Apostila juliano eme905

UNIVERSIDADE FEDERAL DE DE ITAJUBÁ

INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

NOTAS DE AULA DE EME12

Controle de Sistemas Mecânicos

Autor: Prof. Dr. José Juliano de Lima Junior

08/2007

Sumário

1 Introdução aos Sistemas de Controle 11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Revisão Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Exemplos de Sistemas de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1 Sistema de Controle de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.2 Sistema de Controle de Nível de Líquido . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.3 Configuração de um Sistema de controle de retroação . . . . . . . . 41.4.4 Sistema de Controle de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Transformada de Laplace 72.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 A Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Pólos e Zeros de X(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Transformada de Laplace de Sinais Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Função Impulso Unitário δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2 Função Degrau Unitário u(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3 Pares de Transformada de Laplace de Sinais Comuns . . . . . . . . 10

2.4 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.2 Deslocamento no Tempo (Time Shifting) . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.3 Deslocamento no Domínio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.4 Escalonamento no tempo (time Scaling) . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.5 Reverso do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.6 Diferenciação no Domínio do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.7 Diferenciação no Domínio de s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.8 Integração no Domínio do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.9 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.1 Fórmula de Inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.2 Uso de Tabelas de Pares de Transformada de Laplace . . . . . . . . 14

Prof. José Juliano de Lima Jr.

ii SUMÁRIO

2.5.3 Expansão em Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 A função do Sistema ou Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6.1 Função do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6.2 Caracterização de um Sistema LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6.3 Função do Sistema para um Sistema LTI Descrito por Equações

Diferenciais Lineares de Coeficiente Constantes . . . . . . . . . . . 202.6.4 Interconexões entre Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Análise Dinâmica de Processos 253.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Modelo Matemático Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1 Solução de um sistema com excitação harmônica . . . . . . . . . . . 293.3 Modelagem no Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Sistemas de Ordem Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5.1 Outras formas de representar o sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5.2 Exemplo de sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.3 Constante de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6 Sistemas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6.1 Outras formas de representar o sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6.2 Exemplos de sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . 473.6.3 Combinação de dois sistemas de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . 51

3.7 Linearização de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7.1 Aproximação linear de modelos matemáticos não-linear - Função de

uma Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7.2 Aproximação linear de modelos matemáticos não-linear - Função de

duas Entradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7.3 Exemplo de Linearização de uma Equação Não-Linear . . . . . . . . 56

4 Modelos Matemáticos de Sistemas 594.1 Sistema de Nível de Líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


Lista de Figuras

1.1 Sistema de Controle de Velocidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Sistema de Controle de Nível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Diagrama de Blocos do Sistema de Nível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Sistema de Controle com Realimentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Sistema de Controle de Temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Diagrama de Blocos do Sistema de Controle de Temperatura. . . . . . . . . 51.7 Evolução da temperatura após um incremento r no valor da referência da

temperatura para: (a) K=10 e atraso=0,1; (b) K=1 e atraso=0,1; (c) K=10e atraso=0,025. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Representação no Plano s de X(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Função Transferência do Sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Sistema em Série no Domínio de t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Sistema em Série no Domínio de s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Sistema em Paralelo no Domínio de t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Sistema em Paralelo no Domínio de s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1 Sistema de 1a Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Função Transferência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Modelo de Estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Nível de Líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Comparação entre as Respostas da Equação do Sistema de Nível de Lí-

quido Não-Linear e Linearizada - hss: resposta em regime permanente; h0:altura do nível em regime permanente; ∆Qi: pequena variação na vazão deentrada; Qi0: vazão de regime permanente; ∆h: pequena variação do nívele ∆Qi

Qi0≤ 0, 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.6 Linearizãção da Curva Q0(t)×H(t) em torno do ponto (H,Q). . . . . . . . 383.7 Sistema de Aquecimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.8 Curva de Resposta com Excitação Degrau Unitário - Constante de Tempo. 423.9 Função Transferência de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . . . . . 463.10 Modelo de Estados de Espaço de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . 47


iv LISTA DE FIGURAS

3.11 Diagrama de Blocos de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . . . . . . 473.12 Sistema Massa-Mola com Excitação Impulso Unitário. . . . . . . . . . . . . 483.13 Redutor de Velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.14 Sistemas de 1a Ordem Gerando um Sistema de 2a. Ordem; sem e com

efeito de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.15 Sistemas de 2a. Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.16 Resposta da Vazão a uma Excitação Degrau de Reservatórios em Série c/

e s/ Interação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1 Nível de Líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Vazão de Saída em Regime Estacionário em Função da Pressão da Altura

da Coluna de Líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


Capítulo 1

Introdução aos Sistemas de Controle

1.1 Introdução

O controle automático tem desempenhado um papel vital no avanço da engenharia,com aplicações em:

• Veículos espaciais;

• Sistema de guiamento de mísseis;

• Sistemas robóticos;

• Processos industriais e

• Sistemas de manufatura - máquinas ferramentas de comando numérico.

A teoria de controle e os sistemas de controle automático propiciam meios para atingir:

• Desempenho ótimo de sistemas dinâmicos;

• Melhoria na produtividade e

• Alívio de trabalho enfadonho de muitas operações manuais repetitivas e muito mais.

Os engenheiros e cientistas, em sua maioria, devem possuir um bom conhecimentodeste campo.

1.2 Revisão Histórica

• No século XVIII, James Watt construiu um controlador centrífugo para o controlede velocidade de uma máquina a vapor;


2 Introdução aos Sistemas de Controle

• Em 1922, Minorsky trabalhou em controladores automáticos para pilotar naviose mostrou como poderia determinar sua estabilidade a partir da representação dosistema através de equações diferenciais;

• Em 1932, Nyquist desenvolveu um procedimento relativamente simples para deter-minar a estabilidade de sistema a malha fechada com base na resposta estacionáriade sistemas a malha aberta a excitações senoidais;

• Em 1934, Hazen discutiu o projeto de servomecanismo a relé capaz de seguir, demuito perto, uma excitação variável no tempo;

• Durante a década de 1940, os métodos de resposta em frequência tornaram possívelaos engenheiros projetar sistemas de controle a malha fechada satisfazendo requisitosde desempenho;

• No final da década de 1940 até o início dos anos 50 desenvolveu-se completamenteo método do lugar das raízes graças a Evans (Teoria Clássica de Controle - SISO);

• A partir de 1960, com a disponibilidade dos computadores digitais, tornou-se pos-sível a análise no domínio do tempo de sistemas complexos (Teoria Moderna deControle - MIMO - variáveis de estados);

• Durante o período de 1960 a 1980, foram investigados os controles ótimos de sistemasdeterminísticos e estocásticos bem como o controle adaptativo e o controle comaprendizado;

• De 1980 aos dias de hoje, os desenvolvimentos na teoria moderna de controle têmse concentrado no controle robusto, no controle H∞ e tópicos associados.

1.3 Definições

Variável controlada: é a grandeza ou a condição que é medida e controlada. É normal-mente a variável de saída do sistema.

Variável manipulada: é a grandeza ou condição variada pelo controlador de modo aafetar o valor da variável controlada.

Distúrbio: é caracterizado por um sinal que tende a afetar de modo adverso o valor davariável de saída de um sistema.

Sistema: é uma combinação de componentes que agem juntos e constituem um conjuntopara atingir objetivos.


1.4 Exemplos de Sistemas de Controle 3

Controle por Realimentação: é uma operação que na presença de perturbações, tendea reduzir a diferença entre a saída do sistema e a entrada de referência.

Sistema de controle por realimentação: é aquele que tende a manter uma relaçãopré-determinada entre saída e entrada pela comparação destas e é empregando adiferença como meio de controle.

Servomecanismo: é um sistema de controle por realimentação em que a saída é: posiçãomecânica, velocidade ou aceleração.

Sistema Regulador Automático: é um sistema de controle por realimentação em quea entrada (referência) ou a saída é sempre constante.

Sistema de controle de processo: é um sistema de regulador automático em que asaída é uma variável como: temperatura, pressão, fluxo, nível de líquido ou pH.

Sistema de Controle por Malha Fechada (closed loop): é aquele em que o sinalde saída tem uma atuação direta sobre a ação controle

Sistema de Controle por Malha Aberta (open loop): é aquele em que a saída nãotem efeito sobre a ação de controle.

1.4 Exemplos de Sistemas de Controle

1.4.1 Sistema de Controle de Velocidade

O princípio básico do regulador de Watt para controlar a velocidade de um motor decombustão interna é ilustrado no diagrama esquemático da figura (1.1). A quantidade decombustível admitida no motor é ajustada de acordo com a diferença entre a velocidadedesejada e a velocidade real do motor.

Figura 1.1: Sistema de Controle de Velocidade.



1.4.2 Sistema de Controle de Nível de Líquido

A figura (1.2) mostra um sistema automático de controle de nível onde a vazão deentrada do fluido no reservatório é controlada em função do nível do reservatório atravésde um sistema de medição de nível, cuja leitura é enviada ao controlador, que envia osinal de controle a válvula pneumática de controle de vazão.

Figura 1.2: Sistema de Controle de Nível.

A figura (1.3) apresenta o diagrama de blocos correspondente ao sistema de controlede nível apresentado na figura(1.2).

Figura 1.3: Diagrama de Blocos do Sistema de Nível.

1.4.3 Configuração de um Sistema de controle de retroação

A figura (1.4) apresenta a estrutura de um sistema de controle automático por retro-ação. A retroação provê, um sistema, com a capacidade de se adaptar as variações doambiente. Quando a refer encia é um sinal normalmente constante, se está diante de umsistema regulador. Se a referência é variável, como acontece, por exemplo, em um radarde rastreamento de aeronaves, se está ante a um servossistema.

Figura 1.4: Sistema de Controle com Realimentação.


