Aplicación de La Teoría de Distribuciones Para Un Proceso en Economía

Aplicacin de las Derivadas de la Teora de

Distribuciones para un Proceso en Economa

SOBRE FUNCIONES GENERALIZADAS DE PRODUCCIN

1. Introduccin

El anlisis de tendencias slo requiere conocer la historia reciente de un sistema

econmico para saber qu es lo que va a pasar en el corto plazo. Para ello basta con

extrapolar el comportamiento de las principales variables del sistema. Sin embargo, el

anlisis de cambio estructural involucra una complicacin, ya que deben considerarse

dos estructuras econmicas significativamente diferentes, originando cada una de ellas

un comportamiento tendencial en las variables tambin diferente. Este tipo de estudio

requiere la consideracin de quiebres de tendencias, por lo que nos vemos obligados a

tratar con funciones que presentan discontinuidades de primera especie.

Las distribuciones resultan ser un instrumento adecuado para el anlisis econmico

cuando se presentan estas dificultades, ya que una funcin discontinua, considerada

como distribucin, posee distribuciones derivadas de todos los rdenes. Sin embargo, la derivada distribucional no puede tener en economa el mismo significado que la

derivada comn, ya que las distribuciones son funcionales y no funciones.

La teora de las distribuciones libera al clculo diferencial de ciertas dificultades

originadas por la existencia de funciones no diferenciables, extendindose al clculo a

un nuevo conjunto de objetos, mucho ms amplio que la clase de funciones

diferenciables en sentido ordinario.

La idea del presente trabajo es abordar los clsicos problemas que se dan en la

Economa sin necesidad de restringirse al uso de funciones diferenciables y sin

renunciar a los beneficios que nos brinda la continuidad cuando los procesos de

produccin vienen representados por distribuciones.

2. Variables Stock y Variables Flujo

El comportamiento temporal de una variable econmica es usualmente pensado como

una funcin del tiempo, es decir, dada la variable x, la funcin

( )x x t ( 1 )

representa el comportamiento temporal de x. Si consideramos un determinado instante

0t , entonces 0( )x t nos estar indicando el valor de x al momento 0t .

Este tipo de variables, a las cuales puede asignrsele un valor a cada momento del

tiempo se conocen en economa con el nombre de variables-stock. Sin embargo, a las

llamadas variables-flujo slo puede asignrsele un valor cuando se considera un perodo

de tiempo.

Aplicacin de las derivadas de la teora de distribuciones para un proceso en economa

2

La representacin de una variable stock S0 no tiene mayor inconveniente: como

siempre podemos asignarle un valor para cada momento del tiempo, su comportamiento

temporal vendra representado por una funcin del tiempo

S0 = S0 (t) ( 2 )

Sin embargo, para la representacin de una variable flujo siempre podemos remitirnos

al hecho de que un flujo es igual a la diferencia entre dos stocks. De esta manera

tenemos:

0 1 1 1 1 0( , ) ( ) ( )F t t S t S t ( 3 )

que puede escribirse de la siguiente manera 1

0

0 1 1

( , ) ( )t

tF t t S t dt . ( 4 )

siendo S1 una variable stock.

Vemos entonces que, dado el intervalo de tiempo 0 1[ , ]t t el valor de la variable flujo F

depender de cul funcin tengamos en la integral. Otra manera de escribir el valor de F

para el perodo 0 1[ , ]t t sera la siguiente:

0 1 1

( , ) ( )F t t S t dt

donde 1 0 1 ( ) [ , ]Sop S t t t ( 5 )

Lo que tenemos aqu es una relacin que tiene como variable independientemente una

funcin y como variable dependiente un nmero. Dicho de otra manera, nuestra variable

flujo para un determinado perodo de tiempo ser un funcional.

