APOSTILA CESBOC - TOPOGRAFIA

CURSO TÉCNICO EM MINERAÇÃO - MÓDULO II

Topografia e

Geoprocessamento

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Rua Jequitibás, nº 393 – Eldorado – Contagem – CEP.: 30310-390 – Tel.: (31) 2557-0081E-mail: [email protected]


CE SBOC - Centro Educacional Profissionalizante Ltda.

Capítulo 1 - Generalidades e DefiniçõesCapítulo 2 - PlanimetriaCapítulo 3 - AltimetriaCapítulo 4 - PlanialtimetriaReferências Bibliográficas

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1 - Introdução1 - Introdução

“ _ ... a topografia não é mais a mesma !”, “ _ ... podemos jogar nossos antigos equipamentos no lixo,

para inserirmos no mercado !? ...”;

“ _ ... para que desenhar em papel se existe o computador !?”, “ _ ... trena !? ... pra que isso !?”, “

_ ... tudo está mais fácil ...., mas aonde é que liga esse “trem” mesmo ... !?”.

Estas são apenas algumas das indagações que constantemente escuta-se na comunidade prestadora

de serviços em topografia.

Ampliando o rol de usuários e formadores de opinião sobre a ciência topográfica, aonde inclui-se

desde aqueles inseridos nos processos acadêmicos até os empresários do setor, percebe-se, às vezes,

um descompasso na atividade produtiva.

Nas últimas décadas, verificou-se um avanço tecnológico nunca registrado na

história, dificultando a natural percepção do homem frente a estas mudanças. Pela “falsa

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competição” entre as empresas, seu “layout” foi rapidamente modificado, em busca da dita

“modernidade”.

“ ... pronto ! ... compramos ! ... e agora quem vai operar ... !?”

Então se retoma a real importância da existência da Tecnologia, ou seja, o Homem. Tecnologia esta,

que foi idealizada por homens, devendo ser executada também por homens, em benefício da

sociedade.

Na prática destas duas ações grifadas acima é que se encontram atualmente as grandes dificuldades

do avanço da topografia no Brasil. Temos num extremo a tecnologia muitas vezes não idealizada por

nós, prejudicando a execução por pessoas também não conhecedoras dos fundamentos básicos da

topografia.

Cooperando com a ciência e certificado que a minimização deste problema está no conhecimento

dos fundamentos básicos da Topografia e temas correlacionados, discutem-se estes assuntos com os

seguintes enfoques: No capítulo 1 faz-se um resumo histórico da topografia e definem-se os

fundamentos básicos da Geodésia e Topografia. No capítulo 2 restringe-se ao assunto planimetria,

destacando-se principalmente os processos de levantamento topográfico e o cálculo de planilha de

coordenadas. Busca-se também adotar a NBR 13.133, da ABNT, nos cálculos em questão. No capítulo

3, discute-se os métodos de levantamento altimétrico, dando ênfase ao nivelamento geométrico

composto. Cita fatos atuais da altimetria e também se aplica a NBR 13.133. No capítulo 4, comenta-

se o assunto planialtimetria, exemplificando o tema.

Os próximos capítulos têm como subtítulo “Aspectos Básicos”. Esta sugestão ocorre por três

motivos: da dificuldade em expor todos as vertentes da técnica ou ciência em estudo, da constante

evolução do tema ou da importância relativa deste tema ao aprendizado do engenheiro ou técnico

na disciplina de Topografia. Desta forma são assim discutidos:

Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos;

Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos;

Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos;

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Capítulo 8 - Locação - Aspectos Básicos;

Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos.

2 - Resumo Histórico2 - Resumo Histórico

A percepção e entendimento das técnicas, procedimentos e instrumentos topográficos ocorreu sempre paralelo às aspirações do homem. Sabe-se que a principal necessidade natural da sobrevivência humana é o conhecimento das peculiaridades, e principalmente das adversidades da natureza. Esta preocupação remonta dos primórdios da civilização até os dias atuais.

Pode-se dizer que a Topografia em sua forma elementar é tão antiga como a história da civilização e

igualmente às outras ciências, tomando do ponto de vista histórico, pode-se dividi-la em épocas.

2.1 - Das Primeiras Civilizações à Idade Antiga2.1 - Das Primeiras Civilizações à Idade Antiga

É fato, que o homem ao se erguer e iniciar a busca ao alimento e moradia, este começou a requerer

sentidos de localização.

Sendo vasto o ambiente que o cercava, sua capacidade de

guardar informações era restrita, havendo a necessidade e

uma tendência inata de rabiscar ou rascunhar este

pensamento. Após a confirmação e aprimoramento destes

símbolos, o homem começou a se posicionar. Este podia agora

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... então, acordo, ando em direçãoao sol, avisto uma grande árvore,fujo do “dino”, viro em direção àpedra sagrada, e subo o monte ...daí já avisto ...


encontrar água ou abrigos com mais facilidade, pois possuía a noção de posições relativas do local

em que habitava.

Com a evolução natural, principalmente praticando o sedentarismo, ocorreu o início da organização

social e política, evoluindo à criação do Estado. O fato marcante desta época (cerca de 4.000 a.C.) foi

denominado de Revolução Agrícola. Mais uma vez surgia a necessidade do reconhecimento dos

acidentes do relevo, e principalmente dos limites entre as propriedades agrícolas. Surgem os

primeiros procedimentos para demarcação destas áreas.

A maioria dos primeiros Estados de que se tem notícia formaram-se na região conhecida como

Oriente Próximo. Correspondem às civilizações que surgiram e se desenvolveram por meio da

agricultura, praticada nas terras cultiváveis às margens de grandes rios, como o Nilo, o Tigre, o

Eufrates e o Indo. Registra-se que a representação gráfica mais antiga que a humanidade conhece,

foram os confeccionados pelos Mesopotâmios, em aproximadamente 3.500 a.C., na histórica região

entre os rios Tigre e Eufrates, onde hoje se encontra o Iraque. A prática destes métodos de medição

e representação foi repassada aos gregos, e este a denominaram de Topografia1, onde topo

significava lugar, ambiente e grafia um desenho, representação gráfica, logo, representando a

descrição de um lugar.

Ainda sobre essas civilizações, na idade Antiga (4.000 a.C. a 476 d.C), reconhece-se que controlavam

a água dos rios, construindo açudes e canais de irrigação. Percebe-se agora não só preocupação de

posicionamento e registro do ambiente, mas também a implantação de um projeto, ou seja, a

locação de uma obra já planejada. Nesta época ocorre um grande desenvolvimento da matemática,

no qual era necessário para o conhecimento da produção agrícola nas épocas das enchentes pelos

escribas2.

Devido ao grande porte destes projetos, o controle das águas era empreendido pelo Estado, que

passou a ser o grande proprietário de terra, além de dirigir todos os aspectos da sociedade. Com o

Estado responsável pela gerência de bens e produtos, seus representantes normatizaram regras de

convivência entre as classes sociais. Surgem as primeiras leis do Direito Agrário, onde eram

conhecidos os termos de desapropriação, hereditariedade sobre os bens, etc.

1 Topografia: Do gr. e lat. topographia, de topos, lugar + graphein, escrever.2 Escribas: Classe de funcionários públicos, formado por indivíduos muito cultos que

supervisionavam toda a administração pública, responsabilizando-se pela geração da ciência, pelas leis e pela cobrança de impostos.

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Como o Estado era dominado por parte das camadas superiores; para garantir esta dominação, os

reis, imperadores e príncipes organizavam exércitos. Surgem as primeiras batalhas pela expansão

territorial e apropriação de riquezas. Surge a real necessidade de confecção de mapas para estudar

estratégias de batalha e referenciar as conquistas obtidas, ocorrendo grandes avanços na

Cartografia.

Por volta do século VII a.C. florescem importantes escolas de pensamento, principalmente na Grécia.

Com os primeiros pensadores gregos, denominados freqüentemente de físicos, em razão da procura

de explicações físicas para a Terra e o Universo, surgem as primeiras especulações do formato da

Terra porém ignora-se a que época remonta-se as primeiras idéias sobre a esfericidade terrestre.

Sabe-se, contudo, que há dois milênios e meio Pitágoras se recusava a aceitar a concepção simplista

de uma Terra plana; enquanto Sócrates, tinha as mesmas idéias porém incapaz de prová-las.

Desta forma, o homem passou a não se preocupar apenas em entender o que as vistas alcançavam,

ou seja, praticar a Topografia; mas no conhecimento da forma e tamanho do planeta. Surge o termo

Geodésia como a ciência destinada a buscar respostas para esta forma e dimensão da Terra como

um todo. Em 350 a.C. Aristóteles argumentou e demonstrou a teoria da esfericidade, antes admitida

através de considerações puramente filosóficas, e passa a ser considerado o fundador da ciência

geográfica. Considere seus argumentos:

“ ... o contorno circular da sombra projetada pela Terra nos eclipse da Lua; a variação do aspecto do

céu estrelado com a altitude; a diferença de horário na observação de um mesmo eclipse para

observadores situados em meridianos afastados.”.

7



A

grande

proeza

estava

reservada ao grande astrônomo e matemático Erastótenes, que viveu aproximadamente entre os

anos 276 a.C. e 196 a.C., onde determinou o raio da Terra com uma grande precisão para sua época.

A experiência de Erastótenes baseava nos seguintes fatos (Figura 1.1) (Figura 1.2):

Constatou-se que no dia de solstício de verão, o sol iluminava o fundo de um poço em Siena;

Constatou-se que ao mesmo tempo, em Alexandria projetava uma sombra de 7o 12’ (1/50 do

círculo), ou seja, 360o/7o 12’ = 50

Com estas afirmações, faz ainda algumas considerações:

No dia de solstício de verão, o sol do meio dia se colocava diretamente sobre a linha da zona

trópica de verão (trópico de câncer), concluindo que Siena estava inclinada nesta linha;

A distância linear entre Alexandria e Siena eram de aproximadamente 500 milhas;

Siena e Alexandria pertenciam ao mesmo meridiano.

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Figura 1.1: Determinação do raio da Terra, por Erastóstenes.


Logo, a circunferência da terra seria igual a 50 x 500, ou seja, 25.000 milhas. Observa-se que foi

notável sua precisão (aproximadamente +0,40% do atualmente aceito pela UIGG3), pois:

Siena não estava inclinada nesta linha do solstício, mas 37 milhas ao norte;

A distância entre Alexandria e Siena era de 453 milhas;

Siena e Alexandria não estão sobre o mesmo meridiano, mas com diferença de 3o 30’.

Figura 1.2: Narrativa da experiência de Erastótenes.