1.4 Exemplos de Sistemas de Controle 5

1.4.4 Sistema de Controle de temperatura

Na figura (1.5) apresenta-se um sistema cujo objetivo é manter a temperatura de umaestufa num valor preestabelecido. A estufa é aquecida à custa de uma circulação forçadade ar quente, cuja velocidade é determinada por um ventilador.

Figura 1.5: Sistema de Controle de Temperatura.

Em virtude da velocidade finita de circulação de ar quente, qualquer variação detemperatura no queimador será detectada pelo termômetro colocado na estufa, apenas L/v

segundos mais tarde (L é o comprimento da tubulação e v velocidade do ar na tubulação).Se, no instante t = 0, a referência for incrementada de r, o erro sofrerá imediatamente esseacréscimo e manter-se-á nesse valor durante L/v segundos, começando então a diminuir,e acabando por mudar de sinal num instante posterior, que designar-se-à por tc.

Figura 1.6: Diagrama de Blocos do Sistema de Controle de Temperatura.

Quando isso acontece, o controlador ordena a redução do calor fornecido a estufa.Contudo, isso só se fará semtir também L/v segundos mais tarde. Até lá, o ar que foiatravessando a estufa transportou mais calor do que o necessário, pelo que a temperaturada estufa no instante tc + L/v estará acima do valor desejado. Consequentemente, omesmo padrãp irá se repetir, mas agora com o sinal contrário, e assim sucessivamente. Atemperatura oscilará com período aproximado de 4L/v, conforme ilustrado na figura (1.7)curva (a). Reduzindo o valor de K (procedimento cauteloso), figura (1.6), pode-se evitaras oscilações - mas à custa da precisão e velocidade de resposta. Este fato é patente na



curva (b) da figura (1.7), onde se pode ver a temperatura convergir muito lentamente, ede forma monótona, para um valor mais baixo.

Figura 1.7: Evolução da temperatura após um incremento r no valor da referência da tem-peratura para: (a) K=10 e atraso=0,1; (b) K=1 e atraso=0,1; (c) K=10 e atraso=0,025.

Numa tentativa de conseguir uma resposta que fosse simultameamente rápida e precisa,quadriplicou-se a velocidade do ar, fixando-se o ganho no mesmo valor da curva (a). Istoresultou numa melhoria drástica do desempenho conforme se constata da curva (c).


Capítulo 2

Transformada de Laplace

2.1 Introdução

A Transformada de Laplace é uma das mais importantes ferramentas disponíveis paraa análise e projeto de sistemas lineares. É um método operacional que pode ser usadovantajosamente par resolver equações diferenciais lineares invariantes no tempo. Suavantagem principal é que a diferenciação de uma função no tempo corresponde a multipli-cação da transforma por uma variável complexa s, e assim a equação diferencial no tempotorna-se uma equação algébrica em s. A solução da equação diferencial pode ser entãoencontrada usando uma tabela de transformada de Laplace ou pela técnica da expan-são em frações parciais. Outra vantagem da Transformada de Laplace é que ao resolvera equação diferencial, as condições iniciais são automaticamente levadas em conta, e assoluções particular e complementar são obtidas simultaneamente.

2.2 A Transformada de Laplace

A função X(s) na equação (2.1) é chamada de transformada de Laplace de x(t). Parax(t) contínuo no tempo, a transformada de Laplace é definida como:

X(s) =

∞∫

−∞

x(t)e−stdt (2.1)

A variável s é geralmente complexa e expressa como:

s = σ + jω (2.2)

A transformada de Laplace definida na equação (2.1) é freqüentemente chamada de


8 Transformada de Laplace

Transformada de Laplace Bilateral (ou de dois lados) em contraste com a seguinte defini-ção:

XI(s) =

∞∫

0−

x(t)e−stdt (2.3)

onde

0− = limε→0

(0− ε)

Claramente a transformadas bilateral e unilateral são equivalentes somente se x(t) = 0

para t < 0.A equação (2.1) é algumas vezes considerada um operador que transforma um sinal

x(t) em uma função X(s), simbolicamente representada por:

X(s) = L {x(t)} (2.4)

e o sinal x(t) e sua transformada de Laplace X(s) são ditas que formam um par datransformada de Laplace, escrita como:

x(t) ↔ X(s) (2.5)

2.2.1 Pólos e Zeros de X(s)

Normalmente X(s) é uma função racional em s, isto é:

X(s) =b0s

m + b1sm−1 + ... + bm

a0sn + a1sn−1 + ... + an

=b0(s− z1)...(s− zm)

a0(s− p1)...(s− pn)(2.6)

Os coeficientes ak e bk são constantes reais, e m e n são inteiros positivos. X(s) échamada de função racional própria se n > m e imprópria se n ≤ m.

As raízes do polinômio do numerador, zk, são chamadas de zeros de X(s), porqueX(s) = 0 para esses valores do s. Da mesma maneira, as raízes do polinômio do denomi-nador, pk, são chamadas de pólos de X(s), porque X(s) é infinito para esses valores des.

Exceto por um fator de escala b0/a0, X(s) pode ser completamente especificado pelosseus pólos e zeros.


2.3 Transformada de Laplace de Sinais Comuns 9

Assim, uma representação muito compacta de X(s) no plano s é mostrar a localizaçãodos pólos e zeros em conjunto com a ROC.

Tradicionalmente, um “x” é usado para indicar cada localização do pólo e “o” paraindicar cada zero.

Por exemplo, se

X(s) =2s + 4

s2 + 4s + 3= 2

(s + 2)

(s + 1) (s + 3)Re(s) > −1

Observe que X(s) tem um zero para s = −2 e dois pólos s = −1 e s = −3 com fatorde escala de 2.

Figura 2.1: Representação no Plano s de X(s).

2.3 Transformada de Laplace de Sinais Comuns

2.3.1 Função Impulso Unitário δ(t)

Com auxílio das equações (2.7) e (2.8) temos:

X(s) =

∞∫

−∞

x(t)e−stdt (2.7)

∞∫

−∞

φ(t)δ(t)dt = φ(0) (2.8)

tem-se:



L {δ (t)} =

∞∫

−∞

δ (t) e−stdt = 1 ∀ s (2.9)

2.3.2 Função Degrau Unitário u(t)

A transformada de Lapace de u(t) é dada pela equação (2.10), como:

L {u (t)} =

∞∫

−∞

u (t) e−stdt =

∞∫

0+

e−stdt = − 1

se−st

∣∣∣∣∞

0+

=1

sRe(s) > 0 (2.10)

onde 0+ = lim (0 + ε)ε→0

2.3.3 Pares de Transformada de Laplace de Sinais Comuns

Na tabela 2.1 são apresentados alguns pares de transformada de Laplace com as res-pectivas regiões de convergência.

Tabela 2.1: Pares de Algumas Transformadas de Laplace.x(t) X(s) ROCδ(t) 1 ∀ su(t) 1

sRe(s) > 0

−u(−t) 1s

Re(s) < 0tu(t) 1

s2 Re(s) > 0tku(t) k!

sk + 1 Re(s) > 0e−atu(t) 1

s + aRe(s) > - Re(a)

−e−atu(−t) 1s + a

Re(s) < - Re(a)te−atu(t) 1

(s + a)2Re(s) > - Re(a)

−te−atu(−t) 1(s + a)2

Re(s) < - Re(a)cos ω0tu(t) s

s2+ω20

Re(s) > 0senω0tu(t) ω0

s2+ω20

Re(s) > 0e−at cos ω0tu (t) s +a

(s + a)2 + ω20

Re(s) >– Re(a)e−at senω0 t u (t) ω0

(s + a )2 + ω20

Re(s) > - Re(a)

2.4 Propriedades da Transformada de Laplace

As principais propriedades são apresentadas a seguir:


2.4 Propriedades da Transformada de Laplace 11

2.4.1 Linearidade

Se

x1(t) ↔ X1(s) com ROC = R1


então

a1x1(t) + a2x2(t) ↔ a1X1(s) + a2X2(s) R′ ⊃ R1 ∩ R2 (2.11)

A ⊃ B ⇒ que A contém B e A ∩ B ⇒ A interseção com B.

2.4.2 Deslocamento no Tempo (Time Shifting)

Se

x(t) ↔ X(s) com ROC = R

então

x(t− t0) ↔ e−st0X(s) com R′ = R (2.12)

A equação (2.12) indica que a ROC antes e depois da operação de deslocamento notempo são as mesmas.

2.4.3 Deslocamento no Domínio s

Se


então

es0 t x(t) ↔ X(s − s0) com R′ = R + Re(s0) (2.13)



2.4.4 Escalonamento no tempo (time Scaling)

Se


então

x(at) ↔ 1

|a| X(s

a

)com R′ = aR (2.14)

A equação (2.14) indica que um escalonamento de variável do tempo t por um fator a

causa um escalonamento inverso de variável s por 1/a, como também, um escalonamentoda amplitude de X(s/a) por 1/|a|.

2.4.5 Reverso do Tempo

Se


então

x (−t) ↔ X(−s) com R′ = −R (2.15)

Assim, um reverso no tempo x(t) produz um reverso de ambos os eixos σ- e jω− noplano s. A equação (2.15) é realmente obtida fazendo a = −1 na equação(2.14).

2.4.6 Diferenciação no Domínio do Tempo

Se


então

dx(t)

dt↔ sX(s)− x(0±) R′ ⊃ R (2.16)

d2x(t)

dt2↔ s2X(s)− sx(0±)− x(0±) R′ ⊃ R (2.17)

O efeito da diferenciação no tempo é a multiplicação da correspondente transformadade Laplace por s. A ROC associada é inalterada a menos que exista um cancelamentodos pólos e zeros em s = 0.


2.4 Propriedades da Transformada de Laplace 13

2.4.7 Diferenciação no Domínio de s

Se


então

− tx(t) ↔ dX(s)

dsR′ = R (2.18)

2.4.8 Integração no Domínio do Tempo

Se


então

t∫

0+

x(τ) dτ ↔ 1

sX(s) R′ = R ∩ {Re (s) > 0} (2.19)

2.4.9 Convolução

Se



então

x1(t) ∗ x2(t) ↔ X1(s)X2(s) com R′ ⊃ R1 ∩ R2 (2.20)

Essa propriedade de convolução é uma regra importante na analise e projeto de siste-mas LTI contínuos no tempo.



