Aplikasi Lagrangian Navier-Stokes Pada Turbulensi

8/7/2019 Aplikasi Lagrangian Navier-Stokes Pada Turbulensi

1/25

Aplikasi Lagrangian Navier-Stokes padaTurbulensi

Jani SuhamjaniG74101013

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Bogor2005


2/25

Ringkasan

Telah diketahui Lagrangian Navier-Stokes yang menggambarkan dinamika fluida dari per-

samaan Navier-Stokes yang invarian terhadap local gauge transformations. Dengan menggunakanteori medan akan dihitung amplitudo kuadrat dari lagrangian tersebut untuk mengetahui interak-si pada suatu titik untuk empat fluida. Untuk interaksi empat fluida besarnya dipengaruhi duasudut antar fluida yang berinteraksi, kecepatan dan Potensial dari gaya-gaya konservatif. Padakasus turbulensi amplitudo kuadrat memiliki arti fisis sebagai Energi turbulensi.


3/25

Aplikasi Lagrangian Navier-Stokes padaTurbulensi

Jani SuhamjaniG74101013

SkripsiDiajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar

Sarjana Sainspada

Program Studi Fisika

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Bogor2005


4/25

Judul Skripsi : Aplikasi Lagrangian Navier-Stokes pada TurbulensiNama : Jani SuhamjaniNRP : G74101013Program Studi : Fisika

Menyetujui,

Dr. Husin Alatas Dr. L. T. HandokoPembimbing I Pembimbing II

Mengetahui,

Dr. Ki Agus DahlanKetua Departemen Fisika


5/25

jagad raya...nyanyian alam sunyi

misterimu membuatku berfikirbahwa aku hanyalah setitik-titik

suhamjani


6/25

Riwayat Hidup Penulis

Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 23 Maret 1982 sebagai anak kedelapan dari sembilanbersaudara, putra dari pasangan Udin Syamsudin dan Siti Aisah

Penulis menamatkan pendidikan dasar di SDN Batutulis 2 Bogor, pendidikan menengah diSMPN 9 Bogor dan melanjutkan di SMUN 3 Bogor. Pada tahun 2001 melanjutkan pendidikan diInstitut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis diterima diDepartemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, pernah ikut serta organisasi BPM (Badan Perwakilan Maha-siswa) pada tahun 2001/2002 dan organisasi HIMAFI (Himpunan Mahasiswa Fisika) IPB padatahun 2003/2004.


7/25

KATA PENGANTAR

Pada saat pertama mengikuti penelitian dengan Pak Handoko sejujurnya penulis tidak tahuapa-apa mengenai teori partikel maupun fluida. Setelah diikuti dengan penuh kesabaran akhirnyapenulis mengetahui beberapa hal yang menarik dari fisika. Banyak sekali fenomena fisika yangbelum penulis ketahui. Penulis kadang-kadang merasa bingung sendiri apa yang harus dilakukan,karena penulis sama sekali tidak memiliki pengalaman penelitian. Jawaban teman-teman di UImengenai penelitian selalu membuka pikiran penulis. Beberapa bulan kemudian ada angin segarbahwa Pak Handoko dan Ka Sulaiman berhasil menemukan Lagrangian Navier-Stokes. Darisanalah penulis mulai bersemangat lagi untuk cepat-cepat menyelesaikan penelitian.

Segala Puji bagi Allah s.w.t yang telah memberikan rahmat dan hidayahNya sehingga skrip-

si ini bisa selesai. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Pak Handoko yang telahmembimbing penulis dengan sabar, penuh pengertian, dan juga selalu memberi semangat untuksegera menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Pak Husen,Ka Sulaiman ,Ka Eko , atas jawaban yang penulis tidak ketahui, Fahd atas kerjasamanya, PakAyung, Handika, Parada, Fredi, Ardi di Lab teori yang telah membantu penulis. Penulis jugamengucapkan terima kasih kepada Ibu, bapak dan semua anggota keluarga atas bantuan moraldan moril serta Teman-teman di Fisika (wawiko, iman, yayat, laode, erus, piah, semua angkatan37,38, 39 dan 40) IPB atas senyumnya. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihaklain yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung yang namanya tidak bisadisebutkan satu-persatu.

Hasil karya ini tidaklah sempurna. Penulis menerima saran dan kritikan yang membangun daripara pembaca.

Bogor, 11 September 2005

Jani Suhamjani


8/25

Daftar Isi

Abstrak 2

Kata Pengantar i

Daftar Isi ii

Daftar Gambar iii

Daftar Acuan 11

A Dinamika Sistem Fluida Interaksi 4 poin 12

B Polarisasi Vektor 16

ii


9/25

Daftar Gambar

1 Diagram Feynman untuk interaksi 4 point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Energi turbulensi terhadap sudut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Energi turbulensi terhadap sudut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Energi turbulensi terhadap kecepatan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Energi turbulensi dengan viskositas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Energi turbulensi terhadap tekanan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7 Enegi turbulensi terhadap ketinggian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Enegi turbulensi terhadap massa jenis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Energi turbulensi terhadap gradien kecepatan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

iii


10/25

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang Masalah

Perkembangan ilmu pengetahuan fisika yangsangat cepat, membuat beberapa rahasia alamterpecahkan. Turbulensi adalah satu fenomenayang sangat menarik karena sangat sulit dipe-cahkan meskipun gejala ini sudah lama disadari.Sedangkan teori gauge baru saja muncul untukmencoba menjelaskan semua dasar interaksi dialam Pemodelan turbulensi dalam teori gaugemerupakan suatu hal yang benar-benar baru se-hingga usaha untuk menjelaskan masalah yangsulit terpecahkan (turbulensi) menjadi sangatmenarik.

