P bl d l t i lProblema del potencial

Antonio González FernándezDpto de Física Aplicada IIIDpto. de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

Definición y propiedades del equilibrio electrostáticoelectrostático

Es un estado en el que las cargas de los Es un estado en el que las cargas de los conductores se encuentran en reposoEllo implica queEllo implica que

El campo eléctrico es nulo en los conductoresLa superficie de cada uno es equipotencial

ez

La superficie de cada uno es equipotencialLa única carga es superficialEl campo eléctrico exterior es normal a cada

ález

Fer

nánd

e El campo eléctrico exterior es normal a cada superficieNo hay líneas de campo que vayan de un conductor a

nton

io G

onzá No hay líneas de campo que vayan de un conductor a sí mismo

© 2

008,

A

Ecuaciones del problema del potencialdel potencial

El cálculo del campo entre conductores se reduce a resolver la ecuación de Poisson en el espacio entre conductores

ρ

Sobre cada superficie conductora, Sk, el

2

0

ρ∇ φ = −

ε

ez

Sobre cada superficie conductora, Sk, el potencial tiene un valor constante, Vk

( )V Sφ

ález

Fer

nánd

e

En el infinito el potencial se anula

( )k kV Sφ = ∈r

nton

io G

onzá

p

( )0 rφ→ →∞

© 2

008,

A

Diferencias entre conductores a carga constante y a potencial constanteconstante y a potencial constante

Un conductor puede estar tener fijado su p jpotencial o su carga total, pero no ambas magnitudes a la vezgSi el conductor está aislado (no conectado a nada) tiene carga constante La carga se

ez

nada) tiene carga constante. La carga se redistribuye pero el total no cambia. El potencial puede variar

ález

Fer

nánd

e potencial puede variarUn conductor conectado a una fuente de tensión ideal mantiene constante su potencial

nton

io G

onzá tensión ideal mantiene constante su potencial.

La fuente añade o quita carga para que no varíe el potencial

© 2

008,

A el potencial

Ejemplo de conductoresa carga constantea carga constante

A un conductor circular con carga constante se acerca otro conductor descargado

La distribución de campo La distribución de campo cambia al introducir el segundo conductor

ez

g

En el conductor descargado entran y salen líneas de

Q2=0

ález

Fer

nánd

e entran y salen líneas de campo

� La densidad de carga

nton

io G

onzá

Q1>0

� La densidad de carga superficial σs no es nula, aunque sea nula la carga

© 2

008,

A total

Ejemplo de conductoresa carga constantea carga constanteEl potencial de cada conductor va cambiando:V di i l di i i d V tV1 disminuye al disminuir d;V2 aumenta.

ezál

ez F

erná

nde

nton

io G

onzá

© 2

008,

A

V1 como función de d V2 como función de d

Ejemplo de conductoresa potencial constantea potencial constante

A un conductor circular a potencial constante se acerca otro conductor puesto a tierra

La distribución de campo cambia de forma diferente al caso de

ez

cargas constantes

La carga del conductor V2=0

ález

Fer

nánd

e La carga del conductor 2 es siempre negativa.

nton

io G

onzá

V1>0Q2=0 no implica V2=0.

V 0 i li Q 0

© 2

008,

A V2=0 no implica Q2=0.

Ejemplo de conductoresa potencial constantea potencial constante

La carga de cada conductor va cambiando:Q1 aumenta, Q2 se hace más negativa al disminuir d.

ezál

ez F

erná

nde

nton

io G

onzá

© 2

008,

A

Q1 como función de d Q2 como función de d

Teorema de unicidad para el problema del potencialpotencial

El problema del potencial, cuando los El problema del potencial, cuando los diferentes conductores están a potencial constante o a carga constante, posee solución constante o a carga constante, posee solución única.Ello permite emplear diferentes métodos o

ez

Ello permite emplear diferentes métodos o hipótesis para resolverlo. Dada una posible solución sólo hay que

ález

Fer

nánd

e Dada una posible solución, sólo hay que verificar que se satisfacen la ecuación y las condiciones de contorno

nton

io G

onzá condiciones de contorno

© 2

008,

A

Ejemplo de una esfera conductora

Sea una esfera metálica a Sea una esfera metálica a potencial V0. No hay más carga ni más conductores en el sistema

ez

Debe resolverse la ecuación de Laplace

( )2 0 R∇ φ ( ) ( )0V Rφ φ

ález

Fer

nánd

e

Por la simetría del sistema, podemos suponer que

( )2 0 r R∇ φ = > ( ) ( )0 0V r R rφ = = φ→ →∞

nton

io G

onzá

( )r⇒ φ = φ0 0∂φ ∂φ

= =∂θ ∂ϕ

© 2

008,

A siendo r la distancia al centro de la esfera

Solución del potencial para una esfera conductora con V conocidoconductora, con V conocido

