Apontamentos.VibracoesMecanicas.jdr

Apontamentos deVibrações de Sistemas Mecânicos

Edição 2011

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José Dias Rodrigues

Faculdade de Engenharia da U.PORTODepartamento de Engenharia Mecânica

Apontamentos deVibrações de Sistemas Mecânicos

José Dias Rodriguese-mail: [email protected]

Faculdade de Engenharia da U.PORTODepartamento de Engenharia Mecânica

Janeiro de 2011

LATEXApontamentos de Vibrações de Sistemas MecânicosRef.: ApontamentosVSMLaTeX.2011

j. dias rodriguesEdição 2011

U.PORTO-FEUP-DEMec

Prefácio 2011

O presente documento, Edição 2011, é uma compilação de textos paraapoio ao ensino/aprendizagem de uma disciplina de base de Vibraçõesde Sistemas Mecânicos ao nível dum Mestrado Integrado, como a actualdisciplina de Vibrações e Ruído do Mestrado Integrado em EngenhariaMecânica da Faculdade de Engenharia da U.PORTO. Os objectivos destedocumento são, essencialmente, pedagógicos: procura-se colocar à dis-posição dos alunos um conjunto de apontamentos apresentando de umaforma completa e rigorosa as bases teóricas e as metodologias de análisedas Vibrações Mecânicas de sistemas discretos e contínuos.

A presente edição segue o estilo das edições anteriores, verificando-seas principais modificações ao nível da inclusão de uma lista de símbo-los, da inclusão de novas secções nos capítulos 2 e 3, e ainda da inclusãode quatro anexos. Como modificações menores, procedeu-se à correcçãode alguns erros de índole editorial, à melhoria da qualidade de algumasfiguras e a alterações pontuais que se julgaram pertinentes para uma mel-hor compreensão dos assuntos. Como as anteriores, esta Edição 2011 estátambém disponível em versão electrónica na página da “internet” da dis-ciplina de Vibrações e Ruído (EM0043) 2010-11.

Como ferramenta de estudo, o presente documento deve ser acompa-nhado dos exercícios propostos para as aulas teórico-práticas, os quaisconstituem aplicações dos princípios, conceitos, métodos e técnicas aquiapresentados. Análises paramétricas e representações gráficas são suges-tões recorrentes nos exercícios propostos através da utilização do softwareMATLAB largamente utilizado na solução de uma grande variedade de

i

ii Capítulo 0. Prefácio 2011

problemas científicos e de engenharia. No entanto, os alunos são incenti-vados a procurar outras fontes de informação e bibliografia alternativas demodo a aprofundar temas de eventual interesse em particular e/ou con-tactar com outras perspectivas de apresentação dos conceitos e das apli-cações.

Com o objectivo de melhorar a qualidade científica, pedagógica e edi-torial do presente documento, o autor agradece antecipadamente todos oscomentários e sugestões nesse sentido. Aos colegas e alunos que apresen-taram comentários e reflexões sobre a edição anterior, aqui se exprime oagradecimento do autor.

Porto e FEUP, Janeiro de 2011José Dias [email protected]

Conteúdo

Prefácio 2011 i

Lista de Símbolos xi

I Introdução 1

1 Introdução 31.1 Vibrações mecânicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Disciplina de vibrações mecânicas . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Utilização de software computacional . . . . . . . . . . . . . 7

2 Fundamentos básicos 112.1 Vibração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Sistema vibratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Componentes do sistema vibratório discreto . . . . . 132.3 Grau de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Classificação da vibração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Classificação do sistema mecânico . . . . . . . . . . . . . . . 202.6 Classificação da excitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7 Procedimento em análise de vibrações . . . . . . . . . . . . . 222.8 Modelo matemático: equação de movimento . . . . . . . . . 24

2.8.1 2a Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8.2 Princípio d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.8.3 Princípio da conservação da energia . . . . . . . . . . 282.8.4 Princípio dos deslocamentos virtuais . . . . . . . . . 30

2.9 Equação diferencial de movimento . . . . . . . . . . . . . . . 302.10 Linearização da equação de movimento . . . . . . . . . . . . 32

iii

iv CONTEÚDO

II Sistema com 1 grau de liberdade 37

3 Sistema com 1 gdl: Regime livre 393.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Equação de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Amortecimento crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Razão de amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5 Raízes da equação característica . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.6 Sistema não-amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6.1 Resposta natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.7 Sistema sub-amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7.1 Resposta natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.8 Sistema criticamente amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.8.1 Resposta natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.9 Sistema sobre-amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.9.1 Resposta natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.10 Decremento logarítmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.10.1 Resposta separada por um período . . . . . . . . . . . 553.10.2 Resposta separada por um número inteiro de períodos 573.10.3 Representação semi-logarítmica . . . . . . . . . . . . 58

3.11 Método da energia de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.12 Sistemas com grau de liberdade angular . . . . . . . . . . . . 63

4 Sistema com 1 gdl: Regime harmónico 654.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Equação de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3 Resposta transitória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4 Resposta estacionária ou permanente . . . . . . . . . . . . . 68

4.4.1 Factor de amplificação dinâmica . . . . . . . . . . . . 704.5 Resposta total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.6 Características da resposta permanente . . . . . . . . . . . . 71

4.6.1 Factor de amplificação dinâmica . . . . . . . . . . . . 724.6.2 Ângulo de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.6.3 Resposta para β = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.6.4 Representação vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7 Transmissibilidade de força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.8 Sistema não amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.8.1 Equação de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.8.2 Resposta transitória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.8.3 Resposta estacionária ou permanente . . . . . . . . . 834.8.4 Resposta total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

CONTEÚDO v

4.8.5 Batimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.9 Vibração provocada por um desequilíbrio em rotação . . . . 894.10 Movimento harmónico da base . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.10.1 Equação de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.10.2 Resposta estacionária ou permanente . . . . . . . . . 944.10.3 Transmissibilidade de deslocamento . . . . . . . . . . 944.10.4 Movimento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.11 Regime harmónico e exponencial complexa . . . . . . . . . . 984.11.1 Resposta permanente ou estacionária . . . . . . . . . 99

4.12 Função de resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . . . 1014.12.1 Função receptância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.12.2 Função mobilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.12.3 Função acelerância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.12.4 Assimptotas da função de resposta em frequência . . 108

5 Sistema com 1 gdl: Regime periódico 1115.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2 Equação de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3 Resposta estacionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6 Sistema com 1 gdl: Regime transiente 1276.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.2 Resposta a uma força impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.3 Resposta a uma solicitação transiente . . . . . . . . . . . . . . 131

6.3.1 Integral de Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.3.2 Resposta ao transiente degrau . . . . . . . . . . . . . 1336.3.3 Resposta ao transiente rectangular . . . . . . . . . . . 135

6.4 Movimento transiente da base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.5 Espectro de resposta ao choque . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.5.1 Espectro de choque rectangular . . . . . . . . . . . . . 1416.5.2 Espectro de choque meia onda seno . . . . . . . . . . 145

6.6 Integração numérica da equação de movimento . . . . . . . 1476.6.1 Hipóteses da integração numérica . . . . . . . . . . . 1476.6.2 Método das diferenças finitas (centradas) . . . . . . . 1486.6.3 Algoritmo do método das diferenças finitas . . . . . . 153

III Sistema com 2 graus de liberdade 155

7 Sistema com 2 gdl: Equações de movimento 1577.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

vi CONTEÚDO

7.2 Equações de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.2.1 Notação matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.2.2 Coordenadas generalizadas e acoplamento . . . . . . 161

7.3 Equações de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.3.1 Função de dissipação de Rayleigh . . . . . . . . . . . 165

8 Sistema com 2 gdl: Regime livre 1698.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.1.1 Notação matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.2 Equações de movimento livre ou natural . . . . . . . . . . . 171

8.2.1 Problema característico . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.2.2 Modos naturais de vibração . . . . . . . . . . . . . . . 1758.2.3 Resposta livre ou natural . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.2.4 Normalização dos vectores modais . . . . . . . . . . . 1798.2.5 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.2.6 Teorema da expansão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

8.3 Sistemas semi-definidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828.4 Quociente de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

9 Sistema com 2 gdl: Regime forçado 1939.1 Equações de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1939.2 Resposta a uma solicitação harmónica . . . . . . . . . . . . . 1959.3 Regime forçado não amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9.3.1 Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . 1999.3.2 Coordenadas naturais ou modais . . . . . . . . . . . . 1999.3.3 Resposta nas coordenadas modais . . . . . . . . . . . 2029.3.4 Resposta nas coordenadas generalizadas . . . . . . . 203

9.4 Regime forçado amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.4.1 Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . 2039.4.2 Coordenadas naturais ou modais . . . . . . . . . . . . 2049.4.3 Equações modais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.4.4 Resposta nas coordenadas generalizadas . . . . . . . 206

IV Sistema com n graus de liberdade 207

10 Sistema com n gdl: Equações de movimento 20910.1 Equações de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20910.2 Coeficientes de influência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

10.2.1 Coeficientes de influência de rigidez . . . . . . . . . . 21210.2.2 Coeficientes de influência de flexibilidade . . . . . . . 216

CONTEÚDO vii

10.2.3 Coeficientes de rigidez e de flexibilidade . . . . . . . 21910.2.4 Coeficientes de influência de inércia . . . . . . . . . . 221

10.3 Energia cinética e energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . 22610.4 Coordenadas generalizadas e forças generalizadas . . . . . . 22910.5 Princípio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23110.6 Equações de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

10.6.1 Função de dissipação de Rayleigh . . . . . . . . . . . 23410.7 Equações de movimento na forma matricial . . . . . . . . . . 236

11 Sistema com n gdl: Regime livre 23911.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23911.2 Equações de movimento livre ou natural . . . . . . . . . . . 24211.3 Problema característico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24311.4 Modos naturais de vibração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24411.5 Resposta livre ou natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24611.6 Normalização dos vectores modais . . . . . . . . . . . . . . . 24711.7 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

11.7.1 Teorema da expansão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25011.8 Sistemas semi-definidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25011.9 Quociente de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

12 Sistema com n gdl: Regime forçado 25912.1 Equações de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25912.2 Resposta a uma solicitação harmónica . . . . . . . . . . . . . 26112.3 Regime forçado não amortecido-Análise modal . . . . . . . . 266

12.3.1 Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . 26612.3.2 Coordenadas naturais ou modais . . . . . . . . . . . . 26712.3.3 Condições iniciais na base modal . . . . . . . . . . . . 26912.3.4 Resposta nas coordenadas modais . . . . . . . . . . . 27012.3.5 Resposta nas coordenadas generalizadas . . . . . . . 271

12.4 Regime forçado amortecido - Análise modal . . . . . . . . . 27212.4.1 Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . 27212.4.2 Coordenadas naturais ou modais . . . . . . . . . . . . 27212.4.3 Amortecimento proporcional . . . . . . . . . . . . . . 27312.4.4 Equações modais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27312.4.5 Resposta na base modal . . . . . . . . . . . . . . . . . 27312.4.6 Resposta nas coordenadas generalizadas . . . . . . . 274

12.5 Resposta por sobreposição modal truncada . . . . . . . . . . 27412.5.1 Equações de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 27412.5.2 Transformação de coordenadas . . . . . . . . . . . . . 27512.5.3 Equações modais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

viii CONTEÚDO

12.5.4 Resposta na base modal . . . . . . . . . . . . . . . . . 27612.5.5 Resposta na base generalizada . . . . . . . . . . . . . 276

13 Sistema com n gdl: Integração directa 27913.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27913.2 Integração numérica directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28013.3 Método das diferenças finitas (centradas) . . . . . . . . . . . 280

13.3.1 Caracterização do método . . . . . . . . . . . . . . . . 28213.3.2 Algoritmo do método das diferenças finitas . . . . . . 285

13.4 Método de Wilson-θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28613.4.1 Caracterização do método . . . . . . . . . . . . . . . . 28813.4.2 Algoritmo do método de Wilson-θ . . . . . . . . . . . 289

13.5 Método de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29013.5.1 Caracterização do método . . . . . . . . . . . . . . . . 29113.5.2 Algoritmo do método de Newmark . . . . . . . . . . 292

V Sistemas contínuos 293

14 Vibração transversal de cordas 29514.1 Equação de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29514.2 Regime livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

14.2.1 Equação de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 29714.2.2 Resposta livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

14.3 Corda com as extremidades fixas . . . . . . . . . . . . . . . . 29914.4 Ortogonalidade das formas naturais . . . . . . . . . . . . . . 304

15 Vibração longitudinal de barras 30715.1 Equação de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30715.2 Regime livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309


15.3 Problema característico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31215.3.1 Barra de secção constante . . . . . . . . . . . . . . . . 31215.3.2 Ortogonalidade das formas naturais . . . . . . . . . . 313

15.4 Barra com as extremidades fixas . . . . . . . . . . . . . . . . 31515.5 Barra com as extremidades livres . . . . . . . . . . . . . . . . 31815.6 Frequências e formas naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32215.7 Equação de movimento-Princípio de Hamilton . . . . . . . . 324

CONTEÚDO ix

16 Vibração de torção de veios 32916.1 Equação de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32916.2 Regime livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331


16.3 Problema característico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33416.3.1 Veio de secção constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 33416.3.2 Ortogonalidade das formas naturais . . . . . . . . . . 335

16.4 Veio com as extremidades fixas . . . . . . . . . . . . . . . . . 33716.5 Veio com as extremidades livres . . . . . . . . . . . . . . . . . 34016.6 Frequências e formas naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34416.7 Equação de movimento-Princípio de Hamilton . . . . . . . . 346

17 Vibração transversal de vigas: Regime livre 35117.1 Equação de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

17.1.1 Viga de secção constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 35317.2 Regime livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354


17.3 Problema característico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35617.3.1 Viga de secção constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

17.4 Ortogonalidade das formas naturais . . . . . . . . . . . . . . 35817.5 Viga simplesmente apoiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

17.5.1 Frequências naturais de vibração . . . . . . . . . . . . 36317.5.2 Formas naturais de vibração . . . . . . . . . . . . . . 36317.5.3 Resposta livre ou natural . . . . . . . . . . . . . . . . 366

17.6 Frequências e formas naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36717.7 Equação de movimento-Princípio de Hamilton . . . . . . . . 370

18 Vibração transversal de vigas: Regime forçado 37918.1 Equação de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37918.2 Resposta forçada não-amortecida . . . . . . . . . . . . . . . . 380

18.2.1 Resposta a uma força harmónica . . . . . . . . . . . . 38518.2.2 Resposta a uma força harmónica concentrada . . . . 38518.2.3 Resposta a uma força transiente . . . . . . . . . . . . 38618.2.4 Funções de resposta em frequência . . . . . . . . . . . 38818.2.5 Resposta a uma força harmónica . . . . . . . . . . . . 391

19 Sistemas contínuos: Métodos aproximados 40119.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40119.2 Quociente de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

x CONTEÚDO

19.3 Método da Energia de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . 40619.3.1 Análise energética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40719.3.2 Formulação fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

19.4 Método de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41519.5 Método dos modos assumidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

19.5.1 Frequências e formas naturais . . . . . . . . . . . . . . 43419.5.2 Resposta forçada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

VI Controlo e medição de vibrações 441

20 Controlo de vibrações 44320.1 Isolamento de vibrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

20.1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44320.1.2 Transmissibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

20.2 Absorsor de vibrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44920.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44920.2.2 Equação de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 45120.2.3 Resposta estacionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45220.2.4 Frequências naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

21 Transdutores de vibração 45921.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45921.2 Modelo dos transdutores de vibração . . . . . . . . . . . . . 46021.3 Vibrómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46221.4 Acelerómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

21.4.1 Acelerómetro piezoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . 46521.4.2 Distorsão de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

VII Anexos 475

Anexo A: Movimento harmónico 477

Anexo B: Série de Fourier 489

Anexo C: Energia de deformação 497

Anexo D: Rigidez de vigas, veios e barras 499

Lista de Símbolos

Variáveis (latinas)

A (ω) fasor da aceleração

A, A1, A2, A3, A4, A′2 constantes

A (ω) função acelerância

aij coeficiente de flexibilidade

Ap coeficiente de Fourier

[a] matriz de flexibilidade

B, B1, B2 constantes

Bp coeficiente de Fourier

c constante de amortecimentoviscoso, velocidade de propa-gação

C, C1, C2 constantes

cc constante de amortecimentocrítico

ceq constante de amortecimentoequivalente

cij coeficiente de amortecimento

ci constantes

Cp coeficiente de Fourier

[c] matriz de amortecimento

D constante

E módulo de Young

E(t) energia mecânica instantânea

F função de dissipação deRayleigh

F impulso

f impulso unitário

F amplitude de força

f frequência, /Hz

f(t) solicitação dinâmica

f(x, t) solicitação dinâmica porunidade de comprimento

fc(t) força de amortecimento

fj(t) força de inércia

fk(t) força elástica

Fp coeficientes de Fourier

FT amplitude da força transmi-tida

f(t) vector solicitação

G módulo de elasticidadetransversal (corte)

g aceleração da gravidade

g(t) função harmónica do tempo

h(t) função de resposta impulsiva

I momento de 2a ordem

Ip momento polar

xi

xii Lista de Símbolos

dIc matriz identidade

J momento de inércia

Jp momento polar de inércia

k constante de rigidez elástica

kt constante de rigidez torsional

keq constante de rigidez equiva-lente

[k] matriz de rigidez

KO momento dinâmico

kij coeficiente de rigidez

` comprimento

L função lagrangeana

m massa

M(x, t) momento flector, momentotorsor

meq massa equivalente

[m] matriz de massa

mij coeficiente de massa

N, n inteiro

Ni força modal

p inteiro

P (x, t) esforço axial

Q quantidade de aceleração

Q(x, t) esforço transverso

Qi força generalizada

qi coordenada generalizada

R(·) quociente de Rayleigh

T energia cinética, período, ten-são

t variável tempo

T (x) tensão

T (t) energia cinética instantânea

ti instante genérico

Tn período natural

TR transmissibilidade de força

TRa transmissibilidade de deslo-camento absoluta

TRr transmissibilidade de deslo-camento relativa

U(x) amplitude de deslocamentoaxial

u(x, t) deslocamento axial

Un(x) forma natural de vibração(axial)

urs componente r da forma natu-ral s

[U ] matriz modal

u vector modal

up vector modal de ordem p

V (ω) fasor da velocidade

V energia potencial

V (x) amplitude de deslocamentotransversal

v(x, t) deslocamento transversal

Lista de Símbolos xiii

V (t) energia potencial instantânea

Vn(x) forma natural de vibração(flexão)

W trabalho

We trabalho das forças externas

Wi trabalho das forças internas

Wj trabalho das forças de inércia

Wnc trabalho das forças não con-servativas

X (ω) fasor do deslocamento

xo velocidade inicial

x variável espacial

X (ω) amplitude de deslocamento,resposta

x (t) deslocamento, resposta

xo deslocamento inicial

Xs deslocamento estático

xh(t) resposta transitória

Xp amplitude do harmónico deordem p

xp(t), x(t) resposta estacionária oupermanente

x(t) vector de acelerações

x(t) vector de velocidades

x(t) vector de deslocamentos

Y amplitude do deslocamentoimposto

y(t) deslocamento imposto

Y (ω) função mobilidade

[Z (ω)] matriz impedância

Z(ω) amplitude do deslocamentorelativo

z(t) deslocamento relativo

zrs (ω) função impedância

Variáveis (gregas)

α constante

α (ω) função receptância

β razão de frequências, con-stante

γ desfasamento

δ decremento logarítmico

∆t intervalo de tempo

∆ (ω2) determinante característico

ε deformação normal

ηi coordenada modal ou natural

Θ(x) amplitude de deslocamentoangular

θ(x, t) deslocamento angular

Θn(x) forma natural de vibração(torção)

λ constante

µ factor de amplificaçãodinâmica

µ(x) massa por unidade de com-primento

xiv Lista de Símbolos

ξ razão de amortecimento

ρ massa volúmica

σ tensão normal

φi(x) aproximação da forma natu-ral

φ ângulo de fase, desfasamento

Φ(x) função de aproximação

φp ângulo de fase do harmónicode ordem p

φrs componente r da forma natu-ral normalizada s

[Φ] matriz modal normalizada

φ vector modal normalizado

φp vector modal de ordem p nor-malizado

ψ desfasamento

ψi(x) função de aproximação

ψp ângulo de fase do harmónicode ordem p

ω frequência circular, /rad·s−1

ωd frequência natural amorte-cida

ωi frequências naturais

ωn frequência natural nãoamortecida

ωr frequência de ressonância

dΩc matriz diagonal das frequên-cias naturais

Operadores matemáticos

¨(•), ∂2 (•) /∂t2 segunda derivadaem ordem ao tempo, aceler-ação

δ(t) função de Dirac

δ (•) operador variacional

δij símbolo de Kronecker

˙(•), ∂ (•) /∂t primeira derivada emordem ao tempo, velocidade

[•]T matriz transposta

•T vector transposto

j =√−1 operador complexo

Im [•] parte imaginária

Re [•] parte real

L operador diferencial

Parte I

Introdução

1

CAPÍTULO 1

Introdução

‘Vibration: The variation with time of the magnitude of a quantitywhich is descriptive of the motion or position of a mechanical system,when the magnitude is alternately greater and smaller than some av-erage value or reference.’Definição ISO 2041-1975

1.1 Vibrações mecânicas

Muitas actividades humanas envolvem fenómenos vibratórios sob dife-rentes formas (audição, locução, visão, respiração, locomoção). A vibraçãofaz parte da vida de todos os dias e cada um tem uma ideia da noçãode vibração. Assim, a vibração pode ser útil (relógio, escova de dentes),agradável (instrumento de música, massagem), desagradável (ruído, ‘sacu-didela’ num meio de transporte), fatigante (martelo de percussão, moto-serra).

Restringindo-nos à área da Engenharia Mecânica, o funcionamento demáquinas é sempre acompanhado de vibrações. Na prática, é muito difícilevitar as vibrações. As vibrações mecânicas surgem em resultado de so-

3

4 Capítulo 1. Introdução

licitações dinâmicas aplicadas a máquinas ou estruturas em geral, ou atémesmo ao homem e/ou ao ambiente, directa ou indirectamente.

Num ambiente industrial existem numerosas fontes de vibrações: pro-cessos de impacto, máquinas rotativas ou alternativas com desequilíbrios,forças não equilibradas, elementos animados de movimento alternativo,atrito e muitas outras. Frequentemente, vibrações de amplitude insignifi-cante podem excitar as frequências de ressonância de certos componentesessenciais e tornarem-se amplificadas em fontes de vibração e de ruídomais importantes.

A presença de vibrações conduz, na maioria dos casos, a efeitos inde-sejáveis tais como amplitudes de movimento que excedem as previstasno projecto e que podem afectar o bom desempenho do equipamento,atingirem-se frequências em que a máquina ou estrutura entre em res-sonância, dando origem a elevadas deformações ou tensões que possamlevar à sua rotura, situações de instabilidade dinâmica que podem inclu-sivamente provocar colapso, forças exageradas transmitidas às fundações,transmissão de vibrações a outros equipamentos próximos, desgaste pre-maturo de componentes, manutenção frequente e onerosa dos equipamen-tos, fadiga de componentes e desconforto humano.

A influência dos fenómenos vibratórios no comportamento em serviçodas máquinas e estruturas tem constituído uma preocupação crescentepara o engenheiro. Por um lado, estes fenómenos são muitas vezes a causade avarias, quer se trate de rotura de componentes quer de defeitos dosprodutos manufacturados e, por outro lado, pretende-se cada vez maisque as estruturas mecânicas sejam mais ligeiras e resistam a ambientes vi-bratórios severos. As tensões flutuantes causadas pela vibração podemcausar roturas por fadiga e movimentos de sismos e forças do vento po-dem excitar as estruturas para elevadas amplitudes de vibração que po-dem danificar-se severamente. Noutros casos, as vibrações transportamcom elas uma energia acusticamente desagradável. Nestas situações, avibração é indesejável e necessita ser eliminada ou reduzida.

Noutras situações, é na vibração que assenta o princípio de funciona-mento dos equipamentos e é deliberadamente introduzida nos sistemas.Por exemplo, produzem-se voluntariamente vibrações em transportado-res, compactadores, banhos ultrasónicos, martelos pneumáticos, mistu-radoras de pão, equipamentos de massagem e instrumentos musicais. Asmáquinas de ensaios de vibrações são largamente utilizadas para comu-nicar um nível de energia vibratória controlada aos produtos ou monta-gens para os quais se pretende um estudo do comportamento funcionalou o controlo das capacidades de resistência às vibrações ambientais.

Desde que se começaram a construir máquinas, o engenheiro interes-

1.1 Vibrações mecânicas 5

sou-se pelos problemas de vibrações e a necessidade de efectuar análises emedições precisas tornou-se crescente. No entanto, é na sociedade indus-trial moderna, onde a preocupação com os aspectos técnicos e económi-cos, que se traduz no binómio qualidade-custo, que se revela a neces-sidade de inovar e optimizar, o que, aliado a certos factores, tais comoregulamentação, acções de grupos de consumidores e competitividade,pressionam os industriais a manufacturar produtos de melhor qualidadeque produzam menos vibrações e menos ruído e que sejam mais ligeiros.Estes requisitos obrigam a encarar as soluções de engenharia de um modomais refinado, conduzindo a que o projecto de sistemas e estruturas sejatratado de uma forma científica e a um nível tão complexo quanto a uti-lização dos meios teóricos e experimentais disponíveis o possibilitem. Emparticular, de modo a resolver efectivamente problemas de vibrações, oengenheiro necessita de modelos matemáticos e de técnicas de análise ede cálculo que lhe permitam conhecer as características vibratórias de umsistema mecânico e simular o seu comportamento dinâmico a excitaçõesdiversas. A prevenção e/ou o controlo das vibrações de máquinas e estru-turas é, pois, uma importante consideração do projecto. O engenheiro nãosó deverá ser capaz de compreender fisicamente as causas que provocamo problema a estudar, como deverá, de uma forma simples ou mais com-plexa, construir o modelo matemático adequado, a fim de poder propor assoluções mais indicadas. Este procedimento aplica-se preferencialmentena fase inicial do projecto, mas também numa fase posterior de desen-volvimento do mesmo.

É também conhecida a importância que o conceito de fiabilidade temvindo a adquirir nos últimos tempos. As indústrias aeronáutica e aeroes-pacial são dois exemplos em que se reconhece a relevância de estudosextremamente cuidados e rigorosos, dadas as questões de segurança en-volvidas, em que o problema das vibrações é de importância relevante.Muitos outros exemplos podem ser dados, desde a simples máquina delavar roupa até às suspensões de um automóvel, desde a estrutura de umaponte até uma plataforma de petróleo. Apesar de alguns tipos de estru-turas exigirem um tratamento mais específico e elaborado do que outras,antes de se avançar para o estudo de qualquer uma delas, é necessário terbem assentes os princípios básicos e compreender o melhor possível osconceitos fundamentais envolvidos.

O objectivo fundamental do estudo das vibrações mecânicas é, pois, adeterminação do comportamento das máquinas e estruturas quando su-jeitas a solicitações dinâmicas, a fim de se alcançar uma solução mais a-dequada e rigorosa para os problemas previstos ou que entretanto surjamdurante o ciclo de vida do equipamento. No entanto, quando ao engen-


heiro se coloca um problema de vibrações é necessário, para lhe encontraruma solução, bem compreender o fenómeno que o produz e, em conse-quência, saber a que nível intervir para o resolver.

Na origem das vibrações podem encontrar-se forças dinâmicas criadaspelo próprio funcionamento das máquinas e que dependem do estado(condição) mecânico das máquinas e dos parâmetros de funcionamento(temperatura, velocidade de rotação). Por isso, as vibrações de máquinassão uma imagem dos seus esforços internos e permitem ao engenheirode manutenção vigiar o seu estado mecânico e, em caso de avaria, efec-tuar um diagnóstico. No entanto, impõe-se compreender o fenómeno vi-bratório para definir as grandezas de diagnóstico e não há um bom diag-nóstico sem um bom conhecimento das avarias e de como elas se manifes-tam em termos de vibrações.

Também o estudo dos fenómenos acústicos, e do ruído em particular,deve fazer parte da formação básica do engenheiro mecânico. O som é asensação auditiva resultante de variações de pressão do ar, que tem sem-pre origem numa qualquer fonte de vibração, pelo que os fenómenos vi-bratório e acústico estão interligados. A acústica é uma ciência multidisci-plinar que pode interessar aos engenheiros em geral, aos arquitectos, aosfísicos, aos músicos e até mesmo aos médicos. Na área do ambiente, o es-tudo dos fenómenos acústicos tem conhecido um interesse cada vez maisacrescido.

Ao engenheiro mecânico, ligado ao meio industrial, interessam sobre-tudo os aspectos relacionados com o ruído produzido pelas máquinas ecom o ruído ambiente nas instalações fabris. Por esta razão se associa nor-malmente o engenheiro mecânico aos problemas de ruído e não de acús-tica, que tem um sentido mais lato, uma vez que se entende comummenteruído como som indesejável.

1.2 Disciplina de vibrações mecânicas

A indústria moderna e as escolas superiores de engenharia têm actual-mente uma percepção muito clara da importância e da incidência que to-das as questões relacionadas com os fenómenos vibratórios têm nas maisvariadas aplicações, desde a manutenção e diagnóstico de avarias, a avali-ação de níveis de conforto em transportes e locais de trabalho, melhora-mento das prestações de maquinaria de precisão, isolamento e controlopassivo e activo de vibrações, estruturas sujeitas a vibrações induzidas poracções naturais (vento e sismos), máquinas com rotores como alternadorese turbinas, até uma maior precisão nos cálculos conduzindo a projectos

1.3 Utilização de software computacional 7

mais correctos e adequados na previsão do comportamento dinâmico demáquinas e estruturas, como na indústria automóvel, de transportes públi-cos rodoviários e ferroviários, naval e aeronáutica.

São, pois, variadas as áreas de intervenção das vibrações mecânicas e éde banda larga o espectro de aplicações cobertas no âmbito da EngenhariaMecânica, o que justifica plenamente o ensino das Vibrações Mecânicas,distribuído por uma ou várias disciplinas, em qualquer Licenciatura emEngenharia Mecânica e, em particular, no Mestrado Integrado em Engen-haria Mecânica da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.

Para além do interesse intrínseco e específico do conteúdo científicoduma disciplina de Vibrações Mecânicas, são também de referir as suasvalências no plano didáctico. Com efeito, uma disciplina de VibraçõesMecânicas é uma disciplina de síntese, isto é, integradora de conheci-mentos das áreas da Mecânica Aplicada, da Mecânica dos Sólidos e daMecânica das Estruturas. As Vibrações Mecânicas, tendo por objecto oestudo do comportamento dinâmico de sistemas (rígidos e flexíveis), inte-gra os conhecimentos destas áreas científicas, formando uma construçãode conhecimento abrangente e integrado.

1.3 Utilização de software computacional

A prática da engenharia tem-se modificado ao longo dos últimos anosdevido, em grande parte, às potencialidades que os computadores e osoftware colocaram à disposição do engenheiro. Em particular, o ‘soft-ware’ computacional, como o MATLAB, o MAPPLE e o MATHCAD, consti-tui hoje uma ferramenta que tem vindo a alterar o modo como o engen-heiro manipula o cálculo, quiçá como a régua de cálculo e a calculadorao fizeram outrora. Este tipo de ‘software’ é hoje em dia utilizado em al-gumas escolas de engenharia como a ferramenta de cálculo preferencialao longo do plano de estudos. A popularidade e a divulgação deste tipode ‘software’ é devida à sua interface com o utilizador que proporcionaum ambiente interactivo "amigável"que inclui capacidades alargadas decomputação numérica, simbólica e visualização gráfica.

A utilização destas ferramentas de elevado potencial está, com vanta-gens, a ser introduzida no apoio ao ensino da Engenharia.

Numa disciplina como Vibrações de Sistemas Mecânicos, cujo objec-tivo de ensino está focado para a compreensão conceptual dos assuntos epara a resolução de problemas, a utilização de ‘software’ computacionalcomo uma ferramenta de cálculo numérico e/ou simbólico e de represen-tação gráfica, constitui um precioso auxiliar para atingir este objectivo.


Com efeito, o aluno ganha ou atinge uma maior profundidade nos as-suntos pela resolução de um problema para todo e qualquer ângulo oudimensão e, principalmente, representando graficamente a solução paravisualizar os efeitos das alterações nos diversos parâmetros. Com a utiliza-ção de ‘software’ computacional, o aluno é livre de explorar os parâmetrosde um problema, exploração esta que, em boa verdade, constitui a basedo projecto em Engenharia, facilitando-se assim a transição dos princípiosfundamentais para conceitos de projecto.

A resolução de um problema de Vibrações de Sistemas Mecânicos en-volve quatro etapas fundamentais:

• a modelização do sistema;

• a formulação das equações de movimento (equações diferenciais);

• a resolução das equações diferenciais para determinar o movimentodo sistema e eventuais forças de ligação;

• a análise crítica de resultados.

A resolução tradicional baseada no conjunto papel-lápis responde deforma adequada nas duas primeiras etapas, mas torna-se morosa ou mes-mo proibitiva na resolução das equações de movimento, em particularpara sistemas com mais de 2 graus de liberdade que necessitam do recursoao formalismo matricial. Este aspecto impede de compreender completa-mente o movimento do sistema, a verdadeira beleza da dinâmica ("the truebeauty of dynamics").

No sentido de melhorar este aspecto e avançar para uma prática mo-derna, desde o ano lectivo de 1999-2000 tem vindo a ser utilizado o ‘soft-ware’ computacional MATLAB nas aulas teórico-práticas. Esta experiên-cia tem revelado uma excelente adesão por parte dos alunos. Com efeito,a utilização desta ferramenta tem permitido aos alunos analisar sistemascom vários graus de liberdade e, não menos importante, proceder de umaforma relativamente simples à análise de influência de determinados parâ-metros na caracterização do movimento com o precioso auxiliar que cons-titui a visualização gráfica e até a animação.

A utilização e o desenvolvimento de aplicações em MATLAB no âm-bito da disciplina de Vibrações de Sistemas Mecânicos permite contem-plar, sem abdicar da compreensão conceptual dos assuntos que constituio grande objectivo da disciplina, entre outros, os seguintes aspectos:

• exploração da interacção entre os parâmetros mecânicos, geométri-cos e cinemáticos no comportamento global de sistemas mecânicos;

1.3 Utilização de software computacional 9

• resolução de exercícios cuja solução manual é laboriosa ou mesmoproibitiva;

• representação gráfica da solução para visualização imediata dos efei-tos de alterações nos diversos parâmetros.

Neste contexto, é incentivada a utilização do software MATLAB querno apoio à compreensão conceptual, quer nos problemas propostos nasaulas teórico-práticas e nos trabalhos propostos aos alunos para resoluçãoem período extra-curricular, e até mesmo a aquisição por parte dos alunosdo software Student Edition MATLAB. O aluno poderá até mesmo desen-volver uma ‘toolbox’ de funções que constitua um laboratório virtual deapoio no estudo da disciplina de Vibrações de Sistemas Mecânicos.


CAPÍTULO 2

Fundamentos básicos

2.1 Vibração

A vibração mecânica pode definir-se como sendo um movimento alter-nado relativamente a uma posição de referência. A teoria da vibraçãoestuda o movimento oscilatório de sistemas e as forças dinâmicas asso-ciadas.

2.2 Sistema vibratório

Um sistema vibratório é constituído, em geral, por um componente comcapacidade de armazenar energia potencial (elemento elástico), um com-ponente para armazenar energia cinética (massa ou inércia) e um compo-nente para dissipar energia (amortecedor).

A vibração de um sistema envolve a transferência da sua energia po-tencial em energia cinética e da energia cinética em energia potencial, alter-nadamente. Se o sistema for amortecido, uma certa quantidade de energiaé dissipada em cada ciclo de vibração e o sistema tem de ser alimentadopor uma fonte externa para manter uma vibração estacionária, conforme

11

12 Capítulo 2. Fundamentos básicos

se representa de forma esquemática na figura 2.1.

(a) Trocas energéticas (b) Elementos constituintes

Figura 2.1: Representação esquemática do sistema vibratório

Como exemplo, considere-se o pêndulo simples representado na figu-ra 2.2, o qual é “largado” depois de lhe ter sido comunicado um desloca-mento angular θ0.

Na posição 1, a velocidade do pêndulo e a respectiva energia cinéticasão nulas, mas possui uma energia potencial de valor mg` (1− cos θ) rela-tivamente à posição de referência 2.

Como o peso próprio mg provoca um momento mg` sin θ em relação aoponto O, o pêndulo começa a deslocar-se para a posição 2, adquirindo opêndulo uma aceleração angular no sentido retrógrado, e quando atingea posição 2 toda a energia potencial será convertida em energia cinética.Por isso, o pêndulo não pára na posição 2, antes continua para a posição 3.No entanto, após passar a posição média 2, um momento directo começaa actuar no pêndulo, devido ao peso próprio, e provoca a desaceleraçãodo pêndulo, anulando-se a velocidade na posição 3. Nesta posição, todaa energia cinética foi convertida em energia potencial. De novo, o pên-dulo adquire velocidade no sentido directo devido ao momento criadopelo peso próprio e o pêndulo inicia o movimento directo com velocidadecrescente até à posição 2, onde atinge o seu máximo, e onde de novo a ener-gia potencial foi totalmente convertida em energia cinética. Este processorepete-se e o pêndulo apresenta um movimento oscilatório. Na prática, aamplitude da oscilação diminui progressivamente e o pêndulo parará de-vido à resistência (amortecimento) oferecida pelo meio envolvente (ar), oque significa que uma determinada quantidade de energia é dissipada emcada ciclo de vibração devido ao amortecimento do ar.

2.2 Sistema vibratório 13

qy

x

m

O

m g

1

2

3l ( 1 - c o s q )

l

Figura 2.2: Pêndulo simples

O sistema vibratório é, pois, constituído por componentes com capaci-dade de armazenamento e restituição de energia potencial (elasticidade,molas) e de energia cinética (massas, inércias), e mecanismos dissipadoresde energia (amortecedores, atrito).

2.2.1 Componentes do sistema vibratório discreto

Os elementos constituintes de um sistema vibratório discreto são de trêstipos diferentes e relacionam forças com deslocamentos, velocidades eacelerações, respectivamente.

Elemento de mola O componente mais comum que relaciona forças comdeslocamentos é o elemento de mola elástica representado na figura 2.4a.As molas são geralmente consideradas desprovidas de massa, de modoque uma força Fk actuante numa das extremidades tem de ser equilibradapor uma força actuante na outra extremidade de grandeza idêntica e desinal contrário. Devido à força Fk, a mola sofre uma elongação δ igual àdiferença entre os deslocamentos x2 e x1 das extremidades. A curva típicaque descreve Fk como uma função da elongação x2 − x1 está representada


x ( t )

km

x ( t )

t0

x ( t )

m

k

x ( t )

t0

Figura 2.3: Exemplos de sistemas vibratórios

na figura 2.4b. A força é proporcional à elongação e a constante de propor-cionalidade é o declive k. Para uma mola linear elástica, a relação entre aforça desenvolvida pela mola e a elongação é da forma,

Fk = k (x2 − x1) (2.1)

A constante k é designada por constante de mola ou constante de rigidez.A força Fk é uma força elástica designada por força de restituição elás-tica porque, para uma mola deformada, Fk é a força necessária para que amola retorne ao estado de não deformada. Em muitas situações, a config-uração não deformada coincide com a configuração de equilíbrio estático.A unidade da constante de rigidez k é o Newton por metro, N/m.

Elemento amortecedor O elemento que no sistema vibratório relacionaforças com velocidades é, geralmente, designado por amortecedor viscosoe está representado na figura 2.5a. O amortecedor é também consider-ado sem massa, de modo que uma força Fc numa extremidade tem de serequilibrada por uma força correspondente, igual e de sentido contrário, naoutra extremidade do amortecedor. Para um amortecedor viscoso, a curvaFc versus x2 − x1 é aproximadamente linear como se representa na figura


Fk

Fk

x1

x2

k

(a) mola elástica

Fk

x2- x

1

0

k

(b) relação força-elongação

Figura 2.4: Mola linear elástica

2.5b. A relação entre a força Fc desenvolvida pelo amortecedor viscoso ea velocidade relativa (x2 − x1) entre as extremidades do amortecedor é daforma,

Fc = c (x2 − x1) (2.2)

A constante de proporcionalidade c, que representa o declive da curvaFc versus (x2 − x1), designa-se por coeficiente de amortecimento viscoso.A força Fc é uma força de amortecimento porque é uma força resistenteao aumento da velocidade relativa x2 − x1. A unidade do coeficiente deamortecimento c é o Newton·segundo por metro, N·s/m.

cFc

Fc

x1

.x2

.

(a) amortecedor

Fc

0

cx2- x

1

. .

(b) relação força-velocidade

Figura 2.5: Amortecedor viscoso

Elemento de massa No sistema vibratório discreto o elemento que rela-ciona forças com acelerações é a massa discreta, figura 2.6a. Da 2a lei de


Newton do movimento, a relação entre a força Fm aplicada à massa m e aaceleração x, referida a um referencial de inércia, é da forma,

Fm = mx (2.3)

onde a constante de proporcionalidade é a massa m, figura 2.6b. A unidadede m é o quilograma, kg.

x. .

Fm

m

(a) massa

Fm

. .x

0

m

(b) relação força-aceleração

Figura 2.6: Massa

As propriedades mecânicas dos componentes do sistema vibratório sãodescritas nas figuras 2.4b, 2.5b e 2.6b, sendo os respectivos parâmetros asconstantes k, c e m. Refira-se que, geralmente, as molas e os amortecedoressão considerados sem massa e as massas discretas são consideradas comocorpos rígidos.

A apresentação dos elementos constituintes do sistema vibratório foifeita com base no movimento de translação. No entanto, existe uma com-pleta analogia entre os sistemas em vibração de translação e de rotação,sendo as contrapartidas da mola, amortecedor e massa a mola de torção, oamortecedor de torção e os discos ou volantes possuindo momento de in-ércia. Designando os deslocamentos angulares das extremidades de umamola de torção por θ2 e θ1, e o momento de restituição na mola por Mk,a curva Mk versus θ2 − θ1 é idêntica à da figura 2.4b sendo a constantede rigidez da mola de torção kt a respectiva constante de proporcionali-dade. De forma idêntica, designando o momento de amortecimento porMc e o coeficiente de amortecimento do amortecedor de torção por ct, acurva Mc versus θ2 − θ1 é semelhante à da figura 2.5b. Por fim, o sistemavibratório em rotação apresenta um disco ou volante com momento depolar de inércia J , o disco efectua um deslocamento angular θ e a curvaMJ versus θ é idêntica à da figura 2.6b, sendo MJ o momento de inércia.


Refira-se ainda que a unidade da constante de rigidez da mola de torçãoé o Newton·metro por radiano, N·m/rad, a do coeficiente de amorteci-mento de torção é o Newton·metro·segundo por radiano, N·m·s/rad, e ado momento de inércia é o quilograma·metro2, kg·m2.

Em geral, os sistemas mecânicos são constituídos por componenteselásticos com propriedades distribuídas e por massas rígidas concentradas.Nestes casos, estes sistemas necessitam de ser modelizados (aproximados)por modelos estritamente discretos ou de parâmetros concentrados. Amodelização (aproximação) é, muitas vezes, baseada na hipótese de que amassa dos elementos elásticos com propriedades distribuídas é suficiente-mente pequena em relação às massas discretas concentradas, e é, por isso,desprezada. Nesta situação, os elementos elásticos podem ser substituídospor elementos de mola equivalentes. A constante de rigidez equivalente édeterminada assumindo uma mola que apresenta a mesma elongação doelemento elástico quando sujeita à mesma força ou momento desenvolvi-dos pelo elemento de massa ou de inércia, respectivamente, figura 2.7a e2.7c.

Elementos estruturais, tais como vigas, veios e placas apresentam pro-priedades de elasticidade e, dentro de determinados limites, comportam-se como elementos elásticos caracterizados por uma constante de rigidez.

Num sistema mecânico com diferentes massas e/ou inércias discretasligadas rigidamente entre si, a determinação da massa ou inércia equiva-lente assenta no balaço da energia cinética do sistema.

Combinação de molas Por vezes, os elementos elásticos ou molas po-dem ser utilizados de forma combinada. Apresentam particular interesseas molas ligadas em paralelo, figura 2.8a, e as molas ligadas em série,figura 2.9a.

Paralelo Numa montagem em paralelo, figura 2.8a, a elongação de cadamola é idêntica, sendo diferente a força desenvolvida por cada umae dependente da respectiva rigidez ki i = 1, . . . , n.

Para n molas com constantes ki i = 1, . . . , n e dispostas em paralelo,a constante de rigidez equivalente vale,

keq = k1 + k2 + . . . + kj + . . . kn =n∑

i=1

ki (2.4)

Série Numa montagem em série, figura 2.9a, cada mola desenvolve umaforça idêntica, sendo diferente a elongação (deformação) de cadauma delas e dependente da respectiva rigidez ki i = 1, . . . , n.


(a) viga com massa concentrada (b) modelo dis-creto

(c) veio com volante (d) modelo discreto

Figura 2.7: Sistemas mecânicos com elementos elásticos distribuídos

Da condição de equilíbrio estático, a constante de rigidez equivalentede uma série de n elementos elásticos vale,

1

keq

=1

k1

+1

k2

+ . . . +1

ki

+ . . .1

kn

=n∑

i=1

1

ki

(2.5)

2.3 Grau de liberdade

Um grau de liberdade define-se como sendo uma coordenada indepen-dente necessária para determinar a posição de um componente do sistemavibratório em qualquer instante. O número de graus de liberdade de umsistema é o número mínimo de coordenadas independentes necessáriaspara determinar a posição de todos os componentes do sistema em qual-quer instante.

2.4 Classificação da vibração 19

k1

kn

k2x

1x2

FF

(a) molas em paralelo

k e qF F

(b) mola equivalente

Figura 2.8: Molas montadas em paralelo

k1

kn

k2

x1

x2

x3 . . .

xn

FF

(a) molas em série

k e qF F

(b) mola equivalente

Figura 2.9: Molas montadas em série

2.4 Classificação da vibração

A vibração pode ser classificada segundo diversas perspectivas. Algumasdas classificações mais representativas estão apresentadas na figura 2.10.


Figura 2.10: Classificação da vibração

2.5 Classificação do sistema mecânico

O movimento de alguns sistemas mecânicos pode ser descrito recorrendoa um número finito de graus de liberdade, enquanto que outros, espe-cialmente se possuirem componentes elásticos contínuos, apresentam umnúmero infinito de graus de liberdade. Como exemplo, considere-se o sis-tema constituído por uma viga. Como a massa está distribuída por umnúmero infinito de pontos, é necessário um número infinito de coorde-nadas para descrever a sua configuração deformada em qualquer instante.

Os sistemas com um número finito de graus de liberdade designam-sepor sistemas discretos ou sistemas de parâmetros concentrados. Os sis-temas com um número infinito de graus de liberdade designam-se porsistemas contínuos ou sistemas de parâmetros distribuídos.

Refira-se que, na maioria das situações, os sistemas contínuos são apro-ximados por sistemas discretos. Ainda que o tratamento de sistemas con-tínuos conduza a resultados exactos, os métodos de análise para sistemascontínuos estão limitados a um conjunto restrito de sistemas, como, porexemplo, vigas e veios uniformes e placas. Assim, é corrente analisar sis-temas contínuos aproximando-os através de massas concentradas, molase amortecedores. Em geral, aumentando o número de massas, molas eamortecedores, isto é, aumentando o número de graus de liberdade, tantomais precisos são os resultados obtidos.

2.6 Classificação da excitação 21

v 1v 2

v 3

v ( x , t )x

. . .

( a )

( b )

q 1 ( t )

q 2 ( t )

Figura 2.11: Exemplos de sistemas vibratórios discretos e contínuos

2.6 Classificação da excitação

A excitação da vibração de um sistema pode apresentar-se sob a forma deforças dinâmicas actuantes sobre o sistema ou sob a forma de deslocamen-tos impostos ao sistema. Em geral, a excitação é classificada de acordocom a forma de variação ao longo do tempo da perturbação aplicada aosistema.

Se o valor ou grandeza da excitação é conhecida em todo o instante,a excitação designa-se por determinística. A vibração resultante é igual-mente designada por determinística.

Nalgumas situações, a excitação é não-determinística ou aleatória, istoé, o valor da excitação num dado instante não pode ser conhecido à pri-ori. Nestes casos, um conjunto de amostras da excitação pode apresen-tar alguma regularidade estatística, sendo possível estimar valores médioscomo o valor médio e o valor médio quadrático da excitação. Exemplos deexcitação não-determinística ou aleatória são fornecidos pela excitação do


vento, ‘rugosidade’ de uma estrada ou movimentos do solo durante umsismo. Para uma excitação aleatória, a vibração designa-se também poraleatória e a resposta do sistema pode ser descrita apenas em termos deparâmetros estatísticos.

t

f(t

)

(a) determinística (periódica)

t

f(t

)(b) aleatória

Figura 2.12: Excitação determinística e aleatória

A excitação determinística divide-se em periódica, no caso de se repe-tir regularmente ao longo do tempo, e não-periódica no caso contrário.Por sua vez, a excitação periódica pode ainda dividir-se em harmónica enão harmónica, figuras 2.13 e 2.14. Quanto à excitação não-periódica, estaclassifica-se em impulsiva e transiente, figuras 2.13 e 2.15.

E x c i t a ç ã o

d e t e r m i n í s t i c a

n ã o d e t e r m i n í s t i c a

p e r i ó d i c a

n ã o p e r i ó d i c ai m p u l s i v a

t r a n s i e n t e

h a r m ó n i c a

n ã o h a r m ó n i c a

Figura 2.13: Classificação da excitação

2.7 Procedimento em análise de vibrações

Ao analisar o comportamento vibratório e as características dinâmicas demáquinas e estruturas, que constituem um modelo real, o primeiro passoconsiste em criar um modelo físico do sistema real através da identificação

2.7 Procedimento em análise de vibrações 23

t

f(t

)

(a) harmónica

t

f(t

)

(b) não harmónica

Figura 2.14: Excitação periódica

t

f(t

)

(a) impulsiva

t

f(t

)

(b) transiente

Figura 2.15: Excitação não-periódica

das propriedades mecânicas e das solicitações actuantes, do arranjo es-quemático das massas, elementos elásticos, mecanismos de dissipação edefinição de um conjunto de graus de liberdade, figura 2.16. A definiçãodeste modelo físico assenta num conjunto de hipóteses simplificativas vál-idas no contexto do objectivo da análise que se pretende realizar e dograu de complexidade pretendido para o modelo, figura 2.17. Com baseneste modelo físico estabelece-se então um modelo matemático constituídopelas equações diferenciais de movimento recorrendo aos Princípios daMecânica. Na etapa seguinte, a resolução analítica ou numérica das equa-ções diferenciais de movimento permite determinar e analisar as carac-terísticas do sistema e prever o seu comportamento para diferentes situ-ações. Assim, as principais etapas do processo de modelização e análisede um sistema mecânico são:

1. Modelo físico


(a) identificação dos componentes do sistema

(b) propriedades mecânicas

(c) condições de fronteira

(d) número de graus de liberdade

2. Modelo matemático: equações diferenciais de movimento

(a) Teoremas vectoriais da dinâmica

i. 2a lei de Newtonii. princípio d’Alembert

(b) Métodos energéticos

i. princípio dos deslocamentos virtuaisii. princípio de Hamilton

iii. equações de Lagrange

3. Resolução das equações diferenciais de movimento

(a) métodos analíticos

(b) métodos numéricos

(c) formalismo matricial

4. Interpretação dos resultados

2.8 Modelo matemático: equação de movimento

Uma vez que o modelo físico esteja disponível, recorrendo aos princípiosda dinâmica estabelece-se o modelo matemático ou as equações de movi-mento que descrevem a vibração do sistema. As equações de movimentopodem ser convenientemente estabelecidas com base nos diagramas decorpo livre de todas as massas constituintes do sistema. O diagrama decorpo livre de uma massa é construído isolando a massa do sistema e indi-cando todas as forças externas actuando na massa (eventualmente podemrepresentar-se as forças de inércia). A construção do diagrama de corpolivre pode seguir os seguintes passos:

1. Diagrama de corpo livre na posição de equilíbrio estático e determi-nação das forças nas molas que actuem nesta posição;

2.8 Modelo matemático: equação de movimento 25

(a) sistema real

x1( t )F

0s i n w t

m2

m1

c1

k1

k2

c2

x2( t )

(b) modelo físico

Figura 2.16: Exemplo de modelização

2. Escolher um sentido positivo para o deslocamento, velocidade e ace-leração;

3. Diagrama de corpo livre durante um deslocamento positivo a partirda posição de equilíbrio estático.

O diagrama de corpo livre para o equilíbrio dinâmico deve referir-se àposição de equilíbrio estático, como se representa na figura 2.18.

Refira-se que, para um sistema suportado na posição de equilíbrio es-tático por forças elásticas, as forças da gravidade e/ou os seus momentosactuantes no sistema são equilibrados pelas forças e/ou momentos pro-duzidos pelos elementos elásticos nessa posição, figura 2.18.

Diferentes metodologias podem ser adoptadas para o estabelecimentodas equações de movimento. Entre elas estão os teoremas vectoriais da di-nâmica (2a lei de Newton, princípio d’Alembert) e os métodos energéticos(princípio da conservação de energia, princípio dos trabalhos virtuais, prin-cípio de Hamilton, equações de Lagrange). As equações de movimentode sistemas vibratórios apresentam-se, geralmente, na forma de sistemasde equações diferenciais ordinárias para os sistemas discretos e equaçõesdiferenciais de derivadas parciais para os sistemas contínuos.

Os métodos vectoriais da 2a lei de Newton e do princípio d’Alembert eos métodos energéticos da conservação de energia e dos trabalhos virtuaissão sumariamente revisitados nesta secção enquanto que o princípio de


k c

v

k 1

k 2 c 2

m m

k 1

k 2 c 2

v

( b ) m o d e l o f í s i c o

( a ) s i s t e m a r e a l

( c ) m o d e l o f í s i c o

Figura 2.17: Exemplo de modelização

Hamilton e as equações de Lagrange serão objecto de apresentação poste-rior neste texto.

2.8.1 2a Lei de Newton

A 2a lei de Newton do movimento pode escrever-se na forma,

F = Q MO = KO, (2.6)

onde os vectores F e Q representam, respectivamente, os vectores de forçasexteriores e o vector quantidade de aceleração, enquanto que os vectoresMO e KO representam os momentos exteriores e o momento dinâmico.

Exemplo-Sistema em movimento de translação Considere-se o sistemarepresentado na figura 2.19 constituído por uma massa m em movimentode translação vertical, por uma mola de massa desprezável e constantede rigidez k e por um amortecedor de tipo viscoso de constante c. Odeslocamento x(t) é medido a partir da posição de equilíbrio estático. Nafigura 2.20 representam-se os diagramas de corpo livre para equilíbrio es-tático e dinâmico.

A aplicação da 2a lei de Newton conduz à equação,


+ x ( t )

m

k c

m

m

k c

m

k ( d + x ) c x.

xx.

x. .

m g

m g

d

k d

R e f e r ê n c i a

( p o s i ç ã o d e e q u i l í b r i o e s t á t i c o )

Figura 2.18: Diagramas de corpo livre

x ( t )

m

k c

Figura 2.19: Sistema em movimento de translação

mg − k (δ + x)− cx = mx, (2.7)

ou, após rearranjo,

mx + cx + kx + kδ −mg = 0. (2.8)

Tendo em conta a condição de equilíbrio estático,

mg − kδ = 0, (2.9)

a equação de movimento (2.8) vem,

mx + cx + kx = 0. (2.10)

Note-se que, para um sistema suportado na posição de equilíbrio es-tático por forças elásticas, a força da gravidade actuante no sistema é equi-librada pela força desenvolvida pelo elemento elástico nessa posição.


+ x ( t )

m

k c

m

m

k c

m

k ( d + x ) c x.

xx.

x. .

m g

m g

d

k d

R e f e r ê n c i a

( p o s i ç ã o d e e q u i l í b r i o e s t á t i c o )

Figura 2.20: Diagrama de corpo livre: estático e dinâmico

2.8.2 Princípio d’AlembertO princípio d’Alembert pode escrever-se como,

F − F j = 0 MO −M jO = 0, (2.11)

onde os vectores F j e M jO representam as forças e os momentos de inércia.

2.8.3 Princípio da conservação da energiaPara um sistema conservativo a soma da energia cinética T e potencial Umantém-se constante, T + U = constante. Derivando em ordem ao tempo,

d

dt(T + U) = 0, (2.12)

obtém-se a equação diferencial de movimento do sistema conservativo.

Exemplo-Sistema em movimento de translação O sistema representadona figura 2.21 é constituído por uma massa m em movimento de translaçãovertical e uma mola de massa desprezável e de constante de rigidez k. Odeslocamento x(t) é medido a partir da posição de equilíbrio estático. Nafigura 2.22 representam-se os diagramas de corpo livre estático e dinâmico.

A energia cinética total do sistema é dada pela expressão:

T =1

2mx2. (2.13)

O diagrama da força da mola mostra que a variação na energia de de-formação Ue para um deslocamento x da massa a partir da sua posição de


x ( t )

m

k

Figura 2.21: Sistema em movimento de translação

equilíbrio estático, onde a mola já possui uma elongação δ relativamenteao seu comprimento livre, corresponde à área tracejada na figura 2.22 e édada pela expressão:

Ue =

∫ δ+x

δ

kxdx (2.14)

A variação em energia potencial de posição Ug que acompanha o deslo-camento x da massa a partir da posição de equilíbrio estático é dada por:

Ug = −mgx. (2.15)

Assim, a variação total de energia potencial é dada pela soma:

U = Ue + Ug =1

2kx2 + mgx−mgx

=1

2kx2

(2.16)

Introduzindo as expressões da energia cinética (2.13) e da energia po-tencial (2.16) em (2.12), obtém-se,

d

dt(T + U) =

d

dt

(1

2mx2 +

1

2kx2

)

= (mx + kx) x.

(2.17)

Como x 6= 0 vem:

mx + kx = 0, (2.18)

que é a equação diferencial de movimento do sistema conservativo.


+ x ( t )

m

k

m

m

k

m

k ( d + x )

xx.

x. .

m g

m g

d

k d

k ( d + x )

k d = m g

d x x

F k

1

2k d 2

1

2k x 2

Figura 2.22: Sistema conservativo

2.8.4 Princípio dos deslocamentos virtuais

Num sistema material (em repouso ou em movimento), a soma dos trabal-hos de todas as forças que actuam sobre ele num determinado instante énula para qualquer deslocamento virtual desse sistema,

δWe + δWi + δWj = 0, (2.19)

sendo δWe o trabalho de todas as forças exteriores aplicadas no sistemamaterial, δWi o trabalho de todas as forças interiores e δWj o trabalho dasforças de inércia.

2.9 Equação diferencial de movimento

O modelo físico mais simples de um sistema vibratório é o modelo lineardiscreto com um grau de liberdade, como se representa na figura 2.23-a).O modelo inclui o elemento de inércia de massa m, o elemento elástico de

2.9 Equação diferencial de movimento 31

rigidez k, um mecanismo dissipador de energia de tipo viscoso e de cons-tante c e uma excitação externa f(t) que é função do tempo t. A posiçãoinstantânea do sistema é referenciada pela coordenada x(t) que representao deslocamento linear e constitui o grau de liberdade do sistema. A ve-locidade x(t) e a aceleração x(t) são dadas, respectivamente, pela primeirae segunda derivadas de x(t) em ordem ao tempo.

m

k

c

x ( t )f ( t )

(a) Sistema vibratório

mk x ( t )

c x ( t ). f ( t )

(b) Diagrama de corpo livre

Figura 2.23: Modelo do sistema com um grau de liberdade

Considerando o diagrama de corpo livre representado na figura 2.23-b)e aplicando a 2a lei de Newton, F = Q, a equação de equilíbrio dinâmicoescreve-se,

mx (t) + cx (t) + kx (t) = f(t). (2.20)

A equação (2.20) é a equação diferencial de movimento do sistema e éuma equação diferencial ordinária de segunda ordem na variável tempo.A equação diferencial de movimento (2.20) constitui o modelo matemáticodo sistema em termos das propriedades mecânicas de massa, amorteci-mento e rigidez e descreve o movimento do sistema no domínio do tempo,designando-se por modelo espacial.

Para caracterizar o movimento do sistema é necessário resolver a equa-ção diferencial (2.20) cuja solução x (t) representa a evolução no tempo dodeslocamento, a partir do qual podem, em seguida, determinar-se a ve-locidade e a aceleração. No entanto, como se trata de uma equação difer-encial ordinária de 2a ordem, são necessárias duas condições adicionais,relativas à solução x(t) e à primeira derivada x(t), para a determinaçãoda solução x(t). Estas condições designam-se por condições iniciais e são,normalmente, definidas para o instante t = 0,


x (t = 0) = x0 x (t = 0) = x0. (2.21)

O comportamento vibratório do sistema é, assim, definido pela equa-ção diferencial de movimento (2.20) e pelas condições iniciais (2.21) dedeslocamento e de velocidade.

2.10 Linearização da equação de movimento

Para determinados mecanismos, a equação de movimento é uma equaçãodiferencial ordinária não linear. No entanto, dentro de determinados inter-valos de valores do grau de liberdade do sistema, a equação de movimentopode ser linearizada conduzindo a uma equação diferencial ordinária li-near. Como exemplo, considere-se o sistema representado na figura 2.24cujo grau de liberdade é o deslocamento angular θ(t).

c

l

q ( t )

O

k

b

yx

Figura 2.24: Exemplo de um sistema com um grau de liberdade

Equilíbrio estático Para estabelecer a equação de equilíbrio estático, con-sidere-se o diagrama de corpo livre representado na figura 2.25.

A condição de equilíbrio estático MO = 0 conduz à equação,

mg`

2− kδ` = 0, (2.22)

donde se conclui que,

kδ =mg

2. (2.23)

2.10 Linearização da equação de movimento 33

O

yR

dk

P = m g

x

y

Figura 2.25: Diagrama de corpo livre para equilíbrio estático

Equilíbrio dinâmico Para estabelecer a equação diferencial do movimen-to considere-se agora o diagrama de corpo livre representado na figura 2.26.A condição de equilíbrio dinâmico MO = KO escreve-se,

−→OG×m−→g +

−−→OB ×−→Fc +

−→OA×−→Fk = JO

−→θ , (2.24)

O

yRP = m g

k d + k l s i n q

q +

c b q c o s q.

x

y

Figura 2.26: Diagrama de corpo livre para equilíbrio dinâmico

onde os vectores valem,

−→OG =

`

2

cos θsin θ

0

,

−−→OB = b

cos θsin θ

0

,

−→OA = `

cos θsin θ

0

,

(2.25)e as forças desenvolvidas pelo amortecedor e pela mola

−→Fc = −c

0

θ cos θ0

,

−→Fk = −k

0` sin θ + δ

0

, (2.26)


sendo JO o momento de inércia da barra em relação ao ponto O e θ a ace-leração angular.

Após desenvolvimento da equação 2.24, obtém-se a equação diferen-cial de movimento,

JOθ + b2c cos θ cos θθ + `2k cos θ sin θ +

(δk − 1

2mg

)` cos θ = 0. (2.27)

Introduzindo o resultado (2.23), a equação diferencial de movimentoescreve-se,

JOθ + b2c cos θ cos θθ + `2k cos θ sin θ = 0, (2.28)

e é uma equação diferencial ordinária não linear devido à presença dostermos cos θ e sin θ.

Linearização da equação de movimento A equação diferencial de movi-mento obtida é uma equação não linear em θ. Para linearizar esta equação,considere-se o desenvolvimento em série de Taylor de uma função f(x) emtorno de um ponto regular a 1. Assim, as funções cos(x) e sin(x) escrevem-se,

cos (θ) = cos(a + ε) = cos(a)− ε sin(a)− ε2

2!cos(a) + . . . , (2.29a)

sin (θ) = sin(a + ε) = sin(a) + ε cos(a)− ε2

2!sin(a) + . . . . (2.29b)

Sendo o ponto regular a = 0, tem-se ε = θ e as funções cos(θ) e sin(θ)escrevem-se,

cos (θ) = 1− θ2

2!+

θ4

4!− . . . , (2.30a)

sin (θ) = θ − θ3

3!+

θ5

5!+ . . . . (2.30b)

Considerando-se apenas o primeiro termo da série, as funções cos(θ) esin(θ) em torno de 0 podem aproximar-se por,

1f (x) = f(a + ε) = f(a) + εf ′(a) + ε2

2! f′′(a) + . . . + εm

m! fm(a)

2.10 Linearização da equação de movimento 35

cos (θ) ≈ 1, (2.31a)

sin (θ) ≈ θ. (2.31b)

Introduzindo as aproximações (2.31a) e (2.31b) na equação de movi-mento (2.28), obtém-se a equação,

JOθ + b2cθ + `2kθ = 0, (2.32)

a qual é uma equação diferencial ordinária linear (após linearização).A aproximação (2.31) é frequente em problemas de engenharia quando

se consideram movimentos de "pequenas amplitudes". Para avaliação dograu de aproximação fornecido por (2.31), na figura 2.27 representam-seas aproximações (2.31) e o respectivo erro relativo.

0 5 10 15 20 25 300

1

θ /

sin

θ,θ,cosθ,1

sin θ, cos θ

θ,1

(a) sin θ ≈ θ e cos θ ≈ 1

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

θ /

ε/%

sin θ cos θ

(b) erro relativo

Figura 2.27: Aproximação sin θ ≈ θ e cos θ ≈ 1


Parte II

Sistema com 1 grau de liberdade

37

CAPÍTULO 3

Sistema com 1 grau de liberdadeRegime livre

3.1 Introdução

Um sistema diz-se em regime livre ou natural na ausência de solicitaçãoexterior sendo a vibração livre ou natural do sistema devida somente auma perturbação inicial de deslocamento e/ou velocidade.

3.2 Equação de movimento

Na figura 3.1 representa-se o modelo do sistema linear discreto com umgrau de liberdade em regime livre ou natural que se caracteriza pela ausên-cia de solicitação exterior actuante no sistema, f (t) = 0. Considerando odiagrama de corpo livre representado na figura 3.1-b) e aplicando a 2a leide Newton, F = Q, a equação diferencial de movimento escreve-se,

mx (t) + cx (t) + kx (t) = 0. (3.1)

O comportamento vibratório do sistema em regime livre é descrito pela

39

40 Capítulo 3. Sistema com 1 gdl: Regime livre

mk x ( t )

c x ( t ).

m

k

c

x ( t )

( a ) S i s t e m a v i b r a t ó r i o

( b ) D i a g r a m a d e c o r p o l i v r e

Figura 3.1: Modelo do sistema com um grau de liberdade em regime livre

equação diferencial de movimento (3.1) e pelas condições iniciais de deslo-camento e de velocidade,

x (t = 0) = x0, x (t = 0) = x0. (3.2)

Em regime livre, a equação diferencial de movimento é uma equaçãodiferencial linear ordinária de segunda ordem na variável tempo e ho-mogénea.

A equação diferencial de movimento (3.1) admite uma solução nãotrivial ou não nula de forma exponencial,

x(t) = Cest, (3.3)

onde C e s são parâmetros a determinar. Derivando (3.3) duas vezes emordem ao tempo, obtém-se, sucessivamente,

x(t) = sCest, (3.4a)

x(t) = s2Cest. (3.4b)

Introduzindo (3.3) e (3.4) na equação diferencial de movimento (3.1),obtém-se a seguinte equação algébrica,

(ms2 + cs + k

)Cest = 0. (3.5)

Para que a solução (3.3) seja não trivial, tem de verificar-se a condiçãoC 6= 0. Da equação anterior decorre então a seguinte condição,

3.3 Amortecimento crítico 41

ms2 + cs + k = 0, (3.6)

que se designa por equação característica da equação diferencial de movi-mento e cujas raízes definem o expoente da exponencial (3.3). A equaçãocaracterística (3.6) apresenta, em geral, duas raízes distintas que valem,

s1,2 =−c±√c2 − 4mk

2m= − c

2m±

√( c

2m

)2

− k

m. (3.7)

Em consequência, existem duas soluções independentes do tipo (3.3)para a equação de movimento (3.1) e que são,

x1 (t) = C1es1t, x2 (t) = C2e

s2t. (3.8)

Assim, também a combinação linear das soluções (3.8) constitui aindauma solução para a equação de movimento (3.1),

x (t) = C1es1t + C2e

s2t, (3.9)

onde C1 e C2 são duas constantes a determinar a partir das duas condiçõesiniciais de deslocamento e de velocidade, x (t = 0) = x0 e x (t = 0) = x0.

De acordo com a solução (3.9), a resposta do sistema a uma pertur-bação inicial depende, naturalmente, das condições iniciais, mas tambémdas raízes s1 e s2 cuja natureza, conforme (3.7), depende das propriedadesmecânicas do sistema, nomeadamente da massa, da rigidez e do amorte-cimento. Para melhor caracterizar o movimento de resposta a uma pertur-bação inicial introduzem-se de seguida alguns parâmetros característicosdo sistema vibratório.

3.3 Amortecimento crítico

Define-se por amortecimento crítico cc de um sistema o valor da constantede amortecimento c para o qual o radicando em (3.7) é nulo, isto é,

( cc

2m

)2

− k

m= 0. (3.10)

Resolvendo a equação anterior, o amortecimento crítico cc pode expri-mir-se na seguinte forma,

cc = 2m

√k

m= 2mωn, (3.11)

onde o parâmetro ωn vale,


ωn =

√k

m. (3.12)

3.4 Razão de amortecimento

Por uma questão de comodidade de tratamento, o amortecimento de umsistema pode caracterizar-se numa forma adimensional através da desi-gnada razão de amortecimento ξ, definida pela razão entre a constante deamortecimento efectivo c e a constante de amortecimento crítico cc,

ξ =c

cc

. (3.13)

Substituindo na expressão anterior cc pela expressão (3.11), a razão deamortecimento vem

ξ =c

2mωn

. (3.14)

Recorrendo à definição de amortecimento crítico e da razão de amorte-cimento, após divisão de todos os termos de (3.1) por m, obtém-se a formacanónica da equação diferencial de movimento que se escreve,

x (t) + 2ξωnx (t) + ω2nx (t) = 0. (3.15)

3.5 Raízes da equação característica

Retomando a expressão (3.7) das raízes da equação característica e intro-duzindo o conceito de razão de amortecimento, as raízes s1 e s2 podemescrever-se na seguinte forma,

s1,2 = −ξωn ± ωn

√ξ2 − 1 . (3.16)

Assim, a natureza real ou complexa das raízes s1 e s2, e, em conse-quência, o comportamento do sistema, dependem do valor da razão deamortecimento ξ que, por sua vez, depende das propriedades mecânicasdo sistema. Na figura 3.2 representa-se o lugar geométrico das raízes s1 es2 no plano complexo em função do valor da razão de amortecimento.

O sistema vibratório pode classificar-se segundo o valor da razão daamortecimento. Assim, tem-se a seguinte classificação,

• ξ = 0 : sistema não amortecido

3.6 Sistema não-amortecido 43

Figura 3.2: Lugar geométrico das raízes da equação característica

• 0 < ξ < 1 : sistema sub-amortecido

• ξ = 1 : sistema criticamente amortecido

• ξ > 1 : sistema sobre-amortecido

Nas secções seguintes caracterizam-se as raízes da equação caracterís-tica e o movimento de resposta em regime livre para cada um destes sis-temas.

3.6 Sistema não-amortecido

Para o sistema não amortecido com ξ = 0, as raízes (3.16) da equaçãocaracterística valem,

s1,2 = ±j

√k

m= ±jωn (3.17)


onde j =√−1 representa o operador complexo. As raízes s1 e s2 são, pois,

distintas e complexas imaginárias puras.

3.6.1 Resposta natural

Introduzindo as raízes (3.17) na solução (3.9) da equação diferencial demovimento, a resposta em regime livre do sistema não amortecido vem,

x (t) = C1e+jωnt + C2e

−jωnt (3.18)

onde C1 e C2 são constantes a determinar a partir das condições iniciais dedeslocamento e de velocidade. Utilizando as identidades de Euler,

e±jαt = cos αt± j sin αt,

a expressão (3.18) da resposta pode escrever-se,

x (t) = A1 cos ωnt + A2 sin ωnt (3.19)

onde A1 e A2 são novas constantes a determinar a partir das condições ini-ciais. Derivando a expressão (3.19) do deslocamento, obtém-se a expressãoda resposta em velocidade,

x (t) = −ωnA1 sin ωnt + ωnA2 cos ωnt. (3.20)

Introduzindo as condições iniciais de deslocamento x (t = 0) = x0 e develocidade x (t = 0) = x0, respectivamente nas expressões (3.19) e (3.20),

x (t = 0) = x0 = A1 x (t = 0) = x0 = ωnA2. (3.21)

determinam-se as constantes A1 e A2 que valem,

A1 = x0 A2 =x0

ωn

. (3.22)

Finalmente, substituindo as constantes A1 e A2 em (3.19), a expressãoda resposta em regime livre vem

x (t) = x0 cos ωnt +x0

ωn

sin ωnt, (3.23)

a qual se pode ainda escrever na forma (ver figura 3.3) 1

1Alternativa para a expressão da resposta naturalx (t) = x0 cos ωnt + x0

ωnsin ωnt

= A sin (ωnt + ψ)A =

√x2

0 +(

x0ωn

)2

ψ = tan−1(

A1A2

)= tan−1

(x0ωn

x0

)

3.6 Sistema não-amortecido 45

Figura 3.3: Soma de movimentos harmónicos síncronos

x (t) = A cos (ωnt− φ) (3.24)

onde as constantes A e φ valem

A =√

A21 + A2

2 =

√x2

0 +

(x0

ωn

)2

, (3.25)

φ = tan−1

(A2

A1

)= tan−1

(x0

x0ωn

). (3.26)

Assim, a resposta em regime livre do sistema não amortecido é um

movimento harmónico de amplitude A, de frequência ωn =√

km

e ângulode fase φ.

A frequência ωn =√

km

é, pois, a frequência de oscilação do movimentonatural de resposta a uma perturbação inicial, designando-se, por isso, porfrequência natural de vibração não amortecida do sistema. Na figura 3.4representa-se a evolução no tempo da resposta livre ou natural do sistemanão-amortecido.


0

0

t /s

x(t

)/m

Figura 3.4: Resposta livre ou natural do sistema não amortecido

3.7 Sistema sub-amortecido

Para o sistema sub-amortecido, 0 < ξ < 1 , as raízes s1 e s2 em (3.16) valem

s1,2 = −ξωn ± jωn

√1− ξ2 (3.27)

e são distintas e complexas conjugadas, ver figura 3.2.


Introduzindo as raízes (3.27) na solução (3.9), a resposta em deslocamentodo sistema sub-amortecido escreve-se

x (t) = C1e

(−ξωn+jωn

√1−ξ2

)t+ C2e

(−ξωn−jωn

√1−ξ2

)t. (3.28)

Após manipulação algébrica, a expressão anterior pode escrever-se naforma,

3.7 Sistema sub-amortecido 47

x (t) = C1e

(−ξωn+jωn

√1−ξ2

)t+ C2e

(−ξωn−jωn

√1−ξ2

)t

= e−ξωnt

[C1e

(+jωn

√1−ξ2

)t+ C2e

(−jωn

√1−ξ2

)t

]

= e−ξωnt[(C1 + C2) cos

(ωn

√1− ξ2t

)+ j (C1 − C2) sin

(ωn

√1− ξ2t

)]

= e−ξωnt[A1 cos

(ωn

√1− ξ2t

)+ A2 sin

(ωn

√1− ξ2t

)],

(3.29)

onde as constantes C1 e C2 ou A1 e A2 são determinadas a partir dascondições iniciais. Derivando a expressão (3.29) obtém-se a resposta emvelocidade,

x (t) = e−ξωnt[(−ξωnA1 + ωn

√1− ξ2A2

)cos ωn

√1− ξ2t

]

+e−ξωnt[(−ξωnA2 − ωn

√1− ξ2A1

)sin ωn

√1− ξ2t

].

(3.30)

Introduzindo as condições iniciais de deslocamento x (t = 0) = x0 e develocidade x (t = 0) = x0 em (3.29) e (3.30), determinam-se as constantesA1 e A2 que valem

A1 = x0 A2 =x0 + ξωnx0

ωn

√1− ξ2

. (3.31)

A substituição das constantes A1 e A2 em (3.29) conduz, finalmente, àexpressão da resposta livre ou natural do sistema sub-amortecido,

x (t) = e−ξωnt

[x0 cos

(ωn

√1− ξ2t

)+

v0 + ξωnx0

ωn

√1− ξ2

sin(ωn

√1− ξ2t

)]

(3.32)que pode ainda escrever-se na seguinte forma (ver figura 3.3 na página 45)

x (t) = Ae−ξωnt cos(ωn

√1− ξ2t− φ

)

= Ae−ξωnt cos (ωdt− φ),(3.33)

onde

ωd = ωn

√1− ξ2 (3.34)


representa a frequência natural amortecida e as constantes A e φ são dadaspelas expressões

A =√

A21 + A2

2 =

√√√√(

x0 + ξωnx0

ωn

√1− ξ2

)2

+ x20, (3.35)

φ = tan−1 A2

A1

= tan−1 x0 + ξωnx0

ωn

√1− ξ2x0

. (3.36)

A análise da expressão (3.33) revela que o movimento de resposta livreou natural é um movimento oscilatório de frequência angular ωd constante,designada por frequência natural amortecida, e cuja amplitude Ae−ξωnt de-cresce de forma exponencial com o tempo, figura 3.5. As exponenciais±Ae−ξωnt constituem a envelope da resposta oscilatória, figura 3.6. Quandot → ∞, a resposta x (t) → 0, de modo que a resposta atenua-se no tempoe o sistema regressa à posição de equilíbrio estático (posição anterior àaplicação da perturbação inicial).

0

0

t /s

x(t

)/m

Figura 3.5: Resposta livre ou natural do sistema sub-amortecido

A frequência angular ωd = ωn

√1− ξ2 é designada por frequência na-

tural de vibração amortecida, e é sempre menor que a frequência naturalde vibração não amortecida ωn (ωd < ωn) . As duas frequências naturaispodem ainda relacionar-se entre si pela expressão,

(ωd

ωn

)2

+ ξ2 = 1. (3.37)

3.7 Sistema sub-amortecido 49

0

0

t /s

x(t

)/m

Ae−ξωnt

−Ae−ξωnt

Figura 3.6: Resposta livre do sistema sub-amortecido e envelope

Na figura 3.7 representa-se o lugar geométrico da razão ωd

ωnem função

da razão de amortecimento ξ.