Tabela 2.2: Propriedades da Transformada de Laplace.Propriedade Sinal Transformada ROC

x(t) X(s) Rx1(t) X1(s) R1

x2(t) X2(t) R2

Linearidade a1x1(t) + a2x2(t) a1X1(s) + a2X2(s) R′ ⊃ R1 ∩R2

Deslocamento no Tempo x(t− t0) e−st0X(s) R′= R

Deslocamento em s es0tx(t) X(s− s0) R′= R + Re(s0)

Escalonamento no Tempo x(at) 1|a|X(s) R

′= aR

Reverso no Tempo x(−t) X(−s) R′= −R

Diferenciação em t dx(t)dt

sX(s)− x(0±) R′ ⊃ R

Diferenciação em s −tx(t) dX(s)ds

R′= R

Integraçãot∫

0+

x(τ)dτ 1sX(s) R

′ ⊃ R ∩ {Re(s) > 0}Convolução x1 ∗ x2 X1(s)X2(s) R

′ ⊃ R1 ∩R2

2.5 Transformada Inversa de Laplace

A inversão da transformada do Laplace para encontrar o sinal x(t) através de suatransformada X(s) é chamada de Transformada inversa de Laplace e é simbolicamenteescrita como:

x(t) = L −1{X(s)} (2.21)

2.5.1 Fórmula de Inversão

Existe um procedimento que é aplicável a todas as classes de transformada de funçõesque envolvem o cálculo da integral de linha no plano complexo, isto é,

x(t) =1

2πj

∫ c + j∞

c− j∞X(s) estds (2.22)

Nesta integral, o c é escolhido como real, tal que se a ROC do X(s) é σ1 < Re(s) < σ2,então σ1 < c < σ2

O cálculo da integral da transformada inversa requer um conhecimento de teoria devariáveis complexas.

2.5.2 Uso de Tabelas de Pares de Transformada de Laplace

No segundo método para inversão de X(s), nós temos que expressar X(s) como umasoma


2.5 Transformada Inversa de Laplace 15

X(s) = X1(s) + X2(s) + ... + Xn(s) (2.23)

onde X1(s), X2(s),...,Xn(s) são funções com transformadas inversas conhecidas x1(t),x2(t),...,xn(t).

Da propriedade de linearidade (2.11) segue que:

x(t) = x1(t) + x2(t) + ... + xn(t) (2.24)

2.5.3 Expansão em Frações Parciais

Se X(s) é uma função racional, isto é da forma:

X(s) =N (s)

D (s)= k

(s − z1) ... (s − zm)

(s − p1) ... (s − pn)(2.25)

Uma técnica simples baseada na expansão das frações parciais pode ser usada para ainversão do X(s).

a. Quando X(s) é uma função racional própria, isto é, m < n

• Pólo Simples

Se todos os pólos de X(s), isto é, todos os zeros de D(s), são simples (oudistintos), então X(s) pode ser escrito como:

X(s) =c1

s − p1

+ ... +cn

s − pn

(2.26)

onde os coeficientes ck são dados por:

ck = (s − pk) X (s)|s = pk(2.27)

Por exemplo:

X (s) =2s + 4

s2 + 4s + 3= 2

(s + 2)

(s + 1) (s + 3)=

c1

s + 1+

c2

s + 3



c1 = (s + 1) X (s) |s =− 1 =2 (s + 2)

(s + 3)|s =− 1 =

2 (− 1 + 2)

(− 1 + 3)=

2

2= 1

c2 = (s + 3) X (s) |s =− 3 =2 (s + 2)

(s + 1)|s =− 3 =

2 (− 3 + 2)

(− 3 + 2)=− 2

− 2= 1

então:

X (s) =1

s + 1+

1

s + 3Re(s) > - 1

x (t) = e− t u (t) + e− 3 t u (t) =(e− t + e− 3 t

)u (t)

x(t) =(e−t + e−3t

)u(t)

• Múltiplos Pólos

Se D(s) tem múltiplas raízes, isto é, se ele contém fatores na forma (s− pi)r

diz-se que pi é o pólo múltiplo de X(s) com multiplicidade r.

Então a expansão do X(s) irá consistir dos termos na forma, com n pólos nãorepetidos e r pólos repetidos:

X(s) =c1

s− p1

+ . . .+cn

s− pn

+λ1

s− pi

+λ2

(s− pi)2 + ... +

λr

(s− pi)r (2.28)

onde

λr−k =1

k!

dk

dsk[(s− pi)

r X(s)]

∣∣∣∣∣ s = pi; k = 0, . . . , r − 1(2.29)

Por exemplo:

X(s) =s2 + 2s + 5

(s + 3)(s + 5)2=

c1

s + 3+

λ1

s + 5+

λ2

(s + 5)2


2.5 Transformada Inversa de Laplace 17

onde:

c1 = (s + 3)X(s) |s=−3 =s2 + 2s + 5

(s + 5)2|s=−3 =

9− 6 + 5

(−3 + 5)2=

8

4= 2

Fazendo r = 2 e k = 0 tem-se:

λ2 =1

0!

d0

ds0

[(s + 5)2X(s)

]s=−5

=s2 + 2s + 5

s + 3|s=−5 =

25− 10 + 5

−2= −10

Fazendo r = 2 e k = 1 tem-se:

λ1 =1

1!

d

ds

[(s + 5)2X(s)

]s=−5

=d

ds

[s2 + 2s + 5

s + 3

]

s=−5

=

[(2s + 2)(s + 3)− (s2 + 2s + 5)1

(s + 3)2

]

s=−5

=25− 30 + 1

4= −1

Logo

X(s) =2

s + 3− 1

s + 5− 10

(s + 5)2Re(s) > −3

x(t) = 2e−3tu(t)− e−5tu(t)− 10te−5tu(t) =[2e−3t − e−5t − 10te−5t

]u(t)

b. Quando X(s) é uma função racional imprópria, isto é, m ≥ n

Se m ≥ n, por várias divisões podemos escrever X(s) na forma:

X (s) =N (s)

D (s)= Q (s) +

R (s)

D (s)(2.30)

onde N(s) é o numerador e D(s) o denominador, os quais são polinômios em s deX(s).

O quociente Q(s) é um polinômio em s com grau m−n, o resto R(s) é um polinômioem s com grau estritamente menor de n.



A transformada inversa de Laplace do X(s), então pode ser determinada pela trans-formada inversa do Q(s) e de R(s)/D(s), com R(s)/D(s) são funções polinomiaispróprias.

A transformada inversa de Laplace de Q(s) pode ser calculada usando o par detransformada:

dkδ (t)

dtk↔ sk k = 1, 2, 3... (2.31)

2.6 A função do Sistema ou Função de Transferência

2.6.1 Função do Sistema

Sabe-se que a saída y(t) de um sistema LTI contínuo no tempo é igual a convoluçãode entrada x(t) com a resposta impulsiva h(t), isto é,

y(t) = x(t) ∗ h(t) (2.32)

Aplicando a propriedade de convolução, equação (2.20), obtém-se:

Y (s) = X(s)H(s) (2.33)

onde Y (s), X(s) e H(s) são as transformadas de Laplace de y(t), x(t) e h(t) respectiva-mente.

A equação (2.33) pode ser expressa como:

H(s) =Y (s)

X(s)(2.34)

A transformada de Laplace H(s) de h(t) é chamada de Função do Sistema ou FunçãoTransferência do Sistema.

Pela equação (2.34), a função do sistema H(s) pode ser definida como a razão entretransformada de Laplace da saída y(t) e a transformada de Laplace de entrada x(t).A função do sistema H(s) caracteriza completamente o sistema, porque a resposta aoimpulso h(t) caracteriza completamente o sistema.


2.6 A função do Sistema ou Função de Transferência 19

Figura 2.2: Função Transferência do Sistema.

2.6.2 Caracterização de um Sistema LTI

Muitas propriedades de um sistema LTI contínuo no tempo são diretamente associadascom as características de H(s) nos plano s, em particular com a localização de pólos daROC (relação entre causa e efeito).

Causalidade

Para um sistema LTI contínuo no tempo, temos:

h(t) = 0 t < 0 (2.35)

Como h(t) é um sinal colocado à direita (right-sided), o requisito correspondente deH(s) é que a sua ROC deve ser da forma:

Re(s) > σmax (2.36)

Isto é, a ROC é a região no plano s à direita de todos os pólos do sistema.

Da mesma forma, se o sistema é anticausal, então

h(t) = 0 t > 0 (2.37)

e h(t) é um sinal colocado à esquerda. Assim, a ROC de H(s) deve ser de forma:

Re(s) < σmin (2.38)

Isto é, a ROC é a região no plano s à esquerda de todos os pólos do sistema.



Estabilidade

Um sistema LTI contínuo no tempo é BIBO estável se e somente se:

∫ ∞

−∞|h(t)|dt < ∞ (2.39)

A exigência correspondente sobre H(s) é que a ROC de H(s) contém o eixo jω, isto,s = jω.

Sistema Causal e Estável

Se o sistema é causal e estável, então todos os pólos de H(s) devem ficar na metadeesquerda do plano s; isto é, todos possuem parte real negativa porque a ROC é da formaRe(s) > σmax e desde que o eixo jω está incluído na ROC, nós devemos ter σmax < 0.

