Teoría del Potencial

Bernardo de la Calle Ysern

Escuela Técnica Superior de Ingenieros IndustrialesUniversidad Politécnica de Madrid

Esquema de la lección

1. Nociones básicas

2. Polinomios extremales

3. Convergencia en capacidad

4. Filas de los aproximantes de Padé

5. Conclusión

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Nociones básicas

Potencial logarítmico

• Sea µ medida soportada en un compacto K del planocomplejo. Se define el potencial logarítmico de µ como

P(z;µ) =∫Klog 1

|z− ζ|dµ(ζ).

• Si µ es la medida contadora de ceros de un polinomiomónico p, se tiene

P(z;µ) = − log n√|p(z)|

• El potencial logarítmico se comporta bien con respecto a laconvergencia débil estrella de medidas.

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Potencial logarítmico

Principio del descensoSi todas las medidas µn están soportadas en un compactofijo F y µn ∗−→ µ cuando n→ ∞, entonces

• lím infn→∞

P(z;µn) ≥ P(z;µ), z ∈ C.

• límn→∞

P(z;µn) = P(z;µ), unifom. en compactos de C \ F.

• Si µn son las medidas contadoras de ceros normalizadas delos polinomios mónicos pn se cumple

límn→∞

n√|pn(z)| = e−P(z;µ),

uniformemente en compactos de C \ F.

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Potencial logarítmico

Principio del descensoSi todas las medidas µn están soportadas en un compactofijo F y µn ∗−→ µ cuando n→ ∞, entonces

• lím infn→∞

P(z;µn) ≥ P(z;µ), z ∈ C.

• límn→∞

P(z;µn) = P(z;µ), unifom. en compactos de C \ F.

El potencial logarítmico relaciona la distribución límite de losceros con la convergencia de la raíz n-ésima de los polinomios

I Escuela Orthonet

Potencial logarítmico

Principio del descensoSi todas las medidas µn están soportadas en un compactofijo F y µn ∗−→ µ cuando n→ ∞, entonces

• lím infn→∞

P(z;µn) ≥ P(z;µ), z ∈ C.

• límn→∞

P(z;µn) = P(z;µ), unifom. en compactos de C \ F.

Principio del máximoSi la medida µ está soportada en el compacto K y se cumpleP(z;µ) ≤ M para todo z ∈ K, entonces P(z;µ) ≤ M para todoz ∈ C.

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Energía mínima

• La energía de una medida µ soportada en K es el valor

E(µ) =∫KP(z;µ)dσ(z).

• La energía mínima sobre K es

EK = ínf E(µ) : µ con soporte en K, ∥µ∥ = 1

El valor EK proporciona información importante sobre K

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Energía mínima

• La energía de una medida µ soportada en K es el valor

E(µ) =∫KP(z;µ)dσ(z).

• La energía mínima sobre K es

EK = ínf E(µ) : µ con soporte en K, ∥µ∥ = 1

• Se llama capacidad logarítmica de K al valor

cap(K) = e−EK ⇐⇒ − log cap(K) = EK

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Capacidad logarítmica

• No es una medida: cap(K1 ∪K2) = cap(K1) + cap(K2), pero

K1 ⊂ K2 =⇒ cap(K1) ≤ cap(K2).

• Todo conjunto de capacidad cero tiene medida de Lebesgueplanar cero.

Da información sobre el tamaño de K

• Si K es un disco de radio r, cap(K) = r.

• Si K es un intervalo de longitud h, cap(K) = h/4.

• Se cumple (K debe ser conexo para la primera desigualdad)

diam(K)4 ≤ cap(K) ≤ diam(K)

2I Escuela Orthonet

Capacidad logarítmica

• No es una medida: cap(K1 ∪K2) = cap(K1) + cap(K2), pero

K1 ⊂ K2 =⇒ cap(K1) ≤ cap(K2).

• Todo conjunto de capacidad cero tiene medida de Lebesgueplanar cero.

Da información sobre el tamaño de K

• cap ([−n− 1,−n] ∪ [n,n+ 1]) =√2n+ 14 .