Dinamika fluida dapat digambarkan olehpersamaan Navier-stokes yang diturunkan darihukum Newton kedua. Sebelumnya dibebera-pa tulisan untuk mengetahui dinamika yang terjadi dengan menghitung hamiltonian dari sis-tem dengan menggunakan prinsip aksi terke-cil. Di tulisan lain juga menghubungkanpersamaan Navier-stokes dengan persamaanmaxwell, tetapi tidak begitu jelas karenamenggambarkan dua hal yang berbeda. se-lanjutnya dinamika fluida diformulasikan dalambentuk lagrangian yang didapat dari persamaan

gerak sistem.Untuk mengetahui dinamika fluida di-lakukan pendekatan yang berbeda dengansebelumnya, yaitu dengan menggunakan re-lativistik lagrangian bosonik. Hal ini dapatdilakukan karena persamaan Navier-stokesyang menggambarkan dinamika fluida dapatdibangun berdasarkan relativistik lagrangianbosonik. Untuk mengetahui interaksi yangterjadi pada suatu titik dengan menghitungamplitudo kuadrat dari lagrangian tersebut.

2. Perumusan Masalah

Untuk mengaplikasikan persamaan Navier-Stokes kedalam kasus Turbulensi kita harus ter-lebih dahulu mengetahui observable dari p er-samaan gerak tersebut. Observable yang di-dapat adalah amplitudo kuadrat dari vertek 4point.

Pada teori gauge interaksi 4 point adalah in-teraksi antar gluon. Fenomena Turbulensi di-pandang sebagai interaksi 4 fluida.

Amplitudo kuadrat 4 poin telah berhasil

didapatkan. Masalah yang dihadapi adalah arti

fisis dari amplitudo kuadrat tersebut pada kasusturbulensi, jika medan yang bekerja adalahmedan gravitasi, viskositas dan tekanan. Kitamenggunakan medan-medan tersebut karenamereka yang paling bertanggung jawab dalam

kasus ini.

3. Metode Penelitian

Penelitian ini bersifat teoritik. Kerangkadasar teoritik yang digunakan adalah teoriMedan Boson yang invarian terhadap localgauge transformations yang merepsentasikandinamika fluida dari persamaan Navier-stokes[8]. Berdasarkan teori ini Dinamika fluida dapatdigambarkan dalam bentuk lagrangian bosonik,

kemudian dapat dicari Amplitudo kuadrat yangmenggambarkan inrerksi yang terjadi padasuatu titik dari empat fluida.

4. Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mengaplikasikanLagrangian Navier-Stokes didalam fenomenaTurbulensi.

5. Alat dan Bahan

Komputer dengan software mathematica 5dimanfaatkan untuk memplot grafik amplitudokuadrat dengan besaran-besaran fisika. Bebera-pa Paper dan buku juga membantu penelitianini sebagai bahan pustaka.

TINJAUAN PUSTAKA

Didalam Bab ini penulis akan menguraikansedikit tentang turbulensi dan 2 hukum yangdipatuhinya yaitu hukum kekekalan massa dan

hukum kekekalan momentum

1. Turbulensi

Mekanika fluida adalah cabang dari ilmu fisi-ka yang mempelajari tentang aliran fluida yangbergerak maupun yang diam dan mempelajari tentang peralatan maupun aplikasi yangberhubungan dengan fluida. Mekanika fluidaterbagi menjadi 2 bagian yaitu Statika fluidayang mempelajari fluida dalam keadaan diamdan dinamika fluida yang mempelajari fluida

bergerak. Pada penulisan skripsi ini kita hanya


11/25

mengunakan Dinamika fluida dalam kasus tur-bulensi. Turbulensi disini memiliki sifat-sifatviscous (kekentalannya tidak bisa diabaikan)dan rotasional yaitu alirannya berolak.

Jean Leonard Marie Poiseuille dan GotthilfHeinrich Ludwig Hagen adalah orang yang per-tama menulis tentang aliran fluida. Merekamembahas mengenai masalah aliran darah di-dalam pembuluh darah. Mereka menulis tan-pa melibatkan pengaruh viskositas. ClaudeLouis Marie Navier dan Sir George GabrielStokes merumuskan persamaan yang melibatkanviskositas dan persamaan tersebut dinamakanpersamaan Navier-Stokes. Persamaan ini sangatsulit sehingga hanya bisa menjelaskan fenomeneyang sederhana, contohnya adalah laminar. Per-samaan Bernoulli berhasil diturunkan dari per-samaan ini. Persamaan Bernoulli berlaku untukfluida yang memiliki kecepatan relatif rendah.Garis arus fluida belum pecah pada kecepatanini. Apabila kecepatan fluida ditambah makagaris arus fluida akan pecah dan berolak.

Pecahnya garis arus dan timbulnya arus ed-di dikenal sebagai fenomena turbulensi. Kapanterjadinya arus laminar dan turbulensi belumbisa terpecahkan sampai Osborne Reynoldsmemperkenalkan bilangan reynolds. BilanganReynold ini berbanding lurus dengan kecepatan,massa jenis fluida dan diameter pipa yang dilaluifluida serta berbanding terbalik dengan viskosi-tas. Batas antara laminar dan turbulensi bila-ngan reynoldnya 2300 (lihat[4]). Jika bilanganreynold lebih besar dari 2300 maka kemungki-nan terbesar dari aliran fluida adalah turbulen-si. Transisi aliran laminar dan turbulen dapatdilihat pada asap rokok. Pada saat asap rokokmulai mengepul aliran itu adalah laminar. Pa-da saat asap rokok itu bergerak mulai menjauhaliran tersebut adalah turbulen.