3 UIGG: União Internacional de Geodésia e Geofísica.9



3 - Conceitos Fundamentais da Geodésia3 - Conceitos Fundamentais da Geodésia

Os objetivos da Topografia e da Geodésia como ciência são similares, ocupando ambas na

representação de porções sobre a superfície da Terra. Sua diferença está no campo de atuação, onde

a Topografia estuda o particular, ou seja, se limita a representação de áreas de dimensões reduzidas;

enquanto a Geodésia4, parte para o geral, preocupando-se em determinar a forma geométrica,

tamanho da Terra e o campo gravitacional ou estudo de grandes extensões desta superfície.

Segundo GEMAEL, 1995, costuma-se considerar sua evolução em duas etapas principais:

a) Pré-história

De Erastótenes (século II a.C.) às expedições francesas (1870).

b) História

1o. Período: das expedições francesas a 1900

Dimensões do melhor elipsóide (Triangulações);

Elipsóide não-homogêneo;

Especulações teóricas sobre a forma de equilíbrio de uma massa fluida isolada no

espaço e submetida a ação da gravidade;

Método dos Mínimos Quadrados;

Trabalhos de astro-geodésia.

2 o. Período: no presente século até o lançamento do Sputnik I;

4 Geodésia: Do gr. geodaisia, divisão das terras.10



Geodésia Física;

Equipamentos eletrônicos (distanciômetro);

Vulgarização dos computadores e lançamento do Sputnik I.

Em 4 de outubro de 1957, a URSS surpreendeu o mundo ao lançar o primeiro satélite artificial, o Sputnik 1. Era uma esfera de metal do tamanho de uma bola de praia, com quatro antenas que transmitiam sinais de rádio para a Terra, inclusive um "bip-bip" contínuo. O satélite levou instrumentos para medir a temperatura e a densidade do topo da atmosfera e enviou os resultados durante 21 dias, até que suas baterias se esgotaram. Depois de passar 96 dias em órbita, o Sputnik 1 reentrou na atmosfera e incendiou-se devido ao atrito com o ar. O nome Sputnik significa "companheiro de viagem" em russo.

3 o. Período: o que estamos vivendo.

Geodésia tridimensional;

Sistema geodésico mundial (geocêntrico);

Posicionamento automático;11



Geodésia extraterrestre;

Estrutura do campo da gravidade.

3.1 - Terra Geoidal, Elipsoidal, Plana e Esférica3.1 - Terra Geoidal, Elipsoidal, Plana e Esférica

Considerações devem ser feitas para as representações de feições da superfície da Terra, tanto na

Geodésia quanto na Topografia. Partindo do geral (Geodésia), em primeira aproximação, a superfície

que mais se aproxima da forma da Terra é a que se denomina de Geóide.

Logo, geóide é o nome dado à figura que melhor representa a forma da terra. Esta é obtida através

do prolongamento do nível médio dos mares, em repouso, através dos continentes e normal em

cada ponto à direção da gravidade. Esta figura é bem definida fisicamente em um ponto mas

matematicamente tem sido alvo de exaustivos estudos

pela comunidade geodésica.

Pela dificuldade da utilização do geóide através de uma equação analítica, adotou como forma da

Terra a de um Elipsóide de revolução, girante em torno de seu eixo menor. Com isso, o elipsóide de

revolução constitui uma figura com possibilidade de tratamento matemático, que mais se assemelha

ao geóide. Sua construção é oriunda da rotação de uma elipse em torno de seu eixo menor (Figura

1.4).

Um sistema elipsóidico global está relacionado ao elipsóide de referência como a melhor figura da

terra como um todo. A origem do elipsóide geralmente coincidente com o centro de massa da Terra

(geocêntrico). O conjunto de parâmetros que descreve a relação entre um elipsóide local particular e

um sistema de referência geodésico global é chamado de Datum Geodésico.

Um sistema elipsóidico ou geodésico é caracterizado por cinco parâmetros geométricos:

12


Figura 1.4: Elipsóide de Revolução.


a) Dois parâmetros definem o elipsóide de referência:

Semi-eixo maior (a);

Achatamento (f).

onde b é o semi-eixo menor (Figura 1.4).

b) Três definem a orientação desse modelo em relação ao corpo terrestre:

e - Componentes do desvio da vertical;

N - Ondulação do geóide.

Na maioria dos sistemas geodésicos, os valores das componentes do desvio da vertical e da

ondulação do geóide são arbitrados iguais a zero, o que leva o elipsóide e o geóide a se tangenciarem

no datum.

Além destes parâmetros geométricos, são definidos parâmetros dinâmicos: J2 (fator de elipticidade

geopotencial ou fator de forma); GM, sendo G a constante gravitacional de Newton e M a massa da

terra; W, velocidade angular da terra.

Tendo definido a melhor forma para a Terra, a busca incessante dos cientistas foi pela definição do

melhor elipsóide. Com o passar dos anos vários elipsóides de referência foram adotados, sendo

substituídos por outros que proporcionassem parâmetros mais precisos (Tabela 1).

O elipsóide de Hayford foi recomendado pela Assembléia Geral da União Internacional de Geodésia e

Geofísica (UIGG) em Madrid em 1924. Em 1967, a UIGG, em Lucena, o sistema 1924/1930 foi

substituído pelo Sistema Geodésico de Referência 1967, e atualmente utilizado no Brasil. Em 1979,

em Camberra, a UIGG reconheceu que o sistema geodésico de referência 1967 não representava a

medida, forma e campo da gravidade da terra com a precisão adequada. Este sistema foi substituído

pelo sistema geodésico de referência 1980. Este último sistema constitui a base do WGS-845, o

sistema de referência utilizado pelo sistema GPS6 (Cap. 5).

Tabela 1.1: Alguns elipsóides e seus parâmetros.

5 WGS: World Geodetic System.6 GPS: Global Position System.

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Nome Datum Semi-eixo maior (a) Semi-eixo menor (b) Achatamento (f)

Hayford Córrego Alegre 6.378.388,000

b = a – f x a

1/297

SGR-67 SAD-69 6.378.160,000 1/298,25

SGR-80 WGS-84 6.378.137,000 1/298,257223563

Fonte: IBGE, 1996.

Porém uma segunda aproximação para a forma da Terra é proposta: a forma esférica. Em

representações que permitem menor precisão, então é adotada a redução do elipsóide a uma esfera

de raio igual à média geométrica dos raios de curvatura das seções normais7 que passa por um ponto

sobre a superfície do elipsóide terrestre em questão. Na Geodésia, esta aproximação permite a

implantação e densificação de pontos geodésicos, a partir da execução de triangulações geodésicas,

cujas figuras geométricas são tratadas como triângulos esféricos.

Esta opção também é muito utilizada no estudo de Projeções Cartográficas, onde se tem o conceito

de esfera-modelo, que é uma esfera desenhada na escala da projeção e que serve como construção

auxiliar para obtenção das projeções geométricas. Com este recurso, além de facilitar o cálculo, o

erro obtido é quase insignificante, devido às escalas de projeção.

O raio desta esfera depende diretamente da escala, sendo:

E > 1/500.000 e E < 1/500.000

Como dito anteriormente a Topografia considera trechos de dimensões limitadas. Logo uma terceira

aproximação é sugerida: considerar a superfície terrestre como plana. Desta forma depreza-se a

curvatura terrestre, constituindo o que se denomina de campo topográfico.

Definindo com clareza, o campo topográfico é a área limitada da superfície terrestre que pode ser

representada topograficamente, isto é, tal que seja desconsiderado a curvatura da terra, supondo-a

7 Seções normais principais: a seção meridiana (M) e a seção do primeiro vertical (N), e o modelo para o raio da Terra esférica será a média geométrica dado por R = (N . M)1/2

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esférica. O limite da grandeza desta área, de forma que possa considerar a terra como plana em

determinada faixa de sua superfície, é função da precisão exigida para sua representação.

Segundo a NBR 13.133 da ABNT, o campo topográfico possui as seguintes características:

As projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de projeção

localizado no infinito;

A superfície de projeção é um plano normal à vertical do lugar no ponto da superfície terrestre

considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimétrico referido ao datum

vertical;

As deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e à refração

atmosférica têm as seguintes expressões aproximadas:

l (mm) = - 0,004 * l3 (km)

h (mm) = + 78,5 * l2 (km)

h’ (mm) = + 67 * l2 (km)

onde

l = Deformação planimétrica devida à curvatura da Terra, em mm;

h = Deformação altimétrica devida à curvatura da Terra, em mm;

h’ = Deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da refração

atmosférica, em mm;

l = Distância considerada no terreno, em km.

O plano de projeção tem a dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de maneira que

o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 1/35.000 nesta

dimensão e 1/15.00 nas imediações da extremidade desta dimensão.

Existem alguns fundamentos matemáticos para definir o limite do campo topográfico.

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a) Considerando um plano tangente em ponto médio da porção considerada.

Denominando de erro de esfericidade, o erro cometido ao substituir o arco pela tangente em uma

extensão da superfície terrestre, tem-se (Figura 1.5):

Erro de esfericidade (e)

(1)

1 - Pelo triângulo ABC, tem-se:

(2)

2 - Considerando a

circunferência terrestre,

tem-se:

(3)

e AF = AF’

3 - (2) e (3) em (1), tem-se:

16


Figura 1.5: Extensão do campo topográfico.


Para exemplificar, considere os seguintes valores:

Raio da terra 6.367.000 m; e = 0o 30’.

Para estes valores, tem-se a seguinte solução:

= 55563,96 m - 55562,55 m 1,41 m

O valor acima pode ser considerado desprezível nas operações topográficas correntes, em face da

precisão dos instrumentos usados. Logo, pode-se afirmar que em uma área limite, de

aproximadamente 55 km de raio, é satisfatória para limitar o campo topográfico. Acima deste valor,

deve-se fazer considerações à precisão imposta.

b) Considerando o erro de graficismo

Uma vez que a planta topográfica é representada sob um erro de graficismo da ordem de 0,1mm, a

limitação do campo topográfico para obtenção da precisão desejada pode ser função, também, da

escala adotada.

Considere o erro de esfericidade (e) da alínea anterior:

Sendo muito pequeno em relação a R, desenvolvendo tan em série e desprezando os termos

acima de 5, tem-se:

Denominando o arco R de D, o erro D da distância D será:

e

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temos finalmente:

Para exemplificar, considere os seguintes valores:

Admitindo o erro de graficismo de 0,2 mm, escala de 1:1.000, pergunta-se qual o valor de D para

limitar o campo topográfico. Esta solução será dada por:

= 3*6.367.0002*0,0002*1.000

D 46 Km

4 - Conceitos Fundamentais da Topografia4 - Conceitos Fundamentais da Topografia

As definições para a ciência topográfica, estão todas direcionadas para explicar o seu principal

objetivo, que é a obtenção da planta topográfica.

