Upload
faisyal-rufenclonndrecturr
View
1.518
Download
11
Embed Size (px)
Citation preview
Deret Taylor & Maclaurin
Deret Taylor & Maclaurin Misalkan f(x) dan turunan-turunannya f’(x),
f’’(x), ..., f(n)(x) ada dan kontinu di dalam interval tutup a ≤ x ≤ b, dan f(n+1)(x) juga kontinu di a ≤ x ≤ b.
Maka berlaku:
dimana Rn adalah sisanya yang berbentuk:
( )
2"' ...
2! !
nn
n
f a f af x f a f a x a x a x a R
n
Deret Taylor & Maclaurin
dimana (a, x)
( 1)1 (Bentuk Lagrange)
1 !
nn
n
fR x a
n
( 1)
(Bentuk Cauchy)!
nn
n
fR x x a
n
Deret Taylor & Maclaurin Bukti:
Pertama-tama akan dibuktikan dahulu bahwa :
........... 1)
2
( )( 1)
"' ...
2!
1
! !
n xn n n
a
f af x f a f a x a x a
f ax a x t f t dt
n n
Deret Taylor & Maclaurin Kemudian akan ditunjukkan bahwa
mempunyai dua bentuk, yaitu bentuk Lagrange dan bentuk Cauchy
( 1)1
!
xn n
a
x t f t dtn
Deret Taylor & Maclaurin Untuk membuktikan persamaan 1)
digunakan induksi matematika. Untuk n = 0
0 0 11
0!
'
x
a
xx
aa
f x f a x t f t dt
f a f t dt f a f t
f a f x f a f x
Deret Taylor & Maclaurin Misalkan berlaku untuk n = k
2
( )( 1)
"' ...
2!
1
! !
k xk k k
a
f af x f a f a x a x a
f ax a x t f t dt
k k
Deret Taylor & Maclaurin Untuk n = k + 1
Perhatikan bentuk
misal:
( 1)1
!
xk k
a
x t f t dtk
( 1)
1
( 2)
!
1 !
k
k
k
k
x tdv dt u f t
k
x tv du f t dt
k
Deret Taylor & Maclaurin
11( 1)
1 ( 2)
11 1 ( 2)
1
! 1 !
1
1 !
1
1 ! 1 !
xkx
k kk
a a
xk k
a
k xk k k
a
f tx t f t dt x t
k k
x t f t dtk
f ax a x t f t dt
k k
Deret Taylor & Maclaurin dari n = k, diperoleh
2
1( )1
1 ( 2)
"' ...
2!
! 1 !
1
1 !
kkk k
xk k
a
f af x f a f a x a x a
f a f ax a x a
k k
x t f t dtk
Deret Taylor & Maclaurin Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
mempunyai 2 bentuk
( 1)1
!
xn n
a
x t f t dtn
Deret Taylor & Maclaurin Menurut teorema nilai rata-rata untuk
integral
Misalkan
maka
, ( , )x x
a a
F t G t dt F G t dt a x
1 ,!
n
n x tF t f t G t
n
1 11
! !
nx xn n n
a a
x tx t f t dt f t dt
n n
Deret Taylor & Maclaurin
Berarti diperoleh bentuk Lagrange untuk sisa, yaitu
1
1 1
11
! 1 !
1 !
xn nx
n n
aa
nn
x t x tf dt f
n n
f x a
n
11
, ,1 !
nn
n
f x aR a x
n
Deret Taylor & Maclaurin Misalkan
maka
1
, 1!
nnf t x tF t G t
n
11
1 1
1
1.1
! !
! !
!
nnx xn n
a a
n nn nxx
aa
nn
f t x tx t f t dt dt
n n
f x f xdt t
n n
f xx a
n
Deret Taylor & Maclaurin Berarti diperoleh bentuk Cauchy untuk
sisa, yaitu
1
, ,!
nn
n
f xR x a a x
n
Deret Taylor & Maclaurin Sewaktu n berubah, maka umumnya juga
berubah. Jika untuk semua x dan di dalam [a, b] kita mempunyai , maka persamaan di awal dapat ditulis:
Deret ini dinamakan deret Taylor atau ekspansi Taylor dari f(x) di sekitar x = a. Dalam kasus a = 0, deret tersebut dinamakan deret Maclaurin
lim 0nnR
2" "'' ...
2! 3!
nf a f af x f a f a x a x a x a
Deret Taylor & Maclaurin Walaupun semua turunan f(x) ada di x
= a, dan secara formal kita dapat memperoleh deret di ruas kanan, tetapi bisa saja terjadi deret tersebut tidak konvergen ke f(x).
Deret Taylor & Maclaurin Contoh:
Buktikan bahwa deret Taylor di sekitar x = 0 yang bersesuaian dengan f(x) ada. Kemudian tunjukkan deret tersebut tidak konvergen ke fungsi yang diberikan untuk sebarang x 0
21/ , 0
0, 0
xe xf x
x
Deret-Deret Penting Deret-deret berikut, konvergen ke fungsi
yanng diberikan di dalam interval yang ditunjukkan
dll
1 2 13 5 7 11.sin ... ...,
3! 5! 7! 2 1 !
n nxx x xx x x
n
1 2 22 4 6 12.cos 1 ... ...,
2! 4! 6! 2 2 !
n nxx x xx x
n
2 3 1
3. 1 ... ...,2! 3! 1 !
nx x x xe x x
n
Deret Binomial Bentuknya adalah
a) Jika p adalah sebuah bilangan bulat positif atau nol, maka deret tersebut akan berakhir
b) Jika p > 0 tetapi bukan bilangan bulat, maka deret tersebut konvergen mutlak untuk –1 ≤ x ≤ 1
21 1 ... 11 1 ... ...
2! !
p np p p p p nx px x x
n
Deret Binomial
c) Jika –1 < p < 0, maka deret tersebut konvergen untuk –1 < x ≤ 1
d) Jika p ≤ –1 maka deret tersebut konvergen untuk –1 < x < 1
Tugas: Tunjukkan sifat (a) , (b), (c), dan (d)