APLICACIONES DE SERIES DE

TAYLOR Y MACLAURIN

Integrantes: LUIS SANGUÑA

ANDRES GARCES

CARLOS CAGUANA

BRYAN AUSAY

Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones.

Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, teorema de L'Hopital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.

Por otro lado las series de MacLaurin son los casos especiales de las series de Taylor alrededor de a=0.

1. Aproximación de funciones mediante polinomios Al realizar una aproximación con una serie de Taylor estamos obligados

a realizar una suma finita; Es decir, escoger el grado hasta el que se desarrollará el polinomio.

La exactitud de la aproximación aumenta con el grado de la serie.

Ejemplo:

Obtenga una aproximación de la función por medio del polinomio de Taylor de grado 2 en a=8.

Sacamos las derivadas y evaluamos con a=8

En estos términos, el polinomio de Taylor de segundo grado es:

La aproximación deseada es:

2. Estimación de Integral Definida Usar una serie potencias para calcular un valor aproximado de

Solución: La serie de la función ex es sencilla de hallar.

Para hallar la serie de lo más recomendable y para simplificar cálculos se sustituyen x por –x2 en la serie de la función conocida y se obtiene:

Obtenida ya la serie podemos reemplazarla en la integral y obtenemos

Sumando los cuatro primeros términos se tiene:

Ejercicio:

Estimar el valor de la siguiente integral:

3. Cálculo de Límites Otra aplicación de las series de Taylor (Maclaurin) es el cálculo de límites.

Ejemplo:

Evalúe

Usaremos la serie de Maclaurin para :

Ejercicio Calcular

Sugerencia: Utilizando los desarrollos de MacLaurin de las funciones que se encuentran tanto en el numerador como en el denominador, es decir, como:

4.Resolución de ecuaciones diferenciales: Sea la ecuación diferencial ordinaria y el valor inicial:

Con solución:

De la formula de Taylor:

Se puede aproximar la solución de la ecuación diferencial (función) para un punto cercano al valor inicial, centrando una serie de Taylor en el valor inicial en este punto

Ejemplo:Emplee el método de Taylor para aproximar y(0.5), usando un polinomio de tercer grado, y compare con el valor exacto; dado el problema:

Primero resolveremos la ecuación diferencial analíticamente, observando que es lineal:

El factor integrante:

=

La solución general:

Y la particular:

El valor que se pide:

Ahora usando el polinomio de Taylor, con el valor inicial:

Sabemos:

En general, la serie (de Maclaurin) sería:

Factorizando:

Haciendo algunos arreglos

Por lo que se puede demostrar que se obtiene la solución exacta:

Ahora, numéricamente el valor pedido:

Ahora si agregásemos un par de términos más (polinomio de 5 grado):

Ejercicio: Sea el problema:

Aproxime y(0.3) usando un polinomio de Taylor de tercer grado, calculando directamente el valor con la formula de Taylor a=0.