11-Método de Elementos Finitos

7/23/2019 11-Mtodo de Elementos Finitos

1/40

Universidad Tecnolgica NacionalFacultad Regional Delta

Terico deCLCULO AVANZADO

2015

Tema: Mtodo de Elementos Finitos

Objetivos de aprendizaje

Germn BRESCIANO


2/40

11 MTODO DE ELEMENTOS FINITOS ................................................................................. 11-1

11.1 ECUACIN DE POISSON................................................................ ............................................. 11-111.2 FORMA DBIL DE LA ECUACIN DE POISSON.................... ........................................................ 11-211.3 MTODO DE RESIDUOS PONDERADOS........................................ .............................................. 11-3

Matrices elementales .......................................................... ............................................. 11-4

Ejemplo con un elemento unidimensional lineal ............................................................. 11-5

Ejemplo con un elemento unidimensional cuadrtico ..................................................... 11-7Ejemplo con 10 elementos unidimensionales lineales ..................................................... 11-8

Ejemplo con elementos triangulares lineales ................................................................ .. 11-811.3.2.1 Elemento 1 ........................................................................................................................... 11-1011.3.2.2 Elemento 2 ........................................................................................................................... 11-1211.3.2.3 Elemento 3 ........................................................................................................................... 11-1311.3.2.4 Elemento 4 ........................................................................................................................... 11-1411.3.2.5 Ensamblado del sistema global ............................................................................................ 11-1511.3.2.6 Reduccin del sistema .......................................................................................................... 11-1611.3.2.7 Resolucin ........................................................................................................................... 11-1611.3.2.8 Flujos nodales de reaccin ................................................................................................... 11-16

Otra forma de calcular ............................................................................ ...................... 11-1711.3.3.1 Elemento 1 ........................................................................................................................... 11-1911.3.3.2 Elemento 2 ........................................................................................................................... 11-2011.3.3.3 Elemento 3 ........................................................................................................................... 11-2111.3.3.4 Elemento 4 ........................................................................................................................... 11-21

11.4 ELEMENTOS ISOPARAMTRICOS................................................. ............................................ 11-22Clculo de las matrices elementales ........................................................ ...................... 11-23

11.4.1.1 Elementos 2D ....................................................................................................................... 11-2311.4.1.2 Elementos 3D ....................................................................................................................... 11-24

Integracin numrica ......................................................................................... ........... 11-24

11.5 ELEMENTOS DE ESTADOS PLANOS................................... ....................................................... 11-25Tension plana .............. ................................................................. ................................. 11-25

11.5.1.1 Elementos usuales ................................................................................................................ 11-25Deformacin plana ............................................................. ........................................... 11-26

11.5.2.1 Elementos usuales ................................................................................................................ 11-2711.6 ELEMENTOS AXISIMTRICOS........................................... ....................................................... 11-27

Elementos usuales............................................................... ........................................... 11-2811.7 ELEMENTOS CON INTEGRACIN COMPLETA............................................................................ 11-29Elementos lineales con integracin completa (Bloqueo por corte) ............................... 11-29

Elementos cuadrticos con integracin completa ......................................................... 11-30

11.8 ELEMENTOS CON INTEGRACIN REDUCIDA...................... ...................................................... 11-30Elementos lineales con integracin reducida (Reloj de arena) ..................................... 11-30

Elementos cuadrticos con integracin reducida .......................................................... 11-31

Resumen de caractersticas ........................................................................................... 11-31

11.9 SELECCIN DEL TIPO DE ELEMENTO................................ ...................................................... 11-3211.10 DISCRETIZACIN DEL DOMINIO.............................................. ............................................ 11-32

Mallas no estructuradas ............................................................................................ 11-32Mallas estructuradas ................................................................................................. 11-33

Recomendaciones ...................................................................................................... 11-34

Errores de conexin ....................................................... ............................................ 11-3411.11 REFINAMIENTO DE MALLAS................................................................................................ 11-35

Refinamiento p ................................................................ ........................................... 11-35

Refinamiento h ................................................................ ........................................... 11-35

Refinamiento ph .............................................................. ........................................... 11-35

11.12 REQUISITOS PARA LA CONVERGENCIA DE LA SOLUCIN.................................................... 11-35Condicin de continuidad ......................................................... ................................. 11-35

Condicin de derivabilidad ...................................................... ................................. 11-35

Condicin de integrabilidad ...................................................................................... 11-35

Criterio de la parcela (patch test) ............................................ ................................. 11-36

Condicin de slido rgido ....................................................... ................................. 11-36

Condicin de gradiente constante ....................... ...................................................... 11-36

11.13 REQUISITOS RECOMENDABLES............................................... ............................................ 11-36

Condicin de compatibilidad ............................................................... ...................... 11-36Condicin de invarianza ........................................................... ................................. 11-37


3/40

Condicin de polinomio completo ....................................................... ...................... 11-37

Condicin de estabilidad ........................................................................................... 11-37


4/40

Mtodo de Elementos Finitos 11-1

11 Mtodo de Elementos Finitos

11.1 Ecuacin de Poisso n

Muchos problemas de campo que se encuentran en diversos temas de ingeniera sonproblemas de Poisson, en los que se tiene un sistema fsico est gobernado por la ecuacin dePoisson, que es de la forma:

Ec. 11-1

En ingeniera suele encontrarse como (1)

Ec. 11-2

{ 0 0 0

En general la variable incgnita ser un potencial que impulsa un flujo, por ejemplo:o Temperatura y flujo de caloro Concentracin y flujo de materiao Presin y flujo de fluidoo Potencial elctrico y flujo de cargao Desplazamiento y fuerza

Esta ecuacin suele derivarse de la siguiente forma Estudiando un elemento infinitesimal del dominio se plantea la ecuacin de

conservacin del fluido (lo que fluye: calor, materia, fluido, carga elctrica, fuerzas)

teniendo en cuenta la posible generacin dentro del elemento (generacin de calor, demateria por reaccin, fuerzas distribuidas o peso propio, etc.)

Se obtiene una relacin entre el gradiente del flujo y la generacin interna. Se introduce la ley emprica que relaciona el flujo con el gradiente de potencial a travs

de un coeficiente (conductividad trmica, coeficiente de difusin, viscosidad, constantedielctrica, constante de Hooke, etc.)

Se obtiene una relacin entre el gradiente del gradiente del potencial (derivadasegunda o laplaciano) y la generacin interna, que es la ecuacin de Poisson.

Finalmente se consideran las condiciones de contorno segn si en la frontera seconoce el potencial o el flujo o una relacin entre ambos.

Ejemplos;Conduccin de calor en un slido. Condicin de borde: Temperatura o flujo de calorDifusin de materia. Condicin de borde: Concentracin o flujo de materiaDeformacin de un slido elstico. Condicin de borde: desplazamiento o fuerza.

