Navier Stokes ecuation

7/24/2019 Navier Stokes ecuation

1/17

Ecuaciones de continuidad y movimiento

(Enfoque diferencial)

Dr. Edgar Resendiz Transferencia de Momento o Cantidad de movimiento
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://find/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


2/17

Analisis diferencial de ujo



3/17

Analisis diferencial de ujo



4/17

Analisis diferencial de ujo: Conservacion de Masa

Ecuaci on de continuidad (Usando volumen de control innitesimal)

rapidez de acumulaci onde masa =

rapidez deentrada de

masa rapidez de salida de

masa

Acumulaci on de masa: t x y z

Entrada de masa en x : vx (x ) y z ,

Salida de masa en x + x : vx (x + x ) y z ,

Entrada de masa en y: vy (y) x z ,

Salida de masa en y + y : vy (y + y) x z ,

Entrada de masa en z: vz (z ) x y ,

Salida de masa en z + z : vz (z + z ) x y ,



5/17

Analisis diferencial de ujo: Conservacion de Masa

t = v x (x + x )

v x (x ) x

v y (y + y)

v y (y) y

v z (z + z ) v z (z )

z

entoncest

= (v x )x

+ (v y )y

+ (v z )z

o bient

+ (v ) = 0

Forma alternativa1

DDt + v = 0

(v ) = 0

compresible estacionario, ( x ) v = 0

incompresible, = c



6/17

Analisis diferencial de ujo: Ecuacion de Cauchy

Deniciones basicas:

Esfuerzo cortante (momento viscoso):

yx dvdy

, yx = dvdy

Momento convectivo:

v2

A



7/17


rapidez deacumulaci on de

cantidad demov.

=

rapidez deentrada decantidad de

mov.

rapidez desalida de

cantidad demov.

+ fuerzas sobreel elemento

Cantidad de movimiento debida a la velocidad (Mov.convectivo):

Entrada en x : (v x )vx (x ) y z

Salida en x + x : (v x )vx (x + x ) y z

Entrada en y: (v x )vy (y) x z

Salida en y + y : (v x )vy (y + y) x zEntrada en z: (v x )vz (z ) x y

Salida en z + z : (v x )vz (z + z ) x y



8/17



cantidad demov.

=


mov.

rapidez desalida de

cantidad demov.


Cantidad de movimiento debida a la viscosidad (Mov.viscoso):

Entrada en x : xx (x ) y z

Salida en x + x : xx (x + x ) y z

Entrada en y: yx (y) x z

Salida en y + y : yx (y + y) x zEntrada en z: zx (z ) x y

Salida en z + z : zx (z + z ) x y



9/17



cantidad demov.

=


mov.

rapidez desalida de

cantidad demov.


Fuerzas superciales:Fuerza supercial debida a la presi on en direcci onx : ( p(x ) p(x + x )) y zFuerza supercial debida a la presi on en direcci ony : ( p(y) p(y + y)) x z

Fuerza supercial debida a la presi on en direcci onz : ( p(z ) p(z + z )) x y



10/17



cantidad demov.

=


mov.

rapidez desalida de

cantidad demov.


Fuerzas superciales:Fuerza supercial debida a la presi on en direcci onx : ( p(x ) p(x + x )) y zFuerza supercial debida a la presi on en direcci ony : ( p(y) p(y + y)) x z

Fuerza supercial debida a la presi on en direcci onz : ( p(z ) p(z + z )) x y

Fuerzas de cuerpo:En direcci on x : F bx x y z

En direcci on y: F by x y z

En direcci on z : F bz x y z


f
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://goforward/http://find/http://goback/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


11/17


Haciendo el balance para la componente x :

x y z (v x )

t= ( v x vx (x ) v x vx (x + x )) y z

+ ( v x vy (y) v x vy (y + y)) x z+ ( v x vz (z ) v x vz (z + z )) x y+ ( xx (x ) xx (x + x )) y z

+ ( yx (y) yx (y + y)) x z+ ( zx (z ) zx (z + z )) x y+ ( p(x ) p(x + x )) y z + F bx x y z

de donde se obtiene

(v x )t =

(v x vx )x +

(v x vy )y +

(v x vz )z

xxx +

yxy +

zxz

+ px

+ F bx


A li i dif i l d j E i d C h


12/17


En direccion y:

(v y )t

= (v y vx )x

+ (v y vy )y

+ (v y vz )z

xyx

+ yyy

+ zyz

+ py

+ F by

En direccion z:

(v z )t

= (v z vx )

x+

(v z vy )y

+ (v z vz )

z

xzx

+ yz

y+

zzz

+ pz

+ F bz

Finalmente en notaci on vectorial:

(v )t

= vv p + F b


A li i dif i l d j E i d N i S k


13/17

Analisis diferencial de ujo: Ecuaciones de Navier-Stokes

Trabajando con la componente x del termino v v y suponiendo que v = 0

obtenemos:

(

v v

)x = vxv xx + vx

v xx + vx

v yy + vy

v xy + vx

v zz + vz

v xz

= vxv xx

+ vyv xy

+ vzv xz

+ vxv xx

+ vy

y+

vzz

= vxv xx

+ vyv xy

+ vzv xz


A li i dif i l d j E i d N i St k


14/17


Utilizando la ley general de viscosidad de Newton:

Esfuerzos normales:

xx = 2v xx

+ 23

v

yy = 2v yy

+ 23

v

zz = 2v zz +

23 v


A li i dif i l d j E i d N i St k


15/17



Esfuerzos normales:

xx = 2v xx

+ 23

v

yy = 2v yy

+ 23

v

zz = 2v zz +

23 v

Esfuerzos cortantes: xy = yx =

v yx

+ vx

y

yz = zx = v zx

+ vx

z

yz = zy = v zy +

vyz


Analisis diferencial de jo: Ec aciones de Na ier Stokes
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://goforward/http://find/http://goback/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


16/17



Esfuerzos normales:

xx = 2v xx

+ 23

v

yy = 2v yy

+ 23

v

zz = 2v zz +

23 v

Esfuerzos cortantes: xy = yx =

v yx

+ vx

y

yz = zx = v zx

+ vx

z

yz = zy = v zy +

vyz

La componente x de es, ( )x :

xxx

+ yx

y+

zxz

= x

2v xx

y

v yx

+ v xy

z

v zx

+ v xz

= 2 vxx 2

+ 2 vx

y 2 +

2 vxz 2

+ x

v xx

+ vy

y+

v zz

v =0


Analisis diferencial de ujo: Ecuaciones de Navier Stokes
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://find/http://goback/http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


17/17


por lo tanto el balance para la componente x queda:

vx

t+ vx

v x

x+ vy

v x

y+ vz

v x

z =

2 vx

x 2 +

2 vx

y 2 +

2 vx

x 2

p

x+ F bx

o bien

Dv xDt

= 2 vxx 2

+ 2 vx

y 2 +

2 vxx 2

px

+ F bx

Para la componente y:

Dv yDt

= 2 vyx 2

+ 2 vy

y 2 +

2 vyx 2

py

+ F by

Para la componente z :

Dv zDt =

2 vzx 2 +

2 vzy 2 +

2 vzx 2

pz + F bz

D v

Dt

masa acel.= 2 v

Fuerzas viscosas p

Fuerzas de presi on+ F

Fuerzas de cuerpoDr. Edgar Resendiz Transferencia de Momento o Cantidad de movimiento

Documents

Navier Stokes ecuation