Áp dụng phương trình Schrodinger để giải một số bài toán

8/11/2019 Áp dụng phương trình Schrodinger để giải một số bài toán

http://slidepdf.com/reader/full/ap-dung-phuong-trinh-schrodinger-de-giai-mot-so-bai-toan 1/63

B. CƠ SỞ LÍ THUYẾT

CHƯƠNG I: KHẢO SÁT PHƯƠNG TR ÌNH SCHRODINGER

1.1 Phương tr ình Schrodinger

Chúng ta đã biết hàm sóng phẳng của De Broglie mô tả chuyển động của hạt tự do. Để mô tả chuyển động của hạt trong các trườ ng lực, cần phải tìm hàm sóng môtả chuyển động của hạt trong một trường đã cho. Hàm sóng phải xác định đượ choàn toàn tr ạng thái của hệ Vật lí. Điều đó có nghĩa là, việc cho hàm sóng tại mộtthời điểm nào đó không những mô tả đượ c những tính chất của hệ, mà còn xácđịnh được động thái của hệ ở những thời điểm sau. Yêu cầu này biểu diễn nhữngnguyên lí nhân quả trong cơ học lượ ng tử. Trong trườ ng hợp đặc biệt khi không cótrườ ng, nghiệm của phương tr ình là hàm sóng phải mô tả chuyển động của hạt tự do. Do đó phương tr ình vi phân cần tìm phải thỏa mãn sóng phẳng De Brogliecũng như chồng chất tùy ý các sóng phẳng đó. Về mặt toán học những sự kiện nêu

trên đòi hỏi giá tr ị của đạo hàmt

của hàm sóng theo thờ i gian tại thời điểm đã

cho phải được xác định bằng giá tr ị của chính hàm sóng tại cùng thời điểm.

Thêm vào đó theo nguyên lí chồng chất, phương tr ình vi phân mà hàm sóng thỏamãn phải là tuyến tính. Ta viết đượ c:

, ˆ , , x t L x t x t

t

, (1.1)

trong đó ˆ L là một toán tử tuyến tính. Để tìm dạng của L, ta xét trườ ng hợ p của hạtchuyển động tự do. Khi đó chính là hàm sóng phẳng De Broglie.

, , , exp , x y z

i x y z t N Et p x p y p z

trong đó

2 2 2

,2 x y z p p p E

m N là một hằng số chuẩn hóa.

Phép tính tr ực tiế p cho ta:

2 .2

i

t m



Phương tr ình này có thể đượ c viết lại dướ i dạng:

1 ˆ , H t i

trong đó ˆ H là hamiltonien cho chuyển động tự do của hạt:

2 22ˆ ˆ .

2 2 H T

m m

Từ đó suy ra rằng, đối vớ i chuyển động tự do của hạt:

1ˆ ˆ . L H i

Trong cơ học lượ ng tử, ngườ i ta tổng quát hóa k ết quả riêng biệt này sang các

trườ ng hợp khác, coi như một tiên đề, ngh ĩa là toán tử ˆ L luôn luôn bằng:

1ˆ ˆ , L H i

(1.2)

trong đó ˆ H là hamiltonien, phương tr ình (1) cho ta hàm sóng bây giờ đượ c viết

dướ i dạng:

ˆ .i H t

(1.3)

Đó là phương tr ình Schrodinger dướ i dạng tổng quát nhất. Nó là một trongnhững tiên đề của cơ học lượ ng tử. Sự đúng đắn của nó đã được thưc nghiệm xácnhận.

Đặc điểm quan tr ọng nhất của phương tr ình Schrodinger thể hiện ở chỗ, nó là

phương tr ình cấ p 1 của thờ i gian và có chứa đơn vị ảo i ở trước đạo hàmt

. Do

đó hàm sóng phải là phức và phương tr ình có nghiệm tuần hoàn.

Tất nhiên có thể chọn hàm sóng biểu diễn bở i hàm thực làm hàm sóng cho một

hạt tự do, chẳng hạn dướ i dạng một sóng chạy 1

cos . A pr Et

Tuy nhiên

khi đó, ta không thể xây dựng được phương tr ình bậc nhất theo thờ i gian, mà



nghiệm của nó là một chồng chất tùy ý của các tr ạng thái như vậy. Sự kiện phương

trình Schrodinger chỉ chứa đạo hàm bậc nhất theo thờ i giant

có liên quan mật

thiết đến nguyên lí nhân quả trong cơ học lượ ng tử. Thực vây nếu phương tr ình

Schrodinger chứa2

2t

, thì để xác định tại thời điểm t nào đó, nếu chỉ biết hàm

tại thời điểm ban đầu sẽ là chưa đủ, mà cần phải biết hàm và cả t

tại thờ i

điểm ban đầu nữa.

Biểu thức của ˆ H khi xét chuyển động của một hạt chuyển động tự do có dạng:

2

2 2 21

ˆ ˆ ˆ ˆ .2 2 x y z H p p pm m

(1.4)

Đối vớ i hệ hạt không tương tác, ˆ H của hệ bằng tổng các hamiltonien của cáchạt thành phần.

2

ˆ2

a

a a

H m

, (1.5)

ở đây chỉ số a đánh số các hạt, a là toán tử Laplace, trong đó việc lấy vi phân

đượ c thực hiện cho hạt thứ a.

Đối vớ i hệ hạt có tương tác vớ i nhau:

2

1 2ˆ , ,... ,

2a

a a

H U r r m

(1.6)

số hạng thứ nhất là toán tử động năng, còn số hạng thứ hai là toán tử thế năng. Đặc biệt đối vớ i hạt nằm tr ong trườ ng ngoài:

2 2

ˆˆ , , , , ,2 2

p H U x y z U x y zm

(1.7)

Thay các biểu thức vừa nêu của ˆ H vào (3) ta thu được phương tr ình sóng chocác hệ tương ứng. Cụ thể xét trườ ng hợ p hạt nằm trong trường ngoài không đổi ,

phương tr ình sóng của nó có dạng:



2

, , .2

i U x y zt m

(1.8)

1.2 Mật độ dòng xác suất – Sự bảo toàn số hạt

Hàm sóng mô tả sự chuyển đông của các hạt nói chung thay đổi trong khônggian và thờ i gian. Tuy nhiên sự biến đổi đó không phải là tùy ý. Dùng phương tr ìnhSchrodinger, ta có thể tìm thấy một số định luật bảo toàn. Muốn vậy, xét tích phân

2dV . Đó là biểu thức cho ta xác suất để tìm thấy hạt trong thể tích V. Lấy đạo

hàm tích phân trên theo thờ i gian, ta có:

*

* * 2 * * 2 ,2

dV dV dV t t t mi

(1.9)

trong đót

và

*

t

đượ c lấy từ phương tr ình Schrodinger (1.3) và phương tr ình

liên hợ p của nó. Cuối cùng ta viết đượ c:

* * * ,2

dV div dV t mi

(1.10)

Dùng định lí Oxtrogradxki – Gau, ta có:

2 * * ,

2V S

dV dS t mi

(1.11)

trong đó mặt S bao thể tích V. Chúng ta đưa vào vectơ j xác định bở i hệ thức:

* * .2

jmi

(1.12)

Khi đó (1.11) đượ c viết thành:

2.

V S

dV jdS t

(1.13)

Vì V là bất kì, nên công thức (1.13) có thể đượ c viết lại dướ i dạng vi phân và tathu được phương tr ình liên tục:



2

0,div jt

(1.14)

trong đó2

là mật độ xác suất, còn j đượ c hiểu là vectơ mật độ dòng xác suất. Nó

có ý ngh ĩa Vật lí là thông lượ ng trung bình của các hạt đi qua một đơn vị diện tíchsau mỗi giây. Tích phân ở vế phải ở (1.13) là độ giảm xác suất tìm thấy hạt trongthể tích V bao bở i S sau một đơn vị thờ i gian. Vậy (1.13) có thể được coi như biểuthức của định luật bảo toàn số hạt. Nếu mở r ộng tích phân ra toàn không gian

V và chú ý r ằng khi đó cả hàm sóng và mật độ dòng j đều tiến tớ i không

gian trên một mặt ở xa vô cực, chúng ta thu đượ c:

* 0,d

dV dt

(1.15)

và đi tớ i k ết luận: xác suất toàn phần để tìm thấy một hạt tại nơi nào đó trongkhông gian không phụ thuộc thờ i gian. Từ đó suy ra rằng số hạt là không đổi.Phương tr ình (1.15) cũng khẳng định r ằng sự chuẩn hóa các hàm sóng không thayđổi theo thời gian. Điều xác nhận này có thể thấy từ:

2 2C

Nhân j và2

vớ i khối lượ ng m của hạt, ta có:

2 * *, ,

2m m

im j

(1.16)

m đượ c hiểu là mật độ khối lượ ng trung bình, m

j là mật độ dòng khối lượ ng trung

bình. Tương tự nhân j và2

với điện tích e của hạt ta sẽ thu đượ c mật độ điện tích

trung bình2

e e và mật độ dòng điện trung bình e j .

Các phương tr ình:

0

0

mm

ee

div jt

div jt

(1.17)

biểu diễn định luật bảo toàn khối lượ ng và định luật bảo toàn điện tích trong cơhọc lượ ng tử.



1.3 Trạng thái dừ ng

Đối vớ i một hệ kín hay khi không có những trườ ng ngoài biến thiên,

hamiltonien ˆ H sẽ không phụ thuộc thờ i gian và trùng vớ i toán tử năng lượ ng

ˆ H x . Khi đó phương tr ình Schrodinger (1.3) có dạng:

, ˆ , . x t

i H x x t t

(1.18)

Nghiệm của phương tr ình trên có thể thu đượ c bằng cách phân ly biến x và biếnt:

, . x t x t (1.19)

Thay (1.19) vào (1.18) ta thu đượ c:

ˆ ,t

i x H x x t t

hay:

ˆconst.

t i H x xt E

t x

(1.20)

Từ (1.20) ta viết đượ c:

t i E t

t

(1.21)

ˆ H x x E x . (1.22)

Nghiệm của (1.21) có dạng:

const exp . E

t i t

(1.23)

Từ (1.22) ta nhận thấy phương tr ình này trùng với phương tr ình của các hàm

riêng của toán tử năng lượ ng ˆ H x .