1 La matriz diagonal k representa la conductividad del medio al flujo. Si el medio es istropo entonces sus trescomponentes son iguales. Puede variar con la posicin o con el valor del potencial incgnita, pero muchas veces esconstante.

es el valor prescrito del potencial en una parte de la frontera y es el valor prescrito del flujo en otra parte de lafrontera, es el coeficiente de intercambio en la fronteray es el potencial del ambiente.


5/40


Campo VariablePrimaria

Coeficientek

Trmino Q Variable q

Cables Deflexintransversal

T Fuerza verticaldistribuida

Carga axial

Barras Desplazamientolongitudinal

EA Fuerza axialdistribuida

Carga axial

Transferenciade Calor

Temperatura K Generacin interna decalor

Flujo decalor

Flujos enTuberas

Presinhidrosttica

128 Flujo fuente Flujo defluidoFlujos Viscosos Velocidad Gradiente de presin TensinFlujo en MediosPorosos

Presin Flujo fuente Flujo defluido

Electrosttica Potencialelctrico

E Densidad de carga Flujoelctrico

11.2 Forma dbi l de la ecu acin d e Pois so nLa forma fuerte del problema de Poisson es

{ 0 0 0

Su forma dbil es 0

0 0

que a su vez es equivalente a

Ec. 11-3

0 O sea

( )

Usando el teorema de Green Pero como


6/40


( )

EntoncesEc. 11-4

( ) 11.3 Mtod o de Resid uo s Pon der ado s

En particularEc. 11-4 se va a verificar para hdel espacio de elementos finitos (2)(3) ( ) Pero

es nula en 1entonces

( ) Pero (4)Entonces Hacemos la aproximacin de buscar un hVhque verifique esa igualdad

que es la misma que tenamos en el mtodo de elementos finitosEn este caso, al igual que antes, hemos usado el mismo espacio de elementos finitos, Vh, paralas hy para las h. Este es el mtodo de Galerkin.Si sustituimos hpor una combinacin lineal de la base de Vh 1 y a hpor cada una de las funciones de forma de la base de Vh (5)

1 , ,

= = 1 , , Siendo j. el valor nodal de la funcin incgnita en el nodo j-simo.Como las integrales y el gradiente son operadores lineales.

= 1 , , 2Un espacio de dimensin finita de funciones que cumplen la condicin de Dirichlet.3Las hse llaman funciones de peso y se toman de una base de Vh

4es el flujo normal en la frontera de Dirichlet, que es desconocido.5usamos una base de Vh en la que cada funcin vale 1 en un nodo y 0 en los dems


7/40


Que es un sistema de la forma

Ec. 11-5 Donde (6)

ConEc. 11-6

| | 2

| | 1 | ( )2 Kdes la matriz de rigidez por difusin, Kces la matriz de rigidez por conveccin.Ntese que ambas matrices son simtricas.

fQes el vector de fuerzas por generacin interna, f es el vector de fuerzas de reaccin (que nose conocen) y fqes el vector de cargas prescritas.

Matrices elementalesConsideramos la integral en Ec. 11-6 como suma de integrales en cada elemento

= vemos que las funciones de forma son nulas en todos los elementos que no contengan al nodocorrespondiente y por tanto tambin sus gradientes son nulos. Entonces las integraleselementales slo son no nulas cuando ambos nodos iyjpertenecen al elemento.Entonces

del mismo modo y tambin

6Kse llama Matriz de rigidez. No confundir con k, la matriz de constantes de conductividad, fes el vector de fuerzasequivalentes.


8/40


O sea que el sistema globalEc. 11-5 puede obtenerse a partir de los sistemas elementales

Ec. 11-7 Ensamblndolo mediante la suma de sus coeficientes en las filas y columnas correspondientesa los nodos de cada elemento en la numeracin global.

Ejemplo con un elemento unidimensional linealConsideremos una barra conductora de calor de longitud L=10y conductividad k=1a lo largode la cual hay generacin interna de calor Q(x)=5constante.

Un extremo se mantiene a una temperatura prescrita

15y en el otro extremo se fija un

flujo de calor 10 ..

Vamos a modelar este sistema con un solo elemento unidimensional lineal.

Vamos a plantear el sistema elementalEc. 11-7

Las funciones de forma son 1 10

10

Por lo tanto


9/40


1

[

]

0,1 0,10,1 0,1 Adems, como no hay intercambio de calor a lo largo de la barra

0 00 0 5 [

1 10 10 ] 2525

0

010

Entonces 0,1 0,10,1 0,1 2 5 15 Como en el nodo 1 la temperatura est prescrita 0,1 0,10,1 0,1 15 1,50,11,50,1 2 5 15 De donde 165y 40La grfica de temperatura a lo largo de la barra ser

Ntese que si bien los valores en los extremos son razonables, este modelo no refleja elinterior de la barra con precisin, ya que habiendo generacin de calor el flujo interno no puedeser constante.Esto se debe a que el elemento usado es lineal, lo que supone gradiente constante.Este modelo no puede representar la generacin interna de calor, sino que la concentra en losnodos.Para poder reflejar variaciones en el flujo de calor (que en este caso debe haber) tenemos dosopciones, o usamos varios elementos lineales para modelar la barra o usamos un elemento

cuadrtico.

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10

Flujodecalor

Temperaturae

x

Barra conductora


10/40


Ejemplo con un elemento unidimensional cuadrticoEn este caso las funciones de forma son 1 5 5 0

50 2 1 5

50

1025 21025 550 2 550 Por lo tanto

1

[

2 1 550 2 1 550 2 1 550 21025 2 1 550 2 550 2 1 550 21025 21025 21025 21025 2 550

2 1 5

50 2 5

50

210

25 2 5

50

2 5

50 2 5

50

]

130 7 8 18 16 81 8 7 Adems, como no hay intercambio de calor a lo largo de la barra 0 0 00 0 00 0 0

5 [

1 5 5 050

10

25

550 ] 253

141

00 0010

Entonces

7 8 18 16 81 8 7 1 0 2 5 3 1005 Como en el nodo 1 la temperatura est prescrita 7 8 18 16 81 8 7

15 1058 12016 81 5 8 7 1 0

2 5 3 1005 De donde 16 88 7 112065 Cuya solucin es

152,5y

165y por tanto

40


11/40


Ntese que este modelo refleja bien el interior de la barra, ya que habiendo generacin de calorel flujo interno vara a lo largo de la barra.

Ejemplo con 10 elementos unidimensionales linealesSi dividimos la barra en 10 elementos lineales iguales, el resultado es el que se muestra en lasiguiente grfica:

Ntese que la grfica de temperaturas es casi idntica a la anterior, pero es una poligonal.La grfica de flujos de calor se aproxima a la anterior, pero es escalonada en lugar de unarecta debido a que los elementos lineales no pueden representar la generacin de calor en elinterior de los elementos sino que se modela como si se generara puntualmente en los nodos.

