,f(x) = Sxz n* *

- udrrriia duas raízes rears e

distintas.

QuâÌ é o mcnoÌ nÍrmero iúeìro p para o qlÌal atunção f(x) = 4xr + 3x + (p + 2) úo admjreraÍzes reais?

I ,ir Pâra cadt funç_o seguinte, discuta, em fuÌ1çãode m(n1 € R), a quantidade de ràizes:

a) y=xr-4x+(m+3)b) y = -2xz 3x+m

'. O gráfico da tunção y = x2 + (3m + 2)x ++ (m'] + m + 2) ìntercepta o ei{o rc em um úmco

a) Quais os posíveis vâlores de m?b) Para cada vaÌor encontrado no.item a, de-

.erminc qual e r rdi , , que J Íuncao po.5ui.

i Calcule a soma (S) e o produto (p) das raízesdas seguintes equações de 29grau:

a) 3x 'z-x 5=0 .) 2f 7=0b) xr+6x s=0 d) x(x 3)=z

i ' r As ralzes da equação de 2egrau 3x, tOx+5=0são rr e ó. Quâl é o vaÌoÌ de:

aJ xr + x,?

b) xì . x2?

. ì -L+ l l

d) xí + x,'??

tt ' , , l d i fe.ençu entre as raízes da equaçaox': + Ilx + p = 0 é igual a 5. Com base nessedado:

a) determine as raízes;b) encontre o valor dep.

r ' Uma das raízes da equação x2 - 25x + 2p = 0e\ccde d oulrd em J unidader. Lnç6n1rç 1, 1.orr" ,da equação e o lalor de p.

: As raízes dâ equação 3x2 10x + c = 0 são reci-procês (inversas). QuaÌ é a maior raiz tìessaequação?

I I Uma das raízes da equação 2x, + rìü 3 = 0 éigunl a,3.

a) Qual é o valor de ,r ?b) QuêÌ é â outra raiz que a equação possui?

r ' l , Urnadas raízes da equaçãox, 3x+â=0(â+0)é também raiz da equação x, + x + 5â = 0.

a) Qual é o vaÌor de a?b) QuaÌ é a raiz comum?

::-1.1iryF-isl'.ì ;ri i i l í, l, l i i ff iL{.},H,,&ffi

t

';:i

Coardenadas do v**rtieer^ ^^*ÁL^t^u€t ydt ct !JUr c l

Nosso objetivo é obteÍ as coordenadas do pontoY, chamado vért ice da parábola.

Quando a > 0, ê parábola tem concavidade vol-tada para clma e um ponlo de mínimo V; quandoa .- 0, â pêrâbola Ìem concâvidade voltadâ pê-â bâ -xo e um ponto de máximo Y.

ü ouandoã>0

! , " ouandoa<0

Vqmos Íêlomâra Íórmula da função quadÍática eescrevê-la de outra forma:

- | ^ t " \U = axz + bÌ + c = al xz + 3x+ eI" \ a aJ

l- i . h h2\ r '2 . lU = âl ix '+: x + - :51- . - +: I" l \ a 4a' l 4a' à l

u - " l t* , - L*n-4t í .b c, l

" l \ â 4âl \4a a ' l

u= el íx+ _qf _ b ' -eql- l \ zal 4è' l

[ r t 'z ^ ls="1\" .ã + l

observando essâ últ ima forma, podemos notar

or" o. D "

a: 9eo co'ìslê_tes. Aoenâs \ é veíia-' 2e 4a'

vel. Daí:

se a > 0, então ovalormínimo deg ocorre quândo, b, . \ocorre" 0 varoÍ mrnrrìo pa"â \x

r 2ã / 4a

i

corol" -0 ]

é rempre naio' ou ipua azero,\ zal

hseu valoT míniino ocorre quando x + á

= 0, ou

hse a, quando

' -=. Ne-sa 5i11,èçè0, o valoí mi.

Ir i - rodeueu-à 0 F- l - ï :

I 4a' | 4a

se â < 0, por meio de raciocínio semelhante con-cluímos que o vâlor máximo de g ocorre quando

hx = :. Nessa situaÇão, o va or máximo de

aé./^

^\ ^g = ã1u -r ;z l=- À

Concluindo, em ambos os casos as coordenâdasde Ysào:

t '

0uâlé o menorvaloíque assume a funcao:

g -x ' 12x-30

Como â - 0, a Íunçáo adniÌe oonlo de m.nì-mo. 0 vâloÍ mini-ro coÍrespondente e:

A 144-120 24 -g"- a.- a

-4--o

LJma bala é aÌirada de um car.ao ícomo nros-tre aíigura) edescreveuma parábola detre aíigura) edescreveuma parábola deequaçãog= 3x2 + 60x (sendox eg rnedidos em metros).