Gọi ,n n

E là các hàm riêng và tr ị riêng (ta xét phổ gián đoạn), ta viết đượ c

nghiệm cuối cùng có dạng:

, exp .nn n

E x t x i t

(1.24)

Từ đó suy ra rằng, các tr ạng thái đặc trưng bở i một năng lượng xác định n E

thay đổi theo thờ i gian theo quy luật điều hòa vớ i tần số bằng:

.nn

E

(1.25)

K ết quả trên đã mở r ộng hệ thức De Broglie n E , thoạt đầu áp dụng cho

một chuyển động tự do, sang các hệ thức tùy ý. Các tr ạng thái như trên đượ c gọi làcác tr ạng thái dừng và phương tr ình (1.22) đượ c gọi là phương tr ình Schrodingercho các tr ạng thái dừng. Do phương tr ình (1.18) là tuyến tính, nghiệm tổng quát

,n

x t có thể đượ c biểu diễn dướ i dạng chồng chất các tr ạng thái dừng có biên

độ tùy ý nhưng không đổi:

, .exp .nn n n

iE x t C x t

(1.26)

Vì hệ là hàm tr ực giao, nên dễ dàng tính đượ c:

*,0 .n n

C x x dx (1.27)

Thay nghiệm , expiE

x t x t

vào (1.18) và chú ý đến (1.8) và

(1.22), ta thu đượ c:

2

2

0.

m

x E U x x

(1.28)

Đó là phương tr ình Schrodinger xác định tr ạng thái dừng đượ c mở r ộng sangcho trườ ng hợ p hạt chuyển động trong một trườ ng thế ngoài không phụ thuộc vàot. Phương trình (1.22) xác định tr ị riêng năng lượ ng của hệ ở tr ạng thái dừng.



Tr ạng thái dừng với năng lượ ng nhỏ nhất trong tất cả những giá tr ị năng lượ ngđượ c gọi là tr ạng thái cơ bản.

Bây giờ chúng ta tính xác suất tìm thấy hạt ,n x t và mật độ dòng xác suất

,n j x t cho tr ạng thái dừng thứ n ta có:

2 *, , , . ,

n n n n x t x t x t x t

* *, , , , ,2n n n n n

i j x t x t x t x t x t

m

.

Thay vào hai đẳng thức trên biểu thức (1.24) của ,n x t , ta đượ c:

, ,0n n x t x (1.29)

, ,0n n j x t j x (1.30)

Điều đó chứng tỏ, trong các tr ạng thái dừng, xác suất tìm thấy hạt cũng như mậtđộ dòng xác suất không phụ thuộc vào thờ i gian. Cũng từ những nhận định trên,trong các tr ạng thái dừng mật độ điện tích trung bình c , mật độ dòng điện trung

bình không phuộc vào thờ i gian. Ta cũng có thể chứng minh dễ dàng r ằng trong

các tr ạng thái dừng xác suất F để tìm thấy giá tr ị F nào đó của mọi đại lượ ng

cơ học (không phụ thuộc rõ vào t) đều độc lậ p vớ i thờ i gian. Thêm vào đó cả giá tr ị trung bình F cũng không đổi. Thật vậy, ta có:

2

F C F

trong đó C F là biên độ khai triển của , x t theo các hàm riêng của F x

của toán tử F̂ biểu diễn đại lượ ng F. Đối vớ i tr ạng thái dừng ,n x t ta có thể

viết đượ c:

* *. , exp ,nF n n

iE t C F x x t dx x x dx

do đó:



22 * const.nF C F x x dx (1.31)

Để k ết thúc, ta xem mối quan hệ giữa phổ tr ị riêng của năng lượ ng trong tr ạngthái dừng với đặc tính chuyển động của hệ. Phổ tr ị riêng của năng lượ ng có thể gián đoạn hoặc liên tục. Tr ạng thái dừng của phổ gián đoạn bao giờ cũng tươngứng vớ i chuyển động hữu hạn của hệ, ngh ĩa là chuyển động trong đó hệ hay một

phần nào đó của hệ không đi ra xa vô cực. Thực vậy, đối vớ i các hàm riêng của

phổ gián đoạn, tích phân2dV lấy trong toàn không gian là hữu hạn. Trong mọi

trườ ng hợ p, điều đó có nghĩa bình phương2

giảm đủ nhanh và bằng không tại

vô cực. Nói một cách khác, xác suất của các giá tr ị tọa độ vô cùng đều bằng không,ngh ĩa là hệ thực hiện một chuyển động hữu hạn, hay như thườ ng nói, hệ ở trong

tr ạng thái liên k ết.

Đối vớ i hàm sóng có phổ liên tục, tích phân2dV phân kì. Bình phương

modun hàm sóng2

ở đây không xác định tr ực tiế p xác suất của các giá tr ị tọa độ

khác nhau và chỉ được coi như một đại lượ ng tỉ lệ vớ i xác suất đó. Tích phân2dV bao giờ cũng phân k ì, đó là do

2 tại vô cực không bằng không (hay

bằng không không đủ nhanh). Do đó có thể khẳng định r ằng, tích phân2dV

lấy theo miền không gian ở bên ngoài vớ i một mặt kín hữu hạn, nhưng lớ n tùy ý,sẽ vẫn phân kì. Điều đó có nghĩa là, trong tr ạng thái đang xét (hay một phần nào đócủa hệ) nằm tại vô cực.

1.4 Một số tính chất tổng quát của phương tr ình Schrodinger

Các điều kiện mà các nghiệm của phương tr ình Schrodinger phải thỏa mãn, cómột đặc tính hết sức tổng quát. Trướ c hết hàm sóng phải đơn trị và liên tục

trong toàn không gian. Ngay cả khi bản thân trườ ng , ,U x y z có mặt gián đoạn,hàm vẫn phải liên tục. Trên mặt gián đoạn, không những hàm , mà cả các đạo

hàm của cũng phải liên tục. Tuy nhiên , nếu sau mặt nào đó thế năng U bằng vô

cùng, thì tính liên tục của các đại lượ ng này không xảy ra. Hạt không thể thâmnhậ p vào một miền không gian, tại đó U , ngh ĩa là trong miền này hàm sóng ở



khắp nơi phải bằng không. Để cho hàm liên tục, thì trên biên của miền này

0 , trong trườ ng hợp này các đạo hàm của nói chung có bướ c nhảy.

Nếu trườ ng , ,U x y z không bằng vô cùng, thì hàm sóng cũng phải hữu hạn

trong toàn miền không gian.

Giả sử minU là giá tr ị cực tiểu của hàm , ,U x y z . Vì hamiltonien của hạt là

tổng của toán tử động năng T̂ và thế năng U, nên giá trị trung bình của năng lượ ng

trong một tr ạng thái tùy ý bằng E T U . Nhưng tất cả các tr ị riêng của toán tử

năng lượ ng T̂ (trùng vớ i hamiltonien của hạt tự do) đều dương; do đó tất cả tr ị

trung bình 0T . Hiển nhiên ta có minU U do đó cả min E U . Vì bất đẳng thức

này đúng vớ i mọi tr ạng thái bất k ỳ, nên rõ ràng nó đúng vớ i mọi tr ị riêng của năng

lượ ng.

minn E U (1.32)

Bây giờ chúng ta xét một hạt chuyển động trong một trườ ng có , ,U x y z bằng

không tại vô cực. Dễ dàng nhận thấy, phổ các tr ị riêng âm của các năng lượ ng khiđó sẽ gián đoạn, ngh ĩa là tất cả tr ạng thái vớ i 0 E đều là các tr ạng thái liên k ết ở trong một trườ ng bằng không tại vô cực. Thực vậy trong các tr ạng thái dừng có

phổ liên tục, tương ứng vớ i chuyển động vô hạn, hạt nằm tại vô cực. Nhưng tạinhững khoảng cách đủ lớn để có thể bỏ qua đượ c sự cố có mặt của trườ ng, thìchuyển động của hạt có thể coi như tự do, mà trong chuyển động tự do thì nănglượ ng của hạt chỉ có thể dương. Ngượ c lại các tr ị riêng dương lậ p thành một phổ liên tục và tương ứng vớ i chuyển động vô hạn, vớ i 0 E phương tr ìnhSchrodinger (trong trườ ng lực đang xét) nói chung không có nghiệm để cho tích

phân2dV hội tụ.

Cần chú ý r ằng, trong cơ học lượ ng tử, khi chuyển động là hữu hạn, hạt có thể ở

cả trong những miền không gian, tại đó E U , xác suất2

tìm thấy hạt mặc dù

tiến nhanh đến không khi đi sâu vào một miền như thế, nhưng tại tất cả nhữngkhoảng cách hữu hạn xác suất đó vẫn cứ khác không. Về mặt này có một sự khác

biệt căn bản so với cơ học cổ điển, tại đây hạt không thể nào thâm nhậ p vào mộtmiền E U . Lí do là vì, E U động năng của hạt sẽ âm, vận tốc của hạt sẽ là ảo.



Trong cơ học lượ ng tử các tr ị riêng của động năng cũng dương, tuy nhiên ở đâychúng ta không gặ p mâu thuẫn, vì nếu quá trình đo hạt định xứ tại một điểm xácđịnh nào đó của không gian, thì do k ết quả của quá trình đo này trạng thái của hạtsẽ bị phá hủy sao cho hạt không còn đông năng xác định nào nữa.

Nếu trong toàn không gian , , 0U x y z (và tại vô cực 0U ), thì do bất đẳng

thức (1.32), ta có 0n E . Mặt khác vì 0n E phổ năng lượ ng phải liên tục, nên có

thể k ết luận r ằng trong trườ ng hợp đang xét hoàn toàn không có phổ gián đoạn,ngh ĩa là hạt chỉ có thể chuyển đông vô hạn.

Tiế p thêm chúng ta có nhận xét sau. Nếu hệ không nằm trong từ trườ ng, thì phương tr ình Schrodinger cho các hàm sóng của các tr ạng thái dừng, cũng như

các điều kiện đặt cho các nghiệm của nó, đều là thực. Do đó bao giờ cũng có thể cho các nghiệm đó là thực. Đối vớ i các hàm riêng của các giá tr ị năng lượ ng khôngsuy biến, thì chúng tự động là thực với độ chính xác đến một nhân số pha không

quan tr ọng. Thực vậy * thỏa mãn cùng phương tr ình như , do đó nó cũng là

hàm riêng vớ i cùng giá tr ị năng lượ ng, vì thế giá tr ị này là không suy biến, thì

và * về thực chất phải như nhau, nghĩa là có thể chỉ khác nhau ở thừa số nhân

không đổi (có modun bằng dơn vị). Các hàm sóng tương ứng vớ i cùng một mứcnăng lượ ng không suy biến không nhất thiết phải là thực, nhưng bằng các chọn

thích hợ p các tổ hợ p tuyến tính của chúng, bao giờ cũng có thể thu đượ c một bộ các hàm thực.

Còn hàm sóng toàn phần , x t được xác định bởi phương tr ình, có đơn vị ảo

i trong hệ số. Tuy nhiên phương tr ình này vẫn giữ nguyên dạng của nó, nếu trong

đó đồng thờ i vớ i việc đổi t thành t ta thay hàm , x t bằng liên hợ p của nó

* , x t , chỉ khác dấu đứng trướ c t.

Như đã biết các phương tr ình của cơ học cổ điển không thay đổi khi đảo chiềuthờ i gian, ngh ĩa là chỉ đổi dấu của t. Trong cơ học lượ ng tử, sự đối xứng đối vớ ihai chiều thờ i gian thể hiện ở chỗ phương tr ình sóng không thay đổi khi t t ,

đồng thờ i thay hàm sóng , x t bằng liên hợ p của nó.

Tuy nhiên cần nhớ r ằng, tính đối xứng ở đây chỉ được xét cho phương tr ìnhthôi, mà không đượ c xét cho bản thân khái niệm phép đo.



