Apostila de Topografia

FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA

Engenharia Cartogrfica e de Agrimensura Universidade Federal do Paran

Luis Augusto Koenig Veiga Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti

Pedro Luis Faggion

2012


Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion

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www.cartografica.ufpr.br

Este material destinado aos alunos das disciplinas de Topografia I e Topografia II do Curso de Engenharia

Cartogrfica e de Agrimensura e demais cursos da Universidade Federal do Paran. A sua distribuio

permitida, sendo vedada sua comercializao. A reproduo de partes do material pode ser feita com a devida atribuio

dos crditos aos autores.



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Sumrio

Sumrio ....................................................................................................i Lista de Figuras .................................................................................... vii Lista de Tabelas................................................................................... xiii

1 - INTRODUO TOPOGRAFIA ...................................................1 1.1 - Introduo ......................................................................................1 1.2 - Sistemas de Coordenadas ................................................................4 1.2.1 - Sistemas de Coordenadas Cartesianas..........................................4 1.2.2 - Sistemas de Coordenadas Esfricas .............................................6 1.3 - Superfcies de Referncia................................................................7 1.3.1 - Modelo Esfrico ...........................................................................8 1.3.2 - Modelo Elipsoidal ........................................................................8 1.3.3 - Modelo Geoidal..........................................................................10 1.3.4 - Modelo Plano ............................................................................11 1.3.4.1 - Efeito da Curvatura na Distncia e Altimetria ........................14 1.4 - Classificao dos Erros de Observao.........................................17 1.4.1 - Erros Grosseiros .........................................................................18 1.4.2 - Erros Sistemticos......................................................................18 1.4.3 - Erros Acidentais ou Aleatrios ..................................................19 1.4.3.1 - Peculiaridade dos Erros Acidentais .........................................19 1.4.4 - Preciso e Acurcia ....................................................................20 2 - REVISO MATEMTICA ............................................................21 2.1 - Unidades de Medida......................................................................21 2.1.1 - Medida de Comprimento (metro)...............................................21 2.1.2 - Medida Angular .........................................................................22 2.1.2.1 - Radiano ...................................................................................22 2.1.2.2 - Unidade Sexagesimal ..............................................................22 2.1.2.3 - Unidade Decimal.....................................................................22 2.1.2.4 - Exerccios................................................................................23 2.2 - Reviso de Trigonometria Plana ...................................................25 2.2.1 - Relaes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo ...................25 2.2.2 - Teorema de Pitgoras .................................................................27 2.3 - Exerccios......................................................................................27 2.4 - Relaes Mtricas com o Tringulo Retngulo.............................30 2.5 - Exerccio .......................................................................................31 2.6 - Tringulo Qualquer .......................................................................32



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2.6.1 - Lei dos Senos .............................................................................32 2.6.2 - Lei dos Cossenos........................................................................32 2.7 - Exerccio .......................................................................................33 3 - ESCALAS........................................................................................34 3.1 - Principais Escalas e suas Aplicaes.............................................36 3.2 - Exerccios......................................................................................37 3.3 - Erro de Graficismo (eg) ................................................................39 3.4 - A Escala Grfica ...........................................................................40 4 - NORMALIZAO .........................................................................42 4.1 - Introduo .....................................................................................42 4.2 - NBR 13133 - Execuo de Levantamentos Topogrficos.............44 4.3 - NBR 14166 - Rede de Referncia Cadastral Municipal................45 5 - MEDIO DE DISTNCIAS ........................................................47 5.1 - Medida Direta de Distncias .........................................................47 5.1.1 - Trena de Fibra de Vidro .............................................................47 5.1.2 - Piquetes ......................................................................................48 5.1.3 - Estacas Testemunhas..................................................................48 5.1.4 - Balizas........................................................................................49 5.1.5 - Nvel de Cantoneira....................................................................50 5.1.6 - Cuidados na Medida Direta de Distncias .................................50 5.1.7 - Mtodos de Medida com Trena..................................................51 5.1.7.1 - Lance nico ............................................................................51 5.1.7.2 - Vrios Lances - Pontos Visveis..............................................52 5.1.8 - Erros na Medida Direta de Distncias ........................................53 5.2 - Medidas Indiretas de Distncias....................................................54 5.2.1 - Taqueometria ou Estadimetria ...................................................55 5.2.1.1 - Formulrio Utilizado ...............................................................56 5.2.2 - Medio Eletrnica de Distncias ..............................................58 5.2.2.1 - Correes Ambientais das Distncias Obtidas com MED ......66 5.2.2.1.1 - Exemplos..............................................................................68 6 - MEDIO DE DIREES ............................................................71 6.1 - ngulos Horizontais e Verticais ...................................................71 6.2 - Medida Eletrnica de Direes .....................................................75 6.2.1 - Introduo ..................................................................................75 6.3 - Teodolito .......................................................................................75 6.3.1 - Sistema de Eixos ........................................................................76 6.3.2 - Crculos Graduados (Limbos): ...................................................77 6.3.3 - Luneta de Visada........................................................................77 6.3.4 - Nveis .........................................................................................78 6.4 - Princpio da Leitura Eletrnica de Direes..................................78 6.4.1 - Sensor Eletrnico de Inclinao .................................................80



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6.5 - Estaes Totais..............................................................................81 6.6 - Mtodos de Medida Angular.........................................................82 6.6.1 - Aparelho no Orientado .............................................................83 6.6.2 - Aparelho Orientado pelo Norte Verdadeiro ou Geogrfico .......83 6.6.3 - Aparelho Orientado pela Bssola...............................................83 6.6.4 - Aparelho Orientado na R..........................................................84 6.6.5 - Aparelho Orientado na Vante.....................................................84 6.6.6 - Deflexo .....................................................................................84 6.7 - Tcnicas de Medio de Direes Horizontais .............................85 6.7.1 - Simples.......................................................................................85 6.7.2 - Pares Conjugados (PD e PI) .......................................................85 6.7.3 - Medidas com Reiteraes...........................................................87 6.7.4 - Medidas com Repetio .............................................................89 6.8 - Procedimento de Medida em Campo Utilizando um Teodolito ....93 6.8.1 - Instalao do Equipamento ........................................................93 6.8.1.1 - Instalando o trip e retirando o instrumento da caixa..............94 6.8.1.2 - Centragem e nivelamento........................................................98 6.8.2 - Focalizao da Luneta..............................................................103 6.8.3 - Leitura da Direo....................................................................105 6.9 - ngulos Verticais........................................................................105 6.9.1 - Exerccios.................................................................................107 7 - ORIENTAO..............................................................................109 7.1 - Norte Magntico e Geogrfico....................................................109 7.2 - Azimute e Rumo .........................................................................110 7.2.1 - Azimute....................................................................................110 7.2.2 - Rumo........................................................................................110 7.2.3 - Converso entre Rumo e Azimute ...........................................111 7.2.4 - Exerccios.................................................................................114 7.3 - Declinao Magntica .................................................................117 7.3.1 - Transformao de Norte Magntico em Geogrfico e vice-versa.............................................................................................................118 7.4 - Bssolas ......................................................................................119 7.4.1 - Inverso dos Pontos E e W da bssola ..............................120 7.4.2 - Utilizao da Bssola ...............................................................120 7.4.3 - Exerccio ..................................................................................121 7.5 - Mtodos de Determinao do Norte Verdadeiro.........................121 8 - LEVANTAMENTO TOPOGRFICO - PLANIMETRIA............122 8.1 - Introduo ...................................................................................122 8.2 - Clculo de Coordenadas na Planimetria......................................124 8.3 - Clculo de Azimutes a Partir de Coordenadas Planimtricas de Dois Pontos ..................................................................................................126



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8.3.1 - Exerccios.................................................................................127 9 - TCNICAS DE LEVANTAMENTO PLANIMTRICO .............132 9.1 - Levantamento e Clculo de Poligonais Fechadas .......................137 9.1.1 - Levantamento da Poligonal ......................................................138 9.1.2 - Clculo de uma Poligonal Fechada ..........................................140 9.1.2.1 - Verificao do Erro de Fechamento Angular ........................142 9.1.2.2 - Clculo dos Azimutes............................................................143 9.1.2.2.1 - Exerccio ............................................................................144 9.1.2.3 - Clculo das Coordenadas Parciais.........................................145 9.1.2.4 - Verificao do Erro de Fechamento Linear...........................146 9.1.2.4.1 - Exerccio ............................................................................147 9.1.2.5 - Correo do Erro Linear........................................................148 9.1.2.6 - Resumo de Clculo da Poligonal Fechada ............................149 9.1.2.7 - Exerccio ...............................................................................149 9.2 - Poligonal Enquadrada .................................................................155 9.2.1 - Exerccio ..................................................................................157 9.3 - Irradiao ....................................................................................164 9.3.1 - Exerccio ..................................................................................166 9.4 - Interseco a Vante .....................................................................172 9.4.1 - Exerccio ..................................................................................173 10 - CLCULO DE REAS ..............................................................176 10.1 - Processo Grfico .......................................................................176 10.2 - Processo Computacional ...........................................................176 10.3 - Processo Mecnico....................................................................177 10.4 - Processos Analticos..................................................................178 10.5 - Exerccio ...................................................................................182 11 - MEMORIAL DESCRITIVO .......................................................184 12 - NIVELAMENTO.........................................................................187 12.1 - Introduo .................................................................................187 12.2 - Levantamento Topogrfico Altimtrico ....................................192 12.3 - Nivelamento Geomtrico ..........................................................196 12.3.1 - Nveis .....................................................................................196 12.3.2 - Miras ......................................................................................197 12.3.3 - Mtodos de Nivelamento Geomtrico....................................200 12.3.3.1 - Visadas Iguais .....................................................................201 12.3.3.1.1 - Procedimento de Campo ..................................................206 12.3.3.1.2 - Exerccio ..........................................................................209 12.3.3.1.3 - Cuidados a Serem Tomados na Execuo do Nivelamento.............................................................................................................209 12.3.3.1.4 - Clculo do Erro Cometido e da Tolerncia Altimtrica ..215 12.3.3.1.5 - Exerccio ..........................................................................216



