Universidade Federal de Santa CatarinaPrograma de P�os-Graduac�~ao em Engenharia El�etricaLaborat�orio de Controle e Micro-Inform�atica

Controle Robusto

Prof. Alexandre Tro�noFlorian�opolis, Agosto de 2000

Pref�acioEste documento pretende ser uma apostila para a disciplina de Controle Robusto da P�os-Gradua�c~ao daEngenharia El�etrica da Universidade Federal de Santa Catarina. A id�eia b�asica da apostila �e apresentaralguns resultados da �area de Controle Robusto e Filtragem Robusta de forma simpli�cada, propor exerc��ciose um conjunto de referencias bibliogr�a�cas que permitam ao aluno avan�car de forma orientada nos temasem quest~ao.Os m�etodos de an�alise e projeto de �ltros e controladores aqui apresentados seguem uma linha centralque consiste em exprimir a solu�c~ao dos problemas de controle e �ltragem como Desigualdes MatriciaisLineares (LMIs). A grande vantagem de se trabalhar com LMIs �e que estas desigualdes possuem propriedadesimportantes tais como convexidade e exibilidade para tratar problemas mistos de performance e robustez.Al�em disso j�a existem no mercado pacotes computacionais e�cientes para se resolver problemas envolvendoLMIs. Como os problemas de controle e �ltragem n~ao se apresentam naturalmente sob a forma de LMIs,algumas ferramentas matem�aticas s~ao necess�arias para se obter a respectiva formula�c~ao LMI do problema emquest~ao. A apostila apresenta as ferramentas mais utilizadas, mostra como utiliz�a-las atrav�es de exemplos eaponta uma vasta bibliogra�a onde resultados relacionados podem ser encontrados.A maior parte dos resultados atualmente dispon��veis nessa linha se aplicam na an�alise e s��ntese de contro-ladores e �ltros para sistemas lineares incertos e muito resta a ser feito, principalmente no caso de sistemash��bridos e n~ao lineares. Alguns resultados nessa �areas s~ao discutidos como t�opicos avan�cados no �nal daapostila.Gostaria de agradecer o Daniel Coutinho e a Karina Barbosa pelo excelente trabalho de organiza�c~ao econfec�c~ao dessa apostila. Agrade�co tamb�em o Jos�e de Oliveira e a Sonia Palomino pela confec�c~ao doscap��tulos sobre sistemas LPV e sistemas h��bridos.Finalmente �e importante lembrar que esta apostila �e a primeira vers~ao de um trabalho de equipe e quecertamente necessita de melhoramentos. Mas isso vir�a com o tempo e t~ao mais r�apido quanto maior for asua colabora�c~ao.Florian�opolis, 17 de Agosto de 2000.Prof. Alexandre Tro�no

Conte�udoParte I: Conceitos Fundamentais 11 Sistemas Dinamicos Incertos 31.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Exemplos de Sistemas Dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 Descri�c~ao das incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Referencias Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Estabilidade e Performance de Sistemas por LMIs 112.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Estabilidade Quadr�atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Inequa�c~oes Matriciais Lineares - LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1 Propriedades de LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2 Ferramentas para a formula�c~ao de um problema de controle em uma LMI . . . . . . . 172.3.3 Problema LMI: Formula�c~ao e Solu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Pacotes Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.1 Complexidade computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.2 Exemplo de Aplica�c~ao do LMITOOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Normas de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.1 Norma H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.2 Norma H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7 Referencias Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 S��ntese de Controladores 333.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Realimenta�c~ao de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33v

3.3 Realimenta�c~ao de Sa��da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.1 Realimenta�c~ao Est�atica de Sa��da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.2 Realimenta�c~ao Dinamica de Sa��da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4 Controle sujeito a restri�c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.6 Referencias Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 Sistemas Discretos - An�alise, Performance e S��ntese 514.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2 Estabilidade Quadr�atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3 Performance de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Realimenta�c~ao de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5 Estabiliza�c~ao Quadr�atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.7 Referencias Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 Estabilidade Dependente dos Parametros 615.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Estabilidade A�m Quadr�atica (Matriz P(�) a�m em �) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.1 Sistemas com Incertezas Invariantes no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2.2 Sistemas Incertos com taxa de varia�c~ao limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3 Estabilidade Bi-Quadr�atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.5 Referencias Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Parte II: Conceitos Avan�cados 756 Sistemas LPV 776.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2 Norma H2 para Sistemas Variantes no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2.1 Norma H1 para Sistemas Variantes no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.3 An�alise de Sistemas LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3.1 Estabilidade Robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3.2 Performance robusta em H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.3.3 Performance robusta em H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.4 S��ntese para Sistemas LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.4.1 Estabiliza�c~ao robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.4.2 Estabiliza�c~ao robusta empregando norma H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.4.3 Estabiliza�c~ao robusta empregando a norma H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887 An�alise de Sistemas N~ao Lineares 917.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2 Formula�c~ao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.3 Representa�c~ao por Fra�c~oes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.3.1 Representa�c~ao LFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.3.2 An�alise de Sistemas LFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.3.3 Regi~ao de Atra�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.4 Fun�c~oes de Lyapunov Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.4.1 Representa�c~ao por Fra�c~oes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.4.2 An�alise de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.4.3 Regi~ao de Atra�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.5 Atividades Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.6 Referencias Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088 An�alise de Estabilidade de uma classe de Sistemas H��bridos 1098.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.2 Sistemas Chaveados: uma classe de Sistemas H��bridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.3 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.4 Estabilidade de Sistemas H��bridos baseados em LMI's . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.4.1 Fun�c~oes de Lyapunov Quadr�aticas por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.4.2 Fun�c~ao de Lyapunov dependente do estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.5 Sum�ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229 Problema de Filtragem Robusta 1239.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.2 M�etodos Cl�assicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.2.1 Observadores de Luenberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.2.2 Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.3 Modelagem do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.3.1 Abordagem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.3.2 Abordagem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.4 Exemplo num�erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.5 Atividades Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.6 Referencias Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Parte I:Conceitos FundamentaisDaniel F. Coutinho e Karina A. Barbosa

Cap��tulo 1Sistemas Dinamicos Incertos1.1 Introdu�c~aoTodo modelo matem�atico �e na verdade uma aproxima�c~ao do sistema f��sico real. Consequentemente, o modelomatem�atico obtido pode apresentar diferentes tipos de incertezas, decorrentes de dinamicas n~ao modeladas,incertezas param�etricas, ru��dos, lineariza�c~ao, etc. Dependendo da sua origem estas incertezas podem serclassi�cadas como estruradas, n~ao estruturadas, param�etricas ou n~ao param�etricas.�E de suma importancia que as incertezas sejam levadas em conta na an�alise e/ou projeto de controladorespara o sistema. Para tal �e conveniente representar o modelo f��sico por um sistema incerto, constitu��do domodelo matem�atico (sistema nominal) mais incertezas em torno deste, sendo a an�alise ou projeto feita emtorno do sistema incerto.V�arias di�culdades surgem ao se trabalhar com sistemas incertos. Uma das principais �e como modelar edescrever as incertezas no problema. Incertezas descritas de forma gen�erica podem acarretar restri�c~oes nabusca de solu�c~oes. A este processo de busca de solu�c~ao de um problema de controle envolvendo o sistemanominal e uma fam��lia de incertezas em torno dele, chama-se de Controle Robusto. No Controle Robustobusca-se tamb�em minimizar o efeito sobre certas vari�aveis do sistema devido a perturba�c~oes externas a este,como ru��dos, mudan�cas de temperatura, rajadas de vento, etc. Um esquema geral de um sistema de ControleRobusto pode ser visto na Figura 1.1.

Dinamicas n~ao model�aveisPlantaSensor

Controlador Parcialmente desconhecidaPerturba�c~oes ExternasGeralmente n~ao linear

Ru��dosReferencia Controle Sa��da Medida

Figura 1.1: Diagrama de Blocos de um sistema de Controle RobustoLogo, a quest~ao chave em Controle Robusto �e minimizar a in uencia das incertezas e das perturba�c~oes queatuam no sistema. Este problema pode ser dividido em duas partes: um problema de estabiliza�c~ao robustae outro de desempenho robusto. No primeiro caso, busca-se manter o sistema est�avel para uma dada classe3

4 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINAMICOS INCERTOSde incertezas e, no segundo, minimizar a in uencia das perturba�c~oes externas em rela�c~ao ao crit�erio dedesempenho escolhido.Para ilustrar como as incertezas e perturba�c~oes podem aparecer na modeliza�c~ao dos sistemas, apresentamosa seguir dois exemplos. No primeiro, tem-se o problema de controle de posi�c~ao de um pendulo invertido eno segundo o controle de posi�c~ao longitudinal de um avi~ao.1.2 Exemplos de Sistemas DinamicosExemplo 1: Controle de Posi�c~ao de um Pendulo Invertido.O sistema mostrado na Figura 1.2 �e constitu��do de um pendulo invertido de massa uniforme m e de compri-mento 2l e de um carrinho de massa M . O movimento do sistema �e de�nido pela posi�c~ao z(t) do carrinho eo angulo �(t) entre o pendulo e o eixo vertical.

CMz(t) 2l z�(t) m

u(t) M cm0Figura 1.2: Pendulo invertidoNa modelagem matem�atica deste sistema considera-se a presen�ca de atrito entre o pendulo e o carrinho cm,na roda do carrinho CM , e JM que �e momento de in�ercia. Para evitar a formula�c~ao n~ao linear do sistema,vamos simpli�c�a-la considerando que o angulo � �e pequeno tal que:cos(�) �= 1 sen(�) �= � _�2� �= 0Considere que os estados do sistema s~ao xp := [z; �; _z; _�]0e a representa�c~ao por vari�aveis de estados do sistema linearizado:_xp(t) = 2664 0 0 1 00 0 0 10 a1 a2 a30 a4 a5 a6 3775 xp(t) + 2664 00b1b2 3775u(t)y(t) = � c2 0 0 00 c3 0 0 �xp(t): (1.1)

1.2. EXEMPLOS DE SISTEMAS DINAMICOS 5onde xp(t) �e o vetor de estados, u(t) o vetor das vari�aveis de controle e y(t) o vetor de sa��da, e as vari�aveisescalares s~ao dadas por a1 = � 1dm2gl2; a2 = � 1dcM (Jm +ml2)a3 = 1dcml; a4 = 1dmgl(M +m)a5 = 1dcMml; a6 = � 1dcm(M +m)b1 = 1dc1(Jm +ml2); b2 = � 1dc1mld = (M +m)Jm +mMl2; (1.2)Um conjunto de valores num�ericos usado neste sistema pode ser encontrado, por exemplo em [1].Na pr�atica, os valores dos coe�cientes de atrito cm e CM s~ao incertos, ou seja tem-se apenas uma no�c~aode que faixa de valores que eles podem assumir. Assume-se que estes dois parametros s~ao incertos com aseguinte varia�c~ao : cm �= (1 + �1)cm e CM �= (1 + �2)CMCom isso o sistema (1.1) pode ser reescrito como_xp(t) = A(�)xp(t) +Bu(t)y(t) = Cxp(t) (1.3)onde A(�) = 2664 0 0 1 00 0 0 10 a1 (1 + �1)a2 (1 + �2)a30 a4 (1 + �1)a5 (1 + �2)a6 3775 ; B = 2664 00b1b2 3775 ; C = � c2 0 0 00 c3 0 0 � (1.4)1.2.1 Descri�c~ao das incertezasUm grande problema ao se trabalhar com sistemas incertos �e como tratar a incerteza na formula�c~ao �naldo problema, pois dependendo do tipo de incerteza, pode-se inserir mais restri�c~ao na busca de solu�c~ao doproblema.Uma primeira alternativa seria descrever os poss��veis valores que a matriz A(�) pode assumir atrav�es de umacombina�c~ao convexa dos valores extremos assumidos pelas incertezas. Supondo que:� 2 B� = f �i : j�ij � �i , i = 1; :::; qgonde B� representa um politopo 1 com 2q v�ertices, onde q �e o numeros de incertezas no problema.Para o exemplo suponhe-se que ��1 < �1 < �1 e ��2 < �2 < �2 eA(�) = A1q1 +A2q2 +A3q3 +A4q4Com q1 + q2 + q3 + q4 = 1 e qi � 0, onde as matrizes Ai s~ao constru��das nos v�ertices do Politopo, mostradona Figura 1.3.1Politopo �e um conjunto convexo fechado, que pode ser representado pela combina�c~ao convexa dos v�ertices, ou por inequa�c~oesmatriciais, para mais detalhes sobre politopo veja [2]

6 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINAMICOS INCERTOSA1(�1; �2) = 2664 0 0 1 00 0 0 10 a1 (1 + �1)a2 (1 + �2)a30 a4 (1 + �1)a5 (1 + �2)a6 3775A2(��1; �2) = 2664 0 0 1 00 0 0 10 a1 (1� �1)a2 (1 + �2)a30 a4 (1� �1)a5 (1 + �2)a6 3775A3(�1;��2) = 2664 0 0 1 00 0 0 10 a1 (1 + �1)a2 (1� �2)a30 a4 (1 + �1)a5 (1� �2)a6 3775A4(��1;��2) = 2664 0 0 1 00 0 0 10 a1 (1� �1)a2 (1� �2)a30 a4 (1� �1)a5 (1� �2)a6 3775(��1; �2)�2 �1(��1;��2) (�1;��2)(�1; �2)

Figura 1.3: Representa�c~ao de um politopoEste tipo de abordagem para descrever as incertezas �e conhecido como abordagem polit�opica e formalmente�e enunciada a seguir.De�ni�c~ao 1.2.1 A classe de matrizes A(�) com incertezas na forma polit�opica pode ser descrita pelo con-junto A = fA : A = jXi=1 qiAi; jXi=1 qi = 1; qi � 0g (1.5)onde o conjunto A �e convexo, fechado e as matrizes Ai s~ao conhecidas. ���Uma caracter��stica importante deste tipo de abordagem para descrever as incertezas �e a convexidade doconjunto resultante, isto �e, tem-se pela propriedade de convexidade que se um conjunto de restri�c~oes dedesigualdades e igualdades estiver satisfeito nos v�ertices, ent~ao garante-se que estas mesmas restri�c~oes est~aosatisfeitas no interior da regi~ao formada por estes v�ertices. Entretanto, surge o problema da explos~ao

1.2. EXEMPLOS DE SISTEMAS DINAMICOS 7exponencial das condi�c~oes a serem testadas, pois ao testar, por exemplo, as condi�c~oes para um sistema com3 elementos incertos, tem-se que veri�car 23 v�ertices, ou seja, tem-se que testar as condi�c~oes 8 vezes.Outra forma de declarar as incertezas, �e representar o sistema por LFT 2 (Linear Fractional Transformation).Basicamente, nesta formula�c~ao, busca-se representar o sistema incerto atrav�es de um sistema invariante notempo interconectado a um bloco incerto, como no sistema realimentado mostrado na Figura 1.4._x = A0x+ Ewz = Hx�w zFigura 1.4: Sistema LFTAssim pode-se descrever o sistema (1.3) n~ao for�cado, ou seja, somente a parte incerta, como:_x = A0x + Ewz = Hx (1.6)w = �zonde A0 = 2664 0 0 1 00 0 0 10 a1 a2 a30 a4 a5 a6 3775 , E = 2664 0 00 0a2 a3a5 a6 3775 , H = � 0 0 1 00 0 0 1 � , � = � �1 00 �2 �Em geral, o bloco incerto � �e uma matriz bloco diagonal, limitada em norma. Com isso a incerteza narepresenta�c~ao LFT �e vista como uma restri�c~ao 3.Note que esta forma de representa�c~ao �e equivalente a rede�nirmos a matriz incerta A(�) da seguinte forma:A(�) = A0 +E�H . Desta forma pode-se apresentar a seguinte de�ni�c~aoDe�ni�c~ao 1.2.2 A classe de matrizes A(�) com incerteza limitada em norma pode ser descrita pelo conjuntoA = A(�) = fA : A = A0 +E�Hg (1.7)onde � = diag(Ii�i) i : 1; :::; q e k�k � �. ���Exemplo 2: Controle de Posi�c~ao Longitudinal de uma AeronaveO avi~ao F-8 �e um projeto antigo que tem sido utilizado pela NASA no seu projeto de pesquisa \ y-by-wire",[7]. Assumindo que a aeronave esteja voando a uma altitude constante em equil��brio, podemos linearizar asequa�c~oes aerodinamicas n~ao lineares. Desta forma, desacoplamos a dinamica longitudinal da lateral, [8].Pode-se caracterizar a dinamica longitudinal da aeronave pela seguinte escolha de vari�aveis , veja detalhesna �gura (1.5).2Mais detalhes sobre sistemas na forma LFT podem ser obtidos em [3, 4, 5, 6].3Veja exemplo (2.3.5).

8 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINAMICOS INCERTOS� �(t) �e a velocidade horizontal;� �(t) �e o angulo de inclina�c~ao com a horizontal (\pitch angle");� q(t) �e a taxa de varia�c~ao de �(t);� �(t) �e o angulo de ataque;� �(t) = �(t)� �(t) �e o angulo de voo.Para controlar o movimento longitudinal existem os \elevators", ue(t), e os \ aperons", uf (t), que s~ao iguaisaos \elevators" exceto pelo movimento na mesma dire�c~ao.As vari�aveis mensur�aveis s~ao os angulos de inclina�c~ao horizontal e de voo y(t) = � �(t) �(t) �0 .

Figura 1.5: De�ni�c~ao das Vari�aveis para a dinamica longitudinal para o F-8As rajadas de vento, w(t), provocam dist�urbios no movimento longitudinal do avi~ao, afetando primeiro oangulo de ataque �(t).Outro problema a ser considerado �e a dinamica n~ao modelada associada a exibilidade da estrutura do avi~aoocasionando incertezas no modelo do movimento longitudinal do avi~ao.Considerando o seguinte vetor de estadosx(t) = � �(t) �(t) q(t) �(t) �0podemos modelar as equa�c~oes linearizadas do movimento longitudinal do avi~ao F-8 pela seguinte represen-ta�c~ao por vari�aveis de estado( _x(t) = A(�) x(t) + Bu u(t) + Bw w(t)y(t) = C x(t) (1.8)com u(t) = � ue(t) uf (t) �0 eA(�) = 2664 0 0 1 0(1:5 + 0:1�) �(1:5 + 0:5�) 0 0:0057�(12 + 1�) (12 + 1�) �(0:6 + 0:06�) �0:0344�(0:8520+ 0:1�) (0:29 + 0:1�) 0 �0:014 3775 ; Bu = 2664 0 00:16 0:8�19 �3�0:015 �0:0087 3775 ;Bw = � 0 1:71885 �13:7508 �0:332311 �0 ; C = � 1 0 0 00 1 0 0 �

1.3. ATIVIDADES 9A varia�c~ao param�etrica � e sua taxa de varia�c~ao ao longo do tempo, _�, est~ao limitadas as seguintes regi~oes:� 2 f�1; 1g e _� 2 f�10; 10g.O objetivo de controle do sistema �e diminuir os efeitos da perturba�c~ao do vento, apesar das varia�c~oes noparametro � e das restri�c~oes nas entradas de controle (satura�c~ao): jue(t)j � ue e juf (t)j � uf .1.3 Atividades1. No exemplo (1) o efeito das perturba�c~oes externas n~ao foi modelado. Mas na pr�atica sabe-se que osistema sempre sofre algum tipo de perturba�c~ao. Considere ent~ao que o sistema est�a sujeito a in uenciade uma rajada de vento, na base do carrinho de dire�c~ao contr�aria �a for�ca aplicada e de intesidade defor�ca bw. Insira no modelo matem�atico esta perturba�c~ao.2. Considerando o sistema do exemplo (2):� Obtenha a representa�c~ao polit�opica.� Obtenha a descri�c~ao na forma LFT, abaixo descrita, com incerteza limitada em norma;8>>><>>>: _x = Ax+Bpp+Buu+Bwwq = Cqx+Dqpp+Dquu+Dqwwy = Cyx+Dypp+Dywwp = �q , j�j � �� O modelo (1.8) �e uma aproxima�c~ao linear em torno do ponto de equil��brio do sistema n~ao linearreal. Como poder��amos incluir neste sistema os erros entre o modelo linear e o n~ao linear.3. Para os artigos [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15] analise os sistemas a serem controlados com rela�c~ao aosseguintes itens:� Modelo Linear ou N~ao Linear;� Perturba�c~oes;� Incertezas;� Restri�c~oes no Controle;� Outras fontes de erro.4. Considere o seguinte sistema mecanico, visto na �gura (1.6).m y(t)ck

F

Figura 1.6: Sistema Massa-Mola-Amotecedor

10 CAP�ITULO 1. SISTEMAS DINAMICOS INCERTOSA equa�c~ao dinamica de movimento do sistema pode ser descrita por:�y + cm _y + kmy = Fmonde y �e o deslocamento vertical, m �e a massa do bloco, k �e a constante da mola, c �e o coe�ciente deamortecimento e F �e a for�ca externa aplicada ao bloco.Suponha que os parametros f��sicos k, c, n~ao s~ao conhecidos exatamente, mas acredita-se pertencerema um intervalo conhecido. Em particular, o coe�ciente de amortecimento c encontra-se entre +=�20% do seu valor nominal c0, e a constante da mola est�a entre +=� 30% do seu valor nominal k0.Introduzindo vari�aveis param�etricas �c, �k 2 B� = f�1; 1g, podemos rede�nir c, k comoc = c0 (1 + 0:2�c) , k = k0 (1 + 0:3�k)Para o sistema acima, determine as representa�c~oes polit�opica e na forma LFT. Considere a seguintede�ni�c~ao de vari�aveis: x1 = y, x2 = _y, u = F , �c = �1 e �k = �2.1.4 Referencias ComplementaresAlem das referencias j�a citadas, pode-se buscar mais informa�c~oes a respeito de controle Robusto e sistemascom incertezas nos livros [16, 17, 18], nas disserta�c~oes de mestrado [19, 20, 21] e nos exames de quali�ca�c~ao[22, 23].

Cap��tulo 2Estabilidade e Performance deSistemas por LMIs2.1 Introdu�c~aoA teoria de controle robusto evoluiu consideravelmente ao longo das �ultimas d�ecadas, apresentando solu�c~oespara v�arios tipos de problemas de An�alise, Performance e S��ntese de sistemas lineares incertos. Essassolu�c~oes faziam uso de um ferramental diverso, envolvendo problemas de otimiza�c~ao, teorema do pequenoganho, equa�c~oes de Riccati, valores singulares (�-analysis), fun�c~oes de pondera�c~ao, transforma�c~oes lineares,teoria estat��stica, entre outras.Recentemente, as inequa�c~oes matriciais lineares (LMI) se tornaram, com o surgimento de pacotes compu-tacionais e�cientes, uma excelente ferramenta na procura de solu�c~oes para os mais diversos problemas decontrole. Uma das grandes virtudes da abordagem LMI �e a de possibilitar o tratamento simultaneo de v�ariosrequisitos de performance e robustez.Neste cap��tulo, apresentamos os conceitos b�asicos para formula�c~ao LMI na an�alise e performance de sistemaslineares para os casos invariante no tempo e incerto. Para tal, este cap��tulo esta dividido da seguinte maneira.� Se�c~ao (2.2): revis~ao da Teoria de estabilidade de Lyapunov, conceito de estabilidade quadr�atica, exem-plos de an�alise de estabilidade e inequa�c~ao matricial de Lyapunov.� Se�c~ao (2.3): a inequa�c~ao de Lyapunov dentro da abordagem LMI, ferramentas matem�aticas maisutilizadas para obten�c~ao da formula�c~ao LMI e exemplos de aplica�c~ao.� Se�c~ao (2.4): pacotes computacionais para solu�c~ao de problemas LMI, complexidade computacional eexemplos.� Se�c~ao (2.5): crit�erios de desempenho (performance) de sistemas, normas H2 e H1 de sistemas eexemplos de determina�c~ao das normas por LMIs.� Se�c~ao (2.6): exerc��cios e atividades complementares.� Se�c~ao (2.7): referencias bibliogra�cas complementares.Nota�c~aoNeste texto utiliza-se a nota�c~ao usual. In indica uma matriz identidade de ordem n � n, 0n�m indica umamatriz de zeros de ordem n�m e 0n indica uma matriz de zeros n� n. P > 0 (� 0) signi�ca que P �e umamatriz sim�etrica de�nida positiva (semi-de�nida positiva). A derivada temporal da fun�c~ao v(t) �e simbolizadapor _v(t) onde o argumento (t) ser�a sempre omitido. A regi~ao polit�opica B� representa os valores admiss��veisdas incertezas. A regi~ao Bx representa uma regi~ao na vizinhan�ca da origem do espa�co de estados x(t).11

12 CAP�ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS2.2 Estabilidade Quadr�aticaA estabilidade de um ponto de equil��brio �e usualmente caracterizada pela teoria de Lyapunov. Intuitivamente,a estabilidade de um sistema dinamico est�a relacionada com a fun�c~ao \energia" deste sistema. Se a fun�c~aoenergia do sistema �e sempre n~ao negativa e decrescente com rela�c~ao ao tempo, as trajet�orias do sistematendem �a origem 1.Fazendo uma an�alise mais gen�erica, a teoria de Lyapunov garante, para sistemas invariantes no tempo, queo ponto de equil��brio �e est�avel se existe uma fun�c~ao escalar (tipo energia) v(x) tal que:� v(x) > 0 , 8 x 6= 0 2 Bx, e� _v(x) < 0 , 8 x 6= 0 2 Bxonde Bx caracteriza uma regi~ao na vizinhan�ca do ponto de equil��brio (origem).A caracteriza�c~ao de estabilidade para sistemas variantes no tempo deve ser mais rigorosa que a condi�c~aoacima.Considere o seguinte sistema n~ao linear, variante no tempo._x = f(t; x) (2.1)com f(t; 0) = 0, onde x representa o vetor de estados e f(t; x) : [0;1)� Rn 7! Rn satisfaz as condi�c~oes deexistencia e unicidade de solu�c~ao. O pr�oximo teorema caracteriza a estabilidade segundo Lyapunov para osistema (2.1), a prova e maiores detalhes sobre este teorema s~ao encontrados em [24].Teorema 2.2.1 (Estabilidade Segundo Lyapunov)Seja v(t; x) : [0;1) � Bx 7! R uma fun�c~ao continuamente diferenci�avel e sejam �1(�), �2(�), �3(�) fun�c~oesde classe K tais que as seguintes condi�c~oes sejam satisfeitas para todo t � t0 e todo x 2 Bx.�1(kxk) � v(t; x) � �2(kxk)_v(x) � ��3(kxk) (2.2)Logo, as seguintes senten�cas s~ao verdadeiras.� A origem do sistema �e Uniformemente Assint�oticamente Est�avel.� Se existirem constantes positivas �1, �2, �3, tal que � �1(kxk) � �1kxk�, �2(kxk) � �2kxk� e�3(kxk) � �3kxk�, ent~ao a origem do sistema �e exponencialmente est�avel. ���Note que, se todas as condi�c~oes do teorema forem satisfeitas globalmente e �1(kxk) for radialmente ilimitada,ent~ao a estabilidade da origem �e global 2. Finalmente, para sistemas invariantes no tempo, v(t; x) pode serescolhida independente de t e a quali�ca�c~ao uniformemente pode ser suprimida.Uma das maiores di�culdades na utiliza�c~ao do teorema (2.2.1) �e a da obten�c~ao de uma fun�c~ao de Lypunovadequada para representar a estabilidade de um sistema dinamico. Note que este teorema prop~oem con-di�c~oes apenas su�cientes para estabilidade 3 e uma escolha inadequada de v(x) pode provocar um resultadoconservativo.1Que, sem perda de generalidade, consideraremos como sendo o ponto de equil��brio de interesse do sistema dinamico.2Para sistemas lineares as condi�c~oes de estabilidade s~ao sempre globais.3No caso de sistemas lineares invariantes no tempo, as condi�c~oes s~ao necess�arias e su�cientes.

2.2. ESTABILIDADE QUADR�ATICA 13A classe de fun�c~oes escalares v(x) para a qual a de�ni�c~ao de sinal pode ser facilmente veri�cada �e a dasfun�c~oes quadr�aticas v(x) = x0Px (2.3)onde P �e uma matriz constante, real e sim�etrica. Por exemplo, a condi�c~ao v(x) = x0Px > 0 para todox 2 Bx �e equivalente a determinarmos uma matriz P = P 0 > 0. Se exisir uma matriz P satisfazendo ascondi�c~oes do teorema (2.2.1) dizemos que o sistema dinamico �e quadraticamente est�avel e que v(x) �e fun�c~aode Lyapunov quadr�atica. Observe que, como estamos restringindo a classe de fun�c~oes candidatas a Lyapunov,a estabilidade quadr�atica �e potencialmente restritiva.O pr�oximo corol�ario prop~oe condi�c~oes su�cientes para an�alise de estabilidade de sistemas na forma (2.1)considerando as fun�c~oes na forma quadr�atica (2.3).Corol�ario 2.2.1 (Estabilidade Quadr�atica)Seja Bx uma regi~ao na vizinhan�ca da origem.O sistema (2.1) �e quadraticamente est�avel se existirem escalares positivos �1, �2, �3 e uma matriz P sim�etricatal que as seguintes condi�c~oes estejam satisfeitas para todo x 2 Bx e todo t > t0.�1x0x � v(x) = x0Px � �2x0x_v(x) � ��3x0x (2.4)Em caso a�rmativo, v(x) = x0Px �e uma fun�c~ao de Lyapunov para a origem do sistema (2.1). ���Exemplo 2.2.1 (An�alise de Estabilidade de um sistema LTI)Considere o seguinte sistema linear invariante no tempo (LTI)._x = Ax (2.5)onde x representa os estados do sistema e A �e uma matriz constante.Utilizando a no�c~ao de estabilidade quadr�atica, obtenha uma condi�c~ao su�ciente para a estabilidade do sistema(2.5).) Solu�c~ao:Para determinarmos a estabilidade quadr�atica de um sistema linear invariante no tempo, devemos procuraruma fun�c~ao de Lyapunov v(x) > 0 tal que _v(x) < 0.Considere uma fun�c~ao quadr�atica, v(x) = x0Px, e o sistema (2.5). A express~ao de _v(x) �e dada por:_v = _x0Px+ x0P _x = x0(A0P + PA)xEnt~ao, podemos escrever que: v(x) > 0 , 9 P = P 0 > 0 e _v(x) < 0 , (A0P + PA) < 0.Logo, uma condi�c~ao necess�aria e su�ciente para este sistema ser globalmente quadraticamente est�avel �e:9 P = P 0 > 0 : A0P + PA < 0 (2.6)A rela�c~ao acima �e conhecida na literatura como inequa�c~ao de Lyapunov para sistemas lineares.

14 CAP�ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS444Exemplo 2.2.2 Determine analiticamente a estabilidade do seguinte sistema LTI, utilizando as condi�c~oespropostas no exemplo anterior. � _x1_x2 � = � �1 00 �1 � � x1x2 � (2.7)Considere a fun�c~ao de Lyapunov: v(x) = x0Px com P dado por:P = � a 00 b �) Solu�c~ao:O sistema (2.7) �e quadraticamente est�avel se:� 9 a > 0, b > 0 tais que A0P + PA < 0 )� �1 00 �1 � � a 00 b �+ � a 00 b � � �1 00 �1 � =� �a 00 �b �+ � �a 00 �b � = � �2a 00 �2b � < 0� Isto �e, 9 P = P 0 > 0 8 a; b > 0 tal que A0P + PA < 0, assegurando a estabilidade do sistema.Logo, o sistema LTI (2.7) �e quadraticamente est�avel. 444Exemplo 2.2.3 (Sistema Linear a Parametro Variante - LPV)Um sistema linear variante no tempo (LTV) �e um sistema linear governado por equa�c~oes de estado na forma( _x = A(t)x +B(t)uy = C(t)x+D(t)u (2.8)onde as matrizes da representa�c~ao, A(t), B(t), C(t), D(t), dependem do tempo.A busca de solu�c~ao para problemas nesta representa�c~ao, exige o conhecimento da dependencia temporal eda representa�c~ao de estados fA(t); B(t); C(t); D(t)g, para uma solu�c~ao geral em tempo real. Devido a estadi�culdade, a representa�c~ao de sistemas nesta formula�c~ao n~ao apresenta grande interesse pr�atico, [22].Visando solucionar problemas de controle de sistemas LTV, podemos parametrizar a dependencia temporaldas matrizes A, B, C e D. Os sistemas que admitem esta parametriza�c~ao s~ao conhecidos como lineares aparametro variante (LPV) e s~ao apresentados a seguir.( _x = A(�(t))x +B(�(t))uy = C(�(t)) +D(�(t))u (2.9)onde �(t) representa o vetor de parametros incertos, limitados a um conjunto de valores admiss��veis B� 4.Note que:4Em alguns casos os valores da taxa de varia�c~ao, _�(t), tamb�em s~ao limitados a uma dada regi~ao de valores admiss��veis.

2.3. INEQUAC� ~OES MATRICIAIS LINEARES - LMI 15� Esta representa�c~ao n~ao �e gen�erica mas existem in�umeros problemas pr�aticos que admitem esta formu-la�c~ao.� A dependencia temporal da representa�c~ao de estado aparece atrav�es da dependencia param�etrica �(t).� Os sistemas LPV admitem uma representa�c~ao polit�opica ou limitada em norma.O sistema (2.9) n~ao for�cado, u(t) = 0, �e quadraticamente est�avel se existe uma matriz P sim�etrica, de�nidapositiva, tal que a seguinte condi�c~ao seja satisfeita para todo � 2 B�:A(�)0P + PA(�) < 0 , 8 � 2 B� (2.10)Em caso a�rmativo, v(x) = x0Px �e uma fun�c~ao de Lyapunov para a origem do sistema (2.9) n~ao for�cado.444Observe que a condi�c~ao proposta no exemplo (2.2.3) �e um problema de dimens~ao in�nita. Entretanto, comoveremos a seguir, este problema torna-se um problema fact��vel de dimens~ao �nita. A determina�c~ao num�ericade fun�c~oes de Lyapunov para sistemas incertos pode ser obtida atrav�es do \framework" LMI, se�c~ao (2.3).2.3 Inequa�c~oes Matriciais Lineares - LMIO uso de Inequa�c~oes Matriciais Lineares(LMIs), na teoria de controle come�cou a se desenvolver apartir dad�ecada de 80, com a cria�c~ao e aperfei�coamento de algoritmos de otimiza�c~ao convexa, como pontos interiores.A partir de ent~ao muitos dos resultados usuais da teoria de controle e sistemas, est~ao sendo reescritos comoLMIs. Veja por exemplo [25, 26].Mas o que �e uma LMI?LMIs s~ao Inequa�c~oes Matriciais Lineares, cuja sigla vem do Ingles \ Linear Matrix Inequalities". Matema-ticamente ela �e de�nida como:De�ni�c~ao 2.3.1 Uma LMI tem a seguinte estruturaF (x) �= F0 + mXi=1 xiFi > 0 (2.11)onde x = (x1; x2; :::; xm) �e o vetor de vari�aveis de decis~ao; Fi 2 Rn�n para i = 0; :::;m s~ao matrizessim�etricas dadas. ���Normalmente uma LMI n~ao aparece na forma (2.11), mais sim na forma matricial como a inequa�c~ao deLyapunov (2.6). Para reescrever esta inequa�c~ao na forma (2.11), busca-se encontrar os valores de Fi tal que:F (P ) = A0P + PA = F0 +XxiFi xi = fPkj ; :::Pnng (2.12)No exemplo a seguir, note que a transposi�c~ao da forma (2.11), para a forma matricial �e apenas uma quest~aode nota�c~ao. Entretanto, esta transforma�c~ao n~ao �e necess�aria, j�a que a forma matricial �e a forma padr~ao deentrada dos pacotes computacionais existentes.

16 CAP�ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMISExemplo 2.3.1 Considere _x = � �1 11 �2 �x (2.13)pela condi�c~ao de estabilidade de Lyapunov este sistema ser�a est�avel se 9P > 0 tal que V (x) = x0Px > 0 comP > 0 e _V (x) = x0(A0P + PA)x < 0, onde P = � P1 P2P 02 P4 �.Fazendo x1 = P1; x2 = P2; x3 = P 02; x4 = P4; em (2.12) tem-se que� �1 11 �2 �0 P + P � �1 11 �2 � = F0 + P1F1 + P2(F2 + F3) + P4F4Resolvendo a multiplica�c~ao matricial em (2.12) e igualando com (2.11) obt�em-seF1 = � �2 11 0 � ; F2 = � 1 �30 1 � ;F3 = � 1 0�3 1 � ; F4 = � 0 11 2 � 444Note que um conjunto de n LMIs pode ser visto como uma �unica LMI. Por exemplo, procurar a solu�c~ao deF1(x) > 0, F2(x) > 0, ... Fn(x) > 0 �e equivalente a procurar a solu�c~ao paraF (x) = diag(F1(x); : : : Fn(x)) > 0;onde diag(F1(x); : : : Fn(x)) �e uma matriz bloco diagonal com F1(x); : : : Fn(x) na diagonal.Mas qual a vantagem em se ver um problema de controle como uma LMI?Uma das facilidades no uso de LMIs na teoria de controle �e a existencia de pacotes computacionais para asua solu�c~ao num�erica de forma e�ciente. Outro ponto de suma importancia �e que na abordagem LMI a buscade solu�c~oes para problemas mais complexos, principalmente quando h�a presen�ca de elementos incertos, podeser simpli�cada devido as propriedades de convexidade e linearidade.2.3.1 Propriedades de LMI� LinearidadeNa realidade a fun�c~ao F (x) �e uma fun�c~ao a�m, pois em (2.11) para x=0 tem-se F (0) = F0. Mastornou-se usual chama-la de LMI pois tem-se que esta inequa�c~ao a�m pode facilmente ser transpostanuma inequa�c~ao linear pela simples troca de coordenadas. Para mais detalhes veja [21, 2].� ConvexidadeDe�ni�c~ao 2.3.2 Um conjunto X �e convexo se 8x; y 2 R e todo � com 0 � � < 1 tem-se�x + (1� �)y 2 X ���Ou seja um conjunto X ser�a convexo se para quaisquer dois pontos x e y 2 X o segmento de retaunindo estes pontos tamb�em perten�ca a este conjunto.Pela teoria dos conjuntos tem-se que todo conjunto a�m ser�a sempre convexo 5. Ent~ao tem-se que oconjunto solu�c~ao de uma LMI sendo a�m �e tamb�em convexo. Note que uma LMI ser�a tamb�em convexanos dados se as matrizes Fi s~ao a�ns em �.5O contr�ario n~ao �e verdade, pois nem todo conjunto convexo �e a�m, veja por exemplo o caso de um cubo no Rn, que �econvexo mas n~ao a�m.