Figura 3.7: Lugar geométrico de ωd

ωnem função de ξ

A derivação em ordem ao tempo da expressão (3.33), conduz à seguinteexpressão para a velocidade de resposta natural,

x (t) = Ae−ξωnt (−ξωn cos (ωdt− φ)− ωd sin (ωdt− φ)) . (3.38)

Tendo em conta a definição (3.34) de frequência natural amortecida, avelocidade pode ainda escrever-se na forma,


x (t) = −Ae−ξωntωn

(ξ cos (ωdt− φ) +

√1− ξ2 sin (ωdt− φ)

)

= Ae−ξωntωn

(√ξ2 + (1− ξ2) cos (ωdt− φ− ψ)

)

= Ae−ξωnt (ωn cos (ωdt− φ− ψ)),

(3.39)

onde o desfasamento ψ é dado por,

ψ = tan−1

√1− ξ2

ξ. (3.40)

Resposta nula Durante a resposta livre ou natural do sistema sub-amor-tecido, o sistema passa pela posição de equilíbrio estático, à qual corres-ponde um deslocamento nulo, x (t) = 0. De acordo com a expressão (3.33),a resposta é nula quando se verificar a condição

cos (ωdt− φ) = 0, (3.41)

ou então,

ωdt− φ =2n− 1

2π. (3.42)

Resolvendo a equação anterior, a resposta nula ocorre nos instantes

t|x(t)=0 =1

ωd

(2n− 1

2π + φ

). (3.43)

Resposta máxima A resposta é máxima no instante em que a velocidadese anula, x (t) = 0. De acordo com a expressão (3.38), a velocidade nularequer a condição

(ξ cos (ωdt− φ) +

√1− ξ2 sin (ωdt− φ)

)= 0, (3.44)

ou ainda,

(tan (ωdt− φ)) = − ξ√1− ξ2

. (3.45)

Resolvendo a equação anterior, os instantes de velocidade nula e deslo-camento máximo (extremo) são,

t|x(t)=0 =1

ωd

(tan−1

(− ξ√

1− ξ2

)+ φ

). (3.46)

3.8 Sistema criticamente amortecido 51

3.8 Sistema criticamente amortecido

Para o sistema criticamente amortecido, ξ = 1, a equação característicafornece apenas uma solução para as raízes s1 e s2, isto é, uma soluçãodupla, real e negativa, ver figura 3.2,

s1 = s2 = − cc

2m= −ωn. (3.47)

3.8.1 Resposta naturalA resposta livre ou natural para o sistema criticamente amortecido podeser determinada a partir da resposta do sistema sub-amortecido,

x (t) = e−ξωnt[A1 cos

(ωn

√1− ξ2t

)+ A2 sin

(ωn

√1− ξ2t

)]

= e−ξωnt [A1 cos (ωdt) + A2 sin (ωdt)],(3.48)

fazendo tender a razão de amortecimento para 1, (ξ → 1). Com efeito,quando ξ → 1 , a frequência natural amortecida ωd → 0 e têm-se as re-lações,

A1 cos ωdt → A1, (3.49)

A2 sin ωdt → A2ωdt. (3.50)

Assim, para ξ = 1 , a resposta é dada pela expressão,

x (t) = (A1 + A2ωdt) e−ωnt, (3.51)

ou então,

x (t) =(A1 + A

′2t

)e−ωnt, (3.52)

onde as constantes A1 e A′2 são determinadas a partir das condições inici-

ais. Derivando a expressão (3.52) em ordem ao tempo,

x (t) = A′2e−ωnt −

(A1 + A

′2t

)ωne−ωnt, (3.53)

e introduzindo as condições iniciais x (t = 0) = x0 e x (t = 0) = x0 em(3.52) e (3.53), as constantes A1 e A

′2 valem,

A1 = x0 A′2 = x0 + ωnx0. (3.54)


Substituindo as constantes em (3.52), a expressão da resposta livre ounatural escreve-se,

x (t) = (x0 + (x0 + ωnx0) t) e−ωnt (3.55)

a qual depois de derivada fornece a velocidade de resposta,

x (t) = e−ωnt [(x0 + ωnx0) (1− tωn)− x0ωn] . (3.56)

Conforme a expressão (3.55) da resposta livre ou natural, conclui-seque, para o sistema criticamente amortecido, o movimento é não oscilatório.No entanto, à medida que o tempo decorre a resposta tende para zero.Com efeito, verifica-se que para t → ∞ vem e−ωnt → 0 e, em consequên-cia, x (t) → 0. Na figura 3.8 representa-se a resposta livre ou natural dosistema criticamente amortecido.

0

0

t /s

x(t

)/m

Figura 3.8: Resposta livre ou natural do sistema criticamente amortecido

3.9 Sistema sobre-amortecido

Para o sistema sobre-amortecido, ξ > 1, as raízes s1 e s2 da equação carac-terística são distintas e ambas reais e negativas,

s1,2 = −ξωn ± ωn

√ξ2 − 1 < 0, (3.57)

onde s2 < s1, ver figura 3.2.

3.9 Sistema sobre-amortecido 53


Substituindo as raízes (3.57) na solução (3.9) da equação de movimento, aresposta natural do sistema sobre-amortecido vem,

x (t) = C1e

(−ξωn+ωn

√ξ2−1

)t+ C2e

(−ξωn−ωn

√ξ2−1

)t

= e−ξωnt(C1e

ωn

√ξ2−1t + C2e

−ωn

√ξ2−1t

),

(3.58)

sendo as constantes C1 e C2 determinadas a partir das condições iniciaisde deslocamento x (t = 0) = x0 e de velocidade x (t = 0) = x0,

C1 =x0ωn

(ξ +

√ξ2 − 1

)+ x0

2ωn

√ξ2 − 1

C2 =−x0ωn

(ξ −

√ξ2 − 1

)− x0

2ωn

√ξ2 − 1

.

(3.59)Após manipulação matemática, a expressão (3.58) pode escrever-se na

forma mais conveniente,

x (t) = e−ξωnt

[A1 + A2

2e

(ωn

√ξ2−1

)t+

A1 − A2

2e

(−ωn

√ξ2−1

)t

]

= e−ξωnt

A1

e

(ωn

√ξ2−1

)t+ e

(−ωn

√ξ2−1

)t

2+ A2

e

(ωn

√ξ2−1

)t − e

(−ωn

√ξ2−1

)t

2

.

(3.60)

Finalmente, tendo em conta a definição das funções trigonométricashiperbólicas2, a expressão (3.60) da resposta pode ainda escrever-se,

x (t) = e−ξωnt[A1 cosh

(ωn

√ξ2 − 1t

)+ A2 sinh

(ωn

√ξ2 − 1t

)], (3.61)

sendo as constantes A1 e A2 determinadas a partir das condições iniciaisde deslocamento x (t = 0) = x0 e de velocidade x (t = 0) = x0,

A1 = x0 A2 =ξωnx0 + x0

ωn

√ξ2 − 1

. (3.62)

A análise da expressão (3.61) da resposta livre ou natural evidenciaque, no caso do sistema sobre-amortecido, a resposta livre ou natural é


0

0

t /s

x(t

)/m

Figura 3.9: Resposta livre ou natural do sistema sobre-amortecido

não oscilatória e atenua-se exponencialmente com o tempo, conforme sepode observar na figura 3.9.

Na figura 3.10 representa-se a resposta livre ou natural do sistema comum grau de liberdade a uma perturbação inicial de deslocamento e develocidade para os diferentes valores da razão de amortecimento ξ.

0

0

t /s

x(t

)/m

ξ = 1ξ > 1 ξ = 0

0 < ξ < 1

Figura 3.10: Resposta livre ou natural do sistema

2 sinhx = ex−e−x

2 coshx = ex+e−x

2

3.10 Decremento logarítmico 55

3.10 Decremento logarítmico

Na secção 3.7.1 verificou-se que a resposta livre ou natural do sistema sub-amortecido atenua-se no tempo, dependendo a taxa de atenuação do valorda razão de amortecimento. Assim, a resposta livre ou natural pode serutilizada para a determinação experimental do amortecimento presenteno sistema, através do designado decremento logarítmico que representaa taxa de diminuição da amplitude de vibração livre amortecida.

3.10.1 Resposta separada por um períodoConsidere-se a resposta livre do sistema sub-amortecido em dois instantesseparados por um período natural amortecido T , por exemplo, x (t1) ex (t2 = t1 + T ), conforme se representa na figura 3.11.

0

0

t /s

x(t

)/m

t1 t2 = t1 + T

Figura 3.11: Resposta livre ou natural

De acordo com a expressão (3.33), a resposta nos instantes t1 e t2 =t1 + T escreve-se,

x (t1) = Ae−ξωnt1 cos (ωdt1 − φ) , (3.63)

x (t2 = t1 + T ) = Ae−ξωn(t1+T ) cos (ωd (t1 + T )− φ) . (3.64)

Estabelecendo a razão das respostas x (t1) e x (t2 = t1 + T ) obtém-se,

x (t1)

x (t2 = t1 + T )=

Ae−ξωnt1 cos (ωdt1 − φ)

Ae−ξωn(t1+T ) cos (ωd (t1 + T )− φ). (3.65)


Tendo em conta a definição de período natural amortecido,

T =2π

ωd

=2π

ωn

√1− ξ2

, (3.66)

o termo cos (ωd (t1 + T )− φ) no denominador de (3.65) vale,

cos (ωd (t1 + T )− φ) = cos (ωdt1 + ωdT − φ) = cos (ωdt1 + 2π − φ)

= cos (ωdt1 − φ). (3.67)

Assim, a razão (3.65) vale,

x (t1)

x (t2 = t1 + T )=

e−ξωnt1

e−ξωn(t1+T )=

e−ξωnt1

e−ξωnt1e−ξωnT=

1

e−ξωnT= eξωnT . (3.68)

Aplicando o logaritmo natural a ambos os membros de (3.68) vem,

δ = lnx (t1)

x (t2 = t1 + T )= ξωnT , (3.69)

onde δ representa o decremento logarítmico. Substituindo na expressãoanterior o período T pela expressão (3.66), obtém-se uma relação entre odecremento logarítmico e a razão de amortecimento,

δ =2πξ√1− ξ2

, (3.70)

donde se pode determinar a razão de amortecimento a partir do valor dodecremento logarítmico,

ξ =δ√

(2π)2 + δ2

. (3.71)

Refira-se que para valores baixos da razão de amortecimento, ξ < 5%,a expressão (3.70) pode ser aproximada, utilizando a expansão em série deTaylor e retendo apenas o primeiro termo da série, por,

δ ∼= 2πξ, (3.72)

sendo a razão de amortecimento aproximada por,

ξap =δ

2π. (3.73)


Para ilustrar a precisão de (3.73), a razão entre o valor exacto de ξfornecido por (3.71) e o valor aproximado dado por (3.73) está represen-tada na figura 3.12 em função do valor aproximado de ξ, ξap.. Este gráficopermite corrigir o valor da razão de amortecimento obtido pela expressãoaproximada.

0 0.1 0.2 0.30.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1

ξap

ξ/ξ a

p

Figura 3.12: Factor de correcção para ξ calculado por (3.73)

3.10.2 Resposta separada por um número inteiro de perío-dos

O decremento logarítmico pode ainda ser determinado pela razão da res-posta do sistema em dois instantes separados por um número inteiro N deperíodos, x (t1) e x (t2 = t1 + NT ) , conforme se representa na figura 3.13.

Fazendo o quociente entre as respostas nos instantes t1 e t2 = t1 + NTe tendo em conta que a razão entre as respostas entre dois instantes con-secutivos (separados apenas por un período) vale eξωnT conforme (3.68),obtém-se,

x (t1)

x (t2 = t1 + NT )=

x (t1)

x (t2)

x (t2)

x (t3)

x (t3)

x (t4)· · · x (t1 + (N − 1) T )

x (t1 + NT )= eξωnTN .

(3.74)


0

0

t /s

x(t

)/m

t1 tN = t1 + NT

Figura 3.13: Resposta natural

Aplicando agora o logaritmo natural a ambos os termos da expressãoanterior e tendo em conta a definição (3.69) de decremento logarítmico,obtém-se,

lnx (t1)

x (t2 = t1 + NT )= ξωnTN = δN. (3.75)

Assim, no caso de as respostas estarem separadas por um número in-teiro de períodos, o decremento logarítmico calcula-se pela expressão,

δ =1

Nln

x (t1)

x (t2 = t1 + NT ), (3.76)

a partir do qual se pode determinar a razão de amortecimento pelas ex-pressões (3.71) ou (3.73).

Na figura 3.14 representa-se, em função da razão de amortecimento ξ,o número de ciclos que o sistema tem de efectuar até que a redução deamplitude seja de 50%. Note-se que, para ξ = 10%, a amplitude reduz-sede 50% num ciclo.

3.10.3 Representação semi-logarítmica

Como o decremento logarítmico conduz à caracterização do amortecimen-to, encontra aplicação na determinação da razão de amortecimento de umsistema a partir da resposta livre ou natural medida experimentalmente.Porém, aos valores da resposta medida estão associados erros aleatórios


0 0.1 0.20

2

4

6

8

10

ξ

Npar

are

duzi

rx(t

)de

50%

Figura 3.14: Número de ciclos para reduzir a amplitude de 50%

intrínsecos ao processo de medição. No sentido de filtrar esses erros, odecremento logarítmico pode ser calculado utilizando a resposta do sis-tema para vários instantes. Com efeito, a expressão (3.76) pode escrever-sena forma,

ln x (t2 = t1 + NT ) = −δN + ln x (t1) . (3.77)

A expressão (3.77) representa a equação de uma recta sendo a abcissao número inteiro N de períodos e a ordenada o logaritmo da resposta.Em consequência, a representação semi-logarítmica da resposta em funçãodo número inteiro de períodos constitui uma recta de declive igual aosimétrico do decremento logarítmico, −δ. Assim, considerando a respostado sistema em vários instantes, o decremento logarítmico pode determinar-se através do ajustamento de um recta pelo método dos mínimos quadra-dos, minimizando-se o erro associado à leitura dos valores de resposta.Na figura 3.15 representa-se a resposta natural do sistema e considera-seo seu valor para uma série de instantes aos quais é ajustada a recta dedeclive igual a −δ, conforme se representa na figura 3.16.


0

0

t /s

x(t

)/m

t1 t2 = t1 + T t3 = t1 + 2T t4 = t1 + 3T

Figura 3.15: Resposta natural

00

N

ln(x

(ti+

NT

))

mediçãoajustamento

−δ

Figura 3.16: Ajustamento de uma recta para o decremento logarítmico

3.11 Método da energia de Rayleigh

O método da energia de Rayleigh é um procedimento para determinar afrequência natural fundamental de vibração dispensando a equação di-ferencial de movimento. O método da energia de Rayleigh assenta noprincípio da conservação da energia, o que significa que o amortecimentopresente no sistema tem de ser desprezado. No entanto, esta idealizaçãonão introduz erros significativos em sistemas em que o amortecimento éreduzido.

3.11 Método da energia de Rayleigh 61

mk

x ( t )

Figura 3.17: Modelo do sistema conservativo com um grau de liberdade

Assumindo um sistema conservativo, figura 3.17, tem-se que

T (t) + V (t) = constante, (3.78)

onde T (t) representa a energia cinética do sistema e V (t) a variação naenergia potencial do sistema a partir da sua energia potencial na posiçãode equilíbrio estático.

A energia cinética de um sistema é função do campo de velocidadesdas massas que o constituem. A energia potencial é constituída pela ener-gia de deformação Ve armazenada nos elementos elásticos, e pela energiade posição Vg que é função das distâncias na vertical entre as massas queconstituem o sistema e uma referência arbitrária. O método de Rayleighutiliza uma função deslocamento para determinar a energia potencial ecinética do sistema. Esta função exprime o deslocamento de cada compo-nente do sistema e é assumido que a forma desta função é a forma definidapelas amplitudes quando o sistema se encontra em regime livre ou natu-ral. Refira-se, desde já, que a função deslocamento adoptada não necessitade representar de forma exacta as amplitudes para conduzir a uma boaaproximação da frequência fundamental exacta, como, aliás, se verá maisadiante.

A resposta em regime livre ou natural de um sistema não amortecido,secção 3.6.1 (pág.46), é um movimento harmónico à frequência natural nãoamortecida da forma

x (t) = A cos (ωnt− φ) . (3.79)

A resposta em velocidade obtém-se por derivação em ordem ao tempoda resposta em deslocamento,

x (t) = −ωnA sin (ωnt− φ) . (3.80)

Para um qualquer sistema, a energia potencial instantânea V (t) é dadapela expressão


V (t) =1

2k (x(t))2 . (3.81)

Após introdução da resposta em deslocamento (3.79), vem

V (t) =1

2kA2 cos2 (ωnt− φ) . (3.82)

Por outro lado, a energia cinética instantânea vale

T (t) =1

2mx (t)2 . (3.83)

Após substituição da velocidade (3.80), obtém-se

T (t) =1

2mω2

nA2 sin2 (ωnt− φ) . (3.84)

A análise das expressões (3.82) e (3.84) mostra que, quando o termocos (ωnt− φ) = 0, a energia potencial é nula e o sistema passa pela posiçãode equilíbrio estático. No mesmo instante, sin (ωnt− φ) = ±1, de modoque no instante em que cos (ωnt− φ) = 0 a energia cinética atinge o seuvalor máximo. De forma idêntica, quando cos (ωnt− φ) = ±1 e sin (ωnt− φ) =0, a energia potencial atinge o seu valor máximo e a energia cinética énula. No entanto, para um sistema conservativo, a energia total é cons-tante, donde se conclui que

E(t) = Tmax + 0 = 0 + Vmax = E, (3.85)

ou então que

Tmax = Vmax. (3.86)

A partir das expressões (3.82) e (3.84), a energia potencial máxima e aenergia cinética máxima valem, respectivamente,

Vmax =1

2kA2 (3.87)

Tmax =1

2mω2

nA2. (3.88)

De acordo com a expressão (3.86), igualando a energia cinética máximae a energia potencial máxima, obtém-se

1

2kA2 =

1

2mω2

nA2, (3.89)

3.12 Sistemas com grau de liberdade angular 63

donde se conclui que a frequência natural vale,

ωn =

√k

m. (3.90)

A expressão anterior, estabelecida com base na análise energética doregime livre, fornece o valor da frequência natural não amortecida dis-pensando a escrita da equação diferencial de movimento.

O método da energia de Rayleigh apresenta-se particularmente inte-ressante para sistemas constituídos por vários corpos com movimento re-lativo e para sistemas para os quais a massa distribuída de elementos elás-ticos (sistemas contínuos) tenha de ser considerada, como, aliás, se verámais adiante.

3.12 Sistemas com grau de liberdade angular

O desenvolvimento do formalismo para a análise do sistema vibratóriocom um grau de liberdade foi estabelecido com base no modelo em que ograu de liberdade é um deslocamento linear. No entanto, o formalismo ea análise desenvolvidos mantêm-se válidos para sistemas em que o graude liberdade é um deslocamento angular, desde que sejam consideradasas respectivas grandezas equivalentes. Na figura 3.18 representa-se umsistema com um grau de liberdade constituído por um veio linear elás-tico cuja rigidez angular (de torção) vale kt e por um disco rígido cujomomento polar de inércia vale J . O grau de liberdade do sistema é odeslocamento angular θ(t).

De acordo com o diagrama de corpo livre representado na figura 3.18,a equação diferencial de movimento escreve-se,

Jθ (t) + ktθ (t) = Mt (t) . (3.91)

Considerando o regime livre ou natural, a equação diferencial de mo-vimento vem,

Jθ (t) + ktθ (t) = 0. (3.92)

A frequência natural de vibração não amortecida, conforme a expressão(3.12) vale,

ωn =

√keq

meq

=

√kt

J. (3.93)


q ( t )

l

M t M tk t q

k t

J

Figura 3.18: Modelo do sistema com um grau de liberdade em regime livre

Para condições iniciais,

θ (t = 0) = θ0 θ (t = 0) = θ0, (3.94)

a resposta livre ou natural escreve-se,

θ (t) = A1 cos ωnt + A2 sin ωnt, (3.95)

sendo as constantes A1 e A2 determinadas a partir das condições iniciais,

A1 = θ0 A2 =θ0

ωn

. (3.96)

Assim, a expressão da resposta livre ou natural vem,

θ (t) = θ0 cos ωnt +θ0

ωn

sin ωnt. (3.97)

CAPÍTULO 4

Sistema com 1 grau de liberdadeRegime harmónico

4.1 Introdução

A fonte de energia ou solicitação dinâmica responsável pela excitação dosistema vibratório pode apresentar-se sob a forma de uma força dinâmicadirectamente aplicada no sistema (transmissão activa) ou sob a forma deum deslocamento imposto à base ou apoio do sistema vibratório (trans-missão passiva), figura 4.1. Quando uma solicitação dinâmica actua sobreum sistema vibratório diz-se que este se encontra em regime forçado. Nocaso da solicitação apresentar uma lei de variação temporal do tipo har-mónico, o sistema encontra-se então em regime forçado harmónico.


Considere-se um sistema sujeito a uma solicitação exterior f (t) que variano tempo de forma harmónica,

65

66 Capítulo 4. Sistema com 1 gdl: Regime harmónico

m

k c

f ( t ) = F s i n w t

f u n d a ç ã o

x ( t )

(a)

m

k c

b a s e m ó v e l

x ( t )

y ( t ) = Y s i n w t

(b)

Figura 4.1: Formas de excitação

f (t) = F cos ωt (4.1)

onde F representa a amplitude da força de excitação harmónica e ω a fre-quência de variação harmónica ao longo do tempo.

A equação diferencial de movimento do sistema da figura 4.2, cujo di-agrama de corpo livre está representado na figura 4.3, escreve-se,

mx (t) + cx (t) + kx (t) = F cos ωt. (4.2)

m

k

c

x ( t )f ( t ) = F c o s w t

Figura 4.2: Modelo do sistema com um grau de liberdade em regimeforçado harmónico

A solução geral x (t) da equação diferencial ordinária (4.2) compreendeduas componentes, a solução xh (t) da equação homogénea e a soluçãoparticular xp (t),

x (t) = xh (t) + xp (t) . (4.3)

4.2 Equação de movimento 67

mk x ( t )

c x ( t ).

F c o s w t

Figura 4.3: Diagrama de corpo livre do sistema com um grau de liberdadeem regime forçado harmónico

A solução homogénea xh (t) corresponde a uma vibração livre ou na-tural que decai com o tempo, figura 4.4, e representa a componente tran-sitória do movimento de resposta devida às condições iniciais, enquantoque a solução particular xp (t) representa a vibração devida à excitação ex-terior e que se mantém enquanto se mantiver a excitação, designando-sepor componente permanente ou estacionária. A duração do movimentotransitório depende das condições iniciais e da taxa de atenuação que de-pende do valor da constante de amortecimento c.

0

0

t

x(t

)=

xh(t

)+

xp(t

)

0

0

xp(t

)

0

0

xh(t

)

=

+

Figura 4.4: Soluções homogénea, particular e geral da equação


4.3 Resposta transitória

Para a equação diferencial homogénea, que representa o comportamentolivre ou natural do sistema,

mx (t) + cx (t) + kx (t) = 0, (4.4)

a solução xh (t), já estabelecida anteriormente na secção 3.7.1, pode escrever-se na forma,

xh (t) = e−ξωnt (A1 cos ωdt + A2 sin ωdt) (4.5)

e representa a vibração livre do sistema que decai com o tempo, conformeo amortecimento viscoso presente no sistema e as condições iniciais dedeslocamento e de velocidade impostas.

4.4 Resposta estacionária ou permanente

A solução particular xp (t) que representa a vibração permanente ou esta-cionária do sistema pode procurar-se sob a forma de um movimento har-mónico de frequência ω,

xp (t) = B1 cos ωt + B2 sin ωt (4.6)

onde B1 e B2 são duas constantes a determinar. Derivando em ordem aotempo, a primeira e a segunda derivadas de xp (t) vêm,

xp (t) = −ωB1 sin ωt + ωB2 cos ωt, (4.7)

xp (t) = −ω2B1 cos ωt− ω2B2 sin ωt. (4.8)

Após substituição de xp (t) e das respectivas derivadas na equação di-ferencial de movimento, obtém-se a seguinte equação,

−mω2B1 cos ωt−mω2B2 sin ωt− cωB1 sin ωt + cωB2 cos ωt+kB1 cos ωt + kB2 sin ωt = F cos ωt

. (4.9)

Identificando os termos em seno e em cosseno, a equação (4.9) desdobra-se num sistema de duas equações algébricas para as incógnitas B1 e B2,

(k −mω2) B1 + cωB2 = F−cωB1 + (k −mω2) B2 = 0

. (4.10)

4.4 Resposta estacionária ou permanente 69

A solução do sistema (4.10) são as constantes B1 e B2 que valem,

B1 =F (k − ω2m)

(k − ω2m)2 + (ωc)2 B2 =F (ωc)

(k − ω2m)2 + (ωc)2 . (4.11)

Assim, a solução particular xp (t) correspondente à resposta estacionáriapode escrever-se na forma,

xp (t) =F (k − ω2m)

(k − ω2m)2 + (ωc)2 cos ωt +F (ωc)

(k − ω2m)2 + (ωc)2 sin ωt. (4.12)

Na perspectiva de melhor caracterizar a resposta estacionária do sis-tema, divida-se o numerador e o denominador das expressões (4.11) pork2, tendo em conta as seguintes relações anteriormente estabelecidas,

ω2n =

k

m,

c

k=

2ξ

ωn

. (4.13)

Obtém-se então,

B1 =Fk

(1− m

kω2

)(1− (

mk

)ω2

)2+

(ckω)2 =

Fk

(1−

(ωωn

)2)

(1−

(ωωn

)2)2

+(2ξ

(ωωn

))2, (4.14)

B2 =Fk

ckω(

1− (mk

)ω2

)2+

(ck

)ω2

=Fk

2ξ ωωn(

1 −(

ωωn

)2)2

+(2ξ

(ωωn

))2. (4.15)

Definindo o quociente entre a frequência de excitação ω e a frequêncianatural não amortecida ωn como a razão de frequências β,

β =ω

ωn

, (4.16)

e o deslocamento da massa devido a uma força estática de grandeza Fcomo deslocamento estático Xs,

Xs =F

k, (4.17)

as expressões (4.14) e (4.15) para B1 e B2 escrevem-se,


B1 =Xs (1− β2)

(1− β2)2 + (2ξβ)2 , B2 =Xs (2ξβ)

(1− β2)2 + (2ξβ)2 . (4.18)

Em consequência, a resposta permanente ou estacionária xp (t) escreve-se,

xp (t) =Xs

(1− β2)2 + (2ξβ)2

((1− β2

)cos ωt + 2ξβ sin ωt

), (4.19)

ou ainda na forma,

xp (t) =Xs√

(1− β2)2 + (2ξβ)2cos (ωt− φ) = X (ω) cos (ωt− φ). (4.20)

Assim, a resposta permanente xp (t) é do tipo harmónico, de frequên-cia ω idêntica à frequência de excitação, de amplitude X (ω) e com umdesfasamento φ em relação à excitação. A amplitude X (ω) e o ângulo defase φ do movimento estacionário valem, conforme a expressão (4.19),

X (ω) =Xs√

(1− β2)2 + (2ξβ)2, (4.21)

φ = tan−1 B2

B1

= tan−1 2ξβ

(1− β2). (4.22)

Note-se que quer a amplitude X (ω) quer o ângulo de fase φ dependemda frequência de excitação ω.

4.4.1 Factor de amplificação dinâmica

É corrente exprimir a resposta estacionária do sistema em termos da razãoentre a amplitude dinâmica X (ω) e o deslocamento estático Xs, provo-cado por uma força estática de grandeza F idêntica à amplitude da forçadinâmica harmónica f (t) = F cos ωt, que se designa por factor de amplifi-cação dinâmica µ,

µ =X (ω)

Xs

=1√

(1− β2)2 + (2ξβ)2. (4.23)

4.5 Resposta total 71

Em termos do factor de amplificação dinâmica, a resposta permanenteou estacionária harmónica (4.20) pode escrever-se,

xp (t) = Xsµ cos (ωt− φ) . (4.24)

4.5 Resposta total

O movimento de resposta do sistema em regime forçado harmónico, re-presentado pela solução geral (4.3) da equação diferencial de movimento(4.2), com uma componente transitória e uma componente permanente ouestacionária, pode exprimir-se então na seguinte forma,

x (t) = e−ξωnt (A1 cos ωdt + A2 sin ωdt)

+F

k

1

(1− β2)2 + (2ξβ)2

((1− β2

)cos ωt + 2ξβ sin ωt

).

(4.25)

Após rearranjo, pode ainda escrever-se como

x (t) = e−ξωnt (A1 cos ωdt + A2 sin ωdt)

+F

k

1√(1− β2)2 + (2ξβ)2

cos (ωt− φ), (4.26)

onde as constantes A1 e A2 são determinadas a partir das condições inici-ais de movimento, x (t = 0) = x0 e x (t = 0) = x0. Após o desaparecimentoda componente transitória, dependente do amortecimento do sistema edas condições iniciais, o movimento designa-se por permanente ou esta-cionário harmónico e manter-se-á enquanto se mantiver a solicitação. Nafigura 4.6 representa-se o movimento de resposta do sistema.

4.6 Características da resposta permanente

A amplitude dinâmica X (ω) (4.21), ou o factor de amplificação dinâmicaµ (4.23), e o ângulo de fase φ (4.22) da componente estacionária depen-dem da frequência de excitação ω e caracterizam a vibração estacionáriade resposta do sistema. Para analisar a variação destes parâmetros coma frequência de excitação, adopta-se, por uma questão de comodidade detratamento, a razão de frequência β = ω

ωnem vez da frequência de exci-

tação ω.


t

xp(t

)x

h(t

)

Figura 4.5: Resposta do sistema: transitória e estacionária

4.6.1 Factor de amplificação dinâmica

Derivando a expressão (4.23) do factor de amplificação dinâmica, que serepete de seguida,

µ =1√

(1− β2)2 + (2ξβ)2, (4.27)

em relação a β e igualando a zero, ∂µ(β,ξ)∂β

= 0, obtém-se a seguinte equaçãoem β,

∂µ (β, ξ)

∂β=

β [β2 + 2ξ2 − 1][(1− β2)2 + (2ξβ)2] √

(1− β2) + (2ξβ)2

=β (β2 + 2ξ2 − 1)

[(1− β2)2 + (2ξβ)2] 3

2

= 0.

(4.28)

O factor de amplificação dinâmica µ apresenta valores extremos para∂µ(β,ξ)

∂β= 0 , o que, de acordo com (4.28), ocorre para β = 0 e para,

β2 + 2ξ2 − 1 = 0. (4.29)

4.6 Características da resposta permanente 73

t

x(t

)

Figura 4.6: Resposta do sistema

Resolvendo a equação anterior, o máximo absoluto da factor de ampli-ficação ou da amplitude de resposta, ocorre para uma razão de frequên-cias,

β|µmax=

√1− 2ξ2 (4.30)

e o seu valor máximo obtém-se por substituição de β na expressão (4.27),

µmax =1

2ξ√

1− ξ2. (4.31)

A frequência de excitação para a qual o factor de amplificação dinâmicaé máximo designa-se por frequência de ressonância de amplitude de deslo-camento, e de (4.16) e (4.30) vale,

ωr = ωn

√1− 2ξ2. (4.32)

Em relação à frequência natural amortecida e não amortecida, a fre-quência de ressonância de amplitude de deslocamento verifica a relaçãoωr < ωd < ωn.

Refira-se que podem também definir-se frequências de ressonância deamplitude de velocidade e de aceleração. No entanto, doravante utiliza-sea designação abreviada ‘frequência de ressonância’ para referir a frequên-cia de ressonância de amplitude de deslocamento.

Na figura 4.7 apresenta-se uma representação paramétrica do factor deamplificação dinâmica em função da frequência de excitação, tendo comoparâmetro a razão de amortecimento.


0 10

1

β =ω

ωn

µ

ξ = 0

ξ = 0.1

ξ = 0.2

ξ = 0.3

ξ = 0.5ξ = 0.7

ξ = 1

Figura 4.7: Factor de amplificação dinâmica µ em função da razão de fre-quências β tendo como parâmetro a razão de amortecimento ξ

Da análise conjunta das expressões (4.27) e (4.28) e da figura 4.7 decor-rem alguns dos seguintes aspectos relevantes para a caracterização da res-posta estacionária do sistema. Assim, verifica-se que,

• β = 0 : representa a aplicação estática de uma força de grandeza F e odeslocamento do sistema é o deslocamento estático Xs, sendo µ = 1;

• β = ∞ : o factor de amplificação dinâmica tende para zero e, emconsequência, a amplitude tende igualmente para zero. Esta situaçãorepresenta o caso para o qual a frequência de excitação ω é muitosuperior à frequência natural ωn. Este caso corresponde ao mínimoabsoluto de cada curva;

• β =√

1− 2ξ2 : o factor de amplificação dinâmica é máximo paraξ <

√2

2;

• O valor máximo de µ para ξ <√

22

é igual a µmax = 1

2ξ√

1−ξ2;


• A amplitude de resposta máxima ocorre para uma frequência de ex-citação ωr = ωn

√1− 2ξ2 designada por frequência de ressonância de

amplitude;

• Para β = 1 , ou ω = ωn, o factor de amplificação dinâmica é igualµ = 1

2ξ, verificando-se que é inversamente proporcional à razão de

amortecimento;

• O factor de amplificação dinâmica ou a amplitude apresentam umagrande sensibilidade ao amortecimento na vizinhança da frequênciade ressonância, onde um ligeiro aumento do amortecimento reduzde forma significativa o factor de amplificação dinâmica;

• Para ξ >√

22

, o gráfico de µ não apresenta "picos"e o valor máximode µ é igual a 1 para ω = 0;

• Para ξ = 0 , sistema não-amortecido, existe uma descontinuidadepara β = 1 e o factor de amplificação dinâmica e a amplitude tendempara infinito;

• Na banda de baixa frequência, ω << ωn, o comportamento do sis-tema é condicionado pela rigidez, e nas altas frequências, ω >> ωn ,é condicionado pela massa.

4.6.2 Ângulo de fase

Conforme se estabeleceu na secção 4.4, a resposta estacionária apresentaum desfasamento em relação à excitação. Na figura 4.8 apresenta-se a vari-ação do ângulo de fase entre a excitação e a resposta em função da frequên-cia de excitação tendo como parâmetro a razão de frequência. A figura 4.8ilustra os seguintes aspectos:

• Independentemente do valor da razão de amortecimento ξ, a res-posta e a excitação estão:

– em fase: φ = 0 se β = 0 (ω = 0) ;

– em quadratura de fase: φ = π2

se β = 1 (ω = ωn) ;

– em oposição de fase: φ = π se β →∞ (ω >> ωn) .

• Para β = 1 (ω = ωn) e qualquer que seja o amortecimento, a respostaestá em quadratura com a excitação, φ = π

2;


10

β =ω

ωn

φ

π

π

2

ξ = 0

ξ = 0.1ξ = 0.2

ξ = 0.3 ξ = 0.5 ξ = 0.7 ξ = 1

Figura 4.8: Ângulo de fase φ em função da razão de frequências β tendocomo parâmetro a razão de amortecimento ξ

• A frequência de excitação ω = ωn, para a qual a resposta está emquadratura com a excitação, φ = π

2, designa-se por frequência de

ressonância de fase;

• O ângulo de fase depende dos parâmetros do sistema m, c e k e dafrequência de excitação ω;

• O desfasamento é pequeno para pequenos valores de β (baixas fre-quências). Para valores de β elevados (altas frequências), o ângulode fase tende para π de forma assimptótica;

• Para um sistema não amortecido, ξ = 0, o ângulo de fase é iguala 0 para β < 1 e igual a π para β > 1, apresentando uma descon-tinuidade para β = 1;

• Abaixo da ressonância de fase, β < 1, o ângulo de fase aumenta como amortecimento enquanto que, para β > 1, o ângulo de fase diminuicom o amortecimento.

4.6.3 Resposta para β = 1

A análise do factor de amplificação dinâmica na secção 4.6.1 revelou que abanda de frequências de excitação em torno da frequência de ressonânciaconstitui uma zona crítica para o funcionamento do sistema.

Para β = 1 (ω = ωn), substituindo na expressão (4.26), a resposta totalé dada pela expressão,

x (t) = e−ξωnt (A1 cos ωdt + A2 sin ωdt) +F

k

1

2ξcos

(ωt− π

2

)(4.33)


ou,

x (t) = e−ξωnt (A1 cos ωdt + A2 sin ωdt) +F

k

1

2ξsin ωt. (4.34)

Admitindo condições iniciais nulas, x0 = x0 = 0 , as constantes A1 e A2

vêm,

A1 = 0, A2 = −F

k

1

2ξ

ω

ωd

. (4.35)

Introduzindo as constantes A1 e A2 na expressão (4.34) acima obtém-se,

x (t) = e−ξωnt

(−F

k

1

2ξ

ω

ωd

sin ωnt

)+

F

k

1

2ξsin ωt

=F

k

1

2ξ

(−e−ξωnt ω

ωd

sin ωnt + sin ωt

).

(4.36)

Para β = 1 (ω = ωn) e para ξ << 1 vem ωωd

∼= 1 e ω ∼= ωd, pelo que aexpressão anterior se simplifica na forma,

x (t) ∼= F

k

1

2ξ

(1− e−ξωnt

)sin ωt. (4.37)

Verifica-se, assim, que a resposta para β = 1 aumenta gradualmentecom o tempo na fase transitória e tende assimptoticamente para o valorlimite F

k12ξ

correspondente à amplitude estacionária, figura 4.9. O númerode ciclos necessários para que a resposta com β = 1 atinja a amplitudeestacionária F

k12ξ

depende do valor do amortecimento do sistema.

0

0

t

x(t

)

Fk

1

2ξ

−

Fk

1

2ξ

Figura 4.9: Resposta para β = 1


4.6.4 Representação vectorial

A amplitude X (ω) e a fase φ da resposta permanente podem determinar-se através de um diagrama de vectores em rotação com velocidade angularconstante e igual à frequência ω do movimento harmónico. A equaçãodiferencial de movimento harmónico (4.2) exprime que a soma das forçasactuantes sobre o sistema é nula e pode reescrever-se na forma,

mx (t) + cx (t) + kx (t)− F cos ωt = 0, (4.38)

ou ainda,

fj (t) + fc (t) + fk (t)− f (t) = 0, (4.39)

onde, como x (t) = X (ω) cos (ωt− φ), estas forças têm por valor,

• fj (t) : força de inércia, em oposição de fase em relação ao desloca-mento,

fj (t) = mx (t) = −ω2mX (ω) cos (ωt− φ)

= ω2mX (ω) cos (ωt− φ + π) ;(4.40)

• fc (t) : força de amortecimento, em avanço de fase π2

(quadratura)sobre o deslocamento,

fc (t) = cx (t) = −ωcX (ω) sin (ωt− φ)

= ωcX (ω) cos(ωt− φ +

π

2

);

(4.41)

• fk (t) : força de restituição elástica, em fase com o deslocamento,

fk (t) = kx (t) = kX (ω) cos (ωt− φ) ; (4.42)

• f (t) : força exterior, em avanço de fase φ em relação ao desloca-mento,

f (t) = F cos ωt. (4.43)


Figura 4.10: Diagrama de forças em regime harmónico

O valor instantâneo destas forças de tipo harmónico com frequência ωé dado pela projecção sobre um eixo de vectores em rotação com a mesmavelocidade angular ω, conforme se representa na figura 4.10. Cada um dosvectores representa a amplitude da respectiva força.

A figura 4.10 ilustra a condição de equilíbrio dinâmico, onde a somados vectores representativos de mx(t), cx e kx(t) equilibra f(t). A condiçãodada pelo polígono de vectores permite escrever,

(kX − ω2mX

)2+ (ωcX)2 = F 2, (4.44)

donde decorre a expressão seguinte para a amplitude,

X =F√

(k − ω2m)2 + (ωc)2. (4.45)

Para o ângulo de fase φ, da figura 4.10 retira-se facilmente a sua ex-pressão,

φ = tan−1 ωc

k − ω2m. (4.46)

Um método alternativo, ainda que assente na mesma ideia de base,consiste em substituir (ou representar) os vectores por números complexos,conforme será exposto na secção 4.11.


4.7 Transmissibilidade de força

As forças geradas pela vibração de um sistema mecânico transmitem-se àestrutura de suporte do sistema através da suspensão elástica, conformese representa na figura 4.11.

mk x ( t )

c x ( t ). F c o s w t

m

k

c

x ( t )f ( t ) = F c o s w t

( a ) S i s t e m a v i b r a t ó r i o

( b ) D i a g r a m a d e c o r p o l i v r e

Figura 4.11: Força transmitida ao apoio

A força fT (t) transmitida ao suporte do sistema é igual a:

fT (t) = kx (t) + cx (t) . (4.47)

Introduzindo x (t) = X (ω) cos (ωt− φ) com φ = tan−1 2ξβ1−β2 obtém-se:

fT (t) = kX (ω) cos (ωt− φ)− ωcX (ω) sin (ωt− φ) . (4.48)

Agrupando os dois termos da expressão anterior, a expressão parafT (t) vem,

fT (t) =

√k2 + (ωc)2 X (ω) cos (ωt− φ + γ) (4.49)

onde γ é dado por,

γ = tan−1 ωc

k= tan−1 2ξβ. (4.50)

Após substituição da amplitude X (ω) obtém-se:

4.7 Transmissibilidade de força 81

fT (t) =F

k

√k + (ωc)2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

cos (ωt− ψ)

= F

√1 + (2ξβ)2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

cos (ωt− ψ)

= FT cos (ωt− ψ)

, ψ = φ + γ. (4.51)

A força transmitida ao suporte, fT (t), é, pois, uma força harmónica defrequência ω e amplitude FT ,

FT = F

√1 + (2ξβ)2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

. (4.52)

A transmissão de força ao suporte é representada pela razão entre aamplitude F da solicitação aplicada e a amplitude FT da força transmitidae designa-se por transmissibilidade TR (de força):

TR =FT

F=

√1 + (2ξβ)2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

. (4.53)

A figura 4.12 representa a variação da transmissibilidade TR em funçãoda razão de frequências β e da razão de amortecimento ξ, onde devemobservar-se os seguintes aspectos relevantes:

• β ∼= 1 ∴ TR > 1 ∴ FT > F ;

• β =√

2 ∴ TR = 1 ( ∀ξ );

• β →∞ ∴ TR → 0;

• para β >√

2 ou ω >√

2ωn, a transmissibilidade diminui à medidaque o amortecimento diminui;

• isolamento de vibração, TR < 1, sse β >√

2 ou ω >√

2ωn, indepen-dentemente do amortecimento presente no sistema.


0 10

1

β =ω

ωn

TR

=F

T(ω

)F

√

2

ξ = 0

ξ = 0.1

ξ = 0.2

ξ = 0.3

ξ = 0.5

ξ = 0.7

Figura 4.12: Transmissibilidade em função da frequência

4.8 Sistema não amortecido

Nesta secção apresentam-se alguns resultados para o caso particular dosistema não amortecido (c = 0 ou ξ = 0).

mk

x ( t )f ( t ) = F c o s w t

Figura 4.13: Modelo do sistema não amortecido em regime harmónico

4.8 Sistema não amortecido 83

4.8.1 Equação de movimento

mx (t) + kx (t) = F cos ωt (4.54)

4.8.2 Resposta transitória

xh (t) = A1 cos ωnt + A2 sin ωnt ωn =

√k

m(4.55)

4.8.3 Resposta estacionária ou permanente

• Amplitude:

X (ω) =Xs

|1− β2| (4.56)

• Factor de amplificação dinâmica:

µ =X (ω)

Xs

=1

|1− β2| (4.57)

• Fase:

φ =

0 para β < 1 (ω < ωn)π para β > 1 (ω > ωn)

(4.58)

• Resposta permanente ou estacionária:

xp (t) = X (ω) cos (ωt− φ) =Xs

|1− β2| cos (ωt− φ) (4.59)

4.8.4 Resposta totalResposta total x (t) = xh (t) + xp (t) do sistema:

xh (t) = A1 cos ωnt + A2 sin ωnt + Xs1

|1− β2| cos (ωt− φ) (4.60)

Admitindo condições iniciais x (t = 0) = x0 e x (t = 0) = v0, determi-nam-se as constantes A1 e A2. Derivando a expressão de x (t) para obter avelocidade x (t):


0

F

t

f(t

)

0

X

t

x(t

)

(a) β < 1 (ω<ωn)

0

F

t

f(t

)

0

X

tx(t

)

(b) β > 1 (ω>ωn)

Figura 4.14: Resposta estacionária do sistema não amortecido

x (t) = −ωnA1 sin ωnt + ωnA2 cos ωnt− ωXs1

|1− β2| sin (ωt− φ) . (4.61)

Introduzindo as condições iniciais nas expressões de x (t) e x (t):

A1 = x0 −Xs1

|1− β2| cos (φ) (4.62)

ωnA2 − ωXs1

|1− β2| sin (−φ) = v0ωnA2 = v0 (4.63)

A2 =v0

ωn

(4.64)

Após substituição das constantes A1 e A2, a resposta total x (t) escreve-se:

x (t) =

[x0 −Xs

1

|1− β2| cos (φ)

]cos ωnt +

v0

ωn

sin ωnt

+ Xs1

|1− β2| cos (ωt− φ)

(4.65)


Dependendo do valor da razão de frequências β, consideram-se trêscasos distintos conforme a condição:

• 0 < β < 1 (ω < ωn);

• β > 1 (ω > ωn);

• β = 1 (ω = ωn).

Caso 1: 0 < β < 1 (ω < ωn)

x (t) =

[x0 −Xs

1

|1− β2| cos (φ)

]cos ωnt +

v0

ωn

sin ωnt

+ Xs1

|1− β2| cos (ωt)

(4.66)

t

x(t

)

2π

ω

2π

ωn

Figura 4.15: Resposta para β < 1 (ω < ωn)

Caso 2: β > 1 (ω > ωn)


x (t) =

(x0 + Xs

1

|1− β2|)

cos ωnt +v0

ωn

sin ωnt + Xs1

|1− β2| cos (ωt− π)

=

(x0 + Xs

1

|1− β2|)

cos ωnt +v0

ωn

sin ωnt−Xs1

|1− β2| cos (ωt)

=

(x0 + Xs

1

β2 − 1

)cos ωnt +

v0

ωn

sin ωnt−Xs1

β2 − 1cos (ωt)

(4.67)

t

x(t

)

2π

ω

2π

ωn

Figura 4.16: Resposta para β > 1 (ω > ωn)

Caso 3: β = 1 (ω = ωn)

Para β < 1 (ω < ωn) a resposta x (t) pode ainda escrever-se naforma:

x (t) = x0 cos ωnt + v0

ωnsin ωnt + Xs

cos ωt− cos ωnt

1−(

ωωn

)2

(4.68)

A expressão anterior apresenta um valor indeterminado para β =1. Para levantar a indeterminação da 3a parcela utilizando a regrade L’Hopitâle, vem,


limω→ωn

cos ωt− cos ωnt

1−(

ωωn

)2

= lim

ω→ωn

ddω

(cos ωt− cos ωnt)

ddω

(1−

(ωωn

)2)

= limω→ωn

(−t sin ωt

− 2ωω2

n

)

=

(t sin ωnt

2ωn

)=

1

2ωnt sin ωnt

(4.69)

Após introdução do resultado acima, a resposta x (t) para β = 1escreve-se:

x (t) = x0 cos ωnt +v0

ωn

sin ωnt +Xs

2ωnt sin ωnt (4.70)

Verifica-se que a resposta cresce indefinidamente e com uma taxade crescimento igual a Xsπ por cada ciclo, conforme se representana figura 4.17.

0

0

t

x(t

)

Figura 4.17: Resposta para β = 1 (ω = ωn)

4.8.5 Batimento

Para uma frequência de excitação ω próxima da frequência natural ωn dosistema, ocorre um fenómeno designado por batimento. Neste tipo de


vibração, a amplitude do movimento aumenta e diminui de uma formaregular.

A resposta x (t) para condições iniciais nulas, x (t = 0) = x (t = 0) = 0 :

x (t) = Xs1

1− β2(cos ωt− cos ωnt)

= Xs1

1− β2

(2 sin

(ω + ωn

2t

)sin

(ω − ωn

2t

)). (4.71)

Para uma frequência de excitação ligeiramente inferior à frequêncianatural,

ωn − ω = 2ε ∴ ωn + ω ∼= 2ω. (4.72)

Introduzindo estes resultados na expressão de x(t), obtém-se

x (t) =

(Xs

1

1− β2sin εt

)sin ωt. (4.73)

Como ε é muito pequena, a função sin εt varia muito lentamente, istoé, o seu período, igual a 2π

ε, é muito grande. Assim, a expressão para x (t)

pode ser entendida como representando uma vibração com período 2πω

ede amplitude variável igual a Xs

11−β2 sin εt, ver figura 4.18.

0

0

t

x(t

)

Figura 4.18: Fenómeno de batimento

O intervalo de tempo entre pontos de amplitude nula ou de amplitudemáxima designa-se por período de batimento e é dado por,

Tb =2π

2ε=

2π

ωn − ω. (4.74)

4.9 Vibração provocada por um desequilíbrio em rotação 89

4.9 Vibração provocada por um desequilíbrio emrotação

O desequilíbrio em equipamentos rotativos é uma das principais causas devibração em máquinas e equipamentos: turbinas, bombas, compressores,ventiladores, máquinas ferramentas. A força centrífuga devida a massasdesequilibradas em rotação provoca a excitação harmónica do sistema.

Um modelo simplificado deste tipo de equipamento está representadona figura 4.19a. O modelo consiste numa massa principal, m, e em duasmassas excêntricas, m0/2, que rodam em sentidos opostos com uma ve-locidade angular constante ω.

c k2

k2

w

x ( t )

m0

2

m0

2

eew tw t

w

e w 2 s i n w tm0

2

e w 2 c o s w tm0

2e w 2 c o s w tm

0

2

e w 2 s i n w tm0

2e w 2m

0

2e w 2m

0

2

m

(a) Sistema de massas excêntricas

m g

k2xk

2x c x

.

k2dk

2d

e w 2 s i n w tm

0

2

e w 2 c o s w tm

0

2e w 2 c o s w t

m0

2

e w 2 s i n w tm

0

2

m x. .

(b) Diagrama de corpo livre

Figura 4.19: Massas excêntricas em rotação


Para duas massas excêntricas iguais, m0

2, rodando em sentidos con-

trários, as componentes horizontais das forças centrífugas 12m0eω

2, devi-das à rotação de cada massa excêntrica, equilibram-se mutuamente, figura 4.19a.Ao contrário, as componentes verticais das forças centrífugas somam-se,conforme se representa na figura 4.19a. Se a posição angular das massas émedida a partir da horizontal, a componente vertical da excitação é dadapor f (t) = m0eω

2 sin ωt.Para estabelecer a equação de movimento do sistema, considere-se o

diagrama de corpo livre representado na figura 4.19b. A análise do di-agrama de corpo livre permite concluir que as duas massas excêntricasem rotação exercem na massa principal duas forças verticais que se adi-cionam e duas forças horizontais que se equilibram mutuamente. Devidoao cancelamento das forças horizontais, a massa principal não realiza mo-vimento na direcção horizontal, de modo que apenas é necessário conside-rar o movimento vertical x (t). Considerando o deslocamento x (t) medidoa partir da posição de equilíbrio estático (mg = kδ), e utilizando a 2a lei deNewton (F = Q), a equação de movimento do sistema escreve-se,

mx + cx + kx = m0eω2 sin ωt (4.75)

Da equação diferencial de movimento do sistema verifica-se que asmassas excêntricas em rotação exercem uma excitação harmónica no sis-tema, de amplitude m0eω

2 e de frequência ω. A equação (4.75) é for-malmente idêntica à equação de movimento do oscilador elementar emregime forçado harmónico, mx + cx + kx = F sin ωt, e a sua solução podeser determinada através da substituição de F por m0eω

2.A solução permanente ou estacionária da equação (4.75) escreve-se,

x (t) = X (ω) sin (ωt− φ) (4.76)

onde X (ω) e φ representam, respectivamente, a amplitude e o ângulo defase dados pelas expressões,

X (ω) =m0eω

2

[(k − ω2m)2 + (ωc)2]1/2

(4.77a)

φ = tan−1

(ωc

k − ω2m

)(4.77b)

Definindo ξ = ccc

, cc = 2mωn com ωn =√

k/m e β = ω/ωn, as ex-pressões (4.77) podem reescrever-se como,

mX (ω)

m0e=

β2

[(1− β2)2 + (2ξβ)2]1/2

(4.78a)

4.9 Vibração provocada por um desequilíbrio em rotação 91

φ = tan−1

(2ξβ

1− β2

)(4.78b)

A variação de mX (ω) /m0e com a razão de frequências β para dife-rentes valores de ξ mostra-se na figura 4.20. Da figura 4.20 e da equação(4.78a) pode observar-se:

0 1 2 3 ...0

1

2

3

4

5

6

r =ω

ωn

mX

(ω)

m0e

ξ = 0.7ξ = 0.5

ξ = 0.3

ξ = 0.9

ξ = 0.1

ξ = 0

Figura 4.20: Variação de mX (ω) /m0e com a razão de frequências r =ω/ωn.

i) Todas as curvas apresentam amplitude nula para ω = 0. A amplitude,na região de ressonância (ω ≈ ωn), é significativamente influenciadapelo amortecimento. Assim, se o equipamento opera na proximidadeda ressonância, deve ser introduzido amortecimento com o propósitode evitar amplitudes perigosas;

ii) Para velocidades de rotação ω elevadas, mX (ω) /m0e aproxima-se daunidade, o efeito do amortecimento é insignificante (desprezável) e aamplitude X (ω) ≈ m0e/m;

iii) Para 0 < ξ < 1√2, o valor máximo de mX(r)

m0eocorre quando se verifica

d

dβ

(mX (β)

m0e

)= 0


cuja solução vale

β =1√

1− 2ξ2> 1. (4.79)

O pico de amplitude ocorre, pois, para β > 1. O correspondente má-ximo de mX(r)

m0evale

(mX (β)

m0e

)

max=

1

2ξ√

1− ξ2. (4.80)

iv) Para ξ > 1√2,(

mX(r)m0e

)não atinge um máximo. O seu valor cresce desde

0 para β = 0 até 1 quando β →∞.

4.10 Movimento harmónico da base

A excitação do sistema vibratório pode apresentar-se sob a forma de ummovimento imposto à base ou apoio do sistema massa-mola-amortecedor,conforme se representa na figura 4.21. Este tipo de excitação é, por vezes,designado por transmissão passiva, em oposição à transmissão activa quecaracteriza a excitação através de uma força directamente aplicada ao sis-tema.

Figura 4.21: Modelo do sistema com um grau de liberdade com excitaçãoharmónica da base

Neste caso, devem considerar-se as seguintes coordenadas para carac-terizar o movimento do sistema:

• x (t): grau de liberdade que corresponde ao deslocamento da massam a partir da sua posição de equilíbrio estático;

4.10 Movimento harmónico da base 93

• y (t): deslocamento imposto à base ou apoio do sistema;

• z (t) = x (t) − y (t): deslocamento da massa m em relação à base dosistema.

Assim, a elongação da mola elástica é dada por x (t) − y (t) e a ve-locidade relativa entre as duas extremidades do amortecedor é dada porx (t)− y (t) .


Na figura 4.22 representa-se o diagrama de corpo livre do sistema com aexcitação a ocorrer através de um movimento imposto ao apoio. Nestascondições, a equação diferencial de movimento escreve-se,

m

k ( x - y ) c ( x - y )..

Figura 4.22: Diagrama de corpo livre

mx (t) = −k (x (t)− y (t))− c (x (t)− y (t)) . (4.81)

Após rearranjo, a equação diferencial de movimento pode escrever-sena forma,

mx (t) + cx (t) + kx (t) = ky (t) + cy (t) . (4.82)

No caso particular do movimento y (t) imposto ao apoio ser harmónico,isto é,

y (t) = Y cos (ωt) , (4.83)

a equação diferencial de movimento vem,

mx + cx + kx = kY cos ωt− cωY sin ωt

= Y

√k2 + (ωc)2 cos (ωt + γ)

(4.84)

sendo


γ = tan−1 ωc

k= tan−1 2ξβ. (4.85)

A excitação pelo movimento da base é equivalente a uma força har-

mónica Y√

k2 + (ωc)2 cos (ωt + γ) aplicada ao sistema.

4.10.2 Resposta estacionária ou permanenteConsiderando a excitação pelo movimento da base equivalente a uma

força harmónica de amplitude Y√

k2 + (ωc)2 aplicada ao sistema, podeentão utilizar-se a expressão (4.21) para determinar a resposta permanenteou estacionária do sistema que vale,

x (t) =Y

k

√k2 + (ωc)2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

cos (ωt + γ − φ)

= Y

√1 + (2ξβ)2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

cos (ωt− ψ)

= X (ω) cos (ωt− ψ)

, ψ = φ− γ (4.86)

onde a amplitude X (ω) e o desfasamento ψ são dados pelas seguintesexpressões:

X (ω) = Y

√1 + (2ξβ)2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

; (4.87)

ψ = tan−1 2ξβ3

1− β2 + (2ξβ)2 . (4.88)

Deve notar-se que a amplitude de resposta X (ω) é proporcional à am-plitude Y do movimento imposto ao apoio.

4.10.3 Transmissibilidade de deslocamentoA transmissão de deslocamento da base para a massa é representada pelarazão entre a amplitude X (ω) do movimento da massa e a amplitude Y domovimento da base e é designada por transmissibilidade de deslocamentoTR,


TR =X (ω)

Y=

√1 + (2ξβ)2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

. (4.89)

Na figura 4.23 representa-se parametricamente, sendo o parâmetro arazão de amortecimento ξ, a transmissibilidade de deslocamento TR emfunção da razão de frequências β = ω

ωn.

0 10

1

β =ω

ωn

TR

=X

(ω)

Y

√

2

ξ = 0

ξ = 0.1

ξ = 0.2

ξ = 0.3

ξ = 0.5

ξ = 0.7

Figura 4.23: Transmissibilidade de deslocamento em função da razão defrequência

A frequência à qual ocorre o valor máximo da amplitude de resposta,frequência de ressonância, pode determinar-se através da condição

∂ (TR (β, ξ))

∂β= 0 (4.90)

que conduz ao seguinte valor da razão de frequências, βr, para a condiçãode ressonância,

βr = β |TRmax =1

2ξ

[√1 + 8ξ2 − 1

]1/2. (4.91)


O valor máximo da amplitude de resposta pode agora ser determinadosubstituindo (4.91) na expressão (4.89), obtendo-se,

TRmax = 4ξ2

[ √1 + 8ξ2

2 + 16ξ2 + (16ξ4 − 8ξ2 − 2)√

1 + 8ξ2

]1/2

. (4.92)

Da análise da figura 4.23 devem notar-se, entre outros, os seguintesaspectos relevantes:

• Na banda de frequência em torno da ressonância, a transmissibili-dade é muito sensível ao amortecimento; nesta banda, a transmissi-bilidade é “controlada” pelo amortecimento;

• Para a frequência de excitação igual a√

2ωn, independentemente dovalor do amortecimento, a transmissibilidade é igual a 1;

• Para frequências de excitação inferiores a√

2ωn, o aumento do amor-tecimento conduz à diminuição da transmissibilidade;

• Para frequências de excitação superiores a√

2ωn, o aumento do a-mortecimento conduz ao aumento da transmissibilidade.

4.10.4 Movimento relativo

Equação de movimento

Em relação à base móvel à qual é imposto o movimento y (t), o movimentorelativo da massa m é definido pela coordenada z (t) = x (t)− y (t) . Efec-tuando a mudança de variável x (t) = y (t)+z (t) e substituindo na equação(4.82), obtém-se a equação diferencial de movimento relativo,

mz (t) + cz (t) + kz (t) = −my (t) . (4.93)

No caso de uma excitação harmónica y (t) = Y cos ωt, a equação demovimento escreve-se então,

mz (t) + cz (t) + kz (t) = mω2Y cos (ωt) (4.94)

onde a excitação para o movimento relativo vale mω2Y cos (ωt).


Resposta estacionária ou permanente

De acordo com a expressão (4.21), a resposta estacionária ou permanentez (t) do movimento relativo é dada pela expressão:

z (t) =Y

k

ω2m√(1− β2)2 + (2ξβ)2

cos (ωt− φ)

= Yβ2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

cos (ωt− φ)

= Z (ω) cos (ωt− φ)

(4.95)

onde a amplitude Z (ω) é proporcional à amplitude do movimento im-posto ao apoio e vale,

Z (ω) = Yβ2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

. (4.96)

Transmissibilidade relativa

A razão entre a amplitude Z (ω) do movimento relativo z (t) e a amplitudeY do movimento y (t) da base designa-se por transmissibilidade relativaTRr:

TRr =Z (ω)

Y=

β2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

. (4.97)

Na figura 4.24 representa-se parametricamente, sendo o parâmetro arazão de amortecimento ξ, a transmissibilidade de deslocamento relativoTRrel em função da razão de frequências β = ω

ωn.

Da análise da figura 4.24 devem notar-se, entre outros, os seguintesaspectos relevantes:

• Na banda de frequência em torno da ressonância, a transmissibi-lidade relativa é muito sensível ao amortecimento; nesta banda, atransmissibilidade relativa é “controlada” pelo amortecimento;

• Para frequências de excitação elevadas, e independentemente do va-lor do amortecimento, a transmissibilidade relativa tende para 1, ouseja, a amplitude do movimento relativo é praticamente idêntica àamplitude do movimento imposto ao apoio; noutros termos, a massado sistema mantém-se praticamente estacionária.


0 10

1

β =ω

ωn

TR

=Z Y

ξ = 0

ξ = 0.1

ξ = 0.2

ξ = 0.3

ξ = 0.5ξ = 0.7

ξ = 0.9

ξ = 1

Figura 4.24: Transmissibilidade relativa em função da razão de frequência

4.11 Regime harmónico e exponencial complexa

Considere-se um sistema sujeito a uma solicitação exterior harmónica deamplitude F e frequência ω. Utilizando a exponencial complexa, a forçaharmónica pode escrever-se na forma,

f (t) = F ejωt (4.98)

onde F representa a amplitude da força de excitação harmónica e ω a fre-quência de variação harmónica ao longo do tempo.

A equação diferencial de movimento do sistema com um grau de liber-dade representado na figura 4.25 escreve-se então,

mx (t) + cx (t) + kx (t) = F ejωt. (4.99)

4.11 Regime harmónico e exponencial complexa 99

m

k

c

x ( t )f ( t ) = F e j w t

Figura 4.25: Modelo do sistema com um grau de liberdade em regimeforçado harmónico

4.11.1 Resposta permanente ou estacionária

A solução particular x (t) da equação diferencial de movimento (4.99) re-presenta a vibração permanente ou estacionária devida à excitação exte-rior e é da forma,

x (t) = X (jω) ejωt (4.100)

onde X (jω) é uma quantidade complexa designada por fasor. A primeirae a segunda derivadas em ordem ao tempo, respectivamente a velocidadee a aceleração do movimento permanente ou estacionário, escrevem-se,

x (t) = jωX (jω) ejωt, x (t) = −ω2X (jω) ejωt. (4.101)

Após substituição de (4.100) e (4.101) na equação diferencial de movi-mento (4.99), obtém-se a equação algébrica,

(−ω2m + jωc + k)X(jω)ejωt = F ejωt. (4.102)

Após divisão pela termo não nulo ejωt, obtém-se,

(−ω2m + jωc + k)X(jω) = F (4.103)

cuja solução fornece o valor de X (jω),

X(jω) = F1

(k − ω2m) + jωc. (4.104)

Assim, a resposta permanente ou estacionária pode escrever-se na forma,

x (t) = X (jω) ejωt. (4.105)


A quantidade complexa X (jω) contém informação sobre a amplitudedo movimento de resposta, dada pelo respectivo módulo, e sobre o des-fasamento entre a resposta e a excitação, dada pelo respectivo argumento.Com efeito, a quantidade complexa X (jω) pode escrever-se na forma

X (jω) =∣∣X (jω)

∣∣ e−jφ = X (ω) e−jφ (4.106)

onde X (ω) representa a amplitude do movimento permanente ou esta-cionário e φ a respectiva fase, dados pelas seguintes expressões,

X (ω) =∣∣X (jω)

∣∣

= F1

((k − ω2m)2 + (ωc)2)1/2

, φ = tan−1 ωc

k − ω2m. (4.107)

Após introdução de (4.106) em (4.100), a resposta permanente ou esta-cionária pode ainda escrever-se na forma,

x (t) = X (jω) ejωt = X (ω) e−jφejωt = X (ω) ej(ωt−φ). (4.108)

Considerando agora a amplitude definida por (4.107), após manipu-lação algébrica e introdução da razão de frequências β = ω

ωne da razão de

amortecimento ξ pode escrever-se,

X(ω) =∣∣X (jω)

∣∣

= F1√

(k − ω2m)2 + (ωc)2= F

1

k√

(1− β2)2 + (2ξβ)2

=F

k︸︷︷︸Xs

1√(1− β2)2 + (2ξβ)2

︸︷︷︸µ

= Xsµ

(4.109)

onde Xs = Fk

representa o deslocamento estático e µ = 1√(1−β2)2+(2ξβ)2

o factor de amplificação dinâmica, reencontrando-se, assim, o resultadoanteriormente estabelecido.

4.12 Função de resposta em frequência 101

4.12 Função de resposta em frequência

4.12.1 Função receptância

Considerando a resposta permanente ou estacionária x (t) = X (jω) ejωt

à solicitação f (t) = F ejωt, onde o fasor X (jω) é dado pela expressão(4.104), define-se como função de resposta em frequência de tipo recep-tância, α(jω), a razão entre o fasor X (jω) de resposta em deslocamento e aamplitude F da força aplicada,

α(jω) =X (jω)

F. (4.110)

Substituindo X (jω) pela expressão (4.104), obtém-se para a função re-ceptância,

α(jω) =1

(k − ω2m) + jωc. (4.111)

Deve notar-se que a função de resposta em frequência é uma funçãocomplexa da variável independente frequência (ω) e depende apenas daspropriedades mecânicas do sistema (m, c, k). É, pois, uma característicaintrínseca do sistema que pode utilizar-se para caracterizar o comporta-mento vibratório do sistema directamente no domínio da frequência. Afunção de resposta em frequência constitui, por isso, um modelo repre-sentativo do sistema, designado por modelo de resposta em frequência.

A função de resposta em frequência α (jω) contém informação sobrea amplitude do movimento de resposta (para uma força de amplitudeunitária), dada pelo respectivo módulo ou magnitude, e sobre o desfasa-mento entre a resposta e a excitação, dado pelo respectivo argumento.Com efeito, a função receptância α (jω) pode escrever-se na forma,

α(jω) = |α(jω)| e−jφ (4.112)

onde |α(jω)| representa a magnitude e φ a fase.Assim, a resposta permanente ou estacionária pode exprimir-se em ter-

mos da função receptância como sendo,

x (t) = X (jω) ejωt = Fα(jω)ejωt (4.113)

ou

x (t) = F |α(jω)| ej(ωt−φ). (4.114)


Note-se como a função receptância funciona como um modelo repre-sentativo do sistema para avaliação da sua resposta a uma determinadasolicitação harmónica.

Retomando a expressão (4.111) para α (jω), a função receptância podeexprimir-se em termos das suas componentes real e imaginária,

Re (α(jω)) =k − ω2m

(k − ω2m)2 + (ωc)2 , (4.115a)

Im (α(jω)) = − ωc

(k − ω2m)2 + (ωc)2 , (4.115b)

ou em termos da sua magnitude e fase,

|α(jω)| = 1((k − ω2m)2 + (ωc)2)1

2

, (4.116a)

φ = tan−1 ωc

k − ω2m. (4.116b)

A função de resposta em frequência receptância é, pois, uma funçãocomplexa cuja variável independente é a frequência ω. Assim, a funçãode resposta em frequência pode representar-se pela sua magnitude e faseem função da frequência, representação esta designada por diagrama deBode. Na figura 4.26 representa-se o diagrama de Bode da função de res-posta em frequência de tipo receptância.

0

0

−π

π

φ

ω

|α(j

ω)|

Figura 4.26: Função receptância-Diagrama de Bode

Em alternativa, a função de resposta em frequência pode também serrepresentada através da sua parte real e imaginária em função da frequên-cia, como se representa na figura 4.27 para a função receptância.


0R

e(α

)

0

0

ω

Im

(α)

Figura 4.27: Função receptância-Parte real e imaginária

Finalmente, a função de resposta em frequência pode ainda representar-se, sob uma forma paramétrica, no plano complexo, representação estaque recebe o nome de diagrama de Nyquist. Na figura 4.28 representa-seo diagrama de Nyquist da função receptância.

0

0

Re(α)

Im

(α)

Figura 4.28: Função receptância-Diagrama de Nyquist

4.12.2 Função mobilidadeA função de resposta em frequência pode igualmente definir-se em termosda resposta em velocidade, definindo-se então a função mobilidade, Y (jω),através da razão entre o fasor da velocidade, V (jω), e a amplitude da forçaaplicada, F ,


Y (jω) =V (jω)

F. (4.117)

Tendo em conta as relações (4.101), a função mobilidade pode exprimir-se como,

Y (jω) =V (jω)

F=

jωX (jω)

F= jωα (jω) . (4.118)

Assim, para a função mobilidade obtém-se a seguinte expressão,

Y (jω) = jω1

(k − ω2m) + jωc(4.119)

onde as partes real e imaginária de Y (ω) valem, respectivamente,

Re [Y (jω)] =ω2c

(k − ω2m)2 + (ωc)2 , (4.120a)

Im [Y (jω)] =ω (k − ω2m)

(k − ω2m)2 + (ωc)2 , (4.120b)

e a magnitude e a fase são dados por,

|Y (jω)| = ω((k − ω2m)2 + (ωc)2)1

2

, (4.121a)

φ = tan−1 k − ω2m

ωc. (4.121b)

Na figura 4.29 representa-se o diagrama de Bode da função mobilidadee na figura 4.30 estão representadas as partes real e imaginária.

Na representação paramétrica da função mobilidade Y (jω) no planocomplexo, adoptando como parâmetro a frequência ω, as partes real eimaginária verificam a seguinte equação,

(Re [Y (jω)]− 1

2c

)2

+ (Im [Y (jω)])2 =

(1

2c

)2

, (4.122)

a qual representa uma circunferência cujas coordenadas do centro e res-pectivo raio valem,

(xc; yc) =

(1

2c; 0

), r =

(1

2c

). (4.123)

Assim, o lugar geométrico dos pontos da função mobilidade no planocomplexo é uma circunferência centrada no semi-eixo real positivo. É


0

0

−π

π

φ

ω

|Y(j

ω)|

Figura 4.29: Função mobilidade-Diagrama de Bode

0

Re(Y

)

0

0

ω

Im

(Y)

Figura 4.30: Função mobilidade-Parte real e imaginária

nesta propriedade que assenta o algoritmo de identificação que consisteno ajustamento de uma circunferência aos pontos da função mobilidaderepresentada no plano complexo (circular curve-fitting). A figura 4.31 rep-resenta o diagrama de Nyquist da função mobilidade.

4.12.3 Função acelerância

A função de resposta em frequência pode ainda definir-se em termos daresposta em aceleração e designa-se como função acelerância, A(jω), sendodefinida pela razão entre o fasor da aceleração, A (jω), e a amplitude daforça aplicada, F ,


0

0

Re(Y )

Im

(Y)

Figura 4.31: Função mobilidade-Diagrama de Nyquist

A (jω) =A (jω)

F. (4.124)

Tendo em conta as relações (4.101), a função acelerância pode exprimir-se como,

A (jω) =A (jω)

F=

jωV (ω)

F= jωY (jω) (4.125)

ou

A (jω) =A (jω)

F=−ω2X (jω)

F= −ω2α (jω) . (4.126)

Considerando a expressão (4.125) ou a expressão (4.126), a função ace-lerância é dada pela seguinte função,

A (jω) = − ω2

(k − ω2m) + jωc. (4.127)

Separando as partes real e imaginária da acelerância obtém-se,

Re [A (jω)] = − (k − ω2m) ω2

(k − ω2m)2 + (ωc)2 , (4.128a)

Im [A (jω)] =ω2ωc

(k − ω2m)2 + (ωc)2 . (4.128b)


Para a magnitude e fase da acelerância tem-se,

|A (jω)| = ω2

((k − ω2m)2 + (ωc)2)1

2

, (4.129a)

φ = tan−1 ωc

k − ω2m. (4.129b)

Na figura 4.32 representa-se a função acelerância através da sua mag-nitude e fase enquanto que na figura 4.33 representam-se as partes real eimaginária.

0

0

−π

π

φ

ω

|A(j

ω)|

Figura 4.32: Função acelerância-Diagrama de Bode

0

Re(A

)

00

ω

Im

(A)

Figura 4.33: Função acelerância-Parte real e imaginária


A representação paramétrica de A (jω) no plano complexo, adoptandocomo parâmetro a frequência, está representada na figura 4.34.

0

0

Re(A)

Im

(A)

Figura 4.34: Função acelerância-Diagrama de Nyquist

4.12.4 Assimptotas da função de resposta em frequência

Tabela 4.1: Assimptotas da função de resposta em frequência

Função Massa RigidezReceptância α (jω) − 1

ω2m1k

log |α (jω)| −2 log (ω)− log (m) − log (k)Mobilidade Y (jω) − 1

ωmωk

log |Y (jω)| − log (ω)− log (m) log (ω)− log (k)

Acelerância A (jω) 1m

−ω2

k

log |A (jω)| − log (m) 2 log (ω)− log (k)


log(ω)

log(|α|)

−log(k)

−2log(ω)− log(m)

(a) Receptância

log(ω)

log(|Y|)

log(ω) − log(k)

−log(ω) − log(m)

(b) Mobilidade

log(ω)

log(|A|)

2log(ω) − log(k)

−log(m)

(c) Acelerância

Figura 4.35: Assimptotas da receptância, mobilidade e receptância


CAPÍTULO 5

Sistema com 1 grau de liberdadeRegime periódico

5.1 Introdução

Uma solicitação periódica, como se representa na figura 5.1, repete-se re-gularmente ao longo do tempo e pode exprimir-se por uma série de Fourier,que é uma série convergente de funções harmónicas cujas frequências sãomúltiplos inteiros de uma frequência fundamental.


O regime estacionário de um sistema sujeito a uma excitação periódicacomo se representa na figura 5.1,

f(t) = f(t + nT ), (5.1)

onde T representa o período e n um inteiro, é descrito pela equação dife-rencial de movimento

111

112 Capítulo 5. Sistema com 1 gdl: Regime periódico

t

f(t

)F

−F

T

Figura 5.1: Excitação periódica

mx (t) + cx (t) + kx (t) = f (t) . (5.2)

A solicitação periódica f (t) = f (t + nT ) de período T = 2πω

podeexpandir-se em série de Fourier na forma,

f (t) =F0

2+

∞∑p=1

Ap cos (pωt) +∞∑

p=1

Bp sin (pωt) , (5.3)

onde os coeficientes de Fourier são dados pelas seguintes expressões,

F0 =2

T

T∫

0

f (t) dt, (5.4a)

Ap =2

T

T∫

0

f (t) cos (pωt) dt, (5.4b)

Bp =2

T

T∫

0

f (t) sin (pωt) dt. (5.4c)

Agrupando em (5.3) os termos de pulsação idêntica, a série de Fourierpode ainda exprimir-se como

f (t) =F0

2+

∞∑p=1

Fp cos (pωt− ψp) , (5.5)

5.3 Resposta estacionária 113

onde

• F0

2representa o valor médio da solicitação periódica;

• F1 cos (ωt− ψ1) é o harmónico fundamental;

• Fp cos (pωt− ψp) p = 2, 3, . . . ,∞ são os harmónicos superiores de or-dem p.

Os coeficientes Fp e os ângulos de fase ψp p = 1, 2, . . . ,∞ são deter-minados pelas expressões

Fp =√

A2p + B2

p ψp = tan−1 Bp

Ap

p = 1, 2, . . . ,∞. (5.6)

Deste modo, a equação diferencial de movimento para uma solicitaçãoperiódica f (t) escreve-se na forma

mx (t) + cx (t) + kx (t) =F0

2+

∞∑p=1

Fp cos (pωt− ψp) . (5.7)

O segundo membro, representativo da solicitação externa, é uma somade uma constante, F0

2, e de funções harmónicas cuja frequência pω é um

múltiplo inteiro p da frequência fundamental ω = 2πT

.

5.3 Resposta estacionária

Pelo princípio da sobreposição de efeitos aplicado a sistemas lineares, de-termina-se a resposta do sistema sobrepondo a resposta individual a cadaum dos harmónicos da expansão da excitação periódica. Assim, para cadatermo presente na expansão da solicitação tem-se,

mx0 (t) + cx0 (t) + kx0 (t) =F0

2; (5.8a)

mx1 (t) + cx1 (t) + kx1 (t) = F1 cos (ωt− ψ1) ; (5.8b)

mx2 (t) + cx2 (t) + kx2 (t) = F2 cos (2ωt− ψ2) ; (5.8c)

...

mxp (t) + cxp (t) + kxp (t) = Fp cos (pωt− ψp) . (5.8d)


Para o termo constante F0

2, utilizando o método dos coeficientes inde-

terminados, vem

x0 (t) =F0

2k. (5.9)

Utilizando a solução estabelecida para o regime harmónico permanente,a solução particular correspondente a cada termo harmónico de ordem pescreve-se,

xp (t) =Fp

k

1√(1− β2

p

)2+ (2ξβp)

2cos (pωt− φp − ψp) , (5.10)

onde a razão de frequência βp e o ângulo de fase φp são dados pelas seguintesexpressões,

βp =pω

ωn

= pω

ωn

= pβ, (5.11)

φp = tan−1 2ξβp

1− β2p

. (5.12)

Aplicando o princípio da sobreposição de efeitos, a resposta perma-nente ou estacionária escreve-se então,

x (t) =F0

2k+

∞∑p=1

Fp

k

1√(1− β2

p

)2+ (2ξβp)2

cos (pωt− ψp − φp)

=F0

2k+

∞∑p=1

Xp(ω) cos (pωt− ψp − φp) .

(5.13)

De acordo com a expressão anterior, a resposta estacionária x (t) apre-senta, entre outras, as seguintes características:

• é um movimento periódico com o mesmo período de f (t), justifican-do-se assim a definição de regime estacionário periódico;

• a amplitude Xp (ω) e o desfasamento φp de cada harmónico depen-dem da ordem p.

Na figura 5.2 representa-se, de forma esquemática, a solicitação peri-ódica e respectiva expansão de Fourier assim como a resposta a cada umdos harmónicos presentes na solicitação e a resposta periódica do sistema.

5.3 Resposta estacionária 115f(t

)

x(t

)

=

+

+

+

+

+...

+

+

+

+

+...=

Figura 5.2: Solicitação periódica e respectiva resposta


Por analogia com o regime harmónico, pode igualmente definir-se umdeslocamento estático Xsp e um factor de amplificação dinâmica µp asso-ciados a cada harmónico de ordem p:

Xsp =Fp

k, (5.14)

µp =1√(

1− β2p

)2+ (2ξβp)

2=

1√(1− p2β2)2 + (2ξpβ)2

. (5.15)

Assim, a amplitude de cada harmónico presente na resposta pode escre-ver-se como sendo,

Xp (ω) = Xsp1√(

1− β2p

)2+ (2ξβp)

2= Xsp

1√(1− p2β2)2 + (2ξpβ)2

, (5.16)

onde a razão de frequências β = ωωn

é definida pela razão entre a frequênciafundamental ω e a frequência natural não amortecida do sistema ωn.

Factorizando o termo p2 no denominador, a expressão da amplitudepode ainda escrever-se na forma

Xp (ω) = Xsp1

p2

1√(1p2 − β2

)2

+ 1p2 (2ξβ)2

, (5.17)

da qual se infere que a amplitude Xp dos harmónicos diminui na razãoinversa do quadrado da ordem p. Para sistemas ligeiramente amortecidos,a amplitude dos harmónicos de ordem superior vale, aproximadamente,

Xp (ω) ∼= Xsp1

p2β2. (5.18)

De forma idêntica, a expressão da fase pode também escrever-se,

tan φp =1

p

2ξβ1p2 − β2

. (5.19)

Para os harmónicos de ordem superior, como 1p2 → 0, a fase vale apro-

ximadamente,

tan φp∼= − 2ξ

pβ, (5.20)


isto é, a fase φp → π.No entanto, deve referir-se que para ωr

∼= pω, o harmónico de ordemp cria condições de ressonância no sistema, de modo que nestas condiçãoa amplitude Xp pode assumir-se como predominante no espectro de res-posta do sistema, ainda que se verifique o facto de que Fp < F1.

• A amplitude Xp diminui na razão inversa do quadrado da ordem p;

• Para ωr < ω uma solicitação em série decrescente Fp transforma-senuma resposta em série Xp mais fortemente decrescente;

• Para ωr = pω (ressonância criada pelo harmónico de ordem p), aamplitude Xp é predominante na resposta do sistema;

• O desfasamento φp → π;

• ωr∼= pω : a amplitude Xp > X1 ( Fp < F1 );

• A amplitude dos harmónicos de x (t) decresce mais rapidamente quea dos harmónicos de f (t) , desde que a sua pulsação pω seja superiora aproximadamente uma vez e meia a pulsação ωn;

• O oscilador comporta-se como um filtro das altas frequências (filtropassa-baixo).