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12.3.3.2 - Mtodo das Visadas Extremas ............................................219 12.3.3.2.1 - Exerccio ..........................................................................224 12.3.3.2.2 - Exerccio ..........................................................................225 12.3.3.2.3 - Exerccio ..........................................................................226 12.3.3.3 - Mtodo das Visadas Eqidistantes ......................................227 12.3.3.4 - Mtodo das Visadas Recprocas..........................................229 12.4 - Nivelamento Trigonomtrico ....................................................231 12.4.1 - Nivelamento Trigonomtrico para Lances Curtos .................231 12.4.2 - Nivelamento Trigonomtrico para Lances Longos ................232 12.4.3 - Exerccio ................................................................................233 12.4.4 - Exerccio ................................................................................233 12.4.5 - Exerccio ................................................................................234 12.4.6 - Exerccio ................................................................................234 13 - INTRODUO AO DESENHO TOPOGRFICO ASSISTIDO POR COMPUTADOR ........................................................................235 13.1 - Introduo .................................................................................235 13.2 - Desenho Tcnico.......................................................................240 13.3 - Desenho Topogrfico e NBR13133 ..........................................243 14 - TERMOS TCNICOS UTILIZADOS EM INSTRUMENTAO TOPOGRFICA E GEODSICA ......................................................246 15 - REPRESENTAO DO RELEVO.............................................251 15.1 - Introduo .................................................................................251 15.2 - Mtodos para a Interpolao e Traado das Curvas de Nvel ...258 15.2.1 - Mtodo Grfico ......................................................................259 15.2.2 - Mtodo Numrico ..................................................................261 15.2.3 - Exerccio ................................................................................266 15.2.4 - Exerccio ................................................................................267 16 - BIBLIOGRAFIA .........................................................................268



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Lista de Figuras

Figura 1.1 - Desenho representando o resultado de um levantamento planialtimtrico........................................................................................3 Figura 1.2 - Sistema de coordenadas cartesianas.....................................5 Figura 1.3 - Representao de pontos no sistema de coordenadas cartesianas. ..............................................................................................5 Figura 1.4 - Sistema de coordenadas cartesianas, dextrgiro e levgiro. 6 Figura 1.5 - Sistema de coordenadas esfricas. .......................................7 Figura 1.6 - Terra esfrica - coordenadas astronmicas. .........................8 Figura 1.7 - Elipside de revoluo.........................................................9 Figura 1.8 - Coordenadas elipsidicas...................................................10 Figura 1.9 - Superfcie fsica da Terra, elipside e geide. ...................10 Figura 1.10 - Vertical. ...........................................................................11 Figura 1.11 - Plano em Topografia........................................................13 Figura 1.12 - Eixos definidos por uma direo notvel. ........................14 Figura 1.13 - Efeito da curvatura para a distncia. ................................14 Figura 1.14 - Efeito da curvatura na altimetria. .....................................16 Figura 1.15 - Preciso e acurcia...........................................................20 Figura 2.1 - Representao de um arco de ngulo. ................................22 Figura 2.2 - Tringulo retngulo............................................................26 Figura 3.1 - Quadrado 2u x 2u...............................................................36 Figura 3.2 - Smbolos utilizados para representar feies. ....................40 Figura 4.1 - Logotipo ANBT e ISO.......................................................43 Figura 5.1 - Modelos de trenas. .............................................................47 Figura 5.2 - Representao da implantao de um piquete e estaca testemunha.............................................................................................49 Figura 5.3 - Exemplos de balizas...........................................................49 Figura 5.4 - Nvel de cantoneira. ...........................................................50 Figura 5.5 - Medida de distncia em lance nico. .................................51 Figura 5.6 - Exemplo de medida direta de distncia com trena.............52 Figura 5.7 - Medida de distncia em vrios lances................................53 Figura 5.8 - Falta de verticalidade da baliza..........................................54 Figura 5.9 - Exemplo de um teodolito. ..................................................55 Figura 5.10 - Mira estadimtrica. ..........................................................56 Figura 5.11 - Determinao da distncia utilizando estadimetria..........57 Figura 5.12 - Princpio de medida de um MED.....................................59 Figura 5.13 - Representao da funo trigonomtrica envolvida em um sistema de coordenadas polares e retangulares......................................61 Figura 5.14 - Dois sinais senoidais com a mesma amplitude e fases diferentes. ..............................................................................................62



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Figura 5.15 - Modelo de prisma de reflexo total..................................63 Figura 5.16 - Alvo de reflexo atravs de superfcie espelhada. ...........64 Figura 5.17 - Alvo de reflexo difusa....................................................65 Figura 5.18 - baco utilizado para a obteno da correo ambiental. .68 Figura 5.19 - baco utilizado para a obteno da correo ambiental. .69 Figura 6.1 - Leitura de direes e clculo do ngulo.............................71 Figura 6.2 - ngulo horizontal. .............................................................72 Figura 6.3 - Pontaria para leitura de direes horizontais. ....................72 Figura 6.4 - ngulo vertical. .................................................................73 Figura 6.5 - ngulo zenital....................................................................73 Figura 6.6 - ngulos horizontal e zenital. .............................................74 Figura 6.7 - Indicao da preciso de um teodolito. ..............................76 Figura 6.8 - Teodolito............................................................................77 Figura 6.9 - Modelo de limbo incremental. ...........................................79 Figura 6.10 - Sistema de codificao absoluto. .....................................79 Figura 6.11 - Esquema do Sensor de Inclinao....................................80 Figura 6.12 - Detalhe do sensor de inclinao.......................................81 Figura 6.13 - Estao total.....................................................................82 Figura 6.14 - ngulo . .........................................................................82 Figura 6.15 - Aparelho no orientado....................................................83 Figura 6.16 - Aparelho orientado na estao r. ....................................84 Figura 6.17 - Aparelho orientado na estao vante. ..............................84 Figura 6.18 - Deflexo...........................................................................85 Figura 6.19 - Leitura de pares conjugados.............................................86 Figura 6.20 - Leituras utilizando o mtodo de reiterao - posio I. ...87 Figura 6.21 - Leituras utilizando o mtodo de reiterao - posio II. ..88 Figura 6.22 - Leituras utilizando o mtodo de reiterao - posio III..88 Figura 6.23 - Medida com repetio......................................................90 Figura 6.24 - Direes medidas com o mtodo de repetio.................91 Figura 6.25 - Direes medidas com o mtodo de repetio.................92 Figura 6.26 - Exemplificando o mtodo de repetio............................93 Figura 6.27 - Marco de concreto. ..........................................................94 Figura 6.28 - Chapa metlica com a indicao do ponto topogrfico....95 Figura 6.29 - Disposio dos equipamentos enquanto no utilizados. ..95 Figura 6.30 - Movimento de extenso das pernas do trip. ...................95 Figura 6.31 - Cravando o trip no solo. .................................................96 Figura 6.32 - Cuidados a serem seguidos na instalao do trip. ..........96 Figura 6.33 - Retirando o instrumento da caixa. ...................................97 Figura 6.34 - Fixando o equipamento ao trip.......................................97 Figura 6.35 - Eixo principal do equipamento passando pelo ponto.......98 Figura 6.36 - Nveis esfrico, tubular e digital. .....................................99



