Apostila Métodos Financeiros Adm 2014.2

APOSTILA DE MTODOS FINANCEIROS E AVALIAO DE VALOR

CURSO: ADMINISTRAO

PROFESSOR: GERALDO M. P. DIZ RAMOS

CENTRO UNIVERSITRIO METODISTA IZABELA HENDRIX

MTODOS FINANCEIROS E AVALIAO DE VALOR

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NDICE

CAPTULO 1 - OS FUNDAMENTOS DA MATEMTICA FINANCEIRA ............. 03 CAPTULO 2 - FUNES FINANCEIRAS DA CALCULADORA HP 12 C ............04 CAPTULO 3 JUROS OU CAPITALIZAO COMPOSTA ................................. 10 3.1) Montante para perodos inteiro............................................................................. 10 3.2) Montante para perodos no inteiro (perodo fracionrio) ................................ 17 3.3) Taxas equivalentes ................................................................................................. 20 3.4) Taxa nominal e Taxa Efetiva ................................................................................ 23 CAPTULO 4 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES .............................................. 29 4.1) Anuidades imediatas postecipadas em relao ao valor futuro ........................ 30 4.2) Anuidades imediatas postecipadas em relao ao valor atual .......................... 37 4.3) Anuidades imediatas antecipadas em relao ao valor atual ........................... 45 CAPTULO 5 FLUXO DE CAIXA .............................................................................. 52 CAPTULO 6 - MTODOS PARA ANLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS ........................................................................................................... 56 6.1) Mtodo do valor presente lquido ......................................................................... 57 6.2) Mtodo da taxa interna de retorno .......................................................................67 CAPTULO 7 SISTEMAS DE AMORTIZAO DE EMPRSTIMOS ................ 74 7.1) Sistema de Amortizao Constante (SAC) .......................................................... 74 7.2) Sistema Price ou Francs de Amortizao (SFA) ............................................... 77 7.3) Sistema de Amortizao Misto (SAM) ................................................................ 79 7.4) Sistema Americano de Amortizao ................................................................... 80 7.5) Pagamento do principal e juros no final da operao ....................................... 80 REFERNCIAS



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CAPTULO 1

OS FUNDAMENTOS DA MATEMTICA FINANCEIRA

A matemtica comercial e financeira uma ferramenta de auxlio uma tima tomada de deciso financeira. As decises financeiras timas so aquelas que visam maximizao da riqueza dos investidores.

A matemtica financeira trata dos clculos que nos permitem manipular valores financeiros (dinheiro) ao longo do tempo, com o objetivo de fazer comparaes consistentes entre diferentes alternativas de investimentos. A matemtica financeira serve para calcular o valor de uma prestao; para calcular o saldo devedor de um financiamento; para decidir qual o melhor financiamento dentre vrios; para saber se um determinado investimento vai dar lucro ou prejuzo; para saber se melhor alugar ou comprar um equipamento; para saber quanto voc deve poupar mensalmente para atingir um determinado objetivo; para saber o lucro que voc vai obter em uma operao financeira; para determinar a viabilidade econmica de um projeto de investimento; para saber quanto tempo um projeto demora para dar lucro; para saber quanto voc deve ter hoje para cobrir gastos futuros; para saber quanto voc deve cobrar de juros para ter lucro; para determinar qual a taxa de juros real e efetiva que voc est pagando ou recebendo; para determinar a rentabilidade de um investimento; para escolher qual o melhor investimento.

COMENTRIOS MAIS FREQUENTES: 1) Nunca fui bem em Matemtica, sou filsofo. A Matemtica nasceu com um ramo da filosofia. 2) No entendo a Matemtica. Via de regra o maior problema com a leitura e a interpretao dos cenrios. Poderamos mesmo dizer que o maior problema da Matemtica Financeira, s vezes, o Portugus. Ler atentamente o problema e identificar o que se pede a chave da questo, o resto so contas.

3) Estou com muito receio desta disciplina. Nada tema, na Matemtica Financeira no existem mistrios. Obviamente, voc deve

investir tempo e esforo em seus estudos e praticar fazendo exerccios. 4) No sei usar calculadora financeira ou cientfica. timo, ter a oportunidade de aprender e praticar.



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CAPTULO 2

APRESENTAO DA CALCULADORA HP 12C

Apresentamos neste apostila, alguns tpicos para melhor entendimento e utilizao da calculadora HP 12C.

2.1 TESTE DA CALCULADORA

Este teste indica se a calculadora est em perfeitas condies:

1) desligue a calculadora ON; 2) mantenha a tecla ON pressionada; 3) pressione a tecla x; 4) solte a tecla ON soltando em seguida a tecla x; 5) depois de algum tempo, durante o qual o visor apresenta a palavra RUNNING, o mesmo vai apresentar: - 8,8,8,8,8,8,8,8,8,8, e uma srie de anunciadores; 6) se isto aparecer, a calculadora est perfeita. Caso contrrio ...

2.2 LGICA RPN (Reverse Polish Notation ou Notao Polonesa Reversa/Inversa)

A HP 12C no tem a tecla = (igual). As duas principais caractersticas da HP 12C consistem na Lgica RPN e na Pilha de Registradores. Na lgica RPN os operadores devem ser colocados primeiramente e, depois, devem ser colocados os sinais da operao. Lgica RPN uma homenagem ao matemtico polons Jan Lukasiewicz (nos anos de 1920). A HP 12C tem uma pilha de registradores que so: X, Y, Z, T (Visor o registrador X).

2.3 NOTAO BRASILEIRA/AMERICANA PARA OS NMEROS

Para transformar para a notao brasileira, ou seja, VRGULA para separar a parte decimal e PONTO para dividir a parte inteira em grupos de 3 dgitos, proceda assim:

1) desligue a calculadora; 2) aperte a tecla Ponto (.) e a mantenha pressionada; 3) ligue a calculadora: ON; 4) solte a tecla Ponto (.)



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Exemplo 01: digite na calculadora: 123456.78

Se no visor aparecer 123,456.78 Notao AMERICANA Se no visor aparecer 123.456,78 Notao BRASILEIRA

2.4 TECLAS "f" e "g"

Para ativar a funo em AZUL, deve-se apertar antes a tecla "g"; A funo em BRANCO ativada apenas apertando a tecla; Para ativar a funo em DOURADA, necessrio apertar antes a tecla "f".

2.5 TECLAS "f REG" e "CLX" e f FIN

Para apagar os dados da memria da calculadora, utilizamos "f REG"; Para apagar apenas os dados do VISOR da calculadora, utilizamos "CLX"; Para apagar os dados da memria financeira da calculadora, utilizamos f FIN.

2.6 NMERO DE CASAS DECIMAIS

O nmero de casas decimais no visor pode ser controlado apertando a tecla "f" e o nmero de casas desejado. Internamente a calculadora trabalha com 10 casas decimais, independente do nmero de casas que aparece no visor.

2.7 OPERAES ELEMENTARES

Exemplo 01: Somar 5 e 3 na HP 12 C: 5 ENTER 3 + ===> O resultado apresentado 8

Exemplo 02: Multiplicar 13 x (4) na HP 12 C: 13 ENTER 4 x ===> O resultado apresentado 52

2.8 TECLAS: yx , 1/x , CHS

Nos clculos de Matemtica Financeira muito usado: POTENCIAO (yx) e RADICIAO (1/x e yx).

Exemplo 01: Calcular 1,65 na HP 12 C:

1.6 ENTER 5 yx ===> O resultado 10,49



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Para efetuar uma RADICIAO, utilizamos a propriedade matemtica que diz que a RAIZ DE UM NMERO IGUAL SUA EXPONENCIAO COM O NUMERO INVERSO DO EXPOENTE.

Exemplo 02: 8,4 1/ 4 = 1,70

Para invertermos o expoente usamos a tecla 1/x que inverte o nmero do visor.

Na HP 12C: 8.4 ENTER 4 1/x yx ===> Resultado 1,70

Para elevar um nmero a um Expoente Negativo, utilizamos a tecla CHS que inverte o sinal do expoente

Exemplo 03: 2,8-3 2.8 ENTER 3 CHS yx O resultado 0,05

2.9 MEMRIAS PARA CLCULOS

A HP-12C possui 20 memrias operacionais numeradas de 0 a 9 e de .0 a .9 e 5 memrias financeiras n, i, PV, PMT, FV.

Nmeros do visor so armazenados nas memrias atravs da tecla STO.

Para recuperar nmeros das memrias e traz-los ao visor, usamos a tecla RCL.

Exemplos: 1234 STO 3 CLX RCL 3 1234; 9876 STO 5 CLX RCL 5 9876; 1357 STO .2 CLX RCL .2 1357

Para apagar o nmero de uma determinada memria, temos que colocar ZERO nesta memria. Por exemplo, continuando o exerccio anterior: 0 STO 4 RCL 4 0 Quando armazenamos um novo dado em uma memria, fica armazenado o ltimo dado.

2.10 ALENDRIO NA HP 12C

As funes de calendrio fornecidas pela calculadora HP 12C podem trabalhar com datas entre 15/outubro/1582 at 25/novembro/4046.

2.11 FORMATOS DE DATA

A calculadora HP 12C utiliza 2 formatos:

Por exemplo: 15/fevereiro/2003 No sistema americano: 02/15/2003 g M.DY Ms/Dia/Ano No nosso sistema: 15/02/2003 g D.MY Dia/Ms/Ano



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Alimentao de data na HP 12C: DIA PONTO MS ANO (dia e ms com 2 algarismos) e (ano com 4 algarismos).

