Aplicação do método dos elementos finitos no estudo da teoria das

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

ALLAN BIGATON AMPOLINI

VITOR LORIVAL KUDLANVEC JUNIOR

YURI ARNOLD GRUBER

APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS NO ESTUDO DA TEORIA

DAS PLACAS

CURITIBA

2012

ALLAN BIGATON AMPOLINI

VITOR LORIVAL KUDLANVEC JUNIOR

YURI ARNOLD GRUBER

APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS NO ESTUDO DA TEORIA

DAS PLACAS

Trabalho final de graduação apresentado

ao curso de Engenharia Civil do Setor de

Tecnologia da Universidade Federal do

Paraná como requisito parcial à obtenção

da graduação em Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Dr. Mauro Lacerda

Santos Filho

CURITIBA

2012

iii

Este trabalho é dedicado a todos que trabalham e lutam por um mundo melhor.

iv

AGRADECIMENTOS

Aos nossos pais, que mais contribuíram para a formação do nosso caráter, nossos

eternos agradecimentos.

Aos nossos familiares, que sempre nos apoiaram nos momentos mais difíceis.

Ao nosso orientador, professor doutor Mauro Lacerda Santos Filho, pela atenção,

compreensão das nossas dúvidas e pela orientação do nosso trabalho.

A nossos professores, em especial aos que pertencem ao Departamento de

Construção Civil, por nos despertar o interesse na Engenharia de Estruturas.

Aos nossos amigos e companheiras pelo apoio, sempre com bom humor e carinho,

o que tornou a realização deste trabalho muito mais agradável.

Ao professor Wilson Picheth Gheur pela confiança na cessão de precioso material

bibliográfico sem o menor questionamento.

A Universidade Federal do Paraná, casa onde conquistamos nossa formação, pelo

acolhimento por todos estes anos.

v

RESUMO

A teoria das placas sempre foi um grande desafio matemático aos pesquisadores e

estudantes graças à complexibilidade matemática para se modelar estas estruturas

de forma mais fiel possível ao seu comportamento real, sendo ainda nos dias de

hoje alvo de inúmeros estudos. Várias hipóteses simplificadoras que possibilitam o

entendimento a nível satisfatório de problemas de placas já foram criados por

estudiosos como Kirchhoff, Love, Mindlin e Reissner, tornando possível a obtenção

de modelos matemáticos que possam levar a soluções das equações diferenciais

que governam o comportamento estrutural das placas. Além disso, ainda há dentro

deste universo o caso das placas com esconsidade, de análise ainda mais complexa

devido ao fato da não-retangularidade de seus bordos, não permitindo a aplicação

da mesma formulação matemática das placas com ângulos retos. O caso das placas

esconsas, devido à sua grande aplicação na Engenharia, levou pesquisadores a

desenvolverem métodos numéricos e tabelas que suprem as necessidades de

projetistas estruturais há décadas, como por exemplo, os modelos de Rüsch e

Homberg. Contudo, o desenvolvimento acelerado da tecnologia atual faz com que a

análise estrutural seja cada vez mais eficaz através dos métodos computacionais,

em especial do método dos elementos finitos. O objetivo deste trabalho é aplicar o

método dos elementos finitos no estudo de placas retangulares e esconsas com

diferentes tipos de condição de apoio e apresentar ao fim, além dos resultados

gráficos do comportamento dos esforços internos nas placas, uma análise

comparativa com diferentes modelos já difundidos nos meios acadêmico e

profissional. Entre estes modelos, foram utilizadas as equações de deslocamentos e

esforços internos de placas obtidos através da teoria de Kirchhoff-Love, além dos

métodos aproximados de Czerny e Bares para o caso das placas retangulares, e

dos modelos de Rüsch e Timoshenko para o caso das placas esconsas. A

comparação entre os métodos mostrou-se bastante satisfatória, apresentando na

grande maioria dos casos, desvios entre resultados abaixo dos 10%. Em alguns

casos ocorreram desvios acima deste valor, porém são situações pontuais e

justificáveis e que não comprometem a eficácia do método computacional.

Palavras-chave: Teoria das placas. Placas esconsas. Método dos elementos finitos.

vi

ABSTRACT

The theory of plates has always been a big mathematical problem for researchers

and students due to the complexity for modeling these structures as closely as

possible to their real behavior, being even nowadays subject of several studies.

Many simplifying assumptions which permit a satisfactory level of understanding

about plates have been created by researchers such as Kirchhoff, Love, Mindlin and

Reissner, which become it possible to obtain mathematical models that lead to

solutions of differential equations that govern the structural behavior of the plates.

Moreover, there is the case of skewed plates, which make the analysis even more

complex due to non-rectangularity of their edges, which does not permit the

application of the same mathematical formulation that are used for rectangular

plates. Skewed plates, due to its wide application in Engineering, have led

researchers to develop methods and numerical tables that meet structural designers’

requirements for decades, for example, the models of Rüsch and Homberg.

However, the accelerated development of current technology makes the structural

analysis increasingly effective through computational methods, especially the finite

element method. The objective of this work is to apply the finite element method in

the study of rectangular plates and skewed ones with different types of supports and

to present, in addition to the graphical results of the behavior of internal stresses on

the plates, a comparative analysis with different models already spread between

academics and professionals. Among these models, it had been used the equations

of displacements and internal forces of plates obtained through the Kirchhoff-Love

theory, beyond the approximate methods of Czerny and Bares for the case of

rectangular plates, and models of Rüsch and Timoshenko for the case of skewed

ones. The comparison between these methods proved to be quite satisfactory,

presenting in the majority of cases, differences between results below 10%. In some

cases, these deviations were above this value, but are occasional and justifiable

situations that do not compromise the effectiveness of the computational method.

Key words: Theory of plates. Skewed plates. Finite element method.

vii

“O sucesso nasce do querer, da determinação e persistência em se chegar a um

objetivo. Mesmo não atingindo o alvo, quem busca e vence obstáculos, no mínimo

fará coisas admiráveis."

(José de Alencar)

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Exemplo de viaduto com esconsidade em Curitiba-PR .............................. 6

Figura 2 - Viaduto esconso da figura 1, enfatizando a não presença de vigas na laje -

problema de placa esconsa com dois bordos livres. ................................................... 6

Figura 3 - Modelos de tabuleiros de pontes. ............................................................. 17

Figura 4 - Placa carregada (a) e estado de tensões provocado pelo carregamento

(b). ............................................................................................................................. 21

Figura 5 - Placa carregada com a representação dos seus esforços internos. ......... 22

Figura 6 - Sistema de coordenadas para uma placa retangular simplesmente

apoiada. .................................................................................................................... 24

Figura 7 - Sistema de coordenadas para uma placa retangular simplesmente

apoiada em duas extremidades com as outras duas livres. ...................................... 29

Figura 8 - Sistema de coordenadas para uma placa retangular engastada. ............. 32

Figura 9 - Modelo de ponte de grande esconsidade de Taylor. ................................ 36

Figura 10 - Representação das coordenadas oblíquas em placa esconsa. .............. 38

Figura 11 - Direção de caminhamento de cargas em pontes esconsas .................... 40

Figura 12 - Sistema de coordenadas de placa esconsa em função da direção dos

momentos principais. ................................................................................................ 41

Figura 13 – Comportamentos particulares de placas esconsas. ............................... 42

Figura 14 - Direção dos momentos principais para lajes esconsas (a) estreitas, (b)

largas, (c) com quatro bordos apoiados e (d) com bordos engastados. .................... 43

Figura 15 - Modelos de placa esconsa simplesmente apoiada em todas as

extremidades (a) e com duas extremidades livres (b). .............................................. 44

Figura 16 - Modelo de cálculo de laje esconsa proposto por Rüsch ......................... 46

Figura 17 - Posição do ponto A no modelo de Rüsch. .............................................. 48

Figura 18 - Ábaco de Rüsch para os coeficientes Ku e Kuv no ponto A. .................... 48

Figura 19 - Posição do ponto B no modelo de Rüsch. .............................................. 49

Figura 20 - Ábaco de Rüsch para os coeficientes Kx e Ky no ponto B. ...................... 49

Figura 21 - Ábaco de Rüsch para o coeficiente Kxy no ponto B................................. 50

Figura 22 - Posição do ponto C no modelo de Rüsch. .............................................. 50

Figura 23 - Ábaco de Rüsch para os coeficientes Ku e Kuv no ponto C. .................. 51

Figura 24 - Posição do ponto E no modelo de Rüsch. .............................................. 51

Figura 25 - Ábaco de Rüsch para o ponto E. ............................................................ 52

ix

Figura 26 - Modelo de cálculo de laje esconsa proposto por Homberg ..................... 53

Figura 27 - Rede de elementos finitos ....................................................................... 54

Figura 28 - Elemento finito de chapa (a), de placa (b) e de casca (c). ...................... 59

Figura 29 - (a) Exemplos de malha triangular estruturada e (b) malha estruturada

retangular aplicada a um polígono regular (retângulo). ............................................. 59

Figura 30 - (a) Exemplos de malha estruturada retangular e (b) malha estruturada

triangular aplicada a um polígono com geometria irregular. ...................................... 60

Figura 31 - Exemplos de malhas não estruturadas (a) triangular e (b) retangular. ... 60

Figura 32 - Tela de preparação da interface de usuário. ........................................... 64

Figura 33 - Diferença entre o “h-method” e o “p-method”. ......................................... 65

Figura 34 - Representação geométrica do elemento SHELL281. ............................. 66

Figura 35 - Modelo de placa analisado (A), as malhas de elementos finitos utilizadas

(B) e os desvios de resultado entre tipos de malha (a direita)................................... 67

Figura 36 - Definição das constantes geométricas do elemento finito. ..................... 68

Figura 37 - Definição do modelo de comportamento e inserção das constantes

elásticas do material .................................................................................................. 69

Figura 38 - Apresentação das condições definidas para simulação .......................... 71

Figura 39 - Representação gráfica do elemento SHELL281 com seus esforços

internos ..................................................................................................................... 72

Figura 40 - Resultado computacional da placa com quatro bordos simplesmente

apoiados deformada com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45

graus, (d) 60 graus e (e) 75 graus. ............................................................................ 73

Figura 41 - Resultado computacional dos momentos fletores na direção x da placa

com quatro bordos simplesmente apoiados com ângulo de esconsidade de (a) 0

graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus, (d) 60 graus e (e) 75 graus................................... 74

Figura 42 - Resultado computacional dos momentos fletores na direção y da placa



Figura 43 - Resultado computacional dos momentos de torção da placa com quatro

bordos simplesmente apoiados com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30

graus, (c) 45 graus, (d) 60 graus e (e) 75 graus. ....................................................... 76

Figura 44 - Resultado computacional dos esforços cortantes na direção xy da placa



x

Figura 45 - Resultado computacional dos esforços cortantes na direção yx da placa



Figura 46 - Resultado computacional da placa com dois bordos simplesmente

apoiados e dois livres deformada com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30

graus, (c) 45 graus e (d) 60 graus. ............................................................................ 79


com dois bordos simplesmente apoiados e dois livres com ângulo de esconsidade

de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus e (d) 60 graus. ......................................... 80




Figura 49 - Resultado computacional dos momentos de torção da placa com dois

bordos simplesmente apoiados e dois livres com ângulo de esconsidade de (a) 0

graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus e (d) 60 graus. ....................................................... 82







Figura 52 - Resultado computacional da placa com quatro bordos engastados

deformada com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus, (d)

60 graus e (e) 75 graus. ............................................................................................ 85


com quatro bordos engastados com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30





Figura 55 - Resultado computacional dos momentos de torção na placa com quatro

bordos engastados com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45

graus, (d) 60 graus e (e) 75 graus. ............................................................................ 88

xi







Figura 58 - Variação do deslocamento vertical máximo variando o ângulo de

esconsidade. ............................................................................................................. 92

Figura 59 - Variação dos momentos máximos variando o ângulo de esconsidade. .. 92


Figura 61 - Variação dos esforços cortantes máximos variando o ângulo de

esconsidade. ............................................................................................................. 93

Figura 62 - Variação do deslocamento vertical máximo variando o ângulo de

esconsidade. ............................................................................................................. 94


Figura 64 - Variação dos momentos mínimos variando o ângulo de esconsidade. ... 95


esconsidade.. ............................................................................................................ 96

Figura 66 - Variação do deslocamento máximo variando o ângulo de esconsidade. 97


Figura 68 - Variação dos momentos mínimos variando o ângulo de esconsidade. ... 98


esconsidade.. ............................................................................................................ 98

Figura 70 - Compatibilização das dimensões da placa esconsa entre os modelos de

Timoshenko e Rüsch. .............................................................................................. 106

xii

LISTA DE QUADROS E TABELAS

QUADRO 1 - HIPÓTESES PARA CADA TIPO DE PLACA EM FUNÇÃO DA

ESPESSURA ....................................................................................................... 19

QUADRO 2 - COEFICIENTES DE DEFLEXÃO DE PLACA COM DUAS

EXTREMIDADES SIMPLESMENTE APOIADAS E DUAS EXTREMIDADES LIVRES

PARA ........................................................................................................ 31

QUADRO 3 – VALORES DE DEFLEXÃO E MOMENTOS FLETORES DE PLACA

COM EXTREMIDADES ENGASTADAS EM SEUS QUATRO BORDOS............ 36

QUADRO 4 – COEFICIENTES DE DEFLEXÃO E MOMENTOS FLETORES PARA

PLACAS ESCONSAS. .......................................................................................... 45

QUADRO 5 – PONTOS DE IMPORTÂNCIA NO DIMENSIONAMENTO DE PLACAS

ESCONSAS. ......................................................................................................... 47

QUADRO 6 – FORMULAÇÕES UTILIZADAS NO MÈTODO DOS ELEMENTOS

FINITOS PARA OBTENÇÃO DE DIFERENTES TIPOS DE RESULTADOS....... 56

QUADRO 7 – POSIÇÃO DOS KEYPOINTS NO PLANO (XY). ........................... 69

TABELA 1 - NÚMERO DE ELEMENTOS FINITOS EM CADA UMA DAS PLACAS

MODELADAS........................................................................................................ 70

QUADRO 8 – RELAÇÃO DE RESULTADOS GERADOS PARA O ELEMENTO

SHELL 281. .......................................................................................................... 72

QUADRO 9 – RESULTADOS DOS ENSAIOS PARA PLACAS APOIADAS EM

TODAS AS EXTREMIDADES. ............................................................................ 91


DUAS EXTREMIDADES....................................................................................... 94


DUAS EXTREMIDADES....................................................................................... 96

QUADRO 12 – RESULTADOS DOS DESLOCAMENTOS MÁXIMOS VERTICAIS

PARA PLACAS RETANGULARES........................................................................ 101

QUADRO 13 – RESULTADOS DOS MOMENTOS FLETORES MÁXIMOS PARA

PLACAS RETANGULARES................................................................................. 101

QUADRO 14 – RESULTADOS DOS MOMENTOS FLETORES MÍNIMOS PARA

PLACAS RETANGULARES ................................................................................ 101

xiii

QUADRO 15 – COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS DE DESLOCAMENTOS

VERTICAIS MÁXIMOS PARA PLACAS RETANGULARES ................................. 102

QUADRO 16 – COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS DE MOMENTOS

FLETORES MÁXIMOS PARA PLACAS RETANGULARES ................................. 102

QUADRO 17 – COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS DE MOMENTOS

FLETORES MÍNIMOS PARA PLACAS RETANGULARES .................................. 102

QUADRO 18 - COEFICIENTES DE DEFLEXÃO E DE MOMENTOS FLETORES

PARA PLACAS COM BORDOS SIMPLESMENTE APOIADOS, CALCULADOS

PELOS MÉTODOS NUMÉRICO E DOS ELEMENTOS FINITOS........................ 104

QUADRO 19 - COEFICIENTES DE DEFLEXÃO E DE MOMENTOS FLETORES

PARA PLACAS BIAPOIADAS, CALCULADOS PELOS MÉTODOS NUMÉRICO E

DOS ELEMENTOS FINITOS................................................................................. 104

QUADRO 20 – COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DOS DESLOCAMENTOS

TEÓRICO E COMPUTACIONAL DA PLACA RETANGULAR.............................. 104

QUADRO 21 – VALORES DE ENTRADA DAS PLACAS MODELADAS PARA OS

ÁBACOS DE RÜSCH............................................................................................ 106

QUADRO 22 – COEFICIENTES DE RÜSCH PARA PLACAS ESCONSAS........ 107

QUADRO 23 – MOMENTOS FLETORES E TORCEDORES PARA AS PLACAS

MODELADAS........................................................................................................ 107

QUADRO 24 – RESULTADOS DOS MOMENTOS FLETORES E TORCEDORES

DAS PLACAS MODELADAS ATRAVÉS DO MEF................................................ 108

QUADRO 25 – COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DOS MOMENTOS FLETORES

E TORCEDORES OBTIDOS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E PELO

MODELO DE RÜSCH........................................................................................... 109

xiv

LISTA DE SIGLAS

APDL – ANSYS PARAMETRIC DESIGN LANGUAGE

MDF – MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

MEF – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

1

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 4

1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ......................................................................... 4

1.2. OBJETIVOS ................................................................................................... 5

1.3. JUSTIFICATIVA ............................................................................................. 5

1.4. ESTRUTURA ................................................................................................. 7

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................. 8

2.1. HISTÓRICO .................................................................................................... 11

2.2. TEORIA DAS PLACAS ................................................................................... 18

2.3. TEORIA DE KIRCCHOFF ............................................................................... 20

2.4. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DE LAGRANGE ................................. 23

2.4.1. Placas simplesmente apoiadas em todas as extremidades ...................... 24

2.4.2. Placas simplesmente apoiadas em duas extremidades com outras duas

livres ................................................................................................................... 28

2.4.3. Placas com todos os bordos engastados ................................................. 31

2.5. FORMULAÇÃO ANALÍTICA PARA PLACAS ESCONSAS ............................. 36

2.5.1. Momentos principais ................................................................................. 39

2.5.2. Esforços cortantes e reações de apoio ..................................................... 41

2.5.3. Modelos para cálculo de esforços em placas esconsas ........................... 43

2.6. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ......................................................... 53