Por ejemplo el tema de los sueldos, el salario de un obrero en un momento de tiempo

sera una variable stock, el incremento de ese salario en un perodo de tiempo sera

una variable flujo, al ser la variacin del salario entre un momento inicial (stock) y un

momento final (otro stock).

Entonces, podemos considerar apropiado representar el comportamiento de una

variable-stock con una funcin y el comportamiento de una variable-flujo con una

funcional.

3. Funcionales de Produccin

3.1 Produccin y evolucin del nivel de empleo

Los procesos de produccin requieren de tiempo para llevarse a cabo. Un determinado

nmero de trabajadores necesitar de cierta cantidad de tiempo para transformar los

insumos de produccin en nuevos bienes. El mximo nivel posible de produccin que

pueda alcanzarse en un perodo de tiempo dado depender tanto del nivel de insumos

que se tenga a lo largo del mismo como de la cantidad de trabajadores que se disponga

en igual intervalo de tiempo.

Consideremos la produccin de un determinado bien la cual se da en un perodo de

tiempo. Por ejemplo, pueden producirse 30 000 automviles en un ao, lo cual es un

flujo (al principio del perodo podra existir un stock de 70 000 automviles y al final

100 000 automviles). Para obtener esos 30 000 automviles es necesario que se


3

trabajen determinadas cantidades de horas durante TODO ese perodo de tiempo, por

ejemplo ocho horas diarias los das de la semana durante todo ese ao. De esta manera,

la produccin de automviles vendra representada por una funcional de produccin que

tiene como variable dependiente una funcin del trabajo aplicado en el tiempo.

Consideremos, por simplicidad, que el nico insumo variable en el proceso de

produccin es el trabajo. Como lo que nos interesa es representar posibilidades tcnicas

de produccin, y no cantidades efectivamente producidas, la cantidad mxima que

puede producirse de un determinado bien durante un perodo de tiempo determinado

depender de la cantidad de trabajadores que se posea en el mismo lapso. A su vez,

podemos representar la evolucin temporal de la cantidad de trabajadores mediante una

funcin del tiempo. Entonces tendremos que las posibilidades tcnicas de produccin

vendrn representadas por

( )Q Q l t ( 6 )

donde l(t) indica la cantidad de trabajadores existente al momento t. Si queremos

considerar la produccin en el perodo de tiempo 0 1[ , ]t t , solamente basta con exigir que

0 1 ( ) [ , ]Sop l t t t ( 7 )

es decir, que el soporte de t sea el intervalo 0 1[ , ]t t .

dado que en el soporte 0 1 ( ) [ , ]Sop l t t t se tiene que la produccin es mayor que cero.

Por lo tanto, tendremos que el proceso de produccin Q depender de la poltica de

empleo l(t). Entonces por razones estrictamente econmicas, deberemos postular que

esta funcional sea una funcional positiva.

Dicho de otra forma llamamos funcional positiva Q a toda funcional que, para

funciones positivas l(t), nos da valores positivos.

Cabe destacar que las polticas de empleo se distinguirn por:

las diferentes formas funcionales que pueda adoptar l(t) para un perodo determinado; por ejemplo. Esta funcin del trabajo aplicado me indica segn el

ejemplo, que para cada instante del tiempo, cunto trabajo se utiliza. Si nadie trabaja

(es decir la funcin de empleo es nula para todo el perodo), la produccin

seguramente ser nula. Si todos trabajan las veinticuatro horas, la produccin ser

mucho mayor.

los diferentes perodos considerados para una determinada forma funcional l(t).

Sin embargo, estas dos clases de referencia (de las polticas de empleo) pueden

resumirse en una sola: la forma funcional de l(t), nocin que tambin incluye su soporte

como se vio en el punto ( 7 ).