Exemplo 01: 14/04/2003 ===> g D.MY 14.042003 ENTER (f 6)

2.12 CLCULO DE UMA DATA FUTURA OU PASSADA (g dmy)

Obtemos uma nova data atravs da funo g DATE:

1) tecle a data base seguida de ENTER; 2) tecle o nmero de dias para a data futura (caso deseje uma data passada, tecle CHS); 3) tecle g DATE.

No visor aparecer a nova data, e o dia da semana, no canto direito.

A conveno para os dias da semana a seguinte:

1 - 2a. f. 2 - 3a. f. 3 - 4a. f. 4 - 5a. f. 5 - 6a. f. 6 - sbado 7 - domingo

Para saber o dia da semana referente a uma data, basta somar zero a esta data, usando a funo g DATE.

Exemplo 01: Qual a data de vencimento de um papel de 93 dias comprado no dia 05/05/2003 ?

05.052003 ENTER 93 g DATE ===> Resp.: 06.08.2003 3 (4a.f)

Exemplo 02: Qual a data com 135 dias antes de 21.05.2003?

21.052003 ENTER 135 CHS g DATE ===> Resp.: 06.01.2003 1 (2a.f)

Exemplo 03: Qual o dia da semana em que D. Pedro decretou a Independncia do Brasil (07.09.1822)

07.091822 ENTER 0 g DATE ===> Resp.: 7.09.1822 6 (sbado)

2.13 CLCULO DO NMERO DE DIAS ENTRE DUAS DATAS

Obtemos a quantidade de dias entre duas datas atravs da funo g DYS:

1) tecle a data base seguida de ENTER; 2) tecle a segunda data; 3) tecle g DYS

Exemplo 01: Quantos dias h entre 13.03.2003 e 24.052003?



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13.032003 ENTER 24.052003 g DYS ===> Resp.: 72 dias

Esta resposta leva em considerao o nmero real de dias entre as duas datas (inclusive os anos bissextos).

2.14 PORCENTAGEM

PORCENTAGEM a parte proporcional calculada sobre uma quantidade de 100 unidades.

A resoluo envolve sempre uma Regra de Trs Simples diretamente proporcional.

Exemplo 01: O salrio de um funcionrio em maro/2003 era de R$ 1.252,00. Em maio/2003 recebeu um reajuste de 3,38%. Qual o valor do aumento no salrio?

CLCULO DA PORCENTAGEM na HP 12C: utiliza-se a tecla % .

a) Alimenta-se na calculadora o valor base sobre o qual queremos calcular a porcentagem (ENTER); b) Alimenta-se a taxa percentual e a tecla %; c) O resultado que aparecer no visor a porcentagem calculada.

1252 ENTER 3.38% ===> Resp.: R$ 42,32 (aumento)

2.15 CDIGOS DE ERRO

Eventualmente, na operao da HP12C pode ocorrer alguma falha, resultando em um procedimento incorreto, muitas vezes indicado por uma mensagem de erro. As principais

mensagens de erro da calculadora sero descritas no quadro a seguir:

Error 0 Erro em operaes matemticas. Exemplos: diviso de nmero por zero, raiz quadrada de nmero negativo, logaritmo de nmero menor ou igual a zero, fatorial de nmero no inteiro.

Error 1 Ultrapassagem da capacidade de armazenamento e processamento da mquina: a magnitude do resultado igual ou superior a 10100. Por exemplo, fatorial de 73.

Note que a mensagem de erro no aparece: apenas uma srie de noves aparece no visor.

Error 2 Operaes estatsticas com erro. Por exemplo, mdia com n igual a 0.



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Error 3 Erro de clculo da taxa interna de retorno (IRR). Neste caso, a mensagem informa que o clculo complexo, podendo envolver mltiplas respostas, e no

poder prosseguir, a menos que voc fornea uma estimativa para a taxa interna de retorno (IRR).

Error 4 Erro em operaes com a memria da calculadora. Por exemplo: tentativa de introduo de mais de 99 linhas de programao; tentativa de desvio (GTO) para uma linha inexistente em um programa; tentativa de operao com os registradores de armazenamento (R% a R9 ou R.0 a R.9); tentativa de utilizao de um registrador ocupado com linha de programao.

Error 5 Erro em operaes com juros compostos. Provavelmente, algum valor foi colocado com sinal errado (todos os valores tm o mesmo sinal), ou os valores de i, PV, e PF so tais que no existe soluo para n.

Error 6 Problemas com uso dos registradores de armazenamento. O registrador de armazenamento especificado no existe, ou foi convertido em linha de programao. O nmero de fluxos de caixa inseridos foi superior a 20.

Error 7 Problemas no clculo da taxa interna de retorno (IRR). No houve troca de sinal no fluxo de caixa.

Error 8 Problemas com o calendrio. Podem ser decorrentes do emprego da data inapropriada ou em formato imprprio; tentativa de adio de dias alm da

capacidade da mquina.

Error 9 Problemas no autoteste. Ou o circuito da calculadora no est funcionando corretamente, ou algum procedimento no autoteste apresentou falhas.



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CAPTULO 3 JUROS OU CAPITALIZAO COMPOSTA

Tambm conhecidos como juros sobre juros, caracterizam-se pela capitalizao dos rendimentos, formando o novo valor para clculo de rendimentos no perodo seguinte. Nesse sistema, definimos um prazo para capitalizar os rendimentos chamado perodo de capitalizao.

Passado um perodo de capitalizao, o rendimento integrar o capital e sobre ele ter rendimentos nos perodos seguintes. Se o perodo de capitalizao for ms, dizemos que capitalizado mensalmente: se dia,

capitalizado diariamente e assim por diante. Isso significa que, quando a capitalizao for mensal, cada ms que passa, os rendimentos so somados ao capital e no ms seguinte os

rendimentos sero calculados sobre essa soma. No regime de capitalizao, para o clculo dos juros, por conveno, utilizaremos a conveno exponencial.

3.1 MONTANTE PARA PERODOS INTEIROS Chamando de:

PV = Valor Presente (do ingls Presente Value). Tambm chamado de capital ou principal

FV = Valor Futuro (do ingls Future Value). Tambm chamado de montante ( do ingls aMount);

n = Tempo de aplicao (do ingls number, ou seja, o nmero de perodos); i = Taxa de juros (do ingls interest rate, que quer dizer taxa de juros); j = Juros; CHS = Mudana de sinal ( do ingls CHange Signal ). Temos:

1) Clculo do Montante (FV):

FV = PV (1 + i)n ou FV = PV + J ou FV = j

[ (1 + i)n - 1 / (1 + i)n ]



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2) Clculo do Capital (PV): PV = FV

(1 + i) n

3) Clculo da taxa (i):

4) Clculo tempo (n):

n = log ( FV/PV ) log (1 + i) Como encontrar o logaritmo na base 10 na HP 12C: digite o logaritimando e pressione: g

LN 10 g LN 5) Clculo do juros compostos:

Notas: 1) O prazo de aplicao n expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa

i considerada. 2) Observe que o valor principal (PV) foi introduzido com o sinal negativo para atender

aos princpios da conveno de fluxo de caixa (toda entrada de dinheiro ter sinal positivo e toda sada, negativo), uma vez que, internamente, a HP-12C necessita de tais parmetros para realizar seus clculos.

3) Sempre que efetuar os clculos atravs da HP 12C, procure apagar os registros financeiros : f FIN . Para que a calculadora HP-12C possa realizar operaes a juros compostos, com prazos no inteiros, utilizando a conveno exponencial, necessrio certificar se a letra c est presente no canto inferior direito do visor. Se no estiver, pressione as teclas: STO EEX.

i = [ (FV/PV)1/n - 1 ] x 100

j = PV [ (1 + i )n - 1 ] ou J = FV x (1 + i)n 1 ou j = FV - PV (1 + i)n



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Exemplos de Aplicao: 1) Calcule o montante produzido por R$2.000,00, aplicados em regime de juros

compostos 5% ao ms, durante 2 meses. PV = R$2.000,00 i = 5% a.m. = 5%/100 = 0, 05 a.m. n = 2 meses FV = ?

Utilizando a frmula FV = PV (1 + i)n, teremos:

FV = 2.000 (1 + 0,05)2 FV = 2.000 (1,05)2 FV = 2.000 x 1,10250

FV = R$2.205,00 Podemos fazer esse clculo com o uso de calculadoras financeiras. Usando a HP 12C, temos:

f FIN f 6 2.000,00 CHS PV

5 i 2 n

FV

O montante R$2.205,00 2) Calcule o capital que, no prazo de 5 meses, 3% ao ms, produziu um montante de

R$4.058,00. FV = R$4.058,00 i = 3% a.m. = 3%/100 = 0, 03 a.m. n = 5 meses PV = ? Utilizando a frmula PV = FV , teremos:

(1 + i) n PV = 4.058,00 = 4.058,00 = R$3.500,47

(1,03)5 1,159274 Podemos fazer esse clculo com o uso de calculadoras financeiras. Usando a HP 12C, temos:

f FIN f 6 4.058,00 FV 3 i 5 n PV O capital R$3.500,47



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3) O capital de R$8.700,00, colocado a juros compostos taxa de 3,5% ao ms, elevou-se no fim de certo tempo a R$11.456,00. Calcule o tempo em que o capital permaneceu aplicado.

FV = R$11.456,00 PV = R$8.700,00 i = 3,5% a.m. = 3,5%100 = 0,035 a.m. n = ? Utilizando a frmula : n = log ( FV/PV ) , teremos: log (1 + i) n = log (11.456,00/ 8.700,00) n = log 1, 316782 log 1,035 log 1,035

n = 0,119514 = 8 meses

0,014940

Podemos fazer esse clculo com o uso de calculadoras financeiras. Usando a HP 12C, temos:

f fin f 6 11.456,00 FV 8.700,00 CHS PV

3,5 i n

O tempo em que o capital ficou aplicado foi de 8 meses 4) Sabendo que o capital de R$85.000,00 aplicado em um prazo de nove anos gerou o

montante de R$115.846,28, calcule a taxa de juros compostos da aplicao. FV = R$115.846,28 PV = R$85.000,00 n = 9 anos i = ?