2.6.1. Histórico .................................................................................................... 53

2.6.2. Apresentação ............................................................................................ 55

2.6.3. Elementos finitos bidimensionais .............................................................. 58

3. METODOLOGIA ................................................................................................. 61

3.1. DEFINIÇÃO DO MATERIAL ........................................................................... 61

3.2. DEFINIÇÃO DA GEOMETRIA DAS PLACAS ................................................. 62

3.3. DEFINIÇÃO DO CARREGAMENTO ............................................................... 62

3.4. CONDIÇÕES DE CONTORNO ....................................................................... 63

3.5. MODELAGEM COMPUTACIONAL ................................................................. 63

3.5.1. Preparação da interface do usuário .......................................................... 63

3.5.2. Pré-processamento (comando /PREP7) ................................................... 65

2

3.5.3. Processamento ......................................................................................... 71

3.5.4. Pós-processamento .................................................................................. 71

4. RESULTADOS ................................................................................................... 73

4.1. PLACAS SIMPLESMENTE APOIADAS .......................................................... 73

4.1.1. Placa deformada ....................................................................................... 73

4.1.2. Momento fletor na direção X ..................................................................... 74

4.1.3. Momento fletor na direção Y ..................................................................... 75

4.1.4. Momento torcedor ..................................................................................... 76

4.1.5. Esforço cortante na direção XY ................................................................ 77

4.1.6. Esforço cortante na direção YX ................................................................ 78

4.2. PLACAS SIMPLESMENTE APOIADAS EM DOIS BORDOS ......................... 79

4.2.1. Placa deformada ....................................................................................... 79






4.3. PLACAS ENGASTADAS EM QUATRO BORDOS ......................................... 85

4.3.1. Placa deformada ....................................................................................... 85






5. ANÁLISE DOS RESULTADOS ........................................................................... 91

5.1. COMPORTAMENTO DO DESLOCAMENTO MÁXIMO E DOS ESFORÇOS

INTERNOS COM A VARIAÇÃO DO ÂNGULO ...................................................... 91

5.1.1. Placas com os bordos simplesmente apoiados ........................................ 91

5.1.2. Placas com dois bordos livres .................................................................. 94

5.1.3. Placas com os bordos engastados ........................................................... 96

5.1.4. Considerações dos resultados .................................................................. 98

5.2. COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS ............................................................ 100

5.1.1. Deslocamento máximo e momentos fletores da placa retangular .......... 100

5.1.2. Método numérico de Timoshenko ........................................................... 101

3

5.1.3. Modelo de Rüsch .................................................................................... 105

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................. 110

6.1. CONCLUSÃO ............................................................................................... 110

6.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ............................................ 111

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 112

APÊNDICES ............................................................................................................ 114

APÊNDICE A – APDL PARA PLACA APOIADA COM ESCONSIDADE 0º ......... 114

APÊNDICE B – APDL PARA PLACA APOIADA COM ESCONSIDADE 30º ....... 115

APÊNDICE C – APDL PARA PLACA APOIADA COM ESCONSIDADE 45º ....... 116

APÊNDICE D – APDL PARA PLACA APOIADA COM ESCONSIDADE 60º ....... 117

APÊNDICE E – APDL PARA PLACA APOIADA COM ESCONSIDADE 75º ....... 118

APÊNDICE F – APDL PARA PLACA LIVRE COM ESCONSIDADE 0º ............... 119

APÊNDICE G – APDL PARA PLACA LIVRE COM ESCONSIDADE 30º ............ 120

APÊNDICE H – APDL PARA PLACA LIVRE COM ESCONSIDADE 45º ............ 121

APÊNDICE I – APDL PARA PLACA LIVRE COM ESCONSIDADE 60º .............. 122

APÊNDICE J – APDL PARA PLACA ENGASTADA COM ESCONSIDADE 0º.... 123

APÊNDICE K – APDL PARA PLACA ENGASTADA COM ESCONSIDADE 30º . 124

APÊNDICE L – APDL PARA PLACA ENGASTADA COM ESCONSIDADE 45º . 125

APÊNDICE M – APDL PARA PLACA ENGASTADA COM ESCONSIDADE 60º 126

APÊNDICE N – APDL PARA PLACA ENGASTADA COM ESCONSIDADE 75º . 127

4

1. INTRODUÇÃO

1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Nos dias de hoje, a utilização de aplicativos computacionais na Engenharia,

em qualquer uma de suas especialidades, tem se apresentado como tendência

irreversível. Ao passo que os computadores se tornam cada vez mais potentes, a

velocidade de processamento e a capacidade de armazenamento de dados vão

permitindo que se obtenham resultados de problemas mais complexos a um período

de tempo cada vez menor.

Este panorama, inimaginável em meados do século passado, é uma realidade

muito bem aproveitada por profissionais e pesquisadores no que se trata de estudos

de numerosos assuntos. Com um determinado aplicativo, pode-se observar o fluxo

de um fluido que escoa forçadamente em uma tubulação, por exemplo. Este cenário

em outros tempos era digno de imensas instalações, com materiais especiais,

gastos de energia exorbitantes e muitas vezes não tinha todos os seus recursos

bem aproveitados. Com a computação gráfica, isso se torna muito mais simples,

exigindo apenas um bom computador, aplicativos adequados, conhecimento técnico

e capacidade de análise de resultados. Isto pode tornar o estudo mais barato e

menos trabalhoso.

Na Engenharia de Estruturas os softwares de cálculo e dimensionamento

estrutural já vêm sendo utilizados em escritórios especializados no Brasil há

algumas décadas, especialmente nas estruturas de concreto armado. Em

universidades, vários programas são alvo de estudos envolvendo aprimoramento da

linguagem de programação a fim de terem seus recursos expandidos.

A escolha deste tema para realização de um trabalho acadêmico assume um

papel importante no conceito da Engenharia moderna. A análise estrutural de lajes

por métodos numéricos constitui-se em rotina nos escritórios de projeto. Seu cálculo

e detalhamento com o auxílio de softwares são praticamente imprescindíveis, devido

ao ritmo imposto pelos contratantes de projetos (PAULA, 2007). Posto isto, tem este

5

trabalho a responsabilidade de apresentar de forma científica as funcionalidades de

um estes programas na aplicação destes cálculos.

1.2. OBJETIVOS

Este trabalho tem por objetivo estudar o comportamento de placas de

concreto submetidas a carregamento uniformemente distribuído com variação do

ângulo de esconsidade através do método dos elementos finitos.

Além deste objetivo principal, podem ser citados outros objetivos específicos

decorrentes deste estudo, como a verificação das mudanças de comportamento dos

esforços e deslocamentos de acordo com a variação do ângulo de esconsidade,

comparações de resultados entre métodos teóricos, numéricos e computacionais

indicando variações de resultados e a elaboração de gráficos de variação dos

esforços conforme a variação de ângulo de esconsidade em determinados pontos

críticos das placas.

Ao fim deste trabalho espera-se mostrar a utilidade do método dos elementos

finitos no estudo da teoria das placas e apresentar alguns dos resultados que este

método pode oferecer a quem pesquisa ou projeta este tipo de estrutura.

1.3. JUSTIFICATIVA

O estudo das placas sempre foi um problema complexo. A quantidade de

variáveis que são consideradas na resolução de problemas de Engenharia

envolvendo placas retangulares excede o número de equações disponíveis, o que

mesmo na teoria, impossibilita a obtenção de resultados exatos. Ao se tratar de

placas com ângulos diferentes de esconsidade, existe ainda o fato da não simetria

de esforços nas placas, o que acaba dificultando ainda mais a solução.

Problemas de placa esconsa em Engenharia são bastante comuns. Estas,

que possuem a característica de possuírem seu eixo longitudinal não-ortogonal aos

bordos opostos constituem aparecem em vários tipos de peças estruturais. Lajes,

6

pontes e viadutos são exemplos de onde este tipo de elemento pode aparecer.

Conhecer bem o comportamento deste tipo de estrutura leva o engenheiro a

conseguir obter resultados mais precisos, consequentemente, projetos mais seguros

e econômicos.

Figura 1 - Exemplo de viaduto com esconsidade em Curitiba-PR. Fonte: GOOGLE (2011).

Figura 2 - Viaduto esconso da figura 1, enfatizando a não presença de vigas na laje - problema de placa esconsa com dois bordos livres. Fonte: GOOGLE (2011).

7

Com o avanço da tecnologia, os profissionais de hoje podem contar com o

auxílio da computação, tanto para resolução de equações matemáticas complexas

quanto para observação gráfica dos resultados desejados. Muitos aplicativos

computacionais de análise estrutural oferecem a possibilidade de observar o

comportamento de estruturas com inúmeros tipos de formatos, carregamentos,

combinações de materiais e outros fatores.

O grande propósito deste trabalho é fazer uma aplicação desta tecnologia em

um problema comum na engenharia. Utilizar métodos computacionais no estudo de

placas pode ser uma alternativa bastante vantajosa em projetos, desde pequeno a

grande porte, resultando em economia considerável de tempo e mão de obra, além

da obtenção de resultados finais mais precisos e confiáveis.

1.4. ESTRUTURA

Este trabalho será composto por seis capítulos.

O capítulo primeiro traz as considerações iniciais do estudo realizado, bem

como apresenta seus objetivos e justificativa do estudo do problema.

O capítulo segundo apresenta a revisão bibliográfica do assunto, incluindo as

equações e teorias desenvolvidas ao longo dos anos para resolução de problemas

envolvendo placas, bem como uma explicação simplificada que aborda a teoria do

método dos elementos finitos.

O terceiro capítulo apresenta a metodologia aplicada nos ensaios, incluindo

as definições de carregamento, geometria e materiais, bem como as configurações

do aplicativo computacional utilizado e o detalhamento da modelagem.

O quarto capítulo é dedicado à apresentação gráfica dos resultados de cada

um dos ensaios.

O quinto capítulo trata da análise dos resultados, comparações entre métodos

e discussão dos resultados obtidos.

8

O sexto e último capítulo se refere às considerações finais, à conclusão final do

estudo, bem como à apresentação de sugestões para trabalhos futuros.

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Placas são elementos estruturais bidimensionais com uma de suas

dimensões, comumente denominada como espessura, muito menor que suas duas

outras: a largura e o comprimento. A versatilidade de tais elementos permite que

além de poderem ser usados como componentes estruturais, também possam ser

utilizados na formação de estruturas inteiras. Assim sendo, placas estáticas podem

ter bordas livres, simplesmente apoiadas ou engastadas.

Podemos desta maneira, separar as placas em três grupos: placas finas com

deflexões pequenas, placas finas com grandes deflexões e placas espessas, de

acordo com as definições de Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1959):

Placas finas de pequena deflexão: Se as deflexões de uma placa forem

pequenas em comparação a sua espessura, uma teoria aproximada da flexão da

placa por carregamentos pode ser desenvolvida tomando-se como base as

seguintes premissas:

1) Não há deformação no plano médio da placa. Este plano permanece neutro

durante a flexão.

2) Pontos da placa estando inicialmente em um plano ortogonal ao meio da

placa permanecem neste estado após a flexão.

3) Os esforços ortogonais transversais na direção transversal ao plano da placa

podem ser ignorados.

Utilizando-se destas suposições, todos os componentes dos esforços podem

ser expressos por uma deflexão ω da placa, a qual é uma função de duas

coordenadas x e y em relação ao plano desta. Esta função deve satisfazer a

equação diferencial parcial linear, o que, juntamente com as condições de contorno,

9

define completamente ω. Assim, a solução da equação dá todas as informações

necessárias para calcular esforços em qualquer ponto das placas.

A segunda associação é equivalente à negligência dos efeitos do

cisalhamento na deflexão de placas. Esta associação é usualmente satisfatória, mas

em alguns casos (por exemplo, o caso de buracos em uma placa), o efeito da força

de cisalhamento se torna importante e algumas correções na teoria das placas finas

devem ser introduzidas.

Se, em adição aos carregamentos laterais, há forças externas agindo no meio

da placa, a primeira associação já não é mais suficiente, e é necessário levar em

consideração o efeito da flexão no meio da placa dos esforços agindo no plano

médio dela. Isto pode ser feito através da introdução de alguns termos adicionais

nas equações diferenciais das placas mencionadas anteriormente.

Placas finas com grande deflexão: A primeira associação é completamente

satisfeita somente se a placa for curvada em uma superfície desenvolvível. Em

outros casos a flexão da placa é acompanhada por tensões do plano médio, mas

cálculos mostram que esforços correspondentes ao plano do médio são

negligenciáveis se as deflexões da placa forem pequenas em comparação com sua

espessura. Se esta condição não for satisfeita, estes esforços adicionais devem ser

levados em consideração na derivação das equações diferenciais das placas. Deste

modo, obtêm-se equações não lineares e a solução do problema torna-se mais

complexa. No caso de grandes deflexões nós temos também de distinguir entre

bordos engastados e bordos livres para moverem-se no plano da placa, o que pode

ter uma considerável influência na magnitude das deflexões e esforços da placa.

Devido à curvatura do centro deformado desta, as tensões de tração

complementares, as quais predominam, agem em oposição ao carregamento lateral

dado; sendo assim, o carregamento dado é agora transmitido parcialmente pela

rigidez à flexão e parcialmente por um comportamento de membrana da placa.

Consequentemente, placas muito finas com resistências a flexão negligenciáveis se

comportam como membranas, exceto por uma zona estreita onde a flexão pode

ocorrer devido as condições de bordo impostas pela placa.

O caso de uma placa sendo curvada em uma desenvolvível, em particular em

uma superfície cilíndrica deve ser considerado uma exceção. As deflexões de tal

10

placa podem ser da ordem de sua espessura sem necessariamente produzir

esforços que se comportam como membranas e sem afetar o caráter linear da teoria

da flexão. Esforços de membranas iriam, no entanto, aparecer em uma placa se

suas bordas fossem imóveis em relação ao seu plano e as deflexões forem

suficientemente grandes. No entanto, em placas com pequenas deflexões efeitos de

membrana causados por bordas imóveis no plano da placa podem ser praticamente

desconsiderados.

Placas espessas: As teorias aproximadas de placas finas, discutidas acima,

se tornam pouco confiáveis no caso de placas com espessura considerável,

especialmente em casos de carregamentos altamente concentrados. Em um caso

como esse, a teoria da placa espessa deve ser aplicada. Esta teoria considera que o

problema das placas como sendo um problema tridimensional de elasticidade. A

análise de esforços se torna, consequentemente, mais complexa e, até agora, o

problema é completamente resolvido somente para alguns casos particulares.

Usando esta análise, as correções necessárias para a teoria de placas finas nos

pontos de aplicação de cargas concentradas pode ser introduzido.

As suposições principais da teoria de placas finas também forma a base para

a teoria usual de cascas finas. Existe, no entanto, uma diferença substancial no

comportamento das placas e das cascas sobre a ação de carregamentos externos.

O equilíbrio estático de uma placa sob um determinado carregamento lateral só é

possível pela ação de momentos flexores e torcedores, usualmente acompanhados

por forças cisalhantes, enquanto uma casca, geralmente, é capaz de transmitir o

carregamento da superfície por efeitos de membrana, os quais agem paralelamente

ao plano tangencial a um dado ponto no meio da superfície e são distribuídos

uniformemente atrás da espessura da casca. Esta propriedade das cascas faz delas,

como regra, uma estrutura muito mais rígida e econômica do que a placa seria sob

as mesmas condições.

Em princípio, as forças de membrana são independentes de flexão e são

inteiramente definidas pelas condições de equilíbrio estático. Os métodos de

determinação destas forças representam a chamada “teoria das membranas em

cascas”. No entanto, as forças reativas e deformações obtidas pelo uso da teoria

das membranas em bordas de cascas geralmente se tornam incompatíveis com as

11

condições de contorno verdadeiras. Para remover esta discrepância, a flexão da

casca na zona de bordo tem que ser considerada, o que pode afetar levemente a

magnitude das forças calculadas na membrana. Esta flexão, no entanto, usualmente

tem um caráter muito localizado e pode ser obtida com base nas mesmas

associações que foram usadas em casos de pequenas deflexões de placas finas.

Mas há alguns problemas, especialmente nas questões que envolvem a estabilidade

elástica das cascas, na qual a associação de pequenas deflexões deve ser

descontinuada e a teoria das grandes deflexões deverá ser utilizada.

Se a espessura de uma casca for compatível com raio de curvatura, ou se

nós considerarmos os esforços perto das cargas concentradas, outra teoria mais

rigorosa, similar a das placas espessas, deverá ser aplicada.

2.1. HISTÓRICO

Enquanto o desenvolvimento da mecânica das estruturas começou com a

investigação de problemas estáticos, os primeiros estudos analíticos e experimentais

em placas foram devotados quase que exclusivamente a vibrações livres.

A primeira abordagem a teoria das membranas de placas muito finas foi

formulada por L. Euler em 1766. Euler resolveu os problemas de vibrações livres de

membranas elásticas retangulares, triangulares e circulares usando a analogia de

dois sistemas de cordas esticadas perpendiculares uma a outra. Jacques Bernoulli,

seu estudante, estendeu a analogia de Euler ao trocar a rede de cordas por uma

malha de vigas tendo somente rigidez a flexão. Uma vez que a resistência à torção

das vigas não foi incluída nas equações diferenciais obtidas das placas, encontrou

somente uma semelhança geral entre sua teoria e experimentos, sem uma

concordância mais próxima.

Um ímpeto real para a pesquisa de vibrações em placas, no entanto, foi dado

pelo físico alemão Ernst Florenz Friedrich Chladni (1756 -1827). Em seu livro sobre

acústicas, ele descreve diversos trabalhos de vibração em placas. Chladni descobriu

modos de vibrações livres em seus experimentos, utilizando pó distribuído

uniformemente o qual formou padrões regulares após vibrações serem introduzidas.

12

O pó acumulou-se ao longo das linhas nodais, onde o deslocamento ocorreu. Em

adição, ele foi capaz de determinar as frequências correspondentes a estes padrões

de vibrações. Convidado pela Academia Francesa de Ciências em 1809, ele

demonstrou seus experimentos em Paris. A apresentação de Chladni também foi

assistida pelo Imperador Napoleão, o qual ficou muito impressionado com suas

demonstrações. A pedido então do próprio imperador, abriu-se um concurso na

academia a fim de receber trabalhos lidando com a teoria matemática da vibração

em placas fundamentadas por verificações experimentais de resultados teóricos.

Após a competição ter seu prazo para entrega dos estudos prorrogado por duas

vezes pelo fato de ninguém ter submetido nenhum trabalho, somente uma pesquisa

intitulada “Reserches sur la théorie des surfaces élastiques,” escrita pela matemática

Marie-Sophie Germain (S. Germain, “L’état des sciences et des Lettres,” Paris, 1833)

foi mandada no último dia em que o concurso seria encerrado.