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Figura 6.37 - Posicionando o prumo sobre o ponto...............................99 Figura 6.38 - Ajustando o nvel de bolha utilizando os movimentos de extenso do trip..................................................................................100 Figura 6.39 - Calagem da bolha do nvel esfrico. ..............................100 Figura 6.40 - Nvel alinhado a dois calantes........................................100 Figura 6.41 - Movimentao dos dois calantes ao mesmo tempo, em sentidos opostos...................................................................................101 Figura 6.42 - Alinhamento do nvel ortogonalmente linha inicial. ...101 Figura 6.43 - Centragem da bolha atuando no parafuso ortogonal a linha inicial. ..................................................................................................102 Figura 6.44 - Retculos focalizados. ....................................................104 Figura 6.46 - ngulo zenital em PD....................................................105 Figura 6.47 - ngulo zenital em PI. ....................................................106 Figura 7.1 - Campo magntico ao redor da Terra................................109 Figura 7.2 - Representao do azimute. ..............................................110 Figura 7.3 - Representao do rumo....................................................111 Figura 7.4 - Representao do rumo em funo do azimute................112 Figura 7.5 - Representao da declinao magntica. .........................117 Figura 7.10 - Transformao de azimute e rumo magntico para verdadeiro e vice-versa........................................................................118 Figura 7.11 - Teodolito TC100 com bssola. ......................................119 Figura 8.1 - Diferentes formas de materializao de pontos. ..............122 Figura 8.2 - Monografia de ponto topogrfico. ...................................123 Figura 8.3 - Representao da projeo da distncia D em X (X) e em Y (Y). ................................................................................................124 Figura 8.5 - Quadrantes do Azimute. ..................................................127 Figura 8.6 - Representao do azimute da direo 1-2........................128 Figura 8.7 - Representao do azimute da direo 2-3........................129 Figura 8.8 - Representao do azimute da direo 3-4........................130 Figura 8.9 - Representao do azimute da direo 4-5........................131 Figura 9.1 - Levantamento de uma poligonal. .....................................132 Figura 9.2 - Poligonal fechada.............................................................133 Figura 9.3 - Poligonal enquadrada.......................................................133 Figura 9.4 - Poligonal aberta. ..............................................................134 Figura 9.5 - Dois pontos com coordenadas conhecidas e vinculadas ao SGB comuns a poligonal. ....................................................................134 Figura 9.6 - Pontos com coordenadas conhecidas entre pontos da poligonal..............................................................................................135 Figura 9.7 - Um vrtice de apoio pertencente a poligonal e observao a um segundo vrtice..............................................................................135



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Figura 9.8 - Norte Geogrfico e um ponto com coordenadas conhecidas..............................................................................................................136 Figura 9.9 - Transporte de coordenadas utilizando uma poligonal de apoio. ...................................................................................................136 Figura 9.10 - Problema de Pothnot. ...................................................137 Figura 9.11 - Eixo Y orientado segundo um alinhamento de meio fio.137 Figura 9.12 - ngulos externos e internos de uma poligonal fechada.138 Figura 9.13 - ngulos de deflexo de uma poligonal fechada. ...........139 Figura 9.14 - Estao r e vante. .........................................................139 Figura 9.15 - Medida do ngulo horizontal. ........................................140 Figura 9.16 - Clculo das coordenadas................................................141 Figura 9.17 - Pontaria em baliza prxima ao equipamento e longe.....143 Figura 9.18 - Clculo do azimute. .......................................................144 Figura 9.19 - Erro planimtrico. ..........................................................146 Figura 9.20 - Decomposio do erro planimtrico. .............................146 Figura 9.21 - Croqui de uma Poligonal Fechada. ................................150 Figura 9.22 - Desenho da poligonal enquadrada. ................................155 Figura 9.23 - Croqui de uma poligonal enquadrada. ...........................157 Figura 9.24 - Mtodo de irradiao. ....................................................164 Figura 9.25 - Levantamento por irradiao. ........................................164 Figura 9.26 - Exemplo de caderneta de campo de levantamento de detalhes................................................................................................165 Figura 9.27 - Croqui. ...........................................................................166 Figura 9.28 - Levantamento de detalhes pelo mtodo de Irradiao. ..167 Figura 9.29 - Interseco a vante........................................................173 Figura 9.30 - Exerccio Mtodo de Interseco vante.......................174 Figura 10.1 - Clculo de rea por mtodos grficos: quadriculado e figuras geomtricas equivalentes.........................................................176 Figura 10.2 - Planmetro digital...........................................................177 Figura 10.3 - Clculo de reas. ............................................................178 Figura 10.4 - Clculo da rea de um trapzio. .....................................179 Figura 10.5 - Trapzio 22 1 1. ..........................................................179 Figura 10.6 - Forma de multiplicao dos valores...............................182 Figura 12.1 - Cota, altitude e desnvel. ................................................187 Figura 12.2 - Rede altimtrica brasileira. ............................................190 Figura 12.3 - Referncia de nvel - RN 2053-D. ................................191 Figura 12.4 - Amostragem de pontos altimtricos e representao do relevo...................................................................................................195 Figura 12.5 - Eixos do nvel. ...............................................................197 Figura 12.6 - Diferentes modelos de miras..........................................198



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Figura 12.7 - Conveno para a indicao do metro para a mira utilizada..............................................................................................................198 Figura 12.8 - Mira e leituras. ...............................................................199 Figura 12.9 - Nivelamento Geomtrico - mtodo das visadas iguais. .201 Figura 12.10 - Nvel a igual distncia entre os pontos.........................202 Figura 12.11 - Nvel em duas alturas diferentes. .................................202 Figura 12.12 - Erro de colimao e curvatura terrestre. ......................203 Figura 12.13 - Lance. ..........................................................................203 Figura 12.14 - Seo............................................................................204 Figura 12.15 - Rede, circuito e linha de nivelamento. .........................205 Figura 12.16 - Nivelamento simples e composto. ...............................206 Figura 12.17 - Leituras efetuadas e distncia calculada. .....................207 Figura 12.18 - Caderneta modelo G4 de nivelamento geomtrico. .....208 Figura 12.19 - Preenchimento da caderneta. .......................................208 Figura 12.20 - Rotacionando a mira durante o nivelamento composto..............................................................................................................210 Figura 13.1 - Croqui e desenho final. ..................................................235 Figura 13.2 - Exemplos de convenes topogrficas. .........................237 Figura 13.3 - Diferentes formas de indicao do Norte.......................238 Figura 13.4 - Diferentes representaes para uma mesma rea...........238 Figura 13.5 - Diviso do desenho em camadas. ..................................239 Figura 13.6 - Camadas auxiliares. .......................................................240 Figura 13.7 - Folhas na horizontal e vertical. ......................................240 Figura 13.8 - Espaos para desenho, texto e legenda. .........................241 Figura 13.9 - Exemplo de legenda.......................................................242 Figura 13.10 - Exemplo de quadriculado. ...........................................244 Figura 15.1 - Diferentes formas de representao do relevo. ..............251 Figura 15.2 - Pontos cotados. ..............................................................252 Figura 15.3 - Interseo de um plano vertical com o relevo................252 Figura 15.4 - Perfil. .............................................................................253 Figura 15.4 - Perfil do Terreno............................................................253 Figura 15.5 - Interseo do plano horizontal com a superfcie fsica. .253 Figura 15.6 - Elevao e depresso. ...................................................255 Figura 15.7 - Curvas mestras e secundrias.........................................255 Figura 15.8 - Curvas de Nvel lisas.................................................256 Figura 15.9 - Erro na representao das curvas: cruzamento. ............256 Figura 15.10 - Erro na representao das curvas: encontro de curvas.256 Figura 15.11 - Representao de relevos com diferentes inclinaes..257 Figura 15.12 - Representao tridimensional do relevo e curvas de nvel..............................................................................................................257 Figura 15.13 - Representao a partir dos pontos obtidos em campo..258



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Figura 15.14 - Interpolao da cota de um ponto. ...............................258 Figura 15.15 - Diagrama de linhas paralelas. ......................................259 Figura 15.16 - Interpolao das curvas empregando diagrama de linhas paralelas...............................................................................................260 Figura 15.17 - Traado de uma reta r com comprimento igual ao desnvel entre os pontos A e B. ...........................................................260 Figura 15.18 - Retas paralelas ao segmento AB.................................261 Figura 15.19 - Exemplo de interpolao numrica..............................262 Figura 15.20 - Resultado da interpolao numrica para o segmento AB..............................................................................................................263 Figura 15.21 - Interpolao e desenho das curvas em uma clula da malha quadrada....................................................................................263 Figura 15.22 - Ambigidade na representao em uma clula da malha quadrada. .............................................................................................264 Figura 15.23 - Malha triangular...........................................................265 Figura 15.24 - Triangulao. ...............................................................265



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Lista de Tabelas

Tabela 1.1 - Efeito da curvatura para diferentes distncias. ..................16 Tabela 1.2 - Efeito da curvatura na altimetria. ......................................17 Tabela 2.1 - Prefixos. ............................................................................21 Tabela 3.1 - Principais escalas e suas aplicaes...................................37 Tabela 3.2 - Representao da preciso da escala. ................................39 Tabela 5.1 - Preciso das trenas............................................................51 Tabela 6.1 - Classificao dos Teodolitos. ............................................75 Tabela 6.2 - Exemplo de leituras utilizando reiterao. ........................89 Tabela 9.1 - Coordenadas dos pontos de partida e de chegada..........158 Tabela 12.1 - Classificao dos nveis.................................................197 Tabela 13.1 - Formatos da srie A.......................................................241 Tabela 15.1 - Escala e eqidistncia....................................................254



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1 - INTRODUO TOPOGRAFIA

1.1 - Introduo

O homem sempre necessitou conhecer o meio em que vive, por questes de sobrevivncia, orientao, segurana, guerras, navegao, construo, etc. No princpio a representao do espao baseava-se na observao e descrio do meio. Cabe salientar que alguns historiadores dizem que o homem j fazia mapas antes mesmo de desenvolver a escrita. Com o tempo surgiram tcnicas e equipamentos de medio que facilitaram a obteno de dados para posterior representao. A Topografia foi uma das ferramentas utilizadas para realizar estas medies.

