LOGO

Aplikasi Komputer & Pengolahan Data

UKURAN TENDENSI SENTRAL

Ipung Permadi, S.Si, M.Cs

19/04/23 2

Ukuran Pemusatan

■ Beberapa ukuran yang umum digunakan untuk mengenali pola ukuran pemusatan,

yaitu, median, modus, dan mean,

19/04/23 3

Rata-rata atau Rata-rata hitung atau mean

■ Digunakan untuk data kuantitatif

misalkan suatu observasi menghasilkan

nilai x1, x2, x3, ....,xn.

Simbol n menunjukkan banyaknya data sampel.

19/04/23 4

Contoh

■ Misalkan diketahui lima nilai ujian dari lima mahasiswa sebagai berikut :

70, 69, 45, 80, dan 56. Penulisannya agar sesuai dengan simbol,■ x1 = 70■ x2 = 69■ x3 = 45■ x4 = 80■ x5 = 56■ Kita memiliki n = 5 yaitu banyaknya sampel.

19/04/23 5

■ Rata-rata (mean) yang terdapat dari

suatu sampel dihitung dengan jalan

menjumlahkan nilai data dibagi dengan

banyaknya data.

19/04/23 6

Rumus Mean

1 2 3 .... nx x x xx

n

n

x

x

n

1ii

atau

19/04/23 7

Dari contoh

645

5680456970x

19/04/23 8

■ Jika ada lima mahasiswa mendapat nilai 70,

enam mahasiswa mendapat nilai 69,

tiga mendapat 45 dan masing-masing

seorang mendapat 80 dan 56, data di atas

dapat dituliskan pula dalam suatu tabel

seperti berikut :

19/04/23 9

xi fi

70 5

69 6

45 3

80 1

56 1

19/04/23 10

Rata-rata data semacam itu dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut :

k

ii

k

iii

f

xfx

1

1

19/04/23 11

Untuk menyelesaikan contoh di atas dianjurkan kita menyusun tabel semacam ini

xi fi fi xi

70 5 350

69 6 414

45 3 135

80 1 80

56 1 56

Jumlah 16 1035

19/04/23 12

Nilai rata-rata ujian dari 16 mahasiswa adalah

6,6416

1035

1

1

k

ii

k

iii

f

xfx

ifmenunjukkan banyaknya observasi (data)

19/04/23 13

Permasalahan : Bagaimana jika data yang kita miliki berada dalam suatu distribusi frekuensi ?

Nilai Ujian frekuensi(fi)

nilai tengah interval (xi)

produk(fi.xi)

31 – 40 1 35,5 35,5

41 – 50 2 45,5 91,0

51 – 60 5 55,5 277,5

61 – 70 15 65,5 982,5

71 – 80 25 75,5 1887,5

81 – 90 20 85,5 1710,0

91 – 100 12 95,5 1146,0

Jumlah 80 6130,0

14

Nilai Ujian frekuensi(fi)

nilai tengah interval

(xi)

produk(fi.xi)

31 – 40 1 35,5 35,5

41 – 50 2 45,5 91,0

51 – 60 5 55,5 277,5

61 – 70 15 65,5 982,5

71 – 80 25 75,5 1887,5

81 – 90 20 85,5 1710,0

91 – 100 12 95,5 1146,0

Jumlah 80 6130,0

19/04/23 15

■ Nilai tengah interval diperoleh dari :

2i

atas bawahx

dengan catatan bahwa xi+1 – xi = panjang interval.

19/04/23 16

Mengapa perlu menyajikan data

Setelah data diperoleh, untuk keperluan laporan

dan analisis, data perlu diatur dan disusun serta

disajikan dalam bentuk yang jelas dan baik

19/04/23 17

B aris K o lom

K on tin g en s i

D is trib u s i freku en s i

d ll

Tab e l a tau D a fta r

D iag ram B a tan g

D iag ram G aris

D iag ram S im b o l

P o lig on

H is tog ram

d ll

G ra fik a tau D iag ram

B en tu k P en ya jian D a ta

Bagaimana bentuk penyajian data

19/04/23 18

Dalam suatu survei lapangan, pengguna jenis komputer PC di suatu wilayah dikelompokkan menjadi tingkatan Pentium 1, Pentium 2, Pentium 3, dan Pentium 4. Survei dibedakan berdasarkan jenis kelaminnya. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut. Jenis kelamin laki-laki secara berurutan Pentium 1, Pentium 2, Pentium 3, Pentium 4 adalah sebagai berikut : 875, 512, 476, dan 316. Sedangkan jenis kelamin wanita berturut-turut adalah 687, 507, 342, dan 427.

