Apostila #1 – Matemática Básica – Introdução

Esta é a primeira apostila do Curso de Matemática que será apresentado sob uma didática diferente onde o aluno poderá ter a chance de aprender toda a Matemática sem o emprego de todo o rigor teórico comumente apresentado nos estudos tradicionais da disciplina.Com o uso das técnicas aqui apresentadas resolver problemas de Matemática se tornará muito fácil, pois aproximará o aluno da compreensão dos enunciados de forma direta e racional, sem se divagar em conceitos que, na realidade, não são empregados.Estas técnicas de resolução de problemas eu costumo chamar de “ferramentas de cálculo” pois, ao serem empregadas de acordo com o que o problema exige, torna o nosso trabalho muito mais fácil permitindo que possamos chegar muito mais rápida e eficientemente ao resultado procurado.Procure memorizar estas técnicas e empregá-las corretamente e você poderá constatar que a Matemática será facilmente dominada.

Esta apostila deve ser usada em conjunto com os vídeos postados no site matbizus.blogspot.com, os quais conterão a resoluções dos problemas aqui propostos e, também, demonstrado na prática, o emprego dos métodos que constam nesta e nas outras apostilas.

O curso abordará, inicialmente, os assuntos iniciais de Álgebra, Geometria e Aritmética. Os três serão apresentados de forma concatenada, a fim de que todo o conhecimento de cada uma destas áreas da Matemática se completem. Assim, o conhecimento adquirido em uma delas será utilizado nas demais e vice-versa.

Sendo assim, iniciaremos nosso Curso de Matemática pela Álgebra, com os conceitos iniciais de Teoria dos Conjuntos Numéricos. Desta forma, entenderemos o dignificado do símbolo numérico e, com isso, será mais palpável os assuntos posteriores.

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Matemática Básica – Módulo IÁlgebra – Parte 1

(Professor Claudio Castro – Matemática)

Álgebra é o ramo que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinômios e estruturas algébricas.

Basicamente, é na Álgebra que vamos aprender todas as ferramentas para trabalharmos com operações de cálculo tais como Soma, Subtração, Multiplicação e Divisão.É também na Álgebra que encontraremos recursos para calcular variáveis por meio de equações.É muito importante termos habilidade com os recursos da Álgebra, pois, invariavelmente, a grande maioria dos problemas matemáticos são resolvidos com eles.

Conjuntos Numéricos:Não tem como entendermos os números sem antes colocarmos todos eles em um mesmo local. Este local é o que chamamos de Conjunto Numérico. A definição de conjunto é intuitiva e por isso, dispensarei o uso de definições formais.Todos enxergamos um conjunto como uma reunião de coisas. No caso dos Conjuntos Numéricos, os números são estas coisas.

Mas, para que juntar todos os números em um mesmo local?

A razão deste procedimento é a seguinte: Se colocarmos várias coisas em um mesmo local poderemos submetê-las às mesmas condições de forma que o que puder acontecer com uma dessas coisas poderá também acontecer às demais da mesma maneira.Considere os conjuntos numéricos como um Sindicato de uma categoria profissional. Se um membro deste sindicato puder exigir um dia de dispensa, então todos que também pertençam a este sindicado também poderão fazer a mesma exigência. A mesma situação ocorre se, por exemplo, um destes profissionais tiver seu salário aumentado. Todos também poderão ter.Trazendo esta idéia para os números, diz-se que, por exemplo, se reunirmos certos números em um determinado conjunto, e se um destes números puder ser multiplicado por um outro, então todos também poderão ter esta possibilidade.Procedendo desta maneira, padronizaremos os recursos e expandiremos estas funcionalidades a todos os elementos do conjunto.

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1) Conjunto dos Números Naturais (N).

O Conjunto dos Números Naturais foi o primeiro conjunto criado. Nele, cada número foi inserido segundo a sua capacidade de representar a existência da quantidade de alguma coisa.

Diz a História que os Números Naturais partiram da necessidade de os pastores contar as suas ovelhas. Antes, eles carregavam em uma sacola atada à cintura, uma pedrinha para cada animal que possuía. Assim, ao final do pastoreio, ao guardar os animais, comparava a quantidade de animais à quantidade de pedrinhas, e assim tinham a certeza de que nenhum animal havia se perdido. Porém, com o tempo ficava difícil carregar pedrinhas para, digamos, 500 animais!!!

Partindo da idéia de que os números naturais representam a existência de coisas reais, concluímos que o número zero não é natural. Desta forma podemos representar o Conjunto dos Números Naturais (N) como:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Trocando em miúdos, O Conjunto dos Números Naturais é um conjunto formado por todos os números a partir do número 1.

A partir daí, podemos iniciar o primeiro contato com as operações básicas, lembrando que:

a) Toda operação realizada com os elementos de N deverá ter como resultado também um elemento de N.

b) Todo elemento, com exceção do primeiro, é igual ao seu anterior acrescido de uma unidade.

c) Não existirá operações de subtração ou divisão de um número menor por um maior, somente o contrário.

