APLICACIONES DE LA DERIVADA.

1.- Calcular dxdy mediante derivación implícita en el punto que se indica, así como

las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva a dicho punto, y obtener los puntos de la curva con tangencia horizontal, si existen. (a) ;yx 122 =− ( )32,− Derivemos implícitamente e igualemos a cero:

( )

2 2 '

' '

2' 2, 33

dy x y ydx

0

xx y y yy

y

= − ⋅ =

= ⋅ ↔ =

−− =

Recta tangente

( ) ( ) ( )

( )( )

2 2 43 2 33 3 3

y f a f a x a

y x y x

′− = ⋅ −

− −− = ⋅ − − → = − +

Recta normal

( ) ( ) ( )

( )( )

1

1 33 2 2 32 23

y f a x af a

xy x y

−− = ⋅ −

′

− = ⋅ − − → = +−

Puntos de tangencia horizontal

2 2 2' 0 0 0 0 1 1 Imposible.xy x y yy

= → = → = → − = → − =

Por tanto no hay puntos de tangencia horizontal. (b) ;xy 1= ( )313, Derivemos implícitamente e igualemos a cero:

1 ' 0 '

1 1 3 1' 3,3 3 9

dy yy x y ydx x

y

−= ⋅ + ⋅ = → =

− −⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Recta tangente

( ) ( ) ( )

( ) xyxy

axafafy

−=→−⋅−=−

−⋅′=−

31031

31

Recta normal

( ) ( ) ( )

( )

1

1 1 833 1 3

y f a x af a

y x y x

−− = ⋅ −

′

−− = ⋅ − → = −

−

Punto de tangencia horizontal

' 0 0 0

1 0 1 Imposible.

yy yx

x y x

−= → = → =

⋅ = → ⋅ =

(c) 1=+ yx ( )4141 , Derivemos implícitamente e igualemos a cero:

( )

1 12 21 1 ' 0

2 21

1 1 2' ' 12 22

1 4' 1 4,1 4 1

1 4

dy x y ydx

yxy yx y x

y

y

− −

= ⋅ + ⋅ ⋅ =

−−

+ ⋅ ↔ = =

−= = −

Recta tangente

( ) ( ) ( )1 114 4

y f a f a x a

y x y

′− = ⋅ −

⎛ ⎞− = − ⋅ − → = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

12

x

Recta normal

( ) ( ) ( )1

1 1 14 1 4

y f a x af a

x y x

−− = ⋅ −

′

− ⎛ ⎞− = ⋅ − → =⎜ ⎟− ⎝ ⎠

y

Puntos de tangencia horizontal

0 0 0 Imposible.y y y′ = → − = → =

(d) 111=+

yx ( )22,

Derivemos implícitamente e igualemos a cero:

( )

2 2

22

2 2 2

2

2

2

0 1 0 1 ' 0

11 1 ' ' 1

2' 2, 2 12

dy x y ydx x y

yxy yx y x

y

y

⋅ − ⋅ −= + ⋅ =

− − −+ ⋅ ↔ = =

−= = −

Recta tangente

( ) ( ) ( )

( )2 1 2

y f a f a x a

y x y

′− = ⋅ −

− = − ⋅ − → = − + 4x Recta normal

( ) ( ) ( )

( )

1

12 21

y f a x af a

y x

−− = ⋅ −

′

−− = ⋅ − → =

−y x

Puntos de tangencia horizontal

22

20 0 0 0 Imposible.yy y yx

−′ = → = → − = → =

2 23 3x + y = 1(e)

( )3 3cos α,sen α

11 1 3

3 3 31

3

2 2 3 2' 0 ' x3 3

yx y y y yx2 3 y

−− −

−

− ⋅ ′+ ⋅ = → = → =⋅ ⋅

( )3 3

3 3

3 3' cos ,

coscossen seny sen α α tgα α α

αα= = =

Recta tangente

( )