Sau cùng, xuất phát từ phương tr ình Schrodinger, chúng ta có thể suy ra đượ ctính tr ực giao của các hàm sóng tr ạng thái với năng lượ ng khác nhau. Thực vậy,giả sử m và n là hai hàm như thế. Chúng thỏa mãn các phương tr ình:

2

2* *

2

.2

m m m m

n n n n

U E m

U E m

Nhân phương tr ình thứ nhất vớ i *n , phương tr ình thứ hai vớ i m r ồi tr ừ vế vớ i

vế, ta đượ c:

2 2* * * * *

.2 2m n m n m n n m m n n m E E divm m

Nếu lấy tích phân hai vế của phương tr ình này theo toàn không gian r ồi dùngđịnh lí Gauss, vế phải sẽ bằng không. Cuối cùng ta thu đượ c:

* 0.m n m n E E dV

Theo giả thiết m n E E , ta tìm lại đượ c hệ thức tr ực giao cho các hàm m và

n :

* 0m ndV .



CHƯƠNG II: ÁP DỤNG PHƯƠNG TR ÌNH SCHRODINGER ĐỂ GIẢI

MỘT SỐ BÀI TOÁN

2.1 Chuyển động một chiều

2.1.1 Các tính chất của chuyển động một chiều

Phương tr ình Schrodinger trong tr ườ ng hợ p chuyển động một chiều theo tr ục xcó dạng:

ˆ , H x E x vớ i 2

2ˆ .

2

d H U x

m dx

(2.1)

Viết dướ i dạng phương tr ình vi phân, ta đượ c:

2

2 2

20

d x m E U x x

dx

, (2.2)

trong đó U x là thế năng không phụ thuộc vào thờ i gian. Tr ạng thái và năng

lượ ng của hạt tìm đượ c bằng các giải phương tr ình (2.2) có dạng phụ thuộc vào

dạng thế năng U x .

Ta khảo sát trườ ng hợ p khi thế năng có dạng tổng quát như ở Hình 1.

(1) Tr ạng thái liên k ết: Khi hạt bị giam giữ trong một miền nào đó thì chuyểnđộng của hạt giớ i hạn về cả hai phía, ví dụ như hình trên chuyển động của hạt cónăng lượ ng 1 E U bị giớ i hạn trong miền 1 2 x x x . Sử dụng điều kiện liên tục

của hàm sóng (và đạo hàm theo tọa độ của nó) tại các điểm biên trong lúc giải phương tr ình Schrodinger, ta nhận đượ c phổ tr ị riêng của năng lượng là gián đoạn.

(2) Tr ạng thái không liên k ết: Khi chuyển động của các hạt bị giớ i hạn, ta nóitr ạng thái của hạt không liên k ết (chuyển động tự do). Trên sơ đồ thế năng Hình 1

có hai miền ứng vớ i chuyển động tự do của hạt.

a) Trườ ng hợ p hạt có năng lượ ng ở trong khoảng 1 2U E U . Chuyển động

của hạt là vô hạn về phía x . Điều đó có nghĩa là hạt có thể chuyển động giữa

3 x x và x . Phổ năng lượ ng trong chuyển động này là liên tục và không suy

biến ứng vớ i hàm sóng mô tả chuyển động tự do theo chiều âm của tr ục x .



Hình 1: Dạng thế năng U x trong trườ ng hợ p t ổ ng quát

b) Trườ ng hợ p 2 E U : Hạt chuyển động ra xa vô hạn về cả hai phía x .

Phổ năng lượ ng của hạt là liên tục và suy biến bậc 2. Điều này ứng vớ i một giá tr ị năng lượ ng của phương tr ình (2.2) có hai hàm riêng, một ứng vớ i chuyển động tự do của hạt theo chiều dương, một theo chiều âm.

(3) Trườ ng hợ p thế năng đối xứng: Trong trườ ng hợ p thế năng là một hàm chẵn

vớ i tọa độ thì Hamiltonian cũng là hàm chẵn, lúc đó hạt ở tr ạng thái liên k ết vànghiệm của phương tr ình Schrodinger (2.2) đượ c phân thành hai lớ p: lớ p nghiệm

chẵn x x và lớ p nghiệm lẻ x x .

2.1.2 Chuyển động của hạt tự do

Ta xét một hạt chuyển động tự do theo tr ục x. Vì thế năng 0U x nên

phương trình Schrodinger cho tr ạng thái dừng của hạt có dạng:

2

2

2

0.

d x mE

xdx

(2.3)

Nếu đặt 2 22 /k mE thì nghiệm của phương tr ình (2.3) là:

.ikx ikxk x Ae Be

(2.4)

Số hạng thứ nhất trong (2.4) mô tả chuyển động theo tr ục x (sóng tớ i), số hạngthứ hai mô tả chuyển động theo chiều âm (sóng phản xạ). Biểu thức (2.4) có thể



viết gọn lại như sau:

ikx

k x Ae (2.5)

trong đó 0 x ứng vớ i chuyển động theo chiều dương, 0 x ứng vớ i chuyểnđộng theo chiều âm.

Do hạt chuyển động tự do nên nghiệm (2.5) thỏa mãn các điều kiện liên tục vàhữu hạn trong toàn bộ không gian với năng lượ ng E có giá tr ị bất kì. Biểu thức củanăng lượ ng là:

2 2

.2k

k E

m

(2.6)

Nếu để ý r ằng k p k thì biểu thức của năng lượ ng có thể viết lại dướ i dạng:2

2

p

p E

m

(2.7)

Phổ tr ị riêng là năng lượ ng liên tục, có giá tr ị nhất định tronh khoảng từ 0 đến , trong đó x p p k là xung lượ ng của hạt tự do, xk k là thành phần vectơ

sóng trên tr ục x.Hàm sóng phụ thuộc thờ i gian ứng vớ i hạt tự do ở tr ạng thái dừng có dạng:

2

2, ,

k i kx t

m

k x t Ae

(2.8)

trong đó ta đã thay giá tr ị của E theo (2.6).

Hàm sóng ứng vớ i hạt tự do là nghiệm của phương tr ình Schrodinger tổng quátvà có dạng:

, , ,i kx t

k k k x t c x t dk A c e dk

(2.9)

vớ i 1/ 2 A do điều kiện tr ực chuẩn của hàm riêng thuộc phổ liên tục dạng

(2.5) diễn tả dạng bó sóng, đó là tổ hợ p tuyến tính của sóng phẳng dạng (2.8) vớ icác giá tr ị k khác nhau. Hệ số k c chính là biên độ của bó sóng và được xác định từ

điều kiện ban đầu.

,0 ,ikxk x A c e dk

(2.10)

từ đó:



1

,0 ,2

ikx

k c x e dx

(2.11)

2.1.3 Giếng thế vuông góc sâu vô hạn

Xét trườ ng hợ p của hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều có bề r ộngL lúc đó hạt hoàn toàn bị nhốt trong giếng. Về mặt hình thức có thểcoi tương đương vớ i một viên bi trượ t không ma sát dọc theo một sợi dây, được căng giữahai bức tườ ng r ắn sao cho va chạm của viên bi vớ i chúng là tuyệt đối đàn hồi. Thế năng đang xét có dạng như Hình 2.

Dạng giải tích của thế năng là:

0, khi 0 ,

, khi 0 v .

x LU x

x à x L

(2.12)

Ta thấy r ằng ngoài giếng thế U x hàm sóng

0 x hạt không tồn tại ở ngoài giếng thế. Như thế, ta

chỉ xét hạt ở trong giếng thế 0 x L .

Phương tr ình Schrodinger có dạng:

2

2 2

20.

d x mE x

dx

(2.13)

Đặt: 22

2mE k

, phương tr ình (2.13) tr ở thành:

22

2 0.d x

k xdx

(2.14)

Ta chọn nghiện của phương tr ình dướ i dạng:

sin cos . x A kx B kx (2.15)

Hình 2: S ơ đồ thế năngcủa giế ng thế một chiề uvuông sâu vô hạn.



Do điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biên nên ta có: 0 x và

0 L . Ta suy ra 0 B và sin 0kL . Vì vậy kL n . Vì 22

2mE k

nên ta thu

đượ c biểu thức năng lượ ng của hạt trong giếng thế.

2 22 2

2,

2n o E n n E mL

(2.16)

trong đó2 2

22o E mL

là năng lượ ng của hạt ứng vớ i 1n và đượ c gọi là năng lượ ng

ở tr ạng thái cơ bản.

Như vậy hạt ở trong giếng thế có thể đượ c tìm thấy vớ i một trong các giá tr ị

năng lượ ng o E , 4 o E , 9 o E , 16 o E , … Vì năng lượ ng của hạt chỉ là động năng nênvận tốc của hạt chỉ có những giá tr ị nhất định. Đây là điều khác hẳn trong trườ nghợ p cổ điển: khi viên bi trượ t không ma sát trên thanh vớ i một vận tốc đầu nào đóthì vận tốc của nó luôn luôn không đổi và bằng chính vận tốc ban đầu.

Hàm riêng (2.15) bây giờ đượ c viết lại dướ i dạng:

sin sin .n

x A kx A x L

(2.17)

Hệ số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa n n x x , hay:

2 2

0

sin 1, L

n A xdx

L

Tính tích phân này ta xác định đượ c 2 / A L .

Vậy hàm sóng ở tr ạng thái dừng ứng vớ i hạt có năng lượ ng n E là:

2

sin , 1, 2, 3, ...n

n x x n

L L

(2.18)

Ta có thể đưa ra một số k ết luận về bài toán giếng thế một chiều vuông góc sâuvô hạn như sau:



Hình 4: S ơ đồ thế năng của

giếng đố i xứ ng một chiề u.

(a) Năng lượ ng n E của hạt trong giếng bị lượ ng tử hóa. Điều này xảy ra là do

chuyển động của hạt mặc đầu tự do nhưng bị giớ i hạn

(b) Hàm sóng n có 1n nút (điểm mà tại đó hàm sóng bằng không).

(c) Mật độ xác suất tìm hạt n x có n cực đại ở đó mật độ xác suất tìm hạt có giá

tr ị lớ n nhất. Hình 3 chỉ đồ thị các hàm sóng , mật độ xác suất tìm hạt và các mức

năng lượng tương ứng vớ i các tr ạng thái khác nhau.

2.1.4 Ghi chú về trườ ng hợ p giếng thế đối xứ ng

Trong trườ ng hợ p này thế năng có dạng:

0 khi / 2 / 2

. 2.19 khi / 2

L x LU x

x L

Sơ đồ thế năng có dạng như Hình 4. Vì thế nănglà hàm chẵn của tọa độ nên nghiệm của phương tr ình(2.14) đượ c phân thành hai lớ p nghiệm lẻ và nghiệmchẵn:

Hình 3: Đồ thị hàm sóng n x , mật độ xác suấ t 2

n n x x và năng

lượ ng n E trong giế ng thế vuông góc sâu vô hạn



Hình 5: S ơ đồ thế năng của

giế ng thế một chiề u vuông góc

sâu hữ u hạn

+ Đối vớ i lớ p nghiệm chẵn: , x x thay vào (2.15), ta đượ c

cos .n

x B kx

Áp dụng điều kiện biên / 2 0n L , ta đượ c cos 02

kL

, suy ra

n

k L

, trongđó 1n , 3, 5, …

Tương tự đối vớ i nghiệm lẻ: , x x thay vào hàm sóng (2.15), ta đượ c:

sin ,n

x A kx

vớ in

k L

, trong đó 2n , 4, 6, …

Dùng điều kiện chuẩn hóa ta tính đượ c các hệ số A và B có giá tr ị là 2 / L .