Logo, a Topografia pode ser definida como: “ A ciência, baseada na geometria e trigonometria plana,

que se utiliza de medidas horizontais e verticais, com fim de obter a representação em projeção

ortogonal sobre um plano de referência, dos pontos capazes de representar a forma, dimensão e

acidentes naturais e artificiais de uma porção limitada do terreno”.

Para atingir os objetivos executam-se os levantamentos topográficos. O levantamento topográfico é

um conjunto de operações, realizadas no campo e no escritório, usando-se processos e instrumentos

adequados para obtenção de elementos necessários à confecção da planta topográfica.

4.1 - Divisão da Topografia4.1 - Divisão da Topografia

18



Para estudo da topografia, e com relação às operações topográficas, esta se divide em duas partes:

Topometria e Topologia.

A topometria8 trata dos processos e instrumentos para avaliação de grandezas (lineares e/ou

angulares) que definam os pontos topográficos, considerando os planos horizontal e vertical. Ponto

Topográfico é todo ponto do terreno que servindo de apoio para execução de medida lineares e

angulares, contribui para a representação da forma da área considerada e dos acidentes existentes.

Para facilidade em seu estudo, ainda se divide em: planimetria (Cap. 2) e altimetria (Cap. 3).

A planimetria estuda os procedimentos, métodos e instrumentos de medida de ângulos e distâncias,

considerando um plano horizontal.

A altimetria estuda os procedimentos, métodos e instrumentos de distâncias verticais ou diferenças

de níveis e ângulos verticais. Para isto executa-se o nivelamento.

Para atender o objetivo da topometria, este pode ser executado de duas formas:

a) Efetuando trabalhos sobre a superfície terrestre.

Pode-se executar, por exemplo, as operações planimétricas e altimétricas separadamente; ou

conjuntamente, pelo processo denominado de taqueometria9, ou mais recentemente, com auxílio de

aparelhos eletrônicos, resultando na planialtimetria (Cap. 4). Também participam desta classe os

trabalhos de fotogrametria terrestre (Cap. 6);

b) Efetuando trabalhos acima da superfície terrestre

As técnicas que participam desta categoria são aquelas que modernizaram alguns conceitos da

topografia. Nesta categoria é prudente subdividi-la:

8 Topometria: Do gr. topos, lugar + metron, medida.9 Taqueometria: Do grego takhys, rápido + metrum, medida. São levantamentos topográficos

planialtimétricos (LOCH & CORDINI, 1995).19



Técnicas do Sensoriamento Remoto (SR)10, como por exemplo, a Fotogrametria Aérea,

utilizando-se das fotografias aéreas (Cap. 6) e o SR orbital, utilizando-se das imagens

digitais.

Técnicas do posicionamento por satélites artificias, exemplificando, o rastreio de satélites dos sistemas GPS e GLONASS (CAP. 5).

A topologia11 cuida do estudo das formas do relevo. Esta é dirigida para a representação em planta

do relevo do terreno, através das curvas de nível e dos pontos cotados.

10 Sensoriamento Remoto: “Sensoriamento remoto é aquisição de informações sobre um objeto sem que haja um contato físico” (por Simonett, em COLWELL (1983)).

11 Topologia: Do gr. topos, lugar + logos, tratado.20



4.2 - Importância e Aplicações4.2 - Importância e Aplicações

Ao considerar que a ciência é um conjunto de conhecimentos e princípios objetivos e sistemáticos de

um fenômeno qualquer, a Topografia é uma ciência, pois guia-se por um conjunto de princípios e

métodos científicos, para proporcionar que as pessoas realizem seu trabalho de forma mais eficiente.

Se a arte é a capacidade de realização para obter um resultado desejado, aplicando conhecimento e

habilidades, a Topografia também é arte, pois em muitos caso, a criatividade e a execução

apropriada dos princípios e conhecimentos, contribuem para obter as metas desejadas. E também

uma técnica, pois é um conjunto de procedimentos e métodos.

É indiscutível a importância da Topografia para a Engenharia. Ao iniciar qualquer projeto da

construção civil, o conhecimento dos elementos naturais e artificiais que os cercam são

fundamentais para sua concepção. Logo, a planta topográfica é a primeira e insubstituível

ferramenta para o estudo no campo da

engenharia.

Entre os vários ramos da Engenharia, com

relação à aplicação da Topografia, pode-se

citar:

Construção Civil - Edificações de modo geral

(estradas, pontes, viadutos, túneis, barragens,

etc.);

Urbanismo - Planejamento de cidades

(zoneamentos), loteamentos, cadastros imobiliários, etc.;

Saneamento - Planejamento de adutoras, estudos da hidrologia, redes de abastecimento de água e esgotos;

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Vias de comunicação - Planejamento e locação do sistema viário (rodovias, ferrovias, hidrovia,

dutos), análises na área de transporte e tráfego, citando, estudos batimétricos para transporte

marítimo, navegação aérea, redes elétricas, telecomunicação, etc.;

Geologia - Definição de aspectos geológicos, definição e demarcação de jazidas, demarcação de

áreas de riscos, etc.;

Ciências florestais e agrárias - Gerenciamento e Controle de reflorestamentos, cadastros florestais,

projetos de irrigação e drenagem, controle de safras, divisão de terras, etc.;

Defesa Nacional - Reconhecimento e exploração de áreas, estratégias, simulações, etc.

5 - Sistemas de Referência na Geodésia e Topografia5 - Sistemas de Referência na Geodésia e Topografia

O conhecimento dos sistemas de referências na Geodésia e Topografia é um dos fundamentos

básicos para o posicionamento. Em meio à grande revolução impulsionada pela automação digital de

processos, o mundo se torna cada vez “menor”. A seguir têm-se sucintamente alguns conceitos e

definições sobre sistemas de referências, e tendências mundiais e nacionais.

Segundo GEMAEL (1988), o objetivo da geodésia do século XIX, centrada na busca dos melhores

parâmetros do elipsóide, e até nos dias atuais, pelo posicionamento preciso GPS (Global Positioning

System), a definição de HELMERT (1880) - “ ...a geodésia é a ciência das medidas e mapeamento da

superfície da terra.” - ainda é válida. Validando a definição, e com visão contemporânea, constata-se

uma evolução na acurácia das observações, requerendo novos estudos relativos a sistemas de

referência, principalmente voltados a precisão, busca de padrões e transformações entre os vários

sistemas.

Segundo FREITAS (1980), do ponto de vista físico, um referencial é o conjunto de um ou mais eixos

com orientação definida no espaço e com uma escala adequada, onde através deste, uma posição ou

uma orientação possam ser definidas sem ambigüidade.

Para estabelecer um sistema de referência, algumas etapas devem ser concebidas (KOVALEVSKY,

1979):

22



a) Concepção do sistema

Pode-se considerar um Sistema de Referência Terrestre Ideal (ITRS) como um sistema

tridimensional, com uma origem e um vetor-base definindo a escala e a orientação. Um ITRS é

especificamente quase-geocêntrico, com uma orientação equatorial de rotação. A escala é definida

como comprimento unitário, em unidades do sistema internacional (SI).

b) Definição do sistema

Concebido tal ITRS, pode-se definir vários sistemas de coordenadas no qual são amarrados a este,

podendo citar os principais:

1 - Sistema de coordenadas astronômicas ou geográficas, sobre o geóide;

2 - Sistema de coordenadas geodésicas ou elipsoidais, após selecionar um elipsóide;

3 - Sistema de coordenadas planas, após selecionar uma projeção específica (ex. projeção UTM);

4 - Sistema de coordenadas topográficas locais.

Estes sistemas citados acima se interagem, e se constituem em apoio aos trabalhos cartográficos.

Alguns utilizam-se de elementos geográficos, a saber:

Eixo Terrestre - É o eixo ao redor do qual a terra faz seu movimento de rotação;

Plano meridiano - É o plano que passa pelo eixo terrestre e corta a superfície da terra. Este define

os meridianos, que são linhas de interseção entre o plano meridiano e superfície da terra;

Plano paralelo - É o plano normal ao plano meridiano. Este define os paralelos, que são linhas de

interseção entre o plano paralelo e superfície da terra, sendo o maior deles o Equador terrestre;

Vertical de um ponto - É a trajetória percorrida por um ponto no espaço, no qual partindo do

estado de repouso, cai sobre si mesmo pela ação da gravidade.

5.1.2 - Sistema de Coordenadas Geodésicas5.1.2 - Sistema de Coordenadas Geodésicas

23



No sistema de coordenadas geodésicas ou elipsoidais tem-se como referência a figura do elipsóide.

As coordenadas geodésicas (latitude geodésica (g) e longitude geodésica (g)) são determinadas por

procedimentos de levantamentos geodésicos. A altura é calculada indiretamente pela soma da altura

ortométrica (H) e a ondulação geoidal (N) (Figura 1.8).

Para densificação ou transporte de coordenadas geodésicas utiliza-se das triangulações geodésicas e

atualmente pelo processo de rastreamento de satélites, principalmente na utilização do sistema GPS

(Cap. 5).

A latitude geodésica é definida como o ângulo que uma normal ao elipsóide forma com sua projeção

equatorial (Figura 1.7).

A longitude geodésica é definida como o ângulo formado pelo meridiano geodésico de Greenwich e

pelo meridiano geodésico do ponto (Figura 1.7);

A altura é definida pela distância entre o elipsóide e o terreno. Esta é avaliada de forma indireta

(Figura 1.8).

Figura 1.7: Sistema de coordenadas geodésicas.

24



5.2 - Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas5.2 - Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas

5.2.1 - Sistema de Coordenadas UTM5.2.1 - Sistema de Coordenadas UTM

A Cartografia trata da representação gráfica de uma extensa área terrestre, em um plano horizontal.

Como nem o geóide ou o elipsóide são superfícies desenvolvíveis, quando se quer representa-los em

formas de cartas ou mapas, lança-se mão dos sistemas de projeção.

A teoria das projeções compreende o estudo dos diversos sistemas de projeção em uso, incluindo a

exposição das leis segundo as quais obtêm-se as interligações dos pontos de uma superfície (Terra)

com os da outra (Carta) (Figura 1.9).

O sistema de coordenadas UTM (Universal

Transverso de Mercator) é a mesma

projeção conforme12 de Gauss-Tardi

disciplinada por um conjunto de

especificações e aplicada na representação

plana do elipsóide terrestre.

A comunidade geodésica e cartográfica aprendeu a conviver com a coexistência de um grande

número de projeções, e as vezes uma mesma área era recoberta por diferentes projeções. Após a 1o

guerra, as projeções conformes passaram a ser as geralmente utilizadas para confecção de cartas

topográficas.