2.3. INEQUAC� ~OES MATRICIAIS LINEARES - LMI 17A caracter��stica de convexidade �e das mais importantes propriedades das LMI, pois facilita, principalmente,a busca de solu�c~ao para sistema incertos. Por exemplo, considere que no exemplo anterior a matriz A naequa�c~ao (2.13) dependa de �, ou seja, A(�) = � �1 11 + � �2 �Estamos interessados em analisar a estabilidade deste sistema, considerando que as incertezas estejam des-critas na forma politopica, para tal considere que � 2 B� = f�min � � � �maxg. Note que para veri�car aestabilidade deste sistema temos que testar a condi�c~ao de Lyapunov (2.6) para todos os valores de � 2 B�,ou seja, encontrar uma matriz positiva de�nida P tal que8� 2 B� : A(�)0P + PA(�) < 0Note que este �e um problema de dimens~ao in�nita, de di�cil solu�c~ao. Mas como a matriz A(�) �e a�m em� e aparece de forma linear na inequa�c~ao de Lyapunov, pode-se pela propriedade de convexidade testar acondi�c~ao acima apenas para os v�ertices da regi~ao B�. Ou seja, se existe uma matriz P > 0 tal queA(�min)0P + PA(�min) < 0A(�max)0P + PA(�max) < 0garantimos, assim, que para toda a regi~ao B� o sistema ser�a est�avel e v(x) = x0Px ser�a uma fun�c~ao deLyapunov para o sistema.2.3.2 Ferramentas para a formula�c~ao de um problema de controle em uma LMINem todo resultado da teoria de controle aparece diretamente na forma de uma LMI, como a equa�c~ao deLyapunov. Mas algumas ferramentas da �algebra matricial ajudam a transpor estes resultados para umaformula�c~ao LMI. As ferramentas mais utilizados durante este curso ser~ao enunciadas nesta se�c~ao, outrosresultados podem ser visto em [25].Complemento de SchurO Complemento de Schur �e um resultado da Teoria de Matrizes, que ajuda na transforma�c~ao de inequa�c~oesn~ao lineares para a forma de LMI. Muitos dos resultados j�a existentes da teoria de controle s~ao postos naforma LMI, pelo aplica�c~ao deste resultado.De�ni�c~ao 2.3.3 (Complemento de Schur) Sejam Q; R; S matrizes de dimens~oes compat��veis, com Q,R sim�etricas. Ent~ao as seguintes condi�c~oes s~ao equivalentes para o:� caso estrito � Q SS0 R � > 0() R > 0; Q� SR�1S0 > 0 (2.14)� caso n~ao estrito � Q SS0 R � � 0() R � 0; Q� SR+S0 � 0; S(I �RR+) = 0 (2.15)onde R+ �e a pseudo-inversa da matriz R. ���A prova deste resultado pode ser vista em [25]

18 CAP�ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMISExemplo 2.3.2 Considere a desigualdade matricial para veri�car a performance H1 do seguinte sistema:_x = Ax+Buy = Cxdada por A0P + PA+ PBB0P + C 0C < 0 (2.16)com P = P 0 > 0; sendo as vari�aveis. Perceba que a inequa�c~ao (2.16) n~ao �e linear em P . Aplicando ocomplemento de Schur com: Q = A0P + PA+ C 0CS = PBR = �IObt�em-se a seguinte LMI equivalente �a (2.16)� A0P + PA+ C 0C PBB0P �I � < 0 (2.17)444S-ProcedureO S-Procedure �e empregado para se obter uma formula�c~ao LMI para a seguinte classe de problemas.Garantir que : f1(x) > 0 8x : f2(x) � 0O caso de desigualdades estritas ser�a apresentado a seguir. O caso de desigualdades n~ao estritas pode serencontrado em [25].De�ni�c~ao 2.3.4 (S-Procedure) Sejam T0; ::::; Tp 2 Rn�n matrizes sim�etricas, considere a seguinte con-di�c~ao em T0; ::::; Tp: TT0 > 0 8 6= 0 e TTi � 0; i = 1; :::; p: (2.18)Ent~ao (2.18) �e veri�cada se existem escalares �i > 0 tais queT0 � pXi=1 �iTi > 0 (2.19)Al�em disso (2.19) e (2.18) s~ao equivalentes quando p = 1. Quando Ti s~ao fun�c~oes a�ns de um conjunto deparametros a condi�c~ao (2.19) ainda implica (2.18). ���Exemplo 2.3.3 O seguinte problema surge em sistemas incertos com incertezas limitadas em norma. Paramais detalhes sobre este tipo de restri�c~ao veja o Cap. 5 de [25].

2.3. INEQUAC� ~OES MATRICIAIS LINEARES - LMI 19O problema �e encontrar P tal que:� �� �0 � A0P + PA PBB0P 0 �� �� � < 0 , 8 � : �0� � �0C 0C� (2.20)A primeira restri�c~ao em � e � pode ser reescrita como:� �� �0 � �CC 0 00 I �� �� � � 0 (2.21)Aplicando S-Procedure a restri�c~ao 2.20 �e equivalente a existencia de � � 0 tal que:� A0P + PA+ �C 0C PBB0P ��I � < 0que �e uma LMI em P e � . 444Lema de FinslerO resultado a seguir �e uma particularidade do Lema de Finsler [25]. Este resultado ser�a bastante utilizadopara a elimini�c~ao de vari�aveis no caso de sistemas com parametros incertos e tamb�em no caso de sistemasn~ao lineares.De�ni�c~ao 2.3.5 (Lema de Finsler - Particularidade) Dada a matriz sim�etrica e a matriz Ca dedimens~oes compat��veis e seja X uma matriz tal que CaX = 0. Ent~ao tem-se quex0x < 0 (2.22)se e somente se 9 L tal que + LCa + C 0aL0 < 0 (2.23)���Exemplo 2.3.4 O tipo de restri�c~ao a seguir aparece no problema de an�alise da estabilidade de sistemasDescritores [27].Encontre P tal que:� xz �0 � J 01P + PJ1 J2PPJ 02 0 � � xz � < 0; 8 � xz � : � J3 J4 � � xz � = 0 (2.24)Aplicando o lema de Finsler, obt�em-se a representa�c~ao LMI:� J 01P + PJ1 J2PPJ 02 0 �+ L � J3 J4 �+ � J3 J4 �0 L0 (2.25)444

20 CAP�ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMISD-G scalingEste resultado foi proposto inicialmente em [28]. Ser�a apresentada aqui a forma proposta por [29]. Estat�ecnica permite tratar de forma convexa problemas com restri�c~oes de estrutura do tipo Limitada em Norma,ou seja,veri�car se f(p; q) > 0 8 p; q : p = �q; j�j � �onde p; q s~ao vetores auxiliares, � um escalar cujo m�odulo �e limitado por �.De�ni�c~ao 2.3.6 (D-G scaling) Seja p 2 Rk e q 2 Rk. Ent~ao existe um escalar � tal quep = �q 8� j�j � �se e somente se existem matrizes D; G 2 Rni�ni tais que� p0Dp � �2q0Dq; D > 0p0Gq � q0Gp; G = �G0; (2.26)���O resultado acima permite transformar restri�c~oes do tipo limitada em norma em desigualdades do tipo(2.26), que podem ser tratadas pelo S-procedureExemplo 2.3.5 Considere o sistema LPV, abaixo descrito_x = Ax+Bpq = Cx+Dp (2.27)p = �q , k�k � ��1onde a matriz � representa os parametros incertos do sistema na forma � = diagfIi�ig. O sistema (2.27)�e est�avel se existir uma matriz P > 0 sim�etrica que satizfa�ca a seguinte condi�c~ao:� xp �0 � A0P + PA PBB0P 0 � � xp � < 0 , 8 k�k � ��1 (2.28)A limita�c~ao em norma pode ser transformada em uma condi�c~ao do tipo �0F(�)� � 0 aplicando a t�ecnica doDG Scaling: �2p0Sp � q0Sq , S = S0 , S > 0p0Gq � q0Gp = 0 , G = �G0 (2.29)onde S, G s~ao bloco diagonais com a mesma estrutura de �. Considerando que q = Cx +Dp, a express~ao(2.29) pode ser reescrita na forma� xp �0 � �C 0SC �(C 0SD + C 0G)�(D0SC �GC) �(D0SD � �2S +D0G�GD) �� xp � � 0 (2.30)Aplicando o S-Procedure, a condi�c~ao (2.28) �e reescrita na seguinte formula�c~ao LMI:� A0P + PA+ C 0SC (PB + C 0SD + C 0G)(B0P +D0SC �GC) (D0SD � �2S +D0G�GD) � < 0 444

2.4. PACOTES COMPUTACIONAIS 212.3.3 Problema LMI: Formula�c~ao e Solu�c~aoUm problema LMI pode ser dividido em tres categorias.� Problema de FactibilidadeEncontrar a solu�c~ao x tal que F (x) > 0� Problema de minimiza�c~ao de uma fun�c~ao objetivo linear:Encontrar a solu�c~ao x tal que minx h(x)sujeito �a � F (x) > 0G(x) = 0 (2.31)� Problema de minimiza�c~ao de autovalores generalizados 6Encontrar a solu�c~ao x tal que min � sujeito �a 8<: A(x) < �B(x)B(x) > 0C(x) < 0 (2.32)onde h(x), F(x), G(x), A(x), B(x) e C(x) s~ao fun�c~oes a�ns em x.A busca da solu�c~ao num�erica para estes problemas �e uma problema de Programa�c~ao Semi De�nida(SDP).Diversos pacotes computacionais tem sido testados para a solu�c~ao deste problema. Na pr�oxima se�c~ao tem-seuma r�apida vis~ao sobre os pacote computacionais existentes para a solu�c~ao de SDP.2.4 Pacotes ComputacionaisCom o surgimento de algoritmos de pontos interiores para a solu�c~ao de problemas de otimiza�c~ao convexa,tornou-se poss��vel solucionar numericamene LMIs de forma mais r�apida e e�ciente.Desde ent~ao muitas pesquisas vem sendo desenvolvidas para a cria�c~ao ou melhora de pacotes computacionaispara a solu�c~ao de problemas de otimiza�c~ao convexa. Os pacotes computacionais mais conhecidos para asolu�c~ao de LMIs s~ao� LMIlab presente no Matlab que usa o M�etodo Projetivo, criado por Nesterov e Nemirovskii [30] paraa solu�c~ao do problema. Mais detalhes sobre o LMIlab podem ser obtido em[31].� LMITOOL presente no Scilab e Matlab que usa o M�etodo Primal-Dual desenvolvido por [32] .Al�em destes dois m�etodos de solu�c~ao existem novas abordagens, que buscam melhorar estes algoritmos,buscando principalmente uma melhor e�ciencia do m�etodo para sistemas esparsos. Mais detalhes sobre estesm�etodos podem ser vista em [26].Neste curso, iremos utilizar o LMITOOL, do Scilab para a solu�c~ao de LMIs. Mais detalhes sobre o LMITOOLpodem ser obtido no site: www.rocq.inria.fr/scilab Um exemplo da aplica�c~ao do LMITOOL �e dada no �naldesta se�c~ao.6Este �e uma problema de otimiza�c~ao quasi convexa

22 CAP�ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS2.4.1 Complexidade computacionalComo j�a salientamos, umas das mais importantes vantagens no uso de LMI �e a existencia de pacotes compu-tacionais para a sua solu�c~ao. Mas como todo problema de otimiza�c~ao convexa, ou SDP(programa�c~ao semi-de�nida ), pode-se ter di�culdades num�ericas na busca de solu�c~oes de uma LMI.Algumas destas di�culdades podem ocorrer devido ao mal condicionamento num�erico dos dados, capacidadede mem�oria das m�aquinas, erros de precis~ao.Outro grande problema �e o esfor�co computacional necess�ario para solucionar as LMIs. Grandes progressosforam feitos com o uso de algoritmos de pontos interiores para a sua solu�c~ao, garantindo a solu�c~ao doproblema em ordem polinomial, ao inv�es da ordem exponencial dada por outros algoritmos.Uma aproxima�c~ao da ordem de grandeza do numero de opera�c~oes �e dada por:Primal dual: O(m�L�)Projetivo: O(Lm3log(V=�))onde m �e o n�umero de vari�aveis e L �e o n�umero de LMIs e � �= 2:1 e � �= 1:2. Perceba que o n�umero deopera�c~oes para a solu�c~ao do problema via LMI, �e dependente do n�umeros de LMIs e do n�umeros de vari�aveisa ser buscada. Os softwares hoje existentes s~ao capazes de manipular algumas centenas de vari�aveis dedecis~ao.2.4.2 Exemplo de Aplica�c~ao do LMITOOLPara exempli�car o uso do LMITOOL do scilab, considere o caso de an�alise da estabilidade do seguintesistema: _x = A(�)xonde A(�) = � �1 11 + �1 �2 + �2 � (2.33)Busca-se veri�car para que valores de �i 2 B�f�i : j�ij < �ig o sistema ser�a quadraticamente est�avel. Emmuitos casos �e de interesse pr�atico obter uma fun�c~ao de Lyapunov que tenha um sinal de energia m��nimo.Aqui s�o para ilustrar, vamos supor que a matriz P da fun�c~ao de Lyapunov deva ter os autovalores maispr�oximos poss��veis de 1.) Solu�c~ao:� Considere primeiro o caso nominal, ou seja, �i = 0.Aplicando a inequa�c~ao de Lyapunov para veri�car a estabilidade busca-se encontrar P > 0 tal quev(x) = x0Px > 0 e _v(x) < 0. Para aproximar P da identidade, buca-se minimizar o tra�co(P) paraP � I .O programa para solu�c~ao desta problema �e listado a seguir:function [p]=lyap(A)// Generated by lmitool on Mon Nov 10 16:19:05 EDT 1997Mbound = 1e3;abstol = 1e-10;nu = 10;maxiters = 100;reltol = 1e-10;

2.4. PACOTES COMPUTACIONAIS 23options=[Mbound,abstol,nu,maxiters,reltol];///////////Dados///////////DEFINE INITIAL GUESS AND PRELIMINARY CALCULATIONS BELOWp_init=eye(A);///////////XLIST0=list(p_init)XLIST=lmisolver(XLIST0,lyap_eval,options)[p]=XLIST(:)/////////////////EVALUATION FUNCTION////////////////////////////function [LME,LMI,OBJ]=lyap_eval(XLIST)[p]=XLIST(:)/////////////////DEFINE LME, LMI and OBJ BELOWLME=list()LME(1)=p-p';LMI=list()LMI(1)=-(A'*p+p*A);LMI(2)=p-eye(p);OBJ=trace(p)E a sa��da do programa �e[p]=lyap(A)Construction of canonical representationBasis ConstructionFEASIBILITY PHASE.primal obj. dual obj. dual. gap1.00e-05 -1.49e+03 1.49e+03-1.25e+03 -1.49e+03 2.41e+02Target value reachedfeasible solution foundOPTIMIZATION PHASE.OPTIMIZATION PHASE.primal obj. dual obj. dual. gap3.51e+03 -1.75e+02 3.69e+031.37e+02 -6.19e+00 1.43e+021.12e+01 -6.08e+00 1.73e+011.00e-00 -7.20e-01 1.72e+007.88e-02 -2.45e-01 3.24e-01... .... ....1.30e-08 -2.18e-08 3.48e-08

24 CAP�ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS1.27e-09 -1.70e-09 2.97e-09optimal solution foundp =! 1. 5.683E-10 !! 5.683E-10 1. !� Agora vamos analisar a estabilidade para o sistema incerto.Tem-se que achar para que valores de �i, o sistema continua quadraticamente est�avel.Como vimos no Cap��tulo 1, pode-se descrever as incertezas de duas formas, atrav�es da abordagempolit�opica ou da Limitada em Norma. A solu�c~ao para a abordagem Politopica ser�a dada a seguir. Ocaso de incertezas na forma Limitada em Norma �car�a como exerc��cio.Abordagem PolitopicaConsidere que j�1j < � e j�2j < �.O problema �e encontrar para que valores de � e � o sistema continua quadraticamente est�avel.Veja que como tem-se 2 parametros incertos, testa-se a LMI: A0P + PA < 0 para a combina�c~ao dosv�ertices. Ou seja 2 parametros incertos, tem-se 22 = 4 LMIs para serem resolvidas conjuntamente.function [p]=lyappoli(a,b)// Generated by lmitool on Mon Nov 10 16:19:05 EDT 1997Mbound = 1e3;abstol = 1e-10;nu = 10;maxiters = 100;reltol = 1e-10;options=[Mbound,abstol,nu,maxiters,reltol];///////////DadosA=list()A(1)=[-1 1;1+a -2+b];A(2)=[-1 1;1+a -2-b];A(3)=[-1 1;1-a -2-b];A(4)=[-1 1;1-a -2+b]///////////DEFINE INITIAL GUESS AND PRELIMINARY CALCULATIONS BELOWp_init=eye(A(1));///////////XLIST0=list(p_init)XLIST=lmisolver(XLIST0,lyappoli_eval,options)[p]=XLIST(:)/////////////////EVALUATION FUNCTION////////////////////////////function [LME,LMI,OBJ]=lyappoli_eval(XLIST)[p]=XLIST(:)/////////////////DEFINE LME, LMI and OBJ BELOWLME=list()LME(1)=p-p';LMI=list()LMI(1)=-(A(1)'*p+p*A(1));LMI(2)=-(A(2)'*p+p*A(2));LMI(3)=-(A(3)'*p+p*A(3));LMI(4)=-(A(4)'*p+p*A(4));LMI(5)=p-eye(p);OBJ=trace(p)

2.5. NORMAS DE SISTEMAS 25Assim obt�em-seoptimal solution foundp =! 1.1783701 - 0.0151278 !! - 0.0151278 1.001283 !com � = 0:4 e � = 0:59. 444Al�em do problema de an�alise da estabilidade, outro problema �e garantir que o sistema tenha algum tipo deperformance garantida. Esta classe de problemas pode ser tamb�em resolvida atrav�es de LMIs, como ser�avisto na pr�oxima se�c~ao.2.5 Normas de SistemasUm dos principais objetivos dos sistemas de controle �e o de atingir certas especi�ca�c~oes de performance al�emde garantir a estabilidade interna. Certamente, uma medida da energia de determinados sinais de interesse�e uma das maneiras mais utilizadas para atender os requisitos de performance, pois podemos ter uma id�eiado grau de in uencia da perturba�c~ao externa sobre a sa��da de interesse (ou vari�avel de performance).Relembrando que:� as perturba�c~oes consistem de dist�urbios externos (temperatura ambiente, rajadas de vento, etc.) eru��dos de medi�c~ao,� os componentes da vari�avel de performance s~ao todos os sinais os quais desejamos controlar ou queforne�cam alguma informa�c~ao importante para a dinamica do sistema (sinal de erro, sinal de controle,etc.),o objetivo nesta se�c~ao �e veri�car se a vari�avel de performance se mant�em pequena na presen�ca do sinal deperturba�c~ao.Considere a seguinte classe de sistemas LTI( _x = Ax+Bwwz = Cx+Dww (2.34)com x 2 Rn denotando o vetor de estados, w 2 Rr denotando o vetor das entradas de pertuba�c~ao e z 2 Rqdenotando o vetor das sa��das de interesse. Para este sistema o operador perturba�c~ao/sa��da de interesse 7Gwz �e dado por: Gwz(s) = C(sI �A)�1Bw +Dw.Portanto, a performance do sistema depende do tamanho do operador entre w(t) e z(t), que denotaremospor Gwz.Uma quest~ao que se coloca �e: Como medir o tamanho do operador Gwz?. As duas maneiras mais comuns ecom signi�cado f��sico para quanti�car o tamanho de sistemas s~ao as normas H2 e H1. Na sequencia destase�c~ao, apresentamos as de�ni�c~oes de norma H2 e H1 para sistemas lineares invariantes no tempo (LTI).Para tal, vamos primeiro de�nir a classe de sistemas a ser considerada nesta se�c~ao.7No caso monovari�avel �e a pr�opria fun�c~ao de transferencia.

26 CAP�ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS2.5.1 Norma H2Quando as perturba�c~oes que afetam o sistema s~ao sinais de forma conhecida, �e poss��vel represent�a-las como asa��da de um sistema dinamico excitado por um impulso, logo esta dinamica pode ser incorporada ao operadorGwz(s). Desta forma, podemos considerar que o sistema Gwz(s) �e excitado por sinais w(t) impulsionais ede�nir a norma H2 de Gwz(s) como sendo a energia da resposta ao impulso que �e a energia do sinal de sa��daz(t).Observe que para esta de�ni�c~ao de norma H2, a energia de sa��da z(t) ser�a �nita se assumirmos que o sistema(2.34) �e estritamente pr�oprio e est�avel, isto �e, a matriz A �e Hurwitz e Dw � 0. Na sequencia formalizamoseste conceito de norma.De�ni�c~ao 2.5.1 (Norma H2 de Sistemas)A norma H2 do operador entrada/sa��da, Gwz(s), �e de�nida comokGwzk2 =sZ 10 tra�co [g(t)0 g(t)] dt (2.35)onde g(t) �e a resposta impulsiva do sistema (2.34) com A Hurwitz, Dw � 0 e g(t) = 0 para �1 < t < 0.���A normaH2 de sistemas esta relacionada com a teoria de estabilidade de Lyapunov. Esta rela�c~ao nos permitecalcular a norma kGwzk2 atrav�es de condi�c~oes LMI.Considere a condi�c~ao de estabilidade (2.6) para sistemas LTI reescrita na seguinte maneira:Dada uma matriz Q = Q0 > 0 9 P = P 0 > 0 : A0P + PA = �Q (2.36)A solu�c~ao da express~ao (2.36), conhecida como equa�c~ao de Lyapunov para sistemas lineares, �e dada por 8:P := Z 10 eA0 tQeAt dt (2.37)Na de�ni�c~ao (2.5.1) da norma H2, o operador entrada/sa��da tem a forma Gwz(s) = C(sI � A)�1Bw e suaresposta impulsiva 9 �e dada por g(t) = CeAtBw. Ent~ao, podemos escrever quekGwzk22 = Z 10 tra�co hB0weA0tC 0CeAtBwi dt = tra�co �B0w �Z 10 eA0tC 0CeAtdt�Bw�Note que o termo R10 eA0tC 0CeAtdt, conhecido como Gramiano de Observabilidade, �e uma solu�c~ao para aequa�c~ao de Lyapunov (2.36) com Q = C 0C � 0. Logo, podemos determinar a norma H2 por:kGwzk22 = tra�co hB0wPoBwi (2.38)onde Po �e a solu�c~ao da equa�c~ao A0Po + PoA+ C 0C = 0.A comutatividade da fun�c~ao tra�co, isto �e: tra�co [h(t)0h(t)] = tra�co [h(t)h(t)0], nos permite calcular a vers~aoDual para a norma H2 pelo Gramiano de controlabilidade, da seguinte maneira.kGwzk22 = tra�co �C �Z 10 eAtBwB0weA0t dt�C 0� = tra�co [CPcC 0] (2.39)8Veja maiores detalhes em [24].9Considerando condi�c~oes iniciais nulas.

2.5. NORMAS DE SISTEMAS 27onde Pc �e a solu�c~ao da equa�c~ao APc + PcA0 +BwB0w = 0.A determina�c~ao da norma H2 pode ser facilmente obtida atrav�es de um problema de otimiza�c~ao convexa.Por exemplo, considerando o Gramiano de observabilidade, se Po satizfaz A0Po + PoA + C 0C = 0 e existeuma matriz P = P 0 > 0 : A0P + PA + C 0C < 0 ent~ao P > Po. Portanto, a norma H2 pode ser calculadamediante a resolu�c~ao do seguinte problema de otimiza�c~ao na forma LMI.kGwzk22 < min (tra�co [B0PB]) : ( P = P 0 > 0A0P + PA+ C 0C < 0 (2.40)onde a diferen�ca da estimativa da norma H2 e o seu valor real �e t~ao pequena quanto se queira.Exemplo 2.5.1 (Determina�c~ao da norma H2)Determine a estabilidade e norma H2 do seguinte sistema linear:8>>><>>>: _x1 = �2x1 +�w_x2 = �3x2 + 2wz1 = x1z2 = x1 + x2 (2.41)) Solu�c~ao:Matrizes da representa�c~ao no espa�co de estados:A = � �2 00 �3 � ; Bw = � �12 � ; C = � 1 01 1 �Problema de otimiza�c~ao: min tra�co hB0wPBwi : ( P = P 0 > 0A0P + PA+ C 0C < 0-->PP =! .5000000 .2 !! .2 .1666667 !-->sqrt(h) // Norma H2ans =.6055301 444Custo GarantidoA seguir �e apresentada uma interpreta�c~ao alternativa da norma H2 que pode ser aplicada a sistemas n~aolineares. Considere o sistema _x = Ax; x(0) = x0z = Cx (2.42)

28 CAP�ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMISonde x 2 Rn �e o vetor de estados, z 2 Rq representa a sa��da de desempenho, para uma dada condi�c~ao x0.Deseja-se analisar a energia da resposta do sistema dado um estado inicial x0. Ou seja, deseja-se encontrara constante J , dada por J = Z 10 z0zdte conhecida como Custo Garantido.Para tal, suponha que exista uma fun�c~ao de Lyapunov quadr�atica v(�) = �0P� tal que:P > 0_v(x) � �z0z (2.43)para todo x e z satisfazendo (2.42). Integrando ambos os lados da inequa�c~ao (2.43) de 0 a T tem-sev(x(T ))� V (x(0)) � � Z T0 z0zdt:para todo T � 0. Como v(x(T )) � 0, pode-se concluir que V (x(0)) = x00Px0 � J , portanto V (x(0)) �e umlimitante superior para a energia da sa��da z para a condi�c~ao inicial x0. As condi�c~oes x00Px0 � J e (2.43)podem ser descritas na seguinte forma LMIx00Px0 � J; � A0P + PA C 0C �I � < 0 (2.44)Note que (2.44) e (2.40) s~ao express~oes semelhantes e coincidem quando Bw = x0, o que �e poss��vel quandow 2 R, ou seja, tem-se apenas uma entrada no sistema (2.34). Para que as express~oes sejam indenticas nocaso geral deve-se rede�nir a fun�c~ao custo como sendoJ0 = rXi=1 Z 10 z0izidtonde r �e o n�umero de entradas em (2.34) e zi �e a resposta de (2.34) para a condi�c~ao inicialx0i = Bwisendo Bwi a i-�esima coluna da matriz de entrada Bw. Em outras palavras,w = 264 wi...wr 375 Bw = � Bwi : : : Bwr �e note que Bww =Pri=1Bwiwi. Por linearidade e superposi�c~ao pode-se determinar a resposta zi para cadaentrada wi. Calculando a energia de cada resposta zi com (2.44). Pode-se, assim, calcular J0 somando aenergia dos resultados individuais obtidos. Note ainda queJ0 � rXi=1 x00iPx0i = rXi=1 B0wiPBwi = Tr(B0wPBw)e portanto J0 � Tr[N ] j�a que N > B0wPBw. Assim, para sistemas lineares o crit�erio H2 na forma convexa �eequivalente ao custo garantido J0, obtido apartir de uma escolha adequada das condi�c~oes iniciais do problema.Considere agora a condi�c~ao inicial

2.5. NORMAS DE SISTEMAS 29x0R = rXi=1 x0i = rXi=1 Bwie de�na zR como a resposta do sistema para esta condi�c~ao inicial. Por linearidade e superposi�c~ao pode-sededuzir que o crit�erio J calculado para x0R satisfaz a seguinte rela�c~ao J � J0.Para o caso estoc�astico pode-se supor que a condi�c~ao inicial x0 �e uma vari�avel aleat�oria com m�edia nula evarianciaE[x0x00] = BwB0w. Assim, pode-se usar este mesmo procedimento para o c�alculo do custo garantido,neste caso limita-se a energia da variancia do sinal de sa��da z em rela�c~ao �a x0[25].2.5.2 Norma H1A norma H1 est�a associada ao maior ganho que pode existir de alguma das entradas para alguma das sa��das,ao longo de todo o espectro de sinais, isto �e, ela quanti�ca o maior acr�escimo de energia que pode ocorrerentre as entradas e sa��das de um determinado sistema. A seguir, apresentamos uma de�ni�c~ao mais formal,em termo do ganho L2 de sistemas que coincide com a norma H1 no caso linear.De�ni�c~ao 2.5.2 (Norma H1)Considere o sistema (2.34). A norma H1 do operador entrada/sa��da, Gwz(s), �e o valor supremo entre aenergia dos sinais de sa��da e entrada, para todo w de energia limitada.kGwzk1 = sup kzk2kwk2kwk2 6= 0 (2.45)onde o supremo �e calculado para todas as trajet�orias n~ao nulas do sistema (2.34) com x(0) = 0. ���No caso escalar a norma H1 de um sistema LTI coincide com o m�aximo ganho da fun�c~ao de transferenciaGwz(s) em todo o espectro de frequencias. Isto decorre do teorema de Parseval.Da mesma forma que no caso H2, utilizaremos a teoria de Lyapunov para determinarmos numericamente ovalor da norma H1 de sistemas.Considere que existam uma fun�c~ao de Lyapunov quadr�atica, v(x) = x0Px, para o sistema (2.34) e um escalar > 0 tal que _v(x) + z0z � 2w0w < 0 (2.46)Integrando a express~ao a express~ao acima de 0 a T , com x(0) = 0, temos que:v(x(T )) + Z T0 (z0z � 2w0w)dt < 0visto que v(x(T )) � 0, isto implica em � kzk2kwk2Isto �e, o valor m��nimo de que satisfaz (2.46) �e a norma H1 do sistema (2.34).Visto que _v(x) = x0(A0P + PA)x+ 2w0B0wPx e z = Cx +Dww, a express~ao (2.46) torna-se:x0(A0P + PA+ C 0C)x+ 2w0(B0wP +D0wC)x+ w0(D0wDw � 2Ir)w < 0

30 CAP�ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMISA express~ao acima em termos do vetor auxiliar � x w �0 pode ser reescrita na seguinte maneira:� xw �0 � A0P + PA+ C 0C PBw + C 0DwB0wP +D0wC D0wDw � 2Ir � � xw � < 0Logo, podemos determinar a norma H1 pelo seguinte problema de otimiza�c~ao.min 2 : 8><>: P = P 0 > 0" A0P + PA+ C 0C PBw + C 0DwB0wP +D0wC D0wDw � 2I # < 0 (2.47)Exemplo 2.5.2 Determine a estabilidade e, se poss��vel, a norma H1 do seguinte sistema LTI.2664 _x1_x2_x3_x4 3775 = 2664 0 0 1 00 0 0 1�1 1 �0:2 0:20:5 �2:5 0:1 �0:15 3775 2664 x1x2x3x4 3775 + 2664 0 00 01 00 0:5 3775 � w1w2 �� z1z2 � = � 1 0 0 00 1 0 0 � 2664 x1x2x3x4 3775) Solu�c~ao:A condi�c~ao (2.47) para determinar a norma H1 j�a pressup~oe a estabilidade do sistema, portanto se existira norma H1 o sistema ser�a est�avel.Observe que para este sistema Dw = 0 e r = 2 (n�umero de entradas de perturba�c~ao). Aplicando os valoresnum�ericos do exemplo, no problema de otimiza�c~ao (2.47), obtemos os seguintes valores.-->PP =! 37.984518 - 99.050459 4.3028045 4.8463528 !! - 99.050459 368.14477 - 17.362734 .0152050 !! 4.3028045 - 17.362734 22.933598 - 30.652182 !! 4.8463528 .0152050 - 30.652182 134.78685 !-->sqrt(hinf) // Norma H_infans =11.470397 4442.6 Atividades1. Considere o exemplo (2.2.1). Prove que as condi�c~oes (2.6) s~ao equivalentes as do corol�ario (2.2.1).2. Mostre que a estabilidade quadr�atica implica em estabilidade exponencial.

2.6. ATIVIDADES 313. Veri�que nas referencias [9, 10, 11, 12, 13, 14] quais s~ao os sistemas que admitem a representa�c~ao LPV.4. Mostre que as condi�c~oes para estabilidade quadr�atica de sistemas LPV, apresentadas no exemplo(2.2.3), s~ao equivalentes as do corol�ario (2.2.1).5. Determine uma regi~ao polit�opica B� na qual o sistema apresentado no exemplo 2, se�c~ao (1.2), seja ex-ponencialmente est�avel. Utilize o resultado apresentado no exemplo (2.2.3). Lembre-se da convexidadedo conjunto solu�c~ao de uma LMI.6. Determinar a estabilidade quadr�atica do sistema linear incerto da �gura (1.6) n~ao for�cado (u � 0) comincerteza limitada em norma. Utilize o resultado apresentado na t�ecnica do DG-Scaling. Considere osseguintes valores num�ericos: m = 10 kg, k0 = 2 kg/s2 e c0 = 1 kg/s.7. Para o exemplo apresentado na se�c~ao 2.4, analise a estabilidade do sistema supondo que as incertezasest~ao descritas na forma Limitada em Norma. Compare com o resultado dado para o caso de incertezasna forma Polit�opica.8. Para o mesmo exemplo, calcule o valor aproximado do n�umero de opera�c~oes necess�arias para solucionaro problema nos tres casos:� Sistema Nominal� Abordagem Politopica� Abordagen Limitada em NormaRepita o calculo supondo que agora tenha 3 parametros incertos em vez de 2. Compare os resultados.9. A de�ni�c~ao (2.5.1) de normaH2 n~ao �e usual. Em geral ela �e de�nida no espa�co frequencial pela seguintede�ni�c~ao: kGwzk2 =s 12� Z 10 tra�co [G�wz(j!)Gwz(j!)] d!onde G�wz(j!) �e o complexo conjugado transposto de Gwz(j!). Mostre que as duas de�ni�c~oes s~aoequivalentes (Teorema de Parseval).10. Demonstre o resultado apresentado na equa�c~ao (2.39).11. Determine uma formula�c~ao LMI para o c�alculo da norma H2 de sistemas LTI utilizando o Gramianode controlabilidade.12. Obtenha uma formula�c~ao LMI, utilizando o Gramiano de observabilidade e controlabilidade, paraestimar a norma H2 do seguinte sistema incerto:( _x = A(�)x +Bw(�)wz = C(�)xonde as matrizes A(�), Bw(�) e C(�) s~ao a�ns no parametro incerto � 2 B�. Lembre-se que n~aopodemos aplicar diretamente as condi�c~oes (2.40) para sistemas LTI devido ao termo quadr�atico em �(C(�)0C(�)) 10.13. A de�ni�c~ao da norma H1 em termos do ganho L2 n~ao �e usual para sistemas lineares. Em geral, elatem a seguinte de�ni�c~ao kGwzk1 = sup �max[Gwz(j!)]!onde �max �e o valor singular m�aximo de Gwz(j!). Mostre que estas duas de�ni�c~oes de norma s~aoequivalentes para sistemas LTI.14. Obtenha uma vers~ao para a determina�c~ao da norma H1 para sistemas LTI em termos de uma matrizQ = P�1 similar ao caso H2. Esta vers~ao �as vezes �e denominada de vers~ao Dual.10Dica: utilize o complemento de Schur.

32 CAP�ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS15. Obtenha as formula�c~oes em termos de P e Q, para estimar a norma H1 do seguinte sistema incerto:( _x = A(�)x +Bw(�)wz = C(�)x+D(�)wonde as matrizes A(�), Bw(�), C(�), D(�) s~ao a�ns no parametro incerto � 2 B�. Lembre-se que n~aopodemos aplicar diretamente as condi�c~oes (2.47) para sistemas LTI devido aos termos quadr�aticos em� (C(�)0C(�) e D(�)0D(�)).16. Considere um sistema mecanico massa-mola-amortecedor, onde a massa m e o coe�ciente de amorte-cimento c s~ao variantes no tempo e limitados, com a seguinte representa�c~ao no espa�co de estados.� _x1_x2 � = � 0 1�2 �(0:5 + 0:2�1) � � x1x2 � + � 0(1 + 0:2�2) � wz = � 0 1 � � x1x2 �onde �1, �2 2 B� = f�1; 1g.Determine as normas H2 e H1, nas formula�c~oes Primal e Dual. Compare os resultados. Note que osvalores obtidos para as duas vers~oes s~ao diferentes. Por que?2.7 Referencias ComplementaresNa an�alise de estabilidade segundo Lyapunov, recomendamos [33] para sistemas lineares invariantes no tempoe [34, 24] para sistemas n~ao lineares.Outras aplica�c~oes de LMI em controle pode ser encontradas em [21, 27, 19, 35, 36].Maiores detalhes sobre os problemas de performance para o caso linear, al�em da bibliogra�a citada nase�c~ao (2.5), s~ao encontrados nos livros [18, 16], nas disserta�c~oes de mestrado [21, 20, 27, 36] e no exame dequali�ca�c~ao [22].