La ecuación de Laplace se d reduce a

22

1 d d0

d dr

φ⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Integrando dos veces

2 d dr r r⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

B

ez Imponiendo las condiciones de contorno queda

BA

rφ = +

ález

Fer

nánd

e Imponiendo las condiciones de contorno queda

0

0

( )

( )

V r R

V RR

<⎧⎪φ = ⎨⎪

0

( )

( )

r R

V RR

<⎧⎪= −∇φ = ⎨⎪

0E

nton

io G

onzá

0 ( )r Rr

>⎪⎩0

2( )r r R

r>⎪⎩

u

Resulta una V R Vε⎛ ⎞

© 2

008,

A distribución superficial uniforme de carga

[ ] 0 0 00 0 2

· ·s r r

V R V

R R

ε⎛ ⎞σ = ε = ε − =⎜ ⎟⎝ ⎠

n E u u 0

¿Cómo se calcula la carga almacenada en la esfera?la esfera?

Si V está fijado, no podemos l Q d conocer la carga Q de

antemanoUna vez resuelto el Una vez resuelto el problema del potencial sí podemos hallar Q...

ez

podemos hallar Q...1. Empleando la ley

de Gauss para una 3. Comparando su

comportamiento 2. Calculando la

densidad de

ález

Fer

nánd

e

superficie que envuelva la esfera

∫ V

para r >> R con el desarrollo m ltipolar

carga superficial e integrando

nton

io G

onzá

0

02

·d

d

SQ

V RS

= ε =

= ε =

∫

∫

E S 0 00 ·[ ]s

V

R

εσ = ε =n E

multipolar

∫

03

0 0

·

4 4

V R Q

r r r+

πε πεp r∼

© 2

008,

A 2

0 0

d

4

SS

rRV

ε

= πε

∫0d 4sQ S RV= σ = πε∫ 0 0

0 04Q RV⇒ = πε

¿Y si lo que se conoce es la carga de la esfera?esfera?

Por estar en equilibrio, su superficie es i t i lequipotencial

NO hay que suponer nada sobre la distribución de la carga en la superficiedistribución de la carga en la superficieHay que suponer un potencial V, que se determinará más tarde

ez

determinará más tarde

Supuesto el potencial, la solución es idéntica a la

Conocida la carga se halla el potencial

ález

Fer

nánd

e solución es idéntica a la anterior

( )V r R<⎧⎪

potencial

Q( )

4

Qr R

R⎧ <⎪ πε⎪

nton

io G

onzá

( )

( )

V r R

VRr R

r

<⎧⎪φ = ⎨

>⎪⎩04

QV

R=

πε0

0

4

( )4

R

Qr R

r

⎪ πε⎪φ = ⎨⎪ >⎪ πε⎩

© 2

008,

A

0 0· 4S

Q d RV= ε = πε∫ E S04 r⎪ πε⎩

Comentarios sobre el caso de un solo conductor esféricoconductor esférico

Para un solo conductor esférico resulta una distribución de carga uniforme

Esto NO ocurre si hay más conductores o más cargas en el sistema

Podemos comparar el caso de conductor

ez

esférico con carga Q y una esfera cargada en volumen con la misma carga

ález

Fer

nánd

e

En el primer caso no hay campo en el interior. El volumen es equipotencial

nton

io G

onzá En el segundo caso el volumen no es equipotencial y hay campo en el interior

© 2

008,

A

Comparación de equipotenciales para una esfera cargada y un conductor cargadoesfera cargada y un conductor cargado

Las figuras

ez

Las figuras representan el

potencial sobre un semiplano φ cte

ález

Fer

nánd

e semiplano φ = cte.

nton

io G

onzá

© 2

008,

A

Esfera cargada en volumen Esfera conductora cargada

Comparación del campo eléctrico para una esfera cargada y un conductor cargadoesfera cargada y un conductor cargado

ezál

ez F

erná

nde

nton

io G

onzá

© 2

008,

A

Esfera cargada en volumen Esfera conductora cargada

Comparación de dos esferas conductoras con dos esferas cargadas en volumencon dos esferas cargadas en volumen