12 Na projeção conforme, no qual ao representar um ponto da Terra sobre a carta, os ângulos não se deformam (GEMAEL, 1976).

25


Figura 1.9: Algumas superfícies de projeção.


Em um breve histórico pode-se citar Gauss, que no levantamento da região de Hanover estabeleceu

o seguinte sistema de projeção:

a)

Cilindro tangente à terra;

b) Cilindro é transverso, tangente ao meridiano de Hanover.

Krüger aplicou a projeção de Gauss em sistemas parciais de 3o de amplitude, chamados fusos (Gauss-

Krünger). Tardi introduz um artifício segundo o qual, este sistema passa a ser aplicado em fusos de 6o

de amplitude, idêntico a carta ao milionésimo (Gauss-Tardi) (GEMAEL, 1976).

Em 1935 a UIGG (União Internacional de Geodésia e Geofísica) propôs a escolha de um sistema

universal. Em 1951 a UIGG recomendou, num sentido mais amplo, para o mundo inteiro, o sistema

UTM.

As especificações deste sistema são as seguintes:

a) Projeção conforme de Gauss: cilíndrica, transversa e secante (Figura 1.10).

b) Decomposição em sistemas parciais correspondendo a fusos de 60 de amplitude em número de 60,

a partir do antimeridiano de Greenwich.

c) Coeficiente de redução de escala Ko = 0,9996, no meridiano central.

d) Limitação do sistema até a latitude 80o.

e) Origem das coordenadas planas, em cada sistema parcial, no cruzamento do equador com o

meridiano central (transformadas).

26


Figura 1.10: Projeção UTM.


f)

Utilização da letra “N” para as coordenadas relacionadas ao eixo das ordenadas, sendo positivas ao

norte e negativas ao sul; e da letra E, relacionado às abscissas, positivas a leste e negativas a oeste

(Figura 1.11).

g) Numeração dos fusos segundo critério adotado para a Carta Internacional ao Milionésimo (1 a 60 a

partir do antimeridiano de Greenwich).

h) Para evitar valores negativos as ordenadas são acrescidas, no hemisfério Sul da constante

10.000.000,000 metros e às abscissa de 500.000,000 metros (Figura 1.11).

27


Figura 1.11: Sistema de coordenadas UTM.

Figura 1.12: Deformações do sistema de projeção UTM.


Ainda uma particularidade para minimizar a deformação do sistema é a secância do cilindro ao

elipsóide. Nesta linha produzida pela secância, as distâncias estão em verdadeira grandeza. O fator

de escala (ou coeficiente de redução ou ampliação de escala) é variável conforme o afastamento em

relação ao meridiano central (Figura 1.12).

Geralmente a terceira coordenada está relacionada com a altitude do ponto, ou seja, a altura

ortométrica.

Este sistema tem sido muito empregado em todos os centros urbanos e grandes projetos rurais, por

se tratar de um sistema global e não regional. Sua principal utilização vem do fato da crescente

automação digital dos cadastros e mapeamentos urbanos e rurais, onde a manipulação destas

informações se torna simplificada com as coordenadas UTM.

5.2.2 - Sistema de Coordenadas Topográficas5.2.2 - Sistema de Coordenadas Topográficas

Em Topografia as coordenadas são referidas ao plano horizontal, ou seja, ao plano topográfico. Este é

definido como um sistema plano retangular XY, sendo que o eixo das ordenadas Y está orientado

segundo a direção norte-sul (magnética ou verdadeira) (Cap. 2); e o eixo das abscissas X está

orientado na direção na direção leste-oeste. A terceira coordenada, esta relacionada à cota ou

altitude (Cap. 3).

Geralmente este sistema é arbitrário, ou seja, são sugeridas coordenadas para o primeiro vértice da

poligonal (X, Y e cota), de forma que as demais tenham esta como referência para o levantamento.

Deve-se evitar valores no qual ocorram coordenadas negativas para os vértices da poligonal e

irradiações.

As coordenadas topográficas são calculadas no escritório em função das medidas de campo, ou seja,

avaliação dos ângulos e distâncias entre os pontos topográficos.

28



5.2.3 - Relação entre o Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas5.2.3 - Relação entre o Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas

Como dito anteriormente, tanto o sistema UTM quanto o sistema topográfico são representações

planas do terreno.

Como as coordenadas topográficas estão referidas a um sistema arbitrário, podem acarretar

inconvenientes, quando, por exemplo, possuir duas plantas topográficas confrontantes, com

sistemas arbitrários distintos e se queira unificar esta representação numa mesma planta.

Para solucionar este agravante lança-se mão da transformação das coordenadas topográficas para

coordenadas no sistema UTM, onde este segundo é considerado fixo e reconhecido mundialmente.

Esta operação é feita pela translação de eixos, de modo que sua origem coincida com um marco

geodésico de coordenadas UTM conhecidas.

Considere, por exemplo, que Em e Nm são as coordenada UTM do marco geodésico P. Sejam X0 e Y0 as

coordenadas da origem do sistema topográfico, onde o eixo X coincide com a direção leste oeste e o

eixo Y coincide com a direção norte-sul. Sejam XP e YP as coordenadas de um ponto P no sistema

topográfico. As coordenadas UTM de P será determinado pela seguinte relação:

EP = Em X0 XP

NP = Nm Y0 YP

6 - Sistema Geodésico Brasileiro6 - Sistema Geodésico Brasileiro

O Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) é composto do conjunto de pontos geodésicos implantados na

porção da superfície terrestre delimitada pela fronteiras do país.

29



Para o SGB, a imagem geométrica da Terra é definida pelo Sistema de Referência 1967. O referencial

altimétrico coincide com o nível médio do mar, definido pelas observações maregráficas tomadas na

baía de Imbituba.

O SGB integra o Sistema Sul-Americano (SAD 69), definido a partir dos parâmetros:

a) a (semi-eixo maior) = 6.378.160,000 m;

b) f (achatamento) = 1/298,25.

O eixo de rotação é paralelo ao eixo médio terrestre com sentido positivo para o CIO (Conventional

Internatinal Origin). O Plano meridiano de origem é paralelo ao plano meridiano de Greenwich, como

definido pela BIH (Bureau International de l’Heure).

Ponto origem (datum) o vértice Chuá (Minas Gerais), da cadeia de triangulação do paralelo 200 S.,

com as seguintes coordenadas:

6.1 - Situação Atual do SGB6.1 - Situação Atual do SGB

A rede fundamental do SGB é composta de aproximadamente 4.000 estações, entre vértices de

triangulação e poligonação e foram ajustadas em blocos, num total de 60 blocos, dos quais 10, que

correspondem a 60% do SGB, foram ajustadas por volta de 1972 pelo IAGS (Interamericam Geoditic

Survey) por ocasião da definição do Datum Sul-Americano.

30



O IBGE, através de sua diretoria de Geodésia e Cartografia, passou a fornecer a partir de 1980, a

relação das coordenadas geodésicas e UTM de vértices de triangulação e estações de poligonal,

altitudes de RN e descritivos de localização e acesso desses marcos geodésicos.

O método de levantamento utilizado para implantação de redes fundamentais foi durante anos e

ainda se aplica é a Triangulação Geodésica. Recentemente vem se utilizando o sistema GPS para

definição e implantação de marcos geodésicos.

A resolução PR-22 de 21-07-83 do IBGE, traz especificações e normas gerais para levantamentos

geodésicos. No quadro 1.1 - Classificação dos Levantamentos Geodésicos - pode-se observar algumas

particularidades da rede fundamental ou de 1o ordem para a planimetria, altimetria e gravimetria.

Observa-se também nesta mesma referência, especificações e normas que conduzem a classificação

de 1o ordem ou Fundamental, para os levantamentos planimétricos (Triangulação, Poligonação e

Trilateração), levantamentos altimétricos (Nivelamento Geométrico) e levantamentos gravimétricos.

Quadro 1.1 - Classificação dos Levantamentos Geodésicos.

Levantamentos Geodésicos

Finalidade

De Alta Precisão

Âmbito Nacional

De Precisão

Âmbito Regional

Para Fins

Topográficos

Cien

tífico

Fundamental(ou de 1o ordem)

Para áreas mais

desenvolvidas (ou de 2o ordem)

Para áreas menos desen-

volvidas (ou de 3o

ordem)

Local

~

Pontos básicos para amarrações e controle de trabalhos geodésicos e cartográficos, desenvolvidos segundo especificações internacionais,

constituindo um sistema único de referência. ~ ~ ~

Planimetria

Exatidão ~ Melhor que 1:100.000 ~ ~ ~

Desenvol-vimento

~Arcos de meridianos e paralelos espaçados de 10, estações com

espaçamento desejável de 15 e no máximo 25 Km.~ ~ ~

31



Exemplos de Utiliza-

ção~

Elaboração de cartas gerais; apoio e controle das obras de engenharia e estudos científicos em geral.

~ ~ ~

Altimetria

Exatidão ~ Melhor que 2mm . k ~ ~ ~

Desenvolvimento

~

Em circuitos com até 400 Km de perímetro e estações materializadas, afastadas de no máximo 3 Km. Nas áreas metropolitanas dar-se-á

preferência ao desenvolvimento em circuitos, em função da urbanização, com estações materializadas e espaçadas de,

preferencialmente, 1Km

~ ~ ~

Exemplos de

Utilização

~Elaboração de cartas gerais; apoio e controle de obras de engenharia e

estudos científicos em geral.~ ~ ~

Gravimetria

Finalidade

~Pontos básicos para amarrações e controle de trabalhos geodésicos e

geofísicos, implantados segundo especificações internacionais, constituindo o sistema único de referência ao IGSN-71

~ ~ ~

Exatidão ~ Melhor que 0,05 ~ ~ ~

Desenvolvimento

~Em circuitos com estações espaçadas de até 100 Km, ou acesso para as

medições com tempo inferior a 48 horas.~ ~ ~

Exemplos de

Utilização

~Estudos do campo gravitacional e estrutura da crosta terrestre;

prospecção mineralógica; estudos de movimentos da crosta.~ ~ ~

Fonte: IBGE, 1983.

32



1 - Introdução1 - Introdução

Considerando que a topometria é a parte da Topografia responsável pela avaliação de grandezas

para representar o ambiente (Cap. 1), a planimetria estuda os procedimentos, métodos e

instrumentos de medida de ângulos e distâncias, considerando o plano horizontal. Para estudo da

planimetria, divide-se inicialmente o conteúdo em dois temas, baseado nas duas grandezas básicas a

serem avaliadas em campo, ou seja, as distâncias (Gramometria - Item 3) e ângulos (Goniologia -

Item 4).