Í

5Ì

Y:!,ffiÃ"#, íf "ìí.{fr '{ ü i{; F r.r ïÍ; íiilË*ffiÍÌ li . Obtenha as coordenadal do vértice dc caoa uma

dâs paráboÌas represertarivas das funcões segu'r te. . f ,pe. i f ique. umbcm. se o r err i . e e umponio de Ìnáximo ou de mílÌimo:

a) y=xr 6n+4 d) y:(z x) lb) y= 2x' ] x+3 e) ) '= 4x2

"h, D( lernine o t , r ior rnrnimo ,ou md\ rno que:aJa uma dr. furrçoes .eguinlc, 15,um.:

a) y=-2Ìr+60x c) y= x ' ]+2x-sb) y=*r-+*+g d) y=3xr+:

i;tlil, A Ìei ,.g.,inte representa o nirmero de quiÌô-metros de congestioÌÌamento, em função dahora do dia (a partìr das 12 horas), regisrradoem uma cidade:

' f(t) = -tr + 12t + 20

em que:. f(t) é o número de quiÌônetros;. t é a hora dada pelâ seguinte convenção: t = 0

correspoÌ1de às 12 horaq t = 1 correspondeàs Ì3 hoÌas, e assìm por diante, aré t = I(20 hoÍas).

a) Em que horário o núneÌo de quilòmerrosc1e congestionamento é máximo?

b) QuaÌ é esse 1'alor?

: ) í : ! , ,- , . uma Dota. tan\a0a vert tcatmenle parà ( tma, a

partir do solo) tem sua altura /r (em metros)er.?ressa em função do tempo / (em segundos)decorrido após o lançamento pela lei:

h(t) = 461 5t:

Determine:

a) a aÌtura em que a boÌa se encontm 1 s apóso Ìâncamento;

tb) oG) instante(s) em que a bola se encontra a

75 m do soÌo;c) â aÌtüra míÌimâ atingida pela bola;d) o irÌstante em que a bola retorna ao solo.

. . : : . íU. L luì , , de l -ürd MG, Um pe'r icrda foi mi-nistrado a uma população de insetos pâla tes-tar sua eficiência. Ào pÍoceder âo controÌe davir iaçiô dà populdcio de in\eto! em funçro dotempol em semanas, concÌúu se que o tama-nho dâ popuÌação é dado por:

f ( t )=-1gt 'zt" t* t t . '

á) Detenine o intewaÌo de tempo enr que apopulação de insetos ainda cresce.

b) Na ação do pesticida, existe algum momeÌl-to em que a popuÌação de insetos é igual àpopulaçào in ic ial? Qudndo?

c) Entre quâis semanas a população de insetosseria exterminada?

:11J O Tn\ l i rulo de \4ereorologir de umr cidade noSul do pâh registrou a temperaturu ÌocâÌ nasdoze primeiras horas de um dia de invemo. UmâÌei que pode representar a temperatura (1,) emtunção da horâ (x) é:

I= -x ' ' - -x + t

com0 <x< 12 e t umâ constante real.

a) Determine o valor de l, sabendo que às3 horas da manìã a temperaturi indicou0 0c.

b) QuaÌ foi a temperaturâ mínima Ìegistrâda?

' . i , " .O gerente de um banco. craque em MaÌe-mática, enviou â uÌn cliente, também fanáticopor Matemárica, ':,m e-mail to quaÌ relata:'A função y= 15 (x2- 12x+ 20) representa oreu

'aldo medio íy). em reai ' . registrado no me,x(x = 1,2,..., 12) no decorrcr do último ano'l

fiil

a) Qual foi o saldo médio do cliente em janeiro? E em agosto?

b) Em que mês o saldo médio Êcoü nulo?

c) A partir de quâÌ mês o saÌdo médio do dien-te decresceu?

5?" De um triângulo isósceles de Ìados medindo20 cm,20 cm e 32 cm, recota-se um rctângulode dimensões ir e /, como mostra a figura:

32 cm

â) Quanto mede a altura relaúva ao maior Ìadodo tÌiângrlo?

b) Encontre ), em firnção de x.c) Para que vaÌores de :r e / a área do retângulo

obtido é máxima? Que porcentagem da áreado triângulo é ocupada por esse reúngulode áreâ máxima?

33. 1von".p sP) o gráíìco representa uma função

J que descreve, aproximadameÌÌte, o movimento(em função do tempo ti em segundos), por umcerto peíodo, de um golfidro que salta e retornaà águâ, tendo o ei,(o das abscissas coincidentecom a superficie da água.

esses vaÌores). O valor da aposta correspondeao número escoÌhido (por exemplo, apostar nonúmero 6 custa 6 unidades monetáÌias ou6 U.M.). Se a máquina sortear esse número rú, oapostador receberã x3 U.M.j caso.conüário, eleficaÌá devendo x'z U.M.Vamos imaginar que Tòm tenhâ 10 U.M. e decida jogar duâs vezes sucessivamente: eÌe aposta 2 U.M. na lirodada e B U.M. na 21rodada. Amáquina "soÌta" os números 3 e 1, respectjva-mente.

a) Quanto Tom fica devendo ao todo? (Desconsidere o valor das apostas.)

b) Im que números Tom deve arriscaa paraqte, errando os doìs paÌpites, a díüda seja amenor possíveÌ? Qual o valor dessa dívida?

r r r rcr6€rr l0conjuntoimagem mdaíunçãog=ax2+bx+c,

a / 0, é o coniunÌo dos vàlo es que g pode âssumi .Há duas possibÌl idades:

ts Quãndo a > 0Í ^ìlm=lu€R u>u\, : - q l

b ' Ouandoa<0

r .={verolg=ç: f }

Sabendo que a parte negativa do gráfico de

/é constituídâ por segmentos de retas, de-termine a e)çresúo matemáticâ de/nos ins-tantes anterio.es à saída do golfinho da água.Em que instante o golfinho saiu da água?À parte positivâ do gráflco de f é forma-da por pate de uma parábola, dada por

fí0 = --1É + 6t - 9. DeterÍnine quantos

segundos o goLÊnho frcou fora da água e aalfurâ máxiÍÌa, em metros, âtingida no salto.