Cap��tulo 3S��ntese de Controladores3.1 Introdu�c~aoA s��ntese de controladores �e uma tarefa bastante complexa por envolver um grande n�umero de vari�aveis, comocaracter��stica da planta ou sistema a ser controlado (linear, n~ao linear, incertezas), restri�c~oes nas vari�aveis deentrada e sa��da, comportamento desejado (regulador, \tracking"), desempenho (tempo de resposta, rejei�c~aode perturba�c~oes), etc.Podemos de�nir o problema de s��ntese robusta da seguinte maneira, [18].� Como projetar um controlador para que, em malha fechada, o sistema satisfa�ca requisitos desejados(desempenho, performance), para todas as incertezas e perturba�c~oes admiss��veis.Neste cap��tulo, trataremos apenas do problema de estabiliza�c~ao e performance para sistemas lineares inva-riantes no tempo e incertos, dentro do \framework" LMI, para diferentes leis de controle (realimenta�c~ao deestados e de sa��da). Tamb�em, consideramos o problema da inclus~ao de restri�c~oes no projeto do regulador.A se�c~ao (3.2) trata do problema de estabiliza�c~ao e performance (H2 e H1) para uma lei de controle u = Kxpara sistemas LTI e incertos, onde supomos que todos os estados do sistema est~ao dispon��veis para a realimen-ta�c~ao. Entretanto, na pr�atica di�cilmente se tem acesso a todas as vari�aveis de estado para realimenta�c~ao.Para contornar esta problema busca-se estabilizar sistemas dinamicos pelo processo de realimenta�c~ao desa��da . O problema de s��ntese por realimenta�c~ao de sa��da �e uma das mais importantes quest~oes em aberto,veja por exemplo [37, 38]. Os principais aspectos da realimenta�c~ao de sa��da s~ao abordados na se�c~ao (3.3).Outro fator importante a ser considerado s~ao as restri�c~oes nas vari�aveis de controle (satura�c~ao) e de sa��da(seguran�ca). A se�c~ao (3.4) aborda alguns aspectos, de forma sucinta, este importante problema da teoriade controle. Finalizando, s~ao propostas algumas atividades complementares e importantes referencias paraleitura sobre o problema de s��ntese robusta nas se�c~oes (3.5) e (3.6).3.2 Realimenta�c~ao de EstadosConsidere o seguinte sistema linear invariante no tempo:( _x = Ax+Bww +Buuz = Czx+Dzww +Dzuu (3.1)onde x 2 Rn �e o vetor de estados, w 2 Rr s~ao as perturba�c~oes externas, z 2 Rq s~ao as sa��das de performancee u 2 Rp s~ao as entradas de controle. 33

34 CAP�ITULO 3. S�INTESE DE CONTROLADORESSuponha que todos os estados do sistema (3.1) s~ao mensur�aveis. Seja K 2 Rp�n a matriz de realimenta�c~aode estados, ou seja, u = Kx. Logo em malha fechada temos o seguinte sistema._x = (A+BuK)x+Bwwz = (Cz +DzuK)x+Dzww (3.2)Nesta se�c~ao, consideramos o problema de s��ntese de controladores atrav�es de uma realimenta�c~ao de estadosu = Kx, isto �e, estamos preocupados em determinar a matriz de ganhos K para o sistema (3.2) de modo asatisfazer certas propriedades e especi�ca�c~oes de performance.Estabiliza�c~ao Quadr�aticaPROBLEMA:� Como determinar a matriz de ganhos K tal que o sistema (3.2) n~ao for�cado, w � 0,seja quadraticamente est�avel.Utilizando a condi�c~ao (2.6) para estabilidade quadr�atica, podemos determinar uma matriz K que satisfazao seguinte problema9 P = P 0 > 0 : (A+BuK)0P + P (A+BuK) < 0, A0P + PA+K 0B0uP + PBuK < 0 (3.3)Note que a condi�c~ao acima, denominada de Primal, n~ao �e linear em P e K. A seguir veremos como linearizaresta inequa�c~ao matricial nas forma Primal e Dual.Solu�c~ao 1: (Vers~ao Primal)� Nesta abordagem utiliza-se uma restri�c~ao de igualdade para linearizar a express~ao (3.3).Suponha que exista uma matriz qualquer M , tal que PBu = BuM . Logo, podemos reescrever aexpress~ao (3.3) como:9 P = P 0, : 8><>: P > 0 ,PBu = BuMA0P + PA+K 0M 0Bu +BuMK < 0Considere que exista uma matriz X tal que X = MK. O problema de estabiliza�c~ao quadr�aticatem solu�c~ao, na forma Primal, se9 P = P 0 , X : 8><>: P > 0 ,PBu = BuMA0P + PA+X 0B0u +BuX < 0 (3.4)Em caso a�rmativo, a matriz de ganhos que estabiliza o sistema �e dada por K =M�1X .Solu�c~ao 2: (Vers~ao Dual)� Considere que existe uma matriz Q = Q0 > 0 : PQ = I . Pr�e e p�os multiplicando a inequa�c~aomatricial em (3.3) por Q, tem-se queQA0 +AQ+QK 0B0u +BuKQ < 0Considere que existe uma matriz Y tal que Y = KQ 1. O problema de estabiliza�c~ao quadr�atica,forma Dual, tem solu�c~ao se9 Q = Q0 , Y : ( Q > 0QA0 +AQ+ Y 0B0u +BuY < 0 (3.5)Em caso a�rmativo, a matriz de ganhos que estabiliza o sistema �e dada por K = Y Q�1.1Esta forma de lineariza�c~ao foi proposta inicialmente em [39].

3.2. REALIMENTAC� ~AO DE ESTADOS 35Note que, potencialmente a estabiliza�c~ao na forma Primal �e mais restritiva que a Dual, pois existe a restri�c~aode igualdade PBu = BuM .Exemplo 3.2.1 (Estabiliza�c~ao Quadr�atica por Realimenta�c~ao de Estados)O movimento longitudinal de um avi~ao F-16, na aproxima�c~ao de aterrissagem, pode ser representado deforma simpli�cada pelo seguinte sistema linear invariante no tempo, [8].2664 _x1_x2_x3_x4 3775 = 2664 �0:0507 �3:861 0 �32:17�0:00117 �0:5164 1 0�0:00013 1:4168 �0:4932 00 0 1 0 3775 2664 x1x2x3x4 3775 + 2664 0�0:0717�0:16450 3775 � u � (3.6)Este sistema �e inst�avel em malha aberta. Determine uma matriz de ganhos K que estabilize o sistema.) Solu�c~ao:� Vers~ao Primal.Utilizando o LMITOOL do Scilab, buscam-se matrizes P , M e X que satisfa�cam a condi�c~ao (3.4) 2.-->PP =! 1.0578296 - 10.74246 4.6822757 43.062956 !! - 10.74246 7258.5476 - 2187.363 - 21818.759 !! 4.6822757 - 2187.363 3193.5183 9510.0611 !! 43.062956 - 21818.759 9510.0611 89613.551 !-->MM =2240.1205-->XX =! 164.47519 - 69852.825 42527.564 377222.9 !-->K=M^(-1)*XK =! 0.0734225 - 31.182619 18.984499 168.39402 !� Vers~ao Dual.Buscam-se matrizes Q e Y que satisfa�cam a condi�c~ao (3.5) 3.-->QQ =! 0.6324511 0.0572916 0.0752139 0.0588924 !2Sem perda de generalidade incluiu-se a restri�c~ao P � I.3Sem perda de generalidade incluiu-se a restri�c~ao Q � I.

36 CAP�ITULO 3. S�INTESE DE CONTROLADORES! 0.0572916 0.6106135 0.0513200 - 0.0591423 !! 0.0752139 0.0513200 0.6916277 - 0.0721105 !! 0.0588924 - 0.0591423 - 0.0721105 0.0294075 !-->YY =! 9.6785551 47768.229 109579.58 3.1777504 !-->K=Y*Q^(-1)K =! - 240187.63 251850.1 361181.6 1873278.2 ! 444Controle H2PROBLEMA:� Como determinar a matriz de ganhos K que estabiliza o sistema (3.2) e minimiza asua norma H2.Visando obter uma formula�c~ao convexa para o problema de controle H2, utilizaremos a determina�c~ao danorma H2 pelo Graminiano de Controlabilidade 4.Considere o sistema (3.2) como Dzw � 0. A norma H2 deste sistema pode ser determinada pelo seguinteproblema de otimiza�c~ao.min f tra�co [(Cz +DzuK)P (Cz +DzuK)0]g : ( P = P 0 > 0(A+BuK)P + P (A+BuK)0 +BwB0w < 0 (3.7)A condi�c~ao acima apresenta termos n~ao convexos tanto na fun�c~ao objetivo como na inequa�c~ao matricial.Para linearizarmos esta express~ao, utilizamos as seguintes rela�c~oes.� W � (Cz +DzuK)P (Cz +DzuK)0.� Y = KP .Aplicando o complemento de Schur em (3.7), considerando as express~oes acima, podemos obter uma rela�c~aoconvexa para a determina�c~ao da norma H2.Teorema 3.2.1 (Controle H2 - Realimenta�c~ao de Estados)Considere o sistema (3.2) com Dzw � 0. Se existe uma matriz P sim�etrica, de�nida positiva, e matrizes W ,Y , satisfazendo o seguinte problema de otimiza�c~aomin ( tra�co W ) : 8>>>>>><>>>>>>:" W (CzP +DzuY )(PC 0z + Y 0D0zu) P # � 0" (AP + PA0 +BuY + Y 0B0u) BwB0w �Ir # < 0 (3.8)Ent~ao, podemos a�rmar que4Veja atividade proposta no exerc��cio (11) na se�c~ao (2.6).

3.2. REALIMENTAC� ~AO DE ESTADOS 371. O Sistema �e estabiliz�avel pela lei de controle u = Y P�1x.2. A norma H2 do sistema �e dada por kGwzk2 < p tra�co W . ���Com rela�c~ao �a escolha das matrizes Cz e Dzu pode-se fazer os seguintes coment�a�arios. Note quekzk22 = Z T0 z0zdt = Z T0 (Czx+Dzuu)0(Czx+Dzuu)dtSe escolhermos Cz e Dzu tais que CzD0uz = 0�camos com kzk22 = kCzxk22 + kDzuuk22Como o problema �e minimizar kzk2 temos que a lei de controle deve diminuir a energia da vari�avel Czxtornando mais r�apido os modos do sistema realimentado que afetam esta vari�avel. Por outro lado, o esfor�code controle dispendido para acelerar esses modos n~ao pode ser excessivo, pois isto aumenta a energia dotermo Dzuu. Tipicamente temos um compromisso entre o esfor�co de controle (representado por Dzu e arapidez dos modos (representados por Cz). Quanto menor for Dzu em rela�c~ao �a Cz , mais r�apido ser~ao osmodos do sistema e maiores ser~ao os ganhos de realimenta�c~ao.Exemplo 3.2.2 (Problema H2 - Realimenta�c~ao de estados)Determine uma lei de controle do tipo u = Kx que estabiliza e minimize a norma H2 do seguinte sistemalinear invariante no tempo.24 _x1_x2_x3 35 = 24 �1 1 00 �1 12 1 �2 35 24 x1x2x3 35 + 24 001 35 [w] + 24 001 35 [u][z] = � 1 1 0 � 24 x1x2x3 35) Solu�c~ao:Utilizando o teorema (3.2.1), determinam-se as seguintes matrizes P , W e Y .-->PP =! 55110.251 - 55110.251 - 18370.174 !! - 55110.251 55110.251 18369.978 !! - 18370.174 18369.978 217259.58 !-->WW =3.715D-07-->YY =! - 434527.93 - 198881.24 316102.04 !

38 CAP�ITULO 3. S�INTESE DE CONTROLADORESA lei de controle que estabiliza o sistema �e dada por u = Y P�1x, onde-->K=Y*P^(-1) // Lei de controle u=KxK =1.0D+11 *! - 3189.5141 - 3189.5131 - .0029597 !A norma H2 do sistema em malha fechada �e dada por-->G2=sqrt(trace(W)) // norma h2 em malha fechadaG2 =.0006095 444Note que Dzu = 0 e Dzw = 0. Portanto a solu�c~ao do problema �e fazer com que z = x1 + x2 tenda a zero omais r�apido poss��vel. Isto se consegue com grandes ganhos de realimenta�c~ao, pois neste caso os modos dosistema s~ao mais r�apidos. Para evitar grandes ganhos basta considerar Dzu 6= 0. A escolha adequada de Cze Dzu permite um equil��brio entre o esfor�co de controle e a rapidez de resposta.Controle H1PROBLEMA:� Como determinar a matriz de ganhos K que estabiliza o sistema (3.2) e minimiza asua norma H1.A determina�c~ao da norma H1 pela abordagem dual permite a obten�c~ao de uma formula�c~ao convexa para oproblema de controle H1.A norma H1 do sistema (3.2) �e dada pelo seguinte problema de otimiza�c~ao 5.min 2 : 8>>>>>><>>>>>>: Q = Q0 > 0264 Q(A+BuK)0 + (A+BuK)Q Bw Q(Cz +DzuK)0B0w � 2I D0zw(Cz +DzuK)Q Dzw �I 375 < 0 (3.9)A express~ao (3.9) pode ser linearizada pela mudan�ca de vari�avel Y = KQ. O pr�oximo teorema apresentauma formula�c~ao convexa para o problema de controle H1 por realimenta�c~ao de estados u = Kx.Teorema 3.2.2 (Controle H1 - Realimenta�c~ao de Estados)Considere o sistema (3.2). Se existem matrizes Q, Y , e um escalar > 0, satisfazendo o seguinte problemade otimiza�c~ao min 2 : 8>>>>>><>>>>>>: Q = Q0 > 0264 (AQ+QA0 +BuY + Y 0B0u) Bw (QC 0z + Y 0D0zu)B0w � 2I D0zw(CzQ+DzuY ) Dzw �I 375 < 0 (3.10)5Veja o exerc��cio (14) da se�c~ao (2.6).

3.2. REALIMENTAC� ~AO DE ESTADOS 39Ent~ao, podemos a�rmar que1. O Sistema �e estabiliz�avel pela lei de controle u = Y Q�1x.2. A norma H1 do sistema �e dada por kGwzk1 = . ���Exemplo 3.2.3 (Problema H1 - Realimenta�c~ao de Estados)Determine uma lei do tipo u = Kx que minimiza a norma H1 do seguinte sistema linear invariante notempo.2664 _x1_x2_x3_x4 3775 = 2664 �0:2 2 2 00 �1 0 00 0 �2 00 0 0 �10 3775 2664 x1x2x3x4 3775 + 2664 2 00 200 300 0 3775 � w1w2 � + 2664 0�20�30�3 3775 [u]� z1z2 � = � 1 0 0 00 0 0 �3 � 2664 x1x2x3x4 3775 + � 0�1 � [u]) Solu�c~ao:A lei de controle u = Kx �e determinada pela aplica�c~ao direta do resultado proposto no teorema (3.2.2), ondeobtem-se as seguintes matrizes Q e Y .-->QQ =! 22.997334 4294.319 - 4426.3233 - 23.227476 !! 4294.319 6704090.7 - 6750196.2 - 41945.415 !! - 4426.3233 - 6750196.2 6797269.3 42198.563 !! - 23.227476 - 41945.415 42198.563 265.25822 !-->YY =! 69.684489 125859.33 - 126568.8 - 792.79395 !A norma H1 do sistema em malha fechada �e dada por:-->sqrt(gama) // Norma Hinfans =.6925998 444Novamente escolheu-se Dzu = 0 o que elimina o esfor�co de controle do crit�erio a ser minimizado.Sistemas Lineares IncertosConsidere a seguinte classe de sistemas incertos( _x = A(�)x +Bw(�)w +Bu(�)u 8 � 2 B�z = C(�)x+Dzw(�)w +Dzu(�)u (3.11)

40 CAP�ITULO 3. S�INTESE DE CONTROLADORESonde as matrizes A(�), B(�), C(�), D(�), s~ao a�ns no parametro incerto �.O problema a ser considerado nesta se�c~ao �e o de determinarmos uma lei de controle do tipo u = Kx queestabilize o sistema (3.11) n~ao for�cado, w � 0, para todos valores admiss��veis da incerteza �.O pr�oximo corol�ario, prop~oe uma formula�c~ao convexa para a determina�c~ao da matriz de ganhos K queestabiliza o sistema (3.11) com w = 0.Corol�ario 3.2.1 (Estabiliza�c~ao - Sistema Linear Incerto)Seja B� um politopo convexo, que de�ne os valores admiss��veis das incertezas.Considere o sistema linear incerto (3.11) n~ao for�cado, w � 0.Se existem matrizes Q e Y satisfazendo as seguintes rela�c~oes nos v�ertices do politopo B�.( Q = Q0 , Q > 0QA(�)0 +A(�)Q+ Y 0B0u(�) +Bu(�)Y < 0Ent~ao, a lei de controle u = Y Q�1x estabiliza o sistema em malha fechada, para qualquer � 2 B�. ���Exemplo 3.2.4 (Sistema Incerto - Estabiliza�c~ao)Considere o sistema (1.8) apresentado na se�c~ao (1.2). Determine uma lei de controle u = Kx que estabilizeo sistema para qualquer valor de � 2 f�100; 100g.) Solu�c~ao:Aplicando diretamente o corol�ario (3.2.1) para � = �100 e � = 100, obtemos as seguinte matrizes Q e Y .Sem perda de generalidade consideraremos a seguinte restri�c~ao kQk � 1.Q =! .1550085 .1616138 - .1905192 .1467614 !! .1616138 .6791386 .0510504 .1450202 !! - .1905192 .0510504 .6316482 .0211160 !! .1467614 .1450202 .0211160 .5284163 !-->YY =! - 4.4769426 19602.282 5040.0185 - 165.49743 !! 27.834328 - 125134.08 0. 1074.6364 !A matriz de ganhos que estabiliza o sistema, para u = Kx, �e dada por-->K=Y*Q^{-1} // Matriz de GanhosK =! - 102706.83 52185.415 - 27718.577 14998.154 !! 1088285.7 - 428879.95 369509.03 - 197287.68 ! 444

3.3. REALIMENTAC� ~AO DE SA�IDA 413.3 Realimenta�c~ao de Sa��daDescreve-se aqui uma solu�c~ao para o problema de s��ntese de controladores via realimenta�c~ao de sa��da atrav�esda abordagem LMI. O resultados obtidos s~ao semelhantes ao caso de s��ntese de controladores por Realimen-ta�c~ao de Estados.Considere o seguinte sistema LTI: _x = Ax +Buu+Bwwy = Cxz = Czx+Dzww +Dzuu (3.12)onde x 2 Rn �e o vetor de estados, y 2 Rm �e o vetor das vari�aveis de sa��da mensur�aveis, u 2 Rp �e a vari�avelde controle, w 2 Rr s~ao as perturba�c~oes externas e z 2 Rq s~ao as sa��das de performance.Uma condi�c~ao necess�aria para que problema de estabiliza�c~ao do sistema (3.12) por realimenta�c~ao de sa��datenha solu�c~ao �e que o par (A,B) seja estabiliz�avel e o par (A,C) dect�avel, [33].3.3.1 Realimenta�c~ao Est�atica de Sa��daEsta �e a forma mais simples de projeto de controladores por realimenta�c~ao de sa��da, e consiste em encontraruma matriz de ganho K tal que a lei de controle do tipo u = Ky estabilize o sistema (3.12), ou satisfa�caalguns requisitos de projeto.Como estamos interessados apenas no processo de estabiliza�c~ao vamos supor que no sistema (3.12) n~ao h�ain uencia de perturba�c~oes externas e desconsidera-se a vari�avel de performance z, resultando em :_x = Ax+Buuy = Cx (3.13)e o sistema (3.13) em malha fechada �ca: _x = (A+BuKC)xPara que este sistema seja quadraticamente est�avel, ele tem que satisfazer as condi�c~oes de Laypunov (2.6).Assim tem-se que encontrar matrizes P > 0 e K tal que v(x) = x0Px > 0 e_v(x) = x0(A0P + PA+ C 0K 0B0uP + PBuKC)x < 0Note que a condi�c~ao acima n~ao �e convexa nas vari�aveis (P;K), o que impossibilita a utiliza�c~ao dos pacotescomputacionais existentes. Para contornar este problema, utiliza-se aqui o Problema-P, dado em [40], quecria um problema auxiliar convexo, que se for fact��vel o problema original tamb�em ser�a.Usando as condi�c~oes do Problema-P, obt�em-se as seguintes condi�c~oes, dadas pelo Teorema 3.3.1.Teorema 3.3.1 O sistema (3.13) ser�a quadraticamente estabiliz�avel por uma lei de controle do tipo u = Ky,se 9 matrizes P > 0, Me Y tais queA0P + PA+ C 0Y 0B0u +BuY C < 0PBu = BuM (3.14)Em caso a�rmativo, o ganho de realimenta�c~ao �e dado por K = M�1Y e v(x) = x0Px �e uma fun�c~ao deLyapunov para o sistema.

42 CAP�ITULO 3. S�INTESE DE CONTROLADORESProva: Suponha que as condi�c~oes do Teorema 3.3.1 estejam satisfeitas. Como PBu = BuM e K = M�1Ya primeira LMI em (3.14) �ca A0P + PA+ C 0K 0B0uP + PBuKC < 0Pr�e e p�os multiplicando por x0 e x respectivamente tem-sex0(A0P + PA+ C 0Y 0B0u +BuY C)x < 0o que prova o teorema, pois �e a condi�c~ao para _v(x) < 0. ���Pode-se em vez de utilizar a abordagem primal considerar a abordagem dual, como no caso de realimenta�c~aode estados. Este resultado �e dado a seguir e utiliza a vers~ao dual do Problema-P, o Problema-W dado em[40].Teorema 3.3.2 O sistema (3.13) ser�a quadraticamente estabiliz�avel por uma lei de controle do tipo u = Ky,se 9 matrizes Q > 0, M e Y tais queQA0 +AQ+ C 0Y 0B0u +BuY C < 0CQ =MC (3.15)Em caso a�rmativo, o ganho de realimenta�c~ao �e dado por K = YM�1 e v(x) = x0Px, com P = Q�1 �e umafun�c~ao de Lyapunov para o sistema. ���O grande problema que surge �e que as condi�c~oes acima s~ao apenas su�cientes para a solu�c~ao do problema, ouseja , se tiver solu�c~ao o problema original esta satisfeito, por�em, o contr�ario geralmente n~ao ocorre. Em [40],os autores mostram que a factibilidade do Problema-P ou do Problema-W, �e dependente da representa�c~aode estado , assim, �e poss��vel atrav�es da aplica�c~ao de uma transforma�c~ao de similaridade tornar o problemafact��vel. No entanto como encontrar esta transforma�c~ao �e um problema n~ao convexo de dif��cil solu�c~ao. Umaalternativa seria utilizar os testes de estabilidade do par (A,B), e de dectabilidade do par (A,C), como feitoem [35]Pode-se estender os resultados de s��ntese para sistemas incertos com incertezas na forma politopica de formasemelhante ao caso de realimenta�c~ao de estados. Para tal resolve-se as LMIs em (3.14) para os v�ertices daregi~ao B�. Note que as matrizes C e B n~ao podem ser incertas conjuntamente, pois torna o problema n~aoconvexo. Por isso, devido a restri�c~ao de igualdade, �e mais conveniente no caso primal que apenas que amatriz C seja incerta, e no caso dual que a matriz B seja incerta.Exemplo 3.3.1 Dado o seguinte sistema2664 _x1_x2_x3_x4 3775 = 2664 0 0 0 00 0 0 02 0 1 20 2 2 1 37752664 x1x2x3x4 3775+ 2664 1 00 10 00 0 3775u� _y1_y2 � = � 4 �3 3 0�2 2 �1 2 �2664 x1x2x3x4 3775 (3.16)

3.3. REALIMENTAC� ~AO DE SA�IDA 43encontre uma matriz de ganho K tal que a lei de controle u = Ky estabilize o sistema.) Solu�c~ao:� Vers~ao PrimalUtilizando a abordagem primal dada no Teorema 3.3.1 n~ao se consegue obter uma solu�c~ao fact��vel,mas isso n~ao implica que o problema n~ao tenha solu�c~ao, pois as condi�c~oes apresentadas s~ao apenassu�cientes. Vamos aplicar agora a abordagem Dual.� Vers~ao DualAplicando o Teorema 3.3.2 obt�em-se M, Q e Y--> M =! 3397.963 - 1243.9978 !! - 9760.2895 8373.7183 !--> Y =! 60875.664 - 62668.24 !! 92399.285 - 93652.561 !--> Q =! 23050.555 14656.184 - 5040.4127 - 4987.5489 !! 14656.184 25749.946 - 3696.4555 - 2702.2747 !! - 5040.4127 - 3696.4555 9675.4877 - 2559.0692 !! - 4987.5489 - 2702.2747 - 2559.0692 4808.9096 !A matriz de ganho K = Y N�1 que estabiliza o sistema em malha fechada ser�a dada por:--> K = Y*M^(-1)! - 6.247282 - 8.4120145 !! - 8.6042252 - 12.462348 ! 4443.3.2 Realimenta�c~ao Dinamica de Sa��daEm algum casos com apenas um ganho n~ao �e poss��vel satisfazer todos os requisitos de performance pr�eespeci�cados num projeto de controle. �E necess�ario, muitas vezes, que o controlador tenha o comportamentode um sistema dinamico. Considerando que a dinamica do controlador esteja na forma de representa�c~aode estados �e poss��vel em muitos casos incorporar o controlador ao sistema, transformando o problema derealimenta�c~ao dinamica de sa��da em um problema de realimenta�c~ao est�atica de dimens~ao aumentada.Seja o sistema _x = Ax+Buuy = Cx (3.17)

44 CAP�ITULO 3. S�INTESE DE CONTROLADORESe a dinamica do controlador dada por: _xc = Acxc +Bcyu = Ccxc +Dcy (3.18)onde xc 2 Rnc �e o vetor de estados do controle, e nc � n caracteriza a ordem do controlador.Realimentando o sistema (3.17) com o controlador dado em (3.18), obt�em-se em malha fechada,_x = (A+BuDcC)x +BuCcxc_xc = Acxc +BcCx (3.19)que pode ser reescrito como um sistema aumentado da forma:_xa = Aaxa + BaGaCaxa (3.20)com xa = [x0 x0c]0 2 R(n+nc ); representando o novo vetor de estados. E as matrizes dadas por:Aa = � A 00 0 � ;Ba = � Bu 00 I � ;Ca = � C 00 I � ;Ga = � Dc CcBc Ac � ;O problema agora �e um problema de s��ntese de controladores via realimenta�c~ao est�atica de sa��da, ou seja,encontrar uma lei do controle do tipo u = Gaya com ya = Caxa, tal que o sistema seja quadraticamenteest�avel. Para solucionar este problema basta resolver as LMIs no Teorema 3.3.1 ou 3.3.2 para o sistema(3.20).Mas nem sempre �e necess�ario que o controlador tenha a ordem do sistema, ou seja nc = n. Controladores deordem reduzida s~ao aqueles que tem uma dimens~ao menor que o sistema, nc < n. A solu�c~ao do problema �efeita da mesma maneira mas tem-se agora o sistema aumentado �e de ordem menor, bem como a matriz deganhos Ga.3.4 Controle sujeito a restri�c~oesEm geral, nas aplica�c~oes pr�aticas, os sistemas de controle operam em regi~oes do espa�co de estados sujeitasa restri�c~oes nas vari�aveis de estado e/ou controle. Estas restri�c~oes correspondem a limites inferiores e/ousuperiores nas vari�aveis de interesse do sistema, descritas por limita�c~oes de ordem tecnol�ogica (por exemplo,satura�c~ao de atuadores) e/ou de seguran�ca, [41].Portanto, nesta se�c~ao, abordaremos o problema de controle sujeito a restri�c~oes no sinal de controle (porexemplo, para evitar a satura�c~ao de sistemas e a consequente perda do comportamento linear) e no sinalde sa��da (visando atender especi�ca�c~oes de seguran�ca). Em ambos os casos, levarmos em conta uma lei decontrole do tipo u = Kx.Restri�c~oes na Vari�avel de ControleEm geral, devido �as limita�c~oes f��sicas dos atuadores, o sinal de controle u(t) est�a sujeito �a satura�c~ao. A�gura (3.1) mostra o problema de controle com este tipo de restri�c~ao.Uma solu�c~ao usual, neste tipo de problema, �e a de impormos limita�c~oes no sinal de controle u = Kx. Comisso, o sistema em malha fechada manter�a o comportamento linear, isto �e, _x = (A+BK)x. Para tal, faremosas seguintes considera�c~oes.

3.4. CONTROLE SUJEITO A RESTRIC� ~OES 45sat(u) x(t)_x = Ax+Bsat(u)K

u(t) sat(u)u

Figura 3.1: Sistema de Controle sujeito a Satura�c~ao� As condi�c~oes iniciais s~ao conhecidas, limitadas em norma kx0k � � e o estado x(t) pertence ao elips�oide�� = fx : x0Q�1 x � 1g, isto �e, x(t) 2 �� 8 t � 0, inclusive x0.� Existem duas matrizes Q > 0 e Y que satisfazem a condi�c~ao (3.5).� O i-�esimo sinal de controle ui, i = f1; : : : ; pg, deve ser limitado entre ��i.Estas considera�c~oes implicam em:maxt�0 kuik � �i ,maxt�0 kKix(t)k � maxx2�� kYiQ�1xk � kYiQ� 12 k maxx2�� kQ� 12xk� r�max �Q� 12 Y 0i YiQ� 12� � �ionde Ki (Yi) �e a i-�esima linha da matriz K (Y ) e �max(�) �e o autovalor m�aximo de (�).Portanto, a restri�c~ao kuik � �i , 8 x 2 ��, �e equivalente as seguintes rela�c~oes LMI.� ��2 e0jej Q � � 0 8 j , e � Q Y 0iYi �2i � � 0 8 i (3.21)onde o vetor ej corresponde a j-�esima coluna da matriz identidade In, para j = f1; : : : ; ng.Exemplo 3.4.1 (Controle sujeito a satura�c~ao)Considere o sistema (3.6). Determine uma lei de controle u = Kx que estabiliza o sistema. Suponha que osinal de controle est�a limitado �a �10 e as condi�c~oes iniciais est~ao limitadas em norma por kx0k � 2.) Solu�c~ao:Para considerarmos o projeto sujeito a satura�c~ao, pelas condi�c~oes apresentadas, devemos resolver o seguinte

46 CAP�ITULO 3. S�INTESE DE CONTROLADORESproblema LMI:9 Q = Q0 , Y :

8>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>:Q > 0QA0 +AQ+ Y 0B0u +BuY < 0" ��2 e0jej Q # � 0 8 j" Q Y 0iYi �2i # � 0 8 ionde j = f1; : : : ; 4g, i = 1, � = 10 e � = 2.Aplicando ao sistema, obtemos o seguinte resultado.-->QQ =! 29324.538 299.64638 - 226.56666 319.89993 !! 299.64638 146.47705 - 164.67814 72.969009 !! - 226.56666 - 164.67814 193.85714 - 87.884263 !! 319.89993 72.969009 - 87.884263 47.728666 !-->YY =! 355.20519 10.248535 13.159181 .0066614 !-->K=Y*Q^(-1) // Matriz de GanhosK =! - .0183679 4.1006297 4.5001046 2.1402663 !A �gura (3.2) mostra o sinal de controle aplicado ao sistema, para uma uma condi�c~ao inicial x(0) =� 0 2 0 0 �. 444Restri�c~oes no Sinal de Sa��daConsidere o seguinte sistema linear invariante no tempo.8><>: _x = Ax+Bww +Buuz = Czx+Dzww +Dzu� = Ex (3.22)onde � 2 Rl representa algumas das sa��das do sistema as quais, por seguran�ca, desejamos limitar emamplitude.Visando obter uma formula�c~ao LMI para este problema, faremos as seguintes considera�c~oes.� As condi�c~oes iniciais s~ao conhecidas, limitadas em norma kx0k � " e o estado x(t) est�a contido noelips�oide �" = fx : x0Q�1 x � 1g, isto �e, x(t) 2 �" , 8 t � 0.� Existem matrizes Q, Y , que satisfazem a condi�c~ao (3.5).

3.4. CONTROLE SUJEITO A RESTRIC� ~OES 47u(t)

t(s)0 10 20-10010

Figura 3.2: Sinal de Controle aplicado ao Sistema (3.6)) para uma condi�c~ao inicial kx0k < 2.� A i-�esima sa��da de seguran�ca, para i = f1; : : : ; lg, �e limitada em norma, isto �e, k�ik � �i.Levando em conta as considera�c~oes acima, podemos escrever que:maxt�0 k�ik � �i 8 x : x0Q�1x � 1maxt�0 kEixk � maxx2�" kEixk 8 x : x0Q�1x � 1onde Ei �e a i-�esima linha da matriz E.As rela�c~oes acima s~ao equivalentes ao seguinte problema na forma LMI.9 � : 8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:

� � 0 , � � 1" Q QE0iEiQ ��2i # � 0 , 8 i" "�2 e0jej Q # � 0 , 8 j (3.23)onde os vetores ej s~ao as j-�esimas colunas da matriz identidade In, para j = f1; : : : ; ng.Exemplo 3.4.2 Projeto com restri�c~oes na sa��daConsidere o mesmo problema apresentado no exemplo (3.4.1). Suponha que o estado x1 deva ser limitadoem �101.) Solu�c~ao:Neste caso, desejamos restringir a excurss~ao do sinal x1(t). Logo a matriz E = � 1 0 0 0 �. Note que:" � � = 2, � = 101.

48 CAP�ITULO 3. S�INTESE DE CONTROLADORESAplicando a este caso as condi�c~oes (3.5), (3.21) e (3.23), obtemos as seguintes matrizes Q, Y e K.-->QQ =! 10195.154 104.34092 34.161826 42.822675 !! 104.34092 40.364163 - 42.234899 16.680284 !! 34.161826 - 42.234899 51.635992 - 20.169939 !! 42.822675 16.680284 - 20.169939 12.265695 !-->YY =! 342.59412 8.0082025 12.099617 8.1710709 !-->K=Y*Q^(-1) // Matriz de GanhosK =! - .0334339 3.7363881 4.5674268 3.2124967 !A �g (3.3) mostra o sinal x1(t) para uma condi�c~ao inicial x0 = � 0 2 0 0 �.

t(s)

x1(t)

0 10 20-1000

100

Figura 3.3: Sinal x1(t) com limita�c~ao de excurs~ao m�axima para uma condi�c~ao inicial com kx0k � 2.4443.5 Atividades1. Obtenha uma formula�c~ao convexa para o problema de controle H2 utilizando o Graminiano de Obser-vabilidade. Considere que Dzu � 0. Por que devemos fazer esta considera�c~ao ?

3.6. REFERENCIAS COMPLEMENTARES 492. Prove os resultados apresentados no teorema (3.2.1).3. Obtenha uma formula�c~ao convexa para o problema de controle H1 na vers~ao primal. Considere queDzu � 0.4. Prove o resultado proposto no corol�ario (3.2.1).5. Obtenha uma formula�c~ao convexa para o problema de estabiliza�c~ao por realimenta�c~ao de estados parasistemas lineares incertos na representa�c~ao LFT com incerteza limitada em norma._x = Ax +Bpp+Buu+Bwwq = Cqx+Dqpp+Dquu+Dqwwz = Czx+Dzpp+Dzww +Dzuup = �q , k�k � ��1 , � = diag fI�ig� Aplique o resultado anterior no sistema (1.8) para j�j � 100.6. Obtenha uma formula�c~ao convexa para o problema de controle H2 por realimenta�c~ao de estados, paraa classe de sistemas (3.11).� Aplique o resultado anterior no sistema (1.8) para � 2 f�10; 10g.7. Obtenha uma formula�c~ao convexa para o problema de controle H1 por realimenta�c~ao de estados, paraa classe de sistemas (3.11).� Aplique o resultado anterior no sistema (1.8) para � 2 f�10; 10g.8. Prove os resultados apresentados no Teorema 3.3.2.9. Estenda os resultados obtidos para a solu�c~ao do Problema H2 por Realimenta�c~ao de Estados, paraRealimenta�c~ao de Est�atica de Sa��da.10. Repita o mesmo procedimento para o Problema H111. Para sistemas Lineares Incertos, obtenha condi�c~oes equivalentes as dadas no Corol�ario (3.2.1), supondoque agora o problema �e de Realimenta�c~ao de sa��da.12. Demonstre o resultado (3.21) para restri�c~oes na entrada de controle.13. Demonstre o resultado (3.23) para restri�c~oes na sa��da.14. Considere o sistema (1.8). Suponha que as vari�aveis de controle u1 e u2 s~ao limitadas em m�odulopor �=2 rad. Suponha que os angulos de inclina�c~ao com a horizontal e de voo n~ao podem, por raz~oesde seguran�ca, ultrapassar em m�odulo o angulo de �=4 rad. Suponha que as condi�c~oes iniciais est~aolimitadas em norma a 1.� Determine uma lei de controle u = Kx que minimize a norma H2 do sistema (1.8).� Idem para a norma H1.15. Estenda os resultados de restri�c~oes na entrada e na sa��da para o caso de realimenta�c~ao est�atica nasa��da. Considere que x(t) 2 � = fx : x0W�1x � 1g, 8 t � 0. Lembre-se que u = (FN�1C)x.3.6 Referencias ComplementaresResultados via LMI para o problema de estabiliza�c~ao, H2, H1, al�em de outras restri�c~oes, s~ao encontradosem [25, 21, 36].O \survey" [42] �e uma referencia bastante completa sobre o problema de realimenta�c~ao de sa��da.No projeto de sistemas sujeitos a restri�c~oes, existem v�arios trabalhos que permitem, por exemplo, a satura�c~aodos sistemas o que di�culta a tarefa de obtermos uma lei de controle estabilizante e/ou que melhore aperformance do sistema, devido a caracter��stica n~ao linear do sistema em malha fechada, veja maioresdetalhes em [43]. Os resultados apresentados para restri�c~oes na entrada e na sa��da s~ao encontrados no livro[25] e nos artigos [44, 15].