• Se cumple (K debe ser conexo para la primera desigualdad)

diam(K)4 ≤ cap(K) ≤ diam(K)

2I Escuela Orthonet

Capacidad logarítmica

TeoremaSea K compacto contenido en un dominio G. Toda funciónacotada en G y armónica en G \ K admite extensión armónicaa todo G si y solo si cap(K) = 0.

• Teoremas relativos a funciones armónicas siguen siendociertos si las hipótesis se cumplen salvo un conjunto decapacidad nula. (Notación: q.t.p.)

Las funciones armónicas “no ven” o no se ven afectadaspor conjuntos de capacidad nula

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Medida de equilibrio

Teorema de FrostmanSi cap(K) > 0, entonces existe una única medida de energíamínima µK que está caracterizada por la propiedad

P(z;µK)

≤ EK, z ∈ K,

= EK, q.t.p. de K.

• A la medida µK se le llama medida de equilibrio delcompacto K. Está soportada en la frontera exterior de K.

• El compacto K se llama regular si la igualdad es cierta paratodo punto de K.

TeoremaSea µ una medida de probabilidad soportada en K tal que

P(z;µ)

≤ C, z ∈ K,

= C q.t.p. de K.

Entonces µ = µK y C = EK (= − log cap(K)).

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Medida de equilibrio

TeoremaSea µ una medida de probabilidad soportada en K tal que

P(z;µ)

≤ C, z ∈ K,

= C q.t.p. de K.

Entonces µ = µK y C = EK (= − log cap(K)).

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Medida de equilibrio

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Medida de equilibrio

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Propagación de la convergencia

• La medida de equilibrio cumple

ρ(z) := e−P(z;µK)

≥ cap(K), z ∈ K,

= cap(K), q.t.p. de K.

Lema de Bernstein-WalshSea Pn(z) = zn + · · · y K compacto de C. Entonces

|Pn(z)| ≤ ∥Pn∥K(

ρ(z)cap(K)

)n, z ∈ C.

(Se deduce del principio del máximo para funciones subarmónicas)

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Propagación de la convergencia

• Si una sucesión de polinomios converge con velocidadgeométrica en una región, entonces converge en una regiónmayor.

• Sea dn = mín ∥f− p∥K : degp ≤ n

TeoremaSea K compacto regular simplemente conexo y f una funcióncontinua en K tal que

lím supn→∞

n√dn = θ < 1.

Entonces f es analítica en z ∈ C : ρ(z) < cap(K)/θ

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Propagación de la convergencia

La tasa de convergencia geométrica de la mejoraproximación determina la región de analiticidad

TeoremaSea K compacto regular simplemente conexo y f una funcióncontinua en K tal que

lím supn→∞

n√dn = θ < 1.

Entonces f es analítica en z ∈ C : ρ(z) < cap(K)/θ

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Polinomios extremales

Lemniscatas

• Dados Pn(z) = zn + · · · y r > 0 entonces

L = z ∈ C : |Pn(z)| ≤ r

es una lemniscata generalizada.

cap(L) = n√r

• Si K es un compacto arbitrario, obviamente se cumple

K ⊂ z ∈ C : |Pn(z)| ≤ ∥Pn∥K

cap(K) ≤ ∥Pn∥1/nK

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Extremalidad

• Con más generalidad, para cualquier medida deprobabilidad µ se cumple

mínz∈K

P(z;µ) ≤ EK ⇐⇒ máxz∈K

e−P(z;µ)

≥ cap(K).

cap(K) ≤ ∥Pn∥1/nK

• Se dice que una sucesión Pn de polinomios mónicos esasintóticamente extremal sobre el compacto K si cumple

límn→∞

∥Pn∥1/nK = cap(K).

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Extremalidad

• Si una sucesión de polinomios asintóticamente extremalestiene sus ceros uniformemente acotados, entonces es posiblededucir comportamiento asintótico.