Exemplo H

A força exterior periódica f(t) representada na figura 5.4 actua sobre umsistema massa-mola-amortecedor (oscilador elementar) em regime perma-nente.

a) Calcular o espectro da função de excitação f(t) e da respectiva respostax(t) do sistema.

b) Representar graficamente as razões Fp

Fe Xp

Xs(Xs = F

ke p = 1, 2, 3, . . . , 9)

para os primeiros nove harmónicos nos dois casos seguintes:

i) ωn = 0.8ω ξ = 0.05

ii) ωn = 5.3ω ξ = 0.05


1 2 3 4 5p

Xp

Xp

Fp

p

ωr

ω

ωr

ω

a)

b-i)

b-ii)

Figura 5.3: a) Fp (pω) b-i) Xp (pω) com ωr < ω b-ii) Xp (pω) com ωr∼= 3ω

Resolução

a) Cálculo do espectro da função de excitação f(t) e da respectiva respostax(t) do sistema

O espectro de f (t) é dado pela expressão,

f (t) =F0

2+

∞∑p=1

Fp cos (pωt− ψp)

onde Fp =√

A2p + B2

p e ψp = tan−1 Bp

Apsão determinados a partir dos


0

t

f(t

)

F0

−F0

T

Figura 5.4: Solicitação periódica f(t)

coeficientes Ap e Bp do desenvolvimento em série de Fourier dadospelas expressões (5.4).

Neste caso particular, a função f (t) é par, isto é, f (t) = f (−t). As-sim, os coeficientes Bp p = 1, 2, . . ., são nulos. Além disso, o valormédio da função é nulo pelo que o coeficiente F0 é também nulo. Emconsequência, os coeficientes de Fourier Fp e ψp vêm,

Fp = |Ap| ψp =

0π

.

Calculem-se então os coeficientes Ap. Para isso, defina-se a função f (t),

f (t) =

F 0 ≤ t ≤ T4

−F T4≤ t ≤ 3T

4

F 3T4≤ t ≤ T

.

Substituindo a função f (t) na expressão (5.4b) dos coeficientes Ap,


Ap =2

T

(∫ T/4

0

F cos pωtdt +

∫ 3T/4

T/4

(−F ) cos pωtdt +

∫ T

3T/4

F cos pωtdt

)

=2F

T

1

pω

(sin pωt

∣∣∣∣T/40

− sin pωt

∣∣∣∣3T/4T/4

+ sin pωt

∣∣∣∣T

3T/4

)

=2F

T

T

p2π

(sin p

2π

Tt

∣∣∣∣T/40

− sin p2π

Tt∣∣ 3T/4T/4 + sin p

2π

Tt

∣∣∣∣T

3T/4

)

=F

pπ

((sin p

π

2

)−

(sin p

3π

2− sin p

π

2

)+

(sin p2π − sin p

3π

2

))

=2F

pπ

(sin p

π

2− sin p

3π

2

)=

2F

pπ

(sin p

π

2+ sin p

π

2

)

=4F

pπsin p

π

2

=

4Fpπ

p = 1, 5, 9, . . .

−4Fpπ

p = 3, 7, 11, . . .

0 p par

onde sin p3π2

= − sin pπ2. Os coeficientes Fp e ψp vêm então,

Fp =√

A2p + B2

p = |Ap| =

4Fpπ

p ímpar

0 p par,

ψp = tan−1 Bp

Ap

=

0 p = 1, 5, 9, . . .π p = 3, 7, 11, . . .0 p par

.

Repare-se que a amplitude Fp dos harmónicos de f (t) é inversamenteproporcional à sua ordem p. A força excitadora periódica f (t) exprime-se então como uma série de Fourier na forma,

f (t) =F0

2+

∞∑p=1

Fp cos (pωt− ψp)

=4F

π

(cos (ωt) +

1

3cos (3ωt− π) +

1

5cos (5ωt) +

1

7cos (7ωt− π) + . . .

).

Na figura 5.5a representa-se a solicitação f(t) e o desenvolvimento emsérie de Fourier considerando nove harmónicos, e na figura 5.5b pode


observar-se a aproximação fornecida para diferente número de har-mónicos. Na figura 5.6 representa-se o espectro de magnitude e faseda solicitação periódica f(t).

t

f(t

),Σ

fp(t

)

F0

−F0

(a) f(t) e aproximação por série de Fourier

t

f(t

),Σ

fp(t

)

F0

−F0

(b) aproximação para diferente número de termos

Figura 5.5: Função periódica f(t) e aproximação por série de Fourier

A equação diferencial de movimento do sistema escreve-se agora naforma,

mx (t) + cx (t) + kx (t) =∞∑

p=1

Fp cos (pωt− ψp) .


1 3 5 7 90

π

2

π

p

ψ

Fp/F

Figura 5.6: Espectro de magnitude e de fase da função periódica f(t)

A resposta permanente ou estacionária do sistema obtém-se por so-breposição de respostas harmónicas e é dada pela expressão,

x (t) =∞∑

p=1

Xp (ω) cos (pωt− φp − ψp)

onde a amplitude Xp (ω) e a fase φp dos harmónicos presentes na res-posta são dadas pelas expressões,

Xp (ω) = Xspµp = Fp

k

1√(1− p2β2)2 + (2ξpβ)2

,

ψp = tan−1 2ξpβ

1− p2β2,

com β = ωωn

e onde Xsp e µp designam, respectivamente, o desloca-mento estático e o factor de amplificação dinâmica correspondentes acada harmónico.

Designando por Xs = Fk

o deslocamento estático que provocaria umaforça constante de valor F , a amplitude relativa do movimento corres-pondente ao harmónico de ordem p vem,


Xp

Xs

=Xspµp

FK

=Fp

kFk

µp =

4Fpπk

Fk

µp =4

pπµp

=4

pπ

1√(1− p2β2)2 + (2ξpβ)2

.

Caso i) ωn = 0.8ω ∴ β = ωωn

= 1.25 e ξ = 0.05

Xp

Xs

=4

pπ

1√(1− 1.562p2)2 + (0.125p)2

Caso ii) ωn = 5.3ω ∴ β = ωωn

= 0.189 e ξ = 0.05

Xp

Xs

=4

pπ

1√(1− 3.56× 10−2p2)2 + (3.56× 10−3p)2

b) Representação gráfica das razões Fp

Fe Xp

Xs(Xs = F

ke p = 1, 2, 3, . . . , 9)

para os primeiros nove harmónicos.

Na tabela 5.1 apresentam-se os resultados para os primeiros 9 harmóni-cos.

Tabela 5.1: Magnitude dos espectros de f(t) e de x(t).

p 1 2 3 4 5 6 7 8 9Fp

F1.2732 0 0.4244 0 0.2546 0 0.1819 0 0.1415

i) Xp

Xs2.2096 0 0.0325 0 0.0067 0 0.0024 0 0.0011

ii) Xp

Xs1.3200 0 0.6224 0 1.7572 0 0.2406 0 0.0748

Na figura 5.7 representam-se os espectros de solicitação e de respostapara as duas situações distintas correspondentes a ωn = 0.8ω e ωn =5.3ω. Em ambos os casos a razão de amortecimento vale ξ = 0.05.

Da análise da tabela 5.1 e da figura 5.7 resulta o seguinte comentário:

• No caso i), a frequência fundamental da excitação é próxima dafrequência natural do sistema e uma série decrescente Fp transfor-ma-se numa série Xp mais acentuadamente decrescente;


1 3 5 7 910

−3

10−2

10−1

100

101

p

Xp/X

s

Xp/X

s

Fp/F

i)

ii)

Figura 5.7: Espectros de magnitude da força e da resposta i) e ii)

• O oscilador comporta-se como um filtro passa-baixo eficaz no casoi). Com efeito, x(t) é uma função sinusoidal quase perfeita, pois,a amplitude do harmónico superior mais importante, o 3o, não re-presenta senão 0.0325/2.2096x100% = 1.5% da amplitude do har-mónico fundamental, figuras 5.8 e 5.10;

• No caso ii), o harmónico de ordem 5 está próximo da frequência deressonância de amplitude ωr = ωn

√1− 2ξ2 = 5.3ω

√1− 2× 0.05 =

5.29ω. A sua amplitude é, pois, superior à fundamental apesar deF5 < F1. Tendo em conta a forma do espectro, é fácil de admi-tir que x(t) apresentará um andamento bem diferente do de uma


sinusóide pura, figuras 5.9 e 5.11;

• Em ambos os casos, a resposta do sistema é periódica com umafrequência fundamental ω, figuras 5.11 e 5.10. N

0

t

x(t

)

1 harmonicoharmonicos superiores

i)

Figura 5.8: Resposta no tempo: contribuição dos harmónicos no Caso i)

0

t

x(t

)

1 harmonico3 harmonico

5 harmonicoii)

Figura 5.9: Resposta no tempo: contribuição dos harmónicos no Caso ii)


0

t

x(t

)

i)

Figura 5.10: Resposta no tempo: Caso i)

0

t

x(t

)

ii)

Figura 5.11: Resposta no tempo: Caso ii)

CAPÍTULO 6

Sistema com 1 grau de liberdadeRegime transiente

6.1 Introdução

Para uma força de excitação não periódica, vários métodos podem ser u-sados para determinar a resposta do sistema a uma excitação arbitrária.Alguns destes métodos são os seguintes:

1. Método do integral de convolução (integral de Duhamel)

2. Integração numérica da equação de movimento

3. Método da transformada de Laplace

4. Representação da excitação pelo integral de Fourier

Neste texto apresentam-se os dois primeiros métodos indicados. Umaforça (ou um deslocamento imposto) de excitação não periódica apresenta,em geral, uma grandeza que varia com o tempo e actua durante um deter-minado intervalo de tempo designado por tempo de actuação. Na figura ??representam-se exemplos de solicitações não periódicas.

127

128 Capítulo 6. Sistema com 1 gdl: Regime transiente

Figura 6.1: Solicitações não periódicas

6.2 Resposta a uma força impulsiva

A forma mais simples de força não periódica é a força impulsiva. Umaforça f (t) impulsiva caracteriza-se por apresentar uma grandeza F ele-vada e actuar durante um muito curto intervalo de tempo ∆t. Na figura6.2 representa-se um força impulsiva.

Figura 6.2: Força impulsiva

Na Dinâmica define-se impulso F de uma força impulsiva f (t) comosendo,

F =

∫ t+∆t

t

f (t) dt (6.1)

e o impulso unitário f é definido como,

f = lim∆t→0

∫ t+∆t

t

f (t) dt = 1. (6.2)

Deve notar-se que de modo a que lim∆t→0

∫ t+∆t

tf (t) dt tenha um valor

finito, f (t) deve tender para infinito visto que dt tende para zero. Embo-ra a função impulso unitário não possua um significado físico, constitui,

6.2 Resposta a uma força impulsiva 129

porém, uma ferramenta muito útil em análise de vibrações e é represen-tada matematicamente pela função de Dirac*1 definida como se segue,

δ (t− τ) = 0 para t 6= τ∫ +∞

−∞δ (t− τ) dt = 1

(6.3)

e representada na figura 6.3.

(a) δ (t) (b) δ (t− τ)

Figura 6.3: Função de Dirac

Assim, uma força impulsiva f (t), actuando em t = τ para produzir umimpulso F , pode escrever-se na forma,

f (t) = F δ (t− τ) . (6.4)

Para uma sistema em repouso, isto é, com condições iniciais nulas, aoqual é aplicada no instante t = 0 uma força impulsiva f (t) = F δ (t), aequação diferencial de movimento e respectivas condições iniciais escre-vem-se,

mx (t) + cx (t) + kx (t) = F δ (t) , (6.5)

x (t = 0) = x0 = 0 x (t = 0) = x0 = 0. (6.6)

Como o sistema se encontra em repouso antes da aplicação da força im-pulsiva, tem-se que x (t) = x (t) = 0 para t < 0 ou x (t = 0−) = x (t = 0−) =0, onde t = 0− representa o instante imediatamente anterior à aplicação daforça impulsiva.

Da Dinâmica, sabe-se que o impulso é igual à variação da quantidadede movimento, o que permite escrever

1∫ +∞−∞ δ (t− τ) f (t) dt = f (τ)


F =

∫ t+∆t

t

f (t) dt = mx (t = 0)−mx(t = 0−

)= mx0. (6.7)

A interpretação física da expressão anterior é a de que o impulso provo-ca uma variação instantânea na velocidade, de modo que podemos enten-der o efeito da aplicação do impulso em t = 0 como sendo equivalente aoefeito de uma velocidade inicial x0 = F

m. Assim, o sistema é colocado em

movimento com uma velocidade inicial x0 = Fm

e um deslocamento inicialx0 = 0. O movimento provocado pela aplicação do impulso é, pois, o devibração livre ou natural do sistema com condições iniciais:

x (t = 0) = x0 = 0, (6.8a)

x (t = 0) = x0 =F

m. (6.8b)

Considerando então a expressão da resposta em regime livre ou naturalde um sistema sub-amortecido,

x (t) = e−ξωnt

(x0 cos ωdt +

x0 + ξωnx0

ωd

sin ωdt

), (6.9)

e introduzindo as condições iniciais em (6.8b), obtém-se a resposta do sis-tema a uma força impulsiva aplicada no instante t = 0,

x (t) = F1

mωd

e−ξωnt sin ωdt. (6.10)

Para um impulso unitário f (t) = δ (t) (F = 1), a resposta do sistemadesigna-se for função de resposta impulsiva e pode representa-se por h (t)que vale, então,

h (t) =1

mωd

e−ξωnt sin ωdt. (6.11)

Se o impulso F é aplicado num instante t = τ , como se mostra na Fig. 6,provoca uma variação na velocidade no instante t = τ de valor igual a F

m.

Assumindo que o sistema se encontra em repouso até que o impulso sejaaplicado, a resposta do sistema provocada pela variação da velocidadeno instante t = τ é dada, em qualquer instante t subsequente, pela ex-pressão (6.10) com t substituído pelo tempo decorrido após a aplicação doimpulso, isto é, t− τ . Assim, a resposta é dada pela expressão,

x (t) = F1

mωd

e−ξωn(t−τ) sin ωd (t− τ) . (6.12)

6.3 Resposta a uma solicitação transiente 131

Tendo em conta a definição de função de resposta impulsiva h (t), aexpressão (6.12) pode ainda escrever-se como

x (t) = F h (t− τ) , (6.13)

onde h (t− τ) representa a função de resposta impulsiva para um impulsounitário aplicado no instante t = τ ,

h (t− τ) =1

mωd

e−ξωn(t−τ) sin ωd (t− τ) . (6.14)

Nas figuras 6.4 e 6.5 representam-se as respostas de um sistema a forçasimpulsivas F δ (t) e F δ (t− τ) aplicadas, respectivamente, nos instantes t =0 e t = τ .

0

0

t

x(t

)

Figura 6.4: Resposta ao impulso aplicado em t = 0

6.3 Resposta a uma solicitação transiente

6.3.1 Integral de Duhamel

Uma solicitação transiente f (t) pode ser assimilada a uma série de forçasimpulsivas f (τ) actuando durante intervalos de tempo dτ , conforme seesquematiza na figura 6.6.

Os impulsos têm grandeza F = f (τ) dτ e actuam no instante τ . Assim,a resposta impulsiva incremental dx (t) para t > τ vem,


0

0

t

x(t

)

τ

Figura 6.5: Resposta ao impulso aplicado em t = τ

dx (t) = f (τ) dτh (t− τ) , (6.15)

onde (t− τ) é o argumento da função de resposta impulsiva e representa otempo decorrido desde a aplicação do impulso até ao instante t. A respostano instante t será, pois, dada pela soma das respostas de cada um dosimpulsos elementares e exprime-se pelo integral

x (t) =

∫ t

0

f (τ) h (t− τ) dτ. (6.16)

A expressão integral anterior designa-se por integral de Duhamel ouintegral de convolução, e traduz a aplicação do princípio da sobreposiçãode efeitos.

Após substituição da função de resposta impulsiva h (t− τ), dada pelaexpressão (6.14), no integral de Duhamel (6.16), a resposta transiente auma solicitação genérica f (t) vem dada pela expressão integral,

x (t) =1

mωd

∫ t

0

f (τ) e−ξωn(t−τ) sin ωd (t− τ) dτ. (6.17)

Note-se que a expressão (6.17) anterior não tem em conta as condiçõesiniciais e apenas representa a resposta forçada, representada pela soluçãoparticular da equação de movimento. Assim, a resposta total do sistema édada pela soma da resposta transitória devida às condições iniciais e pelaresposta forçada devida à solicitação transiente,


Figura 6.6: Solicitação transiente f(t) como uma série de forças impulsivasf(τ)

x (t) = e−ξωnt

[x0 cos ωdt +

x0 + ξωnx0

ωd

sin ωdt

]

+1

mωd

∫ t

0

f (τ) e−ξωn(t−τ) sin ωd (t− τ) dτ ,

(6.18)

onde ωd = ωn

√1− ξ2 representa a frequência natural amortecida e x0 e x0

representam, respectivamente, as condições iniciais de deslocamento e develocidade.

6.3.2 Resposta ao transiente degrau

Considerando uma solicitação dinâmica em forma de degrau, conforme serepresenta na figura 6.7, a solicitação transiente pode exprimir-se na formaf (t) = F0µ (t) onde µ (t) representa a função ‘degrau’ unitário.

A resposta pode ser determinada recorrendo ao integral de Duhamel,expressão (6.16) ou (6.17),

x (t) =

∫ t

0

f (τ) h (t− τ) dτ =F0

mωd

∫ t

0

e−ξωn(t−τ) sin ωd(t− τ)dτ. (6.19)

Usando a mudança de variável s = (t− τ) na resolução do integral(6.23) e após manipulação algébrica, obtém-se,


Figura 6.7: Solicitação transiente em ‘degrau’

x (t) =F0

k

[e−ξωn(t−τ)

(cos ωd (t− τ) +

ξ√1− ξ2

sin ωd (t− τ)

)]t

0

. (6.20)

Após substituição dos limites de integração, a resposta x(t) do sistemaé dada pela expressão,

x (t) =F0

k

[1− e−ξωnt

(cos ωdt +

ξ√1− ξ2

sin ωdt

)]. (6.21)

Para um sistema não amortecido, (ξ = 0), a expressão (6.21) da respostasimplifica-se na forma,

x (t) =F0

k(1− cos ωnt) . (6.22)

Na figura 6.8 representa-se a resposta para diferentes valores da razãode amortecimento ξ. A análise das expressões (6.21) e (6.22) e do gráficoda resposta permite concluir que o sistema responde com um movimentoharmónico à frequência natural em torno da posição correspondente aodeslocamento estático F0

k, e que o valor máximo da amplitude pode atingir

o valor 2F0

k. Note-se, pois, a diferença em termos do deslocamento a que o

sistema está sujeito conforme uma força constante de valor igual a F0 sejaaplicada de forma estática ou de forma dinâmica.


0

0

1

2

t

Xm

ax/(

F0/k

)ξ = 0% ξ = 5% ξ = 10%

Figura 6.8: Resposta à solicitação transiente ‘degrau’

6.3.3 Resposta ao transiente rectangular

Considere-se a solicitação transiente rectangular representada na figura 6.9e com um tempo de actuação até ao instante tc. Aplicando o integral deDuhamel, expressão (6.16) ou (6.17), tem-se,

Figura 6.9: Solicitação transiente ‘rectangular’

x (t) =

∫ t

0

f (τ) h (t− τ) dτ =F0

mωd

∫ t

0

e−ξωn(t−τ) sin ωd(t− τ)dτ (6.23)

e, após resolução do integral e manipulação algébrica, tendo em conta quemω2

n = k e ω2d = ω2

n (1− ξ2), obtém-se,

x (t) =F0

k

[e−ξωn(t−τ)

(cos ωd (t− τ) +

ξ√1− ξ2

sin ωd (t− τ)

)]t

0

. (6.24)


Para 0 ≤ t ≤ tc, os limites de integração na expressão (6.24) são, res-pectivamente, 0 e t, (

∫ t

0. . . dτ ), e a resposta transiente x (t) com 0 ≤ t ≤ tc

vem,

x (t) =F0

k

[1− e−ξωnt

(ξ√

1− ξ2sin ωdt + cos ωdt

)]. (6.25)

Para t > tc, os limites de integração na expressão (6.24) são 0 e tc,(∫ tc

0. . . dτ ), e a resposta transiente x (t) com t > tc vale,

x (t) =F0

ke−ξωnt

[− cos ωdt− ξ√

1− ξ2sin ωdt

+eξωntc

(cos ωd(t− tc) +

ξ√1− ξ2

sin ωd(t− tc)

)].

(6.26)

Na figura 6.10-a) e b) representa-se a resposta de um sistema amorte-cido, com ξ = 10%, a uma solicitação transiente ‘rectangular’ para, respec-tivamente, tc > Tn

2e tc < Tn

2.

0

0

t

x(t

)

ξ = 10%

(a) tc > Tn

2

0

0

t

x(t

)

ξ = 10%

(b) tc < Tn

2

Figura 6.10: Resposta amortecida ao transiente ‘rectangular’

Para melhor caracterizar a resposta a um transiente rectangular, consi-dere-se um sistema não amortecido, ξ = 0. A partir da expressão (6.25), aresposta transiente do sistema não amortecido para 0 ≤ t ≤ tc vem,

x (t) =F0

k(1− cos ωnt) . (6.27)

6.4 Movimento transiente da base 137

Analisando a expressão (6.27), verifica-se que a resposta aumenta atét = Tn

2= π

ωn, valendo nesse instante, x

(t = Tn

2

)= 2F0

k. Assim, durante a

fase de carregamento, 0 ≤ t ≤ tc, a resposta máxima vale,

x (t)max =

F0

k(1− cos ωntc) para tc < Tn

2

2F0

kpara tc ≥ Tn

2.

(6.28)

Para t > tc, fazendo ξ = 0 na expressão da resposta (6.26), a respostax (t) do sistema não amortecido escreve-se,

x (t) =F0

k(cos ωn (t− tc)− cos ωnt) . (6.29)

O instante para o qual a resposta x (t) atinge o valor máximo é deter-minado anulando a velocidade x (t), o que conduz ao seguinte resultado:

t =1

2

(tc +

(2n− 1) π

2ωn

)n = 1, 2, . . . . (6.30)

Após substituição na expressão (6.29), o valor máximo da resposta du-rante a fase t > tc vem,

x (t)max = 2F0

ksin

ωntc2

. (6.31)

Comparando as expressões (6.28) e (6.31), pode concluir-se que a res-posta máxima é dada pelas seguintes expressões:

x (t)max =

2F0

kpara tc > Tn

2na fase 0 ≤ t ≤ tc

2F0

ksin ωntc

2para tc < Tn

2na fase t > tc

. (6.32)

Note-se que, para tc > Tn

2, a resposta máxima ocorre durante a fase

de carregamento enquanto que, para tc < Tn

2, a resposta máxima ocorre

num instante após a remoção da carga (fase de regime livre). Na figura6.11-a) e b) representa-se a resposta de um sistema não amortecido a umasolicitação transiente rectangular para, respectivamente, tc > Tn

2e tc < Tn

2.

6.4 Movimento transiente da base

Considere-se agora um sistema sujeito a um deslocamento transiente dabase conforme se representa na figura 6.12, onde y (t) representa o deslo-camento transiente da base, x (t) o deslocamento da massa m a partir da


0

0

t

x(t

)

ξ = 0

(a) tc > Tn

2

0

0

t

x(t

)

ξ = 0

(b) tc < Tn

2

Figura 6.11: Resposta não amortecida ao transiente ‘rectangular’

Figura 6.12: Sistema com movimento transiente da base

sua posição de equilíbrio estático e z (t) = x (t) − y (t) o deslocamento damassa em relação à base.

O movimento absoluto da massa m é descrito pela equação diferencialde movimento,

mx (t) + cx (t) + kx (t) = ky (t) + cy (t) . (6.33)

Por analogia com a equação (6.16) e aplicando o integral de Duhamel,a resposta absoluta x (t) é dada pela expressão,

6.4 Movimento transiente da base 139

x (t) =

∫ t

0

(ky (τ) + cy (τ)) h (t− τ) dτ

=

t∫

0

ky (τ) h (t− τ) dτ +

t∫

0

cy (τ) h (t− τ) dτ

=k

mωd

t∫

0

y (τ) e−ξωn(t−τ) sin ωd (t− τ) dτ

+c

mωd

t∫

0

y (τ) e−ξωn(t−τ) sin ωd (t− τ) dτ

(6.34)

onde a resposta transiente absoluta x (t) é expressa em termos do desloca-mento e da velocidade impostos à base.

Em termos do movimento relativo, a equação de movimento escreve-se,

mz (t) + cz (t) + kz (t) = −my (t) (6.35)

e a resposta transiente z (t) é dada pela expressão,

z (t) = −m

∫ t

0

y (τ) h (t− τ) dτ

= − 1

ωd

t∫

0

y (τ) e−ξωn(t−τ) sin ωd (t− τ) dτ .

(6.36)

A resposta relativa transiente z (t) exprime-se, neste caso, em funçãoda aceleração imposta à base. No entanto, a integração por partes da ex-pressão anterior permite exprimir a solução em termos da velocidade y (t)da base,

z (t) = m

(y (0) h (t)−

∫ t

0

y (τ) h (t− τ) dτ

)(6.37)

onde a derivada da função de resposta impulsiva, h (t), vale,

h (t) = − e−ξωnt

m√

1− ξ2sin ωd (t− χ) , χ = tan−1

(√1− ξ2

ξ

). (6.38)


6.5 Espectro de resposta ao choque

Uma excitação transiente pode consistir numa solicitação de grandeza e-levada aplicada durante um curto intervalo de tempo relativamente aoperíodo natural do sistema. Este tipo de solicitação transiente é, normal-mente, designada por choque. Na prática da engenharia, a severidadedo choque actuante num sistema pode ser avaliada em termos do valormáximo da resposta do sistema, que depende do tipo de choque e dosparâmetros do sistema.

Uma representação da resposta máxima adimensional de um sistemacom um grau de liberdade a uma excitação transiente específica em funçãode uma razão adimensional da frequência ou do tempo designa-se por es-pectro de resposta ou espectro de choque (“response spectrum” ou “shockspectrum”). O eixo das ordenadas representa o valor máximo da respostadividido pelo deslocamento estático, e o eixo das abcissas representa arazão entre o parâmetro característico da excitação (tempo, frequência) eo correspondente parâmetro do sistema (período natural, frequência na-tural). Em geral, os choques são definidos em termos da sua duração tc e,assim, nestes casos, o espectro de choque é dado por xmaxk/F versus tc/Tn,onde Tn = 2π/ωn é o período natural de vibração do sistema, conforme seesquematiza na figura 6.13.

t e m p o ( f r e q u ê n c i a ) a d i m e n s i o n a l

resposta m

áxim

a

adim

ension

alm a xx ( t )

F

k

c

n

t

T

Figura 6.13: Espectro de resposta

Cada ponto do espectro de choque representa a resposta máxima deum dado sistema com um grau de liberdade com um determinado período(frequência) natural a um tipo de choque específico.

Para diferentes valores da razão de amortecimento, o espectro de res-posta para um choque específico é uma família de curvas, com cada curvadescrevendo a resposta máxima para um valor particular da razão deamortecimento. Refira-se que, a resposta transiente não é, geralmente, tão

6.5 Espectro de resposta ao choque 141

sensível ao amortecimento como a resposta estacionária harmónica (am-plitude) no caso do regime harmónico. Por isso, os espectros de choquesão frequentemente representados para sistemas não amortecidos. Paraalém disso, a não inclusão do amortecimento pode simplificar conside-ravelmente o cálculo no estabelecimento por via analítica de um espectrode choque. Em consequência, o sistema não amortecido com um grau deliberdade é, normalmente, utilizado como modelo de referência para esta-belecer os espectros de choque.

Conforme exposto na secção 6.3.1, a resposta x (t) de um sistema a umaexcitação transiente arbitrária f (t) pode ser determinada pelo integral deconvolução ou de Duhamel, expressão (6.16).

Como o espectro de resposta representa o valor máximo da respostaversus o período (frequência) natural, a sua construção para um tipo dechoque específico requer o cálculo de

x (t)|max =

∣∣∣∣∫ t

0

f (τ) h (t− τ) dτ

∣∣∣∣max

, (6.39)

onde, normalmente, pelas razões já referidas, é utilizada a função de res-posta impulsiva do sistema não amortecido (ξ = 0),

x (t)|max =1

mωn

∣∣∣∣∫ t

0

f (τ) sin ωn (t− τ) dτ

∣∣∣∣max

. (6.40)

Refira-se que o valor máximo da resposta pode ocorrer quer durante afase de aplicação do choque (fase I), quer na fase subsequente ao choque,isto é, na fase de vibração livre do sistema (fase II), dependendo do tipode choque e das características do sistema.

Para construir o espectro de resposta a um choque específico de du-ração tc é, pois, necessário calcular o valor máximo da resposta x (t)|max

do sistema com um grau de liberdade para diferentes valores do períodonatural Tn e representar x (t)|max k/F versus a razão adimensional tc/Tn.Nas secções seguintes ilustra-se o procedimento para dois tipos de choque.Deve notar-se que o espectro de resposta transiente (choque) pode tam-bém ser definido para excitações sob a forma de movimentos transientes(choques) aplicados à base do sistema.

6.5.1 Espectro de choque rectangular

A resposta x (t) de um sistema à solicitação transiente rectangular comuma duração tc, representada na figura 6.14, pode determinar-se atravésdo integral de Duhamel, conforme se apresentou na secção 6.3.3.


m

k

c

x ( t )

tt c

F0

0

f ( t )f ( t )

f a s e I f a s e I I

Figura 6.14: Solicitação transiente rectangular

Para um sistema não amortecido, a resposta x (t) é dada pelas expres-sões (6.27) e (6.29):

• fase I: fase de solicitação (0 ≤ t ≤ tc)

x (t) =F0

k(1− cos ωnt) =

F0

k

(1− cos

2π

Tn

t

)0 ≤ t ≤ tc; (6.41)

• fase II: fase de regime livre (t > tc)

x (t) =F0

k(cos ωn (t− tc)− cos ωnt)

=F0

k

(cos

2π

Tn

(t− tc)− cos2π

Tn

t

) t > tc. (6.42)

Na fase I, de acordo com a expressão (6.41), a resposta oscilatória au-menta até t = Tn

2, atingindo nesse instante, pela primeira vez, o seu valor

máximo. Em consequência, na fase I, o valor máximo de resposta vale:

• Para tc < Tn

2,

xmax =F0

k(1− cos ωntc) ; (6.43)

• Para tc > Tn

2,

xmax =2F0

k. (6.44)


Na fase II, a resposta é dada pela expressão (6.42) e o instante parao qual ocorre o valor máximo de resposta nesta fase é determinado anu-lando a expressão da velocidade. Assim, vem,

ωn sin ωnt = ωn sin ωn (t− tc) . (6.45)

Resolvendo a equação anterior, obtém-se,

t =1

2

(tc +

(2n− 1) π

2ωn

)n = 1, 2, . . . . (6.46)

Após substituição de (6.46) na expressão (6.42) da resposta e utilizandoidentidades trigonométricas, obtém-se o valor máximo da resposta na faseII,

xmax = 2F0

ksin

πtcTn

. (6.47)

Analisando as expressões (6.43) - (6.44) e (6.47), verifica-se que o valormáximo da resposta do sistema pode ocorrer na fase I ou na fase II, de-pendendo da razão tc

Tn, e o valor máximo da resposta é então dado pela

expressão:

xmax =

2F0

ktc > Tn

2(fase I)

2F0

ksin πtc

Tntc < Tn

2(fase II)

. (6.48)

Na figura 6.15 pode observar-se a evolução da resposta x (t) de umsistema não amortecido à solicitação transiente rectangular para diferentesvalores da razão tc

Tne como o valor máximo da resposta pode ocorrer na

fase I ou na fase II.A partir da expressão (6.48) pode agora construir-se o espectro de res-

posta transiente representando o valor máximo da resposta para diferentessistemas com um grau de liberdade apresentando diferentes períodos (fre-quências) naturais.

A representação de xmaxF0

k

versus tcTn

apresentada na figura 6.16 é um e-

xemplo típico de um espectro de resposta e representa o espectro de res-posta ao choque rectangular para diferentes valores da razão de amorte-cimento, ξ = 0, 0.05, 0.1. Cada ponto representa a resposta máxima a umchoque rectangular de um sistema com um grau de liberdade com umperíodo (frequência) natural particular.


0

0

t

x(t)

(F0

k )

0

0

t

x(t)

(F0

k )

0

0

t

x(t)

(F0

k )

0

0

t

x(t)

(F0

k )

0

0

t

x(t)

(F0

k )

0

0

t

x(t)

(F0

k )

tc

Tn

= 0.2 tc

Tn

= 0.4

tc

Tn

= 0.5 tc

Tn

= 0.6

tc

Tn

= 0.8 tc

Tn

= 1.2

Figura 6.15: Resposta ao choque rectangular para diferentes valores darazão tc

Tn

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 10

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

2.5

tc/Tn

xm

ax/(F

0/k

)

ξ = 0%ξ = 5%

ξ = 10%

Figura 6.16: Espectro de resposta ao choque rectangular


6.5.2 Espectro de choque meia onda senoNa figura 6.17 representa-se uma solicitação transiente com a forma deuma meia onda seno de duração tc que se escreve,

f (t) =

F0 sin π

tct 0 ≤ t ≤ tc

0 t > tc. (6.49)

m

k

c

x ( t )f ( t )

F0s i n p

t ct

tt c

F0

0

f ( t )

f a s e I f a s e I I

Figura 6.17: Solicitação transiente meia onda seno

Utilizando o integral de Duhamel, a respectiva resposta de um sistemanão amortecido é dada pela expressão,

x (t) =F0

mωn

∫ t

0

sin ωτ sin ωn (t− τ) dτ

=F0

2mωn

sin [(ω + ωn) τ − ωnt]

ω + ωn

− sin [(ω − ωn) τ + ωnt]

ω − ωn

∣∣∣∣t

0

.

(6.50)

A resposta do sistema para as fases I e II, após substituição dos respec-tivos limites de integração, vem dada pelas expressões:

• fase I (t ≤ tc),

x (t) =F0

k

1(1− 1

4

(Tn

tc

)2)

(sin

π

tct− Tn

2tcsin

2π

Tn

t

)0 ≤ t ≤ tc;

(6.51)

• fase II (t > tc),

x (t) =F0

k

(tcTn

)(

12− 2

(tcTn

)2)

(sin

2π

Tn

t + sin2π

Tn

(t− tc)

)t > tc.

(6.52)


Na figura 6.18 pode observar-se a evolução da resposta x (t) de um sis-tema não amortecido com um grau de liberdade para diferentes valores darazão tc

Tn. Representando xmax

F0

k

versus tcTn

, obtém-se o espectro de resposta

para o choque meia onda seno.

0

0

t

x(t)

(F0

k )

0

0

t

x(t)

(F0

k )

0

0

t

x(t)

(F0

k )

0

0

t

x(t)

(F0

k )

0

0

t

x(t)

(F0

k )

0

0

t

x(t)

(F0

k )

tc

Tn

= 0.2 tc

Tn

= 0.4

tc

Tn

= 0.6 tc

Tn

= 0.8

tc

Tn

= 1.0 tc

Tn

= 1.2

Figura 6.18: Resposta ao choque meia onda seno para diferentes valoresda razão tc

Tn

Na figura 6.19 representa-se o espectro de choque meia onda seno pardiferentes níveis de amortecimento, ξ = 0, 0.05, 0.1.

Analisando os espectros de choque da figura 6.16 e da figura 6.19,verifica-se que, diferentes tipos de excitação de choque resultam em dife-rentes espectros de choque. Além disso, para diferentes valores da razãode amortecimento, o espectro de resposta para uma excitação transienteespecífica é uma família de curvas, com cada curva descrevendo a respostamáxima para um valor particular da razão de amortecimento. Como referi-do anteriormente, note-se a baixa sensibilidade da resposta transiente má-xima ao amortecimento, justificando-se a utilização do sistema não amorte-cido com um grau de liberdade como modelo de referência para estabele-cer os espectros de resposta.

6.6 Integração numérica da equação de movimento 147

0 1 2 3 4 5 60

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

tc/Tn

xm

ax/(F

0/k

)ξ = 0%

ξ = 5%

ξ = 10%

Figura 6.19: Espectro de resposta ao choque meia onda seno

6.6 Integração numérica da equação de movimen-to

O comportamento dinâmico de um sistema linear discreto com um graude liberdade é descrito pela equação diferencial linear ordinária,

mx (t) + cx (t) + kx (t) = f (t) (6.53)

e pelas condições iniciais de deslocamento e de velocidade,

x(t = 0) = x0 x(t = 0) = x0. (6.54)

Em certas aplicações práticas, a função de solicitação f (t) não estádisponível sob a forma de expressão analítica, mas antes sob a forma devalores discretos no tempo. Nestas condições, a determinação da respostado sistema pode passar pela integração numérica directa da equação dife-rencial de movimento, recorrendo a adequados métodos numéricos de in-tegração.

6.6.1 Hipóteses da integração numérica

Os métodos de integração numérica directa da equação diferencial de mo-vimento para determinação da resposta do sistema assentam nos seguintespressupostos:


• verificação da equação diferencial apenas em instantes discretos ti, i =1, 2, . . . , n separados por intervalos de tempo ∆t, e não para todo ovalor da variável t;

• estabelecimento de determinado tipo de variação do deslocamentox (t), da velocidade x(t) ou da aceleração x(t) dentro de cada inter-valo de tempo ∆t.

O procedimento consiste pois em dividir o tempo de resposta T em nintervalos regulares ∆t = T

n, e determinar a solução nos instantes discretos

ti i = 1, 2, . . . , n (t1 = ∆t, t2 = 2∆t, . . . , tn = n∆t).

f1

f2

f if i - 1

f n

f0

f ( t )

0 t1

t2

t nt it i - 1 t i + 1

D t D t D t D t

f i + 1

. . . . . .t

(a) f (t)

x1

x2

x n

x ix i - 1x i + 1

x0

x ( t )

D t D t D t D t0 t

1t2

t nt it i - 1 t i + 1. . . . . .

t

(b) x (t)

Figura 6.20: Discretização no tempo de f (t) e de x (t)

6.6.2 Método das diferenças finitas (centradas)

O método das diferenças finitas baseia-se na aproximação da velocidade eda aceleração, respectivamente as derivadas xi e xi do deslocamento, emtermos dos valores discretos do deslocamento xi, de modo que a equaçãodiferencial conduz a uma equação algébrica.

A expansão em série de Taylor da função incógnita deslocamento x (t)em torno do ponto regular correspondente ao instante ti pode escrever-se,

x (ti + ∆t) = x (ti) + ∆tx (ti) +(∆t)2

2x (ti) +

(∆t)3

6

...x (ti) + . . . , (6.55)


x (ti −∆t) = x (ti)−∆tx (ti) +(∆t)2

2x (ti)− (∆t)3

6

...x (ti) + . . . . (6.56)

Usando a notação x (ti) = xi , x (ti + ∆t) = xi+1 e x (ti −∆t) = xi−1, asexpressões anteriores vêm,

xi+1 = xi + ∆txi +(∆t)2

2xi +

(∆t)3

6

...x i + . . . , (6.57)

xi−1 = xi −∆txi +(∆t)2

2xi − (∆t)3

6

...x i + . . . . (6.58)

Considerando os dois primeiros termos das expansões acima e sub-traindo uma da outra obtém-se a aproximação por diferenças finitas cen-trais para a primeira derivada de x (t) em t = ti,

xi =dx

dt

∣∣∣∣t=ti

=1

2∆t(xi+1 − xi−1) . (6.59)

Considerando agora os três primeiros termos das expansões e adicio-nando ambas as expansões, obtém-se a aproximação por diferenças finitascentrais para a segunda derivada de x (t) em t = ti,

xi =d2x

dt2

∣∣∣∣t=ti

=1

(∆t)2 (xi+1 − 2xi + xi−1) (6.60)

Assim, a velocidade e a aceleração no instante t = ti podem escrever-se,

xt =1

2∆t

(xt+∆t − xt−∆t

), (6.61)

xt =1

(∆t)2

(xt+∆t − 2xt + xt−∆t

). (6.62)

Considerando agora a equação de movimento no instante genérico t =ti,

mxt + cxt + kxt = f t, (6.63)

após introdução das expressões de diferenças finitas centrais para a veloci-dade e para a aceleração, obtém-se,


m1

(∆t)2

(xt+∆t − 2xt + xt−∆t

)+ c

1

2∆t


)+ kxt = f t. (6.64)

Agrupando termos na expressão anterior, obtém-se o seguinte sistemade equações algébricas lineares que constituem a expressão de recurrênciapara a determinação da resposta em termos de deslocamento nos instantesdiscretos ti i = 1, 2, . . . , n,

(1

(∆t)2m +1

2∆tc

)xt+∆t = f t−

(k − 2

(∆t)2m

)xt−

(1

(∆t)2m− 1

2∆tc

)xt−∆t.

(6.65)Assim, a partir do valor da solicitação f t no instante genérico t = ti e

da resposta xt−∆t e xt, respectivamente nos instantes t = ti − ∆t e t = ti,determina-se a resposta xt+∆t do sistema no instante t = ti + ∆t.

A aplicação repetida da expressão de recurrência conduz à obtenção dahistória completa da resposta x(ti do sistema nos instantes ti i = 1, 2, . . . , n.

Caracterização do método

Como o método conduz à obtenção da resposta em deslocamento xt+∆t noinstante t = ti + ∆t a partir da equação de equilíbrio dinâmico no instantet = ti, trata-se de um método de integração explícito.

Porém, a determinação da resposta xt+∆t no instante t = ti+∆t requer aresposta do sistema nos instantes t = ti−∆t e t = ti, respectivamente xt−∆t

e xt. Assim, o método não possui arranque próprio, visto que no instantet = t1 seriam necessárias as respostas nos instantes t = t0 e t = t0 −∆t. É,pois, necessário adoptar um procedimento de arranque auxiliar para estemétodo.

Utilizando as expressões de diferenças finitas, a condição inicial de ve-locidade e a aceleração no instante t = t0 podem escrever-se,

x0 =1

2∆t

(x∆t − x−∆t

), (6.66)

x0 =1

(∆t)2

(x∆t − 2x0 + x−∆t

). (6.67)

Resolvendo as expressões anteriores para o deslocamento fictício x−∆t

correspondente ao instante t = t0 −∆t, obtém-se,


x1

x2

x n

x ix i - 1x i + 1

x0

x ( t )

D t D t D t D t0 t

1t2

t nt it i - 1 t i + 1. . . . . .

tt- 1

x- 1

Figura 6.21: Arranque do método

x−∆t = x0 −∆tx0 +(∆t)2

2x0 (6.68)

onde a aceleração x0 pode ser determinada a partir da equação de equi-líbrio dinâmico no instante t = t0,

mx0 + cx0 + kx0 = f 0. (6.69)

Resolvendo a equação em ordem a x0 obtém-se,

x0 =1

m

(f 0 − cx0 − kx0

). (6.70)

Após substituição na expressão (6.68),

x−∆t = x0 −∆tx0 +(∆t)2

2

1

m

(f 0 − cx0 − kx0

), (6.71)

dispõe-se finalmente da resposta fictícia x−∆t que permite o arranque dométodo e a determinação da resposta do sistema.

Por fim, para garantir a estabilidade numérica do processo de inte-gração, (não confundir com a estabilidade da resposta do sistema), o in-tervalo regular de tempo ∆t, ou passo de integração, deve ser inferior aum limiar crítico,

∆t ≤ ∆tcr =Tn

π=

2

ωn

, (6.72)


onde Tn representa o período natural não amortecido do sistema e ωn afrequência natural não amortecida. Trata-se, pois, de um método de inte-gração condicionalmente estável. Um passo de integração ∆t = Tn

10é um

valor de utilização corrente.


6.6.3 Algoritmo do método das diferenças finitasA. Cálculos preliminares

1. Propriedades mecânicas: m, c, k

2. Condições iniciais em t = 0: x0, x0

3. Calcular a aceleração no instante t = 0: x0

x0 =1

m

(f 0 − cx0 − kx0

)

4. Seleccionar o passo de integração ∆t < ∆tcr e calcular as constantesde integração:

a0 =1

(∆t)2 a1 =1

2∆ta2 = 2a0 a3 =

1

a2

5. Calcular a resposta fictícia em t = −∆t: x−∆t

x−∆t = x0 −∆tx0 + a3x0

6. Calcular o termo de massa efectiva: m

m = a0m + a1c

B.Para cada incremento de tempo

1. Carga efectiva no instante t:

ft= f t − (k − a2m) xt − (a0m− a1c) xt−∆t

2. Deslocamento no instante t + ∆t:

xt+∆t =f

t

m

3. Se pretendido, calcular a aceleração e a velocidade no instante t:

xt = a0

(xt−∆t − 2xt + xt+∆t

)

xt = a1


)


Parte III

Sistema com 2 graus de liberdade

155

CAPÍTULO 7

Sistema com 2 graus de liberdadeEquações de movimento

7.1 Introdução

Os sistemas mecânicos que necessitam de duas coordenadas independen-tes para descrever o seu movimento designam-se por sistemas com doisgraus de liberdade, figura 7.1. O número de graus de liberdade é, pois,igual ao número de coordenadas independentes necessárias para descre-ver a cinemática do sistema. Para um sistema com dois graus de liberdadeexistem duas equações diferenciais de movimento, uma para cada grau deliberdade.

As coordenadas independentes designam-se por coordenadas gene-ralizadas e representam-se correntemente como qi i = 1, 2. As forçassegundo as coordenadas generalizadas designam-se por forças generali-zadas e representam-se por Qi i = 1, 2.

Na figura 7.2 representa-se o sistema mecânico constituído pelo pên-dulo duplo e dois conjuntos de coordenadas, (xi; yi) i = 1, 2 e θi i = 1, 2.

As coordenadas (xi; yi) i = 1, 2 não são independentes, pois existeduas relações de ligação entre elas,

157

158 Capítulo 7. Sistema com 2 gdl: Equações de movimento

x ( t )y ( t )

m

k1

k2

(a)

G

G

k

x ( t )

q ( t )

x1( t ) x

2( t )

k

m , J

(b)

Figura 7.1: Exemplo de sistemas com 2 graus de liberdade

m 1

x

y

m2

x1

x2

y1

y2

q1

q2

l2

l1

Figura 7.2: Pêndulo duplo

x21 + y2

1 = `21

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 = `22.

(7.1)

Ao contrário, as coordenadas angulares θi i = 1, 2 são independentese constituem um conjunto de coordenadas generalizadas. A descrição daconfiguração do sistema pode fazer-se por recurso a este conjunto de co-ordenadas generalizadas.

7.2 Equações de movimento 159

7.2 Equações de movimento

O movimento do sistema discreto com 2 graus de liberdade representadona figura 7.3 é descrito por duas coordenadas lineares x1 (t) e x2 (t) que de-finem as posições instantâneas das massas m1 e m2 , em qualquer instantet, a partir das respectivas posições de equilíbrio estático.

m 1

k1

k2

k3

c3

c2

c1

x1( t )

f1( t )

x2( t )

f2( t )

m2

Figura 7.3: Modelo do sistema com 2 graus de liberdade

Para estabelecer as equações diferenciais de movimento pela mecânica“newtoniana” é necessário construir os diagramas de corpo livre das mas-sas m1 e m2 que se representam na figura seguinte,

Figura 7.4: Diagrama de corpo livre das massas m1 e m2

A aplicação da 2a lei de Newton do movimento a cada uma das mas-sas, F = Q, soma das forças exteriores igual à quantidade de aceleração,conduz às seguintes equações diferenciais de movimento,

m1x1 = −c1x1 + c2 (x2 − x1)− k1x1 + k2 (x2 − x1) + f1

m2x2 = −c2 (x2 − x1)− c3x2 − k2 (x2 − x1)− k3x2 + f2. (7.2)

Após rearranjo dos termos, as equações diferenciais de movimento po-dem escrever-se na forma,

m1x1 + (c1 + c2) x1 − c2x2 + (k1 + k2) x1 − k2x2 = f1

m2x2 − c2x1 + (c2 + c3) x2 − k2x1 + (k2 + k3) x2 = f2. (7.3)


As equações diferenciais de movimento do sistema discreto com 2 grausde liberdade são 2 equações diferenciais ordinárias de 2a ordem na va-riável tempo. Além disso, as duas equações diferenciais apresentam-seligadas ou acopladas, isto é, o movimento da massa m1 influencia o movi-mento da massa m2 e vice-versa, constituindo um sistema de duas equa-ções diferenciais.

A caracterização do movimento do sistema fica completa com as condi-ções iniciais de deslocamento e de velocidade para cada um dos graus deliberdade,

x (t = 0) =

x0

1

x02

, x (t = 0) =

x0

1

x02

. (7.4)

7.2.1 Notação matricial

O sistema das equações diferenciais de movimento pode escrever-se emnotação matricial da seguinte forma,

[m1 00 m2

]

︸︷︷︸[m]

x1 (t)x2 (t)

︸︷︷︸x(t)

+

[c1 + c2 −c2

−c2 c2 + c3

]

︸︷︷︸[c]

x1 (t)x2 (t)

︸︷︷︸x(t)

+

[k1 + k2 −k2

−k2 k2 + k3

]

︸︷︷︸[k]

x1 (t)x2 (t)

︸︷︷︸x(t)

=

f1 (t)f2 (t)

︸︷︷︸f(t)

,

(7.5)

ou então na forma mais compacta,

[m] x (t)+ [c] x (t)+ [k] x (t) = f (t) , (7.6)

onde [m] , [c] e [k] representam, respectivamente, a matriz de massa, a ma-triz de amortecimento e a matriz de rigidez. Os vectores x (t), x (t)e x (t) representam, respectivamente, o vector de deslocamento, de ve-locidade e de aceleração, e o vector f (t) representa a solicitação externaactuante no sistema.

Os termos das matrizes [m], [c] e [k] são, respectivamente, as massas,os coeficientes de amortecimento viscoso e os coeficientes de rigidez dosistema, e são simétricos, isto é,

mij = mji cij = cji kij = kji i, j = 1, 2. (7.7)


Assim, as matrizes [m], [c] e [k] são simétricas,

[m] = [m]T [c] = [c]T [k] = [k]T , (7.8)

onde T representa a operação de transposição de uma matriz. Para o sis-tema com 2 graus de liberdade, as matrizes [m], [c] e [k] são de dimensão(2× 2),

[m] =

[m1 00 m2

], [c] =

[c1 + c2 −c2

−c2 c2 + c3

], [k] =

[k1 + k2 −k2

−k2 k2 + k3

].

(7.9)Os vectores de deslocamento x (t), de velocidade x (t), de acelera-

ção x (t) e de força f (t) possuem 2 componentes e vêm definidos daseguinte forma,

x (t) =

x1 (t)x2 (t)

, x (t) =

x1 (t)x2 (t)

, x (t) =

x1 (t)x2 (t)

,

(7.10a)

f (t) =

f1 (t)f2 (t)

. (7.10b)

O acoplamento das equações diferenciais de movimento atrás referido,traduz-se, na escrita em notação matricial, pela presença de termos nãonulos fora da diagonal principal nas matrizes de massa, de amortecimentoe de rigidez. O acoplamento pode ser de inércia, de amortecimento e derigidez ou elástico, e depende exclusivamente das coordenadas generali-zadas seleccionadas para descrever a cinemática do sistema conforme seevidencia na secção seguinte.

7.2.2 Coordenadas generalizadas e acoplamento

O sistema mecânico representado na figura é modelizado por um modelofísico constituído por um corpo rígido de massa m e momento de inérciaJG em torno do seu centro de massa G e apoiado sobre duas molas elásticasde rigidez k1 e k2 conforme se representa na figura 7.6.

Considerem-se como graus de liberdade ou coordenadas generalizadaso deslocamento x (t) do centro de massa G e a rotação θ (t), conforme serepresenta na figura 7.7.

Neste caso, as equações de movimento escrevem-se,


Figura 7.5: Sistema mecânico

l2

l1

G

k1

k2

m , J

Figura 7.6: Modelo físico do sistema mecânico

[m 00 JG

]x (t)

θ (t)

+

[k1 + k2 − (k1`1 − k2`2)

− (k1`1 − k2`2) k1`21 + k2`

22

]x (t)θ (t)

=

00

(7.11)

e apresentam um acoplamento elástico ou de rigidez.Considerando como graus de liberdade ou coordenadas generalizadas

o deslocamento y (t) do ponto P a uma distância e de G e a rotação θ (t),conforme se representa na figura 7.8, as equações de movimento escrevem-se,

[m meme JP

]y (t)

θ (t)

+

[k1 + k2 − (

k1`′1 − k2`

′2

)

− (k1`

′1 − k2`

′2

)k1

(`′1

)2+ k2

(`′2

)2

]y (t)θ (t)

=

00

(7.12)


Figura 7.7: Modelo físico com x (t) e θ (t)

Figura 7.8: Modelo físico com y (t) e θ (t)

as quais apresentam simultaneamente acoplamento de inércia e acopla-mento elástico ou de rigidez.

Finalmente, seleccionando um ponto P ′ tal que k1`′1 = k2`

′2, as equações

de movimento vêm,

[m meme JP

]y (t)

θ (t)

+

[k1 + k2 0

0 k1

(`′1

)2+ k2

(`′2

)2

]y (t)θ (t)

=

00

(7.13)

e apresentam apenas acoplamento de inércia.Assim, a natureza da ligação ou acoplamento entre as equações dife-

renciais de movimento depende apenas da escolha das coordenadas gene-ralizadas, isto é, da forma como se descreve o movimento do sistema. Aopção por um par particular baseia-se apenas na simplificação que essas


coordenadas possam emprestar às equações de movimento. Em particu-lar, o conjunto de coordenadas mais conveniente é aquele para o qual asequações de movimento se apresentam desligadas elástica e inercialmente,apresentando-se as matrizes de rigidez e de massa como duas matrizes di-agonais.

7.3 Equações de Lagrange

As equações de Lagrange exprimem o equilíbrio dinâmico de um sistemaem termos das coordenadas generalizadas (deslocamentos lineares ou an-gulares), da energia cinética total do sistema, da variação de energia poten-cial do sistema relativamente à energia potencial na posição de equilíbrioestático, e do trabalho realizado pelas forças não conservativas.

As equações de Lagrange para um sistema com n graus de liberdadeescrevem-se,

d

dt

(∂T

∂qi

)− ∂T

∂qi

= Qi i = 1, . . . , n (7.14)

onde T representa a energia cinética e Qi i = 1, . . . , n as forças generali-zadas. Decompondo as forças generalizadas Qi i = 1, . . . , n nas suas com-ponentes conservativas Q∗

i i = 1, . . . , n e não conservativas Qi i = 1, . . . , n,tem-se,

Qi = Q∗i + Qi i = 1, . . . , n. (7.15)

Como as forças conservativas Q∗i i = 1, . . . , n derivam de um potencial

V , pode então escrever-se,

Qi = −∂V

∂qi

+ Qi i = 1, . . . , n. (7.16)

Substituindo na equação (7.14), as equações de Lagrange podem escre-ver-se na forma,

d

dt

(∂T

∂qi

)− ∂T

∂qi

+∂V

∂qi

= Qi i = 1, . . . , n. (7.17)

Como a energia potencial V não é uma função das velocidades genera-lizadas qi i = 1, . . . , n, as equações de Lagrange podem ainda escrever-sena forma,

d

dt

(∂L∂qi

)− ∂L

∂qi

= Qi i = 1, . . . , n (7.18)

7.3 Equações de Lagrange 165

onde L = T − V é designada por função lagrangeana ou simplesmentelagrangeana do sistema.

7.3.1 Função de dissipação de Rayleigh

Para o amortecimento viscoso, as forças de amortecimento são propor-cionais às velocidades generalizadas. Assim, pode definir-se então a fun-ção de dissipação seguinte,

F =1

2

n∑r=1

n∑s=1

crsqrqs, (7.19)

conhecida por função de dissipação de Rayleigh e onde os coeficientescrs r, s = 1, . . . , n são simétricos em r e s. Neste caso, as forças de amorte-cimento de tipo viscoso são dadas pelas derivadas da função de dissipaçãode Rayleigh em ordem às coordenadas generalizadas,

Qi = −∂F∂qi

i = 1, . . . , n. (7.20)

Decompondo as forças não conservativas em forças dissipativas de tipoviscoso e forças directamente aplicadas ao sistema, obtêm-se as equaçõesde Lagrange na seguinte forma,

d

dt

(∂T

∂qi

)− ∂T

∂qi

+∂V

∂qi

+∂F∂qi

= Qi i = 1, . . . , n (7.21)

onde Qi i = 1, . . . , n representam as forças exteriores directamente apli-cadas.

O procedimento de Lagrange revela-se muito eficiente no estabeleci-mento do sistema de equações de movimento, especialmente quando onúmero de graus de liberdade é elevado.

Exemplo H

Estabelecer as equações de movimento do sistema representado na figura 7.9utilizando as equações de Lagrange.

Coordenadas generalizadas As coordenadas generalizadas qi(t) i = 1, 2são os deslocamentos angulares θ1 (t) e θ2 (t). Assim, tem-se,

q1 = θ1 q2 = θ2.


1tk

2tk

2J

1J

( )2tq

( )1tq

M2

M1

Figura 7.9: Veio com 2 discos

Energia cinética A energia cinética do sistema vale,

T =1

2J1θ

21 +

1

2J2θ

22.

Energia potencial Para a energia potencial elástica de deformação do sis-tema vem,

V =1

2kt1θ

21 +

1

2kt2 (θ2 − θ1)

2 .

Forças não-conservativas As forças generalizadas não conservativas sãodadas pelas expressões,

Q1 = M1∂θ1

∂θ1

+ M2∂θ2

∂θ1

= M1, Q2 = M1∂θ1

∂θ2

+ M2∂θ2

∂θ2

= M2.

Equações de Lagrange Considerando as equações de Lagrange na forma

d

dt

(∂T

∂qi

)− ∂T

∂qi

+∂V

∂qi

= Qi i = 1, 2,

e calculando cada um dos termos obtém-se,

∂T

∂θ1

= J1θ1,d

dt

(∂T

∂θ1

)= J1θ1,

∂T

∂θ1

= 0,∂V

∂θ1

= kt1θ1 − kt2 (θ2 − θ1) ,


∂T

∂θ2

= J2θ2,d

dt

(∂T

∂θ2

)= J2θ2,

∂T

∂θ2

= 0,∂V

∂θ2

= kt2 (θ2 − θ1) .

Equações de movimento Substituindo cada um dos termos nas equa-ções de Lagrange, obtêm-se as equações diferenciais de movimento dosistema na forma

J1θ1 + (kt1 + kt2) θ1 − kt2θ2 = M1,

J2θ2 − kt2θ1 + kt2θ2 = M2,

ou, ainda, na forma matricial,

[J1 00 J2

]θ1

θ2

+

[kt1 + kt2 −kt2

−kt2 kt2

]θ1

θ2

=

M1

M2

.

N


CAPÍTULO 8

Sistema com 2 graus de liberdadeRegime livre

8.1 Introdução

O movimento do sistema discreto com dois graus de liberdade represen-tado na figura 8.1 é descrito por duas coordenadas lineares x1 (t) e x2 (t)que definem as posições instantâneas das massas m1 e m2 a partir das res-pectivas posições de equilíbrio estático.

m1

k1

k2

k3

x1( t )

f1( t )

x2( t )

f2( t )

m2

Figura 8.1: Modelo do sistema com 2 graus de liberdade

Para estabelecer as equações diferenciais de movimento pela mecânica

169


newtoniana é necessário construir os diagramas de corpo livre das massasm1 e m2 que se representam na figura 8.2.

m1

k1x1

k2( x

1- x

2)

m2

k3x2

f1( t ) f

2( t )

Figura 8.2: Diagrama de corpo livre das massas m1 e m2

A aplicação da 2a lei de Newton do movimento a cada uma das massasconduz às seguintes equações diferenciais de movimento,

m1x1 = −k1x1 − k2 (x1 − x2) + f1

m2x2 = k2 (x1 − x2)− k3x2 + f2. (8.1)

Após rearranjo dos termos, as equações diferenciais de movimento po-dem escrever-se na forma,

m1x1 + (k1 + k2) x1 − k2x2 = f1

m2x2 − k2x1 + (k2 + k3) x2 = f2. (8.2)

As equações diferenciais de movimento do sistema discreto com 2 grausde liberdade são 2 equações diferenciais ordinárias de 2a ordem na va-riável tempo. Além disso, as duas equações diferenciais apresentam-seligadas ou acopladas, isto é, o movimento da massa m1 influencia o movi-mento da massa m2 e vice-versa, constituindo um sistema de duas equa-ções diferenciais.

8.1.1 Notação matricialO sistema das equações diferenciais de movimento pode escrever-se emnotação matricial da seguinte forma,

[m1 00 m2

]x1 (t)x2 (t)

+

[k1 + k2 −k2

−k2 k2 + k3

]x1 (t)x2 (t)

=

f1 (t)f2 (t)

(8.3)ou então na forma mais compacta,

[m] x (t)+ [k] x (t) = f (t) , (8.4)

onde [m] e [k] representam, respectivamente, a matriz de massa e a matrizde rigidez. Os vectores x (t) e x (t) representam, respectivamente, o

8.2 Equações de movimento livre ou natural 171

vector de deslocamento e de aceleração, e o vector f (t) representa asolicitação externa actuante no sistema.

Os termos das matrizes [m] e [k] são, respectivamente, as massas e oscoeficientes de rigidez do sistema, e são simétricos, isto é,

mij = mji kij = kji i, j = 1, 2. (8.5)

Assim, as matrizes [m] e [k] são simétricas,

[m] = [m]T [k] = [k]T . (8.6)

Para o sistema com 2 graus de liberdade, as matrizes [m] e [k] são dedimensão (2x2),

[m] =

[m1 00 m2

][k] =

[k1 + k2 −k2

−k2 k2 + k3

]. (8.7)

Os vectores de deslocamento x (t), de aceleração x (t) e de forçaf (t) possuem 2 componentes e vêm definidos da seguinte forma,

x (t) =

x1 (t)x2 (t)

x (t) =

x1 (t)x2 (t)

f (t) =

f1 (t)f2 (t)

. (8.8)

O acoplamento das equações diferenciais de movimento traduz-se, naescrita em notação matricial, pela presença de termos não nulos fora dadiagonal principal nas matrizes de massa e de rigidez.

8.2 Equações de movimento livre ou natural

Em regime livre ou natural, a solicitação externa é nula, f (t) = 0, figu-ra 8.3, pelo que as equações de movimento escrevem-se,

[m1 00 m2

] x1 (t)x2 (t)

+

[k11 k21

k21 k22

]x1 (t)x2 (t)

=

00

(8.9)

onde os coeficientes de rigidez valem,

k11 = k1 + k2 k12 = k21 = −k2 k22 = k2 + k3. (8.10)

Na situação de regime livre ou natural, as equações de movimentoconstituem um sistema de equações diferenciais ordinárias homogéneas.Em notação matricial, as equações de movimento escrevem-se,


m1

k1

k2

k3

x1( t ) x

2( t )

m2

Figura 8.3: Sistema com 2 graus de liberdade em regime livre

[m] x (t)+ [k] x (t) = 0 . (8.11)

Para caracterizar o movimento de resposta em regime livre é necessárioresolver o sistema de equações diferenciais homogéneas. Nesse sentido,estabeleça-se a seguinte hipótese: “As massas m1 e m2 efectuam um movi-mento harmónico síncrono de frequência ω ”. Assim, a solução para x (t)é da forma,

x1 (t)x2 (t)

=

u1

u2

cos (ωt− φ) (8.12)

ou

x (t) = u cos (ωt− φ) , (8.13)

onde u1 e u2 representam as amplitudes de movimento para x1 (t) e x2 (t).Substituindo esta solução nas equações de movimento (8.9), obtém-se,

[−ω2

[m1 00 m2

]+

[k11 k12

k21 k22

]]u1

u2

cos (ωt− φ) =

00

(8.14)

ou

[−ω2 [m] + [k]] u cos (ωt− φ) = 0 . (8.15)

Como a solução arbitrada deve verificar as equações de movimentopara todo e qualquer instante t com cos (ωt− φ) diferente de zero, entãoas incógnitas u1 e u2 devem verificar o sistema de equações algébricas ho-mogéneas seguinte,

[k11 − ω2m1 k12

k21 k22 − ω2m2

]u1

u2

=

00

(8.16)

ou


[[k]− ω2 [m]

] u = 0 . (8.17)

Assim, as amplitudes u1 e u2 do movimento harmónico síncrono dex1 (t) e x2 (t) são fornecidas pela solução do sistema homogéneo (8.16), queé verificado pela solução trivial u1 = u2 = 0 que corresponde à posição deequilíbrio estático do sistema e à ausência de vibração.

8.2.1 Problema característico

Para a existência de soluções não triviais para as amplitudes u1 e u2 , odeterminante da matriz dos coeficientes do sistema homogéneo (8.16) temde ser nulo, isto é,

∆ (ω) =

∣∣∣∣[

k11 − ω2m1 k12

k21 k22 − ω2m2

]∣∣∣∣ = 0 (8.18)

ou

∆ (ω) =∣∣[k]− ω2 [m]

∣∣ = 0. (8.19)

O determinante (8.18) designa-se por determinante característico e con-duz a uma equação polinomial em ω2, que é quadrática para o sistemacom dois graus de liberdade, designada por equação característica ou defrequências. As suas raízes, ω2

1 e ω22 , valores particulares de ω2 para os

quais o sistema homogéneo (8.16) admite soluções não nulas para u1 eu2, designam-se por valores característicos e representam as frequênciasnaturais de vibração do sistema 1. Assim, para o sistema com dois grausde liberdade, o sistema homogéneo (8.16) admite duas soluções não nulaspara u1 e u2, correspondentes às duas frequências naturais ω1 e ω2, comω1 < ω2,

ω21 → u1 =

u11

u21

, ω2

2 → u2 =

u12

u22

. (8.20)

Nestas condições, o sistema possui duas soluções não triviais da formax (t) = u cos (ωt− φ) , representando cada uma delas um movimento

1No caso particular da matriz de massa diagonal, o desenvolvimento do determinanteconduz à equação polinomial característicam1m2ω

4 − (m1k22 + m2k11) ω2 + k11k22 − k12k21 = 0,cujas raízes são dadas pela expressãoω2

1

ω22

= 12

m1k22+m2k11m1m2

∓ 12

√(m1k22+m2k11

m1m2

)2

− 4k11k22−k12k21m1m2

.


síncrono caracterizado pelas frequências ω1 e ω2 e pelos respectivos vec-tores de amplitudes u1 e u2 ,

x (t)1 =

u11

u21

cos (ω1t− φ1) , x (t)2 =

u12

u22

cos (ω2t− φ2) ,

(8.21)ou

x (t)1 = u1 cos (ω1t− φ1) , x (t)2 = u2 cos (ω2t− φ2) . (8.22)

Introduzindo no sistema homogéneo (8.16) ω2 = ω21 e ω2 = ω2

2 , obtêm-se então os vectores u1 e u2 de amplitudes.

Para ω2 = ω21 , o vector u1 é a solução do sistema,

[k11 − ω2

1m1 k12

k21 k22 − ω21m2

]u11

u21

=

00

(8.23)

ou

[[k]− ω2

1 [m]] u1 = 0 . (8.24)

Para ω2 = ω22 obtém-se o vector u2 ,

[k11 − ω2

2m1 k12

k21 k22 − ω22m2

]u12

u22

=

00

(8.25)

ou

[[k]− ω2

2 [m]] u2 = 0 . (8.26)

No entanto, como a solução de um sistema homogéneo é definida amenos de uma constante, isto é, se o vector u é solução do sistema ho-mogéneo (8.16), então o vector α u é também solução, sendo α uma cons-tante, apenas as razões entre as componentes do vector solução são únicas.Definindo as razões,

r1 =u21

u11

r2 =u22

u12

(8.27)

entre as componentes dos vectores u1 e u2 , estes podem escrever-sena forma,

u1 =

u11

u21

= u11

1r1

, u2 =

u12

u22

= u12

1r2

. (8.28)


Resolvendo o sistema homogéneo (8.23) e (8.25) obtém-se,

r1 =u21

u11

= −k11 − ω21m1

k12

= − k12

k22 − ω21m2

, (8.29)

r2 =u22

u12

= −k11 − ω22m1

k12

= − k12

k22 − ω22m2

. (8.30)

As duas expressões apresentadas para r1 e r2 são idênticas, e decorremda utilização da primeira ou da segunda equação do sistema homogéneo.

8.2.2 Modos naturais de vibração

As duas soluções distintas (ω21; u1) e (ω2

2; u2) do problema homogé-neo (8.16) constituem dois modos para os quais o movimento harmónicosíncrono do sistema é possível, designando-se os vectores de amplitudesu1 e u2 por vectores modais.

Os dois movimentos síncronos x (t)1 e x (t)2 caracterizados pelasfrequências naturais ω1 e ω2 e pelos vectores modais u1 e u2 designam-se por modos naturais de vibração do sistema,

x (t)1 =

u11

u21

cos (ω1t− φ1) x (t)2 =

u12

u22

cos (ω2t− φ2)

(8.31)ou

x (t)1 = u1 cos (ω1t− φ1) x (t)2 = u2 cos (ω2t− φ2) . (8.32)

Refira-se que as frequências naturais devem ser ordenadas por ordemcrescente,

ω1 < ω2 (8.33)

designando-se a frequência mais baixa, ω1, por frequência natural funda-mental.

Os vectores modais u1 e u2 , soluções do sistema homogéneo as-sociadas a cada uma das frequências naturais, representam as formas na-turais de vibração do sistema, e definem a forma ou configuração espacialassumida pelo sistema durante o movimento síncrono de frequência ω1 eω2 respectivamente.

Os modos naturais de vibração (frequências e formas naturais) cons-tituem uma propriedade intrínseca do sistema e são únicos para um dado


sistema, excepto a grandeza das componentes dos vectores modais. Nou-tros termos, uma forma modal é única embora as amplitudes não o sejam.Apenas as razões entre as componentes dos vectores modais são únicas.

Nas figuras 8.4-8.5 representam-se as duas formas naturais de vibraçãodo sistema com dois graus de liberdade. No primeiro modo natural, asmassas m1 e m2 movem-se no mesmo sentido, isto é, em fase, enquantoque no segundo modo natural movem-se em sentido contrário ou em opo-sição de fase. Deste modo, um ponto do elemento elástico que liga as mas-sas m1 e m2 permanece estacionário e designa-se por nodo de vibração.

m1

m2

m1

m2

Figura 8.4: Primeira forma natural de vibração do sistema com 2 graus deliberdade

n o d o

n o d o

m1

m2

m1

m2

Figura 8.5: Segunda forma natural de vibração do sistema com 2 graus deliberdade

Os vectores modais u1 e u2 podem ser agrupados numa matriz,designada por matriz modal,

[U ] =[ u1 u2

], (8.34)

ocupando cada um dos vectores uma coluna da matriz modal.


8.2.3 Resposta livre ou natural

As equações diferenciais homogéneas de movimento em regime livre ounatural (8.9) admitem, pois, duas soluções não triviais da forma x (t) =u cos (ωt− φ) , representando cada uma delas um modo natural de vi-bração do sistema,

x (t)1 = u cos (ω1t− φ1) x (t)2 = u2 cos (ω2t− φ2) . (8.35)

Como os modos naturais de vibração são independentes, a sua combi-nação linear é ainda uma solução das equações diferenciais (8.9) de movi-mento,

x (t) = c1 x (t)1 + c2 x (t)2 . (8.36)

Assim, a resposta do sistema em regime livre ou natural resulta dasobreposição dos dois modos naturais de vibração multiplicados cada umpor uma constante que representa o respectivo grau de participação domodo no movimento livre,

x (t) = c1 u1 cos (ω1t− φ1) + c2 u2 cos (ω2t− φ2)

= c1

u11

u21

cos (ω1t− φ1)

︸︷︷︸1o modo

+c2

u12

u22

cos (ω2t− φ2)

︸︷︷︸2o modo

(8.37)

onde as constantes c1, φ1, c2, φ2 são determinadas a partir das condiçõesiniciais de deslocamento e de velocidade.

Considerando os vectores modais agrupados na matriz modal [U ] , aresposta pode ainda escrever-se na forma,

x (t) =

[u11 u12

u21 u22

]c1 cos (ω1t− φ1)c2 cos (ω2t− φ2)

= [U ] g (t)(8.38)

onde as componentes do vector g (t) representam as funções do tempopara cada modo natural de vibração.

De acordo com a expressão (8.37), para condições iniciais gerais, ambosos modos naturais são excitados e o movimento é uma sobreposição dosdois modos naturais de vibração.


As constantes c1 , c2 e φ1 , φ2 determinam-se a partir das condições inici-ais de deslocamento e de velocidade para cada um dos graus de liberdade,

x (t = 0) =

x0

1

x02

x (t = 0) =

x0

1

x02

. (8.39)

Introduzindo as condições iniciais na resposta natural (8.37) do sis-tema, obtêm-se as quatro equações seguintes,

x01 = c1u11 cos φ1 + c2u12 cos φ2, (8.40a)

x02 = c1u21 cos φ1 + c2u22 cos φ2, (8.40b)

x01 = ω1c1u11 sin φ1 + ω2c2u12 sin φ2, (8.40c)

x02 = ω1c1u21 sin φ1 + ω2c2u22 sin φ2. (8.40d)

Manipulando algebricamente as equações anteriores, pode escrever-se,

c1 cos φ1 = 1(u11u22−u21u12)

(u22x01 − u12x

02)

c1 sin φ1 = 1ω1(u11u22−u21u12)

(u22x01 − u12x

02)

, (8.41a)

c2 cos φ2 = 1

(u11u22−u21u12)(u11x

02 − u21x

01)

c2 sin φ2 = 1ω2(u11u22−u21u12)

(u11x02 − u21x

01)

, (8.41b)

donde se obtêm as seguintes expressões para as constantes c1, c2, φ1 e φ2,

c1 =1

det [U ]

[(u22x

01 − u12x

02

)2+

(u22x01 − u12x

02)

2

ω21

]1/2

, (8.42a)

c2 =1

det [U ]

[(u11x

02 − u21x

01

)2+

(u11x02 − u21x

01)

2

ω22

]1/2

, (8.42b)

φ1 = tan−1 u22x01 − u12x

02

ω1 (u22x01 − u12x0

2), (8.43a)

φ2 = tan−1 u11x02 − u21x

01

ω2 (u11x02 − u21x0

1). (8.43b)

Note-se que o sistema pode ser conduzido a vibrar num modo naturalespecífico (i = 1, 2) por imposição de condições iniciais adequadas.


8.2.4 Normalização dos vectores modais

Conforme já foi referido, os vectores modais, sendo a solução de um sis-tema de equações homogéneas, são vectores definidos a menos de umaconstante.

Um procedimento de normalização de vectores transforma um vectormodal num vector modal único sem que a forma natural seja alterada,pois todas as componentes são definidas em proporção. De entre os pos-síveis esquemas de normalização de vectores, no âmbito da análise de vi-brações, a normalização para massas modais unitárias revela-se particu-larmente interessante. O procedimento consiste na normalização dos vec-tores modais de modo a que se verifique a seguinte condição,

φT1 [m] φ1 = 1 φT

2 [m] φ2 = 1 (8.44)

ou

φTi [m] φi = 1, i = 1, 2 (8.45)

onde os vectores φ1 e φ2 representam os vectores modais normaliza-dos para massas modais unitárias. Com os vectores modais assim norma-lizados, decorrem igualmente as seguintes relações,

φT1 [k] φ1 = ω2

1 φT2 [k] φ2 = ω2

2 (8.46)

ou

φTi [k] φi = ω2

i i = 1, 2. (8.47)

Assim, os vectores modais normalizados φ1 e φ2 podem obter-se apartir dos vectores modais u1 e u2 pelas seguintes relações,

φ1 =1√

uT1 [m] u1

u1 φ2 =1√

uT2 [m] u2

u2 (8.48)

ou, genericamente, pela relação

φi =1√

uTi [m] ui

ui i = 1, 2. (8.49)


8.2.5 OrtogonalidadeOs dois modos naturais de vibração distintos, (ω1, φ1) e (ω2, φ2) comω1 < ω2 , constituem as soluções do sistema homogéneo (8.16) que se podereescrever na seguinte forma,

[k] φ1 = ω21 [m] φ1 , (8.50)

[k] φ2 = ω22 [m] φ2 . (8.51)

Premultiplicando as expressões (8.50) e (8.51) por φT2 e φT

1 respec-tivamente, obtém-se

φT2 [k] φ1 = ω2

1 φT2 [m] φ1 , (8.52)

φT1 [k] φ2 = ω2

2 φT1 [m] φ2 . (8.53)

Efectuando a transposição da expressão (8.53), tendo em conta a sime-tria das matrizes de massa e de rigidez, [m] = [m]T e [k] = [k]T, obtém-se

φT2 [k] φ1 = ω2

2 φT2 [m] φ1 . (8.54)

Subtraindo membro a membro as expressões (8.54) e (8.52) vem,

0 =(ω2

2 − ω21

) φT2 [m] φ1 . (8.55)

Como as frequências naturais ω1 < ω2 são distintas, então verificam-senecessariamente as relações,

φT2 [m] φ1 = 0 φT

1 [m] φ2 = 0. (8.56)

Os vectores modais φi i = 1, 2 são, pois, ortogonais em relação àmatriz de massa [m].

Das expressões (8.52) e (8.53) decorrem igualmente as seguintes re-lações de ortogonalidade dos vectores modais em relação à matriz de rigi-dez [k],

φT2 [k] φ1 = 0 φT

1 [k] φ2 = 0. (8.57)

Assim, os vectores modais φi i = 1, 2 apresentam propriedades deortogonalidade em relação às matrizes de massa e de rigidez. Refira-se,no entanto, que não se trata da propriedade de ortogonalidade ordináriade vectores, mas antes de uma ortogonalidade “ponderada” pelas ma-trizes de massa e de rigidez. Para vectores modais normalizados para


massas modais unitárias, a propriedade da ortogonalidade designa-se porortonormalidade e pode escrever-se na forma,

φTi [m] φj = δij i, j = 1, 2 (8.58)

φTi [k] φj = ω2

i δij i, j = 1, 2 (8.59)

onde δij representa o símbolo de Kroenecker e vale,

δij =

1 i = j0 i 6= j

. (8.60)

Considerando os vectores modais φi i = 1, 2 agrupados por colunana matriz modal [Φ], as propriedades de ortonormalidade exprimem-se naseguinte forma,

[Φ]T [m] [Φ] = dIc [Φ]T [k] [Φ] = dΩ2c (8.61)

onde dIc representa a matriz identidade e dΩ2c uma matriz diagonal cujostermos são os quadrados das frequências naturais de vibração,

dIc =

⌈1 00 1

⌋dΩ2c =

⌈ω2

1 00 ω2

2

⌋. (8.62)

8.2.6 Teorema da expansão

Os vectores modais φi i = 1, 2 , sendo vectores linearmente indepen-dentes, constituem uma base do espaço de dimensão n = 2. Assim, qual-quer vector de dimensão n = 2 pode exprimir-se como uma combinaçãolinear dos vectores modais.

Fisicamente, o vector representativo do movimento instantâneo do sis-tema, x (t) = v, pode ser assimilado à sobreposição dos dois modosnaturais de vibração multiplicados por constantes apropriadas, compo-nentes do vector na base modal, que constituem uma medida do grau departicipação de cada modo no movimento do sistema,

v = c1 u1 + c2 u2 . (8.63)

As componentes ci, i = 1, 2 do vector v na base dos vectores modaispodem determinar-se premultiplicando sucessivamente ambos os mem-bros de (8.63) por φT

i [m] i = 1, 2. Tendo em conta as propriedades deortonormalidade, obtém-se,


ci = φTi [m] v i = 1, 2. (8.64)

A expressão (8.63) representa a expansão de um vector v na basemodal ou natural e designa-se por teorema da expansão.

8.3 Sistemas semi-definidos

Considere-se o sistema com dois graus de liberdade representado na figura8.6.

m1

k

x1( t ) x

2( t )

m2

Figura 8.6: Modelo de um sistema com 2 graus de liberdade

O movimento do sistema é completamente descrito pelas coordenadasx1 (t) e x2 (t) que definem as posições das massas m1 e m2 em qualquerinstante t a partir das respectivas posições de equilíbrio estático. Na di-recção do movimento, o sistema não apresenta ligações ao exterior, isto é,o movimento é não restringido. Assim, o sistema pode efectuar um mo-vimento de corpo rígido, de modo que a energia potencial de naturezaelástica seja nula, sem que, no entanto, as coordenadas x1 (t) e x2 (t) sejamnulas. Naturalmente, e por definição, a energia cinética é positiva.