Utilizando a frmula : i = [ (FV/PV)1/n - 1 ] x 100 , teremos:

i =[ (115.846,28/85.000,00)1/9 1] x 100 i = [ (1,362897)0,111111 - 1 ] x 100 i = [1,035 -1] x 100 i = 0,035 x 100 = 3,5% a.a.



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f fin f 6 115.846,28 FV 85.000,00 CHS PV 9 n i

A taxa de juros 3,5% ao ano.

NOTA: No clculo do TEMPO, a HP-12C arredonda a resposta para o inteiro imediatamente superior nos casos em que o resultado for fracionrio. Para contornar esse problema de arredondamento na HP-12C, deve-se armazenar no registrador financeiro a TAXA EQUIVALENTE DIRIA A JUROS COMPOSTOS (pgina 20), para que o resultado do prazo seja calculado e fornecido em uma quantidade exata de dias.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1) Calcule o montante produzido pela aplicao de um capital de R$17.000,00 a juros compostos de 1,25% ao ms, durante 14 meses.

2) Sabendo que um capital inicial em regime de juros compostos, taxa de 2,5% ao ms, durante 4 meses, gerou um montante de R$79.475,00. Calcule o capital.



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3) Determine em que prazo um emprstimo de R$11.000,00 pode ser quitado em nico pagamento de R$22.125,00, sabendo que a taxa contratada de 15% ao semestre em regime de juros compostos.

4) Uma loja financia um bem de consumo durvel, no valor de R$80.000,00, sem entrada, para pagamento em nica prestao de R$100.000,00 no final de 1 trimestre. Qual a taxa cobrada pela loja?

5) Calcule o valor do capital que, aplicado taxa de 40% ao semestre, produz, ao final de 18 meses, o montante de R$30.000,00.

Recomendao: Neste caso, como ainda no vimos taxas equivalentes no sistema de capitalizao composta, vamos transformar o tempo mensal para semestral!



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6) O capital de R$83.000,00, aplicado taxa de 30% ao ano, produziu o montante de R$182.351,00 aps quantos meses de aplicao?

Recomendao: No esquea de efetuar a converso do tempo em anos para meses no final da resoluo deste exerccio!

7) Calcule o montante produzido pela aplicao de um capital de R$15.000,00 a juros compostos de 1,45% ao ms, durante 3 meses.

GABARITO DOS EXERCCIOS PROPOSTOS

1) R$20.229,23 2) R$72.000,43 3) 5 semestres 4) 25% ao trimestre 5) R$10.932,94 6) 3 anos = 36 meses 7) R$15.662,01



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3.2 MONTANTE PARA PERODOS NO INTEIROS (PERODO FRACIONRIO)

Pode ocorrer que um nmero de perodos financeiros no seja um nmero inteiro. Desse modo, a obteno do montante para perodos no inteiros s pode ser feita mediante convenes adicionais. comum serem adotadas duas convenes: a conveno linear e a conveno exponencial. Na conveno linear (menos utilizada) os juros do perodo no inteiro so calculados por interpolao linear. Na conveno exponencial (usualmente empregada) os juros do perodo no inteiro so calculados utilizando a taxa equivalente. Seja, por exemplo, calcular o montante de um capital de R$1.000,00 a juros compostos de 2% ao ms, durante 2 meses e 15 dias (2,5 meses). Ento, temos: 1) Pela conveno exponencial, trata-se a capitalizao da frao de tempo como se fosse

mais um perodo concludo, embora fracionrio:

PV = R$1.000,00 i = 2% a.m. = 2%/100 = 0,02 a.m. n = 2,5 meses FV= ?

FV = PV x (1 + i)n FV = 1.000,00 x (1,02)2,5 = R$1.050,75 Neste caso, para efetuarmos o clculo acima, teremos que fazer uso de uma calculadora cientfica ou financeira.

Se na HP 12C no estiver visvel na parte inferior do visor a letra c, pressione a sequncia

de teclas STO EEX. Usando a HP 12C, temos: f FIN f 6 1.000,00 CHS PV 2 i

2,5 n FV

O montante R$1.050,75

Exemplos de aplicao: 1) Um capital de R$1.000,00 emprestado taxa de juros compostos de 10% ao ano, por

5 anos e 6 meses. Qual ser o montante a receber?



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PV = R$1.000,00 i = 10% a.a. = 10%/100 = 0,10 a.a. n = 5 anos e 6 meses (5,5 anos) FV = ?

FV = PV (1 + i)n FV = 1.000,00 x (1,10)5,5 FV = 1.000,00 x 1,689117 = R$1.689,12


f FIN f 6 1.000,00 CHS PV

10 i 5,5 n FV


2) Calcular o montante para um capital inicial de R$10.000,00, a juros compostos de 4% ao ms, durante 8 meses e 12 dias.

PV = R$10.000,00 i = 4% a.m. = 4%/100 = 0,04 a.m. n = 8 meses e 12 dias FV =? Obs.: Sabe-se que 8 meses e12 dias = 252 dias que a corresponde a 252/30 do ms = 8,4 meses

FV = PV x (1 + i)n FV = 10.000,00 x (1,04)8,4 FV = 10.000,00 x 1,3900209 = R$13.902,09


f FIN f 6 10.000,00 CHS PV

4 i

8,4 n

FV




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EXERCCIOS PROPOSTOS

1) Uma pessoa aplicou o valor de R$15.000,00, a juros compostos, taxa de 1,25% ao ms, durante 8 meses e 21 dias. Qual ser o montante a receber?

2) Calcular o montante para um capital inicial de R$130.000,00, a juros compostos de 2,5% ao ms, durante 4 meses e 27 dias.

3) O valor de R$1.940,00 foi aplicado a juros compostos, taxa efetiva de 3% ao ano, durante 1 ano, 9 meses e 18 dias. Calcule o montante.

Lembrete: transforme 1 ano, 9 meses e 18 dias em anos.


1) R$ 16.711,98 2) R$146.720,33 3) R$2.046,01



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3.3 TAXAS EQUIVALENTES NO REGIME DE CAPITALIZAO COMPOSTA

Como foi visto em juros simples, as taxas equivalentes so as que, quando aplicadas ao mesmo capital, rendem, para o mesmo perodo, os mesmos juros. Vimos que, no regime de capitalizao simples, as taxas proporcionais so equivalentes. Por exemplo, 12% a.a

rendem os mesmos juros simples que 1% a.m, para o mesmo perodo. Na capitalizao composta, isso no ocorre. de notar que os juros compostos de 1% a.m, capitalizados mensalmente, equivalero a uma taxa anual maior do que 12% . Vejamos as frmulas abaixo:.

1) Taxa equivalente decorrente de um perodo maior ( perodo menor para perodo maior):

i = [ ( 1 + i )n - 1 ] . 100 onde n = nmero de perodos de capitalizao contidos na taxa

Usando a HP 12C, temos: Se na HP 12C no estiver visvel na parte inferior do visor a letra c, pressione a sequncia

de teclas STO EEX. Posteriormente, siga os seguintes passos: f FIN f 6 100 + Taxa percentual CHS FV

100 PV

Tempo convertido 1/x n i

2) Taxa equivalente decorrente de um perodo menor (perodo maior para perodo menor):

i = [ ( 1 + i )1/n - 1 ] . 100 onde n = nmero de perodos de capitalizao contidos na taxa

Usando a HP 12C, temos: Se na HP 12C no estiver visvel na parte inferior do visor a letra c, pressione a sequncia de teclas STO EEX.



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Posteriormente, siga os seguintes passos: f FIN f 6 100 + Taxa percentual CHS FV 100 PV

Tempo convertido n i

Seja, por exemplo, o caso do capital de R$500,00 aplicado a 1% a.m., durante 24 meses. A taxa anual equivalente, ou seja, a que, nos 24 meses (dois anos), ir proporcionar os mesmos juros, de 12,68% ao ano. i = 1% a.m. =1%/100 = 0,01 a.m. n = 1 ano = 12 meses

i = [ ( 1 + i )n - 1 ] . 100 i = [ (1,01)12 - 1] . 100 i = [ 1,1268 1] . 100 i = 0,1268 x 100 = 12,682503% a.a.

Usando a HP 12C, temos: f FIN f 6 101 CHS FV 100 PV

12 1/x n i

A taxa anual equivalente de 12,682503% .

Verifiquemos:

1% em 24 meses com capitalizao mensal:

FV = PV (1 + i)n = 500,00 x (1,01)24 = 500,00 x 1,269735 = R$634,87 12,682503% em dois anos, com capitalizao anual:

FV = PV (1 + i)n = 500,00 x (1,126825)2 = 500,00 x 1,269735 = R$634,87



22

Seja, por exemplo, o caso do capital de R$100,00 aplicado a 22,5% ao semestre, durante 1 semestre. A taxa trimestral equivalente que ir proporcionar os mesmos juros, de 10,68% ao trimestre. Veja: i = 22,5% a.s. = 22,5%/100 = 0,225 a.s. n = 1 semestre = 2 trimestres

i = [ ( 1 + i )1/n - 1 ] . 100 i = [ (1,225)1/2 - 1] . 100 i = [ (1,225)0,5 1] . 100 i = 0,106797 x 100 = 10,679718 a.t.