2.6.3 Função do Sistema para um Sistema LTI Descrito por Equa-

ções Diferenciais Lineares de Coeficiente Constantes

Considera-se um sistema LTI contínuo no tempo para o qual a entrada x(t) e a saíday(t) satisfazem a equação diferencial linear de coeficientes constantes na forma:

N∑

k =0

akdk y(t)

dtk=

M∑

k =0

bkdk x (t)

dtk(2.40)

Aplicando a transformada de Laplace e usando a propriedade de diferenciação, equação(2.16), da transformada de Laplace, obtemos:

N∑

k =0

ak sk Y (s) =M∑

k =0

bk sk X(s)

ou

Y (s)N∑

k =0

ak sk = X(s)M∑

k =0

bk sk (2.41)

Assim



H(s) =Y (s)

X(s)=

M∑k =0

bk sk

N∑k =0

ak sk

(2.42)

Conseqüentemente H(s) é sempre racional. A ROC de H(s) não foi especificada pelaequação (2.42) mas deve ser determinada com exigências adicionais sobre o sistema comoa causalidade ou estabilidade.

Por exemplo:Encontre a solução x(t) da equação diferencial

x(t) + 3x(t) + 2x(t) = 0, x(0) = a, x(t) = b

onde a e b são constantes.Aplicando a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial, tem-se:

L {x(t)} = sX(s)− x(0)

L {x(t)} = s2 − sx(0)− x(0)

Então a Transformada de Laplace da equação diferencial, é:

[s2X(s)− sx(0)− x(0)

]+ 3 [sX(s)− x(0)] + 2X(s) = 0

Substituindo as condições iniciais dadas, vem:

[s2X(s)− as− b

]+ 3 [sX(s)− a] + 2X(s) = 0

ou

(s2 + 3s + 2

)X(s) = as + b + 3a

Resolvendo esta última equação para X(s), tem-se:



X(s) =as + b + 3a

s2 + 3s + 2=

as + b + 3a

(s + 1)(s + 2)=

2a + b

s + 1− a + b

s + 2

A transformada inversa de Laplace de X(s) é:

x(t) = L −1{X(s)} = L −1

{2a + b

s + 1

}−L −1

{a + b

s + 2

}

= (2a + b)e−t − (a + b)e−2t

Então a solução é:

x(t) = (2a + b)e−t − (a + b)e−2t t ≥ 0

x(t) =[(2a + b)e−t − (a + b)e−2t

]u(t)

2.6.4 Interconexões entre Sistemas

Para dois sistemas LTI, com h1(t) e h2(t), respectivamente, em cascata, a resposta aoimpulso global h(t) é dada por:

h(t) = h1(t) ∗ h2(t)

Assim as funções do sistema correspondentes são relacionadas pelo produto:

H(s) = H1(s)H2(s) (2.43)

Figura 2.3: Sistema em Série no Domínio de t.



Figura 2.4: Sistema em Série no Domínio de s.

De forma similar, a resposta ao impulso da combinação em paralelo de dois sistemasLTI é dada por:

h(t) = h1(t) + h2(t)

Assim,

H(s) = H1(s) + H2(s) (2.44)

Figura 2.5: Sistema em Paralelo no Domínio de t.

Figura 2.6: Sistema em Paralelo no Domínio de s.




Capítulo 3

Análise Dinâmica de Processos

3.1 Introdução

Com o objetivo de estudar o comportamento da dinâmica de um processo, visto que, demaneira geral as características dinâmicas são mais importantes do que as característicasestáticas, pois estas últimas apresentam respostas invariantes no tempo, lança-se mão dasequações diferencais lineares ordinárias.

3.2 Modelo Matemático Geral

A equação diferencial linear com coeficientes constantes é a ferramenta mais utilizadapara representar matematicamente os sistemas de engenharia, como por exemplo, os queaparecem na:

• teoria da vibração;

• teoria dos circuitos elétricos;

• teoria de controle automático e outros.

É necessário estabeler a relação entre um determinado sinal de entrada (input) e umsinal de saída (output). A entrada pode ser desejável, modificadora ou indesejável.

Adotando algumas hipóteses simplificadoras, pode-se escrever:

andny(t)

dtn+ an−1

dn−1y(t)

dtn−1+ . . . + a1

dy(t)

dt+ a0y(t) = bm

dmu(t)

dtm+ . . . + b0u(t) (3.1)

onde: u(t) é a quantidade de entrada ou excitação do sistema, y(t) a quantidade de saídaou resposta do sistema, ai e bi são coeficientes invariantes ao longo do tempo e t o tempo.

Para simplificar a escrita é conveniente definir o operador diferencial, como sendo:


26 Análise Dinâmica de Processos

D =d

dt(3.2)

Logo a equação ( 3.1 ) pode ser escrita na seguinte forma:

(anD

n + an−1Dn−1 + . . . + a1D + a0

)y(t) = (bmDm + . . . + b1D + b0) u(t) (3.3)

A solução completa para este tipo de equação diferencial ordinária linear é a soma dassoluções complementar e particular e pode ser obtida usando a Transformada de Laplace.

y(t) = yh(t) + yp(t) (3.4)

A solução complementar ou homogênea ou resposta à excitação nula ou resposta na-tural ou resposta transitória ou resposta livre tem n constantes arbitrárias determinadaspelas condições iniciais.

A solução particular ou resposta forçada não depende das condições iniciais e não temconstantes arbitrárias.

Quando o sistema possui uma entrada diferente de zero, ou seja, existe uma excitaçãoexterna, é comum considerar as condições iniciais nulas, e nesse caso a resposta forçada étambém chamada de resposta de estado nulo.

Para encontrar a solução complementar deve-se resolver a equação homegênea:

(anD

n + an−1Dn−1 + . . . + a1D + a0

)y(t) = 0 (3.5)

Tomando-se a liberdade matemática de considerar o operador D como uma variávellivre, deve-se encontrar as raízes do polinônio:

anDn + an−1D

n−1 + . . . + a1D + a0 = 0 (3.6)

Este polinômio é chamado de polinômio caracterísitco do sistema ou equação caracte-rística, e suas raízes são também chamada de pólos ou autovalores do sistema.

A equação carcterística é portanto uma equação básica que descreve o comportamentodo sistema.

A solução da equação homogênea, (3.5), é da forma:


3.2 Modelo Matemático Geral 27

yh(t) = Ceλt (3.7)

onde: C e λ são constantes.Substituindo a solução (3.7) na equação (3.6) pode-se determinar as n raízes λ’s e

escrever a solução complementar:

yh(t) = C1eλ1t + C2e

λ2t + . . . + Cneλnt (3.8)

Dependendo dos valores das raízes λ, tem-se:

a. raízes reais e distintas

A soluçao tem a forma:


λ2t + . . . + Cneλnt (3.9)

Por exemplo: se as raízes são: −1, 2; 3, 4; −0, 4 e 0, então a resposta é: yh(t) =

C1e−1,2t + C2e

3,4t + C3e−0,4t + C4.

b. raízes reais repetidas

Para cada raiz k que aparece r vezes, a parcela correspondente da solução é escritacomo:

(C1 + C2t + C3t

2 + . . . + Crtr−1

)ekt (3.10)

Por exemplo: se as raízes são: −1; −1; 4; 4 e 10 então a solução é: yh(t) =

(C1 + C2t) e−t + (C3 + C4t) e4t + C5e10t.

c. raízes complexas distintas

Cada raiz complexa tem a sua cojugada; Para a ± ib a parcela correspondente dasolução é:

Ceatsen(bt + φ) (3.11)



sendo C e φ constantes arbitrárias.

Por exemplo: se as raízes são 4±5i; −4±7i, 5 e 4 a solução é: yh(t) = C1e4tsen(5t+

φ1) + C2e−4tsen(7t + φ2) + C3e

5t + C4e4t.

d. raízes complexas repetidas

Para cada raiz (a± ib) que aparece r vezes, tem-se a aparcela da solução:

C1eatsen(bt + φ1) + C2e

attsen(bt + φ2) + . . .

+Cr−1eattr−2sen(bt + φr−1) + Cre

attr−1sen(bt + φr) (3.12)

Por exemplo: se as raizes são: −1 ± 4i; −1 ± 4i; −9 e 0 a solução é: yh(t) =

C1e−tsen(4t + φ1) + C2e

−tt sen(4t + φ2) + C3e−9t + C4

A solução particular não tem um método que resolva todos os casos. Essa soluçãodepende da forma da função de entrada u(t) ou função forçante.

Se u(t) for restrito às funções normais de engenharia, a solução particular yp(t) pode serobtida por um método relativamente simples: o método dos coeficientes indeterminados.

Esse método não funciona para todos os casos, e então, é precisso testar se a funçãou(t) é passível de solução.

Existem três possibilidades:

a. após uma determinada ordem de derivação, as derivadas superiores se anulam;

b. após uma determinada ordem de derivação, as derivadas superior têm a mesmaforma funcional do que as derivadas inferiores;

c. após repetidas derivações continuam aparecer novas formas funcionais.

O método dos coeficientes indeterminados não funciona para o terceiro caso.Se o método é aplicável a solução yp(t) é imediatamente escrita como:

yp(t) = Af(t) + Bf ′(t) + Cf ′′(t) + . . . (3.13)

onde o lado direito inclui um termo para cada forma funcional diferente verificada emtodas as derivadas de f(t).

Substituindo a equação (3.13) na equação (3.3) tem-se um sistema de equações simul-tâneas em número igual ao número de incógnitas A, B, C, etc.


3.2 Modelo Matemático Geral 29

3.2.1 Solução de um sistema com excitação harmônica

Seja a equação diferencial:

a2d2y(t)

dt2+ a1

dy(t)

dt+ a0y(t) = u(t)

Se u(t) for uma função forçante harmônica do tipo:

u(t) = F0 cos ωdrt

A solução segundo a equação (3.13) é do tipo:

yp(t) = A cos ωdrt + Bsenωdrt

A equação diferencial que descreve o comportamento de um sistema massa, mola eamortercedor com excitação harmônica é:

md2y(t)

dt2+ c

dy(t)

dt+ ky(t) = F0 cos ωdrt

Dividindo essa equação diferencial por m, tem-se:

y + 2ζωy + ω2y = f0 cos ωdrt

onde: ω =√

k/m, ζ = c/(2mω) e f0 = F0/m.