34, Suponharios que em um cãssino haja um rogono qual o apostador arÌisca, em cada rodada,um número inteio , entÌe I e 10 (incluindo

a)

b)

61

É possive construir o gÍáfico cle uma função clo29 gÍau sem montãr â tâbela de pares (x, g), mas se,guindo apenas o roteiro de observações seguinte:

0 va or do coeficiente o deflne a concavÌdade dapârábola.As raízes (ou zeros) deíinem os pontos em q!e aparábo a Ìntercepta o eixo x.

0v-t ,eVt .o I J ino ." o oon,o o" rn n ' -\ za 4èlmo (se a > 0) ou de méxÌmo (se a { 0)A e a q. e pê-sd poryê é pâ èrele ào ei lo g é oeixo de simetrÌa da pârábola.Pdra/-U.ÌeÌos: t -è lJ b IJ L:Ê Ìão'0, cì eo p6 1o

" n Ou" "

pdrêoold ' o la o er/o9.

fâcanos o F-boco do gía ' ico da funçào

Caractefísticas:. concavidade vokadâ pârâ cìma, pois a = 2 > 0

1_. la zes: zy. , 5x + z = u-r= oLty = z

Vãmos construir o gráf ico dâ função! =x'- 2x+ 1.

Característiôâsl. concavldade voltâda para cima, pols a = 1 > 0

râízes:x2- 2x+ 1 = 0 -x=

t (raiz dup a)

vérrice, v = (- *, - {; = (1, o)

Ìnterseção com o eÌxog: (0, c) = (0, t)

a:12,1)

Note que lm = {g € Rjg>0}.

5 jl1f 3! ,1ïìr ,111:.1.1Ni. . . -

' . I

VàÊìos construi- o g a ' ico oa íu 'çào

Característ icas:. concâvidade voltadâ pâra baixo, pois a = -1< 0. zeTos:-x2 x 3=0=Txreal ,pois^<0

/ l ì ^

\ / 1 11. veÌ ice: v { -" , : ì l -+,-+ìéa 4ê z 4l

. interseção com o eixo g: (0, c) = (0, -3)

Como temos apenês dois pontos, podemosopciona menÌe calc! ar mais alguns, como, porexemp 0:

x=1=V=-5;x= 1-U= 3;etc.

t

/ L ^\

/q cìverÌce.v=(

; , 4r- ]=(; ÉljnÌerseção com o eixog: (0, c) = (0,2)

Norequelm=lU€ R s= Ël

ttcte que Lm = {v

'' lt--t'":1 15 ,

t2 :4 i

e m ,r<-+Ì .

:ti'"Determìne a lei dâ funçâo que cadâ gráfico aseguir rcpresenta:

/ t . ,-.i- ---Ì

Quâlé a leida fÌ. ' lnção quâdrática cujo gráficoestá representado abaixo?

As rarzes da fLrnçào ouâdráticê sào -3 e 0ien1ào suà lêi, na forma fato'ãda, é:

q=a (x+3) (x o)

Para x = -1 temos g = 2, então:

2 = a(-1+ 3).(-1- o) + ?= ?a.èa=

e daí:

u- l (x r3l x--)J- x ' 3x

'ìì'r, , Fap 6 9156.o 6"r tunções seguintes, com do-mínio em R, destacando o coniunto imagem:

a) Y=n'-6x+8b) Y=-2x']++xc) Y=x'z4x+4.. .1d) y=-f +t

e, y=x_+lx l - )

.liii raçu o gran"o a. .adâ tunção seguinte, desta-cando os intervalos em que a lìrnção é cÌescenteou decrescente:

a) Y= 3x'b) Y = 4x'?* zrc) Y=-2x'+4x-5d) Y=-* '?- :*- te) Y=-x 'z+2x+8

ï

0

t

9L

1

;ìi:i Represente, destacardo os pontos de inteÌse-

ção, no mesmo pÌano cartesiano, os gráficos dastunçoes:

Í(x) = 11 2

s(x) : x' 2x 8

.l :r. Nâfigura seguinte, está representada a tnjetóriadescritaporuma baÌadecanhão, atirada de umpontoÁ:

Se a paráboÌâ representa â ftÌnção

y= 1"' + ,lor, ,letermine,

a) a distância entreÁ e B;b) a âltura mt{imâ que a bala atingiu.