As equações de movimento do sistema em regime livre escrevem-se,

[m1 00 m2

] x1 (t)x2 (t)

+

[k −k−k k

]x1 (t)x2 (t)

=

00

(8.65)

ou, na forma mais compacta,

[m] x (t)+ [k] x (t) = 0 (8.66)

onde [m] e [k] são, respectivamente, as matrizes de massa e de rigidez, e osvectores x (t) e x (t) os vectores de deslocamento e de aceleração.

Adoptando um procedimento idêntico ao exposto na secção 1.3.1, odeterminante característico ∆ (ω2) = |[k]− ω2 [m]| vem,

8.3 Sistemas semi-definidos 183

∆ (ω) =

∣∣∣∣[

k − ω2m1 kk k − ω2m2

]∣∣∣∣ . (8.67)

Após desenvolvimento do determinante e igualando a zero, obtém-sea equação característica ou de frequências,

∆(ω2

)= ω2

[m1m2ω

2 − k (m1 + m2)]

= 0 (8.68)

cujas raízes representam as frequências naturais do sistema que valem,

ω21 = 0, ω2

2 = k

(m1 + m2

m1m2

). (8.69)

Verifica-se que uma das soluções da equação característica é nula, oque significa que não existe oscilação das massas m1 e m2 no movimentoassociado a esta raiz.

Substituindo os valores de ω2i i = 1, 2 no problema característico, deter-

minam-se as razões de amplitude associadas a cada uma das frequênciasnaturais, isto é, as formas naturais. Assim, para ω2

1 = 0 obtém-se,[

k −k−k k

] u11

u21

=

00

(8.70)

cuja resolução conduz à razão de amplitudes r1,

r1 =u21

u11

= − k

−k= −−k

k= 1. (8.71)

Como u11 = u21 , as duas massas movem-se sem oscilação e deslocam-se exactamente da mesma quantidade, sem deformação elástica do ele-mento de ligação. Assim, o primeiro modo natural de vibração é ummodo degenerado e representa um movimento de corpo rígido que podeexprimir-se na forma,

u1 =

u11

u21

= u0

11

(8.72)

onde u0 é uma constante não nula.Para o segundo modo obtém-se,

r2 =u22

u12

= −k − k

(m1+m2

m1m2

)m1

−k= − −k

k − k(

m1+m2

m1m2

)m2

. (8.73)


Assim, o segundo modo natural de vibração vem então,

u2 =

u12

u22

= u12

1

−m1

m2

. (8.74)

Para o exemplo apresentado, pode ainda verificar-se que no segundomodo natural as massas m1 e m2 oscilam a uma frequência ω2 e em oposi-ção de fase, pelo que existe um nodo de vibração na ligação entre as duasmassas.

No primeiro modo natural, o sistema move-se sem movimento rela-tivo entre as duas massas, movimento de corpo rígido. Os sistemas comligações ao exterior não restringidas apresentam, pelo menos, uma das fre-quências naturais nula e um modo associado que traduz um movimentode corpo rígido. Estes sistemas designam-se por sistemas semi-definidos.

Nas figuras 8.7-8.8 representam-se os dois modos naturais de vibraçãodo sistema semi-definido.

m1

m2

m1

m2

Figura 8.7: Primeira forma natural de vibração do sistema semi-definido

n o d o

m1

m2

m2

m1

n o d o

Figura 8.8: Segunda forma natural de vibração do sistema semi-definido

Para os sistemas semi-definidos, o movimento do sistema, em geral, éuma combinação de modos de corpo rígido e dos modos elásticos. Estetipo de sistemas caracteriza-se, igualmente, por apresentar um matriz de

8.4 Quociente de Rayleigh 185

rigidez [k] que é uma matriz singular (a energia potencial elástica de de-formação é uma forma quadrática semi-definida positiva e a matriz derigidez é semi-definida positiva). Refira-se que, o primeiro modo natu-ral, sendo uma solução do problema característico, é ainda ortogonal aosegundo modo natural de vibração.

m1

kx1( t )

x2( t )

m2

n o d o

Figura 8.9: Exemplo de um sistema semi-definido

8.4 Quociente de Rayleigh

Os modos naturais de vibração são dados pelas soluções do problema ca-racterístico [[k]− ω2 [m]] u = 0. Assim, as soluções (ω2

r ; ur , r = 1, 2)verificam a equação,

[k] ur = ω2r [m] ur r = 1, 2. (8.75)

Premultiplicando ambos os membros por uTr e dividindo pelo escalar

uTr [m] ur obtém-se,


q1 ( t )

q2 ( t )


ω2r =

uTr [k] ur

uTr [m] ur

r = 1, 2. (8.76)

A expressão anterior mostra que o quociente de duas formas quadráti-cas, onde o numerador representa a energia potencial do modo natural devibração e o denominador está relacionado com a energia cinética, repre-senta as frequências naturais ω2

r r = 1, 2 de vibração.Para um vector arbitrário v não nulo e de dimensão 2, o quociente

(8.76) designa-se por quociente de Rayleigh e define-se da seguinte forma,

R (v) =vT [k] vvT [m] v (8.77)

sendo R (v) uma quantidade escalar cujo valor depende directamentedo vector arbitrário v.

Se o vector arbitrário v coincide com um dos vectores modais (formanatural) do sistema, então o quociente de Rayleigh fornece um valor igualao quadrado da frequência natural associada. No entanto, o quociente deRayleigh possui valores estacionários na vizinhança dos vectores modaisdo sistema, representativos das formas naturais de vibração.

Considere-se então a expansão de um vector arbitrário v na base dosvectores modais normalizados para massas modais unitárias,

v =2∑

r=1

cr φr = c1 φ1 + c2 φ2 =[ φ1 φ2

] c1

c2

= [Φ] c

(8.78)onde os coeficientes cr r = 1, 2 representam as coordenadas do vector vna base modal.


Introduzindo a expansão do vector v no quociente de Rayleigh, etendo em conta as propriedades de ortonormalidade

[Φ]T [m] [Φ] = dIc [Φ]T [k] [Φ] =⌈Ω2

⌋(8.79)

obtém-se,

R (v) =cT [φ]T [k] [φ] ccT [φ]T [m] [φ] c =

cT dΩ2c ccT dIc c =

2∑r=1

ω2rc

2r

2∑r=1

c2r

. (8.80)

Admitindo, por hipótese, que o vector v difere apenas ligeiramentedo vector modal φ1, então o coeficiente c2 é muito pequeno quando com-parado com o coeficiente c1, isto é,

c2 = ε2c1 (8.81)

sendo ε2 uma quantidade pequena, ε2 << 1.Introduzindo agora c2 = ε2c1 no quociente R (v) obtém-se,

R (v) =ω2

1c21 + ω2

2ε21c

21

c21 + ε2

2c21

. (8.82)

Dividindo o numerador e o denominador por c21 , o quociente de Rayleigh

simplifica-se na forma,

R (v) =ω2

1 + ω22ε

22

1 + ε22

. (8.83)

Desenvolvendo o termo 11+ε2

2em série de Taylor em torno do ponto

regular ε2 = 0,

1

1 + ε22

∼=(1− ε2

2

), (8.84)

o quociente de Rayleigh pode escrever-se,

R (v) =(ω2

1 + ω22ε

22

) (1− ε2

2

). (8.85)

Depois de efectuar o produto indicado no 2o membro e desprezandoos termos de ordem superior à segunda, pode escrever-se,

R (v) ∼= ω21 +

(ω2

2 − ω21

)ε22∼= ω2

1 + O(ε2

). (8.86)


O resultado anterior evidencia que, para um vector v que difere daforma natural φ1 de uma pequena quantidade de 1a ordem, O (ε) , oquociente de Rayleigh R (v) difere da frequência natural ω2

1 associadade uma pequena quantidade de 2a ordem, O (ε2). Assim, o quociente deRayleigh possui um valor estacionário na vizinhança das formas naturais,sendo os valores estacionários iguais ao quadrado das frequências natu-rais correspondentes. Além disso, na vizinhança do modo fundamental(ω2

1, u1), o quociente de Rayleigh apresenta igualmente um valor mín-imo, isto é, o quociente de Rayleigh é um majorante da frequência naturalfundamental,

R (v) ∼= ω21 +

(ω2

2 − ω21

)ε22. (8.87)

Como ω1 < ω2 , R (v) ∼= ω21 + O+ (ε2) e vem então,

R (v) ≥ ω21, (8.88)

onde o sinal de igualdade somente se verifica se ε2 for idêntico a zero, oque equivale a dizer que então o vector arbitrário v é idêntico ao vectormodal φ1.

O quociente de Rayleigh nunca é menor que a frequência natural fun-damental e o valor mínimo que pode tomar é o da frequência fundamental.

Procedendo de forma idêntica ao atrás exposto, pode igualmente con-cluir-se que

R (v) ≤ ω22. (8.89)

Assim, o quociente de Rayleigh é sempre inferior à mais alta frequêncianatural, ω2, e o valor máximo que pode tomar é o da frequência naturalmais elevada, ω2, se o vector arbitrário v for idêntico ao vector modalφ2.

O quociente de Rayleigh é largamente aplicado na prática para obtençãode estimativas para a frequência fundamental de vibração do sistema apartir de vectores arbitrários. Utiliza-se também em algoritmos de reso-lução do problema característico, para determinação das frequências e for-mas naturais de vibração, como acelerador da convergência do processoiterativo.

Para vector arbitrário v pode tomar-se qualquer vector não nulo. Ob-viamente que a aproximação fornecida pelo quociente de Rayleigh serátanto melhor quanto mais o vector se aproximar da forma natural de vi-bração fundamental. Heuristicamente, pode dizer-se que o vector dosdeslocamentos estáticos provocados por forças proporcionais às massas


constitui, em geral, uma boa aproximação da forma fundamental de vi-bração e revela-se adequado para estimar a frequência fundamental atra-vés do quociente de Rayleigh.

Exemplo H

Utilizando o quociente de Rayleigh, estimar a frequência natural funda-mental do sistema representado na figura 8.11, usando diferentes vectoresarbitrários. Comparar as estimativas obtidas para ω1 com o valor exacto.

m1

k1

k2

k3

x1( t ) x

2( t )

m2

Figura 8.11: Sistema com 2 graus de liberdade

Propriedades mecânicasm1 = m2 = m

k1 = k2 = k k3 = 2k

Matrizes de massa e de rigidez

[m] = m

[1 00 1

][k] = k

[2 −1

−1 3

]

Solução exacta para o primeiro modo

ω1 = 1.1756

√k

mφ1 =

0.85070.5257

• Estimativa para o vector v =

11

vT [k] v = k

11

T [2 −1

−1 3

]11

= 3k


vT [m] v = m

11

T [1 00 1

]11

= 2m

R (v) =3k

2m= 1.5

k

m∴ ω1R = 1.2247

√k

m

ε =ω1R − ω1

ω1R

=1.2247− 1.1756

1.1756= 4.18%

• Estimativa para o vector v =

12

vT [k] v = k

12

T [2 −1

−1 3

]12

= 10k

vT [m] v = m

12

T [1 00 1

]12

= 5m

R (v) =10k

5m= 2

k

m∴ ω1R = 1.4142

√k

m

ε =ω1R − ω1

ω1R

=1.4142− 1.1756

1.1756= 20.30%

• Estimativa para o vector v = mk

0.80.6

f = diag [m] ∴ f = m

11

v = [k]−1 f =m

k

[0.6 0.20.2 0.4

]11

=

m

k

0.80.6

vT [k] v = k

0.80.6

T [2 −1

−1 3

]0.80.6

= 1.4k

vT [m] v = m

0.80.6

T [1 00 1

]0.80.6

= 1.0m

R (v) =1.4k

1.0m= 1.4

k

m∴ ω1R = 1.1832

√k

m


ε =ω1R − ω1

ω1R

=1.1832− 1.1756

1.1756= 0.65%

N


CAPÍTULO 9

Sistema com 2 graus de liberdadeRegime forçado


O movimento do sistema canónico com dois graus de liberdade é descritopor duas coordenadas lineares x1 (t) e x2 (t) que definem as posições dasmassas m1 e m2 , em qualquer instante t, a partir das respectivas posiçõesde equilíbrio estático.

m 1

k1

k2

k3

c3

c2

c1

x1( t )

f1( t )

x2( t )

f2( t )

m2

Figura 9.1: Sistema discreto com 2 graus de liberdade

As equações de movimento do sistema constituem um sistema de duas

193

194 Capítulo 9. Sistema com 2 gdl: Regime forçado

equações diferenciais ligadas ou acopladas, de modo que o movimento damassa m1 influencia o movimento da massa m2 e vice-versa. As equaçõesdiferenciais de movimento escrevem-se,

[m1 00 m2

]

︸︷︷︸[m]

x1 (t)x2 (t)

︸︷︷︸x(t)

+

[c1 + c2 −c2

−c2 c2 + c3

]

︸︷︷︸[c]

x1 (t)x2 (t)

︸︷︷︸x(t)

+

[k1 + k2 −k2

−k2 k2 + k3

]

︸︷︷︸[k]

x1 (t)x2 (t)

︸︷︷︸x(t)

=

f1 (t)f2 (t)

︸︷︷︸f(t)

(9.1)

ou, então, em notação matricial,

[m] x (t)+ [c] x (t)+ [k] x (t) = f (t) (9.2)

onde [m], [c] e [k] representam, respectivamente, as matrizes de massa,de amortecimento e de rigidez do sistema. As matrizes [m], [c] e [k] sãosimétricas,

[m] = [m]T [c] = [c]T [k] = [k]T . (9.3)

Para o sistema com dois graus de liberdade as matrizes [m], [c] e [k]são de dimensão (2x2) e os seus termos são, respectivamente, as massas,os coeficientes de amortecimento viscoso e os coeficientes de rigidez dosistema,

[m] =

[m1 00 m2

], [c] =

[c1 + c2 −c2

−c2 c2 + c3

], [k] =

[k1 + k2 −k2

−k2 k2 + k3

].

(9.4)Os vectores x (t), x (t), x (t) e f (t) representam, respectiva-

mente, os vectores de deslocamento, de velocidade, de aceleração e deforça actuante no sistema,

x (t) =

x1 (t)x2 (t)

, x (t) =

x1 (t)x2 (t)

, x (t) =

x1 (t)x2 (t)

,

(9.5a)

f (t) =

f1 (t)f2 (t)

. (9.5b)

9.2 Resposta a uma solicitação harmónica 195

A caracterização completa do movimento do sistema, para além dasequações diferenciais de movimento, requer, igualmente, o conhecimentodas condições iniciais de deslocamento x (0) e de velocidade x (0),

x (0) =

x0

1

x02

, x (0) =

x0

1

x02

. (9.6)

9.2 Resposta a uma solicitação harmónica

Para uma solicitação harmónica síncrona de frequência ω, as equações demovimento escrevem-se,

[m11 m12

m21 m22

]x1 (t)x2 (t)

+

[c11 c12

c21 c22

]x1 (t)x2 (t)

+

[k11 k12

k21 k22

]x1 (t)x2 (t)

=

F1

F2

ejωt

(9.7)

ou, então, em notação matricial,

[m] x (t)+ [c] x (t)+ [k] x (t) = F ejωt (9.8)

onde o vector solicitação f (t) vale,

f (t) =

f1 (t)f2 (t)

=

F1

F2

ejωt. (9.9)

Admitindo uma resposta em regime permanente ou estacionário dotipo,

x1 (t)x2 (t)

=

X1 (ω)X2 (ω)

ejωt (9.10)

ou

x (t) = X (ω) ejωt, (9.11)

as componentes do vector X (ω), em geral complexas, representam aamplitude e a fase do movimento estacionário de resposta, e dependemda frequência ω de excitação e dos parâmetros do sistema. Com efeito,introduzindo a resposta estacionária x (t) = X (ω) ejωt e as respectivasderivadas no sistema de equações diferenciais de movimento, obtém-se oseguinte sistema de equações algébricas,


[ −ω2m11 + jωc11 + k11 −ω2m12 + jωc12 + k12

−ω2m21 + jωc21 + k21 −ω2m22 + jωc22 + k22

] X1 (ω)X2 (ω)

=

F1

F2

(9.12)ou

[−ω2 [m] + jω [c] + [k]] X (ω) = F (9.13)

cuja solução é o vector X (ω). Definindo as funções de impedânciazrs (ω) r, s = 1, 2 da seguinte forma,

zrs (ω) = −ω2mrs + jωcrs + krs r, s = 1, 2, (9.14)

então o sistema de equações algébricas pode escrever-se,[

z11 (ω) z12 (ω)z21 (ω) z22 (ω)

]X1 (ω)X2 (ω)

=

F1

F2

(9.15)

ou

[Z (ω)] X (ω) = F . (9.16)

Premultiplicando pela matiz inversa da matriz impedância, [z (ω)]−1 ,determina-se o vector de amplitudes X (ω),

X (ω) = [z (ω)]−1 F . (9.17)

Desenvolvendo a matriz [z (ω)]−1 para o sistema com 2 graus de liber-dade, esta vale,

[z (ω)]−1 =1

det [z (ω)]

[z22 −z12

−z21 z11

]=

1

z11z22 − z12z21

[z22 −z12

−z21 z11

].

(9.18)Assim, a solução para o vector X (ω) vem,

X1 (ω) =z22F1 − z12F2

z11z22 − z12z21

, X2 (ω) =z11F2 − z12F1

z11z22 − z12z21

. (9.19)

Refira-se que o denominador das expressões de X1 (ω) e X2 (ω) é aequação característica ou de frequências do sistema. Note-se, igualmente,que X1 (ω) e X2 (ω) são, em geral, quantidades complexas cujo módulorepresenta a amplitude de resposta estacionária e cujo argumento repre-senta o desfasamento entre a excitação e a resposta.


ExemploH

Determinar a resposta estacionária do sistema com dois graus de liberdadenão amortecido e com f1 (t) = F cos ωt e f2 (t) = 0. Considerar m1 = m,m2 = 2m, k1 = k2 = k e k3 = 2k.

m1

k1

k2

k3

x1( t )

f1( t ) = F c o s w t

x2( t )

m2

Figura 9.2: Sistema discreto não amortecido com 2 graus de liberdade

A resposta estacionária harmónica do sistema é do tipo,

x1 (t) = X1 (ω) cos ωt x2 (t) = X2 (ω) cos ωt

onde X1 (ω) e X2 (ω) representam as amplitudes do movimento harmónicosíncrono das massas m1 e m2.

De acordo com a definição (9.14), as funções de impedância zrs (ω)valem,

z11 (ω) = k11 − ω2m1, z22 (ω) = k22 − ω2m2, z12 (ω) = z21 (ω) = k12.

Substituindo nas expressões (9.19), as amplitudes X1 (ω) e X2 (ω) dasmassas m1 e m2 vêm,

X1 (ω) =(k22 − ω2m2) F

(k11 − ω2m1) (k22 − ω2m2)− (k12)2

X2 (ω) =−k12F

(k11 − ω2m1) (k22 − ω2m2)− (k12)2

onde o denominador representa a equação característica ou de frequênciascujas raízes são as frequências naturais ω1 e ω2 do sistema. Nas figuras 9.3e 9.4 representa-se a variação das amplitudes X1 (ω) e X2 (ω) em função dafrequência de excitação.

A análise da figura permitem concluir que:

• As amplitudes X1 (ω) e X2 (ω) tendem para infinito para uma fre-quência de excitação ω = ω1 e ω = ω2;


0

0

ω /Hz

X1(ω

)X

s

ω1 ω2

Figura 9.3: Amplitude de resposta X1(ω) em função da frequência

0

0

ω /Hz

X2(ω

)X

s

ω1 ω2

Figura 9.4: Amplitude de resposta X2(ω) em função da frequência

• Existem duas condições de ressonância para o sistema: ω = ω1 eω = ω2;

• Para 0 < ω < ω1, as massas m1 e m2 movem-se em fase;

• Para ω > ω2, as massas m1 e m2 movem-se em oposição de fase;

• Para ω1 < ω < ω2 , as massas m1 e m2 movem-se em fase ou emoposição de fase;

• Existe um valor particular da frequência de excitação ω para o quala amplitude de vibração X1 (ω) da massa m1, à qual está aplicada aforça excitadora f1 (t) = F cos ωt, se anula.N

9.3 Regime forçado não amortecido 199

9.3 Regime forçado não amortecido

9.3.1 Coordenadas generalizadasO sistema de equações diferenciais de movimento do sistema não-amortecidonas coordenadas generalizadas escreve-se

[m11 m12

m21 m22

]x1 (t)x2 (t)

+

[k11 k12

k21 k22

]x1 (t)x2 (t)

=

f1 (t)f2 (t)

, (9.20)

ou, então, na forma mais compacta,

[m] x (t)+ [k] x (t) = f (t) , (9.21)

apresentando-se as equações, conforme já discutido, acopladas ou ligadasentre si. No caso mais geral, o acoplamento pode ser de massa ou inérciae elástico ou de rigidez.

m1

k1

k2

k3

x1( t )

f1( t )

x2( t )

f2( t )

m2

Figura 9.5: Sistema não amortecido com 2 graus de liberdade

A caracterização do movimento do sistema é completada pelas condiçõesiniciais de deslocamento x (0) e de velocidade x (0),

x (0) =

x0

1

x02

, x (0) =

x0

1

x02

. (9.22)

9.3.2 Coordenadas naturais ou modaisNa perspectiva de resolução do sistema de equações diferenciais (9.21) demovimento, defina-se uma transformação de coordenadas do tipo

x (t) = [T ] η (t) , (9.23)

onde a matriz [T ] representa a matriz de transformação das coordenadasgeneralizadas x (t) nas coordenadas generalizadas η (t) . Adoptando


como matriz de transformação a matriz modal, [T ] = [Φ], as coordenadasgeneralizadas η (t) designam-se por coordenadas modais ou naturais, ea transformação (9.23) escreve-se

x (t) = [Φ] η (t) , (9.24)

onde a matriz de transformação modal [Φ] é uma matriz de dimensão(2x2).

Como a matriz modal [Φ] é independente da variável tempo, derivandoduas vezes a expressão (9.24) em ordem a t obtém-se

x (t) = [Φ] η (t) . (9.25)

Introduzindo a transformação (9.24) na equação de movimento (9.21)vem,

[m] [Φ] η (t)+ [k] [Φ] η (t) = f (t) . (9.26)

Premultiplicando todos os termos da equação anterior pela matriz modaltransposta, [Φ]T, então,

[Φ]T [m] [Φ] η (t)+ [Φ]T [k] [Φ] η (t) = [Φ]T f (t) . (9.27)

Tendo em conta a propriedade de ortonormalidade dos vectors modaisque formam a matriz modal [Φ],

[Φ]T [m] [Φ] = dIc [Φ]T [k] [Φ] =⌈Ω2

⌋, (9.28)

o resultado de (9.27) vem

dIc η (t)+⌈Ω2

⌋ η (t) = [Φ]T f (t) , (9.29)

onde dIc e dΩ2c representam, respectivamente, a matriz identidade e umamatriz diagonal cujos termos são os quadrados das frequências naturais.Assim, a equação (9.29), que representa a projecção das equações de mo-vimento na base modal, é constituída por duas equações diferenciais de-sacopladas ou independentes. Para o sistema com dois graus de liberdadeobtém-se,

[1 00 1

]η1 (t)η2 (t)

+

[ω2

1 00 ω2

2

]η1 (t)η2 (t)

=

N1 (t) = φ11f1 (t) + φ21f2 (t)N2 (t) = φ12f1 (t) + φ22f2 (t)

.

(9.30)

9.3 Regime forçado não amortecido 201

A transformação linear com a matriz modal [Φ], conjuntamente com apropriedade de ortogonalidade dos vectores modais, permite, pois, o de-sacoplamento simultâneo em termos elásticos e em termos de inércia dasduas equações de movimento. Noutros termos, a projecção das equaçõesdiferenciais de movimento na base modal conduz a equações diferenciaisdesacopladas ou independentes, sendo cada uma delas idêntica à equaçãodiferencial de movimento do sistema com um grau de liberdade,

ηi (t) + ω2i η (t) = Ni (t) i = 1, 2. (9.31)

Como na base modal as equações de movimento se apresentam com-pletamente desacopladas, as coordenadas generalizadas modais ηi (t) i =1, 2 designam-se igualmente por coordenadas naturais.

m 1

k 1 k 2 k 3

x 1 ( t )

f 1 ( t )

x 2 ( t )

f 2 ( t )

m 2

C o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s

h2 ( t )

N2 ( t )

k2m

m2m

h 1( t )

N 1( t )

k 1m m 1

m

C o o r d e n a d a s m o d a i s

Figura 9.6: Base generalizada versus base modal ou natural


Condições iniciais na base modal

A resolução de cada uma das equações (9.31) na base modal ou naturalrequer igualmente as condições iniciais expressas na base modal. Apli-cando a transformação de coordenadas (9.24) às condições iniciais x (0)e x (0), obtêm-se as relações

x (0) = [Φ] η (0) x (0) = [Φ] η (0) , (9.32)

onde os vectores η (0) e η (0) representam as condições iniciais dedeslocamento e de velocidade na base modal. Premultiplicando ambasas expressões por [Φ]T [m] e atendendo às propriedades de ortogonalidade(ortonormalidade), os vectores η (0) e η (0) vêm,

η (0) = [Φ]T [m] x (0) η (0) = [Φ]T [m] x (0) . (9.33)

9.3.3 Resposta nas coordenadas modais

As equações de movimento na base modal ou natural constituem entãoum conjunto de duas equações independentes do tipo ηi (t) + ω2

i η (t) =Ni (t) i = 1, 2, cada uma delas idêntica à equação canónica do sistemacom um grau de liberdade,

η1 (t) + ω21η (t) = N1 (t)

η2 (t) + ω22η (t) = N2 (t).

(9.34)

Na base modal cada uma das equações ηi (t) + ω2i η (t) = Ni (t) i =

1, 2 pode ser resolvida analítica ou numericamente, conforme o tipo desolicitação aplicada ao sistema. Assim, se a solicitação for conhecida sob aforma de uma função do tempo, a solução analítica pode ser determinadautilizando o integral de Duhamel,

ηi (t) =1

ωi

∫ t

0

Ni (τ) sin ωi (t− τ) dτ

+ ηi (0) cos ωit +ηi (0)

ωi

sin ωit

i = 1, 2. (9.35)

Para uma solicitação definida apenas para valores discretos do tempo,tk k = 1, . . . , m, pode utilizar-se um procedimento de integração directade cada uma das equações na base modal.

9.4 Regime forçado amortecido 203

9.3.4 Resposta nas coordenadas generalizadasUma vez determinada a resposta ηi (t) i = 1, 2 na base modal ou natural,a determinação da resposta x (t) nas coordenadas generalizadas passapela transformação de coordenadas (9.24). Assim, a resposta x (t) nascoordenadas generalizadas é dada pela expressão,

x (t) = [Φ] η (t) =[ φ1 φ2

] η1 (t)η2 (t)

, (9.36)

a qual, depois de desenvolvida pode ainda escrever-se na forma,

x (t) =2∑

i=1

φi︸︷︷︸forma modal

ηi (t)︸︷︷︸coordenada modal

. (9.37)

O movimento x (t) pode, pois, exprimir-se como uma sobreposiçãodas formas naturais de vibração multiplicadas pelas respectivas coorde-nadas modais, donde a designação de sobreposição modal para esta téc-nica.

Particularizando para o sistema com dois graus de liberdade, a res-posta x (t) vem,

x1 (t)x2 (t)

=

[φ11 φ12

φ21 φ22

]η1 (t)η2 (t)

=

φ11η1 (t) + φ12η2 (t)φ21η1 (t) + φ22η2 (t)

=

φ11

φ21

η1 (t) +

φ12

φ22

η2 (t).

(9.38)

9.4 Regime forçado amortecido

9.4.1 Coordenadas generalizadasPara um sistema discreto com amortecimento de tipo viscoso, as equaçõesde movimento na base generalizada são da forma,

[m11 m12

m21 m22

]x1 (t)x2 (t)

+

[c11 c12

c21 c22

]x1 (t)x2 (t)

+

[k11 k12

k21 k22

]x1 (t)x2 (t)

=

f1 (t)f2 (t)

,

(9.39)


ou ainda,

[m] x (t)+ [c] x (t)+ [k] x (t) = f (t) . (9.40)

9.4.2 Coordenadas naturais ou modaisAdoptando o procedimento de análise modal atrás exposto, em que a ma-triz de transformação de coordenadas é a matriz modal [Φ] formada pelosvectores modais do sistema não-amortecido, a projecção da equação ma-tricial (9.40) de movimento na base modal conduz à seguinte equação,

[Φ]T [m] [Φ] η (t)+ [Φ]T [c] [Φ] η (t)+ [Φ]T [k] [Φ] η (t) = [Φ]T f (t) .(9.41)

Tendo em conta as propriedades de ortogonalidade dos vectores modaisem relação às matrizes de massa e de rigidez, as equações de movimentoprojectadas na base modal vêm,

dIc η (t)+ [Φ]T [c] [Φ] η (t)+⌈Ω2

⌋ η (t) = N (t) , (9.42)

onde dIc e dΩ2c representam, respectivamente, a matriz identidade e umamatriz diagonal cujos termos são os quadrados das frequências naturais.Por sua vez, a matriz [Φ]T [c] [Φ], que representa a projecção da matriz deamortecimento na base modal, não é, necessariamente, uma matriz diago-nal. Assim, a equação matricial (9.42) encontra-se desacoplada em termosde inércia e de rigidez, mas não necessariamente em termos de amorteci-mento.

Amortecimento proporcional

Considerando uma matriz de amortecimento [c] que seja uma combinaçãolinear da matriz de massa e da matriz de rigidez, isto é,

[c] = α [m] + β [k] , (9.43)

então a sua projecção na base modal vem,

[Φ]T [c] [Φ] = α [Φ]T [m] [Φ] + β [Φ]T [k] [Φ]

= α dIc+ β⌈Ω2

⌋

=[α + βΩ2

]

= d2ξΩc

(9.44)

9.4 Regime forçado amortecido 205

e é uma matriz diagonal. Assim, os vectores modais do sistema não amorte-cido diagonalizam igualmente a matriz de amortecimento viscoso propor-cional, e as equações de movimento na base modal são equações indepen-dentes.

Refira-se, a título de informação, que a condição de proporcionalidadepara a matriz de amortecimento é demasiado redutora. Com efeito, osvectores modais do sistema não amortecido diagonalizam a matriz deamortecimento desde que esta verifique a condição de Caughey, que éuma condição mais lata do que a condição de proporcionalidade.

9.4.3 Equações modais

Para uma matriz de amortecimento proporcional, (9.43), as equações demovimento projectadas na base modal do sistema não-amortecido, (9.42),constituem então um conjunto de equações diferenciais independentessendo cada uma delas formalmente idêntica à equação de movimento deum sistema amortecido com um grau de liberdade,

ηi (t) + 2ξiωiη (t) + ω2i η (t) = Ni (t) i = 1, 2. (9.45)

Resposta na base modal

Na base modal, cada uma das equações (9.45) pode se resolvida analíticaou numericamente, conforme o tipo de solicitação aplicada ao sistema.Assim, a resposta pode ser determinada utilizando o integral de Duhamel,

ηi (t) =1

ωdi

∫ t

0

Ni (τ) e−ξiωi(t−τ) sin ωdi(t− τ) dτ

+ eξiωit

(ηi (0)√1− ξ2

i

cos (ωdit− φi) +

ηi (0)

ωi

sin ωdit

) i = 1, 2

(9.46a)

ωdi= ωi

√1− ξ2

i φi = tan−1 ξi√1− ξ2

i

, (9.46b)

ou utilizando um procedimento de integração directa de cada uma dasequações na base modal.


9.4.4 Resposta nas coordenadas generalizadasUma vez determinada a resposta ηi (t) i = 1, 2 na base modal ou natural,a determinação da resposta x (t) nas coordenadas generalizadas é dadapela expressão,

x (t) = [Φ] η (t)

=[ φ1 φ2

] η1 (t)η2 (t)

=2∑

i=1

φi︸︷︷︸forma modal

ηi (t)︸︷︷︸coordenada modal

.

(9.47)

Assim, para o sistema amortecido em que a matriz de amortecimento[c] é proporcional, o movimento x (t) de resposta pode ainda exprimir-secomo uma sobreposição das formas naturais de vibração do sistema não-amortecido multiplicadas pelas respectivas respostas amortecidas em co-ordenadas modais, mantendo-se válida a técnica da sobreposição modal.

Parte IV

Sistema com n graus de liberdade

207

CAPÍTULO 10

Sistema com n graus de liberdadeEquações de movimento


Considere-se um sistema com n graus de liberdade, como se mostra nafigura 10.1.

k2

k i + 1 k n k n + 1k1

x1

x i - 1 x n

m 1

f1

f i f n

m jm i - 1 m nm i m i + 1

x i + 1

f i + 1f i - 1

k i + 1k i

x i

Figura 10.1: Sistema discreto com n graus de liberdade

Referindo-nos ao diagrama de corpo livre de uma massa genérica mi,figura 10.2, a equação de movimento é dada pela expressão

mixi = −ki (xi − xi−1) + ki+1 (xi+1 − xi) + fi i = 2, . . . , n− 1, (10.1)

209

210 Capítulo 10. Sistema com n gdl: Equações de movimento

x i

f i

m ik i ( x i - x i - 1 ) k i + 1 ( x i + 1 - x i )

Figura 10.2: Diagrama de corpo livre da massa mi

ou então

mixi − kixi−1 + (ki + ki+1) xi − ki+1xi+1 = fi i = 2, 3, . . . , n− 1. (10.2)

As equações de movimento das massas m1 e mn podem ser derivadasda equação acima fazendo i = 1 e i = n com, respectivamente, x0 = 0 exn+1 = 0,

m1x1 + (k1 + k2) x1 − k2x2 = f1 (10.3)

mnxn − knxn−1 + (kn + kn+1) xn = fn. (10.4)

As equações de movimento (10.2)-(10.4) podem, ainda, exprimir-se nu-ma forma matricial do seguinte modo:

[m] x (t)+ [k] x (t) = f (t) , (10.5)

onde as matrizes [m] e [k] são designadas por, respectivamente, matriz demassa e de rigidez, e são dadas por:

[m] =

m1

. . .mi

. . .mn

(10.6)

[k] =

k1 + k2 −k2 0 . . . 0−k2 k2 + k3 −k3 . . . 00 −k3 k3 + k4 . . . 0...

...... . . . −kn

0 0 0 −kn kn + kn+1

(10.7)

10.2 Coeficientes de influência 211

e os vectores x (t), x (t) e f (t) são os vectores de deslocamentos, deacelerações e de forças, dados respectivamente por

x (t) =

x1...xi...

xn

, x (t) =

x1...xi...

xn

, f (t) =

f1...fi...

fn

. (10.8)

O sistema considerado, sistema de massas concentradas, é um casoparticular dos sistemas discretos com n graus de liberdade, e não apre-senta acoplamento dinâmico. Na sua forma mais geral, as matrizes demassa e de rigidez apresentam a seguinte topologia:

[m] =

m11 m12 m13 . . . m1n

m21 m22 m23 . . . m2n

m31 m32 m33 . . . m3n...

...... . . . ...

mn1 mn2 mn3 . . . mnn

, [k] =

k11 k12 k13 . . . k1n

k21 k22 k23 . . . k2n

k31 k32 k33 . . . k3n...

...... . . . ...

kn1 kn2 kn3 . . . knn

.

(10.9)

10.2 Coeficientes de influência

As equações de movimento de um sistema com n graus de liberdade po-dem também ser escritas em termos dos coeficientes de influência, quesão largamente utilizados em Mecânica das Estruturas. Basicamente, umconjunto de coeficientes de influência pode ser associado com cada umadas matrizes do modelo espacial. Os coeficientes de influência associa-dos às matrizes de rigidez e de massa designam-se, respectivamente, porcoeficientes de rigidez e de inércia. Em determinadas situações, apresenta-se como conveniente reescrever as equações de movimento em termos damatriz inversa da matriz de rigidez, designada por matriz de flexibilidade,ou em termos da matriz inversa da matriz de massa. Os coeficientes cor-respondentes à inversa da matriz de rigidez designam-se por coeficientesde influência de flexibilidade, e aqueles correspondentes à inversa da ma-triz de massa por coeficientes de influência inversos dos coeficientes deinércia.


10.2.1 Coeficientes de influência de rigidezPara uma mola linear elástica, a força necessária para lhe provocar umaelongação unitária é designada por rigidez ou constante da mola. Em sis-temas mais complexos, pode exprimir-se a relação entre o deslocamentonum ponto e as forças actuantes em vários outros pontos do sistema pormeio de coeficientes de influência de rigidez.

"O coeficiente de influência de rigidez, designado por kij , é definido comosendo a força no ponto i devida a um deslocamento unitário no ponto j, xj = 1,quando todos os pontos, com excepção do ponto j, estão fixos, x `

6=j

= 0."

k2

k j + 1 k n k n + 1k1

x1= 0 x i = 0 x n = 0

m 1m jm i m nm j

x j = 1

k i + 1k ik i j k j


Com base na definição, a força total no ponto i, Fi, pode ser obtidasomando as forças devidas a todos os deslocamentos xj j = 1, 2, . . . , n:

Fi =n∑

j=1

kijxj i = 1, 2, . . . , n. (10.10)

Em notação matricial, a expressão anterior escreve-se

F = [k] x , (10.11)

onde x e F representam os vectores de deslocamentos e de forçasdefinidos na expressão (10.8), e [k] é a matriz de rigidez dada por

[k] =

k11 k12 k13 . . . k1n

k21 k22 k23 . . . k2n

k31 k32 k33 . . . k3n...

...... . . . ...


. (10.12)

Os coeficientes de influência de rigidez apresentam as seguintes carac-terísticas:

i. Como para um sistema linear a força necessária no ponto i para pro-duzir um deslocamento unitário no ponto j e deslocamentos nulos


nos pontos ` 6= j é idêntica à força necessária no ponto j para pro-duzir um deslocamento unitário no ponto i e deslocamentos nulosnos pontos ` 6= i , teorema da reciprocidade de Maxwell-Betti, tem-se a relação kij = kji i, j = 1, . . . , n;

ii. Os coeficientes de influência de rigidez podem ser calculados pelaaplicação dos princípios fundamentais da Mecânica dos Sólidos;

iii. Os coeficientes de influência de rigidez para sistemas em torção sãodefinidos em termos de momento torsor e de deslocamento angularunitário.

Os coeficientes de influência de rigidez dum sistema com n graus deliberdade podem determinar-se da seguinte forma:

• Atribuir um deslocamento unitário à coordenada j, xj = 1, e desloca-mento nulo para todas as outras coordenadas, x `

6=j

= 0. Por definição,

o conjunto de forças kij i = 1, . . . , n mantém o sistema na configu-ração assumida.

• A resolução das n relações de equilíbrio estático para cada uma das nmassas conduz à obtenção dos n coeficientes de inluência de rigidezkij i = 1, . . . , n.

Exemplo H

Determinar a matriz dos coeficientes de influência de rigidez para o sis-tema discreto com 3 graus de liberdade representado na figura 10.4.

k2

x2

k3

k1

x1

x3

m1 m

2m

3

Figura 10.4: Sistema discreto

1. x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0 (figura 10.5)

Relações de equilíbrio estático:


m1 : k1 = −k2 + k11 m2 : k21 = −k2 m3 : k31 = 0

Solução:

k11 = k1 + k2 k21 = −k2 k31 = 0

k2

x2= 0

k3

k1

x1= 1 x

3= 0

m1 m

2m

3

k1 1

k2 1

k3 1

k3

k1x1= k

1

m1 m

2m

3

k1 1

k2 1

k3 1

k2( x

2- x

1) = - k

2k3( x

3- x

2) = 0

Figura 10.5: Determinação dos coeficientes de rigidez kj1

2. x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0 (figura 10.6


m1 : k12 + k2 = 0 m2 : k22 − k3 = k2 m3 : k32 = −k3

Solução:k12 = −k2 k22 = k2 + k3 k32 = −k3

3. x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1 (figura 10.7)


m1 : k13 = 0 m2 : k23 + k3 = 0 m3 : k33 = k3

Solução:k13 = 0 k23 = −k3 k33 = k3


k2

x2= 1

k3

k1

x1= 0 x

3= 0

m1 m

2m

3

k1 1

k2 1

k3 1

k3

k1x1= 0

m1 m

2m

3

k1 2

k2 2

k3 2

k2( x

2- x

1) = k

2k3( x

3- x

2) = - k

3


k2

x2= 0

k3

k1

x1= 0 x

3= 1

m1 m

2m

3

k1 3

k2 3

k3 3

k 3

k1x1= 0

m1 m

2m

3

k1 3

k2 3

k3 3

k2( x

2- x

1) = 0 k

3( x

3- x

2) = k

3


Matriz dos coeficientes de influência de rigidez Agrupando os coefici-entes de rigidez previamente calculados, a matriz de coeficientes de rigidezou simplesmente a matriz de rigidez vem

[k] =

k1 + k2 −k2 0

−k2 k2 + k3 −k3

0 −k3 k3

.

N


10.2.2 Coeficientes de influência de flexibilidade

Para o sistema com n graus de liberdade representado na figura abaixo,uma única força actuante no ponto j, Fj , provoca no ponto i o desloca-mento xij .

Como, para um sistema linear, a deflexão aumenta proporcionalmenteà carga, tem-se:

xij = aijFj. (10.13)

"O coeficiente de influência de flexibilidade, representado por aij , é definidocomo sendo o deslocamento do ponto i devido a uma carga unitária aplicada noponto j."

k2

k j + 1 k n k n + 1k1

x1

x i = a i j x n

m1

m jm i m nm j

x j

k jk if j = 1


Se várias forças Fj j = 1, 2, ..., n actuarem segundo as diferentes co-ordenadas generalizadas do sistema, o deslocamento total segundo qual-quer coordenada i é dado pela soma de todas as contribuições das forçasFj j = 1, 2, ..., n. Assim,

xi =n∑

j=1

xij =n∑

j=1

aijFj i = 1, . . . , n. (10.14)

A equação anterior escreve-se em notação matricial da seguinte forma:

x = [a] F (10.15)

onde x e F são os vectores de deslocamentos e de forças definidos naexpressão (10.8) e [a] é a matriz de flexibilidade dada por:

[a] =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

a31 a32 a33 . . . a3n...

...... . . . ...

an1 an2 an3 . . . ann

. (10.16)


Os coeficientes de influência de flexibilidade apresentam as seguintescaracterísticas:

i. Como para um sistema linear o deslocamento no ponto i provocadopor uma força unitária aplicada no ponto j é idêntico ao desloca-mento no ponto j provocado por uma força unitária aplicada noponto i, teorema da reciprocidade de Maxwell-Betti, tem-se a relaçãoaij = aji i, j = 1, . . . , n ;

ii. Os coeficientes de influência de flexibilidade podem ser calculadospela aplicação dos princípios fundamentais da Mecânica dos Sólidos;

iii. Os coeficientes de influência de flexibilidade para sistemas em torçãosão definidos em termos de momento torsor unitário e de desloca-mento angular.

Os coeficientes de influência de flexibilidade dum sistema com n grausde liberdade podem determinar-se da seguinte forma:

• Assumir uma força unitária aplicada segundo a coordenada j, Fj =1;

• Por definição, os deslocamentos segundo as n coordenadas constitu-em os coeficientes de influência de flexibilidade aij i = 1, . . . , n.

Exemplo H

Determinar a matriz dos coeficientes de influência de flexibilidade para osistema discreto com 3 graus de liberdade representado na figura 10.9.

k2

x2

k3

k1

x1

x3

m1 m

2m

3


1. F1 = 1, F2 = 0, F3 = 0 (figura 10.10)



m1 : k1a11 = k2 (a21 − a11) + 1

m2 : k2 (a21 − a11) = k3 (a31 − a21)

m3 : k3 (a31 − a21) = 0

Solução:

a11 =1

k1

a21 =1

k1

a31 =1

k1

k2

x2= a

2 1

k3

k1

x1= a

1 1x3= a

3 1

m1 m

2m

3

f1= 1 f

2= 0 f

3= 0

k1a1 1

m1 m

2m

3

f1= 1 f

2= 0 f

3= 0

k2( a

2 1- a

1 1) k

3( a

3 1- a

2 1)

Figura 10.10: Determinação dos coeficientes de flexibilidade aj1

2. F1 = 0, F2 = 1, F3 = 0 (figura 10.11)


m1 : k1a12 = k2 (a22 − a12)

m2 : k2 (a22 − a12) = k3 (a32 − a22) + 1

m3 : k3 (a32 − a22) = 0

Solução:

a12 =1

k1

a22 =1

k1

+1

k2

a32 =1

k1

+1

k2


k2

x2= a

2 2

k3

k1

x1= a

1 2x3= a

3 2

m1 m

2m

3

f1= 0 f

2= 1 f

3= 0

k1a1 2

m1 m

2m

3

f1= 0 f

2= 1 f

3= 0

k2( a

2 2- a

1 2) k

3( a

3 2- a

2 2)


3. F1 = 0, F2 = 0, F3 = 1 (figura 10.12)


m1 : k1a13 = k2 (a23 − a13)

m2 : k2 (a23 − a13) = k3 (a33 − a23)

m3 : k3 (a33 − a23) = 1

Solução:

a13 =1

k1

a23 =1

k1

+1

k2

a33 =1

k1

+1

k2

+1

k3

Matriz dos coeficientes de influência de flexibilidade

[a] =

1k1

1k1

1k1

1k1

1k1

+ 1k2

1k1

+ 1k2

1k1

1k1

+ 1k2

1k1

+ 1k2

+ 1k3

.

N

10.2.3 Coeficientes de rigidez e de flexibilidadeA análise das expressões (10.11) e (10.15) mostra que as matrizes de coefi-cientes de rigidez e de flexibilidade estão relacionadas entre si. Com efeito,substituindo a expressão (10.15) na expressão (10.11), obtém-se


k2

x2= a

2 3

k3

k1

x1= a

1 3x3= a

3 3

m1 m

2m

3

f1= 0 f

2= 0 f

3= 1

k1a1 3

m1 m

2m

3

f1= 0 f

2= 0 f

3= 1

k2( a

2 3- a

1 3) k

3( a

3 3- a

2 3)


x = [a] F = [a] [k] x (10.17)

donde se obtém a relação:

[a] [k] = dIc , (10.18)

onde dIc representa a matriz identidade. A equação (10.18) é, pois, equi-valente a escrever:

[k] = [a]−1 ou [a] = [k]−1 . (10.19)

Assim, as matrizes de rigidez e de flexibilidade são a inversa uma daoutra.

Notem-se os seguintes aspectos relativos aos coeficientes de influência:

• A determinação dos coeficientes de rigidez requer a aplicação dasleis da Estática. Com efeito, para gerar um conjunto de n coeficientesde rigidez, k1j, k2j, . . . , knj , é necessária a solução de um sistemade n equações algébricas. Assim, é necessária a resolução de n sis-temas de n equações para gerar os coeficientes de rigidez para umsistema com n graus de liberdade, o que se pode traduzir num es-forço computacional considerável para sistemas que apresentam umnúmero n de graus de liberdade elevado;

• A determinação dos coeficientes de flexibilidade, por outro lado,apresenta-se, em geral, mais simples e mais adequada.


10.2.4 Coeficientes de influência de inércia

A matriz de massa dum sistema linear discreto pode ser estabelecida peladeterminação de coeficientes de influência de inércia pelo princípio do im-pulso e da quantidade de movimento.

Para um sistema com n graus de liberdade e com coordenadas generali-zadas xj j = 1, . . . , n, a aplicação dum sistema de impulsos Ii i = 1, . . . , n,origina uma variação instantânea das velocidades generalizadas xj j =1, . . . , n, que se relacionam com os impulsos aplicados através de n apli-cações do princípio do impulso e da quantidade de movimento. Para umsistema linear, as equações resultantes podem escrever-se na forma:

Ii =n∑

j=1

mijxj i = 1, 2, . . . , n (10.20)

onde os coeficientes mij são os coeficientes de influência de inércia.Considerando, em particular, um sistema de impulsos tal que,

xj = 1 e x` = 0 , ` 6= j = 1, . . . , n (10.21)

então a equação anterior reduz-se a:

Ii = mij (10.22)

Assim,"O coeficiente de influência de inércia, designado por mij , é definido como

sendo o impulso aplicado no ponto i , Ii , para produzir uma velocidade instan-tânea unitária no ponto j , xj = 1 , com a velocidade nula em todos os outrospontos, x

`6=j

= 0 ."

A equação (10.20) pode escrever-se em notação matricial na seguinteforma:

I

= [m] x (10.23)

onde

I

e x são os vectores de impulsos e de velocidades e [m] é amatriz de coeficientes de influência de inércia dada por:

[m] =

m11 m12 m13 . . . m1n

m21 m22 m23 . . . m2n

m31 m32 m33 . . . m3n...

...... . . . ...


. (10.24)


O procedimento para determinar os coeficientes de influência de inér-cia desenvolve-se do seguinte modo:

1. Assumir um sistema de impulsos aplicados de modo que xj = 1 ex `6=j

= 0. A aplicação repetida do princípio do impulso e da quanti-

dade de movimento permite determinar os impulsos aplicados, obten-do-se os coeficientes mij = Ii i = 1, . . . , n.

Exemplo-Determinação de coeficientes de rigidezH

Determinar os coeficientes de rigidez para o sistema discreto representadona figura 10.13.

x2( t )

x1( t )m

1

m2

m3

k1

k2

k3

x3( t )

Figura 10.13: Sistema discreto com 3 graus de liberdade

Conforme esquematizado na figura 10.14, aplicando sucessivamenteum deslocamento unitário segundo cada um dos graus de liberdade, obtém-se,

• x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0k11 = k1 + k2

k21 = −k2

k31 = 0;

• x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0k12 = −k2

k22 = k2 + k3

k32 = −k3;


m 1

m 2

m 3

x 1 = 1k 1 1 = k 1 + k 2

k 2 1 = - k 2

k 3 1 = 0

m 1

m 2

m 3

k 1

k 3

k 1

k 2

k 3

m 1

m 2

m 3

k 3

k 1

k 2k 1 2 = - k 2

k 2 2 = k 2 + k 3

k 3 2 = - k 3

k 1 3 = 0

k 2 3 = - k 3

k 3 3 = k 3

k 2

x 2 = 1

x 3 = 1

x 1 = 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 0 x 1 = 0 ; x 2 = 1 ; x 3 = 0 x 1 = 0 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Figura 10.14: Determinação dos coeficientes de rigidez

• x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1k13 = 0

k23 = −k3

k33 = k3.

Matriz dos coeficientes de rigidez

[k] =

k1 + k2 −k2 0

−k2 k2 + k3 −k3

0 −k3 k3

N

Determinação de coeficientes de flexibilidade: ExemplosH

Exemplo 1 Determinar os coeficientes de flexibilidade para o sistemadiscreto representado na figura 10.15.

Conforme esquematizado na figura 10.16, aplicando sucessivamenteuma força unitária segundo cada um dos graus de liberdade, obtém-se,

• F1 = 1, F2 = 0, F3 = 0a11 = 1

3k

a21 = 13k

a31 = 13k

;


x2( t )

x1( t )m

1

m2

m3

k1

k2

k3

x3( t )


m1

m2

m3

k1

k2

k3

m1

m2

m3

k2

k1

k3

m1

m2

m3

k2

k3

k1

a1 1

a2 1

a3 1

a1 2

a2 2

a3 2

a1 3

a2 3

a3 3

F1= 1

F2= 1

F3= 1

Figura 10.16: Determinação dos coeficientes de flexibilidade

• F1 = 0, F2 = 1, F3 = 0

a12 = 13k

a22 = 13k

+ 12k

a32 = 13k

+ 12k

;

• F1 = 0, F2 = 0, F3 = 1

a13 = 13k

a23 = 13k

+ 12k

a33 = 13k

+ 12k

+ 1k.


Matriz dos coeficientes de flexibilidade

[a] =

13k

13k

13k

13k

13k

+ 12k

13k

+ 12k

13k

13k

+ 12k

13k

+ 12k

+ 1k

NH

Exemplo 2 Determinar os coeficientes de flexibilidade para uma vigasimplesmente apoiada discretizada em 3 graus de liberdade conforme serepresenta na figura 10.17.

y 1 ( t )

l / 4 l / 4 l / 4 l / 4

y 2 ( t ) y 3 ( t )

m 1 m 2 m 3

Figura 10.17: Discretização de viga simplesmente apoiada

Aplicando, sucessivamente, uma força unitária nas secções correspon-dentes aos graus de liberdade, conforme se esquematiza na figura 10.18,obtêm-se os coeficientes de flexibilidade1:

• F1 = 1, F2 = 0, F3 = 0a11 = 9

768`3

EI

a21 = 11768

`3

EI

a31 = 7768

`3

EI;

• F1 = 0, F2 = 1, F3 = 0a12 = 11

768`3

EI

a22 = 148

`3

EI

a32 = 11768

`3

EI;

1A deflexão δ (x) da viga devida a uma carga estática P é dada pela expressão:

x

P

a b

lδ (x) =

Pbx6EI`

(`2 − b2 − x2

)0 ≤ x ≤ a

−Pa(`−x)6EI`

(a2 + x2 − 2`x

)a ≤ x ≤ `


a1 2 a

2 2 a3 2

a1 3

a2 3 a

3 3

a2 1 a

3 1

F1= 1

a1 1

F2= 1

F3= 1

Figura 10.18: Coeficientes de flexibilidade duma viga

• F1 = 0, F2 = 0, F3 = 1

a13 = 7768

`3

EI

a23 = 11768

`3

EI

a33 = 9768

`3

EI.

Matriz dos coeficientes de flexibilidade

[a] =`3

EI

9768

11768

7768

11768

148

11768

7768

11768

9768

N

10.3 Energia cinética e energia potencial

Seja xi o deslocamento da massa mi e fi a força aplicada na direcção de xi

à massa mi num sistema com n graus de liberdade como o da figura 10.19.A energia potencial elástica (também designada por energia de defor-

mação) é dada por:

Vi =1

2fixi. (10.25)

A energia potencial total pode exprimir-se:

10.3 Energia cinética e energia potencial 227

k2

k i + 1 k n k n + 1k1

x1

x i - 1 x n

m 1

f1

f i f n

m jm i - 1 m nm i m i + 1

x i + 1

f i + 1f i - 1

k i + 1k i

x i


V =n∑

i=1

Vi =1

2

n∑i=1

fixi. (10.26)

Como, de acordo com a expressão (10.10),

fi =n∑

j=1

kijxj, (10.27)

a equação acima vem:

V =1

2

n∑i=1

(n∑

j=1

kijxj

)xi =

1

2

n∑i=1

n∑j=1

kijxixj. (10.28)

A equação anterior pode também escrever-se na forma matricial:

V =1

2xT [k] x , (10.29)

onde o vector de deslocamentos é dado por (10.8) e a matriz de rigidez édada por:

[k] =

k11 k12 . . . k1i . . . k1n

k21 k22 . . . k2i . . . k2n...

... . . . ......

...ki1 ki2 . . . kii . . . kin...

......

... . . . ...kn1 kn2 . . . kni . . . knn

. (10.30)

Por sua vez, a energia cinética associada à massa mi é, por definição,igual a:

Ti =1

2mix

2i . (10.31)

A energia cinética total do sistema pode então escrever-se:


T =n∑

i=1

Ti =1

2

n∑i=1

mix2i , (10.32)

que pode ainda escrever-se em notação matricial como:

T =1

2xT [m] x , (10.33)

onde o vector de velocidades é dado por:

x (t) =

x1 . . . xi . . . xn

T, (10.34)

e a matriz de massa é diagonal dada por:

[m] =

m1 0 . . . 0 . . . 00 m2 . . . 0 . . . 0...

... . . . ......

...0 0 . . . mi . . . 0...

......

... . . . ...0 0 . . . 0 . . . mn

. (10.35)

Se forem utilizadads coordenadas generalizadas qj j = 1, 2, . . . , n, emvez dos deslocamentos físicos xj , a expressão da energia cinética vem:

T =1

2qT [m] q (10.36)

onde q é o vector de velocidades generalizadas dado por:

q (t) =

q1 q2 . . . qi . . . qn−1 qn

T (10.37)

e [m] é a matriz de massa generalizada dada por:

[m] =

m11 m12 . . . m1i . . . m1n

m21 m22 . . . m2i . . . m2n...

... . . . ......

...mi1 mi2 . . . mii . . . min...

......

... . . . ...mn1 mn2 . . . mni . . . mnn

(10.38)

onde mij = mji i, j = 1, . . . , n. A matriz de massa generalizada pode,eventualmente, assumir uma topologia de matriz plena.

De acordo com a expressão (10.29), a energia potencial é uma funçãoquadrática dos deslocamentos, e conforme (10.33), a energia cinética é uma

10.4 Coordenadas generalizadas e forças generalizadas 229

função quadrática das velocidades. Por isso, a energia potencial e a ener-gia cinética designam-se ambas por formas quadráticas.

Por definição, a energia cinética não pode ser negativa e apenas é nulaquando todas as velocidades forem nulas, classificando-se a energia cinéti-ca como uma forma quadrática definida positiva, e a matriz de massa [m]é designada por matriz definida positiva.

Por outro lado, a energia potencial é, em geral, uma forma quadráticadefinida positiva, e a matriz de rigidez [k] é definida positiva. No en-tanto, há sistemas para os quais a energia potencial é nula sem que todosos deslocamentos sejam necessariamente nulos (sistemas semi-definidos).Nestes casos, a energia potencial é uma função quadrática semi-definidapositiva em vez de definida positiva. Em consequência, a matriz de rigidez[k] diz-se semi-definida positiva. Um sistema para o qual a matriz [k]é semi-definida positiva e [m] é definida positiva designa-se por sistemasemi-definido e apresenta ligações ao exterior tais que lhe permitem movi-mentos de corpo rígido.

10.4 Coordenadas generalizadas e forças genera-lizadas

As equações de movimento de um sistema vibratório podem ser formu-ladas em termos de sistemas de coordenadas diferentes, sendo, no entanto,necessárias n coordenadas independentes para descrever o movimento deum sistema com n graus de liberdade. Qualquer conjunto de n coorde-nadas independentes constitui um sistema de coordenadas generalizadas,usualmente designadas por q1, q2, . . . , qj, . . . , qn. As coordenadas genera-lizadas podem ser deslocamentos lineares ou angulares que definam deforma única a configuração dinâmica do sistema, sendo também indepen-dentes de condições de restricção.

Para ilustrar o conceito de coordenadas generalizadas, considere-se opêndulo triplo da figura 18. A configuração do sistema pode ser especifi-cada por seis coordenadas lineares (xi, yi) i = 1, 2, 3. No entanto, estas co-ordenadas não são independentes, pois estão restringidas pelas seguintesrelações de ligação, figura 10.20:

x21 + y2

1 = `21

(x2 − x1)2 + (y1 − y2)

2 = `22

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)

2 = `23

. (10.39)

Como as coordenadas (xi, yi) não são independentes, não podem ser


m1

x

y

m2

x1

x2

y1

y2

q1

q2

l2

l1

x3

y3

m3

q3

l3

Figura 10.20: Pêndulo triplo

chamadas de coordenadas generalizadas. Pode verificar-se que o númerode coordenadas (6) menos o número de restricções (3) dá o número degraus de liberdade do sistema (3). Se não houvesse restricções, isto é, seos pêndulos fossem removidos de modo que as massa m1, m2 e m3 fossemlivres para se moverem no plano xy, então haveria 6 graus de liberdadenecessitando seis coordenadas tais como (xi, yi) que seriam então coorde-nadas generalizadas.

Para o pêndulo triplo representado, as coordenadas θi i = 1, 2, 3 podemdefinir a configuração do sistema. Como elas são independentes umas dasoutras, e das restricções, elas formam um conjunto de coordenadas gene-ralizadas e são notadas por qj j = 1, 2, 3. Assim, o número de coordenadasgeneralizadas (3) é igual ao número de graus de liberdade (3).

Em geral, certas forças actuam sobre o sistema. Quando as coorde-nadas generalizadas qj sofrem uma variação δqj , o trabalho realizado podedesignar-se por δWj . Então, a força Qj correspondente à coordenada ge-neralizada qj pode definir-se por:

Qj =δWj

δqj

. (10.40)

Note-se que quando a coordenada generalizada qj for um deslocamentolinear, então a força generalizada Qj é uma força, enquanto que se qj for

10.5 Princípio de Hamilton 231

um deslocamento angular, então Qj será um momento.

10.5 Princípio de Hamilton

A formulação variacional mais geralmente aplicada no estabelecimentodas equações de movimento de um sistema mecânico ou estrutural baseia-se no princípio de Hamilton. A aplicação do princípio de Hamilton con-duz directamente às equações de movimento.

O princípio de Hamilton enuncia-se da seguinte forma: "a variação dasenergias cinética e potencial mais a variação do trabalho realizado pelas forças nãoconservativas consideradas durante qualquer intervalo de tempo de t1 a t2 tem deser igual a zero ",

t2∫

t1

δ(T − V )dt +

t2∫

t1

δWncdt = 0 (10.41)

onde

• T : energia cinética do sistema;

• V : energia potencial do sistema (energia de deformação e posi-cional);

• Wnc : trabalho realizado por forças não conservativas (amortecimentoe forças exteriores)

• δ : variação durante o intervalo de tempo considerado.

Designando as coordenadas generalizads por q1, q2, . . . , qj, . . . , qn e asrespectivas forças generalizadas por Q1, Q2, . . . , Qj, . . . , Qn, e admitindoas hipóteses,

i. T = T (q1, q2, . . . , qj, . . . , qn, q1, q2, . . . qj, . . . , qn);

ii. V = V (q1, q2, . . . , qj, . . . , qn);

iii. δWnc = Q1δq1 + Q2δq2 + . . . + Qjδqj, . . . + Qnδqn;

após introdução das relações (i)-(iii) em (10.41) e efectuando a variação,obtém-se:


t2∫

t1

[∂T

∂q1

δq1 +∂T

∂q2

δq2 + . . . +∂T

∂qj

δqj + . . . +∂T

∂qn

δqn

]dt

+

t2∫

t1

[∂T

∂q1

δq1 +∂T

∂q2

δq2 + . . . +∂T

∂qj

δqj + . . . +∂T

∂qn

δqn

]dt

−t2∫

t1

[∂V

∂q1

δq1 +∂V

∂q2

δq2 + . . . +∂V

∂qj

δqj + . . . +∂V

∂qn

δqn

]dt

+

t2∫

t1

[Q1δq1 + Q2δq2 + . . . + Qjδqj + . . . + Qnδqn] dt = 0.

(10.42)

Integrando por partes os termos dependentes das velocidades genera-lizadas qj j = 1, . . . , n vem,

t2∫

t1

∂T

∂qj

δqjdt =

t2∫

t1

∂T

∂qj

δ

(dqj

dt

)dt =

t2∫

t1

∂T

∂qj

d

dt(δqj) dt

=

[∂T

∂qj

δqj

]t2

t1

−t2∫

t1

∂

∂t

(∂T

∂qj

)δqjdt.

(10.43)

O primeiro termo do segundo membro é nulo para cada coordenada,pois que δqj (t1) = δqj (t2) = 0 é a condição de base imposta às variações.

Após introdução de (10.43) em (10.42) e rearranjo dos termos obtém-se:

t2∫

t1

[n∑j

[− d

dt

(∂T

∂qj

)+

∂T

∂qj

− ∂V

∂qj

+ Qj

]δqj

]dt = 0. (10.44)

Como todas as variações δqj j = 1, . . . , n são arbitrárias, a equaçãosó será verificada quando o termo dentro do parênteses se anular, con-duzindo às equações de Lagrange:

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj

+∂V

∂qj

= Qj j = 1, . . . , n. (10.45)


As equações de Lagrange são o resultado da aplicação do princípiovariacional de Hamilton, na condição de que os termos representativos daenergia e trabalho possam exprimir-se em termos das coordenadas gene-ralizadas e das suas derivadas em ordem ao tempo. As equações de La-grange são aplicáveis a todo o sistema linear ou não linear que verifiqueestas condições.

As equações de Lagrange exprimem o equilíbrio dinâmico de um sis-tema em termos das coordenadas generalizadas (deslocamentos linearesou angulares), da energia cinética total do sistema e da variação de ener-gia potencial do sistema relativamente à energia potencial na posição deequilíbrio estático.

A aplicação do princípio variacional de Hamilton difere da análise peloteorema dos deslocamentos virtuais na medida em que as forças de inérciae elásticas não são explicitamente envolvidas, sendo utilizadas, respectiva-mente, as variações das energias cinética e potencial.

10.6 Equações de Lagrange

As equações de movimento de um sistema vibratório podem ser derivadasde uma forma simples em termos das coordenadas generalizadas pela uti-lização das equações de Lagrange que se podem escrever na forma

d

dt

(∂L∂qj

)− ∂L

∂qj

= Qj j = 1, . . . , n (10.46)

onde L = T − V é designada por função lagrangeana do sistema (ou la-grangeana), qj j = 1, . . . , n são as coordenadas generalizadas e Qj j =1, . . . , n são as respectivas forças generalizadas não conservativas associ-adas.

Como a energia potencial V não é uma função das velocidades genera-lizadas qj j = 1, . . . , n, as equações de Lagrange podem ainda escrever-sena forma:

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj

+∂V

∂qj

= Qj j = 1, . . . , n. (10.47)

As forças representadas por Qj j = 1, . . . , n podem ser forças dissi-pativas, de amortecimento viscoso, ou outras forças exteriores que nãoderivam de um potencial. Por exemplo, se Fxk, Fyk e Fzk representamforças exteriores actuantes na massa mk do sistema, nas direcções x, y ez, respectivamente, então as forças generalizadas Qj j = 1, . . . , n podemser calculadas como:


Qj =n∑

k=1

(Fxk

∂xk

∂qj

+ Fyk∂yk

∂qj

+ Fzk∂zk

∂qj

)j = 1, . . . , n (10.48)

onde xk , yk e zk são os deslocamentos da massa mk nas direcções x, y e zrespectivamente.

10.6.1 Função de dissipação de Rayleigh

Para um mecanismo de amortecimento viscoso, no qual as forças de amor-tecimento são proporcionais às velocidades generalizadas, pode definir-seuma função potencial de tipo dissipativo, designada por função de dissi-pação de Rayleigh e dada por:

F =1

2

n∑r=1

n∑s=1

crsqrqs r, s = 1, . . . , n (10.49)

onde os coeficientes de amortecimento viscoso crs r, s = 1, . . . , n sãosimétricos em r e s. Assim, as forças generalizadas de amortecimento vis-coso são dadas pelo gradiente da função de dissipação de Rayleigh:

Qj = −∂F∂qj

j = 1, . . . , n. (10.50)

Separando as forças não conservativas de amortecimento viscoso, en-tão as equações de Lagrange podem ainda escrever-se na forma:

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj

+∂V

∂qj

+∂F∂qj

= Qj j = 1, . . . , n (10.51)

As equações de Lagrange representam um sistema de n equações dife-renciais, cada uma delas correspondendo a uma das n coordenadas gene-ralizadas. Assim, as equações de movimento de um sistema vibratório po-dem ser derivadas desde que as expressões da energia potencial e cinéticae a expressão do trabalho virtual estejam disponíveis.

O procedimento de Lagrange revela-se muito eficiente no estabeleci-mento do sistema de equações de movimento, especialmente quando onúmero de graus de liberdade é elevado.

Refira-se ainda que as equações de Lagrange estabelecem a condiçãode equilíbrio global do sistema e não requerem a determinação de forçasinteriores, como na mecânica newtoniana.


ExemploH

Estabelecer as equações diferenciais de movimento do sistema represen-tado na figura 10.21 utilizando as equações de Lagrange.


Energia cinética

T = 12m0x

20 + 1

2J0θ

2 + 12m1(x0 + h1θ + x1)

2 + 12J1θ

2

+12m2

[x0 + (h1 + h2)θ + x2

]2

+ 12J2θ

2

+12m3

[x0 + (h1 + h2 + h3)θ + x3

]2

+ 12J3θ

2

Energia potencial

V =1

2k0x

20 +

1

2kt0θ

2 +1

2k1x

21 +

1

2k2(x2 − x1)

2 +1

2k3(x3 − x2)

2

Equações de Lagrange

d

dt

(∂T

∂x0

)− ∂T

∂x0

+∂V

∂x0

= Qx0

d

dt

(∂T

∂θ

)− ∂T

∂θ+

∂V

∂θ= Qθ

d

dt

(∂T

∂x1

)− ∂T

∂x1

+∂V

∂x1

= Qx1


d

dt

(∂T

∂x2

)− ∂T

∂x2

+∂V

∂x2

= Qx2

d

dt

(∂T

∂x3

)− ∂T

∂x3

+∂V

∂x3

= Qx3

Equações de movimento

(m0 + m1 + m2 + m3) x0 + [m1h1 + m2(h1 + h2) + m3(h1 + h2 + h3)] θ+m1x1 + m2x2 + m3x3 + k0x0 = 0

[m1h1 + m2(h1 + h2) + m3(h1 + h2 + h3)] x0

+ [J0 + J1 + J2 + J3 + m1h21 + m2(h1 + h2)

2 + m3(h1 + h2 + h3)2] θ

+m1h1x1 + m2(h1 + h2)x2 + m3(h1 + h2 + h3)x3 + kt0θ = 0

m1x0 + m1h1θ + m1x1 + (k1 + k2)x1 − k2x2 = 0

m2x0 + m2(h1 + h2)θ + m2x2 − k2x1 + (k2 + k3)x2 − k3x3 = 0

m3x0 + m3(h1 + h2 + h3)θ + m3x3 − k3x2 + k3x3 = 0

Vectores de deslocamento e de aceleração

x(t) =

x0

θx1

x2

x3

x(t) =

x0

θx1

x2

x3

N

10.7 Equações de movimento na forma matricial

As equações de movimento na forma matricial de um sistema com n grausde liberdade podem ser estabelecidas directamente a partir das equaçõesde Lagrange:

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj

+∂V

∂qj

+∂F∂qj

= Qj j = 1, . . . , n. (10.52)

10.7 Equações de movimento na forma matricial 237

De acordo com as expressões (10.29) e (10.33), a energia cinética e aenergia potencial são dadas pelas equações matriciais:

T =1

2qT [m] q , (10.53)

V =1

2qT [k] q . (10.54)

A aplicação das equações de Lagrange a cada uma das coordenadasgeneralizadas qj j = 1, . . . , n tendo em conta a simetria da matriz demassa, [m] = [m]T, conduz a:

∂T

∂qj

=1

2δT [m] q+

1

2qT [m] δ

= δT [m] q= mT

j q

j = 1, . . . , n (10.55)

onde δij é o símbolo de Kronecker,

δij =

1 para i = j0 para i 6= j

e δ é o vector dos símbolos de Kronecker, cujas componentes para i 6= j

valem 0 e cuja componente para i = j vale 1. O termo mTj representa

um vector linha idêntico à linha de ordem j da matriz [m]. Derivando aexpressão anterior em ordem ao tempo, obtém-se:

d

dt

(∂T

∂qj

)= mT

j q j = 1, . . . , n. (10.56)

De forma idêntica, derivando a expressão da energia potencial e tendoem conta a simetria da matriz de rigidez, [k] = [k]T , vem:

∂V

∂qj

=1

2δT [k] q+

1

2qT [k] δ

= δT [k] q= kT

j q

j = 1, . . . , n (10.57)

onde kTj representa um vector linha idêntico à linha de ordem j da ma-

triz [k].


Substituindo as expressões (10.56) e (10.57) nas equações de Lagrange,obtém-se a equação matricial de movimento:

[m] q+ [k] q = Q (10.58)

onde o vector Q é o vector de forças generalizadas não conservativas.

CAPÍTULO 11

Sistema com n graus de liberdadeRegime livre

11.1 Introdução

O movimento do sistema discreto com n graus de liberdade representadona figura 11.1 é descrito por n coordenadas lineares xi (t) i = 1, . . . , n quedefinem as posições instantâneas das massas mi i = 1, . . . , n a partir dasrespectivas posições de equilíbrio estático.

k i k i + 1

x i ( t )

f i ( t )

k1

x1( t )

f1( t )

x n ( t )

f n ( t )

m1

m i m n

Figura 11.1: Modelo do sistema com n graus de liberdade

Para estabelecer as equações diferenciais de movimento pela mecânicanewtoniana é necessário construir os diagramas de corpo livre das massasmi i = 1, . . . , n que se representa na figura 11.2.

239

240 Capítulo 11. Sistema com n gdl: Regime livre

k i ( x i - x i - 1 )

f i ( t )

m i

k i ( x i + 1 - x i )

Figura 11.2: Diagrama de corpo livre da massa mi

Referindo-nos ao diagrama de corpo livre de uma massa genérica mi i =2, . . . , n − 1, a aplicação da 2a lei de Newton do movimento conduz àseguinte equação diferencial de movimento,

mixi − kixi−1 + (ki + ki+1) xi − ki+1xi+1 = fi i = 2, 3, . . . , n− 1. (11.1)

As equações de movimento das massas m1 e mn podem ser derivadasda equação acima fazendo i = 1 e i = n com, respectivamente, x0 = 0 exn+1 = 0,

m1x1 + (k1 + k2) x1 − k2x2 = f1 (11.2)

mnxn − knxn−1 + (kn + kn+1) xn = fn. (11.3)

As equações diferenciais de movimento do sistema discreto com n grausde liberdade formam um sistema de n equações diferenciais ordinárias de2a ordem na variável tempo. As n equações diferenciais apresentam-seligadas ou acopladas, isto é, constituem um sistema de n equações difer-enciais devido ao facto de o movimento da massa mi influenciar o movi-mento da massa mj e vice-versa.

As equações de movimento (11.1)-(11.3) podem, ainda, exprimir-se nu-ma forma matricial do seguinte modo,

[m] x (t)+ [k] x (t) = f (t) (11.4)

onde [m] e [k] representam, respectivamente, a matriz de massa e a matrizde rigidez. Os vectores x (t) e x (t) representam, respectivamente, ovector de deslocamento e de aceleração, e o vector f (t) representa asolicitação externa actuante no sistema.

Os termos das matrizes [m] e [k] são, respectivamente, as massas e oscoeficientes de rigidez do sistema, e são simétricos, isto é,

mij = mji kij = kji i, j = 1, . . . , n. (11.5)

11.1 Introdução 241

Assim, as matrizes [m] e [k] são simétricas,

[m] = [m]T [k] = [k]T . (11.6)

Para o sistema com n graus de liberdade, as matrizes [m] e [k] são dedimensão (n× n),

[m] =

m1

. . .mi

. . .mn

, (11.7)

[k] =

k1 + k2 −k2 0 . . . 0−k2 k2 + k3 −k3 . . . 00 −k3 k3 + k4 . . . 0...

...... . . . −kn

0 0 0 −kn kn + kn+1

. (11.8)

Os vectores de deslocamento x (t) , de aceleração x (t) e de forçaf (t) possuem n componentes e vêm definidos da seguinte forma,

x (t) =

x1 (t). . .

xi (t). . .

xn (t)

, x (t) =

x1 (t). . .

xi (t). . .

xn (t)

, f (t) =

f1 (t). . .

fi (t). . .

fn (t)

. (11.9)

O sistema considerado, sistema de massas concentradas, é um casoparticular dos sistemas discretos com n graus de liberdade, e não apre-senta acoplamento dinâmico. Na sua forma mais geral, as matrizes demassa e de rigidez apresentam a seguinte topologia,

[m] =

m11 m12 m13 . . . m1n

m21 m22 m23 . . . m2n

m31 m32 m33 . . . m3n...

...... . . . ...


, [k] =

k11 k12 k13 . . . k1n

k21 k22 k23 . . . k2n

k31 k32 k33 . . . k3n...

...... . . . ...


.

(11.10)


O acoplamento das equações diferenciais de movimento traduz-se, naescrita em notação matricial, pela presença de termos não nulos fora dadiagonal principal nas matrizes de massa e de rigidez.

11.2 Equações de movimento livre ou natural

Em regime livre ou natural, a solicitação externa é nula, f (t) = 0, figu-ra 11.3, pelo que as equações de movimento escrevem-se,

[m] x (t)+ [k] x (t) = 0 . (11.11)

k i k i + 1

x i ( t )

k1

x1( t ) x n ( t )

m 1 m i m n

Figura 11.3: Sistema com n graus de liberdade em regime livre

Na situação de regime livre ou natural as equações de movimento cons-tituem um sistema de equações diferenciais ordinárias homogéneas.

Para caracterizar o movimento de resposta em regime livre é necessárioresolver o sistema de equações diferenciais homogéneas. Nesse sentido,estabeleça-se a seguinte hipótese: “As massas mi i = 1, . . . , n efectuam ummovimento harmónico síncrono de frequência ω”. Assim, a solução parax (t) é da forma,

x (t) = u cos (ωt− φ) (11.12)

onde as componentes do vector u representam as amplitudes de movi-mento para xi (t) i = 1, . . . , n.

Substituindo esta solução nas equações de movimento (11.11), obtém-se,

[−ω2 [m] + [k]] u cos (ωt− φ) = 0 . (11.13)

Como a solução arbitrada deve verificar as equações de movimentopara todo e qualquer instante t com cos (ωt− φ) diferente de zero, entãoo vector de incógnitas u deve verificar o sistema de equações algébricashomogéneas seguinte,

[[k]− ω2 [m]

] u = 0 . (11.14)

11.3 Problema característico 243

Assim, as amplitudes u do movimento harmónico síncrono de xi (t) i =1, . . . , n são fornecidas pela solução do sistema homogéneo (11.14) que,refira-se, é verificado pela solução trivial u = 0 que corresponde àposição de equilíbrio estático do sistema e à ausência de vibração.

11.3 Problema característico

Para a existência de soluções não triviais para o vector u de amplitudes,o determinante da matriz dos coeficientes do sistema homogéneo (11.14)tem de ser nulo, isto é,

∆ (ω) =∣∣[k]− ω2 [m]

∣∣ = 0. (11.15)

O determinante (11.15) designa-se por determinante característico econduz a uma equação polinomial de grau n em ω2, designada por equa-ção característica ou de frequências. As suas raízes, ω2

i i = 1, . . . , n, valoresparticulares de ω2 para os quais o sistema homogéneo (11.14) admite solu-ções não nulas para o vector u, designam-se por valores característicos erepresentam as frequências naturais de vibração do sistema. Assim, parao sistema com n graus de liberdade, o sistema homogéneo (11.14) admiten soluções não nulas para u, correspondentes às n frequências naturaisωi i = 1, . . . , n com ω1 < ω2 < . . . < ωi < . . . < ωn,

ω21 → u1 =

u11

. . .ui1

. . .un1

ω2j → uj =

u1i

. . .uij

. . .unj

. (11.16)

Nestas condições, o sistema possui n soluções não triviais da formax (t) = u cos (ωt− φ), representando cada uma delas um movimentosíncrono caracterizado pelas frequências ωi i = 1, . . . , n e pelos respectivosvectores de amplitudes ui i = 1, . . . , n,

x (t)i = ui cos (ωit− φi) i = 1, . . . , n. (11.17)

Introduzindo no sistema homogéneo (11.14) ω2 = ω2i i = 1, . . . , n, obtêm-

se então os vectores de amplitudes ui i = 1, . . . , n. Para ω2 = ω2i i =

1, . . . , n, o vector ui i = 1, . . . , n é a solução não nula do sistema deequações,

[[k]− ω2

i [m]] ui = 0 i = 1, . . . , n. (11.18)


No entanto, como a solução de um sistema homogéneo é definida amenos de uma constante, isto é, se o vector ui i = 1, . . . , n é soluçãodo sistema homogéneo (11.18), então o vector α ui é também solução,sendo α uma constante. Apenas as razões entre as componentes do vectorsolução são únicas.

11.4 Modos naturais de vibração

As n soluções distintas (ω2i ; ui) i = 1, . . . , n do problema homogéneo

(11.14) constituem n modos para os quais o movimento harmónico sín-crono do sistema é possível, designando-se os vectores ui i = 1, . . . , nde amplitudes por vectores modais.

Os n movimentos síncronos x (t)i i = 1, . . . , n caracterizados pelasfrequências naturais ωi i = 1, . . . , n e pelos vectores modais ui i = 1, . . . , ndesignam-se por modos naturais de vibração do sistema,


Refira-se que as frequências naturais devem ser ordenadas por ordemcrescente,

ω1 < ω2 < . . . < ωi < . . . < ωn (11.20)

designando-se a frequência mais baixa, ω1, por frequência natural funda-mental.