Tomando as derivadas primeira e segunda de yp(t), tem-se:

y(t) = −ωdrAsenωdrt + ωdrB cos ωdrt

y(t) = −ω2dr (A cos ωdrt + Bsenωdrt)

Substituindo yp(t), yp(t) e yp(t) na equação diferencial de movimento, tem-se:

(−ω2drA + 2ζωωdrB + ω2A− f0

)cos ωdrt

+(−ω2

drB − 2ζωωdrA + ω2B)senωdrt = 0



Como senωdrt e cos ωdrt são diferentes de zero, então seus coeficientes devem ser iguaisa zero.

Logo

{(ω2 − ω2

dr) A + (2ζωωdr) B = f0

(−2ζωωdr) A + (ω2 − ω2dr) B = 0

(3.14)

Resolvendo esse sistema de equações encontra-se:

A =(ω2 − ω2

dr) f0

(ω2 − ω2dr)

2+ (2ζωωdr)

2

B =(2ζωωdr) f0

(ω2 − ω2dr)

2+ (2ζωωdr)

2

Fazendo r = ωdr/ω, A0 =√

A2 + B2 e φ = tg−1A/B, escreve-se:

yp(t) = A0 cos (ωdrt− φ)

onde:

A0 =f0

ω2

√(1− r2)2 + (2ζr)2

φ = tg−1 2ζr

1− r2

3.3 Modelagem no Espaço de Estados

A tendência atual dos sistemas de engenharia é no sentido de aumentar sua comple-xidade em função, principalmente, da necessidade de realizar tarefas complexas e comrequisitos de boa precisão. Sistemas complexos podem ter múltiplas entradas e saídas.A necessidade de satisfazer requisitos cada vez mais rigorosos quando ao desempenho desistemas de controle e a facilidade de acesso aos computadores desenvolveram a teoria decontrole moderno.

O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de varáveis, chamadas de va-


3.3 Modelagem no Espaço de Estados 31

riáveis de estado, de modo que o conhecimento destes valores em t = t0, junto com oconhecimento dos valores do sinal de entrada em t ≥ t0, determina completamente ocomportamento do sistema em qualquer instante t ≥ t0.

As equações de estado lineares invariantes no tempo para o estado e para a saída são:

{x(t)} = [A] {x(t)}+ [B] {u(t)} (3.15)

{y(t)} = [C] {x(t)}+ [D] {u(t)} (3.16)

onde: [A] é a matriz de estados com dimensão n×n, [B] a matriz de entrada com dimensãon×m, [C] a matriz de saída com dimensão p×n, [D] a matriz de transmissão direta comdimensão p×m, n número de variáveis de estado, m número de entradas e p número desaídas.

Considere o sistema de ordem n descrito pela equação(3.1) transcrito para efeito declareza:

andny(t)

dtn+ an−1

dn−1y(t)

dtn−1+ . . . + a1

dy(t)

dt+ a0y(t) = b0u(t) (3.17)

Definindo-se as seguintes variáveis de estado:

x1 = y, x2 =dy

dt, . . . , xn =

dn−1y

dn−1t(3.18)

e

x1 = x2, x2 = x3, . . . , xn−1 = xn, xn = −a0

an

x1 − . . .− an−1

an

xn +b0

an

u (3.19)

ou

{x} = [A] {x}+ [B] {u} (3.20)

{y} = [C] {x}+ [D] {u} (3.21)

onde:



{x} =

x1

x2

...xn−1

xn

, [A] =

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0...

...... . . . ...

0 0 0 . . . 1

− a0

an− a1

an− a2

an. . . −an−1

an

, [B] =

0

0...0b0an

(3.22)

e

[C] =[1 0 0 . . . 0

], [D] = 0 (3.23)

3.4 Sistemas de Ordem Zero

Quando todos os coeficientes ai e bi são nulos exceto a0 e b0, a equação (3.1) torna-se:

a0y(t) = b0u(t) (3.24)

Qualquer sistema ou instrumento que obedeça a equação (3.24) em sua faixa de ope-ração é definido como sistema de ordem zero.

Se

y(t) =b0

a0

u(t) = Ku(t) (3.25)

onde K é chamado de sensibilidade estática ou ganho de regime permanente.Quando u(t) varia no tempo a saída y(t) segue perfeitamente a entrada sem nenhuma

distorção e sem qualquer atraso, de forma que esse sistema representa o comportamentodinâmico perfeito.

3.5 Sistemas de Primeira Ordem

Quando todos os coeficientes ai e bi na equação (3.1) são nulos exceto a0, a1 e b0 aderivada de maior ordem é a primeira e então:

a1dy(t)

dt+ a0y(t) = b0u(t) (3.26)


3.5 Sistemas de Primeira Ordem 33

define um sistema de primeira ordem com resposta y(t) e uma excitação u(t).

Dividindo a equação (3.26) por a0, obtém-se:

a1

a0

dy(t)

dt+ y(t) =

b0

a0

u(t) (3.27)

ou

τdy(t)

dt+ y(t) = Ku(t) (3.28)

Escrevendo a equação (3.28) com auxílio do operador D, equação (3.2), encontra-se:

(τD + 1)y(t) = Kx(t) (3.29)

cuja equação característica é:

τD + 1 = 0 (3.30)

A raiz da equação cacterística (3.30) é:

λ1 = −1

τ(3.31)

então, segundo a equação (3.9), a solução complementar ou homogênea é:

yh(t) = C1eλ1t

yh(t) = C1e−t/τ (3.32)

Para t = 0 ⇒ C1 = y(0), então

yh(t) = y(0)e−t/τ (3.33)

onde: y(0) é a condição inicial.



3.5.1 Outras formas de representar o sistema

função transferência

Passando a transformada de Laplace em ambos os membros da equação (3.28) e consi-derando condições iniciais nulas, tem-se a função transferência de um sistema de primeiraordem.

Y (s)

U(s)=

b0

a1s + a0

(3.34)

Y (s)

U(s)=

K

τs + 1(3.35)

com: τ = a1/a0 o tempo de resposta ou constante de tempo do sistema e K = b0/a0 asensibilidade estática ou ganho estático.

espaço de estados

Colocando o sistema de primeira ordem na representação de espaço de estados, pode-seescrever:

x = ax + bu (3.36)

y = cx + du (3.37)

com: a, b e c são escalares.Tomando a equação (3.28) e fazendo x(t) = y(t), tem-se:

τ x + x = Ku

x = −1

τx +

K

τu (3.38)

y = x (3.39)

onde: a = 1/τ , b = K/τ , c = 1 e d = 0.Outra forma equivalente de escrever, é:

a1x + a0x = b0u

x = −a0

a1

x +b0

a1

u (3.40)

y = x (3.41)



diagramas de blocos

Figura 3.1: Sistema de 1a Ordem.

Outra forma de representar um sistema é através de diagrama de blocos, conformeapresentado na figura (3.1), o qual é composto por integradores, somadores e ganhos.Para a sua construção é necessário isolar o diferencial de mais alta ordem da equaçãode comportamento do sistema, neste caso, segunda ordem, que sai de um somando eintegrando até se obter o sinal de saída y(t) do sistema.

Figura 3.2: Função Transferência.

A função transferência, conforme a figura (3.2), é obtida passando-se a transformadade Laplace em ambos os membros da equação diferência do sistema. No caso da figura(3.2), considerou-se condições iniciais nulas.

Finalmente a figura (3.3) representa o diagrama de blocos do modelo em estados deespaço.

Figura 3.3: Modelo de Estados.



3.5.2 Exemplo de sistemas de primeira ordem

nível de líquido

Figura 3.4: Nível de Líquido.

Na figura (3.4) tem-se as seguintes variáveis:

Q : valor de vazão em regime permanente, m3/s;

qi : pequeno desvio da vazão de entrada em relação ao seu valor de regime, m3/s;

q0 : pequeno desvio da vazão de saída em relação ao seu valor de regime, m3/s;

H : altura do nível em regime permanente, m

h : pequeno desvio da altura do nível em relação ao seu valor de regime, m;

R : resistência ao fluxo de líquido na restrição definida como a variação na diferença denível necessária para causar uma variação unitária na vazão, (m)/(m3/s);

C : capacitância do reservatório definida como sendo a variação na quantidade de líquidoarmazenado necessário para causar uma variação unitária na altura do nível delíquido, m3/m;

Aplicando a Lei da conservação da massa no sitema de nível de líquido observa-se quea massa que entra no sistema menos a massa que sai do sistema deve ser igual a massaacumulada.

Na forma matemática pode-se escrever:

ρQi(t)− ρQ0(t) = ρCdH(t)

dt(3.42)



CdH(t)

dt= Qi(t)−Q0(t) (3.43)

A velocidade de saída do fluido do tanque pode ser obtida aplicando-se a equação deBernoulli em dois pontos, a saber: superfície livre do nível e ponto de saída do escoamento.

v21

2+

p1g

ρ+ gh1 =

v22

2+

p2g

ρ+ gh2 (3.44)

Para a superfície livre do líquido v1 = 0, p1 = patm e para o ponto de saída doescoamento v2 = v e p2 = Patm.

Então

v =√

2g(h2 − h1) =√

2gH(t) (3.45)

Q0(t) = korAor

√2gH(t) = korAor

√2g

√H(t) = kd

√H(t) (3.46)

com: kor - coeficiente do orifício (kor = 0, 6), Aor - área do orífico (Aor = 645× 10−6 m2)e kd - o coeficiente de descarga do orifício. 1

Então a equação (3.43) é rescrita com o valor obtido pela equação (3.46).

CdH(t)

dt+ kd

√H(t) = Qi(t) (3.47)

A equação (3.47) é a equação não-linear que representa o comportamento do sistemade nível de líquido.

A equação (3.46) pode ser linearizada, conseqüentemente linearizando a equação dosistema de nível de líquido, equação (3.47), para pequenas variações em torno da vazãode reigme permanente e altura do nível de líquido de regime permanente.