Deskripsi aliran fluida bisa dengan 2 cara,yatu deskripsi Lagrange dan deskripsi Euler.Pada deskripsi Lagrange aliran fluida dijelaskandengan melihat lintasan fluida. Deskripsi Eulermenggunakan fungsi ruang-waktu. Skripsi inimenggunakan deskripsi Euler. Karakterisasiturbulensi menggunakan 2 parameter yaitukecepatan dan massa jenis. Aliran Turbulensiini memenuhi 5 hukum yaitu hukum kekekalanmassa, hukum kekekalan momentum, hukumkekekalan momentum sudut, hukum termodi-namika I dan hukum termodinamika II. Padabagian ini yang dibahas hanya hukum kekekalanmassa dan hukum kekekalan momentum

1.1 Hukum Kekekalan Massa

Hukum kekekalan massa menyatakan bahwa flu-ida tidak bisa diciptakan dan tidak bisa dimus-nahkan. Jika kita menggangu fluida tersebut

maka massa awal akan selalu sama dengan mas-sa akhirnya. Misalkan ada volume (V) fluidayang dilingkupi oleh permukaan S . Massa fluidadalam volume (V) adalah

dV. massa flu-

ida yang mengalir melalui permukaan tertutupadalah

dS.Hukum kekekalan massa menya-

takan bahwa fluks fluida yang keluar dari per-mukaan tertutup S akan sama dengan hilangnyamassa fluida per waktu pada Volume (V). Per-nyataan ini dapat ditulis sebagai:

(v) dS =

t dV (1)

Mengguanan Teorema Gauss diruas kiri danruas kanan:

(v)dV = t

dV

[

t+ (v)]dV = 0 (2)

Dari kalkulus kita bisa mendapatkan hasilnya se-bagai berikut:

t+ (v) = 0 (3)

Persamaan ini dikenal sebagai persamaankontinuitas.

1.2 Hukum Kekekalan MomentumUntuk partikel titik dengan massa (m), maka

hukun Newton ke-2 menjadi: m dxdt2

= F. di-mana x adalah posisi partikel titik. Percepatanmenjadi dx

dt2 Dv

Dtdengan D

Dt=

t+ v.

Gaya fundamental dalam fluida adalah gradienstress yang ditulis:

Fi = x

k

ik (4)

dimana tensor stress ik diberikan oleh:

ik = P ik ik (5)dimana P adal ah tekanan dan ik adalah tensorviskositas. Tensor ini bisa diturunkan dari per-samaan transport Bolzmann. Tensor viskositasdapat ditulis sebagai [4]:

ij = (Uixk

+Ukxi

23

ijUlxl

) + ikUlxl

(6)

dimana dan adalah koefisien dinamika dan

kinematika viskositas. Masukan pers. (6) , pers.


12/25

(5), pers. (4) kedalam hukum Newton ke-2, di-dapatkan:

(v

t+(v.)v) = P+2v+(+ 1

3)(v)

(7)Persamaan ini disebut persamaan Navier-Stokesyang membangun dinamika fluida.

2. Teori Medan Gauge

Teori gauge adalah teori medan yang didasarioleh prinsip gauge yaitu suatu teori harus in-variant terhadap transformasi lokal gauge. Se-bagai contoh, misalkan medan komplek skalar(x) dalam ruang-waktu Minkowski. Kerapa-tan Lagrange medan ini dengan potensial V da-

pat ditulis [7]:

L(, ) = ()() V() (8)jika kita ambil transformasi:

ei (9)dimana adalah konstanta real. Pembuktianbahwa kerapatan Lagrange invarian terhadaptransformasi ini sangat mudah . Transformasiei dikenal sebagai transformasi gauge global.Dengan menggunakan teorema Noethers kitaakan mendapatkan rapat arus (sebagai contoh

[8]):J = (10)

dan hukum kekekalan arus

J = 0 (11)Bagaimana dengan transformasi gauge lokal?Transformasi gauge lokal dapat ditulis[7]:

ei(x) (12)dengan transformasi ini , kerapatan Lagrange(8) menjadi:

L(, ) L = ()() V()+()() (

+ ) (13)yang tidak invarian terhadap transformasi gaugelokal . Untuk membuat kerapatan Lagrange in-varian terhadap transformasi gauge lokal , ki-ta harus menganti dengan transformasi yangcocok dengan bentuk . Untuk melakukannya,pertama kita perkenalkan medan vektor A(x)yang biasanya disebut medan gauge dengantransformasi sebagai berikut [7]:

A A A + (14)

Kita definisikan deravatif kovariant

D + iA (15)

dengan transformasi gauge lokal, derivatif ko-

variant akan ditransform :

D ( + i(A + ))ei = eiiei + ieiA + iei

= ei( + iA)= eiD (16)

D eiD (17)Hal ini menunjukan bahwa derivatif kovariantakan ditransformasi kedalam bentuk yang samadengan . Jika kita mengganti dengan

D,

kerapatan Lagrange menjadi :

L(,D) = (D)(D) V() (18)

telah dibuktikan bahwa kerapatan Lagrangediatas invariant terhadap transformasi gaugelokal. Sekarang kita punya teori medan gaugeyang invariant terhadap transformasi gaugelokal.