3.2 Propiedades de la funcional de produccin

Sean l*(t) y l**(t) dos funciones con soporte compacto que representan dos diferentes

polticas de empleo para un mismo perodo de tiempo, las cuales verifican que para todo

t perteneciente a uno de los soportes


4

0 **( ) *( )l t l t ( 8 )

donde representa un infinitsimo. Llamamos producto marginal dinmico al siguiente valor Qmg:

[ **( ) *( )] [ *( )]mg mgQ Q l t l t Q l t ( 9 )

donde Q es una funcional positiva. El producto marginal dinmico representa el efecto

que tiene en la produccin un aumento en la cantidad de trabajadores en cada instante

de tiempo, como precisamos anteriormente dependemos slo de ellos (insumo =

trabajo).

Segn el ejemplo el producto marginal dinmico es una medida de cunto vara la

cantidad producida cuando se modifica TODA la poltica de empleo. Por ejemplo, en

cunto aumentara la produccin anual de autos si se decide incrementar en una hora

diaria la jornada laboral.

Diremos que el producto marginal dinmico Qmg es

positivo

negativo cuando [ **( ) *( )] 0.

nulo

mgQ Q l t l t

( 10 )

Por otra parte, si la funcional de produccin cumple con la siguiente propiedad:

2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( , )Q l t l t Q l t Q l t R ( 11 )

diremos que Q representa un proceso de produccin aditivo y divisible.

El proceso de produccin aditivo y divisible no es otra cosa que la interpretacin

econmica de la propiedad de una funcional lineal, supuesto tradicional en teora de la

produccin (siempre que se consideren funciones de produccin lineales). Al ser aditivo

un proceso de produccin, si se realiza la produccin con 2 unidades de insumo por un

lado y 4 unidades de insumo por el otro, estas producciones sumadas daran

exactamente lo mismo que si se realizara el mismo proceso utilizando 6 unidades de

insumo. Lo de separabilidad es el razonamiento inverso: yo puedo obtener determinada

cantidad de producto utilizando 6 unidades de insumo de diferentes maneras: mediante

dos procesos de produccin en que se utilicen 3 unidades en cada caso, o 4 y 2, o 1 y 5,

o bien tres procesos independientes utilizando 2 unidades de insumo en cada uno de

ellos, por ejemplo. Claramente, este supuesto de linealidad de la funcin de produccin

se vincula a los rendimientos constantes a escala.

3.3 Rendimientos Constantes a Escala

Cuando variando en una proporcin determinada la cantidad de factores utilizada, la

cantidad producida vara en la misma proporcin.

Este fenmeno se expresa matemticamente del siguiente modo:


5

1 2 1 2( , ) ( , )kf x x f kx kx ( 12 )

En donde f (.) es la funcin de produccin y x1 y x2 son los factores de produccin.

Ejemplo: Funcin de Produccin Cobb-Douglas:

1/ 2 1/ 2( , ) f K L K L ( 13 )

Si se duplica la cantidad de factores utilizada:

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2(2 ,2 ) (2 ) (2 ) 2 2 2f K L K L K L K L ( 14 )

Entonces:

1/ 2 1/ 2 (2 ,2 ) 2f K L K L ( 15 )

El fenmeno de los rendimientos constantes no es tan improbable como puede parecer a

primera vista, ya que una empresa puede hacer una rplica exacta de si misma. La

nueva empresa, producir exactamente lo mismo, de modo se utilizar el doble de factores de produccin y se producir el doble.

Sin embargo, si 1( )l t y 2 ( )l t tienen soportes disjuntos, esta ecuacin se cumplir

automticamente. De esta manera la representacin de dicho proceso de produccin

constituir una funcional lineal sobre l(t).

Adems, si la sucesin de funciones 0

( )i il t

converge uniformemente a la funcin 0,

es decir a aquella funcin que asigna el valor 0 a cada valor de t, diremos que Q es

continua si

0

[ ( )] 0.i iQ l t

( 16 )

Consideremos por ejemplo la sucesin de funciones (sucesin de polticas de empleo)

2

0( ) iti il t ie

que es igual a

2 21 20, 1 , 2 ,...t te e las cuales son las diferentes

polticas de empleo las cuales constituyen el conjunto de funciones de base y cuando

i la llevamos a distribucin.