50 CAP�ITULO 3. S�INTESE DE CONTROLADORES

Cap��tulo 4Sistemas Discretos - An�alise,Performance e S��ntese

4.1 Introdu�c~aoOs resultados apresentados nos cap��tulos (2) e (3) possuem an�alogos para o caso discreto. Basicamente,a diferen�ca entre os casos cont��nuo e discreto �e que no primeiro utiliza-se a derivada temporal da fun�c~aode Lyapunov e no caso discreto utiliza-se a varia�c~ao discreta da fun�c~ao de Lyapunov: �v(x(kT + T )) =v(x(kT + T ))� v(x(kT )), onde T �e a taxa de amostragem.Neste cap��tulo, apresentaremos a extens~ao destes resultados para os seguintes problemas na teoria de controle:� [Se�c~ao 4.2] Estabilidade Quadr�atica. Nesta Se�c~ao, apresentamos uma vers~ao da de�ni�c~ao de estabili-dade quadr�atica para o caso discreto e uma rela�c~ao LMI para determinar a estabilidade de sistemasdiscretos invariantes no tempo.� [Se�c~ao 4.3] Performance H2 e H1. No caso discreto a de�ni�c~ao de norma �e apresentada na forma desomat�orio das amostras de sinais.� [Se�c~ao 4.4] S��ntese por Realimenta�c~ao de Estados.Na sequencia deste cap��tulo, propomos algumas atividades e referencias complementares para estender osresutlados apresentados para sistemas lineares com parametros variantes.Para facilitar a compreesens~ao deste cap��tulo, recomendamos inicialmente uma revis~ao dos conceitos detransformada Z e vari�aveis de estado para sistemas discretos, veja por exemplo [45], [46]. Tamb�em, visandosimpli�car a nota�c~ao, denotaremos x(kT ) por xk e x1(kT ) por x1;k para um dado T constante.4.2 Estabilidade Quadr�aticaComo j�a mencionado na introdu�c~ao, as condi�c~oes de establidade por Lyapunov no caso discreto s~ao ligei-ramente diferentes das do caso cont��nuo, devido a opera�c~ao de varia�c~ao discreta. Para apresentar estascondi�c~oes, faremos algumas considera�c~oes. 51

52 CAP�ITULO 4. SISTEMAS DISCRETOS - AN �ALISE, PERFORMANCE E S�INTESEConsidere a seguinte equa�c~ao �a diferen�ca (ou equa�c~ao recursiva):xk+1 = f(xk ; k) (4.1)Os sistemas discretos representados pela equa�c~ao recursiva (4.1) s~ao quadraticamente est�aveis se existemfun�c~oes �1(�), �2(�), �3(�) de classe K, e uma fun�c~ao do tipo v(xk) = x0kPxk, onde P �e uma matriz sim�etrica,de�nida positiva, tais que as seguintes condi�c~oes s~ao satisfeitas 8 xk.� �1(kxkk) � v(xk) � �2(kxkk), e� �v(xk) = v(xk+1)� v(xk) � ��3(kxkk).O pr�oximo teorema apresenta condi�c~oes na forma LMI para an�alise de estabilidade da classe de sistemasdiscretos lineares invariantes no tempo.Teorema 4.2.1 (Estabilidade Quadr�atica - Sistemas Discretos Invariantes no Tempo)O sistema discreto xk+1 = Axk, onde A 2 Rn�n �e uma matriz constante, �e quadraticamente est�avel seexiste uma matriz P = P 0, tal que as seguintes condi�c~oes sejam satisfeitas.P > 0 , A0PA� P < 0 (4.2)Em caso a�rmativo, v(xk) = x0kPxk �e uma fun�c~ao de Lyapunov para o sistema. 222Exemplo 4.2.1 Determine a estabilidade do seguinte sistema discreto invariante no tempo.xk+1 = 24 1:1 �0:35 0:0251 0 00 1 0 35xk , xk = 24 x1;kx2;kx3;k 35) Solu�c~ao:Determinamos a estabilidade do sistema aplicando diretamente o resultado do teorema (4.2.1). Onde obtemoso seguinte resultado que comprova a estabilidade do sistema.-->[P]=discreto();Construction of canonical representationBasis ConstructionFEASIBILITY PHASE.primal obj. dual obj. dual. gap1.47e+00 -6.62e+02 6.63e+02-1.27e+02 -6.54e+02 5.27e+02Target value reachedfeasible solution found

4.3. PERFORMANCE DE SISTEMAS 53-->PP =! 2987.8466 - 1228.5028 - 43.501205 !! - 1228.5028 1583.2333 - 310.56782 !! - 43.501205 - 310.56782 701.99128 ! 4444.3 Performance de SistemasO objetivo desta se�c~ao �e apresentar condi�c~oes LMIs para a determina�c~ao das norma H2 e H1 da seguinteclasse de sistemas discretos. ( xk+1 = Axk +Bwwk x0 = 0zk = Cxk +Dwwk (4.3)com xk 2 Rn denotando o vetor de estados, w 2 Rr denotando o vetor das entradas de perturba�c~ao e z 2 Rqdenotando o vetor das sa��das de interesse. Tamb�em denotaremos Gwz(�) como a fun�c~ao de transferenciadiscreta de w para z e g(kT ) coma a resposta ao pulso unit�ario do sistema. Note que Gwz(�) = Z [g(kT )].Norma H2Considere o sistema discreto (4.3) com Dzw = 0. A norma H2 �e de�nida comokGwz(�)k2 = vuut 1Xk=0 tra�co (g(k)0 g(k)) (4.4)A norma H2 pode ser calculada, de maneira similar ao caso cont��nuo, atrav�es dos Graminianos de Observa-bilidade e Controlabilidade, respectivamente dados por.kGwz(�)k22 = tra�co (B0wPoB) , Po : A0PoA� Po + C 0C = 0 , ekGwz(�)k22 = tra�co (CPcC 0) , Pc : APcA0 � Pc +BwB0w = 0 .Da mesma forma que no caso cont��nuo, o c�alculo da norma H2 pode ser feito atrav�es de um problem deotimiza�c~ao, da seguinte forma:kGwz(�)k22 < min ( tra�co [B0wPBw]) : ( P > 0 , P 0 = PA0PA� P + C 0C < 0 (4.5)kGwz(�)k22 < min ( tra�co [C P C 0]) : ( P > 0 , P 0 = PAPA0 � P +BwB0w < 0 (4.6)Exemplo 4.3.1 (Determina�c~ao da norma H2)Considere o seguinte sistema discreto.

54 CAP�ITULO 4. SISTEMAS DISCRETOS - AN �ALISE, PERFORMANCE E S�INTESE24 x1;k+1x2;k+1x3;k+1 35 = 24 1:1 �0:35 0:0251 0 00 1 0 35 24 x1;kx2;kx3;k 35 + 24 001 35 [wk]� z1;kz2;k � = � 1 0 00 1 0 � 24 x1;kx2;kx3;k 35Determine a norma H2 pelo graminiano de controlabilidade.) Solu�c~ao:Utilizando a condi�c~ao (4.6), obtivemos o seguinte resultado:-->PP =! 3.5069065 - .9625339 .0723766 !! - .9625339 1.3811243 - .0288760 !! .0723766 - .0288760 1.0021918 !-->sqrt(h2) // Norma H2ans =2.2108891 444Norma H1Considere o sistema discreto (4.3). A norma H1 �e de�nida comokGwz(�)k1 = sup kzkk2kwkk2kwkk2 6= 0 (4.7)Suponha que exista uma fun�c~ao de Lyaponov do tipo v(xk) = x0kPxk, para o sistema (4.3) que satisfa�ca aseguinte condi�c~ao para algum > 0 �v(xk) + z0kzk � 2w0kwk < 0Mostraremos a seguir que kGwz(�)k1 < .Relembrando que zk = Cxk +Dwwk , a condi�c~ao acima pode ser reescrita comov(xk+1)� v(xk) + (Cxk +Dwwk)0(Cxk +Dwwk)� 2w0kwk < 0que em termos do vetor auxiliar � x0k w0k �0 �ca� xkwk �0 � (A0PA� P + C 0C) (A0PBw + C 0Dw)(B0wPA+D0wC) (D0wDw � 2I) � � xkwk � < 0 (4.8)A partir de (4.8), podemos determinar numericamente a norma H1. Este resultado �e sumarizado peloseguinte problema de otimiza�c~ao.kGwz(�)k21 < min : 8><>: P > 0 , P = P 0" (A0PA� P + C 0C) (A0PBw + C 0Dw)(B0wPA+D0wC) (D0wDw � 2I) # < 0 (4.9)

4.4. REALIMENTAC� ~AO DE ESTADOS 55Exemplo 4.3.2 (Determina�c~ao da Norma H1)Determine a norma H1 do sistema apresentado no exemplo (4.3.1).) Solu�c~ao:A norma H1 �e facilmente determinada pela aplica�c~ao direta do problema de otimiza�c~ao (4.9).-->PP =! 35.726823 - 27.199833 .0111488 !! - 27.199833 27.206311 - .0353473 !! .0111488 - .0353473 .0258481 !-->hinf=sqrt(gama) // Norma hinfhinf =.0046991 4444.4 Realimenta�c~ao de EstadosComo no caso cont��nuo o Problema de S��ntese de controladores por Realimenta�c~ao de Estados pode serresolvido de forma convexa.Considere o sistema � xk+1 = Axk +Buk +Bwwkzk = Czxk +Dzuuk +Dzwwk (4.10)onde xk 2 Rn �e o vetor de estados,wk 2 Rr s~ao as perturba�c~oes externas, zk 2 Rq s~ao as sa��das deperformance e uk 2 Rp s~ao as entradas de controle.Suponha que todas as vari�aveis de estado s~ao mensur�aveis, e a lei de controle �e do tipo: u = Kxk. Com issoo sistema (4.10) em malha fechada �ca:� xk+1 = (A+BK)xk +Bwwkzk = (Cz +DzuK)xk +Dzwwk (4.11)O objetivo �e encontrar uma matriz de ganho K que torne o sistema est�avel em malha fechada, ou satisfa�caalgum requisito de projeto. Primeiramente vamos tratar apenas o problema de estabiliza�c~ao quadr�atica, eap�os o caso de performance.4.5 Estabiliza�c~ao Quadr�aticaPROBLEMA:� Como determinar a matriz de ganhos K tal que o sistema (4.10) n~ao for�cado, w � 0,seja quadraticamente est�avel.

56 CAP�ITULO 4. SISTEMAS DISCRETOS - AN �ALISE, PERFORMANCE E S�INTESEPara solucionar este problema utilizamos a teoria de Lyapunov para sistemas discretos dado na se�c~ao anterior.Para o sistema (4.10) ser quadraticamente est�avel temos que garantir que exista P > 0 e K tal que:x0k[(A+BK)0P (A+BK)� P ]xk < 0 (4.12)Aplicando Schur na equa�c~ao acima obt�em-se� �P (A+BK)0PP (A+BK) �P � < 0 (4.13)A condi�c~ao acima �e n~ao convexa em P e K. Mas como no caso cont��nuo pode-se pr�e e p�os multiplic�a-la pordiagfQ;Qg, com QP = I e reescreve-la como� �Q QA0 +QK 0B0AQ+BKQ �Q � < 0 (4.14)que �e a vers~ao Dual, agora convexa em Q e X = KQ.Assim o problema de establiza�c~ao ter�a solu�c~ao se existem matrizes Q > 0 e X tal que� �Q QA0 +XB0AQ+BX �Q � < 0 (4.15)Em caso a�rmativo, a matriz de ganhos que estabiliza o sistema �e dada por K = XQ�1.Exemplo 4.5.1 Considere o sistema abaixo e determine um lei de controle do tipo u = Kxk que estabilizeo sistema. xk = � 0:5 0:10:2 2 �xk + � 01 �uk (4.16)) Solu�c~ao:Aplicando a condi�c~ao (4.15), encontramos a seguintes matrizes Q e X:feasible solution foundX =! 5.9218124 - 69.661301 !Q =! 43.736278 - 2.4659886 !! - 2.4659886 34.798281 !E o ganho K=X*Q^(-1) que establiza

4.5. ESTABILIZAC� ~AO QUADR�ATICA 57K =! .0226174 - 2.0002576 ! 444Controle H2PROBLEMA:� Como determinar a matriz de ganho K que estabiliza o sistema (4.10) e minimiza asua norma H2.De forma semelhante ao caso cont��nuo utilizamos o Graminiano da Controlabilidade para garantir a conve-xidade da solu�c~ao. A prova dos resultados a seguir �e semelhante a prova do caso de an�alise e ser�a omitida.Teorema 4.5.1 Seja Gwz a fun�c~ao de transferencia de wk para zk em malha fechada com uk = �Kxk dosistema (4.10) com Dzw = 0.Ent~ao a lei de controle que miniza a norma H2 deste sistema �e determinada pormin jjGwzjj22 � minP;Q;X tr(P ) : 8>>>>>><>>>>>>:

� P CzQ+DuzX(CzQ+DuzX)0 Q � � 024 �Q (AQ+BuX) Bw(AQ+BuX)0 �Q 0B0w 0 �I 35 � 0 (4.17)e o ganho uk = �Kxk que minimiza a norma �e dado por K = XQ�1. ���Exemplo 4.5.2 Para o exemplo anterior obtenha uma lei de controle do tipo u = Kxk que al�em de estabi-lizar o sistema ainda minimize a sua Norma H2. Para tal considere queBw = � 0:660:3 � ; Dzu = 0; e Cz = � 0 1 �) Solu�c~ao: Aplicando o Teorema 4.5.1 obt�em-se:X =! - 25460.886 - 0.2196001 !Q =! 127302.45 0.1980004 !! 0.1980004 0.09 !K =X*Q^(-1)

58 CAP�ITULO 4. SISTEMAS DISCRETOS - AN �ALISE, PERFORMANCE E S�INTESE! - 0.2 - 2. !-->G2=sqrt(trace(N))G2 =0.3 444Controle H1PROBLEMA:� Como determinar a matriz de ganhos K que estabiliza o sistema (4.10) e minimiza asua norma H1.Teorema 4.5.2 (Controle H1 - Realimenta�c~ao de Estados)Considere o sistema (4.10). Se existem matrizes Q, X, e um escalar > 0, satisfazendo o seguinte problemade otimiza�c~aomin 2 : 2664 � � Q 00 2I � � AQ+BuX BwCzQ+DzuX Dzw �� QA0 +X 0B0u QC 0z +X 0D0zuB0w D0zw � � � Q 00 I � 3775 � 0; Q > 0 (4.18)Ent~ao, pode-se a�rmar que1. O Sistema �e estabiliz�avel pela lei de controle u = XQ�1x.2. A norma H1 do sistema �e dada por kGwzk1 = . ���4.6 Atividades1. Demonstre o resultado do Teorema 4.2.1.2. Considere o sistema discreto incerto, xk+1 = A(�)xk , � 2 B�. Onde A(�) �e uma matriz a�m em �.Obtenha condi�c~oes convexas para determinar a estabilidade deste sistema.3. Considere o seguinte sistema discreto.(xk+1 = A(�)xk +Bw(�)wkzk = C(�)xk +Dw(�)wk , � 2 B�onde as matrizes A(�), Bw(�), C(�) e D(�) s~ao a�ns no parametro � limitado a uma regi~ao convexaB�.Determine condi�c~oes convexas (nas formas Primal e Dual) para:

4.7. REFERENCIAS COMPLEMENTARES 59� Determinar a norma H2, para Dw(�) = 0.� Determinar a norma H1.4. Prove os Teoremas 4.5.1 e 4.5.2.5. Estenda os resultados de Realimenta�c~ao de Estados para o caso de uma realimenta�c~ao de Sa��da dotipo u = Kyk com yk = Cxk.16. O que acontece com os Teoremas 4.5.1 e 4.5.2, se o sistema (4.10) tiver incertezas do tipo politopica.4.7 Referencias ComplementaresMais detalhes sobre crit�erios de performance H2 e H1 podem ser obtidos em [16]. Os resultados na formu-la�c~ao LMI para determina�c~ao das normas H2 e H1 s~ao encontrados em [27, 47].

1Tome como base o caso cont��nuo.

60 CAP�ITULO 4. SISTEMAS DISCRETOS - AN �ALISE, PERFORMANCE E S�INTESE

Cap��tulo 5Estabilidade Dependente dosParametros5.1 Introdu�c~aoA no�c~ao de estabilidade quadr�atica tem sido usada com grande sucessso na busca de solu�c~oes para problemasde an�alise de estabilidade, performance e s��ntese de controladores. Entretanto nos problemas envolvendosistemas com incerteza param�etrica, em certos casos relacionados a dependencia temporal desses parametros,essa no�c~ao de estabilidade torna-se restritiva.Neste ponto �e importante diferenciar as classes de incertezas param�etricas em rela�c~ao �a sua dependencia notempo.� Sistemas com parametros incertos e constantes, isto �e, o parametro tem um valor �xo mas seu valaorexato n~ao �e conhecido 1.� Sistemas com parametros variantes no tempo e taxa de varia�c~ao ilimitada.� Sistemas com parametros variantes no tempo e taxa de varia�c~ao limitada.Muitos resultados j�a foram propostos para os dois primeiros casos extremos, no caso de sistemas invariantesno tempo pelo \framework" �-analysis e para o segundo caso pela no�c~ao de estabilidade quadr�atica.A partir do trabalho de Barmish & DeMarco, em [48], um grande n�umero de pesquisadores tem se dedicadoa obten�c~ao de t�ecnicas de an�alise e s��ntese utilizando fun�c~oes de Lyapunov com dependencia nos parametrosdo sistema visando diminuir a conservatividade dos resultados apresentados pela estabilidade quadr�atica.Dentro desse contexto hist�orico, grande parte dos resultados sobre esse tema possuem conex~oes com o\framework" de Popov e que s~ao aplic�aveis a seguinte classe de sistemas._x = A0 + LXi=1 �iAi!x ) ( _x = A0x+PLi=1 biwiwi = �ic0ix , i = 1; : : : ; L (5.1)onde bi e ci s~ao vetores que indicam como os parametros �i afetam a matriz do sistema nominal A0.Por Popov a estabilidade do sistema (5.1) �e investigada utilizando-se a seguinte fun�c~ao de Lyapunov do tipoLur�e-Postnikov. v(x; �) = x0 P0 + LXi=1 �i�icic0i!x (5.2)1Note que neste caso o sistema �e invariante no tempo. 61

62 CAP�ITULO 5. ESTABILIDADE DEPENDENTE DOS PARAMETROSonde a matriz P0 > 0 e os escalares �i devem ser adequadamente determinados. Entretanto a restri�c~ao es-trutural no modelo, Ai = bic0i, e na fun�c~ao de Lyapunov, Pi = cic0i, ainda produzem resultados conservativos.Motivados pela restritividade dos testes de estabilidade existentes, surgiram, no decorrer dos �ultimos anos,v�arios trabalhos aplic�aveis a sistemas com incertezas invariantes no tempo e com taxa de varia�c~ao limitada.Esses trabalhos empregam fun�c~oes de Lyapunov com dependencia param�etrica, v(x; �) = x0P(�)x, como, porexemplo, [29, 49] que utilizam as fun�c~oes de Lyapunov a�m, onde a matriz P(�) dependente dos parametros�e dada por: P(�) = P0 + �1P1 + � � �+ �LPL (5.3)para matrizes Pj , j = 0; 1; : : : ; L, constantes.Observe na express~ao abaixo que ao calcularmos a derivada temporal de v(x; �) = x0P(�)x, nos sistemascom incertezas variantes no tempo, aparecer~ao termos na forma _�j ._v(x; �) = d v(x; �)dt = x0�A(�0P(�) + P(�)A(�) + dP(�)dt �x (5.4)Dessa forma os resultados de estabilidade obtidos com fun�c~oes de Lyapunov dependente dos parametross~ao dependentes das taxas de varia�c~ao das incertezas, _�j , o que n~ao ocorre no caso quadr�atico. Logo, noscasos onde os parametros variam muito lentamente, a estabilidade quadr�atica pode tornar-se um teste deestabilidade muito conservativo.Neste cap��tulo, estudaremos a aplica�c~ao de fun�c~oes de Lyapunov com dependencia param�etrica na an�alisede estabilidade de sistemas lineares incertos. Em particular, analisaremos as fun�c~oes a�ns apresentadas em[29, 49] e as fun�c~oes bi-quadr�aticas 2, introduzidas por Tro�no em [50], onde a matriz P(�) �e quadr�atica em�. Para tal, este cap��tulo est�a organizado da seguinte maneira:� [Se�c~ao (5.2)]: an�alise de estabilidade utilizando fun�c~oes de Lypunov a�m na incerteza.� [Se�c~ao (5.3)]: an�alise de estabilidade utilizando fun�c~oes de Lyapunov Bi-Quadr�aticas.� [Se�c~ao (5.4)]: atividade complementares.� [Se�c~ao (5.5)]: referencias indicadas para complementa�c~ao do conte�udo proposto.5.2 Estabilidade A�m Quadr�atica (Matriz P(�) a�m em �)Considere o seguinte sistema linear incerto._x = A(�)x = A0 + �1A1 + � � �+ �LAL , (5.5)ondeAj 2 Rn�n (j = 1; : : : ; L) s~ao matrizes constantes, x 2 Rn �e o vetor de estados e � = � �1 � � � �L �0�e o vetor dos parametros incertos.Nesta se�c~ao estamos interessados em obter condi�c~oes LMIs para an�alise de estabilidade do sistema incerto(5.5), considerando a classe de fun�c~oes de Lyapunov, do tipo v(x; �) = x0P(�)x, a�m na incerteza, onde amatriz P(�) �e dada por (5.3). Para tal, consideraremos a seguinte no�c~ao de estabilidade.De�ni�c~ao 5.2.1 (Estabilidade A�m-Quadr�atica - AQS)O sistema linear incerto (5.5) �� a�m-quadraticamente est�avel se existem L+1 matrizes sim�etricas P0; : : : ; PLtais que as seguintes rela�c~oes sejam satisfeitas para todos os valores e trajet�orias admiss��veis do vetor deparametros � = � �1 � � � �L �0. P(�) := P0 + �1P1 + � � �+ �LPL > IA(�)0P(�) + P(�)A(�) + dP(�)dt < 0 (5.6)2Como veremos a seguir, podemos considerar a estabilidade a�m quadr�atica como um caso particular da estabilidade Bi-Quadr�atica.

5.2. ESTABILIDADE AFIM QUADR�ATICA (MATRIZ P(�) AFIM EM �) 63Em caso a�rmativo, a fun�c~ao v(x; �) = x0P(�)x �e uma fun�c~ao de Lyapunov para (5.5). 222A seguir, apresentamos as formula�c~oes convexas propostas em [49] e [29] para an�alise de estabilidade desistemas lineares com parametros invariantes e variantes no tempo com taxa de varia�c~ao limitada.5.2.1 Sistemas com Incertezas Invariantes no TempoConsidere o sistema linear incerto (5.5). Assuma que os parametros �j s~ao constantes mas parcialmenteconhecidos. Logo, nas condi�c~oes de estabilidade n~ao aparecer�a o termo _�.- Abordagem Polit�opica ([49])Assuma que os parametros incertos �j 2 [�j ; �j ]. Esta considera�c~ao implica que � 2 B�, onde B� �e o politopoque de�ne os valores admiss��veis das incertezas.Como condi�c~oes de estabilidade, tem-se que:� v(x; �) > 0, e� _v(x; �) = x0(A(�)0P(�) + P(�)A(�))x < 0.Observe que a condi�c~ao da derivada da fun�c~ao de Lyapunov n~ao �e convexa em �. Para obter uma formula�c~aoconvexa Gahinet et al., [49], utilizam a propriedade da multiconvexidade.Uma fun�c~ao F (�; : : : ; �L) �e multiconvexa em � se para i ela for convexa em �i com �j constante (i 6= j). Estapropriedade �e su�ciente para garantir que se F (�; : : : ; �L) > 0 nos v�ertice de B� ent~ao F (�; : : : ; �L) > 0 82 B�. Considere que a fun�c~ao F (�) pode ser reescrita como F (�) = x0M(�)x, onde M(�) = M(�)0 �e dadapor: M(�) = �0 +Xi �i�i +Xi<j �ij�i�j +Xi i�2iPara que F (�) > 0, basta que M(�) > 0. Ent~ao, M(�) deve ser multiconvexa, logo tem-se que:@@�2i 2M(�) � 0 , i = 1; : : : ; Lpara todo �i. Maiores detalhes sobre multiconvexidade s~ao encontrados em [22] e [49].Com a no�c~ao de multiconvexidade podemos enunciar o seguinte teorema sobre estabilidade a�m quadr�atica(AQS) proposto em [49].Teorema 5.2.1 (Estabilidade A�m Quadr�atica - AQS), [49]Seja � = � �1 � � � �L �0 um vetor de parametros constantes mas incertos, contidos em um dado politopoB�.Considere a classe de sistemas lineares incertos de�nida em (5.5).O sistema (5.5) �e a�m-quadraticamente est�avel se existem matrizes P0; P1; : : : ; PL sim�etricas tais que asseguintes LMIs sejam satisfeitas nos v�ertices do politopo B�.A(�)0P(�) + P(�)A(�) < 0P(�) > In (5.7)A0iPi + PiAi � 0 , para i = 1; : : : ; L

64 CAP�ITULO 5. ESTABILIDADE DEPENDENTE DOS PARAMETROSonde a matriz P(�) �e de�nida por (5.3).Em caso a�rmativo, v(x; �) = x0P(�)x �e uma fun�c~ao de Lypunov. 222Exemplo 5.2.1 (Estabilidade AQS)Determine os valores m�aximo e m��nimo admiss��veis para o parametro incerto invariante no tempo � doseguinte sistema incerto.24 _x1_x2_x3 35 = 24 0 1 00 0 1(�1 + 0:1�) �2 (�1 + 0:5�) 35 24 x1x2x3 35Considere a no�c~ao de estabilidade a�m-quadr�atica.) Solu�c~ao:Suponha que � 2 [�; �], logo o politopo B� �e de�nido pelos seguintes v�ertices: � e �.Para determinar os valores m�aximo e m��nimo admiss��veis para � devemos aplicar sistematicamente o teorema(5.2.1) at�e que as condi�c~oes (5.7) n~ao sejam satisfeitas.Note que podemos reescrever o sistema como:24 _x1_x2_x3 35 = 0@24 0 1 00 0 1�1 �2 �1 35 + 24 0 0 00 0 00:1 0 0:5 35 �1A 24 x1x2x3 35Buscando o maior valor poss��vel para � e �, atrav�es do teorema (5.2.1), obtemos os seguintes resultados.-->[P0,P1]=aqs(-5.01,0.25);Construction of canonical representationBasis ConstructionFEASIBILITY PHASE.primal obj. dual obj. dual. gap...7.50e-13 -8.82e-09 8.83e-09Absolute accuracy reachedfeasible solution found-->P0P0 =! 8113.289 5959.2229 2177.6072 !! 5959.2229 15262.962 3798.9305 !! 2177.6072 3798.9305 6957.0571 !

5.2. ESTABILIDADE AFIM QUADR�ATICA (MATRIZ P(�) AFIM EM �) 65-->P1P1 =! 9.7922824 160.11767 185.8004 !! 160.11767 - 163.22112 - .0000122 !! 185.8004 - .0000122 929.00226 !Logo, pelo teste AQS, os valores m�aximos admiss��veis para � s~ao: � = �5:01 e � = 0:25. 444- Abordagem por incerteza limitada em Norma ([29])Assuma que os parametros incertos, invariantes no tempo, satisfazem a seguinte restri�c~ao em m�odulo j�ij ��, i = 1; : : : ; L.Considere a seguinte representa�c~ao por fra�c~oes lineares do sistema (5.5).( _x = A0x+Bp , B = h A1 � � � AL ip = �x , � = diagfIn�ig , i = 1; : : : ; L (5.8)onde a matriz A0 �e Hurwitz.Podemos reescrever o vetor auxiliar p da seguinte maneira.p = 264 p1...pL 375 = 264 �1x...�Lx 375 2 RnLonde cada parti�c~ao pi do vetor p satisfaz: pi = �ix. Como j�ij � � podemos utilizar a t�ecnica do DG-scalingpara obtermos condi�c~oes LMIS para determinar a estabilidade do sistema.O pr�oximo teorema, proposto por Feron et al., em [29], apresenta condi�c~oes em termos de LMIs, para an�alisede estabilidade utilizando fun�c~oes de Lyapunov a�ns em � para um sistema com incerteza limitada em norma.Teorema 5.2.2 (Estabilidade A�m Quadr�atica - Incerteza limitada em Norma), [29]Considere o sistema (5.8), onde j�ij � � para todo i = 1; : : : ; L.Considere a seguinte nota�c~ao auxiliar.C = � In � � � In �0 2 RnL�n , S = Ldiagi=1 Si , Si = S0i 2 Rn�n ,T = Ldiagi=1 Ti , Ti = �T 0i 2 Rn�n , P = Ldiagi=1 Pi , Pi = P 0i 2 Rn�nO sistema (5.5) �e a�m-quadraticamente est�avel se existem matrizes P0, P , S e T tais que.8><>: S > 0 , S = S0 , P0 = P 00 , P = P 0 , T = �T 0" (A00P0 + P0A0 + �2C 0SC) (P0B +A00C 0P � C 0T(B0P0 + PCA0 + TC) (B0C 0P + PCB � S) # < 0 (5.9)

66 CAP�ITULO 5. ESTABILIDADE DEPENDENTE DOS PARAMETROSEm caso a�rmativo, v(x; �) = x0P(�)x �e uma fun�c~ao de Lyapunov, onde a matriz P(�) �e dada por (5.3).222Exemplo 5.2.2 (AQS - Incerteza Limitada em Norma)Considere o sistema do exemplo (5.2.1). Suponha que a incerteza �, invariante no tempo, �e limitada emm�odulo por j�j � �.Determine o m�aximo valor poss��vel para � tal que o sistema em estudo seja est�avel pelo teste proposto peloteorema (5.2.2).) Solu�c~ao:Como neste sistema s�o temos uma incerteza, as condi�c~oes do teorema s~ao simpli�cadas para:9 P0; P1; S; T : 8><>: S > 0 , S = S0 , P0 = P 00 , P1 = P 01 , T = �T 0" (A00P0 + P0A0 + �2S) (P0A1 +A00P1 � T(A01P0 + P1A0 + T ) (A01P1 + P1A1 � S) # < 0Aplicando a condi�c~ao acima ao sistema em quest~ao, obtemos os seguintes resultados.-->[P0,P1,S,T]=aqs_dg(1.11);Construction of canonical representationBasis Constructionrecomputing initial guessFEASIBILITY PHASE.primal obj. dual obj. dual. gap1.00e-05 -5.93e+02 5.93e+029.28e+01 -5.93e+02 6.85e+022.66e+01 -6.43e+01 9.09e+012.97e+00 -1.19e+01 1.49e+01-1.63e+00 -6.35e+00 4.73e+00Target value reachedfeasible solution found-->P0P0 =! 6227.4969 7214.6923 1141.9783 !! 7214.6923 15631.607 3994.2717 !! 1141.9783 3994.2717 6418.1757 !-->P1

5.2. ESTABILIDADE AFIM QUADR�ATICA (MATRIZ P(�) AFIM EM �) 67P1 =! - 788.36738 769.41896 - 235.31852 !! 769.41896 3886.0345 37.901086 !! - 235.31852 37.901086 2789.9106 !-->SS =! 1020.6515 39.13483 208.20988 !! 39.13483 602.36881 32.055665 !! 208.20988 32.055665 3315.9726 !-->TT =! 0. - 42.191971 - 2014.9845 !! 42.191971 0. - 3837.3372 !! 2014.9845 3837.3372 0. !Logo, pelo teste AQS com incerteza limitada em norma os valores m�aximos admiss��veis para � s~ao �1:11 �� � 1:11. 4445.2.2 Sistemas Incertos com taxa de varia�c~ao limitadaOs parametros variantes no tempo, �i(t), s~ao parametros cujos valores variam no tempo em uma determinadaregi~ao de valores, [�i; �i]. Portanto o sistema dinamico �e variante no tempo, tornando a busca por condi�c~oesde estabilidade convexas mais complexas e em geral mais restritivas. Quando estes sistemas possuem taxade varia�c~ao das incertezas limitada podemos utilizar as fun�c~oes de Lyapunov com dependencia param�etrica,do tipo v(x; �) = x0P(�)x, visando obter condi�c~oes com menor grau de conservatividade.A di�culdade em utilizarmos as fun�c~oes com dependencia param�etrica �e o surgimento de termos _�i nadetermina�c~ao da derivada da fun�c~ao de Lyapunov. Entretanto estas fun�c~oes levam em conta a velocidadede varia�c~ao das incertezas, o que torna o teste de estabilidade menos conservativo em rela�c~ao a estabilidadequadr�atica, principlamente nos casos com pequena taxa de varia�c~ao, veja uma discuss~ao mais detalhada em[49] e [51].Logo, nesta se�c~ao, estamos interessados em obter condi�c~oes convexas para analisar a estabilidade de sistemaslineares incertos com taxa de varia�c~ao limitada. Em particular, apresentaremos as condi�c~oes de estabilidadepropostas em [49] que utilizam as fun�c~oes a�m na incerteza.Visando obter uma formula�c~ao LMI, considere que o sistema (5.5) possua parametros incertos, limitados auma regi~ao polit�opica B�, variantes no tempo. Assuma em rela�c~ao a taxa de varia�c~ao param�etrica que:� A taxa de varia�c~ao _�i �e bem de�nida 3 para todo o tempo t.� A taxa de varia�c~ao de � satisfaz: _� 2 B _� (5.10)onde B _� �e o politopo que de�ne os valores admiss��veis para o vetor taxa de varia�c~ao _� = � _�1 � � � _�L �0 .Para manipular o sistema variante no tempo, consideraremos _�1; : : : ; _�L como parametros incertos adicionais,limitados a regi~ao polit�opica B _�.3Em ingles, \well-de�nied".

68 CAP�ITULO 5. ESTABILIDADE DEPENDENTE DOS PARAMETROSCom as considera�c~oes acima, para a matriz P(�) dada por (5.3), tem-se queP( _�) = dP(�)dt = _�1P1 + � � �+ _�LPL = P( _�)� P0 (5.11)Logo, podemos estender os resultados apresentados no teorema (5.2.1) para os sistemas variantes no tempo.Teorema 5.2.3 (AQS - Sistemas Variantes no Tempo)Seja B� um dado politopo que de�ne os valores admiss��veis para os parametros incertos. Seja B _� um dadopolitopo que de�ne os valores admiss��veis para a taxa de varia�c~ao das incertezas. Considere o sistema (5.5)com parametros variantes no tempo.O sistema (5.5) �e a�m-quadraticamente est�avel se existem L+1matrizes sim�etricas P0; : : : ; PL que satisfazemas seguintes rela�c~oes nos v�ertices do meta-politpo B = B� �B _�.A(�)0P(�) + P(�)A(�) + P( _�) < P0P(�) > In (5.12)A0iPi + PiAi � 0 , para i = 1; : : : ; L (5.13)onde P(�) �e dada por (5.3) e P( _�) por (5.11).Em caso a�ramtivo, v(x; �) = x0P(�)x �e uma fun�c~ao de Lyapunov para o sistema. 222Exemplo 5.2.3 (AQS - Sistema Variante no Tempo)Considere o sistema do exemplo(5.2.1). Suponha que o parametro incerto � �e variante no tempo mas limitadoao intervalo [�; �]. Assuma que a taxa de varia�c~ao param�etrica �e limitada, onde _� 2 [�1; 1].Determine, utilizando o teorema (5.2.3), o valores m�aximo e m��nimo admiss��veis para a incerteza �.) Solu�c~ao:Aplicando as considera�c~oes acima ao teorema (5.2.3) obtemos os seguintes resultados.-->[P0,P1]=aqs_lpv(-0.24,0.10);Construction of canonical representationBasis ConstructionFEASIBILITY PHASE.primal obj. dual obj. dual. gap...9.74e-11 -6.04e-09 6.15e-09Absolute accuracy reached

5.3. ESTABILIDADE BI-QUADR�ATICA 69feasible solution found-->P0P0 =! 28331.766 22039.685 7100.6839 !! 22039.685 48540.794 14171.102 !! 7100.6839 14171.102 20979.987 !-->P1P1 =! - 88.070845 156.3776 867.48398 !! 156.3776 121.07828 - .0004764 !! 867.48398 - .0004764 4337.4137 !Logo pelo teste AQS para sistemas com parametros variantes no tempo os valores admiss��veis para a incertezas~ao: �0:24 � � � 0:10. 4445.3 Estabilidade Bi-Quadr�aticaNa se�c~ao anterior tratamos do problema de an�alise da estabilidade do sistema (5.5) atrav�es de uma fun�c~aode Lyapunov a�m nos parametros. Nesta se�c~ao vamos analisar a estabilidade deste mesmo sistema buscandoencontrar uma fun�c~ao de Lyapunov quadr�atica em �, do tipo v(x; �) = x0P(�)x, comP(�) = P0 + P1� + �0P 01 + �0P2� (5.14)onde � = [�1I; � � � ; �LI ]0 2 B�, que garanta a estabilidade do sistema incerto (5.5). Se encontrarmos umav(x; �) = x0P(�)x deste tipo que garanta a estabilidade dizemos que o sistema �e Bi-quadraticamente est�avel(BQS).Note que esta fun�c~ao de Lyapunov engloba os caso de estabilidade quadr�atica, quando as matrizes P1 e P2s~ao iguais a zero e o caso de estabilidade a�m, quando P2 = 0.Supomos que as incertezas �i est~ao descritas na forma politopica e s~ao variantes no tempo com uma taxa devaria�c~ao dos parametros descrita por (5.10).Para que o sistema (5.5) seja Bi-quadraticamente est�avel, tem-se que satisfazer as seguintes condi�c~oes deestabilidade:� v(x; �) > 0 e� _v(x; �) = x0(A(�)0P(�) + P(�)A(�) + _P(�))x < 0, para todo � 2 B� e _� 2 B _�.Note que as condi�c~oes acima n~ao s~ao convexas em A(�) e P(�), n~ao sendo assim poss��vel trat�a-las diretamentesvia LMI. No entanto pode-se reescrever o sistema (5.5) e a fun�c~ao de Lyapunov em fun�c~ao de uma vari�avelde estado auxiliar, obtendo condi�c~oes convexas na nesta vari�avel de estado para a an�alise da estabilidade dosistema original.Primeiramente vamos reescrever o sistema (5.5) como:_x = � A0 A � � x� � ; (5.15)

70 CAP�ITULO 5. ESTABILIDADE DEPENDENTE DOS PARAMETROSonde � = �x 2 RnL �e uma vari�avel auxiliar eA = � A1 � � � AL � 2 Rn�nL� = � �1 I � � � �L I � 2 RLn�n (5.16)A dinamica da vari�avel auxiliar � �e dada por:_� = _�x+ � _x = � _� + �A0 �A � � x� � (5.17)Pode-se assim construir o seguinte sistema auxiliar, com o estado dado por �0 = [x0 �0]._� = Aa�; Ca� = 0 (5.18)Aa = � A0 A_� + �A0 �A � ; Ca = � � �I �Note que as trajet�orias que satisfazem � = �x s~ao equivalentes a Ca� = 0, tornando assim o sistema (5.18)equivalente ao sistema (5.5).Perceba tamb�em que a fun�c~ao de Lyapunov pode ser reescrita em fun�c~ao da nova vari�avel de estado �. Ouseja: v(x; �) = x0P(�)x > 0com P(�) dado em (5.14) pode-se reescrever v(x; �) comov(x; �) = x0 � I� �0 P � I� �x > 0Como �0 = [x0 �0] tem-se: v(�) = �0P� > 0 8 � : Ca� = 0 (5.19)Com o sistema auxiliar (5.18) e a fun�c~ao de Lyapunov (5.19) obt�em-se condi�c~oes convexas para a an�alise daestabilidade do sistema (5.5). Este resultado ser�a enunciado a seguir na forma de um Teorema.Teorema 5.3.1 (BQS - Sistemas Variantes no Tempo)Seja B� um dado politopo que de�ne os valores admiss��veis para os parametros incertos. Seja B _� um dadopolitopo que de�ne os valores admiss��veis para a taxa de varia�c~ao das incertezas. Considere o sistema (5.5)com parametros variantes no tempo.O sistema (5.5) �e Bi-quadraticamente est�avel se existem L+1 matrizes sim�etricas P0; : : : ; PL que satisfazemas seguintes rela�c~oes nos v�ertices do meta-politpo B = B� �B _�.� A0aP + PAa + LCa + C 0aL0 < 0P +MCa + C 0aM 0 > 0 (5.20)

5.3. ESTABILIDADE BI-QUADR�ATICA 71Em caso a�rmativo, v(x; �) = x0Px com P(�) dado em (5.14) �e uma fun�c~ao de Lyapunov para o sistema(5.5) ���Note que a prova sai pela aplica�c~ao das condi�c~oes de estabilidade quadr�atica no sistema e na fun�c~ao deLyapunov auxiliar.Eliminando as vari�aveis auxiliares retorna-se as condi�c~oes de estabilidade bi-quadr�aticapara o sistema (5.5), provando assim o teorema. Uma prova mais completa pode ser obtida em [50, 51].As condi�c~oes do Teorema 5.3.1, podem ser tamb�em utilizadas para sistemas com incertezas invariantesno tempo. Neste caso basta supor que todos os parametros incertos � s~ao constantes n~ao tendo taxa devaria�c~ao. Bastanto assim testar as condi�c~oes do teorema para os v�ertices da regi~ao formada por B� em vezdo meta-politopo B.Exemplo 5.3.1 Para o exemplo 5.2.3, utilizando uma fun�c~ao de Lyapunov quadr�atica em � determine ointervalo m�aximo admiss��vel para a incerteza �. Compare com os resultados obtidos quando utiliza-se umafun�c~ao de Lyapunov a�m.) Solu�c~ao:-->[P,l,M]=BQS(-137,1.09)Construction of canonical representationBasis ConstructionFEASIBILITY PHASE.primal obj. dual obj. dual. gap3.00e+02 -5.93e+06 5.93e+06...1.15e-04 -7.43e-04 8.58e-04-3.64e-05 -2.65e-04 2.28e-04Target value reachedfeasible solution foundM =! - 11.610531 88.978679 - 28.546564 !! - 99.186179 - 37.91755 - 80.982193 !! 22.68837 71.868624 - 11.981368 !! - 0.2125781 - 0.0750547 - 0.0457906 !! - 0.0750520 - 0.7453960 - 0.0703145 !! - 0.0458462 - 0.0704144 - 0.1903426 !l =! - 5.3120818 - 74.151683 84.455619 !! - 24.592524 - 52.977701 103.40267 !