Os vectores modais ui i = 1, . . . , n, soluções do sistema homogéneoassociadas a cada uma das frequências naturais, representam as formasnaturais de vibração do sistema, e definem a forma ou configuração espa-cial assumida pelo sistema durante o movimento síncrono de frequênciaωi i = 1, . . . , n respectivamente.

Os modos naturais de vibração (frequências e formas naturais) cons-tituem uma propriedade intrínseca do sistema e são únicos para um dadosistema, excepto a grandeza das componentes dos vectores modais. Nou-tros termos, uma forma modal é única embora as amplitudes não o sejam.Apenas as razões entre as componentes dos vectores modais são únicas.

Nas figuras 11.5-11.7 representam-se as três formas naturais de vibra-ção de um sistema com três graus de liberdade representado na figura11.4.

No primeiro modo natural, figura 11.5, as massas m1, m2 e m3 movem-se no mesmo sentido, isto é, em fase. No segundo modo natural, figura11.6,as massas m1 e m2 movem-se em fase entre si e em oposição de fase

11.4 Modos naturais de vibração 245

m1

k1

x1( t )

m2

k2

x2( t )

m3

k3

x3( t )

Figura 11.4: Sistema com 3 graus de liberdade

com a massa m3. Assim, um ponto do elemento elástico que liga as massasm2 e m3 permanece estacionário e designa-se por nodo de vibração. Para oterceiro modo natural de vibração, figura 11.7, as massas m1 e m3 movem-se em fase entre si e em oposição de fase com a massa m3. Este modoapresenta, pois, 2 nodos de vibração, um deles entre as massas m1 e m2 eo outro ente as massas m2 e m3.

m1

m2

m3

m1

m2

m3

Figura 11.5: Primeira forma natural de vibração de um sistema com 3graus de liberdade

n o d o

n o d o

m1

m2

m3

m1

m2

m3

Figura 11.6: Segunda forma natural de vibração de um sistema com 3graus de liberdade

Os vectores modais ui i = 1, . . . , n podem ser agrupados numa ma-triz designada por matriz modal,


n o d o n o d o

m1

m2

m3

n o d o s

m1

m2

m3

Figura 11.7: Terceira forma natural de vibração de um sistema com 3 grausde liberdade

[U ] =[ u1 . . . ui . . . un

], (11.21)

ocupando cada um dos vectores uma coluna da matriz modal.

11.5 Resposta livre ou natural

As equações diferenciais homogéneas (11.11) de movimento em regimelivre ou natural admitem, pois, n soluções não triviais da forma x (t) =u cos (ωt− φ), representando cada uma delas um modo natural de vi-bração do sistema,


Como os modos naturais de vibração são independentes, a sua com-binação linear é ainda uma solução das equações diferenciais (11.11) demovimento,

x (t) =n∑

i=1

ci x (t)i . (11.23)

Assim, a resposta do sistema em regime livre ou natural resulta dasobreposição dos n modos naturais de vibração multiplicados cada umpor uma constante que representa o respectivo grau de participação domodo no movimento livre,

11.6 Normalização dos vectores modais 247

x (t) = c1 u1 cos (ω1t− φ1)︸︷︷︸1o modo

+ . . . + ci ui cos (ωit− φi)︸︷︷︸io modo

+ . . . + cn un cos (ωnt− φn)︸︷︷︸no modo

.(11.24)

onde as constantes ci, φi i = 1, . . . , n são determinadas a partir das condi-ções iniciais de deslocamento e de velocidade para cada um dos graus deliberdade,

x (t = 0) = x0 x (t = 0) = x0 . (11.25)

Considerando os vectores modais agrupados na matriz modal [U ], aresposta pode ainda escrever-se na forma,

x (t) =

u11 . . . u12 . . . un1...

......

......

ui1 . . . uji . . . uni...

......

......

un1 . . . ujn . . . unn

c1 cos (ω1t− φ1)...

ci cos (ωit− φi)...

cn cos (ωnt− φn)

= [U ] g (t) .

(11.26)

onde as componentes do vector g (t) representam as funções do tempopara cada modo natural de vibração.

11.6 Normalização dos vectores modais

Conforme já foi referido, os vectores modais, sendo a solução de um sis-tema de equações homogéneas, são vectores definidos a menos de umaconstante.

Um procedimento de normalização de vectores transforma um vectormodal num vector modal único sem que a forma natural seja alterada, poistodas as componentes são definidas em proporção. De entre os possíveisesquemas de normalização de vectores, no âmbito da análise de vibrações,a normalização para massas modais unitárias revela-se particularmenteinteressante, como, aliás, se verificará mais adiante. O procedimento con-siste na normalização dos vectores modais de modo a que se verifique aseguinte condição,


φTi [m] φi = 1 i = 1, . . . , n (11.27)

onde os vectores φi i = 1, . . . , n representam os vectores modais nor-malizados para massas modais unitárias. Com os vectores modais assimnormalizados, decorrem igualmente as seguintes relações,

φTi [k] φi = ω2

i i = 1, . . . , n. (11.28)

Assim, os vectores modais normalizados φi i = 1, . . . , n podem ob-ter-se a partir dos vectores modais ui i = 1, . . . , n pelas seguintes re-lações,

φi =1√

uTi [m] ui

ui i = 1, . . . , n. (11.29)

11.7 Ortogonalidade

Os n modos naturais de vibração distintos, (ωi, φi) i = 1, . . . , n com ω1 <. . . < ωi < . . . < ωn, constituem as soluções do sistema homogéneo (11.14)que se pode reescrever na seguinte forma,

[k] φ = ω2 [m] φ . (11.30)

Considerando duas soluções distintas, (ωr, φr) e (ωs, φs), elas veri-ficam necessariamente as equações,

[k] φr = ω2r [m] φr (11.31)

[k] φs = ω2s [m] φs . (11.32)

Premultiplicando as expressões (11.31) e (11.32) por φTs e φT

r res-pectivamente, obtém-se,

φTs [k] φr = ω2

r φTs [m] φr (11.33)

φTr [k] φs = ω2

s φTr [m] φs . (11.34)

Efectuando a transposição da expressão (11.34), tendo em conta a sime-tria das matrizes de massa e de rigidez, [m] = [m]T e [k] = [k]T, obtém-se,

φTs [k] φr = ω2

s φTs [m] φr . (11.35)

11.7 Ortogonalidade 249

Subtraindo membro a membro as expressões (11.35) e (11.33) vem,

0 =(ω2

s − ω2r

) φTs [m] φr . (11.36)

Como as frequências naturais ωr < ωs são distintas, então verificam-senecessariamente as relações,

φTs [m] φr = 0 r, s = 1, . . . , n. (11.37)

Os vectores modais φi , i = 1, . . . , n são, pois, ortogonais em relaçãoà matriz de massa [m].

Das expressões (11.33) e (11.34) decorrem igualmente as seguintes re-lações de ortogonalidade dos vectores modais em relação à matriz de rigi-dez [k],

φTs [k] φr = 0 r, s = 1, . . . , n. (11.38)

Assim, os vectores modais φi , i = 1, . . . , n apresentam propriedadesde ortogonalidade em relação às matrizes de massa e de rigidez. Refira-se,no entanto, que não se trata da propriedade de ortogonalidade ordináriade vectores, mas antes de uma ortogonalidade “ponderada” pelas ma-trizes de massa e de rigidez. Para vectores modais normalizados paramassas modais unitárias, a propriedade da ortogonalidade designa-se porortonormalidade e pode escrever-se na forma,

φTr [m] φs = δrs r, s = 1, . . . , n (11.39)

φTr [k] φs = ω2

rδrs r, s = 1, . . . , n (11.40)

onde δrs representa o símbolo de Kroenecker e vale,

δrs =

1 r = s0 r 6= s

. (11.41)

Considerando os vectores modais agrupados por coluna na matriz mo-dal [Φ], as propriedades de ortonormalidade exprimem-se na seguinte for-ma,

[Φ]T [m] [Φ] = dIc [Φ]T [k] [Φ] =⌈Ω2

⌋(11.42)

onde dIc representa a matriz identidade e [Ω2] uma matriz diagonal cujostermos são os quadrados das frequências naturais de vibração,


dIc =

1. . .

1. . .

1

,

⌈Ω2

⌋=

ω21

. . .ω2

i. . .

ω2n

.

(11.43)

11.7.1 Teorema da expansão

Os vectores modais φi i = 1, . . . , n, sendo vectores linearmente indepen-dentes, constituem uma base do espaço de dimensão n. Assim, qualquervector de dimensão n pode exprimir-se como uma combinação linear dosvectores modais.

Fisicamente, o vector representativo do movimento instantâneo do sis-tema, x (t) = v, pode ser assimilado à sobreposição dos n modos natu-rais de vibração multiplicados por constantes apropriadas, componentesdo vector na base modal, que constituem uma medida do grau de partici-pação de cada modo no movimento do sistema,

v =n∑

i=1

ci ui . (11.44)

As componentes ci, i = 1, . . . , n do vector v na base dos vectoresmodais podem determinar-se premultiplicando sucessivamente ambos osmembros de (11.44) por φT

i [m] i = 1, . . . , n. Tendo em conta as pro-priedades de ortonormalidade, obtém-se,

ci = φTi [m] v i = 1, . . . , n. (11.45)

A expressão (11.44) representa a expansão de um vector v de dimen-são n na base modal ou natural e designa-se por teorema da expansão.

11.8 Sistemas semi-definidos

Considere-se o sistema com n graus de liberdade representado na figura11.8.

O movimento do sistema é completamente descrito pelas coordenadasxi (t) i = 1, . . . , n que definem as posições das massas mi i = 1, . . . , n

11.8 Sistemas semi-definidos 251

k i - 1 k i

x i ( t )x1( t ) x n ( t )

m1

m i m n

Figura 11.8: Modelo de um sistema semi-definido com n graus de liber-dade

em qualquer instante t a partir das respectivas posições de equilíbrio es-tático. Na direcção do movimento, o sistema não apresenta ligações aoexterior, isto é, o movimento é não restringido. Assim, o sistema podeefectuar um movimento de corpo rígido, de modo que a energia poten-cial de natureza elástica seja nula, sem que, no entanto, as coordenadasxi (t) i = 1, . . . , n sejam nulas. Naturalmente, e por definição, a energiacinética é positiva.

As equações de movimento do sistema em regime livre escrevem-se,

[m] x (t)+ [k] x (t) = 0 (11.46)

onde [m] e [k] são, respectivamente, as matrizes de massa e de rigidez, e osvectores x (t) e x (t) os vectores de deslocamento e de aceleração.

Adoptando um procedimento idêntico ao exposto na secção 11.3 (pá-gina 243), o determinante característico vem,

∆(ω2

)=

∣∣[k]− ω2 [m]∣∣ , (11.47)

cujas raízes representam as frequências naturais de vibração do sistema.No entanto, para este tipo de sistemas com graus de liberdade não res-tringidos (ausência de ligações ao exterior), a equação característica apre-senta raízes nulas, em número igual ao número de graus de liberdadenão restringidos, a que correspondem frequências naturais nulas, o quesignifica que não existe oscilação no movimento associado a estas raízes.Para as frequências nulas, as respectivas formas naturais de vibração re-presentam movimentos de corpo rígido, isto é, movimentos sem oscilaçãoe sem deformação elástica dos elementos de ligação.

Os sistemas com ligações ao exterior não restringidas apresentam, pelomenos, uma das frequências naturais nula e um modo associado que traduzum movimento de corpo rígido. Estes sistemas designam-se por sistemassemi-definidos. Para este tipo de sistemas, a energia potencial elástica éuma forma quadrática semi-definida positiva e a matriz de rigidez [k] ésemi-definida positiva e, em consequência, uma matriz singular.


Para os sistemas semi-definidos, o movimento do sistema, em geral, éuma combinação de modos de corpo rígido e dos modos elásticos. Refira-se que, os modos naturais de corpo rígido, sendo soluções do problemacaracterístico, são ainda ortogonais aos modos naturais de vibração elásti-cos. Na figura 11.9 representa-se um sistema semi-definido.

q1( t ) q

2( t )

q3( t )

k1

k2

J1

J2

J3

J4q4( t )



Os modos naturais de vibração são dados pelas soluções do problema ca-racterístico [[k]− ω2 [m]] u = 0. Assim, as soluções (ω2

r ; ur , r = 1, . . . , n)verificam a equação,

[k] ur = ω2r [m] ur r = 1, . . . , n. (11.48)

Premultiplicando ambos os membros por uTr e dividindo pelo escalar

uTr [m] ur obtém-se,

ω2r =

uTr [k] ur

uTr [m] ur

r = 1, . . . , n. (11.49)

A expressão anterior mostra que o quociente de duas formas quadráti-cas, onde o numerador representa a energia potencial do modo natural devibração e o denominador é proporcional à energia cinética, representa asfrequências naturais ω2

r r = 1, . . . , n de vibração.Para um vector arbitrário v não nulo e de dimensão n, o quociente

(11.49) designa-se por quociente de Rayleigh e define-se da seguinte forma,

R (v) =vT [k] vvT [m] v (11.50)


sendo R (v) uma quantidade escalar cujo valor depende directamentedo vector arbitrário v.

Se o vector arbitrário v coincide com um dos vectores modais (formanatural) do sistema, então o quociente de Rayleigh fornece um valor igualao quadrado da frequência natural associada. No entanto, o quociente deRayleigh possui valores estacionários na vizinhança dos vectores modaisdo sistema, representativos das formas naturais de vibração.

Considere-se então a expansão de um vector arbitrário v na base dosvectores modais normalizados para massas modais unitárias,

v =n∑

r=1

cr φr

=[ φ1 . . . φi . . . φn

]

c1...ci...cn

= [Φ] c(11.51)

onde os coeficientes cr r = 1, . . . , n representam as coordenadas do vectorv na base modal.

Introduzindo a expansão do vector v no quociente de Rayleigh etendo em conta as propriedades de ortonormalidade,

[Φ]T [m] [Φ] = dIc [Φ]T [k] [Φ] =⌈Ω2

⌋, (11.52)

obtém-se,

R (v) =cT [φ]T [k] [φ] ccT [φ]T [m] [φ] c =

cT dΩ2c ccT dIc c =

n∑r=1

ω2rc

2r

n∑r=1

c2r

. (11.53)

Admitindo, por hipótese, que o vector v difere apenas ligeiramentedo vector modal φs, então os coeficientes cr r = 1, . . . , n ∧ r 6= s sãomuito pequenos quando comparados com o coeficiente cs, isto é,

cr = εrcs r = 1, . . . , n ∧ r 6= s (11.54)

sendo εr r = 1, . . . , n ∧ r 6= s uma quantidade pequena, εr << 1 r =1, . . . , n ∧ r 6= s .


Introduzindo agora cr = εrcs r = 1, . . . , n ∧ r 6= s no quociente R (v)obtém-se,

R (v) =

ω2sc

2s +

n∑r=1r 6=s

ω2rε

2rc

2s

c2s +

n∑r=1r 6=s

ε2rc

2s

. (11.55)

Dividindo o numerador e o denominador por c2s, o quociente de Rayleigh

simplifica-se na forma,

R (v) =

ω2s +

n∑r=1r 6=s

ω2rε

2r

1 +n∑

r=1r 6=s

ε2r

. (11.56)

Desenvolvendo o termo 1

1+n∑

r=1r 6=s

ε2r

em série de Taylor em torno do ponto

regular εr = 0 r = 1, . . . , n ∧ r 6= s,

1

1 +n∑

r=1r 6=s

ε2r

∼= 1−n∑

r=1r 6=s

ε2r, (11.57)

o quociente de Rayleigh pode escrever-se,

R (v)|εr=0 =

ω2

s +n∑

r=1r 6=s

ω2rε

2r

1−

n∑r=1r 6=s

ε2r

. (11.58)

Depois de efectuar o produto indicado no 2o membro e desprezandoos termos de ordem superior à segunda, o quociente de Rayleigh vem,

R (v) ∼= ω2s +

n∑r=1r 6=s

(ω2

r − ω2s

)ε2

r∼= ω2

s + O(ε2

). (11.59)

O resultado anterior evidencia que, para um vector v que difere daforma natural φs de uma pequena quantidade de 1a ordem, O (ε), oquociente de Rayleigh R (v) difere da frequência natural ω2

s associadade uma pequena quantidade de 2a ordem, O (ε2). Assim, o quociente deRayleigh possui um valor estacionário na vizinhança das formas naturais,


sendo os valores estacionários iguais ao quadrado das frequências natu-rais correspondentes. Além disso, na vizinhança do modo fundamental(ω2

1, u1), o quociente de Rayleigh apresenta igualmente um valor míni-mo, isto é, o quociente de Rayleigh é um majorante da frequência naturalfundamental. Com efeito, substituindo s = 1 na expressão (11.59) obtém-se,

R (v) ∼= ω21 +

n∑r=2

(ω2

r − ω21

)ε2

r. (11.60)

Como ω1 < ω2 < ω3 < . . . < ωr < . . . < ωn, então pode escrever-se,

R (v) ∼= ω21 + O+

(ε2

). (11.61)

Da expressão anterior decorre que o quociente de Rayleigh é maior ouigual ao quadrado da frequência natural fundamental,

R (v) ≥ ω21, (11.62)

onde o sinal de igualdade somente se verifica se todos os εr forem idên-ticos a zero, o que equivale a dizer que então o vector arbitrário v éidêntico ao vector modal φ1 .

Assim, o quociente de Rayleigh nunca é menor que a frequência natu-ral fundamental e o valor mínimo que pode tomar é o da frequência fun-damental.

Procedendo de forma idêntica ao atrás exposto, isto é, fazendo agoras = n na expressão (11.59), pode igualmente concluir-se que,

R (v) ∼= ω2n +

n−1∑r=1

(ω2

r − ω21

)ε2

r. (11.63)

Mas como ω1 < ω2 < ω3 < . . . < ωr < . . . < ωn , tem-se,

R (v) ∼= ω2n + O− (

ε2), (11.64)

donde se conclui que

R (v) ≤ ω2n. (11.65)

Assim, o quociente de Rayleigh é sempre inferior à mais alta frequêncianatural, ωn, e o valor máximo que pode tomar é o da frequência naturalmais elevada, se o vector arbitrário v for idêntico ao vector modal φn.

O quociente de Rayleigh situa-se, pois, no intervalo


ω21 ≤ R (v) ≤ ω2

n. (11.66)

O quociente de Rayleigh é aplicado na prática para obtenção de esti-mativas para a frequência fundamental de vibração de um sistema a partirde vectores arbitrários. Utiliza-se também em algoritmos de resolução doproblema característico, para determinação das frequências e formas natu-rais de vibração, como acelerador da convergência do processo iterativo.

Para vector arbitrário v pode tomar-se qualquer vector não nulo. Ob-viamente que a aproximação fornecida pelo quociente de Rayleigh serátanto melhor quanto mais o vector se aproximar da forma natural de vi-bração fundamental. Heuristicamente, pode dizer-se que o vector dosdeslocamentos estáticos provocados por forças proporcionais às massasconstitui, em geral, uma boa aproximação da forma fundamental de vi-bração, e revela-se adequado para estimar a frequência fundamental atra-vés do quociente de Rayleigh.

ExemploH

Determinar estimativas da frequência natural fundamental do sistema re-presentado na figura 11.10 utilizando o quociente de Rayleigh. Utilizardiferentes vectores arbitrários e comparar a estimativa obtida com o valorexacto.

m1

k1

x1( t )

m2

k2

x2( t )

m3

k3

x3( t )

Figura 11.10: Exemplo de um sistema com 3 graus de liberdade

Propriedades de massa e de rigidez

m1 = m2 = m m3 = 2m k1 = k2 = k k3 = 2k

Matrizes de massa e de rigidez

[m] = m

1 0 00 1 00 0 2

[k] = k

2 −1 0−1 3 −2

0 −2 2


Frequência natural fundamental exacta e respectivo vector modal

ω1 = 0.3731

√k

mu1 =

11.8612.162

Aplicação do quociente de Rayleigh

• Vector arbitrário v para aproximação da forma natural fundamen-

tal: v =

111

Quociente de Rayleigh R (v)

vT [k] v = k

111

T

2 −1 0−1 3 −2

0 −2 2

111

= k

vT [m] v = m

111

T

1 0 00 1 00 0 2

111

= 4m

R (v) =k

4m= 0.25

k

m

Estimativa para a frequência fundamental ω1: ωQR1 = 0.5

√km

Comparação com a solução exacta: ω1 < ωQR1

Erro relativo: ε =ωQR

1 −ω1

ωQR1

= 0.5−0.37310.5

= 25.38 %

• Vector arbitrário v para aproximação da forma natural fundamen-

tal: v =

122


vT [k] v = k

122

T

2 −1 0−1 3 −2

0 −2 2

122

= 2k


vT [m] v = m

122

T

1 0 00 1 00 0 2

122

= 13m

R (v) =2k

13m= 0.1538

k

m

Estimativa para a frequência fundamental ω1: ω1R = 0.3922√

km



1 −ω1

ωQR1

= 0.3922−0.37310.3922

= 4.88 %

• Vector arbitrário v para aproximação da forma natural fundamen-tal: vector dos deslocamentos estáticos, [k] v = f, produzidospor um sistema de forças proporcionais às massas.

f = m

112

[k]−1 =

1

k

1 1 11 2 21 2 2.5

v = [k]−1 f =m

k

1 1 11 2 21 2 2.5

112

=

m

k

478


vT [k] v = k

478

T

2 −1 0−1 3 −2

0 −2 2

478

= 27k

vT [m] v = m

478

T

1 0 00 1 00 0 2

478

= 193m

R (v) =27k

193m= 0.1399

k

m

Estimativa para a frequência fundamental ω1: ω1R = 0.3740√

km



1 −ω1

ωQR1

= 0.3740−0.37310.3740

= 0.24 %N

CAPÍTULO 12

Sistema com n graus de liberdadeRegime forçado


O movimento do sistema discreto com n graus de liberdade representadona figura 12.1 é descrito n coordenadas lineares xi (t) i = 1, . . . , n que de-finem as posições das massas mi i = 1, . . . , n, em qualquer instante t, apartir das respectivas posições de equilíbrio estático.

k i k i + 1

x i ( t )f i ( t )

k1

x1( t )

f1( t )

x n ( t )f n ( t )

m1

m i m n

c1

c i c i + 1

k n

c n


As equações de movimento do sistema constituem um sistema de nequações diferenciais ligadas ou acopladas. As equações diferenciais demovimento escrevem-se, em notação matricial,

259

260 Capítulo 12. Sistema com n gdl: Regime forçado

[m] x (t)+ [c] x (t)+ [k] x (t) = f (t) (12.1)

onde [m], [c] e [k] representam, respectivamente, as matrizes de massa,de amortecimento e de rigidez do sistema. As matrizes [m], [c] e [k] sãosimétricas,

[m] = [m]T [c] = [c]T [k] = [k]T . (12.2)

Para o sistema com n graus de liberdade, as matrizes [m], [c] e [k] sãode dimensão (n×n) e os seus termos são, respectivamente, os coeficientesde massa, os coeficientes de amortecimento viscoso e os coeficientes derigidez do sistema. No caso mais geral, para um sistema com n graus deliberdade, as matrizes [m], [c] e [k] apresentam a seguinte configuração,

[m] =

m11 . . . m1i . . . m1n

. . . . . . . . . . . . . . .mi1 . . . mii . . . min

. . . . . . . . . . . . . . .mn1 . . . mni . . . mnn

, [k] =

k11 . . . k1i . . . k1n

. . . . . . . . . . . . . . .ki1 . . . kii . . . kin

. . . . . . . . . . . . . . .kn1 . . . kni . . . knn

,

(12.3)

[c] =

c11 . . . c1i . . . c1n

. . . . . . . . . . . . . . .ci1 . . . cii . . . cin

. . . . . . . . . . . . . . .cn1 . . . cni . . . cnn

. (12.4)

Os vectores x (t), x (t), x (t) e f (t) representam, respectiva-mente, os vectores de deslocamento, de velocidade, de aceleração e deforça actuante no sistema,

x (t) =

x1 (t). . .

xi (t). . .

xn (t)

, x (t) =

x1 (t). . .

xi (t). . .

xn (t)

, x (t) =

x1 (t). . .

xi (t). . .

xn (t)

,

(12.5)


f (t) =

f1 (t). . .

fi (t). . .

fn (t)

. (12.6)

A caracterização completa do movimento do sistema, para além dasequações diferenciais de movimento, requer, igualmente, o conhecimentodas condições iniciais de deslocamento x (0) e de velocidade x (0) ,

x (0) =

x01

. . .x0

i

. . .x0

n

, x (0) =

x01

. . .x0

i

. . .x0

n

. (12.7)

12.2 Resposta a uma solicitação harmónica

Para uma solicitação harmónica síncrona de frequência ω, as equações demovimento escrevem-se, em notação matricial,

[m] x (t)+ [c] x (t)+ [k] x (t) = F ejωt, (12.8)

onde o vector solicitação f (t) vale,

f (t) = F ejωt. (12.9)

Admitindo uma resposta em regime permanente ou estacionário dotipo,

x (t) = X (ω) ejωt, (12.10)

as componentes do vector X (ω), em geral complexas, representam aamplitude e a fase do movimento estacionário de resposta para cada graude liberdade, e dependem da frequência ω de excitação e dos parâmetrosdo sistema. Com efeito, introduzindo a resposta estacionária (12.10) e asrespectivas derivadas no sistema de equações diferenciais de movimento,obtém-se o seguinte sistema de equações algébricas,

[−ω2 [m] + j ω [c] + [k]] X (ω) = F (12.11)

cuja solução é o vector X (ω). Definindo as funções de impedânciazrs (ω) r, s = 1, 2, . . . , n da seguinte forma,


zrs (ω) = −ω2mrs + j ωcrs + krs r, s = 1, 2, . . . , n, (12.12)

então o sistema de equações algébricas (12.11) pode escrever-se,

[Z (ω)] X (ω) = F (12.13)

onde a matriz [Z (ω)] é designada por matriz impedância ou matriz derigidez dinâmica do sistema. Premultiplicando pela matriz inversa da ma-triz impedância, [Z (ω)]−1 , determina-se o vector de amplitudes X (ω),

X (ω) = [z (ω)]−1 F . (12.14)

Refira-se que para o sistema não amortecido, o determinante da ma-triz impedância é nulo para valores da frequência idênticos às frequênciasnaturais do sistema. Assim, para frequências de excitação idênticas às fre-quências naturais, o valor das amplitudes Xi (ω) i = 1, . . . , n tende parainfinito. Note-se, igualmente, que as componentes Xi (ω) i = 1, . . . , n dovector X (ω) são, em geral, quantidades complexas cujo módulo repre-senta a amplitude de resposta estacionária e cujo argumento representa odesfasamento entre a excitação e a resposta.

ExemploH

Determinar a resposta estacionária do sistema com três graus de liber-dade não amortecido representado na figura 12.2 e com f1 (t) = F cos ωte f2 (t) = f3 (t) = 0. Considerar m1 = m2 = m3 = 2m, k1 = 4k, k2 = 3k,k3 = 2k e k4 = k.

m1

k1

x1( t )

m2

k2

x2( t )

m3

k3

x3( t )

k4

F c o s w t

Figura 12.2: Sistema discreto não amortecido com 3 graus de liberdade

A resposta estacionária harmónica do sistema é do tipo,

xi (t) = Xi (ω) cos ωt i = 1, 2, 3


onde os valores Xi (ω) i = 1, 2, 3 representam as amplitudes do movi-mento harmónico síncrono das massas mi i = 1, 2, 3 e constituem a soluçãodo sistema de equações (12.11) ou (12.13).

As matrizes de massa e de rigidez e o vector de amplitudes da solici-tação escrevem-se,

[k] =

k1 + k2 −k2 0−k2 k2 + k3 −k3

0 −k3 k3 + k4

= k

7 −3 0−3 5 −2

0 −2 3

,

[m] =

m1 0 00 m2 00 0 m3

= m

2 0 00 2 00 0 2

,

F =

F00

.

De acordo com a expressão (12.11), as amplitudes são a solução do sis-tema de equações algébricas,

k

7 −3 0−3 5 −2

0 −2 3

− ω2m

2 0 00 2 00 0 2

X1 (ω)X2 (ω)X3 (ω)

=

F00

.

Nas figuras 12.3 - 12.5 representa-se a variação das amplitudes Xi (ω) i =1, 2, 3 em função da frequência ω de excitação.

0

0

ω /Hz

X1(ω

)

ω1 ω2 ω3

Figura 12.3: Amplitude de resposta X1 (ω) em função da frequência

A análise da variação em frequência das amplitudes Xi (ω) i = 1, 2, 3permite concluir que:


0

0

ω /Hz

X2(ω

)

ω1 ω2 ω3


0

0

ω /Hz

X3(ω

)

ω1 ω2 ω3


• As amplitudes Xi (ω) i = 1, 2, 3 tendem para infinito para uma fre-quência de excitação ω = ω1, ω = ω2 e ω = ω3;

• Existem três condições de ressonância para o sistema: ω = ω1, ω = ω2

e ω = ω3;

• Para 0 < ω < ω1, as massas mi i = 1, 2, 3 movem-se em fase;

• Para ω1 < ω < ω2, as massas m1 e m2 movem-se em fase e ambas emfase ou em oposição de fase com m3;

• Para ω2 < ω < ω3 , as massas m2 e m3 movem-se em oposição de fasee ambas em fase ou em oposição de fase com m1 ;

• Para ω > ω3, as massas m1 e m3 movem-se em fase e ambas emoposição de fase com m2 ;


Nas figuras 12.6-12.8 representam-se as amplitudes Xi (ω) i = 1, 2, 3sob a forma de magnitude e fase.

0

0

−π

π

φ

ω

|X1(ω

)|

Figura 12.6: Magnitude e fase de X1 (ω) em função da frequência

0

0

−π

π

φ

ω

|X2(ω

)|



0

0

−π

π

φ

ω

|X3(ω

)|


N

12.3 Regime forçado não amortecido-Análise modal

12.3.1 Coordenadas generalizadas

O sistema de equações diferenciais de movimento do sistema não-amorte-cido nas coordenadas generalizadas escreve-se,

[m] x (t)+ [k] x (t) = f (t) , (12.15)

apresentando-se as equações, conforme já discutido, acopladas ou ligadasentre si. No caso mais geral, o acoplamento pode ser de massa ou inérciae elástico ou de rigidez.

k i k i + 1

x i ( t )

f i ( t )

k1

x1( t )

f 1 ( t )

x n ( t )

f n ( t )

m1

m i m n

Figura 12.9: Sistema discreto não amortecido com n graus de liberdade

12.3 Regime forçado não amortecido-Análise modal 267

A caracterização do movimento do sistema é completada pelas condi-ções iniciais de deslocamento x (0) e de velocidade x (0),

x (0) =

x01

. . .x0

i

. . .x0

n

, x (0) =

x01

. . .x0

i

. . .x0

n

. (12.16)

12.3.2 Coordenadas naturais ou modais

Na perspectiva de resolução do sistema de equações diferenciais de movi-mento (12.15), defina-se uma transformação de coordenadas do tipo,

x (t) = [T ] η (t) (12.17)

onde a matriz [T ] representa a matriz de transformação das coordenadasgeneralizadas x (t) nas coordenadas generalizadas η (t). Adoptandocomo matriz de transformação a matriz modal, [T ] = [Φ], as coordenadasgeneralizadas η (t) designam-se por coordenadas modais ou naturais, ea transformação (12.17) escreve-se,

x (t) = [Φ] η (t) (12.18)

onde a matriz de transformação modal [Φ] é de dimensão (n× n).Como a matriz modal [Φ] é independente da variável tempo, derivando

duas vezes a expressão (12.18) em ordem a t obtém-se,

x (t) = [Φ] η (t) . (12.19)

Introduzindo a transformação (12.18) e (12.19) na equação de movi-mento (12.15) vem,

[m] [Φ] η (t)+ [k] [Φ] η (t) = f (t) . (12.20)

Premultiplicando todos os termos da equação anterior pela matriz modaltransposta, [Φ]T, obtém-se,

[Φ]T [m] [Φ] η (t)+ [Φ]T [k] [Φ] η (t) = [Φ]T f (t) . (12.21)

Tendo em conta a propriedade de ortonormalidade dos vectors modaisque formam a matriz modal [Φ],


[Φ]T [m] [Φ] = dIc [Φ]T [k] [Φ] =⌈Ω2

⌋, (12.22)

onde dIc e dΩ2c representam, respectivamente, a matriz identidade e umamatriz diagonal cujos termos são os quadrados das frequências naturais,o resultado de (12.21) vem,

dIc η (t)+⌈Ω2

⌋ η (t) = [Φ]T f (t) . (12.23)

A equação matricial (12.23), que representa a projecção das equaçõesde movimento na base modal, é constituída por n equações diferenciaisdesacopladas ou independentes,

1. . .

1. . .

1

η1 (t)...

ηi (t)...

ηn (t)

+

ω21

. . .ω2

i. . .

ω2n

η1 (t)...

ηi (t)...

ηn (t)

=

N1 (t)...

Ni (t)...

Nn (t)

.

(12.24)

A transformação linear com a matriz modal [Φ], conjuntamente coma propriedade de ortogonalidade dos vectores modais, permite, pois, odesacoplamento simultâneo em termos elásticos e em termos de inérciadas n equações de movimento. Noutros termos, a projecção (12.24) dosistema de equações diferenciais de movimento na base modal conduz aequações diferenciais desacopladas ou independentes, sendo cada umadelas idêntica à equação diferencial de movimento do sistema com umgrau de liberdade,

ηi (t) + ω2i η (t) = Ni (t) i = 1, . . . , n. (12.25)

Como na base modal as equações de movimento se apresentam com-pletamente desacopladas, as coordenadas generalizadas modais ηi (t) i =1, . . . , n designam-se igualmente por coordenadas naturais.

De acordo com (12.23), as componentes do vector de solicitação projec-tado na base modal são dadas por


N1 (t)...

Ni (t)...

Nn (t)

=

φ11f1 (t) + . . . + φi1fi (t) + . . . + φn1fn (t)...φ1if1 (t) + . . . + φiifi (t) + . . . + φnifn (t)...φ1nf1 (t) + . . . + φn1fn (t) + . . . + φnnfn (t)

. (12.26)

k i k i + 1

x i ( t )

f i ( t )


hn ( t )

Nn ( t )

knm

mnm

h 1( t )

N 1( t )

k 1m m 1

m

C o o r d e n a d a s m o d a i s

k1

x1( t )

f1( t )

x n ( t )

f n ( t )

m1

m i m n

m i

k i h i ( t )

N i ( t )

m

m

Figura 12.10: Base generalizada versus base modal ou natural

12.3.3 Condições iniciais na base modalA resolução de cada uma das equações (12.25) na base modal ou naturalrequer igualmente as condições iniciais expressas na base modal. Apli-


cando a transformação de coordenadas (12.18) às condições iniciais x (0)e x (0), obtêm-se as relações,

x (0) = [Φ] η (0) x (0) = [Φ] η (0) (12.27)

onde os vectores η (0) e η (0) representam as condições iniciais dedeslocamento e de velocidade na base modal. Premultiplicando ambasas expressões por [Φ]T [m] e atendendo às propriedades de ortogonali-dade (ortonormalidade), os vectores η (0) e η (0) são dados pelas ex-pressões,

η (0) = [Φ]T [m] x (0) , η (0) = [Φ]T [m] x (0) . (12.28)

12.3.4 Resposta nas coordenadas modais

As equações (12.25) de movimento na base modal ou natural constituementão um conjunto de n equações independentes, cada uma delas idênticaà equação canónica do sistema com um grau de liberdade,

η1 (t) + ω21η (t) = N1 (t)

...ηi (t) + ω2

i η (t) = Ni (t)...ηn (t) + ω2

nη (t) = Nn (t)

(12.29)

Na base modal, cada uma das equações (12.29) pode ser resolvida ana-lítica ou numericamente, conforme o tipo de solicitação aplicada ao sis-tema. Assim, se a solicitação for conhecida sob a forma de uma função dotempo, a solução analítica pode ser determinada utilizando o integral deDuhamel,

ηi (t) =1

ωi

∫ t

0

Ni (τ) sin ωi (t− τ) dτ

+ ηi (0) cos ωit +ηi (0)

ωi

sin ωit

i = 1, . . . , n. (12.30)

Para uma solicitação definida apenas para valores discretos do tempo,tk k = 1, . . . , m, pode utilizar-se um procedimento de integração directade cada uma das equações na base modal.


12.3.5 Resposta nas coordenadas generalizadasUma vez determinada a resposta ηi (t) i = 1, . . . , n na base modal ou na-tural, a determinação da resposta x (t) nas coordenadas generalizadaspassa pela transformação de coordenadas (12.18). Assim, a resposta x (t)nas coordenadas generalizadas é dada pela expressão,

x (t) = [Φ] η (t), (12.31)a qual pode ainda escrever-se como,

x (t) =n∑

i=1

φi︸︷︷︸formamodal

ηi (t)︸︷︷︸coordenada

modal

. (12.32)

O movimento x (t) do sistema pode, pois, de acordo com (12.32),exprimir-se como uma sobreposição das formas naturais de vibração mul-tiplicadas pelas respectivas coordenadas modais, donde a designação desobreposição modal para esta técnica de determinação da resposta forçadade sistemas com n graus de liberdade.

Explicitando o cálculo nas expressões (12.31) e (12.32) para o sistemacom n graus de liberdade, a resposta x (t) vem,

x1 (t)...

xi (t)...

xn (t)

=

φ11 . . . φ1i . . . φ1n... . . .

... . . ....

φi1 . . . φii . . . φin... . . .

... . . ....

φn1 . . . φni . . . φnn

η1 (t)...

ηi (t)...

ηn (t)

=

φ11η1 (t) + . . . + φ1iηi (t) + . . . + φ1nηn (t)...

φi1η1 (t) + . . . + φiiηi (t) + . . . + φinηn (t)...

φn1η1 (t) + . . . + φniηi (t) + . . . + φnnηn (t)

=

φ11...

φi1...

φn1

η1 (t) + . . . +

φ1i...

φ2i...

φni

ηi (t) + . . . +

φ1n...

φ2n...

φnn

ηn (t).

(12.33)


12.4 Regime forçado amortecido - Análise modal

12.4.1 Coordenadas generalizadasPara um sistema discreto com amortecimento de tipo viscoso, as equaçõesde movimento na base generalizada são da forma,

[m] x (t)+ [c] x (t)+ [k] x (t) = f (t) . (12.34)

k i k i + 1

x i ( t )f i ( t )

k1

x1( t )

f1( t )

x n ( t )f n ( t )

m1

m i m n

c1

c i c i + 1

k n

c n

Figura 12.11: Sistema discreto amortecido com n graus de liberdade

12.4.2 Coordenadas naturais ou modaisAdoptando o procedimento de análise modal atrás exposto, em que a ma-triz de transformação de coordenadas é a matriz modal [Φ] formada pelosvectores modais do sistema não-amortecido, a projecção da equação ma-tricial (12.34) de movimento na base modal conduz à seguinte equação,

[Φ]T [m] [Φ] η (t)+ [Φ]T [c] [Φ] η (t)+ [Φ]T [k] [Φ] η (t) = [Φ]T f (t) .(12.35)

Tendo em conta as propriedades de ortogonalidade dos vectores modaisem relação às matrizes de massa e de rigidez, as equações de movimentoprojectadas na base modal vêm,

dIc η (t)+ [Φ]T [c] [Φ] η (t)+⌈Ω2

⌋ η (t) = N (t) (12.36)

onde dIc e dΩ2c representam, respectivamente, a matriz identidade e umamatriz diagonal cujos termos são os quadrados das frequências naturais.Por sua vez, a matriz [Φ]T [c] [Φ], que representa a projecção da matriz deamortecimento na base modal, não é, necessariamente, uma matriz diago-nal. Assim, a equação matricial (12.36) encontra-se desacoplada em termosde inércia e de rigidez, mas não necessariamente em termos de amorteci-mento.

12.4 Regime forçado amortecido - Análise modal 273

12.4.3 Amortecimento proporcional

Considerando uma matriz de amortecimento [c] que seja uma combinaçãolinear da matriz de massa e da matriz de rigidez, isto é,

[c] = α [m] + β [k] , (12.37)

então a sua projecção na base modal vem,

[Φ]T [c] [Φ]=α [Φ]T [m] [Φ] + β [Φ]T [k] [Φ]

=α dIc+ β⌈Ω2

⌋

=⌈α + βΩ2

⌋

=d2ξΩc

(12.38)

e é uma matriz diagonal. Assim, os vectores modais do sistema não amorte-cido diagonalizam igualmente a matriz de amortecimento viscoso propor-cional, e as equações de movimento na base modal são equações indepen-dentes.

Refira-se, a título de informação, que a condição de proporcionalidadepara a matriz de amortecimento é demasiado redutora. Com efeito, osvectores modais do sistema não amortecido diagonalizam a matriz deamortecimento desde que esta verifique a condição de Caughey, que éuma condição mais lata do que a condição de proporcionalidade.


Para uma matriz de amortecimento proporcional, (12.37), as equações demovimento projectadas na base modal do sistema não-amortecido, (12.36),constituem então um conjunto de equações diferenciais independentes,sendo cada uma delas formalmente idêntica à equação de movimento deum sistema amortecido com um grau de liberdade,

ηi (t) + 2ξiωiη (t) + ω2i η (t) = Ni (t) i = 1, . . . , n. (12.39)

12.4.5 Resposta na base modal

Na base modal, cada uma das equações (12.39) pode ser resolvida analíticaou numericamente, conforme o tipo de solicitação aplicada ao sistema.


Assim, a resposta pode ser determinada utilizando o integral de Duhamel,

ηi (t) =1

ωdi

∫ t

0

Ni (τ) e−ξiωi(t−τ) sin ωdi(t− τ) dτ

+ eξiωit

(ηi (0)√1− ξ2

i

cos (ωdit− φi) +

ηi (0)

ωi

sin ωdit

) i = 1, . . . , n

(12.40a)

ωdi= ωi

√1− ξ2

i , φi = tan−1 ξi√1− ξ2

i .(12.40b)

ou utilizando um procedimento de integração directa de cada uma dasequações na base modal.

12.4.6 Resposta nas coordenadas generalizadas

Uma vez determinada a resposta ηi (t) i = 1, . . . , n na base modal ou na-tural, a determinação da resposta x (t) nas coordenadas generalizadas édada pela expressão,

x (t) = [Φ] η (t) =n∑

i=1

φi︸︷︷︸formamodal

ηi (t)︸︷︷︸coordenada

modal

. (12.41)

Assim, para o sistema amortecido em que a matriz de amortecimento[c] é proporcional, o movimento x (t) de resposta pode ainda exprimir-secomo uma sobreposição das formas naturais de vibração do sistema não-amortecido multiplicadas pelas respectivas respostas amortecidas em co-ordenadas modais, mantendo-se válida a técnica da sobreposição modal.

12.5 Resposta por sobreposição modal truncada

12.5.1 Equações de movimento

A resposta do sistema por sobreposição modal pode ser determinada con-siderando apenas alguns dos modos naturais do sistema, isto é, utilizandouma base modal truncada de dimensão p com p << n. Naturalmente quea base modal truncada deverá incluir os modos que mais contribuem paraa resposta do sistema perante a solicitação aplicada, e que são, em geral,

12.5 Resposta por sobreposição modal truncada 275

os modos de menor energia ou de mais baixa frequência e, em particular,os modos contidos na banda de frequência do espectro da solicitação apli-cada. A utilização de uma base modal truncada apresenta como grandevantagem uma redução muito significativa do esforço computacional, emparticular na determinação dos modos naturais de vibração.

Para um sistema com n graus de liberdade, a equação matricial de mo-vimento é, pois, de dimensão n,

[m]n×n xn×1 + [k]n×n xn×1 = f(t)n×1 . (12.42)

Considerando uma base modal truncada com apenas p << n vectoresmodais, a matriz modal truncada [Φ]n×p será uma matriz rectangular dedimensão n× p,

[Φ]n×p =[ φ1 φ2 . . . φp

]n×p

=

φ11 φ12 . . . φ1p

φ21 φ22 . . . φ2p...

......

...φn1 φn2 . . . φnp

n×p

.

(12.43)

12.5.2 Transformação de coordenadas

A transformação de coordenadas generalizadas para coordenadas modaisé agora definida da seguinte forma,

xn×1 = [Φ]n×p η(t)p×1 xn×1 = [Φ]n×p η(t)p×1 . (12.44)

Aplicando a transformação de coordenadas e tendo em conta as pro-priedades de ortogonalidade (ortonormalidade) obtém-se,

[Φ]Tp×n [m]n×n [Φ]n×p ηp×1 + [Φ]Tp×n [k]n×n [Φ]n×p ηp×1 = [Φ]Tp×n f(t)n×1 .(12.45)


Neste caso, utilizando uma base modal truncada, a projecção do sistemade equações na base modal ou natural é constituída por apenas p equaçõesdiferenciais independentes,


11

. . .1

p×p

η1(t)η2(t)

...ηp(t)

p×1

+

ω21

ω22

. . .ω2

p

p×p

η1(t)η2(t)

...ηp(t)

p×1

=

N1(t)N2(t)

...Np(t)

p×1

(12.46)

cada uma delas da forma,

ηi(t) + ω2i η(t) = Ni(t) i = 1, . . . , p < n. (12.47)

12.5.4 Resposta na base modal

Como na situação anterior, a resolução de cada uma das p equações modais,

ηi (t) + ω2i η (t) = Ni (t) i = 1, . . . , p < n (12.48)

fornece a resposta do sistema na base modal truncada.

12.5.5 Resposta na base generalizada

O movimento de resposta nas coordenadas generalizadas é agora dadopela sobreposição dos p modos naturais considerados,

x(t)n×1 = [Φ]n×p η(t)p×1

=[ φ1 φ2 . . . φp

]n×p

η1(t)η2(t)

...ηn(t)

p×1

= φ1 η1(t) + φ2 η2(t) + . . . + φp ηp(t)

=

p∑i=1

φi ηi(t).

(12.49)

12.5 Resposta por sobreposição modal truncada 277

O movimento x (t) nas coordenadas generalizadas exprime-se aindacomo uma sobreposição dos p (p < n) modos naturais de vibração con-siderados e multiplicados pelas respectivas coordenadas modais.

k i k i + 1

x i ( t )

f i ( t )


hp ( t )

Np ( t )

kpm

mpm

h 1( t )

N 1( t )

k 1m m 1

m

E s p a ç o m o d a l

k1

x1( t )

f1( t )

x n ( t )

f n ( t )

m 1 m i m n

m i

k i h i ( t )

N i ( t )

m

m

S u b - e s p a ç o m o d a l

. . . . . . . . . . .

Figura 12.12: Base modal ou natural truncada (sub-espaço modal)


CAPÍTULO 13

Sistema com n graus de liberdadeIntegração directa da equação de movimento

13.1 Introdução

O comportamento dinâmico de um sistema linear discreto com n graus deliberdade é descrito pelo sistema de equações diferenciais,

[m] x(t)+ [c] x(t)+ [k] x(t) = f(t) (13.1)

e pelas condições iniciais de deslocamento e de velocidade,

x(t = 0) = x0 x(t = 0) = x0 . (13.2)

Em certas aplicações práticas, a função de solicitação f (t) não estádisponível sob a forma de expressão analítica, mas antes sob a forma devalores discretos no tempo. Nestas condições, a determinação da respostado sistema pode passar pela integração numérica directa do sistema deequações diferenciais de movimento, recorrendo a adequados métodosnuméricos de integração.

279

280 Capítulo 13. Sistema com n gdl: Integração directa

13.2 Integração numérica directa

A determinação da resposta no tempo por integração numérica do sistemade equações diferenciais de movimento designa-se por integração directa,na medida em que não pressupõe qualquer transformação prévia do sis-tema de equações de movimento.

Os métodos numéricos de integração directa das equações de movi-mento assentam nos seguintes pressupostos:

• verificação da equação diferencial apenas em instantes discretos ti,separados por intervalos de tempo ∆t, e não para todo o valor davariável t;

• estabelecimento de determinado tipo de variação do deslocamentox (t), da velocidade x(t) ou da aceleração x(t) dentro de cada inter-valo de tempo ∆t.

O procedimento consiste pois em dividir o tempo T de resposta em nintervalos regulares, ∆t = T

n, e determinar a solução nos instantes discre-

tos ti i = 1, . . . , n ( t1 = ∆t, t2 = 2∆t, ..., tn = n∆t).

f1

f2

f if i - 1

f n

f0

f ( t )

0 t1

t2

t nt it i - 1 t i + 1

D t D t D t D t

f i + 1

. . . . . .t

(a)

x1

x2

x n

x ix i - 1x i + 1

x0

x ( t )

D t D t D t D t0 t

1t2

t nt it i - 1 t i + 1. . . . . .

t

(b)

Figura 13.1: Discretização no tempo de f(t) e de x(t)

13.3 Método das diferenças finitas (centradas)

O método das diferenças finitas baseia-se na aproximação da velocidade eda aceleração, respectivamente as derivadas x(t) e x(t) do deslocamento,

13.3 Método das diferenças finitas (centradas) 281

em termos dos valores discretos do deslocamento x(ti), de modo que o sis-tema de equações diferenciais conduz a um sistema de equações algébri-cas.

A expansão em série de Taylor da função incógnita deslocamento x (t),em torno do ponto regular correspondente ao instante ti, pode escrever-se,

x (ti + ∆t) = x (ti) + ∆tx (ti) +(∆t)2

2x (ti) +

(∆t)3

6

...x (ti) + . . . , (13.3)

x (ti −∆t) = x (ti)−∆tx (ti) +(∆t)2

2x (ti)− (∆t)3

6

...x (ti) + . . . . (13.4)

Usando a notação x (ti) = xi , x (ti + ∆t) = xi+1 e x (ti −∆t) = xi−1, asexpressões anteriores vêm

xi+1 = xi + ∆txi +(∆t)2

2xi +

(∆t)3

6

...x i + . . . , (13.5)

xi−1 = xi −∆txi +(∆t)2

2xi − (∆t)3

6

...x i + . . . .. (13.6)

Considerando os dois primeiros termos das expansões acima e sub-traindo uma da outra, obtém-se a aproximação por diferenças finitas cen-trais para a primeira derivada de x (t) em t = ti,

xi =dx

dt

∣∣∣∣t=ti

=1

2∆t(xi+1 − xi−1) . (13.7)

Considerando agora os três primeiros termos das expansões e adicio-nando ambas, obtém-se a aproximação por diferenças finitas centrais paraa segunda derivada de x (t) em t = ti,

xi =d2x

dt2

∣∣∣∣t=ti

=1

(∆t)2 (xi+1 − 2xi + xi−1) . (13.8)

Assim, os vectores de velocidade e de aceleração no instante t = tipodem escrever-se,

xt =1

2∆t


), (13.9)

xt =1

(∆t)2

(xt+∆t − 2 xt + xt−∆t

). (13.10)


Considerando agora a equação de movimento no instante genérico t =ti,

[m] xt + [c] xt + [k] xt = ft , (13.11)

após introdução das expressões de diferenças finitas centrais para a veloci-dade e para a aceleração, expressões (13.9) e (13.10), obtém-se,

[m]1

(∆t)2

(xt+∆t − 2 xt + xt−∆t

)+ [c]

1

2∆t


)

+ [k] xt = ft .

(13.12)

Agrupando termos na expressão anterior, obtém-se o seguinte sistemade equações algébricas lineares que constituem a expressão de recurrênciapara a determinação da resposta em termos de deslocamento nos instantesdiscretos ti i = 1, . . . , n,

(1

(∆t)2 [m] +1

2∆t[c]

)xt+∆t

= ft −(

[k]− 2

(∆t)2 [m]

)xt −

(1

(∆t)2 [m]− 1

2∆t[c]

)xt−∆t .

(13.13)

Assim, a partir do vector solicitação ft no instante genérico t = tie dos vectores de resposta xt−∆t e xt, respectivamente nos instantest = ti −∆t e t = ti, determina-se a resposta xt+∆t do sistema no instantet = ti + ∆t.

A aplicação repetida da expressão de recurrência (13.13) conduz à ob-tenção da história completa da resposta do sistema nos instantes ti i =1, 2, . . . , n.

13.3.1 Caracterização do método

Como o método conduz à obtenção da resposta em deslocamento xt+∆t

no instante t = ti + ∆t a partir da equação de equilíbrio dinâmico noinstante t = ti, trata-se de um método explícito de integração.

Porém, a determinação da resposta xt+∆t no instante t = ti + ∆trequer a resposta do sistema nos instantes t = ti − ∆t e t = ti, respecti-vamente xt−∆t e xt. Assim, o método não possui arranque próprio,


visto que no instante t = t1 seriam necessárias as respostas nos instantest = t0 (condição inicial de deslocamento x0) e t = t0 − ∆t, o que repre-senta uma resposta fictícia e, naturalmente, desconhecida, figura 13.2. É,pois, necessário adoptar um procedimento de arranque auxiliar para estemétodo.

x1

x2

x n

x ix i - 1x i + 1

x0

x ( t )

D t D t D t D t0 t

1t2

t nt it i - 1 t i + 1. . . . . .

tt- 1

x- 1

Figura 13.2: Arranque do método das diferenças finitas

Utilizando as expressões de diferenças finitas, a condição inicial de ve-locidade e a aceleração no instante t = t0 podem escrever-se,

x0 =1

2∆t

(x∆t − x−∆t

), (13.14)

x0 =1

(∆t)2

(x∆t − 2 x0 + x−∆t

). (13.15)

Resolvendo as expressões anteriores para o deslocamento fictício x−∆t

correspondente ao instante t = t0 −∆t, obtém-se

x−∆t = x0 −∆t x0 +(∆t)2

2x0 , (13.16)

onde o vector aceleração x0 pode ser determinado a partir da equaçãode equilíbrio dinâmico no instante t = t0, que se escreve,

[m] x0 + [c] x0 + [k] x0 = f0 . (13.17)

Resolvendo um sistema de equações algébricas cuja matriz de coefi-cientes é a matriz de massa [m],


[m] x0 = f0 − [c] x0 − [k] x0 , (13.18)

determina-se o vector de aceleração x0 no instante t = t0,

x0 = [m]−1 (f0 − [c] x0 − [k] x0) . (13.19)

Após substituição de x0 na expressão (13.16),

x−∆t = x0−∆t x0+(∆t)2

2[m]−1 (f0 − [c] x0 − [k] x0) , (13.20)

dispõe-se finalmente da resposta fictícia x−∆t que permite o arranque dométodo e a determinação da resposta do sistema.

Por fim, para garantir a estabilidade numérica do processo de inte-gração, (não confundir com a estabilidade da resposta do sistema), o in-tervalo regular de tempo ∆t, ou passo de integração, deve ser inferior aum limiar crítico,

∆t ≤ ∆tcr =Tn

π=

2

ωn

(13.21)

onde Tn representa o menor período natural não amortecido do sistemae ωn a correspondente maior frequência natural não amortecida. Trata-se,pois, de um método de integração condicionalmente estável. Um valorpara o passo de integração igual a ∆t = Tn

10é um valor de utilização cor-

rente.


13.3.2 Algoritmo do método das diferenças finitasA. Cálculos preliminares

1. Propriedades mecânicas: [m] , [c] , [k]

2. Condições iniciais em t = 0: x0 , x0

3. Aceleração no instante t = 0: x0

[m] x0 = f0−[c] x0−[k] x0 (MATLAB : x0 = [m] \ (

f 0 − [c] x0 − [k] x0))

4. Passo de integração ∆t < ∆tcr e constantes:

a0 =1

(∆t)2 a1 =1

2∆ta2 = 2a0 a3 =

1

a2

5. Resposta fictícia em t = −∆t: x−∆t

x−∆t = x0 −∆t x0 + a3 x0

6. Matriz de massa efectiva: [m]

[m] = a0 [m] + a1 [c]

7. (Factorização da matriz de massa efectiva [m]: [m] = [L] [D] [L]T)


1. Carga efectiva no instante t:

ft

= ft − ([k]− a2 [m]) xt − (a0 [m]− a1 [c]) xt−∆t


[m] xt+∆t =ft

(MATLAB : xt+∆t = [m] \

ft

)

3. Aceleração e velocidade no instante t:

xt = a0

(xt−∆t − 2 xt + xt+∆t

)

xt = a1


)


13.4 Método de Wilson-θ

O método de Wilson-θ constitui uma extensão do método da aceleraçãolinear e adopta uma variação linear da aceleração no intervalo [t, t + θ∆t]com θ ≥ 1.0, conforme se representa na figura 13.3. Note-se que, paraθ = 1, o método de Wilson-θ degenera no método da aceleração linear.

Considerando a variável τ definida no intervalo 0 ≤ τ ≤ θ∆t, figura13.3, a lei de aceleração escreve-se

xt+τ = xt +τ

θ∆t

(xt+θ∆t − xt

). (13.22)

t t + D t

t t + q D t

x t + q D t

x t + D t

x t

Figura 13.3: Método de Wilson-θ

Após integração, obtém-se a lei de variação de velocidade e de deslo-camento no intervalo [t, t + θ∆t],

xt+τ = xt + xtτ +τ 2

2θ∆t

(xt+θ∆t − xt

), (13.23)

xt+τ = xt + xtτ +1

2xtτ 2 +

τ 3

6θ∆t

(xt+θ∆t − xt

). (13.24)

Em particular, no instante t + θ∆t (para τ = θ∆t), a velocidade e odeslocamento valem, respectivamente,

xt+θ∆t = xt +θ∆t

2

(xt+θ∆t + xt

), (13.25)

xt+θ∆t = xt + θ∆txt +(θ∆t)2

6

(xt+θ∆t + 2xt

). (13.26)

13.4 Método de Wilson-θ 287

Resolvendo as equações (13.25) e (13.26) para xt+θ∆t e xt+θ∆t em termosdo deslocamento xt+θ∆t, obtém-se

xt+θ∆t =6

(θ∆t)2

(xt+θ∆t − xt

)− 6

θ∆txt − 2xt, (13.27)

xt+θ∆t =3

θ∆t

(xt+θ∆t − xt

)− 2xt − θ∆t

2xt. (13.28)

No instante t + θ∆t, a equação de movimento (equilíbrio dinâmico)escreve-se

[m] xt+θ∆t + [c] xt+θ∆t + [k] xt+θ∆t = F t+θ∆t, (13.29)

onde a força no instante t + θδt pode pode ser calculada como

F t+θ∆t = F t + θ(F t+∆t − F t

). (13.30)

Após substituição de (13.27) e (13.28) em (13.29), obtém-se

[[k] +

6

(θ∆t)2 [m] +3

θ∆t[c]

]xt+θ∆t =F t + θ

(F t+∆t − F t

)

+ [m]

(6

(θ∆t)2xt +6

θ∆txt + 2xt

)

+ [c]

(3

θ∆txt + 2xt +

θ∆t

2xt

).

(13.31)

A equação (13.31) é uma equação de recurrência e a sua resolução per-mite determinar o deslocamento xt+θ∆t. Refira-se que o equilíbrio dinâmicono instante t + θδt conduz à determinação da resposta em deslocamentono mesmo instante t + θδt.

A substituição de xt+θ∆t na expressão (13.27) permite a determinaçãode xt+θ∆t que, por sua vez, introduzida nas expressões (13.22), (13.23) e(13.24) com τ = ∆t conduzem, respectivamente, a

xt+∆t =6

θ3 (∆t)2

(xt+θ∆t − xt

)− 6

θ2∆txt +

(1− 3

θ

)xt, (13.32)

xt+∆t = xt +∆t

2

(xt+∆t + xt

), (13.33)


xt+∆t = xt + ∆txt +(∆t)2

6

(xt+∆t + 2xt

). (13.34)

As expressões (13.32), (13.33) e (13.34) constituem a resposta no ins-tante t + ∆t

13.4.1 Caracterização do métodoConforme referido anteriormente, a condição de equilíbrio dinâmico noinstante t + θδt conduz à determinação do deslocamento xt+θ∆t para omesmo instante, sendo o método de Wilson-θ um método de integraçãoimplícito. Além disso, a expressão de (13.31) envolve a resposta do sistemaem apenas dois instantes distintos, o que dota este método de arranquepróprio. Finalmente, para valores do parâmetro θ ≥ 1.37, o método deWilson-θ é incondicionalmente estável, sendo θ = 1.4 um valor de utiliza-ção corrente.

13.4 Método de Wilson-θ 289

13.4.2 Algoritmo do método de Wilson-θA. Cálculos preliminares

1. Propriedades mecânicas: [m], [k], [c]

2. Condições iniciais: x0 e x0


[m] x0 = f 0−[c] x0−[k] x0(MATLAB : x0 = [m] \ (

f 0 − [c] x0 − [k] x0))

4. Passo ∆t e constantes de integração:

a0 =6

(θ∆t)2 a1 =3

θ∆ta2 = 2a1 a3 =

θ∆t

2a4 =

a0

θ

a5 = −a2

θa6 = 1− 3

θa7 =

∆t

2a8 =

(∆t)2

6

5. Rigidez efectiva: [k]

= [k] + a0 [m] + a1 [c]

6. (Factorização da rigidez efectiva[k]:[k]

= [L] [D] [L]T )


1. Carga efectiva no instante t + θ∆t:

F t+θ∆t = F t+θ(F t+∆t − F t

)+[m]

(a0x

t + a2xt + 2xt

)+[c]

(a1x

t + 2xt + a3xt)

2. Deslocamento no instante t + θ∆t:

[k]xt+θ∆t = F t+θ∆t

(MATLAB : xt+θ∆t =

[k] \F t+θ∆t

)

3. Aceleração e velocidade no instante t + θ∆t:

xt+∆t = a4

(xt+θ∆t − xt

)+ a5x

t + a6xt

xt+∆t = xt + a7

(xt+∆t + xt

)

xt+∆t = xt + ∆txt + a8

(xt+∆t + 2xt

)


13.5 Método de Newmark

O método de integração de Newmark pode considerar-se como uma ex-tensão do método da aceleração linear. No instante t + ∆t, figura 13.4, avelocidade e o deslocamento são dados pelas seguintes expressões,

t t + D t

t

x t + D t

x t

( x t + x t + D t )12

Figura 13.4: Método de Newmark

xt+∆t = xt + ∆t((1− δ) xt + δxt+∆t

), (13.35)

xt+∆t = xt + xt∆t + (∆t)2

((1

2− α

)xt + αxt+∆t

). (13.36)

onde α e δ são parâmetros para assegurar precisão e estabilidade na inte-gração. Para δ = 1

2e α = 1

6, as expressões (13.35) e (13.36) correspondem

ao método da aceleração linear. Para δ = 12

e α = 14, parâmetros de New-

mark, o método é incondicionalmente estável e assenta num esquema deaceleração média constante no intervalo [t, t + ∆t], figura 13.4.

Resolvendo a equação (13.36) em ordem a xt+∆t e substituindo na equa-ção (13.35), obtêm-se expressões para xt+∆t e xt+∆t em termos de xt+∆t,

xt+∆t =1

α (∆t)2

(xt+∆t − xt

)− 1

α∆txt −

(1

2α− 1

)xt, (13.37)

xt+∆t =

(1− δ

α

)xt + ∆t

(1− δ

2α

)xt +

δ

α∆t

(xt+∆t − xt

). (13.38)

13.5 Método de Newmark 291

Além das relações (13.37) e (13.38), a solução para o deslocamento, ve-locidade e aceleração no instante t+∆t requer também a equação de equi-líbrio dinâmico em t + ∆t, que se escreve

[m] (x)t+∆t + [c] (x)t+∆t + [k] xt+∆t = F t+∆t. (13.39)

Substituindo (13.37) para xt+∆t e (13.38) para xt+∆t na equação de equi-líbrio (13.39), obtém-se a expressão de recurrência para xt+∆t,

[1

α (∆t)2 [m] +δ

α∆t[c] + [k]

]xt+∆tF t+∆t. (13.40)

A partir da solução xt+∆t, e por substituição em (13.37) e (13.38), deter-mina-se xt+∆t e xt+∆t,

xt+∆t =1

α (∆t)2

(xt+∆t − xt

)− 1

α∆txt −

(1

2α− 1

)xt, (13.41)

xt+∆t =

(1− δ

α

)xt + ∆t

(1− δ

2α

)xt +

δ

α∆t

(xt+∆t − xt

). (13.42)

13.5.1 Caracterização do método

Como o método de Newmark conduz à solução xt+∆t no instante t + ∆t apartir da equação de equilíbrio dinâmico no instante t + ∆t, é um métodode integração implícito. Conforme a expressão de recurrência (13.40), adeterminação de xt+∆t apenas envolve a solução no instante t anterior.Em consequência, o método de Newmark apresenta arranque próprio. Fi-nalmente, com os parâmetros de Newmark, δ = 1

2e α = 1

4, o método é

incondicionalmente estável.


13.5.2 Algoritmo do método de NewmarkA. Cálculos preliminares:

1. Propriedades mecânicas: [m], [k], [c]

2. Condições iniciais: x0 e x0


[m] x0 = f 0−[c] x0−[k] x0(MATLAB : x0 = [m] \ (

f 0 − [c] x0 − [k] x0))

4. Passo ∆t, parâmetros α e δ e constantes de integração:

δ =1

2α =

1

4

a0 =1

α (∆t)2 a1 =δ

α∆ta2 =

1

α∆ta3 =

1

2α− 1

a4 =δ

α− 1 a5 =

∆t

2

(δ

α− 2

)a6 = ∆t (1− δ) a7 = δ∆t

5. Rigidez efectiva: [k]

= [k] + a0 [m] + a1 [c]

6. (Factorização da matriz de rigidez efectiva[k]:[k]

= [L] [D] [L]T )


1. Carga efectiva no instante t + ∆t:

F t+∆t = F t+∆t + [m](a0x

t + a2xt + a3x

t)

+ [c](a1x

t + a4xt + a5x

t)


[k]xt+∆t = F t+∆t

(MATLAB : xt+∆t =

[k] \F t+∆t

)

3. Aceleração e velocidade no instante t + ∆t:

xt+∆t = a0

(xt+∆t − xt

)− a2xt − a3x

t

xt+∆t = xt + a6xt + a7x

t+∆t

Parte V

Sistemas contínuos

293

CAPÍTULO 14

Sistemas contínuosVibração transversal de cordas


A figura 14.1-a representa um cabo ou corda elástica de comprimento `sujeito a uma força transversal f (x, t) por unidade de comprimento, e afigura 14.1-b representa um elemento infinitesimal de comprimento dx.

Considerem-se as seguintes grandezas,

• v (x, t) : deslocamento lateral da secção recta;

• T (x) : tensão na corda;

• µ (x) : massa por unidade de comprimento.

A aplicação da 2o lei de Newton do movimento a um elemento in-finitesimal de comprimento dx, na direcção transversal, conduz à seguinteequação de equilíbrio dinâmico,

(T + dT ) sin (θ + dθ) + f (x, t) dx− T sin θ = µ (x) dx∂2v (x, t)

∂t2(14.1)

295

296 Capítulo 14. Vibração transversal de cordas

z

xx d x

l

f ( x , t )

v ( x , t )

z

xx d x

f ( x , t )

T

T + d T

q

q + d q

a )

b )

v v + d v

Figura 14.1: Corda elástica

onde θ representa o ângulo da corda com o eixo Ox.Para um elemento infinitesimal de comprimento dx e para um ângulo

θ pequeno, podem adoptar-se as seguintes aproximações,

sin θ ∼= tan θ =∂v

∂xsin (θ + dθ) ∼= tan (θ + dθ) =

∂v

∂x+

∂2v

∂x2dx. (14.2)

Introduzindo as expressões anteriores na equação de movimento, estapode simplificar-se na forma,

∂

∂x

(T

∂v (x, t)

∂x

)+ f (x, t) = µ (x)

∂2v (x, t)

∂t2. (14.3)

Para uma corda de secção uniforme, µ (x) = µ, e com tensão constante,T (x) = T , a equação de movimento reduz-se a,

T∂2v (x, t)

∂x2+ f (x, t) = µ

∂2v (x, t)

∂t2. (14.4)

Assim, a equação de movimento é uma equação diferencial parcial desegunda ordem na variável tempo t e na variável espacial x. Em conse-quência, são necessárias duas condições de fronteira, na variável x, e duascondições iniciais, na variável t, para a resolução da equação diferencialde movimento deste sistema. Por outro lado, o movimento é caracterizado

14.2 Regime livre 297

pela equação diferencial (14.3), pelas respectivas condições de fronteira epelas condições iniciais de deslocamento e de velocidade, v (x, t = 0) =v0 (x) e v (x, t = 0) = v0 (x).

14.2 Regime livre


Em regime livre, com a solicitação exterior f (x, t) nula, f (x, t) = 0, a equa-ção de movimento vem,

T∂2v (x, t)

∂x2= µ

∂2v (x, t)

∂t2. (14.5)

Fazendo Tµ

= c2, a equação do regime livre pode escrever-se na forma,

∂2v (x, t)

∂x2=

1

c2

∂2v (x, t)

∂t2. (14.6)

A equação de movimento lateral da corda na forma (14.6) é uma equa-ção de onda, onde c2 representa a velocidade de propagação longitudinalda onda.

14.2.2 Resposta livre

Para caracterizar o movimento lateral da corda é necessário resolver aequação diferencial de movimento e determinar a solução v (x, t) que re-presenta o movimento da corda em cada secção recta e ao longo do tempo.Nesse sentido, admita-se a hipótese de movimento síncrono, isto é, ummovimento para o qual a configuração espacial (deformada) da corda nãovaria no tempo. Noutros termos, cada secção da corda executa o mesmotipo de movimento, passando pela posição de equilíbrio estático no mesmoinstante e atingindo o deslocamento máximo igualmente no mesmo ins-tante. Esta hipótese é equivalente a considerar a função deslocamentov (x, t) separável no espaço e no tempo, conduzindo ao designado métododa separação de variáveis para resolução de equações diferenciais de deri-vadas parciais. Assim, a função deslocamento v (x, t) pode então exprimir-se na forma,

v (x, t) = V (x) g (t) (14.7)


onde V (x) representa a configuração espacial da corda e depende somenteda variável espacial x , e g (t) indica o tipo de movimento que a configu-ração da corda executa e depende somente da variável tempo t. Refira-seque para uma vibração harmónica estável a função g (t) é limitada paratodo e qualquer valor do tempo t.

Derivando a expressão (14.7) duas vezes em ordem a x e a t, obtém-se,

∂2v (x, t)

∂x2=

d2V (x)

dx2g (t)

∂2v (x, t)

∂t2= V (x)

d2g (t)

dt2. (14.8)

Pelo facto de V (x) depender somente de x e g (t) somente de t, asderivadas parciais ∂2v(x,t)

∂x2 e ∂2v(x,t)∂t2

são substituídas por derivadas totais.A introdução da solução (14.7) e das derivadas (14.8) na equação dife-

rencial conduz à equação,

d2V (x)

dx2g (t) =

1

c2V (x)

d2g (t)

dt2. (14.9)

Após rearranjo, a equação anterior pode escrever-se na forma,

c2 1

V (x)

d2V (x)

dx2=

1

g (t)

d2g (t)

dt2(14.10)

onde o primeiro membro depende somente de x e o segundo dependesomente de t.

Os dois membros da equação (14.10) são, pois, de natureza distinta, ea equação só é verificada para todo o x e todo o t caso ambos os membrossejam iguais a uma constante, λ, por exemplo. Então tem-se,

c2 1

V (x)

d2V (x)

dx2= λ (14.11)

e

1

g (t)

d2g (t)

dt2= λ, (14.12)


d2V (x)

dx2− λ

c2V (x) = 0 (14.13)

e

d2g (t)

dt2− λg (t) = 0. (14.14)

14.3 Corda com as extremidades fixas 299

Fazendo a constante λ igual a−ω2, as duas equações anteriores escrevem-se,

d2V (x)

dx2+

ω2

c2V (x) = 0 (14.15)

d2g (t)

dt2+ ω2g (t) = 0 (14.16)

e as respectivas soluções são da forma,

V (x) = A cosω

cx + B sin

ω

cx, (14.17)

g (t) = C cos ωt + D sin ωt. (14.18)

Assim, a solução (14.7) procurada para v (x, t) = V (x) g (t) escreve-se,

v (x, t) =(A cos

ω

cx + B sin

ω

cx)

(C cos ωt + D sin ωt) (14.19)

onde as constantes A e B, e C e D são determinadas, respectivamente, apartir das condições de fronteira e das condições iniciais.

14.3 Corda com as extremidades fixas

Para a corda elástica com ambas as extremidades fixas, as condições defronteira são,

v (x = 0, t) = 0 v (x = `, t) = 0. (14.20)

A solução da equação diferencial de movimento, conforme (14.19), es-creve-se,

v (x, t) =(A cos

ω

cx + B sin

ω

cx)

(C cos ωt + D sin ωt) . (14.21)

Introduzindo a primeira das condições de fronteira (14.20) na solução(14.21) vem,

v (0, t) = A (C cos ωt + D sin ωt) = 0, (14.22)

donde se conclui que a constante A é nula,


A = 0. (14.23)

Introduzindo agora a segunda das condições de fronteira (14.20) nasolução (14.21) com A = 0, obtém-se a relação,

v (`, t) = B sinω

c` (C cos ωt + D sin ωt) = 0, (14.24)

a qual é verificada se a constante B for nula, o que corresponde à soluçãotrivial, isto é, v (x, t) = 0. Então para a existência de soluções não nulastem de verificar-se a condição,

B sinω

c` = 0 (14.25)

com B 6= 0, o que conduz à seguinte equação característica ou de frequên-cias,

sinω

c` = 0. (14.26)

A equação característica (14.26) admite uma infinidade de raízes, ωn`c

=nπ n = 1, . . . ,∞, as quais correspondem às frequências naturais de vi-bração ωn n = 1, . . . ,∞ da corda e que valem,

ωn =ncπ

`n = 1, . . . ,∞, (14.27)

ou ainda, após a substituição Tµ

= c2,

ωn =nπ

`

√T

µn = 1, . . . ,∞. (14.28)

Assim, existe uma infinidade de soluções v (x, t) independentes, dotipo (14.21), que verificam as condições de fronteira. Cada solução vn (x, t) n =1, . . . ,∞ correspondente a uma frequência natural ωn n = 1, . . . ,∞ escre-ve-se,

vn (x, t) = Vn (x) gn (t) = Bn sinnπ

`x

(Cn cos

ncπ

`t + Dn sin

ncπ

`t)

(14.29)

e designa-se por modo natural de vibração, sendo a respectiva forma na-tural de vibração dada pela função,

Vn (x) = Bn sinnπ

`x n = 1, . . . ,∞. (14.30)


Para n = 1, o modo natural de vibração corresponde à frequêncianatural mais baixa e designa-se por modo fundamental de vibração. Deacordo com (14.30), as formas naturais de vibração da corda com ambasas extremidades fixas são funções harmónicas, conforme se representa nafigura 14.2, apresentando secções estacionárias, Vn (xi) = 0, designadaspor nodos de vibração.

x

V1(x

)

0 `

(a) n = 1

x

V2(x

)

0 `

(b) n = 2

x

V3(x

)

0 `

(c) n = 3

x

V4(x

)

0 `

(d) n = 4

Figura 14.2: Formas naturais de vibração lateral de uma corda fixa-fixa

Como existe uma infinidade de soluções do tipo (14.29) para a equaçãodiferencial de movimento da corda com as extremidades fixas, a soluçãogeral é dada pela combinação linear dos diferentes modos naturais de vi-bração,


v (x, t) =∞∑

n=1

vn (x, t) =∞∑

n=1

Vn (x) gn (t)

=∞∑

n=1

Bn sinnπ

`x

(Cn cos

ncπ

`t + Dn sin

ncπ

`t) (14.31)

onde as constantes Cn e Dn são determinadas a partir das condições inici-ais de deslocamento e de velocidade,

v (x, t = 0) = v0 (x) v (x, t = 0) = v0 (x) . (14.32)

Introduzindo as condições iniciais na solução geral (14.31) obtém-se,

v0 (x) =∞∑

n=1

CnBn sinnπ

`x v0 (x) =

∞∑n=1

Dnncπ

`Bn sin

nπ

`x. (14.33)

As expressões anteriores representam expansões em série de Fourierdas funções deslocamento inicial v0 (x) e velocidade inicial v0 (x) no inter-valo [0, `], podendo as constantes Cn e Dn ser assimiladas aos coeficientesda série de Fourier respectiva. Assim, as constantes Cn e Dn vêm dadaspelas seguintes expressões,

Cn =1

Bn

(2

`

∫ `

0

v0 (x) sinnπ

`xdx

), (14.34)

Dn =`

Bnncπ

(2

`

∫ `

0

v0 (x) sinnπ

`xdx

). (14.35)

ExemploH

Uma corda de comprimento `, fixa em ambas as extremidades, é defor-mada a meio vão como se representa na figura 14.3. Estabelecer a ex-pressão do movimento vibratório da corda.

A solução é dada pela expressão (14.31) com as constantes Cn e Dn

dadas pelas expressões (14.34)-(14.35). Como a velocidade inicial é nula,v (x, t = 0) = v0 (x) = 0, as constantes Dn são nulas. Assim, a solução(14.31) reduz-se a,


CA

B

TTx

V ( x )

l

2l

2

d

Figura 14.3: Corda fixa-fixa com deslocamento inicial

v (x, t) =∞∑

n=1

vn (x, t) =∞∑

n=1

Vn (x) gn (t)

=∞∑

n=1

Bn sinnπ

`x

(Cn cos

ncπ

`t)

onde

Cn =1

Bn

(2

`

∫ `

0

v0 (x) sinnπ

`xdx

).

A deformada inicial v0 (x) é dada por,

v0 (x) =

2δ`x 0 ≤ x ≤ `

22δ`

(`− x) `2≤ x ≤ `

.

As constantes Cn são então dadas por,

Cn =1

Bn

(2

`

∫ /2

0

2δ

`x sin

nπ

`xdx +

2

`

∫ `

/2

2δ

`(`− x) sin

nπ

`xdx

)

=1

Bn

8δ

π2n2 sin nπ2

n = 1, 3, 5, . . .

0 n = 2, 4, 6, . . ..

Utilizando a relação sin nπ2

= (−1)n−1

2 , n = 1, 3, 5, . . ., a solução pre-tendida, que corresponde ao movimento da corda à perturbação inicial dedeslocamento, pode exprimir-se na forma,

v (x, t) =8h

π2

(sin

π

`x cos

πc

`t− 1

9sin

3π

`x cos

3πc

`t + . . .

).


Note-se que, neste caso, os harmónicos de ordem par não são excitados,conforme seria previsível, pois as formas naturais de vibração de ordempar são anti-simétricos apresentando um nodo de vibração na secção x =`2.N

14.4 Ortogonalidade das formas naturais

Conforme se apresentou atrás, os modos naturais de vibração são dadospelas soluções (ω2

n, Vn (x)) n = 1, . . . ,∞ do problema característico,

− d

dx

(T (x)

dV (x)

dx

)= ω2µ (x) V (x) . (14.36)

Considerando duas soluções distintas (ω2r , Vr (x)) e (ω2

s , Vs (x)) com ωr 6=ωs, tem-se,

− d

dx

(T (x)

dVr (x)

dx

)= ω2

rµ (x) Ur (x) (14.37)

− d

dx

(T (x)

dVs (x)

dx

)= ω2

sµ (x) Vs (x) . (14.38)

Multiplicando (14.37) por Vs (x) e (14.38) por Vr (x), e integrando parao comprimento ` da corda obtém-se,

−∫ `

0

Vs (x)d

dx

(T (x)

dVr (x)

dx

)dx = ω2

r

∫ `

0

µ (x) Vs (x) Vr (x) dx (14.39)

−∫ `

0

Vr (x)d

dx

(T (x)

dVs (x)

dx

)dx = ω2

s

∫ `

0

µ (x) Vr (x) Vs (x) dx. (14.40)

Após integração por partes e tendo em conta as condições de fronteira,

Vs (x) T (x)dVr (x)

dx

∣∣∣∣`

0︸︷︷︸=0

+

∫ `

0

dVs (x)

dxT (x)

dVr (x)

dxdx

= ω2r

∫ `

0

µ (x) Vs (x) Vr (x) dx,

(14.41)

14.4 Ortogonalidade das formas naturais 305

Vr (x) T (x)dVs (x)

dx

∣∣∣∣`

0︸︷︷︸=0

+

∫ `

0

dVr (x)

dxT (x)

dVs (x)

dxdx

= ω2s

∫ `

0

µ (x) Vr (x) Vs (x) dx.

