Aplicación de la transformada de Laplace

El método de la transformada de Laplace aporta muchas ventajas cuando se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales, mediante su uso es posible convertir funciones tales como senoidales, exponenciales, en funciones algebraicas de una variable s compleja. Las operaciones como la integración y la diferenciación se sustituyen por operaciones algebraicas en el plano complejo. En esta sección explicaremos los fundamentos de la transformada de Laplace así como su tratamiento con MATLAB.

Teoría:

Definición y características

Propiedades

La transformada de Laplace para una función escalón

Método de expansión en fracciones parciales

Tabla de transformadas

MATLAB:

Expansión en fracciones parciales con MATLAB

Definición y características:

La transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica más fácil de resolver.

F(t): una función del tiempo t tal que f(t) = 0 para t<0S: una variable complejaL: un símbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede se va a transformar mediante la integral de Laplace.F(s): transformada de Laplace

La transformada de Laplace se obtiene mediante:

El proceso inverso de encontrar la función del tiempo f(t) a partir de la transformada de Laplace F(s) se denomina transformada inversa de Laplace.

 

Propiedades:

1. L es una transformación lineal

2. Desplazamiento en el tiempo

3. Impulso

4. Desplazamiento de frecuencia

5. Derivada

6. Integral

7. Teorema del valor inicial

8. Teorema del valor final

9. Tiempo por una función

Transformada de Laplace para una función escalón unitario:

Para ilustrar cómo una transformada de Laplace, consideramos la función escalón unitario.

 

La figura muestra la forma que tomaría una entrada escalón cuando tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t=0 y la magnitud del escalón es la unidad, a=1.

La ecuación para esta función es ,

f(t)=1

para todos los valores de t mayores que 0. Para los valores de t menores que 0 la ecuación es:

f(t)=0

La transformada de Laplace de esta función escalón, para valores mayores que 0, es

entonces

Al resolver esta operación obtenemos que la transformada de un escalón unitario es

Método de expansión mediante fracciones parciales:

Existen tres tipos de fracciones parciales. La forma de las fracciones parciales para cada uno de los tipos es la siguiente:

1. Factores lineales en el denominador

Expresión

Fracciones parciales

2. Factores lineales repetidos en el denominador

Expresión

Fracciones parciales

3. Factores cuadráticos en el denominador, cuando estos se factorizan sólo con términos imaginarios.

Expresión

Fracciones parciales

o si también hay un factor lineal en el denominador

Expresión

Fracciones parciales

Tabla de transformadas:

 

Expansión de fracciones parciales en matlab:

MATLAB tiene un comando para obtener la expansión en fracciones parciales B(s)/A(s).

Considere la siguiente función:

en donde algunos ai y bj pueden ser 0. En MATLAB, los vectores renglón num y dem especifican los coeficientes del numerador y el denominador en la función.

El comando,

[r,p,k]=residue(num,den)

encuentra los residuos, los polos y los términos directamente de una expansión de fracciones parciales del cociente de polinomios B(s) y A(s).

observar p(1) = -p1, p(2) = -p2, p(n) = -pn ; r(1) = a1, r(2) = a2, r(n) = an ; k(s) es un término directo

A.Ejemplo de descomposición en funciones parciales

Dada la siguiente función, descomponer en fracciones parciales.

utilizando el comando

[r,p,k]=residue(num,den)

Obtendremos los residuos, los polos y el término directo.

Transformada de laplace mediante MATLAB

Matlab permite obtener transformadas y antitransformadas de Laplace mediante su módulo de matemática simbólica.

Procedimiento:

Declarar una variable simbólica con la instrucción syms. Obtener la transformada para una expresión definida utilizando la

variable simbólica anterior

Instrucciones de Matlab correspondientes a cada una de las transformadas:

laplace transformada de Laplace ilaplace transformada inversa de Laplace

Para calcular transformadas de Laplace, MATLAB utiliza el comando laplace(f(t)) que se encuentra en el toolbox simbólico.Por defecto la variable de integración es 't' y sólo es necesario definir las variables y constantes simbólicas que se utilicen por medio del comando sym.