72 CAP�ITULO 5. ESTABILIDADE DEPENDENTE DOS PARAMETROS! - 48.64469 - 81.523528 245.22562 !! 2.5642068 7.4767521 0.0691320 !! 0.1672040 0.0626429 - 0.2364803 !! 12.570041 38.297 - 0.3615791 !P = column 1 to 5! 534.83076 487.36685 154.42273 0.2265212 99.200867 !! 487.36685 1244.1194 253.85317 - 89.507621 - 6.7734878 !! 154.42273 253.85317 638.68709 25.092673 75.898678 !! 0.2265212 - 89.507621 25.092673 0.2157746 0.0695873 !! 99.200867 - 6.7734878 75.898678 0.0695873 0.9617961 !! - 26.126306 - 77.007096 - 1.5225829 - 0.0022441 - 0.0035119 !column 6! - 26.126306 !! - 77.007096 !! - 1.5225829 !! - 0.0022441 !! - 0.0035119 !! 0.0171133 !Logo pelo teste BQS para sistemas com parametros variantes no tempo os valores admiss��veis para a incertezas~ao: �137 � � � 1:09. 4445.4 Atividades1. Prove que a �ultima LMI do teorema (5.2.1) corresponde a condi�c~ao de multiconvexidade.2. Considere o exemplo (5.2.1). Determine analiticamente os valores admiss��veis para �. Compare osresultados com as no�c~oes de estabilidade quadr�atica, a�m-quadr�atica e biquadr�atica.3. No trabalho de Gahinet et al., [49], �e proposto um re�namento nas condi�c~oes de estabilidade AQS,tanto para incertezas invariantes no tempo como variantes no tempo, na qual �e relaxada a condi�c~ao demulticonvexidade. Aplique esta nova condi�c~ao e compare os resultados com o exerc��cio anterior.4. Compare o resultado acima com o apresentado no exemplo (5.2.2).5. Demonstre o resultado apresentado no teorema (5.2.2). Dica: utilize a t�ecnica do DG-Scaling.6. Considere o exemplo (5.2.3). Repita o mesmo procedimento da atividade 3. Compare o resultado coma no�c~ao de estabilidade Quadr�atica.7. Prove o Teorema 5.3.1.8. Estenda o resultado apresentado no Teorema 5.3.1 para incertezas do tipo Limitada em Norma.

5.5. REFERENCIAS COMPLEMENTARES 735.5 Referencias ComplementaresResultados sobre robustez em sistemas lineares com incertezas invariantes no tempo s~ao encontrados em [28].Em [52], utiliza-se na an�alise de sistemas lineares incertos fun�c~oes de Lyapunov multi-a�ns. Neste trabalhos~ao feitas interessantes conex~oes com os resultados apresentados pelas t�ecnicas de Popov e estabilidade a�mquadr�atica.

74 CAP�ITULO 5. ESTABILIDADE DEPENDENTE DOS PARAMETROS

Parte II:Conceitos Avan�cados

Cap��tulo 6Sistemas LPVJos�e de Oliveira6.1 Introdu�c~aoEste cap��tulo trata do problema de s��ntese de sistemas lineares variantes no tempo do tipo LPV.Os resultados aqui apresentados foram obtidos empregando a abordagem LMI e uma fun�c~ao de Lyapunovcom dependencia param�etrica.Utilizando as no�c~oes de estabilidade quadr�atica, a�m-quadr�atica e bi-quadr�atica �e poss��vel efetuar compa-ra�c~oes dos ressultados obtidos com cada uma destas de�ni�c~oes, e assim, avaliar o grau de conservativismoimposto por cada uma delas.No caso de s��ntese, o problema de estabiliza�c~ao robusta permite obter dois tipos de controladores: o contro-lador robusto e o controlador LPV. Este �ultimo conhecido na literatura por gain scheduling.Para facilitar a compreens~ao e tornar este cap��tulo o mais autocontido poss��vel, inicialmente reveremosrapidamente os problemas de an�alise e performance de sistemas lineares a parametro-variantes, se�c~oes (6.2)e (6.3), apresentando a nota�c~ao a ser utilizada no problema de s��ntese.Nota�c~ao:Por conveniencia denotaremos os parametros incertos pela vari�avel � ao inv�es da vari�avel usual �.6.2 Norma H2 para Sistemas Variantes no TempoSeja o sistema linear ~G : _x = A(t)x +Bw(t)wz = C(t)x (6.1)77

78 CAP�ITULO 6. SISTEMAS LPVonde x(t) 2 Rn �e o estado , w(t) 2 Rnw �e a entrada , z(t) 2 Rnz �e a sa��da, e A(t), Bw(t) e C(t) s~ao fun�c~oesmatriciais reais de dimens~oes apropriadas.Quando as perturba�c~oes que afetam o sistema s~ao sinais de forma conhecida, �e poss��vel represent�a-las como asa��da de um sistema dinamico excitado por um impulso, essa dinamica pode ser incorporada �a plantaG a qualconsidera-se como sendo excitada por perturba�c~oesw impulsionais. O sinal z(t) ser�a a resposta impulsional dosistema, e a sua norma coincidir�a com jjGzwjj2. Se modelarmos as perturba�c~oes como processos estoc�asticosde densidade de potencia conhecida, a norma de jjGzwjj2 coincide com o valor RMS da energia do sinal desa��da.A de�ni�c~ao da norma H2 para fun�c~oes de transferencia �e dada porjjGjj22 = 12� Z +1�1 trfG�(jw)G(jw)gdw (6.2)onde G(s) = C(sI �A)�1B +D.Esta equa�c~ao �e v�alida se o sistema for invariante no tempo, est�avel e estritamente pr�oprio, ou seja D = 0.Se o sistema possuir D 6= 0, ent~ao a norma H2 ser�a in�nita.Caso o sistema seja modelado por uma representa�c~ao por vari�aveis de estado, a norma H2 pode ser calculadatomando-se a seguinte de�ni�c~ao, que considera t variando no intervalo [0; T ].De�ni�c~ao 6.2.1 [16]Seja o sistema ~G de�nido por (6.1) exponencialmente est�avel. Ent~ao a norma H2 de ~G �e de�nida pork ~Gk22;[0; T ] = E ( limT!1 1T Z T0 zT (t)z(t)dt) (6.3)onde x(0) = 0, w �e um ru��do branco de m�edia nula com matriz de densidade de potencia igual a identidade,e E representa a esperan�ca matem�atica tomada em rela�c~ao a w. 222A vantagem da de�ni�c~ao acima �e que ela se aplica a sistemas variantes no tempo e com entradas do tiporu��do branco. Para sistemas lineares invariantes no tempo a de�ni�c~ao (6.3) �e equivalente �a (6.2) com w sendoum impulso unit�ario.O lema a seguir apresenta condi�c~oes para obten�c~ao da norma H2 com gramianos e empregando inequa�c~oesmatriciais.Lema 6.2.1Seja o sistema ~G de�nido por (6.1), e as seguintes condi�c~oes:1. Se o sistema ~G �e exponencialmente est�avel, ent~aok ~Gk22;[0; T ] = limT!1 1T Z T0 TrnC(t)Q(t)C(t)0 o dt (6.4)= limT!1 1T Z T0 TrnB(t)0R(t)B(t)o dt (6.5)onde Q(t) e R(t) satisfazem respectivamente_Q(t) = A(t)Q(t) +Q(t)A(t)0 +B(t)B(t)0 ; Q(0) = 0 (6.6)� _R(t) = R(t)A(t) +A(t)0R(t) + C(t)0C(t); R(T ) = 0 (6.7)

6.2. NORMA H2 PARA SISTEMAS VARIANTES NO TEMPO 792. Se existe uma fun�c~ao de matriz P (t) e ~P (t) de�nida positiva e limitada em [0;1) tal que� _P (t) +A(t)P (t) + P (t)A(t)0 +B(t)B(t)0 < 0; 8 t 2 [0;1) (6.8)_~P (t) + ~P (t)A(t) +A(t)0 ~P (t) + C(t)0C(t) < 0; 8 t 2 [0;1) (6.9)ent~ao o sistema ~G �e exponencialmente est�avel, ek ~Gk22;[0; T ] < limT!1 1T Z T0 TrnC(t)P (t)C(t)0 o dt (6.10)< limT!1 1T Z T0 TrnB(t)0P (t)B(t)o dt: (6.11)222A norma H2 tamb�em pode ser calculada resolvendo-se um problema de otimiza�c~ao convexa, o que ser�aapresentado nas se�c~oes subsequentes.O problema de s��ntese padr~ao de otimiza�c~ao H2 consiste na obten�c~ao do controlador que minimiza a normaH2 de Gzw, isto �e, entre as perturba�c~oes w e as sa��das de interesse z. Para maiores detalhes veja [53] [25][54] [18].Por quet~ao de simplicidade de nota�c~ao omitiremos [0; T ] em k ~Gk22;[0; T ] nas aplica�c~oes deste lema.6.2.1 Norma H1 para Sistemas Variantes no TempoA norma H1 de uma fun�c~ao de transferencia �e calculada como sendo o m�aximo valor singular de G(jw)para todos os valores de w, isto �e jjG(jw)jj1 �= supw ��fG(jw)g (6.12)onde ��(:) denota o m�aximo valor singular de G(jw).Esta norma est�a associada ao maior ganho que pode existir de alguma das entradas para alguma das sa��das,ao longo de todo espectro de frequencia. Assim, a minimiza�c~ao da normaH1 de uma fun�c~ao de transferenciaconsiste em abordar o problema de atenua�c~ao de perturba�c~ao analisando-se o pior caso poss��vel de ganhoentrada/sa��da para o sistema.Para o sistema modelado por uma representa�c~ao de vari�aveis de estados, como em (6.1) onde sem perda degeneralidade considerou-se Dw(t) = 0, a norma H1 pode ser calculada tomando-se a seguinte de�ni�c~ao.De�ni�c~ao 6.2.2 (jj ~Gwzjj1)Admita que o sistema (6.1) seja exponencialmente est�avel e seja ~Gwz o operador entrada/sa��da de w(t) paraz(t) de (6.1). Ent~ao de�ne-se a norma H1 do operador ~Gwz, ou do sistema (6.1), como sendojj ~Gwz jj1 = supw2L2; kwk2 6=0� kzk2kwk2 ; x(0) = 0� : 222Note que jj ~Gwzjj1 representa o ganho induzido pela norma L2 de sinais.A norma H1 pode ser encontrada da seguinte formajj ~Gwz jj1 = inf fk ~Gwzk1 < g:

80 CAP�ITULO 6. SISTEMAS LPVEsta t�ecnica de encontrar jj ~Gwz jj1 consiste na busca de > 0. Para cada , testa-se a condi�c~ao jj ~Gwz jj1 < incrementando-se ou decrementendo-se .Ent~ao, determinar se jj ~Gwzjj1 < �e um problema alg�ebrico que consiste em encontrar condi�c~oes sobre arealiza�c~ao A(t); B(t); C(t); D(t) em ~G que sejam equivalentes a jj ~Gwzjj1 < .Para o caso de s��ntese o problema sub�otimo H1 consiste em encontrar um controlador tal que a norma H1da fun�c~ao de transferencia Gwz seja menor que um valor pr�e-especi�cado. O problema �otimo H1 consisteem encontrar um controlador que minimize essa norma. Para maiores detalhes veja [55] [56] [16].Com estas de�ni�c~oes estamos aptos a apresentar abordagens LMI que permitem a garantia de limitantespara as normas H2 e H1 atrav�es de um problema de factibilidade.6.3 An�alise de Sistemas LPV6.3.1 Estabilidade RobustaAo longo desta se�c~ao, apresentam-se condi�c~oes LMI para an�alise de estabilidade e performance de sistemaslineares variantes no tempo na seguinte forma:_x = A(�)x; x(0) = x0 (6.13)onde a matriz de dinamica A(�) possue uma dependencia a�m com o parametro �. Isto �eA(�) = A0 + n�Xi=1 �iAi (6.14)x 2 Rnx �e o estado do sistema, Ai 2 Rnx�nx ; i = 0; 1; � � � ; n� s~ao matrizes conhecidas e �i; i = 1; � � � ; n�s~ao parametros reais que possuem magnitude e taxa de varia�c~ao temporal _� limitada. Admite-se que osparametros e suas respectivas taxas de varia�c~ao possam assumir qualquer valor dentro de um politopo �cujos v�ertices s~ao conhecidos a priori . (�; _�) 2 � (6.15)Admita que o sistema (6.13) seja repesentado pela seguinte equa�c~ao_x = � A0 A � � I� �x (6.16)onde A = � A1 � � � An� � 2 Rnx�nxn� (6.17)� = � �1Inx � � � �n�Inx �0 2 Rnxn��nx (6.18)Empregando (6.16), apresenta-se a seguir um teorema que prop~oe condi�c~oes su�cientes na an�alise de estabi-lidade robusta.Teorema 6.3.1 Seja o sistema (6.13) e a seguinte nota�c~aoAa = � A0 A_� + �A0 �A � ; �a = � Inx� �Ca = � � �Inxn� � (6.19)

6.3. AN �ALISE DE SISTEMAS LPV 81e seja � um politopo constru��do a partir dos valores de (�; _�). Admita que existe uma matriz sim�etricaP 2 Rnx (n�+1)�nx(n�+1) e matrizes L;M 2 Rnx (n�+1)�nxn� tais que as seguintes LMIs sejam satisfeitas nosv�ertices do politopo �. A0aP + PAa + LCa + C 0aL0 < 0P +MCa + C 0aM 0 > 0 (6.20)Ent~ao o sistema (6.13) �e bi-quadraticamente est�avel e v(x; �) = x0P(�)x �e uma fun�c~ao de Lyapunov para osistema. 222Exemplo 6.3.1 (An�alise de Estabilidade de um Sistema LPV)O sistema apresentado a seguir _x = � 8 �9120 �18 �x+ � � �108 9�120 17 �x (6.21)�e assint�otivamente est�avel para todo � �xo no intervalo 0 � � � 1. Por�em ele n~ao �e quadraticamente est�avel,isto �e, � n~ao pode variar arbitrariamente r�apido dentro do mesmo intervalo.Objetiva-se para este exemplo, encontrar a m�axima taxa de varia�c~ao j _�j � �m�ax tal que as de�ni�c~oes deestabilidade bi-quadr�atica e a�m-quadr�atica sejam satisfeitas.Para tanto utilizaremos o Teorema 6.3.1 onde a de�ni�c~ao de est�abilidade a�m-quadr�atica �e obtida fazendoP2 = 0 como apresentado no cap��tulo anterior, se�c~ao (5.3).� Estabilidade bi� quadr�atica ) j _�j � �m�ax = 66:Estabilidade afim� quadr�atica ) j _�j � �m�ax = 62: 444Note que um menor conservativismo foi obtido com o resultado que emprega a no�c~ao de estabilidade bi-quadr�atica uma vez que esta �e mais geral que a no�c~ao de estabilidade a�m-quadr�atica.6.3.2 Performance robusta em H2Seja o sistema linear _x = A(�)x +Bw(�)wz = C(�)x (6.22)com � = 264 �1Inx...�n�Inx 375 ; �a = � Inx� � ; �w = 26664 Inw�1Inw...�n�Inw 37775A(�) = A0 +A� ; Bw(�) = Bw�w ; C(�) = C�a (6.23)onde x 2 Rnx ; w 2 Rnw ; z 2 Rnz s~ao respectivamente os vetores de estado, dist�urbio e de performance;A; Bw; C s~ao matrizes dadas de dimens~oes compat��veis, � = (�1; : : : ; �n� ) 2 Rn� s~ao parametros reais, quepodem variar no tempo.

82 CAP�ITULO 6. SISTEMAS LPVO teorema seguinte permite estudar o problema de performance H2 para sistemas variantes no tempo do tipoLPV. Este estudo �e feito empregando-se LMIs que apresentam condi�c~oes su�cientes. A solu�c~ao num�ericadestas LMIs em conjunto com um problema de otimiza�c~ao convexa permite que um limitante superior paraa jjGwzjj2 seja obtido.Teorema 6.3.2 Seja o sistema (6.22) e a seguinte nota�c~aoAa = � A0 A_� + �A0 �A � ; Ca = � � �Inxn� �Cb = � 0 �Inx(n�+1) 0 �aBw(�) 0 �Inw 0 � (6.24)e seja � um politopo constru��do a partir dos valores de (�; _�). Admita que existe uma matriz sim�etricaP 2 Rnx (n�+1)�nx(n�+1), matrizes L 2 Rnw+nx(n�+2)�nx , M 2 Rnx (n�+1)�nxn� , e uma fun�c~ao matricialsim�etrica N(�) 2 Rnw�nw e o escalar l que solucionam o seguinte problema de otimiza�c~ao, onde as LMIsest~ao satisfeitas nos v�ertices do politopo �.minimize flg :� A0aP + PAa +MCa + C 0aM 0 C0C �Inz � < 02664 N(�) 0 0 00 P P�a 00 �0aP 0 00 0 0 0nx 3775+ LCb + C 0bL0 > 0l � TrfN(�)g � 0 (6.25)Ent~ao o sistema n~ao for�cado _x = A(�)x �e bi-quadraticamente est�avel, com a fun�c~ao de Lyapunov V (x; �) =x0P(�)x, e a norma H2 do sistema satisfazjjGwzjj22 < limT!1 1T Z T0 TrfBw(�)0P(�)Bw(�)gdt < l (6.26)2226.3.3 Performance robusta em H1Seja o sistema linear variante no tempo descrito pela seguinte equa�c~ao de estado._x = A(�)x +Bw(�)wz = C(�)x +Dw(�)w (6.27)com A(�) = A0 +A�; Bw(�) = Bw�w; C(�) = C�a; Dw(�) = Dw�w� = 264 �1Inx...�n�Inx 375 ; �a = � Inx� � ; �w = 26664 Inw�1Inw...�n�Inw 37775 (6.28)

6.4. S�INTESE PARA SISTEMAS LPV 83onde x 2 Rnx ; w 2 Rnw ; z 2 Rnz s~ao respectivamente os vetores de estado, dist�urbio e de performance;A0; A; Bw; C; Dw s~ao matrizes dadas de dimens~oes compat��veis, � = (�1; : : : ; �n� ) 2 Rn� s~ao parametrosreais, que podem variar no tempo. Se sup~oe que estes parametros e suas respectivas taxas de varia�c~ao possamassumir qualquer valor dentro de um politopo � cujos v�ertices s~ao conhecidos a priori .A solu�c~ao das LMIs, apresentadas no teorema a seguir, em conjunto com o problema de otimiza�c~ao convexa,permite que um limitante superior para a jjGwzjj1 seja encontrado.Teorema 6.3.3 Seja o sistema (6.27) e � um politopo dado que representa os valores admiss��veis de (�; _�).Seja a nota�c~ao Ca = [� � I ]� = 266664 �A(�) I 0 0 0 0 0��a 0 I 0 0 0 0�C(�) 0 0 I 0 0 00 0 0 0 I 0 �Bw(�)0 0 0 0 0 I �Dw(�) 377775 = 2666666664 0 0 _�0aP 0 0 C(�)0 00 0 �0aP 0 0 0 0P _�a P�a 0 0 P�a 0 00 0 0 Inz 0 0 00 0 �0aP 0 0 0 0C(�) 0 0 0 0 Inz 00 0 0 0 0 0 � 2Inw3777777775 :Ent~ao, dado um escalar > 0, o sistema (6.27) �e bi-quadraticamente est�avel e jjGjj1 < , se existemmatrizes P 0 = P , M e L tais que as LMIs +M�+�0M 0 < 0 (6.29)P + LCa + C 0aL0 > 0 (6.30)s~ao fact��veis em todos os v�ertices do politopo �. Al�em disso, a fun�c~ao V (x; �) = x0P(�)x �e uma fun�c~ao deLyapunov para o sistema (6.27) n~ao for�cado (w � 0). 222

6.4 S��ntese para Sistemas LPV6.4.1 Estabiliza�c~ao robustaSeja um sistema linear variante no tempo descrito por_x = A0 + n�Xi=1 �iAi!x+Buu: (6.31)O sistema (6.31) pode ainda ser representado da seguinte forma_x = � A0 A � � I� �x+Buu (6.32)com A = � A1 � � � An� � 2 Rnx�nxn�

84 CAP�ITULO 6. SISTEMAS LPV� = � �1I � � � �n�I �0 2 Rnxn��nxonde A0, A e Bu s~ao matrizes constantes dadas de dimens~oes compat��veis, x 2 Rnx ; u 2 Rnu s~ao respectiva-mente os vetores de estados e entrada de controle; � := (�1; � � � ; �n� ) �e um vetor de parametos reais varianteno tempo limitado em magnitude e taxa de varia�c~ao.O sistema (6.31) �e considerado como um sistema linear com dependencia param�etrica do tipo LPV, onde�i(t), i = 1; : : : ; n�, est~ao dispon��veis para medida "on-line", contudo, suas trajet�orias n~ao est~ao dispon��veisa priori . �E admitido que os valores de �i(t) e _�(t), para todo t � 0, pertence ao politopo �. Nestecaso, objetiva-se projetar um controle por realimenta�c~ao de estados com dependencia param�etrica a�m queestabilize o sistema realimentado.A lei de controle que procuramos �e do tipou = K(�)x; K(�) = K0 + n�Xi=1Ki�i: (6.33)Apresenta-se a seguir uma solu�c~ao para o problema acima.Teorema 6.4.1 Seja o sistema (6.31) e � um politopo dado que representa os valores admiss��veis de (�; _�).Seja a nota�c~ao Aa = � A0 A_� + �A0 �A � ; �a = � Inx� �Ca = � � �I � ; Ba = �aBu:Se existem matrizes W = W 0 > 0 , Fa, L e N , tais que as seguintes condi�c~oes s~ao satisfeitas em todos osv�ertices do politopo � WA0a +AaW +BaFa + F 0aB0a + LCa + C 0aL0 < 0 (6.34)CaW = NCa: (6.35)Ent~ao existe uma realimenta�c~ao de estados do tipo (6.33) tal que o sistema em malha fechada �e bi-quadraticamenteest�avel, onde os Ki ganhos da lei de controle s~ao dadas por:[K0 K1 � � �Kn� ] = FaW�1 (6.36)e V (x; �) = x0�0aW�1�ax �e uma fun�c~ao de Lyapunov para o sistema em malha fechada. 222O sistema realimentado com os ganhos (6.36) passa a ter a seguinte formula�c~ao_x(t) = [(A0 +BuK0) + (A1 +BuK1)�1 + � � �+ (An� +BuKn�)�n� ]x:Quando os parametros � n~ao est~ao dispon��veis para medida, eles n~ao podem aparecer na lei de controle(6.33). Neste caso os elementos das matrizes Ki s~ao assumidos como nulos. Note no Teorema 6.4.1, que alei de controle admitir�a as matrizes Ki nulas, se as parti�c~oes correspondentes da matriz Fa em (6.36) foremzeradas e a matriz W admitir uma estrutura bloco diagonal. Observe ainda, que a remo�c~ao dos parametros

6.4. S�INTESE PARA SISTEMAS LPV 85da lei de controle, n~ao implica em remove-los da fun�c~ao de Lyapunov, mantendo-se assim as condi�c~oes derobustez desejada.Uma caracter��stica interessante da lei de controle apresentada em (6.33) �e que ela possue uma dependenciaparam�etrica a�m, o que facilita a implementa�c~ao "on-line", quando comparada �as t�ecnicas de controleapresentadas em [57], [58], nas quais a dependencia param�etrica �e n~ao linear.Exemplo 6.4.1 (S��ntese de Controladores de um Sistema LPV)Consideremos a seguinte representa�c~ao do sistema._x = A(�1; �2)x+Bu (6.37)Onde A(�1; �2) = A0 + �1A1 + �2A2 comA0 = 2664 �0:02 0:005 2:4 �32�0:14 0:44 �1:3 �300 0:018 �1:6 1:20 0 1 0 3775 B = 2664 0:14 �0:120:36 �8:60:35 0:0090 0 3775A1 = 2664 0 0 0 �320 0 0 00 0 0 00 0 0 0 3775 A2 = 2664 0 0 0 00 0 0 00 0 �1:6 00 0 0 0 3775Sob condi�c~ao nominal (�1 = �2 = 0) tem-seA(�1; �2) = A0 = 2664 �0:02 0:005 2:4 �32�0:14 0:44 �1:3 �300 0:018 �1:6 1:20 0 1 0 3775 B = 2664 0:14 �0:120:36 �8:60:35 0:0090 0 3775 (6.38)O sistema nominal �e inst�avel, estabiliz�avel por realimenta�c~ao de estados usual e possue os seguintes p�olosp�olos8>><>>: 0:49 + j0:410:49� j0:410:065�2:227 (6.39)Na matriz de dinamica s~ao considerados dois parametros incertos. Vamos supor que os parametros incertossatisfazem j�ij � 0:1; i = 1; 2 (6.40)E ainda que o parametro �1 esteja sujeito a uma taxa de varia�c~ao dej _�1j � 0:01 (6.41)Com a representa�c~ao acima podemos construir as seguintes matrizes� = � �1I4�4 �2I4�4 � (6.42)A = � A1 A2 � (6.43)Que permitem obter as matrizes Aa; Ba e Ca. Resolvendo as LMIs dadas por (6.34) e (6.35) obt�em-se asseguintes matrizes de ganho

86 CAP�ITULO 6. SISTEMAS LPVK0 = � 0:35962 �0:14920 �175:356 �358:712�0:00522 0:06036 �8:05411 �20:3938 �K1 = � �0:00473 0:00227 0:70233 27:0259�0:00027 0:00010 0:04980 0:52741 �K2 = � �0:00513 0:00112 5:23728 9:39744�0:00029 0:00006 0:24730 0:46486 � (6.44)A lei de controle que estabiliza o sistema (6.37) �e dada poru = K0x+ �1K1x+ �2K2x (6.45)E o sistema realimentado passa a ter a seguinte representa�c~ao_x(t) = [(A0 +BK0) + (A1 +BK1)�1 + (A2 +BK2)�2]x (6.46)4446.4.2 Estabiliza�c~ao robusta empregando norma H2Esta se�c~ao trata do problema de projeto de uma lei de controle baseada na no�c~ao de estabilidade bi-quadr�atica. Objetiva-se encontrar um limitante superior para a norma H2 tal que 8(�; _�) 2 �. Dentrodesta abordagem, a estabilidade e o custo H2 para o sistema em malha fechada est~ao baseados em umafun�c~ao de Lyapunov com dependencia param�etrica.N�os estaremos buscando por formula�c~oes LMI que apresentem condi�c~oes su�centes para estabiliza�c~ao dosistema.Seja o sistema _x = A(�)x +Bw(�)w +Buuz = C(�)x +Du(�)u (6.47)com A(�) = A0 +A� ; Bw(�) = Bw�w ; C(�) = C�a ; Du(�) = Du�u� = 264 �1Inx...�n�Inx 375 ; �a = � Inx� � ; �w = 26664 Inw�1Inw...�n�Inw 37775 ; �u = 26664 Inu�1Inu...�n�Inu 37775onde A0, A, Bw, Bu, C, Du s~ao matrizes constantes dadas de dimens~oes compat��veis, x 2 Rnx , u 2 Rnu ,w 2 Rnw , z 2 Rnz s~ao respectivamente os estados, a entrada de controle, a entrada de dist�urbio e a sa��da deperformance; � := (�1; � � � ; �n� ) �e um vetor de parametos reais variante no tempo limitado em magnitude etaxa de varia�c~ao.O sistema (6.47) �e considerado como um sistema linear com dependencia param�etrica do tipo LPV, onde�i(t), i = 1; : : : ; n�, est~ao dispon��veis para medida "on-line". �E admitido que os valores de �i(t) e _�(t),para todo t � 0, pertence ao politopo �. Neste caso, objetiva-se projetar um controle por realimenta�c~ao deestados com dependencia param�etrica a�m que minimize o limitante superior para a norma H2 do sistemarealimentado.Teorema 6.4.2 Seja o sistema (6.47) e a nota�c~ao seguinteAa = � A0 A_� + �A0 �A � ; Ba = � Inx� �BuCa = � � �I � ; Cb = � 0nx�nw �0a �Inx � : (6.48)

6.4. S�INTESE PARA SISTEMAS LPV 87E seja � um politopo constru��do a partir dos valores de (�; _�). Admita que existe uma matriz sim�etricaW 2 Rnx (n�+1)�nx(n�+1), matrizes Fa 2 Rnu�nx(n�+1), L 2 Rnw+nx(n�+2)�nx , M 2 Rnx (n�+1)�nxn� , Q 2Rnxn��nxn� , uma fun�c~ao matricial N(�) 2 Rnw�nw e o escalar l que solucionam o seguinte problema deotimiza�c~ao, onde as LMIs est~ao satisfeitas nos v�ertices do politopo �.minimize flg :� WA0a +AaW + F 0aB0a +BaFa +MCa + C 0aM 0 WC0 + F 0aDu(�)0CW +Du(�)Fa �Inz � < 0 (6.49)24 N(�) 0 Bw(�)00 W 0Bw(�) 0 0nx 35+ LCb + C 0bL0 > 0 (6.50)l � TrfN(�)g � 0 (6.51)QCa = CaW (6.52)Os ganhos Ki da lei de controle (6.33) s~ao dados por:[K0 K1 � � �Kn� ] = FaW�1: (6.53)Ent~ao o sistema (6.47), em malha fechada com a lei de controle (6.33), �e bi-quadraticamente est�avel e umlimitante superior para a norma H2 �e dado por jjGwzjj2 < pl. Sob estas condi�c~oes, v(x; �) = x0P(�)x, comP(�) = �0aW�1�a, �e uma fun�c~ao de Lyapunov parao sistema autonomo em malha fechada. 2226.4.3 Estabiliza�c~ao robusta empregando a norma H1Seja o sistema linear variante no tempo descrito pela seguinte equa�c~ao de estados_x = A(�)x +Bw(�)w +Bu(�)u (6.54)z = C(�)x +Dw(�)w +Du(�)ucom A(�) = A0 +A�; Bw(�) = Bw�w; Bu(�) = Bu�uC(�) = C�a; Dw(�) = Dw�w; Du(�) = Du�u� = 264 �1Inx...�n�Inx 375 ; �a = � Inx� � ; �w = 26664 Inw�1Inw...�n�Inw 37775 ; �u = 26664 Inu�1Inu...�n�Inu 37775 (6.55)onde x 2 Rnx , u 2 Rnu , w 2 Rnw , z 2 Rnz s~ao respectivamente os vetores de estado, entrada, dist�urbio e deperformance; A0, A, Bw, Bu, C;Dw, Du; s~ao matrizes dadas de dimens~oes compat��veis, � = (�1; : : : ; �n� ) 2Rn� s~ao parametros reais, que podem variar no tempo.O sistema (6.54) �e considerado como um sistema linear com dependencia param�etrica do tipo LPV, onde�i(t), i = 1; : : : ; n�, est~ao dispon��veis para medida em tempo real. A �unica informa�c~ao conhecida a priori �eque os valores de �i(t) e _�(t), para todo t � 0, pertence ao politopo �. Neste caso, objetiva-se projetar umcontrole por realimenta�c~ao de estados com dependencia param�etrica a�m, dado por (6.33), que minimize olimitante superior para H1 do sistema realimentado.A solu�c~ao para o problema acima �e dada pelo seguinte teorema.

88 CAP�ITULO 6. SISTEMAS LPVTeorema 6.4.3 Seja o sistema (6.54) e � um politopo dado que representa os valores admiss��veis de (�; _�).Seja a nota�c~ao c = 2664 WA0a +AaW + LCa + C 0aL0 F 0aB0u(�) 0 WC0 + F 0a�0uD0uBu(�)Fa 0 Bw(�) 00 B0w(�) � 2I �0wD0wCW +Du�uFa 0 Dw�w �I 3775�c = � �0a �Inx 0 0 � (6.56)onde Aa = � A0 A_� + �A0 �A � ; Ca = [� � I ]: (6.57)Se existem matrizes W > 0, Fa, L, M , e N , um escalar > 0, tais que as seguintes condi�c~oes s~ao satisfeitasem todos os v�ertices do politopo �: c +M�c +�0cM 0 < 0 (6.58)NCa = CaW (6.59)Ent~ao existe uma realimenta�c~ao de estados do tipo (6.33) tal que o sistema em malha fechada �e bi-quadraticamenteest�avel, onde os Ki ganhos da lei de controle s~ao dados por:� K0 K1 � � �Kn� � = FaW�1 (6.60)e V (x; �) = x0�0aW�1�ax �e uma fun�c~ao de Lyapunov para o sistema em malha fechada. 2226.5 Atividades1. Prove os resultados apresentados nos Teoremas 6.3.1, 6.3.2, 6.3.3.2. Considerere o sistema _x(t) = A(�)x(t) +Bw(�)w(t)z(t) = C(�)x(t) (6.61)onde o parametro � �e um escalar eA(�) = � �1:65� 1:3� �9:5� 20�2� �7� 10� � ; Bw(�) = � 2:1 + 2:2� �3:75 + 0:5��4� 6� �3:5� 5� �C(�) = � 1 00 1 � :Este sistema possue um parametro incerto e �e est�avel para j�j � 0:765.a) Com j�j � 0:6 e j _�j � 10 utilize o Teorema 6.3.2 e trace um gr�a�co j _�j �pl utilizando as no�c~oes deestabilidade quadr�atica, a�m-quadr�atica e bi-quadr�atica.b) Baseado no item a) o que se pode concluir a respeito do concervativismo imposto por cada umadas de�ni�c~oes de estabilidade.3. Considerere o sistema _x(t) = A(�)x(t) +Bw(�)w(t)z(t) = C(�)x(t) +Dw(�)w(t) (6.62)

6.5. ATIVIDADES 89onde A(�) = � �1� 1:3� 0:5� 20��1 + 2� �2� 10� � ; Bw(�) = � 1 + 2:2� �4 + 0:5��1� 6� �1� 5� � ;C(�) = � 1 00 1 � ; Dw(�) = � 0 00 0 � :Com � 2 [0; 1] e _� 2 [�10; 10] utilize o Teorema 6.3.3 e trace o gr�a�co _� � empregando as no�c~oes deestabilidade quadr�atica, a�m-quadr�atica e bi-quadr�atica.4. Compare os gr�a�cos das aplica�c~oes 1) e 2) e conclua.5. Prove os resultados apresentados nos Teoremas 6.4.1, 6.4.2, 6.4.3.6. Seja o sistema _x = A(�)x +Bw(�)w +Buz = C(�)x +D(�)u (6.63)onde A(�) = � �4:1� 3� 1�2� 2� 3:2� � ; Bw(�) = � �0:03� 0:3��0:47 + 0:9� � ;B = � 32 � ; C(�) = � 1 10 0 � ; D(�) = � 01 � : (6.64)O sistema acima �e inst�avel para � < 0:248596. Utilizando o Teorema 6.4.2 e admitindo j�j � 3 ej _�j � 5 obtenha:a) Controlador robusto.b) Controlador LPV.c) Compare o valor da norma obtido com cada controlador e conclua a respeito.7. Seja o sistema _x = A(�)x+Bw(�)w+Buuz = C(�)x+Dw(�)w(t)+Du(�)u (6.65)onde A(�) = � �4:1� 3� 1�2� 2� 3:2� � ; Bu = � 32 � ;Bw(�) = � �0:03� 0:3��0:47+ 0:9� � ; C(�) = � 1 10 0 � ;Du(�) = � 01 � ; Dw(�) = � 00 � :Considere o caso de projeto de um controlador por realimenta�c~ao de estados que estabilize o sistema(6.65) e atenda ao crit�erio de performance H1. Com o Teorema 6.4.3 e admitindo j�j � 3 e j _�j � 5obtenha.a) Controlador robusto.b) Controlador LPV.c) Compare o valor da norma obtido com cada controlador e conclua a respeito.