No Item 5 estes temas se fundem perfazendo os métodos de levantamento planimétrico. Nos

próximos itens (6 e 7) calculam-se coordenadas e áreas de polígonos topográficos. Como o assunto

está associado à interpretação e medida de grandezas lineares e angulares, tem-se no Item 2, uma

revisão associada aos sistemas de unidades de medidas.

2 - Sistemas de Unidades de Medidas2 - Sistemas de Unidades de Medidas

Medir uma grandeza consiste em compará-la com outra, denominada

padrão, e verificar quantas vezes ela é maior ou menor que aquela tomada como padrão.

Já está bem difundido a utilização do “Sistema Internacional de Unidades - SI”, apesar de alguns

sistemas antigos (infelizmente !) ainda serem usados com freqüência. A seguir são comentadas as

33



unidades mais utilizadas na Topografia, citando as de medidas lineares, de superfície, volumétricas e

angulares, e ao final um resumo dos vários sistemas de unidades utilizadas pelo Engenheiro.

2.1 - Unidade de Medida Linear2.1 - Unidade de Medida Linear

A unidade de medida internacional para medidas lineares é o metro (m), que corresponde à décima

milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre. O sistema métrico decimal envolve seus

múltiplos e submúltiplos (Figura 2.1):

Figura 2.1: Múltiplos e submúltiplos do metro.

Exemplo 1: Transforme 10 km e 98 mm, nos múltiplos e submúltiplos do metro.

Solução:

10 km = 100 hm = 1.000 dam = 10.000 m = 100.000 dm = 1.000.000 cm = 10.000.000 mm.

98 mm = 9,8 cm = 0,98 dm = 0,098 m = 0,0098 dam = 0,00098 hm = 0,000098 km.

34



Exemplo 2: Transforme 21,45 m, para mm e km.

Solução:

21,45 m = 21.450 mm = 0,02145 km.

Apesar da tendência de utilização do sistema métrico decimal, unidade antigas ainda são utilizadas,

como:

Quadro 2.1: Outros sistemas lineares.

1 polegada inglesa13 = 25,4 mm; 1 pé = 30,479 cm;

1 jarda = 3 pés = 0,91438 m; 1 milha terrestre = 1.609,34 m;

1 palmo = 8 polegadas = 0,22 m; 1 milha náutica ou marítima = 1.852,35

m;

1 vara = 5 palmos = 1,10 m; 1 milha (bras.) = 2.200 m;

1 braça14 = 2 varas = 2,20 m; 1 corda = 15 braças = 33 m;

1 légua de sesmaria = 6.600 m. 1 légua geométrica = 6.000 m.

Exemplo 3: Transforme 12 polegadas inglesas e 5 pés em metros.

Solução:

1 polegada = 25,4 mm, logo 12 polegadas =304,8 mm, ou, 0,3048 m

1 pé = 30,479 cm, logo 5 pés = 152,39 cm, ou 1,524 m

13 Polegada: Segundo a ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas), equivale a 27,5 mm14 Braça: Unidade linear do ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas).

35



Saiba desta ... !

Curiosidades sobre o Metro

A comissão de acadêmicos constituída por Monge, Lagrange, Condorcet e Borda,

formulando um esboço do sistema de medidas, encarregou os astrônomos João Delambre e Pedro

Nadré Mechain, a proceder os trabalhos geodésicos necessários para a medida de 10o do meridiano,

que vai de Dunquerque, no norte da França, a Monjony, próximo a Barcelona.

Empregando como unidade de medida a toesa (1 toesa = 6 pés), do qual se deduziria a quarta parte

do mesmo meridiano para, então, ser determinado o padrão da unidade fundamental escolhida.

O comprimento do quarto do meridiano deduzido das medidas efetuadas foi de 5.130.740 toesas,

cuja décima-milionésima parte equivale a 0,51307 toesa. Esta parte recebeu a denominação proposta

por Borda, de metro (metron = medida).

O padrão, protótipo em platina, que dá o comprimento legal do metro, construído pelo físico francês

Fortin, de seção retangular, 25 x 4 mm, foi por lei de 10/12/1799 declarado “MÈTRE VRAI ET

DÈFINITIF” e depositado nos arquivos do Estado Francês.

Em 1909 após seus trabalhos geodésicos, Hayford encontrou para o quadrante terrestre 10.002,286,

chegando a conclusão que o metro dos arquivos possuía 1/5 de mm a mais ou seja, o metro

arquivado tinha 1,0002 m. Resolveu-se, no entanto, não modificar o metro dos arquivos, razão por

que na Convenção Internacional do Metro, realizada em 1875, a qual participaram os principais

países do mundo entre os quais o Brasil, foi mantida esta medida e designada a cidade de Bretevil,

próximo a Paris, para a sede do Departamento Internacional de Pesos e Medidas, encarregado dos

trabalhos de metrologia. Foram então confeccionadas 30 cópias do metro, de seção especial, numa

liga de 90% de platina e 10 % de irídio, e por deliberação da primeira conferência geral, realizado em

36



26/09/1899, a cópia mais aproximada seria o metro protótipo internacional, e as outras distribuídas

pelos países participantes da conferência, seriam os protótipos nacionais.

Saiba também ... !

Por que a milha náutica é diferente da milha terrestre ?

A origem da milha terrestre – sistema de medida ainda em uso na Inglaterra e nos Estados Unidos –

esta no “Mille passus”, unidade de comprimento utilizada pelo exército romano que correspondia a

1.000 passos dados por um centurião, o comandante das suas milícias. Os passos do centurião

tomados como base eram duplos, mais largos que o normal, e a medida encontrada foi o equivalente

a 63.360 polegadas, ou 1.690,34 metros. Já a milha náutica foi esta estabelecida de forma científica.

Como a terra possui um formato arredondado, qualquer linha a contorná-la terá 360o. A linha do

equador mede aproximadamente 40.000 quilômetros. Dividiu-se, então esse perímetro por 360

partes (1o) e depois por 60 (1’). Ou seja, 1 minuto de arco corresponde a 1.853,25 metros, que é a

milha marítima. Por convenção internacional, esse valor foi arredondado para 1.852 metros.

Saiba ainda... !

Qual a medida da LÉGUA ?

Do latim “leuca”, esta medida itinerária cujo valor primitivo não está bem fixado e possui várias

interpretações, que variam de 2,2 a 7,4 km, conforme a época e o povo. A légua de sesmaria equivale

a 3.300 braças ou a 6, 6 km. A légua de uma hora, légua de 4,875 km. Légua geométrica possui 6.000

metros enquanto a légua marítima, a 20a parte do grau, contada num círculo máximo da terra, que

vale 3 milhas, ou cerca de 5,556 km. Esta última também é denominada de légua de vinte ao grau.

Tem-se ainda a légua quilométrica (4 km) e a légua terrestre ou comum, légua de 4,445 km, também

chamada de vinte e cinco ao grau.

Não satisfeitos, tem-se ainda a légua de beiço, distância indicada por uma pessoa que a expressa

esticando o lábio inferior, para dar a entender que é longe, principalmente se for precedida de um

“logo ali” do mineirinho.37



2.2 – Unidade de Medida de Superfície2.2 – Unidade de Medida de Superfície

A unidade padrão é o metro quadrado (m2), porém em topografia, em razão da avaliação de grandes

extensões da superfície, utiliza-se com mais freqüência o múltiplo hectare, correspondente a 10.000

m2.

Are (a) => 100 m2

Múltiplo => 1 hectare (ha) = 10.000 m2 = 100 a

Submúltiplo => 1 centiare (ca) = 1,0 m2 = 0,01 a

Exemplo 4: Seja transformar:

23,34 ha = 233.400 m2

1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2

1 km2 = 1.000.000 m2

Existem ainda algumas unidades antigas de superfície utilizadas no Brasil, baseado no ASPM (Antigo

Sistema de Pesos e Medidas), como por exemplo o alqueire, variando sua medida entre regiões;

citando:

1 alqueire geométrico = 100 x 100 braças = 48.400 m2 = 4,84 ha

1 alqueire paulista = 50 x 100 braças = 24.200 m2 = 2,42 ha

1 alqueire mineiro = 75 x 75 braças = 27.224 m2 = 2,7225 ha

38



1 alqueire goiano = 96.800 m2

Exemplo 5: Transforme 200 ha em m2 e em alqueires geométricos.

Solução:

200 ha = 2.000.000,000 m2 = 41,3223 alqueires geométricos.

Algumas outras utilizadas em algumas regiões brasileiras e outros países (e até curiosas !), como:

1 milha quadrada = 2,788 x 107 pés2 = 640 acres

1 pé quadrado = 929,0 cm2

1 acre15 = 43.560 pés2 = 4.046,8 m2 (cerca de 0,4 ha)

1 Braça quadrada = 4,84 m2

Saiba desta ... !

Cinqüenta é uma unidade de medida agrária empregada na Paraíba e equivale à 50 x 50 braças,

também chamada de Quarta no Rio Grande do Sul. No Paraná a Quarta vale 50 x 25 braças.

Colônia é uma unidade de superfície usada no estado do Espírito Santo, equivalente a 5 alqueires

de 100 x 100 braças.

Geira é uma unidade de medida agrária e equivale a 400 braças quadradas.

Tarefa é uma unidade agrária de valor variável de estado a estado. Na Bahia corresponde à

superfície de um quadrado de 30 braças de lado, por exemplo.

Morgo é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina, equivale a 0,25 hectare, seja

um quadrado de 50 m de lado.

15 Acre é uma unidade de medida agrária empregada na Inglaterra e nos Estados Unidos.

39



Lote é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina, equivale a 25 hectares.

2.3 – Unidade de Medida de Volume2.3 – Unidade de Medida de Volume

A unidade padrão é o metro cúbico (m3), corresponde a um cubo de 1 x 1 x 1 m.

Têm-se ainda as seguintes unidades volumétricas: 1 litro = 1 dm3; 1 jarda cúbica = 0,7645 m3.

Exemplo 6: Transforme:

1 m3 = 1m x 1m x 1m = 10 dm x 10 dm x 10 dm = 1.000 dm3

= 100 cm x 100 cm x 100 cm = 1.000.000 cm3

Exemplo 7: Calcule a capacidade, em litros e em m3, de uma caixa de água com as seguintes

dimensões (largura = 4 m; comprimento = 100 dm; altura: 500 cm).

Solução:

Capacidade = largura x comprimento x altura = 4,000 m x 10,000 m x 5,000 m = 200 m3

Capacidade = 200 m3 = 200.000 litros

Exemplo 8: Seja calcular a capacidade, em m3, de um moto-scraper que transporta 24 jardas cúbicas

por viagem.

Solução:

1 jarda cúbica = 0,7645 m3

24 jardas cúbicas = 18,348 m3

40



Capacidade = 18,348 m3

2.4 – Unidade de Medida Angular2.4 – Unidade de Medida Angular

As unidades de medidas dos ângulos e arcos podem ser sexagesimais (grau), centesimais (grado) e o

radiano.

