APLICACIÓN DE VECTORES

FUERZA

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FUERZA

• Uno de los usos mas importante del algebra vectorial, es la aplicación de composición de fuerza

• Se define el concepto de fuerza a partir de la experiencia diaria como el acto de empujar o tirar

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Las fuerzas se miden el sistema MKS en Newton.

Las fuerzas además se pueden medir en kgf, lbf,

pdl, T

1[kgf] = 9,81[N]; 1[lbf] = 0,46[kgf] = 4.45[N];

1[pdl] = 0.031[lbf]= 0.138[N]

1[T] = 2000[lbf] = 8900[N}

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COMPOSICION DE FUERZAS CONCURRENTES

• Se denominan fuerzas concurrentes a las

fuerzas que se aplican en un punto

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Si existen dos fuerzas en el plano, la fuerza

resultante es:

𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2

Si existen “n” fuerzas en el plano, concurrentes,

la resultante es:

𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 + ⋯+ 𝐹𝑛

Luego 𝑅 = 𝐹𝑖

𝑛

𝑖=1

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Escriba aquí la ecuación.

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Si las fuerzas son coplanarias, en el plano

x,y, por ejemplo, se tiene:

𝑅=𝑅𝑥𝑖 + 𝑅𝑦𝑗

Donde:

𝑅𝑥= 𝐹𝑖𝑥 = 𝐹𝑖 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖; 𝑅𝑦 = 𝐹𝑖𝑦 = 𝐹𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼𝑖

La magnitud de 𝑅, 𝑒𝑠 𝑅 = 𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦

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𝑡𝑔𝛼 =𝑅𝑦

𝑅𝑥

TORQUE DE UNA FUERZA

• Consideremos una fuerza F que actúa en un cuerpo “C”, que puede rotar alrededor del punto “O”

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Si la fuerza no pasa por el punto “O”, el

efecto será de rotación

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La experiencia diaria nos dice que la efectividad

de la fuerza aumenta con la distancia

perpendicular a la línea de acción de la fuerza

Se define la cantidad 𝜏, tal que 𝜏 = Fb, donde b

es el brazo de la fuerza

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El torque o momento de fuerza se mide en: [UF * UL], para

el sistema MKS se mide en [N*M]

Notando que b = a*sen=F*a*sen

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∴ 𝜏 = 𝑟 × 𝐹

Si, 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 , 𝑦 𝐹 = 𝐹𝑥𝑖 + 𝐹𝑦𝑗 + 𝐹𝑧𝑘

Luego:

𝜏 =𝑖 𝑗 𝑘

𝑥 𝑦 𝑧𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧

Si r y F pertenecen al plano x, y, entonces

𝜏 = (𝑥𝐹𝑦 − 𝑦𝐹𝑥)𝑘

TORQUE DE VARIAS FUERZAS CONCURRENTES

• Consideremos un cuerpo “C” que rota con respecto a un punto “O”, bajo la acción de n fuerzas concurrentes

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Sean las fuerzas 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3,…,𝐹𝑛, concurrentes,

aplicadas a un punto “P”

Cada fuerza realiza un torque 𝜏𝑖 tal que

𝜏𝑖 = 𝑟 × 𝐹𝑖

El torque total

𝜏 = 𝜏𝑖 → 𝜏 = 𝑟 × 𝐹𝑖 → 𝜏 = 𝑟 × 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 + ⋯𝐹𝑛

El sistema de fuerzas concurrentes se puede reemplazar por una sola fuerza

COMPOSICION DE LAS FUERZAS APLICADA A UN CUERPO RIGIDO

• Cuando las fuerzas no se aplican al mismo punto se pueden encontrar dos efectos, que son traslación y rotación.

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La traslación del cuerpo se determina por la suma de fuerzas

𝑅 = 𝐹𝑖

La rotación del cuerpo se determina por la suma de torques

𝜏 = 𝜏𝑖

A simple vista parece lógico pensar que el punto de aplicación de R debe ser tal que el torque debido a R sea

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Esto sucede siempre y cuando las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sean concurrentes

En general , como R y son perpendiculares, y en muchos casos no lo son, luego el sistema de fuerzas no se puede reducir a una fuerza resultante, igual a la suma de las fuerzas

Un ejemplo sencillo es el de una cupla o par de fuerza, que consiste en dos fuerzas de igual magnitud pero dirección contraria que actúan en líneas paralelas

CUPLA O PAR DE FUERZAS

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Sea la fuerza superior del dibujo igual a la fuerza inferior, pero de dirección contraria

∴ 𝐹𝑠 + 𝐹𝑖 = 0 → 𝐹𝑠 = −𝐹𝑖

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Por otro lados tenemos que:

𝜏 = 𝜏𝑠 + 𝜏𝑖 → 𝜏 = 𝑟𝑠 × 𝐹𝑠 + 𝑟𝑖 × 𝐹𝑖

∴ 𝜏 = 𝑟𝑠 × 𝐹𝑠 − 𝑟𝑖 × 𝐹𝑠 → 𝜏 = 𝑟𝑠 − 𝑟𝑖 × 𝐹𝑠 → 𝜏 =𝑏 × 𝐹𝑠

𝑏 = 𝑟𝑠 − 𝑟𝑖 , 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑝𝑙𝑎

Si 0, la cupla produce un efecto de rotación

OJO b es independiente del origen del sistema

COMPOSICION DE FUERZAS COPLANARIAS

• Si las fuerzas son coplanarias, es posible obtener una sola resultante R.

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Si se coloca el centro de torque “O” el origen de coordenadas , se obtiene que

𝜏 = 𝜏𝑖𝑒𝑠 ⊥ 𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑅 ⊥ 𝜏

Por lo tanto se puede colocar R a una distancias r de “O” tal que

𝜏 = 𝑟 × 𝑅

En este caso la relación 𝜏 = 𝜏𝑖 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝜏 = 𝜏𝑖

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Como las componentes de R son 𝑅𝑥 𝑦 𝑅𝑦, y las

componentes de r son x, e y, entonces

𝑥𝑅𝑦 − 𝑦𝑅𝑥=

Esta es la ecuación de una recta la que corresponde a la línea de acción de la fuerza resultante, o sea existe una línea de aplicación

COMPOSICION DE FUERZAS PARALELAS

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Consideremos un sistema de fuerzas paralelas a un vector unitario 𝑢

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∴ 𝐹𝑖 = 𝐹𝑖𝑢

𝐹𝑖puede ser positivo o negativo, dependiendo de la dirección de 𝑢 , luego:

𝑅 = 𝐹𝑖 = 𝑢 𝐹𝑖

𝑖

= 𝑢 𝐹𝑖

𝑖𝑖