Las diferencias entre volúmenes conductores y no d t á id t l d t conductores son más evidentes en el caso de que tengamos

dos esferas a una cierta distancia, tanto si tienen cargas del mismo signo como si son de signo opuestomismo signo como si son de signo opuesto

ezál

ez F

erná

nde

nton

io G

onzá

© 2

008,

A

Conductoras Cargadas en volumen

Efecto punta: incremento del campo en las puntas de los conductoreslas puntas de los conductores

Cuando se tiene un conductor cuya curvatura varía de t t l d id d d ti d un punto a otro, la densidad de carga tiende a ser

mayor donde es mayor la curvaturaEsta concentración del campo eléctrico es el principio Esta concentración del campo eléctrico es el principio del pararrayos:

Mayor densidad de carga implica mayor campo en la zona

ez

Mayor densidad de carga implica mayor campo en la zona próximaSi el campo es lo bastante intenso puede ionizar el aire de l d d

ález

Fer

nánd

e alrededorUn medio ionizado conduce mejor la corriente eléctricaCuando cae el rayo sigue el camino de menor resistencia,

nton

io G

onzá

Cuando cae el rayo sigue el camino de menor resistencia, impactando en el pararrayosEsta corriente es luego desviada a tierra por un cable de cone ión

© 2

008,

A conexión

Ejemplo: potencial en dos esferas de distinto radio conectadas por un hilodistinto radio conectadas por un hilo

Si está alejadas y R1 > R2j y 1 2

1 0 1 01 2

2 0 2 0

4

4

Q RVQ Q

Q R V

πε ⎫>⎬πε ⎭

La densidad es mayor en la esfera pequeña

ez

0 011 2

1 14

VQ

R R

ε ⎫σ = = ⎪π ⎪⎬

esfera pequeña

ález

Fer

nánd

e 1 11 2

0 022 2

2 24

VQ

R R

⎪ σ < σ⎬ε ⎪σ = =⎪π ⎭

nton

io G

onzá

El campo es más intenso cerca d l f ñ 1 2E E

σ σ

© 2

008,

A de la esfera pequeña (equipotenciales más próximas)

1 21 2

0 0

E E= < =ε ε

Ejemplo de un pararrayos en barra y de una zanjauna zanja

El mismo principio se puede aplicar a una barra cilíndrica o a un hueco, aunque se necesite la solución numérica

ezál

ez F

erná

nde

En el caso de una barra el En el caso de un hueco o

nton

io G

onzá

campo se concentra en su extremo superior y a los

zanja, prácticamente no hay campo en el interior (lugar

á

© 2

008,

A lados de la barra más seguro)

Apantallamiento y jaulas de Faraday

Cuando tenemos un conductor con un hueco y el yconductor está a potencial constante, se dice que tenemos una Jaula de Faraday

Dado que el potencial queda determinado por su valor en la frontera

ez

su valor en la frontera de una región y la densidad de carga

ρ1

Vρ2

ález

Fer

nánd

e densidad de carga dentro, el potencial en el hueco no depende de

Del mismo modo el

nton

io G

onzá qué hay fueraDel mismo modo, el

potencial fuera no depende de qué hay Los dos problemas están

© 2

008,

A

depende de qué hay dentro del hueco desacoplados

Conductor con densidades de carga interior: equipotenciales y campointerior: equipotenciales y campo

ez Si la carga exterior es nula el único campo es el

ález

Fer

nánd

e Si la carga exterior es nula, el único campo es el interior al hueco. Todas las líneas de campo van a parar a la superficie interior del conductor.

nton

io G

onzá

a la superficie interior del conductor. Dado que el campo en el material conductor es nulo, en la superficie del hueco hay la misma carga que en su

© 2

008,

A

p y g qinterior, pero de signo contrario.