2.4.1 - Sistema Sexagesimal2.4.1 - Sistema Sexagesimal

É o sistema mais utilizado na Topografia. No sistema sexagesimal o círculo trigonométrico é dividido

em 360 partes, tendo como unidade básica o grau (Figura 2.2).

Figura 2.2: Sistema sexagesimal.Círculo: 360o

41



Unidade básica: 1o

Submúltiplos:

Minuto: 60’ = 1o

Segundo: 3.600” = 1o

Logo: 1o = 60’ = 3.600”

Geralmente tem-se a origem da medição na direção do Norte, em sentido horário. As modalidades

de ângulos horizontais e verticais utilizados na topografia são comentados no item 4 (Item 4 –

Goniologia).

Exemplo 9: 30o 49’ 32,5” (lê-se trinta graus, quarenta e nove minutos e trinta e dois “vírgula” cinco

segundos).

Pode-se executar as seguintes operações algébricas:

a) Adição

Adicionar as unidades comuns.

Exemplo 10: Some 50o 20’ 30” e 20o 45’ 43”

Solução:

50o 20’ 30”

+ 20 o 45’ 43”

70o 65’ 73”

= 71o 06’ 13”

Logo, 70o 65’ 73” = 70o 66’ 13” = 71o 06’ 13”

42



b) Subtração

Subtrair as unidades comuns e iguais.

Exemplo 11: Subtraia 50o 20’ 30” e 10o 42’ 40”

Solução:

50o 20’ 30” 50o 19’ 90” 49o 79’ 90”

10 o 42’ 40” 10 o 42’ 40” 10 o 42’ 40”

39o 37’ 50”

c) Multiplicação

Multiplicar apenas por números adimensionais;

Não multiplicar ângulos por ângulos.

Exemplo 12: Multiplique 80o 20’ 30” por 5

Solução:

80o 20’ 30”

x 5

400o 100’ 150”

Corretamente tem-se 401o 42’ 30”

d) Divisão

Dividir apenas por números adimensionais.

43



Não dividir ângulos por ângulos.

Exemplo 13: Divida 80o 40’ 20” por 4.

Solução:

Deve ser claro que relações trigonométricas envolvendo unidades do grau, minuto e segundo, estes

devem ser “decimalizados”, ou seja, por exemplo:

sen 30o 30’ sen 30,30o (erro muito comum em operações trigonométricas).

pois sen 30o 30’ = 0,507538362921

sen 30,30o = 0,504527623815

A operação da decimalização já é uma rotina existente na maioria das calculadoras científicas,

devendo ser executada antes de qualquer operação matemática relacionada à ângulos sexagesimais.

Exemplo 14: Decimalize e/ou calcule:

a) 30o 30’

b) 20o 06’ 18”

c) tan 30o 20’ 01,20”

Solução:

a) 60’ equivalem a 1o, logo, 30’ equivale a 0,5o, então:

30o 30’ = 30o + 0,5o = 30,5o

44



b) 60’ equivale a 1o, logo 06’ equivale a 0,1o; e 3600” equivale a 1o, logo, 18” equivale a

0,005o; então:

20o 06’ 18” = 20o + 0,1o + 0,005o = 20,105o

c) tan 30o 20’ 01,20” = tan 30,3336666667 = 0,585141328646

2.4.2 - Sistema Centesimal e Radiano2.4.2 - Sistema Centesimal e Radiano

O sistema centesimal foi bastante empregado na Topografia, não ocorrendo com freqüência na

atualidade. No sistema centesimal o círculo trigonométrico é dividido em 400 partes, tendo como

unidade básica o grado (Figura 2.3).

Círculo - 400g Unidade básica: 1g

Submúltiplos: Centigrado: 100 centrigados = 1g; Decimiligados = 10.000 decimiligrados = 1g

45



Figura 2.3: Sistema centesimal.Exemplo 15: 382,4839g (lê-se trezentos e oitenta e dois grados, quarenta e oito centigrados e trinta e

nove decimiligrados).

O radiano é o ângulo central correspondente à um arco de comprimento igual ao raio (Figura 2.4).

2 R ==> 360o

a ==>

Logo 1 radiano =

Figura 2.4: Sistema radiano.

46



Na tabela 2.1 tem-se a conversão de sistemas de unidades de medidas angulares vistos anteriormente.

Tabela 2.1: Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares.

Graus Grados Radianos

0o 0gr 0 rd

90o 100gr /2 rd

180o 200gr rd

270o 300gr 3/2 rd

360o 400gr 2 rd

Geralmente é necessário transformar os valores entre os vários sistemas angulares, principalmente

ao confeccionar algum programa de cálculo. Alguns equipamentos modernos (Estações Totais, por

exemplo) possibilitam a tomada destas grandezas em quaisquer sistemas mencionados acima.

Exemplo 16: Seja transformar:

a) 358o (para grado) = 397,7g

b) 120o (para grado) = 133,3g

c) 76o (para grado) = 84,4g

d) 104g (para grau) = 93,60 = 93o 36’

e) 96g (para grau) = 86o 24’

f) 78g (para grau) = 70o 12’

47



g) 100o (para radiano) = 1,74 rd

h) 2 rd (para grau) = 114o 36’

A tabela 2.2 ilustra outros sistemas de unidades utilizados freqüentemente nas medições em geral.

Tabela 2.2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI).

GrandezaNome Símbolo Definição

Comprimento Metro m“ ... a distância percorrida pela luz no vácuo em 1/299.792.458 do segundo. ” (1983).

Massa Quilograma kg“ ... este protótipo (um determinado cilindro de platina e irídio) será, daqui em diante, considerando a unidade de massa. ” (1889).

Tempo Segundo s

“ ... a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.” (1967).

Corrente elétrica Ampére A

“ ... a corrente constante que, mantida em dois condutores retilíneos paralelos de comprimento infinito e seção circular transversal desprezível, situados no vácuo e distantes um do outro 1 metro, produziria entre esses condutores uma força igual a 2 x 10-7 newton por metro.” (1946).

Área Metro quadrado m2 -

Volume Metro cúbico m3 -

Freqüência Hertz Hz s-1

Densidade Quil. por metro cúbico kg/m3 -

Velocidade Metro por segundo m/s -

Aceleração Metro por seg. quadr. m/s2 -

Força Newton N kg . m/s2

48



Pressão Pascal Pa N/m2

Trabalho/Energia Joule J N.m

Potência Watt W J/s

3 - Gramometria3 - Gramometria

A Gramometria estuda os processos e instrumentos usados nas determinações de distâncias entre

dois pontos. Esta distância pode ser obtida por processos direto ou indireto.

3.1 - Processos Diretos3.1 - Processos Diretos

Pelo método direto, as distâncias são determinadas percorrendo-se o alinhamento. Genericamente

os instrumentos destinados a medida direta são denominados de diastímetros.

Geralmente as trenas são constituídas de uma fita de lona, de aço ou de nylon, enrolada no interior

de uma caixa circular. Existem trenas de 2, 5, 10, 20, 30 e 50 metros, sendo mais usadas as de 20m.

As fitas de aço temperado possuem geralmente 10, 20, 30 e 50 e até 100 metros. Na tabela abaixo

(Tabela 2.3) tem-se uma classificação dos processos diretos segundo sua respectiva precisão.

Tabela 2.3: Classificação dos processos diretos segundo a precisão.

Baixa precisão

* Passo (por ex.: p 0,80 m)

* Régua graduada (por ex.: bambu)

* Medidor topográfico

49



Média precisão

* Fitas- De aço

- De fibra de vidro

* Trenas

- De lona

- De aço

- De fibra de vidro

Alta precisão * Fio ínvar

Na operação das medidas lineares deve-se ter o cuidado de avaliar sempre a projeção horizontal dos

pontos considerados. Como os alinhamentos são representados em planta por suas projeções num

plano horizontal (rever o conceito de Topografia), as medidas das distâncias devem ser feitas na

horizontal. Logo, caso o terreno seja inclinado, a medida deve ser executada tendo uma das

extremidades no ponto mais alto, e a outra num ponto mais baixo, com auxílio de duas balizas

(Figura 2.5).

Ainda, na medição de uma distância, alguns erros devem ser corrigidos e outros evitados. O erro

total ao executar uma medida é a resultante de um conjunto destes erros. Abaixo são citados os

erros mais comuns.

a) Erro no comprimento do diastímetro

Deve ser corrigido.

Exemplo 17: Suponha um diastímetro, inicialmente, com a marcação de 25 metros.

50


Figura 2.5: Medição horizontal do alinhamento AB.


Em segunda análise, suponha que foi feita uma aferição (constatação em laboratório), e sua

verdadeira medida seja 24,9 m. Neste caso, pensaria o usuário estar medindo 25m, mas na realidade

teria apenas 24,9 m.

Exemplo 18: Partindo do exemplo 15, suponha uma distância no campo igual 100 m, qual seria a

distância real ?

Solução:

100 m 25,0 m

x m 24,9 m

x = 99,60 m (distância real medida pelo usuário)

Exemplo 19: Ainda, para obter a distância real de 100 m, com o diastímetro acima, quanto deve-se

medir no campo ?

Solução:

x m 25,0 m

100 m 24,9 m

x = 100,40 m (a ser medido no campo para obter os 100,00 m)

b) Erro de dilatação do diastímetro

Deve ser corrigido.

, onde:

e - Erro; L - Distância medida; - Coeficiente de dilatação;

T - Temperatura ambiente; t - Temperatura de aferição ( 20o C).

51



c) Falta de horizontalidade do diastímetro

Como os pontos A e B devem ser projetados considerando um plano horizontal, caso ocorra uma

inclinação do diastímetro, a distância tomada será sempre maior que a real. Deve ser evitado, por

exemplo, com auxílio de uma 3o pessoa verificando a posição do diastímetro (Figura 2.6).

d) Erro de catenária

Erro devido ao peso do diastímetro. Para evitá-lo deve-se esticar o diastímetro, avaliar trechos menores ou adotar escoras intermediárias. (Figura 2.7).

e) Desvio vertical da baliza

Em virtude das balizas não estarem perfeitamente na vertical, a distância medida pode ser maior ou

menor que a distância real AB (Figura 2.8).

Deve ser evitado, por exemplo, com a utilização de um nível de cantoneira.

52


Figura 2.6: Horizontalidade do diastímetro.