Operações Fundamentais

1) Soma ou Adição: Operação com o objetivo de somar, ou seja, ela agrupa dois números, as quais, se somarmos tornam-se apenas um. É possível obter através dela, a contagem real de tudo o que possuímos em tempo presente até que ocorra aumento de materiais.

2) Subtração: Nela pode se calcular quanto será o valor real se removermos um valor que é chamado de minuendo, de outro que é conhecido como subtraendo. Essa operação é simbolizada por , ou seja, o minuendo menos o subtraendo é igual ao restante que sobra.

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3) Multiplicação: Conhecida pelo sinal de “ ”, esta operação é indicada para o adicionamento de números em igualdade de ordem finita, ou seja, multiplicando-se um número vezes outro, você obterá o resultado final que é chamado de produto.

4) Divisão: Propõe uma ordem inversa à multiplicação, ou seja, sua função principal é dividir a quantidade proposta por outro número, que jamais pode ser o zero. Seus membros recebem o nome de divisor, dividendo, quociente e resto.

Propriedades das Operações Fundamentais

Soma: 1ª parcela + 2ª parcela = soma ou totala) Os termos da adição são chamadas parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total.b) A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: c) O zero é elemento neutro da adição:

Subtração: minuendo - subtraendo = resto ou diferençaa) O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença.b) A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração:

, (sempre que a ≠ b)c) Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será adicionado de k.d) Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto será subtraído de k.e) A subtração é a operação inversa da adição: f) A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo: g) O zero é elemento neutro da subtração:

Multiplicação: a) Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de multiplicação é denominado produto.b) O primeiro fator também pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado multiplicador.c) A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicação: .d) O número 1 é o elemento neutro da multiplicação: . e) Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será adicionado de k vezes o outro fator: e) Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto será multiplicado por k: ckbkacba f) Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adição ou subtração qualquer:

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Divisão: Na divisão inteira de N por D ≠ 0 teremos .

a) A segunda condição significa que r (o resto) nunca pode ser negativo.b) Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados: D é o dividendo; d é o divisor (sempre diferente de zero); q é o quociente; r é o resto (nunca negativo).c) O maior resto possível é igual ao divisor menos a unidade.

Propriedades Operatórias

a) Comutatividade: Propriedade que indica que a ordem dos termos não altera o resultado:

a.1) Na Soma: ;a.2) Na Subtração: , . Não há comutatividade.a.3) Na Multiplicação: . A ordem dos fatores não altera o produto.a.4) Na Divisão: . Não há comutatividade.

b) Associatividade: Propriedade que indica que a ordem das operações aplicadas não altera o resultado:

b.1) Na Soma: b.2) Na Subtração: . Não há associatividade.b.3) Na Multiplicação: b.4) Na Divisão: . Não há associatividade.

c) Distributividade: Propriedade que indica que a multiplicação de um número por uma soma é igual à soma dos produtos deste número por cada uma das parcelas:

d) Elemento Neutro: É o número que ao entrar na operação como termo não altera o resultado.

c.1) Na Soma: . O zero é o elemento neutro da Soma.c.2) Na Subtração: . Não existe elemento neutro na Subtração. c.3) Na Multiplicação: . “1” é o elemento neutro da Multiplicação.c.4) Na Divisão: . Não existe elemento neutro na Divisão.

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Exercícios:

1) 01. Uma escola funciona em dois turnos. No matutino há 1 407 alunos e no turno vespertino, 1825 alunos. Quantos alunos estudam nessa escola?

2) Três cidades do estado de São Paulo são ligadas por uma rodovia. De Campinas a Rio Claro são 79 quilômetros e de Rio Claro a São Carlos são 56 quilômetros. Sabendo-se que Rio Claro está entre Campinas e São Carlos, quantos quilômetros separam, por essa rodovia, Campinas de São Carlos?

3) Um determinado avião pode transportar 295 passageiros. Em um vôo, o avião está transportando 209 passageiros. Quantas poltronas desse avião não estão ocupadas?

4) Se Carlos tem 518 selos e Henrique tem 702 selos, quantos selos Henrique tem a mais que Carlos?

5) O médico receitou ao Carlos que andasse 1 250 metros todos os dias para melhorar o seu estado físico. Quantos metros Carlos vai andar em uma semana?

6) Para as 8º séries de um colégio foram matriculados 360 alunos. Esses alunos devem ser repartidos igualmente em 8 salas. Quantos alunos haverá em cada sala de 8º série?

7) Se você deseja colocar 720 livros em caixas onde cabem 45 livros cada uma, quantas caixas você conseguirá completar?

8) Numa multiplicação, um dos fatores é 27 e o produto é 594. Qual é o outro fator?

9) Numa divisão exata, o divisor é 72 e o quociente é 15. Qual é o valor do dividendo?

10) Luis e Vera foram encarregados de preparar os sanduíches para a festa surpresa de Anita. Cada pão de fôrma dá para 12 sanduíches. São 22 os convidados e a previsão é que cada um coma 6 sanduíches. De quantos pães de fôrma eles vão precisar?