Ainda jovem, Germain começou a estudar matemática para escapar do horror

psicológico provocado pelos abusos da Revolução Francesa. Ela até mesmo

correspondeu-se com os maiores matemáticos de seu tempo, incluindo Lagrange,

Gauss e Legendre, usando o pseudônimo La Blanc. Presumidamente, ela usou esse

pseudônimo pela razão de que matemáticos femininos não eram levados a sério em

seu tempo.

Em seu primeiro trabalho na teoria das vibrações das placas, ela usou

(seguindo o trabalho anterior de Euler em curvas elásticas) uma aproximação da

energia de tensão. Mas ao avaliar a energia da tensão usando o método dos

trabalhos virtuais, ela cometeu um erro e obteve uma equação incorreta para

vibrações livres na placa como demonstrado a seguir:

(

)

(1)

Onde z(x,y,t) representam a superfície média de uma placa em movimento expresso

em um sistema de coordenadas cartesiano X, Y, Z; t é o tempo e denota a

constante contendo propriedades físicas da placa que vibra. Esta constante não era

claramente definida no trabalho dela, no entanto. Lagrange, que era um dos jurados,

13

percebeu este erro matemático e o corrigiu. A equação diferencial obtida agora

descrevendo corretamente as vibrações livres na placa agora seguia como:

(

)

(2)

Uma vez que os jurados não estavam inteiramente satisfeitos com o trabalho

de Germain, eles propuseram o trabalho novamente. Em outubro de 1813, Germain

entrou com a, agora corrigida, equação (2), mas deixou de fora a definição precisa

da constante k². Tornando novamente sua empreitada sem sucesso. Finalmente, em

sua terceira aproximação, ela ganhou o prêmio em 1816. Mas os jurados criticaram

sua definição para a constante k² uma vez que ela pensou que esta contivesse a

quarta força da espessura da placa no lugar do valor correto de h³. Embora seus

trabalhos originais sejam muito difíceis de ler e contenham alguns raciocínios

matemáticos e físicos dúbios, o mérito pela primeira equação diferencial

descrevendo vibrações livres em placas ainda pode ser dado a ela.

Em seguida, o matemático L. D. Poisson (1781-1840) fez uma tentativa de

determinação do valor correto da constante k² na equação diferencial de vibrações

em placas (equação 2). Assumindo, no entanto, que as partículas da placas estavam

localizadas em seu plano central, ele erroneamente concluiu que a constante é

proporcional ao quadrado da espessura da placa e não ao seu cubo.

Finalmente, o famoso engenheiro e cientista L. Navier (1785-1836) pode ser

creditado como o homem que desenvolveu a primeira equação diferencial das

placas correta, sujeita a carregamentos laterais distribuídos (x,y). A tarefa, na qual

Navier se propôs, não era nada menos do que a introdução de métodos

matemáticos rigorosos na análise estrutural. Em suas palestras, as quais eles

ministrou na École Polytechnique de análises estruturais, Navier integrou pela

primeira vez as descobertas isoladas de seus predecessores e os resultados de

suas próprias investigações em um sistema unificado. Consequentemente, a

publicação de seu livro sobre o assunto foi um importante marco no

desenvolvimento da análise estrutural moderna.

14

Navier aplicou as hipóteses de Bernoulli, as quais já eram utilizadas com

sucesso no tratamento de flexões de vigas, adicionando a elas as ações

bidimensionais de tensões e esforços, respectivamente. Em seu trabalho sobre o

tema (publicado em 1823), ele corretamente definiu as equações diferenciais

governantes das placas sujeitas a esforços laterais estáticos (x,y) como:

(

)

(3)

Nesta equação, D denota a rigidez a flexão da placa, a qual agora é proporcional ao

cubo da espessura desta, enquanto que w(x,y) representam a superfície central

fletida.

Para a solução de certos problemas de valores de contorno em placas

retangulares, Navier introduziu um método que transforma a equação diferencial da

placa em uma equação algébrica. Esta aproximação é baseada no uso de séries

duplamente trigonométricas introduzidas por Fourier na mesma década. Esta

solução forçada, por assim dizer, da equação diferencial da placa (equação 3) rende

resultados matematicamente corretos para vários problemas com relativa facilidade

desde que as placas sejam simplesmente apoiadas em seu contorno. Ele também

desenvolveu uma equação diferencial válida para flambagem de placas sujeitas a

forças de compressão uniformemente distribuídas ao longo do contorno. Ele falhou,

no entanto, em obter uma solução para este problema mais complexo. Seus

trabalhos teóricos posteriores estabeleceram conexões entre elasticidade e

hidrodinâmica, baseados em uma “hipótese molecular”.

Foi então a vez de Gustav R. Kirchhoff (1824 – 1887), desenvolver a primeira

teoria completa sobre flexões de placas. Em seu trabalho baseado nas hipóteses de

Bernoulli para vigas em 1850, ele derivou as mesmas equações diferenciais para

flexões de placas que Navier, no entanto, usando uma aproximação diferente no

tocante a energia. Sua contribuição para a teoria das placas foi a introdução para

forças suplementares de contorno. Estas “forças de cisalhamento equivalente”

substituíam os momentos torcionais nos bordos das placas. Consequentemente,

todas as condições de contorno poderiam agora ser declaradas em função dos

deslocamentos e suas derivadas em relação a x ou y. Mais adiante, Kirchhoff é

15

considerado como o fundador da teoria das placas estendida, a qual leva em conta a

combinação de flexão e deformação. Ao analisar placas com grandes deflexões, ele

descobriu que termos não lineares não poderiam mais ser ignorados. Suas outras

contribuições são o desenvolvimento de uma equação de frequências de placas e a

introdução do método dos deslocamentos virtuais para a solução de vários

problemas em placas. Seu livro foi posteriormente traduzido para o francês por

Clebsch, a obra incluía inúmeros comentários por Saint-Venant, o mais importante

sendo a extensão da equação diferencial da flexão, a qual considera, em termos

matematicamente corretos, a ação combinada de flexão e deformação.

Por volta da virada do século, construtores de navios mudaram seus métodos

construtivos substituindo a madeira por aço estrutural. Esta mudança no material

constituinte das estruturas foi extremamente frutífera para o desenvolvimento de

várias teorias sobre placas. Cientistas russos fizeram uma contribuição significativa a

arquitetura naval ao serem os primeiros a substituir métodos antigos de construção

de navios por teorias matemáticas da elasticidade. Krylov (1863 – 1945) e seu aluno

Boobnov contribuíram especialmente para a teoria das placas com rigidezes a flexão

e a deformação. Por causa da barreira linguística existente, o ocidente levou tempo

para reconhecer esses feitos e fazer uso deles. Foi graças a Timoshenko que a

atenção do oriente gradualmente começou a se voltar para a pesquisa Russa, no

campo da teoria da elasticidade. Entre as inúmeras contribuições de Timoshenko,

estão a solução para placas circulares considerando grandes deflexões e a

formulação de problemas de estabilidade elástica.

Föppl, em seu livro sobre Engenharia Mecânica publicado primeiramente em

1907, já havia tratado da teoria não linear das placas. A forma final das equações

diferenciais da teoria de grandes deflexões, no entanto, foi desenvolvida pelo

cientista húngaro Kármán, o qual em seu trabalhos posteriores também investigou o

problema da largura efetiva e o comportamento pós-flambagem das placas.

O desenvolvimento da indústria aeronáutica moderna promoveu outro

importante ímpeto no caminho das investigações analíticas mais rigorosas de vários

problemas em placas. Problemas de forças no plano, comportamento pós-

flambagem, vibrações e placas rígidas foram analisados por muitos cientistas.

16

A análise da flexão em placas é um campo clássico para a aplicação do

método das diferenças finitas. Esta abordagem numérica gera resultados muito úteis

para uma grande variedade de problemas de placas específicos onde os métodos

analíticos falham. O método das diferenças finitas é baseado na discretização

matemática do contínuo das placas. Em muitos casos, este método requer somente

uma calculadora científica avançada para resolver as equações simultâneas

resultantes. Nádai utilizou esta técnica em 1925 para a solução de problemas

práticos de placas à mão. Por volta de 1940, Southwell revisou o método das

diferenças finitas na Inglaterra. Stüssi e Collatz mais adiante aperfeiçoaram esta

técnica numérica, a qual ainda é lembrada como uma ferramenta prática de análise

de placas apesar da existência do método dos elementos finitos.

A invenção de computadores eletrônicos no final da década de 40 exerceu a

influência mais dramática na análise numérica de placas estruturais. Embora, em

1941, Hrennikoff já tivesse desenvolvido um sistema equivalente de malhas para a

análise estática de problemas complexos de placas, seu trabalho fundamental

relacionado a um processo de discretização física do contínuo não poderia ser

totalmente utilizado devido à falta de computadores de alta performance, uma vez

que o alto número de equações diferenciais acopladas retornado não poderia ser

resolvido por meios convencionais.

Apesar das placas estruturais possuírem uma infinidade de aplicações em

construções, indústria aeroespacial, naval e automotora, infelizmente soluções

analíticas exatas e aproximadas são limitadas a placas de espessura constante e

com condições de contorno relativamente simples. Porém, as indústrias desejam na

época um procedimento genericamente aplicável, altamente versátil e

computadorizado que permitisse lidar com todos os problemas de placas reais de

um modo uniforme. Em 1956, Turner, Clough, Martin e Topp, introduziram o Método

dos Elementos Finitos, o qual se tornou a mais importante ferramenta para

engenheiros e cientistas para a resolução de problemas altamente complexos de

elasticidade e não elasticidade contínua de um modo econômico. É importante

salientar que o método dos elementos finitos já havia sido inventado em 1943 pelo

matemático Courant, o qual em seu estudo sobre métodos variáveis discutiu todos

os fundamentos teóricos desta técnica numérica, baseado, novamente, em

discretizações físicas do contínuo. No entanto, seu trabalho permaneceu intangível

17

durante quase uma década principalmente pela falta de comunicação apropriada

entre engenheiros e matemáticos. Várias contribuições originais neste campo são

devido a Argyris e Zienkiewicz (1965). A maioria dos trabalhos científicos publicados

até a presente data sobre placas é relacionada com extensões e refinamentos do

método dos elementos finitos aplicados a vários problemas práticos e teóricos neste

campo.

Aplicações de placas em pontes

O uso placas é frequentemente associado ao cálculo de esforços em

tabuleiros de pontes, sendo este uma peça estrutural contínua em duas dimensões

com a finalidade de que um carregamento aplicado seja suportado por distribuições

de forças de cisalhamento bidimensionais causadas pelo tráfego, fatores climáticos

e afins.

Dentre os tipos de tabuleiros podemos enumerar:

a) Sólido

b) Vazado

c) Composto sólido

d) Composto Vazado.

Figura 3 - Modelos de tabuleiros de pontes. (Fonte: HAMBLY, 1991)

18

2.2. TEORIA DAS PLACAS

Neste item do trabalho, o objetivo principal é a demonstração matemática da

obtenção da equação (3), bem como da obtenção das equações referentes aos

esforços internos em placas que derivam desta.

Para o estudo de peças estruturais em forma de placa, é indispensável o

entendimento completo do comportamento do elemento. Uma placa é um elemento

estrutural tridimensional e seu comportamento pode ser escrito através das

seguintes equações (CHUN, 2010):

a. Equações de equilíbrio

(4)

(5)

(6)

b. Equações constitutivas

[

( )]

(7)

[

( )]

(8)

[

( )]

(9)

(10)

19

(11)

(12)

c. Equações de compatibilidade

(13)

(14)

Nota-se que há 15 incógnitas para serem determinadas através destes três

conjuntos de equações – 6 tensões, 6 deformações e 3 deslocamentos – o que torna

uma solução analítica extremamente complexa.

Isto pode ser solucionado através da aplicação de alguma hipótese

simplificadora, onde, assumindo algumas condições conhecidas e aceitáveis, pode-

se encontrar uma solução com maior facilidade.

CHUN apud HANGAI (1995) caracteriza os tipos de solução para problemas

de placas conforme sua espessura, que pode ser vista no quadro 1.

Espessura Ordem de grandeza1 Hipótese apropriada

Muito Espessa 100 Segunda ordem

Espessa 10-1 – 100 Reissner-Mindlin

Delgada 10-1 Kircchoff-Love

Muito delgada 10-2 Membrana

QUADRO 1 - HIPÓTESES PARA CADA TIPO DE PLACA EM FUNÇÃO DA ESPESSURA.

FONTE: CHUN, (1995)

1 Corresponde à ordem de grandeza da relação entre espessura e comprimento de borda.

20

Em geral, as aplicações de placas em Engenharia Civil remetem ao uso de

placas de espessura delgada, como no caso de lajes e pontes em concreto armado.

Neste caso, o estudo da parte analítica deste trabalho será embasado na teoria de

Kirchhoff-Love.

2.3. TEORIA DE KIRCCHOFF-LOVE

Como já citado anteriormente, uma abordagem matematicamente exata para

um problema de placa fina carregada sobre sua superfície requer solução de

equações diferenciais de grande complexidade. Porém a aplicação da teoria clássica

de Kirchhoff-Love para estas placas produz resultados suficientemente precisos

(SZILARD, 2004).

As hipóteses simplificadoras adotadas pela teoria para dedução da equação de

placa são as seguintes:

a. Material homogêneo, isotrópico e elástico linear, obediente à Lei de Hooke;

b. Placa inicialmente plana;

c. A superfície média da placa permanece indeformável durante a flexão;

d. A espessura da placa é pequena em comparação às outras dimensões

(conforme citado no quadro 1);

e. Os deslocamentos transversais são pequenos em relação à

espessura da placa. Uma deflexão de até 1/10 da espessura é aceitável para

uma teoria de pequenas deformações (SZILARD, 2004);

f. As inclinações da superfície média da placa são pequenas;

g. As seções transversais da placa tendem a permanecerem normais à

superfície média da placa – hipótese de Bernoulli;

h. As tensões normais na direção do eixo Z ( podem ser negligenciadas.

21

Figura 4 - Placa carregada (a) e estado de tensões provocado pelo carregamento (b). (Fonte: SZILARD, 2004).

As hipóteses então podem ser escritas como equações conforme segue:

Hipótese (c) – superfície média da placa indeformável:

(15)

Hipótese (e) – deformações infinitesimais:

(

)

(

)

(16)

22

Hipótese (g) – As seções transversais da placa permanecem perpendiculares

à superfície média:

(17)

Hipótese (h) – Tensões negligenciadas:

(18)

Ao se aplicar estas hipóteses nas equações gerais acima descritas,

transforma-se um problema de análise tridimensional em um problema

bidimensional.

Pode-se então, convenientemente escrever a placa carregada com a

representação dos seus esforços internos, em coordenadas ortogonais para placas

com esta configuração.

Figura 5 - Placa carregada com a representação dos seus esforços internos. (Fonte: SZILLARD 2004).

Fazendo todas as passagens matemáticas a partir da equação geral por fim,

podemos escrever a equação de placa como sendo

23

(19)

Ou, aplicando o operador laplaciano

em (19) pode-se escrever:

(20)

Onde

(21)

Assim, as equações que representam os momentos fletores e torcedores da

placa podem ser escritas como:

(

)

(22)

(

)

(23)

(

)

(24)

2.4. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DE LAGRANGE

Pode-se resolver a equação (20) aplicando a solução de Navier, para a qual

se considera ser w (x,y) uma função tipo série dupla de senos que verifica

simultaneamente a equação de Lagrange e também as condições de contorno.

24

2.4.1. Placas simplesmente apoiadas em todas as extremidades

Figura 6 - Sistema de coordenadas para uma placa retangular simplesmente apoiada. (Fonte: TIMOSHENKO, 1959).

No caso da placa apoiada em todos os seus quatro bordos, temos as

seguintes condições de contorno:

{

, p/ x=0 e x=a (25)

{

, p/ y=0 e y=b (26)

A partir destas condições, aplica-se a série dupla de Fourier:

∑ ∑

(27)

25

A carga p(x,y) também pode ser representada através de uma série dupla de

Fourier

∑ ∑

(28)

Onde e são os coeficientes e m e n são números inteiros positivos.

Substituindo então as expressões na equação (19) temos: (SZILLARD, 2004)

(

)

(29)

Assim pode-se isolar o valor de :

(

)

(30)

E, por fim, pode-se apresentar uma solução analítica para as equações

diferenciais como sendo:

∑ ∑

(

)

(31)

∑ ∑

(

)

(32)

26

∑ ∑

(

)

(33)

∑ ∑

(

)

(34)

∑ ∑

(35)

∑ ∑

(36)

Para o cálculo do coeficiente particular multiplica-se ambos os lados da

equação (28) por

e integrando de 0 a b. (TIMOSHENKO, 1959).

∫

∑

(37)

Multiplicando então por

ambos os lados da equação (37), e

integrando a mesma entre 0 e a, tem-se:

∫ ∫

(38)

Assim

27

∫ ∫

(39)

Pode-se particularizar para o caso deste trabalho a função carga , já

que o objetivo é a análise de placas submetidas uma carga uniformemente

distribuída sobre suas superfícies. Pode-se, desta forma, tomar como uma

constante :

∫ ∫

(40)

Assim, é possível escrever as equações das deformações na placa como sendo:

∑ ∑

(

)

(41)

Esta série se configura como uma série de rápida convergência, o que

garante um resultado aceitável já no seu primeiro termo (TIMOSHENKO, 1959).

Porém com o advento da computação nos dias de hoje, pode-se obter resultados

mais precisos com grande rapidez, fazendo com que o cálculo dos outros termos da

somatória de Fourier da equação possa ser uma ferramenta interessante em

determinados casos.

A convergência das séries para determinação dos esforços internos não se dá

de maneira tão rápida quanto no caso da equação (41), portanto é aconselhável que

se obtenha mais termos para melhores resultados (TIMOSHENKO, 1959).

∑ ∑

(

)

(42)

28

∑ ∑

(

)

(43)

∑ ∑

(

)

(44)

∑ ∑

(

)

(45)

∑ ∑

(

)

(46)

2.4.2. Placas simplesmente apoiadas em duas extremidades com outras duas

livres

Placas com esta configuração são bastante comuns em problemas de

Engenharia, como no caso de passarelas onde seja necessária abertura suficiente

que não permita a utilização de vigas de bordo.

29

Figura 7 - Sistema de coordenadas para uma placa retangular simplesmente apoiada em duas extremidades com as outras duas livres. (Fonte: TIMOSHENKO, 1959).

As condições de contorno para uma placa com duas extremidades livres e

outras duas simplesmente apoiadas podem ser escritas como sendo

{

(

)

⁄

[

]

⁄

(47)

Assumindo que a carga é uniformemente distribuída e ambas extremidades

são idênticas livres, o comportamento da placa retangular será simétrico em relação

ao eixo x (TIMOSHENKO, 1959). Esta é uma grande vantagem da utilização do eixo

x no centro da placa, podendo, desta forma, considerar os efeitos apenas ao longo

de y=b/2.

Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1959) escreve a deformação para este

tipo de placa como sendo

(48)

30

Onde

∑

(49)

∑

(50)

Onde o coeficiente particular é dado por

(

)

(51)

Aplicando-se então as condições de contorno e resolvendo as equações para os

coeficientes e , obtém-se a equação geral do deslocamento da placa:

∑ (

)

(52)

(53)

(54)

Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1959) apresenta uma solução da

somatória para o caso de . Como este trabalho tem por fim o estudo de

placas de concreto, este coeficiente de Poisson não é válido, portanto, são

resolvidas as somatórias para o caso de , conforme apresentado no quadro 2.

31

No caso dos momentos fletores, que não dependem do coeficiente de Poisson,

podem ser utilizados os resultados já obtidos e apresentados no mesmo quadro.

⁄

0,5 0,01300 0,1235 0,0102 0,01350 0,1259

1 0,01316 0,1225 0,0271 0,01463 0,1318

2 0,01306 0,1235 0,0364 0,01597 0,1329

∞ 0,01303 0,1250 0,0375 0,01724 0,1330

QUADRO 2 - COEFICIENTES DE DEFLEXÃO DE PLACA COM DUAS EXTREMIDADES

SIMPLESMENTE APOIADAS E DUAS EXTREMIDADES LIVRES PARA .

Fonte: O AUTOR; TIMOSHENKO e WOINOWSKY-KRIEGER, (1959).

Nota-se que a deformação e os esforços internos da placa nestas condições

se dão com mais intensidade nos bordos externos (para y=+-b/2) do que no centro.

Este fenômeno pode ser explicado pela maior rigidez que o centro da placa

apresenta em relação aos bordos.

2.4.3. Placas com todos os bordos engastados

As aplicações de placas com continuidade são inúmeras em Engenharia Civil,

como o caso de pontes em vigas e lajes de edifícios.

Para este caso, as condições de contorno podem ser escritas da seguinte

forma

(55)

Válido para toda a extensão do contorno da placa. A representação gráfica das

coordenadas pode ser feita conforme figura 8.

32

Figura 8 - Sistema de coordenadas para uma placa retangular engastada. (Fonte: TIMOSHENKO, 1959).

Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1959) demonstra a deflexão em placas

com quatro bordos engastados através de uma superposição de efeitos. É

determinado o deslocamento de uma placa semelhante simplesmente apoiada e,

fazendo uma série de deduções envolvendo rotação nos apoios e os momentos de

engastamento, chega-se a uma deflexão “negativa” da placa.

A deflexão de uma placa simplesmente apoiada com a origem em seu centro

(figura 8) pode ser escrita como sendo:

∑

(

)

(56)

A rotação em

é escrita como:

33

(

)

∑

[

(

)]

∑

[

]

(57)

E o momento fletor no bordo

como:

( )

∑

(58)

Com isto, pode-se escrever a deflexão neste bordo:

∑

(

)

(59)

E a rotação como sendo:

(

)

∑

(

)

(60)

Definidas estas relações, é necessária também a determinação dos

comportamentos nos bordos paralelos ao eixo y. Portanto:

(

)

∑

(

)

(61)

34

(

)

∑

(

)

(62)

A expressão entre parênteses é função de y que desaparece para a condição

. Pode-se representar então esta função como uma série:

∑

(63)

Calculando o coeficiente através da equação:

∫ (

)

(64)

Tem-se

⁄

(

)

[( )

( )

]

(65)

Inserindo (65) em (62) e (63):

(

)

∑

∑

⁄

[( )

( )

]

(66)

Da mesma forma podem ser obtidas as deflexões e a rotação nos bordos

onde atuam os momentos . Assumindo a simetria e adotando para o bordo

:

35

∑

(67)

Obtém-se usando as expressões (60) e (66):

(

)

∑

(

)

(68)

(

)

∑

∑

⁄

[( )

( )

]

(69)

Tendo em vista que deve-se obedecer a condição de contorno que implica em

uma rotação final nula nos bordos da placa, pode-se escrever:

(

)

(

)

(70)

(

)

(

)

(71)

Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1959) exemplifica a resolução destas

equações para o caso de uma placa quadrada, onde . Também é

apresentado um quadro com coeficientes para cálculo de deflexões e momentos

fletores para diversas relações de comprimentos de bordo que está apresentada no

quadro 3.

36

⁄

( ) ( )

1,0 0,00126 -0,0513 -0,0513 0,0231 0,0231

1,1 0,00150 -0,0581 -0,0538 0,0264 0,0231

1,2 0,00172 -0,0639 -0,0554 0,0299 0,0228

1,3 0,00191 -0,0687 -0,0563 0,0327 0,0222

1,4 0,00207 -0,0726 -0,0568 0,0349 0,0212

1,5 0,00220 -0,0757 -0,0570 0,0368 0,0203

1,6 0,00230 -0,0780 -0,0571 0,0381 0,0193

1,7 0,00238 -0,0799 -0,0571 0,0392 0,0182

1,8 0,00245 -0,0812 -0,0571 0,0401 0,0174

1,9 0,00249 -0,0822 -0,0571 0,0407 0,0165

2,0 0,00254 -0,0829 -0,0571 0,0412 0,0158

∞ 0,00260 -0,0833 -0,0571 0,0417 0,0125

QUADRO 3 – VALORES DE DEFLEXÃO E MOMENTOS FLETORES DE PLACA COM

EXTREMIDADES ENGASTADAS EM SEUS QUATRO BORDOS.

Fonte: TIMOSHENKO e WOINOWSKY-KRIEGER, (1959)

2.5. FORMULAÇÃO ANALÍTICA PARA PLACAS ESCONSAS

O estudo de placas esconsas já remonta de longa data. Taylor (1937), já na

primeira metade do século XX, estudava placas esconsas para serem usadas como

pontes. Inclusive criou teorias de arranjos de vigas a serem utilizados em casos de

pontes de pequena ou grande esconsidade, conforme Figura 9.

Figura 9 - Modelo de ponte de grande esconsidade de Taylor. (Fonte: TAYLOR, 1937)

37

Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1959), além de citar que “[...] placas em

forma de paralelogramo têm sido largamente utilizadas em lajes e pontes esconsas

[...]”, publicou uma resolução numérica da deformação e momento fletor máximo

para estas placas com relação entre comprimento e largura fixa. Através do método

das diferenças finitas, chegou a valores de coeficientes para alguns ângulos de

esconsidade. Estes resultados estão apresentados no item 2.5.1 e servem como

base comparativa deste presente estudo.

Rüsch (1965), que teve imensa importância no estudo das pontes em

concreto armado, publicou livros com tabelas contendo coeficientes para auxílio no

dimensionamento de pontes ortogonais (livro 1) e esconsas (livro 2).

Leonhardt (1979) cita a importância da consideração de alguns fatores no

projeto de pontes esconsas. Estes fatores são “a relação entre a largura e o

comprimento da ponte, o próprio ângulo de esconsidade e o tipo de apoio a ser

utilizado”.

A Prestressed Concrete Institute (1997) publicou que pontes com ângulos de

esconsidade acima de 20 graus influenciam de forma importante no momento fletor,

no cisalhamento em regiões de extremidade e no comportamento sísmico da placa.

Para início da formulação matemática para estudo de placas esconsas, faz-se

necessária a adoção de um sistema de coordenadas conveniente para a geometria.

Pode-se apresentar a relação entre as coordenadas retangulares e

coordenadas oblíquas. As coordenadas seguem os eixos X e Y, com origem no

ponto O, sendo o ângulo entre o eixo y e o eixo Y representa o ângulo de

esconsidade α da placa.

38

Figura 10 - Representação das coordenadas oblíquas em placa esconsa. (Fonte: CHUN, 2010).

MORLEY (1963) escreve a relação entre as coordenadas retangular e oblíqua

da seguinte forma:

[ ] [

] [ ]

(72)

{

(73)

Transforma-se então o operador laplaciano da equação X.X (derivada a

quarta) de um sistema de coordenadas retangular para o sistema oblíquo.

(

)

(74)

Pode-se então expressar a equação geral de placas em função das suas

coordenadas oblíquas:

39

[

(

)

]

(75)

“Uma solução analítica para a equação (75) é complicada devido à ausência

de relações ortogonais. Além disso, soluções rigorosamente exatas são difíceis e

raramente são encontradas, bem como os problemas ângulos tornam estas

soluções exatas ainda mais difíceis.” (SZILLARD, 2004).

“Quando métodos analíticos se tornam inviáveis na resolução de problemas

de placas, como no caso de placas esconsas, métodos numéricos devem ser

utilizados”. (SZILLARD, 2004).

2.5.1. Momentos principais

A título de dimensionamento, Leonhardt (1979) explica que é necessário

esclarecer o desenvolvimento dos momentos principais, que são diferentes para

cada tipo de carregamento. Estes momentos principais dependem dos momentos

fletores nas direções x e y da placa, bem como do momento de torção em cada

ponto a ser estudado, já que a direção dos momentos principais muda conforme os

pontos.

Os momentos principais em cada ponto da placa podem ser obtidos através

da equação do estado plano (76) e as respectivas direções através da equação (77).

√(

)

(76)

(77)

40

A principal dificuldade da aplicação destas equações é a determinação de

cada um destes valores de momentos. Como já citado anteriormente, a formulação

matemática é complexa para casos gerais.

Para resolver problemas de Engenharia, alguns engenheiros pesquisadores

elaboraram tabelas que fornecem estes valores para o caso do concreto armado.

Entre eles, podem ser citados como exemplo Rüsch2, Homberg3, Stiglat4 e

Schleicher5.

Deve-se ressaltar que o comportamento dos momentos principais depende

das condições de contorno da placa. Placas com os bordos apoiados tendem a ter

os esforços seguindo na direção das vigas de apoio, já placas com bordos livres têm

os seus esforços seguindo o caminho mais curto até os apoios opostos.

(PRESTRESSED CONCRETE INSTITUTE, 1997).

Figura 11 - Direção de caminhamento de cargas em pontes esconsas (Fonte: PCI, 1997)

Com estes valores, o cálculo dos momentos para a placa com ângulo de

esconsidade ficará em função do ângulo entre a direção dos momentos principais e

o ângulo , donde se definem os momentos fletores dos eixos de simetria da placa

esconsa conforme figura 12.

2 RÜSCH, H. Berechnungstafeln für schiefwinklige fahrbahnplatten von strassenbrücken. Berlim: W. Ernst u.

Sohn, 1965. 3 HOMBERG, H., Marx, W.R. Schiefe Stäbe und Platten. Berlim: Werner Verlag Düsseldorf, 1958.

4 STIGLAT, K., Einflußfelder rechteckiger und schiefer platen mit randbalken. Berlim: W. Ernst u. Sohn, 1965.

5 SCHLEICHER, C. Durchlaufende schiefe platten. Berlim: VEB, 1968.

41

Figura 12 - Sistema de coordenadas de placa esconsa em função da direção dos momentos principais. (Fonte: RÜSCH, 1965).

{

[ ]}

(78)

{

[ ]}

(79)

2.5.2. Esforços cortantes e reações de apoio

Com relação aos esforços cortantes, Leonhardt (1979) cita que a verificação

ao cisalhamento deve ser feita através das reações de apoio:

“[...] determinam-se as tensões τ0 a uma distância h/2 da face do aparelho de apoio.

[...] No caso de lajes de concreto armado, pode ser necessário adotar estribos nas

zonas próximas aos apoios, principalmente nos cantos obtusos.”

Hambly (1991) se refere à importância da verificação do esforço cortante e da

reação de apoio nas regiões de ângulo obtuso, onde pode haver grandes

42

concentrações devido ao fato de que as cargas tendem a percorrer o caminho mais

curto aos apoios. Este fenômeno, além de implicar na sobrecarga destas regiões,

acaba ainda tendendo ao levantamento da região de ângulo agudo.

Figura 13 – Comportamentos particulares de placas esconsas. (Fonte: HAMBLY, 1991)

Hambly (1991) sugere, para amenizar os efeitos da esconsidade, apoiar a

placa em apoios elásticos que dividam as grandes reações de apoio entre as regiões

de ângulo agudo e obtuso, equilibrando estes efeitos. Isto acaba acarretando na

redução dos esforços cortantes e equilibrando ainda a torção na placa e os

momentos fletores. O efeito de levantamento do canto agudo pode ser eliminado

com esta providência, porém acarreta em uma nova redistribuição de esforços no

vão.

Hambly (1991) ainda cita que para pontes de laje com vigas nos bordos o

efeito da esconsidade não é tão significativo. A Figura 14 mostra, a grosso modo, a

direção dos momentos principais para diferentes casos de apoio da laje.

43

Figura 14 - Direção dos momentos principais para lajes esconsas (a) estreitas, (b) largas, (c) com quatro bordos apoiados e (d) com bordos engastados. (Fonte: HAMBLY, 1991).

2.5.3. Modelos para cálculo de esforços em placas esconsas

2.5.3.1. Modelo numérico de Timoshenko

Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1959) apresenta uma solução numérica

para os casos de placas esconsas simplesmente apoiadas em todas as suas

extremidades e para o caso de duas extremidades livres, conforme ilustrado na

Figura 15.

44

Figura 15 - Modelos de placa esconsa simplesmente apoiada em todas as extremidades (a) e com duas extremidades livres (b). (Fonte: TIMOSHENKO, 1959).

Os modelos matemáticos do comportamento das placas foram escritos como

sendo:

Para placa simplesmente apoiada em todas as extremidades:

(80)

(81)

Para placa com dois bordos livres:

(82)

(83)

(84)

(85)

A solução apresentada por Timoshenko foi obtida através do método das

diferenças finitas e está apresentada no quadro 4, onde é o coeficiente para

deslocamentos e para os momentos fletores.

45

m n α β α0 α1 β 0 β 1

0° 2 2 0,01013 0,09999 0,2140 0,224 0,495 0,508

30° 2 1,73 0,01046 0,09680 0,1183 0,1302 0,368 0,367

45° 2 1,414 0,00938 0,08980 0,0708 0,0869 0,291 0,296

60° 2 1 0,00796 0,07720 0,0186 0,0396 0,166 0,152

75° 2 0,518 0,00094 0,03350 - - - -

QUADRO 4 – COEFICIENTES DE DEFLEXÃO E MOMENTOS FLETORES PARA PLACAS

ESCONSAS.

FONTE: TIMOSHENKO e WOINOWSKY-KRIEGER (1959).

Este é um método que, segundo Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1959)

começou a ser desenvolvido em 1941 por Jensen e Allen, pesquisadores da

universidade de Illinois, e aperfeiçoado ao longo do tempo até ser publicado. Foram

resultados obtidos numericamente através do Método das Diferenças Finitas.

Este método permite que se calculem esforços e deslocamentos de placas

esconsas que pertençam a um universo bastante limitado, pois como se pode

observar, os coeficientes disponíveis se limitam a apenas uma relação entre lados

da placa, bem como ângulos de esconsidade específicos.

Com as ferramentas computacionais disponíveis nos dias atuais, a

modelagem de placas tornou-se uma tarefa trivial em diversos aplicativos

eletrônicos. Estes aplicativos, em sua grande maioria, utilizam-se do método dos

elementos finitos para resolução de problemas de Engenharia. O subcapítulo 2.6

trata, de forma simplificada, do funcionamento teórico do método dos elementos

finitos, bem como de suas hipóteses de cálculo.

2.5.3.2. Modelo de Rüsch para pontes esconsas

O modelo de Rüsch completo foi publicado em 1967 como uma ferramenta

para projeto e dimensionamento de pontes. Em 1961, Rüsch e Hergenröder

publicaram os primeiros ábacos para determinação dos coeficientes em placas

esconsas solicitadas por carregamento distribuído uniforme. Anos mais tarde,

46

lançou-se, além das tabelas, superfícies de influência para cargas concentradas,

possibilitando assim cálculo de lajes de pontes esconsas com grande precisão.

O modelo consiste em uma série de tabelas e superfícies de influência para

determinação de esforços ao longo de lajes esconsas em concreto armado com dois

bordos apoiados e dois bordos livres.

Por ser um método aplicado em pontes, Rüsch (1967) considera três tipos de

carregamento envolvidos na laje:

a. Carregamento móvel aplicado do veículo (P)

b. Carregamento de multidão distribuído sobre a pista principal (p)

c. Carregamento de multidão distribuído sobre o passeio (p’)

As tabelas fornecem, portanto, os coeficientes de momento para carga

unitária em pontos específicos das placas. Rüsch (1967) observa que para placas

livres existem 12 pontos de importância na avaliação do comportamento dos

esforços, dependendo do ângulo de esconsidade e da relação entre lados da placa,

que podem ser observados na Figura 16 e no quadro 5.

Figura 16 - Modelo de cálculo de laje esconsa proposto por Rüsch (Fonte: RÜSCH, 1967)

47

α b/lx Pontos importantes

90

0,4 A, B, E

0,6 A, B, C, E

1,0 A, B, C, D, E

1,6 A, B, C, D, E

60

0,4 A, B, E

0,6 A, B, C, E

1,0 A, B, C, D, E

1,6 A, B, C, D, E

45

0,4 A, B, C, E

0,6 A, B, C, E

0,67 A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, L

1,0 A, B, C, D, E

1,6 A, B, C, D, E

30

0,4 A, B, C, E

0,6 A, B, C, E

1,0 A, B, C, D, E

1,6 A, B, C, D, E

QUADRO 5 – PONTOS DE IMPORTÂNCIA NO DIMENSIONAMENTO DE PLACAS ESCONSAS.