(14.42)

Subtraindo as expressões (14.41) e (14.42) anteriores,

0 =(ω2

s − ω2r

) ∫ `

0

µ (x) Vr (x) Vs (x) dx. (14.43)

Para as frequências naturais distintas ωr e ωs, ω2r 6= ω2

s , da equaçãoanterior decorre a seguinte relação de ortogonalidade,

∫ `

0

µ (x) Vr (x) Vs (x) dx = 0 r 6= s

r = 1, 2, . . . ,∞s = 1, 2, . . . ,∞ (14.44)

que representa a propriedade de ortogonalidade das funções Vn (x) n =1, . . . ,∞ em relação à massa.

Com esta relação de ortogonalidade, da expressão (14.41) resulta igual-mente a seguinte relação de ortogonalidade em relação à “rigidez” dacorda,

∫ `

0

dVs (x)

dxT (x)

dVr (x)

dxdx = 0 r 6= s

r = 1, 2, . . . ,∞s = 1, 2, . . . ,∞ . (14.45)

Assim, as funções Vn (x) n = 1, . . . ,∞ representatives das formasnaturais de vibração da corda apresentam propriedades de ortogonali-dade em relação à massa e em relação à rigidez.

Adoptando o critério de normalização das formas naturais para mas-sas modais unitárias, as propriedades de ortogonalidade designam-se porpropriedades de ortonormalidade e exprimem-se na seguinte forma,

∫ `

0

Vr (x) µ (x) Vs (x) dx = δrs r = 1, 2, . . . ,∞ (14.46)

∫ `

0

dVs (x)

dxT (x)

dVr (x)

dxdx = ω2

rδrs r = 1, 2, . . . ,∞ (14.47)


onde δrs representa o símbolo de Kronecker e vale,

δrs =

1 para r = s0 para r 6= s

. (14.48)

Refira-se que a ortogonalidade em relação à rigidez não é fornecidadirectamente pelas funções Vn (x) n = 1, . . . ,∞, mas antes pelas respec-tivas derivadas de primeira ordem, dVn(x)

dxn = 1, . . . ,∞. Note-se igual-

mente que o problema vertente é de segunda ordem na variável espacialx.

CAPÍTULO 15

Sistemas contínuosVibração longitudinal de barras


A figura 15.1-a) representa uma barra de secção variável e de comprimento` sujeita a uma força axial f (x, t) por unidade de comprimento, e a figura15.1-b) representa o diagrama de corpo livre de um elemento infinitesimalde comprimento dx.

Considerem-se as seguintes grandezas para uma barra de secção vari-ável e de comprimento `,

• u (x, t) : deslocamento axial da secção recta;

• f (x, t) : força axial por unidade de comprimento;

• A (x) : área da secção recta;

• E : módulo de elasticidade longitudinal;

• ρ (x) : massa volúmica.

307

308 Capítulo 15. Vibração longitudinal de barras

z

x

x d x

l

u ( x , t ) f ( x , t )

(a) barra

d x

u u + d u

P P + d Pf ( x , t )

(b) elemento infinitesimal

Figura 15.1: Barra de secção variável

A aplicação da 2o lei de Newton do movimento a um elemento in-finitesimal de comprimento dx, F = Q, conduz à seguinte equação deequilíbrio dinâmico,

(P (x, t) + dP (x, t))− P (x, t) + f (x, t) dx = ρA (x) dx∂2u (x, t)

∂t2. (15.1)

Após simplificação vem,

dP (x, t) + f (x, t) dx = ρA (x) dx∂2u (x, t)

∂t2. (15.2)

Tendo em conta a relação da elasticidade existente entre a força axialP (x, t) e a deformação axial εxx = ∂u(x,t)

∂x,

P (x, t) = EA (x)∂u (x, t)

∂x, (15.3)

então o incremento dP (x, t) ao longo do elemento infinitesimal de com-primento dx vale,

dP (x, t) =∂P (x, t)

∂xdx =

∂

∂x

(EA (x)

∂u (x, t)

∂x

)dx (15.4)


Introduzindo a expressão anterior na equação (15.2) e dividindo todosos termos por dx, a equação diferencial do movimento longitudinal deuma barra de secção não uniforme escreve-se,

∂

∂x

(EA (x)

∂u (x, t)

∂x

)+ f (x, t) = ρA (x)

∂2u (x, t)

∂t2. (15.5)

Para uma barra de secção uniforme, A (x) = A, a equação diferencialdo movimento toma a forma,

EA∂2u (x, t)

∂x2+ f (x, t) = ρA

∂2u (x, t)

∂t2. (15.6)

Assim, a equação do movimento é uma equação diferencial parcial desegunda ordem na variável tempo t e na variável espacial x. Em conse-quência, são necessárias duas condições de fronteira, na variável x, e duascondições iniciais, na variável t, para a resolução da equação diferencialdo movimento deste sistema. Por outro lado, o movimento é caracteri-zado pela equação diferencial (15.5) ou (15.6), pelas respectivas condiçõesde fronteira e pelas condições iniciais de deslocamento e de velocidade,u (x, t = 0) = u0 (x) e u (x, t = 0) = u0 (x).

15.2 Regime livre


Em regime livre, a solicitação exterior é nula, f (x, t) = 0, e a equação domovimento vem,

∂

∂x

(EA (x)

∂u (x, t)

∂x

)= ρA (x)

∂2u (x, t)

∂t2. (15.7)

No caso particular da barra de secção constante, a equação (15.7) podeescrever-se,

EA∂2u (x, t)

∂x2= ρA

∂2u (x, t)

∂t2. (15.8)

Fazendo Eρ

= c2, a equação do regime livre da barra de secção constantepode ainda escrever-se na forma,

∂2u (x, t)

∂x2=

1

c2

∂2u (x, t)

∂t2. (15.9)


A equação do movimento longitudinal de uma barra de secção cons-tante na forma (15.9) é uma equação de onda, onde c2 representa a veloci-dade de propagação da onda.


Para caracterizar o movimento longitudinal de uma barra é necessário re-solver a equação diferencial de movimento e determinar a solução u (x, t)que representa o movimento longitudinal da barra para cada secção rectae ao longo do tempo. Nesse sentido, admita-se a hipótese de movimentosíncrono, isto é, um movimento para o qual a configuração espacial dabarra não varia no tempo. Noutros termos, cada secção da barra executao mesmo tipo de movimento, passando pela posição de equilíbrio estáticono mesmo instante e atingindo o deslocamento máximo igualmente nomesmo instante. Esta hipótese é equivalente a considerar a função deslo-camento u (x, t) separável no espaço e no tempo, conduzindo ao desig-nado método da separação de variáveis para resolução de equações dife-renciais de derivadas parciais. Assim, a função deslocamento u (x, t) podeentão exprimir-se na forma,

u (x, t) = U (x) g (t) (15.10)

onde U (x) representa a configuração espacial da barra e depende somenteda variável espacial x, e g (t) indica o tipo de movimento que a configu-ração espacial da barra executa e depende somente da variável tempo t.Refira-se que para uma vibração harmónica estável a função g (t) é limi-tada para todo e qualquer valor do tempo t.

Derivando a expressão (15.10) em ordem a x e a t, obtém-se,

∂u (x, t)

∂x=

dU (x)

dxg (t) ,

∂2u (x, t)

∂t2= U (x)

d2g (t)

dt2. (15.11)

Pelo facto de U (x) depender somente de x e g (t) somente de t, asderivadas parciais ∂u(x,t)

∂xe ∂2u(x,t)

∂t2são substituídas por derivadas totais.

A introdução da solução (15.10) e das derivadas (15.11) na equaçãodiferencial (15.7) conduz à equação,

d

dx

(EA (x)

dU (x)

dxg (t)

)= ρA (x) U (x)

d2g (t)

dt2. (15.12)



1

ρA (x) U (x)

d

dx

(EA (x)

dU (x)

dx

)=

1

g (t)

d2g (t)

dt2(15.13)


Os dois membros da equação (15.13) são, pois, de natureza distinta, ea equação (15.13) só é verificada para todo o x e todo o t caso ambos osmembros sejam iguais a uma constante, λ, por exemplo. Então tem-se,

1

ρA (x) U (x)

d

dx

(EA (x)

dU (x)

dx

)= λ (15.14)

e

1

g (t)

d2g (t)

dt2= λ, (15.15)


d

dx

(EA (x)

dU (x)

dx

)− λρA (x) U (x) = 0 (15.16)

e

d2g (t)

dt2− λg (t) = 0. (15.17)

Fazendo a constante λ igual a −ω2, as duas equações anteriores escre-vem-se,

d

dx

(EA (x)

dU (x)

dx

)+ ω2ρA (x) U (x) = 0 (15.18)

d2g (t)

dt2+ ω2g (t) = 0. (15.19)

A equação (15.19) representa uma equação diferencial ordinária cujasolução é do tipo,

g (t) = C cos ωt + D sin ωt. (15.20)

Por sua vez, a equação (15.18) representa um problema característico(valores e funções características) cujas soluções U (x) têm de verificar aequação diferencial, que tem em conta a geometria variável da secção, e ascondições de fronteira.

Assim, a solução u (x, t) = U (x) g (t) escreve-se,


u (x, t) = U (x) (C cos ωt + D sin ωt) (15.21)

onde as constantes C e D são determinadas a partir das condições iniciais.


As soluções U (x) para a equação (15.18), que verificam a equação diferen-cial e as condições de fronteira, e que representam a configuração espa-cial da barra no movimento harmónico em regime livre ou natural, são asfunções características do problema,

− d

dx

(EA (x)

dU (x)

dx

)= ω2ρA (x) U (x) , (15.22)

o qual admite soluções não nulas para valores particulares de ω2 que cons-tituem os valores característicos do problema. Assim, a solução de (15.22)é constituída por uma infinidade de pares característicos formados por umvalor característico e pela respectiva função característica,

(ω2

n, Un (x))

n = 1, . . . ,∞. (15.23)

15.3.1 Barra de secção constante

Para uma barra de secção constante, A (x) = A, e a equação característica(15.22) toma a forma,

EAd2U (x)

dx2+ ω2ρAU (x) = 0. (15.24)

Fazendo Eρ

= c2, a equação característica apresenta-se como uma equa-ção diferencial ordinária,

d2U (x)

dx2+

ω2

c2U (x) = 0 (15.25)

a qual admite soluções da forma,

U (x) = A cosω

cx + B sin

ω

cx (15.26)

que são as funções características de (15.24).Para uma barra de secção constante, a solução u (x, t) = U (x) g (t) da

equação diferencial (15.8) do movimento livre ou natural é então dada por,


u (x, t) =(A cos

ω

cx + B sin

ω

cx)


onde os valores característicos de ω e as constantes A e B são determinadosa partir das condições de fronteira, e as constantes C e D são determinadasa partir das condições iniciais.

15.3.2 Ortogonalidade das formas naturaisConforme se apresentou atrás, os modos naturais de vibração são dadospelas soluções (ω2

n, Un (x)) n = 1, . . . ,∞ do problema característico,

− d

dx

(EA (x)

dU (x)

dx

)= ω2ρA (x) U (x) . (15.28)

Considerando duas soluções distintas (ω2r , Ur (x)) e (ω2

s , Us (x)) com ωr 6=ωs , tem-se,

− d

dx

(EA (x)

dUr (x)

dx

)= ω2

rρA (x) Ur (x) (15.29)

− d

dx

(EA (x)

dUs (x)

dx

)= ω2

sρA (x) Us (x) (15.30)

Multiplicando (15.29) por Us (x) e (15.30) por Ur (x), e integrando parao comprimento ` da barra obtém-se,

−∫ `

0

Us (x)d

dx

(EA (x)

dUr (x)

dx

)dx = ω2

r

∫ `

0

ρA (x) Us (x) Ur (x) dx

(15.31)

−∫ `

0

Ur (x)d

dx

(EA (x)

dUs (x)

dx

)dx = ω2

s

∫ `

0

ρA (x) Ur (x) Us (x) dx.

(15.32)Após integração por partes em ordem a x obtém-se,

Us (x) EA (x)dUr (x)

dx

∣∣∣∣`

0

+

∫ `

0

dUs (x)

dxEA (x)

dUr (x)

dxdx

= ω2r

∫ `

0

ρA (x) Us (x) Ur (x) dx

(15.33)


Ur (x) EA (x)dUs (x)

dx

∣∣∣∣`

0

+

∫ `

0

dUr (x)

dxEA (x)

dUs (x)

dxdx

= ω2s

∫ `

0

ρA (x) Ur (x) Us (x) dx

. (15.34)

Tendo em conta as condições de fronteira para extremidades fixas oulivres, o primeiro termo nas expressões (15.33) e (15.34) é nulo,

Us (x) EA (x)dUr (x)

dx

∣∣∣∣`

0

= 0 Ur (x) EA (x)dUs (x)

dx

∣∣∣∣`

0

= 0. (15.35)

A subtracção membro a membro das expressões (15.33) e (15.34) con-duz ao resultado,

0 =(ω2

r − ω2s

) ∫ `

0

ρA (x) Ur (x) Us (x) dx. (15.36)

Assim, para as frequências naturais distintas ωr e ωs, da equação ante-rior decorre a seguinte relação de ortogonalidade,

∫ `

0

ρA (x) Ur (x) Us (x) dx = 0 r 6= s

r = 1, 2, . . . ,∞s = 1, 2, . . . ,∞ (15.37)

que representa a propriedade de ortogonalidade das funções Un (x) n =1, . . . ,∞ em relação à massa.

Com esta relação de ortogonalidade, da expressão (15.33) resulta, igual-mente, a seguinte relação de ortogonalidade em relação à rigidez da barra,

∫ `

0

dUs (x)

dxEA (x)

dUr (x)

dxdx = 0 r 6= s

r = 1, 2, . . . ,∞s = 1, 2, . . . ,∞ . (15.38)

Assim, as funções Un (x) n = 1, . . . ,∞ representativas das formas na-turais de vibração da barra apresentam propriedades de ortogonalidadeem relação à massa e em relação à rigidez.


15.4 Barra com as extremidades fixas 315

∫ `

0

ρA (x) Ur (x) Us (x) dx = δrs r, s = 1, 2, . . . ,∞ (15.39)

∫ `

0

dUs (x)

dxEA (x)

dUr (x)

dxdx = ω2

rδrs r, s = 1, 2, . . . ,∞ (15.40)


δrs =


. (15.41)

Refira-se que a ortogonalidade em relação à rigidez é verificada pelasderivadas de primeira ordem, dUn(x)

dxn = 1, . . . ,∞ das funções característi-

cas Un (x) n = 1, . . . ,∞. Note-se igualmente que o problema vertente é desegunda ordem na variável espacial x.

15.4 Barra com as extremidades fixas

Para uma barra com ambas as extremidades fixas, figura 15.2, as condiçõesde fronteira são,

u (x = 0, t) = 0 u (x = `, t) = 0. (15.42)

u ( x , t )

lx

Figura 15.2: Barra de secção constante com as extremidades fixas

De acordo com (15.27), a solução da equação do movimento escreve-se,

u (x, t) =(A cos

ω

cx + B sin

ω

cx)

(C cos ωt + D sin ωt) . (15.43)



u (0, t) = A (C cos ωt + D sin ωt) = 0 (15.44)


A = 0. (15.45)

Introduzindo agora a segunda das condições de fronteira (15.42) nasolução (15.43) com A = 0, obtém-se a relação,

u (`, t) = B sinω

c` (C cos ωt + D sin ωt) = 0, (15.46)

a qual é verificada se a constante B for nula, o que corresponde à soluçãotrivial, isto é, u (x, t) = 0. Então, para a existância de soluções não nulastem de verificar-se a condição,

B sinω

c` = 0 (15.47)

com B 6= 0 , o que conduz à seguinte equação característica ou de frequên-cias,

sinω

c` = 0. (15.48)


=nπ n = 1, . . . ,∞, as quais correspondem às frequências naturais de vi-bração longitudinal da barra, ωn n = 1, . . . ,∞, e que valem,

ωn =ncπ

`n = 1, . . . ,∞, (15.49)

ou ainda, após a substituição Eρ

= c2,

ωn =nπ

`

√E

ρn = 1, . . . ,∞. (15.50)

Assim, existe uma infinidade de soluções u (x, t) independentes do tipo(15.43) que verificam as condições de fronteira. Cada solução un (x, t) n =1, . . . ,∞ correspondente a uma frequência natural ωn n = 1, . . . ,∞ escreve-se,

un (x, t) = Un (x) gn (t)

= Bn sinnπx

`

(Cn cos

ncπ

`t + Dn sin

ncπ

`t) n = 1, . . . ,∞

(15.51)

15.4 Barra com as extremidades fixas 317


Un (x) = Bn sinnπx

`n = 1, . . . ,∞. (15.52)

Para n = 1, o modo natural de vibração corresponde à frequência natu-ral mais baixa e designa-se por modo fundamental de vibração. De acordocom (15.52), as formas naturais de vibração longitudinal da barra com am-bas as extremidades fixas são funções harmónicas, conforme se representana figura 15.3, apresentando secções estacionárias, Un (xi) = 0, designadaspor nodos de vibração.

Como existe uma infinidade de soluções do tipo (15.51) para a equaçãodiferencial do movimento livre ou natural da barra com as extremidadesfixas, a solução geral é dada pela combinação linear dos diferentes modosnaturais de vibração,

u (x, t) =∞∑

n=1

un (x, t) =∞∑

n=1

Un (x) gn (t)

=∞∑

n=1

Bn sinnπx

`

(Cn cos

ncπ

`t + Dn sin

ncπ

`t) (15.53)


u (x, t = 0) = u0 (x) u (x, t = 0) = u0 (x) . (15.54)Introduzindo as condições iniciais na solução geral (15.53) obtém-se,

u0 (x) =∞∑

n=1

CnBn sinnπ

`x, u0 (x) =

∞∑n=1

Dnncπ

`Bn sin

nπ

`x. (15.55)

As expressões anteriores representam expansões em série de Fourierdas funções deslocamento inicial u0 (x) e velocidade inicial u0 (x) no inter-valo [0, `], podendo as constantes Cn e Dn ser assimiladas aos coeficientesda série de Fourier respectiva. Assim, as constantes Cn e Dn vêm dadaspelas seguintes expressões,

Cn =1

Bn

(2

`

∫ `

0

u0 (x) sinnπx

`dx

), (15.56)

Dn =`

Bnncπ

(2

`

∫ `

0

u0 (x) sinnπ

`xdx

). (15.57)


x

U1(x

)

0 `

(a) n = 1

x

U2(x

)

0 `

(b) n = 2

x

U3(x

)

0 `

(c) n = 3

x

U4(x

)

0 `

(d) n = 4

Figura 15.3: Formas naturais de vibração longitudinal de uma barra fixa-fixa

15.5 Barra com as extremidades livres

Para uma barra de secção recta constante com ambas as extremidadeslivres, figura 15.4, as condições de fronteira para t ≥ 0 são,

∂u

∂x(x = 0, t) = 0

∂u

∂x(x = `, t) = 0. (15.58)

Conforme estabelecido anteriormente, (15.27), a solução geral da equa-ção do movimento da barra escreve-se,

15.5 Barra com as extremidades livres 319

u ( x , t )

lx

Figura 15.4: Barra de secção constante com as extremidades livres

u (x, t) =(A cos

ω

cx + B sin

ω

cx)


e a derivada ∂u(x,t)∂x

vem,

∂u (x, t)

∂x=

ω

c

(−A sin

ω

cx + B cos

ω

cx)

(C cos ωt + D sin ωt) . (15.60)


B cosω

c0 = 0, (15.61)

donde se conclui que a constante B é nula,

B = 0. (15.62)

Introduzindo agora a segunda das condições de fronteira (15.58) nasolução (15.60) com B = 0, obtém-se a relação,

ω

c

(−A sin

ω`

c

)(C cos ωt + D sin ωt) = 0 (15.63)

a qual é verificada para ∀t ≥ 0 se a constante A for nula, o que correspondeà solução trivial, isto é, u (x, t) = 0. Então, para a existância de soluçõesnão nulas tem de verificar-se a condição,

A sinω`

c= 0 (15.64)

com A 6= 0, o que conduz à seguinte equação característica ou de frequên-cias,

sinω

c` = 0. (15.65)



=nπ n = 1, . . . ,∞, as quais correspondem às frequências naturais ωn n =1, . . . ,∞ de vibração longitudinal da barra e que valem,

ωn =ncπ

`n = 1, . . . ,∞, (15.66)

ou ainda, após a substituição Eρ

= c2,

ωn = nπ

`

√E

ρn = 1, . . . ,∞. (15.67)

Assim, existe uma infinidade de soluções u (x, t) independentes do tipo(15.59) que verificam as condições de fronteira. Cada solução un (x, t) n =1, . . . ,∞ correspondente a uma frequência natural ωn n = 1, . . . ,∞ e es-creve-se,

un (x, t) = Un (x) gn (t)

= An cosnπx

`

(Cn cos

ncπ

`t + Dn sin

ncπ

`t) n = 1, . . . ,∞

(15.68)


Un (x) = An cosnπ

`x n = 1, . . . ,∞. (15.69)

Para n = 1, o modo natural de vibração corresponde à frequêncianatural mais baixa e designa-se por modo fundamental de vibração. Deacordo com (15.69), as formas naturais de vibração longitudinal da barracom ambas as extremidades livres são funções harmónicas, conforme serepresenta na figura 15.5, apresentando secções estacionárias, Un (xi) = 0,designadas por nodos de vibração.

Como existe uma infinidade de soluções do tipo (15.68) para a equaçãodiferencial do movimento livre ou natural da barra com as extremidadeslivres, a solução geral é dada pela combinação linear dos diferentes modosnaturais de vibração,

u (x, t) =∞∑

n=1

un (x, t) =∞∑

n=1

Un (x) gn (t)

=∞∑

n=1

An cosnπx

`

(Cn cos

ncπ

`t + Dn sin

ncπ

`t) (15.70)

15.5 Barra com as extremidades livres 321

xU

1(x

)0 `

(a) n = 1

x

U2(x

)

0 `

(b) n = 2

x

U3(x

)

0 `

(c) n = 3

x

U4(x

)

0 `

(d) n = 4

Figura 15.5: Formas naturais de vibração longitudinal de uma barra livre-livre


u (x, t = 0) = u0 (x) , u (x, t = 0) = u0 (x) . (15.71)


u0 (x) =∞∑

n=1

CnAn cosnπ

`x, u0 (x) =

∞∑n=1

Dnncπ

Àn cos

nπ

`x. (15.72)


As expressões anteriores representam expansões em série de Fourierdas funções deslocamento inicial u0 (x) e velocidade inicial u0 (x) no inter-valo [0, `], podendo as constantes Cn e Dn ser assimiladas aos coeficientesda série de Fourier respectiva. Assim, as constantes Cn e Dn vêm dadaspelas seguintes expressões,

Cn =1

An

(2

`

∫ `

0

u0 (x) cosnπ

`xdx

), (15.73)

Dn =`

Anncπ

(2

`

∫ `

0

u0 (x) cosnπ

`xdx

). (15.74)

15.6 Frequências e formas naturais para diferentescondições de fronteira

Na tabela 15.1 apresentam-se a equação de frequências, as frequências e asformas naturais de vibração axial de barras para diferentes condições defronteira.

15.6 Frequências e formas naturais 323

Tabe

la15

.1:F

requ

ênci

ase

form

asna

tura

isde

vibr

ação

axia

lde

barr

as.

Con

diçõ

esde

fron

teir

aEq

uaçã

ode

freq

uênc

ias

Freq

uênc

ias

natu

rais

ωn

Form

asna

tura

isU

n(x

)

fixa-

livre

cos

ω` c

=0

ωn

=(2

n+

1)π

c2`

n=

0,1,

...

Un(x

)=

Cnsi

n(2

n+

1)π

x2`

fixa-

fixa

sin

ω` c

=0

ωn

=nπc

`n

=1,

2,..

.U

n(x

)=

Cnsi

nnπx

`

livre

-liv

resi

nω

` c=

0ω

n=

nπc

`n

=0,

1,..

.U

n(x

)=

Cnco

snπx

`


15.7 Equação de movimento-Princípio de Hamil-ton

Como alternativa à formulação newtoniana da equação do movimento a-presentada na secção 15.1 (página 307), apresenta-se nesta secção a apli-cação do princípio variacional de Hamilton no estabelecimento da equa-ção diferencial do movimento.

O princípio variacional de Hamilton enuncia-se da seguinte forma,“A variação da energia cinética e potencial mais a variação do trabalho reali-

zado pelas forças não conservativas durante qualquer intervalo de tempo [t1, t2] éigual a zero”,

∫ t2

t1

δ (T − V ) dt +

∫ t2

t1

δWncdt = 0 (15.75)

onde T representa a energia cinética do sistema, V a energia potencial, Wnc

o trabalho realizado pelas forças não conservativas e δ a variação duranteo intervalo de tempo [t1, t2] .

A figura 15.6-a) representa uma barra de secção variável e de compri-mento ` sujeita a uma força axial f (x, t) por unidade de comprimento, ea figura 15.6-b) representa o diagrama de corpo livre de um elemento in-finitesimal de comprimento dx.

z

x

x d x

l

u ( x , t )

f ( x , t )

(a) barra

d x

u u + d u

P P + d Pf ( x , t )


Figura 15.6: Barra de secção variável

Considerem-se as seguintes grandezas para uma barra de secção vari-ável e de comprimento `,

• u (x, t): deslocamento axial da secção recta;

• f (x, t): força axial por unidade de comprimento;

15.7 Equação de movimento-Princípio de Hamilton 325

• A (x): área da secção recta;

• E: módulo de elasticidade longitudinal;

• ρ (x): massa volúmica.

Aplicação do princípio variacional de Hamilton A energia cinética epotencial da barra são dadas pelas expressões,

T =1

2

∫ `

0

ρA

(∂u (x, t)

∂t

)2

dx, (15.76)

V =1

2

∫ `

0

EA

(∂u (x, t)

∂x

)2

dx, (15.77)

e o trabalho das forças não conservativas é dado pela expressão,

δWnc =

∫ `

0

f (x, t) δudx. (15.78)

A variação da energia cinética e potencial vem,

δT =

∫ `

0

ρA

(∂u (x, t)

∂t

)δ

(∂u (x, t)

∂t

)dx, (15.79)

δV =

∫ `

0

EA

(∂u (x, t)

∂x

)δ

(∂u (x, t)

∂x

)dx. (15.80)

Calculando cada um dos termos da equação (15.75), tem-se

t2∫

t1

δTdt =

t2∫

t1

`∫

0

ρA

(∂u (x, t)

∂t

)δ

(∂u (x, t)

∂t

)dxdt. (15.81)

Trocando na expressão anterior a ordem da variação δ com a diferenci-ação ∂

∂xe integrando por partes, obtém-se a equação,

t2∫

t1

δTdt =

t2∫

t1

`∫

0

ρA

(∂u (x, t)

∂t

)∂

∂t(δu (x, t)) dxdt

=

`∫

0

ρA

(∂u (x, t)

∂x

)δu (x, t)

∣∣∣∣t2

t1

−t2∫

t1

ρA∂2u (x, t)

∂t2δu (x, t) dt

dx.

(15.82)


Como, por definição, a variação δu nos limites t1 e t2 é nula, isto é,

δu (x, t1) = δu (x, t2) = 0, (15.83)

a equação (15.82) simplifica-se na forma,

t2∫

t1

δTdt = −t2∫

t1

`∫

0

ρA∂2u (x, t)

∂t2δu (x, t) dxdt. (15.84)

Para calcular o segundo termo de (15.75), trocando a ordem da variaçãocom a diferenciação em (15.80) e integrando por partes, obtém-se,

t2∫

t1

δV dt =

t2∫

t1

`∫

0

GIp

(∂u (x, t)

∂x

)δ

(∂u (x, t)

∂x

)dxdt

=

t2∫

t1

`∫

0

GIp

(∂u (x, t)

∂x

)∂

∂x(δu (x, t)) dxdt

=

t2∫

t1

GIp

(∂u (x, t)

∂x

)δu (x, t)

∣∣∣∣`

0

−`∫

0

∂

∂x

(GIp

∂u (x, t)

∂x

)δu (x, t) dx

dt.

(15.85)

Introduzindo (15.84), (15.85) e (15.78) no princípio de Hamilton (15.75),obtém-se a equação,

−∫ t2

t1

∫ `

0

ρA∂2u (x, t)

∂t2δu (x, t) dxdt +

∫ t2

t1

∫ `

0

∂

∂x

(EA

∂u (x, t)

∂x

)δu (x, t) dxdt

+

∫ t2

t1

∫ `

0

f (x, t) δudxdt

−∫ t2

t1

EA∂u (x, t)

∂xδu (`, t) dt +

∫ t2

t1

EA∂u (x, t)

∂xδu (0, t) dt = 0,

(15.86)



−∫ t2

t1

∫ `

0

[ρA

∂2u (x, t)

∂t2+

∂

∂x

(EA

∂u (x, t)

∂x

)+ f (x, t)

]δu (x, t) dxdt

+

∫ t2

t1

[EA

∂u (x, t)

∂xδu (`, t) + EA

∂u (x, t)

∂xδu (0, t)

]dt = 0.

(15.87)

Como no intervalo 0 < x < ` o deslocamento δu (x, t) é arbitrário,excepto onde são prescritas condições de fronteira geométricas, a equaçãoanterior (15.87) conduz à seguinte equação diferencial de movimento:

∂

∂x

(EA

∂u (x, t)

∂x

)− ρA

∂2u (x, t)

∂t2+ f (x, t) = 0. (15.88)

Da equação (15.87) obtêm-se também as seguintes condições de fron-teira generalizadas,

EA∂u (x, t)

∂xδu

∣∣∣∣x=0

= 0, EA∂u (x, t)

∂xδu

∣∣∣∣x=`

= 0. (15.89)

Estas condições de fronteira têm de ser verificadas como condições defronteira geométricas, isto é, u prescrito, ou então como condições de fron-teira naturais, isto é,

EA∂u (x, t)

∂x

∣∣∣∣x=0

= 0, EA∂u (x, t)

∂x

∣∣∣∣x=`

= 0. (15.90)

Assim, a equação do movimento é uma equação diferencial parcial desegunda ordem na variável tempo t e na variável espacial x. Em conse-quência, são necessárias duas condições de fronteira, na variável x, e duascondições iniciais, na variável t , para a resolução da equação diferencialde movimento deste sistema. Por outro lado, o movimento é caracterizadopela equação diferencial (15.87) ou (15.88), pelas respectivas condiçõesde fronteira e pelas condições iniciais de deslocamento e de velocidade,u (x, t = 0) = u0 (x) e u (x, t = 0) = u0 (x).


CAPÍTULO 16

Sistemas contínuosVibração de torção de veios


A figura 16.1-a representa um veio de secção variável de comprimento` sujeito a um momento torsor f(x, t) por unidade de comprimento, e afigura 16.1-b representa o diagrama de corpo livre de um elemento in-finitesimal de comprimento dx.

Considerem-se as seguintes grandezas para um veio de secção variávele de comprimento `,

• θ (x, t) : deslocamento angular da secção recta;

• f (x, t) : momento torsor por unidade de comprimento;

• Ip (x) : momento polar da secção recta;

• G : módulo de elasticidade transversal;

• ρ (x) : massa volúmica;

329

330 Capítulo 16. Vibração de torção de veios

x

q ( x , t )

l

I p ( x ) , J ( x )G , r

f ( x , t )

d x

(a) veio

d x

f ( x , t )

M ( x , t )

M ( x , t ) + d M ( x , t )q ( x , t )

q ( x , t ) + d q ( x , t )


Figura 16.1: Veio de secção variável

• J (x) = ρIp : momento polar de inércia da secção recta.

A aplicação da 2o lei de Newton do movimento a um elemento in-finitesimal de comprimento dx, M = K, conduz à seguinte equação deequilíbrio dinâmico,

(M (x, t) + dM (x, t))−M (x, t) + f (x, t) dx = J (x) dx∂2θ (x, t)

∂t2. (16.1)


dM (x, t) + f (x, t) dx = J (x) dx∂2θ (x, t)

∂t2. (16.2)

Tendo em conta a relação da elasticidade existente entre o momentotorsor M (x, t) e a deformação angular de torção ∂θ(x,t)

∂x,

M (x, t) = GIp (x)∂θ (x, t)

∂x, (16.3)


então o incremento dM (x, t) ao longo do elemento infinitesimal de com-primento dx vale,

dM (x, t) =∂M (x, t)

∂xdx =

∂

∂x

(GIp (x)

∂θ (x, t)

∂x

)dx. (16.4)

Introduzindo a expressão anterior na equação (16.2) e dividindo pordx, a equação diferencial de movimento de torção de um veio de secçãonão uniforme escreve-se,

∂

∂x

(GIp (x)

∂θ (x, t)

∂x

)+ f (x, t) = J (x)

∂2θ (x, t)

∂t2. (16.5)

Para um veio de secção uniforme, Ip (x) = Ip e J (x) = J , a equaçãodiferencial de movimento toma a forma,

GIp∂2θ (x, t)

∂x2+ f (x, t) = J

∂2θ (x, t)

∂t2. (16.6)

Assim, a equação de movimento é uma equação diferencial parcial desegunda ordem na variável tempo t e na variável espacial x. Em conse-quência, são necessárias duas condições de fronteira, na variável x, e duascondições iniciais, na variável t, para a resolução da equação diferencialde movimento deste sistema. Por outro lado, o movimento é caracteri-zado pela equação diferencial (16.5) ou (16.6), pelas respectivas condiçõesde fronteira e pelas condições iniciais de deslocamento e de velocidade,θ (x, t = 0) = θ0 (x) e θ (x, t = 0) = θ0 (x).

16.2 Regime livre


Em regime livre, a solicitação exterior f (x, t) é nula, f (x, t) = 0, e a equa-ção de movimento vem,

∂

∂x

(GIp (x)

∂θ (x, t)

∂x

)= J (x)

∂2θ (x, t)

∂t2. (16.7)

No caso particular do veio de secção constante, a equação (16.7) podeescrever-se,

GIp∂2θ (x, t)

∂x2= J

∂2θ (x, t)

∂t2. (16.8)


Fazendo GIp

J= GIp

ρIp= G

ρ= c2, a equação do regime livre do veio de

secção constante pode ainda escrever-se na forma,

∂2θ (x, t)

∂x2=

1

c2

∂2θ (x, t)

∂t2. (16.9)

A equação de movimento de torção de um veio de secção constante naforma (16.9) é uma equação de onda, onde c2 representa a velocidade depropagação da onda.


Para caracterizar o movimento angular ou de torção do veio é necessárioresolver a equação diferencial de movimento e determinar a solução θ (x, t)que representa o movimento angular do veio em cada secção recta e aolongo do tempo. Nesse sentido, admita-se a hipótese de movimento sín-crono, isto é, um movimento para o qual a configuração espacial (defor-mada angular) do veio não varia no tempo. Noutros termos, cada secçãodo veio executa o mesmo tipo de movimento, passando pela posição deequilíbrio estático no mesmo instante e atingindo o deslocamento máxi-mo igualmente no mesmo instante. Esta hipótese é equivalente a consi-derar a função deslocamento θ (x, t) separável no espaço e no tempo, con-duzindo ao designado método da separação de variáveis para resoluçãode equações diferenciais de derivadas parciais. Assim, a função desloca-mento θ (x, t) pode então exprimir-se na forma,

θ (x, t) = Θ (x) g (t) (16.10)

onde Θ (x) representa a configuração espacial do veio e depende somenteda variável espacial x, e g (t) indica o tipo de movimento que a configu-ração espacial do veio executa e depende somente da variável tempo t.Refira-se que para uma vibração harmónica estável a função g (t) é limi-tada para todo e qualquer valor do tempo t.


∂θ (x, t)

∂x=

dΘ (x)

dxg (t)

∂2θ (x, t)

∂t2= Θ (x)

d2g (t)

dt2. (16.11)

Pelo facto de Θ (x) depender somente de x e g (t) somente de t, asderivadas parciais ∂θ(x,t)

∂xe ∂2θ(x,t)

∂t2são substituídas por derivadas totais.

A introdução da solução (16.10) e das derivadas (16.11) na equaçãodiferencial (16.7) conduz à equação,


d

dx

(GIp (x)

dΘ (x)

dxg (t)

)= J (x) Θ (x)

d2g (t)

dt2(16.12)


1

J (x) Θ (x)

d

dx

(GIp (x)

dΘ (x)

dx

)=

1

g (t)

d2g (t)

dt2(16.13)



1

J (x) Θ (x)

d

dx

(GIp (x)

dΘ (x)

dx

)= λ (16.14)

e

1

g (t)

d2g (t)

dt2= λ, (16.15)


d

dx

(GIp (x)

dΘ (x)

dx

)− λJ (x) Θ (x) = 0 (16.16)

e

d2g (t)

dt2− λg (t) = 0. (16.17)

Fazendo a constante λ igual a −ω2, λ = −ω2, as duas equações anteri-ores escrevem-se,

d

dx

(GIp (x)

dΘ (x)

dx

)+ ω2J (x) Θ (x) = 0 (16.18)

d2g (t)

dt2+ ω2g (t) = 0. (16.19)


g (t) = C cos ωt + D sin ωt. (16.20)

Por sua vez, a equação (16.18) representa um problema característico(valores e funções características) cujas soluções Θ (x) têm de verificar a


equação diferencial, que tem em conta a geometria da secção, e as condiçõesde fronteira.

Assim, a solução (16.10) para θ (x, t) = Θ (x) g (t) escreve-se,

θ (x, t) = Θ (x) (C cos ωt + D sin ωt) (16.21)



As soluções Θ (x) para a equação (16.18), que verificam a equação diferen-cial e as condições de fronteira, e que representam a configuração espa-cial do veio no movimento harmónico em regime livre ou natural, são asfunções características do problema,

− d

dx

(GIp (x)

dΘ (x)

dx

)= ω2J (x) Θ (x) (16.22)


(ω2

n, Θn (x))

n = 1, . . . ,∞. (16.23)

16.3.1 Veio de secção constantePara um veio de secção constante, Ip (x) = Ip e J (x) = J , a equação carac-terística toma a forma,

GIpd2Θ (x)

dx2+ ω2JΘ (x) = 0. (16.24)

Fazendo GIp

J= G

ρ= c2 , a equação característica apresenta-se como

uma equação diferencial ordinária,

d2Θ (x)

dx2+

ω2

c2Θ (x) = 0 (16.25)

a qual admite soluções da forma,

Θ (x) = A cosω

cx + B sin

ω

cx (16.26)

que são as funções características de (16.24).


Para um veio de secção constante, a solução θ (x, t) = Θ (x) g (t) daequação diferencial (16.6) de movimento livre ou natural é então dada por,

θ (x, t) =(A cos

ω

cx + B sin

ω

cx)


onde os valores característicos de ω e as constantes A e B são determinadosa partir das condições de fronteira, e as constantes C e D são determinadasa partir das condições iniciais.

16.3.2 Ortogonalidade das formas naturaisConforme se apresentou atrás, os modos naturais de vibração são dadospelas soluções (ω2

n, Θn (x)) n = 1, . . . , ∞ do problema característico,

− d

dx

(GIp (x)

dΘ (x)

dx

)= ω2J (x) Θ (x) . (16.28)

Considerando duas soluções distintas (ω2r , Θr (x)) e (ω2

s , Θs (x)) comωr 6= ωs , tem-se,

− d

dx

(GIp (x)

dΘr (x)

dx

)= ω2

rJ (x) Θr (x) , (16.29)

− d

dx

(GIp (x)

dΘs (x)

dx

)= ω2

sJ (x) Θs (x) . (16.30)

Multiplicando (16.29) por Θs (x) e (16.30) por Θr (x), e integrando parao comprimento ` do veio obtém-se,

−∫ `

0

Θs (x)d

dx

(GIp (x)

dΘr (x)

dx

)dx = ω2

r

∫ `

0

J (x) Θs (x) Θr (x) dx,

(16.31)

−∫ `

0

Θr (x)d

dx

(GIp (x)

dΘs (x)

dx

)dx = ω2

s

∫ `

0

J (x) Θr (x) Θs (x) dx.

(16.32)Após integração por partes em ordem a x obtém-se,

Θs (x) GIp (x)dΘr (x)

dx

∣∣∣∣`

0

+

∫ `

0

dΘs (x)

dxGIp (x)

dΘr (x)

dxdx

= ω2r

∫ `

0

J (x) Θs (x) Θr (x) dx,

(16.33)


Θr (x) GIp (x)dΘs (x)

dx

∣∣∣∣`

0

+

∫ `

0

dΘr (x)

dxGIp (x)

dΘs (x)

dxdx

= ω2s

∫ `

0

J (x) Θr (x) Θs (x) dx.

(16.34)

Tendo em conta as condições de fronteira para extremidades fixas oulivres, o primeiro termo nas expressões (16.33) e (16.34) é nulo,

Θs (x) GIp (x)dΘr (x)

dx

∣∣∣∣`

0

= 0, Θr (x) GIp (x)dΘs (x)

dx

∣∣∣∣`

0

= 0. (16.35)

A subtracção membro a membro das equações (16.33) e (16.34) conduzao resultado,

0 =(ω2

r − ω2s

) ∫ `

0

J (x) Θr (x) Θs (x) dx. (16.36)

Assim, para as frequências naturais distintas ωr e ωs , ω2r 6= ω2

s , daequação anterior decorre a seguinte relação de ortogonalidade,

∫ `

0

J (x) Θr (x) Θs (x) dx = 0 r 6= s

r = 1, 2, . . . ,∞s = 1, 2, . . . ,∞ (16.37)

que representa a propriedade de ortogonalidade das funções Θn (x) n =1, . . . ,∞ em relação à massa.

Com esta relação de ortogonalidade, da expressão (16.34) resulta, igual-mente, a seguinte relação de ortogonalidade em relação à rigidez do veio,

∫ `

0

dΘs (x)

dxGIp (x)

dΘr (x)

dxdx = 0 r 6= s

r = 1, 2, . . . ,∞s = 1, 2, . . . ,∞ . (16.38)

Assim, as funções Θn (x) n = 1, . . . ,∞ representativas das formasnaturais de vibração do veio apresentam propriedades de ortogonalidadeem relação à massa e em relação à rigidez.


∫ `

0

J (x) Θr (x) Θs (x) dx = δrs r = 1, 2, . . . ,∞ (16.39)

16.4 Veio com as extremidades fixas 337

∫ `

0

dΘs (x)

dxGIp (x)

dΘr (x)

dxdx = ω2

rδrs r = 1, 2, . . . ,∞ (16.40)


δrs=


. (16.41)

Refira-se que a ortogonalidade em relação à rigidez não é fornecidadirectamente pelas funções Θn (x) n = 1, . . . ,∞, mas antes pelas respec-tivas derivadas de primeira ordem, dΘn(x)

dxn = 1, . . . ,∞ . Note-se igual-

mente que o problema vertente é de segunda ordem na variável espacialx.

16.4 Veio com as extremidades fixas

Para um veio de secção recta constante com ambas as extremidades fixas,a equação de movimento com as variáveis separadas escreve-se,

c2 1

Θ (x)

d2Θ (x)

dx2=

1

g (t)

d2g (t)

dt2(16.42)

e as condições de fronteira são,

θ (x = 0, t) = 0, θ (x = `, t) = 0. (16.43)

lx

q ( x , t )

Figura 16.2: Veio de secção constante com as extremidades fixas

A solução (16.10) da equação de movimento escreve-se,

θ (x, t) =(A cos

ω

cx + B sin

ω

cx)

(C cos ωt + D sin ωt) . (16.44)



θ (0, t) = A (C cos ωt + D sin ωt) = 0 (16.45)


A = 0. (16.46)

Introduzindo agora a segunda das condições de fronteira (16.43) nasolução (16.44) obtém-se a relação,

θ (`, t) = B sinω

c` (C cos ωt + D sin ωt) = 0 (16.47)

a qual é verificada se a constante B for nula, o que corresponde à soluçãotrivial, isto é, θ (x, t) = 0. Então para a existência de soluções não nulastem de verificar-se a condição,

B sinω

c` = 0 (16.48)

com B 6= 0 , o que conduz à seguinte equação característica ou de frequên-cias,

sinω

c` = 0. (16.49)


=nπ, n = 1, . . . ,∞ , as quais correspondem às frequências naturais de vi-bração ωn n = 1, . . . ,∞ de torção do veio e que valem,

ωn =ncπ

`n = 1, . . . ,∞, (16.50)

ou ainda, após a substituição Gρ

= c2,

ωn =nπ

`

√G

ρn = 1, . . . ,∞. (16.51)

Assim, existe uma infinidade de soluções θ (x, t) independentes do tipo(16.47) que verificam as condições de fronteira. Cada solução θn (x, t) n =1, . . . ,∞ correspondente a uma frequência natural ωn n = 1, . . . ,∞ e es-creve-se,

θn (x, t) = Θn (x) gn (t)

= Bn sinnπ

`x

(Cn cos

ncπ

`t + Dn sin

ncπ

`t) n = 1, . . . ,∞ (16.52)

16.4 Veio com as extremidades fixas 339


Θn (x) = Bn sinnπ

`x n = 1, . . . ,∞. (16.53)

Para n = 1, o modo natural de vibração corresponde à frequência natu-ral mais baixa e designa-se por modo fundamental de vibração. De acordocom (16.53), as formas naturais de vibração de torção do veio com ambasas extremidades fixas são funções harmónicas, conforme se representa nafigura 16.3, apresentando secções estacionárias, Θn (xi) = 0, designadaspor nodos de vibração.

x

Θ1(x

)

0 `

(a) n = 1

x

Θ2(x

)

0 `

(b) n = 2

x

Θ3(x

)

0 `

(c) n = 3

x

Θ4(x

)

0 `

(d) n = 4

Figura 16.3: Formas naturais de vibração de torção de um veio fixo-fixo


Como existe uma infinidade de soluções do tipo (16.47) para a equa-ção diferencial de movimento (16.42) do veio com as extremidades fixas,a solução geral é dada pela combinação linear dos diferentes modos natu-rais de vibração,

θ (x, t) =∞∑

n=1

θn (x, t) (16.54)


θ (x, t = 0) = θ0, θ (x, t = 0) = θ0 (x) , (16.55)


∞∑n=1

CnBn sinnπ

`x = θ0 (x) ,

∞∑n=1

Dnncπ

`Bn sin

nπ

`x = θ0 (x) , (16.56)

As expressões anteriores representam expansões em série de Fourierdas funções deslocamento inicial θ0 (x) e velocidade inicial θ0 (x) no inter-valo [0, `], podendo as constantes Cn e Dn ser assimiladas aos coeficientesda série de Fourier respectiva. Assim, as constantes Cn e Dn vêm dadaspelas seguintes expressões,

Cn =1

Bn

(2

`

∫ `

0

θ0 (x) sinnπ

`xdx

), (16.57)

Dn =`

Bnncπ

(2

`

∫ `

0

θ0 (x) sinnπ

`xdx

), (16.58)

16.5 Veio com as extremidades livres

Para um veio de secção recta constante com ambas as extremidades livres,a equação de movimento com as variáveis separadas escreve-se,

c2 1

Θ (x)

d2Θ (x)

dx2=

1

g (t)

d2g (t)

dt2(16.59)

e as condições de fronteira para t ≥ 0 são,

∂θ

∂x(x = 0, t) = 0,

∂θ

∂x(x = `, t) = 0. (16.60)

16.5 Veio com as extremidades livres 341

q ( x , t )

lx

Figura 16.4: Veio de secção constante com as extremidades livres

A solução (16.10) da equação de movimento escreve-se,

θ (x, t) =(A cos

ω

cx + B sin

ω

cx)


e a derivada ∂θ(x,t)∂x

vem,

∂θ (x, t)

∂x=

ω

c

(−A sin

ω

cx + B cos

ω

cx)

(C cos ωt + D sin ωt) . (16.62)


B cosω

c0 = 0, (16.63)

donde se conclui que a constante B é nula,

B = 0. (16.64)

Introduzindo agora a segunda das condições de fronteira (16.60) nasolução (16.62) com B = 0, obtém-se a relação,

ω

c

(−A sin

ω`

c

)(C cos ωt + D sin ωt) = 0 (16.65)

a qual é verificada para ∀t ≥ 0 se a constante A for nula, o que correspondeà solução trivial, isto é, θ (x, t) = 0 . Então para a existência de soluçõesnão nulas tem de verificar-se a condição,

A sinω`

c= 0 (16.66)

com A 6= 0, o que conduz à seguinte equação característica ou de frequên-cias,

sinω

c` = 0. (16.67)



=nπ, n = 1, . . . ,∞, as quais correspondem às frequências naturais de vi-bração ωn n = 1, . . . ,∞ de torção do veio e que valem,

ωn =ncπ

`n = 1, . . . ,∞, (16.68)

ou ainda, após a substituição Gρ

= c2,

ωn = nπ

`

√G

ρn = 1, . . . ,∞. (16.69)

Assim, existe uma infinidade de soluções θ (x, t) independentes do tipo(16.61) que verificam as condições de fronteira. Cada solução θn (x, t) n =1, . . . , ∞ correspondente a uma frequência natural ωn n = 1, . . . , ∞ eescreve-se,

θn (x, t) = Θn (x) gn (t)

= An cosnπx

`

(Cn cos

ncπ

`t + Dn sin

ncπ

`t) n = 1, . . . ,∞ (16.70)


Θn (x) = An cosnπ

`x n = 1, . . . ,∞. (16.71)

Para n = 1, o modo natural de vibração corresponde à frequência natu-ral mais baixa e designa-se por modo fundamental de vibração. De acordocom (16.71), as formas naturais de vibração de torção do veio com ambasas extremidades livres são funções harmónicas, conforme se representa nafigura 16.5, apresentando secções estacionárias, Θn (xi) = 0, designadaspor nodos de vibração.

Como existe uma infinidade de soluções do tipo (16.61) para a equaçãodiferencial de movimento (16.59) do veio com as extremidades livres, asolução geral é dada pela combinação linear dos diferentes modos naturaisde vibração,

θ (x, t) =∞∑

n=1

θn (x, t) (16.72)


16.5 Veio com as extremidades livres 343

xΘ

1(x

)0 `

(a) n = 1

x

Θ2(x

)

0 `

(b) n = 2

x

Θ3(x

)

0 `

(c) n = 3

x

Θ4(x

)

0 `

(d) n = 4

Figura 16.5: Formas naturais de vibração de torção de um veio livre-livre

θ (x, t = 0) = θ0 (x) , θ (x, t = 0) = θ0 (x) . (16.73)


∞∑n=1

CnAn cosnπ

`x = θ0 (x) ,

∞∑n=1

Dnncπ

Àn cos

nπ

`x = θ0 (x) . (16.74)

As expressões anteriores representam expansões em série de Fourierdas funções deslocamento inicial θ0 (x) e velocidade inicial θ0 (x) no inter-valo [0, `], podendo as constantes Cn e Dn ser assimiladas aos coeficientes


da série de Fourier respectiva. Assim, as constantes Cn e Dn vêm dadaspelas seguintes expressões,

Cn =1

An

(2

`

∫ `

0

θ0 (x) cosnπ

`xdx

), (16.75)

Dn =`

Anncπ

(2

`

∫ `

0

θ0 (x) cosnπ

`xdx

). (16.76)


Na tabela 16.1 apresentam-se a equação de frequências, as frequências e asformas naturais de vibração de torção de veios para diferentes condiçõesde fronteira.


Tabe

la16

.1:F

requ

ênci

ase

form

asna

tura

isde

vibr

ação

deto

rção

deve

ios.

Con

diçõ

esde

fron

teir

aEq

uaçã

ode

freq

uênc

ias

Freq

uênc

ias

natu

rais

ωn

Form

asna

tura

isΘ

n(x

)

fixo-

livre

cos

ω` c

=0

ωn

=(2

n+

1)π

c2`

n=

0,1,

...

Θn(x

)=

Cnsi

n(2

n+

1)π

x2`

fixo-

fixo

sin

ω` c

=0

ωn

=nπc

`n

=1,

2,..

.Θ

n(x

)=

Cnsi

nnπx

`

livre

-liv

resi

nω

` c=

0ω

n=

nπc

`n

=0,

1,..

.Θ

n(x

)=

Cnco

snπx

`



Como alternativa à formulação newtoniana da equação diferencial de mo-vimento apresentada na secção 16.1 (página 329), apresenta-se nesta secçãoa sua formulação utilizando o princípio de Hamilton,

∫ t2

t1

δ (T − V ) dt +

∫ t2

t1

δWncdt = 0. (16.77)

A figura 16.6-a) representa um veio de secção variável de comprimento` sujeito a um momento torsor f (x, t) por unidade de comprimento, e afigura 16.6-b) representa o diagrama de corpo livre de um elemento in-finitesimal de comprimento dx.

x

q ( x , t )

l

I p ( x ) , J ( x )G , r

f ( x , t )

d x

(a) veio

d x

f ( x , t )

M ( x , t )

M ( x , t ) + d M ( x , t )q ( x , t )

q ( x , t ) + d q ( x , t )


Figura 16.6: Veio de secção variável

Considerem-se as seguintes grandezas para um veio de secção variávele de comprimento `,


• θ (x, t): deslocamento angular da secção recta;

• f (x, t): momento torsor por unidade de comprimento;

• Ip (x): momento polar da secção recta;

• G: módulo de elasticidade transversal;

• ρ (x): massa volúmica;

• J (x) = ρIp(x): momento polar de inércia da secção recta.

Aplicação do princípio variacional de Hamilton A energia cinética epotencial do veio são dadas pelas expressões,

T =1

2

∫ `

0

J

(∂θ (x, t)

∂t

)2

dx, (16.78)

V =1

2

∫ `

0

GIp

(∂θ (x, t)

∂x

)2

dx, (16.79)

e o trabalho das forças não conservativas é dado pela expressão,

δWnc =

∫ `

0

f (x, t) δθdx. (16.80)

A variação da energia cinética e potencial vem,

δT =

∫ `

0

J

(∂θ (x, t)

∂t

)δ

(∂θ (x, t)

∂t

)dx, (16.81)

δV =

∫ `

0

GIp

(∂θ (x, t)

∂x

)δ

(∂θ (x, t)

∂x

)dx. (16.82)

Para calcular o primeiro termo da equação (16.77), tem-se

t2∫

t1

δTdt =

t2∫

t1

`∫

0

J

(∂θ (x, t)

∂t

)δ

(∂θ (x, t)

∂t

)dxdt (16.83)

Trocando na expressão anterior a ordem da variação δ com a diferenci-ação ∂

∂xe integrando por partes, obtém-se a equação,


t2∫

t1

δTdt =

t2∫

t1

`∫

0

J

(∂θ (x, t)

∂t

)∂

∂t(δθ (x, t)) dxdt

=

`∫

0

J

(∂θ (x, t)

∂x

)δθ (x, t)

∣∣∣∣t2

t1

−t2∫

t1

J∂2θ (x, t)

∂t2δθ (x, t) dt

dx.

(16.84)

Como, por definição, a variação δθ nos limites t1 e t2 é nula, isto é,

δθ (x, t1) = δθ (x, t2) = 0, (16.85)

o resultado de (16.84) vem,

t2∫

t1

δTdt = −t2∫

t1

`∫

0

J∂2θ (x, t)

∂t2δθ (x, t) dxdt. (16.86)

Trocando a ordem da variação com a diferenciação em (16.82) e inte-grando por partes, calcula-se o segundo termo de (16.77),

t2∫

t1

δV dt =

t2∫

t1

`∫

0

GIp

(∂θ (x, t)

∂x

)δ

(∂θ (x, t)

∂x

)dxdt

=

t2∫

t1

`∫

0

GIp

(∂θ (x, t)

∂x

)∂

∂x(δθ (x, t)) dxdt

=

t2∫

t1

GIp

(∂θ (x, t)

∂x

)δθ (x, t)

∣∣∣∣`

0

−`∫

0

∂

∂x

(GIp

∂θ (x, t)

∂x

)δθ (x, t) dx

dt.

(16.87)

Introduzindo (16.86), (16.87) e (16.80) no princípio de Hamilton (16.77),obtém-se a equação,


−∫ t2

t1

∫ `

0

J∂2θ (x, t)

∂t2δθ (x, t) dxdt +

∫ t2

t1

∫ `

0

∂

∂x

(GIp

∂θ (x, t)

∂x

)δθ (x, t) dxdt

+

∫ t2

t1

∫ `

0

f (x, t) δθdxdt

−∫ t2

t1

GIp∂θ (x, t)

∂xδθ (`, t) dt +

∫ t2

t1

GIp∂θ (x, t)

∂xδθ (0, t) dt = 0,

(16.88)


−∫ t2

t1

∫ `

0

[J

∂2θ (x, t)

∂t2+

∂

∂x

(GIp

∂θ (x, t)

∂x

)+ f (x, t)

]δθ (x, t) dxdt

+

∫ t2

t1

[GIp

∂θ (`, t)

∂xδθ (`, t) + GIp

∂θ (0, t)

∂xδθ (0, t)

]dt = 0.

(16.89)

Como no intervalo 0 < x < ` o deslocamento δθ (x, t) é arbitrário, ex-cepto onde são prescritas condições de fronteira geométricas, a equaçãoanterior (16.89) conduz à seguinte equação diferencial de movimento:

∂

∂x

(GIp

∂θ (x, t)

∂x

)− J

∂2θ (x, t)

∂t2+ f (x, t) = 0. (16.90)

Da equação (16.89) obtêm-se também as seguintes condições de fron-teira generalizadas

GIp∂θ (x, t)

∂xδθ

∣∣∣∣x=0

= 0, GIp∂θ (x, t)

∂xδθ

∣∣∣∣x=`

= 0. (16.91)

Estas condições de fronteira têm de ser verificadas como condições defronteira geométricas, isto é, θ prescrito, ou então como condições de fron-teira naturais, isto é,

GIp∂θ (x, t)

∂x

∣∣∣∣x=0

= 0, GIp∂θ (x, t)

∂x

∣∣∣∣x=`

= 0. (16.92)

Assim, a equação de movimento é uma equação diferencial parcial desegunda ordem na variável tempo t e na variável espacial x. Em conse-quência, são necessárias duas condições de fronteira, na variável x, e duascondições iniciais, na variável t, para a resolução da equação diferencial de


movimento deste sistema. Por outro lado, o movimento é caracterizadopela equação diferencial (16.89) ou (16.90), pelas respectivas condiçõesde fronteira e pelas condições iniciais de deslocamento e de velocidade,θ (x, t = 0) = θ0 (x) e θ (x, t = 0) = θ0 (x).

CAPÍTULO 17

Sistemas contínuosVibração transversal de vigas: Regime livre


A figura 17.1-a) representa uma viga de secção variável e de comprimentol solicitada por uma força f (x, t) por unidade de comprimento, e a figu-ra 17.1-b) representa o diagrama de corpo livre de um elemento infinitesi-mal de comprimento dx.

Considerem-se as seguintes grandezas para uma viga de secção variá-vel e de comprimento `,

• v (x, t) : deslocamento lateral da secção recta;

• f (x, t) : força por unidade de comprimento;

• A (x) : área da secção recta;

• I (x) : momento de 2a ordem da secção recta;

• E : módulo de elasticidade longitudinal;

351

352 Capítulo 17. Vibração transversal de vigas: Regime livre

z

x

f ( x , t )

d xl

v ( x , t ) x

(a) viga

f ( x , t )M ( x , t ) M ( x , t ) + d M ( x , t )

v ( x , t )

Q ( x , t ) Q ( x , t ) + d Q ( x , t )

x

O O '

d x


Figura 17.1: Viga e diagrama de corpo livre de um elemento infinitesimal

• ρ (x) : massa volúmica.

A aplicação da 2o lei de Newton do movimento a um elemento in-finitesimal de comprimento dx, F = Q e MO = KO, desprezando a inér-cia da secção recta da viga (teoria de Euler-Bernoulli), conduz às seguintesequações de equilíbrio dinâmico,

− (Q (x, t) + dQ (x, t)) + Q (x, t) + f (x, t) dx = ρA (x) dx∂2v(x,t)∂t2

(M (x, t) + dM (x, t))−M (x, t)− (Q (x, t) + dQ (x, t)) dx

+f (x, t) dxdx2

= 0.(17.1)


− dQ (x, t) + f (x, t) dx = ρA (x) dx

∂2v (x, t)

∂t2

dM (x, t)−Q (x, t) dx = 0.(17.2)

Os incrementos do momento flector dM (x, t) e do esforço transversodQ (x, t) ao longo do elemento infinitesimal de comprimento dx definem-se como,

dM (x, t) =∂M (x, t)

∂xdx, dQ (x, t) =

∂Q (x, t)

∂xdx. (17.3)

Após a introdução de dM (x, t) e dQ (x, t) na equação (17.2) e divisãopor dx obtém-se,

17.1 Equação de movimento 353

−∂Q (x, t)

∂x+ f (x, t) = ρA (x)

∂2v (x, t)

∂t2

Q (x, t) =∂M (x, t)

∂x

. (17.4)

A segunda das equações (17.4) exprime a relação entre o esforço trans-verso e o momento flector que, depois de introduzida na primeira dasequações (17.4), conduz à equação diferencial,

− ∂2M (x, t)

∂x2+ f (x, t) = ρA (x)

∂2v (x, t)

∂t2(17.5)

Tendo em conta a relação da elasticidade existente entre o momentoflector M (x, t) e a curvatura da deformada da viga na teoria das vigasfinas de Euler-Bernoulli,

M (x, t) = EI (x)∂2v (x, t)

∂x2, (17.6)

então o termo ∂2M(x,t)∂x2 pode exprimir-se como,

∂2M (x, t)

∂x2=

∂2

∂x2

(EI (x)

∂2v (x, t)

∂x2

). (17.7)

Introduzindo a expressão anterior na equação (17.5), a equação dife-rencial de movimento lateral (de flexão) de uma secção recta de uma vigade secção não uniforme escreve-se,

∂2

∂x2

(EI (x)

∂2v (x, t)

∂x2

)+ ρA (x)

∂2v (x, t)

∂t2= f (x, t) . (17.8)

17.1.1 Viga de secção constante

Para uma viga de secção recta uniforme tem-se A (x) = A e I (x) = I , e aequação diferencial de movimento toma a forma,

EI (x)∂4v (x, t)

∂x4+ ρA (x)

∂2v (x, t)

∂t2= f (x, t) . (17.9)

Assim, a equação de movimento lateral ou de flexão de uma viga éuma equação diferencial parcial de quarta ordem na variável espacial x ede segunda ordem na variável tempo t. Em consequência, são necessáriasquatro condições de fronteira, na variável x, e duas condições iniciais, navariável t, para a resolução da equação diferencial de movimento desta


estrutura. Por outro lado, o movimento é caracterizado pela equação di-ferencial (17.8) ou (17.9), pelas respectivas condições de fronteira e pelascondições iniciais de deslocamento e de velocidade, v (x, t = 0) = v0 (x) ev (x, t = 0) = v0 (x).

17.2 Regime livre


Em regime livre, a solicitação exterior é nula, f (x, t) = 0, e a equação demovimento vem

∂2

∂x2

(EI (x)

∂2v (x, t)

∂x2

)+ ρA (x)

∂2v (x, t)

∂t2= 0. (17.10)

No caso particular da viga de secção constante, a equação (17.10) podeescrever-se,

EI (x)∂4v (x, t)

∂x4+ ρA (x)

∂2v (x, t)

∂t2= 0. (17.11)


Para caracterizar o movimento lateral de uma viga é necessário resolver aequação diferencial de movimento e determinar a solução v (x, t) que re-presenta o movimento lateral da viga em cada secção recta e ao longo dotempo. Nesse sentido, admita-se a hipótese de movimento síncrono, istoé, um movimento para o qual a configuração espacial da viga não varia notempo. Noutros termos, cada secção recta da viga executa o mesmo tipode movimento, passando pela posição de equilíbrio estático no mesmo ins-tante e atingindo o deslocamento máximo igualmente no mesmo instante.Esta hipótese é equivalente a considerar a função deslocamento v (x, t)separável no espaço e no tempo, conduzindo ao designado método da se-paração de variáveis para resolução de equações diferenciais de derivadasparciais. Assim, a função deslocamento v (x, t) pode então exprimir-se naforma

v (x, t) = V (x) g (t) , (17.12)

onde V (x) representa a configuração espacial da viga e depende somenteda variável espacial x, e g (t) indica o tipo de movimento que a configu-ração espacial da viga executa e depende somente da variável tempo t.


Refira-se que para uma vibração harmónica estável a função g (t) é limi-tada para todo e qualquer valor do tempo t.


∂2v (x, t)

∂x2=

d2V (x)

dx2g (t)

∂2v (x, t)

∂t2= V (x)

d2g (t)

dt2. (17.13)

Pelo facto de V (x) depender somente de x e g (t) somente de t, asderivadas parciais ∂2v(x,t)

∂x2 e ∂2v(x,t)∂t2

são substituídas por derivadas totais.A introdução da solução (17.12) e das derivadas (17.13) na equação

diferencial (17.10) conduz à equação,

d2

dx2

(EI (x)

d2V (x)

dx2g (t)

)+ ρA (x) V (x)

d2g (t)

dt2= 0. (17.14)

Após rearranjo, a equação anterior pode escrever-se na forma

1

ρA (x) V (x)

d2

dx2

(EI (x)

d2V (x)

dx2

)= − 1

g (t)

d2g (t)

dt2, (17.15)



1

ρA (x) V (x)

d2

dx2

(EI (x)

d2V (x)

dx2

)= λ (17.16)

e

− 1

g (t)

d2g (t)

dt2= λ, (17.17)


d2

dx2

(EI (x)

d2V (x)

dx2

)− λρA (x) V (x) = 0 (17.18)

e

d2g (t)

dt2+ λg (t) = 0. (17.19)

Fazendo a constante λ igual a ω2, as duas equações anteriores escre-vem-se,


d2

dx2

(EI (x)

d2V (x)

dx2

)− ω2ρA (x) V (x) = 0 (17.20)

d2g (t)

dt2+ ω2g (t) = 0. (17.21)


g (t) = C cos ωt + D sin ωt. (17.22)

Por sua vez, a equação (17.20) representa um problema característico(valores e funções características) cujas soluções V (x) têm de verificar aequação diferencial, que tem em conta a geometria variável da secção, e ascondições de fronteira.

Assim, a solução (17.12) para v (x, t) = V (x) g (t) escreve-se,

v (x, t) = V (x) (C cos ωt + D sin ωt) (17.23)



As soluções V (x) para a equação (17.20), que verificam a equação diferen-cial e as condições de fronteira, e que representam a configuração espa-cial da viga no movimento harmónico em regime livre ou natural, são asfunções características do problema,

d2

dx2

(EI (x)

d2V (x)

dx2

)= ω2ρA (x) V (x) , (17.24)


(ω2

n, Vn (x))

n = 1, . . . ,∞. (17.25)


17.3.1 Viga de secção constante

Para uma viga de secção constante, A (x) = A e I (x) = I , a equação carac-terística (17.24) apresenta-se como uma equação diferencial ordinária daforma,

EId4V (x)

dx4= ω2ρAV (x) . (17.26)

Dividindo ambos os membros por EI e introduzindo a mudança devariável,

β4 = ω2 ρA

EI, (17.27)

a equação característica (17.26) pode escrever-se,

d4V (x)

dx4= β4V (x) . (17.28)

Procurando soluções V (x) para a equação característica (17.28) sob aforma de exponenciais do tipo,

V (x) = Cesx, (17.29)

após introdução na equação característica (17.28) obtém-se a equação au-xiliar

s4 − β4 = 0, (17.30)

cujas raízes são distintas e valem,

s1,2 = ±βs3,4 = ±jβ.

(17.31)

Então, a solução V (x) para a equação (17.28) é uma combinação deexponenciais,

V (x) = C1eβx + C2e

−βx + C3e+jβx + C4e

−jβx, (17.32)

onde as constantes Ci i = 1, . . . , 4 são determinadas a partir das condiçõesde fronteira. Redefinindo as constantes C1 e C2 como C1 = A1 + A2 eC2 = A1 − A2, sendo A1 e A2 duas novas constantes, a expressão anteriorpode rearranjar-se e escrever-se na forma


V (x) =1

2(A1 + A2) eβx +

1

2(A1 − A2) e−βx

+ C3 cos βx + jC3 sin βx + C4 cos βx− jC4 sin βx

=1

2A1

(eβx + e−βx

)+

1

2A2

(eβx − e−βx

)

+ (C3 + C4)︸︷︷︸A3

cos βx + j (C3 − C4)︸︷︷︸A4

sin βx,

(17.33)

ou ainda, atendendo à definição das funções trigonométricas hiperbóli-cas1,

V (x) = A1 cosh βx + A2 sinh βx + A3 cos βx + A4 sin βx. (17.34)

Para uma viga de secção constante, a solução v (x, t) = V (x) g (t) daequação diferencial (17.11) de movimento livre ou natural é então dadapor,

v (x, t) = (A1 cosh βx + A2 sinh βx + A3 cos βx + A4 sin βx)

(C cos ωt + D sin ωt)(17.35)

onde os valores de β, e indirectamente os valores de ω (expressão (17.27)),e as constantes A1, A2, A3 e A4 são determinados a partir das condições defronteira, e as constantes C e D são determinadas a partir das condiçõesiniciais.

Frequências naturais Uma vez determinados os valores característicosβ, as frequências naturais são determinadas de acordo com a expressão(17.27),

ω = β2

√EI

ρA. (17.36)

17.4 Ortogonalidade das formas naturais

Conforme se apresentou atrás, os modos naturais de vibração são dadospelas soluções (ω2

n, Vn (x)) n = 1, . . . ,∞ do problema característico

1 cosh βx = eβx+e−βx

2 sinhβx = eβx−e−βx

2

17.4 Ortogonalidade das formas naturais 359

d2

dx2

(EI (x)

d2V (x)

dx2

)= ω2µ (x) V (x) . (17.37)

Considerando duas soluções distintas (ω2r , Vr (x)) e (ω2

s , Vs (x)) com ωr 6=ωs, tem-se,

d2

dx2

(EI (x)

d2Vr (x)

dx2

)= ω2

rρA (x) Vr (x) , (17.38)

d2

dx2

(EI (x)

d2Vs (x)

dx2

)= ω2

sρA (x) Vs (x) . (17.39)

Multiplicando (17.38) por Vs (x) e (17.39) por Vr (x), e integrando parao comprimento ` da viga obtém-se,

∫ `

0

Vs (x)d2

dx2

(EI (x)

d2Vr (x)

dx2

)dx = ω2

r

∫ `

0

ρA (x) Vs (x) Vr (x) dx,

(17.40)

∫ `

0

Vr (x)d2

dx2

(EI (x)

d2Vs (x)

d2x

)dx = ω2

s

∫ `

0

ρA (x) Vr (x) Vs (x) dx.

(17.41)Após integração por partes em ordem a x, obtém-se,

[Vs (x)

d

dx

(EI (x)

d2Vr (x)

dx2

)]`

0

−∫ `

0

dVs (x)

dx

d

dx

(EI (x)

d2Vr (x)

dx2

)dx

= ω2r

∫ `

0


(17.42)

[Vr (x)

d

dx

(EI (x)

d2Vs (x)

dx2

)]`

0

−∫ `

0

dVr (x)

dx

d

dx

(EI (x)

d2Vs (x)

dx2

)dx

= ω2r

∫ `

0


(17.43)

Integrando de novo por partes as duas expressões anteriores obtém-se,


[Vs (x)

d

dx

(EI (x)

d2Vr (x)

dx2

)]`

0

−[dVs (x)

dxEI (x)

d2Vr (x)

dx2

]`

0

+

∫ `

0

d2Vs (x)

dx2EI (x)

d2Vr (x)

dx2dx = ω2

r

∫ `

0


(17.44)

[Vr (x)

d

dx

(EI (x)

d2Vs (x)

dx2

)]`

0

−[dVr (x)

dxEI (x)

d2Vs (x)

dx2

]`

0

+

∫ `

0

d2Vr (x)

dx2EI (x)

d2Vs (x)

dx2dx = ω2

s

∫ `

0


(17.45)

Tendo em conta as condições de fronteira para extremidades fixas, livresou simplesmente apoiadas, os dois primeiros termos nas expressões (17.44)e (17.45) são nulos,

[Vs (x)

d

dx

(EI (x)

d2Vr (x)

dx2

)]`

0

= 0,

[dVs (x)

dxEI (x)

d2Vr (x)

dx2

]`

0

= 0,

(17.46)

[Vr (x)

d

dx

(EI (x)

d2Vs (x)

dx2

)]`

0

= 0,

[dVr (x)

dxEI (x)

d2Vs (x)

dx2

]`

0

= 0.

(17.47)A subtracção membro a membro das expressões (17.44) e (17.45) con-

duz então ao seguinte resultado,

0 =(ω2

r − ω2s

) ∫ `

0

ρA (x) Vr (x) Vs (x) dx. (17.48)

Assim, para as frequências naturais distintas ωr e ωs com ω2r 6= ω2

s , daequação anterior decorre a seguinte relação de ortogonalidade,

∫ `

0

ρA (x) Vr (x) Vs (x) dx = 0 r 6= s

r = 1, 2, . . . ,∞s = 1, 2, . . . ,∞ (17.49)

que representa a propriedade de ortogonalidade das funções Vn (x) n =1, . . . ,∞ em relação à massa.

Com esta relação de ortogonalidade, da expressão (17.44) resulta, igual-mente, a seguinte relação de ortogonalidade em relação à rigidez de flexãoda secção recta da viga,

17.5 Viga simplesmente apoiada 361

∫ `

0

d2Vr (x)

d2xEI (x)

d2Vs (x)

d2xdx = 0 r 6= s

r = 1, 2, . . . ,∞s = 1, 2, . . . ,∞ . (17.50)

Assim, as funções Vn (x) n = 1, . . . ,∞ representativas das formasnaturais de vibração da viga apresentam propriedades de ortogonalidadeem relação à massa (ρA) e em relação à rigidez (EI).


∫ `

0

ρA (x) Vr (x) Vs (x) dx = δrs

∫ `

0

d2Vr (x)

d2xEI (x)

d2Vs (x)

d2xdx = ω2

rδrs

r, s = 1, 2, . . . ,∞ (17.51)

onde δrs representa o símbolo de Kronecker e vale,

δrs =


. (17.52)

Refira-se que a ortogonalidade em relação à rigidez verifica-se para asderivadas de segunda ordem, d2Vn(x)

dx2 n = 1, . . . ,∞ das funções caracterís-ticas Vn (x) n = 1, . . . ,∞. Recorde-se que o problema vertente, flexão devigas, é de quarta ordem na variável espacial x.

17.5 Viga simplesmente apoiada

Para uma viga simplesmente apoiada, como representado na figura 17.2,as 4 condições de fronteira escrevem-se,

V (0) = 0 (1)

EI d2V (x)dx2

∣∣∣x=0

= 0 (2)

V (`) = 0 (3)

EI d2V (x)dx2

∣∣∣x=`

= 0 (4)(17.53)

De acordo com (17.34), a solução V (x) para uma viga de secção rectaconstante escreve-se,

V (x) = A1 cosh βx + A2 sinh βx + A3 cos βx + A4 sin βx (17.54)

e a segunda derivada em ordem à variável x vem,


lx

v ( x , t ) = V ( x ) g ( t )

Figura 17.2: Viga simplesmente apoiada e de secção constante

d2V (x)

dx2= A1β

2 cosh βx+A2β2 sinh βx−A3β

2 cos βx−A4β2 sin βx. (17.55)

Introduzindo a primeira das condições de fronteira (17.53)-(1) na solu-ção (17.54) e a segunda (17.53)-(2) em (17.55), obtêm-se as relações,

A1 + A3 = 0A1 − A3 = 0,

(17.56)

donde se conclui de imediato que as constantes A1 e A3 valem,

A1 = A3 = 0. (17.57)

Por outro lado, a introdução das condições de fronteira (17.53)-(3) e(17.53)-(4) nas expressões (17.54) e (17.55), respectivamente, conduz ao sis-tema de equações algébricas homogéneas,

A2 sinh β`− A4 sin β` = 0A2β

2 sinh β`− A4β2 sin β` = 0

(17.58)

o qual se pode escrever em notação matricial na seguinte forma,[

sinh β` sin β`β2 sinh β` −β2 sin β`

]A2

A4

=

00

. (17.59)

Para que um sistema homogéneo possua soluções não nulas, o deter-minante da matriz de coeficientes tem de ser nulo, isto é,

∣∣∣∣sinh β` sin β`

β2 sinh β` −β2 sin β`

∣∣∣∣ = 0. (17.60)

Após desenvolvimento do determinante, obtém-se a seguinte equaçãopara β,

2 (sinh β`)(β2 sin β`

)= 0. (17.61)


Analisando a equação anterior, conclui-se igualmente que, para β 6= 0vem sinh β` 6= 0, e obtém-se a seguinte equação de frequências,

sin β` = 0 (17.62)

cujas raízes βn` n = 1, . . . ,∞ conduzem às frequências naturais ωn n =1, . . . ,∞, conforme a expressão (17.27). As raízes da equação de frequên-cias (17.62) valem,

βn` = nπ n = 1, . . . ,∞. (17.63)

Resolvendo agora o sistema de equações (17.59), conclui-se que, paravalores de β 6= 0, a constante A2 é nula,

A2 = 0. (17.64)

17.5.1 Frequências naturais de vibração

As frequências naturais ωn n = 1, . . . ,∞ determinam-se agora a partir dasraízes βn` = nπ n = 1, . . . ,∞ da equação de frequências (17.62) através darelação (17.27),

ωn = (nπ)2

√EI

ρA`4n = 1, . . . ,∞. (17.65)

Refira-se que, no caso particular da viga simplesmente apoiada, as fre-quências naturais de ordem superior podem exprimir-se na forma,

ωn = n2

(π2

√EI

ρA`4

)

= n2ω1

n = 1, . . . ,∞ (17.66)

onde ω1 representa a frequência natural fundamental.

17.5.2 Formas naturais de vibração

Para cada raiz βn` n = 1, . . . ,∞ da equação de frequências (17.62) que a-nula o determinante do problema característico (17.59), existe uma soluçãoVn(x) n = 1, . . . ,∞ do tipo,

Vn (x) = A4n sinnπx

`n = 1, . . . ,∞ (17.67)


que representa a correspondente forma natural de vibração.Assim, para cada frequência natural existe uma solução vn (x, t) n =

1, . . . ,∞ que se designa por modo natural de vibração e que para a vigasimplesmente apoiada se escreve,

vn (x, t) = Vn (x) gn (t)

= A4n sinnπx

`

[Cn cos

((nπ)2

√EI

ρA`4t

)+ Dn sin

((nπ)2

√EI

ρA`4t

)].

(17.68)

Para n = 1, o modo natural de vibração corresponde à frequência natu-ral mais baixa e designa-se por modo fundamental de vibração. De acordocom (17.67), as formas naturais de vibração lateral ou de flexão da vigasimplesmente apoiada são funções harmónicas, conforme se representana figura 17.3, apresentando secções estacionárias, Vn (xi) = 0, designadaspor nodos de vibração, e um período espacial que vale,

Txn =2`

nn = 1, . . . ,∞. (17.69)

Refira-se que as formas naturais de ordem par apresentam uma secçãonodal a meio vão da viga.