Như vậy trong cả hai lớ p nghiệm ta đều có:n

k L

và do đó năng lượ ng của hạt

đượ c tính theo hệ thức:

2 22

2.

2 E n

mL

(2.20)

2.1.5 Giếng thế hình chữ nhật có chiều sâu hữ u hạn

Bây giờ ta xét trườ ng hợ p giếng thế hình chữ nhật có chiều sâu hữu hạn vớ i thế năng có dạng:

0 khi / 2 / 2

. 2.21 khi / 2o

L x LU x

U x L

Sơ đồ thế năng đượ c cho ở Hình 5. Có thể

thấy r ằng khi năng lượ ng o E U thì hạt tự dokhông bị liên k ết, năng lượ ng E là liên tục.

Ngượ c lạio

E U hạt bị nhốt trong giếng, năng

lượ ng của hạt bị lượ ng tử hóa ứng vớ i các tr ạngthái liên k ết. Ta sẽ giải phương trình



Schrodinger cho tùng miền thế năng để tìm năng lượ ng và hàm sóng ứng vớ i cáctr ạng thái khác nhau của hạt trong trườ ng hợ p o

E U .

Đặt:

2,

2 2,o o

mE k

m E U m U E k i

(2.22)

trong đó 2

om U E

là các đại lượ ng thực.

Sử dụng kí hiệu 2

2

d x

dx

ta được phương tr ình Schrodinger và nghiệm

tương ứng của từng miền như sau: Miền I 2

1 1: 0,o

U x U x x

Miền II 22 20 : 0,U x x k x

Miền III 23 3: 0.

oU x U x x

Nghiệm của các phương tr ình trên có dạng:

1 , x x Ae

Hình 6: S ơ đồ ba mức năng lượ ng và hàm sóng trong giế ng thế một chiều. Đườ ng

liề n nét ứ ng vớ i thế hữ u hạn, đường đứ t nét ứ ng vớ i thế vô hạn.



2 cos sin , x B kx C kx

3 . x x De

Vì giếng thế là đối xứng nên nghiệm ở miền II thuộc về hai lớ p nghiệm chẵn:

2 cos ,c B kx hoặc nghiệm lẻ:

2 sin ,l

C kx

Sử dụng điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm của nó tại các điểm biên

/ 2 x L , ta thu đượ c:

tan2

kL

k

đối vớ i lớ p nghiệm chẵn, (2.23)

cot2

kL

k

đối vớ i lớ p nghiệm lẻ. (2.24)

Thay k và vào hai phương tr ình trên và đặt2

222

nmL E

,2

222

oo

mL U

, ta

đượ c:2 2tano

đối vớ i lớ p nghiệm chẵn, (2.25)

2 2coto

đối vớ i lớ p nghiệm lẽ. (2.26)

Hai phương tr ình siêu việt trên đây xác định các giá tr ị năng lượ ng cho phép

của hạt trong giếng thế hữu hạn. Giá tr ị năng lượ ng chứa trong số hạng2/ 2 / 2ka mE L . Các phương tr ình này không thể giải bằng phương pháp

giải tích mà giải bằng phương pháp tích số hoặc đồ thị. Ở đây ta sẽ giải bằng phương pháp đồ thị.

Hình 7a. biểu diễn đồ thị của tan và 2 /o

theo . Hình 7b. biểu diễn

đồ thị của cot và 2 /o

theo vớ i các giá tr ị o

khác nhau. Giao điểm

các đường cong này xác định các giá tr ị cho phép ứng vớ i các giá tr ị nhất định của

o . Đối với các trườ ng hợ p tr ạng thái chẵn, khi o bé chỉ cho một giao điểm, ngh ĩalà một giá tr ị năng lượ ng cho phép. Khi

o tăng số giá tr ị năng lượng cho phép tăng

lên. Trong trườ ng hợ p tr ạng thái lẻ, vì cot 0 nên khi / 2o

sẽ không có

giao điểm nào xuất hiện, ngh ĩa là không có giá tr ị năng lượ ng cho phép.



Một các tổng quát giá tr ị của bề r ộng giếng mà tại đó có n trạng thái liên k ết,ngh ĩa là có n giá tr ị năng lượ ng cho bở i:

2o

n hoặc

2 22

2

2.

2oU n

mL

(2.27)

Như vậy, phổ năng lượ ng bao gồm các tr ạng thái chẵn và lẻ xen k ẻ nhau, trongđó trạng thái cơ bản là tr ạng thái chẵn.

Trườ ng hợ p giớ i hạn khi oU thì o

thì hàm 2 /o

sẽ cắt tan

và cot tại các điểm tiệm cận2

n , vì khi

oU cả tan và cot tiến tớ i

vô cùng.

2 1tan

2

n

, 0, 1, 2, 3, ...n

cot n , 1, 2, 3, ...n

K ết hợ p cả hai điều kiện này ta đượ c:

Hình 7: Nghiệm đồ thị cho giế ng thế sâu hữ u hạn. Các giá tr ị năng lượng đượ c cho bở i

giao điể m của2 /o , vớ i tan và cot , trong đó 2 2 22 / 2nmL E và

2 2 2/ 2o omL V . Hình a ứ ng vớ i các tr ạng thái chẵ n, hình b ứ ng vớ i các tr ạng thái lẽ .



2

n , 1, 2, 3, ...n (2.28)

Vì 2 2 22 / 2n

mL E nên ta nhận đượ c biểu thức của năng lượng cho trườ ng

hợ p thế vô hạn.

2 22

2.

2 2n

n E n

mL

(2.29)

Hình 8 biểu diễn ba mức năng lượng đầu tiên và các hàm sóng tương ứng.Tr ạng thái cơ bản (n=1) và tr ạng thái kích thích thứ hai (n=3) là tr ạng thái chẵn,tr ạng thái kích thích thứ nhất (n=2) là tr ạng thái lẻ. Đồ thị cho thấy r ằng, các hàm

sóng lan tỏa qua miềno

E U . Điều này có ngh ĩa là xác suất tìm hạt 2 x ở

miền I và miền II khác không, ngh ĩa là hạt có thể ở mặt ngoài giếng. Mức độ “thấm qua” của hạt phụ thuộc vào độ lớ n của , ngh ĩa là độ sâu o

U của giếng, hạt

thấm qua đượ c một đoạn 1 / / 2 om U E k ể từ biên của giếng.

Chú ý r ằng khio

U thì 1/ 0 , ngh ĩa là hạt không thể ra khỏi giếng.

Đây là trườ ng hợ p giếng thế vô hạn như đã khảo sát ở trên.

Hình 8: Sơ đồ ba mức năng lượ ng và hàm sóng trong giế ng thế một chiều. Đườ ng

liề n nét ứ ng vớ i thế hữ u hạn, đường đứ t nét ứ ng vớ i thế vô hạn.



Hình 9: S ơ đồ thế năng biể u diễ n thế bậc thang.

2.1.6 Chuyển động qua thế bậc thang

Bây giờ ta xét chuyển động của hạt trong trườ ng thế có dạng ( Hình 9):

0 khi 0,

khi 0.o

x

U x U x

Theo cơ học cổ điển hạt có năng lượ ngE từ miền I đi qua miền II sẽ có động năng

oT E U . Trong trườ ng hợ p khi o

E U

thì hạt có thể đi qua đượ c miền II màkhông bị cản tr ở . Trong lúc đó

o E U thì

ở miền II động năng của hạt sẽ có giá tr ị

âm. Đây là điều không thể chấ p nhậntrong cơ học cổ điển, miền II đượ c gọi làmiề n cấ m cổ điể n và hạt không thể đi vàomiền này.

Bây giờ ta sẽ khảo sát chuyển độngcủa hạt theo quan điểm của cơ học lượ ngtử và tìm ra một số tính chất đặc thù của hạt vi mô. Ta viết phương tr ìnhSchrodinger cho từng miền:

Miền I:2 1

12 22 0,d mE

dx

(2.30)

Miền II: 2

222 2

20.

o

d mE E U

dx

(2.31)

Nếu đặt:

22

2o

mE k

và

22

2,o

m E U k

(2.32)

thì hai phương tr ình trên đượ c viết lại như sau:

Miền I:2

2112

0,o

d k

dx

(2.33)

Miền II:2

2222

0.d

k dx

(2.34)



Nghiệm của hai phương tr ình này là:

1 1 1 ,o oik x ik x

i r Ae Be

(2.35)

2 2 2 .ikx ikx

t r Ce De (2.36)

Chú ý r ằng ở miền II không có sóng phản xạ nên hệ số 0 D

. Lúc đó hàm sóng1 và 2 tr ở thành:

1o oik x ik x

Ae Be , (2.37)

2 .ikxCe (2.38)

Ta định ngh ĩa hệ số phản R và hệ số truyền qua T như sau:

1

1

,r

i x

j R

j (2.39)

2

2.t

i x

jT j

(2.40)

Ta đã biết x

j là thành phần trên tr ục x của vecto mật độ dòng xác suất. Từ biểu

thức của x

j ta có:

*

* .2 x

d x d xi j x x

m dx dx

Từ đó, ta tính đượ c:

21

2

1

2

2

. ,

. ,

. .

oi

o

r

o

t

k j Am

k j B

m

k j C

m

Tùy theo các giá tr ị năng lượng E đối vớ i thế năngo

U mà ta xét hai trườ ng hợ p:

a) Trườ ng hợ po

E U :

Khi đó các hệ số ok và k có giá tr ị thực, dương. Dùng điều kiện biên tại 0 x :

1 20 0 ; 1 20 0 , ta tính đượ c các hệ số B và C:

,o

o

k k B A

k k

2.o

o

k C A

k k

(2.41)



Ta thấy hàm 1oik x

Be và 2

ikx

t Ce đều khác không. Điều đó chứng tỏ khi

hạt tớ i gặ p hàng rào thế năng thì một phần bị phản xạ ở miền I và một phần truyềnqua miền II.

Từ đó biểu thức của R và T tr ở thành:2 22

2 ,o o

o o

B k k k k R

k k k k A

(2.42)

22

2 2 2

2 4.o o

o o o o

C k k k kk T

k k A k k k k

(2.43)

Dễ dàng nghiệm lại r ằng 1 R T . Điều này chứng tỏ số hạt đượ c bảo toàn. Sự truyền qua của sóng từ miền I sang miền II khi o

E U đượ c mô tả ở Hình 10.

b) Trườ ng hợ po

E U :

Khi đó hệ số 1

2o

k mE E U

là một số phức. Để sử dụng các k ết quả của

trườ ng hợ po

E U , ta đặt:

k i vớ i 1

2o

mE U E

.