FONTE: RÜSCH (1967)

Com isso, o momento fletor ou torcedor do ponto é dado pela expressão

(86)

Onde

momento devido ao carregamento unitário aplicado na pista principal

momento devido ao carregamento unitário distribuído na pista principal

momento devido ao carregamento unitário distribuído no passeio

coeficiente de impacto dinâmico

Estes valores de momento são obtidos através das seguintes equações

(RÜSCH, 1967):

(87)

Onde

coeficiente de Rüsch

48

No caso deste trabalho, será levado em consideração apenas a carga

distribuída sobre a placa, cujos valores de são obtidos dos ábacos a seguir para

cada um dos pontos:

Ponto A

Figura 17 - Posição do ponto A no modelo de Rüsch. (Fonte: RÜSCH e HERGENRÖDER, 1961)

Figura 18 - Ábaco de Rüsch para os coeficientes Ku e Kuv no ponto A. (Fonte: RÜSCH e HERGENRÖDER, 1961)

49

Ponto B

Figura 19 - Posição do ponto B no modelo de Rüsch. (Fonte: RÜSCH e HERGENRÖDER, 1961)

Figura 20 - Ábaco de Rüsch para os coeficientes Kx e Ky no ponto B. (Fonte: RÜSCH e HERGENRÖDER, 1961)

50

Figura 21 - Ábaco de Rüsch para o coeficiente Kxy no ponto B. (Fonte: RÜSCH e HERGENRÖDER, 1961)

Ponto C

Figura 22 - Posição do ponto C no modelo de Rüsch. (Fonte: RÜSCH e HERGENRÖDER, 1961)

51

Figura 23 - Ábaco de Rüsch para os coeficientes Ku e Kuv no ponto C. (Fonte: RÜSCH e HERGENRÖDER, 1961)

Ponto E

Figura 24 - Posição do ponto E no modelo de Rüsch. (Fonte: RÜSCH e HERGENRÖDER, 1961)

52

Figura 25 - Ábaco de Rüsch para o ponto E. (Fonte: RÜSCH e HERGENRÖDER, 1961)

2.5.3.3. Modelo de Homberg

O modelo de Homberg foi publicado pela primeira vez em 1958 e segue o

mesmo princípio do modelo de Rusch, porém mudam-se alguns critérios.

53

Segundo Leonhardt (1979) o modelo de Homberg assume que o

dimensionamento a flexão deve ser limitado a três pontos, ditados pela experiência,

onde os momentos principais atingem seus valores máximos. Estes pontos

determinam:

a. o máximo momento fletor positivo no centro da laje (m);

b. o máximo momento fletor positivo no vão do bordo livre (r);

c. o máximo momento fletor negativo de engastamento no canto de ângulo

obtuso (s).

A posição de cada um deles segue de acordo com a Figura 26 e baseiam-se

em uma convenção prática, do ponto de vista técnico.

Figura 26 - Modelo de cálculo de laje esconsa proposto por Homberg (Fonte: LEONHARDT, 1977)

2.6. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

2.6.1. Histórico

O Método dos Elementos Finitos (MEF) apresenta atualmente um nível de

desenvolvimento que permite a sua utilização por todo o tipo de projetista de

estruturas, e tem como objetivo a determinação do estado de tensão e de

deformação de um sólido de geometria arbitrária sujeito a ações exteriores.

(AZEVEDO, 2003).

54

O método dos elementos finitos surgiu como uma nova possibilidade para

resolução de problemas da teoria da elasticidade. Sendo baseado no método de

Rayleigh-Ritz, prevê a divisão do domínio de integração, contínuo, em um número

finito de elementos, como exemplificado na figura 27. (ASSAN, 2003)

Figura 27 - Rede de elementos finitos (Fonte: ASSAN, 2003)

Na década de 1950 engenheiros e pesquisadores envolvidos no

desenvolvimento de aviões a jato na Boeing iniciaram os primeiros trabalhos práticos

no estabelecimento do MEF aplicados à indústria aeronáutica. M. J. Turner, R. W.

Clough, H. C. Martin e L. J. Topp publicaram em 1956, um dos primeiros artigos

que delinearam as principais ideias do MEF, entre elas a formulação matemática dos

elementos e a montagem da matriz de elementos.

Mas, no artigo ainda não se fazia referência ao nome elementos finitos para

designar os elementos de discretização da geometria do problema físico. O

segundo coautor do artigo, Ray Clough era na época professor em Berkeley que

descreveu o método com o nome de método dos elementos finitos num artigo

publicado subsequentemente. Os seus trabalhos deram início às intensas

pesquisas em Berkeley por outros professores, entre eles E. Wilson e R. L. Taylor,

juntamente com os estudantes de pós-graduação T. J. R. Hughes, C. Felippa e K. J.

Bathe. Durante muitos anos, Berkeley foi o principal centro de pesquisa em MEF.

Essas pesquisas coincidiram com a rápida disseminação de computadores

eletrônicos nas universidades e institutos de pesquisas, que levaram o método a se

tornar amplamente utilizado em áreas estratégicas à segurança americana durante o

55

período da Guerra Fria, tais como pesquisa nuclear, defesa, indústria automotiva e

aeroespacial.

2.6.2. Apresentação

Os elementos finitos são organizados em redes de elementos, cujos pontos

de interseção são denominados nós. A base do método dos elementos finitos é

buscar, não uma função admissível que satisfaz as condições de contorno do

domínio, mas sim defini-las no domínio de cada elemento finito.

Assan (2003) descreve um funcional que formam o funcional para todo o

domínio quando somados:

∑

(88)

Pode-se então, para cada elemento i, criar uma função aproximadora v que

se refere aos nós e à forma de cada elemento:

∑

(89)

onde são os parâmetros nodais e as funções de forma. Assim, o funcional

fica sendo expresso como:

∑

(90)

Segundo Assan (2003), a condição de estacionaridade gera um sistema de

equações lineares, assim como no método de Rayleigh-Ritz, tal como

( ) ∑

( ) ∑∑ ( )

(91)

56

cuja solução fornece os valores dos parâmetros nodais que podem representar

deslocamentos ou esforços internos, dependendo da formulação utilizada, conforme

quadro 6.

Função aproximadora Incógnita Descrição do método

Campo dos deslocamentos Componentes dos

deslocamentos nodais

Método dos deslocamentos ou

modelo da rigidez

Campo dos esforços internos Tensões ou esforços internos

nodais

Método das forças ou modelo

da flexibilidade

QUADRO 6 – FORMULAÇÕES UTILIZADAS NO MÈTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA

OBTENÇÃO DE DIFERENTES TIPOS DE RESULTADOS.

FONTE: ASSAN (2003).

É comumente prático que o processo de solução seja dividido em dois

estágios bem separados: criação da malha e análise. Como o principal esforço está

no tempo humano despendido na criação de malhas aceitáveis, a construção da

malha por si só se torna, a priori, o objetivo principal, embora realmente não tenha

absolutamente nenhum valor, uma vez que todo o interesse está na solução

numérica (como, por exemplo, a distribuição de tensões e suas implicações para o

processo de projeto). O primeiro esforço para combinar a criação da malha com o

critério de solução em um único processo, inteiramente automatizado, emprega

técnicas de estimativa de erro e adaptabilidade de malha. Isso soluciona um item na

criação da malha que é o de se alcançar a densidade apropriada para reduzir erros

da solução aproximada sem resolver o problema através de um excessivo

refinamento da malha. (GUIMARÃES, 2006).

A primeira etapa do processo de modelagem computacional de um fenômeno

físico consiste na identificação dos fatores que influenciam de maneira relevante no

problema. Isso implica na escolha adequada dos princípios físicos e das variáveis

dependentes e independentes que descrevem o problema, resultando em um

modelo matemático constituído por um conjunto de equações diferenciais. A

segunda etapa do processo consiste em obter a solução do modelo matemático,

tarefa esta atribuída aos métodos numéricos. O método das diferenças finitas é um

desses métodos, que como o próprio nome sugere, foi criado com a finalidade

específica de resolver sistemas de equações diferenciais. De uma forma

simplificada, o MEF, consiste em subdividir o domínio do meio contínuo numa

quantidade finita de subdomínios. Cada subdomínio é considerado um elemento

57

finito que, uma vez conectado aos outros através dos chamados pontos nodas,

formam uma malha, cobrindo todo o domínio do contínuo. Não é difícil imaginar que

estes elementos podem assumir diferentes "tamanhos" e geometrias, (ZENKIEWICZ

e TAYLOR, 1989).

Segundo Shigue (2002), as diferenças entre o Método das Diferenças Finitas

e o Método dos Elementos Finitos são que, no primeiro, aplicam-se aproximações

nas derivadas das equações diferenciais, reduzindo a um problema de sistemas de

equações lineares que fornecem a solução em pontos (nós) discretos no interior do

domínio do problema. No segundo, a solução das equações diferenciais

governantes do problema físico pode ser resolvida por funções de aproximação que

satisfazem condições descritas por equações integrais no domínio do problema.

Essas funções de aproximação podem ser funções polinomiais com grau razoável

de ajuste em elementos discretizados a partir da geometria do problema

satisfazendo as equações integrais em cada elemento discreto ou elemento finito.

Assim, como no MDF o MEF ocorre um processo de discretização do domínio, mas

diferente daquele, o MEF resulta em soluções descritas por polinômios conhecidos

todo o domínio e não apenas em nós da malha de diferenças finitas.

A formulação do MEF requer a existência de uma equação integral, de modo

que seja possível substituir o integral sobre um domínio complexo, de volume V, por

um somatório de integrais estendidos a subdomínios de geometria simples, de

volume Vi.

Esta técnica é ilustrada com o seguinte exemplo, que corresponde ao integral

de volume de uma função f :

∫

∑∫

(92)

Em (92) pressupõe-se que:

∑

(93)

58

Se for possível calcular todos os integrais estendidos aos subdomínios Vi,

basta efetuar o somatório correspondente ao segundo membro de (1) para obter o

integral estendido a todo o domínio. Cada subdomínio Vi corresponde a um

elemento finito de geometria simples (segmento de reta, triângulo, quadrilátero,

tetraedro, paralelepípedo). O somatório indicado em (93) vai dar origem à operação

designada assemblagem, que apresenta muitas semelhanças com a que é efetuada

nas estruturas reticuladas.

Segundo Zienkiewicz e Taylor (1989), a equação integral referida no início

desta secção é proveniente da aplicação do método dos resíduos pesados ou de um

princípio variacional. No caso da aplicação do MEF à análise de estruturas a

formulação mais intuitiva é a que se baseia no princípio dos trabalhos virtuais.

2.6.3. Elementos finitos bidimensionais

Segundo Assan (2003) os problemas bidimensionais planos podem ser

divididos entre problemas de estado plano de deformação e de estado plano de

tensão. Problemas que envolvam corpos longos onde a geometria e estado de

carregamento não mudam muito ao longo de seu eixo longitudinal estão sob estado

de deformação, como no caso de muros de contenção, barragens, vigas longas,

tubulações, placas solicitadas transversalmente ao plano, entre outros. Já problemas

onde as dimensões de espessura são muito pequenas, como no caso de chapas

solicitadas longitudinalmente ao seu plano, estão sob estado plano de tensão.

Assan (2003) cita que as variáveis dependem das coordenadas nas

formulações, daí a importância de identificar cada caso. No estado plano de

deformações, as variáveis dependem apenas dos eixos x e y. No outro caso, há as

considerações de nulidade de tensões normais e de cisalhamento que envolvam o

eixo z.

Na figura 28 é apresentado um exemplo de cada tipo de elemento

bidimensional plano dos mais comumente utilizados na análise de estruturas.

59

Figura 28 - Elemento finito de chapa (a), de placa (b) e de casca (c). (Fonte: ASSAN, 2003).

O comportamento da placa na abordagem do método dos elementos finitos

define-se por uma função deslocamento variável segundo a normal ao plano da

mesma. Além do deslocamento vertical dos nós, são considerados os giros destes

nós em torno das duas direções do plano. Assim, são três os graus de liberdade por

nó. Deste modo, são desenvolvidas matrizes correspondentes aos elementos das

placas, podendo esses serem triangulares ou retangulares, conforme a abordagem

escolhida.

Shigue (2002) cita que outra diferença marcante entre o MDF e o MEF é na

topologia de discretização do domínio. No MDF com elementos planos geralmente

empregam-se malhas de topologia triangular ou retangular estruturada (fig. 29). Na

malha estruturada os intervalos entre nós adjacentes nas direções x e y são

constantes, como pode ser observado na própria figura.

Figura 29 - (a) Exemplos de malha triangular estruturada e (b) malha estruturada retangular aplicada a um polígono regular (retângulo). (Fonte: SHIGUE, 2002)

O emprego de malhas estruturadas dificulta a descrição de geometrias

irregulares, como pode ser observado na Fig. 30 e por essa razão a aplicação do

60

MDF em problemas com geometria irregulares resulta em problemas numéricos de

aproximação da fronteira.

Figura 30 - (a) Exemplos de malha estruturada retangular e (b) malha estruturada triangular aplicada a um polígono com geometria irregular. (Fonte: SHIGUE, 2002)

O MEF por sua vez não requer topologia de malha estruturada e como

usualmente emprega uma aproximação polinomial aos valores interiores aos

elementos discretizados, pode utilizar para descrever problemas com geometria

plana usando elementos triangulares ou retangulares não estruturados, isto é, com

dimensões diferenciadas entre os elementos discretos (figura 31).

Figura 31 - Exemplos de malhas não estruturadas (a) triangular e (b) retangular. (Fonte: SHIGUE, 2002)

A computação moderna baseada em processadores capazes de executarem

bilhões de cálculos por segundo, sendo comuns vários núcleos nestas mesmas

61

unidades; memórias ostensivas capazes de acumular vários gigabytes, e, sobretudo,

o desenvolvimento de placas gráficas relativamente potentes para o mercado

comum, tendo preços bastante acessíveis, o que facilita sua aquisição para órgãos

de pesquisa e desenvolvimento e empresas tanto de médio quanto de pequeno

porte; possibilitam uma extensiva aplicação do método dos elementos finitos para o

cálculo de estruturas.

Dentro deste universo de possibilidades na Engenharia, a aplicação de

programas que se utilizam desta abordagem numérica para a simulação de cargas e

cálculos de esforços em tabuleiros de pontes que se mostram na forma de placas,

tanto retangulares quanto esconsas, revela-se como uma alternativa deveras

interessante. Uma vez que a quantidade de pontos a ser simulada em estruturas

tridimensionais é bastante elevada, os resultados referentes a estes esforços no

material podem ser bem aproximados da situação real. Entre os vários programas

que se utilizam desta técnica, foi utilizado para este trabalho o ANSYS ® da

empresa ANSYS Inc.

3. METODOLOGIA

Este capítulo irá tratar das definições de modelagem das placas em

computador. Devem ser definidos valores de constantes do material, geometria das

placas, condições de carregamento e de contorno para obtenção dos valores de

entrada no aplicativo.

3.1. DEFINIÇÃO DO MATERIAL

O material a ser simulado será o concreto de resistência característica 25

MPa , que segundo a norma NBR 6118:2003, possui as seguintes características:

Peso específico

Módulos de elasticidade:

62

o Tangente:

⁄

⁄

o Secante:

Coeficiente de Poisson:

3.2. DEFINIÇÃO DA GEOMETRIA DAS PLACAS

Será ensaiada uma placa com espessura de 60 centímetros, o que

corresponde à altura usualmente adotada em projetos de pontes em lajes em

concreto armado. Para se adaptar ao modelo de Timoshenko para placas esconsas,

será utilizado um vão fixo de 20 metros e uma largura de 10 metros.

O módulo de elasticidade do material será definido conforme especificação da

norma brasileira de procedimento para cálculo de estruturas de concreto. Neste caso

a norma determina que se utilize o módulo de elasticidade secante, pois segundo o

item 8.2.8 da norma NBR 6118 (2003):

“O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para

determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço [...]”

“Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal pode ser adotado um módulo

de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de elasticidade secante (Ecs)”

Com a definição destes dados, podemos então determinar a rigidez flexural

da placa a partir da equação (21):

3.3. DEFINIÇÃO DO CARREGAMENTO

A título deste trabalho, o carregamento será uniforme por área. Será adotada

uma carga acidental de 250 quilogramas por metro quadrado, carregamento

bastante utilizada em projetos de Engenharia no Brasil.

63

Conforme definida no item 3.2, a geometria da placa, por ser uniforme, já

define o seu peso próprio a partir do peso específico do material definido no item

3.1.

a) Peso próprio

b) Cargas acidentais

c) Carga total

3.4. CONDIÇÕES DE CONTORNO

Este trabalho estudará o comportamento de três tipos de contorno das placas:

quatro bordos simplesmente apoiados, dois bordos simplesmente apoiados e dois

livres e quatro bordos engastados.

3.5. MODELAGEM COMPUTACIONAL

A modelagem computacional das placas foi realizada através do aplicativo

ANSYS 12.0 seguindo as definições de material, geometria e carregamento

definidas nos itens anteriores. Nos itens a seguir serão mostradas as etapas e os

passos do lançamento das estruturas no programa, bem como as etapas de

configuração das análises.

3.5.1. Preparação da interface do usuário

A preparação da interface do usuário no aplicativo ANSYS é uma etapa

opcional de um processo de análise. Esta etapa basicamente permite que o usuário

64

otimize a exibição de comandos do programa para que tenha acesso apenas aos

recursos que pretende utilizar.

Figura 32 - Tela de preparação da interface de usuário. (Fonte: ANSYS INC., 2009).

O aplicativo proporciona opções a serem escolhidas sobre o tipo de análise a

ser realizada. Estas opções podem ser observadas na Figura 32.

O usuário também pode escolher o método de análise a ser realizado. Entre

estas opções estão o “p-method” e o “h-method”.

Segundo a ANSYS (2009), o “p-method” obtém resultados de deslocamentos,

tensões e deformações com grau de precisão definido pelo usuário. Estes resultados

são obtidos através da elevação do grau da polinomial do elemento finito até que se

chegue ao resultado mais próximo do real. Este método de análise, segundo a

ANSYS (2009) deve ser específico para uma determinada análise. Pode-se observar

na Figura 32 que o “p-method” é específico para análise estrutural ou

eletromagnética.

Em contrapartida, o “h-method” adota um grau de polinomial específico para

cada elemento, que pode ser grau 1 (linear) ou grau 2 (quadrática). Este método,

segundo a ANSYS (2009), é válido para qualquer tipo de análise.

65

SCHIERMEIER (1990) explica que a diferença entre ambos os métodos para

uma análise estrutural é que a precisão no “h-method” e controlada apenas pelo

refinamento da malha de elementos, enquanto no “p-method”, esta precisão é

controlada, além de através do refinamento, pelo grau da polinomial. A Figura 33

ilustra esta diferença.

Figura 33 - Diferença entre o “h-method” e o “p-method”. Fonte: SCHIERMEIER (1990)

Para este estudo foi utilizado o h-method no cálculo dos elementos. Por ser

uma análise plana, o estudo não exige o grau de precisão que se obtém no outro

tipo de análise, esta que demandaria um maior tempo de processamento.

3.5.2. Pré-processamento (comando /PREP7)

Este comando é utilizado para definição de todos os elementos que

antecedem o processamento do objeto. Existe, dentro deste comando, uma grande

quantidade de subcomandos que definem cada um destes elementos.

a. Definição do elemento (subcomando ET)

66

Este subcomando permite que se escolha um elemento qualquer da própria

biblioteca do aplicativo. (ANSYS, 2009). Existem ainda outros subcomandos que

permitem ao usuário uma liberdade maior para definição de graus de liberdade.