2.1 Teori Medan Gauge Abelian

Dengan menggunakan persamaan Euler-Lagrange kita akan mendapatkan persamaangerak yang biasanya dijelaskan dengan per-samaan diferensial parsial. Jika kita menam-bahkan fungsi Lagrange baru (lihat [9]) :

L = 14

FF (19)

F = A A (20)

maka fungsi Lagrange total menjadi:

LA = (D)(D)V() 14

FF (21)

persamaan ini adalah fungsi Lagrange (kera-patan) untuk sistem dinamika yang invariantterhadap transformasi gauge lokal. Trans-formasi gauge lokal juga bisa ditulis sebagai = eig(x) dimana g adalah bilangan real.Teori gauge ini juga dikenal sebagai teori gaugeabelian yang berhubungan dengan bentuk g se-bagai aljabar komutatif . Dengan g maka Aakan ditransformasi sebagai:

A A A + g (22)


13/25

dengan transformasi ini maka tensor strengepers.(20) akan ditransformasi sebagai:

F F = (A + ig)

(

A + ig)

= A A + ig ig= A A= F (23)

Kerapatan Lagrange pers.(19) masih invariantterhadap transformasi gauge lokal. Hubunganantara D dan F diberikan oleh:

[D,D ] = DD DD= ( + iA)( + iA)

( + iA)( + iA)

= iA iA + i2

AAi2AA= i(A A) + i2[A,A ]= iF (24)

Hubungan ini bisa didapatkan dengan relasikomutatif [A,A ] = 0. Hubungan ini bisadigunakan untuk membuktikan fungsi Lagrangeinvariant terhadap transformasi gauge lokalatau tidak.

2.2 Teori Medan Gauge Non-AbelianKita akan memperluas aljabar ke aljabar nonkomutatif (non abelian). Hal ini bisa digu-nakan untuk menjelaskan sistem medan (medanmateri) yang secara umum mengandung medanmulti-komponen. Transformasi Gauge Non-Abelian dapat ditulis sebagai [10]:

U = eiTa(x) (25)

dimana Tas adalah matrix generator yang di-miliki Group Lie dan memenuhi hubungan ko-mutatif [Ta, Tb] = ifabcTc. fabc adalah faktorstruktur. Aljabar yang mendasarr hubungan inidisebut sebagai Aljabar Lie [9].Untuk mendapatkan medan Non-Abelian yanginvariant terhadap Transformasi Gauge lokal,kita harus menemukan hubungan yang miripdengan pers.(24). Untuk melakukannya, kitaperkenalkan (dimana g adalah konstanta koplinggauge) [10]:

D + igTaAa (26)maka hubungan komutatif untuk D adalah:

[D,D ] = DD DD

= ( + igTaAa)( + igTaAa)( + igTaAa)( + igTaAa)

= igTa(Aa iAa+i2g2T2a (

Aa

Aa

Aa

Aa)

= igTa(Aa Aa) + ig[Aa,Aa ]= igTaF

a (27)

Dengan menggunakan elemen yang berhubun-gan dengan Aljabar Lie, sehingga

Fa = Aa Aa + ig[Aa,Aa ] (28)

atau

Fa = Aa Aa gfabcAb,Ac (29)

maka hubungan komutatif untuk derivatif ko-variant adalah:

[D,D ] = igFa (30)

dimana Fa diberikan oleh pers.(28) ataupers.(29). Dengan kondisi ini maka kerpatanLagrange menjadi:

L = 14

FaFa (31)

yang invariant terhadap transformasi gauge

lokal. Teori ini dikenal sebagai teori Gauge Non-Abelian atau teori medan Yang-Mills. sebagaicontoh lihat [10]:

LNA = i()m+gJaAa1

4FaF

a

(32)Dalam kasus n = 3 dikenal sebagai Kuan-tum Kromodinamik (QCD). Teori ini untukmenjelaskan interaksi kuat pada hadron.Lagrange teori Gauge Non-Abelian mengan-dung medan yang berinteraksi dengan medanitu sendiri Aa melalui suku gfabcAbAcnudalam F

a . Lihat[10]. Dimensi dari massa

[m] = 1,[A] = 1,dan [] = 3/2.

3. Persamaan Navier-Stokes dari TeoriMedan Gauge

jangan pernah menyerah

Dalam ruang-waktu Minkowski, diagonal

metrix tensor memiliki elemen g00 = 1, g11 =


14/25

g22 = g33 = 1. Sekarang kita definisikan se-buah medan A dalam suku skalar dan potensialvektor, yaitu:

A = (Ao, A) = (,

v) (33)

dimana = d2

v2+V , dengan V adalah potensialdari gaya-gaya konservatif. kondisi untuk gayakonservatif F adalah

dr F = 0 dengan solusi

F = . maksudnya adalah potensial V harusmengandung derivatif ruang spasial.Kita definisikan Tensor Strenge sebagai:

F A A (34)Sekarang kita mengkonstruksi Lagrange untuksistem fluida. fluida dapat dipandang seba-gai gauge boson yang mirip dengan teori gauge

U(1). Lagrange untuk fluida dapat ditulis seba-gai:

LNS = 14

FF + gJA (35)

dimana J arus vektor-empat. untuk menda-patkan persamaan geraknya kita menggunakanpersamaan Euler-Lagrange,yaitu:

LNS

(A) LNSA = 0 (36)

Suku ke-2 nya adalah:

LNS

A = gJ (37)Untuk menghitung suku pertama Euler-Lagrange, kita menulis Lagrange secaraeksplisit dalam suku A yaitu:

LNS = 14

(g)(g)[(A A)

(A A)] + gJA (38)subtitusikan suku pertama kedalam per.(36) ki-ta mendapatkan:

LNS(A) =

1

4 (g)(g)

(A)[(A A)(A A)]

= 14

(g)(g)[(A)(A)F

(A)

(A)F +F (

A)(A)

F (A)

(A) ]

= 14

(g)(g)[

F F

+ F F] (39)

hubungankan dengan simetri g dan antisimetri F , keempat suku sama, mengunakanindeks dan kita akan mendapatkan:

LNS(A)

=

1

4[F

(F

)

+F (F)]= 1

4(4F) = F (40)

maka persamaan Euler-Lagrange menjadi:

F gJ = 0(A A) gJ = 0

(A A) gJ = 0 (41)Sekarang, integralkan terhadap x kita menda-patkan:

A A = g

dxJ (42)

Untuk = kita mendapatkan hubungan trivi-al. hubungan non-trivial didapatkan jika = .kita dapatkan:

0Ai iA0 = g

dx0Ji = g

dxiJ0 (43)

dengan Ai = v, Ao = , o = t , dan i = kita mendapatkan:

vt = gJ (44)

dimana Ji

dx0Ji =

dxiJ0. Denganpotensial skalar yang diberikan oleh = 12v

2 +V, kita dapatkan,

vt 1

2 |v|2 V = gJ (45)

dengan identitas vektor 12

|v|2 = (v )v + v ( v), kita dapatkan,

vt

+ (v )v = V v gJ , (46)

dimana v adalah vortisiti. Hasilini menghasilkan persamaan umum NS de-ngan gaya-gaya konservatif(V). Potensialberhubungan dengan gaya-gaya konservatif,yaitu:

V1(r) =P

: tekanan (47)

V2(r) =Gm

r: gravitasi (48)

V3(r) = (+ )( v) : viskositas(49)


15/25

P,,G,+ menunjukan tekanan, massa jenis,konstanta gravitasi dan viskositas. Kita per-hatikan potensial dari viskositas. Gaya viskosi-tas secara umum Vviscosity =

v

+

2v+ dengan mengunakan identi-tas = (v)2v. Ini akan menghasilkanfluida kompresible dan non-kompresible, padaturbulensi tidak sama dengan nol. Dalam Lag-range, g adalah konstanta kopling yang sangatkecil (g


16/25

Hasil dan Pembahasan

A. Arti Fisis Amplitudo Kuadrat

Dinamika Fluida dijelaskan oleh persamaandiferensial nonlinear yang dikenal sebagai per-samaan Navier-Stokes. Solusi yang tepat daripersamaan ini hanya bisa didapatkan untukkasus yang sangat sederhana. Untuk situasiyang komplek solusinya belum bisa didapat-kan. Terlebih lagi jika kasus yang dipecahkanadalah fenomena turbulensi, meskipun fenome-na ini sering ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam turbulensi, alirannya dicirikan de-ngan arus eddi yang perubahannya sangat sulitdiprediksi ,lihat [11].

Turbulensi dipengaruhi oleh medan-medanseperti tekanan, gravitasi dan juga viskositas.

Proses turbulensi dalam dinamika fluida diang-gap sebagai interaksi antar 8 gluon pada in-teraksi kuat. Tiap gluon berinteraksi dengandirinya sendiri. Dengan menghitung amplitudokuadrat dari Lagrange interaksi ini maka kitaperlu mendefiniskan amlitudo kuadrat tersebut.

Pada teori gauge amplitudo kuadrat dide-finisikan sebagai observable yang menunjukankecenderungan suatu partikel untuk berin-teraksi. Pada Turbulensi amplitudo kuadratadalah energi turbulensi suatu fluida. Energiturbulensi ini secara klasik dipengaruhi olehbesaran seperti tekanan, ketinggian, kekentalan,massa jenis fluida dan kecepatan masing-masingfluida yang berinteraksi. Plot grafik antaraEnergi turbulensi dengan besaran-besaran fisiscukup bervariasi.

B. Hubungan antara Amplitudo Kuadratdengan Beberapa Besaran Fisis

Telah diterangkan diatas bahwa energi turbu-lensi dipengaruhi oleh kecepatan, ketinggian,tekanan, kekentalan fluida dan massa jenis

fluida. Pada bagian ini kita akan menjelaskanhubungan antara besaran fisis yang telah dise-butkan diatas dengan energi turbulensi. Untukinteraksi 4 point kita menggunakan 4 kecepatandan gradien kecepatan fluida yang berbeda.

1. Amplitudo Kuadrat dengan (sudutantara elemen fluida 1 dan 2) serta (sudut antara elemen fluida 1 dan 3)

Suhu, tekanan, viskositas, ketinggian danmassa jenis adalah besaran makroskopis. Pada

penelitian ini kita juga menggunakan kecepatan

4

2

3

4

4

2

3

4

Sudut

4.3305

4.331

4.3315

4.332

Energi turbulensi

Gambar 2: Energi turbulensi terhadap sudut .

4

2

3

4

4

23

4

Sudut

4.3305

4.331

4.3315

4.332

Energi turbulensi

Gambar 3: Energi turbulensi terhadap sudut .

dan sudut antara momentum 1 dan 2 () sertasudut antara momentum 1 dan 3 () sebagaibesaran mikroskopis. Seperti yang dilihat padagambar 2 dan 3, energi turbulensi berfluktuasi

terhadap ke dua sudut tersebut. Tumbukankeempat elemen fluida tersebut mencapaipuncaknya pada sudut-sudut tertentu. Sudutinipun mempengaruhi hubungan kecepatandengan energi turbulensi.

2. Energi Turbulensi dengan kecepatan

Peningkatan kecepatan elemen-elemen fluidamembuat energi turbulensi semakin meningkat.Pada grafik didapat keempat elemen fluidamemiliki kemiringan yang hampir sama.(lihatgambar 4). Elemen-elemen fluida kecepatannyabisa ditambah dengan menaikan suhu dantekanan.Bilangan Reynold meningkat jika kecepatanditambah. Peningkatan kecepatan ini membuatsuatu fluida lebih cenderung menjadi aliranturbulensi. Pada saat fluida menjadi turbulensipeningkatan kecepatan dimanfaatkan untukmeningkatkan energi. Hubungan grafik ini jugadipengaruhi oleh sudut antara momentum 1dan 2 () serta sudut antara momentum 1 dan3 (). Jika dinaikan sedikit-sedikit sampai

sudut 1/2 sedangkan dan besaran lain tetap


17/25

20 40 60 80 100 120Kecepatan

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20Energi turbulensi

Gambar 4: Energi turbulensi terhadap ke-cepatan.