Ejemplo con elementos triangulares linealesConsideremos un cuadrado de 10cm de lado en el cual se genera calor a razn de 2.4cal/cm2s. El medio es istropo y la conductividad calorfica es 2 cal/cmC.

El Permetro del cuadrado se mantiene a 0C.

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 2 4 6 8 10

Flujodcalor

Temperatura

x

Barra conductora

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 2 4 6 8 10

Flujdecalor

Temperatura

x

Barra conductora


12/40


Por consideraciones de simetra, en este caso vamos a considerar como dominio slo unoctavo del cuadrado, al cual dividiremos en cuatro elementos triangulares lineales como semuestra en la figura.

Dada la simetra que debe tener la solucin, no puede haber flujo de calor a travs de ladiagonal entre los nodos 1 y 6 ni en el segmento entre los nodos 1 y 4.Por tanto en esa parte de la frontera del dominio considerado la condicin de frontera es

k 0 0 0

Mientras que en el segmento entre los nodos 4 y 6 la condicin de frontera es 0 0A continuacin se ve la numeracin local de nodos de cada elemento, mostrada entreparntesis:


13/40


La siguiente matriz de conectividad relaciona la numeracin global y local.

NODO >ELEMENTO

(1) (2) (3)

1 1 2 32 2 4 5

3 2 5 34 3 5 6

Vamos a plantear el sistema elementalEc. 11-7 de cada elemento.

Como este caso es sencillo, vamos a calcular las integrales directamente en lugar de hacercambios de variable para llevar cada elemento al tringulo estndar.

11.3.2.1 Elemento 1

Usando la numeracin local de los nodos, las funciones de forma son

1 1 1 1 1 1

16.25 1 1 5 01 5 5 5 2 5 0

1 1 1 1 1 1 16.25 1 0 01 1 5 5 2 5

1 1 1

1 1 1 1

6.25 1 0 01 5 01

25

0


14/40


Entonces

[

]

2[

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]

6.25 0.16 0.16 00.16 0.32 0.160 0.16 0.16 Por tanto 1 1 01 2 10 1 1 Por otro lado, como es cero, la matriz de conveccin es nula.

[ ]

0 0 00 0 00 0 0Por otro lado

[

]

2.4 [3.125

33.12533.1253 ] 2.52.52.5

Como en este elemento no tiene ningn lado en la frontera de Dirichlet 000Este elemento tiene dos lados en la frontera de Newmann, pero en ellos el flujo de calorprescrito es nulo, por tanto


15/40


[

] [

+

+ + ] 000

Sumando obtenemos el sistema de ecuaciones del elemento

1 1 01 2 10 1 1

1 1 01 2 10 1 1

2.52.52.5donde en este caso la numeracin global y local de las variables nodales coincide.

11.3.2.2 Elemento 2

2 5 5 0 5 2 5 25 0 Entonces

1 1 01 2 10 1 1

0 0 00 0 00 0 0

2.52.52.5Este elemento tiene el lado en la frontera de Dirichlet, calculando las integrales con lafrmula de trapecios:

[

]

[

]

[2.52 32.52 32.52 3]

1.250 01 00 1 1 .2 5 0


16/40


Entonces

01.251.25

donde q4y q5son los flujos normales en los nodos 4 y 5 (numeracin global).Este elemento tiene un lado en la frontera de Newmann, pero en l el flujo de calor prescrito esnulo, por tanto

[

]

[

]

000


1 1 01 2 10 1 1

1 1 01 2 10 1 1

2.52.51.252.51.25En este caso la numeracin global y local de las variables nodales no coincide.

11.3.2.3 Elemento 3

5 5 5 0 5 2 5 0 5 2 5 Entonces 1 0 10 1 11 1 2

0 0 00 0 00 0 0 2.52.52.5

Este elemento no tiene ningn ladoen la frontera de Dirichlet ni en la de Newmann, por lo que 000

000


17/40



1 0 10 1 11 1 2

1 0 10 1 11 1 2

2.52.52.5

En este caso la numeracin global y local de las variables nodales tampoco coincide.

11.3.2.4 Elemento 4

25 5 0 2 5 5 2 5 0 Entonces

1 1 01 2 10 1 1 0 0 00 0 00 0 0

2.52.52.5

Este elemento tiene el lado en la frontera de Dirichlet, calculando las integrales con lafrmula de trapecios:

[

]

[

]

[2.52 32.52 32.52 3]

1.250 01 00 1 1 .2 5 0

Entonces

01.251.25donde q5y q6son los flujos normales en los nodos 5 y 6 (numeracin global).Este elemento tiene un lado en la frontera de Newmann, pero en l el flujo de calor prescrito esnulo, por tanto


18/40


[

] [

] 000


1 1 01 2 10 1 1

1 1 01 2 10 1 1

2.52.51.252.51.25En este caso la numeracin global y local de las variables nodales tampoco coincide.

11.3.2.5 Ensamblado del sistema global

Para ensamblar el sistema tenemos que sumar en la matriz global los coeficientes de lasmatrices elementales, cada una en la fila y columna correspondiente a su nodo fila y nodocolumna.Para eso usamos como referencia la matriz de conectividad que indica la numeracin globalcorrespondiente a cada nodo local de cada elemento.Primero calculamos la matriz de rigidez global, que va a tener tantas filas y columnas comonodos tiene el modelo.Al considerar el elemento 1

[

1 1 0 0 0 01 2 1 0 0 00 1 1 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0]

Sumamos el elemento 2

[

0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 00 0 0 0 0 00 1 0 2 1 00 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0]

[

1 1 0 0 0 01 3 1 1 0 00 1 1 0 0 00 1 0 2 1 00 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0]


[0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 00 1 2 0 1 00 0 0 0 0 00 0 1 0 1 00 0 0 0 0 0]

[

1 1 0 0 0 01 4 2 1 0 00 2 3 0 1 00 1 0 2 1 00 0 1 1 2 00 0 0 0 0 0]


[

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 00 0 0 0 0 00 0 1 0 2 10 0 0 0 1 1 ] [

1 1 0 0 0 01 4 2 1 0 0

0 2 4 0 2 00 1 0 2 1 00 0 2 1 4 10 0 0 0 1 1 ]


19/40


Lo mismo con el vector de fuerzas equivalentes

[

2.52.52.5000 ]

[

02.502.51.252.51.250 ] [

02.52.502.50 ] [

002.502.51.252.51.25] [

2.57.57.52.51.257.52.502.51.25]

Entonces el sistema global queda

[

1 1 0 0 0 01 4 2 1 0 00 2 4 0 2 00 1 0 2 1 00 0 2 1 4 10 0 0 0 1 1 ] [

]

[

2.57.57.52.51.257.52.502.51.25]

11.3.2.6 Reduccin del sistema

Como la temperatura est prescripta con valor 0C en los nodos 4, 5 y 6, podemos eliminar lasecuaciones 4, 5 y 6 y sustituir estas variables por sus valores prescritos en las ecuaciones quequedan, pasndolas restando del lado derecho.