Para a análise dos elementos neste trabalho foi utilizado o elemento

SHELL281 disponível no aplicativo ANSYS 12.0. Este elemento pode ser descrito,

segundo a ANSYS (2009):

“O elemento SHELL281 é apropriado para analisar estruturas de casca, desde finas até

moderadamente espessas. O elemento possui oito nós com seis graus de liberdade em cada um:

translação e rotação nos eixos x, y, e z. Este elemento também pode ser utilizado para aplicações em

camadas, para modelar cascas compostas ou a construção em sanduíche. Este elemento permite a

análise das tensões e alongamentos de membrana. No entanto, as alterações de curvatura no interior

de um incremento de tempo são assumidos para ser pequena.”

A representação gráfica deste elemento pode ser feita segundo a Figura 34.

Figura 34 - Representação geométrica do elemento SHELL281. Fonte ANSYS (2009).

É importante ressaltar que a escolha do elemento finito empregado na

modelagem de placas influencia no resultado final. Um estudo realizado por

ALMEIDA (1999) observou para uma placa esconsa em 30 graus, resultados

diferentes para modelos com malhas formadas por elementos diferentes. A Figura

35 mostra as malhas e o modelo ensaiado e seus resultados.

67

Figura 35 - Modelo de placa analisado (A), as malhas de elementos finitos utilizadas (B) e os desvios de resultado entre tipos de malha (a direita). Fonte: (ALMEIDA,1999)

b. Inserção dos dados do modelo

Esta é uma série de etapas que mostra como os dados de material, geometria

e carga são inseridos no aplicativo.

Constantes do elemento (subcomando R)

Nesta etapa inserem-se dados relativos a geometria do elemento, como

espessura do elemento, densidade de massa, entre outros. Neste caso, entra-se

com o valor de 0,6 metros constante em todo o elemento.

68

Figura 36 - Definição das constantes geométricas do elemento finito.

B2. Definição das propriedades do material (subcomando MP)

Nesta etapa, devem ser definidas as propriedades mecânicas dos materiais a

serem analisados. O aplicativo oferece diversas opções de propriedades de material

para determinados tipos de análise. Neste caso em específico, será utilizado o

modelo linear elástico isotrópico, para fins de comparação com modelos teóricos.

Devem ser inseridos os valores do módulo de elasticidade do material (EX) e

do coeficiente de Poisson (PRXY).

69

Figura 37 - Definição do modelo de comportamento e inserção das constantes elásticas do material (Fonte: ANSYS, 2009)

c. Geração do desenho da placa

O desenho geométrico da placa a ser ensaiada é inserido no ambiente de

trabalho do aplicativo através de keypoints (subcomando K), que posteriormente são

unidos para formação de uma área (subcomando A).

Como todas as placas que serão ensaiadas neste trabalho possuem as

mesmas dimensões, a posição dos keypoints no plano é função apenas do ângulo

de esconsidade de cada uma das placas. A geração de keypoints para cada ângulo

pode ser escrita conforme o quadro 7.

Ângulo Keypoint 1 Keypoint 2 Keypoint 3 Keypoint 4

X Y X Y X Y X Y

0 0 0 20 0 0 10 20 10

30 0 0 20 0 5,77 10 25,77 10

45 0 0 20 0 10,00 10 30 10

60 0 0 20 0 17,32 10 37,32 10

75 0 0 20 0 37,32 10 57,32 10

QUADRO 7 – POSIÇÃO DOS KEYPOINTS NO PLANO (XY).

FONTE: O AUTOR

70

d. Geração da malha de elementos finitos

Nesta etapa será gerada a malha de elementos finitos sobre a área. As

dimensões dos elementos da malha podem ser editadas através do subcomando

AESIZE. No caso deste estudo, foi utilizada uma malha de elementos quadrados

com dimensão de 0,2 m, resultando em uma área de 0,04 m² por elemento. Caso

esta etapa não seja efetuada, o programa ANSYS gerará uma malha com dimensão

definida pelo próprio programa.

Ao serem definidas as dimensões do elemento, executa-se o subcomando

AMESH, que irá propriamente aplicar a malha de elementos finitos sobre a área

criada na etapa c.

A quantidade de elementos finitos por cada placa também é função do ângulo

de esconsidade e está apresentada na tabela 1.

TABELA 1 – NÚMERO DE ELEMENTOS FINITOS EM CADA UMA DAS PLACAS MODELADAS

Ângulo Quantidade de elementos teórica

Quantidade de elementos efetiva

0 5000 5000

30 5773,50 5800

45 7071,07 7100

60 10000 10000

75 19318,52 19400

FONTE: O AUTOR.

Este número de elementos é obtido pela relação entre as áreas da placa e a

área do elemento, considerando o efeito do aumento de comprimento das arestas

esconsas que mantém a largura da placa fixa

(94)

Como se observa na tabela 1 a quantidade teórica de elementos nem sempre

é exata, pois para determinados ângulos o comprimento da aresta esconsa não é

múltipla da aresta predeterminada do elemento, portanto o próprio aplicativo corrige

esta aresta e divide a peça em um número exato de elementos efetivos.

71

3.5.3. Processamento (comando /SOLVE)

Na fase de processamento, o aplicativo realiza as etapas de cálculo para

cada elemento, com base nas definições apresentadas no item 3.5. Ao ser solicitada

a resolução da placa, o aplicativo oferece uma tela onde podem ser verificados os

detalhes da solução

Figura 38 - Apresentação das condições definidas para simulação (Fonte: ANSYS, 2009)

3.5.4. Pós-processamento

A etapa de pós-processamento corresponde na interpretação dos resultados

obtidos pela parte de processamento.

Esta etapa fornece vários tipos de resultado, sendo cada um deles específico

para determinados fins. A título deste trabalho, os itens do pós-processamento que

serão utilizados são a estrutura deformada e as tabelas e gráficos dos esforços

internos em cada placa analisada.

72

Figura 39 - Representação gráfica do elemento SHELL281 com seus esforços internos (Fonte: ANSYS, 2009)

Estes elementos devem ser definidos em tabela de acordo com as

necessidades do usuário através do comando ETABLE. Cada um dos esforços

representados na Figura 39 tem um item específico do comando conforme quadro 8.

Resultado Item E Descrição

N11 SMISC 1 Esforço normal na direção x

N22 SMISC 2 Esforço normal na direção y

N12 SMISC 3 Esforço normal na direção z

M11 SMISC 4 Momento fletor em torno de x

M22 SMISC 5 Momento fletor em torno de y

M12 SMISC 6 Momento de torção

Q13 SMISC 7 Esforço cortante no plano xz

Q23 SMISC 8 Esforço cortante no plano yz

ε11 SMISC 9 Deformação de membrana



k11 SMISC 12 Curvatura na direção x

k22 SMISC 13 Curvatura na direção y

k12 SMISC 14 Curvatura na direção z

γ13 SMISC 15 Deformação transversal no plano xz

γ23 SMISC 16 Deformação transversal no plano yz

THICK SMISC 17 Espessura do elemento

QUADRO 8 – RELAÇÃO DE RESULTADOS GERADOS PARA O ELEMENTO SHELL 281.

FONTE: ANSYS (2009)

73

4. RESULTADOS

4.1. PLACAS SIMPLESMENTE APOIADAS

A simulação computacional das placas simplesmente apoiadas em seus

quatro bordos apresentou os resultados que seguem nos itens 4.1.1 a 4.1.6.

4.1.1. Placa deformada

Figura 40 - Resultado computacional da placa com quatro bordos simplesmente apoiados deformada com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus, (d) 60 graus e (e) 75 graus.

74

4.1.2. Momento fletor na direção X

Figura 41 - Resultado computacional dos momentos fletores na direção x da placa com quatro bordos simplesmente apoiados com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus, (d) 60

graus e (e) 75 graus.

75

4.1.3. Momento fletor na direção Y

Figura 42 - Resultado computacional dos momentos fletores na direção y da placa com quatro bordos simplesmente apoiados com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus, (d) 60


76

4.1.4. Momento torcedor

Figura 43 - Resultado computacional dos momentos de torção da placa com quatro bordos simplesmente apoiados com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus, (d) 60


77

4.1.5. Esforço cortante na direção XY

Figura 44 - Resultado computacional dos esforços cortantes na direção xy da placa com quatro bordos simplesmente apoiados com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus,

(d) 60 graus e (e) 75 graus.

78

4.1.6. Esforço cortante na direção YX

Figura 45 - Resultado computacional dos esforços cortantes na direção yx da placa com quatro bordos simplesmente apoiados com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus,

(d) 60 graus e (e) 75 graus.

79

4.2. PLACAS SIMPLESMENTE APOIADAS EM DOIS BORDOS

A simulação computacional das placas simplesmente apoiadas em dois

bordos e livre em outros dois apresentou os seguintes resultados:


Figura 46 - Resultado computacional da placa com dois bordos simplesmente apoiados e dois livres deformada com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus e (d) 60 graus.

80


Figura 47 - Resultado computacional dos momentos fletores na direção x da placa com dois bordos simplesmente apoiados e dois livres com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45

graus e (d) 60 graus.

81


Figura 48 - Resultado computacional dos momentos fletores na direção y da placa com dois bordos simplesmente apoiados e dois livres com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45


82


Figura 49 - Resultado computacional dos momentos de torção da placa com dois bordos simplesmente apoiados e dois livres com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45


83


Figura 50 - Resultado computacional dos esforços cortantes na direção xy da placa com dois bordos simplesmente apoiados e dois livres com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45


84


Figura 51 - Resultado computacional dos esforços cortantes na direção yx da placa com dois bordos simplesmente apoiados e dois livres com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45


85

4.3. PLACAS ENGASTADAS EM QUATRO BORDOS


Figura 52 - Resultado computacional da placa com quatro bordos engastados deformada com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus, (d) 60 graus e (e) 75 graus.

86


Figura 53 - Resultado computacional dos momentos fletores na direção x da placa com quatro bordos engastados com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus, (d) 60 graus e (e)

75 graus.

87


Figura 54 - Resultado computacional dos momentos fletores na direção y da placa com quatro bordos engastados com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus, (d) 60 graus e (e)

75 graus.

,

88


Figura 55 - Resultado computacional dos momentos de torção na placa com quatro bordos engastados com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus, (d) 60 graus e (e)

75 graus.

89


Figura 56 - Resultado computacional dos esforços cortantes na direção xy da placa com quatro bordos engastados com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus, (d) 60


90


Figura 57 - Resultado computacional dos esforços cortantes na direção yx da placa com quatro bordos engastados com ângulo de esconsidade de (a) 0 graus, (b) 30 graus, (c) 45 graus, (d) 60


91

5. ANÁLISE DOS RESULTADOS

5.1. COMPORTAMENTO DO DESLOCAMENTO MÁXIMO E DOS

ESFORÇOS INTERNOS COM A VARIAÇÃO DO ÂNGULO

Depois de concluídos os ensaios das placas, pode-se estudar o

comportamento dos deslocamentos máximos de cada uma delas, bem como a

variação nos picos de momentos e esforços cortantes.

Como era esperado, o comportamento destes esforços varia conforme a

condição de apoio da placa, o que confirma as hipóteses teóricas. Os resultados de

cada uma das condições de apoio estão detalhados nos itens que seguem.

5.1.1. Placas com os bordos simplesmente apoiados

O quadro 9 apresenta os resultados dos deslocamentos e momentos

máximos e mínimos da modelagem e ensaio das placas apoiadas em seus quatro

bordos e as figuras 58, 59, 60 e 61 representam graficamente as variações conforme

os ângulos de esconsidade.

PLACAS APOIADAS

Ângulo MÁXIMOS MÍNIMOS

w (mm) MX

(kNm) MY

(kNm) MXY

(kNm) QXY (kN)

QYX (kN)

MX (kNm)

MY (kNm)

MXY (kNm)

QXY (kN)

QYX (kN)

0 4,034 178,39 68,66 83,91 175,77 180,51 -9,06 -9,24 -83,91 -175,77 -180,51

30 3,945 147,34 97,99 108,48 509,66 598,01 -30,42 -56,77 -55,21 -509,50 -598,14

45 3,653 130,91 121,37 92,63 575,76 723,32 -30,33 -68,99 -46,14 -575,76 -723,32

60 2,722 109,76 131,23 58,36 486,04 622,78 -17,56 -49,30 -32,96 -486,04 -622,78

75 0,370 16,96 58,58 7,28 81,39 81,54 -0,87 -3,21 -7,03 -81,39 -81,54

QUADRO 9 – RESULTADOS DOS ENSAIOS PARA PLACAS APOIADAS EM TODAS AS

EXTREMIDADES.

FONTE: O AUTOR

92

a. Deslocamento vertical máximo

Figura 58 - Variação do deslocamento vertical máximo variando o ângulo de esconsidade. (Fonte: O autor)

b. Momentos fletores e torcedores máximos

Figura 59 - Variação dos momentos máximos variando o ângulo de esconsidade. (Fonte: O autor)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0 15 30 45 60 75

w (

mm

)

ÂNGULO DE ESCONSIDADE

DESL. VERTICAL MÁXIMO DA PLACA APOIADA

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 15 30 45 60 75

(kN

.m)


MOMENTOS MÁXIMOS DA PLACA APOIADA

MX

MY

MXY

93

c. Momentos fletores e torcedores mínimos

Figura 60 - Variação dos momentos máximos variando o ângulo de esconsidade. (Fonte: O autor)

d. Esforços cortantes máximos

Figura 61 - Variação dos esforços cortantes máximos variando o ângulo de esconsidade. (Fonte: O autor).

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 15 30 45 60 75

(kN

.m)


MOMENTOS MÍNIMOS DA PLACA APOIADA

MX

MY

MXY

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 15 30 45 60 75

(kN

)


ESFORÇOS CORTANTES MÁXIMOS DA PLACA APOIADA

QXY

QYX

94

5.1.2. Placas com dois bordos livres


máximos e mínimos da modelagem e ensaio das placas apoiadas em dois bordos e

livres nos outros dois, e as figuras 62, 63, 64 e 65 representam graficamente as

variações conforme os ângulos de esconsidade.

PLACAS LIVRES


w (mm) MX

(kNm) MY

(kNm) MXY

(kNm) QXY (kN)

QYX (kN)

MX (kNm)

MY (kNm)

MXY (kNm)

QXY (kN)

QYX (kN)

0 85,286 55,92 887,22 78,79 545,87 283,45 -8,41 14,91 -78,79 -545,87 -283,45

30 58,153 88,72 635,59 220,14 1244,40 2248,70 -214,06 3,09 -248,24 -1244,40 -2248,70

45 35,091 135,85 505,29 203,79 1803,70 3136,10 -384,38 0,24 -283,30 -1803,70 -3136,10

60 17,179 125,57 289,11 160,80 1872,00 3157,10 -444,17 -4,75 -216,23 -1872,00 -3157,10

QUADRO 10 – RESULTADOS DOS ENSAIOS PARA PLACAS APOIADAS EM DUAS

EXTREMIDADES.

FONTE: O AUTOR

Figura 62 - Variação do deslocamento vertical máximo variando o ângulo de esconsidade. (Fonte: O autor)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 15 30 45 60

w (

mm

)


DESL. VERTICAL MÁXIMO DA PLACA COM BORDOS LIVRES

95

Figura 63 - Variação dos momentos máximos variando o ângulo de esconsidade. (Fonte: O autor).

Figura 64 - Variação dos momentos mínimos variando o ângulo de esconsidade. (Fonte: O autor)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 15 30 45 60

(kN

.m)


MOMENTOS MÁXIMOS DA PLACA COM BORDOS LIVRES

MX

MY

MXY

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

0 15 30 45 60

(kN

.m)


MOMENTOS MÍNIMOS DA PLACA COM BORDOS LIVRES

MX

MY

MXY

96


5.1.3. Placas com os bordos engastados


máximos e mínimos da modelagem e ensaio das placas apoiadas em dois bordos e

livres nos outros dois, e as figuras 66, 67, 68 e 69 representam graficamente as

variações conforme os ângulos de esconsidade.

PLACAS ENGASTADAS


w (mm) MX

(kNm) MY

(kNm) MXY

(kNm) QXY (kN)

QYX (kN)

MX (kNm)

MY (kNm)

MXY (kNm)

QXY (kN)

QYX (kN)

0 1,017 71,28 26,14 20,50 75,77 88,29 -136,06 -90,83 -20,50 -75,77 -88,29

30 1,000 58,03 36,99 47,08 77,00 77,23 -108,64 -95,67 -20,92 -77,00 -77,22

45 0,943 45,09 47,30 52,68 63,04 79,05 -79,00 -101,96 -20,48 -63,04 -79,05

60 0,700 28,55 52,79 36,80 41,46 79,88 -42,44 -105,81 -10,59 -41,46 -79,88

75 0,084 5,05 19,57 6,72 10,90 45,21 -8,31 -37,99 -01,95 -10,90 -45,21

QUADRO 11 – RESULTADOS DOS ENSAIOS PARA PLACAS APOIADAS EM DUAS

EXTREMIDADES.

FONTE: O AUTOR

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

0 15 30 45 60

(kN

)


ESFORÇOS CORTANTES MÁXIMOS DA PLACA COM BORDOS LIVRES

QXY

QYX

97

Figura 66 - Variação do deslocamento máximo variando o ângulo de esconsidade. (Fonte: O autor).

Figura 67 - Variação dos momentos máximos variando o ângulo de esconsidade. (Fonte: O autor).

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 15 30 45 60 75

w (

mm

)


DESL. VERTICAL MÁXIMO DA PLACA COM BORDOS ENGASTADOS

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 15 30 45 60 75

(kN

.m)


MOMENTOS MÁXIMOS DA PLACA COM BORDOS ENGASTADOS

MX

MY

MXY

98

Figura 68 - Variação dos momentos mínimos variando o ângulo de esconsidade. (Fonte: O autor).


5.1.4. Considerações dos resultados

O deslocamento vertical máximo, tanto da placa com quatro bordos apoiados

como da placa com quatro bordos engastados apresentou bastante variação

decrescente a partir do ângulo de esconsidade de 30 graus. Já a placa biapoiada

apresenta uma variação também negativa, mas praticamente linear nos

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 15 30 45 60 75

(kN

.m)


MOMENTOS MÍNIMOS DA PLACA COM BORDOS ENGASTADOS

MX

MY

MXY

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 15 30 45 60 75

(kN

)


ESFORÇOS CORTANTES MÁXIMOS DA PLACA COM BORDOS ENGASTADOS

QXY

QYX

99

deslocamentos máximos já a partir do ângulo zero. Como esperado, as condições

de apoio fizeram com que a placa biapoiada tivesse maior deslocamento vertical,

pela menor rigidez nas extremidades livres em comparação aos outros dois

modelos.

