ANOVA

1

ECOLOGIA NUMÉRICA

Testes de hipóteses:Testes a mais de duas amostras

(ANOVA)

2

Testes a mais de duas amostras

A B C D

Análise de variância

Testes de duas amostras:

A vs BB vs CA vs C

A B C

Porque não?



3

Para o conjunto das 3 hipóteses a probabilidade de correctamente não rejeitar todas as H0 seria 0.953 = 0.86

ou seja, α = 0.14 !!!!

Testes a duas amostras:A vs BB vs CA vs C

Porque não?

Hipótese nula


Hipótese nula


Verdadeira

Falsa

Aceitar Rejeitar

Não há erro α

β Não há erro

H0: µA=µB=µCH1: As médias não são todas iguais

Fontes de variação:

Intra-amostra ou intra-grupos (error)Entre-amostras ou entre-grupos

A análise de variância (ANOVA)


4


∑ ∑= =

−=

k

i

n

j

iijerro

i

XXSQ1 1

2)(

Fontes de variação:Somas dos quadrados

Total:

Entre-grupos:

Intra-grupos (erro):

∑∑= =

−=k

i

n

j

ijT

i

XXSQ1 1

2)(

∑=

−=k

i

iiG XXnSQ1

2)(


5

Fontes de variação:Somas dos quadrados

SQTOTAL = SQGRUPOS + SQerro


Estatística de teste:

erro

Grupos

erro

erro

Grupos

Grupos

QM

QM

SQ

SQ

F ==

υ

υ

Hipóteses:

H0: µA=µB=µCH1: As médias não são todas iguais


6

Fontes de variação:Soma dos quadrados

SQTOTAL = SQGRUPOS + SQerro

glTOTAL = glGRUPOS + glerro

N - 1 = k - 1 + N - k

k é o número de grupos, N é o número total de observações


Valor crítico:

errogF υυα ,,

Critério de decisão:

Rejeitar H0 se:

Não rejeitar H0 caso contrário


erro

Grupos

QM

QMF =

errogFF υυα ,,>


7

A distribuição F:


• Os dados provêm duma população normal

• As variâncias são homogéneas

Pressupostos da ANOVA:

No entanto, à semelhança do referido para o teste t, a análise de variância é bastante robusta, i.e. o seu desempenho não é profundamente afectado por desvios moderados dos pressupostos


8

Pressupostos da ANOVA:

As amostras provêm de populações normais com variância igual

Como verificar os pressupostos?

O que fazer caso não sejam cumpridos?


• Testes de normalidade- Teste de Kolmogorov-Smirnov Estatística D

- Teste D’Agostino-PearsonEstatística K2

- Teste de Shapiro-WilkEstatística W

• Avaliação gráfica

• Análise de resíduos

Avaliação dos pressupostos da ANOVA:


9

Avaliação dos pressupostos da ANOVA:Teste de Kolmogorov-Smirnov


Avaliação dos pressupostos da ANOVA:Teste de Kolmogorov-Smirnov


N

iYFD i

Ni−=

≤≤)(max

1

onde F é a distribuição teórica cumulativa da distribuição que está a ser testada.


10

Avaliação dos pressupostos da ANOVA:Teste de Shapiro-Wilk


∑

∑

=

=

−

=n

i

i

n

i

ii

xx

x

W

1

2

2

1

)(

)(

α

onde x(i) são os valores da amostra ordenados e α(i) são constantes obtidas a partir das médias, variâncias e covariâncias das estatísticas ordinais duma amostra de dimensão n duma população normal.


Avaliação dos pressupostos da ANOVA:Teste de D’Agostino-Pearson


11

onde Zg1 e Zg2 são obtidos do seguinte modo

Simetria Curtose


Avaliação dos pressupostos da ANOVA:Teste de D’Agostino-Pearson

Histogram: F N Lt cm

Shapiro-Wilk W=,94919, p=,03160

Expected Normal

18 20 22 24 26 28 30 32 34

X <= Category Boundary

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

No

. o

f o

bs.