Por otra parte, si adems las funciones l(t) son continuas infinitamente diferenciables,

la funcional de produccin ser una distribucin.

Este supuesto no resulta muy restrictivo si los periodos de aplicacin de las polticas de

empleo no son largos. Para periodos ms largos, el supuesto de suavidad de las

funciones ( )l t resulta criticable.

Por ejemplo no sera recomendable parar el proceso de produccin para periodos largos

(Ejm 6 meses) a lo que es contrario como parar la produccin 1 da (para nosotros sera

un salto).


6

4. Derivadas de la funcional de produccin

4.1. Derivada distribucional de una funcin continua por tramos

Supongamos que f(t) sea una funcin acotada sobre R continua por tramos de la

siguiente forma:

1

1 2

2

( ) si ( , *)( )

( ) si ( *, )

f t t tf t f f

f t t t

( 17 )

donde 1( )f t y 2 ( )f t son funciones continuas que tienen primeras derivadas continuas.

Por otra parte, en el punto t*, la funcin f(t) presenta un salto discreto f :

2 1( * ) ( * ) ( * ) ( * )f f t f t f t f t ( 18 )

Entonces podemos definir una funcin continua fc(t)

( ) ( ) 1 ( * )cf t f t f t t ( 19 )

donde 1+ es la funcin de Heaviside.

Lo que hace el segundo miembro de esta suma es tomar el segundo tramo de la funcin

f(t) y desplazarlo verticalmente, ya sea hacia abajo si f fuera positivo o hacia arriba si

f fuera negativo. De esta manera podemos obtener una funcin continua sobre todo R.

Esto puede verse mejor en el siguiente grfico:

Fuente: Rodrguez, E.A. 1999 p. 13

Entonces podemos escribir

( ) ( ) 1 ( * )cf t f t f t t ( 20 )

Multiplicando miembro a miembro por una funcin ( )t infinitamente diferenciable

con soporte compacto tenemos

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( * ) ( )cf t t f t t f t t t ( 21 )

e integrando miembro a miembro en sentido de Lebesgue tenemos


7

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( * ) ( )cf t t dt f t t dt f t t t dt

( 22 )

De esta manera, como ( )f t , ( )cf t y 1+(t) son funciones localmente integrables, hemos

redefinido la expresin original en trminos distribucionales, a saber

[ ( )] [ ( )] 1 [ ( * )]cf t f t f t t ( 23 )

Entonces, derivando distribucionalmente miembro a miembro tenemos que

[ ( )] [ ( )] [ ( * )]cf t f t f t t ( 24 )

Por lo tanto, vemos que la derivada distribucional ha generado una funcional de Dirac,

la cual podemos asociar al valor de t donde se produce la discontinuidad de la funcin

( )f t , es decir t*.

De esta manera podemos calcular la productividad marginal dinmica de un proceso de

produccin Q cuando Q(t) es una funcin del tipo antes mencionado, es decir

1

1 2

2

( ) si ( , *)( )

( ) si ( *, )

Q t t tQ t Q Q

Q t t t

( 25 )

y en el punto t* tenemos un salto discreto q

2 1( * ) ( * ) ( * ) ( * )q Q t Q t Q t Q t ( 26 )

Partiendo de nuestra definicin de productividad marginal dinmica

[ ( )] [ ( )]mgQ l t Q l t ( 27 )

tenemos

[ ( )] [ ( )] [ ( * )] [ ( )] 1 [ ( * )]mg c cQ l t Q l t q l t t Q l t q l t t ( 28 )

donde Qc es una distribucin generada por una funcin continua. Ntese la importancia

del papel de la funcional de Dirac en este resultado, representando la tendencia del nivel

de empleo al momento t*, valor en el cual la funcin Q(t), que genera la distribucin

[ ( )]Q l t , presenta una discontinuidad de primera especie.