Hệ số phản xạ lúc này tr ở thành:

Hình 10: Hàm sóng của hạt qua thế bậc thang trong trườ ng hợp năng lượ ng o E U



2

1.o

o

k i R

k i

(2.44)

Trườ ng hợ p này ta có sự phản xạ toàn phần. Sóng phản xạ có dạng:

1 .oo o i k xik x ik xo

r

o

k i Be e ek i

(2.45)

Như vậy sự phản xạ làm dịch chuyển pha của sóng tớ i. Sóng truyền qua miền IIkhác không và có dạng:

2

2.ikx x xo

t

o

k Ce Ce e

k i

(2.46)

Mật độ xác suất tìm hạt trong miền II là:

22 2

2 2 2 2

4. xo

t

o o

k x e

k

(2.47)

Như vậy ta thấy ngay cả khi hạt có năng lượ ng o E U vẫn có một xác suất nhất

định để tìm thấy hạt ở miền II. Đây là một hiệu ứng đặc thù của cơ học lượ ng tử đượ c gọi là “ hiệu ứng đườ ng ngầm”. Xác suất tìm hạt tỉ lệ nghịch vớ i x và giảmnhanh theo hàm số mũ x tăng ( Hình 11).

2.1.7 Chuyển động qua hàng rào thế

Bây giờ ta xét chuyển động của hạt từ trái qua phải và gặ p hàng rào thế có dạngđơn giản như Hình 12. Biểu thức giải tích của thế năng là:

Hình 11: Hàm sóng của hạt qua thế bậc thang trong trườ ng hợ po

E U



Hình 12: Sơ đồ thế năng của

hàng rào thế một chiề u chữ

0 khi 0,

khi 0 ,

0 khi .o

x

U x U x a

x a

Theo cơ học cổ điển nếu hạt có năng lượ ngnhỏ hơn độ cao oU của rào thế thì hạt bị chặn lại

ở miền II nên không thể qua miền III đượ c. Tronglúc đó theo phần 2.1.6 ở trên đã xét thì ngay khinăng lượ ng của hạt nhoe hơn độ cao hàng rào thế

oU , hạt vẫn có khả năng xuyên qua miền II để có

mặt ở miền III bằng hiệu ứng đườ ng ngầm.Ta sẽ tìm hệ số truyền qua bằng cách giải

phương tr ình Schrodinger cho từng miền khác nhau chủa thế năng: 1 12

20,

mE x x

(2.48)

2 22

20,o

m E U x x

(2.49)

3 32

20.

mE x x

(2.50)

Đặt:

22omE k

; 22 ,om E U

lúc đó ba phương tr ình trên đượ c viết lại như sau:

1 1 1 ,o oik x ik x

i r x e Ae

(2.51)

2 , x x x Be B e (2.52)

3 3 .oik x

i x Ce (2.53)

Trong (2.51) ta đã chọn biên độ sóng tớ i ở miền I bằng đơn vị và trong (2.53)

không có sóng phản xạ ở miền III. Ta định ngh ĩa hệ số truyền qua như sau: 23

1

.i

i x

jT C

j (2.54)

Hệ số C được xác định từ điều kiện biên:

1 20 0 1 , A B B



2 3

1 2

2 3

,

0 0 1 ,

.

o

o

ik aa a

o

k a a a

o

a a Be B e Ce

ik A B B

a a ik Ce Be B e

Ta đượ c một hệ 4 phương tr ình tuyến tính bậc nhất:1 0, A B B (2.55a)

0,o o

ik B B ik (2.55b)

0,oik a ae B e B e C

(2.55c)

0.oik a a

oe B e B ik e C

(2.55d)

Giải hệ phương tr ình này ta tìm đượ c hệ số C. Có nhiều cách giải hệ phươngtrình này, ở đây chúng ta sẽ giải cách đơn giản nhất, đó là cách giải bằng phương

pháp khử thông thườ ng.Trướ c hết ta phải tìm đượ c các hệ số B và B r ồi thay vào tìm C ta có:+ Khử hệ số A: Nhân phương tr ình (2.55a) cho

oik r ồi cộng với phương tr ình

(2.55b), ta đượ c:

2 0.o o o

ik B ik B ik (2.56)

+ Khử hệ số C: Nhân (2.55c) choo

ik r ồi tr ừ (2.55d), ta đượ c:

0.a a

o oik e B ik e B

(2.57)

+ Nhân (2.56) cho

a

oik e

và (2.57) cho oik :

22 0.a a a

o o o o oik e B ik ik e B ik ik e (2.58)

2

0.a a

o o oik e B ik ik e B (2.59)

Lấy (2.58) tr ừ cho (2.59), ta tìm đượ c hệ số B:

2 2

2.

a

o o

a a

o o

ik ik e B

ik e ik e

(2.60)

Để tìm B , ta lại nhân (2.56) cho a

oik e

và (2.56) cho o

ik :

2 2

2.

a

o o

a a

o o

ik ik e B

ik e ik e

(2.61)

Từ (2.55c) , ta tìm đượ c C:

2 2

4.

oik a

o

a a

o o

ik eC

ik e ik e

(2.62)



Thực hiện một số phép biến đổi mẫu số trong biểu thức của C:

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

,

2 2 ,

2 ,

2sh 2 2ch .

a a

o o

a a

o o o o

a a a ao o

o o

MS ik e ik e

k ik e k ik e

k e e ik e e

k a ik a

Từ đó, ta thu đượ c:

2 2

2.

sh 2 ch

oik a

o

o o

ik eC

k a ik a

(2.63)

2

2 2 2 24 .sh 2 ch sh 2 cho

o o o o

C C C

k k a ik a k a ik a

Cuối cùng ta có đượ c hệ số truyền qua:

2

22 2 2 2 2

4.

sh 4

o

o o

k D C C C

k a k

(2.64)

Đây là biểu thức tổng quát của hệ số truyền qua hàng rào thế hình chữ nhật bề r ộng a.

Nếu xét trườ ng hợ p 1a thì:

1

sh ,2 2

aa a e

a e e

nên:

2

2 2 2

16.

/

a

o o

eT

k k

(2.65)

Đặto

T là hệ số đứng trướ c hàm 2 ae

thì biểu thức (2.65) đượ c viết lại như sau: 2 .a

oT T e (2.66)

Thay biểu thức của vào biểu thức (2.66) ta đượ c:

2

exp 2 . ,o o

T T m U E a

(2.67)

trong đó

2

22

16,

1o

nT

n

vớ i .o

o

k U E n

k E



Hình 13: Hàm sóng của hạt có năng lượ ng

o E U khi đi qua hàng rào thế .

Như vậy khi o E U hạt cũng có thể xuyên qua hàng rào thế bằng hiệu ứng

đườ ng ngầm. Dễ dàng nhận thấy r ằng hiệu ứng đườ ng ngầm chỉ xảy ra đối vớ i cáchiện tượ ng vi mô. Dạng của hàm sóng trướ c và sau khi qua hàng rào thế đượ c choở Hình 13.

Thật vậy, giả sử chọn:311,28.10

oU E J , 319,8.10m

kg (khối lượ ng của electron), ta có sự phụ

thuộc của T vào giá tr ị của a như sau: a (m) 1010 1,5. 1010 2,0. 1010 5,0. 1010

T 0,1 0,03 0,008 5,0. 710

Như vậy hiệu ứng đườ ngngầm là một hiện tượ ng biểu

hiện rõ tính chất sóng của hạt vimô, điều này không thể có đốivớ i hạt v ĩ mô.

Công thức (2.67) chỉ ápdụng cho hàng rào thế hình chữ nhật. Đây là một trườ ng hợ p lítưởng. Trong trườ ng hợ p hàngrào thế có dạng như ở Hình 14,

ta cũng có thể áp dụng công thứctrên bằng cách chia hàng rào thế này thành vô số hàng rào thế vuông góc r ộng dx,

cao U x . Hạt có năng lượng E đi vào hàng rào thế tại điểm 1 x x và ra khỏi hàng

rào thế 2 x x . Khi đó công thức tính hệ số truyền qua áp dụng cho hàng rào thế bất

kì có dạng:

2

1

2exp 2 .

x

o

x

T T m U x E dx

Hiệu ứng đườ ng ngầm mớ i thoạt nhìn có vẻ như mâu thuẫn với định luật bảotoàn năng lượ ng. Khi hạt có năng lượng E đi vào miền thế năng U x E thì động

năng k E E U x có giá tr ị âm và xung lượ ng của hạt là đại lượ ng ảo.

Đây là điều không thể xảy ra theo cơ học cổ điển. Thực ra vấn đề xảy ra ở đâykhông có gì mâu thuẫn cả.



Hình 14: Hàng rào thế có d ạng bấ t kì

Hình 15: S ơ đồ thế năng của dao động

t ử điề u hòa. T ại các điể m lùic

x x

hạt có năng lượ ng toàn phần E.

Cơ học lượ ng tử cho r ằng năng lượ ng của hạt không thể là tổng động năng vàthế năng của hạt vì theo nguyên lí bấtđịnh Heisenberg thì xung lượng (độngnăng) và tọa độ (thế năng) của hạt không

đồng thời xác định. Năng lượ ng của hạtchính là tr ị riêng của toán tử Hamilton khithế năng không phụ thuộc vào tườ ng minhvào thờ i gian.

Hiệu ứng đườ ng ngầm đượ c ứng dụngr ộng rãi để giải thích các hiện tượ ng vật línhư: sự phát electron lạnh, sự phân raalpha, hoạt động của diode tunnel, …

2.1.8 Dao động tử điều hòa lượ ng tử

Dao động điều hòa là một dạng daođộng r ất quan tr ọng trong vật lí nói chungvà vật lí chất r ắn nói riêng. Đó là daođộng của các ion hoặc nguyên tử quanh vị trí cân bằng trong mạng tinh thể, daođộng của các nguyên tử trong phân tử, …

Bài toán về dao động về điều hào lượ ngtử đượ c ứng dụng nhiều trong vật lý lýthuyết như lý thuyết bức xạ, lý thuyết

phổ, lý thuyết nhiệt dung vật r ắn, …Trướ c hết ta xét trườ ng hợp dao động

tử điều hòa một chiều vớ i thế năng códạng parabol đối xứng ( Hình 15):

2 21.

2

U x m x

Theo quan điểm cổ điển hạt sẽ chuyển động dao động với biên độ phụ thuộcvào cơ năng ban đầu E. Cơ năng này có thể cung cấ p cho hạt dướ i dạng thế năng(độ lệch ban đầu), dướ i dạng động năng (vận tốc ban đầu), hoặc cả thế năng vàđộng năng ban đầu. Nếu bỏ qua mọi sự hao hụt về năng lượ ng thì trong quá trìnhchuyển động, động năng và thế năng có sự thay đổi nhưng tổng của chúng là một



đại lượng không thay đổi và bằng năng lượng ban đầu. Đối vớ i giá tr ị bất kì của Esẽ có hai giớ i hạn của biên độ dao động, được xác định bở i c

x x (điểm lùi cổ

điển). Sau đây ta sẽ giải bài toán dao động tử điều hòa lượ ng tử bằng phương phápgiải tích.