Teorema (también se deduce del principio del máximo)

Supongamos que la sucesión de polinomios Pn,asintóticamente extremales sobre K, tiene todos sus cerosen el compacto F. Entonces

límn→∞

n√|Pn(z)| = e−P(z;µK),

uniformemente en subconjuntos compactos de Ω \ F, dondeΩ es la componente conexa no acotada de C \ K.

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Extremalidad

Las medidas contadoras de polinomios asintóticamenteextremales se comportan como la distribución de equilibrio

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Extremalidad

Las medidas contadoras de polinomios asintóticamenteextremales se comportan como la distribución de equilibrio

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Diámetro transfinito

• El diámetro n-ésimo de K es el valor

δn(K) = máxa1,...,an∈K

∏j,k:j<k

|aj − ak|2

n(n−1)

• Los puntos de una n-upla en la que se alcanza el valor δn(K)se llaman puntos de Fekete del compacto K (siempre existen).

• Tienden a adoptar la posición más alejada posible unos deotros y se colocan en la frontera exterior de K.

• Los polinomios mónicos Fn cuyos ceros son los puntos deuna n-upla de Fekete se llaman polinomios de Fekete delcompacto K.

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Diámetro transfinito

Teorema de Fekete-Szegő

límn→∞

δn(K) = cap(K).

• Como ∥Fn∥1/nK ≤ δn(K), los polinomios de Fekete sonasintóticamente extremales.

TeoremaSi Fn es la medida contadora de ceros normalizada de Fn,polinomio de Fekete en K, n ∈ N, entonces

Fn∗−→ µK.

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Distribución límite de ceros

• No siempre las medidas contadoras de ceros de polinomiosextremales tienden a la distribución de equilibrio:

cap(T) = 1, Pn(z) = zn =⇒ ∥Pn∥T = 1.

Teorema de Blatt-Saff-SimkaniSea K un compacto regular y simplemente conexo y Pnuna sucesión de polinomios asintóticamente extremales enK con medidas contadoras µn. Si en cada compacto delinterior de K sólo hay o(n) ceros de Pn, entonces

µn∗−→ µK.

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Distribución límite de ceros

• La hipótesis se cumple si los polinomios asintóticamenteextremales convergen en el interior de K.

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Distribución límite de ceros

• La hipótesis se cumple si los polinomios asintóticamenteextremales convergen en el interior de K.

Teorema de Jentzsch-SzegőDada una serie de potencias con radio de convergenciafinito y positivo, existe una subsucesión de las medidascontadoras de los polinomios de Taylor cuya distribuciónlímite es la medida de equilibrio en la frontera del disco deconvergencia.

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Distribución límite de ceros

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Distribución límite de ceros

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Polinomios ortogonales

• Sea µ medida de Borel positiva con soporte compactoΣ ⊂ C formado por un número infinito de puntos.

• Sea qn(z) = γn zn + · · · el n-ésimo polinomio ortonormal. Esdecir ∫

Σqn(z)qm(z)dµ(z) = δnm, n,m = 0, 1, . . .

• Recordemos que el correspondiente polinomio ortogonalmónico qn = qn/γn satisface

mínp(z)=zn+···

∥p∥L2(µ) =1γn

= ∥qn∥L2(µ)(Informa sobrela densidad de μ)

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Medidas regulares

• Se cumple

lím supn→∞

∥qn∥1/nL2(µ) ≤ cap(Σ) ≤ lím infn→∞

∥qn∥1/nΣ (∗)

• Se dice que la medida µ es regular (µ ∈ Reg) si

límn→∞

∥qn∥1/nL2(µ) = cap(Σ) ⇐⇒ límn→∞

n√γn =1

cap(Σ) .

• Si µ es regular las desigualdades en (∗) son igualdades y lospolinomios ortogonales son asintóticamente extremales.

(Si Σ no es regular se trabaja con el supremo esencial sobre Σ:supremo salvo en un conjunto de capacidad nula.)

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Relaciones asintóticas

TeoremaSi µ ∈ Reg se tiene

límn→∞

n√|qn(z)| =

e−P(z;µΣ)

cap(Σ) ,

uniformemente en subconjuntos compactos de C \ Co(Σ).