Íì:1

' i u gLáhco \egurnte representa aÉ1.r = )5,2 +.-- +

- q"h"- l^ n--

obtenha os vaÌores de m e /l.

btRalCorside-emos uma funcáo ouâdráÌrcè V - í{x ì -

= axa + bx + c e deteTminemos os va ores de x pdrdo" quais g é ,ìegativo e os valo'es de \ pèíà 05 quãrsg é posit ivo.

tunçãof( 1) = e,

t

i l : i , (UF GO, adaptâdo) Seja r a quant idade deprodutos fabricados por uma empresa. Á parábola R e á reta C conforme a figura abaixo,

' , . ro o' graf icor da. iurìçóe' Ríxì. que rep c-senta a receita da empresa, e C(x), que representa o custo de pÌodução e comercializâção do produto.

Qüal é a eqüação darcta que define o custoC7QuaÌ é a equação da paráboÌa que representâ a receita?

c) QÌraL é a função que rcpresenta o lucro daempresa?

dì Determrre o. ralo-es de x para o. quai, aempresa obtém lucro-

+ril e reta y = -x + + e a pârábola y = kP intercep-tad-Ì seemdoispontos:P(a,b) eQ(1,c).Deter

a) os vaÌores de d, à e c;b) a fuea do triângulo determinado pela reta e

peÌos ehos coordenados.

a)

b)

fi4

Vàmos e. ' rdâ o - iadl dê g ì^ Z^ 5Temos:

a = 3 > 0.. parábola com concavidadevoltãdapara cimâl\ . b 4àc-4 bu- 5tr- urnaonazerosÍeais

\ , /'a,

Respostar g>0,Vx

!xratqueg<u

" , ' t ì -lrr ' .: ' . Ï n'; ir i l

' Faça o estudo de snraÌ c1e cada uma clas tunçõesseguintcs:

a) y=,3x,-8x+3 d) y=2-xl

b) I=4x'?+x 5 e) y=-xr+2x 1c) y-9f 6x+1 1) I=l* ' -*++

" l: Faça o estì.Ìdo de sinal de cada lìrnçao cup grafiço cstá rcpresentado a s€gr.riri

Vejamos como resolver a inequação6x2 5x+1<0

Chârnemos deV a função quadrática que estáno 19 membro: V = 6x2 5x + 1.

Vamos âgora estudar o sÌnaldeg:

a=6 ] '0,Á= 1 ) 0,raizes: j e j

Ainequâção pergunta: "Para qLrevalores dextemos ! < 0?"

Respostâ:

l=-=f (",s=i"e o +="=+j)

Vejamos corno resoìveÍ a ìnequação

xz+x>?x'+1

Vamos pessar todos os termos dâ inequaçãoparâ um dos membros, por exemplo para o19 mernbro:

x2 +x 2x2 1>0_x2 +x !2A

. tsÌudo de srnal de v = x'+ x ÌÌemos:a = -1 + perábola coÌn concavidade voltadâparâ baixoA o -4ac l -4 - l -nàohâzerosreaicConcluindo,g<0,Vx.

I

z

'". *':,í :iiiïfi:ìi$f$;fttl,{"ffi,ffiffiffiíffi

i r :sr : r r ; r r ,oç

Vamos êpljcãr o estudo do sÌnâl dâ função qua-drática nâ resolução de inequações.

o e e

n ln"qu"çao pargunt", "P"r" qu" u"lor"a d",temos g > 0?".Hesposta: / x.

Vamos fesolver a inequação:

2x'z+3x+1> x(1+2x)

ïemos:

2x'+3x+1+x(1+2x)>04x2+4x+1>D

. Estudo do sinelde ! = 4x2 + 4x+ 11

a =4 > 0,^= 0, râ iz: ;

_12

A r^equação pergJl la: Parê que valore5 de \temos V > 0?".

Resposta: Parâ qualquerx real: S = R.

Re.ohr. enr R. a. ireqr ;\ôc. ,cBUi,.,e..

a) x 'z l ln 42<0b) 3xr+5n 2>Í)cJ x '+4x+5>0d). 4xr + l2x 9<0e) 3x' ]+x+5>0f) 9xr 24x+Ì6<0

:'1, Deternine, €nÌ R, o conjunto soÌução dâs sc-gullltes ineqLÌações:

a) x/+lox-25>0b) xr-8x+15<0c) xr zx>tsd) x']+ 2x < 35e) xr-4r.-3 <0t)í :r'? - :x < t

'i:' ResoÌva, enr R, is inequaçôes:

a) x.(x 3) > 0b) x'z< 16c) 9x/ > 3xd) 1x2<9e) (\5), > xrf ) x (x+ 3) < x.(2 -x)

'l! ri Segü1do pr€f isõcs de unì jornâl econônico, oPIB iruaÌ cle um país (./), eÌÌ biÌhões de dóÌa-res,daqui a r anos poderá sercaÌcuÌado pcla lei:

y=:x '8x+80

Para r:r e r . lor. . . e r o Pl t Jn r . , l a i \ \e pd,. u -tÌapassãÌá l,l0 biÌhões de dôlaÌes?