Phương tr ình Schrodinger không phụ thuộc thờ i gian có dạng:

2 2 2

2

20.

2

d x mE m x E x

dx

(2.68)

Để giải phương trình này ta dùng phương pháp đổi biến số:1/2

. ,m

x

2.

E

Lúc đó phương tr ình (2.68) tr ở thành:

2

22

0.d d

(2.69)

Phương tr ình trên cho nghiệm thỏa mãn các điều kiện tiêu chuẩn của hàm sóngchỉ ứng vớ i một giá tr ị xác định của tức là của năng lượ ng E.

Để tìm nghiệm của (2.69) trướ c hết ta phải xét các nghiệm tiệm cận:Khi thì (2.69) tr ở thành:

22

20.

d

d

(2.70)

Nghiệm của phương tr ình này là:

2 2/2 /2.e e

Do điều kiện giớ i nội của hàm sóng nên ta chỉ chọn số hạng2 /2 .e

Khi có giá tr ị bất kì nghiệm của (2.69) có dạng:

2 /2 , Ae f

trong đó f là hàm cần tìm. Lấy đạo hàm bậc hai của theo r ồi thay vào

(2.69) ta thu được phương tr ình:

2 1 0. f f f (2.71)

Ta tìm nghiệm của (2.71) dướ i dạng chuỗi:

0

.k

k

k

f a

(2.72)

Lấy đạo hàm bậc nhất r ồi bậc hai của f , ta đượ c:



1

0

2

0

,

1 .

k

k

k

k

k

k

f ka

f k k a

Thay f , f , f vào (2.71) và đưa các số hạng về cùng tổng0...

,

ta đượ c:

20

2 1 2 1 0.k k k

k

k k a ka a

Từ đó, ta suy ra công thức truy toán dùng để xác định các hệ số k

a :

2

2 1.

2 1k k

k a a

k k

(2.73)

Theo hệ thức (2.73), nếu ta biết k a thì ta sẽ tìm đượ c 2k

a , r ồi 4k a …

Ví dụ:

2 4 2

5 11 5, , ...

2 12 24o oa a a a a

Nếu bắt đầu từ 1a ta sẽ tìm đượ c các hệ số vớ i k lẻ:

3 1 5 3 1

7 33 7, , ...

2 20 120a a a a a

Khi để đảm bảo điều kiện giớ i nội hàm sóng thì chuỗi (2.72) phải bị chặn ở một số hạng nào đó, nghĩa là tr ở thành một đa thức. Giả bậc của đa thức làn, lúc đó 0

na , 2 0

na , công thức truy toán bây giờ tr ở thành: 2 1 0n

2 1.n Như vậy, ta thu đượ c biểu thức của năng lượ ng:

1,

2n E n

vớ i 0n , 1, 2 … (2.74)

Công thức (2.74) chứng tỏ năng lượ ng của dao động tử điều hòa có giá tr ị giánđoạn. Năng lượ ng thấ p nhất của dao động tử ứng vớ i 0n là:

1 ,2o

E (2.75)

đượ c gọi là “năng lượ ng không”. Năng lượ ng này có liên quan đến dao động của các hạt (nguyên tử, ion, …) ở

nút mạng tinh thể. Theo cơ học lượ ng tử thì ngay cả khi nhiệt độ tiến đến không độ tuyệt đối các hạt vẫn dao động, do đó có năng lượ ng.



Sự tồn tại của “năng lượng không” đã đượ c thực nghiệm xác nhận nhờ thínghiệm tán xạ tia X lên tinh thể ở nhiệt độ thấp. “Năng lượ ng không” cũng là k ếtquả tr ực tiế p của hệ thức bất định. Thực vậy, nếu 0T K hạt không dao động thìtọa độ và xung lượng được đồng thời xác định, điều này trái vớ i hệ thức bất định.

Bây giờ ta tìm hàm sóng ứng với năng lượ ng n E . Hàm sóng này có dạng:

2 /2 .

n n A e f (2.76)

So sánh phương tr ình (2.71) với phương tr ình cho đa thức Hermite ta thấy

f chính là đa thức Hermite.

2

2

1 .n

nn

n n

d e f H e

de

(2.77)

Hệ số n

A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa:

2 2

2 1 1.n n

x dx d m

Dùng điều kiện tr ực giao của đa thức Hermite:

2 2 2 !.n

ne H d n

Ta tìm đượ c:1/4

1

2 !n n

m

A n

. Như vậy, hàm sóng ứng với năng lượ ng

n E có dạng:

2

1/41/2

2 ! .n

n

mn e H

(2.78)

Bây giờ chuyển qua biến x:

21/4

2 ! .m

xn

n

m m x n e H x

(2.79)

Nếu ta đặto

xm

thì hàm sóng ứng vớ i một số năng lượ ng khác nhau sẽ là:

2

2

1exp ,

2o

oo

x x

x x

(2.80a)



Hình 16: Hàm sóng (đồ thị a) và xác suấ t tìm hạt (đồ thị b) của hạt dao động điề uhòa ứ ng vớ i bố n mức năng lượ ng khác nhau.

2

2

1 2exp ,

22o

o oo

x x x

x x x

(2.80b)

2 2

2 22

1 4exp .

22o

o oo

x x x

x x x

(2.80c)

Ta định ngh ĩa điểm mà tại đó hàm sóng 0n

x là nút, thì hàm o x có 0

nút, hàm 1 x có 1 nút, … Nói chung số nút là số lượ ng tử n. Đồ thị các hàm

sóng và xác suất tìm hạt tương ứng vớ i bốn mức năng lượ ng thấy hạt nhất địnhdiễn tả ở Hình 16.

2.2 Phương tr ình Schrodinger trong chuyển động 2 – 3 chiều

Bây giờ ta xét trườ ng hợ p hạt chuyển động trên một mặt phẳng hai chiều hoặctrong không gian ba chiều. Để giải phương tr ình Schrodinger cho các chuyển độngnày ta dùng phương pháp tách biến bằng cách giả sử các chuyển động trên cácchiều là độc lậ p nhau. Hệ quả của điều này là năng lượ ng trong chuyển động nhiềuchiều bằng tổng năng lượ ng của các chuyển động một chiều và hàm sóng bằng tích

phân các hàm sóng của các chuyển động một chiều. Vì vậy, ta sẽ sử dụng các k ếtquả của bài toán của chuyển động một chiều như đã khảo sát ở trên. Điều cần chú ý



ở đây là khác với trườ ng hợ p chuyển động một chiều, trong chuyển động nhiềuchiều sẽ xuất hiện sự suy biến của năng lượ ng.

Trướ c hết ta đưa ra cách giải tổng quát phương tr ình Schrodinger trong tr ườ ng

hợ p 3 chiều trong hệ tọa độ Descartes, sau đó ta sẽ xét bài toán giếng thế 2 chiều, 3chiều và dao động tử điều hòa 3 chiều.

2.2.1 Giải phương tr ình Schrodinger trong trườ ng hợ p 3 chiều

Trong không gian Descartes ba chiều phương tr ình Schrondinger dừng có dạng:

2 2 2

2 2 2, , , , , , .

2 xyzV x y z x y z E x y zm x y z

(2.81)

Vì chuyển động trên ba tr ục là độc lậ p nhau nên sử dụng phương pháp phân li biến số để giải phương tr ình trên, lúc đó thế năng, năng lượ ng của hàm sóng viếtlại dướ i dạng:

, , ,V x y z V x V y V z (2.82a)

, xyz x y z

E E E E (2.82b)

, , . x y z x y z (2.82c)

Thay các biểu thức trên vào phương tr ình (2.81) r ồi chia 2 vế cho , , x y z , ta

thu được ba phương tr ình cho ba chuyển động một chiều theo ba tr ục:

2

2,

2 xV x x E x

m x

(2.83a)

2

2,

2 yV y y E y

m y

(2.83b)

2

2.

2 zV z z E z

m z

(2.83c)



Giải ba phương tr ình trên ta được năng lượ ng và hàm sóng của chuyển độngtheo từng chiều riêng r ẽ sau đó thay vào (2.82), ta thu được năng lượ ng và hàmsóng cho hạt chuyển động ba chiều.

2.2.2 Hạt trong giếng thế 2 chiềuTrong trườ ng hợ p hạt bị nhốt trong giếng thế vớ i thế năng có dạng:

0 khi 0 , 0 ,

khi 0, ; 0, . x y

x y

x L y LU x

x x L y y L

Theo (2.83), ta được hai phương tr ình cho tr ườ ng hợ p một chiều:

2 2

2 2; .2 2 x y

d d

x E x y E ym dx m dy

Đây chính là phương tr ình Schrodinger dừng cho hạt ở giếng thế một chiều theohai tr ục x và y với năng lượ ng hàm sóng lần lượ t có dạng:

2 2 2

2;

2 x

xn

x

n E

mL

2 2 2

2.

2 y

y

n

y

n E

mL

2

sin ; x x

n

x x

n x x

L L

2sin . y

y

n

y y

n y y

L L

(2.84)

Từ đó, năng lượ ng và hàm sóng trong giếng thế hai chiều có dạng như sau:

22 2 2

2 2.

2 x y x y

y xn n n n

x y

nn E E E

m L L

(2.85)

4

, sin sin . x y

y x

n n x y x y

n yn x

x y L L L L

(2.86)

Khi giếng thế là hình vuông cạnh L thì:

2 2

2 2

2,

2 x yn n x y E n n

mL

(2.87a)



2

, sin sin . x y

y xn n

n yn x x y

L L L

(2.87b)

Giá tr ị năng lượ ng ứng vớ i bốn mức đầu tiên:

2 2

11 2;

2 E

mL

2 2

12 21 2

5,

2 E E

mL

2 2

22 2

4;

2 E

mL

2 2

13 31 2

5. E E

mL

Như vậy, ta thấy mức năng lượ ng 11 E không suy biến, hàm sóng tương ứng là:

11

2

, sin sin .

nx ny

x y L L L

Trong lúc đó mức năng lượ ng 12 E và 21 E suy biến bội hai vớ i các hàm sóng

tương ứng là:

12

2 2, sin sin

nx ny x y

L L L và 21

2 2, sin sin .

nx ny x y

L L L

2.2.3 Hạt trong giếng thế 3 chiều

Trong trườ ng hợ p này thế năng giam giữ hạt có dạng:

0 khi 0 , 0 , 0 ,

khi 0, ; 0, , 0, . x y z

x y z

x L y L z LU x

x x L y y L z z L

Theo (2.83) ta được ba phương tr ình Schrodinger cho bài toán giếng thế mộtchiều sâu vô hạn, từ đó biểu thức của năng lượ ng và hàm sóng trong giếng thế bachiều viết lại như sau:

22 2 2 2

2 2 2.