Conductor con densidades de carga exterior: equipotenciales y campoexterior: equipotenciales y campo

ezál

ez F

erná

nde

nton

io G

onzá

Si la carga es exterior, no hay campo en el hueco

© 2

008,

A El potencial en el hueco es nulo si el conductor está a tierra

Conductor hueco a potencial fijado

Incluso cuando el conductor no está a tierra, sino a potencial fij d l fijado, el campo en un hueco vacío es nulo

ez

Todos los puntos del

ález

Fer

nánd

e

hueco se encuentran al mismo potencial que el conductor

nton

io G

onzá conductor

© 2

008,

A

Conductor hueco con carga exterior e interiorinterior

Cuando hay carga a ambos y glados la solución es la superposición de soluciones i d diindependientes

ezál

ez F

erná

nde

nton

io G

onzá

© 2

008,

A

El problema del potencial y el principio de superposiciónsuperposición

En un sistema de conductores, la introducción de un conductor adicional (incluso descargado) modifica el campo conductor adicional (incluso descargado) modifica el campo de los conductores previos

ezál

ez F

erná

nde

nton

io G

onzá

© 2

008,

A El campo total NO es la suma de los que crean cada conductor por separado, como si no estuvieran los demás

¿Puede aplicarse algún tipo de superposición al problema del potencial?superposición al problema del potencial?

La solución del problema del potencial sí puede escribirse como suma de solucionesEl problema general consiste en resolver

2

0

ρ∇ φ = −

ε

ez

suponiendo φ = Vk en cada superficie conductora Sk

La solución es una combinación lineal de soluciones base

ález

Fer

nánd

e

donde0 k k

k

Vφ = φ + φ∑

nton

io G

onzá

( )20

0

ρ∇ φ = − ∈τ

εr ( )

( ) ( )2 0k∇ φ = ∈τr

© 2

008,

A ( )0 0 jSφ = ∈r ( ) ( )1 0 ,k k k jS S j kφ = ∈ φ = ∈ ≠r r

Ejemplo de superposición: Cuatro conductores y una cargaconductores y una carga.

Para ilustrar el significado de la superposición de soluciones veremos soluciones, veremos el ejemplo de cuatro conductores y una 2

3

ez

conductores y una distribución uniforme de carga de forma

1

2

ález

Fer

nánd

e

irregular.

4

ρ

nton

io G

onzá

© 2

008,

A

El término independiente: la función φ0

La función φ0 verifica

( )20

0

ρ∇ φ = − ∈τ

εr

( )( )

0

0

0

0

kS

r

φ = ∈

φ → →∞

r

2

3

ez

Esta es la distribución de potencial que habría

( )0φ1

2

ρ

ález

Fer

nánd

e

si estuviera la carga frente a todos los conductores puestos a

4ρ

nton

io G

onzá conductores puestos a

tierra, no la que habría si estuviera la carga y

© 2

008,

A

s estuv e a la ca ga y no los conductores.

Funciones base: la función φ1

La función φ1 verifica

( )2 0φ ( )( )

21

1 1

0

1 S

∇ φ = ∈τ

φ = ∈⎧⎪

r

r

( )( )

1 0 , 1

0

kS k

r

⎪φ = ∈ ≠⎨⎪φ → →∞⎩

r2

3

ez

Ésta es la distribución de t i l h b í i

( )1 0 rφ → →∞⎩1

ález

Fer

nánd

e potencial que habría si no hubiera carga, el conductor 1 estuviera a

4

nton

io G

onzá conductor 1 estuviera a

potencial unidad, y el resto a tierra

© 2

008,

A

Por estar en una jaula de Faraday, sólo hay campo en el hueco

Funciones base: las funciones φ2, φ3 y φ4ez

ález

Fer

nánd

e

D l i d d i l f i b

φ2 φ3φ4

nton

io G

onzá Del mismo modo se pueden construir las funciones base

φ2, φ3 y φ4.Cada una de ellas es el potencial que habría si uno de los

© 2

008,

A Cada una de ellas es el potencial que habría si uno de los conductores estuviera a potencial y el resto a tierra.

Combinación lineal de funciones base. Ejemplo numéricoEjemplo numérico

Supongamos el caso p gparticular

ρ = 0

V1=10 V

V2 = –3V

Queremos hallar el potencial

V3 = 2 V

V4 = – 2V•P

ez

Queremos hallar el potencial en el punto P

C bi d l f i b

ález

Fer

nánd

e

El valor calculado

Combinando las funciones base0 0.0000V

0 0000

φ =

φ =

0.0000V

10 0 0000V+ × La ventaja es que

nton

io G

onzá

numéricamente es

( ) 1.8123VPφ = −

1

2

3

0.0000

0.5927

0.2157

φ =φ =φ =

10 0.0000V

3 0.5927 V

2 0.2157V

+ ×− ×+ ×

si cambiamos los Vk no hay que recalcular los φk

© 2

008,

A

( ) 1.8123VPφ4 0.1866φ = 2 0.1866V

1.8363V

− ×recalcular los φk

Un ejemplo analítico del problema del potencial: esferas concéntricaspotencial: esferas concéntricas