Usando a HP 12C, temos: f FIN f 6 122,5 CHS FV 100 PV

2 n

i

A taxa trimestral equivalente de 10,679718%

Verifiquemos:

22,5% ao semestre : i = 22,5% a.s. = 22,5%/100 = 0,225 a.s. n = 1 semestre

FV = PV (1 + i)n = 100,00 x (1,225)1 = 100,00 x 1,225 = R$122,50

10,679718% ao trimestre: i = 10,679718% a.t./100 = 0,106797 a.t. n = 1 semestre = 2 trimestres

FV = PV (1 + i)n = 100,00 x (1,106797)2 = 100,00 x 1,225 = R$122,50

EXERCCIOS PROPOSTOS

1) Qual a taxa semestral equivalente para juros compostos a 10% ao ano?



23

2) Calcular as taxas equivalentes a juros compostos, para as seguintes taxas e prazos: a) taxa diria equivalente a 2% ao ms.

b) taxa mensal equivalente a 12,68% ao ano.

c) taxa anual equivalente a 0,15% ao dia.


1) 4,880885% a.s 2) a) 0,066031% a.d b) 0,999813% a.m c) 71,531271% a.a

3.4 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA

Uma distino importante nas variaes dos tipos de taxas de juros aquela entre taxas nominais e taxas efetivas. Em princpio, de modo bsico, as taxas efetivas mantm correspondncia com o perodo de capitalizao, enquanto as nominais no mantm essa correspondncia .



24

As taxas nominais so expressas normalmente em termos anuais, mas as operaes a que se

referem tm um perodo de capitalizao diferente. Por exemplo, um gerente de banco diz

que determinado emprstimo tem taxa nominal de 25% ao ano, com capitalizao trimestral. Para fazermos os clculos de juros e montantes, precisamos trabalhar com a taxa efetiva, no caso, trimestral. Este o ponto chave ao lidar com taxas nominais: a converso da taxa nominal para a taxa efetiva feita usando proporcionalidade (como feito em juros simples), mas uma vez que se encontra a taxa efetiva, os clculos de juros e montantes so feitos em regime de juros compostos.

Seguindo com o exemplo sugerido, se a taxa nominal 25% ao ano, com capitalizao trimestral, ento a taxa efetiva 25/4 = 6,25% ao trimestre. Essa a taxa efetiva, a ser usada nos clculos de juros e montantes, em regime de juros compostos. Repare que a converso da taxa nominal para a taxa efetiva foi feita de modo proporcional.

Vemos que a converso da taxa nominal para efetiva feita de modo linear, e ento, com a taxa efetiva, fazemos os clculos em regime de juros compostos.

Sempre que temos uma taxa efetiva e queremos outra taxa efetiva, fazemos a equivalncia de taxas, ou seja, calculamos uma taxa equivalente. Quando oferecemos 6% ao ano, e capitalizamos semestralmente a 3%, a taxa de 6% , como vimos, a taxa nominal. A taxa efetiva a taxa anual EQUIVALENTE a 3% semestrais.

A reduo da taxa nominal taxa efetiva anual feita de acordo com o seguinte procedimento: a) Converte-se a taxa nominal em taxa proporcional, b) Calcula-se, em seguida, a taxa equivalente, encontrando assim a taxa efetiva.

Exemplos de aplicao:

1) Qual o montante de um capital de R$5.000,00, no fim de 2 anos, com juros compostos de 24% ao ano, capitalizados trimestralmente? PV = R$5.000,00 i = 24% a.a/4 = 6% a.t. = 6%/100 = 0,06 a.t. n = 2 anos = 8 trimestres



25

FV = PV (1 + i)n = 5.000,00 x (1,06)8 = 5.000,00 x 1,59385 = R$7.969,25

No exemplo anterior temos uma taxa nominal. Por conveno efetuamos a converso da taxa anual para trimestral, utilizando a taxa proporcional. No podemos, tambm, esquecer de converter o tempo conforme o perodo de capitalizao solicitado.


f FIN f 6 5.000,00 CHS PV 6 i 8 n

FV = R$7.969,25

2) Calcular a taxa efetiva anual equivalente taxa nominal de 36% ao ano, com capitalizao trimestral.

1 passo: converter a taxa nominal dada em proporcional: 36% a.a. = 9% a.t. 2 passo: Encontrada a taxa proporcional de 9% a.t., vamos calcular a taxa anual

equivalente a 9% a.t., aplicando a seguinte frmula: i = [ ( 1 + i )n - 1 ] . 100 i = 9% a.t = 9%/100 = 0,09 a.t n = 1 ano = 4 trimestres

i = [ ( 1 + i )n - 1 ] . 100 i = [ (1,09)4 - 1] . 100 i = [ 1,411582 1] . 100 if = 0,411582 x 100 = 41,158161% a.a.

Usando a HP 12C, temos: Se na HP 12C no estiver visvel na parte inferior do visor a letra c, pressione a sequncia de teclas STO EEX. f FIN f 6 4 1/x n 109 CHS FV i 100 PV

A taxa anual efetiva de 41,158161% .



26

3) Um banco emprestou R$8.000,00 por 1 ano, taxa anual de 18%, com capitalizao bimestral. Qual ser a taxa efetiva anual equivalente e o montante que ser devolvido ao final do ano? PV = R$8.000,00 i = 18% a.t = 3% a.b. = 3%/100 = 0,03 a.b n = 1 ano = 6 bimestres

FV = PV (1 + i)n = 8.000,00 x (1,03)6 = 8.000,00 x 1,194052 = R$9.552,42 Calculando a taxa efetiva anual, teremos: 1 passo: converter a taxa nominal dada em proporcional: 18% a.a. = 3% a.b. 2 passo: Encontrada a taxa proporcional de 3% a.b., vamos calcular a taxa anual

equivalente a 3% a.b., aplicando a seguinte frmula: i = [ ( 1 + i )n - 1 ] . 100 i = 3% a.b. = 3%/100 = 0,03 a.b. n = 1 ano = 6 bimestres

i = [ ( 1 + i )n - 1 ] . 100 i = [ (1,03)6 - 1] . 100 i = [ 1,194052 1] . 100 if = 0,194052 x 100 = 19,405230% a.a. (Essa a taxa efetivamente paga ou recebida)

Usando a HP 12C, temos: Se na HP 12C no estiver visvel na parte inferior do visor a letra c, pressione a sequncia de teclas STO EEX. f FIN f 6 103 CHS FV

100 PV 6 1/x n i

A taxa anual efetiva de 19,405230%

Clculo do Montante

f FIN f 6 8.000,00 CHS PV 3 i

6 n FV




27

EXERCCIOS PROPOSTOS

1) Um banco emprestou a importncia de R$1.000,00 por 1 ano. Sabendo-se que o banco cobra a taxa de 12% ao ano, com capitalizao mensal, pergunta-se: qual o montante a ser devolvido ao final?

2) Um capital de R$2.400,00 foi aplicado a juros compostos, taxa nominal de 12% a.s., capitalizado mensalmente, durante 2 anos. Calcule o valor dos juros.

3) Um capital aplicado a juros compostos, taxa de 18% a.a , capitalizada mensalmente, formou o montante de R$1.460,00, aps aplicao durante 2 anos. Calcule o valor aplicado.

4) Durante quanto tempo um capital de R$2.500,00 produzem de juros compostos, R$1.484,62 a uma taxa de 24% ao ano, capitalizados trimestralmente?



28

5) Uma taxa nominal de 18% ao ano capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva anual equivalente.

6) A caderneta de poupana pagava juros de 6% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual a taxa anual efetiva equivalente de juros compostos?

7) Um banco emprestou a importncia de R$35.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalizao trimestral, qual a taxa efetiva anual equivalente e qual o montante a ser devolvido ao final dos 2 anos?

GABARITO DOS EXERCCIOS PROPOSTOS 1) R$1.126,83 2) R$1.460,25 3) R$1.021,33 4) 8 trimestres 5) 18,81% a.a. 6) 6,167781% a.a. 7) if = 41,158161% a.a. e FV = R$69.739,69



29

CAPTULO 4

RENDAS CERTAS OU ANUIDADES

Trataremos como anuidades todas as operaes financeiras que envolvem pagamentos ou recebimentos parcelados. Basicamente, trataremos dos pagamentos de compras em prestaes, pagamentos de emprstimos em prestaes e depsitos peridicos para constituio de um montante, valor futuro.

Quando estivermos tratando de pagamentos em prestaes, denominaremos de anuidades relacionadas com valor atual ,e quando estivermos tratando de depsitos que iro formar um montante, denominaremos de anuidades relacionadas com valor futuro.

O processo de realizao de depsitos sucessivos com o objetivo de formar um fundo, um capital ou uma poupana chamado de capitalizao. Ao processo de pagamento de uma dvida d-se o nome de amortizao

Podemos classificar as anuidades quanto: a) AO PERODO: a.1) Peridicas: quando o intervalo entre as parcelas igual. a.2) No-peridicas: quando o intervalo entre as parcelas no igual. b) AO PRAZO: b.1) Temporrias: com durao limitada. b.2) Perptuas: com durao ilimitda, sem prazo definido para terminar. c) AO VALOR: c.1) Constantes: com todas as parcelas iguais. c.2) Variveis: com parcelas de valores diferentes. d) FORMA: d.1) IMEDIATAS: quando no temos prazo de carncia. Uma anuidade imediata pode ser: Postecipadas ou postergadas: termos exigidos no fim de cada perodo. Ex.: compra de

um bem de consumo qualquer, financiado em prestaes mensais, sendo a primeira

prestao pagvel um ms aps a assinatura do contrato.