1 1 0 0 0 01 4 2 1 0 00 2 4 0 2 0 [

000 ] 2.57.57.5

1 1 0

1 4 20 2 4

0 0 01 0 00 2 0

000

2.57.57.5

1 1 01 4 20 2 4 2.57.57.511.3.2.7 Resolucin

Resolviendo el sistema reducido

9.37506.87505.3125

[

]

[

9.37506.87505.3125000 ]

11.3.2.8 Flujos nodales de reaccin

Sustituyendo la solucin obtenida en el sistema sin reducir:

[

1 1 0 0 0 01 4 2 1 0 00 2 4 0 2 00 1 0 2 1 00 0 2 1 4 10 0 0 0 1 1 ] [

9.37506.87505.3125000 ]

[

2.57.57.52.51.257.52.502.51.25]

Entonces


20/40


[

2.57.57.56.87510.6250 ]

[

2.57.57.52.51.257.52.502.51.25]

de donde

456 7.57.252

Son los flujos de calor saliente en cada nodo.Si queremos calcular el calor saliente en cada lado de la frontera de Dirichlet integramos el flujoen la frontera con la frmula de trapecios (7): + 2 . 5 2 . 5 18.437511.562530 /

Otra forma de calcularEn el ejemplo anterior hemos trabajado con las coordenadas geomtricas originales delproblema, pero los clculos pueden estandarizarse si para cada elemento hacemos un cambiode variable para transformarlo en el tringulo estndar y calculamos en l las integrales.En el captulo de integracin numrica vimos que el tringulo estndar se puede transformar en

cualquier tringulo de vrtices (, ) (, ) (, )mediante la transformacin , , , , , , Donde (8)

, 1 , , Ntese que

xy , , ,

1

1 11 00 1

11

Entoncesxy 11 con

1 11 00 1

Definimos la funcin

7Como estamos usando aproximacin lineal, la frmula de trapecios es exacta.8Ntese que para transformar la geometra estamos usando las mismas funciones de forma que para interpolar lavariable de estado.

Figura 1 Tringulo estndar


21/40


xy, x, y, 11cuyo Jacobiano es Y por el teorema de cambio de variable de integrales mltiples

f x , y f x y Por otro lado las funciones de forma del elemento estndar pueden escribirse como Por lo tanto, por regla de la cadena ( )() () ()Entonces

( xy) x y ( xy)

() () ()() ()()() Entonces

()()() Por otro lado

( )( )

Pero x y Sustituyendo ( x y ) ( x y )( x y )

( ) ( )( ) Entonces

( xy) xyT T

Estas frmulas tienen la ventaja de que las funciones de forma, sus gradientes, el tringulo y

los lados son conocidos e iguales para todos los elementos, pues son del tringulo estndar.Lo nico que cambia para cada elemento es Jxy.


22/40


Para el elemento estndar , 1 , ,

1 1 1

1 0 0 1La parametrizacin de los lados del tringulo estndar es la siguiente12 0 23 1023 1 23 11 31 01 23 01Las integrales de lnea pueden calcularse con la frmula de Gauss del punto medio (exactapara grado 1) o la de dos puntos (exacta para grado 3)Las integrales dobles pueden calcularse con la frmula del punto medio del tringulo (exacta

para grado 1) o la de 3 puntos (exacta para grado 2)11.3.3.1 Elemento 1

En este caso 0 2.5 2.50 0 2.5 2.5 2.50 2.5Entonces 6.25 () 0.4 0.40 0.4 1 1 0.4 0.40 0.4 2 00 2 0.4 00.4 0.4 116.25 2 1

1 1 0.4 0.40 0.4 2 00 2 0.4 00.4 0.4 106.25 2 1 1 1 0.4 0.40 0.4 2 00 2 0.4 00.4 0.4 016.25 0 0 1 0 0.4 0.40 0.4 2 00 2 0.4 00.4 0.4 106.25 4 2 1 0 0.4 0.40 0.4 2 00 2 0.4 00.4 0.4 016.25 2 1

0 1 0.4 0.40 0.4

2 00 2

0.4 00.4 0.4

016.25 2 1

Y como debe ser simtrica entonces 1 1 01 2 10 1 1 Como este elemento en los lados con condicin de Newmann tiene =0 (9) 0 0 00 0 00 0 09

Si no fuera as, habra que calcular las integrales numricamente con una frmulade Gauss exacta para polinomios de grado total 2


23/40


T 1 2.46,25T 15 1 T Podemos integrar numricamente con la frmula exacta para primer grado (punto medio deltringulo)

1 5 0 . 5 1 2.5

15 T 150.5 2.5 15 T 150.5 2.5 2.52.52.5Como en este elemento no tiene ningn lado en la frontera de Dirichlet

000

Y como en la frontera de Newmann Newmann y son nulas 0 0 6.25 0 000Sumando obtenemos el sistema de ecuaciones del elemento

1 1 0

1 2 10 1 1

1 1 0

1 2 10 1 1

2.52.52.5

11.3.3.2 Elemento 2

En este caso 2.5 5 50 0 2.5 2.5 2.50 2.5Entonces como Mes igual, Kdy Kcson iguales a las del elemento 1. Lo mismo pasa con los

vectores fQy fq.

Este elemento tiene el lado en la frontera de Dirichlet. El lado 23 deltringulo estndar, separametriza como

23 1 23

11

1 2.5 2.50 2.5 11 1 1 02.5 2.5 0 0 2.5 2.5 1 1.25 2.5 2.5 1.25


24/40


Entonces 01.251.25Sumando obtenemos el sistema de ecuaciones del elemento

1 1 01 2 10 1 1 1 1 01 2 10 1 1 2.52.51.252.51.2511.3.3.3 Elemento 3

En este caso 2.5 5 2.50 2.5 2.5 2.5 02.5 2.5Entonces

6.25

(

)

0.4 0

0.4 0.4

Por tanto

1 1 0.4 00.4 0.4 2 00 2 0.4 0.40 0.4 116.25 2 1 1 1 0.4 00.4 0.4 2 00 2 0.4 0.40 0.4 106.25 0 0 1 1 0.4 00.4 0.4 2 00 2 0.4 0.40 0.4 016.25 2 1 1 0 0.4 00.4 0.4

2 00 2

0.4 0.40 0.4

10

6.25 2 1 1 0 0.4 00.4 0.4 2 00 2 0.4 0.40 0.4 016.25 2 1 0 1 0.4 00.4 0.4 2 00 2 0.4 0.40 0.4 016.25 4 2

Y como debe ser simtrica entonces 1 0 10 1 11 1 2 Este elemento no tiene ningn ladoen la frontera de Dirichlet ni en la de Newmann, por lo que