Etimologicamente a palavra TOPOS, em grego, significa lugar e GRAPHEN descrio, assim, de uma forma bastante simples, Topografia significa descrio do lugar. A seguir so apresentadas algumas de suas definies:

A Topografia tem por objetivo o estudo dos instrumentos e mtodos utilizados para obter a representao grfica de uma poro do terreno sobre uma superfcie plana DOUBEK (1989). A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimenso e posio relativa de uma poro limitada da superfcie terrestre, sem levar em conta a curvatura resultante da esfericidade terrestre ESPARTEL (1987).

O objetivo principal efetuar o levantamento (executar medies de ngulos, distncias e desnveis) que permita representar uma poro da superfcie terrestre em uma escala adequada. s operaes efetuadas em campo, com o objetivo de coletar dados para a posterior representao, denomina-se de levantamento topogrfico.

A Topografia pode ser entendida como parte da Geodsia, cincia que tem por objetivo determinar a forma e dimenses da Terra.

Na Topografia trabalha-se com medidas (lineares e angulares) realizadas sobre a superfcie da Terra e a partir destas medidas calculam--se coordenadas, reas, volumes, etc. Alm disto, estas grandezas



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podero ser representadas de forma grfica atravs de mapas ou plantas. Para tanto necessrio um slido conhecimento sobre instrumentao, tcnicas de medio, mtodos de clculo e estimativa de preciso (KAHMEN; FAIG, 1988).

De acordo com BRINKER; WOLF (1977), o trabalho prtico da Topografia pode ser dividido em cinco etapas:

1) Tomada de deciso: onde se relacionam os mtodos de levantamento, equipamentos, posies ou pontos a serem levantados, etc. 2) Trabalho de campo ou aquisio de dados: efetuam-se as medies e gravao de dados. 3) Clculos ou processamento: elaboram-se os clculos baseados nas medidas obtidas para a determinao de coordenadas, volumes, etc. 4) Mapeamento ou representao: produz-se o mapa ou carta a partir dos dados medidos e calculados. 5) Locao.

De acordo com a NBR 13133 (ABNT, 1991, p. 3), Norma Brasileira para execuo de Levantamento Topogrfico, o levantamento topogrfico definido por:

Conjunto de mtodos e processos que, atravs de medies de ngulos horizontais e verticais, de distncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental adequado exatido pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno, determinando suas coordenadas topogrficas. A estes pontos se relacionam os pontos de detalhe visando a sua exata representao planimtrica numa escala pr-determinada e sua representao altimtrica por intermdio de curvas de nvel, com eqidistncia tambm pr-determinada e/ou pontos cotados.

Classicamente a Topografia dividida em Topometria e Topologia.

A Topologia tem por objetivo o estudo das formas exteriores do terreno e das leis que regem o seu modelado.



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A Topometria estuda os processos clssicos de medio de distncias, ngulos e desnveis, cujo objetivo a determinao de posies relativas de pontos. Pode ser dividida em planimetria e altimetria.

Tradicionalmente o levantamento topogrfico pode ser divido em duas partes: o levantamento planimtrico, onde se procura determinar a posio planimtrica dos pontos (coordenadas X e Y) e o levantamento altimtrico, onde o objetivo determinar a cota ou altitude de um ponto (coordenada Z). A realizao simultnea dos dois levantamentos d origem ao chamado levantamento planialtimtrico. A figura 1.1 ilustra o resultado de um levantamento planialtimtrico de uma rea.

Figura 1.1 - Desenho representando o resultado de um levantamento planialtimtrico.



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A Topografia a base para diversos trabalhos de Engenharia, onde o conhecimento das formas e dimenses do terreno importante. Alguns exemplos de aplicao:

Projetos e execuo de estradas; Grandes obras de engenharia, como pontes, viadutos, tneis,

portos, etc.; Locao de obras; Trabalhos de terraplenagem; Monitoramento de estruturas; Planejamento urbano; Irrigao e drenagem; Reflorestamentos; Etc.

Em diversos trabalhos a Topografia est presente na etapa de planejamento e projeto, fornecendo informaes sobre o terreno; na execuo e acompanhamento da obra; realizando locaes e fazendo verificaes mtricas; e finalmente no monitoramento da obra aps a sua execuo, para determinar, por exemplo, deslocamentos de estruturas.

1.2 - Sistemas de Coordenadas

Um dos principais objetivos da Topografia a determinao de coordenadas relativas de pontos. Para tanto, necessrio que estas sejam expressas em um sistema de coordenadas. So utilizados basicamente dois tipos de sistemas para definio unvoca da posio tridimensional de pontos: sistemas de coordenadas cartesianas e sistemas de coordenadas esfricas.

1.2.1 - Sistemas de Coordenadas Cartesianas

Quando se posiciona um ponto nada mais est se fazendo do que atribuindo coordenadas ao mesmo. Estas coordenadas por sua vez devero estar referenciadas a um sistema de coordenadas. Existem diversos sistemas de coordenadas, alguns amplamente empregados em Geometria e Trigonometria, por exemplo. Estes sistemas normalmente representam um ponto no espao bidimensional ou tridimensional.



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No espao bidimensional, um sistema bastante utilizado o sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas. Este um sistema de eixos ortogonais no plano, constitudo de duas retas orientadas X e Y, perpendiculares entre si (figura 1.2). A origem deste sistema o cruzamento dos eixos X e Y.

Figura 1.2 - Sistema de coordenadas cartesianas.

Um ponto definido neste sistema atravs de uma coordenada denominada abscissa (coordenada X) e outra denominada ordenada (coordenada Y). Uma das notaes P(x, y) ou P= (x, y) utilizada para denominar um ponto P com abscissa x e ordenada y.

Na figura 1.3 apresenta-se um sistema de coordenadas, cujas coordenadas da origem so O (0,0). Nele esto representados os pontos A(10,10), B(15,25) e C(20,-15).

Figura 1.3 - Representao de pontos no sistema de coordenadas cartesianas.

X

Y

Origem

30

20

10

-10 10 20 30

-20

B

A

C

X

Y

O



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Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espao tridimensional caracterizado por um conjunto de trs retas (X, Y, Z) denominadas de eixos coordenados, mutuamente perpendiculares, as quais se interceptam em um nico ponto, denominado de origem. A posio de um ponto neste sistema de coordenadas definida pelas coordenadas cartesianas retangulares (x, y, z) de acordo com a figura 1.4.

Figura 1.4 - Sistema de coordenadas cartesianas, dextrgiro e levgiro.

Conforme a posio da direo positiva dos eixos, um sistema de coordenadas cartesianas pode ser dextrgiro ou levgiro (GEMAEL, 1981, no paginado). Um sistema dextrgiro aquele onde um observador situado no semi-eixo OZ v o semi-eixo OX coincidir com o semi-eixo OY atravs de um giro de 90 no sentido anti-horrio. Um sistema levgiro aquele em que o semi-eixo OX coincide com o semi-eixo OY atravs de um giro de 90 no sentido horrio (figura 1.4).

1.2.2 - Sistemas de Coordenadas Esfricas

Um ponto do espao tridimensional pode ser determinado de forma unvoca, conforme a figura 1.5, pelo afastamento r entre a origem do sistema e o ponto R considerado, pelo ngulo formado entre o segmento OR e a projeo ortogonal deste sobre o plano xy e pelo ngulo que a projeo do segmento OR sobre o plano xy forma com o

Z

X

Y O

P(x,y,z)

y x

z

Z

Y

X O

P(x,y,z)

x

y

z



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semi-eixo OX. As coordenadas esfricas de um ponto R so dadas por (r, , ). A figura 1.5 ilustra este sistema de coordenadas.

Supe-se o sistema de coordenadas esfricas sobreposto a um sistema de coordenadas cartesianas (TORGE, 1980, p.16). Assim, o ponto R, determinado pelo terno cartesiano (x, y, z) pode ser expresso pelas coordenadas esfricas (r, , ), sendo o relacionamento entre os dois sistemas obtido pelo vetor posicional:

=

sen

sencos

coscos

r

z

yx

(1.1)

Figura 1.5 - Sistema de coordenadas esfricas.