30

Antecipadas: termos exigidos no incio de cada perodo. Exemplo: compra de um bem qualquer, financiado em prestaes mensais, sendo a primeira prestao pagvel na ocasio do contrato.

d.2) DIFERIDAS: quando temos prazo de carncia Uma anuidade diferida pode ser: Postecipadas ou postergadas: temos uma anuidade diferida postecipada ou postergada,

quando, excludo o tempo de carncia, apresentar uma anuidade imediata postecipada ou postergada, ou seja, termos exigidos no fim de cada perodo.

Exemplo: compra de um bem qualquer, financiado em prestaes mensais, sendo que a primeira prestao tem seu vencimento marcado para, por exemplo, trs meses aps a compra.

Antecipadas: temos anuidade diferida antecipada quando, excludo o tempo de carncia,

ficar uma anuidade imediata antecipada, ou seja, termos exigidos no incio de cada perodo.

Exemplo: compra de um bem qualquer, financiado em prestaes mensais, sendo a primeira prestao pagvel na ocasio do contrato e para as demais prestaes dado um perodo de carncia.

4.1 ANUIDADES IMEDIATAS POSTECIPADAS EM RELAO AO VALOR FUTURO

Esse no o caso de pagar uma dvida, mas de fazer depsitos para ter um valor acumulado depois de uma srie de depsitos. Neste tem vamos estudar a determinao do montante constitudo por depsitos peridicos de quantias constantes sob as quais incidem as mesmas taxas. Chamando de:

FV = Montante ou Valor Futuro

PMT = Valor dos depsitos (do ingls PayMenT) i = taxa de juros n = quantidade de depsitos



31

Temos:

1) Clculo do Montante (FV):

2) Clculo do Depsito (PMT):

3) Clculo da taxa de juros (i):

Nota: At hoje, ainda no temos uma frmula que possamos aplicar para encontrar a taxa, como tnhamos at aqui para as demais variveis. Temos vrias tentativas, mas nenhuma ainda satisfaz. Um exemplo a frmula demonstrada acima de Francis Baily. Como mencionado, mesmo com essa frmula no conseguimos encontrar a taxa exata. Por esse motivo no vamos levar adiante o estudo dessa frmula.

FV = PMT . (1 + i)n

- 1 i

PMT = FV .

i

(1 + i)n - 1

2 n - 1 i = 100 h . 12 + (n + 1) . h___ , onde h = FV - 1 12 + 2 (n + 1) . h n. PMT



32

4) Clculo do nmero de depsitos (n):

log [(FV. i / PMT) + 1] n = log (1 + i)

5) Clculo dos juros a receber (j):

J = FV (PMT. n)

Exemplos de aplicao:

1) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada ms, durante 5 meses, a quantia de R$100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostas de 2% ao ms, capitalizados mensalmente.

PMT = R$100,00 i = 2% a.m. = 2%/100 = 0,02 a.m. n = 5 depsitos mensais FV= ?

M = R$520,40

Podemos fazer esse clculo com o uso de calculadoras financeiras. Usando a HP 12C, temos ( preciso que a expresso BEGIN no esteja no visor. Se estiver, pressione g END para apag-la): f FIN f 6 g END 100,00 CHS PMT 2 i

5 n FV

O montante foi de R$520,40

FV =PMT . (1 + i)n - 1 FV = 100,00 x (1,02)5 - 1 i 0,02

FV = 100,00 x 1,104081 1 FV =100,00 x 0,104081 = 100,00 x 5,204040

0,02 0,02



33

2) Qual a importncia a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, taxa de 6 % ao ano, de tal modo que, ao fazer o 10 depsito, forme o montante de R$400.000,00?

FV = R$400.000,00 i = 6% a.a. = 6%/100 = 0,06 a.a n = 10 depsitos anuais PMT = ?

PMT = 400.000,00 x 0,075868 = R$30.347,17 Podemos fazer esse clculo com o uso de calculadoras financeiras. Usando a HP 12C, temos:

f FIN f 6 g END 400.000,00 FV

6 i 10 n

PMT

As parcelas a serem depositadas no final de cada ano ser no valor de R$30.347,18

3) A que taxa uma pessoa, realizando depsitos mensais imediatos no valor de R$8.093,00, forma um montante de R$135.000,00 ao fazer o dcimo quinto depsito?

FV = R$135.000,00 PMT = R$8.093,00 n = 15 depsitos mensais i = ?

Iremos fazer esse clculo com o uso de calculadoras financeiras. Usando a HP 12C, temos:

f FIN f 6 g END

135.000,00 FV 8.093,00 CHS PMT 15 n i

A taxa mensal ser de 1,499118%

PMT = M . i PMT = 400.000,00 x 0,06 (1 + i)n - 1 (1,06)10 - 1

PMT =400.000,00 x 0,06 PMT = 400.000,00 x 0,06 1,790848 1 0,790848



34

4) Quantos depsitos mensais imediatos e postecipados de R$500,00 devem ser colocadas, taxa de 2% ao ms, a fim de se constituir o montante de R$6.706,00?

FV = R$6.706,00 PMT = R$500,00 i = 2% a.m. = 2%/100 = 0,02 a.m. n = ? n = log [( FV. i/PMT) + 1] n = log [(6.706,00 x 0,02/500,00) + 1] log (1 + i) log 1,02

n = log [ (134,12/500,00) + 1] n = log 0,268240 + 1 = log 1,268240 = 0,103201 log 1,02 log 1,02 log 1,02 0,008600

n = 12 depsitos mensais


f FIN f 6 g END 6.706,00 FV 500,00 CHS PMT 2 i

n

Ser necessrio efetuar 12 depsitos mensais no valor de R$500,00 cada um.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1) Uma pessoa deposita R$680,00 no final de cada ms. Sabendo que seu ganho de 1,5% ao ms, quanto possuir em 2 anos?



35

2) Quanto devo depositar mensalmente para ter, no momento do quarto depsito, o saldo de R$2.022,61, se receber juros de 0,75% a.m.?

3) Uma pessoa efetuou depsitos mensais de R$2.000,00, recebendo juros de 1,2% a.m., e, no momento do ltimo depsito tinha o saldo de R$23.368,68. Quantos depsitos efetuou?

4) Uma pessoa efetuou 10 depsitos mensais numa conta que paga juros de 1,2% a.m, tendo no momento do ltimo o saldo de R$833,38. Quanto depositou mensalmente?



36

5) Uma pessoa efetuou 9 depsitos mensais de R$110,00, tendo no momento do ltimo depsito o saldo de R$1.020,00. Calcule a taxa de juros que recebeu.

6) Uma pessoa efetuou 7 depsitos mensais de R$2.000,00, recebendo juros de 2% ao ms. Qual ser o seu saldo no momento do ltimo depsito?

7) Uma pessoa efetuou depsitos mensais de R$150,00 recebendo juros de 1,3% ao ms, e no momento do ltimo depsito tinha o saldo de R$2.833,25. Quantos depsitos efetuou?


1) R$25.526,30 2) R$500,00 3) 11 depsitos mensais 4) R$78,94 5) 0,744497% a.m. 6) R$14.868,57 7) 17 depsitos mensais



37

4.2 ANUIDADES IMEDIATAS POSTECIPADAS EM RELAO AO VALOR ATUAL

Esse caso de compra, venda ou emprstimo. Podemos dizer que, em outras palavras, quando estudamos as anuidades em relao ao valor atual, estudamos pagamento de uma dvida ( ou de um emprstimo, ou o valor vista de uma mercadoria). Para que possamos enquadrar uma anuidade nesse captulo, todas as prestaes devem ter o mesmo valor, ter o mesmo intervalo, uma quantidade de prestaes definida e no ter carncia. .

Iremos estudar a anuidade que consideramos modelo bsico, aquela que, quanto ao perodo,

peridica, quanto ao prazo, temporria, quanto ao valor, constante, e quanto forma imediata postecipada ou postergada.

Essa a unidade ou srie de parcelas em que a primeira prestao ser paga um intervalo aps a realizao da operao. Um intervalo aps significa o mesmo intervalo que tm entre si as demais prestaes.

Chamando de:

PV = Valor de uma dvida ou valor atual (ou de um financiamento, emprstimo ou valor vista de uma mercadoria)

PMT = Valor das parcelas ou prestaes a serem amortizadas (do ingls PayMenT). i = taxa de juros n = quantidade de prestaes ou parcelas a serem amortizadas

Temos:

1) Clculo do valor de uma dvida (ou de um financiamento, emprstimo, ou o valor vista de uma mercadoria) (PV):

PV = PMT . (1+i)n 1

(1+i)n . i



38

2) Clculo do valor das parcelas (ou prestaes) a serem amortizadas (PMT):

3) Clculo da quantidade de parcelas (ou prestaes) a serem amortizadas (n):

n = - log [ 1 - ( PV. i /PMT)] log (1 + i)

4) Clculo da taxa de juros de amortizao:

Nota: At hoje, ainda no temos uma frmula que possamos aplicar para encontrar a taxa, como tnhamos at aqui para as demais variveis. Temos vrias tentativas, mas nenhuma ainda satisfaz. Um exemplo a frmula demonstrada acima de Francis Baily. Como mencionado, mesmo com essa frmula no conseguimos encontrar a taxa exata. Por esse motivo no vamos levar adiante o estudo dessa frmula.

5) Clculo dos juros a pagar (j): j = (PMT . n) PV

Exemplos de Aplicao:

1) Tenho que quitar um financiamento contratado taxa de 12% ao ms, mediante o pagamento de 18 parcelas mensais, postecipadas e iguais de R$450,00 cada uma. Qual o valor deste financiamento?

PMT = PV . (1+i)n. i

(1+i)n - 1

2 n + 1 i = 100 h . 12 (n 1) . h onde h = PMT x n - 1 12 2 (n 1) . h PV



39

PMT = R$450,00 i = 12% a.m. = 12%/100 = 0,12 a.m. n = 18 parcelas mensais PV = ?


f FIN f 6 g END 450,00 CHS PMT 12 i

18 n PV

O valor financiado foi de R$3.262,35

2) O preo de um carro de R$17.700,00. Um comprador d 40% de entrada e o restante financiado taxa de 5% ao ms em 10 meses. Calcule o valor da prestao mensal.