ααααα

αα

ααααα

ααα

32

33

33

sencossencosxseny

sencos

cossencosxsenycosx

cossenseny

+⋅−=

+⋅

−=→−⋅=−

Recta normal

( )

ααα

αα

α

αα

α

34

33 1

sensen

cossen

xcosy

cosx

cossen

seny

++⋅

−=

−⋅−=−

Puntos de tangencia horizontal

0000

0000

3

33

3

=→=

=→=→=→=′

x

yyxy

y

(f) ( ) 22 =+ yxySen ; (0, - 2)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

cos' 2 ' 0 ' 2 0 '

2 cos

2 1' 0, 222 2

y xycos xy y xy y y y cos xy y cos xy x y y

y x xy

y

⋅ + + ⋅ = → ⋅ + ⋅ + = → =+

−− = =

− ⋅

Recta tangente

( ) ( ) ( )

( )1 12 02 2

y f a f a x a

y x y x

′− = ⋅ −

+ = ⋅ − → = −

2

Recta normal

( ) ( ) ( )

( )

1

12 0 21 2

y f a x af a

y x

− = − ⋅ −′

+ = − ⋅ − → = − −

Puntos de tangencia horizontal

y x

2

( ) ( ) ( )

( )

( )

2

2

0 ( ) 2 Imposible.' 0 cos 0

cos 0 1

1 1 1 k2

11 3 3 k2 3

y sen xyy y xy

xy sen xy

sen xy y y x k

sen xy y y x k

π

π

π

= → =⎧⎪= → = → ⎨ = → = ± →⎪⎩

= → = → = ± → = ⋅ ∀ ∈

= − → = → = ± → = ⋅ ⋅ ∀ ∈

2.- Se dispone de un deposito en forma de cono de altura H y radio R lleno de gua. El cono se coloca en posición vertical con el vértice hacia abajo, donde hay

ueño orificio por el que va saliendo el agua. Estudiar la tasa de variación men de agua respecto de la altura.

aun peqinstantánea del volu

hrV ⋅⋅⋅= 2

31 π

Tenemos dos variables: el radio(r ) y la altura (h)

( ) 21,3

y una relación

V r h r hπ= ⋅ ⋅ ⋅

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=→=H

RhrrR

h

Siendo H la altura y R el radio en el momento inicial, ambos son constantes. Por tanto

H

nos queda

2 23

2( ) 1 h RV h π ⋅⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟1

3 3Rh h

H Hπ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅⎝ ⎠

2 2

Tasa de derivación: ( ) 2 2

3.- Un globo esférico se infla de modo que la tasa de variación de su radio r es de 2 m r = 5 cm. Calcula la tasa de variación del volumen respecto del tiempo

1 33

R RV h h hH H

ππ′ = ⋅ ⋅ = ⋅

c

/s cuandoen ese instante.

343

V rπ= ⋅ ⋅

n este caso depende de cada instante nos encontramos con una función respecto del 0tEtiempo t.

( ) ( )3 34 43 3

V r V t r tπ π= ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )24 3 .3

V t r t r tπ′ ′= ⋅ ⋅ ⋅ La tasa de variación del volumen es

0( ) 5 r t cmt

=⎧→ ⎨ En el instante 0

0'( ) 2 /r t cm s=⎩ Luego ( ) 3

0 4 25 2 200 .cmV t sπ π′ = ⋅ ⋅ ⋅ =

4.- Una gota de lluvia tiene forma esférica y cae a través del vapor de agua de la tmósfera. Si el vapor de agua se adhiere a la gota de modo que la tasa de

superficie de la gota. Calcula la tasa de variación del radio de la gota respecto del tiempo. Suponiendo que el radio inicial de la gota es 0, y que trasnscurridos 20 s el radio es

nscurre hasta que el Radio sea de 3 mm.