Para calcular la transformada inversa de Laplace, MATLAB utiliza el comando ilaplace(f(s)), siendo s la variable independiente por deecto. Este comando devuelve el resultado en función de 't', también aquí es necesario definir las variables y constantes simbólicas que se utilicen por medio del comando sym

Para obtener la transformada y la antitransformada de Laplace de una función, se puede introducir de diferentes formas:

A. Primer caso:

Para poder calcular la transformada de Laplace introducimos el siguiente comando:

» syms t;f = f(t);ans = laplace(f)

con el comando syms definimos la variable t y aplicando laplace nos calcula la transformada.

Para calcular la antitransformada de Laplace introduciremos el siguiente comando

» syms s;f = f(s);ans = ilaplace(f)

con el comando syms definimos la variable s y aplicando ilaplace nos calcula la antitranformada.

B. Segundo caso:

Supongamos que queremos encontrar la transformada de Laplace de sin(w*t), donde la variable de integración es 't' y 'w' es una constante, en la línea de comando escribimos:

» w=sym('w');» t=sym('t');» laplace(f(t,w))

Primero se define la constante w y luego la variable t.

Para el cálculo de la antitransformada aplicamos:

» w=sym('w');» t=sym('s');» ilaplace(f(s,w))

Primero se define la constante w y luego la variable s

C. Tercer caso:

Otra forma más simple para encontrar la transformada es utilizando:

» syms a s t w xlaplace(f(t)) laplace(f(a,s)) laplace(f(w,x))

Definiendo primero las variables y las constantes, sin comas ni comillas.

Para el cálculo de la antitransformada

» syms a s t w xilaplace(f(s)) ilaplace(f(t)) ilaplace(f(w,y))

Definiendo primero las variables y las constantes, sin comas ni comillas.

Ejemplo: Descomposición en funciones parciales

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Ejemplo: Comando residue (num,den)

Dada la siguiente función, descomponer en fracciones parciales .

 

%------------------------------------------------------------------------%REG.AUTOMATICA Y MATLAB%ejemplo: Comando residue%------------------------------------------------------------------------% Descomponer en fracciones parciales

% Primero introduciremos los valores del numerador y del denominador

num=[0 1 3]den=[1 3 2]

% Utilizando el comando residue, obtendremos los polos y los residuos

[r,p,k]=residue(num,den)

Ejemplo: Transformada de Laplace

Ejemplo: Primer caso

Calcular la transformada de Laplace de la siguiente función:

 

%------------------------------------------------------------------------%REG.AUTOMATICA Y MATLAB%En este ejemplo calcularemos la transformada de Laplace de una función%------------------------------------------------------------------------

% Primero definimos la variable t

syms t;

% Luego introducimos la función que queremos transformar

f=(4-4*exp(-0.5*t))

%introducimos el comando laplace

ans=laplace(f)

% para arreglar el resultadopretty(ans)

4/s-4/(s+1/2)

El primer resultado nos lo da el matlab directamente, si queremos que se vea mejor utilizamos el comando pretty(ans)

Ejemplo: Antitransformada de Laplace

Ejemplo: Antitransformada de Laplace

Calcular la antitransformada de Laplace de la siguiente función:

 

%------------------------------------------------------------------------%REG.AUTOMATICA Y MATLAB%En este ejemplo veremos como se calcula la antitransformada de una función%------------------------------------------------------------------------

% Definimos la variable s

syms s

%introducimos la función que queremos antitranformar

f=(s+5)/(s^2+3*s+2);

%Aplicamos el comando ilaplace

ans=ilaplace(f)

ans=ilaplace(f) ans =

-3*exp(-2*t)+4*exp(-t)