000

y

000


1 0 10 1 11 1 2

1 0 10 1 11 1 2

2.52.52.511.3.3.4 Elemento 4

En este caso 2.5 5 52.5 2.5 5 2.5 2.50 2.5

Entonces como Mes igual, Kdy Kcson iguales a las del elemento 1 y 2. Lo mismo pasa con

los vectores fQy fq.Este elemento tiene el lado en la frontera de Dirichlet igual que el elemento 2, por tanto


25/40


01.251.25Sumando obtenemos el sistema de ecuaciones del elemento

1 1 01 2 10 1 1

1 1 01 2 10 1 1 2.52.51.252.51.25Ntese que hemos obtenido los mismos sistemas elementales que antes pero de una formams sistemtica, ya que aplicamos las mismas frmulas para cada elemento cambiando slolas coordenadas de los nodos

11.4 Elem ent os is op aramtric os

La formulacin isoparamtrica, se usa para generar muchos tipos de elementos. La mayorade los programas de elementos finitos utiliza elementos basados en esta formulacin debido asu mayor precisin. Esta formulacin se basa en hacer un cambio de coordenadas paracalcular las integrales sobre elementos estndar usando para ello las mismas funciones de

forma que se usan para interpolar las variables de estado . Debido al cambio de variable,las integrales se hacen ms complicadas de evaluar analticamente, por lo que se debe recurrira integrarlas numricamente.Los elementos rectangulares son ms eficientes que los elementos triangulares para la mismacantidad de grados de nodos, pero con ellos es ms difcil modelar geometras complejas. Laformulacin isoparamtrica permite generar elementos con lados curvos o no rectangularespermitiendo el modelado de geometras de formas arbitrarias y bordes curvos.Para formular elementos isoparamtricos deben usarse sistemas de coordenadas naturales.Consideremos la generalizacin de un elemento cuadrado de cuatro nodos a un cuadrilteroarbitrario.

Una forma posible de definir la geometra del cuadriltero consiste en interpolar lascoordenadas a partir de las de los vrtices usando funciones lineales.As se puede transformar el cuadrado estndar en cualquier cuadriltero de vrtices( , ) (, ) (, ) (, ) mediante la transformacin , , , , , , , , Donde , 1 1 , 1 1

, 1 1 , 1 1


26/40


Tambin podemos usar funciones de forma cuadrticas para obtener bordes curvos:

En este caso tenemos dos posibilidades de elementos cuadrticos, de 8 de 9 nodos, segn sise considera o no el nodo central. El elemento de 9 nodos es llamado Lagrangiano pues susfunciones de forma son productos de polinomios de Lagrange.El elemento de ocho nodos (serendpito) se obtiene eliminando el nodo central y modificandolas funciones de forma.En tres dimensiones tambin es posible generar elementos con caras curvas de una formasimilar.

Suelen usarse hexaedros lineales de 8 nodos o cuadrticos de 27 o 20 nodos (serendpitos).Ntese que en todos los casos la interpolacin de la geometra de cada arista o cara slodepende de las coordenadas de los nodos de esa arista o cara. Esto permite asegurar que nohabr discontinuidad de la geometra entre elementos adyacentes.En todos estos casos estamos interpolando la geometra usando las mismas funciones deformaque vamos a usar para interpolar la variable de estado.

Clculo de las matrices elementalesPara calcular las matrices elementales de los elementos isoparamtricos se procede en formasimilar a como hicimos en11.3.3,es decir haciendo el cambio de variable a las coordenadasnaturales e integrando en el elemento estndar.

11.4.1.1 Elementos 2D

La matriz Jacobiana del cambio de variable, Jxy tendr una forma que depende del tipo deelemento usado, pero los clculos se hacen del mismo modo que antes, obteniendo losmismos resultados: ()()()

E


27/40


E

11.4.1.2 Elementos 3D

Los clculos tambin son similares pero en este caso las fronteras son superficies y lasintegrales de frontera se calculan como integrales dobles parametrizadas en o .(10) ( )( ) Pero x y Entonces

( x y ) ( x y )( x y ) ( ) ( )( ) Similarmente

Integracin numrica

Las integrales involucradas en las frmulas anteriores se calculan numricamente usandofrmulas Gaussianas.Para elementos lineales se usan frmulas de tres puntos para tringulos o cuatro paratetraedros, de cuatro puntos para cuadrilteros y 8 puntos para hexaedros.Para elementos cuadrticos se usan frmulas de 6 puntos para tringulos, 15 puntos paratetraedros o de 9 puntos para cuadrilteros y 27 puntos para hexaedros.

10Cuadrado o tringulo estndar.


28/40


11.5 Elementos de estados plano s

Bajo ciertas condiciones de simetra que hacen que las variables de estado sean casiconstantes en una direccin (generalmente z), los problemas 3D se pueden modelar en 2D.En la mayora de los casos (transmisin de calor, electrosttica, difusin de masa, etc.) como laley emprica que gobierna el sistema es escalar, simplemente se ignora la dimensin z y semodela el sistema en 2D considerando slo las dimensiones x e y. As lo hicimos en11.3.2.

Sin embargo, en problemas de elasticidad, la ley de Hooke involucrada es vectorial lo cual haceque no se pueda simplemente ignorar la dimensin z, pues a menos que el coeficiente dePoisson del material sea nulo, la matriz de elasticidad no es diagonal y por tanto lasdeformaciones en el plano xy pueden provocar deformaciones en z.Debido a esto, para problemas de elasticidad tendremos dos tipos de estados planos.

Tension planaCuando la geometra del campo tieneuna dimensin (espesor) mucho menorque las otras dos y las cargas estnaplicadas en el contorno del planomedio del sistema, entonces las

variables de estado son prcticamenteconstantes a lo largo del espesor(direccin z).

Por ejemplo, en el caso de una placaplana con ambas caras aisladas y conintercambios de calor en los bordes, oen el caso de una viga mucho ms altay larga que su espesor y sin cargaslaterales.En este ltimo caso la ecuacin deelasticidad es

Ec. 11-8

[]

[

] []

En las condiciones supuestas, , son casi nulas, por lo que la ecuacin puedereducirse a

1

1 0

1 00 0 21

Invirtiendo la ecuacin

1 2 1 0 1 00 0 1 2

11.5.1.1 Elementos usuales

Los programas de MEF suelen tener elementos de tensinplana triangulares y cuadrangulares, lineales o cuadrticos.

En el caso de los elementos cuadrticos, sus lados puedenser curvos.

Ejemplo


29/40


Para la placa de la figura, utilizando la hiptesis de tensin plana (placa delgada), determinarlos desplazamientos de los nodos 1 y 2 y las tensiones en cada uno de los elementos.Despreciar el peso propio de la placa.

E=200,000 MPa =0.3 Espesor 10 mm

Esta placa puede modelarse en un software de Elementos Finitos usando elementos 2Dtriangulares en tensin plana.

