Apostila juliano eme905

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  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE DE ITAJUB

    INSTITUTO DE ENGENHARIA MECNICA

    NOTAS DE AULA DE EME12

    Controle de Sistemas Mecnicos

    Autor: Prof. Dr. Jos Juliano de Lima Junior

    08/2007

  • Sumrio

    1 Introduo aos Sistemas de Controle 11.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Reviso Histrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Exemplos de Sistemas de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.4.1 Sistema de Controle de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.2 Sistema de Controle de Nvel de Lquido . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.3 Configurao de um Sistema de controle de retroao . . . . . . . . 41.4.4 Sistema de Controle de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2 Transformada de Laplace 72.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 A Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.2.1 Plos e Zeros de X(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Transformada de Laplace de Sinais Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.3.1 Funo Impulso Unitrio (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2 Funo Degrau Unitrio u(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3 Pares de Transformada de Laplace de Sinais Comuns . . . . . . . . 10

    2.4 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.2 Deslocamento no Tempo (Time Shifting) . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.3 Deslocamento no Domnio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.4 Escalonamento no tempo (time Scaling) . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.5 Reverso do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.6 Diferenciao no Domnio do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.7 Diferenciao no Domnio de s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.8 Integrao no Domnio do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.9 Convoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.5 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.1 Frmula de Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.2 Uso de Tabelas de Pares de Transformada de Laplace . . . . . . . . 14

    Prof. Jos Juliano de Lima Jr.

  • ii SUMRIO

    2.5.3 Expanso em Fraes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 A funo do Sistema ou Funo de Transferncia . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.6.1 Funo do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6.2 Caracterizao de um Sistema LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6.3 Funo do Sistema para um Sistema LTI Descrito por Equaes

    Diferenciais Lineares de Coeficiente Constantes . . . . . . . . . . . 202.6.4 Interconexes entre Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3 Anlise Dinmica de Processos 253.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Modelo Matemtico Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    3.2.1 Soluo de um sistema com excitao harmnica . . . . . . . . . . . 293.3 Modelagem no Espao de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Sistemas de Ordem Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    3.5.1 Outras formas de representar o sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5.2 Exemplo de sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.3 Constante de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.6 Sistemas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6.1 Outras formas de representar o sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6.2 Exemplos de sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . 473.6.3 Combinao de dois sistemas de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . 51

    3.7 Linearizao de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7.1 Aproximao linear de modelos matemticos no-linear - Funo de

    uma Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7.2 Aproximao linear de modelos matemticos no-linear - Funo de

    duas Entradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7.3 Exemplo de Linearizao de uma Equao No-Linear . . . . . . . . 56

    4 Modelos Matemticos de Sistemas 594.1 Sistema de Nvel de Lquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    Prof. Jos Juliano de Lima Jr.

  • Lista de Figuras

    1.1 Sistema de Controle de Velocidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Sistema de Controle de Nvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Diagrama de Blocos do Sistema de Nvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Sistema de Controle com Realimentao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Sistema de Controle de Temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Diagrama de Blocos do Sistema de Controle de Temperatura. . . . . . . . . 51.7 Evoluo da temperatura aps um incremento r no valor da referncia da

    temperatura para: (a) K=10 e atraso=0,1; (b) K=1 e atraso=0,1; (c) K=10e atraso=0,025. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.1 Representao no Plano s de X(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Funo Transferncia do Sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Sistema em Srie no Domnio de t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Sistema em Srie no Domnio de s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Sistema em Paralelo no Domnio de t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Sistema em Paralelo no Domnio de s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3.1 Sistema de 1a Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Funo Transferncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Modelo de Estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Nvel de Lquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Comparao entre as Respostas da Equao do Sistema de Nvel de L-

    quido No-Linear e Linearizada - hss: resposta em regime permanente; h0:altura do nvel em regime permanente; Qi: pequena variao na vazo deentrada; Qi0: vazo de regime permanente; h: pequena variao do nvele Qi

    Qi0 0, 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.6 Linearizo da Curva Q0(t)H(t) em torno do ponto (H,Q). . . . . . . . 383.7 Sistema de Aquecimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.8 Curva de Resposta com Excitao Degrau Unitrio - Constante de Tempo. 423.9 Funo Transferncia de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . . . . . 463.10 Modelo de Estados de Espao de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . 47

    Prof. Jos Juliano de Lima Jr.

  • iv LISTA DE FIGURAS

    3.11 Diagrama de Blocos de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . . . . . . 473.12 Sistema Massa-Mola com Excitao Impulso Unitrio. . . . . . . . . . . . . 483.13 Redutor de Velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.14 Sistemas de 1a Ordem Gerando um Sistema de 2a. Ordem; sem e com

    efeito de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.15 Sistemas de 2a. Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.16 Resposta da Vazo a uma Excitao Degrau de Reservatrios em Srie c/

    e s/ Interao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    4.1 Nvel de Lquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Vazo de Sada em Regime Estacionrio em Funo da Presso da Altura

    da Coluna de Lquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    Prof. Jos Juliano de Lima Jr.

  • Captulo 1

    Introduo aos Sistemas de Controle

    1.1 Introduo

    O controle automtico tem desempenhado um papel vital no avano da engenharia,com aplicaes em:

    Veculos espaciais;

    Sistema de guiamento de msseis;

    Sistemas robticos;

    Processos industriais e

    Sistemas de manufatura - mquinas ferramentas de comando numrico.

    A teoria de controle e os sistemas de controle automtico propiciam meios para atingir:

    Desempenho timo de sistemas dinmicos;

    Melhoria na produtividade e

    Alvio de trabalho enfadonho de muitas operaes manuais repetitivas e muito mais.

    Os engenheiros e cientistas, em sua maioria, devem possuir um bom conhecimentodeste campo.

    1.2 Reviso Histrica

    No sculo XVIII, James Watt construiu um controlador centrfugo para o controlede velocidade de uma mquina a vapor;

    Prof. Jos Juliano de Lima Jr.

  • 2 Introduo aos Sistemas de Controle

    Em 1922, Minorsky trabalhou em controladores automticos para pilotar naviose mostrou como poderia determinar sua estabilidade a partir da representao dosistema atravs de equaes diferenciais;

    Em 1932, Nyquist desenvolveu um procedimento relativamente simples para deter-minar a estabilidade de sistema a malha fechada com base na resposta estacionriade sistemas a malha aberta a excitaes senoidais;

    Em 1934, Hazen discutiu o projeto de servomecanismo a rel capaz de seguir, demuito perto, uma excitao varivel no tempo;

    Durante a dcada de 1940, os mtodos de resposta em frequncia tornaram possvelaos engenheiros projetar sistemas de controle a malha fechada satisfazendo requisitosde desempenho;

    No final da dcada de 1940 at o incio dos anos