La antitransformada de la función dada

Ejemplo: Caso 2. Transformada de Laplace

Ejemplo: Caso2. Transformada de Laplace

Calcular la transformada de Laplace de la siguiente función:

 

%------------------------------------------------------------------------%REG.AUTOMATICA Y MATLAB%En este ejemplo veremos otra forma de calcular la transformada de Laplace %------------------------------------------------------------------------

% Definimos loa constante 'w'w=sym('w');

%definimos la variable 't't=sym('t');% ponemos el punto y coma evitando que se despliegue el resultado

%introducimos el comando laplacelaplace(sin(w*t))

ans =

w/(s^2+w^2)

Para visualizar mejor el resultado

pretty(ans)

Ejemplo: Caso 2. Antitransformada de Laplace

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Ejemplo: Caso2. Antitransformada de Laplace

Calcular la antitransformada de Laplace de la siguiente función:

 

%------------------------------------------------------------------------%REG.AUTOMATICA Y MATLAB%En este ejemplo veremos otra forma de calcular la antitransformada de Laplace %------------------------------------------------------------------------

% Definimos loa constante 'w'w=sym('w');

%definimos la variable ss=sym('s');

%utilizamos el comando ilaplaceilaplace(w/(s^2+w^2))

ans =

w/(w^2)^(1/2)*sin((w^2)^(1/2)*t)

Para visualizar mejor el resultado

pretty(ans)

Ejemplo: Caso 3. Transformada de Laplace

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Ejemplo: Caso3. Transformada de Laplace

Calcular la transformada de Laplace de la siguientes funciones:

 Ejemplo: Caso 3. Antitransformada de Laplace

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Ejemplo: Caso 3. Antitransformada de Laplace

Calcular la antitransformada de Laplace de las siguientes funciones:

 

 

%------------------------------------------------------------------------%REG.AUTOMATICA Y MATLAB%En este ejemplo veremos otra forma de calcular la antitransformada de Laplace %------------------------------------------------------------------------

% definimos las variables y las constantes de las funcionessyms s t w x y

% introducimos el comando ilaplace

ilaplace(1/(s-1))pretty(ans)ilaplace(1/(t^2+1))pretty(ans)ilaplace(y/(y^2 + w^2),y,x)pretty(ans)

ans =

exp(t)

pretty(ans)

ans =

sin(x)

pretty(ans)

ans =

cos((w^2)^(1/2)*x)

pretty(ans)

%------------------------------------------------------------------------%REG.AUTOMATICA Y MATLAB%En este ejemplo veremos otra forma de calcular la transformada de Laplace %------------------------------------------------------------------------

% definimos las variables y las constantessyms a s t w x

% introducimos el comando laplace para calcular la transformada de cada función

laplace(t^5)pretty(ans)laplace(exp(a*s))pretty(ans)laplace(cos(w*x),t) pretty(ans)

ans =

120/s^6

pretty(ans)

ans =

1/(t-a)

pretty(ans)

ans =

t/(t^2+w^2)

pretty(ans)

laplace - Laplace transform

Syntax

laplace(F)

laplace(F, t)

laplace(F, w, z)

Description

L = laplace(F) is the Laplace transform of the scalar symbol F with default independent variable t. The default return is a function of s. The Laplace transform is applied to a function of t and returns a function of s.

If F = F(s), laplace returns a function of t.

L = L(t)

By definition

where t is the symbolic variable in F as determined by symvar.

L = laplace(F,t) makes L a function of t instead of the default s.

Here L is returned as a scalar symbol.

L = laplace(F,w,z) makes L a function of z and F a function of w instead of the default variables s and t, respectively.

Examples

Laplace Transform MATLAB Command

f(t) = t4 syms t;

f = t^4;

laplace(f)

returns

ans =

24/s^5

syms s;

g = 1/sqrt(s);

laplace(g)

returns

ans =

pi^(1/2)/t^(1/2)

f(t) = e–at syms t a x;

f = exp(-a*t);

laplace(f,x)

returns

ans =

1/(a + x)