Os momentos fletores apresentaram cada qual variação particular conforme a

sua direção. No caso de placas totalmente apoiadas ou engastadas, a variação do

comportamento dos momentos fletores conforme o ângulo de esconsidade é

bastante uniforme e têm uma tendência de diminuição a partir do ângulo de 60

graus. A variação de comportamento mais brusca ocorre no momento fletor na

direção X da placa biapoiada, que pode ser observado nas figuras 47 (a) e 47 (b),

porém, não apresentou valores de grande significância. Já o comportamento dos

momentos mínimos foi mais significativo, pois este aumentou significativamente de

valor até o ângulo de 60 graus, com maiores concentrações nas regiões de ângulos

obtusos, como se pode observar nas figuras 48 e 64.

Os momentos de torção das placas têm, em todos os casos, valores iguais

em módulo na placa retangular e, com a variação do ângulo de esconsidade, estes

valores se tornam diferentes, desequilibrando a torção no seu interior. Isto faz com

que haja necessidade de consideração dos momentos de torção interiores à placa

para dimensionamento, em especial nos ângulos obtusos. (HAMBLY, 1991). Esta

concentração de momentos de torção pode ser observada nas figuras 43, 49 e 55. O

maior desequilíbrio de torção em valores aconteceu na placa engastada, onde há

restrição de movimentos em todos os bordos. Em contrapartida, neste caso estes

momentos ficaram mais distribuídos nos bordos, ao contrário dos outros dois

modelos em que a torção concentrou seu pico nos ângulos obtusos.

As variações dos esforços cortantes máximos das placas totalmente apoiadas

apresentaram variação significativa, aumentando em até quatro vezes o pico no

ângulo de 45 graus e decrescendo da mesma forma a partir deste. Nota-se, pela

figura 45, que nos ângulos de 30, 45 e 60 graus, há grande concentração de

esforços cortantes nos bordos da placa, e que nos outros, há uma melhor

distribuição destes esforços. Os esforços nas placas biapoiadas têm tendência de

crescimento em ambos os sentidos conforme variação do ângulo, porém há um

momento que pode ser observado na figura 65 em que o esforço na direção XY

100

ultrapassa o valor na direção YX antes mesmo do ângulo de 30 graus, evidenciando

mudança de comportamento da placa nas regiões de apoio. Nas figuras 50 e 51

nota-se que a concentração destas forças fica nos bordos, principalmente nos

ângulos obtusos, o que leva à confirmação da teoria exposta por Hambly (1991).

Nas placas engastadas aparece a única tendência de decrescimento das forças

cortantes em ambas as direções, exceto na direção YX entre 30 e 60 graus, onde

nota-se uma levíssima taxa de acréscimo.

5.2. COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS

5.2.1. Deslocamento máximo e momentos fletores da placa retangular

Pelo fato de terem sido deduzidas equações que calculam o deslocamento

máximo de placas retangulares a partir da resolução da equação geral das placas

para diferentes condições de apoio, pode-se comparar estes resultados com aqueles

obtidos computacionalmente. Além disso, é possível que se compare estes

resultados a modelos já bastante difundidos, como os modelos de Bares (1972) e

Czerny (1976), largamente aplicados na Engenharia, que seguem hipóteses e

formulações distintas.

Existem vários outros métodos para análise simplificada de placas

retangulares. O método de Marcus, por exemplo, é derivado da teoria das grelhas e

é bastante útil para dimensionamento de lajes de concreto armado que admitem um

comportamento elástico-linear do material. ARAÚJO (2003).

Ambos os métodos não contemplam a solução de laje biapoiada, ou seja, não

há modelo matemático para este tipo de situação nestes dois casos. Portanto, a

comparação dos resultados com estes dois métodos se dará apenas para as placas

apoiadas e engastadas.

O quadro 12 apresenta os resultados dos deslocamentos máximos para os

quatro modelos analisados, o quadro 13 apresenta os resultados de momentos

fletores máximos e o quadro 14 apresenta os resultados dos momentos fletores

mínimos.

101

a. Deslocamentos verticais (em milímetros)

Apoio Teoria das placas MEF Bares Czerny

Quatro bordos apoiados

4,073 4,034 4,281 3,882

Biapoiada 8,307 8,529 - -

Engastada 0,977 1,017 1,043 0,973

QUADRO 12 – RESULTADOS DOS DESLOCAMENTOS MÁXIMOS VERTICAIS PARA PLACAS

RETANGULARES

FONTE: O AUTOR, BARES (1972), CZERNY (1976)

b. Momentos fletores máximos (em kN.m)


MY MX MY MX MY MX MY MX


17,479 6,597 17,839 6,866 17,34 5,53 17,678 7,447

Biapoiada 88,13 6,07 88,722 5,592 - - - -

Engastada 7,298 2,788 7,128 2,614 7,087 1,68 7,292 3,065

QUADRO 13 – RESULTADOS DOS MOMENTOS FLETORES MÁXIMOS PARA PLACAS

RETANGULARES


c. Momentos fletores mínimos (em kN.m)


MY MX MY MX MY MX MY MX

Engastada -14,508 -9,992 -13,606 -9,083 -14,577 -10,01 -14,58 -10

QUADRO 14 – RESULTADOS DOS MOMENTOS FLETORES MÍNIMOS PARA PLACAS

RETANGULARES


d. Comparações e considerações

O quadro 15 apresenta o desvio de resultados dos modelos em relação ao

modelo matemático teórico para os deslocamentos verticais máximos, o quadro 16

102

apresenta os desvios para os momentos máximos e o quadro 17 para os momentos

mínimos.

Tipo de apoio MEF Bares Czerny

Quatro bordos apoiados -0,96% 5,11% -4,69%

Biapoiada 2,67% - -

Engastada 4,09% 6,76% -0,41%

QUADRO 15 – COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS DE DESLOCAMENTOS VERTICAIS

MÁXIMOS PARA PLACAS RETANGULARES

FONTE: O AUTOR


MY MX MY MX MY MX


2,06% 4,08% -0,80% -16,17% 1,14% 12,88%

Biapoiada 0,67% -7,87% - - - -

Engastada -2,33% -6,24% -2,89% -39,74% -0,08% 9,94%

QUADRO 16 – COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS DE MOMENTOS FLETORES MÁXIMOS

PARA PLACAS RETANGULARES

FONTE: O AUTOR


MY MX MY MX MY MX

Engastada -6,22% -9,10% 0,48% 0,18% 0,50% 0,08%

QUADRO 17 – COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS DE MOMENTOS FLETORES MÍNIMOS

PARA PLACAS RETANGULARES

FONTE: O AUTOR

Em comparação com a resolução das equações da teoria das placas, os

resultados obtidos através do método dos elementos finitos foram bastante

satisfatórios apresentando desvios aceitáveis.

Percebe-se também que, ao comparar os métodos tabelados simplificados,

eles também apresentam valores satisfatórios, com exceção dos momentos

máximos positivos para placas engastadas, onde houve vários resultados

103

discrepantes entre si. Isto significa que o projetista deve sempre buscar várias

fontes de resultados quando se trata de dimensionamento de lajes, pois a

interpretação da teoria das placas é bastante variada entre pesquisadores. No caso

do modelo de Marcus, por exemplo, a consideração do efeito de grelha leva a

resultados diferentes daqueles obtidos por outros métodos, pois quando propôs seu

modelo, Marcus observou que o processo das grelhas fornecia valores relativamente

altos para os momentos fletores positivos, propondo então coeficientes de correção

para os mesmos. (CAMACHO, 2004).

No caso de projetos mais específicos, como lajes industriais, onde haja

necessidade da consideração de carregamentos pontuais, ou no caso de pontes,

onde existam cargas móveis de grande monta, o método dos elementos finitos é de

grande valia, pois são poucos os modelos matemáticos que contemplam casos

específicos. Esta liberdade de projeto que a computação fornece nos dias de hoje é

uma das principais vantagens do seu uso na Engenharia.

Para o caso da consideração do ângulo de esconsidade nas placas, conforme

citado no item 2.5, a formulação analítica para este estudo é inviável devido sua

complexidade matemática. Neste caso, os itens que seguem mostram a comparação

dos resultados obtidos computacionalmente com outros modelos de cálculo já

bastante difundidos nos meios científico e profissional da Engenharia.

5.2.2. Método numérico de Timoshenko para placas esconsas

Conforme apresentado no item 2.5.3.1, Timoshenko publicou uma tabela de

coeficientes para determinação de momentos e deformações em lajes esconsas

obtidas através de diferenças finitas. A partir das simulações computacionais, pode-

se construir uma tabela semelhante e então fazer uma comparação entre métodos.

De posse dos resultados dos ensaios, podem ser criadas tabelas e gráficos

comparando os resultados obtidos por Timoshenko e obtidos computacionalmente.

104

a. Para placas com bordos simplesmente apoiados

φ Timoshenko MEF Desvio (%)

α β α β α β

0° 0,01013 0,09999 0,01049 0,10194 -3,55% -1,95%

30° 0,01046 0,0968 0,01026 0,08419 1,93% 13,02%

45° 0,00938 0,0898 0,00950 0,07481 -1,27% 16,70%

60° 0,00796 0,0772 0,00708 0,07467 11,08% 3,28%

75° 0,00094 0,0335 0,00096 0,03347 -2,35% 0,08%

QUADRO 18 - COEFICIENTES DE DEFLEXÃO E DE MOMENTOS FLETORES PARA PLACAS

COM BORDOS SIMPLESMENTE APOIADOS, CALCULADOS PELOS MÉTODOS NUMÉRICO E

DOS ELEMENTOS FINITOS.

FONTE: O AUTOR.

b. Para placas com dois bordos livres

φ Timoshenko MEF

α0 β0 α1 β1 α0 β0 α1 β1

0° 0,214 0,495 0,224 0,508 0,2113 0,4956 0,2218 0,5070

30° 0,1183 0,368 0,1302 0,367 0,1174 0,3609 0,1285 0,3937

45° 0,0708 0,291 0,0869 0,296 0,0728 0,2863 0,0912 0,2945

60° 0,0186 0,166 0,0396 0,152 0,0194 0,1613 0,0447 0,1611

QUADRO 19 - COEFICIENTES DE DEFLEXÃO E DE MOMENTOS FLETORES PARA PLACAS

BIAPOIADAS, CALCULADOS PELOS MÉTODOS NUMÉRICO E DOS ELEMENTOS FINITOS.

FONTE: O AUTOR.

φ DESVIO (%)

α0 β0 α1 β1

0° 1,26% -0,12% 1,00% 0,20%

30° 0,76% 1,93% 1,31% -7,27%

45° -2,82% 1,62% -5,00% 0,52%

60° -4,30% 2,83% -12,80% -5,98%

QUADRO 20 – COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DOS DESLOCAMENTOS TEÓRICO E

COMPUTACIONAL DA PLACA RETANGULAR.

FONTE: O AUTOR.

105

c. Considerações dos resultados

Pode-se observar pelos quadros 17 e 19 que os resultados obtidos através do

método das diferenças finitas e do método dos elementos finitos convergem-se entre

si de forma bastante satisfatória, apesar de alguns deles tenham apresentado

desvios maiores que 10%. Levando-se em consideração que nenhum dos dois

métodos é exato, pode-se dizer que são desvios aceitáveis, até mesmo por se tratar

de diferenças que são da ordem do milímetro ou décimo de milímetro, e que o

modelo de Timoshenko teve seus coeficientes calculados em uma época onde não

se contava com a tecnologia de computação dos dias de hoje.

O modelo de Timoshenko, apesar de relativamente preciso, mostra-se

limitado em se tratando de aplicabilidade em projeto. Possui relações entre lados de

placa e ângulos de esconsidade bastante restritos, o que dificulta a aplicação do

método em problemas reais de Engenharia.

5.2.3. Modelo de Rüsch

Ao se fazer a comparação entre os resultados baseando-se no modelo de

Rüsch, deve-se adaptar as notações ao que foi modelado para este trabalho. A

modelagem das placas para este trabalho obedece à notação de Timoshenko,

portanto os dados de entrada dos ábacos de Rüsch (figuras 17 a 25) devem ser

adaptados. A figura 70 mostra a compatibilização das dimensões entre os dois

métodos.

Conforme pode ser observado pelas figuras 15 e 16, há diferença nas

notações de ângulo de esconsidade e de larguras que servem como dados de

entrada nas tabelas elaboradas por Rüsch. Esta incompatibilidade é corrigida

através de trigonometria conforme mostra o quadro 21.

106

Figura 70 - Compatibilização das dimensões da placa esconsa entre os modelos de Timoshenko e Rüsch. Fonte: O AUTOR.

⁄

0º 90º 20 20 10 0,50

30º 60º 20 17,32 8,66 0,43

45º 45º 20 14,14 7,07 0,35

60º 30º 20 10 5 0,25

QUADRO 21 – VALORES DE ENTRADA DAS PLACAS MODELADAS PARA OS ÁBACOS DE

RÜSCH.

FONTE: O AUTOR

Com os dados de entrada do modelo devidamente corrigidos, aplicam-se

estes valores nos ábacos expostos nas figuras 17 a 25 e obtêm-se os valores de

coeficientes que são apresentados no quadro 22.

Ao se aplicar os coeficientes para a placa modelada para este estudo

conforme a equação (87) obtêm-se os valores apresentados no quadro 23.

107

Ponto

A

0 1,230 0 0,002 - - -

30 1,205 0 0,350 - - -

45 1,205 0 0,560 - - -

60 1,225 0 0,900 - - -

B

0 - - - 1,23 0,085 0

30 - - - 1,30 0,02 -0,23

45 - - - 1,35 0,08 -0,39

60 - - - 1,40 0,40 0,30

C

0 1,275 0 0,0012 - - -

30 1,255 0 0,35 - - -

45 1,400 0 0,60 - - -

60 1,800 0 1,20 - - -

E

0 - - - 0,22 -0,01 0,12

30 - - - 0,28 -0,29 0,16

45 - - - 0,52 -0,70 0,27

60 - - - 0,91 -1,80 0,24

QUADRO 22 – COEFICIENTES DE RÜSCH PARA PLACAS ESCONSAS.

FONTE: RUSCH (1961)

Ponto

A

0 861,0 0 1,4 - - -

30 632,6 0 183,7 - - -

45 421,6 0 195,9 - - -

60 214,4 0 157,5 - - -

B

0 - - - 861,0 59,5 0

30 - - - 682,5 10,5 -120,7

45 - - - 472,4 28,0 -136,5

60 - - - 245,0 70,0 52,5

C

0 892,5 0 0,8 - - -

30 658,8 0 183,7 - - -

45 489,9 0 209,9 - - -

60 315,0 0 210,0 - - -

E

0 - - - 154,0 -7,0 84,0

30 - - - 147,0 -152,2 84,0

45 - - - 181,9 -244,9 94,5

60 - - - 159,3 -315,0 42,0

QUADRO 23 – MOMENTOS FLETORES E TORCEDORES PARA AS PLACAS MODELADAS.

FONTE: O AUTOR; RÜSCH (1961).

Os resultados obtidos através do método dos elementos finitos seguem no

quadro 24 e junto a eles o elemento finito onde foi identificado cada um dos valores.

Esta indicação do elemento serve apenas como referência, pois ao confrontar os

valores resultantes dos ábacos de Rüsch, observou-se que estes valores podem

108

estar em elementos adjacentes ao de referência, já que as distâncias dadas por

Rüsch são aproximadas.

Ponto Elem.

A

0º 884,6 11,6 1,0 - - - 350

30º 627,4 5,7 175,0 - - - 2782

45º 423,4 -6,2 188,1 - - - 4123

60º 218,1 5,7 140,7 - - - 4187

B

0º - - - 867,3 55,9 0 2450

30º - - - 681,1 4,2 121,3 2768

45º - - - 502,6 35,4 -118,9 3515

60º - - - 283,5 73,5 52,5 4950

C

0º 887,2 0,36 -0,9 - - - 151

30º 667,1 -1,71 166,8 - - - 2202

45º 473,3 -4,43 190,3 - - - 4762

60º 289,1 -6,78 216,2 - - - 9703

E

0º - - - 163,3 -7,7 78,6 204

30º - - - 148,8 -144,8 82,6 333

45º - - - 183,0 -221,1 104,8 6962

60º - - - 150,3 -312,2 30,6 9602

QUADRO 24 – RESULTADOS DOS MOMENTOS FLETORES E TORCEDORES DAS PLACAS

MODELADAS ATRAVÉS DO MEF.

FONTE: O AUTOR

Com base nestes resultados, pode-se fazer uma comparação entre os

resultados de ambos os modelos para cada ponto e estudar a convergência de cada

um dos valores obtidos. Este estudo está apresentado no quadro 25.

O que se observa do quadro 25 é que os resultados são, em sua grande

maioria convergentes entre si, e, em como nas outras comparações, alguns deles se

apresentaram com variação pouco mais significativa. Porém deve-se levar em conta

que a análise dos coeficientes de Rüsch é visual, em ábacos, o que nem sempre

possibilita grande precisão.

Na aplicação prática da Engenharia estes desvios acabam se tornando

insignificantes. Isto porque a maior parte dos casos de desvios significativos ocorreu

para pequenos valores absolutos. Além disso, ao se trabalhar com estes valores na

prática, a aplicação de coeficientes de segurança absorve estas imprecisões.