90 CAP�ITULO 6. SISTEMAS LPV

Cap��tulo 7An�alise de Sistemas N~ao LinearesDaniel F. Coutinho7.1 Introdu�c~aoOs sistemas de controle, em geral, cont�em ao menos um componente n~ao linear. Este comportamento n~aolinear apresenta caracter��sticas importantes que n~ao parecem nos sistemas lineares, como, por exemplo:� M�ultiplos Pontos de Equil��brio. Neste caso a estabilidade tem um comportamento local, diferentementedo caso linear onde temos sempre um comportamento global, portanto cada ponto de equil��brio temassociado uma regi~ao de atra�c~ao que denotaremos por RA.� Ciclos Limites ou oscila�c~oes auto sustentadas. Os sistemas n~ao lineares podem oscilar com amplitude efrequencia �xa sem sinal externo de excita�c~ao, onde estes ciclos limites podem ser est�aveis ou inst�aveis.� Bifurca�c~oes. Quando os parametros de um sistema n~ao linear variam, o comportamento de um pontode equil��brio pode mudar, inclusive podendo gerar m�ultiplos pontos de equil��brio.� Caos. Em sistemas n~ao lineares pequenas varia�c~oes nas condi�c~oes iniciais podem gerar grandes mu-dan�cas no comportamento dinamico do sistema, �as vezes n~ao previs��vel.Os fatores acima, tornam a an�alise de sistemas um importante campo de estudo no caso n~ao linear. Sendo aestabilidade de um ponto de equil��brio o seu principal foco. Em geral, caracterizamos a estabilidade de umsistema n~ao linear pela teoria de Lyapunov. Esta teoria consiste na utiliza�c~ao de uma fun�c~ao escalar, rela-cionada a energia do sistema, para determinar a estabilidade do sistema. A maior di�culdade deste m�etodo�e a busca de fun�c~oes adequadas, que realmente forne�cam informa�c~oes relevantes sobre o comportamento dosistema n~ao linear.Os m�etodos cl�assicos de an�alise e s��ntese dos sistemas n~ao lineares empregam o m�etodo indireto de Lyapunov,lineariza�c~ao por partes deste sistema em torno do(s) ponto(s) de opera�c~ao. Entretanto, quando o sistemaapresenta um elevado grau de n~ao linearidade, ou mesmo, incertezas param�etricas, este m�etodo torna-seinadequado �a an�alise destes sistemas.Quando o m�etodo indireto de Lyapunov n~ao �e adequado na an�alise de um sistema n~ao linear, devemos buscarnumericamente fun�c~oes de Lyapunov adequadas. Neste caso, o controle �otimo n~ao linear �e uma das principais�areas de estudo relacionada a determina�c~ao de fun�c~oes de Lyapunov. Entretanto, a solu�c~ao de problemas de91

92 CAP�ITULO 7. AN �ALISE DE SISTEMAS N~AO LINEAREScontrole �otimo, no caso n~ao linear, s~ao caracterizadas pelas equa�c~oes de Hamilton-Jacobi (HJE) que s~ao dedif��cil solu�c~ao, existindo na literatura v�arios m�etodos de solu�c~ao aproximada, [59], [60], [61], [62, 63], [64, 65].Restringindo a classe de sistemas, alguns trabalhos buscaram solu�c~oes mais simples, como [66], que utilizaequa�c~oes alg�ebricas de Riccati (AREs) e [44] que utilizam LMIs. Como j�a demonstrado nos cap��tulos an-teriores, as LMIs tem demonstrado ser uma ferramenta vers�atil e numericamente e�ciente gerando v�ariostrabalhos que de alguma forma buscam formula�c~oes convexas para a an�alise e s��ntese de controladores parasistemas n~ao lineares incertos ou n~ao, como, por exemplo, [15, 67], [68], [69], [70], [71], [72], [73], [74, 75].Neste cap��tulo, estudaremos as t�ecnicas LMI para an�alise de sistemas n~ao lineares incertos propostas nostrabalhos de El Ghaoui et al., que utilizam fun�c~oes de Lyapunov quadr�aticas [44, 15], e de Tro�no, queutilizam fun�c~oes de Lyapunov dependente dos estados e dos parametros [74, 75].Para tal, este cap��tulo esta organizado da seguinte maneira. Na se�c~ao (7.2) apresentamos algumas de�ni�c~oese considera�c~oes sobre as no�c~oes de estabilidade e classe de sistemas a ser estudada. Na sequencia, se�c~ao (7.3),apresentamos os resultados baseados na representa�c~ao de sistemas LFR. A se�c~ao (7.4), apresenta m�etodosde an�alise considerando fun�c~oes dependentes dos estados e dos parametros. Finalizando, s~ao propostasatividades, se�c~ao (7.5), e referencias complementares (7.6).7.2 Formula�c~ao do ProblemaConsidere a seguinte classe de sistemas n~ao lineares incertos._x = f(x; �) = A(x; �)x (7.1)onde x 2 Rm0 �e o vetor de estados, � = �(t) 2 Rn� �e o vetor de parametros incertos e A(�; �) 2 Rm0�m0 �euma fun�c~ao matricial racional nos seus argumentos. Assuma que a origem do sistema �e um ponto de equil��brioe que o lado direito da equa�c~ao diferencial (7.1) �e limitado para todos os valores de x e � de interesse, isto �e,x est�a limitado a uma regi~ao Bx que cont�em a origem e os valores admiss��veis de � pertencem a uma regi~aoB�.Os problemas a serem considerados neste cap��tulo s~ao:a) Determinar a estabilidade assint�otica do sistema (7.1) na vizinhan�ca da origem (estabilidade local), paratodos os valores admiss��veis de �.b) Determinar uma estimativa adequada da regi~ao de atra�c~ao da origem do sistema (7.1).Para determinarmos a estabilidade de um sistema dentro de uma regi~ao Bx � Rm0 buscaremos numericamen-te fun�c~oes de Lyapunov Quadr�aticas, se�c~ao (7.3), e polinomiais, se�c~ao (7.4). Para tratarmos do problema daregi~ao de atra�c~ao vamos de�nir o que �e uma regi~ao de atra�c~ao e veri�car como podemos obter uma estimativadesta regi~ao.De�ni�c~ao 7.2.1 (Regi~ao de Atra�c~ao)Considere o sistema (7.1), onde f(�; �) : B = Bx � B� 7! Rm0 e Bx � Rm0 �e um dom��nio no espa�co deestados que cont�em a origem. Seja �(t; x) a solu�c~ao de (7.1) que inicia em x(t = 0). A regi~ao de atra�c~aoda origem, denotada por RA, �e de�nida porRA = fx 2 Bx : �(t; x)! 0 ao t!1g 222Podemos determinar uma estimativa da regi~ao de atra�c~ao utilizando a teoria de Lyapunov. Por uma estima-tiva de RA, entende-se uma regi~ao � � RA tal que toda a trajet�oria iniciando em � tende a origem quandot!1. Note que, determinar um dom��nio Bx tal que a fun�c~ao escalar v(x) satisfa�cav(x) > 0 , _v(x) < 0 , para todo x 2 Bx ,

7.3. REPRESENTAC� ~AO POR FRAC� ~OES LINEARES 93n~ao implica que a regi~ao Bx �e uma estimativa de RA, [24]. Neste trabalho, determinaremos uma estimativada regi~ao de atra�c~ao pelo seguinte conjunto limitado e contido em Bx.�(c) = fx 2 Rm0 : v(x) � c g , �(c) � Bx (7.2)onde Bx �e o dom��nio no espa�co de estados tal que v(x) satisfaz as condi�c~oes usuais de Lyapunov.7.3 Representa�c~ao por Fra�c~oes LinearesA abordagem proposta por El Ghaoui et al., [44, 15], considera que o sistema (7.1) possa ser representadopor fra�c~oes lineares (LFR). A representa�c~ao LFR consiste em separar o sistema original em dois blocosinterconectados, o primeiro um sistema linear invariante no tempo e o outro contendo as n~ao linearidadese incertezas. Nesta se�c~ao, apresentaremos de forma concisa os resultados de an�alise desta abordagem queutiliza as fun�c~oes de Lyapunov na forma quadr�atica, v(x) = x0Px.Incialmente apresentaremos um resultado fundamental �a representa�c~ao LFR, proposto por [6].Lema 7.3.1 (Representa�c~ao de matrizes Racionais)Qualquer matriz racional M : Rn 7! Rp�q aceita uma representa�c~ao por fra�c~oes lineares, na forma:M(�) = A+B�(�) (I �D�(�))�1 C (7.3)onde as matrizes A 2 Rp�q , B 2 Rp�N , C 2 RN�q e D 2 RN�N s~ao constantes paraN = nXi=1 ri e �(�) = diag f�iIrig = 264 �1Ir1 0. . .0 �nIrn 375 2227.3.1 Representa�c~ao LFRConsidere que o sistema (7.1) possa ser reescrito na seguinte representa�c~ao:_x = Ax+Bppq = Cqx+Dqpp (7.4)p = �(�)qonde � = � x0 �0 �0 2 Rm0+n� representa os vetores de estado e incertezas.O sistema (7.4) �e equivalente �a representa�c~ao apresentada na �gura (7.1).Note que o sistema n~ao linear incerto foi representado na forma de uma inclus~ao diferencial linear (LDI) eos resultados apresentados em [25] podem ser aplicados a esta classe de sistemas.Exemplo 7.3.1 (Representa�c~ao LFR)Considere o seguinte sistema bilinear. _x = A+ nXi=1 xiAi!x (7.5)Pelo lema (7.3.1) �e poss��vel representar o sistema acima da seguinte maneira._x = Ax+ x1A1x+ � � �+ xnAnx = Ax+ � A1 � � � An � ndiagi=1 fxig

94 CAP�ITULO 7. AN �ALISE DE SISTEMAS N~AO LINEARES

�(�) = �(x; �)_x = Ax +Bppq = Cqx +Dqppp Sistema LTI q

N~ao Linearidades e IncertezasFigura 7.1: Representa�c~ao LFR.De�nindo �(x) = diag ni=1fxig e � A1 � � � An � = BpCq, podemos reescrever o sistema (7.5) como:_x = Ax+BpCq�(x)x = Ax+Bp�(x)Cqx isto �e 8><>: _x = Ax +Bppq = Cqxp = �(x)qonde Bp = � Bp1 � � � Bpn �, Cq = � Cq1 � � � Cqn � e BpiCqi = Ai para i = 1; : : : ; n. 4447.3.2 An�alise de Sistemas LFRConsidere o sistema (7.4). Assuma que este sistemas seja bem de�nido para todo (x; �) de interesse, isto �e:det (I �Dqp�(�)) 6= 0 para todo � de interesse.Considere que a matriz �(�) = �(x; �) �e limitada em norma por:k�(�)k � ��1 (7.6)onde � �e um dado escalar positivo.Considere a seguinte fun�c~ao escalar, v(x) = x0Px. O sistema (7.1), com as considera�c~oes acima, �e est�avel seexiste uma matriz P sim�etrica e de�nida positiva, tal que:_v(x) = x0(A0P + PA)x+ p0B0pPx+ xPBpp < 0 , 8 (�) : k�(�)k � ��1ou em termos do vetor auxiliar � x0 p0 �0 , por 9 P = P 0 > 0 : 8>>><>>>: " A0P + PA PBpB0pP 0 # < 0k�(�)k � ��1Para obtermos uma formula�c~ao convexa para o problema acima, devemos incluir a restri�c~ao em norma naLMI. Em [44], utilizou-se a t�ecnica do DG-Scaling1, isto �e, existem matrizes S sim�etrica, de�nida positiva eG anti-sim�etrica, tais que: �2p0Sp � q0Sq e p0Gq � q0Gp = 01Veja se�c~ao (2.3.2)

7.3. REPRESENTAC� ~AO POR FRAC� ~OES LINEARES 95onde q = Cqx+Dqpp.Com os resultados acima, podemos enunciar o seguinte teorema com rela�c~ao a an�alise de estabilidade dosistema (7.4).Teorema 7.3.1 (Estabilidade Quadr�atica - Sistema LFR)Seja � > 0 um dado escalar. O sistema (7.4) �e quadraticamente est�avel se existem matrizes P e S sim�etricas,e G anti-sim�etrica tais que as seguintes LMIs, nas vari�aveis de decis~ao P , S e G, s~ao satisfeitas.P > 0 , S > 0 , (7.7)24 A0P + PA+ C 0qSCq PBp + C 0qG+ C 0qSDqpB0pP �GCq +D0qpSCq D0qpSDqp � �2S +D0qpG�GDqp 35 < 0Em caso a�rmativo, v(x) = x0Px �e uma fun�c~ao de Lyapunov local para a origem do sistema (7.4) e para todo�(�) = diag f�iIrigni=1, tal que k�(�)k � ��1, onde � = � x0 �0 �0 , tem-se que: det(I �Dqp�(�)) 6= 0.222Exemplo 7.3.2 (An�alise de Estabilidade - Equa�c~ao de Van der Pol em tempo reverso)Considere o seguinte sistema n~ao linear2. Determine a estabilidade da origem.� _x1_x2 � = � 0 �11 (x21 � 1) � � x1x2 � (7.8)) Solu�c~ao:Este sistema pode ser reescrito na forma LFR da seguinte maneira: 8><>: _x = Ax +BP pq = Cqx+Dqppp = �(x)qondeA = � 0 �11 �1 � , Bp = � 0 01 1 � , Cq = � 0 10 �1 � , Dqp = � 0 01 0 � e �(x) = � x1 00 x1 � :Aplicando o teorema (7.3.1), com a restri�c~ao adicional P � I2, obtem-se o seguinte resultado.-->[P,S,G]=lfr(1.1);Construction of canonical representationBasis Constructionrecomputing initial guessFEASIBILITY PHASE.primal obj. dual obj. dual. gap1.10e+00 -6.47e+02 6.48e+022Conhecido na literatura como equa�c~ao de Van der Pol em tempo reverso [24].

96 CAP�ITULO 7. AN �ALISE DE SISTEMAS N~AO LINEARES9.59e+01 -6.46e+02 7.42e+02-7.36e+01 -2.18e+02 1.44e+02Target value reachedfeasible solution found-->PP =! 1696.6526 - 102.66868 !! - 102.66868 1676.9796 !-->SS =! 3061.8194 633.38196 !! 633.38196 747.95593 !-->GG =! 0. - 1040.3398 !! 1040.3398 0. !Portanto, a origem do sistema �e quadraticamente est�avel e v(x) = x0Px �e uma fun�c~ao de Lyapunov local.4447.3.3 Regi~ao de Atra�c~aoNo exemplo (7.3.2) determinamos a estabilidade do sistema, mas pelas condi�c~oes do teorema (7.3.1) n~aotemos informa�c~ao sobre quais s~ao condi�c~oes iniciais que geram trajet�orias est�aveis.Para tal, devemos determinar uma estimativa da regi~ao de atra�c~ao, �(c), que satisfa�ca �(c) � Bx, onde Bx�e o dom��nio da fun�c~ao de Lyapunov v(x) = x0Px.Como dom��nio da fun�c~ao de Lyapunov v(x) = x0Px, entede-se a seguinte regi~ao do espa�co de estados:Bx = (x : ( v(x) > 0 , _v(x) < 0 ek�(x)k � ��1 )Note que, na representa�c~ao LFR, a matriz �(x) �e bloco diagonal. Logo, podemos escrever o dom��nio dafun�c~ao v(x) como sendo o seguinte poliedro:Bx = (x : ( v(x) > 0 , _v(x) < 0 ejxij � ��1 , i = 1; : : : ;m0) (7.9)Suponha que as condi�c~oes do teorema (7.3.1) estejam satisfeitas. Por conveniencia, vamos representar opoliedro (7.9) por um conjunto de inequa�c~oes matriciaisBx = nx : e0kx � ��1 , k = 1; : : : ;m0o (7.10)

7.3. REPRESENTAC� ~AO POR FRAC� ~OES LINEARES 97onde os vetores ek; k = 1; : : : ;m0, de�nem as faces do poliedro (7.9). Observe que a regi~ao Bx satisfaz umarestri�c~ao em m�odulo, jxij � ��1, logo os vetores ek correspondem as m0 colunas da matriz identidade Im0 .Sem perda de generalidade, considere a regi~ao � = fx : x0Px � 1g como uma estimativa da regi~ao deatra�c~ao 3, isto �e, � satisfaz a seguinte condi�c~ao de invariancia.� = x0Px � 1 para todo x : e0kx � ��1A partir de [25], a condi�c~ao acima �e equivalente a seguinte rela�c~ao convexa em P para uma dada constante�. � ��2 a0kak P � � 0 , k = 1; : : : ;m0 (7.11)Resumindo, a condi�c~ao (7.3.1) em conjunto com (7.11) nos fornece uma estimativa da regi~ao de atra�c~ao dosistema (7.4). Para esta estimativa ser adequada devemos maximiz�a-la de alguma maneira. Em [25] s~aopropostas v�arias maneiras para maximizar esta regi~ao, em particular, o seguinte problema de otimiza�c~aomaximiza a soma dos semi-eixos do elips�oide �.min � : ( (7.7), (7.11)� � tra�co (P ) � 0 (7.12)Exemplo 7.3.3 (Estimativa da Regi~ao de Atra�c~ao)Considere o sistema (7.8). Determine uma estimativa da regi~ao de atra�c~ao.) Solu�c~ao:Para determinarmos uma estimativa da regi~ao de atra�c~ao, devemos buscar matrizes P , S e G que satisfa�camao problema de otimiza�c~ao (7.12), para um dado � o menor poss��vel. Observe que neste sistema o dom��nioem x �e de�nido por Bx = fx : jx1j � ��1g, com isso k = 1 e a01 = � 1 0 �0 . A seguir apresentamos osresultados obtidos para o menor valor de � que satisfaz ao problema (7.12).-->[P,S,G,n]=lfr(1);Construction of canonical representationBasis Constructionrecomputing initial guessFEASIBILITY PHASE.primal obj. dual obj. dual. gap2.00e+00 -6.66e+02 -2.12e+01optimal solution found-->PP =! 1.0015432 1.295D-10 !! 1.295D-10 1.0015432 !3Note que esta regi~ao representa um elips�oide.

98 CAP�ITULO 7. AN �ALISE DE SISTEMAS N~AO LINEARES-->SS =! 2.0032058 2.0002874 !! 2.0002874 2.0002038 !-->GG =! 0. .9986845 !! - .9986845 0. !-->n // traco de Pn =2.0033256

x1

x2 RA�� = 1

-2.4 -1.8 -1.2 -0.6 0.6 1.2 1.8 2.4-1.8-1.2-0.60.61.21.82.4

-3 0 3-303

-2.4Figura 7.2: Regi~ao de Atra�c~ao e sua estimativa para o sistema (7.8), com � = 1. 444

7.4 Fun�c~oes de Lyapunov PolinomiaisPara sistemas n~ao lineares dois aspectos tem contribuido no conservadorismo dos resultados existentes basea-dos em LMIs. O primeiro deles, deve-se ao fato da utiliza�c~ao das fun�c~oes quadr�aticas que tem demonstradoser inadequadas para os sistemas n~ao lineares devido a particulariza�c~ao da classe das fun�c~oes candidatas aLyapunov e por n~ao considerarem, no caso incerto, a dinamica das incertezas. Outra condi�c~ao que podeimplicar em conservatismo �e que no caso n~ao linear surgem rela�c~oes matricias na forma x0M(x; �)x > 0, aqual n~ao pode ser substituidas pela LMI estado-parametro dependente M(x; �) > 0 sem uma elevada cargade conservatismo.Nesta se�c~ao, apresentamos a abordagem LMI para an�alise de estabilidade de sistemas n~ao lineares incertos

7.4. FUNC� ~OES DE LYAPUNOV POLINOMIAIS 99proposta por Tro�no em [74] que utiliza fun�c~oes de Lyapunov polinomiais, na forma v(x; �) = x0P(x; �)x,onde P(x; �) �e uma matriz de grau r em (x; �), de�nindo desta forma a chamada no�c~ao de estabilidade Qr.De�ni�c~ao 7.4.1 (Estabilidade Qr)Seja Bx um dado politopo que de�ne uma regi~ao na vizinhan�ca da origem. Seja B� um dado politopo quede�ne os valores admiss��veis da incerteza e de sua taxa de varia�c~ao.A origem do sistema (7.1) �e dita ser Qr est�avel se existem fun�c~oes de classe K, �1(�), �2(�), e uma fun�c~aoescalar do tipo v(x; �) = x0P(x; �)x, onde a matriz P(x; �) �e um fun�c~ao polinomial de grau \r" em (x; �),tal que as seguintes condi�c~oes s~ao satisfeitas para todo (x; �; _�) 2 B = Bx �B�.� v(x; �) = x0P(x; �)x � �1(kxk), e� _v(x; �) = x0( _P(x; �) +A(x; �)0P(x; �) + P(x; �)A(x; �))x � ��2(kxk).Em caso a�rmativo, v(x; �) = x0P(x; �)x �e dita ser uma fun�c~ao de Lyapunov local para a origem do sistema.222Note que a estabilidade Qr implica na estabilidade assint�otica da origem e as no�c~oes de estabilidade qua-dr�atica e a�m-quadr�atica podem ser obtidas para uma escolha adequada do grau r e da estrutura da matrizP(x; �).Como mencionado anteriormente, as inequa�c~oes matriciais no caso n~ao linear s~ao dependentes dos estadose dos parametros, isto �e, s~ao rela�c~oes na forma x0M(x; �)x > 0. Esta condi�c~ao pode ser testada em termode LMIs se M(x; �) �e a�m em (x; �). Neste caso, basta testarmos a condi�c~ao M(x; �) > 0 nos v�ertices dometa-politopo B = Bx � B�. Entretanto, devido a dependencia em x, est�a condi�c~ao pode tornar-se muitoconservativa. Para ilustrar este fato, considere a seguinte fun�c~ao escalar m(x) = x0M(x)x ondeM(x) = � 1 + x2 �x1+x22�x1+x22 1 + x1 � , x = � x1x2 � (7.13)Observe que m(x) = x21 + x22 logo m(x) > 0 para todo x 6= 0. Entretanto, a condi�c~ao M(x) > 0 para todox 6= 0 n~ao �e satisfeita. O lema a seguir apresenta uma condi�c~ao menos restritiva para testarmos se umarela�c~ao do tipo x0M(x)x > 0 �e satisfeita para todo x 2 Bx, x 6= 0.Lema 7.4.1 (Lema de Finsler - Extens~ao para o caso N~ao Linear), [74]Seja H(�) uma matriz cujos termos s~ao a�ns no vetor � = � �1 � � � �n� �0 2 Rn� e seja B� um dadopolitopo. Considere a fun�c~ao escalar �0H(�)� e a fun�c~ao matricial auxiliar C� : Rn� 7! R(n��1)�n� de�nidaa seguir. C� = 266666664 �2 ��1 0 0 � � � 00 �3 ��2 . . . ...... . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . 00 � � � � � � 0 �n� ��(n��1)377777775 (7.14)

Ent~ao a condi�c~ao �0H(�)� > 0, 8 � 2 B�, � 6= 0, �e satisfeita se existe uma matriz L, com a mesma dimens~aode C 0�, tal que a seguinte condi�c~ao seja satisfeita.H(�) + LC� + C 0�L0 > 0 , 8 � 2 B� (7.15)222

100 CAP�ITULO 7. AN �ALISE DE SISTEMAS N~AO LINEARES7.4.1 Representa�c~ao por Fra�c~oes RacionaisConsidere que o sistema (7.1) pode ser reescrito na seguinte forma.8>>><>>>: _x = A(x; �)x = A0(x; �)�0 + � � �+Aq(x; �)�q = Pqi=0 Ai(x; �)�i�i : ( �i+1 = �i(x; �)�i , para i = 0; : : : ; (d� 1) , �0 = x(x; �)� = 0 (7.16)onde �i 2 Rmi , � = � �0 � � � �q �0 2 Rm s~ao fun�c~oes auxiliares de (x; �) representando as n~ao linea-ridades do sistema; �i(x; �) 2 Rmi+1�mi , para i = 0; : : : ; (d � 1) (d � q), s~ao fun�c~oes matriciais a�ns em(x; �) utilizadas para de�nir as rela�c~oes entre os vetores auxiliares �i de i = 0 a i = d� 1; (x; �) 2 Rn�m�e uma fun�c~ao matricial a�m em (x; �) utilizada para expressar as rela�c~oes adicionais entre os vetores �i, eAi(x; �) 2 Rm0�mi , para i = 0; : : : ; q, s~ao fun�c~oes matriciais a�ns em (x; �) que de�nem a estrutura decomo as n~ao linearidades e incertezas afetam os estados do sistema.Para simpli�car a nota�c~ao, vamos utilizar as vari�aveis �i; Ai;�i; sem explicitar a sua dependencia em (x; �)e no tempo.Assume-se que o lado direito da equa�c~ao diferencial em (7.16) �e limitado para todos os valores de � deinteresse e que a representa�c~ao em termos das vari�aveis auxiliares �i �e equivalente ao sistema (7.1).A representa�c~ao por fra�c~oes racionais (7.16) pode ser utilizada para representar uma grande classe de sistemasn~ao lineares incertos. A seguir apresentamos um exemplo para ilustrar o procedimento da representa�c~ao porfra�c~oes racionais.Exemplo 7.4.1 (Representa�c~ao de Sistemas N~ao lineares por fra�c~oes racionais)Considere o seguinte sistema bilinear. _x = ~A0 + m0Xi=1 ~Aixi!xExistem v�arias maneiras de representarmos o sistema acima em termos das vari�aveis auxiliares �i.� Por exemplo, podemos simplesmente de�nir uma matriz A(x) = ~A0 + ~A1x1 + � � � + ~Am0xm0 e arepresenta�c~ao do sistema por fra�c~oes racionais �e dada por: _x = A(x)x.� Tamb�em, equivalentemente, podemos de�nir um vetor auxiliar �1 e matrizes A0, A1, constantes daseguinte maneira:�1 = �0�0 = 264 x1Im0...xm0Im0 375x , A0 = ~A0 , A1 = � ~A1 � � � ~Am0 �Portanto o sistema bilinear pode ser representado por _x = A0x+A1�1. 444Note que a representa�c~ao por fra�c~oes racionais n~ao �e �unica e at�e o presente momento n~ao existe umasistem�atica para obten�c~ao da formula�c~ao �otima do sistema (7.1). Entretanto devemos dar especial aten�c~ao�a escolha das matrizes auxiliares �i que, como veremos a seguir, desempenham um papel importante nafun�c~ao de Lyapunov.

7.4. FUNC� ~OES DE LYAPUNOV POLINOMIAIS 1017.4.2 An�alise de EstabilidadeO objetivo desta se�c~ao �e apresentarmos condi�c~oes em termos de LMIs para a an�alise de estabilidade da classede sistemas (7.1), na representa�c~ao por fra�c~oes racionais, utilizando a no�c~ao de estabilidade Qr.Observe que, a partir de (7.16), as matrizes �i s~ao fun�c~oes a�ns em (x; �). Ent~ao, �e poss��vel representar asmatrizes �i da seguinte maneira.�i = m0Xj=1 Tijxj + n�Xj=1 Uij�j + Vi , i = 0; : : : ; (d� 1) (7.17)onde Tij , Uij , Vi s~ao matrizes constantes com as mesmas dimens~oes de �i e xj , �j s~ao os j-�esimos termosrespectivamente dos vetores x e �.Relembrando que os vetores auxiliares �i s~ao fun�c~oes de (x; �), e que o estado e a incerteza s~ao limitados,podemos considerar que os vetores �i, para i = 1; : : : ; d� 1, s~ao limitados a regi~oes polit�opicas, isto �e:�i 2 Bi , para i = 1; : : : ; d� 1 (7.18)Seja si a i-�esima linha da matriz identidade Im0 , considere a representa�c~ao (7.16), a matriz Cx conforme ade�ni�c~ao (7.14) e a seguinte nota�c~ao auxiliar.~�i = m0Xj=1 Tij�isj , �i = n�Xj=1Uij _�j , para i = 0; : : : ; d� 1E = 266666666664

Im0 0 � � � � � � � � � 0�(�0 + ~�0) Im1 . . . ...�~�1 ��1 Im2 . . . ...... 0 . . . . . . . . . ...... ... . . . . . . . . . 0�~�d�1 0 � � � 0 ��d�1 Imd377777777775 2 Rma�ma , (7.19)

Aa = 26666664 A0 A1 � � � � � � Ad�0 0m1 0 � � � 00 �1 0m2 . . . ...... . . . . . . . . . 00 � � � 0 �d�1 0md37777775 2 Rma�ma , Ab = 26664 Ad+1 Ad+2 � � � Aq0 � � � � � � 0... ... ... ...0 � � � � � � 0 37775 2 Rma�mb

M = 266664 ��0 Im1 0 � � � 00 ��1 Im2 . . . ...... . . . . . . . . . 00 � � � 0 ��d�1 Imd 377775 2 R(ma�m0)�ma ,a = � MCx 0 � 2 R(ma�1)�ma , b = 24 �E Aa Ab0 a 00 35 2 R(2ma�1+n)�(m+ma)onde m = ma +mb, ma = Pdi=0mi e mb = Pqi=d+1mi.Com as considera�c~oes acima podemos enunciar o seguinte teorema que prop~oe condi�c~oes LMI para an�alisede estabilidade.Teorema 7.4.1 (Estabilidade Qr)Seja Bx um dado politopo de�nindo uma regi~ao na vizinhan�ca da origem, tal que x 2 Bx. Seja B� um dadopolitopo de�nindo os valores admiss��veis da incerteza e de sua taxa de varia�c~ao, tal que (�; _�) 2 B�. SejamBi, para i = 1; : : : ; (d�1), dados politopos de�nindo os valores admiss��veis das vari�aveis �i, tal que �i 2 Bi.

102 CAP�ITULO 7. AN �ALISE DE SISTEMAS N~AO LINEARESConsidere o sistema n~ao linear incerto (7.16), as matrizes �i de�nidas em (7.17) e a nota�c~ao auxiliar (7.19).O sistema (7.16) �e localmente Qr est�avel, com r = 2d, se existem matrizes P , La, Lb, com as mesmas di-mens~oes respectivamente de Aa, 0a e 0b, tais que as seguintes LMIs s~ao satisfeitas para (x; �1; : : : ; �d�1; �; _�)nos v�ertices do meta-politopo B = Bx �B1 � � � � � Bd�1 �B�.P + Laa +0aL0a > 0 (7.20)24 0ma P 0P 0ma 00 0 0mb 35+ Lbb +0bL0b < 0Em caso a�rmativo, v(x; �) = x0P(x; �)x, com a matriz P(x; �) de�nida a seguir, �e uma fun�c~ao de Lyapunovlocal para a origem do sistema (7.16).P(x; �) = � Im0�(x; �) �0 P � Im0�(x; �) � , �(x; �) = 26664 �0�1�0...�d�1 � � ��0 37775 (7.21)222Note que P(x; �) em (7.21) �e uma forma geral de representarmos qualquer matrix polinomial de grau r = 2dem (x; �). Matrizes polinomiais de grau r < 2d tamb�em podem ser representadas por (7.21) pelo simpleszeramento de algumas parti�c~oes da matriz P . Em particular, considere a seguinte parti�c~ao da matriz P .P = � P0 P1P 01 P2 � 2 Rma�maonde P0 2 Rm0�m0 , P1 2 Rm0�(ma�m0) e P2 2 R(ma�m0)�(ma�m0). Podemos obter condi�c~oes equivalentesa estabilidade quadr�atica e a�m-quadr�atica considerando que d = 1 e :� P1 = 0 e P2 = 0, logo v(x) = x0P0x que con�gura a no�c~ao de estabilidade quadr�atica.� P2 = 0, logo v(x; �) = x0P0x+ 2x0P1�0x que con�gura a no�c~ao de estabilidade a�m-quadr�atica.Exemplo 7.4.2 (Estabilidade Q2)Veri�que a estabilidade da origem do sitema (7.8) utilizando uma fun�c~ao de Lyapunov de grau 4 em x.) Solu�c~ao:Note que, neste exemplo, n~ao temos incerteza, logo as condi�c~oes de estabilidade dependem somente do vetorde estados x = � x1 x2 �0 .Considere como candidata a fun�c~ao de Lyapunov a fun�c~ao v(x) = x0P(x)x. Para esta fun�c~ao ser de grau 4em x a matriz P(x) deve ser de grau 2 em x, logo r = 2 e d = 1. Ent~ao a matriz P(x) �e dada por:P(x) = � I2�0(x) �0 P � I2�0(x) �onde �0(x) �e uma matriz a�m em x.Para aplicarmos as condi�c~oes de estabilidade propostas no teorema (7.4.1), devemos obter uma representa�c~aopor fra�c~oes racionais do sistema (7.8).Neste ponto devemos escolher os vetores auxiliares �i de maneira que _x = A(x)x = PAi�i. considere aseguinte escolha da matriz �0:�0 = � x1I2x2I2 � ! �1 = �0x = 2664 x21x1x2x1x2x22 3775 (7.22)

7.4. FUNC� ~OES DE LYAPUNOV POLINOMIAIS 103Para esta escolha do vetor auxiliar �1, as matrizes Ai s~ao dadas porA0 = � 0 �11 �1 � e A1 = � 0 0 0 0x2 0 0 0 �desta forma o sistema (7.8) foi reescrito na seguinte forma: _x = A0x+A1�1.Considere o seguinte politopo Bx de�nido pelos seus v�ertices, que con�gura uma regi~ao na vizinhan�ca daorigem. �� ��� � , � �� � , � ��� � , � ���� ��onde � �e um escalar positivo o maior poss��vel.Aplicando o teorema (7.4.1) obtemos o seguinte resultado.-->[P,La,Lb]=Qr(0.99);Construction of canonical representationBasis ConstructionFEASIBILITY PHASE.primal obj. dual obj. dual. gap4.42e+00 -5.04e+16 5.04e+16-1.54e-01 -1.96e+00 1.91e+00Target value reachedfeasible solution found-->PP =! 42479118. - 16418284. 9.4011585 5.5382306 - 10.374358 86.615229 !! - 16418284. 37210358. - 1.824049 108.29657 - 170.0858 - 5.3299558 !! 9.4011585 - 1.824049 - 3862180.7 5613662.2 3992877.7 - 5161626.3 !! 5.5382306 108.29657 5613662.2 1141012.6 1187460.5 303537.51 !! - 10.374358 - 170.0858 3992877.7 1187460.5 288600.05 - 1176607.9 !! 86.615229 - 5.3299558 - 5161626.3 303537.51 - 1176607.9 - 855774. !-->LaLa =! 4306278.2 - 29.177232 - 4306254.2 4306287.6 - 71.566067 !! - 320557.64 9.4581897 320557.86 - 320475.59 - 6.7911521 !! - 3378943.7 36662845. - 8845352.8 - 2546600.7 - 5064486.2 !! - 1.381E+15 - 14549844. 1.381E+15 - 1.381E+15 4809488. !! 1.381E+15 3157908.5 - 1.381E+15 1.381E+15 - 14106308. !! 8396758.2 - 5064436.4 - 8259915.1 - 1036919. 31262403. !-->Lb

104 CAP�ITULO 7. AN �ALISE DE SISTEMAS N~AO LINEARESLb = column 1 to 6! 18478160. - 10269390. 2.3351786 - 147.88233 172.09065 29.93631 !! 14514807. 12174265. - 12.733977 13.463792 - 43.813517 - 13.316549 !! - 24.66713 31.25124 5196661.3 - 118628.31 - 238105.15 - 383618.52 !! 127.56328 - 41.25903 121814.76 14111547. - 10390482. 81066.516 !! - 172.65261 89.596587 - 96408.069 - 10318494. 14040077. - 53140.75 !! - 35.534213 3.1805957 500079.68 344139.69 256365.4 3883653.3 !! 10963203. - 18115921. 25.217794 - 9.218127 36.295817 99.759041 !! 11008583. 14789234. - 3.198419 - 41.466429 - 1.8392691 22.301381 !! 146.34087 - 76.836119 - 5222714.8 3266358.8 2066806. - 4961073. !! - 224.9598 147.71863 5688472.9 279096.06 101072.52 - 2414092.6 !! 267.51436 - 114.0047 3253620.9 - 100952.54 - 561322.64 - 4252149.9 !! - 89.464134 57.300936 - 3580412.4 2822718.3 981764.54 - 1088715.2 !column 7 to 11! 109.80496 65.935304 - 156.85888 201.20771 - 130.32735 !! - 106.19852 - 47.818903 60.669034 42.807386 60.205089 !! - 2991362.5 3913176.7 - 6974442.7 - 4162869.1 1884538.8 !! - 786022.22 646464.32 - 452914.03 408119.17 - 2157696.3 !! - 281450.15 26098.571 - 442610.98 595226.44 - 2292979.7 !! - 2893640.4 928745.25 2245829.7 3848281.9 304529.8 !! 96.700578 47.805144 - 175.01063 123.36509 - 55.820893 !! 120.13052 81.808282 - 146.88142 180.12144 - 38.6559 !! 12373380. - 16518162. - 956808.42 - 4291774.1 13195187. !! 5670277.6 4945147.2 - 19315841. 3075797.7 - 34651.654 !! - 8551770.8 2191184.6 3047502.1 - 17633804. - 419179.65 !! 5396080.6 - 7351488.6 1158072.5 4347192.1 - 14473699. ! 4447.4.3 Regi~ao de Atra�c~aoConsidere a regi~ao � = fx : x0P(x; �)x � 1g com uma estimativa da regi~ao de atra�c~ao do sistema (7.16).Esta regi~ao para ser invariante em rela�c~ao a x deve satisfazer � � Bx, onde Bx con�gura o dom��nio dafun�c~ao v(x; �) = x0P(x; �)x.Por conveniencia, vamos considerar a seguinte parti�c~ao do vetor �.� = � �a�b � 2 Rm , �a = 264 x...�d 375 2 Rma , �b = 264 �d+1...�q 375 2 Rmb (7.23)Considere a seguinte de�ni�c~ao do politopo Bx por inequa�c~oes lineares.Bx = n a0kx � 1 ; k = 1; : : : ; nf o (7.24)onde os vetores ak 2 Rm0 , k = 1; : : : ; nf , de�nem as nf faces do politopo Bx. Observe que esta representa�c~ao�e equivalente a representa�c~ao pelos v�ertices.Considere o seguinte vetor auxiliar.bk = � ak0 � 2 Rma , k = 1; : : : ; nf (7.25)

7.4. FUNC� ~OES DE LYAPUNOV POLINOMIAIS 105Como v(x; �) = x0P(x; �)x = �0aP�a, a regi~ao � �e uma estimativa da regi~ao de atra�c~ao se �0aP�a � 1para todo x 2 Bx. Esta condi�c~ao de invariancia �e equivalente as seguintes rela�c~oes LMI.24 1 b0kbk (P + Laa +0aL0a) 35 � 0 para i = 1; : : : ; nf (7.26)Da mesma maneira que no caso LFR, devemos maximizar � para obtermos uma estimativa adequada daregi~ao de atra�c~ao. Como estamos utilizando fun�c~oes polinomiais com grau maior que 2 a regi~ao � n~ao�e um elips�oide o que di�culta a determina�c~ao de um crit�erio adequado para maximiza-la. Nesta se�c~ao,maximizaremos o menor semi-eixo desta regi~ao minimizando o maior autovalor de P(x; �).Resumindo, a regi~ao � = x : x0P(x; �)x � 1 �e uma estimativa da regi~ao de atra�c~ao do sistema (7.16) se oseguinte problema de otimiza�c~ao for satisfeito nos v�ertices do meta-politopo B = Bx�B1� � � � �Bd�1�B�.min � : ( (7.20), (7.26) ,�Ima � (P + Laa +0aL0a) � 0 (7.27)Exemplo 7.4.3 (Regi~ao de Atra�c~ao - Estabilidade Qr)Determine uma estimativa da Regi~ao de Atra�c~ao do sistema (7.8). Utilize uma fun�c~ao de Lyapunov de grau4 em x.) Solu�c~ao:Considere a mesma representa�c~ao por fra�c~oes racionais, o mesmo politopo Bx utilizados no exemplo (7.4.2)e a de�ni�c~ao de estabilidade Q2. Note que o politopo Bx pode ser reescrito em termos de inequa�c~oes linearespela seguinte de�ni�c~ao de vetores auxiliares.a1 = � 1�0 � , a2 = � 01� � , a3 = � � 1�0 � , a4 = � 0� 1� � (7.28)Utilizando o problema de otimiza�c~ao (7.27) obtemos os seguintes resultados. A �gura (7.3) nos mostra umailustra�c~ao da regi~ao de atra�c~ao, RA, e de sua estimativa, �.-->[P,La,Lb,lambda]=Qr_ra(0.98);Construction of canonical representationBasis ConstructionWARNING: rank deficient problemFEASIBILITY PHASE.primal obj. dual obj. dual. gap4.38e+00 -4.02e+03 4.03e+03feasible solution foundOPTIMIZATION PHASE.primal obj. dual obj. dual. gap-8.81e+00 -8.81e+00 -1.13e-03

106 CAP�ITULO 7. AN �ALISE DE SISTEMAS N~AO LINEARESmay be unbounded belowoptimal solution found-->PP =! 1.0314104 - 0.1224283 0.0370912 - 0.0823269 0. 0.1600963 !! - 0.1224283 0.8638048 0.1099160 - 0.0529800 - 0.0529791 0.0345119 !! 0.0370912 0.1099160 0.1336119 - 0.9788739 1.052217 - 0.4280284 !! - 0.0823269 - 0.0529800 - 0.9788739 2.6893364 0. - 0.1276839 !! 0. - 0.0529791 1.052217 0. - 1.478217 - 0.1444540 !! 0.1600963 0.0345119 - 0.4280284 - 0.1276839 - 0.1444540 0.2990628 !-->LaLa =! - 0.0782490 - 0.0408913 0. - 0.0823252 - 0.0313467 !! 0.0001136 0.0620123 0. 0. - 0.1214674 !! - 1.0052301 0.0531984 1. - 1.031087 0.1896732 !! 0.9808240 - 0.0348855 - 0.9908204 1. 0.0332461 !! 1.0737793 - 0.0348852 - 1.0837758 1.0929556 0.0332460 !! 0.0036130 0.1513127 0. 0.0167665 - 0.0690183 !-->LbLb = column 1 to 6! 30438101. - 0.6174327 2615849.8 0.3117828 0. - 0.0045994 !! - 0.4517657 1.166447 - 0.0065260 0.0596510 0.0677418 0.0078869 !! 1406612.3 0.0322707 9257244.9 347418.68 - 347418.76 - 0.0137345 !! - 938398.9 0.0689640 - 370715.29 21765652. - 21765652. - 0.0356856 !! 938398.54 0.0640102 370715.27 - 21765652. 21765652. - 0.0346078 !! - 0.0276550 0.0140451 - 0.0544882 - 0.0327954 - 0.0374964 0.2009593 !! 1.1100346 - 1.3578881 0.0443151 - 0.1642740 - 0.0930682 0.1550094 !! 30438101. - 0.1527437 2615850. 0.2761825 - 0.0332167 - 0.0058350 !! 0.9957906 - 0.1245116 0.1647728 - 1.644599 0.2963804 - 0.3807889 !! 2813224.8 0.0219929 9063999.4 694839.53 - 694839.54 - 0.2014041 !! 0. 0.0116037 9450490.5 0. - 0.0521038 - 0.2324409 !! - 0.8475342 0.1006034 - 0.4503942 0.5999198 0.6816918 0.2062835 !column 7 to 11! - 14300889. 0.416759 9069189.9 - 14300889. - 0.9249142 !! - 0.3910574 0.1262731 0.1304793 0.1106701 - 0.1863270 !! - 9482147.7 - 0.1383603 - 9032342. - 9482147.7 0.2640704 !! - 374297.74 0.7029142 1115728.2 - 374297.69 - 0.6974492 !! 374299.61 0.6058335 - 1115730.2 374299.64 - 0.5841147 !! - 0.1423888 - 0.2077474 0.2561374 0.2592270 - 0.2062938 !! 0.0822256 - 0.2841712 - 0.1015442 - 0.0750343 0.2088228 !! - 14300889. 0.5124499 9069189.8 - 14300889. - 0.8107545 !! 0.6486937 - 1.5261014 - 0.7484851 - 0.5433925 1.7001612 !! 13925132. 0.0659690 - 32053131. 13925131. 0.4481756 !! - 32889425. 0.0504586 13988444. - 32889425. 0.5274128 !! - 0.0957447 1.1863976 0.7837384 0.5644708 - 1.8600628 !