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Respostas e desenvolvimento dos Exercícios

1) Uma escola funciona em dois turnos. No matutino há 1407 alunos e no turno vespertino, 1825 alunos. Quantos alunos estudam nessa escola?Resolução:

Quantidade total de alunos = (Alunos Turno Matutino) + (Alunos Turno Vespertino)

Quantidade de Alunos

Quantidade de Alunos

Resposta: Na escola estudam 3.232 alunos.

2) Três cidades do estado de São Paulo são ligadas por uma rodovia. De Campinas a Rio Claro são 79 quilômetros e de Rio Claro a São Carlos são 56 quilômetros. Sabendo-se que Rio Claro está entre Campinas e São Carlos, quantos quilômetros separam, por essa rodovia, Campinas de São Carlos?Resolução: São Paulo

Pelo gráfico podemos ver que a distância de Campinas a São Carlos é igual à soma das distancias entre Campinas e Rio Claro e entre Rio Claro e São Carlos. Desta forma teremos:

Distância Campinas / São Carlos

Resposta: 135Km separam Campinas de São Carlos

3) Um determinado avião pode transportar 295 passageiros. Em um vôo, o avião está transportando 209 passageiros. Quantas poltronas desse avião não estão ocupadas?Resolução:

Número de poltronas não ocupadas = (Número total de poltronas) – (Número de passageiros sentados)

Número de poltronas não ocupadas =

Resposta: No avião existem 86 poltronas não ocupadas.

4) Se Carlos tem 518 selos e Henrique tem 702 selos, quantos selos Henrique tem a mais que Carlos?Resolução:

- Total de Selos de Carlos: 518- Total de Selos de Henrique: 702

Henrique possui selos a mais que Carlos.

Resposta: Henrique possui 184 selos a mais que Carlos.5) O médico receitou ao Carlos que andasse 1 250 metros todos os dias para melhorar o seu estado físico. Quantos metros Carlos vai andar em uma semana?Resolução:

Campinas Rio Claro São Carlos79Km 56Km

Considerando-se uma semana de 7 dias, basta multiplicar a distância que ele deve andar por dia pela quantidade de dias da semana. Chamando-se a quantidade de dias que ele vai andar em uma semana por “Q”, teremos:

Resposta: Carlos vai andar, em uma semana, 8750 metros.

6) Para as 8ª séries de um colégio foram matriculados 360 alunos. Esses alunos devem ser repartidos igualmente em 8 salas. Quantos alunos haverá em cada sala de 8ª série?Resolução:

Aqui temos um exemplo de como empregar o método da divisão. Veja que se dividirmos o total de alunos pela quantidade disponível de salas teremos a quantidade de alunos que cada sala deverá ter. Chamando esta quantidade de “Q”, teremos:

Resposta: Cada sala possuirá 45 alunos.

7) Se você deseja colocar 720 livros em caixas onde caibam 45 livros cada uma, quantas caixas você conseguirá completar?Resolução:

Neste problema, a quantidade total de caixas será igual ao número total de livros dividido pela quantidade que cada caixa pode conter. Assim, teremos:

Resposta: Colocando-se 45 dos 720 livros em cada caixa, terei enchido 16 caixas.

8) Numa multiplicação, um dos fatores é 27 e o produto é 594. Qual é o outro fator?Resolução:

De acordo com o Enunciado, um número, que chamaremos aqui de “y”, multiplicado por 27 resulta em 594. Assim, podemos dizer que: . Raciocinando-se como no exercício anterior, digamos que “queremos colocar 594 livros em 27 caixas. Quantas caixas usaríamos?”. Logo, o total de caixas seria igual ao resultado da divisão de 594 por 27. O total seria o valor “y” da questão. Logo:

De fato,

Resposta: O outro fator é 22.

9) Numa divisão exata, o divisor é 72 e o quociente é 15. Qual é o valor do dividendo?Resolução:

Colocando o enunciado de forma algébrica teremos:

A partir da figura podemos concluir que, por ser uma Divisão Exata, o Dividendo “D”, dividido por 72 tem como resultado 15 e resto zero. Logo, no processo inverso, encontramos que 15 multiplicado por 72 será igual ao valor do Dividendo. Assim, teremos:

Resposta: O Dividendo vale 1080.

10) Luis e Vera foram encarregados de preparar os sanduíches para a festa surpresa de Anita. Cada pão de fôrma dá para 12 sanduíches. São 22 os convidados e a previsão é que cada um coma 6 sanduíches. De quantos pães de fôrma eles vão precisar?Resolução:Aqui teremos que fazer dois cálculos. Primeiro, teremos que saber qual é a quantidade total prevista de consumo de sanduíches, que será o produto entre a quantidade de convidados e a quantidade prevista de consumo de cada um.Depois, deveremos dividir este total pela quantidade de sanduíches que se pode fazer com cada pão de forma.

Cálculo 1: Cálculos 2:

Resposta: Eles vão precisar de 11 pães de forma.

(Resolução dos exercícios em vídeo no site “matbizus.blogspot.com”)