• Cuando Σ es simplemente conexo y, por tanto, D = C \ Σ esun dominio, los polinomios ortogonales permiten construir sufunción de Green, ya que

e−P(z;µΣ)

cap(Σ) = egD(z;∞).

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Relaciones asintóticas

TeoremaSi µ ∈ Reg se tiene

límn→∞

n√|qn(z)| =

e−P(z;µΣ)

cap(Σ) ,

uniformemente en subconjuntos compactos de C \ Co(Σ).

TeoremaSi µ ∈ Reg y Σ es un compacto simplemente conexo, coninterior vacío y de capacidad positiva, se tiene

µqn∗−→ µΣ.

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Convergencia en capacidad

Definición

• Se dice que la sucesión de funciones fn converge encapacidad a la función f en compactos del dominio D si

∀ ϵ > 0, ∀K ⊂ D límn→∞

capz ∈ K : |f(z)− fn(z)| > ϵ = 0.

Notación: fn C−→ f en D ¡Como convergenciaen medida!

Es la convergencia natural de los aproximantes de Padéy permite entender su comportamiento global

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Resultados

Lema de Gonchar (1975)

Supongamos que fn C−→ f en el dominio D.

1. Si las fn son analíticas en D, entonces convergenuniformemente a f en compactos de D.

2. Si las fn tienen ≤ k polos en D y f tiene exactamente kpolos en D, entonces las fn convergen a f uniformementeen compactos de D \ Polos de f.

• En el caso 2. los polos de f atraen los polos de las funcionesfn (según su multiplicidad).

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Resultados

Lema de Gonchar (1975)

Supongamos que fn C−→ f en el dominio D.

1. Si las fn son analíticas en D, entonces convergenuniformemente a f en compactos de D.

2. Si las fn tienen ≤ k polos en D y f tiene exactamente kpolos en D, entonces las fn convergen a f uniformementeen compactos de D \ Polos de f.

Convergencia en capacidad + control sobre los polosimplica convergencia uniforme

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Resultados

Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973)Sea K un conjunto compacto con cap(K) = 0 y sea f analíticaen C \ K. Entonces,

πn,nC−→ f en C.

• En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap(K) = 0 esnecesaria.

La convergencia en capacidad es compatiblecon la divergencia puntual

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Resultados

Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973)Sea K un conjunto compacto con cap(K) = 0 y sea f analíticaen C \ K. Entonces,

πn,nC−→ f en C.

• En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap(K) = 0 esnecesaria.

¿Qué se puede decir cuando f tienepuntos de ramificación?

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Resultados

Teorema del dominio extremal (Stahl 1997)Sea K un conjunto compacto con cap(K) = 0 y sea f analítica(posiblemente multivaluada) en C \ K. Entonces

πnC−→ f

en compactos de un dominio D que verifica:

• Es maximal (en sentido de capacidad) respecto a laconvergencia de πn.

• Es maximal (en sentido de capacidad) respecto a lacontinuación analítica univaluada de f.

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Resultados

• Υ = C \ D es simplemente conexo y está formado por launión de arcos analíticos (denotados por Υo) que unen lospuntos de ramificación y puntos de bifurcación.

Ejemplo

f(z) = 4

√√√√ 4∏k=1

(1− zk

z)+ 3

√√√√ 7∏k=5

(1− zk

z)

z1 = 1+ 3i, z2 = 4+ 2i, z3 = 4+ i, z4 = 0+ 2i,z5 = 2+ 2i, z6 = 3+ 4i, z7 = 1+ 4i.

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Resultados

• Υ = C \ D es simplemente conexo y está formado por launión de arcos analíticos (denotados por Υo) que unen lospuntos de ramificación y puntos de bifurcación.

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Resultados

• Υ está caracterizado por una propiedad de simetría local

respecto del dominio: ∂P(z;µΥ)

∂n+=

∂P(z;µΥ)

∂n−, z ∈ Υo.

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Resultados

• Además µqn∗−→ µΥ

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Polos espurios

• Se llaman polos espurios de los aproximantes de Padé πn aaquellos que se encuentran en regiones de analiticidad de fdonde, a su vez, haya convergencia en capacidad.