Valor financiado: 17.700,00 40% = R$10.620,00 PV = R$10.620,00 i = 5% a.m. = 5%/100 = 0,05 a.m. n = 10 parcelas mensais PMT = ?

PV = PMT . (1+i)n 1 PV = 450,00 x (1,12)18 - 1 = 450,00 x 7,689966 - 1

(1+i)n . i (1,12)18 x 0,12 7,689966 x 0,12

PV = 450,00 x 6,689966 PV = 450,00 x 7,249669 = R$3.262,35 0,922796

PMT = PV . (1+i)n . i = 10.620,00 x 0,05 (1,05)10 = 10.620,00 x 0,05 x 1,628895

(1+i)n - 1 (1,05)10 1 1,628895 - 1 PMT = 10.620,00 x 0,081445 = 10.620,00 x 0,129504 = R$1.375,34 0,628895



40


f FIN f 6 g END 10.620,00 PV 5 i 10 n

PMT

O valor das prestaes mensais ser de R$1.375,34 cada uma.

3) Qual a taxa de um financiamento de R$100.000,00 que ser pago em 6 (0 + 6) parcelas mensais e iguais de R$37.839,43?

PV = R$100.000,00 PMT = R$37.839,43 n = 6 parcelas mensais i = ? Iremos fazer esse clculo com o uso de calculadoras financeiras. Usando a HP 12C, temos:

f FIN f 6 g END 100.000,00 PV

37.839,43 CHS PMT 6 n i

A taxa ser aproximadamente de 30% ao ms.

4) Quantas prestaes mensais, postecipadas de R$900,00 sero necessrias para, a 3,5% ao ms, se pagar uma dvida de R$12.791,00?

PV = R$12.791,00 PMT = R$900,00 i = 3,5% a.m. = 3,5%/100 = 0,035 a.m. n = ?

n = - log [ 1 - ( PV. i /PMT)] - log [ 1 (12.791,00 x 0,035/900)] log (1 + i) log 1,035

n = - log [1 (447,685/900)] n = - log [1 0,497428] n = - log 0,502572 log 1,035 log 1,035 log 1,035

n = - (- 0,298802) = 0,298802 = 20 prestaes mensais 0,014940 0,014940



41


f FIN g END

12.791,00 PV 900,00 CHS PMT 3,5 i n

Ser necessrio 20 prestaes mensais. OBS.1) A calculadora financeira HP 12C nunca fornecer resultado fracionrio para a varivel n. Caso este no seja um nmero inteiro, fornecer o primeiro nmero inteiro maior. Para saber se realmente um nmero inteiro, devemos pressionar a tecla FV, se o resultado for 0 ou bem prximo de 0, podemos afirmar que a quantidade de prestaes

corresponde a um nmero inteiro. Caso contrrio, teremos uma parcela complementar que ser cobrada juntamente com a ltima parcela. Como proceder para encontrar a parcela complementar? Aps registrados os dados na HP 12C, iremos seguir o seguintes passos:

Pressione a tecla FV

Registre o nmero de parcelas encontrada anteriormente menos uma unidade.

Pressione a tecla FV, encontrando assim a parcela complementar.

Veja o exemplo: Uma pessoa v na loja uma mercadoria que custa R$599,37. Dirige-se ao vendedor e diz que queria comprar a mercadoria, mas pode pagar R$120,00 por ms, comeando um ms depois. O vendedor, sabendo que a loja cobra juros compostos de 6,25% ao ms, precisa calcular quantas prestaes deve cobrar. Ajude-o a descobrir. f fin g end 599,37 PV 120,00 CHS PMT 6,25 i n = 7 prestaes mensais



42

Se a quantidade de prestaes fosse realmente 7, o resultado de FV deveria ser 0 ou, como o mais comum, bem prximo de 0. Como o resultado foi 98,755532, sabemos que a calculadora forneceu o nmero inteiro maior.

Para saber o valor da parcela complementar, no caso da HP 12C, digite o nmero de parcelas apresentado anteriormente menos 1e pressione a tecla FV. Veja: 6 n FV = R$19,99.

Resposta: Dever cobrar seis prestaes mensais e, juntamente com a ltima, a parcela complementar de R$19,99.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1) Uma motocicleta custa, vista, R$3.422,00. Compro-a a prazo dando 20% de entrada e pagando o restante em 12 prestaes mensais de R$275,00. Calcule a taxa do financiamento.



43

2) Uma pessoa comprou uma mercadoria mediante o pagamento de 10 prestaes (0 + 10) de R$85,00 cada uma. Sabendo-se que a financeira trabalha com juros compostos de 15% ao ms, calcule o preo vista da mercadoria.

3) taxa nominal de 96% ao ano, qual o valor das prestaes mensais que amortizam um emprstimo de R$5.000,00 a ser pago no prazo de 20 meses, vencendo a primeira prestao um ms aps a data do emprstimo?

4) juros nominais de 36% ao ano, capitalizados mensalmente, determinar o tempo necessrio para liquidar um financiamento de R$842,36 por meio de prestaes mensais, postecipadas de R$120,00.

5) Uma empresa anunciou a venda de certa mercadoria que custa R$7.750,00 em 20 prestaes mensais de R$550,00, sendo a primeira paga um ms aps a compra. Calcule a taxa de juros.



44

6) Uma pessoa chega loja, v a mercadoria de R$422,52 e faz uma proposta ao vendedor, dizendo que pode pagar R$40,00 por ms, com a primeira um ms depois. Se a loja cobra uma taxa de juros de 4% a.m., quantas prestaes a pessoa dever pagar?

7) Uma mercadoria custa a vista R$890,00, podendo ser adquirida em 6 (0 + 6) prestaes mensais de R$176,00. Calcule a taxa de juros.


1) i = 2,998477% a.m. 2) R$426,60 3) R$509,26 4) 8 prestaes mensais 5) 3,595076% a..m 6) 14 prestaes mensais 7) 5,116613% ao ms



45

4.3 ANUIDADES IMEDIATAS ANTECIPADAS EM RELAO AO VALOR ATUAL

Agora vamos analisar a anuidade antecipada, aquela que, quanto ao perodo, peridica, quanto ao prazo, temporria, quanto ao valor, constante, e quanto forma, imediata antecipada. Essa a anuidade ou srie de parcelas em que a primeira prestao ser paga no momento em que se realiza a operao.

Chamando de:

PV = Valor de uma dvida ou valor atual (ou de um financiamento, emprstimo ou valor vista de uma mercadoria)

PMT = Valor das parcelas ou prestaes a serem amortizadas (do ingls PayMenT). i = taxa de juros n = quantidade de prestaes ou parcelas a serem amortizadas

Temos:

1) Clculo do valor atual, do valor de uma dvida, de um financiamento, emprstimo ou o valor a vista de uma mercadoria (PV):

PV = PMT x [ 1 (1 + i)-n ] x (1 + i) i

2) Clculo das parcelas ou prestaes a serem amortizadas (PMT):

PMT = PV x i

[ 1 (1 + i) n ] x (1 + i)



46

3) Clculo da quantidade de prestaes a serem amortizadas (n):

4) Clculo da taxa (i):

Nota: Como vimos nas anuidades postecipadas ou postergadas, at hoje ainda no temos uma frmula que possamos aplicar para encontrar a taxa, como tnhamos para os demais clculos. Portanto, para encontrar a taxa, iremos utilizar o processo eletrnico, ou seja, o uso de calculadoras financeiras.

5) Clculo dos juros a pagar (j): j = (PMT . n) PV

Exemplos de Aplicao:

1) Calcule o valor a vista de uma mercadoria que pode ser adquirida em 4 prestaes mensais, de R$500,00, com a primeira de entrada, sabendo que a loja cobra juros de 7% ao ms.

PMT = R$500,00 n = 4 prestaes mensais i = 7% a.m/100 = 0,07 a.m. PV = ?

PV = PMT x [ 1 (1 + i)-n ] x (1 + i) = 500 x [ 1 (1,07)-4 ] x 1,07 i 0,07

PV = 500 x [ 1 0,762895 ] x 1,07 = 500 x 0,237105 x 1,07 = 126,851175 0,07 0,07 0,07

PV = R$1.812,16

ln 1 - PV x i PMT x (1 + i) ________________________________

n = ln (1 + i)



47


f FIN f 6 g BEG 500,00 CHS PMT 4 n

7 i

PV

O valor a vista da mercadoria de R$1.812,16

2) Uma geladeira est anunciada por R$800,00 para pagamento a vista ou em 12 prestaes iguais e mensais, sendo a primeira paga no ato da compra (1 + 11). Calcule o valor das prestaes, sabendo que a taxa de juros compostos cobrada pela loja foi de 4,5% ao ms.

PV = R$800,00 n = 12 prestaes mensais i = 4,5% a.m/100 = 0,045 a.m. PMT = ?

PMT = PV x i = 800 x 0,045

[ 1 (1 + i) n ] x (1 + i) [ 1 (1,045)-12 ] x 1,045

PMT = 36 = 36 = R$83,95 [ 1 0,589664 ] x 1,045 0,428801


f FIN f 6 g BEG 800,00 PV 12 n

4,5 i PMT O valor de cada prestao ser de R$83,95 3) Calcular o nmero de prestaes mensais, antecipadas de R$200,00, taxa de 2% ao

ms, referente a um financiamento de R$776,78 PV = R$776,78 i = 2% a.m/100 = 0,02 a.m. PMT = R$200,00 n = ?