Dos esferas: una maciza de di fi t d radio a y una fina corteza de

radio b (b>a)Entre ellas y fuera se cumple Entre ellas y fuera se cumple la ecuación de Laplace

2 0∇ φ

ez

Con las condiciones de contorno

0∇ φ =

ález

Fer

nánd

e contornoEl problema se separa en dos:( ) ( )

( )1 2r a V r b Vφ = = φ = =

φ

nton

io G

onzá

La corteza funciona como

Uno entre r = a y r = b

Otro para r > b

Para r < a la solución

( ) 0rφ →∞ →

© 2

008,

A La corteza funciona como Jaula de Faraday

Para r < a la solución es trivial, φ = V1

Dos esferas concéntricas: solución del problema exteriorproblema exterior

Para r > b tenemos la ió d L lecuación de Laplace

C l di i

2 0∇ φ =Con las condiciones

( ) ( )2 0r b V rφ = = φ → ∞ →

ez

É l i bl i

ález

Fer

nánd

e

Éste es exactamente el mismo problema que si tenemos una sola esfera de radio b puesta a potencial V2

La solución exterior es

nton

io G

onzá La solución exterior es

( )2V br bφ = >

Esta solución no nos dice nada de qué ocurre entre las

© 2

008,

A

( )br

φ nada de qué ocurre entre las dos esferas

Dos esferas concéntricas: solución del problema interiorproblema interior

Para a < r < b tenemos la ió d L lecuación de Laplace

C l di i

2 0∇ φ =Con las condiciones

( ) ( )1 2r a V r b Vφ = = φ = =

ez

Suponemos simetría de revolución φ = φ(r)

ález

Fer

nánd

e de revolución, φ φ(r)

La solución es de la forma

Imponiendo las c.c.

BV A= +

BV A= +

nton

io G

onzá

formaB

Ar

φ = + La solución interior es

1V Aa

= + 2V Ab

= +

( )ab V VbV V

© 2

008,

A

r ( )( )

1 22 1ab V VbV aV

b a b a r

−−φ = +

− −

Dos esferas concéntricas: solución completacompleta

Combinando los resultados⎧

( )

( )1V r a

ab V VbV aV

⎧⎪ <⎪⎪ −⎪ ( )

( ) ( )

( )

1 22 1

2

ab V VbV aVa r b

b a b a r

V bb

⎪ −−⎪φ = + < <⎨ − −⎪⎪⎪

ez

( )2V br b

r⎪ >⎪⎩

Esta solución se puede escribir como c l V Vφ = φ + φ

ález

Fer

nánd

e Esta solución se puede escribir como c.l. 1 1 2 2V Vφ = φ + φ

( )1 r a⎧ <⎪

( )0 r a⎧⎪ <⎪

nton

io G

onzá

( )1

1 1aba r b

b a r b

⎪⎪ ⎛ ⎞φ = − < <⎨ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎪⎪

( )2

1 1aba r b

b a a r

⎪⎪⎪ ⎛ ⎞φ = − < <⎨ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎪⎪

© 2

008,

A ( )0 r b⎪ >⎩ ( )b

r br

⎪⎪ >⎪⎩

Cálculo de las funciones base por separado Función φ1separado. Función φ1

Si V1 = V0, V2=0

Entre ellas y fuera se cumple la ecuación de Laplace, con las c clas c.c.

( ) ( )( )

1 0 1 0

0

r a V r bφ = = φ = =

φ

ez En el exterior, el potencial es

( )1 0rφ → ∞ →Imponiendo las c.c.

B B

ález

Fer

nánd

e , pnulo.

( )1 0 r bφ = >Resulta

0 0B B

V A Aa b

= + = +

nton

io G

onzá

En el interior es de la forma

( )BA bφ + < <

( )Resulta

( )01

1 1V aba r b⎛ ⎞φ = − < <⎜ ⎟

© 2

008,

A ( )1 A a r br

φ = + < < ( )1 a r bb a r b

φ < <⎜ ⎟− ⎝ ⎠

Cálculo de las funciones base por separado Función φ2separado. Función φ2

Si V1 = 0, V2=V0, entre ellas y f l l ió fuera se cumple la ecuación de Laplace, con las c.c.( ) ( )0r a r b Vφ = = φ = =( ) ( )( )

2 2 0

2

0

0

r a r b V

r

φ = = φ = =

φ → ∞ →

ez

En el exterior, es como el de una sola esfera. Imponiendo las c.c.