A equação linearizada é obtida com a aplicação da série de Taylor em torno do ponto(H,Q).

f(x) = f(x) +f ′(x)

1!(x− x) +

f ′′(x)

2!(x− x)2 + . . . (3.48)

1Eckman (1962), p. 19: Para um comprimento de tubo à fórmula usualmente empregada é kor =1/

√fL/D, com f - fator de atrito, L - comprimento equivalente do tubo e D - diâmetro interno do tubo.



Figura 3.5: Comparação entre as Respostas da Equação do Sistema de Nível de LíquidoNão-Linear e Linearizada - hss: resposta em regime permanente; h0: altura do nível emregime permanente; ∆Qi: pequena variação na vazão de entrada; Qi0: vazão de regimepermanente; ∆h: pequena variação do nível e ∆Qi

Qi0≤ 0, 2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

1.5

2

2.5

3

3.5

q

qQ

_

_

H

Ponto de Tangência

Q0(t)

Linearização

H(t)

h h

Figura 3.6: Linearizãção da Curva Q0(t)×H(t) em torno do ponto (H,Q).



fazendo x = H, h = (x− x).

Então

f(x) = kd

√H (3.49)

f ′(x) =kd

2√

H(3.50)

Com a aplicação da equação (3.48) obtém-se a linearização da equação (3.46).

Q0(t) = kd

√H +

kd

2√

Hh(t) (3.51)

Q0(t) = Q +kd

2√

Hh(t) (3.52)

Substituindo a equação linearizada da vazão de saída na equação (3.47) e considerandotambém as pequenas variações, vem:

Cd

dt(H + h(t)) + Q +

kd

2√

Hh(t) = Q + q0(t) (3.53)

Cdh(t)

dt+

kd

2√

Hh(t) = q0(t) (3.54)

Fazendo

q0(t) =h(t)

R(3.55)

R =2√

H

kd

(3.56)

obtém-se as equações diferenciais, linearizadas em torno do ponto (H, Q), para o sistemade nível de líquido da figura (3.4).

RCdh(t)

dt+ h(t) = Rqi(t) (3.57)

ou

RCdq0(t)

dt+ q0(t) = qi(t) (3.58)



com: RC é a constante de tempo τ do sistema.Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros das equações (3.57) e

(3.58), supondo condições iniciais nula, obtém-se as funções transferências para o sistemade nível de líquido.

H(s)

Qi(s)=

R

RCs + 1(3.59)

Q0(s)

Qi(s)=

1

RCs + 1(3.60)

onde: H(s) = L [h(t)], Qi(s) = L [qi(t)] e Q0(s) = L [q0(t)]

sistemas térmicos

Figura 3.7: Sistema de Aquecimento.

No sistema térmico representado pela figura (3.7) tem-se as seguintes variáveis:

Θ : temperatura em regime permanente do líquido, ◦C;

θi : pequena variação na temperatura do líquido na entrada, ◦C;

θ0 : pequena variação na temperatura de saída, ◦C;

m : vazão mássica de regime permanente, kg/s;

m : massa do líquido no reservatório, kg;

c : calor específico do líquido, kcal/kg ◦C;

R : resistência térmica que é definida pela relação entre a variação na diferença de tem-peratura e a variação na taxa de fluxo de calor, ◦C s/kcal;

C : capacitância térmica que é a relação entre a variação no calor armazenado e a variaçãona temperatura, kcal/◦C;



Q : taxa de fluxo de calor de entrada em regime, kcal/s;

qi : pequena variação na taxa de fluxo de calor de entrada em regime, kcal/s.

A equação diferencial para este sistema para um valor constante de R é a seguinte:

RCdθ0

dt+ θ0 = Rqi (3.61)

onde: RC = m/m é a constante de tempo τ do sistema.

Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equação (3.61), supondocondições iniciais nula, obtém-se:

Θ(s)0

Qi(s)=

R

RCs + 1(3.62)

com: Θ(s) = L [θ0(t)] e Qi(s) = L [qi(t)]

3.5.3 Constante de tempo

Seja o sistema de primeira ordem representado por sua função transferência conformeequação (3.63):

Y (s)

U(s)=

1

τs + 1(3.63)

Quando aplica-se uma excitação ou entrada do tipo degrau unitário, na equação (3.63),sendo u(t) = 1, cuja transformada de Laplale é igual a L [u(t)] = U(s) = 1/s, obtém-se:

Y (s) =1

τs + 1

1

s(3.64)

Y (s) é expandido em frações parciais próprias com numerador igual a a1 e a2, quesão determinados aplicando-se a equação (2.27) para frações racionais próprias com pólossimples.



Y (s) =a1

s+

a2

τs + 1(3.65)

a1 =1

(τs + 1)ss |s=0 = 1 (3.66)

a2 =1

(τs + 1)s(τs + 1) |s=− 1

τ= −τ (3.67)

Y (s) =1

s− −τ

(τs + 1)(3.68)

Y (s) =1

s− 1

s + (1/τ)(3.69)

Tomando a transformada inversa de Laplace da equação (3.69), obtém-se:

y(t) = 1− e−t/τ , t ≥ 0 (3.70)

A equação (3.70) estabelece que inicialmente, a saída y(t) é nula e finalmente torna-seunitária. Uma das características importantes desta curva de resposta exponencial y(t)

é que no instante t = τ o valor de y(t) é 0,632, ou seja, o valor y(t) alcançou 63,2 % dacondição de regime. Nota-se que, quanto menor for a constante de tempo τ , mais rápidaserá a resposta do sistema.

Figura 3.8: Curva de Resposta com Excitação Degrau Unitário - Constante de Tempo.


3.6 Sistemas de Segunda Ordem 43

3.6 Sistemas de Segunda Ordem

Quando todos os coeficientes ai e bi, na equação (3.1), são nulos exceto a2, a1, a0 epara efeto de simplificação sem perda da generalidade b0, a derivada de mais alta ordemé a segunda, então:

a2d2y(t)

dt2+ a1

dy(t)

dt+ a0y(t) = b0u(t) (3.71)

define um sistema de segunda ordem com resposta y(t) e excitação u(t).Dividindo ambos os membros da equção (3.71) por a0, obtém-se:

a2

a0

d2y(y)

dt2+

a1

a0

dy(t)

dt+ y(t) =

b0

a0

u(t) (3.72)

Fazendo-se:

ω2 =a0

a2

(3.73)

ζ =a1

2√

a0a2

(3.74)

K =b0

a0

(3.75)

onde: ω é a freqência circular natural não amortecida do sistema, ζ o fator de amorteci-mento e K a sensibildade estática.

Substituindo essas constantes na equação (3.72), tem-se;

1

ω2

d2y(y)

dt2+

2ζ

ω

dy(t)

dt+ y(t) = Ku(t) (3.76)

Escrevendo a equação (3.76) com auxílio do operador D, equação (3.2), encontra-se:

(1

ω2D2 +

2ζ

ωD + 1

)= Ku(t) (3.77)

cuja equação característica é:

D2 + 2ζωD + ω2 = 0 (3.78)

As raízes da equação característica (3.78) são:



λ1,2 = −ζω ± ω√

ζ2 − 1 (3.79)

O comportamento dinâmico dos sistemas de segunda ordem pode ser descrito em fun-ção dos parâmetros ζ e ω. Se 0 < ζ < 1, os pólos a malha fechada são complexosconjugados e se situam no semiplano esquerdo do plano s. O sistema então é dito suba-mortecido, e a resposta transitória é oscilatória. Se ζ = 1, o sistema é dito criticamenteamortecido. Sistemas superamortecidos correspondem a ζ > 1. A resposta transitória desistemas amortecidos criticamente e superamortecidos não oscila. Se ζ = 0, a respostatransitória não decai.

• caso superamortecido (ζ > 1)

As raízes são reais e simples:

λ1,2 = −ωζ ± ω√

ζ2 − 1 (3.80)

Então a solução da equação homogênea (3.78) é:


λ2t (3.81)

Levando em consideração as condições iniciais (t = 0) pode-se determinar o valordas constantes C1 e C2 da equação (3.81), cujos valores são:

C1 =1

2ω√

ζ2 − 1

(ζωy(0) + ω

√ζ2 − 1y(0) + y(0)

)(3.82)

C2 =−1

2ω√

ζ2 − 1

(ζωy(0)− ω

√ζ2 − 1y(0) + y(0)

)(3.83)

Então a solução homogênea fica:

yh(t) =1

2ω√

ζ2 − 1

(ζωy(0) + ω

√ζ2 − 1y(0) + y(0)

)e−ζω+ω

√ζ2−1

− 1

2ω√

ζ2 − 1

(ζωy(0)− ω

√ζ2 − 1y(0) + y(0)

)e−ζω−ω

√ζ2−1 (3.84)



• caso criticamente amortecido (ζ = 1)

As raízes são reais e repetidas , as quais são:

λ1,2 = −ω (3.85)

Então a solução homogênea é escrita como:

yh(t) = C1e−ωt + C2te

−ωt (3.86)

Com auxílio das condições iniciais (t = 0) pode-se determinar os valores das cons-tantes C1 e C2.

Então:

C1 = y(0), C2 = ωy(0) + y(0) (3.87)

Finalmente a solução homogênea, equação (3.86), com auxílio da equação (3.87) é:

yh(t) = y(0)e−ωt + (ωy(0) + y(0)) te−ωt (3.88)

• caso subamortecido (0 < ζ < 1)

As raízes são conjugadas e complexas, dadas pela equação (3.89):

λ1,2 = −ζω ± j ω√

1− ζ2 (3.89)

onde ωd é a frequência circular natural amortecida.