1.3 - Superfcies de Referncia

Devido s irregularidades da superfcie terrestre, utilizam-se modelos para a sua representao, mais simples, regulares e geomtricos e que mais se aproximam da forma real para efetuar os clculos. Cada um destes modelos tem a sua aplicao, e quanto mais complexa a figura empregada para a representao da Terra, mais complexos sero os clculos sobre esta superfcie.

O

R (r, , ) r

Z

Y

X



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1.3.1 - Modelo Esfrico

Em diversas aplicaes a Terra pode ser considerada uma esfera, como no caso da Astronomia. Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera atravs de sua latitude e longitude. Tratando-se de Astronomia, estas coordenadas so denominadas de latitude e longitude astronmicas. A figura 1.6 ilustra estas coordenadas.

- Latitude Astronmica (): o arco de meridiano contado desde o equador at o ponto considerado, sendo, por conveno, positiva no hemisfrio Norte e negativa no hemisfrio Sul. - Longitude Astronmica (): o arco de equador contado desde o meridiano de origem (Greenwich) at o meridiano do ponto considerado. Por conveno a longitude varia de 0 a +180 no sentido leste de Greenwich e de 0 a -180 por oeste de Greenwich.

Figura 1.6 - Terra esfrica - coordenadas astronmicas.

1.3.2 - Modelo Elipsoidal

A Geodsia adota como modelo o elipside de revoluo (figura 1.7). O elipside de revoluo ou biaxial a figura geomtrica gerada pela rotao de uma semi-elipse (geratriz) em torno de um de seus eixos (eixo de revoluo); se este eixo for o menor tem-se um elipside achatado. Mais de 70 diferentes elipsides de revoluo so utilizados em trabalhos de Geodsia no mundo.

PS

G P

Q Q

PN



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Um elipside de revoluo fica definido por meio de dois parmetros, os semi-eixos a (maior) e b (menor). Em Geodsia tradicional considerar como parmetros o semi-eixo maior a e o achatamento f, expresso pela equao (1.2).

a

baf = (1.2)

a: semi-eixo maior da elipse b: semi-eixo menor da elipse

Figura 1.7 - Elipside de revoluo.

As coordenadas geodsicas elipsidicas de um ponto sobre o elipside ficam assim definidas (figura 1.8):

Latitude Geodsica (): ngulo que a normal forma com sua projeo no plano do equador, sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul.

Longitude Geodsica (): ngulo diedro formado pelo meridiano geodsico de Greenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste.

A normal uma reta ortogonal ao elipside que passa pelo ponto P na superfcie fsica.

a

ba

a

b



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Figura 1.8 - Coordenadas elipsidicas.

No Brasil, o atual Sistema Geodsico Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema de Referncia Geocntrico para as AmricaS) adota o elipside de revoluo GRS80 (Global Reference System 1980), cujos semi-eixo maior e achatamento so:

a = 6.378.137,000 m f = 1/298,257222101

1.3.3 - Modelo Geoidal

O modelo geoidal o que mais se aproxima da forma da Terra. definido teoricamente como sendo o nvel mdio dos mares em repouso, prolongado atravs dos continentes. No uma superfcie regular e de difcil tratamento matemtico. A figura 1.9 representa de forma esquemtica a superfcie fsica da Terra, o elipside e o geide.

Figura 1.9 - Superfcie fsica da Terra, elipside e geide.

Q

Gr

P

P

h

normal

h = altitude geomtrica (PP)

Superfcie Fsica

Geide

Elipside



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O geide uma superfcie equipotencial do campo da gravidade ou superfcie de nvel, utilizado como referncia para as altitudes ortomtricas (distncia contada sobre a vertical, do geide at a superfcie fsica) no ponto considerado.

As linhas de fora ou linhas verticais (em ingls plumb line) so perpendiculares a essas superfcies equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito nivelado, no ponto considerado. A reta tangente linha de fora em um ponto (em ingls direction of plumb line) simboliza a direo do vetor gravidade neste ponto, e tambm chamada de vertical. A figura 1.10 ilustra este conceito.

Figura 1.10 - Vertical.

1.3.4 - Modelo Plano

Considera a poro da Terra em estudo com sendo plana. a simplificao utilizada pela Topografia. Esta aproximao vlida dentro de certos limites e facilita bastante os clculos topogrficos. Face aos erros decorrentes destas simplificaes, este plano tem suas dimenses limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prtica a dimenso de 20 a 30 km. A NRB 13133 (Execuo de Levantamento Topogrfico) admite um plano com at aproximadamente 80 km.

Linha de fora ou linha vertical

P

g: direo do vetor gravidade do ponto P (vertical)

Superfcie equipotencial ou superfcie de nvel S

Superfcie equipotencial ou superfcie de nvel S

P



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Segundo a NBR 13133, as caractersticas do sistema de projeo utilizado em Topografia so:

a) As projetantes so ortogonais superfcie de projeo, significando estar o centro de projeo localizado no infinito.

b) A superfcie de projeo um plano normal a vertical do lugar no ponto da superfcie terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimtrico o referido Datum vertical brasileiro.

c) As deformaes mximas aproximadas inerentes desconsiderao da curvatura terrestre e refrao atmosfrica so:

l (mm) = - 0,001 l3 (km) h (mm) = + 78,1 l2 (km) h(mm) = + 67 l2 (km)

Onde:

l = deformao planimtrica devida curvatura da Terra, em mm.

h = deformao altimtrica devida curvatura da Terra, em mm.

h = deformao altimtrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da refrao atmosfrica, em mm. l = distncia considerada no terreno, em km.

d) O plano de projeo tem a sua dimenso mxima limitada a 80 km, a partir da origem, de maneira que o erro relativo, decorrente da desconsiderao da curvatura terrestre, no ultrapasse 1:35000 nesta dimenso e 1:15000 nas imediaes da extremidade desta dimenso.

e) A localizao planimtrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de projeo, se d por intermdio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com a do levantamento topogrfico;

f) O eixo das ordenadas a referncia azimutal, que, dependendo das particularidades do levantamento, pode estar orientado para o norte geogrfico, para o norte magntico ou para uma direo notvel do terreno, julgada como importante.



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Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no plano necessrio estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas para a representao dos mesmos. Este sistema pode ser caracterizado da seguinte forma:

Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de prumo); Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magntica ou verdadeira); Eixo X: sistema dextrgiro (formando 90 na direo leste).

A figura 1.11 ilustra este plano.

Figura 1.11 - Plano em Topografia.

Em alguns casos, o eixo Y pode ser definido por uma direo notvel do terreno, como o alinhamento de uma rua, por exemplo, (figura 1.12).

PN

PS

Eixo Y

Eixo X

Eixo Z

Plano de Projeo 90 90



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Figura 1.12 - Eixos definidos por uma direo notvel.

1.3.4.1 - Efeito da Curvatura na Distncia e Altimetria

A seguir demonstrado o efeito da curvatura nas distncias e na altimetria. Na figura 1.13 tem-se que S o valor de uma distncia considerada sobre a Terra esfrica e S a projeo desta distncia sobre o plano topogrfico.

Figura 1.13 - Efeito da curvatura para a distncia.

R: raio aproximado da Terra (6370 km)

Eixo X

Eixo Y



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A diferena entre Se S ser dada por:

S - S'S = (1.3)

Calculando S e Se substituindo na equao (1.3) tem-se:

tgR S' = (1.4)

R S = (1.5)

RRtg S = (1.6)

) = (tg R S (1.7)

Desenvolvendo tg em srie e utilizando somente os dois primeiros termos:

(1.8)

(1.9)

Onde = S/R, logo:

(1.10)

(1.11)

A tabela 1.1 apresenta valores de erros absolutos e relativos para um conjunto de distncias.

K+++=152 5

33

tg

+=

3RS

3

3RS

3=

R3SS

2

3=



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Tabela 1.1 - Efeito da curvatura para diferentes distncias. S (km) s

1 0,008 mm 10 8,2 mm 25 12,8 cm 50 1,03 m 70 2,81 m

Analisando agora o efeito da curvatura na altimetria, de acordo com a figura 1.11.

Figura 1.14 - Efeito da curvatura na altimetria.

Atravs da figura 1.11 possvel perceber que:

hRR

+=cos (1.12)

Isolando h na equao anterior:

= 1

cos

1

Rh (1.13)

R: raio aproximado da: diferena de nvel entre os pontos B e B, este ltimo projeo de B no plano topogrfico.



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De acordo com CINTRA (1996), desenvolvendo em srie 1/cos e considerando que:

RS

= (1.14)

Tem-se:

2

2Rh = (1.15)

R2S2h

= (1.16)

A tabela 1.2 apresenta o efeito da curvatura na altimetria para diferentes distncias.