10 20 30 40 50 60Viskositas

4.2

4.4

4.6

4.8

5Energi turbulensi

Gambar 5: Energi turbulensi dengan viskositas.

maka pada grafik akan semakin curam.

3. Energi Turbulensi dengan viskositas

Bilangan Reynold berbanding terbalik denganviskositas fluida. Hal ini memberikan informasibahwa semakin encer fluida mengakibatkankecenderungan suatu fluida menjadi aliranturbulensi meningkat.Pada grafik 5 didapat suatu hubungan yangberbanding lurus antara energi turbulensidengan kekentalan. Semakin encer fluida makaenergi turbulensinya semakin kecil. Untukgradien kecepatan yang sama peningkatanviskositas akan meningkatkan juga gaya viskosi-tas. Peningktan gaya meningkatkan energikinetik. Sebagai contoh, antara air panasdengan suhu 1000C dengan air biasa dengansuhu 200C yang memiliki viskositas berturut-turut 2.8 104N.s/m2 dan 0.001N.s/m2.Air dengan suhu 1000C energi turbulensinyalebih besar jika dibandingkan dengan suhu200C. Air yang dipanaskan menambah energikinetik dari partikel-partikel yang menyusunelemen fluida sehingga massa jenis fluida akanberkurang. Berkurangnya massa jenis inimengurangi partikel-partikel yang bergesekan

sehingga energi kinetik fluida bertambah. Perlu

2 4 6 8 10 12Tekanan

1

2

3

4

5

Energi turbulensi

Gambar 6: Energi turbulensi terhadap tekanan.

diingat bahwa amplitudo kuadrat adalah energiturbulensi.

4. Energi Turbulensi dengan tekanan

Energi turbulensi meningkat jika tekanan di-naikan. Pada grafik 6 hubungan energi turbu-lensi dengan tekanan adalah parabolik. Per-lu diperhatikan bahwa tekanan dalam hal iniadalah tekanan internal fluida yang diakibatkanoleh elemen fluida sebelum berinteraksi denganelemen lain.Kenaikan tekanan bisa diakibatkan oleh pening-katan suhu pada volume tetap atau penurunanvolume pada suhu tetap.

Kenaikan tekanan membuat partikel-partikelyang menyusun fluida semakin bergetar dansemakin menjauh. Ekspansi partikel ini mem-buat massa jenis fluida berkurang. Gayatekanan berbanding terbalik dengan massa jenis. Telah dijelaskan diatas bahwa semakinkecil massa jenis energi turbulensinya semakinbesar.Getaran-getaran ini memberikan kon-tribusi energi. Perpindahan fluida bisa jugadiakibatkan oleh perbedaan tekanan antarakedua titik. Semakin besar perbedaan tekananini gaya fluida yang dihasilkan akan semakinbesar. Perbedaan tekanan pada kasus ini antaraantara titik pusat interaksi dengan keempatelemen fluida.

5. Energi Turbulensi dengan ketinggian

Pada interaksi satu titik energi turbulensi tidakdipengaruhi oleh ketinggian, hal ini disebabkankarena titik interaksi fluida yang kita amatimemiliki perbedaan ketinggian yang sama,meskipun gravitasi memiliki kontribusi yangbesar pada proses turbulensi lihat gambar 7.

Pertambahan ketinggian tidak meningkatkan


18/25

0.2 0.4 0.6 0.8 1Ketinggian

1

2

3

4

5Energi turbulensi

Gambar 7: Enegi turbulensi terhadap keting-gian.

0.04 0 .05 0.06 0.07 0.08 0 .09Densitas

1

2

3

4

5

6

7Energi turbulensi

Gambar 8: Enegi turbulensi terhadap massa je-nis.

energi turbulensi. Kita dapat menghitungenergi turbulensi di darat dan di udara dengan

besar yang sama, jika diambil asumsi besaranlain sama di kedua tempat tersebut.

6. Energi Turbulensi dengan Massa Jenis

Massa jenis fluida berbanding lurus dengan bila-ngan reynold. Ini artinya semakin besar massa jenis kecenderungan fluida untuk menjadi tur-bulensi semakin meningkat. Oli dan air mas-sa jenisnya berbeda. Massa jenis air lebih be-sar daripada oli. Untuk besaran lain yang (ke-cepatan , diameter, viskositas) dianggap kons-tanta dan besarnya sama maka air memiliki ke-cenderungan yang lebih tinggi untuk menjaditurbulensi dibandingkan dengan oli.

Pada grafik antara energi turbulensi denganmassa jenis didapatkan grafik yang menu-run hampir mirip eksponensial lihat gambar8. Hal ini sesuai dengan logika kita, karenafluida yang memiliki massa jenis yang tinggimemiliki jumlah partikel yang lebih banyakdalam satuan volume. Jumlah partikel yangbergesekan mempengaruhi energi turbulensi.Massa jenis dipengaruhi juga oleh tekanan

dan suhu. Semakin tinggi tekanan dan suhu

0.4 0.2 0.2 0.4Gradien kecepatan

4.33174

4.33174

4.33174

Energi turbulensi

Gambar 9: Energi turbulensi terhadap gradienkecepatan.

mambuat massa jenis fluida semakin rendah.