ri ii Duaa cmprcsaq À e B comercializanì o nesmoproduto. Seus Iucros diários varjam de acordocomo nínÌeÌo deunidades vertìidas (:rl segun-.lo âs funções:

' enìPresaA:LÁ =x:-20x+ Ì87. eÌìprcsü B: Lts = Ì35 + 8x

a)

b)

1<r.2<4

ue Ìato sa0 dLras Inequacoes s muttâneas:

-r<Y- ( , e N'=4 t4l

\ / :m.c, . . .1. ." / ì . i "2 - n

Esrudo do sinalde g = 1-x2d= r a u, a = 4 > u, râ zes: IeI

Solução de @:x <-1ou x > 1

im que irteÌvalo dele variar o nírmero deuridades vcnclidas a fim de que o lucro dacttpresa B supere o da enrpresaÁ?RepÌcsente grafìcamcnte, no rnesmo pÌanocartcsìano, as duas lunções e iÌÌdique o re-sultâdo obtìdo no item l].

-,, ì, O Ìucro (en mìÌ reais) de r:na empresa podcser calcuÌado pela leì

L= p2+24p_80

sendop o pÍeço devenda uniriÍio (enlreais) descu principrÌ produro.

a) Para que vaÌores dcp o Ìucro é positi\-o?b) Para que valores de p o lucro ó crescente?

iri ilt:iijrl-,ffi*&,1Ì, ;.iï1 s;;l,ffi fffi

ì - ì

Vamos resolver @: xz-4 < 0

Estudo do sinal de V = x2 4a = 1 > 0, À = 16 > 0, raizes: 2 e 2

Procurêmos agorâ â interseção das duas so-

so : : " " Ì - ' .

síì -t. ..,,.

Respostar -2 < x <-1 ou 1 <x < 2.

i : . : : r , j , ' l l t r , ' , : : ' , , t , : : i I . i ' , . ; , , : i .Ëï" " i1tr . i . ResoÌ1.â, em R, as inecÌuações:

a) 4<x2<9b) 2<xr-2<2c) 7<2x'?+l<19d) x 'z+1<2x?-3<-5n

Ëncontrc a soluçâo dos seguintes sistcnras deinecÌuações:

. | 2\ ' :+8-onr ]* ' +rx-o

br lx +3x a. '9. , .ndorr=Rl-r+x+ô>uf6xr sx+1>0

c) . ]ax2 + x 14<0,sendoU=Zt3x+10>0

i: :,,,'r'':,, trLiiiÍï;:lÌi i&XhíÍtrffiçF$

. Vâmos determinêr 92 = 2 + x-x2 e estudar osinâlde g2:

a = -1 { 0, A = 9, raízesr 1e2).

. EsÌudo do sinal do produto gr'Vz

r0252

A inequação pergunta:"Para que valores dexlemos g1.gz < 0?".

Resposta: x < 1ou 0<x<2 ou x>;.

Vamos resolve.à 'nequàçâo ^ :^ :: 0.

. Estudo do sinel de g1 = xz 2x - 8

a= 1 ì '0,4=36,raízes: 2e4

Vâmos resolver a ìnequação:

(2x2-sx)(Z+x x 'z)<0

. Façamos Vr = 2x2 - 5x e estudemos o sìnalde g1:

â = 2 > 0, À= 25, râízesr0 e;

ESÌU00 do slna de 92 = x" bx + Y

a = 1) 0, Á=0, raiz:3

- . , -8r -

^" / = '+r\ 14 -u

-q{ì . n. qln, i r .6 . . . r r rrJ .oluÌJo da, rcqua\oe,segLrint€s,serdoU=R:

a) x']+.+<o

b, f :*- 1) r * '+ z*t =,rx x20

(x+3).(xr+3). ) >0

ay 1L!If=4-a o

t

5F, No sistemacârtesiano abâìxo, estio repregráficos dc f(x) = ru * 1" .

ffiffi #,qmi"#ü#ifl}ffi ffiffiS*. ResoÌva, em R,as seguintes inequaçò€s-produro:

a) (x, - 2x- 8) . (2x, 3x) > 0b) (-x'z+ x + 2). (xr + 2x- 3) > 0c) (x+2).(xr a)>0d) (3xr + s). (-2x + 4) <0

ï4. ne'crU'o çLrnrr '5 numero\ i r re i ro. neg., . i \o,e quantos números inteiÌos positivos satisfazenlâ seguinte desigualdade:

(2x,-9x+4) ( 2x+5). ( -xr+4) > 0

S5, ne."ha. em R. ,, inequaçocr-<1uoc,enr<:

8(x)=xr-6x+8.