Tabela 1.2 - Efeito da curvatura na altimetria. S h

100m 0,8 mm 500m 20 mm 1 km 78 mm

10 km 7,8 m 70 km 384,6 m

Como pode ser observado atravs das tabelas 1.1 e 1.2, o efeito da curvatura maior na altimetria que na planimetria. Durante os levantamentos altimtricos alguns cuidados so tomados para minimizar este efeito, como ser visto nos captulos posteriores.

1.4 - Classificao dos Erros de Observao

Para representar a superfcie da Terra so efetuadas medidas de grandezas como direes, distncias e desnveis. Estas observaes inevitavelmente estaro afetadas por erros. As fontes de erro podero ser:



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Condies ambientais: causados pelas variaes das condies ambientais, como vento, temperatura, etc. Exemplo: variao do comprimento de uma trena com a variao da temperatura.

Instrumentais: causados por problemas como a imperfeio na construo de equipamento ou ajuste do mesmo. A maior parte dos erros instrumentais pode ser reduzida adotando tcnicas de verificao/retificao, calibrao e classificao, alm de tcnicas particulares de observao.

Pessoais: causados por falhas humanas, como falta de ateno ao executar uma medio, cansao, etc.

Os erros, causados por estes trs elementos apresentados anteriormente, podero ser classificados em:

Erros grosseiros Erros sistemticos Erros aleatrios

1.4.1 - Erros Grosseiros

Causados por engano na medio, leitura errada nos instrumentos, identificao de alvo, etc., normalmente relacionados com a desateno do observador ou uma falha no equipamento. Cabe ao observador cercar-se de cuidados para evitar a sua ocorrncia ou detectar a sua presena. A repetio de leituras uma forma de evitar erros grosseiros.

Alguns exemplos de erros grosseiros:

Anotar 196 ao invs de 169; Engano na contagem de lances durante a medio de uma

distncia com trena.

1.4.2 - Erros Sistemticos

So aqueles erros cuja magnitude e sinal algbrico podem ser determinados, seguindo leis matemticas ou fsicas. Pelo fato de serem produzidos por causas conhecidas podem ser evitados atravs de tcnicas particulares de observao ou mesmo eliminados mediante a aplicao de frmulas especficas. So erros que se acumulam ao longo do trabalho.



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Exemplo de erros sistemticos, que podem ser corrigidos atravs de frmulas especficas:

Efeito da temperatura e presso na medio de distncias com medidor eletrnico de distncia;

Correo do efeito de dilatao de uma trena em funo da temperatura.

Um exemplo clssico apresentado na literatura, referente a diferentes formas de eliminar e ou minimizar erros sistemticos o posicionamento do nvel a igual distncia entre as miras durante o nivelamento geomtrico pelo mtodo das visadas iguais, o que proporciona a minimizao do efeito da curvatura terrestre no nivelamento e falta de paralelismo entre a linha de visada e eixo do nvel tubular.

1.4.3 - Erros Acidentais ou Aleatrios

So aqueles que permanecem aps os erros anteriores terem sido eliminados. So erros que no seguem nenhum tipo de lei e ora ocorrem num sentido ora noutro, tendendo a se neutralizar quando o nmero de observaes grande.

De acordo com GEMAEL (1991, p.63), quando o tamanho de uma amostra elevado, os erros acidentais apresentam uma distribuio de freqncia que muito se aproxima da distribuio normal.

1.4.3.1 - Peculiaridade dos Erros Acidentais

Erros pequenos ocorrem mais freqentemente do que os grandes, sendo mais provveis;

Erros positivos e negativos do mesmo tamanho acontecem com igual freqncia, ou so igualmente provveis;

A mdia dos resduos aproximadamente nula; Aumentando o nmero de observaes, aumenta a

probabilidade de se chegar prximo ao valor real.

Exemplo de erros acidentais:

Inclinao da baliza na hora de realizar a medida;



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Erro de pontaria na leitura de direes horizontais.

1.4.4 - Preciso e Acurcia

A preciso est ligada a repetibilidade de medidas sucessivas feitas em condies semelhantes, estando vinculada somente a efeitos aleatrios.

A acurcia expressa o grau de aderncia das observaes em relao ao seu valor verdadeiro, estando vinculada a efeitos aleatrios e sistemticos. A figura 1.15 ilustra estes conceitos.

Figura 1.15 - Preciso e acurcia.

O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a diferena entre eles: um jogador de futebol est treinando cobranas de pnalti. Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes acerta a trave do lado direito do goleiro. Este jogador foi extremamente preciso. Seus resultados no apresentaram nenhuma variao em torno do valor que se repetiu 10 vezes. Em compensao sua acurcia foi nula. Ele no conseguiu acertar o gol, verdadeiro valor, nenhuma vez.



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2 - REVISO MATEMTICA

Neste captulo realizada uma reviso de unidades e trigonometria, necessria para o estudo dos prximos temas a serem abordados.

2.1 - Unidades de Medida

2.1.1 - Medida de Comprimento (metro)

A origem do metro ocorreu em 1791 quando a Academia de Cincias de Paris o definiu como unidade padro de comprimento. Sua dimenso era representada por 1/10.000.000 de um arco de meridiano da Terra.

Em 1983, a Conferncia Geral de Pesos e Medidas estabeleceu a definio atual do metro como a distncia percorrida pela luz no vcuo durante o intervalo de tempo de 1/299.792.458 s.

O metro uma unidade bsica para a representao de medidas de comprimento no sistema internacional (SI).

Tabela 2.1 - Prefixos.

Nome Valor Numrico Smbolo Nome Valor

Numrico Smbolo

Deca 101 da deci 10-1 d

Hecto 102 H centi 10-2 c

Kilo 103 K mili 10-3 m

Mega 106 M micro 10-6 Giga 109 G nano 10-9 n

Tera 1012 T pico 10-12 p



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2.1.2 - Medida Angular

2.1.2.1 - Radiano

Um radiano o ngulo central que subentende um arco de circunferncia de comprimento igual ao raio da mesma. uma unidade suplementar do SI para ngulos planos.

2piR 360 arco = R = raio (2.1)

Raio

Raio

Arco

Figura 2.1 - Representao de um arco de ngulo.

2.1.2.2 - Unidade Sexagesimal Grau 1 grau = 1/360 da circunferncia

grau 1 = (pi /180) rad minuto 1 = 1/60= (pi/10800) rad segundo 1 = 1/3600 = (pi/648000) rad

2.1.2.3 - Unidade Decimal

Grado 1 grado =1/400 da circunferncia

Um grado dividido em 100 e cada minuto tem 100.



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2.1.2.4 - Exerccios

1) Transformao de ngulos:

Transforme os seguintes ngulos em graus, minutos e segundos para graus e fraes decimais de grau.

a) 32 28 59 = 32, 48305556 b) 17 34 18,3 = 17,57175 c) 125 59 57 = 125,9991667 d) 200 08 06 = 200,135

2) Soma e subtrao de ngulos:

3020 + 20 52 =

3020 +2052 51 12 5072

2841 + 3939 =

2841 +3939 68 20

6780

4230 - 2040 =

4230 41 90 - 2040 - 20 40 21 50 21 50



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OBS: comum, utilizando a calculadora, obter resultados com vrias casas decimais, neste caso, recomenda-se o arredondamento. Por exemplo:

3020 30,33333333 - 2052 - 20,86666666 21 50 9,56666666

= 9 27 59,999999 = 9 28

J para a transformao de graus decimais para graus, minutos e segundos, necessrio manter um mnimo de 6 casas decimais para obter o dcimo do segundo com segurana.

3) Clculo de funes trigonomtricas utilizando uma calculadora Ao aplicar as funes trigonomtricas (seno, cosseno e

tangente), com uma calculadora, o ngulo deve estar em graus e fraes de graus ou radianos, sendo que neste ltimo caso, a calculadora deve estar configurada para radianos. Por exemplo:

Para o ngulo 22 09 04, calcular o valor do seno, cosseno e tangente:

1) transformar para graus decimais ou radianos: 22 09 04 = 22,1511111 = 0,386609821864 rad

2) aplicar a funo trigonomtrica desejada: sen(22,1511111) = sen(0,386609821864 rad) = 0,377050629 cos(22,1511111) = cos(0,386609821864 rad) = 0,926192648 tg(22,1511111) = tg(0,386609821864 rad) = 0,407097411



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Ao aplicar-se a funo sem a transformao do ngulo pode-se incorrer em erros nos clculos futuros, como possvel observar no exemplo a seguir.

Para o ngulo = 22 09 04 calculando-se o valor da funo seno sem converter o valor do ngulo, obtm-se:

sen(22,0904) = 0,376069016

J transformando-o para graus decimais obtm-se:

sen(22,1511111) = 0,377050629

Considerando uma distncia de 300 m, entre um vrtice de uma poligonal e um ponto de detalhe qualquer, pode-se observar a seguinte diferena no valor de x calculado.

x = 300 sen (22,0904) = 300 0,376069016 x = 112,821 m

x = 300 sen (22,1511111) = 300 0,377050629 x = 113,115 m

Logo, uma diferena de 29,4 cm.