Figura 2.7: Erro de catenária.


f) Erro de desvio lateral do diastímetro

Considerando dois pontos topográficos, a distância horizontal entre eles deve ser tomada

materializando um alinhamento reto, ou seja um traço da interseção do terreno com apenas um

plano vertical que contém estes pontos. Deve ser evitado, por exemplo, através do balizamento

(Figura 2.9).

g) Enganos

Ocorre pela inabilidade do operador. Pode-se citar como erro grosseiro ou engano: Posição do zero

no diastímetro, erro de leitura, omissão de trenadas, anotação errada, etc. Este erro tem de ser

evitado.

3.2 - Processos Indiretos3.2 - Processos Indiretos

Na medição indireta de distâncias, estas são determinadas sem percorrer o alinhamento. Os

instrumentos de medida indireta de distância são denominados distanciômetros. Estes podem ser:

53


Figura 2.8: Desvio vertical da baliza.

Figura 2.9: Desvio lateral do diastímetro.


Óticos

Mecânicos

Eletrônicos

Os instrumentos óticos e mecânicos são designados de taqueômetros ou taquímetros.

O processo indireto confundia-se com a taqueometria ou estadimetria, por este ser um processo de

levantamento muito aplicado em levantamentos topográficos, contudo com o avanço da utilização

de instrumentos eletrônicos para obtenção de distâncias, reafirma-se a divisão proposta.

Taqueometria é a parte da topografia que se ocupa da medida indireta das distâncias horizontais e

das diferenças de nível, quer por meios óticos, quer por meios mecânicos, empregando-se

instrumentos denominados taqueômetros.

Os taqueômetros estadimétricos ou normais são teodolitos com luneta portadora de retículos

estadimétricos, constituídos de três fios horizontais e um vertical. Com os fios de retículo, associados

às miras verticais ou horizontais, pode-se obter a distância horizontal e a diferença de nível entre

dois pontos.

Nos itens a seguir (3.2.1, 3.2.2, 3.2.3 e 3.2.4), dá-se ênfase ao processo de obtenção de distâncias e

diferenças de nível com uso de taqueômetros, associados à miras verticais.

3.2.1 - Distância Horizontal - Plano Horizontal3.2.1 - Distância Horizontal - Plano Horizontal

54



O princípio de construção está ilustrado

figura 2.10, onde:

(01)

(02)

(03)

sendo

AC - Distância a ser determinada (D)

AF - Distância focal (f)

BD - Leitura estadimétrica (m) (FS - FI)

EG - Altura dos fios do retículo (h)

(04)

onde

D - Distância horizontal;

55


Figura 2.10: Distância horizontal estadimétrica I.


m - Leitura estadimétrica onde: m = FS - FI;

onde FS - Fio superior do retículo;

FI - Fio inferior do retículo;

FM - Fio médio do retículo;

g - Constante do aparelho. Em 99% dos casos, g = 100;

Existe ainda a seguinte relação:

Obs.: Muitas vezes é considerando a igualdade ao invés da aproximação da igualdade.

Exemplo 20: Dados os fios FS, FI e g, calcule o FM e a distância (Figura 2.11):

Solução:

FS = 2,800 m; FI = 1,200 m

g = 100

56


2 . FM FS + FI

Figura 2.11: Fios estadimétricos.


2 . FM (FS + FI) => 2 . 2,000 = (2,800 + 1,200)

=> 4,000 = 4,000 OK !

m = FS - FI = 2,800 - 1,200 = 1,600 m

D = m . g = 1,600 . 100 = 160 m

Em alguns taqueômetros, a luneta pode não coincidir com o centro do instrumento (alática) ou

coincidir (analática) (Figura 2.12).

No caso da luneta alática, para determinação das distâncias horizontal e vertical, deve-se considerar

a constante “c” mais a distância focal “f”.

A maioria das lunetas dos taqueômetros é analática.

Figura 2.12: Tipos de luneta – Alática e Analática.

3.2.2 - Distância Horizontal - Plano Inclinado3.2.2 - Distância Horizontal - Plano Inclinado

Seja agora a figura 2.13, considerando um plano inclinado:

BD = m - Leitura estadimétrica com a mira na vertical;

FG = n - Leitura estadimétrica com a mira normal à visada;

AC = n . g (05);

57



AE = AC . cos (06)AE = n . g . cos (07)

Dos triângulos FBC e DCG (considerando serem retângulos semelhantes ao triângulo ACE) (Figura

2.13), os ângulos:

(08)

n = m . cos (09)

(09 em 07)

D = m . g . cos . cos (10)

Obs.: Se o ângulo vertical corresponde ao ângulo zenital (ângulo com origem no zênite) (Item 4 –

Goniologia), a fórmula estadimétrica será:

58


Figura 2.13: Distância horizontal estadimétrica II.

D = m . g . cos2

D = m . g . sen2 Z


3.2.3 - Diferença de Nível3.2.3 - Diferença de Nível

Considere a figura 2.14, para avaliar a diferença de nível FG, ou seja, a distância vertical entre o

ponto F e a projeção do ponto A.

BD => Leitura estadimétrica - m;

FG => Diferença de nível;

LE => D = m . g . cos2 (12)

CF => Leitura feita na mira com o fio médio - alvo;

EG => i - Altura do instrumento.

Definição:

FG = CG - CF (13)

CG = CE + EG (14)

(14) em (13)

FG = CE + EG - CF (15)

59


Figura 2.14: Diferença de nível estadimétrica.


CE = LE . tg (16)

(16) em (15)FG = LE . tg + EG - CF (10) (17)

Substituindo, tem-se:

dn = m . g . cos2 . tg + i – alvo (18)

Obs.: Se o ângulo vertical corresponde ao ângulo zenital (ângulo com origem no zênite) (Item 4 – Goniologia), a fórmula taqueométrica será:

Na tabela 2.4 tem-se um resumo das equações taqueométricas para avaliar distâncias horizontais e

diferenças de nível.

Tabela 2.4: Resumo das equações estadimétricas.

Analática60



Plano horizontal

Distância horizontalD = m . g

Plano inclinado

Distância horizontal

D = m . g . cos2 ()

D = m . g . sen2 Z (Z)

Plano inclinado

Diferença de nível

()

(Z)

Igualmente à medida direta de uma distância, ao avaliar indiretamente uma distância por

taqueometria, alguns cuidados devem ser considerados, evitando alguns erros como:

Na leitura da mira - Distância imprópria, capacidade de aumento focal da luneta, desvios causados

pela refração atmosférica;

Erros nas constantes c, f, g;

Falta de verticalidade da mira;

Erro na medição do ângulo de inclinação ( ou Z).

3.2.4 - Distâncias Máximas e Mínimas3.2.4 - Distâncias Máximas e Mínimas

Através de exemplos, pode-se demonstrar as máximas e mínimas distâncias que podem ser obtidas

pela taqueometria. Estas podem ser avaliadas pelo aspecto teórico, ou seja, matematicamente, ou

pelo aspecto prático, ou seja, a real distância que se pode obter pelo taqueômetro.

61



Na consideração teórica estão em questão o tamanho da mira e sua menor subdivisão, e o valor da

constante g.

Para a prática, depende diretamente do foco do instrumento, sendo que a distâncias superiores a

150 m, e inferiores a aproximadamente 5 m, a imagem do objeto começa a ficar prejudicada.

Exemplo 21: Sejam os dados abaixo, calcule a máxima distância teórica conferindo (Figura 2.15) e

sem conferência (Figura 2.16).

Dados:

L (tamanho da mira) = 4,000 m

g = 100

Solução:

Obs.: A máxima distância entre dois pontos é aquela tomada na horizontal, logo:

D = m . g

m = FS - FI

m = 4,000 - 0,000 = 4,000 m

D = 4,000 x 100 = 400 m (conferindo)

62


Figura 2.15: Máxima distância teórica conferindo.

Figura 2.16: Máxima distância teórica sem

conferência.


Obs.: Para determinar a distância máxima sem conferência, um dos fios (superior ou inferior) está

impossibilitado de ser lido, logo, deve ser calculado pela fórmula:

m = 8,000 - 0,00 = 8,000 m

D = 8,000 x 100 = 800 m (sem conferência)

Exemplo 22: Sejam os dados abaixo, calcule a mínima distância teórica conferindo (Figura 2.17).

Dados:

menor subdivisão = 0,010 m

g = 100

Solução:

D = m . g

m = 1,010 - 1,000 = 0,010 m

D = 0,010 x 100 = 1,000 m (conferindo)

Exemplo 23: Durante as operações topográficas, a maioria das medidas de distâncias é tomada

considerando um plano inclinado. Considerado os dados abaixo e as fórmulas da tabela 2.4, calcule a

distância horizontal e diferença de nível entre dois pontos (Figura 2.18).

63


Figura 2.17: Mínima distância teórica conferindo.


Dados:

FS = 2,344 m; FI = 1,200 m; FM = 1,772 m;

g = 100; = 30o 30’; i = 1,5 m

Solução:

a) Distância horizontal

D = m . g . cos2

D = (FS - FI) . 100 . cos2 (30o 30’)

D = (2,344 - 1,200) . 100 . cos2 (30,5o) = 1,144 . 100 . 0,74240 = 84,931 m

b) Diferença de nível

64



4 - Goniologia4 - Goniologia

A Goniologia estuda os processos e instrumentos necessários para avaliar um ângulo. Para seu

estudo alguns autores a dividem em:

Goniografia - Estuda os processos de representação gráfica dos ângulos;

Goniometria - Estuda os processos e instrumentos necessários para a medida dos ângulos em

campo.

Na figura abaixo (Figura 2.19) têm-se os vários tipos de ângulos utilizados na topografia, comentados

nos itens 4.1 e 4.2.

65


Figura 2.18: Distância horizontal e diferença de nível pelo processo estadimétrico.


Figura 2.19: Ângulos na Topografia.

Os instrumentos utilizados para medir estes ângulos em campo (e escritório) são denominados de

goniômetros. O teodolito é um goniômetro que possui limbos vertical e horizontal (Figura 2.19),

internos ou externos. O limbo é a parte específica do goniômetro que permite fazer a avaliação

numérica dos ângulos. É constituída de uma coroa graduada podendo ter os seguintes sistemas de

graduação:

Sexagesimal (grau) Centesimal (grado)

4.1 - Ângulos Horizontais4.1 - Ângulos Horizontais

O ângulo horizontal é definido como o ângulo formado pelo afastamento de 2 planos verticais,

considerando um eixo (Figura 2.20). Os ângulos horizontais, de acordo com a direção ou

alinhamento que serve de origem para sua medida, podem ser azimutais ou goniométricos.

Os ângulos horizontais azimutais, têm por origem a direção norte-sul, sendo denominados de

azimutes e rumos;

66



Os ângulos goniométricos são medidos com relação a um alinhamento qualquer, sendo

denominados de ângulos entre alinhamentos (interno ou externo) e deflexões.

Figura 2.20: Ângulo horizontal .