Avaliação dos pressupostos da ANOVA:Normalidade

12

Box & Whisker Plot

Median

25%-75%

Min-Max F N Lt cm M N Lt cm

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36


Avaliação dos pressupostos da ANOVA:Normalidade

Histogram of Raw Residuals

Dependent variable: F N Lt cm

(Analysis sample)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

X <= Category Boundary

0

5

10

15

20

25

No. of obs.


Avaliação dos pressupostos da ANOVA:Análise de resíduos

13

P-Plot: F N Lt cm

18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

Observed Value

-3

-2

-1

0

1

2

3

Expecte

d N

orm

al V

alu

e

All Groups



• Teste de homocedasticidade- Teste de Hartley - Teste de Cochran - Teste de Bartlett

• Avaliação gráfica

• Análise de resíduos


Avaliação dos pressupostos da ANOVA:Homogeneidade de variâncias

14

Teste de Hartley

Teste de Cochran

2

min

2

maxmax

s

sF = 1,,max −> nkFF α

Rejeitar H0

se

∑=

2

2

max

is

sC 1,, −> nkCC α

Rejeitar H0

se



Teste de Bartlett

[ ]

−−

−−+

−−

−

−−

=

∑ ∑

∑∑∑∑

)1(

1

1

1

)1(3

11

)ln()1()1(

)1(ln)1(

2

2

2

ii

ii

i

ii

i

C

nnk

snn

snn

χ

2

1

2

−> kC χχRejeitar H0

se



15

Box & Whisker Plot

Mean

±SD

±1,96*SD F N Lt cm M N Lt cm

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36


Avaliação dos pressupostos da ANOVA:Avaliação gráfica

Predicted vs. Residual Scores

Dependent variable: F N Lt cm

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

Predicted Values

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

Re

sid

ua

ls

95% confidence



16

Avaliar se os pressupostos são cumpridos

Não Sim

Testes paramétricosTestes não paramétricos

Transformação dos dados

Não


Teste de Kruskal-Wallis: abordagem não-paramétrica


H0: as amostras provêm da mesma populaçãoH1: as amostras não provêm da mesma população

)1(3)1(

12

1

2

+−+

= ∑=

Nn

R

NNH

k

i i

i

Hipóteses:


17

Quando há empates deve ser utilizado um factor de correcção:

C

HHC =

A estatística de teste deve ser corrigida do seguinte modo:

NN

tC

−−=

∑3

1

onde

)(1

3∑∑=

−=m

i

ii ttt



Valor crítico: υαχ ,2


Rejeitar H0 se:


2

,

2

υαχχ >

C

HHC =Estatística de teste:

sendo gl=k-1 (k=número de grupos)



18

Quando a H0 é rejeitada numa hipótese envolvendo

3 ou mais amostras, não é sempre óbvio qual ou

quais das amostras diferem das outras.

Há, por isso, a necessidade de efectuar testes a

posteriori de comparações múltiplas

Procedimentos de teste a posteriori


ANOVA

Teste de Kruskal-Wallis Teste de Dunn

Teste de Tukey (tipo Tukey)Teste d eNewman-Keuls Teste de Scheffé

Testes a posteriori


19

Valor crítico: kq ,,υα


Rejeitar H0 se:


kqq ,,υα>

n

s

XXq AB

2

−=


Sendo gl=N-k (N=número total

de observações; k=número de grupos)

Teste de Tukey


Valor crítico: kQ ,α


kQQ ,α>

SE

RRQ AB −

=Estatística de teste:

sendo k=número de grupos

onde

+

−−

+=

∑BA nnN

tNNSE

11

)1(1212

)1(

Teste de Dunn

Rejeitar H0 se:



20

Teste t para amostras emparelhadas

1 amostra

Síntese

2 amostras

2 amostrasemparelhadas

Teste t

Teste Wilcoxon

P

NP

Teste t

Teste Mann-Whitney

P

NP

Teste Wilcoxon para amostras emparelhadas

P

NP

3 ou + amostras

ANOVA

Teste Kruskal-Wallis

P

NP


Documents

ANOVA