• También reciben ese nombre cuando hay más polos de losaproximantes que polos de la función (teniendo en cuenta lamultiplicidad).

• Los polos espurios se emparejan asintóticamente con cerosde πn.

La convergencia uniforme de los aproximantes de Padédepende del comportamiento de los polos espurios

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Filas de los aproximantes de Padé

Dominio de meromorfía

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Dominio de meromorfía

• El polinomio de Taylor converge en el mayor disco centradoen el origen que no contiene singularidades de la función.

¿Qué ocurre con límn→∞

πn,m?

• El dominio de m-meromorfía Dm de f es el mayor discocentrado en el origen que contiene a lo sumo m polos de f.

Dm = z ∈ C : |z| < RmRadio de

m-meromorfía

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Fórmula de Cauchy-Hadamard

• Sea f(z) =∞∑n=0

cnzn y

Hn,m =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣cn cn−1 · · · cn−m+1cn+1 cn · · · cn−m+2...

... . . . ...cn+m−1 cn+m−2 · · · cn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

• Entonces

Rm =LmLm+1

donde L0 = 1, Lk = lím supn→∞

n√∣∣Hn,k∣∣.

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Resultados directos

Teorema de Montessus de BalloreSi la función f tiene exactamente m poles in Dm, entonces

lím supn→∞

∥f− πn,m∥1/nK =∥z∥KRm

< 1

para todo compacto K ⊂ Dm \ Polos de f y los polos de fatraen los polos de πn,m según su multiplicidad.

• Si f tiene menos que m polos en Dm puede ocurrir que los mpolos de πn,m “no sepan” a qué polo de f acercarse.

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Resultados directos

• Sea f(z) = 1+ 3√2 z1− z3 =⇒ R2 = 1

• Polos de πn,2:

- n ≡ 0 (mod 3)

- n ≡ 1 (mod 3)

- n ≡ 2 (mod 3)

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Resultados directos

• Siempre se cumple

lím supn→∞

∥qn,mf− pn,m∥1/nK ≤ ∥z∥KRm

< 1

para todo compacto K ⊂ Dm \ Polos de f

TeoremaEl disco de m-meromorfía Dm es el mayor dominio en el cualla sucesión πn,mn∈N converge a f en capacidad.

⇓ (+ Lema de Gonchar)

Teorema de Montessus de Ballore

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Resultados inversos

¿Cuándo se puede asegurar que los polos de los aproximantestienden a los polos de la función?

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Resultados inversos

Teorema de GoncharSea f un desarrollo de Taylor formal. Son equivalentes:

• f es analítica en un entorno del origen y tieneexactamente m polos en Dm.

• Existe un polinomio qm de grado m, qm(0) = 0, tal que

lím supn→∞

∥qn,m − qm∥1/n = θ < 1.

• En este caso los polos de f son precisamente los ceros deqm y se cumple la igualdad

θ =máx |z| : z es polo de f

Rm.

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Resultados inversos

• Si los polos de πn,m convergen aunque no a velocidadgeométrica todavía señalan las singularidades de f.

Teorema de SuetinSupongamos que los m polos de πn,m convergen cuandon→ ∞. Entonces

• Los puntos límite de los polos son singularidades de f.• Los puntos límite de mayor módulo señalan Rm.• El resto constituye todos los polos de f en Dm.

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Conclusión

Algunas ideas importantes para recordar

• La teoría del potencial logarítmico es el contexto naturalpara el estudio de gran número de problemas en teoría deaproximación.

• Polinomios extremales en norma se corresponde conrelaciones asintóticas de la raíz n-ésima y comportamientoextremal de sus ceros.

• La convergencia en capacidad es la convergencia natural delos aproximantes de Padé y la convergencia uniformedepende de los polos espurios.

• El caso diagonal es esencialmente distinto al de las filas dela tabla de Padé, cuya teoría de convergencia es similar a lade los polinomios de Taylor.