7.5. ATIVIDADES COMPLEMENTARES 107-->lambdalambda =1.1871848

x1

x2 RA�Estabilidade Qrr = 2-2.4 -1.8 -1.2 -0.6 0.6 1.2 1.8 2.4-2.4-1.2-0.60.61.21.82.4

-3 0 3-303

-1.8Figura 7.3: Regi~ao de Atra�c~ao e sua Estimativa para o sistema (7.8) - Estabilidade Q2. 4447.5 Atividades Complementares1. Prove as condi�c~oes do teorema (7.3.1).2. Prove que a condi�c~ao x0Px � 1 8 x : a0kx � ��1 equivale a� ��2 a0kak P � � 0Dica: utilize o S-Procedure.3. Prove que a estimativa de RA, sem perda de generalidade, pode ser deteminada por � = fx : v(x) �1 g ao inv�es de �(c) = fx : v(x) � cg, onde c �e uma constante a ser deteminada.4. Em [25] s~ao propostas outras formas de maximiza�c~ao da estimativa da regi~ao de atra�c~ao. Para osistema (7.8), utilize outras formas de maximiza�c~ao e compare com o resultado apresentado na �gura(7.2).5. Veri�que com o lema (7.4.1), que a fun�c~ao escalar m(x) = x0M(x)x, onde a matriz M(x) �e dada por(7.13), �e de�nida positiva para todo x 6= 0.6. Prove que as condi�c~oes do teorema (7.4.1) implicam na de�ni�c~ao de estabilidade Qr.

108 CAP�ITULO 7. AN �ALISE DE SISTEMAS N~AO LINEARES7. Demonstre que a condi�c~ao (7.26) implica emx0 � Im0�(x; �) �0 P � Im0�(x; �) �x � 1 , 8 x : a0kx � 1 para i = 0; 1; : : : ; nf8. Determine diferentes representa�c~oes por fra�c~oes racionais para o sistema (7.8). Utilizando a rela�c~ao(7.27), obtenha estimativas da regi~ao de atra�c~ao e compare com o resultado apresentado no exemplo(7.4.3).9. Pesquise outras formas de maximiza�c~ao da regi~ao de atra�c~ao, no caso da estabilidade Qr. Determineestimativas da regi~ao de atra�c~ao e compare o resultado com o do exemplo (7.4.3).7.6 Referencias ComplementaresConsidera�c~oes gerais sobre sistemas n~ao lineares e o m�etodo indireto de Lyapunov s~ao encontrados nos livros[34] e [24]. Uma an�alise qualitativa destes sistemas pode ser vista em [76].Com rela�c~ao especi�camente a an�alise de sistemas n~ao lineares, maiores discuss~oes sobre t�ecnicas LMIsaplicadas a sistemas n~ao lineares, classes de sistemas e incertezas, bem como, performance de sistemas n~aolineares s~ao encontradas em [77].Existe dispon��vel para download um toolbox de projeto de controladores espec���co para sistemas n~ao linearesna representa�c~ao LFR desenvolvido por El Ghaoui & Dussy, veja maiores detalhes em [67].

Cap��tulo 8An�alise de Estabilidade de uma classede Sistemas H��bridosSonia E. Palomino Castro8.1 Introdu�c~aoSistemas H��bridos tornaram-se nestes �ultimos anos uma �area de especial interesse no dom��nio das cienciasde computa�c~ao e da teoria de controle e �e uma �area que recentemente est�a sendo formalmente desenvolvida.�E caracter��stica dos sistemas h��bridos a incorpora�c~ao de componentes cont��nuas e componentes discretas .As dinamicas das componentes cont��nuas, usualmente chamada de plantas, est~ao governadas por equa�c~oesdiferenciais e as dinamicas das componentes discretas s~ao representadas por programas. Esses programasest~ao projetados para selecionar, controlar e supervisionar a conduta das componentes cont��nuas.Exemplos de sistemas h��bridos do mundo real aparecem nos sistemas com rel�es, chaveamentos, motores depasso e outros controladores de movimento, ve��culos inteligente, sistemas de controle de voos entre muitosoutros. Existem v�arias abordagens para o tratamento de estabilidade de sistemas h��bridos.Em [78] e [79] a estabilidade �e estudada fazendo uso de fun�c~oes de Lyapunov m�ultiplas associadas �as parti�c~oesdo espa�co de estados e aplicada a uma classe de sistemas h��bridos muito restrita.A di�culdade de analisar estabilidade destes sistemas reside no fato de termos chaveamentos dos estadosdiscretos e dos campos vetoriais cont��nuos.Petterson em seus trabalhos [80], [73] aborda este problema fazendo a constru�c~ao de uma fun�c~ao de Lyapunovquadr�atica para cada parti�c~ao do espa�co de estados. A estabilidade global do sistema �e mostrada a partirdessas fun�c~oes quadr�aticas. Johansson e Rantzer (1998) fazem uma abordagem similar, por�em restritiva,considerando regi~oes particulares.Uma abordagem alternativa �e proposta em [81] onde se sup~oe que os chaveamentos do sistema dependemda dinamica da vari�avel de estado cont��nua. O problema de an�alise consiste em construir uma fun�c~ao deLyapunov dependente dos estados como na formula�c~ao proposta em [75].O objetivo deste cap��tulo �e estudar formula�c~oes LMIs para an�alise e s��ntese de sistemas chaveados, fazendouso de fun�c~oes de Lyapunov com novas estruturas. 109

110 CAP�ITULO 8. AN�ALISE DE ESTABILIDADE DE UMA CLASSE DE SISTEMAS H�IBRIDOS8.2 Sistemas Chaveados: uma classe de Sistemas H��bridosOs sistemas h��bridos foram caraterizados formalmente apenas nos �ultimos anos, englobando no seu universouma vasta classe de sistemas. Dentre eles os sistemas chaveados. Nestes sistemas as componentes discretas(ou sinais de chaveamento) s~ao func~oes costantes por partes. A seguir ser�a colocado como se caraterizam ossistemas chaveados ap�os a de�ni�c~ao de um sistema h��brido.Consideremos os conjuntos cont�aveis Q;�;O.De�ni�c~ao 8.2.1 (Sistema H��brido) Um sistema h��brido H = (Rn �Q;Rp ��; f; �) consiste de� um conjunto n~ao vazio H = Rn �Q chamado o espa�co dos estados h��bridos 1 (x; q) de H� o conjunto E = Rp � � chamado espa�co de entradas externas 2 (u; �) de H� fun�c~oes de transi�c~ao f : Df ! Rn e � : D� ! Q, onde_x(t) = f(x(t); q(t); u(t));q+(t) = �(x(t); q(t); u(t); �(t)) (8.1)e Df � Rn �Q� Rp e D� � Rn �Q� Rp ��. 222De�ni�c~ao 8.2.2 (Sistema H��brido com sa��das) Um sistema h��brido com sa��das �e dado pelo sistema He as seguintes condi�c~oes:� o conjunto Rm �O chamado espa�co de sa��das de H� rela�c~oes de sa��da g : Dg ! Rm e ' : D' ! O, ondey(t) = g(x(t); q(t); u(t));o+(t) = '(x(t); q(t); u(t); �(t)) (8.2)onde Dg � Rn �Q� Rp e D' � Rn �Q� Rp ��.\y" �e denominada sa��da cont��nua e \o" �e a sa��da discreta ou evento discreto de sa��da. 222Nas de�ni�c~oes, a fun�c~ao f �e dita ser o campo vetorial do sistema h��brido3. Quando o campo vetorial�e apenas fun�c~ao do estado (cont��nuo e discreto) dizemos que o sistema �e autonomo. Assim estes sistemaspodem ser representados por _x = f(x; q);q+ = �(x; q); (8.3)y = g(x; q);o+ = '(x; q): (8.4)Este campo tamb�em pode ser em fun�c~ao do tempo e do estado e nesse caso ser�a denominado n~ao autonomoou variante no tempo. Os sistema h��bridos s~ao ditos sistemas h��bridos lineares se eles podem ser descritosna forma _x = A(q)x;y = C(q)x; (8.5)1x �e chamado de estado cont��nuo e q de estado discreto2u �e chamada de entrada cont��nua e � denota a entrada discreta ou evento discreto de entrada3O campo vetorial f de�ne a evolu�c~ao do sistema, este pode ser considerado como uma fun�c~ao de transi�c~ao sem perda degeneralidade.

8.2. SISTEMAS CHAVEADOS: UMA CLASSE DE SISTEMAS H�IBRIDOS 111Se a representa�c~ao dos sistemas �e: _x = A(q)x + B(q);y = C(q)x + D(q); (8.6)dizemos que s~ao sistemas h��bridos a�ns4.Com esta classi�ca�c~ao os sistemas chaveados s~ao sistemas h��bridos similares aos dados em (8.3) colocadossimplesmente como _x = fq(x(t)) q 2 f1; � � � ; ng: (8.7)Quando f �e uma fun�c~ao a�m de x o sistema chaveado �e dito ser a�m. Este ser�a o tipo de sistemas cujaestabilidade iremos estudar.8.2.1 ExemplosH�a muitos exemplos de sistemas na literatura que tem natureza h��brida dentre os quais podemos citar:gerenciamento de recursos pesqueiros [82], sistemas de controle de movimento [83], rob�otica [84], sistemasde potencia [85], sistemas na mecanica cl�assica [86], ve��culos automatizados [87], etc. A seguir colocaremosalguns exemplos.Controladores M�ultiplos: uma simpli�ca�c~ao, [80]�E muito comum controlar uma planta cont��nua chaveando entre diferentes controladores ou leis de controle,onde o dispositivo de chaveamento depende dos estados cont��nuos e discretos. Para ilustrar isto, consideremoso pendulo na �gura 8.1 Onde m a massa do pendulo e l o comprimento do centro de massa ao ponto pivo.� mg mg sin�mmu cos�muu

Figura 8.1: O pendulo invertido.O angulo da vertical ao pendulo �e denotado por � que �e positivo na dire�c~ao hor�aria, g �e a acelera�c~ao dagravidade, u, a acelera�c~ao do pivo na dire�c~ao horizontal, �e a lei de controle.Fazendo certas considera�c~oes, usando a lei de Newton e de�nindo x1 = � e x2 = _� a representa�c~ao dadinamica do pendulo no espa�co de estados �e_x1 = x2_x2 = gl senx1 � u(x;q)l cosx1 (8.8)onde u(x; q) = � ue = satngKE(x1; x2)sign(x2cosx1); se q = q1us = (gsenx1 + la1x1 + la2x2)=cosx1; se q = q2 (8.9)4Nas representa�c~oes a vari�avel discreta q pertence ao conjunto Q, isto �e, q 2 Q = fqk : k 2 Ikg.

112 CAP�ITULO 8. AN�ALISE DE ESTABILIDADE DE UMA CLASSE DE SISTEMAS H�IBRIDOSq = q1 �e o estado discreto quando usado o controlador de energia ue e q = q2 para o controlador estabilizanteus.Sem controle, h�a dois pontos de equil��brio: (0; 0) e (��; 0). O primeiro ponto �e inst�avel enquanto o segundo�e est�avel 5. As referencias [88] e [80] fornecem os detalhes de como obter u(x; q). A mudan�ca do controlador(dos estados discretos) acontece ao de�nir os conjuntos chaveados S1;2 e S2;1 6. O diagrama de transi�c~ao deestados neste caso �e dado pela �gura 8.2.q2q1 S1;2S2;1Figura 8.2: Chaveamento dos conjuntos para o problema do pendulo invertidoDiversos m�etodos de projeto de como alocar tais conjuntos s~ao propostos em [80].Sistema ChaveadoNeste caso um sistema chaveado �e dado pelo sistema h��brido linear e autonomo_x = Aqx; q 2 f1; 2gcom A1 = � 1 �10010 �1 � e A2 = � 1 10�100 1 � :Os conjuntos que de�nem os chaveamentos s~aoS1;2 = fx 2 R2 : x2 = 2x1ge S2;1 = fx 2 R2 : x2 = �10x1g:As trajet�orias do sistema s~ao dadas na �gura 8.3. Neste caso os conjuntos chaveados s~ao as fronteiras daparti�c~ao do espa�co de estados (da vari�avel cont��nua) que eles determinam.

Figura 8.3: Trajet�oria de um sistema chaveado5Sem perda de generalidade consideramos apenas o angulo percorrido pelo pendulo entre 0 e 2�. Fora desse intervalo temosin�nitos pontos de equil��brio que s~ao x1 = 2�n; x2 = 0 e x1 = ��(+2�n); x2 = 0 e n = 0; 1; : : : .6Estes conjuntos descrevem como s~ao feitas as mudan�cas das vari�aveis discretas.

8.3. ESTABILIDADE 1138.3 EstabilidadeNesta se�c~ao �e aplicado o m�etodo direto de Lyapunov para veri�ca�c~ao da estabilidade de sistemas h��bridosautonomos da forma dada na equa�c~ao (8.3).Exemplo 1O sistema chaveado _x(t) = � A1x; se x 2 X1A2x; se x 2 X2 (8.10)com X1 = f(x1; x2) : x1 � 0g; X2 = f(x1; x2) : x1 � 0ge A1 = � �5 �4�1 �2 � ; A2 = � �2 �420 �2 � :�e um sistema h��brido est�avel. Observe na �gura 8.4 o comportamento assint�otico da trajet�oria.Neste caso n~ao h�a uma fun�c~ao de Lyapunov de tipo quadr�atica comum ao sistema que mostre a estabilidade.Metodologias alternativas demonstram a estabilidade deste sistema [89, 81].

X21X1-224

00

-4 -1

x2

2 x1Figura 8.4: Sistema h��brido est�avel.Exemplo 2Dado o sistema chaveado _x(t) = Ai(t)x(t)com i(t) = � 2; se i(t�) = 1 e s12(x) = 01; se i(t�) = 2 e s21(x) = 0A1 = � �1 �10010 �1 � ; A2 = � �1 10�100 �1 � :

114 CAP�ITULO 8. AN�ALISE DE ESTABILIDADE DE UMA CLASSE DE SISTEMAS H�IBRIDOSe s12(x) = x2 + 0:2x1; s21(x) = 5x1 � x2:Na �gura 8.5 se exibe a trajet�oria de um sistema h��brido com campos est�aveis (os autovalores s~ao iguais a�1� jp1000), mas o sistema h��brido n~ao �e est�avel. Isto mostra que n~ao �e su�ciente que os campos sejamest�aveis para que o sistema seja est�avel [80, 90, 91].

Figura 8.5: Campo de sistemas est�aveis: o sistema h��brido �e inst�avel.8.4 Estabilidade de Sistemas H��bridos baseados em LMI'sNesta se�c~ao, apresentam-se diversos enfoques, recentes na literatura, para an�alise de estabilidade de sistemash��bridos na qual a abordagem utilizada �e a do \framework" LMI.Tamb�em, nesta se�c~ao, ser~ao apresentadas duas carateriza�c~oes segundo alguns pesquisadores nesta �area uti-lizando esta t�ecnica. Sem perda de generalidade iremos supor que a origem �e um ponto de equil��brio dosistema, independente do valor de estado discreto.Carateriza�c~oes da Fun�c~ao de LyapunovComo mostrado no exemplo anterior, algumas vezes n~ao �e poss��vel encontrar uma fun�c~ao de Lyapunov de tipoquadr�atico que garanta estabilidade do sistema. Metodologias alternativas ser~ao discutidas nesta se�c~ao pararesolver este problema: procurando fun�c~oes de Lyapunov quadr�aticas por partes [80] ou procurando umafun�c~ao de Lyapunov com parametros dependentes do estado usando o conceito de estabilidade bi-quadr�atica[75, 81].8.4.1 Fun�c~oes de Lyapunov Quadr�aticas por PartesPettersson, 1999 7, trabalha com sistemas h��bridos autonomos da forma (8.3).As mudan�cas dos estados discretos s~ao dadas pelos conjuntos chaveadosSk;j = fx 2 Rn : qj = �(x; qk)g para k; j 2 IN (8.11)onde Ik �e o conjunto dos ��ndices f1; � � � ; kg.7Outras referencias deste autor s~ao [73], [92].

8.4. ESTABILIDADE DE SISTEMAS H�IBRIDOS BASEADOS EM LMI'S 115Para an�alise de estabilidade destes sistemas se assume que campo vetorial f(x; q) �e cont��nuo em x para cadaestado discreto q e satisfazem a condi�c~ao de Lipschtiz em x para cada q.Particionamento do espa�co de estados h��bridosSer~ao feitas algumas considera�c~oes para o particionamento do espa�co de estados h��bridos.Dado � H, �e particionado em l regi~oes disjuntas, isto �e, = 1 [2 [ � � � [ l e i \ j = ;; i 6= j.Considera-se o conjunto de estados cont��nuosx;qi = fx 2 Rn : (x; qi) 2 gcom isto = f(x; q) 2 x;qi � fqig; qi 2 1; � � � ; lg.Dado � > 0 e uma trajet�oria x(t) que satisfa�ca (8.3) para algum valor inicial em H0 de�nimos as regi~oes defronteira �i;r; i; r 2 IN (i 6= r) segundo�i;r = f(x; q) 2 : 9t > 0 tal que (x(t� �); q(t� �)) 2 i e(x(t + �); q(t+ �)) 2 r; quando �! 0gdeterminado pelo conjunto de pontos das trajet�orias que passam de i a r.Considerando xi como o conjunto de estados continuos da i-�esima parti�c~ao de , ent~ao xi e xr s~ao duasregi~oes vizinhas se a fronteira �i;r 6= ;.De forma similar, o conjunto �xi;r denotar�a o conjunto de estados cont��nuos de �i;r.Regi~oes vizinhas, no espaco de estados continuos, s~ao desenhadas na �gura 8.6.xr

xq xl�xlq �xrl�xqrFigura 8.6: Regi~oes vizinhas, no espa�co de estados cont��nuo.A fun�c~ao de LyapunovSeja vi : xi ! R; i 2 Il8, vi(x) uma fun�c~ao cont��nua que mede a energia em i. A energia total do sistema�e medida por v(x) = vi(x); (x; q) 2 i (8.12)esta fun�c~ao �e no geral descont��nua nas regi~oes de fronteira �i;r, ou seja v(x) e uma fun�c~ao cont��nua porpartes.8 �e a clausura do conjunto ,isto �e, o menor conjunto fechado contendo .

116 CAP�ITULO 8. AN�ALISE DE ESTABILIDADE DE UMA CLASSE DE SISTEMAS H�IBRIDOSSe assume que cada vi(x) seja continuamente diferenci�avel em xi ; i 2 Il assim_vi(x) = @vi(x)@x f(x; q); (x; q) 2 i (8.13)tamb�em 9(x; q) 2 �i;r tal que vi(x) e vr(x) est~ao de�nidas quando a trajet�oria vai de i a r em (x; q).Com as condi�c~oes estabelecidas anteriormente podem ser formulados os seguintes teoremas de estabilidade.Teorema 8.4.1 (Estabilidade)Se existem fun�c~oes vi : xi ! R; i 2 Il e fun�c~oes � : R+ ! R+ e � : R+ ! R+ de classe K tais quei. �(kxk) � vi(x) � �(kxk); 8x 2 xi ; i 2 Il,ii. _vi(x) � 0; 8(x; q) 2 xi ; i 2 Il,iii. vr(x) � vi(x); x 2 �xi;r; (i; r) 2 I�. 9ent~ao o ponto de equil��brio x = 0 �e est�avel no sentido de Lyapunov. 222ProvaVeja [80]. 444Observe que se x �e est�avel e se = Rn e �(kxk)!1 quando kxk ! 1 ent~ao x e globalmente est�avel.Teorema 8.4.2 (Estabilidade Assint�otica)Se existem fun�c~oes vi : xi ! R; i 2 Il e fun�c~oes � : R+ ! R+ , � : R+ ! R+ e : R+ ! R+ de classe Ktais quei. �(kxk) � vi(x) � �(kxk); 8x 2 xi ; i 2 Il,ii. _vi(x) � � (kxk); 8(x; q) 2 xi ; i 2 Il,iii. vr(x) � vi(x); x 2 �xi;r; (i; r) 2 I�.ent~ao o ponto de equil��brio x = 0 �e assintoticamente est�avel no sentido de Lyapunov. 222ProvaVeja [80]. 4449I� = f(i; r) : �i;r 6= ;g.

8.4. ESTABILIDADE DE SISTEMAS H�IBRIDOS BASEADOS EM LMI'S 117Observe que se x �e assintoticamente est�avel e se = Rn e �(kxk) ! 1 quando kxk ! 1 ent~ao x �eglobalmente assintoticamente est�avel.Partindo dos teoremas de estabilidade acima propostos, considerando as regi~oes do sistema h��brido e fazendouso do S-procedure, podem ser formuladas condi�c~oes su�cientes usando LMIs que resolvam o problema deestabilidade do sistema h��brido proposto.Neste sentido as fun�c~oes de Lyapunov candidatas s~ao formas quadr�aticas do tipovi(x) = �i + p0ix+ x0PixOnde a matriz Pi, o vetor pi, e a constante �i s~ao as vari�aveis de decis~ao a serem procuradas para cada i.Nota 8.4.1 Todos os teoremas propostos acima acabam sendo equivalentes �a procura de uma fun�c~ao deLyapunov de car�ater global toda vez que se considere o espa�co de estados h��bridos = 1 . 222ExemploDado o sistema chaveado _x(t) = Aq(t)x(t)com q(t) = � 2; se q(t�) = 1 e s12(x) = 01; se q(t�) = 2 e s21(x) = 0A1 = � 1 �10010 1 � ; A2 = � 1 10�100 1 � :e s12(x) = x2 + x1; s21(x) = x2:A �gura 8.7 mostra a trajet�oria de um sistema h��brido com campos inst�aveis (os autovalores s~ao iguais a1� jp1000). Segundo [80] 10 n~ao �e poss��vel encontrar uma FL11 quadr�atica comum para o sistema h��brido.N~ao entanto, o sistema h��brido �e globalmente exponencialmente est�avel. Para mostrar isto, o autor procurouuma FL quadr�atica por partes particionando o espa�co de estados em oito regi~oes, todas contendo a origem.Em cada regi~ao se encontrou uma FL local satisfazendo as condi�c~oes de estabilidade. Neste caso o sistemah��brido �e est�avel.8.4.2 Fun�c~ao de Lyapunov dependente do estadoO esfor�co computacional envolvido quando se faz a procura de uma fun�c~ao de Lyapunov por partes e obvia-mente maior �a procura de uma fun�c~ao comum. O intuito desta se�c~ao �e apresentar a an�alise de estabilidadede sistemas chaveados com uma abordagem diferente e menos conservativa �aquela que procura uma fun�c~aode Lyapunov de tipo quadr�atica. A abordagem fornecida nesta se�c~ao se encontra detalhada em [81] e apenasfornceremos os passos da escolha da vari�aveis l�ogicas que ser~ao inseridas no enunciado do teorema que mostrao resultado principal.Dado o sistemas chaveado: _x(t) = Aix(t); i 2 f1; 2; � � � ; ng; t > 0; (8.14)10Lema 3.111FL: fun�c~ao de Lyapunov

118 CAP�ITULO 8. AN�ALISE DE ESTABILIDADE DE UMA CLASSE DE SISTEMAS H�IBRIDOS

Figura 8.7: Campo de sistemas inst�aveis: o sistema h��brido �e est�avel.onde x(t) 2 Rnx �e a componente cont��nua dos estados, assumindo valores nas regi~oesXi � Rnx . Assumiremosque Rnx = [Xi e que Xi sejam conjuntos cujos interiores 12 s~ao disjuntos. Assumiremos tamb�em que sex(t�) 2 Xi \Xj ent~ao x(t) =2 Xi \Xj .Suporemos que (8.14) seja um sistema autonomo cuja vari�avel cont��nua x(t) assume valores nas regi~oes Xi.A vari�avel discreta i assume valores no subconjunto dos inteiros f1; � � � ; ng e ser�a associada a um conjuntode vari�aveis l�ogicas �i dadas no vetor � = [�1; �2; � � � ; �n]0 2 Rn de modo que �i 2 f0; 1g; i 2 f1; � � � ; nge �i = 1 se x 2 Xi. Assumiremos que Pni=1 �i = 1, ou seja, se x 2 Xi ent~ao �i = 1 e �j = 0 para todoj 6= i; j 2 f1; � � � ; ng .Por conveniencia, iremos rescrever (8.14) na forma:_x = (Pni=1Ai�i) x; x 2 Rnx ; � 2 ~B�;~B� = f� 2 Rn : 8<: �i = 1 se � x(t) 2 Xix(t�) 2 Xi�i = 0; caso contr�ario 9=; (8.15)Seja Bx � Rnx um politopo convexo que contenha a origem e represente os valores de interesse da vari�avel deestado x(t) para �ns de an�alise de estabilidade. Bx pode ser interpretado como a regi~ao de atra�c~ao desejadado ponto de equil��brio [74].Note que ~B� de�ne um conjunto formado pelos n valores que a vari�avel � pode assumir. Consideraremostamb�em o seguinte politopoB� = Co( ~B�) , (� : � = nXi=1 �i�i; nXi=1 �i = 1; �i � 0; �i 2 ~B�) (8.16)cujos v�ertices s~ao os elementos de ~B�. Podemos ent~ao estabelecer a seguinte rela�c~ao:� 2 ~B� se � 2 B� e ��0 = diag(�i); (8.17)onde �0 = [�1; � � � ; �n]:De�niremos B = Bx �B� como sendo o meta politopo formado pela combina�c~ao dos v�ertices de Bx e B� eusaremos a nota�c~ao (x; �) 2 B para indicar que x 2 Bx e � 2 B�.12O interior de um conjunto exclui a fronteira dele.

8.4. ESTABILIDADE DE SISTEMAS H�IBRIDOS BASEADOS EM LMI'S 119A dinamica do chaveamento aqui estudada ser�a do tipo:Xi = fx : x0�ik(x)x � 0; k = 1; � � � ;mig; i = 1; � � � ; n (8.18)onde �ik(x) 2 Rnx�nx s~ao fun�c~oes a�ns conhecidas.A estabilidade do sistema (8.15) ser�a estudada com o aux��lio da seguinte de�ni�c~ao de estabilidade.De�ni�c~ao 8.4.1 (Estabilidade Bi-Quadr�atica)Seja Bx � Rnx um dado politopo que de�ne uma vizinhan�ca da origem e ~B� o conjunto em (8.15).A origem do sistema (8.15) �e dita ser localmente bi-quadraticamente est�avel se existir uma fun�c~ao v(x) =x0 P(x) x, com P(x) quadr�atica em x, que satisfa�ca as seguintes condi�c~oes x 2 Bx; x 6= 0; � 2 ~B�:� v(x) = x0 P(x) x > 0� _v(x) = x0 _P(x)x + x0(Pni=1 Ai�i)0P(x)x + x0P(x)(Pni=1 Ai�i)x < 0No caso a�rmativo, v(x) = x0 P(x) x �e dito ser uma fun�c~ao local de Lyapunov para a origem do sistema(8.15) . 222A de�ni�c~ao acima estende para o caso de sistemas chaveados (8.15) a no�c~ao de estabilidade Bi-quadr�aticaapresentada em [75] no contexto de sistemas n~ao lineares incertos, e implica em estabilidade assint�otica daorigem do sistema n~ao linear chaveado (8.15). Seja �0 uma dada matriz a�m em x, escrita na forma�0 = nxXi=1 Tixi 2 Rn1�nx (8.19)onde Ti 2 Rn1�nx �e uma matriz constante de mesma dimens~ao de �0 e xi �e a i-�esima componente do vetorx. Com ri �e a i-�esima linha da matriz Inx de�nimos a matriz �x�x = nxXi=1 Tixri (8.20)Na continua�c~ao de�niremos vari�aveis auxiliares �i. Com �0 a a vari�avel �1 e com �i de (8.15) as vari�aveis�i+1 : �1 = �0x 2 Rn1 (8.21)�i+1 = �i x; i = 1; 2; � � � ; n� 1 (8.22)Ent~ao de�nimos o vetor � de dimens~ao n� = nnx + n1 como sendo:� = [x �1 �2 � � ��n]0 = [x �0x �1 x � � � �n�1 x]0 2 Rn� (8.23)A partir de (8.17), obtemos que ��0 � diag(�i) = 0. Considerando (8.23) e lembrando que �n = 1�Pn�1i=1 �iestas condi�c~oes �cam na forma:(�i � 1)�ix = (�i � 1)�i+1 = 0; 8i 2 f1; 2; � � � ; n� 1g�i�jx = �i �j+1 = 0;8 x 8i 6= j; i; j 2 f1; 2; � � � ; n� 1g: (8.24)

120 CAP�ITULO 8. AN�ALISE DE ESTABILIDADE DE UMA CLASSE DE SISTEMAS H�IBRIDOSAs express~oes (8.22) e (8.24) s~ao a�ns em � e �, estas podem ser rescritas da forma compacta(�) � = 0; (�) 2 Rn�n� (8.25)com (�) uma matriz a�m em � e n = n(n � 1)nx. Tamb�em � 2 B� junto com (�)� = 0 implica narealidade � 2 ~B�.Com as fun�c~oes �ik(x) de (8.18) construimos a matriz diagonal por blocos �(x) 2 Rn��n� , tal que:�(x) = diagfOnx ; On1 ; ~�g+E0�nE;E = [Inx ; Onx�n1 ; �Inx ; � � � ;�Inx ] 2 Rnx�n� ;~� = diagf�1; � � � ;�n�1g 2 R(n�1)nx�(n�1)nx ;�i = Pmik=1 �ik�ik 2 Rnx�nx ; i = 1; � � � ; n (8.26)onde �ik s~ao escalares positivos a serem determinados posteriormente.A seguir apresentamos o resultado principal deste cap��tulo.Teorema 8.4.3 (Estabilidade Bi-quadr�atica de Sistemas Chaveados)Considere as matrizes de�nidas em (8.19), (8.20), (8.25), (8.26) e de�na:Aa1 = � An 0(�0 +�x)An 0 � ;Aa2 = � A1 �An � � � An�1 �An(�0 +�x)(A1 �An) � � � (�0 +�x)(An�1 �An) � ;Ch = 26664 x2 �x1 0 � � � 00 x3 �x2 � � � 0... ... ... � � � ...0 0 � � � xnx �xnx�1 37775 ;~ = 24 Ch 0(nx�1)�(n��nx)�0 � In1 0n1�nx(n�1) 35 ; C = � Ch 0�0 �In1 � ;Seja Bx � Rnx um dado politopo que de�ne uma vizinhan�ca da origem e B� o politopo de�nido em (8.16).O sistema dado por (8.15) �e localmente bi-quadraticamente est�avel se existem matrizes P;L;M com as mes-mas dimens~oes de Aa1 ; C 0; ~0, respectivamente, e escalares positivos �ik de (8.26) tais que sejam satisfeitasas seguintes LMIs nos v�ertices do meta-politopo B = Bx �B�:P + LC + C 0L0 > 0; P = P 0 (8.27)� A0a1P + PAa1 PAa2A0a2P 0 �+M ~ + ~0M 0 +� < 0: (8.28)No caso a�rmativo, a fun�c~ao v(x) = x0P(x)x com P(x) indicado abaixo �e uma fun�c~ao de Lyapunov para osistema (8.15). P(x) = � Inx�0 �0 P � Inx�0 � : (8.29)222

8.4. ESTABILIDADE DE SISTEMAS H�IBRIDOS BASEADOS EM LMI'S 121ProvaVeja [81]. 444O exemplo seguinte mostra o resultado do teorema 8.4.3. Neste caso, propor uma fun�c~ao de Lyapunovquadr�atica como candidata deu um resultado n~ao f�activel. Com isto, a aplica�c~ao do teorema resulta numaabordagem menos conservativa.ExemploConsidere o sistema chaveado (8.10). Determine a estabilidade da origem deste sistema utilizando umafun�c~ao de Lyapunov do tipo v(x) = x0 P(x)x, onde a matriz P(x) �e quadr�atica em x.) Solu�c~ao:O sistema (8.10) pode ser reescrito em termos da representa�c~ao (8.15) segundo _x = �1A1x + �2A2x, onde�1 e �2 = 1� �1 s~ao as vari�aveis l�ogicas.A matriz �0 desempenha um importante papel na fun�c~ao de Lyapunov bi-quadr�atica e pode ser vista comoum grau de liberdade para diminuir a conservatividade dos resultados. Em particular, vamos considerar aseguinte escolha desta matriz.�0 = � x1I2x2I2 � , e consequentemente n1 = 4Com a de�ni�c~ao acima da matriz �0 e (8.23), obtemos os seguintes vetores auxiliares �i.�1 = �0 x = � x21 x1x2 x1x2 x22 �0 e �2 = �1xConsiderando as rela�c~oes (8.24) construimos a seguinte matriz . = � 02 02�4 (�1 � 1)I2�1I2 02�4 �I2 �As regi~oes Xi de (8.18) podem ser caracterizadas pelas fun�c~oes:x0�11(x)x � 0 ) �11(x) = � �x1 00 �x1 � e x0�21(x)x � 0 ) �21(x) = � x1 00 x1 � :Logo, a matriz � �e construida da seguinte forma.�1 = �11�11(x); �2 = �21�21(x); e ~� = �1 ! � = diagf02; 04; ~�g + E0�2Eonde diagf02; 04; ~�g = �11 � 06 06�202�6 �x1I2 � e E0 �2E = �21 24 x1I2 02�4 �x1I204�2 04 04�2�x1I2 02�4 x1I2 35 :Considere que o politopo Bx �e de�nido pelo seguinte conjunto de v�ertices.�� ��� � ; � �� � ; � ��� � ; � ���� ��onde � �e um dado escalar positivo.