Para nuestro problema de aplicacin tenemos que la distribucin positiva ( )Q l t representa el nivel de producto originado por la poltica de empleo l(t). Por lo tanto, su

nivel se encuentra asociado a un determinado perodo de tiempo, que vendr

representado por el soporte de l(t).

Cuando la poltica de empleo cambia, lo que realmente tenemos es un desplazamiento

de la funcin l(t). Para analizar el efecto de dicho cambio utilizaremos la definicin

topolgica de la derivada distribucional ((2. 15) p. 27, Gouyon, 1979 p. 76):

0

[ ( )] [ ( )][ ( )] lm

t

Q l t t Q l tQ l t

t

( 29 )


8

Como las distribuciones son funcionales lineales con respecto a las funciones l(t),

podemos escribir:

0

[ ( ) ( )][ ( )] lm

t

Q l t t l tQ l t

t

( 30 )

El numerador de este lmite representa el valor de la funcional de la diferencia de dos

funciones que se encuentran muy cerca una de otra, siendo ( )l t t la funcin l(t)

desplazada horizontalmente en t , denominador del mismo lmite. Grficamente:


Es decir que [ ( )]Q l t se encontrara relacionado con la tasa de cambio en el nivel de

produccin Q cuando la poltica de empleo vara infinitesimalmente.

Sin embargo, cabe aclarar que este desplazamiento horizontal, a menos que ( )l t sea una

funcin con tramos lineales con respecto a t implica, en cierta medida, un cambio de

tendencia, ya que por lo general para todo t : se tiene que ( ) ( )l t l t t si

( ) constantel t .

Por otra parte, se sabe por teora de las distribuciones que (2.15 y 2.16 p. 27)

[ ( )] [ ( )] [ ( )]Q l t Q l t Q l t ( 31 )

De este resultado surge que la tasa de cambio en el nivel de produccin resultante de

una variacin infinitesimal en la poltica de empleo depende del comportamiento

tendencial de la poltica de empleo original. Sin embargo, el signo de la derivada

requiere cierta explicacin.

El comportamiento tendencial depende de la derivada, para lo cual consideraremos

nicamente el caso en el cual t es positivo. La explicacin cuando t es negativo puede realizarse de manera anloga a la aqu presentada.

Consideremos, para mayor simplicidad expositiva, que el valor de la funcional Q

representa el valor de la integral de l(t) con un intervalo de integracin [ , ) dado.


9

Por otra parte, supondremos que ( )l t no cambia de signo sobre el soporte de l(t). ( 1.2

p.2 )

En definitiva, lo que estamos suponiendo es que la funcional Q es la desplazada en

de la funcin de Heaviside: 1 . De esta manera, un desplazamiento de ( )l t provoca

una variacin en el valor de la integral

1 ( ) ( )l t dt l t dt

.

Adems tenemos que recordar que ( )l t tiene soporte compacto, por lo cual el valor de

la integral siempre ser un nmero finito ( ver desigualdad 8 ).

Cuando ( ) 0l t lo que tenemos es un

desplazamiento de la funcin hacia la

izquierda. Si quisiera calcularse el rea

bajo l(t) veramos que la misma se

incrementara con dicho desplazamiento

porque ( ) ( )l t t l t .

Cuando ( ) 0l t tambin tenemos un

desplazamiento hacia la izquierda, pero,

en este caso, el rea bajo l(t) decrecera

con el desplazamiento ya que ( )l t t

se encontrara siempre por debajo de la

curva l(t) original.