QuàÌ é o conjuDto soÌução da iüecÌrÌação:

a) f(x).g(x) > 0?

hl +: =0?(x)

ii$ (eso \r, eÌì [{. d\ Ìnequaçoeç:

a) r q< lZ

b) !<*

c) -<\

Ì

ËÊ1, tstabeÌeça o doninio de cada ur,ra das funcõesseguintes:

a) (d = {;3) . kt- 4x 5)

bl ( \ t= / l : - I :

b)

a)x2-Jx 14 >o

8*-2x-1.-^.*-x-)

= u

:l;

o ín=ux ffi

Vejâmos quâ éa condição sobre m € lì a Í imde que tenhemos mxz + 3x + 4 > 0 para lodo Ì

Se f(x) = nrx'Z + 3x+ 4 e parã todox realf(x) > 0, o gráfico de / deve ser o Íepresentedo

lj, ..-t-:! 4,

Pafâ que lsso ocorra, deveÌnos ter a : 0 e

^<0.Então:

a=m)'0 O e

À=9 16rr ' <0=nì- 1 2)Ih -

. or,o ) e 2 de!en ser srì- l . i ìe.r ' 'e ie

sèÌ sle Ìas, Ìaçamos (! r |< .

",,;;t'i ';, :',,:, I r,, r r, I q ; .1.'. .,-;i iiffi-]ii ' l.,i tretcn,rirc rr € R para qlÌe xr + 1ÌLx + ,1 >0.

par ir todo x real.

, : ; l Dct. ì rnf ie n1 € R de mo.ìo que

- \_ :rÌrx + 31rÌ < 0, para todo r Ì€dÌ.

l : : t tcten le n g iR dc nrodo que

úrf + l]rr I > 0, pà1x todo Ì € R.

l , I Qutì Ì é o m ior ralor ìnteiro de rr de mo,: lo

elue i rn + 2)xr 2nx + (m - 3) < 0, paÍâ

.r I Ào an.nisxr o Sráfìco da fuÌìçào ,y = (m + l)xr l-I 2nìr + (nì - l), uÌÌÌ estudanle notolr que to-\ ' . r ' , \ \ 'n l , \ . r ' \ô

' . ru ' r .e

'baL^" do eiro r .

P.rIa que vaÌores reais dc ,t isso é possí,eÌ?

@

ono9

Ru.po.t", ,n > $

f

dtrtl

#",,ái

. ::,j.{*.,

ffi4*3ir{

A rer:eÌ.t ;i, rn ;'uiiirlçrNo cÀpituÌo 3, estudanìos as Íurìçares Ìeceih, cü5to c ÌLlcro e tràbalÌìanìos conl â hipótese ile

que o preço <1e vcnda do prodlrto ó .onstante. Pofiìn, Ìruitâs vezes clc Pocle varinr de âcordô

cornademaldadc mercrdo,isto é, aqoantìdade desse pfoduto qrre unr grupo de consumidores

pretende adquidr rurÌ intervaÌo de temp,r (ìia, rìès, ano, etc.). Nesse caso, em geral, quanto

nìâior o pÌeço estabeÌeci.1o, ìneÌÌor será iì qlÌaÌÌtìdade vendida. \tejamos.

SLLponha que uma bar raca de praia errr SaÌrador lcnda acarajé. Ao Ìoügo dc LÌma te

poradã de vcìào, constatou se que a quaÌrtid.ctc diáriâ de acâïajé vendida (x) varjava de

acordo com o preço unitário d€ veü(lâ (p), e a reÌ:ìçào quantitativa entr.e cssas variáveis erì

drda peÌa lei:

t - 2(r ̂ '2

Observe, por exemplo, que x = 30 corresponde a p = 3 (30 acarajés são vendidos quando opreçounitír ioéR$3,00);x=50correspondeap=2(50acârajéssãovendidosquandoopreçouni lar ioe R$' .00ì .e õ\ im pordiarÌ Ìe.

Por qual pr((ú o d,,rrâic deve ,er r endido para que proport ione receira m,ixìma?

/ 1 ô\R(x)=x t_ m x+_ J= *" '**

I --\-quantidâde pfeço un tário

vendida de vendâ

*

Assim, R(x) se ma,{imiza quando x = *

=92

er '= $.+s+l=nsz,zs

= 45 (45 acarajés)." / Ì \' \ ,o i

Note, também, que o preço unitário de venda

diár ia obt idâ é 2,25 .45 = R$ l0Ì ,25.

jl. (pUC n1) x aoos sotuçÕes de uma equaçao do 2e

sLàu são I c I. EntJo a enud.Jo È:'J

a) 3Ì ' x-1=0 d) 3xr 2x 1=0b) 3xr+x-Ì=0 e) 3xr-x+1=0c) 3x'+2r-r=0

3. (PUC PR) O gráÂco a seguìr é de un1 tÌinôÌÌio do2sgrâu:

i, :.,,;[F'i.ïÌ ;1:.1i, de veStibu I a res fiW*.ffii,ffiffii . (upn-nl) no.unt. o t"lìpo eDr que um bâho.le sás

está scndo aquecido, a t€'mperâtua inreÌnl (T) \ãria dc acordo con a íunção T(t) = t2 + 4t + 2, seD.toI o lempo em mrnulos.Aternperatura arit1g€ o vaÌor

AssinaÌc a alternatìvâ que ÌÌìeÌhor Ìepresenta o

a) I=-xr+2Ì+5 d) y=-xr+3x+2b) y=-xr+2x+2 e) y=- i+2x+3c) y=-x2+2x+6

+. r f r rê. (P \ ur ' .do / do 2. grdú. det.nrda porí(r) = lÌ2 + ru + 1, nâo admit€ raízes Ìeais se, esomente sc, o número reâln for tal que:a) -12<m<12b) l\D< Ìn < 3\Dc) -2ú<m<2úd) m< rúoum>:lD.e) m< 213ou m > 2i l

