Ley de Gauss para campos Elctricos

La ecuacin de Schrodinger

Mapa conceptual de la Fsica Moderna

La ecuacin de Schrodinger

A manera de recordatorioLa constante de Planck h:Valor 6.62606896x10-34Js Valor4.13566733x10-15eV s

Constante de Planck sobre 2 pi Valor1.054571628x10-34JsValor6.58211899x10-16eVs

Fue utilizada por primera vez por Max Planck para explicar El problema de la radiacin de cuerpo negro.

Los fenmenos cunticosFueron inicialmente observados en los niveles molecular, atmico y subatmicoSe manifiestan en el comportamiento de los electrones, protones, positrones, fotones, partculas subatmicas,..La ecuacin de Schrodinger independiente del tiempo (en una dimensin)Esta ecuacin es fundamental y no es derivable de otro principio fundamentalConstante de Planck dividida porEn general depende de x, y y z por lo que se deben tomar derivadas parciales. La funcin de estado representa a la partcula de masa m.Identifica la masa de la partcula (por ejemplo la masa del electrn) que es representada por la funcin de estado Representa la energa potencial que afecta a la partculaEl valor numrico de la energa de la partcula

6Donde el operador Hamiltoniano es obtenido de la expresin clsica

reemplazando el momento y la posicin por sus correspondiente operadores y.

Regla:La funcin de estado evoluciona en el tiempo de acuerdo a la ecuacin de Schrodinger dependiente del tiempo:

7InterpretacinLa ecuacin de Schrodinger desempea el papel de las Leyes de Newton y la conservacin de energa en la mecnica clsica - es decir, predice el futuro comportamiento de un sistema dinmico. Es una ecuacin de onda en trminos de la funcin de onda que predice analtica y en forma precisa la probabilidad de eventos o resultados. Los resultados detallados no estn estrictamente determinados, pero dado un gran nmero de eventos, la ecuacin Schrodinger puede predecir la distribucin de los resultados. Notas traducidas por Armando EucedaFuente: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

Fuente:Elaboracin propia a partir de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

Ejemplo del Oscilador Armnico SimpleEnerga Cintica + Energa Potencial = EClsicamenteCunticamenteConservacin de la EnergaSe utiliza el operador del HamiltonianoLeyes de Newton Ecuacin de SchrodingerPara hacer la transicin de lo clsico a lo cuntico -transicin hacia la ecuacin de onda de Schrodinger- las variables dinmicas toman la forma de operadores cunticos.Ecuacin de SchrodingerEn lugar de la Energa se utiliza el Operador del Hamiltoniano para un Oscilador Armnico Cuntico es la funcin de onda representa autovalores de la energa para este sistema

interpretacin.Las energas cinticas y potenciales se transforman en el Hamiltoniano que acta sobre la funcin de onda para generar la evolucin de la funcin de onda en el tiempo y el espacio. La ecuacin Schrodinger da las energas cuantizadas del sistema y da la forma de la funcin de onda, de tal manera que otras propiedades se pueden calcular.Notas traducidas por Armando EucedaFuente: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

Operadores en la Mecnica CunticaAsociados con cada parmetro medible en un sistema fsico se tiene un operador mecnico cuntico. Tales operadores aparecen porque en la mecnica cuntica usted describe a la naturaleza con ondas (la funcin de onda) en lugar de usar partculas discretas cuyo movimiento y dinmica se puede describir con las ecuaciones deterministas de la fsica de Newton.Parte del desarrollo de la mecnica cuntica consiste en el establecimiento de los operadores asociados con los parmetros necesarios para describir el sistema.Algunos de estos operadores se listan a continuacin.Notas traducidas por Armando EucedaFuente: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

Operadores en la Mecnica Cuntica

Operadores en la Mecnica CunticaEs en parte debido a la estructura bsica de la mecnica cuntica que las funciones de posicin permanecen sin cambio en la ecuacin de Schrodinger, mientras que el momento toma la forma de derivadas espaciales. El operador del Hamiltoniano contiene ambas derivadas de espacio y tiempo.Mapa conceptual para la ecuacin de SchrodingerNotas preparadas por Armando Euceda, Ph.D.Fuente: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

Ecuacin de SchrdingerEcuacinde ondaProbabilidadValoresesperadosFuncinde ondaPrincipio deIncertidumbreAutovalores de la energaOsciladorArmnico cunticoPrincipio decorrespondenciaEcuacinindependiente del tiempoEcuacin de Schrdinger en 3-Dtomo de HidrgenoPartcula libreEcuacin de Schrdinger en 1-DPartculaen una cajaPenetracinde una barreraEcuacinDependiente del tiempoPostulados de la Mecnica Cunticatrata con ideas tales comobasada en loses unacomo unacomo unade la que se obtiene laes aplicada ales unaen trminos de la de la que se obtiene lade variable fsicas en trminos de til para calcularTeora de tomo, molculas y slidosElectrnica de Estado SlidoAplicaciones tecnolgicas14Partcula Simple de masa m en un Potencial

El operador del Hamiltoniano es

La ecuacin de autovalores es

Esta es la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo.De ella se obtienen los posibles valores de la Energa E.

15En general, n es tres veces el nmero de partculas en el sistema. Por ejemplo, para una partcula sola n = 3 y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartesianas x,y,z o bien las coordenadas esfricas

o cualquier otro set de coordenadas.

En general, n es tres veces el numero de particulas en el sistema. Por ejemplo, para una sola particula n=3, y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartecianas x, y, z o bien las coordenadas esfericas Tcnica de separacin de variables

Para encontrar una ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo se asume una solucin de la forma

Luego

De donde

16En general, n es tres veces el nmero de partculas en el sistema. Por ejemplo, para una partcula sola n = 3 y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartesianas x,y,z o bien las coordenadas esfricas

o cualquier otro set de coordenadas.