De esta manera, la variacin en el valor de

( )l t dt

ser el numerador del lmite

0

[ ( ) ( )][ ( )] lm

t

Q l t t l tQ l t

t

( 32 )

cuyo signo depender de ( )l t . Sin embargo, sabemos que

[ ( )] [ ( )] [ ( )]Q l t Q l t Q l t ( 33 )

y como Q es una distribucin positiva:

>

[ ( )] < 0 si ( ) 0

=

Q l t l t

( 34 )


10

De aqu surge que la derivada distribucional [ ( )]Q l t estara indicando en cunto se

reduce el rea bajo la curva l(t) cuando sta se desplaza horizontalmente en la cantidad

t .

De esta manera, podemos definir la productividad marginal dinmica del proceso de

produccin Q en trminos de derivadas distribucionales, ya que nuestra definicin de

producto marginal dinmico implica un desplazamiento vertical de la funcin l(t).

Lo interesante del ejemplo anterior es que este producto marginal dinmico es,

precisamente, la derivada distribucional de la funcional de produccin (al igual que en

el caso tradicional la productividad marginal del trabajo es la derivada respecto del

trabajo del nivel de empleo)

Teniendo en cuenta el anlisis inmediato anterior, podemos definir la productividad

marginal dinmica del proceso de produccin Q como

[ ( )] [ ( )] [ ( )]mgQ l t Q l t Q l t ( 35 )

De esta manera, aseguramos que un desplazamiento vertical en la funcin l(t) se

corresponda con un valor positivo de mgQ .

5. Niveles de empleo y la funcional de Dirac con respecto a la

funcional de produccin

Cuando se est trabajando en el campo de la teora de las distribuciones, aparece como

elemento importante la llamada funcional de Dirac. Esta distribucin, que se representa

simblicamente con la letra , viene definida de la siguiente manera:

[ ( )] (0)l t l ( 36 )

Por otra parte, pueden considerarse las desplazadas de la funcional de Dirac mediante

[ ( )] ( )l t l ( 37 )

que para el caso en el cual = 0, tenemos la definicin original.

De esta manera, la interpretacin econmica de la trasladada en de la funcional de Dirac resulta clara: indica los diferentes niveles de empleo al momento que pueden obtenerse de cada poltica de empleo a aplicar.

Este resultado es importante porque la funcional de Dirac siempre aparece cuando se

calcula la derivada de una distribucin que, considerada como funcin, resulta ser una

funcin con discontinuidades de primera especie.

6. Procesos de produccin con dos insumos variables

Supongamos que no solo queremos considerar diferentes polticas de empleo para un

determinado proceso de produccin, sino que tambin queremos evaluar el impacto de

diferentes cantidades de otro insumo x. De esta manera tendremos diferentes procesos


11

de produccin para diferentes valores de x. Nuestra funcional de produccin ser

entonces:

[ ( )]x xQ Q l t ( 38 )

donde x representa la existencia de un insumo de produccin a un momento

determinado. De esta manera, obtenemos diferentes niveles de producto para diferentes

cantidades de insumo x, dada una poltica de empleo determinada.

Es importante remarcar que, por teora de las distribuciones, la expresin

( ) [ ( )]xp x Q l t ( 39 )

define, para una determinada funcin l(t), una funcin de x. De esta manera, la

productividad marginal del insumo x ser la derivada funcional de p(x).

7. Nivel de empleo dependiente del salario

Por otra parte, supongamos que la cantidad de trabajadores disponibles en cada

momento depende del nivel de salario w. Esto quiere decir que la poltica de empleo a

seguir durante un determinado perodo de tiempo depender del salario que se pague

para el mismo perodo. En este caso, tendremos que las polticas de empleo no

solamente sern funciones del tiempo, sino tambin del nivel de salarios w. Es decir,

tendremos

( , )l l t w ( 40 )

En este caso, para una funcional de produccin Q dada, tendremos que

( ) [ ( , )]y w Q l t w ( 41 )

es una funcin de w. El efecto sobre la produccin de un cambio infinitesimal en el

nivel de salarios w vendra dado por:

( ) [ ( , )]wy w Q l t w ( 42 )


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Bibliografa:

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