Node X Y

Displacement

in X

Displacement

in Y

1 0.075 0 8,66861E-08 0

2 0.075 0.05 3,81904E-08 -2,77503E-07

Deformacin planaCuando la geometra del campo tieneuna dimensin (largo) mucho mayorque las otras dos y las cargas estndistribuidas uniformemente a lo largo,aplicadas en el contorno, entonceslas variables de estado sonprcticamente constantes en todo ellargo (direccin z).

Por ejemplo, en el caso de una vigamucho ms larga que su altura yespesor y con cargas lateralesuniformes.En este caso la ecuacin deelasticidad es tambin la Ec. 11-8,que se puede invertir obteniendo

1 1 2

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 2 2 0 00 0 0 0 1 2 2 0

0 0 0 0 0 1 2 2

En las condiciones supuestas, , son casi nulas, por lo que puede reducirse a


30/40


1 1 2 1 0 1 00 0 1 2 2

11.5.2.1 Elementos usuales

Los programas de MEF suelen tener elementos de deformacin plana triangulares ycuadrangulares, lineales o cuadrticos.

En el caso de los elementos cuadrticos, sus lados pueden ser curvos.

11.6 Elem ent os axis imtric os

Cuando el campo tiene simetra axial y las cargas no dependen de la posicin angular, tambinse puede modelar problemas 3D con slo 2D.

Al igual que antes, en la mayora de los casos (transmisin de calor, electrosttica, difusin demasa, etc.) como la ley emprica que gobierna el sistema es escalar, simplemente se definenelementos con la misma simetra y se calculan las integrales en coordenadas cilndricasconsiderando que las variables no dependen de . As se obtienen ecuaciones de un modelodel sistema en 2D considerando slo las dimensiones r y z.En el caso de problemas de elasticidad el proceso es un poco ms elaborado pues la leyemprica es vectorial y va a existir deformaciones y tensiones circunferenciales derivadas de lasdeformaciones en r e z.En estas condiciones,

son casi nulas, por lo que la ecuacin puede reducirse a


31/40


1 1 2

1 0 1 0 1 00 0 0 1 2 2

Elementos usualesLos programas de MEF suelen tener elementos axisimtricos triangulares y cuadrangulares,lineales o cuadrticos.

En el caso de los elementos cuadrticos, sus ladospueden ser curvos.

EjemploUn recipiente cilndrico de las dimensiones que semuestran en la figura se encuentra sometido a unpresin interna de 2MPa.Determinar el desplazamiento de su superficieinterna. Asumir como hiptesis que la superficieexterior se est completamente restringida.

E=200x109 =0,3

Este tubo puede modelarse en un software deElementos Finitos usando elementos axisimtriostriangulares.


32/40


11.7 Elementos con in tegracin com pleta

Elementos lineales con integracin completa (Bloqueo por corte)Cuando el modelo sufre flexiones significativas, para elementos lineales con integracincompleta se obtienen desplazamientos subestimados debidos al fenmeno llamado bloqueopor corte, que es un problema de todos los elementos lineales con integracin completa quehace que estos elementos sean demasiado rgidos a la flexin.Consideremos un pequeo pedazo de material en una estructura sujeta a flexin pura. El

material se deforma como se ve en la figura

Las lneas que inicialmente son paralelas al eje horizontal se curvan y las lneas transversalespermanecen rectas. El ngulo entre las lneas horizontales y verticales se mantiene en 90 .Los bordes de un elemento lineal son incapaces de curvarse por lo tanto, si la pieza de materialse modela usando un solo elemento, su forma deformada es como la que se muestra a

continuacin

Para la visualizar mejor se muestran lneas punteadas que pasan por los puntos de integracin.Es evidente que la lnea superior se ha alargado, lo que indica que est a la traccin.Del mismo modo la lnea punteada inferior se ha acortado, lo que indica que est a lacompresin. La longitud de las lneas punteadas verticales no ha cambiado (suponiendo que

los desplazamientos son pequeos); por lo tanto la tensin en sentido transversal en los puntosde integracin es cero. Todo esto es consistente con el estado de estrs esperado para unapieza de material sometido a flexin pura. Sin embargo, en cada punto de integracin el nguloentre las lneas verticales y horizontales, que era inicialmente 90 , ha cambiado. Esto indicaque la tensin de corte es distinta de cero. Esto es incorrecto: la tensin de corte en una piezade material bajo flexin pura es cero.Esta tensin de corte espuria surge porque los bordes del elemento son incapaces de curvarse.Su presencia significa que la energa de deformacin est creando deformacin por corte enlugar de la deformacin de flexin prevista, por lo que los desplazamientos totales sonmenores: el elemento es demasiado rgido.El bloqueo por corte slo afecta el rendimiento de elementos lineales con integracin completasometidos a cargas de flexin. Estos elementos funcionan perfectamente bien bajo cargasdirectas o de corte.

Los elementos lineales con integracin completa deben usarse slo cuando se est seguro deque las cargas producen flexin mnima en el modelo, en caso contrario se deben usarelementos de otro tipo.

Node X Y

Displacement

in X

Displacement

in Y

1 0.06 0 0 0

2 0.04 0 1,295350E-07 0

3 0.06 0.02 0 04 0.04 0.02 1,433200E-07 0


33/40


Elementos cuadrticos con integracin completaEl bloqueo por corte no es un problema para los elementos cuadrticos ya que sus bordespueden curvarse (vase la figura). Los desplazamientos predichos con elementos cuadrticosson mucho ms precisos.

Sin embargo, los elementos cuadrticos con integracin completa tambin pueden mostrarbloqueo bajo estados complejos de estrs, si la tensin de flexin tiene un gradiente; por lotanto se deben comprobar los resultados con cuidado si se utilizan en todo el modelo.Sin embargo, son muy tiles para zonas del modelo donde hay concentraciones locales detensiones.

11.8 Elementos con in tegracin reducidaLos elementos con integracin reducida utilizan un punto de integracin menos en cadadireccin que los elementos con integracin completa. Esto permite reducir el tiempo deanlisis, especialmente en 3D. Por ejemplo el hexaedro cuadrtico de integracin completatiene 27 puntos de integracin, mientras que el de integracin reducida tiene solo 8, por lo tantoel ensamblaje es aproximadamente 3.5 veces menos costoso con integracin reducida.La siguiente figura muestra los puntos de integracin para elementos cuadrilteros conintegracin reducida.

La integracin reducida slo se pueden usar en elementos cuadrilteros y hexaedros; loselementos cua, tetradricos y triangulares solo pueden ser de integracin completa, pero sepueden usar en la misma malla junto a elementos hexadricos o cuadrilteros de integracinreducida.

Elementos lineales con integracin reducida (Reloj de arena)Los elementos lineales con integracin reducida tienen un solo punto de integracin ubicado encentro de gravedad del elemento. Estos elementos tienden a ser demasiado flexible porquesufren de su propio problema numrico llamado reloj de arena.Consideremos un solo elemento lineal con integracin reducida modelando de una pequeapieza de material sometido a flexin pura.