A solução da equação homogênea escreve-se como:

yh(t) = Ce−ζωtsen (ωdt + φ) = C1e−ζωtsen (ωdt) + C2e

−ζωt cos (ωdt) (3.90)

As constantes C1 e C2 são determinadas pelas condições iniciais (t = 0), cujos valoressão:



C1 =y(0) + y(0)ζω

ωd

, C2 = y(0) (3.91)

Substituindo a equação (3.91) na equação (3.90), obtém-se:

yh(t) =

(y(0) + y(0)ζω

ωd

)e−ζωtsen (ωdt) + y(0)e−ζωt cos (ωdt) (3.92)

3.6.1 Outras formas de representar o sistema

função transferência

Passando a Transformada de Laplace em ambos os membros da equação (3.77) econsiderando as condições iniciais nulas, tem-se a função transferência de um sistema desegunda ordem, apresentado pela equação (3.93).

Y (s)

U(s)=

ω2K

s2 + 2ζωs + ω2(3.93)

Y (s)

U(s)=

b0

a2s2 + a1s + a0

(3.94)

onde o tempo de resposta de um sistema subamortecido de segunda ordem é: τ =

1/|Re(λ)| = 1/(ζω)

A função transferência, em termos de diagrama de blocos, e apresentada conforme afigura (3.9)

Figura 3.9: Função Transferência de um Sistema de 2a Ordem.

espaço de estados

Para representar o sistema de segunda ordem, equação (3.71), na forma de espaço deestados define-se: x1 = y; x2 = y.

Então



x1 = x2, x2 = −a0

a2

x1 − a1

a2

x2 +b0

a2

u(t) (3.95)

A equação de estado é escrita como:

[x1

x2

]=

[0 1

−a0/a2 −a1/a2

][x1

x2

]+

[0

b0/a2

]u(t) (3.96)

Representando na forma de diagrama de blocos, tem-se:

Figura 3.10: Modelo de Estados de Espaço de um Sistema de 2a Ordem.

diagrama de blocos

Outras formas de representar um sistema é através de diagrama de blocos conformeapresentado na figura (3.11).

Figura 3.11: Diagrama de Blocos de um Sistema de 2a Ordem.

3.6.2 Exemplos de sistemas de segunda ordem

sistema mecânico vibratório

Considera-se o sistema mecânico mostrado na figura (3.12). Supõe-se que o sistemaesteja inicialmente em repouso, x(0) = 0 e x(0) = 0, e que no instante t = 0, o sistema éposto em movimento através de um impulso unitário de força.



Figura 3.12: Sistema Massa-Mola com Excitação Impulso Unitário.

Aplicando a 2a Lei de Newton a equação dinâmica de movimento é obtida.

mx(t) + kx(t) = δ(t) (3.97)

com: m massa do sistema em kg; k rigidez do sistema em N/m e δ(t) força impulsounitário em N.

Aplicando-se a transformada de Laplace a ambos os membros da equação (3.97) resultaem:

m[s2X(s)− sx(0)− x(0)

]+ kX(s) = 1 (3.98)

Substituindo-se as condições iniciais e explicitando o valor de X(s), obtém-se:

X(s) =1

ms2 + k(3.99)

A transformada de Laplace da equação (3.99) deve ser colocada na forma:

X(s) =ωn

s2 + ω2n

(3.100)

que possui transformada inversa de Laplace tabela, cujo valor é:

x(t) = sen ωnt (3.101)

Dividindo-se a equação (3.99) por m e arranchado o resultado, obtém-se:

X(s) =1

s2 +(√

km

)2 (3.102)



Multiplicando o numerador e denominador da equação (3.102) por√

km, vem:

X(s) =1√mk

√km

s2 +(√

km

)2 (3.103)

cuja a transformada de Laplace inversa de X(s) conduz a

x(t) =1√mk

sen

√k

mt (3.104)

A oscilação é um movimento harmônico simples. A amplitude de oscilação é 1/√

mk.

sistema mecânico torcional

A figura (3.13) apresenta de forma esquemática um redutor de velocidades.

Figura 3.13: Redutor de Velocidades.

A equação que descreve o comportamento do sistema é obtida aplicando-se a 2a. Leide Newton:

J2 eqω2 + b2 eqω2 + TL =1

nTm (3.105)

onde:

J1 momento de inércia de massa do eixo 1, kgm2;



J2 momento de inércia de massa do eixo 2, kgm2;

ω1 frequência circular do eixo 1, rad/s;

ω2 frequência circular do eixo 2, rad/s;

T1 torque no eixo 1, Nm;

T2 torque no eixo 2, Nm;

Tm torque de entrada aplicado pelo motor elétrico, Nm;

TL torque aplicado na carga, Nm;

n1 velocidade de rotação do eixo 1, rpm;

n1 velocidade de rotação do eixo 2, rpm;

J1 eq momento de inércia equivalente no eixo 1, kgm2;

J2 eq momento de inércia equivalente no eixo 2, kgm2;

b1 eq coeficiente de atrito visco equivalente do tem de engrenagens referenciados ao eixo1, Nm/s2;

b2 eq coeficiente de atrito visco equivalente do tem de engrenagens referenciados ao eixo2, Nm/s2;

Sendo que:

b1 eq =

(n1

n2

)2

b2 eq (3.106)

b2 eq = b2 +

(n2

n1

)2

b1 (3.107)

J1 eq =

(n1

n2

)2

J2 eq (3.108)

J2 eq = J2 +

(n2

n1

)2

J1 (3.109)

n =n1

n2

(3.110)



3.6.3 Combinação de dois sistemas de 1a. Ordem

Os sistemas de segunda ordem também aparecem quando dois sistemas de primeiraordem são unidos em série para formar um sistema maior. Na ligação em série a saída deum é a entrada do outro, conforme ilustrado na (3.14).

Para a figura (3.14) tem-se o seguinte tratamento matemático:

Y1

U1

=1

τ1s + 1(3.111)

Y2

U2

=1

τ2s + 1(3.112)

Y2 =U2

τ2s + 1(3.113)

U2 = Y1 (3.114)

Y2 =Y1

τ2s + 1(3.115)

Y2 =U1

(τ1s + 1)(τ2s + 1)(3.116)

Y2

U1

=1

(τ1s + 1)(τ2s + 1)(3.117)

Y2

U1

=1

τ1τ2s2 + (τ1 + τ2)s + 1(3.118)

que é a forma típica de um sistema de segunda ordem.

Figura 3.14: Sistemas de 1a Ordem Gerando um Sistema de 2a. Ordem; sem e com efeitode carga.

Um erro deste procedimento e desprezar a drenagem de potência que o segundo sis-tema aplica ao primeiro e que não foi considerada na função de transferência original. Afunção transferência Y1/U1 é diferente quando o segundo sistema é conectado e a função



transferência global Y2/U1 não é apenas o produto das duas funções. Este efeito é cha-mado efeito de carga ou loading effect que se for pequeno pode ser desprezado mas emoutros casos exige a reformulação do problema a partir do esquema já combinado.

Por exemplo, vai-se analisar um sistema líquido ligado em série conforme a figura(3.15).

A função transferência do reservatório 1 e 2 relacionando a vazão de entrada Q com aaltura do reservatório H é segundo a equação (3.59):

H1(s)

Q(s)=

R1

C1R1s + 1(3.119)

H2(s)

Q1(s)=

R2

C2R2s + 1(3.120)

Como deve-se obter a relação entre a vazão de entrada do reservatório 1, Q, e a alturado reservatório 2, H2, é interessante escrever a função transferência do reservatório 1 emfunção das vazões de entrada e saída, usando-se a relação equação (3.121):

Q1(s) =H1(s)

R1

(3.121)

onde: Q1 é a vazão de saída do reservatório 1.

Logo, tem-se:

Q1(s)

Q(s)=

1

C1R1s + 1(3.122)

Finalmente a função de transferência dos reservatórios sem interação é:

H2(s)

Q(s)=

R2

C1R1C2R2s2 + (C1R1 + C2R2) + 1(3.123)

Com o sistema de nível de líquido com interação a função de transferência do sistemanão é o produto das duas funções de trasnferência de primeira ordem.

Para o sistema com interação da figura (3.15(b)) escreve-se as equações para o reser-vatório 1:



(a) Tanque sem Interação. (b) Tanque com Interação.

Figura 3.15: Sistemas de 2a. Ordem.

Q1 =H1 −H2

R1

(3.124)

C1H1s = Q−Q1 ⇒ H1 =Q

C1s− Q1

C1s(3.125)

Q1 =H1

R1

− H2

R1

⇒ Q1 =Q

C1R1s− Q1

C1R1s− H2

R1

(3.126)

Q1 =Q

C1R1s + 1− C1s

C1R1s + 1H2 (3.127)

Já para o reservatório 2, escreve-se:

C2H2s = Q1 −Q2 (3.128)

Q2 =H2

R2

(3.129)

C2H2s +H2

R2

= Q1 (3.130)

C2R2H2s + H2 = R2Q1 (3.131)

Substituindo-se o valor de Q1 obtido na equação (3.127) na equação (3.131) obtém-sea função de transferência.

H2(s)

Q(s)=

R2

C1R1C2R2s2 + (C1R1 + C2R2 + C1R2) s + 1(3.132)

ou



Qo(s)

Qi(s)=

1

C1R1C2R2s2 + (C1R1 + C2R2 + C1R2) s + 1(3.133)

Observe-se a similaridade e a diferença entre a função de transferência dada pelaequação (3.123) e aquela dada pela equação (3.132). O termo R2C1 que aparece nodenominador da equação (3.132) exemplifica a interação entre os dois reservatórios.

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Reservatórios em Série

tempo (s)

vazã

o de

Saí

da (

m3 /s

)

C1=C

2=2 (m2) e R

1=R

2=0,5 (s/m2)

s/ interaçãoc/interação

Figura 3.16: Resposta da Vazão a uma Excitação Degrau de Reservatórios em Série c/ es/ Interação.

3.7 Linearização de Modelos

Um sistema é não-linear se o príncipio da superposição não se aplica a ele. Na en-genharia de controle, uma operação normal do sistema pode ser em torno do ponto deequilíbrio, e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do equilíbrio, en-tão é possível aproximar o sistema não-linear por um sistema linear. Esse sistema linearé equivalente ao sistema não-linear considerado dentro de um conjunto limitado de ope-rações. Esse modelo linearizado, modelo linear, invariante no tempo, é muito importantena engenharia de controle.