ález

Fer

nánd

e

( )02

V br b

rφ = > 00

B BA V A

a b= + = +

nton

io G

onzá

Entre las dos, es de la forma

( )BA a r bφ = + < <

Resulta

( )0 1 1V aba r b⎛ ⎞φ = < <⎜ ⎟

© 2

008,

A ( )2 A a r br

φ = + < < ( )2 a r bb a a r

φ = − < <⎜ ⎟− ⎝ ⎠

Apéndice: Listado de algunos programas

Todas las gráficas de esta presentación han sido obtenidas con FlexPDE 5, un programa para la solución de ecuaciones diferenciales por el método de elementos finitos (www.pdesolutions.com).

ez

A continuación se incluyen algunos de los listados, que puede ser de interés para los que

ález

Fer

nánd

e , q p p qvayan a usar este programa.

nton

io G

onzá

© 2

008,

A

Una esfera conductora

TITLE 'Una esfera conductora 'COORDINATESYcylinder {Hace que sea un sistema de

FEATURE 2 {La superficie de la esfera cargada}start "Esfera"(0,a)y { q

revolucion}SELECT {Fija la precision}errlim=1e-5

VARIABLESphi {Potencial electrico}

DEFINITIONS {Parametros}

( , )arc(center=0,0) to (a,0) to (0,-a)

PLOTS grid(r,z) zoom(-2*a,-2*a,4*a,4*a)contour(phi) zoom(-2*a,-2*a,4*a,4*a) as "Equipotenciales"DEFINITIONS {Parametros}

Rext=10 {Radio de la esfera exterior}a=1 {Radio de la esfera conductora}V=1 {Voltaje de la esfera}Q = Sintegral(normal(grad(phi)),"Esfera")

{Carga de la esfera}EQUATIONS

Equipotencialesreport(V) {Informa del potencial y de la carga}report(Q)vector(-grad(phi)) zoom(-2*a,-2*a,4*a,4*a) as "Campo electrico"report(V) {Informa del potencial y de la

ez

EQUATIONSphi: div(grad(phi))=0 {Ecuacion de Laplace}

BOUNDARIES {Frontera}REGION 1 {Todo el contorno}START(0,-Rext) {Abajo del todo}value(phi)=0 {El potencial se anula en el "i fi i "}

report(V) {Informa del potencial y de la carga}report(Q)

END

ález

Fer

nánd

e "infinito"}arc(center=0,0) to (Rext,0) to (0,Rext)natural(phi)=0 {El eje es una linea de campo}line to (0,a)value(phi)=V {Voltaje de la esfera}arc(center=0,0) to (a,0) to (0,-a)

nton

io G

onzá natural(phi)=0 {El eje es una linea de campo}

line to close

© 2

008,

A

Una esfera cargada

TITLE 'Una esfera cargada '

COORDINATES

li d { i

region 2 {La esfera cargada}rho=rho1 {Lo que vale la densidad en la esfera}

Ycylinder {Hace que sea un sistema con simetria de revolucion}

SELECT {Criterio para fijar la precision}

errlim=1e-4

VARIABLES

start(0,-a)arc(center=0,0) to (a,0) to (0,a)line to close

PLOTS {Graficas}grid(r z) zoom(-2*a -2*a 4*a 4*a) {Malla}

phi {Potencial electrico}

DEFINITIONS {Parametros}

Rext=10 {Radio de la circunferencia exterior}

a=1 {Radio de la esfera}

grid(r,z) zoom( 2 a, 2 a,4 a,4 a) {Malla}contour(phi) zoom(-2*a,-2*a,4*a,4*a) as "Equipotenciales"vector(-grad(phi)) zoom(-2*a,-2*a,4*a,4*a) as "Campo electrico"elevation(phi,-Dr(phi)) from (0,0) to (3*a,0) {Variacion del potencial y el campo con r}

ez

rho=0 {Densidad de carga en general}

rho1=1 {Densidad de carga en la esfera}

EQUATIONS

div(grad(phi))=-rho {Ecuacion de Poisson en unidades adecuadas}

{ p y p }END

ález

Fer

nánd

e

BOUNDARIES {Frontera}

REGION 1 {El dominio completo}

START(0,-Rext) {Comenzamos abajo del todo}

value(phi)=0 {En el "infinito" el potencial es cero}

nton

io G

onzá

es cero}

arc(center=0,0) to (Rext,0) to (0,Rext) {Circunferencia exterior}

natural(phi)=0 {Esto implica que el eje Z es una linea de campo}

line to close

© 2

008,

A

Cuatro conductores y una distribución de carga (I)(I)