Por un lado la masa es m = V d pero la densidad del agua es 1 y por tanto

avariación de su masa respecto del tiempo es proporcional al área de la

1 mm, calcula el tiempo que tra

34( ) ( ) ( ).3

m t V t r tπ= = ⋅ ⋅

Y por otro siendo el ( )'m t A∝ 2área lateral de una esfera 4 rπ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 22 2

2

4( ) ( ) ( ) ' 4 '3 4 ' 4

' 4

( )

(0) 0 01(20) 1 .20

m t V t r t m t r t r tr t r t k r t r t k

m t k r t

r t kt c

r c

r k

π ππ π

π

⎫= = ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅ ⋅ ⎪ ′⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒⎬⎪= ⋅ ⋅ ⋅ ⎭

= +

= → =

= → =

or tanto

⇒

1( )20

r t t= y 1( ) 3 3 60 seg.20

r t t t= → = → = P

6.- Halla las dimensiones de una piscina cuadrada para que la superficie a pintar metros cuadrados.

La función que vamo a optimizar es la expresión de la superficie de la piscina:

sea mínima si tiene un volumen de 108

s

( ) ( ) 2x x yx yx yx yx S x y x xy= ⋅ + + + + → = + ,S x y , 4 La condición que relaciona los datos es:

22V x y y 108

x= ⋅ → =

Despejando una incógnita y sustituyéndola en la función que queremo optimizar nos queda:

s

( ) 2 22

108 4324x x xS xx x

= + ⋅ = +

Derivamos e igualamos a cero;

( )3

3 32 2

432 2 432 432' 2 0 2→ 432 0 62

xx x x− ⎛ ⎞= − = = − = → = =⎜ ⎟⎝ ⎠

tilizando el criterio de la derivada primera

f´(5)<0 f´(7)>0 f (x) 6 f (x)

S xx x

U

( )( )

( ) ( )49

2547

432727

25182

52

3 −−⋅ 432525

2

3

=−⋅

=′

==′f

ay un mínimo en x = 6 m. y despejando en la ecuación de ligadura nos queda

f

H

336

108==y m.

7.- ¿A qué distancia hay que situarse para mirar una pantalla de video de 4 m. de ltura, situada a 5 m. sobre el suelo, para que el ángulo de visión sea máximo? Se

supone que los ojos del espectador están a 1 m. de altura sobre el suelo. Apoyándonos en la figura observamos:

a

1

2

8

4

tgx

tgx

β

β

=

=

Por trigonometría clásica

( ) ( )2

1 21 2 2 22

4 48 4 32

tg tg

1 22 2

8 4 4 4

321 32321 1

x xx x x xtg tgxtg tg xx x

x x x x

β βα β β −= − = = = = = =

β β

−

++ ⋅ +⋅ ++ ⋅ +

Por ser la función tangente estrictamente creciente en su dominio nos basta estudiar los extremos de:

( )( ) ( )

2

2 22 2

4( )32

432 32

xf xx

x

x x

=+

−=

+ +

2 221 32 2 32 1284 4 0 4 128 32x x xf x x x⋅ + − ⋅′ = = → = → = ± = ±

El único candidato con sentido es 32x = + y utilizando el criterio de la derivada rimera

p

f´(5)<0 f´(6)>0 f (x) 32 f (x)

áximos e la función a maximizar, por lo que nos deberemos situar a una distancia de

omo indicamos anteriormente, el máximo de esta función coincide con los mCd 32 m

la sustancia de partida, y x la de la sustancia que se forma (k, p, q son constantes ositivas). Hallar la concentración x que corresponda a la máxima velocidad.

de la pantalla para que el ángulo α sea máximo. 8.- En algunas reacciones químicas autocatalizadoras, la velocidad de reacción iene dada por la fórmula: ( ) ( )qpv x kx a x= ⋅ − dónde a denota la concentración de v

p

( ) ( ) ( ) ( )111 −⋅−⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅=′ −− qpqp xaqxkxaxpkx v Para conocer el máximo de la velocidad de reacción igualamos v´(x) a cero:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11 10 (