As funções características representativas das formas naturais de vi-bração encontram-se definidas a menos de uma constante, A4n. No en-tanto, se se adoptar o esquema de normalização para massas modais uni-tárias, deve verificar-se a relação

∫ `

0

ρA (Vn (x))2 dx = 1 n = 1, . . . ,∞. (17.70)

Introduzindo a expressão (17.67) das formas naturais na relação ante-rior, obtém-se,

∫ `

0

ρAA24n sin2 nπ

`xdx = 1 n = 1, . . . ,∞. (17.71)

Após integração vem,

ρAA24n

∫ `

0

sin2 nπ

`xdx = ρAA2

4n

[x

2− sin 2nπ

`x

4nπ`

]`

0

, (17.72)

e resolvendo para A24n obtém-se a constante de normalização


A4n =

√2

ρA`n = 1, . . . ,∞. (17.73)

Assim, as formas naturais V (x) n = 1, . . . ,∞ normalizadas para mas-sas modais unitárias, doravante designadas por φn (x) n = 1, . . . ,∞, ex-primem-se na forma

φn (x) =

√2

ρA`sin

nπ

`x n = 1, . . . ,∞. (17.74)

x

φ1(x

)

0 `

(a) n = 1

x

φ2(x

)

0 `

(b) n = 2

x

φ3(x

)

0 `

(c) n = 3

x

φ4(x

)

0 `

(d) n = 4

Figura 17.3: Formas naturais de vibração de uma viga simplesmenteapoiada


17.5.3 Resposta livre ou naturalComo existe uma infinidade de soluções do tipo (17.68) para a equaçãodiferencial (17.11) de movimento lateral da viga simplesmente apoiada, asolução geral é dada pela combinação linear dos diferentes modos naturaisde vibração,

v (x, t) =∞∑

n=1

vn (x, t) =∞∑

n=1

Vn (x) gn (t)

=∞∑

n=1

(A4n sin

nπ

`x)

(Cn cos ωnt + Dn sin ωnt)

(17.75)

ou, utilizando as formas naturais normalizadas para massas modais uni-tárias,

v (x, t) =∞∑

n=1

(√2

ρA`sin

nπ

`x

)(Cn cos ωnt + Dn sin ωnt) (17.76)


v (x, t = 0) = v0 (x) , v (x, t = 0) = v0 (x) . (17.77)

A resposta livre ou natural em termos da velocidade pode ser obtida apartir da expressão (17.76) por derivação em ordem à variável tempo t,

v (x, t) =∞∑

n=1

(√2

ρA`sin

nπ

`x

)(−ωnCn sin ωnt + ωnDn cos ωnt) . (17.78)

Introduzindo as condições iniciais (17.77) na solução geral (17.76) e naexpressão (17.78) da velocidade obtém-se,

v0 (x) =∞∑

n=1

CnA4n sinnπx

`, (17.79)

v0 (x) =∞∑

n=1

DnωnA4n sinnπx

`. (17.80)

As expressões anteriores representam expansões em série de Fourierdas funções deslocamento inicial v0 (x) e velocidade inicial v0 (x) no inter-valo [0, `], podendo as constantes Cn e Dn ser assimiladas aos coeficientes


da série de Fourier respectiva. Assim, as constantes Cn e Dn vêm dadaspelas seguintes expressões,

Cn =1

A4n

(2

`

∫ `

0

v0 (x) sinnπx

`dx

), (17.81)

Dn =1

A4n

1

ωn

(2

`

∫ `

0

v0 (x) sinnπx

`dx

). (17.82)


Nas tabelas 17.1 e 17.2 apresentam-se a equação de frequências, as respec-tivas raízes, e as frequências e as formas naturais de vibração de vigas emflexão para diferentes condições de fronteira.

As frequências naturais, conforme a relação (17.27), determinam-se apartir das seguintes expressões,

ωi = (βi`)2

√EI

ρA`4/rad · s−1 i = 1, 2, . . . ,∞, (17.83)

fi =(βi`)

2

2π

√EI

ρA`4/Hz i = 1, 2, . . . ,∞. (17.84)

368 Capítulo 17. Vibração transversal de vigas: Regime livreTabela

17.1:Frequênciase

formas

naturaisde

vigas.

Condições

defronteira

Equaçãode

frequênciasR

aízes(β

i `)Form

asnaturais

αn

Nodos

devibração

fixa-fixacos

β`cosh

β`

=1

4.73007.853210.995614.137117.2787(2

n+

1)π

2

φn

=C

n (cosh

βn x−

cosβ

n x−

αn(sin

hβ

n x−sin

βn x

) )

αn

=co

shβ

n`−

cosβ

n`

sinh

βn`−

sinβ

n`

0.98251.00080.99991.00000.9999

0.50.359/0.6410.278/0.5/0.722

apoiosim

ples–apoio

simples

sinβ`

=0

π2π3π4π5π

φn

=C

n(sin

βn x

)0.50.333/0.6670.25/0.5/0.75

fixa–livrecos

β`cosh

β`

=−

11.87514.69417.854810.995514.1372(2

n−1)π

2

φn

=C

n (cosh

βn x−

cosβ

n x−

αn(sin

hβ

n x−sin

βn x

) )

αn

=sin

hβ

n`−

sinβ

n`

cosh

βn`+

cosβ

n`

0.73411.01850.99921.00001.0000

0.7740.5/0.8680.356/0.644/0.906

17.6 Frequências e formas naturais 369Ta

bela

17.2

:Fre

quên

cias

efo

rmas

natu

rais

devi

gas.

Con

diçõ

esde

fron

teir

a

Equa

ção

defr

equê

ncia

sR

aíze

s(β

i`)

Form

asna

tura

isα

nN

odos

devi

braç

ão

livre

–liv

reco

sβ`co

shβ`

=1

0 4.73

007.

8532

10.9

956

14.1

372

17.2

787

(2n+

1)π

2

φn

=C

n

(co

shβ

nx

+co

sβ

nx

−αn(s

inh

βnx

+si

nβ

nx)

)

αn

=co

shβ

n`−

cosβ

n`

sinh

βn`−

sin

βn`

0.98

251.

0008

0.99

991.

0000

0.99

99

0.22

4/0.

776

0.13

2/0.

5/0.

868

0.09

4/0.

356/

0.64

4/0.

906

0.07

3/0.

277/

0.5/

0.72

3/0.

927

apoi

osi

mpl

es–

livre

tan

β`

=ta

nh

β`

0 3.92

667.

0686

10.2

102

13.3

518

φn

=C

n(s

inβ

nx

+α

nsi

nh

βnx)

αn

=si

nβ

n`

sinh

βn`

00.

736

0.44

6/0.

853

0.30

8/0.

616/

0.89

80.

235/

0.47

1/0.

707/

0.92

2fix

a–ap

oio

sim

ples

tan

β`

=ta

nh

β`

3.92

667.

0686

10.2

102

13.3

518

16.4

934

φn

=C

n

(co

shβ

nx−

cosβ

nx

−αn(s

inh

βnx−

sin

βnx)

)

αn

=co

shβ

n`−

cosβ

n`

sinh

βn`−

sin

βn`

1.00

081

para

n>

10.

560.

384/

0.69

20.

294/

0.52

9/0.

765



A equação diferencial de movimento e as condições de fronteira da vi-bração transversal de uma viga podem ser estabelecidas com base no prin-cípio variacional de Hamilton.

O princípio variacional de Hamilton pode enuncia-se da seguinte for-ma,“A variação da energia cinética e potencial (energia de deformação) mais a vari-ação do trabalho realizado pelas forças não conservativas durante qualquer inter-valo de tempo [t1, t2] é igual a zero”,

∫ t2

t1

δ (T − V ) dt +

∫ t2

t1

δWnc dt = 0, (17.85)

onde T representa a energia cinética do sistema, V a energia potencial (en-ergia de deformação), Wnc o trabalho realizado pelas forças não conserva-tivas e δ a variação durante o intervalo de tempo [t1, t2].

A teoria clássica de Euler-Bernoulli ou teoria das vigas finas aplica-sea vigas para as quais o comprimento é muito maior do que a sua espes-sura (` ≥ 20h). Esta teoria considera que uma secção recta plana e normalà superfície neutra da viga permanece plana e normal à superfície neu-tra após deformação, que a rotação da secção recta da viga é desprezávelface à translação transversal e que a distorção angular devida ao corte éigualmente desprezável face à deformação de flexão.

Na figura 17.4-a) representa-se uma viga de secção variável e de com-primento ` solicitada por uma força dinâmica por unidade de compri-mento f (x, t), sendo o deslocamento transversal da superfície neutra daviga representado pela função v(x, t). De acordo com a figura 17.4-b), odeslocamento axial u(x, z, t) de qualquer ponto da secção recta, quandosecções planas permanecem planas e normais à superfície neutra, é dadopor,

u(x, z, t) = −z∂v(x, t)

∂x. (17.86)

A deformação normal εxx correspondente a este campo de deslocamen-tos é, por definição,

εxx =∂u

∂x= −z

∂2v

∂x2, (17.87)

e a correspondente tensão normal σxx é dada por,


z

x

f ( x , t )

d xl

v ( x , t ) x

(a) viga e solicitação exterior

zA

B

v i g a n ã o d e f o r m a d a

z

A '

B '

v

x

¶

¶

v

x

¶

¶

v

x

v i g a d e f o r m a d a

u = -v

z

x

¶

¶

(b) campo de deslocamentos

Figura 17.4: Viga em flexão

σxx = −Ez∂2v

∂x2, (17.88)

onde E representa o módulo de elasticidade longitudinal ou módulo deYoung do material.

A densidade de energia de deformação V0 é, por definição, igual a

V0 =1

2σxxεxx. (17.89)

Após substituição de (17.87) e (17.88) em (17.89), obtém-se,

V0 =1

2Ez2 ∂2v

∂x2. (17.90)

A energia de deformação V da viga é, então, dada pela expressão


V =1

2

∫∫∫

V

Ez2

(∂2v

∂x2

)2

dV , (17.91)

ou,

V =1

2

∫ `

0

∫

A

Ez2

(∂2v

∂x2

)2

dA dx. (17.92)

Como, por definição, o momento de 2a ordem I da secção recta da vigaem relação ao eixo y é dado pela expressão

I =

∫

A

z2 dA, (17.93)

a energia de deformação de flexão da viga vem dada pela expressão inte-gral,

V =1

2

∫ `

0

EI

(∂2v

∂x2

)2

dx. (17.94)

Refira-se que a energia potencial devida à força da gravidade pode seromitida se o deslocamento v (x, t) for referenciado a partir da posição deequilíbrio estático.

Para a energia cinética, como a teoria de Euler-Bernoulli despreza aenergia de rotação, a densidade de energia cinética T0 é dada por

T0 =1

2ρ

(∂v(x, t)

∂t

)2

, (17.95)

onde ρ representa a massa volúmica do material.A energia cinética da viga é, então, obtida integrando no seu domínio,

T =1

2

∫∫∫

V

ρ

(∂v(x, t)

∂t

)2

dV (17.96)

ou

T =1

2

∫ `

0

∫

A

ρ

(∂v(x, t)

∂t

)2

dA dx. (17.97)

Após resolução do integral de área, obtém-se a expressão integral paraa energia cinética,


T =1

2

∫ `

0

ρA

(∂v(x, t)

∂t

)2

dx, (17.98)

onde

A =

∫

A

dA (17.99)

e representa a área da secção recta da viga.Para efectuar as operações envolvidas no princípio de Hamilton, ex-

pressão (17.85), deve notar-se que a ordem das integrações relativamentea t e x pode ser permutada e os operadores variacional δ e diferencial ∂

∂x

ou δ e ∂∂t

são comutativos. Assim, a variação da energia cinética podeescrever-se na forma,

δT =

∫ `

0

ρA

(∂v (x, t)

∂t

)δ

(∂v (x, t)

∂t

)dx

=

`∫

0

ρA∂v (x, t)

∂t

∂

∂t(δv (x, t)) dx,

(17.100)

e o primeiro termo em (17.85) vem,∫ t2

t1

δT dt =

∫ t2

t1

∫ `

0

ρA∂v (x, t)

∂t

∂

∂t(δv (x, t)) dx dt. (17.101)

Integrando por partes em ordem ao tempo, obtém-se,

∫ t2

t1

δT dt =

∫ t2

t1

∫ `

0

ρA∂v (x, t)

∂t

∂

∂t(δv (x, t)) dx dt

=

`∫

0

ρA

∂v (x, t)

∂tδv (x, t)

∣∣∣∣t2

t1

−t2∫

t1

ρA∂2v (x, t)

∂t2δv (x, t) dt

dx.

(17.102)

Considerando que a variação δv (x, t) é, por definição, nula para t =t1 = t2,

δv (x, t1) = δv (x, t2) = 0, (17.103)

a expressão (17.102) escreve-se na forma,


∫ t2

t1

δT dt = −∫ `

0

(∫ t2

t1

ρA∂2v (x, t)

∂t2δv (x, t) dt

)dx

= −t2∫

t1

`∫

0

ρA∂2v (x, t)

∂t2δv (x, t) dx

dt.

(17.104)

Considerando agora a variação da energia potencial,

δV =

∫ `

0

EI

(∂2v (x, t)

∂x2

)δ

(∂2v (x, t)

∂x2

)dx

=

`∫

0

EI∂2v (x, t)

∂xv

∂2

∂x2(δv (x, t)) dx,

(17.105)

o segundo termo em (17.85) vem,

∫ t2

t1

δV dt =

∫ t2

t1

∫ `

0

EI∂2v (x, t)

∂x2

∂2

∂x2(δv (x, t)) dx dt. (17.106)

Efectuando uma dupla integração por partes em ordem a x, obtém-se,sucessivamente,

∫ t2

t1

δV dt =

t2∫

t1

(EI

∂2v (x, t)

∂x2

∂

∂x(δv (x, t))

∣∣∣∣`

0

−`∫

0

∂

∂x

(EI

∂2v (x, t)

∂x2

)∂

∂x(δv (x, t)) dx

dt

=

t2∫

t1

(EI

∂2v (x, t)

∂x2

∂

∂x(δv (x, t))

∣∣∣∣`

0

− ∂

∂x

(EI

∂2v (x, t)

∂x2

)δv (x, t)

∣∣∣∣`

0

)dt

+

t2∫

t1

`∫

0

∂2

∂x2

(EI

∂2v (x, t)

∂x2

)δv (x, t) dx

dt.

(17.107)

Para o trabalho virtual realizado pelas forças não conservativas f(x, t),este escreve-se,


δWnc =

∫ `

0

f(x, t)δv(x, t) dx. (17.108)

Introduzindo as expressões (17.104), (17.107) e (17.108) na expressão(17.85) do princípio de Hamilton, obtém-se,

−∫ t2

t1

∫ `

0

ρA∂2v (x, t)

∂t2δv (x, t) dx dt +

∫ t2

t1

∫ `

0

∂2

∂x2

(EI

∂2v (x, t)

∂x2

)δv (x, t) dx dt

+

∫ t2

t1

EI∂2v (x, t)

∂x2

∂

∂x(δv (x, t))

∣∣∣∣`

0

dt +

∫ t2

t1

− ∂

∂x

(EI

∂2v (x, t)

∂x2

)δv (x, t)

∣∣∣∣`

0

dt

+

∫ t2

t1

(∫ `

0

f (x, t) δv(x, t) dx

)dt = 0

(17.109)

Agrupando termos, a expressão anterior escreve-se,

−∫ t2

t1

∫ `

0

[ρA

∂2v (x, t)

∂t2+

∂2

∂x2

(EI

∂2v (x, t)

∂x2

)+ f (x, t)

]δv (x, t) dx

+ EI∂2v (x, t)

∂x2δ

(∂v (x, t)

∂x

)∣∣∣∣`

0

− ∂

∂x

(EI

∂2v (x, t)

∂x2

)δv (x, t)

∣∣∣∣`

0

dt = 0

(17.110)

Como δv (x, t) é inteiramente arbitrário no intervalo 0 < x < `, daequação (17.110) decorrem as seguintes equações,

∂2

∂x2

(EI

∂2v (x, t)

∂x2

)− ρA

∂2v (x, t)

∂t2+ f (x, t) = 0, 0 < x < ` (17.111)

EI∂2v (x, t)

∂x2δ

(∂v (x, t)

∂x

)∣∣∣∣`

0

= 0, (17.112)

∂

∂x

(EI

∂2v (x, t)

∂x2

)δv (x, t)

∣∣∣∣`

0

= 0. (17.113)

A equação (17.111) representa a equação de movimento para a vibraçãotransversal da viga e é uma equação diferencial parcial de segunda ordemna variável tempo t e de quarta ordem na variável espacial x, a ser verifi-cada em cada secção recta do domínio 0 < x < `. As equações (17.112) e(17.113) representam condições de fronteira generalizadas.


As condições de fronteira generalizadas (17.112) e (17.113) têm de serverificadas como condições de fronteira geométricas, isto é, prescritas,

v (x, t)|x=0,` = 0∂v (x, t)

∂x

∣∣∣∣x=0,`

= 0, (17.114)

ou, então, como condições de fronteira naturais, isto é,

EI∂2v (x, t)

∂x2

∣∣∣∣x=0,`

= 0∂

∂x

(EI

∂2v (x, t)

∂x2

)∣∣∣∣x=0,`

= 0. (17.115)

As condições de fronteira (17.114) são de natureza geométrica e in-dicam que a solução v (x, t) da equação diferencial (17.111) ou a sua de-rivada ∂v(x,t)

∂xtêm de ser nulas em x = 0 ou x = `. As condições de fron-

teira resultantes duma pura compatibilidade geométrica designam-se porcondições de fronteira geométricas, essenciais ou prescritas. Por outro lado,as condições de fronteira (17.115) indicam que o momento flector ou o es-forço transverso devem anular-se em x = 0 ou x = `. As condições defronteira que resultam do equilíbrio de forças designam-se por condiçõesde fronteira naturais, dinâmicas ou adicionais.

Refira-se que duas condições de fronteira têm de ser verificadas emx = 0 e duas em x = `. A selecção de quais das condições a verificardepende da natureza física da fronteira.

As condições de fronteira (17.114) e (17.115) são verificadas pelas se-guintes condições de fronteira mais comuns:

• extremidade fixa ou encastrada

v (x, t)|x=0,` = 0∂v (x, t)

∂x

∣∣∣∣x=0,`

= 0 (17.116)

• extremidade apoiada

v (x, t)|x=0,` = 0 EI∂2v (x, t)

∂x2

∣∣∣∣x=0,`

= 0 (17.117)

• extremidade livre

EI∂2v (x, t)

∂x2

∣∣∣∣x=0,`

= 0∂

∂x

(EI

∂2v (x, t)

∂x2

)∣∣∣∣x=0,`

= 0 (17.118)


Como a equação diferencial de movimento (17.111) é de quarta ordemna variável espacial x e de segunda ordem na variável t, são necessáriasquatro condições de fronteira, na variável x, e duas condições iniciais, navariável t, para a resolução da equação diferencial de movimento. O movi-mento é caracterizado pela equação diferencial (17.111), pelas respectivascondições de fronteira e pelas condições iniciais de deslocamento e de ve-locidade, v (x, t = 0) = v0 (x) e v (x, t = 0) = v0 (x). É a verificação dascondições de fronteira que torna a solução v (x, t) da equação diferencial(17.111) única.


CAPÍTULO 18

Sistemas contínuosVibração transversal de vigas: Regime forçado


A equação de movimento lateral (flexão) de uma viga fina (teoria de Bernoulli)não uniforme em regime forçado, e em termos do deslocamento transver-sal v (x, t), da rigidez de flexão EI da secção recta, da massa volúmica ρ edo carregamento f (x, t), escreve-se (ver equação (17.8)),

∂2

∂x2

[EI (x)

∂2v (x, t)

∂x2

]+ ρA (x)

∂2v (x, t)

∂t2= f (x, t) , (18.1)

e para uma viga de secção constante, onde A (x) = A e I (x) = I , a equaçãovem (ver equação (17.9)),

EI (x)∂4v (x, t)

∂x4+ ρA (x)

∂2v (x, t)

∂t2= f (x, t), (18.2)

onde f(x, t) representa a função solicitação e é uma função da variávelespacial, x, e da variável tempo, t. Em determinadas situações, a função

379

380 Capítulo 18. Vibração transversal de vigas: Regime forçado

lx

v ( x , t )

f ( x , t )

Figura 18.1: Viga em regime forçado

f(x, t) pode considerar-se separável no espaço e no tempo, isto é, podeescrever-se na forma

f(x, t) = p(x)g(t). (18.3)

A resolução do problema de vibração forçada de vigas passa pela deter-minação da solução da equação (18.1), isto é, determinação do campo dedeslocamento lateral v (x, t) e, seguidamente, pela sua substituição nas ex-pressões dos esforços internos, campo de tensões e campo de deformações.

18.2 Resposta forçada não-amortecida

Como as funções características φr r = 1, . . . ,∞ representativas das for-mas naturais de vibração constituem uma base funcional, a resposta v (x, t)pode exprimir-se como uma combinação linear das formas naturais de vi-bração,

v (x, t) =∞∑

r=1

φr (x) ηr (t) (18.4)

onde φr r = 1, . . . ,∞ representam as formas naturais e ηr (t) r = 1, . . . ,∞representam as coordenadas modais ou naturais. Introduzindo a expan-são modal (18.4) para v (x, t) na equação diferencial de movimento (18.1),obtém-se,

18.2 Resposta forçada não-amortecida 381

ρA (x)∂2

∂t2

( ∞∑r=1

φr (x) ηr (t)

)+

∂2

∂x2

(EI (x)

∂2

∂x2

( ∞∑r=1

φr (x) ηr (t)

))

= p (x) g (t)

(18.5)

ou então,

∞∑r=1

ρA (x) φr (x) ηr (t) +∞∑

r=1

d2

dx2

(EI (x)

d2φr (x)

dx2

)ηr (t) = p (x) g (t) .

(18.6)Multiplicando por φs (x) e integrando para o comprimento ` da viga

vem,

∞∑r=1

ηr (t)

∫ `

0

ρA (x) φs (x) φr (x) dx

+∞∑

r=1

ηr (t)

∫ `

0

φs (x)d2

dx2

(EI (x)

d2φr (x)

dx2

)dx

=

(∫ `

0

φs (x) p (x) dx

)g (t) .

(18.7)

Integrando duas vezes por partes o segundo termo da expressão ante-rior, obtém-se, sucessivamente,

∞∑r=1

ηr (t)

∫ `

0


+∞∑

r=1

ηr (t)

([φs (x)

d

dx

(EI (x)

d2φr (x)

dx2

)]`

0

−∫ `

0

dφs (x)

dx

d

dx

(EI (x)

d2φr (x)

dx2

)dx

)

=

(∫ `

0

φs (x) p (x) dx

)g (t)

(18.8)

e


∞∑r=1

ηr (t)

∫ `

0


+∞∑

r=1

ηr (t)

[φs (x) d

dx

(EI (x) d2φr(x)

dx2

)]`

0−

[dφs(x)

dxEI (x) d2φr(x)

dx2

]`

0

+∫ `

0d2φs(x)

dx2 EI (x) d2φr(x)dx2 dx

=

(∫ `

0

φs (x) p (x) dx

)g (t) .

(18.9)

Para vigas com extremidades apoiadas, livres ou encastradas, as res-pectivas condições de fronteira conduzem a que sejam nulos os seguintestermos da expressão anterior,

[φs (x)

d

dx

(EI (x)

d2φr (x)

dx2

)]`

0

= 0,

[dφs (x)

dxEI (x)

d2φr (x)

dx2

]`

0

= 0,

(18.10)

[φr (x)

d

dx

(EI (x)

d2φs (x)

dx2

)]`

0

= 0,

[dφr (x)

dxEI (x)

d2φs (x)

dx2

]`

0

= 0.

(18.11)Em consequência, a expressão (18.9) simplifica-se e vem,

∞∑r=1

ηr (t)

∫ `

0


+∞∑

r=1

ηr (t)

∫ `

0

d2φs (x)

dx2EI (x)

d2φr (x)

dx2dx

=

(∫ `

0

φs (x) f (x) dx

)g (t) .

(18.12)

As funções φr (x) r = 1, . . . ,∞ das formas naturais de vibração apre-sentam propriedades de ortogonalidade ou ortonormalidade dadas pelasrelações,

∫ `

0

ρA (x) φr (x) φs (x) dx = mrδrs

∫ `

0

d2φr (x)

d2xEI (x)

d2φs (x)

d2xdx = krδrs

r = 1, 2, . . . ,∞. (18.13)


Assim, devido às propriedades de ortogonalidade, todos os termos dasérie (18.12) são nulos, excepto o termo de ordem r que representa a equa-ção modal associada ao modo de ordem r,

ηr (t)

∫ `

0

ρA (x) φr (x) φr (x) dx + ηr (t)

∫ `

0

d2φr (x)

dx2EI (x)

d2φr (x)

dx2dx

=

(∫ `

0

φr (x) f (x) dx

)g (t) .

r = 1, 2, . . . ,∞

(18.14)

As equações modais (18.14), equações diferenciais ordinárias indepen-dentes, representam a projecção da equação diferencial de derivadas par-ciais (18.1) na base modal ou natural. Cada uma das equações modais(18.14) apresenta-se na forma canónica da equação diferencial de movi-mento de um sistema com um grau de liberdade e é do tipo,

mrηr (t) + krηr (t) = Nr (t) r = 1, 2, . . . ,∞ (18.15)

onde as propriedades modais de massa mr e de rigidez kr valem,

mr =

∫ `

0

ρA (x) φr (x) φr (x) dx =

∫ `

0

ρA (x) (φr (x))2 dx

= 1 para formas naturais ortonormais,r = 1, 2, . . . ,∞

(18.16)

kr =

∫ `

0

d2φr (x)

dx2EI (x)

d2φr (x)

dx2dx =

∫ `

0

EI (x)

(d2φr (x)

dx2

)2

dx

= ω2r para formas naturais ortonormais.

r = 1, 2, . . . ,∞

(18.17)

Quanto à projecção da carga nas coordenadas modais, Nr (t) r = 1, . . . ,∞,é dada pela expressão,

Nr (t) =

(∫ `

0

φr (x) f (x) dx

)g (t)

= χrg (t)

r = 1, 2, . . . ,∞ (18.18)

onde


χr =

∫ `

0

φr (x) f (x) dx r = 1, 2, . . . ,∞. (18.19)

Dividindo as equações modais (18.15) por mr, e tendo em conta que arazão kr

mré igual a ω2

r , as equações modais (18.15) podem ainda escrever-sena forma,

ηr (t) + ω2rηr (t) =

Nr (t)

mr

r = 1, 2, . . . ,∞. (18.20)

Após a resolução das equações diferenciais ordinárias na base modalou natural, e de acordo com a expansão (18.4), a resposta generalizadav (x, t) é dada pela combinação linear das formas naturais de vibraçãoφr (x) r = 1, . . . ,∞ multiplicadas pelas respectivas coordenadas modaisou naturais ηr (t) r = 1, . . . ,∞, as quais representam a contribuição decada forma natural para a resposta v (x, t),

v (x, t) =∞∑

r=1

φr (x)︸︷︷︸formamodal

ηr (t)︸︷︷︸coordenada

modal

. (18.21)

A partir da resposta generalizada v (x, t) pode determinar-se, de se-guida, a resposta em termos dos esforços internos, ou seja, em termos domomento flector M (x, t) e do esforço de corte Q (x, t), os quais são dadospelas seguintes expressões,

M (x, t) = EI (x)∂2v (x, t)

∂x2= EI (x)

∂2

∂x2

( ∞∑r=1

φr (x) ηr (t)

)

= EI (x)∞∑

r=1

d2φr (x)

dx2ηr (t) ,

(18.22)

Q (x, t) =∂M (x, t)

∂x=

∂

∂x

(EI (x)

∂2v (x, t)

∂x2

)

=∂

∂x

(EI (x)

∞∑r=1

d2φr (x)

dx2ηr (t)

).

(18.23)

Repare-se como o momento flector involve as segundas derivadas dasformas naturais de vibração e o esforço transverso as derivadas de 3a or-dem.


18.2.1 Resposta a uma força harmónica

Para uma solicitação harmónica distribuída cuja amplitude é representadapela função p(x),

f (x, t) = p (x) ejωt, (18.24)

e no caso particular de as funções das formas naturais se apresentaremnormalizadas para massas modais unitárias, as equações modais (18.20)são da forma,

ηr (t) + ω2rηr (t) = χr (x) ejωt r = 1, 2, . . . ,∞. (18.25)

A resposta modal permanente ou estacionária é do tipo,

ηr (t) = Zr (ω) ejωt r = 1, 2, . . . ,∞ (18.26)

onde Zr (ω) representa a amplitude modal e é dada pela expressão,

Zr (ω) =χr

ω2r

1(1−

(ωωr

)2)

= χr1

(ω2r − ω2)

r = 1, 2, . . . ,∞. (18.27)

Para a resposta generalizada v (x, t) vem então,

v (x, t) =

( ∞∑r=1

φr (x) χr1

(ω2r − ω2)

)ejωt. (18.28)

18.2.2 Resposta a uma força harmónica concentrada

Para uma carga harmónica concentrada de amplitude P , aplicada numasecção recta de coordenada (x = xP ), a distribuição espacial p(x) da solici-tação pode exprimir-se na forma,

p (x) = Pδ (x− xP ) (18.29)

onde δ (x− xP ) representa a função de Dirac. Assim, a carga harmónicaconcentrada pode exprimir-se como

f(x, t) = p(x)g(t) = Pδ (x− xP ) ejωt. (18.30)


A projecção de p (x) = Pδ (x− xP ) na base modal vale então, de acordocom a expressão (18.19),

χr =

∫ `

0

φr (x) f (x) dx =

∫ `

0

φr (x) Pδ (x− xP ) dx

= Pφr (xP ) r = 1, 2, . . . ,∞. (18.31)

As equações modais (18.25) tomam agora a forma,

ηr (t) + ω2rηr (t) = Pφr (xP ) ejωt r = 1, 2, . . . ,∞ (18.32)

e a respectiva resposta modal é dada pela expressão,

ηr (t) = Pφr (xP )1

(ω2r − ω2)

ejωt r = 1, 2, . . . ,∞. (18.33)

A resposta generalizada estacionária v (x, t) vem então,

v (x, t) =∞∑

r=1

φr (x)

(Pφr (xP )

1

(ω2r − ω2)

ejωt

). (18.34)

Substituindo a resposta v (x, t) nas expressões (18.22) e (18.23) dos es-forços, obtém-se,

M (x, t) = EI (x)

( ∞∑r=1

d2φr (x)

dx2φr (xP )

1

(ω2r − ω2)

)P ejωt (18.35)

Q (x, t) =∞∑

r=1

d

dx

(EI (x)

d2φr (x)

dx2φr (xP )

1

(ω2r − ω2)

)P ejωt. (18.36)

Note-se que os esforços internos são síncronos com a força de excitação.

18.2.3 Resposta a uma força transientePara uma solicitação transiente, as equações modais são ainda do tipo,

ηr (t) + ω2rηr (t) = Nr (t)

= χrg (t)r = 1, 2, . . . ,∞ (18.37)

onde χrg (t) r = 1, . . . ,∞ representa a projecção modal da força transientede acordo com a expressão (18.18). Como cada uma das equações modais


é idêntica à equação canónica do sistema com um grau de liberdade, aresposta modal ηr (t), para uma carga transiente, é dada pelo integral deDuhamel,

ηr (t) =χr

ωr

∫ t

0

g (τ) sin ωr (t− τ) dτ

+ ηr (0) cos ωrt +ηr (0)

ωr

sin ωrt r = 1, 2, . . . ,∞(18.38)

onde as condições iniciais na base modal são dadas pelas expressões,

ηr (0) =

∫ `

0

ρA (x) φr (x) v (x, 0) dx

ηr (0) =

∫ `

0

ρA (x) φr (x) v (x, 0) dx

r = 1, 2, . . . ,∞ (18.39)

sendo v (x, 0) e v (x, 0) as funções de deslocamento e velocidade iniciais,respectivamente.

A resposta generalizada v (x, t) é então dada pela sobreposição da res-posta de cada um dos modos naturais de vibração,

v (x, t) =∞∑

r=1

φr (x) ηr (t) (18.40)

O momento flector M (x, t) e o esforço transverso Q (x, t) podem en-tão ser determinados substituindo nas respectivas expressões a respostageneralizada v (x, t) pela respectiva expansão modal,

M (x, t) = EI (x)∂2v (x, t)

∂x2

=∞∑

r=1

(EI (x)

d2φr (x)

dx2

)ηr (t) ,

(18.41)

Q (x, t) =∂

∂x

(EI (x)

∂2v (x, t)

∂x2

)

=∞∑

r=1

d

dx

(EI (x)

d2φr (x)

dx2

)ηr (t) .

(18.42)


18.2.4 Funções de resposta em frequência

Em regime estacionário harmónico, a resposta em cada secção da viga auma carga harmónica concentrada é um movimento harmónico síncronocom a excitação,

v (x, t) = V (x, ω) ejωt (18.43)

cuja amplitude e fase são dadas pela função V (x, ω) que, de acordo com aexpressão (18.34), vale,

V (x, ω) =

( ∞∑r=1

φr (xP ) φr (x)1

(ω2r − ω2)

)P. (18.44)

Pode então definir-se a função de resposta em frequência de tipo recep-tância, αx,xP

(ω), como sendo,

αx,xP(ω) =

V (x, ω)

P (xp)

=∞∑

r=1

φr (xP ) φr (x)1

(ω2r − ω2)

(18.45)

onde x e xP são as coordenadas, respectivamente, da secção de resposta eda secção de excitação.

De forma idêntica, definem-se as funções de resposta em frequência detipo mobilidade, yx,xP

(ω), e acelerância, hx,xP(ω), como sendo, respectiva-

mente,

yx,xP(ω) =

jωV (x, ω)

P (xp)

=∞∑

r=1

φr (xP ) φr (x)jω

(ω2r − ω2)

,

(18.46)

hx,xP(ω) =

−ω2V (x, ω)

P (xP )

=∞∑

r=1

φr (xP ) φr (x)−ω2

(ω2r − ω2)

.

(18.47)


ExemploH

Considere-se uma viga simplesmente apoiada, de comprimento `, de sec-ção recta com momento de 2a ordem I , de material com módulo de elas-ticidade E e à qual se aplica uma força harmónica concentrada f (x, t) =Pδ(xp)e

jωt na secção de coordenada xp = 14`, conforme se representa na

figura 18.2.

lx

v ( x , t ) = V ( x ) g ( t )

f ( x , t ) = P e j w tl / 4

Figura 18.2: Viga simplesmente apoiada em regime forçado harmónico

Frequências naturais As frequências naturais da viga simplesmente a-poiada valem (ver secção 17.5, página 361),

ωs = (sπ)2

√EI

ρA`4r = 1, . . . ,∞, (18.48)

ou então

ωs = s2ω1 r = 2, . . . ,∞, (18.49)

onde ω1 representa a frequência natural fundamental.

Formas naturais de vibração As formas naturais de vibração φs (x) s =1, . . . ,∞ associadas às frequências naturais ωs s = 1, . . . ,∞ são dadaspelas funções (ver secção 17.5, página 361),

φs (x) = A4s sinsπ

`x s = 1, . . . ,∞ (18.50)

Para formas naturais normalizadas para massas modais unitárias, ms =1 s = 1, . . . ,∞, as funções φs (x) s = 1, . . . ,∞ escrevem-se,

φs (x) =

√2√

ρA`sin

sπ

`x s = 1, . . . ,∞ (18.51)


Na figura 18.3 estão representadas as primeiras formas naturais da vigasimplesmente apoiada.

x

φ1(x

)0 `

(a) n = 1

x

φ2(x

)

0 `

(b) n = 2

x

φ3(x

)

0 `

(c) n = 3

x

φ4(x

)

0 `

(d) n = 4

Figura 18.3: Formas naturais de vibração de uma viga simplesmenteapoiada

Refira-se que as formas naturais são funções harmónicas da variávelespacial x de período T x

s = 2`s

s = 1, . . . , ∞.A primeira, segunda e terceira derivadas das funções φs (x) s = 1, . . . ,∞

escrevem-se,

dφs (x)

dx=

√2

ρA`

(sπ

`

)cos

sπ

`x s = 1, . . . , ∞, (18.52)


d2φs (x)

dx2= −

√2

ρA`

(sπ

`

)2

sinsπ

`x s = 1, . . . , ∞, (18.53)

d3φs (x)

dx3= −

√2

ρA`

(sπ

`

)3

cossπ

`x s = 1, . . . , ∞. (18.54)

Note-se a relação entre as formas naturais φs (x) s = 1, . . . ,∞ (18.51) ea sua segunda derivada d2φs(x)

dx2 s = 1, . . . ,∞ (18.53). Com efeito, verificama relação,

d2φs (x)

dx2= −

(sπ

`

)2

φs (x) s = 1, . . . , ∞. (18.55)

N

18.2.5 Resposta a uma força harmónica

Resposta em deslocamento A resposta permanente ou estacionária emtermos do deslocamento v (x, t) a uma carga harmónica concentrada Pδ(x−xP )ejωt aplicada num ponto de coordenada (xP ), de acordo com a expressão(18.34), é dada por,

v (x, t) =

( ∞∑s=1

φs (x) φs (xP )1

(ω2s − ω2)

)P ejωt. (18.56)

Como para a viga simplesmente apoiada as frequências naturais deordem superior relacionam-se com a frequência fundamental ω1 atravésda expressão (18.49), a resposta pode ainda escrever-se na forma,

v (x, t) =

( ∞∑s=1

φs (x) φs (xP )1

(s4ω21 − ω2)

)P ejωt. (18.57)

Após rearranjo e introdução da razão de frequências ωω1

= β, a ex-pressão anterior vem,

v (x, t) =1

ω21

( ∞∑s=1

φs (x) φs (xP )1

(s4 − β2)

)P ejωt, (18.58)

ou ainda,


v (x, t) =1

ω21

∞∑s=1

φs (x) φs (xP )1

s4

1(1− β2

s4

) P ejωt. (18.59)

Refira-se que os modos de ordem s mais elevada apresentam, em geral,uma contribuição pouco significativa para a resposta em deslocamento,pois a sua contribuição varia na razão inversa de s4.

Substituindo as expressões para φs (x) e φs (xp) em (18.58), obtém-se,

v (x, t) =2`3

π4EI

( ∞∑s=1

(sin

sπ

`x)(

sinsπ

`xp

) 1

(s4 − β2)

)P ejωt. (18.60)

O desenvolvimento da série para v (x, t) conduz à seguinte expressão,

v (x, t) =2`3

π4EI

sin π

`x sin π

`xp

1(1−β2)

+ sin 2π`x sin 2π

`xp

1(24−β2)

+ sin 3π`x sin 3π

`xp

1(34−β2)

+ ... + sin sπ`x sin sπ

`xp

1(s4−β2)

P ejωt.

(18.61)No caso presente, com xp = `

4, a expressão da resposta vem,

v (x, t) =2`3

π4EI

sin π

`x sin π

41

(1−β2)+ sin 2π

`x sin π

21

(24−β2)

+ sin 3π`x sin 3π

41

(34−β2)+ ... + sin sπ

`x sin sπ

41

(s4−β2)

P ejωt.

(18.62)Na figura 18.4 representa-se o campo de deslocamentos ao longo da

viga simplesmente apoiada assim como a contribuição modal para a res-posta em deslocamento v (x, t).

Momento flector Conforme a expressão (18.35), o momento flector M (x, t)é dado pela expressão,

M (x, t) = EI

( ∞∑s=1

d2φs (x)

dx2φs (xP )

1

(ω2s − ω2)

)P ejωt. (18.63)

Tendo em conta a relação (18.55) para a viga simplesmente apoiada, aexpressão de M (x, t) vem,

M (x, t) = −EI

(π2

`2

∞∑s=1

s2φs (x) φs (xP )1

(ω2s − ω2)

)P ejωt, (18.64)


ou ainda,

M (x, t) = −ρA`2

π2

∞∑s=1

φs (x) φs (xp)1

s2

1(1− β2

s4

) P ejωt. (18.65)

Refira-se que a contribuição dos modos de ordem s para o momentoflector varia na razão inversa de s2.

Introduzindo as expressões das formas naturais em (18.64), obtém-se,

M (x, t) = −EI2π2

ρA`3

( ∞∑s=1

s2(sin

sπ

`x)(

sinsπ

`xP

) 1

(ω2s − ω2)

)P ejωt.

(18.66)No caso presente, o desenvolvimento da série (18.66) para M (x, t) com

xp = `4

conduz à seguinte expressão,

M (x, t) = −P2

π2`2

sin π

`x sin π

41

(1−β2)+ 22 sin 2π

`x sin π

21

(24−β2)

+32 sin 3π`x sin 3π

41

(34−β2)+ ... + s2 sin sπ

`x sin sπ

41

(s4−β2)

ejωt.

(18.67)Na figura 18.5 representa-se o campo de momento flector ao longo da

viga simplesmente apoiada assim como a contribuição modal para M (x, t).

Esforço transverso Da expressão (18.36), o esforço transverso na vigasimplesmente apoiada e sujeita a uma solicitação harmónica concentradaé dado pela expressão,

Q (x, t) =∞∑

r=1

d

dx

(EI (x)

d2φr (x)

dx2φr (xP )

1

(ω2r − ω2)

)P ejωt. (18.68)

Para a viga simplesmente apoiada e de acordo com a expressão (18.48),o esforço transverso pode ainda exprimir-se,

Q (x, t) =1

ω21

∞∑r=1

d

dx

(EI (x)

d2φr (x)

dx2φr (xP )

1

(s4 − β2)

)P ejωt. (18.69)

Como para uma viga de secção constante I (x) = I , a expressão ante-rior vem,


Q (x, t) =1

ω21

EI

∞∑r=1

(d3φr (x)

dx3φr (xP )

1

(s4 − β2)

)P ejωt. (18.70)

Introduzindo agora as respectivas expressões para ω21 , d3φr(x)

dx3 e φr (xP ),obtém-se,

Q (x, t) =2

π

( ∞∑s=1

s3 cos(sπ

`x)

sin(sπ

`xp

) 1

(s4 − β2)

)P ejωt. (18.71)

Após rearranjo, a expressão anterior pode ainda escrever-se na forma,

Q (x, t) =2

π

∞∑s=1

cos(sπ

`x)

sin(sπ

`xp

) 1

s

1(1− β2

s4

) P ejωt. (18.72)

Da expressão anterior decorre que a contribuição dos modos de ordems para o esforço transverso varia apenas na razão inversa de s.

No caso presente, o desenvolvimento da série (18.71) para Q (x, t) comxp = `

4conduz à seguinte expressão,

Q (x, t) =2

π

cos π

`x sin π

41

(1−β2)+ 23 cos 2π

`x sin π

21

(24−β2)

+33 cos 3π`x sin 3π

41

(34−β2)+ ... + s3 cos sπ

`x sin sπ

41

(s4−β2)

P ejωt.

(18.73)Na figura 18.6 representa-se o campo de esforço transverso ao longo

da viga simplesmente apoiada assim como a contribuição modal para aQ (x, t).

A análise conjunta da expressão (18.59) e da figura 18.4 revela que osmodos de ordem s mais elevada apresentam uma contribuição pouco sig-nificativa para a resposta em deslocamento, pois a sua contribuição variana razão inversa de s4. No entanto, a sua contribuição é mais significa-tiva para o momento flector, expressão (18.65) e figura 18.5, e ainda maisrelevante para o esforço de corte, expressão (18.72) e figura 18.6. Noutrostermos, a série em (18.72) para o esforço de corte converge mais lenta-mente com o número s de modos do que a série para o momento flector em(18.65), que, por sua vez, converge muito mais lentamente do que a sérieem (18.59) para o deslocamento. Por isso, deverá ser criteriosa a escolha donúmero de modos tomados em consideração ao estimar a resposta, pois asua selecção depende do parâmetro de resposta que se pretende determi-nar, para além do conteúdo em frequência da solicitação aplicada.


0 1/4 1/2 3/4 1

0

x/`

V(x

)

V

φ1

φ2

φ3

φ4

φ5

φ6

Figura 18.4: Resposta em deslocamento e contribuição modal na viga sim-plesmente apoiada

Funções de resposta em frequência De acordo com a expressão (18.45),e tendo em conta a relação (18.48), as funções de resposta em frequênciade tipo receptância para a viga simplesmente apoiada podem escrever-sena forma,

αx,xp (ω) =1

ω21

∞∑s=1

φs (x) φs (xp)1

(s4 − β2). (18.74)

Após substituição de ω21 e das formas naturais, as funções de resposta

em frequência vêm,

αx,xp (ω) =2`3

π4EI

∞∑s=1

sin(sπ

`x)

sin(sπ

`xP

) 1

(s4 − β2). (18.75)

No caso presente, a solicitação está aplicada na secção xP = 14`, de

modo que as expressões para as funções de resposta em frequência escre-vem-se,

αx, /4

(ω) =2`3

π4EI

∞∑s=1

sin(sπ

`x)

sin(sπ

4

) 1

(s4 − β2). (18.76)

Em particular, a função de resposta em frequência directa, isto é, parax = 1

4`, vale,


0 1/4 1/2 3/4 1

0

x/`

M(x

)

Mf

φ1

φ2

φ3

φ4

φ5

φ6

Figura 18.5: Resposta em momento flector e contribuição modal da vigasimplesmente apoiada

α/4, /4

(ω) =2`3

π4EI

∞∑s=1

φs

(`

4

)φs

(`

4

)1

(s4 − β2). (18.77)

Na figura 18.7 representa-se a função receptância directa na secção x =14` sob a forma do diagrama de Bode e a respectiva contribuição modal.

Para a secção x = 12`, a função de resposta em frequência devida à

solicitação aplicada em xp = 14` vale,

α/2, /4

(ω) =ρA`4

π4EI

∞∑s=1

φs

(`

2

)φs

(`

4

)1

(s4 − β2). (18.78)

Na figura 18.8 representa-se a função receptância para a secção xR = 12`

sob a forma do diagrama de Bode e a respectiva contribuição modal.Para a secção x = 3

4`, a função de resposta em frequência devida à

solicitação aplicada em xp = 14` vale,

α3 /4, /4(ω) =

ρA`4

π4EI

∞∑s=1

φs

(3`

4

)φs

(`

4

)1

(s4 − β2). (18.79)

Na figura 18.9 representa-se a função receptância na secção xR = 34`

sob a forma do diagrama de Bode e a respectiva contribuição modal.


0 1/4 1/2 3/4 1

0

x/`

Q(x

)

Q

φ1

φ2

φ3

φ4

φ5

φ6

Figura 18.6: Resposta em esforço de corte e contribuição modal da vigasimplesmente apoiada


φ/

ω /Hz

α/d

B

(a) Receptância α0.25`−0.25`

ω /Hz

α/dB

(b) α0.25`−0.25`: contribuição modal

Figura 18.7: Função de resposta em frequência (receptância) e contribuiçãomodal da viga simplesmente apoiada


φ/

ω /Hz

α/d

B


ω /Hz

α/dB




φ/

ω /Hz

α/d

B


ω /Hz

α/dB



CAPÍTULO 19

Sistemas contínuosMétodos aproximados

19.1 Introdução

Os métodos aproximados são fundamentais para tratar problemas paraos quais não estão disponíveis soluções analíticas. Refira-se que a maio-ria dos sistemas contínuos não conduzem a problemas característicos paraos quais existam soluções analíticas disponíveis, em particular devido àdistribuição não uniforme de massa e de rigidez. Por isso, é necessáriofrequentemente procurar soluções aproximadas para o problema carac-terístico e, em consequência, para as frequências e formas naturais de vi-bração. Note-se, igualmente, que as soluções exactas estabelecidas parasistemas com propriedades uniformemente distribuídas podem constituiruma base para a determinação de soluções aproximadas para os sistemascom propriedades distribuídas de modo não uniforme.

Os métodos aproximados consistem em procedimentos de discretiza-ção dos sistemas contínuos, isto é, procedimentos para substituir os sis-temas contínuos por sistemas discretos equivalentes. Os métodos de dis-cretização podem ser divididos em duas grandes classes, a primeira re-

401

402 Capítulo 19. Sistemas contínuos: Métodos aproximados

presentando a solução como uma série finita de termos que consistemem funções da variável espacial multiplicadas por coordenadas general-izadas dependentes da variável tempo, e a segunda concentrando massasem pontos discretos do sistema contínuo. No primeiro método, as funçõesda variável espacial não verificam a equação diferencial, mas têm de satis-fazer todas ou algumas das condições de fronteira, conforme a formulaçãoadoptada. É neste aspecto que as soluções exactas de sistemas uniformesse revelam interessantes, pois que as funções em questão podem ser escol-hidas como as funções características de um sistema associado uniforme.


Para as estruturas unidimensionais cuja geometria se desenvolve ao longode uma dimensão x, tais como os veios, as cordas, as barras e as vigas, aequação característica pode escrever-se na forma da equação diferencial,

− L [k (x)L (V (x))] = ω2m (x) V (x) (19.1)

onde L representa um operador diferencial da variável espacial x, k (x)e m (x) representam, respectivamente, a rigidez e a massa ou inércia dasecção recta da estrutura e V (x) a função deslocamento. Estas grandezastomam os valores tabelados na Tabela 19.1 no caso das estruturas unidi-mensionais estudadas.

q ( x , t ) = Q ( x ) g ( t )

u ( x , t ) = U ( x ) g ( t )

v ( x , t ) = V ( x ) g ( t )

k ( x )m ( x )

x

l

Figura 19.1: Representação esquemática de uma estrutura unidimensional

19.2 Quociente de Rayleigh 403Tabela 19.1: Operador diferencial e propriedades das estruturas unidimen-sionais

L (. . . ) k (x) m (x) v (x, t) V (x)

Cordas ddx

(. . .) T (x) ρA (x) v (x, t) V (x)

Veios ddx

(. . .) GIp(x) J(x) = ρIp(x) θ (x, t) Θ (x)

Barras ddx

(. . .) EA (x) ρA (x) u (x, t) U (x)

Vigas d2

dx2 (. . .) EI (x) ρA (x) v (x, t) V (x)

A equação característica (19.1) tem de ser verificada no domínio 0 <x < ` e as soluções (ω2

n, Vn (x)) ou funções características Vn (x) repre-sentativas das formas naturais de vibração têm de verificar as condiçõesde fronteira do problema. Introduzindo a solução de ordem r , (ω2

r , Vr (x)),na equação característica, tem-se,

− L [k (x)L (Vr (x))] = ω2rm (x) Vr (x) . (19.2)

Multiplicando a equação anterior pela função característica Vr (x) e in-tegrando no domínio 0 < x < `, obtém-se,

−∫ `

0

Vr (x) L [k (x)L (Vr (x))] dx = ω2r

∫ `

0

m (x) V 2r (x) dx. (19.3)

Resolvendo a equação para ω2r vem,

ω2r =

− ∫ `

0Vr (x)L [k (x)L (Vr (x))] dx∫ `

0m (x) V 2

r (x) dx. (19.4)

Integrando por partes o numerador, obtém-se,

ω2r =

Vr (x) k (x)L (Vr (x))|`0 +∫ `

0L (Vr (x)) k (x)L (Vr (x)) dx∫ `

0m (x) V 2

r (x) dx. (19.5)

Como a função característica verifica as condições de fronteira, o pri-meiro termo do numerador é nulo, isto é,

Vr (x) k (x)L (Vr (x))|`0 = Vr (`) k (`)L (Vr (`))− Vr (0) k (0)L (Vr (0))

= 0

(19.6)


Então, a frequência natural ω2r é dada pela expressão,

ω2r =

− ∫ `

0Vr (x)L (Vr (x)) k (x)L (Vr (x)) dx∫ `

0m (x) V 2

r (x) dx. (19.7)

Substituindo na expressão anterior a função característica Vr (x) poruma função Φ (x) que verifica as condições de fronteira mas não verificaa equação diferencial, obtém-se a funcional R (Φ (x)), designada por quo-ciente de Rayleigh e definida da seguinte forma,

R (Φ (x)) = ω2 =

∫ `

0L (Φ (x)) k (x)L (Φ (x)) dx∫ `

0Φ (x) m (x) Φ (x) dx

. (19.8)

Se a função Φ (x) for uma função característica do problema (19.1), en-tão o resultado do quociente de Rayleigh é o quadrado da frequência natu-ral associada. Ao contrário, para um função Φ (x) qualquer que verifica ascondições de fronteira mas não a equação diferencial, o resultado do quo-ciente de Rayleigh é um escalar cujo valor depende da função Φ (x). Noentanto, o quociente de Rayleigh R (Φ (x)) possui um valor estacionáriosempre que Φ (x) se encontrar na vizinhança de uma qualquer função na-tural Vr (x), r = 1, 2, . . . ,∞.

Com efeito, utilizando o teorema da expansão, a função Φ (x) podeexprimir-se como uma combinação linear das funções características Vr (x) r =1, . . . ,∞, na forma,

Φ (x) =∞∑

r=1

crVr (x) . (19.9)

Substituindo Φ (x) pela sua expansão no quociente de Rayleigh vem

R (Φ (x)) =

∫ `

0

∞∑r=1

cr L (Vr (x)) k (x)∞∑

s=1

csL (Vs (x)) dx

∫ `

0

∞∑r=1

crVr (x) m (x)∞∑

s=1

csVs (x) dx. (19.10)

Com as funções características normalizadas de modo a verificarem aspropriedades de ortonormalidade

∫ `

0L (Vr (x)) k (x)L (Vs (x)) dx = ω2

rδrs

∫ `

0Vr (x) m (x) Vs (x) dx = δrs

r, s = 1, 2, . . . ,∞, (19.11)


a expressão do quociente de Rayleigh pode então simplificar-se, de modoque,

R (Φ (x)) =

∞∑r=1

∞∑s=1

crcsω2rδrs

∞∑r=1

∞∑s=1

crcs

=

∞∑r=1

c2rω

2r

∞∑r=1

c2r

. (19.12)

Para uma função Φ (x) que difere ligeiramente da função própria Vk (x),isto é, Φ (x) ∼= Vk (x), os coeficientes cr na expansão (19.9) são quantidadesmuito pequenas quando comparados com o coeficiente ck,

cr = εrckr = 1, 2, . . . ,∞r 6= k

(19.13)

onde os εr são quantidades pequenas, εr << 1. Introduzindo as relações(19.13) na expressão de R (Φ (x)),

R (Φ (x)) =

c2kω

2k +

∞∑r=1r 6=k

ε2rc

2kω

2r

c2k +

∞∑r=1r 6=k

ε2rc

2k

. (19.14)

Dividindo o numerador e o denominador por c2k, o quociente simplifica-

se na forma,

R (Φ (x)) =

ω2k +

∞∑r=1r 6=k

ε2rω

2r

1 +∞∑

r=1r 6=k

ε2r

. (19.15)

Desenvolvendo agora o termo 1

1+∞∑

r=1r 6=k

ε2r

em série de Taylor, em torno do

ponto regular εr = 0,

1

1 +∞∑

r=1r 6=k

ε2r

∼= 1−∞∑

r=1r 6=k

ε2r. (19.16)

obtém-se a seguinte expressão para o quociente de Rayleigh,


R (Φ (x)) =

ω2

k +∞∑

r=1r 6=k

ε2rω

2r

1−

∞∑r=1r 6=k

ε2r

. (19.17)

Efectuando o produto no segundo membro e desprezando as quanti-dades de ordem superior à segunda, a expressão do quociente de Rayleighvem finalmente,

R (Φ (x)) ∼= ω2k +

∞∑r=1r 6=k

(ω2

r − ω2k

)ε2

r. (19.18)

Assim, para uma função Φ (x) que difere da forma natural Vk (x) deuma pequena quantidade ε de 1a ordem, o quociente de Rayleigh R (Φ (x))difere da frequência natural ω2

k associada de uma pequena quantidade de2a ordem O (ε2) . Em consequência, o quociente de Rayleigh R (Φ (x)) pos-sui um valor estacionário na vizinhança das formas naturais, sendo osvalores estacionários as frequências naturais correspondentes.1 Em par-ticular, na vizinhança do modo fundamental (ω2

1; V1 (x)) , o quociente deRayleigh R (Φ (x)) apresenta um valor mínimo. Com efeito, para k = 1vem

R (Φ (x)) ∼= ω21 +

∞∑r=2

(ω2

r − ω21

)ε2

r. (19.19)

Como ω1 < ω2 < . . . < ωr < . . . < ω∞, então

R (Φ (x)) ≥ ω21. (19.20)

O quociente de Rayleigh fornece, pois, um limite superior para o qua-drado da frequência natural fundamental.

19.3 Método da Energia de Rayleigh

O método da energia de Rayleigh é um procedimento para estimar a fre-quência fundamental de vibração de um sistema sem resolver a equaçãocaracterística associada. O método baseia-se no princípio de Rayleigh, que

1A function is said to have a stationary value at a given point if the rate of change ofthe function with respect to every independent variable vanishes at that point. Specialcases of stationarity values are the extremal values of a function, namely, the maximumand the minimum.

19.3 Método da Energia de Rayleigh 407

se pode enunciar na forma: ” Para um sistema conservativo, a frequência devibração estimada apresenta um valor estacionário na vizinhança de um modonatural ”. Este valor estacionário é um mínimo na vizinhança do modofundamental.

19.3.1 Análise energética

A equação diferencial do regime livre ou natural dos sistemas contínuosunidimensionais pode escrever-se na forma

L (k (x)L (v (x, t))) = m (x)∂2v (x, t)

∂t2, (19.21)

e admite uma solução sob a forma de variáveis separadas, correspondentea um movimento livre ou natural síncrono à frequência natural, do tipo

v (x, t) = V (x) g (t) , (19.22)

onde a função g (t) é harmónica e representa a lei de variação no tempo domovimento livre. A função g (t) pode escrever-se na forma

g (t) = C cos ωt + D sin ωt = E cos (ωt− φ). (19.23)

q ( x , t ) = Q ( x ) g ( t )

u ( x , t ) = U ( x ) g ( t )

v ( x , t ) = V ( x ) g ( t )

k ( x )m ( x )

x

l

Figura 19.2: Estrutura unidimensional em regime livre

A resposta em velocidade obtém-se por derivação em ordem ao tempoda resposta em deslocamento. Assim,


v (x, t) =∂

∂t(V (x) g (t)) = V (x)

dg (t)

dt(19.24)

onde dg(t)dt

vale

dg (t)

dt= −ωE sin (ωt− φ) . (19.25)

Para um qualquer sistema contínuo unidimensional, a energia poten-cial instantânea é dada pela expressão

V (t) =1

2

∫ `

0

k (x) (L (v (x, t)))2 dx. (19.26)

Após introdução do campo de deslocamento v (x, t) = V (x) g (t) vem

V (t) =1

2

∫ `

0

k (x) (L (V (x) g (t)))2 dx

=

(1

2

∫ `

0

k (x) (L (V (x)))2 dx

) (E2 cos2 (ωt− φ)

).

(19.27)

Por outro lado, a energia cinética instantânea vale

T (t) =1

2

∫ `

0

m (x) (v (x, t))2 dx. (19.28)

Após substituição da solução v (x, t) = V (x) g (t), obtém-se

T (t) =1

2

∫ `

0

m (x)

(V (x)

dg (t)

dt

)2

dx. (19.29)

A análise das expressões (19.27) e (19.29) mostra que quando cos (ωt− φ) =0, a energia potencial é nula e o sistema passa pela posição de equilíbrioestático. No mesmo instante, sin (ωt− φ) = ±1, de modo que no instanteem que cos (ωt− φ) = 0 a energia cinética atinge o seu valor máximo. Deforma idêntica, quando cos (ωt− φ) = ±1 e sin (ωt− φ) = 0, a energia po-tencial atinge o seu valor máximo e a energia cinética é nula. No entanto,para um sistema conservativo a energia total é constante, donde se concluique

Et = Tmax + 0 = 0 + Vmax, (19.30)

ou então que


Tmax = Vmax. (19.31)

A partir das expressões (19.27) e (19.29), a energia potencial máxima ea energia cinética máxima valem, respectivamente,

Vmax =1

2

∫ `

0

k (x) (L (V (x)))2 dx(E2

), (19.32)

Tmax =1

2ω2

∫ `

0

m (x) (V (x))2 dx(E2

). (19.33)

Definindo energia cinética de referência T ∗ como

T ∗ =Tmax

ω2, (19.34)

e igualando a energia cinética máxima e a energia potencial máxima deacordo com a expressão (19.31), obtém-se

ω2 =Vmax

T ∗ =12

∫ `

0k (x) (L (V (x)))2 dx

12

∫ `

0m (x) (V (x))2 dx

. (19.35)

A expressão anterior, estabelecida com base na análise energética doregime livre, fornece o valor da frequência natural associada a qualquerforma natural V (x) = Vn (x) n = 1, 2, . . . ,∞,

ω2n =

Vnmax

T ∗n

=12

∫ `

0k (x) (L (Vn (x)))2 dx

12

∫ `

0m (x) (Vn (x))2 dx

n = 1, 2, . . . ,∞. (19.36)

19.3.2 Formulação fracaRecorde-se que a função de aproximação Φ (x) para o quociente de Rayleighdefinido pela expressão (19.8) tem de satisfazer todas as condições de fron-teira. No entanto, pode, agora, derivar-se uma nova expressão para o quo-ciente de Rayleigh e para a qual se verifica um "relaxamento" nas condiçõesde fronteira a verificar pela função de aproximação.

Considere-se o sistema representado na figura e cuja equação carac-terística é do tipo

L (k (x)L (V (x))) = ω2m (x) V (x) . (19.37)

O sistema apresenta uma condição de fronteira geométrica e outra na-tural, respectivamente,


V (0) = 0 k (x) L (V (x))|x=` = −kV (x)∣∣x=`

, (19.38)

onde k representa a constante de rigidez da mola.

l

xv ( x , t ) = V ( x ) g ( t )

m ( x ) , k ( x )k-

Figura 19.3: Estrutura unidimensional com condições de fronteira ge-ométricas e naturais

De acordo com a expressão (19.8), o quociente de Rayleigh é da forma

R (Φ (x)) = ω2 =− ∫ `

0Φ (x)L (k (x)L (Φ (x))) dx∫ `

0m (x) (Φ (x))2 dx

. (19.39)

A análise da expressão anterior permite concluir que:

• o valor do quociente de Rayleigh depende da função Φ (x);

• a função Φ (x) tem de ser derivável um número de vezes igual à or-dem do sistema, pois no numerador tem-se o termoL (k (x)L (V (x)));

• as condições de fronteira que não aparecem explicitamente na ex-pressão têm de ser verificadas pela função de aproximação Φ (x).

As funções que são deriváveis um número de vezes igual à ordemdo sistema e verificam todas as condições de fronteira, designam-se por"funções teste". Assim, a função Φ (x) na expressão (19.39) do quociente deRayleigh tem de pertencer à classe das "funções teste". As funções carac-terísticas Vn (x) formam um subconjunto do conjunto das "funções teste".

A integração por partes do numerador e a aplicação das condições defronteira (19.38) conduzem a:


−∫ `

0

Φ (x)L (k (x)L (Φ (x))) dx = −Φ (x) k (x) L (Φ (x))|`0

+

∫ `

0

L (Φ (x)) k (x)L (Φ (x)) dx

= −Φ (`) k (`)L (Φ (`))︸︷︷︸−kΦ(`)

+ Φ (0) k (0)L (Φ (0))

+

∫ `

0

L (Φ (x)) k (x)L (Φ (x)) dx

= k (Φ (`))2 +

∫ `

0

k (x) (L (Φ (x)))2 dx.

(19.40)

O segundo membro da expressão anterior representa o dobro da ener-gia potencial máxima do sistema, incluindo a energia potencial do ele-mento elástico que define a condição de fronteira natural. Assim, o nume-rador da expressão (19.39) representa o dobro da energia potencial máxi-ma do sistema,

−∫ `

0

Φ (x)L (k (x)L (Φ (x))) dx = k (Φ (`))2 +

∫ `

0

k (x) (L (Φ (x)))2 dx.

(19.41)Por outro lado, o denominador na expressão (19.39) representa o dobro

da energia cinética de referência do sistema,

∫ `

0

m (x) (Φ (x))2 dx = 2T ∗. (19.42)

A expressão (19.39) para o quociente de Rayleigh pode, então, escrever-se:

R (Φ (x)) = ω2 =− ∫ `

0Φ (x)L (k (x)L (Φ (x))) dx∫ `

0m (x) (Φ (x))2 dx

. (19.43)

A expressão assim obtida para o quociente de Rayleigh é idêntica àexpressão (19.36) estabelecida através da análise energética. Assim, a ex-pressão do quociente de Rayleigh R (Φ (x)) = ω2 = Vmax

T ∗ é válida paraqualquer sistema contínuo e para qualquer tipo de condições de fronteira


desde que estas sejam consideradas na energia potencial máxima Vmax ena energia cinética de referência T ∗.

Considere-se um outro caso para o qual a equação característica é idên-tica e onde as condições de fronteira, geométrica e natural, são agora

V (0) = 0 k (x) L (V (x))|x=` = −M∂2v (x, t)

∂t2. (19.44)

l

x v ( x , t ) = V ( x ) g ( t )

m ( x ) , k ( x )

M

Figura 19.4: Estrutura unidimensional com condições de fronteira ge-ométricas e naturais

De acordo com a expressão (19.8) do quociente de Rayleigh, este escreve-se:

R (Φ (x)) = ω2 =− ∫ `

0Φ (x)L (k (x)L (Φ (x))) dx∫ `

0m (x) (Φ (x))2 dx

. (19.45)

Procedendo de forma idêntica, isto é, integrando por partes o numera-dor e introduzindo as condições de fronteira, obtém-se

− ∫ `

0Φ (x)L (k (x)L (Φ (x))) dx = Φ (x) k (x) L (Φ (x))|`0

+∫ `

0k (x) (L (Φ (x)))2 dx

= −Φ (`) k (`)L (Φ (`))︸︷︷︸ω2MΦ2(`)

+Φ (0) k (0)L (Φ (0))

+∫ `

0k (x) (L (Φ (x)))2 dx

= −ω2M (Φ (`))2 +∫ `

0k (x) (L (Φ (x)))2 dx.

(19.46)

Substituindo na expressão (19.45) o numerador pelo resultado da inte-gração, vem


R (Φ (x)) = ω2 =

∫ `

0Φ (x)L (k (x)L (Φ (x))) dx∫ `

0m (x) (Φ (x))2 dx

. (19.47)

A equação anterior pode resolver-se em ordem a ω2, obtendo-se comoresultado,

R (Φ (x)) = ω2 =

∫ `

0k (x) (L (Φ (x)))2 dx∫ `

0m (x) (Φ (x))2 dx + M (Φ (`))2

=2Vmax

2T ∗ , (19.48)

onde o numerador representa o dobro da energia potencial máxima e odenominador representa o dobro da energia cinética de referência do sis-tema, incluindo a energia cinética associada à massa que define a condiçãode fronteira natural.

As expressões (19.43) e (19.48) são obtidas, respectivamente, a partirdas expressões (19.39) e (19.45) por um procedimento de integração porpartes. Como resultado, o numerador em (19.43) e (19.48) envolve so-mente derivadas da função Φ (x) de ordem igual a metade da ordem doproblema (ordem do operador diferencial L ). Além disso, o efeito deapoios elásticos e de massas concentradas é automaticamente consideradona energia potencial Vmax e na energia cinética de referência T ∗, respectiva-mente. A única característica não reflectida pelas formas (19.43) e (19.48)do quociente de Rayleigh é a verificação das condições de fronteira ge-ométricas. Assim, com o quociente de Rayleigh na forma R (Φ (x)) = ω2 =Vmax

T ∗ , as características do sistema são consideradas por funções de apro-ximação deriváveis, no mínimo, um número de vezes igual a metade daordem do problema (ordem do operador diferencial L ), e que verifiquem,no mínimo, as condições de fronteira geométricas do problema. Estasfunções designam-se por funções admissíveis. Assim, pois, a função deaproximação a utilizar com o quociente de Rayleigh na forma R (Φ (x)) =ω2 = Vmax

T ∗ tem de pertencer ao conjunto de funções admissíveis, que, porsua vez, engloba o conjunto das "funções teste", contendo este o conjuntodas funções características.

Resumo do método da energia de Rayleigh

1. Arbitrar uma função de aproximação admissível para a forma natu-ral de vibração, derivável, no mínimo, um número de vezes iguala metade da ordem do problema, e compatível, no mínimo, com ascondições de fronteira geométricas;


e s p a ç o f u n c i o n a l

f u n ç õ e s t e s t e

f u n ç õ e s c a r a c t e r í s t i c a s

f u n ç õ e s a d m i s s í v e i s

F r ( x ) r = 1 , 2 , . . .

Figura 19.5: Espaço funcional

2. calcular a energia potencial elástica máxima do sistema, Vmax;

3. calcular a energia cinética máxima do sistema, Tmax = ω2T ∗;

4. calcular a estimativa por excesso da frequência fundamental,ω2 = Vmax

T ∗ .

• Vibração de torção de veios: V (x) = Θ (x) e L () = ddx

()

– Vmax = 12

∫ `

0GIp (x)

(dΘ(x)

dx

)2

dx + Vcfn

– Tmax = ω2(

12

∫ `

0J (x) (Θ (x))2 dx + T ∗

cfn

)

• Vibração longitudinal de barras: V (x) = U (x) e L () = ddx

()

– Vmax = 12

∫ `

0EA (x)

(dU(x)

dx

)2

dx + Vcfn

– Tmax = ω2(

12

∫ `

0ρA (x) (U (x))2 dx + T ∗

cfn

)

• Vibração de flexão de vigas: V (x) = V (x) e L () = d2

dx2 ()

– Vmax = 12

∫ `

0EI (x)

(d2V (x)

dx2

)2

dx + Vcfn

– Tmax = ω2(

12

∫ `

0ρA (x) (V (x))2 dx + T ∗

cfn

)

19.4 Método de Rayleigh-Ritz 415

19.4 Método de Rayleigh-Ritz

O método de Rayleigh-Ritz pode considerar-se como uma extensão dométodo de Rayleigh. O método baseia-se na premissa de que se obtémuma melhor aproximação para os modos naturais usando uma combi-nação de funções admissíveis em vez de uma única função como no métodode Rayleigh. Este método fornece aproximações para a frequência funda-mental e para as frequências superiores assim como para as respectivasformas naturais. Pode utilizar-se um número arbitrário de funções admis-síveis e o número de frequências obtidas é igual ao número de funçõesutilizadas.

Para estruturas unidimensionais, a deformada V (x) pode ser aproxi-mada pela expansão

V (x) =n∑

i=1

aiψi (x) , (19.49)

onde as funções ψi (x) i = 1, 2, . . . , n da coordenada espacial x são fun-ções admissíveis linearmente independentes que verificam, pois, as con-dições de fronteira geométricas assim como a condição de derivabilidade,e ai i = 1, 2, . . . , n são os coeficientes de Ritz a determinar, figura 19.6.Estes coeficientes são determinados de modo que a função V (x) constituaa melhor aproximação para as formas naturais de vibração.

Assim, introduzindo a expansão para V (x) no quociente de Rayleigh,obtém-se

R (V (x)) = ω2 =Vmax

T ∗

=N (V (x))

D (V (x))=

N (ai i = 1, . . . , n)

D (ai i = 1, . . . , n),

(19.50)

onde o numerador N e o denominador D são ambos função dos coefi-cientes de Ritz ai i = 1, . . . , n.

Para tornar o quociente de Rayleigh estacionário, iguala-se a zero cada

uma das derivadas parciais∂(ω2)∂ar

em relação a cada um dos coeficientesar r = 1, 2, . . . , n, e obtém-se

∂ω2

∂ar

=D

(∂N∂ar

)−N

(∂D∂ar

)

D2= 0 r = 1, 2, . . . , n. (19.51)


Como o denominador D representando a energia cinética de referênciaé não nulo, D 6= 0, a condição de estacionaridade pode ainda escrever-se

D

(∂N

∂ar

)−N

(∂D

∂ar

)= 0 r = 1, . . . , n. (19.52)

Tendo em conta a expressão do quociente de Rayleigh, tem-se a relação

N (ai i = 1, . . . , n) = ω2D (ai i = 1, . . . , n) . (19.53)

A introdução desta relação na condição de estacionaridade conduz aosistema homogéneo

∂N (ai i = 1, . . . , n)

∂ar

− ω2∂D (ai i = 1, . . . , n)

∂ar

= 0 r = 1, . . . , n. (19.54)

º

+

+

+

a 1 y 1 ( x )

a 2 y 2 ( x )

any

n( x )

V ( x )

0 x l

l

l

l

0 x

0 x

0 x

Figura 19.6: Solução de Rayleigh-Ritz na forma de uma série finita


As equações anteriores representam um sistema de n equações algébri-cas homogéneas para os coeficientes ai i = 1, 2, . . . , n. Com efeito, e pordefinição, a energia potencial máxima e a energia cinética de referênciasão dadas pelas expressões:

N = Vmax

=1

2

`∫

0

k (x) (L (U (x)))2 dx

=1

2

`∫

0

k (x)

(n∑

i=1

aiL (ψi (x))

)(n∑

j=1

ajL (ψj (x))

)dx

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

`∫

0

k (x)L (ψi (x))L (ψj (x)) dx

aiaj,

(19.55)

D = T ∗

=1

2

`∫

0

m (x) (V (x))2 dx

=1

2

`∫

0

m (x)

(n∑

i=1

aiψi (x)

)(n∑

j=1

ajψj (x)

)dx

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

`∫

0

m (x)ψi (x) ψj (x) dx

aiaj.

(19.56)

A energia potencial máxima e a energia cinética de referência podem,então, escrever-se na seguinte forma:

N (ai i = 1, . . . , n) =1

2

n∑i=1

n∑j=1

kijaiaj (19.57)

D (ai i = 1, . . . , n) =1

2

n∑i=1

n∑j=1

mijaiaj, (19.58)

onde os coeficientes kij e mij são constantes e simétricos, kij = kji e mij =mji, e dados pelas expressões


kij =

∫ `

0

k (x)L (ψi (x))L (ψj (x)) dx (19.59)

mij =

∫ `

0

m (x) ψi (x) ψj (x) dx. (19.60)

As derivadas parciais ∂N∂ar

e ∂D∂ar

em relação aos coeficientes ar r = 1, 2, . . . , n,são então dadas pelas seguintes expressões:

∂N

∂ar

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

kij

(∂ai

∂ar

aj + ai∂aj

∂ar

)

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

kij (δiraj + aiδjr)

=1

2

n∑j=1

krjaj +1

2

n∑i=1

kirai

=n∑

j=1

krjaj

r = 1, . . . , n, (19.61)

∂D

∂ar

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

mij

(∂ai

∂ar

aj + ai∂aj

∂ar

)

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

mij (δiraj + aiδjr)

=1

2

n∑j=1

mrjaj +1

2

n∑i=1

mirai

=n∑

j=1

mrjaj

r = 1, . . . , n. (19.62)

Com as expressões (19.62) para ∂N∂ar

r = 1, . . . , n e ∂D∂ar

r = 1, . . . , n, oproblema homogéneo (19.54) pode escrever-se na forma

n∑j=1

(krj − ω2mrj

)aj = 0 r = 1, . . . , n, (19.63)

ou ainda na forma matricial


[k] a = Ω2 [m] a , (19.64)

onde [k] e [m] representam as matrizes de rigidez e de massa do sistemadiscreto equivalente ao sistema contínuo com base na aproximação (19.49),V (x) =

∑ni=1 aiψi (x), para a solução V (x).

As expressões (19.63) ou (19.64) representam um problema de valores evectores próprios. A solução é constituída por n valores próprios ω2

r , r =1, . . . , n, que representam a estimativa para as frequências naturais ωr, r =1, . . . , n, e por n vectores próprios associados, ar r = 1, . . . , n, cujas com-ponentes são os coeficientes ai i = 1, . . . , n que conduzem à melhor apro-ximação para a forma natural Vr (x) respectiva.

A substituição do vector ar =

a1r a2r . . . air . . . anr

T naexpansão (19.49) para V (x) conduz, pois, à melhor aproximação para aforma natural de ordem r,

Vr (x) = a1rψ1 + a2rψ2 + . . . + anrψn r = 1, . . . , n. (19.65)

A introdução de cada um dos vectores próprios ar , r = 1, . . . , n naexpansão (19.49) para V (x) permite determinar as aproximações Vr (x) , r =1, . . . , n para as formas naturais com base no princípio da estacionaridadede Rayleigh.

Resumo do método de Rayleigh-Ritz

Vibração axial de barras

• Expansão da função deslocamento axial U (x),

U (x) =n∑

i=1

aiψi (x)

• Energia potencial elástica Vmax,

Vmax =1

2

∫ `

0

EA (x)

(dU (x)

dx

)2

dx +1

2kc (U (xc))

2

• Energia cinética de referência T ∗,

T ∗ =1

2

∫ `

0

ρA (x) (U (x))2 dx +1

2Mc (U (xc))

2


• Matriz de rigidez [k]

kij =

∫ `

0

EA (x)dψi (x)

dx

dψj (x)

dxdx+kcψi (xc) ψj (xc) i, j = 1, 2, . . . , n

• Matriz de massa [m]

mij =

∫ `

0

ρA (x) ψi (x) ψj (x) dx+Mcψi (xc) ψj (xc) i, j = 1, 2, . . . , n

Vibração de torção

• Expansão da função deslocamento Θ (x)

Θ (x) =n∑

i=1

aiψi (x)

• Energia potencial elástica Vmax

Vmax =1

2

∫ `

0

GIp (x)

(dΘ (x)

dx

)2

dx +1

2kc (Θ (xc))

2

• Energia cinética de referência T ∗

T ∗ =1

2

∫ `

0

ρIp (x) (Θ (x))2 dx +1

2Jc (Θ (xc))

2


kij =

∫ `

0

GIp (x)dψi (x)

dx

dψj (x)

dxdx+kcψi (xc) ψj (xc) i, j = 1, 2, . . . , n


mij =

∫ `

0

ρIp (x) ψi (x) ψj (x) dx+Jcψi (xc) ψj (xc) i, j = 1, 2, . . . , n


Vibração de flexão

• Expansão da função deslocamento V (x)

V (x) =n∑

i=1

aiψi (x)

• Energia potencial elástica Vmax

Vmax =1

2

∫ `

0

EI (x)

(d2V (x)

dx

)2

dx +1

2kc (V (xc))

2

• Energia cinética de referênciaT ∗

T ∗ =1

2

∫ `

0

ρA (x) (V (x))2 dx +1

2Mc (U (xc))

2


kij =

∫ `

0

EI (x)d2ψi (x)

dx2

d2ψj (x)

dx2dx+kcψi (xc) ψj (xc) i, j = 1, 2, . . . , n


mij =

∫ `

0

ρA (x) ψi (x) ψj (x) dx+Mcψi (xc) ψj (xc) i, j = 1, 2, . . . , n

Exemplo H

A figura representa uma viga de secção variável e de comprimento `. Omaterial da viga possui módulo de elasticidade E e massa volúmica ρ.

(a) Escrever e classificar as condições de fronteira.

Utilizando as funções de aproximação

ψ1 (x) =(1− x

`

)2

e

ψ2 (x) =x

`

(1− x

`

)2

,


(b) Verificar a aplicabilidade das funções de aproximação propostas e clas-sificá-las.

(c) Pelo método da energia de Rayleigh, determinar uma estimativa dafrequência natural fundamental;

(d) Pelo método de Rayleigh-Ritz, determinar uma estimativa das fre-quências naturais e das formas naturais;

(e) Representar graficamente a aproximação das formas naturais.

y

x h

b

l

Figura 19.7: Viga de secção variável

Resolução

(a) Escrever e classificar as condições de fronteira

As condições de fronteira do problema são:

EId2V (x)

dx2

∣∣∣∣x=0

= 0 (i) EId3V (x)

dx3

∣∣∣∣x=0

= 0 (ii)

V (x) |x=` = 0 (iii)dV (x)

dx

∣∣∣∣x=`

= 0 (iv)

As condições de fronteira (i) e (ii) são naturais e as condições (iii) e (iv)são geométricas.

(b) Verificar a aplicabilidade das funções de aproximação propostas

As funções de aproximação e a suas derivadas de primeira e segundaordem valem,

ψ1 (x) =(1− x

`

)2

ψ2 (x) =x

`

(1− x

`

)2


dψ1 (x)

dx= −2

`

(1− x

`

) dψ2 (x)

dx=

1

`

(1− x

`

)2

− 2x

`2

(1− x

`

)

d2ψ1 (x)

dx2=

2

`2

d2ψ2 (x)

dx2= − 4

`2+

6x

`3

Como se trata de um problema de flexão, problema de 4o ordem, eas funções de aproximação ψ1 (x) e ψ1 (x) são deriváveis, pelo menos,duas vezes, está assegurada a condição de derivabilidade para as fun-ções ψ1 (x) e ψ2 (x) propostas.

Introduzindo as funções de aproximação nas condições de fronteirageométricas (iii) e (iv),

ψ1 (x) |x=` = 0dψ1

dx

∣∣∣∣x=`

= 0

ψ2 (x) |x=` = 0dψ2

dx

∣∣∣∣x=`

= 0

verifica-se que ambas as funções ψ1 (x) e ψ2 (x) verificam as condiçõesde fronteira geométricas.