7. Energi Turbulensi dengan Gradien ke-cepatan

Gradien kecepatan dikenal sebagai kemiringankecepatan yang diakibatkan oleh pemberiangaya yang berbeda-beda untuk setiap lapisanfluida. Gradien kecepatan meningkatkan ener-gi turbulensi. Telah diketahui dari mekanikaklasik bahwa Energi adalah kemampuan untukmelakukan usaha. Sedangkan usaha itu sendiriadalah komponen gaya dikalikan dengan per-pindahan yang sejajar dengan komponen gayatersebut.

Untuk keempat elemen fluida memilikikemiringan yang sama (lihat gambar 9).Artinya jika kita meningkatkan gradien ke-cepatan salah satu elemen fluida dan ketigapercepatan elemen fluida yang lain tetap makaenergi turbulensi akan meningkat. Peningkatanpercepatan keempat elemen fluida dengan besaryang sama meningkatkan juga energi turbulensi.Gradien kecepatan yang kecil diakibatkan olehbesarnya gesekan antara lapisan fluida yangbergerak dengan lapisan fluida yang diam. Jikagesekan ini kita kurangi dengan meningkatkan

suhu atau tekanan maka energi turbulensi akanmeningkat.


19/25

KESIMPULAN DAN SARAN

Pada pembahasan diatas telah dijelaskan bah-wa amplitdo kuadrat memiliki arti fisis sebagaienergi turbulensi.Energi turbulensi ini dipenga-

ruhi oleh besaran-besaran fisika. Energi tur-bulensi akan semakin meningkat jika massa je-nis fluida, tekanan, kecepatan dan gradien ke-cepatan ditingkatkan. Sebaliknya energi turbu-lensi akan berkurang jika ketinggian dan viskosi-tas dinaikan.

Penelitian ini hanya menjelaskan fenomenafisika untuk satu sampel titik. Jika kita inginmendapatkan hasil yang menyerupai sebenarnyadi alam, kita harus menghitung secara keselu-ruhan dari semua titik-titik fluida yang berin-teraksi dengan nilai besaran fisis yang berbeda-beda.

Penelitian saat ini difokuskan pada usahamengkaji aspek teoritik dari pendekatan barupenghitungan besaran fisis pada fluida memakaiteori medan. Penghitungan untuk kondisi sebe-narnya secara prinsip bisa dilakukan denganmembagi satu luas bidang penghitungan dalambentuk kisi, kemudian perhitungan yang samaseperti diatas dilakukan untuk seluruh titik de-ngan pemakaian parameter secara dinamis. Pa-rameter dinamis diperoleh dari hasil penghitun-gan dari titik terdekat.


20/25

Daftar Pustaka

[1] K.E.Saputro, Thesis:Large Applications OfFluids Dynamics Based On Gauge FieldTheory Approach,UI, Jakarta (2005)

[2] A.Sulaiman, Thesis:Construction OfNavier-Stokes Equation Using Gauge FieldTheory Approach,UI, Jakarta (2005)

[3] A.Sulaiman and L.T.Handoko, Gauge Field

Theory approach to construct the Navier-Stokes equation, Acta Physica Pol. A(2005) in press. (2005)

[4] Robert W. Fox, Introduction to Fluids Me-chanics, John Willey and Son. Canada(1992)

[5] Aitchison,Ian JR and Hey,AnthonyJG Gauge Theories in ParticlePhysics,Institute Of Physics Publishing,Bristol and Philadelphia (1995)

[6] Halzen,Francis amd Martin, Alan D Quarksand Lepton:An Inductory Course in Mod-ern Particle Physics,JOHN WILLey andSONS, New York . (1996)

[7] K. Huang, Quarks, Leptons and GaugeFields, Worlds Sceintific, Singapore (1992)

[8] L. Ryder, Quantum Field Theory, seconded, Cambridge University Press, Cambridge(1998).

[9] L. Faddev and A. Slanov, Gauge Field, sec-ond ed, Addison Wesley, New York (1991).

[10] T. Muta, Foundation of Quantum Chro-modynamics, Worlds Sceintific, Singapore(2000).

[11] M.C. Gregg, J. Geophys. Res 92 (1987)5249

11


21/25


22/25

((k1 k3)(k2 k4) (k1 k4)(k2 k3))2m21m

22m

23m

24

+

fadefbcefadefbce

k1 k1k2 k2 (k1 k2)2m21m

22

+

k1 k1k3 k3 (k1 k3)2

m21m23

+ 2 k1 k1k4 k4 (k1 k4)2

m21m24

+

2k2 k2k3 k3 (k2 k3)2

m22m23

+k2 k2k4 k4 (k2 k4)2

m22m24

+

k3 k3k4 k4 (k3 k4)2m23m

24

+

((k1 k2)2k3 k3 + (k1 k3)2k2 k2 2k1 k2k1 k3k2 k3m21m

22m

23

+


22m

24

+

((k1

k3)2k4

k4 + (k3

k4)