48


f FIN f 6 g BEG 776,78 PV 2 i

200,00 CHS PMT

n

OBS.1) A calculadora financeira HP 12C nunca fornecer resultado fracionrio para a varivel n. Caso este no seja um nmero inteiro, fornecer o primeiro nmero inteiro maior. Para saber se realmente um nmero inteiro, devemos pressionar a tecla FV, se o resultado for 0 ou bem prximo de 0, podemos afirmar que a quantidade de prestaes corresponde a um nmero inteiro. Caso contrrio, teremos uma parcela complementar que ser cobrada juntamente com a ltima parcela. Como proceder para encontrar a parcela complementar? Aps registrados os dados na HP 12C, iremos seguir o seguintes passos:

Pressione a tecla FV

Registre o nmero de parcelas encontrada anteriormente menos uma unidade.

Pressione a tecla FV, encontrando assim a parcela complementar.

Veja o exemplo: Uma pessoa v na loja uma mercadoria que custa R$635,97. Dirige-se ao vendedor e diz que queria comprar a mercadoria, mas pode pagar R$120,00 por ms, pagando no ato a primeira.. O vendedor, sabendo que a loja cobra juros compostos de 6,25% ao ms, precisa calcular quantas prestaes deve cobrar. Ajude-o a descobrir.

ln 1 - PV x i____ PMT x (1 + i) ________________________________

n = ln (1 + i) = ln (- 0,923845) = 0,079211 ln 1,02 0,019803

n = 4 prestaes mensais



49

f fin

g beg

635,97 PV 120,00 CHS PMT

6,25 i n = 7 prestaes mensais

Se a quantidade de prestaes fosse realmente 7, o resultado de FV deveria ser 0 ou, como o mais comum, bem prximo de 0. Como o resultado foi 106,243330, sabemos que a calculadora forneceu o nmero inteiro maior. Para saber o valor da parcela complementar, no caso da HP 12C, digite o nmero de

parcelas apresentado anteriormente menos 1 e pressione a tecla FV. Veja: 6 n FV = R$20,01.

Resposta: Dever cobrar seis prestaes mensais e, um ms aps a ltima, mais a parcela complementar de R$20,01.

OBS. 2) Podemos ter parcela complementar em relao ao valor atual e em relao ao valor futuro. No entanto, apenas estudaremos a parcela complementar em relao ao valor atual. Um dos casos mais comuns o leasing. Tambm nesse caso podemos ter anuidade

antecipada ou postecipada.

4) Que taxa estar sendo praticada pela empresa que oferece um televisor cujo preo a vista de R$800,00, para pagamento em oito parcelas (1 + 7) iguais de R$108,67? Qual o valor dos juros pago pelo consumidor nesta transao?

PV = R$800,00 PMT = R$108,67 n = 8 prestaes mensais i = ?

Iremos fazer esse clculo com o uso de calculadoras financeiras. Usando a HP 12C, temos:



50

f FIN f 6 g BEG 800,00 PV

108,67 CHS PMT 8 n

i

A taxa praticada de 2,448985% ao ms.

Calculando os juros desta transao, temos: j = (PMT . n) PV = (108,67 x 8) 800,00 = 869,36 800,00 = R$69,36

EXERCCIOS PROPOSTOS

1) Qual o valor da prestao de um bem que est sendo anunciado para pagamento em 1 + 5 prestaes (entrada mais cinco pagamentos mensais e iguais), sabendo que a taxa praticada de 36% ao ano (nominal) e o valor a vista do aparelho de R$450,00?

2) Qual o valor a vista de um DVD que est sendo oferecido para pagamento em cinco prestaes iguais de R$80,00, taxa de 3,5% ao ms, sendo a primeira prestao paga no ato da compra? Qual o valor dos juros pago pelo consumidor?



51

3) Uma pessoa entra numa loja, v uma mercadoria que custa R$393,60. Diz ao vendedor que pretende levar a mercadoria, mas que s pode pagar R$70,00 por ms, sendo a primeira no ato. Se a loja cobra juros de 8% ao ms, quantas prestaes dever pagar?

4) Em certo jornal, encontramos uma mercadoria ofertada nas seguintes condies: a vista por R$46,80 ou 1 + 1 de R$26,00. Qual a taxa de juros na compra a prazo?

5) Adquiri uma cmera digital atravs de 12 prestaes mensais de R$70,00, com a primeira de entrada. A loja cobrou juros de 7,6% ao ms. Qual o preo a vista que pagaria na aquisio dessa cmera?

GABARITO DOS EXERCCIOS PROPOSTOS 1) R$80,65 2) Valor a vista: R$373,85 Juros: R$26,15 3) 7 prestaes mensais 4) 25% ao ms 5) R$579,57



52

CAPTULO 5

FLUXO DE CAIXA

Qualquer problema de matemtica financeira pode ser facilmente demonstrado por meio de um diagrama de fluxo de caixa, que consiste na representao grfica das entradas e sadas

de dinheiro ao longo do tempo. Observe sua representao bsica: FV

i

n

PV

onde: 1) A linha horizontal representa a linha do tempo, em que so destacadas as entradas e

sadas de dinheiro; 2) Uma entrada de caixa representada por uma seta para cima e seu sinal, para efeitos de

conveno, positivo; 3) Toda sada de caixa representada por uma seta para baixo e seu sinal ser negativo.

Veja um exemplo: FV = R$133,10 i = 10% a.m

n = 3 meses

PV = R$100,00

Neste exemplo verifica-se o seguinte:

1) Houve uma sada de dinheiro na data focal zero de R$100,00; 2) Aps trs meses, o dinheiro foi devolvido com juros de R$33,10, totalizando um

montante de R$133,10.



53

Se a matemtica financeira for analisada com bastante simplicidade e objetividade, pode-se dizer que ela composta de trs tipos bsicos de problemas financeiros, quais sejam:

Tipo 1 Pagamento nico (toma l d c):

i FV

PV n

Trata-se de um sistema em que o principal inicial aplicado ou emprestado ser pagp ou

recebido numa data futura por meio de um nico pagamento, contendo o valor do principal e juros. Este tipo de problema corresponde a uma boa parte dos problemas do mercado financeiro, sendo que o mesmo pode ser realizado, dependendo do contratado, tanto no regime de capitalizao simples como composta.

Alguns exemplos tpicos de produtos do mercado financeiro brasileiro que utilizam tal sistemtica de fluxo de caixa so as operaes de Hot Money (emprstimos de curtssimo prazo), desconto de duplicatas e notas promissrias, emprstimos para capital de giro com pagamento final, certificado de depsito bancrio (CDB), etc.

Tipo 2 Sries uniformes ou parceladas (Credirio)

a) Primeira parcela aps um perodo

PMT

1 2 3 4 ...... n

PV



54

b) Primeira parcela no ato

PMT

1 2 3 4 ..... n

PV

PMT: o valor das prestaes de uma srie uniforme, ou pagamento, como utilizado nas

funes financeiras da HP-12C. Nesse sistema, o principal inicial ser pago ou recebido por meio de prestaes iguais e

com periodicidade constante, podendo a primeira ocorrer na ato da contratao ou um perodo aps. Trata-se de um problema tpico de juros compostos, podendo ser aplicado na soluo das seguintes operaes do mercado financeiro brasileiro: leasing, crdito direto ao consumidor, financiamentos imobilirios, capital de giro parcelado e outras.

Tipo 3 Srie varivel (Fluxo de caixa) FC2

FC4 FC1

FC3

0 1 2 3 4

FC = fluxo de caixa

PV



55

Nesse sistema, h um conjunto de entradas e sadas de dinheiro ao longo do tempo, aplicadas a uma determinada taxa de juros, seguindo, normalmente, o regime de capitalizao composta.

No exemplo, o principal inicial aplicado ter retorno por meio da entrada de quatro fluxos de caixa com valores de recebimento diferenciados. Esse sistema bastante utilizado na soluo de renegociaes de dvidas em bancos e para anlise da rentabilidade de uma carteira variada de investimentos. Nos captulos posteriores ser abordado cada um dos tipos de problemas apresentados e suas principais utilizaes no mercado financeiro brasileiro.



56

CAPTULO 6

MTODOS PARA ANLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS

Nos captulos anteriores, foram estudados problemas financeiros em que o principal de uma operao (PV = valor presente) era emprestado ou aplicado a determinada taxa de juros, sendo liquidado por meio de um montante futuro (FV) ou por meio de uma srie de prestaes iguais, consecutivas e com periodicidade constante (PMT). Os diagramas de fluxo de caixa a seguir demonstram, de forma resumida, os exemplos estudados:

1) Dado PV, achar FV ou vice-versa FV

PV

2) Dado PV, achar PMT ou vice-versa PMT

PV

3) Dado FV, achar PMT ou vice-versa

PMT

FV



57

Neste captulo, sero tratados os dois mtodos de anlise de alternativas econmicas: Valor Presente Lquido (NPV, do ingls: Net Present Value) e Taxa Interna de Retorno (IRR, do ingls: Internal Rate Return), aplicados soluo de problemas com fluxo de caixa variveis, ou seja, em que as entradas e sadas de caixa ao longo do tempo podem ser de valores e prazos variados.

Exemplos:

$410 $420 $400 $380 $370

$80 $90 $85 $100 $1.200

6.1 MTODO DO VALOR PRESENTE LQUIDO (VPL)

O mtodo do valor presente lquido consiste na comparao de todas as entradas e sadas de dinheiro de um fluxo de caixa na data focal (data zero). O valor atual de determinado projeto ser calculado descontando-se todos os valores futuros do fluxo de caixa, empregando-se determinada taxa de juros (taxa de atratividade o percentual que o investidor pretende ter de retorno sobre seu investimento), que mede a taxa mnima de juros que convm ao investidor ao optar por um investimento e no por outro.