2.2 - Reviso de Trigonometria Plana

A trigonometria teve origem na Grcia, em virtude dos estudos das relaes mtricas entre os lados e os ngulos de um tringulo, provavelmente com o objetivo de resolver problemas de navegao, Agrimensura e Astronomia.

2.2.1 - Relaes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo

A soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180. A partir da figura 2.2 podem ser estabelecidas as seguintes relaes:



26

Figura 2.2 - Tringulo retngulo.

Seno

sen = ) () (

aHipotenusacOpostoCateto

Cosseno

cos = ) () (

aHipotenusabAdjacenteCateto

Tangente

tg = ) ( ) ( bAdjecenteCateto

cOpostoCateto

a

A

B

C b

c



27

2.2.2 - Teorema de Pitgoras

O quadrado do comprimento da hipotenusa igual a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.

222 cba += (2.2)

2.3 - Exerccios

1) No tringulo abaixo, determinar as relaes solicitadas.

a = 2m

mA

B

Cb = 3

c = 1m

sen = 21

2 1

=

m

m cos =

21

2 1

=

m

m

cos = 23

2 3

=

m

m sen =

23

2 3

=

m

m

tg = 3

1

3 1

=

m

m tg = 3

1 3

=

m

m

Obs.: importante lembrar que as funes trigonomtricas so adimensionais, ou seja, para qualquer unidade que esteja sendo utilizada, elas sempre se simplificaro como pode ser visto no exemplo acima.



28

2) Um observador na margem de um rio v o topo de uma torre na outra margem segundo um ngulo de 560000. Afastando-se de 20,00m, o mesmo observador v a mesma torre segundo um ngulo de 35 0000. Calcule a largura do rio (CEFET, 1984).

A

B C D

56 00'00"

35 00'00"

h

d 20,00 m



29

3) Para determinar a largura de um rio, um topgrafo mediu, a partir de uma base de 20,00 m de comprimento os ngulos em A e B, conforme figura. Calcule valor de h.

6200'00"

7400'00"A

B

P

M

h

a b



30

2.4 - Relaes Mtricas com o Tringulo Retngulo

Para um tringulo retngulo ABC pode-se estabelecer algumas relaes entre as medidas de seus elementos:

Onde:

b, c: catetos;

h: altura relativa hipotenusa;

a: hipotenusa;

m, n: projees ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

As seguintes relaes mtricas podem ser definidas:

a) O quadrado de um cateto igual ao produto da hipotenusa pela projeo desse cateto sobre a hipotenusa.

nab =2

mac =2

b) O produto dos catetos igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa hipotenusa.

A

B C

b

a

c

nm H

h



31

hacb =

c) O quadrado da altura igual ao produto das projees dos catetos sobre a hipotenusa.

nmh =2

d) O quadrado da hipotenusa igual a soma dos quadrados dos catetos.

222 cba += (Teorema de Pitgoras)

2.5 - Exerccio

A partir da primeira relao mtrica, deduzir o Teorema de Pitgoras.

nab =2

mac =2

namacb +=+ 22

)(22 nmacb +=+ Como anm =+ )(

)(22 aacb =+ ou 222 acb =+



32

2.6 - Tringulo Qualquer

2.6.1 - Lei dos Senos

Num tringulo qualquer a razo entre cada lado e o seno do ngulo oposto constante e igual ao dimetro da circunferncia circunscrita.

A

B C

b

a

c

senCc

senBb

senAa

== (2.3)

2.6.2 - Lei dos Cossenos

Num tringulo qualquer, o quadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ngulo que eles formam.

Acbcba cos2222 += (2.4)



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2.7 - Exerccio Um topgrafo, a partir dos pontos A e B, distantes de 20 m,

realiza a medio dos ngulos horizontais a duas balizas colocadas em D e C, com o auxlio de um teodolito. Calcule a distncia entre as balizas (CEFET, 1984).

DC = ?

40 60

30 85

A B

D C

20,00 m



34

3 - ESCALAS

comum em levantamentos topogrficos a necessidade de representar no papel certa poro da superfcie terrestre. Para que isto seja possvel, teremos que representar as feies levantadas em uma escala adequada para os fins do projeto. De forma simples, podemos definir escala com sendo a relao entre o valor de uma distncia medida no desenho e sua correspondente no terreno. A NBR 8196 (Emprego de escalas em desenho tcnico: procedimentos) define escala como sendo a relao da dimenso linear de um elemento e/ou um objeto apresentado no desenho original para a dimenso real do mesmo e/ou do prprio objeto.

Normalmente so empregados trs tipos de notao para a representao da escala:

ME 1= (3.1)

DdE = (3.2)

Dd

M=

1 (3.3)

Onde:

M = denominador da escala;

d = distncia no desenho;

D = distncia no terreno.

Por exemplo, se uma feio representada no desenho com um centmetro de comprimento e sabe-se que seu comprimento no terreno de 100 metros, ento a escala de representao utilizada de 1:10.000. Ao utilizar a frmula (3.2) para o clculo da escala deve-se ter o cuidado de transformar as distncias para a mesma unidade. Por exemplo:



35

d = 5 cm

000.101

000.505

5,05

===

cm

cm

kmcmE

D = 0,5 km

As escalas podem ser de reduo (1:n), ampliao (n:1) ou naturais (1:1). Em Topografia as escalas empregadas normalmente so: 1:250, 1:200, 1:500 e 1:1000. Logicamente que no algo rgido e estes valores dependero do objetivo do desenho.

Uma escala dita grande quando apresenta o denominador pequeno (por exemplo, 1:100, 1:200, 1:50, etc.). J uma escala pequena possui o denominador grande (1:10.000, 1:500.000, etc.).

O valor da escala adimensional, ou seja, no tem dimenso (unidade). Escrever 1:200 significa que uma unidade no desenho equivale a 200 unidades no terreno. Assim, 1 cm no desenho corresponde a 200 cm no terreno ou 1 milmetro do desenho corresponde a 200 milmetros no terreno. Como as medidas no desenho so realizadas com uma rgua, comum estabelecer esta relao em centmetros:

Desenho Terreno 1 cm 200 cm 1 cm 2 m 1 cm 0,002 km

comum medir-se uma rea em um desenho e calcular-se sua correspondente no terreno. Isto pode ser feito da seguinte forma: Imagina-se um desenho na escala 1:50. Utilizando esta escala faz-se um desenho de um quadrado de 2 x 2 unidades (u), no interessa qual esta unidade. A figura 3.1 apresenta este desenho.

A rea do quadrado no desenho (Ad) ser:

uuAd 22 = 24uAd = (3.4)



36

Figura 3.1 - Quadrado 2u x 2u.

A rea do quadrado no terreno (At) ser ento: )250()250( uuAt = 2).5050()22( uAt =

)5050(4 2 = uAt (3.5)

Substituindo a equao (3.4) na (3.5) e lembrando que M=50 o denominador da escala, a rea do terreno, em funo da rea medida no desenho e da escala dada pela equao (3.6).

2MAdAt = (3.6)

3.1 - Principais Escalas e suas Aplicaes

A seguir encontra-se uma tabela com as principais escalas utilizadas por engenheiros e as suas respectivas aplicaes.

2u

2u



37

Tabela 3.1 - Principais escalas e suas aplicaes

Aplicao Escala

Detalhes de terrenos urbanos 1:50

Planta de pequenos lotes e edifcios 1:100 e 1:200

Planta de arruamentos e loteamentos urbanos 1:500 e 1:1000

Planta de propriedades rurais1:10001:20001:5000

Planta cadastral de cidades e grandespropriedades rurais ou industriais

1:50001:10 0001:25 000

Cartas de municpios 1:50 0001:100 000

Mapas de estados, pases, continentes ,etc. 1:200 000 a1:10 000 000

3.2 - Exerccios 1) Qual das escalas maior 1:1 000 000 ou 1:1000?

2) Qual das escalas menor 1:10 ou 1:1000?

3) Determinar o comprimento de um rio onde a escala do desenho de 1:18000 e o rio foi representado por uma linha com 17,5 cm de comprimento.

E= 1:18 000 d = 17,5 cm

DdE =

Dcm5,17

180001

=

D = 17,5 18 000

D = 315 000 cm ou 3150 m



38

4) Determinar qual a escala de uma carta sabendo-se que distncias homlogas na carta e no terreno so, respectivamente, 225 mm e 4,5 km.

5) Com qual comprimento uma estrada de 2500 m ser representada na escala 1:10000?

6) Calcular o comprimento no desenho de uma rua com 30 m de comprimento nas escalas abaixo.

Escala Comprimento

1:100

1:200

1:250

1:500

1:1000

7) Um lote urbano tem a forma de um retngulo, sendo que o seu comprimento duas vezes maior que a sua altura e sua rea de 16.722,54 m

2. Calcular os comprimentos dos lados se esta rea fosse

representada na escala 1:10 560. (Adaptado de Irvine s.d.)