O processo de linearização tem como base o desenvolvimento da função não-linear emuma série de Taylor em torno do ponto de operação e a retenção somente do termo linear.Em virtude de desprezarmos os termos de ordem elevada da expansão da série de Taylor,esses termos desprezados devem ser suficientemente pequenos; isto é, as variáveis devemse desviar apenas ligeramente das condições de operação.


3.7 Linearização de Modelos 55

3.7.1 Aproximação linear de modelos matemáticos não-linear -

Função de uma Entrada

Para obter um modelo matemático linear de um sistema não-linear, admitimos que asvariáveis desviem apenas ligeiramente de alguma condsição de operação.

Considere um sistema em que a entrada é x(t) e a saída é y(t). A relação entre y(t) ex(t) é dada por:

y = f(x) (3.134)

Se a condição de operação normal corresponde a x, y, então a equação (3.134) podeser expandida em uma série de Taylor em torno desse ponto.

y = f(x) +df(x)

dx|x=x (x− x) +

1

2!

d2f(x)

dx2|x=x (x− x)2 + . . . (3.135)

Se a variação de (x − x) for prquena, podemos desprezar os termos de ordem maiselevada em (x− x), escrevendo-se a equação (3.135), como:

y = y + K(x− x) (3.136)

com:

y = f(x) e K =df(x)

dx|x=x

A equação (3.136) pode ser reescrita como:

y − y = K(x− x) (3.137)

A equação (3.137) fornece um modelo matematicamente linear para o sistema não-linear dado pela equação (3.134) próximo do ponto de operação (x− x), (y − y).

3.7.2 Aproximação linear de modelos matemáticos não-linear -

Função de duas Entradas

Considere o sistema não-linear cuja saída y é uma função de duas entradas x1 e x2,tal que:



y = f(x1, x2) (3.138)

Para obter uma aproximação linear desse sistema não-linear expande-se a equção(3.138) em uma série de Taylor em torno do ponto normal de operação x1 e x2.

y = f(x1, x2)+

[∂f(x1, x2)

∂x1

|x1=x1,x2=x2 (x1 − x1) +∂f(x1, x2)

∂x2

|x1=x1,x2=x2 (x2 − x2)

]+

1

2!

[∂2f(x1, x2)

∂x21

|x1=x1,x2=x2 (x1 − x1)2 +

∂2f(x1, x2)

∂x22

|x1=x1,x2=x2 (x2 − x2)2

]+ . . .

(3.139)

Nas proximidades do ponto normal de operação, os termos de ordem mais elevadapodem ser desprezados. O modelo matemático linear desse sistema não-linear, nas proxi-midades das condições normais de operação, é então:

y − y = K1(x1 − x1) + K2(x2 − x2) (3.140)

com

y = f(x1, x2), K1 =∂f(x1, x2)

∂x1

|x1=x1,x2=x2 e K2 =∂f(x1, x2)

∂x2

|x1=x1,x2=x2

3.7.3 Exemplo de Linearização de uma Equação Não-Linear

Seja linearizar a equação

z = xy (3.141)

na região 5 ≤ x ≤ 7, 10 ≤ y ≤ 12.

Com a região de linearização definida seleciona-se x = 6 e y = 11. Como z = x y = 66.

Expandindo e equação não-linear (3.141) em uma série de Taylor próximo do pontox = x, y = y e desprezando os termos de ordem mais elevada, temos:

z − z = a(x− x) + b(y − y) (3.142)


3.7 Linearização de Modelos 57

com

a =∂(xy)

∂x|x=x,y=y = y = 11 (3.143)

b =∂(xy)

∂y|x=x,y=y = x = 66 (3.144)

Então a equação linearizada é:

z − 66 = 11(x− 6) + 6(y − 11)

z = 11x + 6y − 66 (3.145)

Quando x = 5 e y = 10, o valor de z dado pela equação linearizada, equação (3.142),é:

z = 11× 5 + 6× 10 = 49

Já o valor exato é dado pelo equação (3.141).

z = 5× 10 = 50

Assim o erro é de (50− 49)/50 = 0, 02, que representa um erro de 2%.




Capítulo 4

Modelos Matemáticos de Sistemas

Neste capítulo iremos modelar principalmente sistemas dinâmicos contínuos atravésde equações diferencais lineares ordinárias. Se o modelo resultante for uma equação aderivadas parciais, então esta será normalmente discretizada na sua variável espacial deforma a obter uma descrição mais simples apesar de menos detalhada.

4.1 Sistema de Nível de Líquido

Considera-se um reservatório com uma seção reta de área A conforme indicado na(4.1), com as seguintes variáveis 1:

Figura 4.1: Nível de Líquido.

Qi valor de vazão de entrada, m3/s;

Qo valor de vazão de saída, m3/s

Q valor de vazão em regime permanente, m3/s;

1CARVALHO, J. L. M. de (2000), Sistemas de Controle Automático, LTC editora, Rio de Janiro, RJ,p. 14 a 16.


60 Modelos Matemáticos de Sistemas

qi pequeno desvio da vazão de entrada em relação ao seu valor de regime, m3/s;

q0 pequeno desvio da vazão de saída em relação ao seu valor de regime, m3/s;

H altura do nível, m

H altura do nível em regime permanente, m

h pequeno desvio da altura do nível em relação ao seu valor de regime, m;

ρ densidade do fluido, kg/m3;

R resistência ao fluxo de líquido na restrição definida como a variação na diferença denível necessária para causar uma variação unitária na vazão, (m)/(m3/s);

C capacitância do reservatório definida como sendo a variação na quantidade de líquidoarmazenado necessário para causar uma variação unitária na altura do nível delíquido, m3/m;

A Lei da conservação de massa diz-nos que, num curto intervalo de tempo, a diferençaentre a vazão mássica de entrada e a de saída é igula ao aumento de massa de líquidoarmazanado, isto é massa que entra menos massa que saí é igual a acumulação. Então

ρQi − ρQo = ρAdH

dt(4.1)

onde: Qi = Q + qi, Qo = Q + qo e H = H + h.É conhecido que a vazão através de um orifício é normalmente uma função da raiz

quadrada da queda de pressão através deste; para o caso de uma descarga para a atmosfera,a queda de pressão é proporcional a H. Temos portanto, considerando uma aberturapequena e constante,

Qo = Kt

√H (4.2)

onde: Kt coeficiente do oifício (válvula) - Kt = CdA√

2g com Cd sendo o coeficiente dedescarga da válvula.

Devería-se também ser considerado a queda de pressão na linha de descarga que, paraumaregime turbulento, é aproximadamente proporcional ao quadrado da vazão.

Substituindo a equação (4.2) na equação (4.1) e reacrupando os termos, obtem-se oseguinte modelo:

AdH

dt+ Kt

√H = Qi (4.3)


4.1 Sistema de Nível de Líquido 61

que é uma equação diferencial não linear. Obviamente, equações lineares são maisfáceis de resolver; portanto deve-se tentar uma simplificação. Na maior parte das situaçõesse quer manter H constante, igual a H, e se o sistema de controle estiver funcionandonormalmente apenas permitirá pequenos desvios h ao redor do valor de equilíbrio H.Pode-se linearizar a equação(4.3) ao redor do ponto de funcionamento H. Designa-se porQ o valor em regime permanete da vazão, tanto de entrada como de saída.

Se Qi for subtamente aumentado de uma pequena quantidade constante qi, excitaçãodegrau, Qo aumentará gradualmente até Q + qi.

Exprimindo as variáveis da equação (4.1) em termos das suas componentes em regimeestacionário e dos seus desvios obtém-se:

Ad

dt

(H + h

)=

(Q + qi

)− (Q + qo

)(4.4)

que é equivalente a

Adh

dt= qi − qo (4.5)

Por outro lado,

qo =Kt

2√

Hh + f(h2) (4.6)

onde: f(h2) são diferenciais de segunda ordem e superiores que serão desprezados nalinearização de

√H + h.

Substituindo a equação (4.6) na equação (4.5) chega-se a

2A√

H

Kt

dqo(t)

dt+ qo(t) = qi(t) (4.7)

Definindo resistência dinâmica, R, como sendo a resistência ao fluxo de líquido narestrição

R =2√

H

Kt

(4.8)

a equação (4.7) é escrita como:


62 Modelos Matemáticos de Sistemas

RAdqo(t)

dt+ qo(t) = qi(t) (4.9)

Pode-se representa também a equação (4.9) em função da variável h. Da equação (4.6)com a definição da equação (4.8) chega-se a:

h = Rqo (4.10)

Substituindo a equação (4.10) na equação (4.9), obtem-se:

RAdh(t)

dt+ h(t) = Rqi(t) (4.11)

As equações (4.9) e (4.11) são as equações lineares desejadas.

Vejamos agora como a equação (4.6) resultou da equação (4.2). Desenvolvendo√

H

em série de Taylor ao redor de H, obtém-se:

√(H + h) =

√H +

h

2√

H− h2

8

1(√H

) + . . .

=√

H +h

2√

H+ f(h2) (4.12)

Para pequenos valores de h pode-se desprezar os termos não-lineares f(h2) = 0.

Substituindo a equação (4.12) na equação (4.6) tem-se:

Qo + qo = Kt

(√H +

h

2√

H

)(4.13)

como Qo = Kt

√H, então:

qo =Kth

2√

H+ Kt

√H −Qo (4.14)

qo =Kt

2√

Hh (4.15)


4.1 Sistema de Nível de Líquido 63

O valor de Kt pode ser determinado, sem dificuldades, por via experimental, atravésda representação gráfica do valor de H, em regime permanente, para cada valor de Qi.

Figura 4.2: Vazão de Saída em Regime Estacionário em Função da Pressão da Altura daColuna de Líquido.


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