Exemplo 1:



58

Quanto devo aplicar hoje em uma instituio financeira que remunera os depsitos a uma taxa efetiva de juros compostos de 2% ao ms, para obter os seguintes retormos ao longo do tempo:

R$1.200 R$1.300 R$1.300 R$1.000 R$600 R$700 Rr$800 R$300

1 2 3 4 5 6 7 8 Valor Presente Lquido (NPV) = ?

Soluo: O clculo do valor a ser investido consiste em determinar a somatria dos valores presentes de cada um dos recebimentos futuros desejados, de acordo com a taxa de juros prefixada definida pela instituio financeira. Sendo: FV = PV (1 + i )n e PV = FV

(1 + i)n Temos:

NPV = FV1 + FV2 + FV3 + ............ + FVn

(1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n

No exemplo anterior, teramos:

NPV = 1.000 + 600 + 1.200 + 700 + 1.300 + 300 + 1.300 + 800

(1,02)1 (1,02)2 (1,02)3 (1,02)4 (1,02)5 (1,02)6 (1,02)7 (1,02)8

NPV ou VPL = R$6.592,93

Para fazer frente s retiradas mencionadas, deve ser aplicada, taxa de juros compostos de 2% ao ms, a quantia de R$6.592,93.



59

1) Funes de fluxo de caixa da HP-12C

A seguir, so apresentadas as funes de fluxo de caixa da HP-12C, as quais sero explicadas no decorrer deste captulo.

Sequncia Funo

g PV CFo Fluxo lquido de caixa inicial (na data zero). g PMT CFj Fluxo lquido de caixa nas datas futuras (aps a data zero).

g FV Nj Funo de repetio do ltimo fluxo de caixa registrado. f PV NPV Net Present Value, ou seja, valor presente lquido. f FV IRR Internal Rate Return, ou seja, taxa interna de retorno.

2) Clculo do valor presente lquido (NPV) pela HP-12C

Por meio da funo f PV, calcula-se o valor atual de uma srie de entradas e sadas de

dinheiro de um fluxo de caixa, descontadas a determinada taxa de juros compostos. Observaes importantes: a) Ser utilizada a conveno de fluxo de caixa adotada at ento, ou seja, todas as

entradas de dinheiro tero sinais positivos, enquanto as sadas tero sinais negativos; b) Para o clculo do valor presente lquido (NPV), devemos informar a taxa na mesma

unidade de tempo em que acontecem as entradas ou sadas de caixa. Exemplo: se a periodicidade das entradas e sadas mensal, a taxa de juros deve ser mensal;

c) Os valores dos fluxos de caixa futuros devem estar ordenados, de forma crescente, de acordo com as datas de seus respectivos acontecimentos;

d) A HP-12C suporta at 20 fluxos de caixa de valores diferentes, alm do investimento inicial (CFo); contudo, se um ou mais fluxos de caixa consecutivos forem iguais, ela poder extrapolar essa quantidade, utilizando a funo Nj, que ser vista a seguir;

e) Se a calculadora tiver um ou mais programas armazenados, o nmero de memrias disponveis para o armazenamento dos fluxos de caixa ser menor do que mencionado anteriormente. O nmero mximo de fluxos de caixa (alm de CFo) obtido pressionando g 9 (MEM). Ao pressionar tal sequncia, se o visor apresentar a



60

indicao P-08 r-20, o r-20 significa que esto disponveis 20 memrias para armazenamento dos fluxos de caixa.

Soluo do exemplo inicial pela HP-12C

Pressione Visor Significado F CLX 0,00 Limpa todos os registradores.

0 g CFo 0,00 Introduz o fluxo de caixa na data 0.

1000 g CFj 1.000,00 Introduz o fluxo de caixa na data 1. 600 g CFj 600,00 Introduz o fluxo de caixa na data 2. 1200 g CFj 1.200,00 Introduz o fluxo de caixa na data 3. 700 g CFj 700,00 Introduz o fluxo de caixa na data 4. 1300 g CFj 1.300,00 Introduz o fluxo de caixa na data 5. 300 g CFj 300,00 Introduz o fluxo de caixa na data 6. 1300 g CFj 1.300,00 Introduz o fluxo de caixa na data 7. 800 g CFj 800,00 Introduz o fluxo de caixa na data 8. 2 i 2,00 Informa a taxa mensal de juros compostos. F NPV 6.592,93 Calcula o valor presente lquido (NPV).

Exemplo 2:

O Sr. Indeciso deseja obter uma rentabilidade mnima de 10% ao ms para aplicar seus R$5.000,00 pelos prximos trs meses. Os bancos a seguir fizeram suas propostas, conforme representado nos respectivos diagramas de fluxos de caixa. Por qual dos bancos o Sr. Indeciso deve optar?



61

1) Banco Bom de Bico: R$2.400 R$2.240 R$1.080

1 2 3 meses

R$5.000

2) Banco Confiana:

R$2.850 R$2.000 R$1.100

1 2 3 meses

R$5.000

3) Banco Caridade: R$2.520 R$2.260 R$1.650

1 2 3 meses

R$5.000



62

A soluo para tal exerccio est em verificar qual dos trs fluxos de caixa, descontado a uma taxa de atratividade de 10% ao ms, proporciona o maior valor presente lquido.

Fluxo 1: Banco Bom de Bico


5000 CHS g CFo -5.000,00 Introduz o fluxo de caixa na data 0.

2400 g CFj 2.400,00 Introduz o fluxo de caixa na data 1. 2240 g CFj 2.240,00 Introduz o fluxo de caixa na data 2. 1080 g CFj 1.080,00 Introduz o fluxo de caixa na data 3. 10 i 10,00 Informa a taxa de juros mensal. F NPV - 155,52 Calcula o valor presente lquido do fluxo.

O valor presente lquido encontrado de 155,52 demonstra que a taxa que equaliza o fluxo de caixa menor que a taxa de atratividade desejada (10% ao ms). Portanto, ainda no um bom negcio para o Sr. Indeciso.

Fluxo 2: Banco Confiana



2000 g CFj 2.000,00 Introduz o fluxo de caixa na data 1. 2850 g CFj 2.850,00 Introduz o fluxo de caixa na data 2. 1100 g CFj 1.100,00 Introduz o fluxo de caixa na data 3. 10 i 10,00 Informa a taxa de juros mensal. F NPV 0,00 Calcula o valor presente lquido do fluxo.

O valor presente lquido encontrado, de 0 (nulo), corresponde a dizer que o fluxo de caixa proposto por esse banco remunera exatamente a uma taxa de 10% ao ms. Portanto, esse um negcio que proporciona a rentabilidade mnima esperada pelo Sr. Indeciso.



63

Fluxo 3: Banco Caridade



1650 g CFj 1.650,00 Introduz o fluxo de caixa na data 1. 2520 g CFj 2.520,00 Introduz o fluxo de caixa na data 2. 2260 g CFj 2.260,00 Introduz o fluxo de caixa na data 3. 10 i 10,00 Informa a taxa de juros mensal. F NPV 280,62 Calcula o valor presente lquido do fluxo.

Nesse caso, tal investimento d um retorno superior a 10% ao ms. Portanto, esse o melhor investimento, sob o ponto de vista financeiro, para o Sr. Indeciso.

Concluso: Um investimento somente ser atrativo quando o valor presente - PV das receitas obtidas ( C1, C2, C3, ... , Cn ) for superior ao investimento inicial Co, e, portanto, deveremos ter VPL > 0, para que o investimento seja considerado atrativo ou rentvel. Neste caso se VPL > 0, conclui-se que a taxa efetiva de retorno ser seguramente maior do que a taxa de retorno do investimento previamente fixada , o que significa que o investimento rentvel.

Se VPL < 0, diz-se que o investimento no rentvel, pois neste caso, a taxa efetiva de retorno ser menor do que a taxa de retorno do investimento previamente fixada. Se VPL = 0, temos uma espcie de investimento sem lucro.

Exemplo 3: Um escritrio de contabilidade necessita de um servio de entregas rpidas. Para isso, est estudando duas possibilidades, a saber:

Alternativa 1: estruturar tal servio internamente Custos envolvidos:

Compra de uma motocicleta nova por R$6.000,00;



64

Gastos mensais: manuteno, combustvel, mo-de-obra e encargos sociais:

- primeiro ano: R$1.500,00 por ms; - segundo ano: R$1.600,00 por ms; - terceiro ano: R$1.700,00 por ms; - quarto ano: R$1.800,00 por ms.

Alternativa 2: contratar uma empresa especializada

Custos envolvidos:

contrato de quatro anos com custos mensais de: - primeiro ano: R$1.550,00; - segundo ano: R$1.600,00; - terceiro ano: R$1.650,00; - quarto ano: R$1.7 00,00.

Considerando que o escritrio trabalha com uma taxa de atratividade de 2% ao ms, qual

das duas alternativas, sob o ponto de vista financeiro, deve a empresa escolher?

Soluo:

Vamos encontrar o NPV de cada uma das alternativas e compar-los, decidindo por aquele que proporcionar o menor custo a valor presente, ou seja, menor NPV.

Nota: Observe que o valor dos custos mensais ser repetido 12 vezes por ano; dessa forma

utilizaremos, para facilitar nosso trabalho na soluo pela HP-12C, a funo g FV(Nj). Essa funo permite repetir o valor de um fluxo de caixa igual e consecutivo pela

quantidade de vezes que ele acontece (at 99, no mximo).

CENTRO UNIVERSITRIO METODISTA IZABELA HENDR

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Apostila Métodos Financeiros Adm 2014.2