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Bibliografía

Lagomasino, Constructive theory of approximation, en:Coimbra Lecture Notes in Orthogonal Polynomials(Editores: Branquinho, Foulquié), Nova Science Publishers,New York 2008, pp. 101-139.

Martínez-Finkelshtein, Equilibrium problems of potentialtheory in the complex plane, Lecture Notes in Math. 1883,(2006) 79–117.

Ransford, Potential Theory in the Complex Plane,Cambridge University Press, New York 1995.

Saff y Totik, Logarithmic Potentials with External Fields,Springer-Verlag, Berlin 1997.

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Problema de Dirichlet

• Dado un dominio D ⊂ C y f continua en ∂D, el problema deDirichlet consiste en encontrar una función h armónica en Dcuyos valores límite sobre la frontera coincidan con f.

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Problema de Dirichlet

• Dado un dominio D ⊂ C y f continua en ∂D, el problema deDirichlet consiste en encontrar una función h armónica en Dcuyos valores límite sobre la frontera coincidan con f.

• El problema deDirichlet puede notener solución.

• Cuando el problema de Dirichlet tiene solución se dice queel dominio D es regular. (Un compacto es regular si y sólo si sucomplementario es regular en el sentido de Dirichlet)

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Problema de Dirichlet

• Para que el problema de Dirichlet tenga solución esnecesario relajar su enunciado admitiendo que la funciónarmónica coincida con f en c.t.p de ∂D. Este es el problema deDirichlet generalizado.

• En ese caso también se puede relajar la regularidad de f.

Problema de Dirichlet generalizadoSi cap(∂D) > 0 el problema de Dirichlet generalizado tieneuna única solución acotada, donde f es una función acotadaque es continua en c.t.p de ∂D.

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Medidas barrido

• Sea µ una medida de probabilidad soportada en uncompacto K, contenido a su vez en un dominio acotado G.

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Medidas barrido

• Sea µ una medida de probabilidad soportada en uncompacto K, contenido a su vez en un dominio acotado G.

• La medida barrido de µ sobre ∂G es la única medida deprobabilidad µ soportada en ∂G tal que

P(z; µ) = P(z;µ), q.t.p. z ∈ Ω = C \ G

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Medidas barrido

• Sea µ una medida de probabilidad soportada en uncompacto K, contenido a su vez en un dominio acotado G.

• La medida barrido µ queda determinada por la condición∫Gh(z)dµ(z) =

∫∂Gh(z)dµ(z) (Problema de Dirichlet y

th. representación de Riesz)

para toda función h armónica en G y continua en G.I Escuela Orthonet

Medidas barrido

• Sea µ una medida de probabilidad soportada en uncompacto K, contenido a su vez en un dominio acotado G.

• La medida barrido de δz sobre ∂G es la medida armónicacorrespondiente al punto z y al dominio G.

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Medidas barrido

• Sea µ una medida de probabilidad soportada en uncompacto K, contenido a su vez en un dominio acotado G.

• Se corresponde con la distribución de probabilidad sobre∂G que mide el primer impacto sobre ∂G de un caminoaleatorio que comienza en el punto z.

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Medidas barrido

• Sea µ una medida de probabilidad soportada en uncompacto K, contenido a su vez en un dominio acotado G.

• La medida barrido de µ sobre una curva equipotencial de µ

es la medida de equilibrio de la curva equipotencial.

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Medidas barrido

• El barrido de la medida δ∞ sobre la frontera exterior de K esµK, la medida de equilibrio de K.

(En este caso la definición mediante potenciales no tiene sentido. Sedefine usando la solución del problema de Dirichlet.)

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Medidas barrido

TeoremaSea K un compacto regular y simplemente conexo y Pnuna sucesión de polinomios asintóticamente extremales enK con medidas contadoras µn. Supongamos que paraalguna subsucesión Γ ⊂ N se cumple

µn∗−→ µ, n ∈ Γ.

Entonces µ = µK, donde µ denota el barrido de µ sobre ∂K.

EjemploLos polinomios Pn(z) = zn son asintóticamente extremales enT y sus medidas contadoras de ceros son δ0 cuyo barridosobre T es la medida de equilibrio.

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