TITLE '4 Conductores ' BOUNDARIESREGION 1START "Exterior" (Rext,0) {Circunferencia

SELECT

errlim=1e-5 {Precisión}

VARIABLES

u {Potencial eléctrico}

( , ) {del infinito}value(u)=0 {El potencial se anula en el infinito}arc(center=0,0) to (0,Rext) to (-Rext,0) to (0,-Rext) to close

DEFINITIONS

{Fuentes}

rho1=0 {Densidad de carga uniforme en la mancha}

start "Conductor 3" (1,1) {Triángulo}value(u)=V3 {Potencial igual a V3}line to (2, 2.6) to(3,1) to close

start "Conductor 4" (2,-1) {Círculo

ez

rho=0

V1=0 {Potencial del círculo interior}

V2=-3 {Cuadrado}

V3=2 {Triángulo}

V4=-2 {Círculo exterior}

( , ) {exterior}value(u)=V4arc (center=2,-2) to (3,-2) to (2,-3) to (1,-2) to finish

start "Conductor 2 ext" (-1,-3) {Borde de

ález

Fer

nánd

e V4=-2 {Círculo exterior}

{Dimensiones}

Rext=15 {distancia al "infinito}

xc=.3 {Centro de la esfera interior}

yc=.3

,fuera del cuadrado}value(u)=V2line to (-7,-3) to (-7,3) to (-1,3) to close

start "Conductor 2 int" (-2,2) {Borde de dentro}

nton

io G

onzá xr=0 {Posición de la carga}

yr=-2

phi = VAL(u,0,0)

EQUATIONS

value(u)=V2line to (-6,2) to (-6,-2) to (-2,-2) to close

© 2

008,

A div(grad(u))=-rho {Ecuación de Poisson con eps0=1}

Cuatro conductores y una distribución de carga (II)(II)

start "Conductor 1" (-3+xc,0+yc) {Círculo interio}value(u)=V1

contour(u) zoom(-8.5,-6,12,12) painted {Curvas de potencial rellenas}report(V1) as "V1" {Valores

arc(center=-4+xc,0+yc) to (-4+xc,-1+yc)to (-5+xc,yc) to (-4+xc,1+yc) to close

Region 2 {Región cargada}rho=rho1 {Densidad uniforme de carga}

de los potenciales}report(V2) as "V2"report(V3) as "V3"report(V4) as "V4"report(rho1) as "rho"

vector(-grad(u)) zoom(-8.5,-6,12,12) {Campo g }start "Carga" (xr,-0.5+yr)arc(center = xr,yr) to (0.5+xr,+yr) to (0+xr,0.5+yr)line to (xr-0.5,yr+0.5) to (xr-0.5,yr-0.5) to close

( g ( )) ( , , , ) { peléctrico}report(sintegral(normal(grad(u)), "Conductor 1")) as "Q1" {Cargas en cada conductor}report(sintegral(normal(grad(u)), "Conductor 2 ext")+sintegral(normal(grad(u)), "Conductor 2 int")) as "Q2"

( i l( l( d( )) d

ez

PLOTS { save result displays }grid(x,y) zoom(-8.5,-6,12,12) {Malla, con los conductores}

contour(u) zoom(-8.5,-6,12,12) {Curvas de potencial}report(V1) as "V1" {Valores

report(sintegral(normal(grad(u)), "Conductor 3")) as "Q3"report(sintegral(normal(grad(u)), "Conductor 4")) as "Q4"

END

ález

Fer

nánd

e pde los potenciales}report(V2) as "V2"report(V3) as "V3"report(V4) as "V4"report(rho1) as "rho"report(phi) as "phi"

nton

io G

onzá

report(phi) as phi

© 2

008,

A

Sevilla diciembre de 2008Sevilla, diciembre de 2008