En general, n es tres veces el numero de particulas en el sistema. Por ejemplo, para una sola particula n=3, y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartecianas x, y, z o bien las coordenadas esfericas Tcnica de separacin de variables

Se obtienen dos ecuaciones diferenciales. La primera es:

(1.)

Esta es la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo. E es un autovalor de

LOS AUTOVALORES DE SON LOS VALORES PERMITIDOS PARA LA ENERGIA.

17En general, n es tres veces el nmero de partculas en el sistema. Por ejemplo, para una partcula sola n = 3 y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartesianas x,y,z o bien las coordenadas esfricas

o cualquier otro set de coordenadas.

En general, n es tres veces el numero de particulas en el sistema. Por ejemplo, para una sola particula n=3, y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartecianas x, y, z o bien las coordenadas esfericas Tcnica de separacin de variables

La segunda ecuacin que se obtiene es:

(2.)

Cuya solucin es:

Utilizando la tcnica de separacin de variables hemos obtenido dos ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de una ecuacin diferencial parcial.

18En general, n es tres veces el nmero de partculas en el sistema. Por ejemplo, para una partcula sola n = 3 y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartesianas x,y,z o bien las coordenadas esfricas

o cualquier otro set de coordenadas.

En general, n es tres veces el numero de particulas en el sistema. Por ejemplo, para una sola particula n=3, y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartecianas x, y, z o bien las coordenadas esfericas Tcnica de separacin de variables para una partcula que se mueve en una dimensin

Para encontrar una ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo se asume una solucin de la forma

Luego

Dividiendo por se obtiene:

La ec. de la izquierda es solamente funcin de t.La ec. de la derecha es solamente funcin de x.

19En general, n es tres veces el nmero de partculas en el sistema. Por ejemplo, para una partcula sola n = 3 y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartesianas x,y,z o bien las coordenadas esfricas

o cualquier otro set de coordenadas.

En general, n es tres veces el numero de particulas en el sistema. Por ejemplo, para una sola particula n=3, y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartecianas x, y, z o bien las coordenadas esfericas Tcnica de separacin de variables para obtener la ecuacin de Schrodinger independiente del tiempo en una dimensin

Se obtienen dos ecuaciones diferenciales. La primera es:

(1.)

(2.)

Utilizando la tcnica de separacin de variables hemos obtenido dos ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de una ecuacin diferencial parcial.

20En general, n es tres veces el nmero de partculas en el sistema. Por ejemplo, para una partcula sola n = 3 y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartesianas x,y,z o bien las coordenadas esfricas

o cualquier otro set de coordenadas.

En general, n es tres veces el numero de particulas en el sistema. Por ejemplo, para una sola particula n=3, y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartecianas x, y, z o bien las coordenadas esfericas Tcnica de separacin de variables: Qu ventajas tiene?

Estados Estacionarios.Los estados tienen energa total definida.La solucin general es una combinacin lineal de soluciones separables.

21En general, n es tres veces el nmero de partculas en el sistema. Por ejemplo, para una partcula sola n = 3 y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartesianas x,y,z o bien las coordenadas esfricas

o cualquier otro set de coordenadas.

En general, n es tres veces el numero de particulas en el sistema. Por ejemplo, para una sola particula n=3, y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartecianas x, y, z o bien las coordenadas esfericas Tcnica de separacin de variables: Qu ventajas tiene?(Continuacin )

Estados Estacionarios.Aunque la funcin de onda depende del tiempo, la densidad de probabilidad es independiente del tiempo.

Los valores esperados de cualquier variable dinmica son independientes del tiempo.Por ejemplo < x > = x0 y < p > = 0.

22En general, n es tres veces el nmero de partculas en el sistema. Por ejemplo, para una partcula sola n = 3 y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartesianas x,y,z o bien las coordenadas esfricas

o cualquier otro set de coordenadas.

En general, n es tres veces el numero de particulas en el sistema. Por ejemplo, para una sola particula n=3, y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartecianas x, y, z o bien las coordenadas esfericas Tcnica de separacin de variables: Qu ventajas tiene?

Estados Estacionarios.Aunque la funcin de onda depende del tiempo, la densidad de probabilidad es independiente del tiempo.Los valores esperados de cualquier variable dinmica son independientes del tiempo.Por ejemplo < x > = x0 y < p > = 0.Los estados tienen energa total definida.La solucin general es una combinacin lineal de soluciones separables.

23En general, n es tres veces el nmero de partculas en el sistema. Por ejemplo, para una partcula sola n = 3 y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartesianas x,y,z o bien las coordenadas esfricas

o cualquier otro set de coordenadas.

En general, n es tres veces el numero de particulas en el sistema. Por ejemplo, para una sola particula n=3, y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartecianas x, y, z o bien las coordenadas esfericas Tcnica de separacin de variables: Qu ventajas tiene?

Estados Estacionarios.Aunque la funcin de onda depende del tiempo, la densidad de probabilidad es independiente del tiempo.Los valores esperados de cualquier variable dinmica son independientes del tiempo.Por ejemplo < x > = x0 y < p > = 0.Los estados tienen energa total definida.La solucin general es una combinacin lineal de soluciones separables.

24En general, n es tres veces el nmero de partculas en el sistema. Por ejemplo, para una partcula sola n = 3 y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartesianas x,y,z o bien las coordenadas esfricas

o cualquier otro set de coordenadas.

En general, n es tres veces el numero de particulas en el sistema. Por ejemplo, para una sola particula n=3, y q1, q2, q3 pueden ser las coordenadas cartecianas x, y, z o bien las coordenadas esfericas Notas preparadas por Armando Euceda, Ph.D.

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