J. í l .Jp Pl , . l , * t ìque.orn"verdrdei Ìo( \ JoLÊaj-\u/ o,r i òmioJú2es", '

' - ] ' ] , r . , "

Ì l. ì , 3omÌreÀrJut\ te

I ,b) não adÌr'ììte raízes reais.

c) para quaÌquer vâÌoÌ de Ì < :f o trinômÌo e

d) o trinôDrio é positivo, para quaÌquer vaÌôr de

"t .e) o trinômio é Degativo, para qualquer vaÌor de:r,

/ r r \no mtervaìo rbat, , l =, i L

6. (Mackenzie sP) Em R,fx Ì < 3x- 31" ' e>oa) [2, +-lb) l-, 2c) t r ,2 l

7, (Faâp'sP)Uma indústÌia prod uz, por dia,Íunidn-des de Ìrm deterniDado produto, e pode vendertudo o que produzir a um preço de R$ 100,00 âuridade. Se:r unidades sao produzidas a cada dia,o custo totaÌ, eÌÌ rcais, da pfodução diária é igual axr + 20x + 700. Portanto, para que a indúsfuin tenha unì lucro diário de R$ 900,00, o número deunidades produzidas (evendidas) por dia, deve ser

12. lpuc uc) o ìntervâlo no quaÌ a funçãof(x) = xr-6x + 5 é crescente é:

igual a:

a) a0b) s0c) 60

8. (U.l: iuìz de lora MG) os \ãloÌcs de Í que satisfa-

.enr l in.ouicJo: 0 o(r lercen J:Ì ,

a) [ Ì ,2) u t3, -)b) ( r ,2 l u (3, - )c) [ r ,31d) t 3,2)e) | l, 2l u (2,-)

9. ruIR'RÌ) A soma d" dois nílmeros é 6, e a soma deseus quâdÍados é 68. O nóduÌo da diíerença dess.s

13. (p"t "

Sp) Na fisurã abaixo tem-se um trecho dográfÌco de urnâ função de variáveÌ real dada porf(x)=aÌ2+bÌ+c.

Usando âs iÌìfoÌmações do gráfico, é possí\'eÌ determinâÌ os coeÊcìentcs d, ã, r. O valor de ü é:

a soÌução do sisteDÌr

d) I 2,01e) [0, t ]

b) 1<x<s

a) 0b) - lc)2

a) 10,7b) 12,1c) 1s,3

a) 18b) 20c)s

b) 230 m'c) 235 m:

d) 70e) 8{)

d)8e) Ì0

d) 60c) s0

c)2d) l

d) x>3

d)3

I

10 , (U. L Viçosa MG) uÍìâ eÍnpresa produz e vende umdeterninado proc{uto. A quantjdade que ela conseguevendervdia em função do preço segundo à re

Ìaçãoì a un pÌeço r eÌâ consegue vencler / unidadesdo pfoduto, de a.oÌdo com a equação y = r00 - 2x.SabeÍÌdo que a receita obtida (quãDtídade vendidavezes o preço de vendâ) foi de R$ 1 250,00, a quanti-

14. (u.;ro. cn) se Í e / são números reais tais quet \ , y l l .ot . 'o-rr ì imod.z=rr tv: ,

d) r7, le) r8,3

Í5, (p-p sp) u-".o-pânìia estima que podeven

deÌ Ìnensalmente 4 niÌhâres de unidades de seuproduto aopreço dep reais poÌ unidade. A receiranensal das vendas é igual âo pÌoduto do preço peta

quântidade vendida. Supondo p = 0,5q + 10,qüantos milhares de unidades deve vender men-salmente para que a receita seja a máxima pos-

cll r0

à)2b)1

dâde vcndìda é isuâl a:

a) 30b) 40c) 20

bl -2

11. (puc r,Íc) u''" p"ara é atirada para cima e sua altum à, em netros, é dadn peÌa ÂÌnção h(t) = alr + 12t,

em que té medido enl scgundos. Se a pedra atiìgiun aÌrüra máximâ no inÍante t = 2, pode-se afirmàr

16. (r,n pI, .a"ptuao) un agricuÌtor tem r40 metrosde cerca parâ construiÌ doìs currais: um deÌes, qua

drado, e o outro, retanguÌâÌ, mm comprimento iguaiJo rr iDlo dd l r rsur. . \F r .oma do areo dn.. . urraj '

deve ser a meror possíve1, quâl â tuea do cuÌrâl qua -

d) 240 m'e) 245 m'

! ,1

17. llcv sr; o .u"to n'édio, c-, de prcdução de t um-dâdes de um artigo, é obrido diÌidin.lo se o cusro CpeLaquant i r lade a, ou €l C- =!