2 x y z x y y

y x zn n n n n n

x y z

nn n E E E E

m L L L

(2.88)

4

, , sin sin sin . x y z

y x zn n n

x y z x y z

n yn x n y x y z

L L L L L L

(2.89)



Trong trườ ng hợ p x y z L L L L thì năng lượ ng ở (2.88) tr ở thành:

2 2

2 2 22

.2 x y zn n n x y z

E n n nmL

(2.90)

Hàm sóng trong (2.89) có dạng:

3

8, , sin sin sin .

x y z

y x zn n n

x y z

n yn x n y x y z

L L L L

(2.91)

Bảng 1: Sự suy biến các mức năng lượ ng trong giếng thế ba chiều:

1/ x y zn n n

E E x y zn n n n

g

369111214

(111)(211), (121), (112)(221), (212), (122)(311), (131), (113)(222)(321), (312), (231), (213), (132), (123)

133316

Ở tr ạng thái cơ bản 1 x y z

n n n năng lượ ng có dạng:

2 2 2 2

12 231 1 1 3 ,

2 2 x y zn n n E E

mL mL

(2.92)

trong đó2 2

1 22 E

mL

là năng lượ ng ở tr ạng thái cơ bản của giếng thế một chiều. Sự

suy biến của các mức năng lượ ng trong giếng thế ba chiều đượ c cho ở Bảng 1.Trong đó

ng là bậc suy biến.

2.2.4 Dao động tử điều hòa ba chiều

Ta xét hạt dao động điều hòa lượ ng tử vớ i thế năng có dạng:

2 2 21, , .

2 x y zV x y z m x y z (2.93)



Nếu các tần số theo ba chiều khác nhau ta có trườ ng hợp dao động tử điều hòadị hướng, trườ ng hợp ngượ c lại ta có dao động tử điều hòa đẳng hướ ng. Sử dụng

phương pháp tách biến như trên, ta được năng lượ ng của dao động tử 3 chiều dị hướ ng là:

1 1 1,

2 2 2 x y zn n n x x y y z z E n n n

(2.94)

trong đó , , 0, 1, 2, 3,... x y z

n n n

Hàm sóng mô tả tr ạng thái dừng tương ứng là:

, , , x y z x y zn n n n n n x y z x y z (2.95)

trong đó các hàm sóng một chiều đượ c cho ở công thức (2.78).

Trong trườ ng hợ p thế năng đẳng hướ ng x y z thì năng lượ ng ở

(2.94) tr ở thành:

3 3,

2 2 x y zn n n x y z E n n n n

(2.96)

vớ i x y zn n n n .

Từ (2.96) ta thấy trườ ng hợp dao động điều hòa đẳng hướng năng lượ ng bị suy biến.

Bảng 2: Sự suy biến các mức năng lượng trong dao động tử ba chiều đẳnghướ ng.

n 2 /n

E x y zn n n ng

0

123

3

579

(000)

(100), (010), (001)(200), (020), (002), (100), (101), (011)(300), (030), (003), (210), (201), (021)(120), (102), (012), (111)

1

3610



Để tìm bậc suy biến ta tìm hàm sóng khả d ĩ ứng vớ i một giá tr ị của năng lượ ng.Dễ dàng nhận thấy r ằng bậc suy biến ứng vớ i mức năng lượ ng n

E là:

1

0

1 .n

n

n

g n n

(2.97)

Đây là một cấ p số cộng mà số hạng đầu là (n+1), số hạng cuối là 1, vì vậy ápdụng công thức tính tổng của cấ p số cộng ta đượ c bậc suy biến là:

1 2.

2n

n ng

(2.98)

Bảng 2 minh họa các giá tr ị ứng vớ i mức năng lượ ng và bậc suy biến củachúng.





2

2, .k

ikx i t m x t C k e dk

Bài 2: Một hạt tự do có khối lượ ng m chuyển động một chiều. Tại thời điểm

0t hàm sóng chuẩn hóa của hạt là:

2

1/42 22

,0, 2 exp ,4 x x

x

x x

ở đây 2 2 . x

x

a) Tính độ bất định của xung lượ ng 2 2 p

p p đi đôi vớ i hàm sóng

trên. b) Chứng tỏ r ằng tại thời điểm 0t mật độ xác suất của hạt có dạng:

22 2

2 22

, ,0, . p

x

t x t x

m

Lờ i giải:

a) Do:

d p i dx

dx

2

221/2 22

10,

22 x

x

x x

xi e dx

22

2

d

p dxdx

2

22 2

221/2 2 2 22

1 1,

2 4 42 x

x

x x x x

xe dx



2 .2 p

x

p

b) Dùng phép biến đổi Fourier:

1

,0 ,02

ipx

p e x dx

2

1/4 22

1 1exp

42 2

ipx

x x

xe dx

1/42 2 2

2

2exp .

2

x x p

Do đó: , ,0 ,iEt

p t p e

ở đây:

2

2

p E

m ,

Đối vớ i một hạt tự do. Dùng phép biến đổi Fourier ngượ c:

, ,ipx

x t e p t dp

1/42 2 2 2

2

2exp exp

22

ipx x x

p pe i t dp

m

1/42 2

1/222

1exp

24 22

x

x x

x

t t ii mm



Hình 3.1

2

2

2 22 222

22

1 1, exp

22

p p

x x

x x t

t t

mm

22 2

22

,0, . p

x

t x

m

(điều phải chứng minh)

Dạng 2: Hạt chuyển động ở giếng thế sâu vô hạn

Bài 3: Một hố thế năng có chiều sâu vô hạn giam giữ một hạt trong vùng 0 x L . Hãy vẽ hàm sóng và mô tả tr ạng thái riêng năng lượ ng cực tiểu của hạt.

Nếu một hố thế năng đẩy dạng hàm delta, / 2 0 H x L đượ c thêmvào tại tâm hố, hãy vẽ dạng hàm sóng mớ i và cho biết năng lượ ng của hệ sẽ tănglên hay giảm đi. Nếu năng lượng ban đầu là

o E , thì nó sẽ bằng bao nhiêu khi

?

Lờ i giải:

Đối vớ i hố thế vuông góc, hàm riêng tương ứng vớ i tr ạng thái có năng lượ ngcực tiểu và giá tr ị năng lượ ng của nó tương ứng là:

2

sin ,o

nx x

L L

2 2

22o E

mL

.

Đồ thị biểu diễn hàm sóng đó đượ c vẽ ở Hình 3.1.

Khi thêm hàm thế delta, phương tr ìnhSchrodinger sẽ tr ở thành:

2 / 2 0,k x L



Hình 3.2

ở đây 22 2

2 2,

mE mk

. Các điều kiện biên là:

0 0 L ,

,2 2 2

L L L

2 2

L L

Sự xuất hiện phương tr ình trên do lấy2

0

2

lim

L

L

dx

hai vế phương tr ình

Schrodinger và tính liên tục của x tại / 2 x L .

Các nghiệm vớ i / 2 x L thỏa mãn:

1

2

sin k , 0 L/2,

cos k L , 0 L/2.

A x x

A x x

Đặt k k o

ứng vớ i tr ạng thái cơ bản. Điều kiện: 1 2 A A A , và hàm sóng của

tr ạng thái cơ bản tr ở thành:

1 oo

2 o

sin k , 0 L/2,

cos k L , 0 L/2.

A x x

A x x

k o là nghiệm nhỏ nhất của phương tr ình siêu việt:

2

kL mcot

2 k

.



Hình 3.3

DokL

cot2

âm nên, /2 k L/2o

, hay / k 2 /o

L L . Hàm sóng tr ạng

thái cơ bản mới đượ c mô tả trên Hình 3.2.

Năng lượng tương ứng là:2 2 2

22 2o

ok E E m mL

, do /ok L và năng lượ ng

tr ạng thái cơ bản mớ i 4o

E E .

Dạng 3: Hạt chuyển động ở giếng thế sâu hữ u hạn

Bài 4: Hạt có khối lượ ng m chuyển động trong trườ ng thế:

khi 0

0 khi 0 d

khi d

o

o

U x

U x x

U x

.

Tìm phương tr ình xác định phổ nănglượ ng E trong miền

o E U .

Lậ p luận về tính gián đoạn của phổ nănglượ ng ( Hình 3.3).

Lờ i giải:

Phương trình Schrodinger không phụ thuộc vào thờ i gian có dạng:

2

20

d x mE E U x x

dx

.

- Trong miền 0 x (miền I):

2

20 I

o I

d x mE E U x

dx

.

Vì 0o

U E nên ta đặt 21 2

2o

mk U E

.

Khi đó ta có:

212

0 I

I

d xk x

dx

.



Nghiệm của I x có dạng:

1 11 1

k x k x

I x A e B e

.

Để I x hữu hạn khi x ta đặt 1 0 B vậy:

11

k x

I x Ae

- Trong miền 0 d x (miền II):

2 2

2 2

20, II

II

d x mE k x k

dx

.

Nghiệm II x có dạng:

sin . II

x A kx

Trong đó A và là những hằng số.

- Trong miền d x (miền III):

2

20. III

III

d xk x

dx

Nghiệm của phương tr ình này có dạng:

1 12 2

k x k x

III x A e B e

.

Để hàm III x hữu hạn khi x , ta đặt 2 0 A .

Vậy hàm III x tr ở thành:

12

k x

III x B e

.

Từ các điều kiện liên tục hàm sóng và đạo hàm của hàm sóng tại điểm 0 x và x d ta có:

10 0 sin , I II

A A



10 0 cos , I II

kA kA

12sin k d

I III d d A kd B e

,

1

1 2cos .k d

II III d d kA kd k B e

Dễ dàng thấy r ằng:

1 1cot 0, cotk k

kd k k

cot cot kd .

Nếu lấy nằm giữa 0 và / 2 thì sin 0 và:

2 2

1

1 1 1sin

21 cot1

o o

k

U mU k E k

.

Từ đây suy ra: arcsin2

o

k

mU

.

Với điều kiện: cot cot kd vớ i 0 / 2 cho ta:

kd q vớ i 0,q 1, 2, 3, … hay

2 ,kd n 1 1,n q 2, 3, 4, …

Phương trình:

2arcsin , n 1, 2, 3, ...

2 o

k kd n

mU



Hình 3.4

Hình 3.5

xác định năng lượ ng2 2

2

k E

m

của hạt. Vì k phụ thuộc vào số lượ ng tử n nên E

phụ thuộc vào n. Vì 0 sin 1 nên ta có

0 12 o

k

mU

,

hay ax0m

k k vớ i ax

2o

m

mU k

.

Giao điểm của đườ ng y dk và đườ ng

2arcsin2

n

o

k y n

mU

xác định những

nghiệm 1 2 3, ,k k k . ( Hình 3.4).

Những phổ này cho nghiệm gián đoạnn

E ;2 2

2n

n

k E

m

.

Dạng 4: Hạt chuyển động chuyển động qua hàng rào thế

Bài 5: Hạt có khối lượ ng m chuyển động qua hàng rào thế chữ nhật có dạng:

khi 0 d

0 khi 0 và do

U xU x

x x

Xác định hệ số phản xạ R và hệ số truyền quaD khi năng lượ ng E của hạt lớn hơn

oU và bé hơn

oU ( Hình 3.5)

Lờ i giải:

Phương tr ình Schrodinger trong các vùng I, II,và III có dạng:

2

120 I

I

d xk x

dx

khi 0 x ,



2

220 II

II

d xk x

dx

khi 0 x d ,

2

12

0 III

III

d xk x

dx

khi x d .