Ninguna de las lneas punteadas ha cambiado en longitud y el ngulo entre ellos tampoco ha

cambiado, lo cual significa que todos los componentes de estrs en el nico punto deintegracin del elemento son cero.


34/40


Este modo de flexin de la deformacin es por lo tanto un modo de energa cero, porque no segenera energa de deformacin por esta deformacin del elemento. El elemento es incapaz deresistir este tipo de deformacin ya que no tiene rigidez en este modo. En mallas gruesas estamodalidad de energa cero se puede propagar a travs de la malla, produciendo resultados sinsentido.Algunos programas de MEF introducen una pequea cantidad artificial de "rigidez de reloj de

arena" en elementos lineales de integracin reducida para limitar la propagacin de modos dereloj de arena. Esta rigidez es ms eficaz en la limitacin de los modos de reloj de arenacuando se utilizan muchos elementos en el modelo, por tanto estos elementos pueden darresultados aceptables, siempre y cuando se utiliza una malla razonablemente fina.Los errores observados con mallas finas de elementos lineales de integracin reducida sonaceptables para muchas aplicaciones. Los resultados sugieren que se deben usar al menoscuatro elementos a travs del espesor al modelar cualquier estructura con cargas de flexincon este tipo de elemento. Cuando se utiliza un solo elemento lineal de integracin reducida enel espesor de la viga, todos los puntos de integracin quedan sobre el eje neutro y el modelo esincapaz de resistir cargas de flexin.Los elementos lineales de integracin reducida son muy tolerantes a la distorsin; por lo tantose sugiere usar una malla fina de estos elementos en problemas donde los niveles dedistorsin puedan ser muy altos.

Elementos cuadrticos con integracin reducidaLos elementos cuadrticos de integracin reducida tambin tienen modos de reloj de arena. Sinembargo, los modos son casi imposibles de propagar en una malla normal y rara vez son unproblema si la malla es suficientemente fina.Estos elementos no sufren bloqueo, incluso bajo estados de estrs complicados.Por lo tanto los elementos cuadrticos de integracin reducida son generalmente la mejoropcin para la mayora de las simulaciones generales esfuerzo/desplazamiento, excepto en lassimulaciones con grandes desplazamientos que implican deformaciones muy grandes.

Resumen de caractersticas

Elementos de primer ordenEstos elementos deben ser usados con cautela. Los elementos triangulares y tetradricosdeben ser evitados en problemas de anlisis de esfuerzos pues presentan una bajaconvergencia con el refinamiento de la malla.Si se usan estos elementos, la malla debe ser muy fina para obtener resultados confiables.Elementos de segundo ordenEstos elementos son ms exactos que los de primer orden para problemas uniformes que noinvolucren varios elementos distorsionados. Para problemas de concentracin de esfuerzosson ms efectivos y son mejores para el modelado de la geometra, por ejemplo una superficiecurva puede ser modelada con menos elementos.Elementos con integracin reducidaLa integracin reducida para cuadrilteros o hexaedros usa un orden de integracin menor quela completa. Permite reducir el tiempo de anlisis, especialmente en 3D.

Los lineales con integracin reducida sufren de efecto reloj de arena bajo flexin.Los elementos cuadrticos con integracin reducida generalmente producen ms exactitud quelos correspondientes elementos con integracin completa.Elementos con integracin completaLos elementos lineales con integracin completa sufren de bloqueo por corte en problemasbajo flexin significativa.Elementos triangulares y tetradricosTienen baja tasa de convergencia al refinar la malla.Son usados para formas geomtricas complejas. Son menos sensibles a la forma inicial delelemento.Los de primer orden requieren una malla muy refinada para obtener buenos resultados. Elementos cuadrilteros y hexadricosTienen una mejor tasa de convergencia que los tringulos y los tetraedros.

Los de primer orden funcionan mejor si su forma es aproximadamente rectangular.


35/40


11.9 Seleccin del Tipo d e Elemento

Recomendaciones generales La buena relacin de aspectode los elementos mejora la convergencia y exactitud. Minimizar la distorsin de la mallalo ms posible. Las mallas gruesas con elementos

lineales distorsionados pueden dar resultados muy pobres. Utilice elementos cuadrticos de integracin reducidapara el trabajo de anlisis

general, a menos que necesite modelar deformaciones grandes. Utilice una fina malla de elementos cuadrilteros o hexadricos lineales de integracin

reducida para las simulaciones que implican grandes deformaciones. En tres dimensiones utilizar elementos hexadricossiempre que sea posible. Ellos

dan los mejores resultados con costo mnimo. Las geometras complejas pueden serdifciles de mallar completamente con hexaedros; por lo tanto pueden necesitarsecuas y tetraedros.

Las cuas y tetraedros lineales son elementos pobres (se necesitan mallas finas paraobtener resultados precisos); se deben utilizar slo cuando sea necesario paracompletar una malla, y aun as, deben estar lejos de las reas donde se necesitanresultados precisos.

Algunos preprocesadores contienen algoritmos de mallado libre que mallan geometras

arbitrarias con elementos tetradricos. Con este tipo de elemento, el anlisis tardarms que con una malla equivalente de hexaedros. No se debe usar una malla quecontenga slo elementos tetradricos lineales: los resultados sern inexactos amenos que se utilice un nmero extremadamente grande de elementos.

Si se usa un mallador automtico con tetraedros, se recomienda usar elementoscuadrticos.

En caso de que se sospeche que en ciertas zonas del dominio se van a producirgradientes elevados(ver figura abajo), utilizar en ellas elementos cuadrticos conintegracin completa o refinarlas con un nmero mayor de elementos lineales.

11.10 Discret izacin del domin io

En presencia de un dominio continuo en 1D, 2D o 3D, la aplicacin del MEF requiere de sudiscretizacin y posterior seleccin del tipo de elemento a utilizar.

Mallas no estructuradasLa discretizacin del dominio se lleva a cabo a travs de malladores automticos que por logeneral se encuentran incorporados en los propios programas de clculo.Los malladores tienen mayor velocidad para generar mallas de tringulos en 2D y de tetraedrosen 3D en comparacin con cuadrilteros y hexaedros. Las mallas generadas por dichos

algoritmos se denominan mallas no estructuradas.


36/40


Las mallas no estructuradas se adaptan facilmente a geometras irregulares, pero suselementos pueden estar sesgados o tener mala relacin de aspecto (relacin entre base yaltura muy diferente de 1).

Tetraedros con relaciones de aspecto elevada (izquierda) y ptima (derecha).

Mallas estructuradasPor otra parte, las mallas estructuradas, que en 2D son cuadrilteros o tringulos generados apartir de cuadrilteros y en 3D son hexaedros, no tienen elementos sesgados y tienenexcelente relacin de aspecto pero su uso se limita a geometras de forma regular y sindemasiados contornos curvos. Esto se debe a que debe hacerse una subdivisin uniforme deldominio.Este tipo de malla se genera manualmente.