-q

Sendo C = 2q'z 3q + 20 o cusro, em miÌhâÌesde reais, para a produção de 4 milhares de unnìa-des de gârrafas plásticâs, consideÌe ês segutur€s

I . A função custo médio sefá dada poÌ

C.-=2c-3+f9.q

II. O custo iotaÌ parâ a produção de 5 000 ga.faíasplásticas é R$ 55 000,00.

IIL Quaúo 10000 gaüâfàs plásticas são proctuzidas, o custo por unidâde é Rg 19,00.

Asociando you / d.ddJ.ninu,Jo..on.orrr .e j . lverdadeira ou falsa, tem-se:

â) L(q) = -2q': + sooq 3s ooob) L(q) = -2d + l oooq- 3s oooc) L(q) = -2q':+ I 2ooq- 3s oood) t1q1 = 269n 1 35 666e) L(q) = 200q-ls 000

<u. 'uf-F<' \ fu,hdoí, \ ' I ; i -

e po\ r : rJ f . e

somenÌe s€ì r pertence ao ìnterlalo:

à) (1, Ì )b) (-r, rlc) l-r, rld) (-- , 1) U (Ì , +-)e) (-* , l lu l Ì ,+*)

21. (lbm( RD A fisxra mos|n unìn paráboÌa, de vérri

i

b) TVFc) VF,F

d) F,V,V

18. 1ur-ul; o' '..o,

a" tunção í(x) - x: Kx K:(K € R) são xr = â e x, = b. Então (âabl + arb{)

a) K6b) 3Kl

c) 3I(a

d) 3K6

e) -K'z

Po.temos afìrrÌìar que a área do tÌiàngulo ÂVB élU. rU. L. I u rdr i fu PR PdÍr un, , e.ot .odr ru. ur e l

ciaÌizìdo, a função receita (R) e a função.rÌsto(C) eÍão Ìepresentadas a sesuir em um Desnrosistemâ de eixos, onde 4 indica a quântidade desse

Com base nessas informações e considerando que a função lücro pode ser obt ida porL(q) = R(q) C(q), âssinale a aÌtemativa que indlca

í í . íD-. .d no.sl \ , r i .on ì . u, F .e ro J ia. e.rr q-e , ,I ' r . . o r ' ì i r " r io de vendr de I m \o, !cÌL rr . , j re i i \foram vendidas 20 I unidades,0 <x < 20.Se,nesse dia, o-crÌsto da tàbricâião de cada uDidadedesse sorvete era de 2 reajs, qlÌanras uni.lades reriaüÌ que ser rendjdas para que o Ìucro do fabricaüte íosse o maìor possíveì?

igual a:

b) 5

al 9b) l1c) l l

a) -4

d)7e)8

d) 15e) 17

d) 16

23. (cefet'Mc) A tunção í(x) = ar, 2x + a rem uvÂlor máximo e admite duâs raízes reais e iguâis.Nessâs condições, ( 2) é igual a:

fr"

i+r; :itËffi(Ul'Pr\, .ìdaptado) Por ocrsìão da iÌìauguração de rÌn .difício, tüÌpÌoDrolor de eÍentos decidiu fazer uso siÌnuÌtâteo das proi€ções deum jiìro de água e de rm c.DlÌao dc luz efeiurdrs a pâÌtìr de unlpequcno pÌédio vìzinho, Ìo.âlizado | Ì8 mefuos do edifietu .ovo- Ojato scrj Ìançado â partir do tcto do peqLÌeno prédtu (â 9 m€tfos de.Ltura) c, após executàr slra trajetórìi parabóììcx, âtingiÌÍ r bàse dopré.lio Dovo. O canìão de luz, Por sutì vcz, será dispaf.do â pÚiirdo chão, da basc do pequeno prédio. Scu feine de luz .trâvessariexatàÌnente o vórticc da "parábolâ de águâ" e rLhgirá o topo doÌÌovoedifício,qu€ se cÌrconlraa 16 metros de altuÌâ (conformer figura âoìâdo). A que.ltLrra, r paÌlÍ do solo, ojato de ãgux e o feiÌ." de Ìuz sc

A ÍìÌDçâo f(-\) = anr + bÌ + c teni raízes rcais e sinìétÌicasJabe se que a reta de equrçáoy= s irÍcrccpta apâráboli .oÌÌ.spondcnte em un únìco poüto c que f(liõ) = :.()uais sro âs Ìiízcs dcssir fLÌnção?

(Ul cO) Urì posto de coìnbustírcis vcnde em médìa 2 Ì40 iitros de gasolina pof diâ, a RS Ì,75 por Ìitro. OprcpÌiet.1rio consfaiou que, ao reduzt o preço do ìitro, ocorre Lün aument Ììo ioluDÌe d. conìJuslível\€Ddido, ntì pÍopo'ção de 20 litros rcnd os a erais por dia, para cede centavo de fedução no pÌcço do ÌÌiro.

Cor1] base ro expoÍo:

a) obtenha uúra eÌpressáo quc dcs.Íeli o nÍÌnrero "

de litros vendidos em un dia enÌ fuìlçào do preçop,

b) calcuÌc o preço parn qlre â re.eìta obLidi com a \tDcla de gasolina, em um diâ, seia nÌáima

E

t