0

candidatos a extremos.

q qp pv x k x a x p a x qx k x a x pa q p x

xp ax

) 0− −− −′ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − = → ⋅ ⋅ − ⋅ − + ⋅ =

⎧ =⎪ ⋅⎪ =⎨

Por no estar trabajando con cantidades numéricas sustituimos los tres candidatos en la función y la cantidad mayor será nuestra solución.

p qx a

+⎪⎪ =⎩

→

( ) ( )( ) ( )

( ) ) 0, ya que , 0qv a a p q− = >

(

0 0 0 0, ya que , 0

qp

qp

p q p qp q

p

v x kx a x

v k a p q

p a p a p a av k a k p qp q p q p q p q

ka a

+

= ⋅ −

= ⋅ − = >

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⋅

sí

+ +

paxAp q

=+

es la concentración que determina la velocidad máxima en las reacciones

químicas autocatalizadoras.

9. El valor de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Desmostrar que si un diama

nción de la gravedad.

Si la masa del diamante entero es m y y las masas de los dos trozos en los que se ha dividido el diamante tenemos:

Por ser la última cantidad positiva queda justificada la depreciación. Para calcular valor derivamos e igualamos a cero nuestra función.

nte se rompe en dos trozos se produce una depreciación, y determinar en qué caso es máxima.

2 2( )v m k g m= ⋅ ⋅ siendo v el valor del diama te, k la constante de proporcionalidad, m la masa del diamante y g la acelera

1m 2m

2 2 2 2D. dividido 1 2 1 2( , )v m m k g m k g m= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

2 2 2 2 2 2 2 2 2

D. sin dividir 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2v m k g m k g m m k g m k g m k g m m= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

{ }2 2 2 2 2 2 2 2 2 2D. dividido 1 2 1 2 2 1 1 1 1v

21 1 1 1'( ) (2 2( )) 0 mv m k g m m m m

( , ) ( ) ( (

2

m m k g m k g m m m m k g m k g m m k g m m= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = − = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ + −

= ⋅ ⋅ − − = → =

Por ser muy sencilla la segunda derivada aplicaremos el criterio que lleva dicho nombre.

2 21''( ) 4 '' 4 0mv m k g v k g⎛ ⎞= ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅ >⎜ ⎟

2⎝ ⎠

or tanto estamos ante un mínimo y la peor forma de romper un diamante es por la

Pmitad.

10.- La concentración de oxígeno en un estánque de agua contaminada con un

residuo seco, viene dada por la función ( ) ( )012

2

≥+−

= ttttf , donde f(t) expresa 1+t

concentraciónde oxígeno en el instante t, y t representa el tiempo en semanas. ínima de

xígeno. Para calcular los máximos y los mínimos igualamos la derivada de f(x) a cero:

laHallar los instantes en los que se alcanza las concentraciones máximas y mo

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 3 2 3 2 2

2 2 22 2 2

2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1'1 1 1

t t t t t t t t t t t tf tt t t

− ⋅ + − − + ⋅ −

( )( )

22

22

10 0 1 0 1 11

tf t t t tt

+ − − + − −= = =

+ + +

−′ = ⇔ = → − = → = → = ±+

Los candidatos a máximos o a mínimos serían x = 1 y x = -1; pero como tiene que ser ayor de 0, el único candidato es x =1. U la derivada primera

f’(0,5)<0 f’(2)>0

f(x)

= 1 y no hay máximo. sí la concentración mínima de oxígeno se da en el instante t = 1

m tilizando el criterio de f(x) 1 Hay un mínimo en x A , siendo 0.5 y la concentración máxima de oxígeno se da en los extremos del intervalo temporal que estamos trabajando.

2

2 Regla de

1lim ( ) lim 11t t

los grados

(0) 1f

t tf tt

+∞

→+∞ →+∞

− += =

+

+∞

=

Por tanto la concentración máxima de oxígeno se da en el instante t = 0, siendo 1.