Assim, as funções ψ1 (x) e ψ2 (x) pertencem, pois, ao subconjunto dasfunções admissíveis para o problema. Na figura seguinte estão repre-sentadas as funções admissíveis ψ1 (x) e ψ2 (x) .

(c) Pelo método da energia de Rayleigh, determinar uma estimativa dafrequência natural fundamental

Ambas as funções de aproximação ψ1 (x) e ψ2 (x) são funções admis-síveis. Porém, a função ψ1 (x) é, dentre as duas, aquela que melhoraproxima a forma natural fundamental e que, por isso, deve ser uti-lizada com o quociente de Rayleigh para estimar o valor da frequênciafundamental.

Como a altura da secção recta da viga é variável, a área e o momentode 2a ordem da secção recta da viga são dados pelas expressões,

A (x) = bhx

Ì (x) =

b

12

(hx

`

)3


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x/l

ψ1(x);

ψ2(x)

Figura 19.8: Representação das funções admissíveis ψ1 (x) e ψ2 (x)

O quociente de Rayleigh com a função de aproximação ψ1 (x) é, pordefinição, dado pela expressão,

R (ψ1 (x)) =Vmax

T∗ =

12

∫ `

0EI (x)

(d2ψ1(x)

dx2

)2

dx

12

∫ `

0ρA (x) (ψ1 (x))2 dx

onde Vmax e T ∗ representam, respectivamente, a energia potencial elás-tica máxima e a energia cinética de referência. Substituindo na ex-pressão anterior a função de aproximação ψ1 (x) e as propriedades dasecção recta, obtém-se para o quociente de Rayleigh,

R (ψ1 (x)) =Ebh3

12`3

∫ `

0x3

(2`2

)2dx

ρbh`

∫ `

0x

(1− x

`

)4dx

A estimativa por excesso da frequência fundamental de vibração for-necida pelo quociente de Rayleigh vale então,

ωR =√

R (ψ1 (x)) = 1.5811

√Eh2

ρ`4rad/s


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x/l

ψ1(x)

Figura 19.9: Aproximação da forma natural no método de Rayleigh

Para a viga em análise, a solução exacta para a frequência fundamentalapresenta o seguinte valor,

ω1 = 1.5343

√Eh2

ρ`4rad/s

Assim, o valor da estimativa por excesso para ω1 fornecido pelo métododa energia de Rayleigh é 3.05% superior ao valor exacto.

(d) Pelo método de Rayleigh-Ritz, determinar uma estimativa das fre-quências naturais e das formas naturais

Usando no método de Rayleigh-Ritz uma aproximação com as duasfunções admissíveis ψ1 (x) e ψ2 (x), a função V (x) do deslocamentotransversal será aproximada pela expansão,

V (x) = a1ψ1 (x) + a2ψ2 (x)

= a1

(1− x

`

)2

+ a2x

`

(1− x

`

)2

O método de Rayleigh-Ritz para a determinação das estimativas dasfrequências naturais e das respectivas formas naturais de vibração as-senta no princípio da estacionaridade do quociente de Rayleigh,


R (V (x)) =Vmax

T ∗ =

∫ `

0EI (x)

(d2V (x)

dx2

)2

dx∫ `

0ρA (x) (V (x))2 dx

As condições de estacionaridade,

∂R (V (x) , a1, a2)

∂a1

= 0∂R (V (x) , a1, a2)

∂a2

= 0

conduzem ao problema generalizado de valores e vectores próprios daforma,

[k11 k12

k21 k22

]a1

a2

= ω2

[m11 m12

m21 m22

]a1

a2

cuja solução constitui as estimativas das frequências naturais e os res-pectivos vectores a1 e a2 de coeficientes a1 e a2 da expansão paraas respectivas formas naturais.

Os coeficientes simétricos da matriz de rigidez são dados pelas seguin-tes expressões,

k11 =

∫ `

0

EI (x)

(d2ψ1

dx2

)2

dx

k12 = k21 =

∫ `

0

EI (x)d2ψ1

dx2

d2ψ2

dx2dx

k22 =

∫ `

0

EI (x)

(d2ψ2

dx2

)2

dx

Em relação aos coeficientes simétricos da matriz de massa, estes sãodados pelas seguintes expressões,

m11 =

∫ `

0

ρA (x) (ψ1 (x))2 dx

m12 = m21 =

∫ `

0

ρA (x) ψ1 (x) ψ2 (x) dx


m22 =

∫ `

0

ρA (x) (ψ2 (x))2 dx

Introduzindo os coeficientes de rigidez e de massa no problema devalores e vectores próprios obtém-se,

Ebh3

`3

[ 112

130

130

130

]a1

a2

= ω2ρbh`

[ 130

1105

1105

1280

]a1

a2

O problema de valores e vectores próprios pode ainda escrever-se soba forma de um sistema de equações homogéneas,

[ 112− ω2 1

30130− ω2 1

105130− ω2 1

105130− ω2 1

280

]a1

a2

=

0

0

onde

ω2 = ω2 ρ`4

Eh2ω = ω

√Eh2

ρ`4

Este sistema de equações homogéneas admite soluções não triviaisdesde que o determinante característico seja nulo. Para isso, calcu-lando e anulando o determinante característico obtém-se a seguinteequação polinomial característica,

(1

12− ω2 1

30

)(1

30− ω2 1

280

)−

(1

30− ω2 1

105

)2

= 0

Após desenvolvimento e simplificação, a equação característica vem,

1

294ω4 − 13

140ω2 +

1

5= 0

Resolvendo a equação característica, obtêm-se as raízes ω21 e ω2

2 ,

ω21 = 2.3574 ω2

2 = 24.9426

e as estimativas para as frequências naturais ω1 e ω2, de acordo com asexpressões valem então,


ω1 = 1.5353

√Eh2

ρ`4rad/s ω2 = 4.9942

√Eh2

ρ`4rad/s

Substituindo os valores característicos ω21 e ω2

2 no sistema homogéneo,obtêm-se os respectivos vectores a1 e a2 de coeficientes,

a1 =

a11

a21

=

0.9164−0.4002

a2 =

a12

a22

=

−0.26330.9647

Introduzindo os vectores a1 e a2 de coeficientes na expansão emsérie, obtêm-se as respectivas aproximações φ1 (x) e φ2 (x) para as for-mas naturais,

φ1 (x) = a11ψ1 (x) + a21ψ2 (x)

= 0.9164(1− x

`

)2

− 0.4002x

`

(1− x

`

)2

φ2 (x) = a12ψ1 (x) + a22ψ2 (x)

= −0.2633(1− x

`

)2

+ 0.9647x

`

(1− x

`

)2

(e) Representar graficamente a aproximação das formas naturais

As aproximações φ1 (x) e φ2 (x) obtidas para as duas primeiras formasnaturais de vibração estão representadas na figura 19.10.

Ambas as aproximações apresentam uma boa concordância com asformas naturais exactas de uma viga de secção constante com idên-ticas condições de fronteira. Refira-se que a aproximação para a se-gunda forma natural apresenta um nodo para x ∼= 0.273`.

N

19.5 Método dos modos assumidos 429

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−8

−6

−4

−2

0

2

x/l

φ 1(x);

φ 2(x)

Figura 19.10: Aproximação das formas naturais no método de Rayleigh-Ritz

19.5 Método dos modos assumidos

O método dos modos assumidos (“Assumed Modes Method”) é muitopróximo do método de Rayleigh-Ritz. De facto, o método dos modos as-sumidos é, igualmente, um processo de discretização do problema associ-ado a um sistema contínuo através de uma solução em série e o modelodiscreto obtido com o método dos modos assumidos é idêntico ao obtidocom o método de Rayleigh-Ritz. A principal diferença entre os dois méto-dos é que o método de Rayleigh-Ritz é comummente usado para deter-minar frequências e formas naturais de vibração (problema de valores evectores próprios) enquanto que o método dos modos assumidos é, geral-mente, usado para resolver o problema de vibração forçada.

No método dos modos assumidos, a solução do problema de vibraçãoassociado a um sistema contínuo é assumida na forma de uma série com-posta por uma combinação linear de funções admissíveis ψi(x) i = 1, . . . , n,que são funções da variável espacial x, multiplicadas por coordenadasgeneralizadas dependentes do tempo, qi(t) i = 1, . . . , n. Assim, para umsistema contínuo unidimensional de ordem 2p, a solução para o desloca-mento v(x, t) é assumida na forma,

v (x, t) =n∑

i=1

ψi (x) qi (t) , (19.66)


onde ψi(x) i = 1, . . . , n são funções admissíveis conhecidas (verificam ascondições de fronteira geométricas e admitem derivadas, pelo menos, deordem p) e qi(t) i = 1, . . . , n são funções desconhecidas do tempo t, de-signadas por coordenadas generalizadas, figura 19.11. Para um sistemacontínuo em vibração forçada, a energia cinética T (t), a energia de defor-mação elástica V (t) e o trabalho virtual das forças não conservativas δW (t)dependem da solução v(x, t) e das suas derivadas parciais em relação a te a x e podem exprimir-se em termos da solução dos modos assumidosdada pela equação (19.66). Em conjunto com a solução (19.66), o métododos modos assumidos utiliza as equações de movimento de Lagrange paraobtenção das equações do movimento do modelo discreto associado como sistema contínuo. No essencial, este método trata o sistema contínuocomo um sistema discreto com n graus de liberdade representados pelascoordenadas generalizadas qi(t) i = 1, . . . , n.

Considere-se um sistema contínuo unidimensional de ordem 2p apre-sentando uma distribuição de rigidez k(x) e uma distribuição de massam(x), figura 19.12. O sistema está submetido a uma força exterior dis-tribuída, f(x, t) por unidade de comprimento, e a l forças concentradas

Fr(t)δ(x− xr) r = 1, . . . , l (19.67)

actuando nas secções de coordenada x = xr, sendo δ(x−xr) a função deltade Dirac2.

A energia de deformação elástica V (t), a energia cinética T (t) e o tra-balho virtual das forças não conservativas δW (t) são dados, respectiva-mente, pelas expressões integrais,

V (t) =1

2

∫ `

0

k(x) (L (v(x, t)))2 dx, (19.68)

T (t) =1

2

∫ `

0

m(x) (v(x, t))2 dx, (19.69)

δW =

∫ `

0

[f(x, t) +

l∑r=1

Fr(t)δ(x− xr)

]δv(x, t) dx, (19.70)

onde v(x, t) representa a função deslocamento, v(x, t) a respectiva veloci-dade eL um operador diferencial de ordem p. Substituindo a aproximação(19.66) para o deslocamento v(x, t) na expressão (19.68) da energia de de-formação elástica, obtém-se,

2Note-se que δ(x− xr) = 0 para x 6= xr e∫ `

0δ(x− xr) dx = 1.


V (t) =1

2

∫ `

0

k(x)n∑

i=1

L (ψi(x)) qi(t)n∑

j=1

L (ψj(x)) qj(t) dx

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

qi(t)qj(t)

(∫ `

0

k(x)L (ψi(x))L (ψj(x)) dx

)

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

kijqi(t)qj(t),

(19.71)

onde kij i, j = 1, . . . , n são os coeficientes de rigidez constantes e simétri-cos, que dependem da distribuição de rigidez k(x) do sistema e das fun-ções interpoladoras ψi(x) i = 1, . . . , n, dados pela expressão,

º

+

+

+

y 1 ( x ) q 1 ( t )

y 2 ( x ) q 2 ( t )

y n ( x ) q n ( t )

v ( x , t )

0 x l

l

l

l

0 x

0 x

0 x

Figura 19.11: Solução na forma de uma série finita


kij = kji =

∫ `

0

k (x)L (ψi (x))L (ψj (x)) dx i, j = 1, . . . , n. (19.72)

Para a energia cinética, após substituição da solução (19.66) em (19.69),vem,

T (t) =1

2

∫ `

0

m(x)n∑

i=1

ψi(x)qi(t)n∑

j=1

ψj(x)qj(t) dx

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

qi(t)qj(t)

(∫ `

0

m(x)ψi(x)ψj(x) dx

)

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

mij qi(t)qj(t),

(19.73)

onde mij i, j = 1, . . . , n são os coeficientes de massa constantes e simétri-cos, dependentes da distribuição de massa m(x) do sistema e das funçõesinterpoladoras ψi(x) i = 1, . . . , n, dados pela expressão,

mij = mji =

∫ `

0

m (x) ψi (x) ψj (x) dx i, j = 1, . . . , n. (19.74)

Para o trabalho virtual das forças não conservativas, a substituição dasolução (19.66) na expressão (19.70) conduz a,

q ( x , t ) = Q ( x ) g ( t )

u ( x , t ) = U ( x ) g ( t )

v ( x , t ) = V ( x ) g ( t )

k ( x )

m ( x ) x

l

x

x r

f ( x , t )F r ( t )

Figura 19.12: Sistema unidimensional: barra, veio e viga


δW (t) =

∫ `

0

[f(x, t) +

l∑r=1

Frδ(x− xr)

]n∑

i=1

ψi (x) δqi(t) dx

=n∑

i=1

[∫ `

0

f(x, t)ψ(x) dx +l∑

r=1

Fr(t)ψi(xr)

]δqi

=n∑

i=1

Qi(t)δqi,

(19.75)

onde Qi(t) i = 1, . . . , n são as forças generalizadas não conservativas cor-respondentes às coordenadas generalizadas qi(t) i = 1, . . . , n, dadas por,

Qi(t) =

∫ `

0

f(x, t)ψi (x) dx +l∑

r=1

Fr(t)ψi(xr) i = 1, . . . , n. (19.76)

Refira-se que, os coeficientes de rigidez kij , expressão (19.74), contêmderivadas das funções interpoladoras ψi (x) i = 1, . . . , n de ordem p iguala metade da ordem 2p da equação diferencial do sistema contínuo em con-sideração. Por outro lado, as condições de fronteira naturais são conside-radas nas expressões da energia cinética e da energia potencial. Em conse-quência, as funções interpoladoras ψi (x) i = 1, . . . , n têm de ser somentefunções admissíveis.

Para estabelecer o modelo espacial discreto associado ao sistema con-tínuo, recorra-se às equações de Lagrange que podem escrever-se na for-ma,

d

dt

(∂T

∂qi

)− ∂T

∂qi

+∂V

∂qi

= Qi, i = 1, . . . , n. (19.77)

Substituindo as equações (19.71), (19.73) e (19.76) em (19.77), derivam-se as equações de movimento do sistema discretizado,

n∑j=1

mij qj(t) +n∑

j=1

kijqj(t) = Qi, i = 1, . . . , n. (19.78)

As equações de movimento (19.78) podem escrever-se na forma matri-cial,

[m] q(t)+ [k] q(t) = Q(t) , (19.79)


onde [m] e [k] representam, respectivamente, a matriz dos coeficientes demassa e a matriz dos coeficientes de rigidez, e os vectores de deslocamen-tos generalizados q(t), de acelerações generalizadas q(t) e de forçasgeneralizadas Q(t) têm como componentes,

q(t) =

q1(t)q2(t)

...qn(t)

, q(t) =

q1(t)q2(t)

...qn(t)

, Q(t) =

Q1(t)Q2(t)

...Qn(t)

.

(19.80)O sistema de equações diferenciais ordinárias (19.79) constitui o mode-

lo espacial discreto associado ao sistema contínuo, resultante da discreti-zação assumida na aproximação (19.66), com base no qual podem ser de-terminadas as frequências e formas naturais de vibração e ainda a respostaforçada nos domínios do tempo e da frequência.

19.5.1 Frequências e formas naturais

Para Q(t) = 0, a equação (19.79) representa a equação de vibraçãolivre ou natural do modelo discreto com n graus de liberdade associadoao sistema contínuo,

[m] q(t)+ [k] q(t) = 0 . (19.81)

Em regime livre ou natural, a variação no tempo das coordenadas ge-neralizadas qi(t) é harmónica,

qi(t) = ui cos (ωt) , (19.82)

onde ui representa a amplitude de qi(t) e ω a frequência de vibração har-mónica. A substituição da resposta livre ou natural (19.82) na equação deregime livre ou natural (19.81) conduz ao problema generalizado de valo-res e vectores próprios associado ao sistema discretizado,

[k] u = ω2 [m] u . (19.83)

A solução do problema generalizado (19.83) é constituída pelos n paresformados pelos valores próprios e correspondentes vectores próprios, (ω2

r ; ur)r = 1, . . . , n, onde os valores próprios fornecem aproximações para as fre-quências naturais de vibração e os vectores próprios as amplitudes das co-ordenadas generalizadas que melhor aproximam as correspondentes for-


mas naturais de vibração que, de acordo com a expressão (19.66), sãodadas por,

φr(x) =n∑

i=1

ψi(x)uir r = 1, . . . , n. (19.84)

Refira-se que, se as funções de aproximação ψ(x) usadas na expansão(19.66) são idênticas às utilizadas no método de Rayleigh-Ritz, o proble-ma generalizado de valores e vectores próprios associado ao método deRayleigh-Ritz é idêntico ao problema de valores e vectores próprios (19.83)associado ao método dos modos assumidos.

19.5.2 Resposta forçadaO método dos modos assumidos apresenta-se como particularmente in-teressante para determinar a resposta no tempo de um sistema contínuo asolicitações exteriores ou a condições iniciais. Com efeito, a sua principalvantagem reside no facto de se poderem derivar expressões gerais para aresposta no tempo em termos das funções admissíveis.

A equação matricial (19.79) é formalmente idêntica ao modelo espa-cial de um sistema discreto com n graus de liberdade. Em consequên-cia, a resolução das equações (19.79) utilizando os procedimentos habi-tuais, como a análise modal ou a integração directa, conduz à determi-nação da resposta forçada do sistema em termos das coordenadas genera-lizadas qi(t) i = 1, . . . , n. Com a resposta nas coordenadas generalizadas,e de acordo com a aproximação da solução assumida na equação (19.66),obtém-se a resposta do sistema contínuo no tempo,

v (x, t) =n∑

i=1

ψi (x) qi (t) , (19.85)

sendo a resposta v(x, t) expressa em termos das funções interpoladorasadmissíveis ψi(t) i = 1, . . . , n e das coordenadas generalizadas qi(t) i =1, . . . , n.

Exemplos H

Para ilustrar o procedimento de determinação dos coeficientes de rigideze de massa, apresentam-se em seguida dois exemplos relativos a uma vigaem flexão. Recorde-se que, no problema da flexão de vigas, a equaçãodiferencial de movimento é de 4a ordem, (2p = 4), em relação à variávelespacial x e têm-se as seguintes relações,


p = 2, L =∂2

∂x2, k(x) = EI(x), m(x) = ρA(x).

Exemplo 1 Considere-se uma viga em flexão com a extremidade x = 0fixa e com uma massa M concentrada (inércia de rotação desprezável) naextremidade x = `, como se ilustra na figura 19.13.

A energia cinética do sistema é dada pela expressão,

T (t) =1

2

∫ `

0

m(x) (v(x, t))2 dx +1

2M (v (`, t))2

=1

2

∫ `

0

ρA(x)

(n∑

i=1

ψi(x)qi(t)

)(n∑

j=1

ψj(x)qj(t)

)dx

+1

2M

(n∑

i=1

ψi(`)qi(t)

)(n∑

j=1

ψj(`)qj(t)

)

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

qi(t)qj(t)

(∫ `

0

ρA(x)ψi(x)ψj(x) dx + Mψi(`)ψj(`)

)

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

mij qi(t)qj(t),

donde se conclui que os coeficientes de massa mij i, j = 1, . . . , n são daforma,

mij = mji =

∫ `

0

ρA (x) ψi (x) ψj (x) dx + Mψi (`) ψj (`) i, j = 1, . . . , n.

Por outro lado, a energia potencial elástica pode escrever-se na forma,

M

x

v ( x , t ) = S y i ( x ) q i ( t )

l

A , I , E , r

Figura 19.13: Viga com uma massa concentrada M em x = `


V (t) =1

2

∫ `

0

EI(x)

(∂2v(x, t)

∂x2

)2

dx

=1

2

∫ `

0

EI(x)n∑

i=1

d2ψi(x)

dx2qi(t)

n∑j=1

d2ψj(x)

dx2qj(t) dx

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

qi(t)qj(t)

∫ `

0

EI(x)d2ψi(x)

dx2

d2ψj(x)

dx2dx

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

kijqi(t)qj(t),

de modo que os coeficientes de rigidez kij i, j = 1, . . . , n valem,

kij = kij =

∫ `

0

EI (x)d2ψi (x)

dx2

d2ψj (x)

dx2dx i, j = 1, . . . , n.

Exemplo 2 Considere-se uma viga em flexão com a extremidade x = 0fixa e com uma mola linear elástica de rigidez linear k na extremidadex = `, como se ilustra na figura 19.14.

A energia cinética do sistema é dada pela expressão,

x

v ( x , t ) = S y i ( x ) q i ( t )

k

l

A , I , E , r

Figura 19.14: Viga com uma rigidez linear concentrada k em x = `


T (t) =1

2

∫ `

0

ρA(x) (v(x, t))2 dx

=1

2

∫ `

0

ρA(x)

(n∑

i=1

ψi(x)qi(t)

)(n∑

j=1

ψj(x)qj(t)

)dx

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

qi(t)qj(t)

∫ `

0

ρA(x)ψi(x)ψj(x) dx

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

mij qi(t)qj(t),

donde se conclui que os coeficientes de massa mij i, j = 1, . . . , n são daforma,

mij = mij =

∫ `

0

ρA (x) ψi (x) ψj (x) dx i, j = 1, . . . , n.

Por outro lado, a energia potencial elástica pode escrever-se na forma,

V (t) =1

2

∫ `

0

EI(x)

(∂2v(x, t)

∂x2

)2

dx +1

2k (v(`, t))2

=1

2

∫ `

0

EI(x)n∑

i=1

d2ψi(x)

dx2qi(t)

n∑j=1

d2ψj(x)

dx2qj(t) dx

+1

2k

n∑i=1

ψi(`)qi(t)n∑

j=1

ψj(`)qj(t) dx

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

qi(t)qj(t)

(∫ `

0

EI(x)d2ψi(x)

dx2

d2ψj(x)

dx2dx + kψi(`)ψj(`)

)

=1

2

n∑i=1

n∑j=1

kijqi(t)qj(t),

de modo que os coeficientes de rigidez kij i, j = 1, . . . , n valem,

kij = kij =

∫ `

0

EI(x)d2ψi(x)

dx2

d2ψj(x)

dx2dx + kψi(`)ψj(`) i, j = 1, . . . , n.

Como nota final, refira-se que as expressões integrais para os coefi-cientes de rigidez kij contêm derivadas das funções interpoladoras ψi (x) i =


1, . . . , n de ordem p = 2 igual a metade da ordem 2p = 4 da equaçãodiferencial de movimento da viga em flexão e as condições de fronteiranaturais são consideradas nas expressões da energia cinética e da energiapotencial. Em consequência, as funções interpoladoras ψi (x) i = 1, . . . , ntêm de ser somente funções admissíveis. N


Parte VI

Controlo e medição de vibrações

441

CAPÍTULO 20

Controlo de vibrações

20.1 Isolamento de vibrações

20.1.1 Introdução

Em geral, o isolamento de vibrações consiste em reduzir a grandeza deforças dinâmicas transmitidas por componentes móveis ou equipamentospara as suas fundações de suporte (transmissão activa), ou em reduzir omovimento transmitido para os equipamentos por bases móveis (trans-missão passiva), conforme se representa na figura 20.1.

Quando forças geradas por componentes móveis de um equipamentosão transmitidas à fundação que suporta o equipamento, são induzidas vi-brações, por vezes indesejáveis, a toda a estrutura que envolve o equipa-mento (transmissão activa). A transmissão destas forças pode ser con-sideravelmente reduzida montando o equipamento sobre os designadosapoios anti-vibratórios que são, basicamente, placas de um elastómerocomo o neoprene. Estas placas actuam como elementos elásticos, molas,com um amortecimento inerente e são normalmente modelizados comouma mola e um amortecedor.

Instrumentos ou equipamentos de medição, por exemplo, podem não

443

444 Capítulo 20. Controlo de vibrações

funcionar correctamente ou sofrer mesmo danos se não estiverem conve-nientemente isolados dos suportes nos quais estão montados (transmissãopassiva).

São vários os tipos e as configurações de apoios para isolamento devibrações que estão comercialmente disponíveis.

m

k c

f ( t ) = F s i n w t

m

k c

b a s e m ó v e lf u n d a ç ã o

x ( t )x ( t )

y ( t ) = Y s i n w t

Figura 20.1: Transmissão activa e passiva

20.1.2 Transmissibilidade

Considerando o modelo de transmissão representado na figura 20.1 e as-sumindo que a base de suporte está fixa, a força transmitida à base vale

fT (t) = kx (t) + cx (t) (20.1)

e apresenta uma amplitude FT cuja razão para a amplitude F da força apli-cada designa-se por transmissibilidade e é dada pela expressão, conformevisto anteriormente,

FT

F= TR =

√1 + (2ξβ)2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

(20.2)

Neste caso, a transmissibilidade de força representa a fracção da am-plitude da força de excitação que é transmitida à base.

Na situação em que o movimento harmónico da base de amplitude Yexcita o sistema que responde com uma vibração harmónica estacionáriade amplitude X , a razão entre a amplitude X transmitida e a amplitude Y

20.1 Isolamento de vibrações 445

do movimento da base designa-se por transmissibilidade de deslocamento(absoluto) e, conforme visto anteriormente, é dada pela expressão,

X

Y= TR =

√1 + (2ξβ)2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

(20.3)

A transmissibilidade de deslocamento representa, pois, a fracção daamplitude do movimento da base que é transmitida ao sistema.

As expressões (20.2) e (20.3) são formalmente idênticas e evidenciamque a transmissibilidade, em ambas as situações, depende das proprieda-des mecânicas do sistema e da frequência ω de excitação.

Isolamento de vibrações

As expressões (20.2) e (20.3) fornecem as relações paramétricas básicas queregulam a transmissibilidade de forças e de movimentos. Na figura 20.2apresenta-se a representação paramétrica da transmissibilidade para dife-rentes valores da razão de amortecimento ξ.

A análise da variação da transmissibilidade em função da frequên-cia de excitação ω, ou da razão de frequências β, permite-nos concluir oseguinte:

• A região de isolamento de vibrações, em que a transmissibilidade éinferior a 1, verifica-se para ω

ωn>√

2. Assim, para uma dada fre-quência de excitação ω, os apoios devem ser seleccionados de modoque a frequência natural ωn do sistema seja inferior a ω√

2. Como

ωn =√

km

, e a massa dos apoios é geralmente muito menor do quea massa do sistema, apoios adequados de isolamento são normal-mente seleccionados na base da sua rigidez;

• Como a transmissibilidade, na região de isolamento, diminui à me-dida que ω

ωnaumenta, quanto menos rígidos os apoios maior será a

eficiência do isolamento. Embora o amortecimento tenda a reduzira eficiência do sistema de isolamento, é, no entanto, desejável a pre-sença de amortecimento para atenuar o pico de resposta quando osistema passa pela frequência de ressonância durante as fases de ar-ranque e de paragem;

• Para ωωn

> 3, as curvas de transmissibilade são praticamente idênti-cas para um amortecimento ξ < 0.2 (20%), de modo que nesta zona a


00

1

β =ω

ωn

TR

=F

T(ω

)F

=X

(ω)

Yξ = 0

ξ = 0.1

ξ = 0.2

ξ = 0.3

ξ = 0.5

ξ = 0.7

√

2

isolamento

Figura 20.2: Transmissibilidade em função da razão de frequência

transmissibilidade de força ou do movimento da base é praticamenteindependente do amortecimento.

Como a transmissibilidade não é significativamente alterada na regiãodo isolamento de vibrações, é prática comum desprezar o amortecimentonas expressões (20.2) e (20.3) que então se escrevem,

TR =1

β2 − 1=

1(ωωn

)2

− 1. (20.4)

Para caracterizar a eficiência R de um sistema de isolamento é tambémcorrente utilizar a redução da transmissibilidade, dada pela expressão

R = 1− TR = 1− 1(ωωn

)2

− 1. (20.5)

20.1 Isolamento de vibrações 447

Da expressão anterior, resulta a seguinte expressão para a razão de fre-quências em função de R,

ω

ωn

=

√2−R

1−R. (20.6)

A expressão anterior pode ser usada para determinar a rigidez k dosistema de isolamento para uma determinada redução R na transmissibi-lidade de uma fonte de excitação de frequência ω actuando num sistema

de massa m, pois que ωn =

√k/m,

ω =

√ω2

n

2−R

1−R=

√k

m

2−R

1−R. (20.7)

Uma forma mais expedita da expressão (20.7) pode ainda ser obtida,exprimindo a frequência natural ωn em termos da deflexão estática δs,provocada pelo peso próprio do equipamento no sistema isolador, e a fre-quência de excitação ω em rotações por minuto (rpm). Assim, vem então,

ω2n =

k

m=

kg

P=

g

δs

(20.8)

e

ω =2πN

60. (20.9)

Substituindo (20.8) e (20.9) na expressão (20.7), obtém-se,

N =1√δs

(30

π

√g2−R

1−R

). (20.10)

A expressão (20.10) permite determinar a rigidez k de um sistema iso-lador para uma dada redução R na transmissibilidade de uma fonte deexcitação de frequência N actuante numa máquina ou estrutura de pesoP , através da relação,

k =P

δs

(20.11)

A análise da expressão (20.10) revela ainda que, para uma dada fre-quência de excitação N , quanto menor a rigidez k, maior a redução R natransmissibilidade (menor TR).

Aplicando o logaritmo a ambos os membros da expressão (20.10), ob-tém-se a seguinte expressão,


log N︸︷︷︸y

= −1

2log δs

︸︷︷︸mx

+ log

(30

π

√g2−R

1−R

)

︸︷︷︸b

, (20.12)

que tem a forma da equação de uma recta, y = mx + b. A sua represen-tação origina um gráfico constituído por uma família de curvas para estaequação, tendo R como parâmetro. Estas curvas podem ser usadas paradeterminar a rigidez k, através de δs e m, de um sistema isolador paraatingir uma redução R específica na transmissibilidade, figura 20.3.

δs/m

N/rp

m R = 10%

R = 90%

R = 95%

Figura 20.3: Velocidade de rotação versus deflexão estática

Para uma frequência de excitação N [rpm] determina-se, directamentea partir do gráfico, a deflexão δs do sistema isolador necessária para atingirum desejado nível de isolamento supondo que os isoladores possuem umamortecimento ligeiro, ξ ≤ 20%.

Para frequências de excitação muito baixas, pode ser difícil fornecer umisolamento eficiente. Com efeito, para estas frequências a deflexão estáticapode tornar-se tão elevada que o isolamento se torna impraticável.

Quando é necessário fornecer um sistema de isolamento altamente efi-ciente (R > 90%), para frequências de excitação moderadamente baixas,o equipamento a isolar é montado numa grande massa M , figura 20.4, demodo que a frequência natural vem,

20.2 Absorsor de vibrações 449

fn =

√k

(m+M)

2π[Hz] (20.13)

Frequências da ordem de 1.5 Hz podem podem ser atingidas desta for-ma sem grande dificuldade. A expressão (20.6) mostra que, com fn =1.5 Hz, pode atingir-se uma redução de 90% (R = 0.9) para uma baixafrequência de excitação da ordem dos 5 Hz. A expressão (20.10) mostraque para os valores referidos, o sistema apresentaria uma deflexão estáticaδs∼= 109 mm, o que é um valor praticável.

m

x ( t )

m + M

k

F s i n w t

x ( t )

m + M

kY s i n w t

x ( t )

M

Figura 20.4: Sistema de isolamento com maciço de massa M

Por vezes, é necessário um sistema de isolamento para mais do queuma frequência de excitação. Por exemplo, nos motores de combustão háuma frequência de excitação primária ω1 e uma frequência de excitaçãosecundária ω2 = 2ω1. A frequência de funcionamento de um equipa-mento pode variar durante o seu funcionamento, produzindo assim umagama de frequências de excitação. Em tais situações, é visível a partir dafigura 20.2 que a frequência de excitação mais baixa é a de maior importân-cia, pois a transmissibilidade de força ou de movimento da base diminuià medida que ω

ωnaumenta. Isto é, a redução R para uma frequência de

excitação ω2 > ω1 será ainda maior do que para ω1 < ω2.

20.2 Absorsor de vibrações

20.2.1 Introdução

O funcionamento de equipamentos mecânicos (máquinas rotativas) queoperam a uma frequência próxima da frequência de ressonância origina


vibrações de amplitude elevada que põem em risco a integridade estrutu-ral dos equipamentos e a qualidade do modo de funcionamento.

Um sistema mecânico modelizado por um sistema com um grau deliberdade, conforme se representa na figura 20.5, quando sujeito a uma ex-citação harmónica de frequência ω próxima da sua frequência de ressonân-cia, origina uma vibração estacionária de amplitude X1 (ω) elevada, figu-ra 20.6.

x1( t )

m1

k1

F s i n w t

Figura 20.5: Sistema principal

0

1

ω = ωn

ω/rad·s−1

X1

Xs

Figura 20.6: Amplitude de resposta em função da frequência

Uma solução para reduzir ou eliminar a vibração consiste na mon-tagem de um sistema auxiliar constituído por uma massa m2 e uma mola


de rigidez k2, figura 20.7, com o objectivo de absorver a vibração. O sis-tema original designa-se por principal ou primário e o sistema acopladodesigna-se por sistema auxiliar ou secundário. O sistema resultante é umsistema com dois graus de liberdade e que, para a mesma frequência deexcitação actuante sobre o primário, apresenta uma amplitude de respostaao nível da massa do primário reduzida ou até mesmo nula.

x1( t )

m1

k1

F s i n w t

k2

x2( t )

m2

x1( t )

m1

k1

F s i n w t k2

x2( t )

m2

Figura 20.7: Sistema principal+sistema secundário


Para o sistema combinado constituído pelo sistema principal e pelo sis-tema auxiliar, sistema com dois graus de liberdade, x1 (t) e x2 (t), as equa-ções de movimento escrevem-se,

m1x1 (t) + (k1 + k2) x1 (t)− k2x2 (t) = F1 sin ωtm2x2 (t)− k2x1 (t) + k2x2 (t) = 0

, (20.14)

ou então, em notação matricial,

[m1 00 m2

]x1 (t)x2 (t)

+

[k1 + k2 −k2

−k2 k2

]x1 (t)x2 (t)

=

F1 sin ωt

0

.

(20.15)As equações de movimento apresentam-se ligadas entre si, o que sig-

nifica que o movimento da massa m1 interactua com o movimento damassa m2 e vice-versa.


20.2.3 Resposta estacionária

Para a solicitação estacionária harmónica, a resposta estacionária nos grausde liberdade x1 (t) e x2 (t) será igualmente harmónica, de frequência ω e deamplitudes, respectivamente, X1 (ω) e X2 (ω),

x1 (t) = X1 (ω) sin ωt x2 (t) = X2 (ω) sin ωt. (20.16)

Introduzindo as respostas x1 (t) e x2 (t) nas equações de movimento,obtém-se um sistema de equações cuja solução fornece as amplitudes X1 (ω)e X2 (ω),

[(k1 + k2)− ω2m1 −k2

−k2 k2 − ω2m2

]X1 (ω)X2 (ω)

=

F1

0

. (20.17)

Resolvendo para as amplitudes X1 (ω) e X2 (ω) do movimento das mas-sas m1 e m2 obtém-se

X1 (ω) =(k2 − ω2m2) F1

((k1 + k2)− ω2m1) (k2 − ω2m2)− (k2)2 , (20.18)

X2 (ω) =k2F1

((k1 + k2)− ω2m1) (k2 − ω2m2)− (k2)2 . (20.19)

Refira-se que o denominador das expressões para X1 (ω) e X2 (ω) é odeterminante característico, cujas raízes são as frequências naturais de vi-bração do sistema. Assim, para uma frequência de excitação ω próximade uma qualquer das duas frequências naturais, as amplitudes X1 (ω) eX2 (ω) tendem para valores elevados.

Para melhor caracterizar o movimento de resposta e relacionar as pro-priedades mecânicas do sistema principal com as do sistema auxiliar, naperspectiva do seu dimensionamento, introduz-se a seguinte notação,

i) ωn =√

k1

m1frequência natural do sistema principal isolado;

ii) ωs =√

k2

m2frequência natural do sistema secundário isolado;

iii) α = ωs

ωnrazão das frequências naturais;

iv) β = ωωn

razão de frequência;

v) ε = m2

m1razão de massas;


vi) Xs = F1

k1deslocamento estático.

Introduzindo as grandezas acabadas de definir nas expressões (20.18)e (20.19), as amplitudes X1 (ω) e X2 (ω) podem escrever-se,

X1 (ω) = Xs

1−(

ωωs

)2

[1 + ε

(ωs

ωn

)2

−(

ωωn

)2] [

1−(

ωωs

)2]− ε

(ωs

ωn

)2

= Xsα2 − β2

(1− β2) (α2 − β2)− εα2β2

, (20.20)

X2 (ω) = Xs1[

1 + ε(

ωs

ωn

)2

−(

ωωn

)2] [

1−(

ωωs

)2]− ε

(ωs

ωn

)2

= Xsα2

(1− β2) (α2 − β2)− εα2β2

. (20.21)

A análise da expressão (20.20) mostra que a amplitude de vibraçãoX1 (ω) da massa principal m1 anula-se completamente, isto é, X1 (ω) = 0,desde que se verifique a condição,

α2 − β2 = 0, (20.22)

ou então

α = β. (20.23)

Tendo em conta as definições iii ) e iv ), a condição anterior pode aindaescrever-se,

ωs

ωn

=ω

ωn

(20.24)

donde resulta finalmente que

ωs =

√k2

m2

= ω, (20.25)

isto é, para uma frequência natural do sistema auxiliar ωs idêntica à fre-quência ω de excitação, a amplitude de vibração da massa principal é nulae o sistema auxiliar diz-se sintonizado para a frequência de excitação.


Assim, para eliminar completamente a amplitude de vibração da massaprincipal, o secundário deve ser dimensionado ou ajustado de modo quea sua frequência natural ωs seja idêntica à frequência de excitação ω.

Para uma frequência de excitação ω idêntica à frequência natural doprimário, ω = ωn, e com o secundário sintonizado para a frequência deexcitação, ω = ωs, verifica-se que ω = ωn = ωs e, de acordo com a definição(iii), verifica-se igualmente que o parâmetro α é igual a 1, α = 1. Para α =1, o sistema secundário está sintonizado para a frequência de excitação ω,a amplitude X1 (ω) é nula, X1 (ω) = 0, e a amplitude X2 (ω) do movimentoda massa m2 vale, substituindo na expressão (20.21),

X2 (ω) = −Xs1

ε= −F1

k1

m1

m2

= −F1

k1

k1

ω2n

ω2s

k2

= −F1

k1

k1

k2

β2 = −F1

k2

(20.26)

Nestas condições, a amplitude F21 da força exercida pela mola de rigidezk2 sobre a massa m1 é igual a

F21 = k2X2 (ω) = −k2F1

k2

= −F1. (20.27)

Assim, o sistema secundário exerce na massa principal uma força f21 (t)de amplitude F21 que equilibra a força aplicada f (t) de amplitude F1.

Um sistema secundário projectado para uma determinada frequênciaoperacional ω, pode ainda funcionar de forma satisfatória para frequênciasque variam ligeiramente de ω e para as quais a amplitude X1 (ω) da massaprincipal m1 não sendo nula, permanece, no entanto, com valores baixos,conforme se pode verificar pelo gráfico de X1 (ω) representado na figura20.8.

20.2.4 Frequências naturaisA montagem do sistema auxiliar ou secundário, eliminando a vibração dosistema principal à frequência operacional ω, conduz a um sistema comdois graus de liberdade e introduz duas novas frequências naturais, ω1 eω2, que criam condições de ressonância, as quais enquadram a frequênciaoperacional ω e da qual devem encontrar-se afastadas, figuras 20.9 - 20.10.

As frequências naturais ω1 e ω2 são dadas pelas raízes da equação car-acterística ou de frequências. Para as frequências naturais, as amplitudesX1 (ω) e X2 (ω) assumem valores elevados, X1 (ω) → ∞ e X2 (ω) → ∞ nocaso de sistemas não-amortecidos. A equação característica ou de frequên-cias é o denominador das expressões (20.20)-(20.21) para as amplitudesX1 (ω) e X2 (ω),


0

1

ω1 ω ω2

ω/rad·s−1

X1

Xs

Figura 20.8: Variação da amplitude X1 (ω) com a frequência de excitação

(1− β2

) (α2 − β2

)− εα2β2 = 0. (20.28)

A equação característica ou de frequências anterior, depois de rearran-jada, pode escrever-se

β4 − (α2 + εα2 + 1

)β2 + α2 = 0. (20.29)

No caso particular de α = 1, vem

β4 − (2 + ε) β2 + 1 = 0, (20.30)

ou ainda, introduzindo a definição de ε,

β4 −(

2 +m2

m1

)β2 + 1 = 0, (20.31)

que é a equação de frequências para α = 1, e cujas raízes são as frequênciasnaturais ω1 e ω2. De acordo com a expressão (20.31) pode observar-se queo afastamento entre as frequências ω1 e ω2 depende da razão de massasε = m2

m1, conforme se representa na figura 20.11.

A figura 20.12 apresenta alguns exemplos de montagem de absorsores.


00

1

ω/rad·s−1

X1

Xs

Figura 20.9: Banda de frequência de funcionamento

0

1

ω/rad·s−1

X1

Xs

ω2

1ω

2

2ω

1

1ω

1

2

Figura 20.10: Banda de frequência de funcionamento (pormenor)


00

ε = m2

m1

ωii=

1,2/

rad

·s−

1

ω1 ω2

Figura 20.11: Variação de ω1 e ω2 em função da razão de massas para α = 1

k2

x1( t )

m2

k1

x2( t )

m1w

(a)

k2

x1( t )

m2

k1

x2( t )

m1

w

m2

(b)

(c)

Figura 20.12: Exemplos de montagem do absorsor de vibrações


CAPÍTULO 21

Transdutores de vibração

21.1 Introdução

Os transdutores são equipamentos que transformam valores de variáveisfísicas em sinais eléctricos equivalentes, isto é, transformam uma forma deenergia (mecânica) noutra forma de energia (eléctrica).

Para medir um fenómeno dinâmico e obter informação válida, deveutilizar-se um transdutor cuja banda de ‘resposta plana’ seja adequadaao fenómeno a medir. Com efeito, é somente nesta banda que a resposta(saída) do transdutor é essencialmente independente das componentes defrequência presentes no fenómeno dinâmico a ser medido.

O critério de escolha de um transdutor de vibrações está relacionadocom um vasto conjunto de factores dos quais se destacam a sua massa,dimensão, sensibilidade e aplicação. O acoplamento de um transdutora uma estrutura implica inevitavelmente alterações nas sua propriedadesdinâmicas, nomeadamente na rigidez local da estrutura onde o transdutoré fixado e na massa do sistema.

459

460 Capítulo 21. Transdutores de vibração

21.2 Modelo dos transdutores de vibração

Os transdutores mais correntemente utilizados para medir a força dinâmi-ca e o movimento vibratório são os designados transdutores sísmicos quesão, geralmente, modelizados como um sistema massa-mola-amortecedor,figura 21.1. A banda de resposta plana de um transdutor sísmico dependeda razão entre as frequências presentes no fenómeno dinâmico a medir ea frequência natural do transdutor.

A teoria básica do princípio de funcionamento dos transdutores detipo vibrómetro ou acelerómetro assenta no modelo do sistema massa-mola-amor-tecedor com um grau de liberdade. Com efeito, um transdutorde vibrações consiste basicamente num sistema massa-mola-amortecedormontado sobre um sistema em vibração, como se representa esquematica-mente na figura 21.1. O movimento vibratório é medido através do deslo-camento da massa do transdutor, designada por massa sísmica, relativa-mente ao sistema em vibração no qual o transdutor está montado e com oqual está solidário.

y ( t ) = Y s i n w t

m

k c

x ( t )

s i s t e m a e m v i b r a ç ã o

z ( t )

Figura 21.1: Modelo do transdutor sísmico (sistema massa-mola-amortecedor)

O transdutor consiste numa massa m, designada por massa sísmica,num elemento elástico de rigidez k e num amortecedor de constante c nointerior de uma caixa que é fixada ao sistema em vibração. Com este ar-ranjo, a caixa está sujeita ao movimento do sistema em vibração a medir,e esta vibração excita a massa suspensa do transdutor através do desloca-mento imposto à caixa.

21.2 Modelo dos transdutores de vibração 461

Assumindo um movimento harmónico y (t) para o sistema em vibração,

y (t) = Y sin ωt, (21.1)

e designando o movimento absoluto da massa por x (t), a equação de mo-vimento da massa m escreve-se,

mx + c (x− y) + k (x− y) = 0. (21.2)

Definindo-se o deslocamento relativo da massa em relação à caixa, z (t),como sendo,

z (t) = x (t)− y (t) , (21.3)

a equação (21.2) pode escrever-se na forma

mz + cz + kz = −my. (21.4)

Derivando em ordem ao tempo a expressão (21.1) e substituindo em(21.4) obtém-se a seguinte equação,

mz + cz + kz = mω2Y sin ωt. (21.5)

A solução estacionária da equação (21.5) é do tipo

z (t) = Z (ω) sin (ωt− φ) , (21.6)

onde a amplitude Z (ω) e o ângulo de fase φ são dados pelas expressões,

Z (ω) = Yβ2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

φ = tg−1 2ξβ

1− β2. (21.7)

A variação da transmissibilidade Z(ω)Y

e do ângulo de fase φ com a razãode frequência β = ω

ωnestá representada na figura 21.2 para diferentes va-

lores da razão de amortecimento ξ.Para a medição de vibrações são utilizados, em geral, dois tipos de

transdutores sísmicos: o vibrómetro e o acelerómetro. O vibrómetro ca-racteriza-se por apresentar uma frequência natural baixa, de modo quea sua frequência natural ωn seja baixa comparativamente com a frequên-cia ω do movimento vibratório que se pretende medir. Ao contrário, oacelerómetro apresenta uma frequência natural elevada, de modo que asua frequência natural ωn seja elevada comparativamente com a frequên-cia ω do movimento vibratório a medir. Em consequência, os vibrómetros


0 10

β =ω

ωn

φ/

π

π

2

0

1

Z(ω

)Y

ξ = 0.1

ξ = 0.3

ξ = 0.5

ξ = 0.7ξ = 0.9

ξ = 0.1 ξ = 0.3 ξ = 0.5 ξ = 0.7 ξ = 0.9

Figura 21.2: Transmissibilidade relativa e ângulo de fase em função dafrequência

designam-se como transdutores de baixa frequência enquanto que os ace-lerómetros são transdutores de alta frequência.

O tipo de transdutor, vibrómetro ou acelerómetro, é, pois, determinadopela banda útil de frequências.

21.3 Vibrómetro

Um vibrómetro é um instrumento que mede o deslocamento de um sis-tema em vibração. Para determinar as características deste tipo de trans-dutor e a sua banda de frequência útil, considere-se a expressão da trans-missibilidade de deslocamento relativo de um sistema com excitação dabase,

21.3 Vibrómetro 463

Z (ω)

Y=

β2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

. (21.8)

De acordo com as figuras 21.2 - 21.3, onde se representa graficamentea expressão (21.8), verifica-se que para β = ω

ωn> 3 a transmissibilidade

relativa ou a razão entre as amplitudes Z (ω) e Y é aproximadamente igualà unidade, Z(ω)

Y∼= 1, para uma vasta gama de valores do amortecimento.

Assim, nesta gama de frequências (β > 3) tem-se,

Z (ω) ∼= Y. (21.9)

0 1 3 ...0

1

β =ω

ωn

Z(ω

)Y

ξ = 0.1

ξ = 0.3

ξ = 0.5ξ = 0.7

ξ = 0.9

Figura 21.3: Transmissibilidade relativa em função da frequência

Isto significa que, para além de a amplitude Z (ω) do movimento rela-tivo ser aproximadamente idêntica à amplitude Y do movimento impostoà caixa, a massa sísmica do transdutor permanece essencialmente esta-cionária. Assim, verificando-se a condição,

β2

√(1− β2)2 + (2ξβ)2

∼= 1, (21.10)

o deslocamento relativo z (t) vale,


z (t) ∼= Y sin (ωt− φ) . (21.11)

A comparação das expressões (21.11) e (21.1) mostra que z (t) é idênticoao movimento y (t) excepto no ângulo de fase φ. Assim, o deslocamentoz (t) está em atraso de fase em relação ao movimento y (t) que se pretendemedir de um tempo φ

ω. No entanto, o desfasamento pode não ser rele-

vante se o deslocamento y (t) da base consistir numa única componenteharmónica.

Como para a verificação da condição (21.10) a razão de frequênciasβ = ω

ωntem de ser elevada ( β > 3 ), em consequência a frequência natu-

ral do transdutor ωn =√

km

tem de ser baixa, o que significa que a massasísmica tem de apresentar um valor elevado e a rigidez um valor baixo.Estes requisitos conduzem a transdutores tipo vibrómetro de grande atra-vancamento e de massa elevada que são desadequados em determinadasaplicações (sistemas ligeiros).

A banda de frequência utilizável de um vibrómetro depende da suafrequência natural ωn, do amortecimento presente e da precisão desejadana aproximação Z (ω) ∼= Y . Sem qualquer tipo de mecanismo de amorte-cimento adicional, para além do amortecimento inerente ao próprio trans-dutor, a sua frequência natural não deve exceder um terço da frequênciaω da vibração a medir, ω

ωn> 3. Frequentemente, é introduzido amorteci-

mento eléctrico neste tipo de transdutor, de modo que a razão de amorte-cimento atinja o valor ξ ∼= 0.7 , pois este valor de amortecimento estendeo limite inferior da banda de resposta plana abaixo de ω

ωn

∼= 2, conformese ilustra na figura 21.3. Para medir vibrações do solo, um transdutordeste tipo apresenta tipicamente uma frequência natural de 1 Hz e medede forma rigorosa vibrações do solo com componentes até 2 Hz (limiteinferior).

21.4 Acelerómetro

Um acelerómetro é um instrumento que mede a aceleração de um sistemaem vibração. Os acelerómetros são largamente utilizados para medição devibrações. A partir de registos de acelerómetros, a velocidade e o desloca-mento podem ser obtidos por um processo de integração.

Derivando em ordem ao tempo a expressão (21.6), obtém-se

21.4 Acelerómetro 465

− z (t) ω2n =

1((1− β2)2 + (2ξβ)2)1

2

−ω2Y sin (ωt− φ)

. (21.12)

Se na expressão anterior se verificar a condição

1((1− β2)2 + (2ξβ)2)1

2

∼= 1, (21.13)

a expressão (21.12) escreve-se,

− z (t) ω2n∼= −ω2Y sin (ωt− φ) . (21.14)

Comparando a expressão (21.14) com y (t) = −ω2Y sin ωt, verifica-seque o termo −z (t) ω2

n fornece a aceleração da base y (t) a menos do des-fasamento φ. Assim, o instrumento pode registar ou fornecer directamenteo valor de y = −z(t)ω2

n desde que se verifique a condição (21.13). O tempode atraso entre a medição e a aceleração é dado por t′ = φ

ω. Se y (t) con-

siste em apenas uma componente harmónica, o desfasamento não é im-portante.

O valor do primeiro membro da condição (21.13) está representado nafigura 21.4 em função da razão de frequência β = ω

ωn.

Como a condição (21.13) se verifica para uma razão de frequência β =ωωn

baixa, a frequência natural ωn do acelerómetro tem de ser elevada com-parativamente com a frequência da vibração a medir. Da definição, ωn =√

km

, verifica-se que a massa sísmica necessita então de ser reduzida e arigidez tem de ser elevada, requisitos estes que conduzem a que os ace-lerómetros sejam transdutores de pequeno atravancamento. Devido àsdimensões e massa reduzidas, aliadas à sua elevada sensibilidade, os ace-lerómetros são os transdutores preferidos para medição de vibrações emaplicações mecânicas.

21.4.1 Acelerómetro piezoeléctrico

Actualmente, os acelerómetros de uso mais corrente para medição de vi-brações são os acelerómetros piezoeléctricos cujo componente fundamen-tal é uma placa de material piezoeléctrico que gera uma carga eléctricaquando sujeito a uma tensão de compressão, de tracção ou de corte.

Existem basicamente duas configurações do acelerómetro piezoeléc-trico, conforme se ilustra na figura 21.5, e que são o acelerómetro de corte


0 0.1 0.2 0.40.95

0.96

0.99

1

1.01

1.04

1.05ξ = 0

ξ = 0.5

ξ = 0.6

ξ = 0.7

ξ = 0.8

ξ = 0.9

ξ = 1

β =ω

ωn

∆

Figura 21.4: Resposta do acelerómetro

e o acelerómetro de compressão. Esta classificação decorre do modo comoo elemento piezoeléctrico é deformado. Estes acelerómetros apresentamuma elevada sensibilidade e uma elevada razão sinal-ruído.

Em ambos os tipos de acelerómetro o elemento piezoeléctrico produzuma carga eléctrica que é proporcional à aceleração da base.

Estes acelerómetros são geralmente de dimensões reduzidas e apresen-tam características estáveis durante longos períodos de tempo. As suasreduzidas dimensões facilitam a sua utilização em pequenas áreas confi-nadas e a sua reduzida massa, tipicamente de 0.2 a 20 g, permite a suamontagem em estruturas ligeiras sem afectar de modo apreciável as ca-racterísticas dinâmicas e/ou de vibração a medir.

Para a maioria das medições de aceleração em sistemas mecânicos (≤10) g, os acelerómetros piezoeléctricos são facilmente montados (fixados)usando, por exemplo, cera de abelha. Para acelerações mais elevadas, (≥10) g, devem utilizar-se outras formas de fixação, como, por exemplo, umacola à base de epoxy ou pernos roscados.

Os acelerómetros piezoeléctricos de menores dimensões, com reduzi-das massas sísmicas, podem apresentar frequências naturais superiores a100 kHz e fornecem medições precisas para componentes de frequênciaaté 10 kHz, com distorção de fase praticamente desprezável. Frequências


naturais de 30 a 50 kHz são correntes em acelerómetros piezoeléctricos deutilização generalizada.

Os amplificadores de carga, já referidos a propósito dos transdutorespiezoeléctricos de força, são também utilizados com os acelerómetros pi-ezoeléctricos para reduzir a perda de sensibilidade devida à capacitânciano cabo de ligação do acelerómetro ao instrumento de medição, como, porexemplo, um osciloscópio ou um analisador dinâmico de sinal.

A sensibilidade do acelerómetro é, geralmente, fornecida na forma depico coulomb (pC) por unidade de aceleração (m· s−2 ou g), e o output doamplificador de carga em volt/m·s−2 ou volt/g.

s i s t e m a e m v i b r a ç ã o

m o l a d e p r é - c a r g a

m a s s ap l a c a

p i e z o e l é c t r i c ac o r p o o u t p u t

(a) compressão

s i s t e m a e m v i b r a ç ã oc o r p o

p l a c ap i e z o e l é c t r i c a

m a s s a

o u t p u t

(b) corte

Figura 21.5: Configuração de acelerómetros piezoeléctricos

21.4.2 Distorsão de faseComo mostra a expressão (21.6), os transdutores de vibração apresentamum desfasamento. Assim, a resposta ou output de um transdutor encontra-se desfasada do movimento ou input que se mede.

O desfasamento temporal é dado pelo ângulo de fase dividido pelafrequência. O desfasamento não é problemático se se medir uma únicacomponente harmónica. Porém, na maioria das vezes, a vibração não é


(a) (b) (c)

Figura 21.6: Acelerómetros piezoeléctricos

harmónica pura, mas consiste antes de duas ou mais componentes har-mónicas. Nestes casos, o registo pode eventualmente não fornecer umaimagem precisa da vibração, porque diferentes harmónicos são amplifica-dos de modo diferente e os seus desfasamentos são igualmente diferen-tes. A distorsão na forma do sinal registado designa-se por distorsão defase. Para ilustrar a distorsão de fase, considere-se um sinal de vibraçãoda seguinte forma,

y (t) = A1 sin ωt + A3 sin 3ωt (21.15)

representado na figura 21.7. Seja um desfasamento de π2

e de π, respec-tivamente, para os harmónicos da expressão (21.15). Os correspondentesdesfasamentos temporais são dados por t1 = φ1

ω=

π2

ωe t3 = φ3

3ω= π

3ω. O

sinal de saída está representado na figura 21.8. Pode verificar-se que osinal de saída é muito diferente do sinal de entrada devido à distorsão defase.

Como caso geral, seja a vibração complexa a medir dada pela soma devários harmónicos,

y (t) = A1 sin ωt + A2 sin 2ωt + . . . . (21.16)

Se a vibração for medida usando um vibrómetro, a sua resposta a cadacomponente da série é dada por uma expressão idêntica a (21.11), de modoque o output do vibrómetro vem,

z (t) = A1 sin (ωt− φ1) + A2 sin (2ωt− φ2) + . . . , (21.17)

onde


φi = tg−12ξ

(i ωωn

)

1−(i ωωn

)2 i = 1, 2, . . . . (21.18)

Como para o vibrómetro a razão de frequência β = ωωn

é elevada, daexpressão (21.7) e da figura 21.2 verifica-se que φi

∼= π i = 1, 2, . . . e aexpressão (21.17) vem

z (t) ∼= − (A1 sin (ωt) + A2 sin (2ωt) + . . .)∼= −y (t)

. (21.19)

Assim, o output será apenas o simétrico (oposição de fase) do movi-mento a medir. Este aspecto é irrelevante e pode ser facilmente corrigido.

t/s

x(t

)/m

input

a1sin(ωt)

a2sin(3ωt)

a1sin(ωt) + a2sin(3ωt)

Figura 21.7: Distorsão de fase no input

Considere-se agora a distorsão de fase para o acelerómetro. Assu-mindo que a aceleração a medir se exprime, usando a expressão (21.16),como

y (t) = −A1ω2 sin ωt− A2 (2ω)2 sin 2ωt− . . . , (21.20)

a resposta ou output do acelerómetro a cada componente é dada como naexpressão (21.14) e, assim, tem-se


t/s

x(t

)/m

outputa1sin(ωt −π

2)

a2sin(3ωt −π

2)

a1sin(ωt −π

2) + a2sin(3ωt −

π

2)

Figura 21.8: Distorsão de fase no output

− ω2nz (t) = −A1ω

2 sin (ωt− φ1)− A2 (2ω)2 sin (2ωt− φ2)− . . . , (21.21)

onde os ângulos de fase φ1 e φ2 são diferentes para cada componente dasérie em (21.21). Como o atraso de fase φ varia quase linearmente desde 0para β = 0 até π

2para β = 1 e para ξ = 0.7, figura 21.2, o ângulo de fase φ

pode exprimir-se como

φ ' αβ = αω

ωn

= λω, (21.22)

onde α e λ são constantes. O atraso no tempo é dado por

τ =φ

ω=

λω

ω= λ. (21.23)

A expressão anterior mostra que o desfasamento temporal do aceleró-metro é independente da frequência para qualquer harmónico, desde quea frequência se situe na banda 0 ≤ β ≤ 1. Como cada componente do sinaltem o mesmo desfasamento temporal, a partir da expressão (21.21) tem-se,

−ω2nz (t) = −A1ω

2 sin (ωt− ωλ)− A2 (2ω)2 sin (2ωt− 2ωλ)− . . .

= −A1ω2 sin ωt′ − A2 (2ω)2 sin 2ωt′ − . . .

, (21.24)


onde t′ = t − λ. Note-se que a expressão (21.24) assume que 0 ≤ β ≤ 1,isto é, mesmo a mais elevada frequência presente no sinal, nω, é menor doque ωn. Assim, o output do acelerómetro representa a aceleração correctaa medir, a menos de um desfasamento temporal (λ).


Bibliografia

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[2] Meirovitch L., Elements of Vibration Analysis, McGraw-Hill Interna-tional Editions, 1986.

[3] Meirovitch L., Analytical methods in vibrations, Macmillan PublishingCo., Inc., USA, 1967.

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[10] Hanselman D., Littlefield B., The Sudent Edition of Matlab R© : User´sGuide, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1997

473

474 BIBLIOGRAFIA

Parte VII

Anexos

475

Anexo A: Movimento harmónico

Movimento harmónicoO movimento de um ponto cuja posição instantânea x(t) em relação a umaposição de referência apresenta como lei temporal

x (t) = A sin ωt (A-1)

designa-se por movimento harmónico simples, figura A-1a. O movimentocuja lei de deslocamento é x (t) = A cos ωt, é outro exemplo de movimentoharmónico simples,figura A-1b.

t

x(t

)

(a) x(t) = A sin ωt

t

x(t

)

(b) x(t) = A cosωt

Figura A-1: Movimento harmónico simples

Representação vectorialO movimento harmónico simples pode representar-se através da projecçãoortogonal de um vector

−→OP de grandeza A rodando em torno da sua

origem com uma velocidade angular constante ω. Na figura A-2, a pro-jecção do vector

−→OP no eixo vertical Oy é dada por:

y (t) = A sin ωt. (A-2)

477

478

Se se considerasse a projecção no eixo horizontal Ox, ela seria dadapela expressão,

x (t) = A cos ωt. (A-3)

0

1

2

3

4 0 1 2 3 4

P P

ω t

y

A

2π

y

ω

ω tA

O

a) b)

Figura A-2: Vector rotativo OP e projecção no eixo Oy

As projecções ortogonais de um vector rotativo em torno da sua origeme com velocidade angular constante representam, pois, movimentos har-mónicos simples.

Na figura A-3 representam-se as projecções A sin ωt e A cos ωt do vec-tor rotativo

−→OP , podendo verificar-se que a projecção A cos ωt precede a

projecção A sin ωt de π2.

θ = ωt

y(t

)

0 π/2 π 3π/2 π

(a) Projecção y(t) = A sin ωt

θ = ωt

x(t

)

0 π/2 π 3π/2 π

(b) Projecção x(t) = A cos ωt

Figura A-3: Projecções ortogonais do vector rotativo OP

Para um movimento harmónico de tipo seno não nulo no instante tomadopara contagem do tempo, t = 0, como na figura A-4a, a lei de variação ao

479

longo do tempo escreve-se,

y (t) = A sin (ωt + φ) (A-4)

onde φ é o ângulo de fase ou fase inicial do movimento. Um ângulo φpositivo indica que a função y (t) = A sin (ωt + φ) precede a função y (t) =A sin (ωt) de um ângulo φ, ou que está em avanço de fase de um ânguloφ, figura A-4a. Ao contrário, para um ângulo φ negativo, a função senoy(t) = A sin (ωt− φ) está em atraso em relação à função y(t) = A sin ωtde um ângulo φ, figura A-4b. Por isso, podem escrever-se as seguintesrelações

sin (ωt) = cos(ωt− π

2

)(A-5a)

cos (ωt) = sin(ωt +

π

2

)(A-5b)

0t

Asin(ω

t+

φ)

0

φ

(a) Seno em avanço de φ

0t

Asin(ω

t−

φ)

0

φ

(b) Seno com atraso φ

Figura A-4: Seno com avanço e atraso φ

A expressãox (t) = C cos (ωt− φ) (A-6)

pode escrever-se na forma

x (t) = C cos ωt cos φ + C sin ωt sin φ

= A cos ωt + B sin ωt,(A-7)

ondeA = C cos φ B = C sin φ, (A-8)

C =√

A2 + B2 φ = tan−1 B

A. (A-9)

480

Na figura A-5 ilustra-se, através de um diagrama de vectores rotativosa equivalência entre as expressões (A-6) e (A-7). Note-se que A cos ωt pre-cede B sin ωt de π

2.

Figura A-5: Vectores rotativos para x(t) = A cos ωt + B sin ωt =√A2 + B2 cos (ωt− φ)

Parâmetros característicos

Num movimento harmónico simples do tipo x(t) = A sin (ωt− φ), o mo-vimento oscilatório de um ponto desde a posição média até uma posiçãoextrema, desta até à posição média, desta até à outra posição extrema eregresso à posição média designa-se por ciclo do movimento ou da os-cilação. Na representação vectorial, figura A-2, uma rotação completado vector

−→OP (2π radianos) constitui um ciclo. Para o movimento har-

mónico podem definir-se os seguintes parâmetros característicos ilustra-dos na figura A-6:

• Amplitude: deslocamento máximo medido a partir da posição mé-dia.

• Período (de oscilação): tempo necessário para completar um ciclo domovimento; tempo necessário para o vector rotativo

−→OP rodar de 2π

radianos:

481

T =2π

ω(A-10)

A unidade de tempo para exprimir o período é o segundo, s.

• Frequência (de oscilação): número de ciclos por unidade de tempo:

f =1

T=

ω

2π(A-11)

Como 2π é constante, ω pode também ser usada para representar afrequência, sendo ω designada por frequência angular ou pulsação,para a distinguir da frequência f . A frequência circular ω representaa velocidade angular do movimento cíclico e é medida em rad/s en-quanto que a frequência f exprime-se em ciclos por segundo, Hz.

• Fase ou ângulo de fase: Avanço ou atraso φ em relação ao movi-mento de referência.

0

t

x(t

)

T = 1/fA

φ

Figura A-6: Parâmetros característicos do movimento harmónico

Espectro de frequência

O movimento harmónico x(t) = X sin (ωt− φ) de frequência ω, amplitudeX e fase φ, como se ilustra na figura A-7a, pode, igualmente, representar-se no domínio da frequência através da sua amplitude X e fase φ emfunção da frequência ω, como se ilustra na figura A-7b. A representação nodomínio da frequência designa-se por espectro (de amplitude e de fase).Refira-se que, enquanto a representação no domínio do tempo é contínua,a representação no domínio da frequência é discreta.

482

t

x(t

)

XT

(a) domínio do tempo

0

−π

π

f /Hz

φ

X f = 1/T

X

(b) domínio da frequência

Figura A-7: Representação do movimento harmónico no tempo e na fre-quência

Movimentos harmónicos síncronos

Movimentos harmónicos que apresentam a mesma frequência ω designam-se por movimentos harmónicos síncronos. Refira-se que não necessitamde apresentar a mesma amplitude nem de atingir o seu valor máximo si-multaneamente. Os dois movimentos harmónicos

x1 (t) = A1 sin ωt (A-12a)

x2 (t) = A2 sin (ωt + φ) (A-12b)

são movimentos síncronos porque possuem a mesma frequência ω. Osmovimentos descritos pelas expressões (A-12) e ilustrados na figura A-8apodem ser representados por dois vectores rotativos como se mostra nafigura A-8b. Como o movimento x2(t) está em avanço de φ em relação a

483

x1(t), o vector−−→OP2 precede o vector

−−→OP1 de um ângulo φ. Os dois vec-

tores apresentam uma diferença de fase igual a φ radianos e o ângulo φdesigna-se por diferença de fase (desfasamento) entre os dois movimentossíncronos.

0t

x1(t

);x

2(t

)

0

φT

(a) movimentos harmónicos síncronos

(b) representação vectorial

Figura A-8: Movimentos harmónicos síncronos

Grandezas cinemáticas do movimento harmónico

Designando por x(t) a posição instantânea dum ponto P animado de mo-vimento harmónico (em relação à posição média) de amplitude X e fre-quência ω,

x (t) = X sin ωt, (A-13)

a velocidade instantânea do ponto P é dada pela derivada em ordem aotempo de x (t),

x (t) =dx (t)

dt= ωX cos ωt, (A-14)

484

e a aceleração instantânea pela segunda derivada do deslocamento x (t)(ou derivada da velocidade x (t)),

x (t) =d2x (t)

dt2= −ω2X sin ωt = −ω2x (t) . (A-15)

As expressões (A-14) e (A-15) mostram que a amplitude de velocidadeωX e a amplitude de aceleração ω2X são proporcionais à amplitude dedeslocamento X , sendo as constantes de proporcionalidade ω e ω2, respec-tivamente. As expressões (A-14) e (A-15) podem ainda reescrever-se naforma

x(t) = ωX cos ωt = ωX sin(ωt +

π

2

), (A-16)

x(t) = −ω2X sin ωt = −ω2x (t) = ω2X sin (ωt + π) . (A-17)

As expressões (A-16) e (A-17) mostram que a velocidade x(t) encontra-seem avanço de fase igual a π/2 em relação ao deslocamento x(t) (quadraturade fase), enquanto que o deslocamento x(t) e a aceleração x(t) encontram-se desfasados de π, isto é, estão em oposição de fase, conforme se presentana figura A-9.

Refira-se que a aceleração x (t) é directamente proporcional ao deslo-camento x(t), sendo a constante de proporcionalidade igual a −ω2.

Um movimento oscilatório (vibração), onde a aceleração é proporcionalao deslocamento e dirigida para a sua posição média, designa-se por mo-vimento harmónico simples.

Representação complexa

Um vector−→OP no plano Oxy pode ser representado por um número com-

plexo da forma,

−→OP = a + jb (A-18)

onde j =√−1 é o operador complexo e a e b designam as componentes

de−→OP segundo os eixos Ox e Oy respectivamente. Se se assimilar o plano

Oxy ao plano complexo, as componentes a e b designam-se por parte reale imaginária do vector

−→OP , figura A-10. Se A designar o módulo do vector−→

OP e φ representar o ângulo entre o vector e o semi-eixo positivo Ox, entãoo vector

−→OP pode exprimir-se como

−→OP = A cos φ + jA sin φ = Aejφ, (A-19)

485

0

x(t

),x(t

),x(t

)

t

x x x

(a) movimento harmónico

(b) representação vectorial

Figura A-9: Deslocamento, velocidade e aceleração no movimento har-mónico

onde

A =√

a2 + b2 φ = tan−1 b

a(A-20)

Em notação complexa, A designa-se por módulo ou magnitude e φ porargumento ou fase do vector

−→OP .

O vector rotativo−→OP da figura A-2, cujas projecções ortogonais nos

eixos Ox e Oy representam movimentos harmónicos, pode então ser rep-resentado, figura A-11, por um número complexo da forma

−→OP = Aejωt. (A-21)

Assim, o movimento harmónico genérico x(t), de amplitude X e fre-

486

Figura A-10: Representação complexa de um vector

Figura A-11: Representação complexa do movimento harmónico

quência ω, pode ser representado em notação complexa na forma

x(t) = Xejωt (A-22)

A representação do movimento harmónico na forma x(t) = Xejωt con-stitui uma forma mais genérica de representação mas também uma formamais compacta e que é utilizada com vantagem em análise de vibrações.A primeira e a segunda derivadas do vector (A-22) em relação ao tempo tconduzem às seguintes expressões vectoriais para a velocidade e a aceler-ação,

˙x(t) = jωXejωt = jωx(t), (A-23)

¨x(t) = −ω2Xejωt = −ω2x(t). (A-24)

As expressões (A-23) e (A-24) evidenciam um resultado já previamenteestabelecido: a velocidade é representada por um vector em avanço deπ/2 em relação ao deslocamento e a aceleração por um vector oposto aovector de deslocamento; a amplitude de velocidade e de aceleração sãoproporcionais à amplitude de deslocamento, sendo a constante de propor-cionalidade ω e ω2, respectivamente, figura A-9.

487

No caso particular de um movimento harmónico de lei temporal x (t) =A cos ωt, 1 o deslocamento x (t), a velocidade x (t) e a aceleração x (t) po-dem exprimir-se como:

x (t) = Re [x (t)] = Re[Xejωt

]= X cos ωt (A-25)

x(t) = Re [ ˙x(t)] = Re[jωXejωt

]= −ωX sin ωt = ωX cos

(ωt +

π

2

)(A-26)

x(t) = Re [¨x(t)] = Re[−ω2Xejωt

]= −ω2X cos ωt = ω2A cos (ωt + π)

(A-27)onde Re (·) representa a parte real. Pode verificar-se que o vector ace-leração precede o vector velocidade de π

2e o vector deslocamento de π

radianos.

1Nota: Se o movimento harmónico for representado pela lei x(t) = X sin ωt, entãoter-se-á: x(t) = Im [Aejωt] = A sin ωt = Im [jωAejωt] = ωA cosωt = ωA sin (ωt+) (t) =Im [−ω2Aejωt] = −ω2A sinωt = ω2A sin (ωt + π) onde Im (·) representa a parte imag-inária.

488

Anexo B: Série de Fourier

Uma função f(t) periódica no tempo é qualquer função que se repete notempo, isto é, qualquer função para a qual existe um tempo T fixo, desig-nado por período, de modo que se verifica a relação f (t) = f (t + nT ) paraqualquer valor de t. Um exemplo duma função periódica é apresentadona figura B-1.

t

f(t

)

F

−F

T

Figura B-1: Exemplo de função periódica

De acordo com a expansão em série de Fourier, qualquer função per-iódica f(t) com período T ,

f (t) = f (t + nT ) (B-1)

onde n representa um inteiro, pode ser representada por uma série con-vergente de funções harmónicas em que a frequência de cada harmónicoé um múltiplo inteiro de uma frequência designada por fundamental. Aexpansão em série de Fourier pode escrever-se na forma,

f (t) =1

2A0 +A1 cos ωt+A2 cos 2ωt+ . . .+B1 sin ωt+B2 sin 2ωt+ . . . (B-2)

489

490

ou,

f (t) =1

2A0 +

∞∑n=1

(An cos nωt + Bn sin nωt) (B-3)

onde a frequência ω,

ω =2π

T(B-4)

é designada por frequência fundamental, n = 1, e nω é a frequência dosharmónicos de ordem n superior. Os coeficientes A0, An e Bn designam-se por coeficientes de Fourier. O termo 1

2A0 representa o valor médio da

função num período T e é dado pela expressão,

A0 =2

T

∫ T

0

f (t) dt. (B-5)

Para estabelecer as expressões para os coeficientes An e Bn, considerem-se as propriedades de ortogonalidade das funções trigonométricas,

∫ T

0

sin nωt sin mωt dt =

0 m 6= nT2

m = n(B-6a)

∫ T

0

cos nωt cos mωt dt =

0 m 6= nT2

m = n(B-6b)

∫ T

0

cos nωt sin mωt dt = 0 (B-6c)

Multiplicando a expansão de Fourier (B-3) por cos mωt e integrandopara o período T , vem,

∫ T

0f (t) cos mωtdt =

∫ T

0A0

2cos mωtdt (B-7)

Tendo em conta as propriedades de ortogonalidade (B-6a), os coefi-cientes An n = 1, . . . ,∞ são dados pela expressão

An =2

T

∫ T

0

f (t) cos nωt dt. (B-8)

De forma idêntica, multiplicando a expansão de Fourier (B-3) por sin mωte integrando para o período T , obtém-se,

∫ T

0f (t) sin mωt dt =

∫ T

0A0

2sin mωt dt (B-9)

491

Tendo em conta as propriedades de ortogonalidade (B-6b), os coefi-cientes Bn n = 1, . . . ,∞ são dados pela expressão

Bn =2

T

∫ T

0

f (t) sin nωt dt. (B-10)

A interpretação física da expansão em série (B-3) é que qualquer funçãoperiódica pode ser representada como uma soma de funções harmónicas,figura B-2.

t

f(t

)

=

+

+

+

+

+...

Figura B-2: Expansão em série de Fourier

492

Ao expandir uma função periódica em série de Fourier, à medida queo número n de termos aumenta a aproximação melhora, excepto na vizin-hança de descontinuidades, como se pode observar na figura B-3a. Aqui,o desvio para a função original torna-se mais estreito com o aumento donúmero de termos, mas não se reduz em amplitude, verificando-se que oerro em amplitude permanece em aproximadamente 9% mesmo quandon → ∞, figura B-3b. Este comportamento é conhecido por fenómeno deGibbs.

t

f(t

),Σ

...

(a) aproximação por série de Fourier

t

f(t

),Σ

...

(b) fenómeno de Gibbs

Figura B-3: Aproximação por série de Fourier

A série de Fourier (B-3) pode ainda escrever-se na forma alternativa,

f (t) = C0 +∞∑

n=1

Cn cos (nωt− φn) (B-11)

onde

C0 =A0

2Cn =

√(An)2 + (Bn)2 φn = tan−1

(Bn

An

)(B-12)

493

Os harmónicos Cn cos (nωt− φn) designam-se por harmónicos de or-dem n da função f(t) e apresentam um período T/n ou frequência nω.Os coeficientes Cn representam a amplitude de cada harmónico e os ân-gulos φn a respectiva fase e constituem o espectro de magnitude e de faseda função f(t). Os coeficientes Cn e φn podem representar-se como linhasverticais num diagrama de amplitude e fase versus frequência, nω. Nafigura B-4 representa-se um espectro típico duma função periódica.

1 2 3 4 5 6 7 8 9...

0

−π

π

n

φn

Cn

Figura B-4: Espectro de amplitude e de fase duma função periódica

A expansão em série de Fourier permite a descrição de qualquer funçãoperiódica usando quer o domínio do tempo quer o domínio da frequência.Uma função periódica, como a onda rectangular, pode ser representadano domínio do tempo, como se mostra na figura B-5a, ou no domínio dafrequência, como se ilustra na figura B-5b.

494

0t

f(t

),ΣF

−F

T

(a) tempo

1 2 3 4 5 6 7 8 ...

0

−π

π

n

φn

Cn

(b) frequência

Figura B-5: Representação no tempo e na frequência

Para a representação no domínio da frequência de funções não periódi-cas, é necessário recorrer ao integral de Fourier.

Função par

Uma função f(t) par caracteriza-se por verificar a condição

f (t) = f (−t) . (B-13)

Para uma função par, os coeficientes Bn n = 1, . . . ,∞ são nulos e a sériede Fourier reduz-se a uma série de harmónicos de tipo cosseno da forma,

495

f (t) =1

2A0 +

∞∑n=1

An cos nωt (B-14)

Refira-se que a função cos é uma função par.

Função ímparUma função f(t) diz-se ímpar se verificar a condição

f (t) = −f (−t) . (B-15)

Para uma função ímpar, o coeficiente A0 e todos os coeficientes An, n =1, . . . ,∞ são nulos e a expansão em série de Fourier reduz-se a uma sériede harmónicos de tipo seno de amplitude Bn,

f (t) =∞∑

n=1

Bn sin nωt. (B-16)

Deve notar-se que a função seno é uma função ímpar.

496

Anexo C: Energia de deformação

Torção de veios

Deformação de corte

γ = rdθ

dx(C-1)

Tensão de corteτ = Gγ = Gr

dθ

dx(C-2)

Energia de deformação

U =1

2

∫

V

τγ dV (C-3)

Substituindo (C-1) e (C-2) em (C-3) e fazendo dV = dA dx,

U =1

2

∫

`

∫

A

Grdθ

dxr

dθ

dxdA dx =

1

2

∫

`

∫

A

Gr2

(dθ

dx

)2

dA dx

∫

A

r2 dA = Ip (C-4)

U =1

2

∫

`

GIp

(dθ

dx

)2

dx (C-5)

Tracção-compressão de barras

Deformação axial

ε =du

dx(C-6)

497

498

Tensão axialσ = Eε = E

du

dx(C-7)


U =1

2

∫

V

σε dV (C-8)

Substituindo (C-6) e (C-7) em (C-8) e fazendo dV = dA dx,

U =1

2

∫

`

∫

A

E

(du

dx

)2

dA dx

∫

A

dA = A (C-9)

U =1

2

∫

`

EA

(du

dx

)2

dx (C-10)

Flexão de vigas

Deformação normal

ε = −yκ = −yd2v

dx2(C-11)

Tensão normal

σ = Eε = −Eyd2v

dx2(C-12)


U =1

2

∫

V

σε dV (C-13)

Substituindo e em e fazendo dV = dA dx,

U =1

2

∫

`

∫

A

(−Ey

d2v

dx2

)(−y

d2v

dx2

)dx =

1

2

∫

`

∫

A

E

(d2v

dx2

)2

dA dx

∫

A

y2 dA = I (C-14)

U =1

2

∫

`

EI

(d2v

dx2

)2

dx (C-15)

Anexo D: Rigidez de vigas, veios e barras

Rigidez de flexão

δ = P`3

48EI

k =P

δ=

48EI

`3(D-1)

δ = P`3

3EI

k =P

δ=

3EI

`3(D-2)

δ = P`3

192EI

k =P

δ=

192EI

`3(D-3)

499

500

δ = P`3

12EI

k =P

δ=

12EI

`3(D-4)

Rigidez de torção

θ = Mt`GIp

k =Mt

θ=

GIp

`(D-5)

Rigidez axial

δ = PÈA

k =P

δ=

EA

`(D-6)

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