4.1.1 - Ângulos Azimutais4.1.1 - Ângulos Azimutais

a) Azimutes

É o ângulo horizontal formado entre a direção norte-sul

e um alinhamento, tendo por origem o sentido do norte

e grandeza variável entre 0o e 360o (Figura 2.21).

67


Figura 2.21 : Medição de azimutes.


O azimute recíproco de um alinhamento AB (vante) é o azimute deste alinhamento em sentido

contrário, isto é, o azimute de BA (ré), os quais diferem de 180o, ou seja (Figura 2.22):

(19)

b) Rumos

É o menor ângulo formado entre a direção norte-sul e um alinhamento, tendo como origem a

direção norte ou sul, ou seja, com grandeza variável entre 0o e 90o (Figura 2.23).

c) Conversão de Rumo em Azimute

Algumas vezes avalia-se em campo o valor do azimute, e este deve ser transformado em rumo para

cálculos posteriores, logo como os rumos e os azimutes são referidos à uma mesma direção, estes

podem ser relacionados entre si (Figura 2.24).

68


Figura 2.22: Azimute de vante e ré.


4.1.2 - Ângulos Goniométricos4.1.2 - Ângulos Goniométricos

a) Ângulos horários internos e externos

É o ângulo formado entre dois alinhamentos, contado no sentido horário e variável de 0o a 360o,

internamente (interno) ou externamente (externo) ao polígono (Figura 2.25).

b) Ângulos de deflexão

69


Figura 2.24: Conversão azimutes em rumos.Figura 2.23: Medição dos rumos.

Figura 2.25: Medição de ângulos horários internos e externos.


É o ângulo formado entre o prolongamento do alinhamento anterior e o alinhamento em estudo,

contado para a direita ou para a esquerda e tendo sua grandeza limitada entre 0o e 180o (Figura

2.26).

4.1.3 - Azimutes Calculados4.1.3 - Azimutes Calculados

70


Figura 2.26: Ângulos de deflexão.


Em um levantamento topográfico, geralmente determina-se o azimute inicial no primeiro

alinhamento da poligonal, com objetivo de orientar o levantamento. A seguir são utilizados outros

métodos para medição dos próximos ângulos, podendo ser o rumo, ângulo horário (interno ou

externo) ou deflexão. Desta forma, às vezes, é

necessário calcular os demais azimutes de cada

alinhamento. Veja os exemplos a seguir.

Exemplo 24: Seja calcular o azimute a partir do rumo dado (Figura 2.27).

Dados:

AZA-B = 100o; RumoB-C = 50o SO

Solução:

AZB-C = 50o + 180o = 230o

71


Figura 2.27: Azimute calculado a partir do

rumo.


Exemplo 25: Seja calcular o azimute a partir da deflexão dada (Figura 2.28).

Dados:

AZA-B = 110o; DeflexãoB-C = 110o Dd

Solução:

AZB-C = 110o + 110o = 220o

Exemplo 26: Seja calcular o azimute a partir do

ângulo horário dado (Figura 2.29).

Dados:

AZA-B = 100o; Ângulo HorárioB-C = 320o

AZB-C = 100o + 320o - 180o = 240o

72


Figura 2.28: Azimute calculado a partir da

deflexão.

Figura 2.29: Azimute calculado a partir do

ângulo horário.


4.2 - Ângulos Verticais4.2 - Ângulos Verticais

O ângulo vertical é definido como o ângulo formado pelo afastamento de 2 planos horizontais,

considerando-se um eixo. De acordo com a origem para medição do ângulo, estes podem ser de

inclinação ou zenital. A transformação entre estas grandezas às vezes é necessária, podendo ser

visualizada na figura 2.30.

4.2.1 - Ângulo de Inclinação4.2.1 - Ângulo de Inclinação

Fornece ângulo vertical entre a linha do horizonte e o alinhamento do ponto considerado (Figura

2.30).

4.2.2 - Ângulo Zenital4.2.2 - Ângulo Zenital

Fornece ângulo vertical entre a linha do zênite (linha que acompanha a vertical do ponto neste local),

com origem no sentido contrário ao centro de massa da terra e o alinhamento do ponto considerado

(Figura 2.30).

73



Figura 2.30: Ângulos de inclinação e zenital.4.3 - Magnetismo Terrestre4.3 - Magnetismo Terrestre

Tendo a terra propriedades de um grande magneto, as extremidades da agulha de uma bússola são

atraídas por duas forças atuando em dois pontos diametralmente opostos, que são os pólos

magnéticos da terra, os quais não coincidem com os pólos geográficos.

A linha que une os pólos magnéticos é denominada meridiana magnética. A linha que une os pólos

geográficos é denominada meridiana geográfica ou verdadeira.

O goniômetro utilizado para materializar a linha norte-sul magnética é a bússola.

4.3.1 - Declinação Magnética4.3.1 - Declinação Magnética

A declinação magnética é o ângulo formado entre o meridiano magnético e o meridiano geográfico.

Com relação a posição dos meridianos, a declinação magnética pode ser (Figura 2.31):

74



Ocidental - Meridiano magnético à esquerda do meridiano verdadeiro;

Oriental - Meridiano magnético à direita do meridiano verdadeiro;

Nula - Coincidência entre os dois meridianos

Atualmente no Brasil, a declinação é ocidental.

Figura 2.31: Declinação magnética.

O valor da declinação magnética é variável, podendo ocorrer tanto no espaço (variações geográficas),

quanto no tempo (variações diurnas, mensais, anuais e seculares), além das acidentais.

Os processos de determinação da declinação magnética podem ser por métodos da Astronomia de

campo; por magnetômetros e pelos mapas isogônicos e isopóricos.

a) Mapas isogônicos e isopóricos

Linhas isogônicas - Linhas que possuem o mesmo valor de declinação magnética;

Linhas isopóricas - Linhas que possuem o mesmo valor de variação anual desta declinação.

b) Cálculo da declinação magnética

75



Fórmula

DM = Cig + [ (A + Fa) . (Cip) ] (20)Onde,

DM - Declinação Magnética

Cig - Curva isogônica (valor interpolado)

Cip - Curva Isopórica (valor interpolado)

A – Diferença entre o ano de construção do mapa e do ano da observação (por ex.,1980 para 1982 =

02)

Fa - Fração do ano

c) Fração do ano – Divisão por período de dias no mês

01 jan - 19 jan - 0,0

20 jan - 24 fev - 0,1

25 fev - 01 abr - 0,2

02 abr - 07 maio - 0,3

08 maio - 13 jun - 0,4

14 jun - 19 jul - 0,5

20 jul - 25 ago - 0,6

26 ago - 30 set - 0,7

01 out - 06 nov - 0,8

07 nov - 12 dez - 0,9

13 dez - 31 dez - 1,0

Exemplo 27: Calcule a declinação magnética para São Luís (MA) em 01 de julho de 1982.

Solução:

DM = - 19o 45’ + [ ( 2 + 0,5 ) . ( - 5,2’ ) ]

DM = - 19o 45’ - 13’

DM = - 19o 58’ (ou 19o 58’ ocidental ou 19o 58’ W)

76



Exemplo 28: Calcule a declinação magnética para Belo Horizonte em 31 de março de 1998 (Figura

2.32).

Solução:

Isogônicas1cm => 1o

0,4 cm => xo

Isopóricas4,5cm => 1’

2,0 cm => x’

Figura 2.32: Simulação de cálculo da declinação para BH – Mapa de 1980.

DM = Cig + [ (A + Fa) . (Cip) ]

DM = - 18,4o + [ ( 18 + 0,2 ) . ( - 7,44’ ) ]

DM = - 18,4o - 135,41’

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DM = - 18o 24’ - 2o 15’ 25” = -20o 39’ 25” (20o 39’ 25” W - ocidental)

Exemplo 29: Considere que o Azimute Magnético

A-B = 40o 30’ em 1980. Qual será o valor atual

deste azimute magnético A-B e o valor do

azimute verdadeiro (Figura 2.33).

Solução:

Az. magnético A-B (1988,4) = 40o 30’ + 2o 15’ 25”

= 42o 45’ 25”

Az.verdadeiro A-B = 40o 30’ - 18o 24’ = 22o 06’

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Figura 2.33: Azimute magnético e verdadeiro.


5 - Métodos de Levantamento Planimétrico5 - Métodos de Levantamento Planimétrico

Ao conjunto de processos e operações realizadas para obtenção de medidas no terreno (ângulos e

distâncias), capazes de definir um trecho da superfície terrestre, com objetivo de representá-lo em

planta, denomina-se levantamento topográfico.

Segunda a NBR 13.133 (ABNT), o levantamento topográfico, em qualquer de suas finalidades, deve

ter, no mínimo, as seguintes fases:

a) Planejamento e seleção de métodos e aparelhagem;

b) Apoio topográfico;

c) Levantamento de detalhes

d) Cálculos e ajustes

e) Original topográfico

f) Desenho topográfico final

g) Relatório técnico

Quanto ao Relatório Técnico, a norma explicita que, quando do término de todo e qualquer levantamento topográfico ou serviço de topografia, deve conter, no mínimo, os seguintes tópicos:

a) Objeto;

b) Finalidade;

c) Período de execução;

d) Localização;

e) Origem (Datum);

g) Precisões obtidas;79



h) Quantidades realizadas;

i) Relação de aparelhagem utilizada;

j) Equipe técnica e identificação do responsável técnico;

l) Documentos produzidos;

m) Memórias de cálculo, destacando-se:

* Planilhas de cálculo das poligonais;

* Planilhas das linhas de nivelamento.

O levantamento topográfico está diretamente relacionado aos dados a serem coletados em campo e

à sua representação, podendo ser:

Planimétrico - São coletados ângulos horizontais e verticais, e distâncias horizontais, onde estes

são projetados num mesmo plano horizontal;

Altimétrico - São coletados elementos para definir as diferenças de nível entre os pontos e estes

projetados num plano vertical (perfil) (Cap. 3);

Planialtimétrico - São coletados dados planimétricos e altimétricos com objetivo de representa-

los (Cap. 4).

Ainda, de conformidade com as circunstâncias em que se opera no campo e seu objetivo, o

levantamento pode ser classificado em:

Expedito - Uso de instrumentos de baixa precisão. Sua execução é fácil e rápida.

Comum - Uso de instrumental mais aprimorado e de métodos de medições mais rigorosos.

De precisão - Uso de instrumentos de alta precisão, propiciando maior aperfeiçoamento nas

medições.

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Tendo em vista a sistematização do estudo dos métodos de levantamento planimétrico, que são

baseados em princípios matemáticos diversos e considerando a importância e precisão, estes

podem ser classificados em métodos principais e secundários.

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APOSTILA CESBOC - TOPOGRAFIA