Trong đó: 21 2

2mE k

, 2

2 2

2o

mk E U

.

- Xét các trườ ng hợ po

E U :

1 11 ,ik x ik x

I x e B e

2 2

2 2

,ik x ik x

II

x A e B e

1 13 3 .ik x ik x

III x A e B e

Trong vùng III không có sóng phản xạ nên ta đặt 3 0 B .

Sóng tớ i 1ik x

t x e , sóng phản xạ 1

1 ,ik x

px x B e và sóng truyền qua

1

3ik x

q x A e . Từ điều kiện liên tục của x tại điểm 0 và x x d ta xác định

đượ c 1 2 2 3, A , B , và A B .

2 2

2 2

2 22 1

1 22 22 1 2 1

ik d ik d

ik d ik d

k k e e B

k k e k k e

,

2

2 2

1 2 12 2 2

2 1 2 1

2 ik d

ik d ik d

k k k e A

k k e k k e

,

2

2 2

1 2 12 2 2

2 1 2 1

2 ik d

ik d ik d

k k k e

B k k e k k e

,

1

2 2

1 23 2 2

2 1 2 1

4 ik d

ik d ik d

k k e A

k k e k k e

.

Hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua D được xác định bằng các công thức sau:



22 2 22 2 1 2

1 22 2 2 2 21 2 1 2 2

sin

4 sin

px

t

k k k d j R B

j k k k k k d

,

2 22 1 2

3 22 2 2 2 21 2 1 2 2

4 D4 sin

q

t

j k k A j k k k k k d

.

Dễ thấy r ằng 1 R D .

- Xét trườ ng hợ po

E U :

Trong trườ ng hợp này ta đặt 2k ik trong đó 2

2o

mk U E

.

Thay 2k ik vào biểu thức của 1 B và 3 A ta đượ c:

2 21

1 2 2

1 1

kd kd

kd kd

k k e e B

k ik e k ik e

,

11

3 2 2

1 1

4 ik d

kd kd

ik e A

k ik e k ik e

,

2 22 22 1

1 22

1 1

kd kd

kd kd

k k e e R B

k ik e k ik e

,

2 22 1

3 22

1 1

16kd kd

k k D A

k ik e k ik e

.

Chú ý r ằng:

2

2 2 212

2 4

kd kd kd kd e e

sh kd e e

,

hay 2 2 22 4kd kd e e sh kd ta tìm đượ c:



22 2 21

22 2 2 2 21 14

k k sh kd R

k k sh kd k k

,

2 2

122 2 2 2 2

1 1

44

k k Dk k sh kd k k

.

Khi 1kd thì 0kd e

, 2

kd esh kd và ta có:

2 2

2 21 1

1 1

4 1

1 14 1

4 16kd kd

Dk k k k

e ek k k k

.

Vì 2 1kd e khi 1kd nên gần đúng ta có:

2kd

o D D e , trong đó 2

2o

mk U E

và:

2 21

2 22 211

1

16 16.

o

k k D

k k k k

k k

Bài 6: Chứng tỏ trong trườ ng hợ p tổng quát hàng rào thế có dạng bất kì luônluôn thỏa mãn hệ thức 1 R D . ( R là hệ số phản xạ và D là hệ số truyền qua ).

Lờ i giải:

Giả sử hạt có năng lượ ng o E U tớ i hàng rào thế từ bên trái. Khi đó ở miền

x vớ i oU U ( Hình 3.6) chỉ có sóng truyền qua q

và ở miền x

0U có cả sóng tớ i t và sóng phản xạ px . Phương tr ình Schrodinger ở miền I (miền bên trái có sóng tớ i và sóng phản xạ) và ở miền II (miền bên phải cósóng truyền qua q

) có dạng:

2

120 I

I

d xk x

dx

,

2

220 II

II

d xk x

dx

.



Hình 3.5

Trong đó: 21 2

2mE k

, 2

2 2

2o

mk E U

.

Nghiệm của I x và II

x sẽ là:

1 11 1 ,ik x ik x

I x A e B e

21

ik x

II x Ae .

Các sóng tớ i t x , sóng phản xạ

px x và sóng truyền qua q

x có

dạng:

1ik x

t x e

, 1ik x

px x Be

, 2ik x

q x Ae

.

Khi đó 1t

k j

m

,

21 px

k j B

m

và

22q

k j A

m

. Các hệ số phản xạ R và hệ số

truyền qua D được xác định như sau:

2 22

1

, D . px q

t t

j j k R B A

j j k

Muốn chứng minh hệ thức 1 R D ta sử dụng định luật bảo toàn số hạt ngh ĩa

là dùng phương tr ình liên tục:

div j 0t

.

Bài toán đang xét là dừng nên2

không phụ thuộc rõ vào thời gian do đó2

0

t

và div j 0

. Trong trườ ng hợ p một chiều 0 x j

x

hay cons x

j t , ta có:

21 1 x t px

hk hk j j j B

m m

2

x q

hk j j A

m .



Từ điều kiện cons x

j t hay: x x

j j suy ra2 21 1hk hk hk

B Am m m

hay:

1 R D (đpcm).

Dạng 5: Chuyển động qua thế bậc thang

Bài 7: Một hạt có khối lượng m và xung lượng p đi tớ i từ phía trái của một thế năng nhảy bậc như trên .

Hãy tính xác suất để hạt bị tán xạ ngượ c tr ở lại bở i thế năng đó nếu:

a)2

2 o

pV

m ,

b)2

.2 o

pV

m

Lờ i giải:

Các phương tr ình Schrodinger là:

2

2 2

20

d mE x

dx

, vớ i

o x x ,

2

2 2

20o

d m E V x

dx

, vớ i

o x x .

a) Nếuo

E V , ta có:

, ,

, .

o o

o

ik x x ik x x

o

k x x

o

e re x x x

te x x

ở đây:

2

2mE k

,

Hình 3.6



2

2,o

m V E k

Và điều kiện để x là hữu hạn khi x đã đượ c sử dụng. Các điều kiện

liên tục dẫn tớ i 1 r t , ,ik ikr k t khi đó /r k ik ik k . Xác suất của

phản xạ khi đó là2

/ 1.r i

R j j r

a) Nếu o E V , ta có:

, ,

, .

o o

o

ik x x ik x x

o

k x x

o

e re x x x

te x x

ở đây:

2

2mE k

,

2

2.o

m E V k

Chú ý r ằng chỉ có sóng đi ra đối vớ io

x x . Các điều kiện liên tục dẫn đến

1 r t , ,ik ikr k t khi đó /r k k k k . Xác suất của phản xạ khi đó

là 22

/ R r k k k k .

Dạng 6: Dao động tử điều hòa lượ ng tử một chiều

Bài 8: Tìm hàm sóng đã chuẩn hóa và năng lượ ng của dao động tử điều hòa

một chiều. Tính các tr ị trung bình 2, x x .

Lờ i giải:Phương trình Schrodinger của dao động tử một chiều có dạng:

2 2

2 22

1ˆ2 2

d H x x m x x E x

m dx

,





2

2 1 0

1 2 2 0.k k k

k k k

k k k

a k k a k n a

Trong tổng đầu thay chỉ số tổng 2k k , trong tổng thứ hai cho k chạy từ số

0 ( số hạng ứng vớ i 0k không đóng góp trong tổng thứ hai ), ta có:

22

1 2 2 0.k

k k

k

k k a k n a

Từ phương tr ình này ta suy ra:

2

2.

1 2k k

k na a

k k

Biết đượ ck

a ta xác định đượ c 2k a hay ngượ c lại. Để hàm sóng là hữu

hạn thì k phải dừng ở một giá tr ị maxk nào đó. Khimax

0k

a cònmax 2k

a

max 4 .... 0.k

a

Hệ số max 2k

a 0 khi maxk n . Vì số k là số nguyên không âm nên n là số nguyên

không âm. Khi đó ta có:

1

2n E n

vớ i 0,n 1, 2, 3.

Hàm H tr ở thành một đa thức bậc n.

22

1

... on n

n n

a H a a

a

Vì thừa số chuẩn hóa của hàm sóng chưa xác định nên hệ số n

a còn chọn

tùy ý. Đặt 2n

na thì từ hệ thức

2 2 .

1 2k k k na a

k k

Nếu thay 2k n ta tìm

đượ c 2na và thay 2 2k n ta tìm đượ c 4n

a … Khi đó ta có:

22

12

1!n

n

n na

,



44

1 2 32 , ...

2!n

n

n n n na

Đa thức H bây giờ đượ c viết lại như sau:

2 41 1 2 3

2 2 2 ...1! 2!

n n n

n

n n n n n n H

hay viết dướ i dạng vi phân:

2 2

2

1n

n n

d H e e

d

,

2

1 21, 2 , 4 2, ...

o

H H H

Hàm sóng n của dao động tử điều hòa có dạng:

2

2 , ,n n n

m A e H x

Xác địnhn

A từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:

22

2 2 1.n n n x dx A e H d m

1/41

n

m A

I

.

trong đó tích phân I được tính như sau:

2 2

21

1

1

1 .

nn

n n n n

nn

n n

d I e H H d H e d

d d

H d ed

Tính phân từng phần tích phân này n lần ta có:



2

1 1 .n

n n

nn

d I e H d

d

Chú ý r ằng: 2 !,

nn

nn

d

H nd

2

e d

ta tìm đượ c 2 ! .

n

I n Vậy:

1/41

2 !n

n

m A

n

.

Để tính 2, x x ta dùng hệ thức của đa thức Hecmit n H .

Đa thức n H thỏa mãn phương tr ình:

2

22 2 0n n

n

d H dH nH

d d

.

Chú ý r ằng:

1 21 22 2 2 ...

1!

n nndH n n

nd

,

2

122

2 2 .2 1 .n n

nd H dH n n n H

d d

Ta có:

2 12 .2 1 2 .2 2 0,n n n

n n H n H nH

hay 1 2

11

2n n n H n H H .

Thay 1n n và 2n n ta đượ c:

1 1

1,

2n n n H nH H



1 2

11 .

2n n n H n H H

Dễ dàng thấy r ằng:

21 1

12n n n

H n H H

2 2

1 11 .

2 4n n nn H n n H H

2

*

*

21 1

*1

1

*1

1

1

2

.2

0.

2

n n

n n

n n n n

nn n

n

nn n

n

x x x x dx

d m

A e H nH H d m

An d

m A

Ad

m A

( do tính chất tr ực giao của các hàm riêngn

, 1n và 1n

)

2

2

2 * 2

3/2* 2

3/22 2

3/22

n n

n n

n n n

n n

x x x x dx

d m

A e H H d m

A e H m



2 2

1 1 1

2 2 4n n nn H n n H H d

Chú ý r ằng:

2

1/22 1,n n n

A e H H d m

*2 0,

n nd

*2 0.

n nd

Ta tìm đượ c:

2 2 21 1 1 1, U2 2 2 2 2

n E x n x m x nm

.

Documents

Áp dụng phương trình Schrodinger để giải một số bài toán