Contoh

19/04/23 19

Data di atas sukar untuk dipahami.

Untuk memudahkan disajikan

dalam tabel baris kolom, atau tabel kontingensi

19/04/23 20

Jenis PC Laki-laki Perempuan Jumlah

Pentium 1 875 687 1562

Pentium 2 512 507 1019

Pentium 3 476 342 818

Pentium 4 316 427 743

Jumlah 2179 1963 4142

Tabel Baris Kolom

19/04/23 21

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Pentium 1 Pentium 2 Pentium 3 Pentium 4

laki-laki

perempuan

Histogram

19/04/23 22

perempuan

35%

26%

17%

22%

Pentium 1

Pentium 2

Pentium 3

Pentium 4

Diagram Pizza

19/04/23 23

102 135 76 108 50 104 77 135 102 33

116 95 122 130 86 114 109 64 101 37

71 130 42 109 71 117 70 109 104 141

132 146 138 77 109 109 89 125 109 55

126 117 88 71 86 77 72 73 151 82

80 105 86 96 70 83 86 88 133 97

Contoh Dimiliki data dari 60 PC yang diamati penggunaannya

dalam waktu satu bulan. Data berikut adalah lama (dalam jam) penggunaan PC tersebut :

19/04/23 24

Histogram

19/04/23 25

Bagaimana cara membuat tabel distribusi frekuensi ?

Tentukan rentang, yaitu nilai terbesar dikurangi nilai terkecil. Menentukan banyak kelas, Banyak kelas = 1+3.3 log n, n=banyaknya data. Menentukan panjang interval kelas, p = rentang/banyak kelas

19/04/23 26

Pilih ujung bawah kelas interval pertama, untuk kasus ini bisa diambil sama dengan nilai terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari nilai terkecil Selanjutnya daftar / tabel frekuensi dapat dibuat berdasarkan nilai-nilai yang sudah diperoleh dari (1) sampai (4).

19/04/23 27

Nilai Frekuensi

33 - 49 3

50 - 66 3

67 - 83 14

84 - 100 10

101 - 117 17

118 - 134 7

135 - 151 6

Tabel Distribusi Frekuensi untuk contoh 2

19/04/23 28

Eksplorasi Data Statistika

Statistik Lima Serangkai

■ nilai minimum, ■ kuartil 1, ■ median (kuartil 2), ■ kuartil 3, dan ■ maksimum.

19/04/23 29

Contoh

■ Misalkan kita mempunyai sekumpulan data, maka data tersebut dapat dipilah-pilah sesuai urutannya menurut kelima statistik lima serangkai tersebut.

25% 25% 25% 25%

a K1 Median (K2) K3 b

■ a = nilai yang paling kecil■ K1 atau kuartil 1= suatu nilai yang membagi data sedemikian sehingga sekitar 25% dari data tersebut berada di bawahnya. Jadi kuartil 1 adalah suatu nilai yang berada pada posisi ¼ dari banyaknya data setelah data tersebut diurutkan■ Kuartil 2 (Median)■ Median atau K2 = suatu nilai yang membagi data sedemikian sehingga kira-kira 50% dari data tersebut berada di bawahnya dan 50% berada di atasnya. Jadi Kuartil 2 (Median) adalah suatu nilai yang berada pada posisi ½ dari banyaknya data setelah data tersebut diurutkan■ K3 atau kuartil 3 = suatu nilai yang membagi data sedemikian sehingga sekitar 25% dari data tersebut berada di atasnya. Jadi Kuartil 3 berada pada posisi ¾ dari banyaknya data setelah data tersebut diurutkan■ b = nilai yang paling besar

19/04/23 31

Contoh

Tentukan statistik lima serangkai dari data berikut ini : 11 6 17 9 12 4 4 14 20 10 15

19/04/23 32

■ Berdasarkan data yang telah terurut, maka diperoleh:■ nilai minimum =4, ■ kuartil 1=6, ■ median=11, ■ kuartil 3=15 dan ■ nilai maksimum=20

19/04/23 33

Contoh 2

■ kita mempunyai sekumpulan data berikut:

102 135 76 108 50 104 77 135 102 33

116 95 122 130 86 114 109 64 101 37

71 130 42 109 71 117 70 109 104 141

132 146 138 77 109 109 89 125 109 55

126 117 88 71 86 77 72 73 151 82

80 105 86 96 70 83 86 88 133 97

19/04/23 34

Tentukanlah statistik lima serangkai untuk kasus data pada contoh di atas

■ Langkah awal untuk menentukan statistik

lima serangkai adalah mengurutkan data

tersebut:

33 37 42 50 55 64 70 70 71 71

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

71 72 73 76 77 77 77 80 82 83

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

86 86 86 86 88 88 89 95 96 97

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

101 102 102 104 104 105 108 109 109 109

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

109 109 109 114 116 117 117 122 125 126

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

130 130 132 133 135 135 138 141 146 151

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

19/04/23 36

■ a = 33■ Nilai K1 berada pada posisi ¼ (60+1) = 15.25■ K1 = X15 + ¼ (X16-X15) = 77+ ¼ (77-77) =77. ■ Nilai Median (K2) berada pada posisi median : (n+1)/2 = 61/2=30.5■ Median = ½ (X30+X31) = ½ (97+101)= 99■ Nilai K3 berada pada posisi ¾ (60+1) =, 45.75■ K3 = 116 + ¾ (117-116)=116+ 0.75 = 116.75.■ Nilai maksimum =151

19/04/23 37

Distribusi Frekuensi

Istilah yang harus diketahui :■ kelas interval■ frekuensi■ rentang■ panjang kelas interval

19/04/23 38

Kelas Interval

■ adalah kelompok dimana macam-macam obyek dikumpulkan dalam kelompok- kelompok berbentuk a sampai b. ■ a adalah nilai terkecil dalam kelas interval tertentu, dan b adalah nilai tertingginya.■ urutan kelas interval disusun mulai data terkecil terus ke bawah sampai nilai data terbesar.

19/04/23 39

Frekuensi

■ adalah bilangan-bilangan

yang menyatakan berapa

buah data terdapat dalam tiap

kelas interval.

19/04/23 40

Langkah-langkah dalam penyusunan dist. frekuensi

■ Tentukan rentang, yaitu data terbesar dikurangi data terkecil.■ Tentukan banyak kelas interval dengan aturan Sturges : banyak kelas = 1 + 3,3 log n Ada Buku tertentu yang menuliskan bahwa banyaknya kelas interval, b = 1 + 3,222 log n■ Tentukan panjang kelas interval p = rentang / banyak kelas.

19/04/23 41

■ Pilih ujung bawah kelas interval pertama. Untuk ini bisa diambil sama dengan data terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya harus kurang dari panjang kelas.■ Masukkan masing-masing obyek ke dalam kelas interval yang sesuai dengan nilai obyek data yang bersangkutan.

19/04/23 42

Contoh

■ Dimiliki data hasil pengukuran lama mengerjakan skripsi 60 mahasiswa Perikanan Kelautan sebagai berikut :

43

102 135 76 108 50 104 77 135 102 33

116 95 122 130 86 114 109 64 101 37

71 130 42 109 71 117 70 109 104 141

132 146 138 77 109 109 89 125 109 55

126 117 88 71 86 77 72 73 151 82

80 105 86 96 70 83 86 88 133 97

19/04/23 44

■ Tentukan rentang, yaitu nilai terbesar dikurangi nilai terkecil.■ Rentang = nilai terbesar – nilai terkecil■ nilai terbesar = 151, nilai terkecil = 33, jadi rentang = 151 – 33 = 118■ Menentukan banyak kelas, Banyak kelas = 1+3.3 log n, n=banyaknya data.■ n=60, banyak kelas = 1+ 3.3 log 60 = 1 + 3.3(1.778151) = 6.867899 = 7 (dibulatkan)■ Menentukan panjang interval kelas, p

19/04/23 45

■ Harga p diambil sesuai dengan ketelitian satuan data yang digunakan. ■ p=rentang/banyak kelas = 118/7 = 16,85714=17. ■ Pilih ujung bawah kelas interval pertama, untuk kasus ini bisa diambil sama dengan nilai terkecil atau nilai data yang lebih besar dari nilai terkecil Selanjutnya daftar / tabel frekuensi dapat dimuat berdasarkan nilai-nilai yang sudah diperoleh dari (1) sampai (4).

46

Tepi kelas Tepi kelas

Nilai

Titik tengah

Frekuensi (f)Bawah atas (a+b)/2

32,5 49,5 33 - 49 41 3

49,5 66,5 50 - 66 58 3

66,5 83,5 67 - 83 75 14

83,5 100,5 84 - 100 92 10

100,5 117,5 101 - 117 109 17

117,5 134,5 118 - 134 126 7

134,5 151,5 135 - 151 143 6