2k1

k1

2k1

k3k1

k4k3

k4m21m

23m

24

+


23m

24

+

((k1 k2)(k3 k4) (k1 k3)(k2 k4))2m21m

22m

23m

24

+

facefbdefadefbce

k1 k1k2 k2 (k1 k2)2m21m

22

+

2k1 k1k3 k3 (k1 k3)2

m21m23

+k1 k1k4 k4 (k1 k4)2

m21m24

+

k2 k2k3 k3 (k2 k3)2

m22m

23

+ 2k2 k2k4 k4 (k2 k4)2

m22m

24

+

k3 k3k4 k4 (k3 k4)2m23m

24

+


22m

23

+


22m

24

+


23m

24

+


23m

24

+

((k1 k2)(k3 k4) (k1 k4)(k2 k3))2m21m

22m

23m

24

+

2fadefbcefabefcde

(k1 k2)2 k1 k1k2 k2m21m

22

+

(k1 k4)2 k1 k1k4 k4m21m

24

+(k2 k3)2 k2 k2k3 k3

m22m23

+

(k3 k4)2 k3 k3k4 k4m23m

24

+

k1 k2k1 k3k2 k3 (k1 k3)2k2 k2m21m

22m

23

+


23/25

k1 k2k1 k4k2 k4 (k2 k4)2k1 k1m21m

22m

24

+

k1 k3k1 k4k3 k4 (k1 k3)2k4 k4m21m

23m

24

+

k2 k3k2 k4k3 k4 (k2 k4)2

k3 k3m22m

23m

24

+

(k1 k3k2 k4 k1 k4k2 k3)(k1 k2k3 k4 k1 k3k2 k4)m21m

22m

23m

24

+

2facefbdefabefcde

(k1 k2)2 k1 k1k2 k2m21m

22

+

(k1 k3)2 k1 k1k3 k3m21m

23

+(k2 k4)2 k2 k2k4 k4

m22m24

+

(k3 k4)2 k3 k3k4 k4m23m

24

+

k1

k2k1

k3k2

k3

(k2

k3)2k1

k1

m21m22m

23 +

k1 k2k1 k4k2 k4 (k1 k4)2k2 k2m21m

22m

24

+

k1 k3k1 k4k3 k4 (k1 k4)2k3 k3m21m

23m

24

+

k2 k3k2 k4k3 k4 (k2 k3)2k4 k4m22m

23m

24

+


22m

23m

24

+

2facefbdefabefcde (k1 k3)2 k1 k1k3 k3

m21m

23

+

(k1 k4)2 k1 k1k4 k4m21m

24

+(k2 k3)2 k2 k2k3 k3

m22m23

+

(k2 k4)2 k2 k2k4 k4m22m

24

+

k1 k2k1 k3k2 k3 (k1 k2)2k3 k3m21m

22m

23

+

k1 k2k1 k4k2 k4 (k1 k2)2k4 k4m21m

22m

24

+

k1 k3k1 k4k3 k4 (k3 k4)2k1 k1m21m

23m

24

+

k2 k3k2 k4k3 k4 (k3 k4)2k2 k2m22m

23m

24

+


22m

23m

24

(d12|v1|2 + V1)2 |v1|2

(

d22|v2|2 + V2)2 |v2|2

(d32|v3|2 + V3)2 |v3|2

(

d42|v4|2 + V4)2 |v4|2

(A.2)


24/25

Hukum kekekalan momentum berlaku, yaitu,

k1 + k2 + k3 + k4 = 0 , (A.3)

sehingga didapat,

ki ki = m2i = 2iV2 ,k1 k2 = 1

41v12v2 (v1v2 4cos) V2 ,

k1 k3 = 14

1v13v3 (v1v3 4cos) V2 ,

k1 k4 = 14

(421 + 1v12v2 (v1v2 4cos) + 1v13v3 (v1v3 4cos))V2 ,

k2 k3 = 14

2(21 +

22 +

23 24) + 1v12v2 (v1v2 4cos)

+1v13v3 (v1v3 4cos)) V2 ,k2

k4 =

1

4

(2(21 + 23

22

24) + 1v13v3 (v1v3

4cos))V2 ,

k3 k4 = 14

(2(21 + 22 23 24) + 1v12v2 (v1v2 4cos))V2 . (A.4)


25/25

Lampiran B

Polarisasi Vektor

Karena A merupakan medan bosonik bermassa maka memenuhi persamaan:

(g(2 + M2)

)A = 0 (B.1)

Dapat kita peroleh invers dari ruang momentum operator dengan menyelesaikan

(g(k2 + M2) + kk)1 = (Ag + Bkk) (B.2)untuk nilai A dan B. Propagator, adalah besaran dalam kurung sebelah kanan dari (A.2) kita kalidengan i, di dapat

i(g + kk/M2)

k2 M2 (B.3)Dapat kita lihat untuk keadaan partikel bermassa k2 = M2. Kita divergensi, , dari (A.1), duasuku akan saling menghilangkan dan kita peroleh

M2A = 0 Sehingga A = 0 (B.4)

Untuk Partikel bermassa A = 0 suatu keadaan yang harus dipenuhi, bukan sebagai gaugecondition. Sebagai konsekuensimya, Persamaan (A.1) tereduksi menjadi

(2 + M2)A = 0 (B.5)

untuk keadaan partikel bebas dalam fluida didapat solusi

A = eikx dengan =

d

2|v|2 V,v

(B.6)

Kondisi (A.4) mensyaratkank = 0 (B.7)

Sehingga akan mereduksi derajat kebebasan dari empat vektor polarisasi menjadi tiga. Untuk

sebuah partikel bermassa M, energi E, dan momentum k bergerak sepanjang sumbu z, dengankeadaan helisitas dapat diperoleh vektor polarisasi sebagai berikut

=1 = (0, 1,i, 0)2

d

2|v|2 V,v

;

=0 =(|k| , 0, 0, E)

M

d

2|v|2 V,v

; (B.8)

Dengan menjumlahkan semua keadaan polarisasi dari vektor partikel bermassa akan diperolehhubungan kelengkapan sebagai berikut(sebagai contoh lihat [6]:

=

g + kk

M2

d

2|v|2 V

2 |v|2

(B.9)

16

Documents

Aplikasi Lagrangian Navier-Stokes Pada Turbulensi