109

Ponto φ MX - MU (kN.m) MY - MV (kN.m) MXY - MUV (kN.m)

MEF RÜSCH DESVIO MEF RÜSCH DESVIO MEF RÜSCH DESVIO

A

0º 884,6 861,0 2,74% 11,6 0 - 1,0 1,4 -26,63%

30º 627,4 632,6 -0,82% 5,7 0 - 175,0 183,7 -4,77%

45º 423,4 421,6 0,43% -6,2 0 - 188,1 195,9 -4,00%

60º 218,1 214,4 1,71% 5,7 0 - 140,7 157,5 -10,64%

B

0º 867,3 861,0 0,73% 55,9 59,5 -6,02% 0 0 -

30º 632,6 682,5 -7,31% 10,4 10,5 -1,09% -121,3 -120,7 0,48%

45º 502,6 472,4 6,39% 35,4 28,0 26,39% -118,9 -136,5 -12,90%

60º 283,5 245,0 15,69% 73,5 70,0 4,97% -52,5 -52,5 0,03%

C

0º 887,2 892,5 -0,59% 3,6 0 - -0,9 -0,8 7,14%

30º 667,1 658,8 1,26% -17,1 0 - 166,8 183,7 -9,22%

45º 473,3 489,9 -3,38% -44,3 0 - 190,3 209,9 -9,33%

60º 289,1 315,0 -8,22% -67,8 0 - 216,2 210,0 2,97%

E

0º 163,3 154,0 6,04% -7,7 -7,0 9,43% 78,6 84,0 -6,45%

30º 148,8 147,0 1,20% -144,8 -152,2 -4,89% 82,6 84,0 -1,66%

45º 183,0 181,9 0,57% -221,1 -244,9 -9,72% 104,8 94,5 10,90%

60º 150,3 159,3 -5,63% -312,2 -315,0 -0,90% 30,6 42,0 -27,14%

QUADRO 25 – COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DOS MOMENTOS FLETORES E

TORCEDORES OBTIDOS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E PELO MODELO DE

RÜSCH

FONTE: O AUTOR

Ao se comparar a modelagem do estudo no método dos elementos finitos

com o modelo de Rüsch e obter resultados satisfatórios, pode-se dizer que esta

ferramenta é bastante poderosa para ser utilizada no projeto de lajes esconsas. Isto

porque o modelo de Rüsch já possui mais de 60 anos e até hoje é largamente

utilizado em dimensionamento de pontes retangulares ou esconsas.

110

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

6.1. CONCLUSÃO

Ao fim deste trabalho, pode-se concluir que o método dos elementos finitos

mostrou-se uma ferramenta poderosa na análise de placas, onde se podem

observar desvios de resultados considerados bastante satisfatórios para a análise

realizada. Levando-se em conta a grande complexidade de um estudo aprofundado

da teoria das placas, um método que se mostra eficaz tanto na praticidade de

modelagem quanto nos resultados gerados vem a ser um aliado de extrema

importância na Engenharia.

Concluiu-se também a importância da análise visual do comportamento de

placas, onde existe certa dificuldade de compreensão deste fator analisando apenas

modelos teóricos matemáticos, e, em especial para placas esconsas. As imagens

dos resultados computacionais mostram claramente as tendências de esforços

internos migrando para os ângulos obtusos e alterando o equilíbrio comum de uma

placa retangular, como exposto por Hambly (1991). Além disso, pode-se identificar

com clareza os pontos de acúmulo de forças, fazendo-se identificar pontos de

melhor estudo ao dimensionamento.

Por fim, houveram alguns desvios de valores de resultados entre os métodos

analisados, como por exemplo na comparação dos momentos fletores negativos da

placa retangular engastada. Deve-se levar em conta que os métodos que desviaram

do resultado teórico são aproximados e são deduzidos para cálculo de lajes onde se

considera uma continuidade, e não um engastamento perfeito. Também na

comparação entre o método de Rüsch e o MEF, alguns valores de esforços tiveram

maiores desvios, que podem estar relacionados com a dificuldade na obtenção dos

dados nos ábacos, estes que ainda apresentam comportamentos bastante

irregulares das curvas, especialmente nos gráficos dos momentos de torção.

Pode-se dizer que os objetivos previamente traçados ao iniciar este estudo

foram atendidos. No item seguinte, serão descritas algumas sugestões para outros

trabalhos que possam ser desenvolvidos academicamente.

111

6.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

De forma geral, pode-se em pesquisas e estudos futuros, estudar o

comportamento de placas levando em conta a sua variação da relação entre as

dimensões dos seus lados, citado por Leonhardt como um fator importante no

comportamento dos momentos principais.

É importante também considerar, para o caso específico de pontes, o que se

refere à norma NBR 7188 (1982) sobre carregamentos móveis de veículo tipo. Um

exemplo de trabalho seria estudar o comportamento de placas através das

superfícies de influência de Rüsch e através do método dos elementos finitos ao

receberem carregamentos móveis em seus variados pontos críticos e assim

acrescentar mais este fator de carga ao já estudado carregamento uniformemente

distribuído.

A possibilidade do estudo de modelos mais refinados de estrutura, como por

exemplo, sólidos tridimensionais de pontes, pontes com vigas de diversas seções

transversais, além de modelos mais próximos do concreto armado real considerando

este material como não-linear ortotrópico pode contribuir também no melhor

entendimento das estruturas reais. Nos dias de hoje há diversos aplicativos

computacionais que permitem simulações envolvendo estes fatores.

112

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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113

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114

APÊNDICES

APÊNDICE A – APDL PARA PLACA APOIADA COM ESCONSIDADE 0º

/BATCH /input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1 WPSTYLE,,,,,,,,0 /NOPR /PMETH,OFF,0 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,1 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,0 KEYW,MAGNOD,0 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 /GO /PREP7 ET,1,SHELL281 R,1,0.6, , , , , , RMORE, , , , , MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2.426934e+6 MPDATA,PRXY,1,,0.2 K,1,0,0,, K,2,20,0,, K,3,0,10,, K,4,20,10,, FLST,2,4,3 FITEM,2,1 FITEM,2,3 FITEM,2,4 FITEM,2,2 A,P51X FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 AESIZE,P51X,0.2, MSHAPE,0,2D MSHKEY,0 CM,_Y,AREA ASEL, , , , 1 CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y1 CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 !* /GO DL,P51X, ,UZ, FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 !* /GO DL,P51X, ,UX, FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 /GO SFA,P51X,1,PRES,1.75 FINISH /SOL

115

APÊNDICE B – APDL PARA PLACA APOIADA COM ESCONSIDADE 30º /BATCH /input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1 WPSTYLE,,,,,,,,0 /NOPR /PMETH,OFF,0 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,1 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,0 KEYW,MAGNOD,0 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 /GO /PREP7 ET,1,SHELL281 R,1,0.6, , , , , , RMORE, , , , , MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2.426934e+6 MPDATA,PRXY,1,,0.2 K,1,0,0,, K,2,20,0,, K,3,5.77,10,, K,4,25.77,10,, FLST,2,4,3 FITEM,2,1 FITEM,2,3 FITEM,2,4 FITEM,2,2 A,P51X FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 AESIZE,P51X,0.2, MSHAPE,0,2D MSHKEY,0 CM,_Y,AREA ASEL, , , , 1 CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y1 CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 !* /GO DL,P51X, ,UZ, FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 !* /GO DL,P51X, ,UX, FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 /GO SFA,P51X,1,PRES,1.75 FINISH /SOL

116

APÊNDICE C – APDL PARA PLACA APOIADA COM ESCONSIDADE 45º /BATCH /input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1 WPSTYLE,,,,,,,,0 /NOPR /PMETH,OFF,0 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,1 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,0 KEYW,MAGNOD,0 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 /GO /PREP7 ET,1,SHELL281 R,1,0.6, , , , , , RMORE, , , , , MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2.426934e+6 MPDATA,PRXY,1,,0.2 K,1,0,0,, K,2,20, 0,, K,3,10,10,, K,4,30,10,, FLST,2,4,3 FITEM,2,1 FITEM,2,3 FITEM,2,4 FITEM,2,2 A,P51X FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 AESIZE,P51X,0.2, MSHAPE,0,2D MSHKEY,0 CM,_Y,AREA ASEL, , , , 1 CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y1 CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 !* /GO DL,P51X, ,UZ, FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 !* /GO DL,P51X, ,UX, FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 /GO SFA,P51X,1,PRES,1.75 FINISH /SOL

117

APÊNDICE D – APDL PARA PLACA APOIADA COM ESCONSIDADE 60º /BATCH /input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1 WPSTYLE,,,,,,,,0 /NOPR /PMETH,OFF,0 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,1 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,0 KEYW,MAGNOD,0 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 /GO /PREP7 ET,1,SHELL281 R,1,0.6, , , , , , RMORE, , , , , MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2.426934e+6 MPDATA,PRXY,1,,0.2 K,1,0,0,, K,2,20,0,, K,3,17.32,10,, K,4,37.32,10,, FLST,2,4,3 FITEM,2,1 FITEM,2,3 FITEM,2,4 FITEM,2,2 A,P51X FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 AESIZE,P51X,0.2, MSHAPE,0,2D MSHKEY,0 CM,_Y,AREA ASEL, , , , 1 CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y1 CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 !* /GO DL,P51X, ,UZ, FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 !* /GO DL,P51X, ,UX, FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 /GO SFA,P51X,1,PRES,1.75 FINISH /SOL

118

APÊNDICE E – APDL PARA PLACA APOIADA COM ESCONSIDADE 75º /BATCH /input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1 WPSTYLE,,,,,,,,0 /NOPR /PMETH,OFF,0 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,1 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,0 KEYW,MAGNOD,0 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 /GO /PREP7 ET,1,SHELL281 R,1,0.6, , , , , , RMORE, , , , , MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2.426934e+6 MPDATA,PRXY,1,,0.2 K,1,0,0,, K,2,20, 0,, K,3,37.32,10,, K,4,57.32,10,, FLST,2,4,3 FITEM,2,1 FITEM,2,3 FITEM,2,4 FITEM,2,2 A,P51X FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 AESIZE,P51X,0.2, MSHAPE,0,2D MSHKEY,0 CM,_Y,AREA ASEL, , , , 1 CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y1 CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 !* /GO DL,P51X, ,UZ, FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 !* /GO DL,P51X, ,UX, FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 /GO SFA,P51X,1,PRES,1.75 FINISH /SOL

119

APÊNDICE F – APDL PARA PLACA LIVRE COM ESCONSIDADE 0º /BATCH /input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1 WPSTYLE,,,,,,,,0 /NOPR /PMETH,OFF,0 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,1 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,0 KEYW,MAGNOD,0 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 /GO /PREP7 ET,1,SHELL281 R,1,0.6, , , , , , RMORE, , , , , MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2.426934e+6 MPDATA,PRXY,1,,0.2 K,1,0,0,, K,2,20,0,, K,3,0,10,, K,4,20,10,, FLST,2,4,3 FITEM,2,1 FITEM,2,3 FITEM,2,4 FITEM,2,2 A,P51X FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 AESIZE,P51X,0.2, MSHAPE,0,2D MSHKEY,0 CM,_Y,AREA ASEL, , , , 1 CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y1 CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 FLST,2,2,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,3 !* /GO DL,P51X, ,UZ, FLST,2,2,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,3 !* /GO DL,P51X, ,UX, FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 /GO SFA,P51X,1,PRES,1.75 FINISH /SOL

120

APÊNDICE G – APDL PARA PLACA LIVRE COM ESCONSIDADE 30º /BATCH /input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1 WPSTYLE,,,,,,,,0 /NOPR /PMETH,OFF,0 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,1 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,0 KEYW,MAGNOD,0 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 /GO /PREP7 ET,1,SHELL281 R,1,0.6, , , , , , RMORE, , , , , MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2.426934e+6 MPDATA,PRXY,1,,0.2 K,1,0,0,, K,2,20,0,, K,3,5.77,10,, K,4,25.77,10,, FLST,2,4,3 FITEM,2,1 FITEM,2,3 FITEM,2,4 FITEM,2,2 A,P51X FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 AESIZE,P51X,0.2, MSHAPE,0,2D MSHKEY,0 CM,_Y,AREA ASEL, , , , 1 CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y1 CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 FLST,2,2,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,3 !* /GO DL,P51X, ,UZ, FLST,2,2,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,3 !* /GO DL,P51X, ,UX, FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 /GO SFA,P51X,1,PRES,1.75 FINISH /SOL

121

APÊNDICE H – APDL PARA PLACA LIVRE COM ESCONSIDADE 45º /BATCH /input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1 WPSTYLE,,,,,,,,0 /NOPR /PMETH,OFF,0 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,1 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,0 KEYW,MAGNOD,0 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 /GO /PREP7 ET,1,SHELL281 R,1,0.6, , , , , , RMORE, , , , , MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2.426934e+6 MPDATA,PRXY,1,,0.2 K,1,0,0,, K,2,20, 0,, K,3,10,10,, K,4,30,10,, FLST,2,4,3 FITEM,2,1 FITEM,2,3 FITEM,2,4 FITEM,2,2 A,P51X FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 AESIZE,P51X,0.2, MSHAPE,0,2D MSHKEY,0 CM,_Y,AREA ASEL, , , , 1 CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y1 CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 FLST,2,2,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,3 !* /GO DL,P51X, ,UZ, FLST,2,2,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,3 !* /GO DL,P51X, ,UX, FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 /GO SFA,P51X,1,PRES,1.75 FINISH /SOL

122

APÊNDICE I – APDL PARA PLACA LIVRE COM ESCONSIDADE 60º /BATCH /input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1 WPSTYLE,,,,,,,,0 /NOPR /PMETH,OFF,0 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,1 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,0 KEYW,MAGNOD,0 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 /GO /PREP7 ET,1,SHELL281 R,1,0.6, , , , , , RMORE, , , , , MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2.426934e+6 MPDATA,PRXY,1,,0.2 K,1,0,0,, K,2,20,0,, K,3,17.32,10,, K,4,37.32,10,, FLST,2,4,3 FITEM,2,1 FITEM,2,3 FITEM,2,4 FITEM,2,2 A,P51X FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 AESIZE,P51X,0.2, MSHAPE,0,2D MSHKEY,0 CM,_Y,AREA ASEL, , , , 1 CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y1 CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 FLST,2,2,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,3 !* /GO DL,P51X, ,UZ, FLST,2,2,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,3 !* /GO DL,P51X, ,UX, FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 /GO SFA,P51X,1,PRES,1.75 FINISH /SOL

123

APÊNDICE J – APDL PARA PLACA ENGASTADA COM ESCONSIDADE 0º /BATCH /input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1 WPSTYLE,,,,,,,,0 /NOPR /PMETH,OFF,0 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,1 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,0 KEYW,MAGNOD,0 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 /GO /PREP7 ET,1,SHELL281 R,1,0.6, , , , , , RMORE, , , , , MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2.426934e+6 MPDATA,PRXY,1,,0.2 K,1,0,0,, K,2,20,0,, K,3,0,10,, K,4,20,10,, FLST,2,4,3 FITEM,2,1 FITEM,2,3 FITEM,2,4 FITEM,2,2 A,P51X FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 AESIZE,P51X,0.2, MSHAPE,0,2D MSHKEY,0 CM,_Y,AREA ASEL, , , , 1 CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y1 CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 !* /GO DL,P51X, ,ALL, FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 /GO SFA,P51X,1,PRES,1.75 FINISH /SOL

124

APÊNDICE K – APDL PARA PLACA ENGASTADA COM ESCONSIDADE

30º /BATCH /input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1 WPSTYLE,,,,,,,,0 /NOPR /PMETH,OFF,0 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,1 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,0 KEYW,MAGNOD,0 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 /GO /PREP7 ET,1,SHELL281 R,1,0.6, , , , , , RMORE, , , , , MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2.426934e+6 MPDATA,PRXY,1,,0.2 K,1,0,0,, K,2,20,0,, K,3,5.77,10,, K,4,25.77,10,, FLST,2,4,3 FITEM,2,1 FITEM,2,3 FITEM,2,4 FITEM,2,2 A,P51X FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 AESIZE,P51X,0.2, MSHAPE,0,2D MSHKEY,0 CM,_Y,AREA ASEL, , , , 1 CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y1 CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 !* /GO DL,P51X, ,ALL, FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 /GO SFA,P51X,1,PRES,1.75 FINISH /SOL

125

APÊNDICE L – APDL PARA PLACA ENGASTADA COM ESCONSIDADE

45º /BATCH /input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1 WPSTYLE,,,,,,,,0 /NOPR /PMETH,OFF,0 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,1 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,0 KEYW,MAGNOD,0 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 /GO /PREP7 ET,1,SHELL281 R,1,0.6, , , , , , RMORE, , , , , MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2.426934e+6 MPDATA,PRXY,1,,0.2 K,1,0,0,, K,2,20, 0,, K,3,10,10,, K,4,30,10,, FLST,2,4,3 FITEM,2,1 FITEM,2,3 FITEM,2,4 FITEM,2,2 A,P51X FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 AESIZE,P51X,0.2, MSHAPE,0,2D MSHKEY,0 CM,_Y,AREA ASEL, , , , 1 CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y1 CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 !* /GO DL,P51X, ,ALL, FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 /GO SFA,P51X,1,PRES,1.75 FINISH /SOL

126

APÊNDICE M – APDL PARA PLACA ENGASTADA COM ESCONSIDADE

60º /BATCH /input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1 WPSTYLE,,,,,,,,0 /NOPR /PMETH,OFF,0 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,1 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,0 KEYW,MAGNOD,0 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 /GO /PREP7 ET,1,SHELL281 R,1,0.6, , , , , , RMORE, , , , , MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2.426934e+6 MPDATA,PRXY,1,,0.2 K,1,0,0,, K,2,20,0,, K,3,17.32,10,, K,4,37.32,10,, FLST,2,4,3 FITEM,2,1 FITEM,2,3 FITEM,2,4 FITEM,2,2 A,P51X FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 AESIZE,P51X,0.2, MSHAPE,0,2D MSHKEY,0 CM,_Y,AREA ASEL, , , , 1 CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y1 CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 !* /GO DL,P51X, ,ALL, FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 /GO SFA,P51X,1,PRES,1.75 FINISH /SOL

127

APÊNDICE N – APDL PARA PLACA ENGASTADA COM ESCONSIDADE

75º /BATCH /input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1 WPSTYLE,,,,,,,,0 /NOPR /PMETH,OFF,0 KEYW,PR_SET,1 KEYW,PR_STRUC,1 KEYW,PR_THERM,0 KEYW,PR_FLUID,0 KEYW,PR_ELMAG,0 KEYW,MAGNOD,0 KEYW,MAGEDG,0 KEYW,MAGHFE,0 KEYW,MAGELC,0 KEYW,PR_MULTI,0 KEYW,PR_CFD,0 /GO /PREP7 ET,1,SHELL281 R,1,0.6, , , , , , RMORE, , , , , MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2.426934e+6 MPDATA,PRXY,1,,0.2 K,1,0,0,, K,2,20, 0,, K,3,37.32,10,, K,4,57.32,10,, FLST,2,4,3 FITEM,2,1 FITEM,2,3 FITEM,2,4 FITEM,2,2 A,P51X FLST,2,2,4,ORDE,2 FITEM,2,1 AESIZE,P51X,0.2, MSHAPE,0,2D MSHKEY,0 CM,_Y,AREA ASEL, , , , 1 CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y1 CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 !* /GO DL,P51X, ,ALL, FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 /GO SFA,P51X,1,PRES,1.75 FINISH /SOL

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Aplicação do método dos elementos finitos no estudo da teoria das