37/40


Recomendaciones

Evite grandes relaciones de aspecto. La proporcinlongitud/ancho no debe superar 3.

Evite elementos muy sesgados. El ngulo deinclinacin no debe ser ms de 30 grados.

Un cuadriltero no debe parecer un tringulo.

Evite lados muy curvados en elementos cuadrticos.

Evite nodos de medio lado muy descentrados.

Debe evitarse colocar un elemento pequeo junto a uno grande. La transicin entamao debe ser gradual.

Errores de conexinDeben evitarse los siguientes errores de conexin entre elementos, pues resultarn en brechasy penetraciones que no se producen en la realidad (en anlisis de deformaciones) odiscontinuidades en las interpolaciones (en otros anlisis).

Los nodos deben conectarse con nodos de elementoscontiguos, no pueden conectarse a los bordes de loselementos.

Los elementos lineales no deben estar conectados a elementos cuadrticos, pues elborde del elemento cuadrtico se deforma cuadrticamente mientras que el borde delelemento lineal se deforma linealmente.

Los nodos esquina de los elementos cuadrtico no debenestar conectados a nodos de mitad de lado. Aunque ambos

bordes deforman cuadrticamente, las deformaciones nosern iguales entre s.


38/40


11.11 Refin amien to de mallas

En el captulo anterior demostramos que la solucin obtenida se aproxima ms a la solucinexacta del problema a medida que se va refinando la malla. Esta propiedad de convergencianos permite asegurar de que la solucin aproximada obtenida es vlida.

Refinamiento pSe basa en el uso de funciones de forma polinmicas de alto grado (cuadrticas, cbicas, etc.).Esta tcnica de refinar el dominio no implica el aumento de la cantidad de elementos, sino quela cantidad de grados de libertad del problema se ve incrementada por la inclusin de un mayornmero de nodos en cada elemento y el aumento del grado de los polinomios.

Refinamiento hSe basa en aumentar la cantidad de elementos en los que se divide el dominio. Por lo generalse usan elementos de bajo orden (lineales), que slo requieren nodos en los vrtices de cadaelemento. Por lo tanto la cantidad de grados de libertad se asocia a una mayor cantidad deelementos en la malla.

Refinamiento phEs posible efectuar un refinamiento basado en la combinacin de los dos mtodos anteriores,sin embargo la tendencia actual es la de utilizar elementos de orden medio (cuadrticos) enmallas donde se refina incrementando la cantidad de elementos presentes en la discretizacin.

11.12 Requis i tos para la Con vergencia de la Solucin

Adems de verificar la convergencia del mtodo viendo que la aproximacin obtenida no varasignificativamente a medida que se refina la malla, se deben tener en cuenta las siguientescondiciones:

Condicin de continuidadLa aproximacin de las variables del problema debe ser continua en el interior de cada

elemento. Si se usan aproximaciones polinmicas esta condicin se cumple.

Condicin de derivabilidadLa aproximacin polinmica elegida debe ser derivable al menos hasta el orden de lasderivadas que aparecen en las integrales del problema para que la aproximacin puedareproducir la solucin. En problemas de Poisson esto implica que las funciones de forma debentener derivadas primeras.

Condicin de integrabilidadLas funciones de forma deben ser tales que las funciones que aparecen en las integrales seanintegrables. La derivada de orden m de una funcin es integrable si sus m-1 primeras derivadasson continuas. Por lo tanto, si en las integrales aparecen derivadas de orden m, las funciones

de forma utilizadas deben tener continuidad de clase Cm-1. En problemas de Poisson estoimplica que las derivadas primeras de las funciones de forma deben ser integrables, para locual alcanza con que la interpolante sea continua.


39/40


Criterio de la parcela (patch test)Se utiliza para conocer las propiedades de convergencia de un tipo de elemento. El criterio sebasa en seleccionar un conjunto o parcela de elementos y aplicar en los nodos del contorno dela parcela valores prescritos de las variables del problema correspondientes a una solucinconocida. Se satisface el criterio de la parcela si la solucin obtenida para las variables delproblema y sus gradientes en el interior de la parcela coinciden con los de la solucin conocida.

Condicin de slido rgidoSi el elemento se mueve como un slido rgido, la deformacin dentro del elemento debe sernula en su interior. Corresponde al criterio de la parcela para una solucin constante.Se satisface cuando

= 1 Esta condicin se cumple para a las funciones de forma de los tipos de elemento usuales.

Condicin de gradiente constante

A medida que la malla se refina, las condiciones dentro de cada elemento se aproximan cadavez ms a las de gradiente constante. En consecuencia, todo elemento debe ser capaz dereproducir la condicin de gradiente constante, lo cual se cumple si se cumple el criterio de laparcela para soluciones conocidas con gradiente constante.

11.13 Requis i tos recom endables

Adems de los requisitos enumerados, existen otros requisitos que a pesar de no serestrictamente necesarios, son recomendables para obtener una aproximacin aceptable.

Condicin de compatibilidadDicha condicin requiere que la aproximacin debe ser continua entre los elementos, por lo queno deben existir saltos entre los valores de las variables a lo largo de las caras (en 3D), lados

(en 2D) o nodos (en 1D) comunes de los elementos. Esta condicin se satisfaceautomticamente si se utilizan funciones de forma polinmicas del mismo grado en elementosadyacentes y si no hay nodos desconectados, es decir si no se cometen los erroresmencionados en11.10.4.


40/40


Condicin de invarianzaLa solucin obtenida a travs de un determinado elemento no debe variar al cambiar laorientacin del mismo. La invarianza se garantiza si las funciones de forma del elementoforman un polinomio completo.

Condicin de polinomio completoLa exactitud de la aproximacin por elementos finitos depende del polinomio completo demayor grado contenido en las funciones de forma. Lo ideal es que las funciones de forma seanpolinomios completos pues en caso contrario los trminos adicionales introducen variables queno contribuyen a mejorar la aproximacin del elemento.Cuando esto no es factible, como sucede con frecuencia, el nmero de trminos adicionales alos del polinomio completo debe ser el menor posible.Los elementos tringulos y tetraedros son de grado completo, pero los cuadrilteros yhexaedros lagrangianos no lo son. Tampoco los serendpitos, pero estos al menos tienenmenos nodos, disminuyendo la cantidad de variables sin sacrificar precisin.

Condicin de estabilidadEl rango correcto de la matriz de rigidez de un elemento aislado debe ser igual al nmero demovimientos de slido rgido de un elemento.La existencia de valores propios nulos en la matriz de rigidez que no sean eliminados por lascondiciones de contorno genera mecanismos internos que producen singularidades ysoluciones espurias.

Documents

11-Método de Elementos Finitos