8) As dimenses de um terreno foram medidas em uma carta e os valores obtidos foram 250 mm de comprimento por 175 mm de largura. Sabendo-se que a escala do desenho de 1:2000, qual a rea do terreno em m2 ?

9) Se a avaliao de uma rea resultou em 2575 cm2 para uma escala de 1:500, a quantos metros quadrados corresponder a rea no terreno?



39

3.3 - Erro de Graficismo (eg)

O erro de graficismo (eg) uma funo da acuidade visual, habilidade manual e qualidade do equipamento de desenho. De acordo com a NBR 13133 (Execuo de Levantamentos Topogrficos), o erro de graficismo admissvel na elaborao do desenho topogrfico para lanamento de pontos e traados de linhas de 0,2 mm e equivale a duas vezes a acuidade visual.

Em funo deste valor possvel definir o valor da preciso da escala (pe), ou seja, o menor valor representvel em verdadeira grandeza, em uma escala.

Megpe = (3.7)

A tabela a seguir, ilustra o valor da preciso da escala (pe) para diferentes escalas.

Tabela 3.2 - Representao da preciso da escala.

Escala p.e.

1:10.000 2m

1:2000 40cm

1:1000 20cm

1:500 10cm

1:250 5cm

Em casos onde necessrio representar elementos com dimenses menores que as estabelecidas pela preciso da escala, podem ser utilizados smbolos. A figura 3.2 apresenta exemplos de smbolos empregados em levantamentos topogrficos.

pe



40

Figura 3.2 - Smbolos utilizados para representar feies.

3.4 - A Escala Grfica A escala grfica utilizada para facilitar a leitura de um

mapa, consistindo-se em um segmento de reta dividido de modo a mostrar graficamente a relao entre as dimenses de um objeto no desenho e no terreno. Segundo JOLY (1996) um baco formado por uma linha graduada dividida em partes iguais, cada uma delas representando a unidade de comprimento escolhida para o terreno ou um dos seus mltiplos.

Para a construo de uma escala grfica a primeira coisa a fazer conhecer a escala do mapa. Por exemplo, seja um mapa na escala 1:4000. Deseja-se desenhar um retngulo no mapa que corresponda a 100 metros no terreno. Aplicando os conhecimentos mostrados anteriormente deve-se desenhar um retngulo com 2,5 centmetros de comprimento:

Dd

M1

=

000.10d

40001

= d = 2,5cm

100 m

25 mm

Isto j seria uma escala grfica, embora bastante simples. comum desenhar-se mais que um segmento (retngulo), bem como indicar qual o comprimento no terreno que este segmento representa, conforme mostra a figura a seguir.

0 m 100 m 200 m 300 m

Luminria Telefone Pblico rvore



41

No caso anterior determinou-se que a escala grfica seria graduada de 100 em 100 metros. Tambm possvel definir o tamanho do retngulo no desenho, como por exemplo, 1 centmetro.

? m

1 cm

0m 40 m 80 m 120m

1:4000 1cm = 40 m

Existe tambm uma parte denominada de talo, que consiste em intervalos menores, conforme mostra a figura abaixo.

Uma forma para apresentao final da escala grfica apresentada a seguir.

0 100

metros

Escala 1:40001cm = 40m

200 30050100

0 m 100 m 200 m 300 m 50 m 100 m

talo



42

4 - NORMALIZAO

4.1 - Introduo

A Associao Brasileira de Normas Tcnicas (ABNT) o rgo responsvel pela normalizao tcnica no pas, tendo sido fundada em 1940 para fornecer a base necessria ao desenvolvimento tecnolgico brasileiro. A normalizao o processo de estabelecer e aplicar regras a fim de abordar ordenadamente uma atividade especfica e com a participao de todos os interessados e, em particular, de promover a otimizao da economia, levando em considerao as condies funcionais e as exigncias de segurana. Os objetivos da normalizao so (ABNT, 2003):

Economia: proporcionar a reduo da crescente variedade de produtos e procedimentos;

Comunicao: proporcionar meios mais eficientes para a troca de informaes entre o fabricante e o cliente, melhorando a confiabilidade das relaes comerciais e servios;

Segurana: proteger a vida humana e a sade; Proteo ao consumidor: prover a sociedade de meios eficazes

para aferir a qualidade dos produtos; Eliminao de barreiras tcnicas e comerciais: evitar a existncia

de regulamentos conflitantes sobre produtos e servios em diferentes pases, facilitando assim, o intercmbio comercial.

Atravs do processo de normalizao so criadas as normas. As normas da ABNT so classificadas em sete tipos diferentes (BIBVIRT, 2003):

Procedimento: orientam a maneira correta para a utilizao de materiais e produtos, execuo de clculos e projetos, instalao de mquinas e equipamentos e realizao do controle de produtos;

Especificao: fixam padres mnimos de qualidade para produtos; Padronizao: fixam formas, dimenses e tipos de produtos; Terminologia: definem os termos tcnicos aplicados a materiais,

peas e outros artigos; Simbologia: estabelecem convenes grficas para conceitos,

grandezas, sistemas, etc.;



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Classificao: ordenam, distribuem ou subdividem conceitos ou objetos, bem como critrios a serem adotados;

Mtodo de ensaio: determinam a maneira de se verificar a qualidade das matrias-primas e dos produtos manufaturados.

As normas da ABNT tm carter nacional. Outros pases tm seus prprios rgos responsveis pela normalizao, como a ANSI (American National Standards Institute -EUA) e DIN (Deutsches Institut fur Normung - Alemanha). Existem tambm associaes internacionais, como a ISO (International Organization for Standardization), fundada em 1946. A figura 4.1 ilustra os logotipos da ABNT e ISO.

Figura 4.1 - Logotipo ANBT e ISO.

Alguns exemplos de normas da ABNT so apresentados a seguir:

NBR 10068 - Folha de desenho - leiaute e dimenses NBR 8196 - Desenho tcnico - emprego de escalas NBR 10647 - Desenho tcnico - Norma geral NBR 10124 - Trena de fibra - fibra natural ou sinttica NBR 14166 - Rede de referncia cadastral municipal - procedimento NBR 13133 - Execuo de levantamento topogrfico

Um exemplo de norma ISO a ISO 17123-1 (Optics and optical instruments - Field procedures for testing geodetic instruments and surveying instruments - Part 1: Theory).

Particularmente na Topografia so de interesse as normas NBR 13133 e NBR 14166.



44

4.2 - NBR 13133 - Execuo de Levantamentos Topogrficos

Esta norma, datada de maio de 1994, fixa as condies exigveis para a execuo de levantamentos topogrficos destinados a obter (ABNT, 1994, p.1):

Conhecimento geral do terreno: relevo, limites, confrontantes, rea, localizao, amarrao e posicionamento;

Informaes sobre o terreno destinadas a estudos preliminares de projeto;

Informaes sobre o terreno destinadas a anteprojetos ou projeto bsicos;

Informaes sobre o terreno destinadas a projetos executivos.

Tambm objetivo desta norma estabelecer condies exigveis para a execuo de um levantamento topogrfico que devem compatibilizar medidas angulares, medidas lineares, medidas de desnveis e as respectivas tolerncias em funo dos erros, relacionando mtodos, processos e instrumentos para a obteno de resultados compatveis com a destinao do levantamento, assegurando que a propagao dos erros no exceda os limites de segurana inerentes a esta destinao (ABNT, 1994, p.1). Esta norma est dividida nos seguintes itens:

Objetivos e documentos complementares; Definies: onde so apresentadas as definies adotadas pela

norma, como por exemplo, definies de croqui, exatido, erro de graficismo, etc.;

Aparelhagem: instrumental bsico e auxiliar e classificao dos instrumentos;

Condies gerais: especificaes gerais para os trabalhos topogrficos;

Condies especficas: referem-se apenas s fases de apoio topogrfico e de levantamento de detalhes que so as mais importantes em termos de definio de sua exatido;

Inspeo do levantamento topogrfico; Aceitao e rejeio: condies de aceitao ou rejeio dos

produtos nas diversas fases do levantamento topogrfico;



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Anexos: exemplos de cadernetas de campo e monografias, convenes topogrficas e procedimento de clculo de desvio padro de uma observao em duas posies da luneta, atravs da DIN 18723.

4.3 - NBR 14166 - Rede de Referncia Cadastral Municipal

O objetivo desta norma fixar as condies exigveis para a implantao e manuteno de uma Rede Cadastral Municipal. Esta norma vlida desde setembro de 1998. De acordo com ABNT (1998, p.2), a destinao desta Rede Cadastral Municipal :

Apoiar e elaborao e a atualizao de plantas cadastrais municipais;

Amarrar, de um modo geral, todos os servios de Topografia, visando as incorporaes s plantas cadastrais do municpio;

Referenciar todos os servios topogrficos de demarcao, de anteprojeto, de projetos, de im

Documents

Apostila de Topografia