122 CAP�ITULO 8. AN�ALISE DE ESTABILIDADE DE UMA CLASSE DE SISTEMAS H�IBRIDOSA partir de (8.16) obtemos o politopo B� = Co�� 01 � ; � 10 ��.Aplicando as condi�c~oes acima ao teorema (8.4.3), para � = 100, obtemos a matriz:P = 26666664 7279067:9 434435:48 22280:18 657:259 7500:484 �554:009434435:48 1506838:5 6199:410 5120:643 1763:322 3005:40822280:18 6199:410 781:2508 414:7109 �562:9214 24:38704657:2597 5120:643 414:7109 1: �98:67125 25:637137500:484 1763:322 �562:9214 �98:67125 367:0776 �56:06310�554:009 3005:408 24:38704 25:63713 �56:06310 30:4299437777775 :Logo, a fun�c~ao v(x) = x0P(x)x, com P(x) dado por (8.29), �e uma fun�c~ao de Lyapunov local para a origemdo sistema.8.5 Sum�arioNeste cap��tulo foram colocados os conceitos fundamentais referentes a sistemas h��bridos e sistemas chaveados.Neste sentido alguns exemplos foram exibidos. Tamb�em estudamos a estabilidade de sistemas h��bridos usandoo m�etodo direto de Lyapunov.Para fazer an�alise destes sistemas foram enfocadas duas metodologias: uma usa func~oes de Lyapunov qua-dr�atica por partes e a outra usa uma fun�c~ao de Lyapunov comum. Para exempli�car estas metodologiasforam usados sistemas chaveados do tipo _x = Aix onde Ai s~ao matrizes constantes. A primeira metodo-logia fornece a vantagem de poder encontrar uma fun�c~ao de Lyapunov quadr�atica por partes quando n~ao�e possivel encontrar uma fun�c~ao de Lyapunov quadr�atica comum ao sistema. Neste caso a limitante �e oesfor�co computacional envolvido na procura destas fun�c~oes em vista de se ter um maior n�umero de vari�aveisde decis~ao.Por outro lado a segunda abordagem apresenta ser menos conservativa para o mesmo problema h�a umn�umero menor de vari�aveis de decisao a procurar e a fun�c~ao de Lyapunov usada diferentemente de [78], [89]e [80] depende dos estados. Neste enfoque os sistemas dados s~ao colocados na forma _x = A(�)x, onde x�e o estado cont��nuo e � um vetor de vari�aves l�ogicas associadas aos chaveamentos do modelo. O espa�co deestados �e particionado em regi~oes Xi e para cada regi~ao Xi A(�) assume valores distintos, indicando que oschaveamentos do modelo dependem apenas das parti�c~oes do estado cont��nuo.Neste caso a fun�c~ao de Lyapunov usada foi do tipo v(x) = x0 P(x) x onde P(x) �e quadr�atica em x e n~aoh�a factibilidade da solu�c~ao quando se procurou uma fun�c~ao de Lyapunov quadr�atica.Com este resultado mostramos que a procura de uma fun�c~ao de Lyapunov bi-quadr�atica para sistemaschaveados apresenta, de fato, uma abordagem menos conservativa.

Cap��tulo 9Problema de Filtragem RobustaKarina A. Barbosa9.1 Introdu�c~aoEm um sistema de controle, nem sempre pode-se ter acesso a todos os estados para o processo de reali-menta�c~ao, por isso �e necess�ario em muitos casos, para satisfazer os requisitos de performance desej�aveis noprojeto, estimar o estado real atrav�es de um �ltro dinamico.O processo da busca destes �ltros para sistema LTI vem sendo amplamente explorados, desde a publica�c~aodos resultados de Luenberger, no caso determin��stico e de Kalman, no caso estoc�astico. No entanto, parasistemas incertos foi apenas no �nal dos anos 90 que surgiram resultados para o projeto de �ltros robustos,que garantam que o estado estimado convirja para o estado original assintoticamente.Neste cap��tulo vamos apresentar os resultados obtidos por [93] e [94], que abordam o problema de �ltragemrobusta atrav�es de Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs). Nestas abordagens busca-se encontrar um �ltrorobusto �otimo para um sistema incerto, de tal forma que a variancia do erro de estima�c~ao seja minimizadapor um limitante superior.A caracter��stica em comum destas abordagens �e conseguir uma formula�c~ao convexa para o problema acimaatrav�es da utiliza�c~ao de transforma�c~oes de vari�aveis.O cap��tulo tem a seguinte estrutura. Na se�c~ao 9.2 vamos fazer uma breve revis~ao da formula�c~ao proposta porLuenberger e Kalman para a solu�c~ao do problema de �ltragem para sistemas LTI. Na se�c~ao 9.3 formula-se oproblema de �ltragem robusta. Na se�c~ao 9.3.1 apresentamos os resultados apresentados na referencia [93]. Oresultado formulado em [94] ser�a visto em 9.3.2. Em 9.4 tem-se uma aplica�c~ao dos resultados apresentados.Exerc��cios complementares s~ao dados na se�c~ao 9.5 e na se�c~ao 9.6 tem-se algumas referencias para o problemade �ltragem.9.2 M�etodos Cl�assicosNesta se�c~ao �e apresentada uma pequena revis~ao da formula�c~ao dada por Luenberger e por Kalman para abusca de um �ltro dinamico para a estimativa do estado real de um sistema LTI.123

124 CAP�ITULO 9. PROBLEMA DE FILTRAGEM ROBUSTALuenberger, foi o primeiro a utilizar o termo observadores dinamicos, para identi�car um sistema cuja asvari�aveis de estado s~ao uma estimativa das vari�aveis reais de um outro sistema. Ele mostrou que pode-seprojetar o observador de tal forma que o erro entre o estado atual e o estado do observador tenda a zero omais r�apido que se deseja.J�a no resultado proposto por Kalman busca-se uma solu�c~ao para o projeto �ltro �otimo de sistema comentradas estoc�asticas.Apesar do resultado de Kalman ser anterior ao resultado de Luenberger, apresenta-se primeiro o resultadoproposto por Luenberger, j�a que a solu�c~ao proposta por Kalman tem a mesma estrutura do observador deLuenberger. Nas pr�oximas subse�c~oes apresenta-se a formula�c~ao matem�atica para estes resultados.9.2.1 Observadores de LuenbergerConsidere o seguinte sistema Dinamico: _x = Ax+Buuy = Cx (9.1)onde x 2 Rn �e o vetor de estados, u 2 Rnu �e a vari�avel de controle e y 2 Rp �e a sa��da do sistema. Nemsempre tem-se acesso a todos os estados de x, o que pode ser as vezes um empecilho para a plena realiza�c~aodo projeto de controle, com isso �e comum se trabalhar apenas com uma estimativa xf do sinal x.Luenberger identi�cou que uma maneira e�ciente de se obter uma boa estimativa xf (t) de x(t), seria consi-derar que a xf fosse o estado de um sistema dinamico dado por:_xf = Afxf + Bfu+Kfy (9.2)e que o erro e = x� xf entre os estados fosse pequeno.Construindo a equa�c~ao diferencial do erro com (9.1) e (9.2) tem-se_e = _x� _xf_e = Ax+Bu� (Afxf +Bfu+Kfy)_e = (A�KfC)x�Afxf + (Bu �Bf )u_e = (A�KfC �Af )x+Afe+ (Bu �Bf )u (9.3)Como o erro deve convergir assintoticamente para zero independente de x e u, os coe�cientes de x e u devemser zero, com isso Af = A�KfCBf = Bu (9.4)assim, o erro de estima�c~ao �ca: _e = Afeque converge a zero se a matriz Af for est�avel. Como Af depende das matrizes A e C que s~ao �xas, a �unicavari�avel livre agora �e matriz de ganhos Kf que deve ser projetada de tal forma que se garanta que o errotenda assintoticamente para zero, desde que o par (A;C) seja detect�avel. A equa�c~ao dinamica do �ltro ser�adada por:

9.2. M�ETODOS CL�ASSICOS 125_xf = (A�KfC)xf +Bu+Kfy_xf = Axf +Bu+Kf (y � Cxf )_xf = Axf +Bu+KfCe (9.5)O problema �e como projetar a matriz de ganho Kf de maneira que o erro tenda a zero assintoticamente.Note que este �e um problema dual ao problema de realimenta�c~ao de estado e pode ser resolvido atrav�es dealgoritmos j�a existentes, como aloca�c~ao de p�olos. Para mais detalhes sobre observadores de Luenberger veja[95].A representa�c~ao por diagrama de blocos de um observador linear e dada na �gura (9.1).R

y = Cxfxf-

ury B

ACK estado estimado

Figura 9.1: Diagrama de blocos de um observador linearPerceba tamb�em que o �ltro depende diretamente das matrizes do sistema original (9.1), isso impossibilitaa considera�c~ao de que o sistema seja incerto. Por isso a busca de novas abordagens para o projeto de �ltrospara sistemas incertos tem sido foco de muitos projetos de pesquisa.9.2.2 Filtro de KalmanNo �ltro de Kalman busca-se estimar as vari�aveis de estado de um sistema LTI sujeito a perturba�c~oesestoc�asticas. O problema a ser tratado neste caso �e descrito a seguir.Considere o sistema dinamico _x = Ax+Buu+Bww x(0) = x0y = Cx+ v (9.6)onde u �e o vetor de entradas, y �e a sa��da observ�avel, e v e w s~ao processos de ru��do branco com m�edia nulae variancias dadas por: E[vv0] = V �(t);E[ww0] =W�(t)E[vw0] = S�(t)sendo �(t) um impulso na origem, V , W e S s~ao matrizes quadradas constantes com V invers��vel. Note que,quando S = 0, n~ao existe uma correla�c~ao direta entre os sinais de entrada v e w e que eles s~ao independentes,ou seja, E[vw0] = 0. Suponha tamb�em que o estado inicial de (9.6) �e uma vari�avel aleat�oria de m�edia nula

126 CAP�ITULO 9. PROBLEMA DE FILTRAGEM ROBUSTAe de matriz de covariancia P0, sendo n~ao correlacionado com v e w. O problema, ent~ao, �e encontrar oestimador de estados que minimiza a variancia do erro de estima�c~ao.A solu�c~ao proposta por Kalman e Buci �e que o estimador de estados �otimo �e um observador e pode assimser expresso como _xf = Axf +Bu+Kf (y � Cxf ) (9.7)onde agora a matriz Kf �e a matriz de ganho que deve ser escolhida de tal forma que haja uma minimiza�c~aoda variancia do erro de estima�c~ao.O problema agora �e encontrar o valor do ganho Kf de tal forma que o observador (9.7) seja o observador�otimo. Como �e um observador pode-se proceder de maneira semelhante ao caso de Luenberger, ent~aode�nindo o erro como e = x� xf , a dinamica ser�a dada por:_e = Ax+Bww �Axf �Kf (Cx+ v � Cxf )= (A+KfC)e+Bww �Kfv (9.8)Kalman mostrou que a matrizKf que minimiza a variancia do erro de estima�c~ao �e obtida a partir da equa�c~aode Riccati _P = (A� FSV �1C)P + P (A� FSV �1C)0 � PC 0V �1CP +Bw(W � SV �1S0)B0wP (0) = P0 (9.9)onde Kf = (PC 0 + FX)W�1.No caso de w e v n~ao serem correlacionados, ent~ao tem-se que S = 0, e neste caso obt�em-se_P = AP + PA0 � PC 0V �1CP +BwWB0w (9.10)com Kf = PC 0V �1.A prova deste resultado pode ser encontrada no cap��tulo sobre o �ltro de Kalman em [8].A equa�c~ao de Riccati (9.9), ou (9.10) �e v�alida para um intervalo de tempo �nito. Quando t!1 a solu�c~aopara a estimativa de x �e dada pelo �ltro estacion�ario de Kalman transformando a equa�c~ao (9.9) na Equa�c~aoAlg�ebrica de Riccati(ARE).(A� FSV �1C)P + P (A� FSV �1C)0 � PC 0V �1CP +Bw(W � SV �1S0)B0w = 0 (9.11)�E poss��vel, tamb�em, buscar uma solu�c~ao para este problema atrav�es da solu�c~ao de um problema de otimiza�c~aoconvexo, via formula�c~ao LMI. Este resultado pode ser visto, por exemplo em [93], e garante que se as seguintescondi�c~oes estiverem satisfeitas para N , W e Y .minN;W;Y Tr[N ]; (9.12)� N B0wW + Y 0WBw + Y W � � 0; W > 0; (9.13)A0W +WA+ C 0Y 0 + Y C + C 0zCz < 0: (9.14)o ganho do �ltro �otimo �e dado por Kf = �W�1Y .O resultado apresentado por Kalman garante a obten�c~ao do �ltro �otimo para sistemas LTI. No caso desistemas incertos, como as matrizes do �ltro de Kalman s~ao projetadas em fun�c~ao das matrizes do sistemaoriginal, tem-se novamente a di�culdade apresentada no caso do �ltro de Luenberger. A seguir, ser�a apre-sentado duas abordagens alternativas para a solu�c~ao deste problema, ou seja, o projeto de �ltros �otimos parasistemas incertos.

9.3. MODELAGEM DO PROBLEMA 1279.3 Modelagem do problemaEstamos na verdade preocupados em estimar o estado de um sistema incerto. Nesta se�c~ao vamos ent~aode�nir o problema de �ltragem robusta, para tal considere o sistema_x = Ax+Bww; x(0) = x0y = Cx+Dwz = Czx (9.15)onde x 2 Rn �e o vetor de estados, x(0) �e uma vari�avel aleat�oria, w 2 Rnw �e uma entrada externa, no casoum sinal de ru��do branco com m�edia nula e variancia conhecida, z 2 Rnz representa o sinal a ser estimadoe y 2 Rny �e a sa��da medida. A matriz Cz �e dada e as matrizes A; Bw; C; D; s~ao incertas. Assume-se quea incertezas est~ao descritas na forma polit�opica, tal queS := � A BwC D � (9.16)perten�ca a um dado politopo D descrito porD := (S : S = nsXi=1 �iSi ; �i � 0; nsXi=1 �i = 1) (9.17)Observe que a classe de sistemas (9.6) onde os sinais de entrada e ru��do de medida s~ao distintos, �e um casoparticular do sistema (9.15). Para veri�car isto, note que, basta fazer w(t) = [w01 w02]0 e matrizes Bw e Diguais �a [Bw 0] e [0 D], respectivamente.Busca-se projetar um �ltro robusto �otimo pertencente ao conjunto C, onde C �e a classe de todos os operadoreslineares invariantes no tempo com realiza�c~ao de estados m��nima da forma:_xf = Afxf +Kfy; xf (0) = 0zf = Cfxf (9.18)onde xf 2 Rnf �e o estado estimado e zf 2 Rnz �e a sa��da estimada, e nf �e a ordem do �ltro, de tal formaque o erro de estima�c~ao dado por e = z � zf (9.19)tenha a variancia limitada superiormente por p(F). Nesta nota�c~ao a estimativa de z �e dado por z = Fy, ondeF �e um operador linear causal que minimiza o limitante superior p(F). Formalmente tem-se que satisfazero seguinte problema de otimiza�c~ao:PROBLEMA 1: minF2C p(F) (9.20)supS2DE[e0e] � p(F) (9.21)onde E[:] �e o operador esperan�ca matem�atica.

128 CAP�ITULO 9. PROBLEMA DE FILTRAGEM ROBUSTA���Incorporando o �ltro (9.18) ao sistema (9.15) juntamente com a dinamica do erro (9.19) e considerandoxa = � x0 x0f �0, pode-se construir o seguinte sistema aumentado:_xa = Aaxa +Baw; xa(0) = 0e = Caxa (9.22)onde Aa = � A 0KfC Af � ; Ba = � BwKfD � ;Ca = � Cz �Cf � (9.23)O problema, ent~ao, �e como encontrar o valor do ��ndice p(F) para minimizar a variancia do erro de estima�c~aoem (9.22).Nesta se�c~ao, assume-se que sinal de entrada w �e do tipo ru��do branco, m�edia nula e variancia dada porE[ww0] = I�. Um limitante superior para a variancia do erro pode ser obtido com as mesmas t�ecnicasapresentadas no Cap��tulo 2, para o c�alculo da norma H2.Perceba que, considerando o sistema (9.22) a variancia do erro de estima�c~ao quando t ) 1 satisfaz ent~aoas seguintes condi�c~oes:� Gramiano de Controlabilidade E[e0e] = Tr[CaXC 0a] (9.24)onde X 2 R(n+nf )�(n+nf ) �e uma matriz sim�etrica e n~ao negativa de�nida solu�c~ao da equa�c~ao deLyapunov AaX +XA0a +BaB0a = 0 (9.25)� Gramiano de Observabilidade E[e0e] = Tr[B0aXBa] (9.26)onde X 2 R(n+nf )�(n+nf ) �e uma matriz sim�etrica e n~ao negativa de�nida solu�c~ao da equa�c~ao deLyapunov A0aX +XAa + C 0aCa = 0 (9.27)Observe que os problemas acima podem ser reescritos como um problema de otimiza�c~ao com restri�c~oes dedesigualdades. Sendo assim, estes dois problemas de otimiza�c~ao podem ser convertidos respectivamente em:� Problema 1.1 minP;Af ;Kf ;Cf Tr[CaPC 0a]; (9.28)AaP + PA0a +BaB0a < 0; P > 0:

9.3. MODELAGEM DO PROBLEMA 129� Problema 1.2 minP;Af ;Kf ;Cf Tr[B0aPBa]; (9.29)A0aP + PAa + C 0aCa < 0; P > 0:Note que se existe uma solu�c~ao P para (9.28) ou (9.29), ent~ao o sistema (9.22) �e assintoticamente est�avel eP > X(dada por (9.25) ou (9.27) respectivamente). Al�em disto, a fun�c~ao objetivo acima �e estritamente maiorque a variancia do erro em regime estacion�ario. Assim, como a solu�c~ao �otima para o Problema 1.1(ou 1.2)�e arbitrariamente pr�oxima da solu�c~ao da equa�c~ao de Lyapunov em (9.25) (ou em (9.27)), a diferen�ca entrea fun�c~ao objetivo do Problema 1.1 (ou 1.2) e a variancia do erro estacion�ario pode ser feito arbitrariamentepequena.Se uma solu�c~ao para o Problema 1.1 ou 1.2 for encontrada, tem-se a garantia de que o �ltro (9.18) obtidoser�a ent~ao solu�c~ao �otima para o Problema 1, e o valor de p(F) ser�a dado pela fun�c~ao objetivo do problema,ou seja, p(F) = Tr[CaPC 0a]� � ou p(F) = Tr[B0aPBa]� �, onde � �e uma constante arbitrariamente pequena.A seguir s~ao apresentadas duas abordagens que buscam uma solu�c~ao para os Problemas 1.1 ou 1.2 atrav�esde transforma�c~ao de vari�aveis que tornem a busca dos �ltros robustos �otimos um problema de otimiza�c~aoconvexa. Note que os Problemas 1.1 e 1.2 n~ao s~ao convexos nas vari�aveis de decis~ao.9.3.1 Abordagem 1Esta abordagem foi proposta por Souza e Tro�no [93] e apresenta uma solu�c~ao para a busca de um �ltrorobusto tal que a variancia do erro de estima�c~ao seja minimizada. Para o c�alculo do ��ndice p(F), os autoresutilizam o Gramiano de Observabilidade, ou seja buscam uma solu�c~ao fact��vel para o Problema 1.2.Para colocar o problema de �ltragem 1.2 numa formula�c~ao LMI, �e necess�ario primeiro aplicar o complementode Schur em (9.29), obtendo minN;P;Af ;Kf ;Cf Tr[N ]; (9.30)� N B0aPPBa P � � 0; P > 0; (9.31)� A0aP + PAa C 0aCa �Inz � < 0: (9.32)Note que as restri�c~oes de (9.31) e (9.32) n~ao s~ao convexas nas vari�aveis de decis~ao P;Af ;Kf e Cf . Noentanto, pode-se atrav�es da aplica�c~ao de transforma�c~oes de vari�aveis apropriadas e a introdu�c~ao de novasvari�aveis de decis~ao transformar estas desigualdades em LMIs. Para isso os autores utilizam as seguintestransforma�c~oes de vari�aveis.Supondo que a matriz P solu�c~ao �otima para o Problema 1.2, seja particionada de acordo com Aa, ou seja :P = � P1 P3P 03 P2 � (9.33)onde P1 and P2 s~ao matrizes n�n sim�etricas e positivas de�nidas, e a matriz P3 �e assumida ser n~ao singular1.Com isto constr�oi-se as seguintes matrizes de transforma�c~oesJ1 = 24 In 0 00 P�12 P 03 00 0 Inz 351esta considera�c~ao pode ser feita sem perda de generalidade como �e provado em [93].

130 CAP�ITULO 9. PROBLEMA DE FILTRAGEM ROBUSTAe J1 = 24 In 0 00 In 00 0 P�12 P 03 35que tornam a busca de solu�c~ao para o Problema 1 convexa. A seguir �e reproduzido o teorema para a solu�c~aodo Problema 1.2 via abordagem LMI, para o caso nominal(ns = 1 em D), onde o valor de p(F) �e dado peloTr[N ].Teorema 9.3.1 Considere o sistema (9.15) onde A;Bw; C e D s~ao matrizes conhecidas. O �ltro de ordemcompleta (9.18) que minimiza a variancia do erro assint�otico pode ser obtido em termos do seguinte problemaLMI em MA; P0; P1 2 Rn�n , MK 2 Rn�ny , MC 2 Rnz�n e N 2 Rnw�nw :minN;P0;P1;MA;MK ;MC Tr[N ] (9.34)sujeito a P1 � P0 > 0; P0 > 0; (9.35)24 N B0wP1+D0M 0K B0wP0+D0M 0KP1Bw +MKD P1 P0P0Bw +MKD P0 P0 35 > 0; (9.36)24 A0P1+ P1A+MKC+ C 0M 0K MA+A0P0+ C 0M 0K C 0zM 0A+ P0A+MKC MA+M 0A �M 0CCz �MC �Inz 35 < 0: (9.37)com a solu�c~ao �otima N;P0; P1;MA;MK e MC encontradas, as matrizes do �ltro �otimo s~ao dadas porAf = P�13 MA(P 03)�1P2; Kf = P�13 MK ; Cf =MC(P 03)�1P2 (9.38)onde P2 e P3 s~ao matrizes n�n quaisquer com P2 sim�etrica tal que P3P�12 P 03 = P0. Al�em disso, a varianciado erro de estima�c~ao satisfaz assintoticamente E[e0e] = Tr[N ]� �, onde � > 0 �e arbitrariamente pequeno.Prova 1 : Primeiro mostra-se que as desigualdades de (9.31) e (9.32) s~ao equivalentes as LMIs em (9.35)-(9.37). Com a parti�c~ao P dada em (9.33), expandindo as matrizes Aa e Ca em (9.23), a desigualdade (9.32)pode ser reescrita como24 A0P1 + P1A+ P3KfC + C 0K 0fP 03 A0P3 + P3Af + C 0K 0fP2 C 0zP 03A+A0fP 03 + P2KfC A0fP2 + P2Af �C 0fCz �Cf �Inz 35< 0: (9.39)Pr�e-multiplicando e p�os-multiplicando (9.39) por J 01 e J1, respectivamente e introduzindo as novas vari�aveisP0=P3P�12 P 03; MA=P3AfP�12 P 03; MK=P3Kf ; MC=CfP�12 P 03 (9.40)a desigualdade (9.39) torna-se a LMI (9.37).Por outro lado, pelo complemento de Schur a condi�c~ao P > 0 em (9.31) �e equivalente a desigualdade (9.35).Prova-se agora a equivalencia entre a primeira desigualdade de (9.31) e (9.36). Primeiro, note que pelade�ni�c~ao de Ba em (9.22), a desigualdade (9.31) torna-se24 N B0wP1 +D0K 0fP 03 B0wP3 +D0K 0fP2P1Bw + P3KfD P1 P3P 03Bw + P2KfD P 03 P2 35 � 0: (9.41)

9.3. MODELAGEM DO PROBLEMA 131Pr�e-multiplicando and p�os-multiplicando (9.41) por J 01 and J1, respectivamente e considerando a de�ni�c~aode P0 e MK , obt�em-se que (9.41) �e equivalente a LMI de (9.36).Finalmente, as matrizes do �ltro (9.38) s~ao obtidas imediatamente de (9.40), o que conclui a prova. 222O projeto de �ltro �otimo para o caso nominal, j�a foi solucionado por Kalman como mostrado na se�c~ao 9.2.2.A seguir tem-se a demonstra�c~ao de que o Teorema 9.3.1, atrav�es de troca de vari�aveis, recai no resultadoproposto por Kalman.Note que, como no �ltro de Kalman o erro de estima�c~ao �e descrito em termos de um sistema dinamico deordem n, tem-se que a realiza�c~ao no espa�co de estados (9.22) para o erro de estima�c~ao �e n~ao m��nima. Comisto, pode-se relaxar a condi�c~ao de desigualdade estrita em (9.37) e garantir que o primeiro bloco na diagonal�e positiva de�nida. Assim, (9.37) pode ser reduzida a uma desigualdade de dimens~ao menor.Pr�e e p�os multiplicando (9.37) por J 02 e J2, respectivamente, ondeJ2 = 24 In 0 0�In 0 In0 Inz 0 35tem-se 264 �1 C 0z �2Cz �Inz �(Cz +MC)�02 �(Cz +MC)0 A0(P1 � P0) + (P1 � P0)A 375 < 0 (9.42)com �1 = A0P1 + P1A+ C 0M 0K +MKC�2 = �A0P1 � P1A+MA +A0P0 �MKC:Impondo que P1 = P0 + "I , onde " �e um escalar positivo com " ! 0, a desigualdade de (9.42) implica, nocaso limite, que �2 = 0; Cz +MC = 0: (9.43)Al�em disso, (9.42) �e reduzida �a A0P1 + P1A+ C 0M 0K +MKC + C 0zCz < 0: (9.44)Assim, segue de (9.43) que MA = P1A+MKC; Cz = �MC :Escolhendo P2 = �P3, e considerando (9.40), tem-se queP0 = P2 = �P3; MA = �P1Af ; MK = �P1Kf ; MC = �Cf :Assim, obt�em-se Af = A�KfC; Cf = Cz (9.45)Por outro lado, pr�e e p�os multiplicando a desigualdade (9.36) por J 03 e J3, respectivamente, ondeJ3 = 24 I 0 00 I �I0 0 I 35

132 CAP�ITULO 9. PROBLEMA DE FILTRAGEM ROBUSTAtem-se (9.36) satisfeita se e somente se24 N B0wP1 +D0M 0K �B0w(P1 � P0)P1Bw +MKD P1 �(P1 � P0)�(P1 � P0)Bw �(P1 � P0) (P1 � P0) 35 � 0: (9.46)Como P1 ! P0, obt�em-se no caso limite que (9.46) e (9.35) s~ao equivalentes �a� N B0wP1 +D0M 0KP1Bw +MKD P1 � � 0; P1 > 0: (9.47)Observe que as restri�c~oes (9.44), (9.45) e (9.47) s~ao exatamente as mesmas para a formula�c~ao LMI do �ltrode Kalman (9.12)-(9.14). Assim, fazendo-se P0 = P1 e escolhendo P2 = �P3, conclui-se que o �ltro doTeorema 9.3.1 se reduz ao �ltro de Kalman.At�e o momento se considerou o projeto de �ltros da mesma ordem que o sistema. Mas na pr�atica, as vezes�e necess�ario apenas estimar as vari�aveis n~ao acess��veis, ou seja projetar um �ltro de ordem nf < n. Nestecaso tem-se que mesmo para o caso de sistemas sem incertezas, se consegue apenas um limitante superiorpara a variancia do erro. O teorema a seguir apresenta este resultado.Teorema 9.3.2 Considere o sistema (9.15) onde A;Bw; C and D s~ao matrizes conhecidas. O �ltro deordem nf < n dado em (9.18) que minimiza um limitante superior para a variancia do erro assint�oticopode ser obtido em termos do seguinte problema LMI em MA; P0 2 Rnf�nf , P1 2 Rn�n , MK 2 Rnf �ny ,MC 2 Rnz�nf e N 2 Rnw�nw : minN;P0;P1;MA;MK ;MC Tr[N ] (9.48)sujeito a P1 � � P0 00 0 � > 0; P0 > 0; (9.49)24 N B0wP1 +D0 ~M 0K B0w~P0 +D0M 0KP1Bw + ~MKD P1 ~P0~P 00Bw +MKD ~P 00 P0 35 � 0; (9.50)264 A0P1+ P1A+ ~MKC+ C 0 ~M 0K ~MA+A0~P0+ C 0M 0K C 0z~M 0A+ ~P 00A+MKC MA+M 0A �M 0CCz �MC �Inz 375< 0 (9.51)com ~P0 = � P00 � ; ~MA = � MA0 � ; ~MK = � MK0 � (9.52)onde ~P0 2 Rn�nf ; ~MA 2 Rn�nf e ~MK 2 Rn�ny .Com a solu�c~ao �otima N;P0; P1;MA;MK e MC encontradas, as matrizes do �ltro �otimo s~ao dadas porAf = P�14 MA(P 04)�1P2; Kf = P�14 MK ; Cf =MC(P 04)�1P2 (9.53)onde P2 e P4 s~ao matrizes nf � nf com P2 sim�etrica tal que P4P�12 P 04 = P0. Al�em disso, a variancia doerro de estima�c~ao satisfaz assintoticamente E[e0e] � Tr[N ]. 222

9.3. MODELAGEM DO PROBLEMA 133Projeto de Filtro RobustoNo Teorema 9.3.1 considera-se que o sistema (9.22) n~ao possui incertezas. Como j�a foi visto, este resultadoreproduz o resultado proposto por Kalman para a solu�c~ao do problema de �ltragem. A grande vantagemdesta abordagem �e o projeto de um �ltro robusto �otimo para uma classe de sistema incertos. O pr�oximoteorema, fornece uma solu�c~ao para este problema com condi�c~oes similares as do Teorema 9.3.1.Teorema 9.3.3 O �ltro de ordem completa da forma (9.18) para o sistema (9.15) que minimiza um limitantesuperior para a variancia do erro assint�otico, pode ser obtido em termos do seguinte problema de otimiza�c~aoem MA; P0; P1 2 Rn�n , MK 2 Rn�ny , MC 2 Rnz�n e N 2 Rnw�nw :minN;P0;P1;MA;MK ;MC Tr[N ] (9.54)sujeito a P1 � P0 > 0; P0 > 0; (9.55)24 N B0wiP1 +D0iM 0K B0wiP0 +D0iM 0KP1Bwi +MKDi P1 P0P0Bwi +MKDi P0 P0 35 � 0; (9.56)24A0iP1+ P1Ai+MKCi+ C 0iM 0K MA+A0iP0+ C 0iM 0K C 0zM 0A+ P0Ai+MKCi MA+M 0A �M 0CCz �MC �Inz 35� 0 (9.57)para i = 1; : : : ; ns, onde as matrizes � Ai BwiCi Di � s~ao os v�ertices do politopo D. Com a solu�c~ao �otimaN;P0; P1;MA;MK e MC encontrada, as matrizes do �ltro robusto �otimo s~ao dadas porAf = P�13 MA(P 03)�1P2; Kf = P�13 MK ; Cf =MC(P 03)�1P2 (9.58)onde P2 e P3 s~ao matrizes n�n qualquer com P2 sim�etrica tal que P3P�12 P 03 = P0. Al�em disso, a varianciado erro de estima�c~ao satisfaz assintoticamente E[e0e] � Tr[N ] para todas incertezas admiss��veis. 2229.3.2 Abordagem 2Esta abordagem foi proposta por Geromel e Oliveira [94, 97] e de forma semelhante a abordagem anteriorbusca a solu�c~ao para o Problema 1 de forma convexa, ou seja, encontrar um �ltro �otimo tal que a varianciado erro seja limitada superiormente. Nesta abordagem os autores baseiam o resultado no Gramiano decontrolabilidade, ou seja buscam uma solu�c~ao fact��vel para o Problema 1.1.De forma semelhante a abordagem anterior aplicando o complemento de Schur no problema de minimiza�c~ao1.1 tem-se minP;Af ;Kf ;Cf Tr[W ]; (9.59)� P PC 0aCaP W � � 0; P > 0; (9.60)� AaP + PA0a BaB0a �Inw � < 0: (9.61)

134 CAP�ITULO 9. PROBLEMA DE FILTRAGEM ROBUSTAque novamente n~ao s~ao convexas em Aa e P . Para converter estas desigualdades em LMIs utiliza-se astransforma�c~oes de vari�aveis apresentadas a seguir.Particionando a matriz P solu�c~ao do problema de otimiza�c~ao acima como~P = ~P 0 = � X UU 0 X � ~P�1 = ~P�T = � Y VV 0 Y � (9.62)onde X;Y 2 Rn�n , e X; Y 2 Rnf�nf , s~ao matrizes positivas de�nidas. Como PP�1 = I tem-se queX > Y �1 > 0 e U e V s~ao n~ao singulares.Contr�oi-se ent~ao a seguinte matriz de transforma�c~ao n~ao singular:~T = � X�1 Y0 V 0 � ; T = � ~T 00 I � (9.63)Assim multiplicando-se (9.60) por T 0 a direita e T a esquerda tem-se:24 Z Z C 0z �G0Z Y C 0zCz �G Cz W 35 > 0 (9.64)onde Z = X�1 e G = CfU 0Z. Aplicando o mesmo procedimento em (9.61) obt�em-se24 ZA+A0Z ZA+A0Y + C 0F 0 +Q0 ZBwA0Z + Y A+ FC +Q Y A+ FC +A0Y + C 0F 0 Y Bw + FDB0wZ B0wY +D0F 0 �Inw 35 < 0 (9.65)onde se introduz as seguintes vari�aveis: F = V Kf e Q = V AfU 0ZCom estas considera�c~oes, pode-se a�rmar que existe uma transforma�c~ao inversa tal que Cf = G(U 0Z)�1; Kf =V �1F; e Af = V �1Q(U 0Z)�1 e o projeto do �ltro que soluciona o Problema 1.1 �e equivalente ao seguinteproblema LMI: minW;Z;Y;Q;F;G Tr[W ] : (9.64){(9.65) (9.66)Note que pode-se simpli�car a LMI (9.64) eliminando-se a vari�avel G. Para tal permutam-se as terceira esegunda colunas e linhas obtendo-se: 24 Z C 0z �G0 ZCz �G W CzZ C 0z Y 35 > 0 (9.67)usando o complemento de Schur pode-se reescreve-la como:� Z � ZY �1Z C 0z �G0 � ZY �1C 0zCz �G� CzY �1Z W � CzY �1C 0z � > 0 (9.68)Perceba que uma condi�c~ao necess�aria e su�ciente para que esta inequa�c~ao esteja satisfeita �e Z�ZY �1Z > 0e W �CzY �1C 0z > 0, pois �e poss��vel ent~ao fazer G = Cz(In�Y �1Z), e a LMI (9.67) pode ent~ao ser divididaem

9.3. MODELAGEM DO PROBLEMA 135� Y C 0zCz W � > 0; � Z ZZ Y � > 0 (9.69)Note que a elimina�c~ao da vari�avel G n~ao imp~oe nenhuma restri�c~ao a mais ao problema, isto pois a solu�c~aoda equa�c~ao acima �e equivalente a (9.64)2.Pela estrutura proposta para G, pode-se impor tamb�em sem perda de generalidade que Cf = CZ . Para queisto ocorra tem-se que considerar que U = U 0 = Z�1 � Y �1, assimCf = G(U 0Z)�1= Cz(I � Y �1Z)Z�1(Z�1 � Y �1)�1= Cz (9.70)Resolvendo a equa�c~ao XY + UV 0 = I , que sai da equa�c~ao PP�1 = I , tem-se que V = V 0 = �Y . Estasmatrizes ser~ao assim de rank completo, o que satisfaz as condi�c~oes para a solu�c~ao de (9.66). E com issoprova-se o seguinte teorema:Teorema 9.3.4 Para nf = n e o sistema nominal (9.15), o �ltro m��nimo F 2 C que minimiza a varianciado erro assintoticamente �e dado porCf = Cz; Af = �Y �1Q(In � Y �1Z)�1; Kf = �Y �1F (9.71)onde W =W 0; Z = Z 0; Y = Y;Q e F s~ao a solu�c~ao �otima das seguintes condi�c~oes:minTr[W ] : 8>>>>>><>>>>>>:

� Y C 0zCz W � > 0; � Z ZZ Y � > 024 ZA+A0Z ZA+A0Y + C 0F 0 +Q ZBwA0Z + Y A+ FC +Q Y A+ FC + A0Y + C 0F Y Bw + FDB0wZ B0wY +D0F 0 �Inw 35 < 0 (9.72)e assim o m��nimo da variancia do erro de estima�c~ao satisfaz E[e0e]+� = Tr[W ], onde � > 0 �e arbitrariamentepequeno. 222Para o projeto de �ltros de ordem reduzida pode-se aplicar os mesmos resultados acima, s�o que agora amatriz de transforma�c~ao T vai ser uma matriz de rank incompleto.Para obter o �ltro de Kalman desta formula�c~ao, busca-se simpli�car a segunda LMI em (9.72). Note quepara esta LMI ser fact��vel uma condi�c~ao necess�aria seria a existencia de uma matriz positiva de�nida Z0 talque A0Z0 + Z0A < 0, o que requer que a matriz A seja est�avel. Sobre esta condi�c~ao fa�ca Z = �Z0, onde� > 0 �e um escalar pequeno e arbitr�ario e observe que para manter a segunda LMI em (9.72) fact��vel quando�) 0+, necessita-se impor que Q = �(Y A+ FC), neste caso Af = �Y �1Q = A�KfC e (9.72) pode serreduzidomin Tr[W ] : 8>>>><>>>>: � Y C 0zCz W � > 0� Y A+ FC +A0Y + C 0F Y Bw + FDB0wY +D0F 0 �Inw � < 0 (9.73)2a veri�ca�c~ao disto pode ser vista pelas condi�c~oes dadas no Lema 2 em [94]

136 CAP�ITULO 9. PROBLEMA DE FILTRAGEM ROBUSTAPara simpli�car considera-se BwD0 = 0 e DD0 = I . Fazendo-se P = Y �1 e escolhendo F = C ap�os usar ocomplemento de Schur em ambas as desigualdades, tem-semin :P > 0 Tr[CzPC 0z]AP + PA0 � PC 0CP +BwB0w < 0 (9.74)De (9.71) tem-se que Kf = �Y �1F = PC 0, que pode ser visto como o ganho �otimo para �ltro de Kalman.Que �e o resultado apresentado em 9.2.2.Projeto de Filtros Robustos�E apresentado aqui a formula�c~ao deste resultado para sistemas incertos. O teorema a seguir �e baseado noTeorema 9.3.4 e fornece condi�c~oes para o projeto de �ltros robustos.Teorema 9.3.5 Para nf = n e o sistema incerto (9.15) 2 D, o �ltro m��nimo F 2 C que minimiza avariancia do erro assintoticamente �e dado porCf = Cz; Af = �Y �1Q(In � Y �1Z)�1; Kf = �Y �1F (9.75)onde W =W 0; Z = Z 0; Y = Y;Q e F s~ao a solu�c~ao �otima das seguintes condi�c~oes:minTr[W ] : 8>>>>>><>>>>>>:

� Y C 0zCz W � > 0; � Z ZZ Y � > 024 ZAi +A0iZ ZAi +A0iY + C 0iF 0 +Q ZBwiA0iZ + Y Ai + FCi +Q Y Ai + FCi + A0iY + C 0iF Y Bwi + FDiB0wiZ B0wiY +D0iF 0 �Inw 35 < 0 (9.76)para i = 1; : : : ; ns, onde as matrizes � Ai BwiCi Di � s~ao os v�ertices do politopo D. O m��nimo da variancia doerro de estima�c~ao satisfaz E[e0e] < Tr[W ]. 2229.4 Exemplo num�ericoNesta se�c~ao s~ao apresentados dois exemplos num�ericos da aplica�c~ao das Abordagens apresentadas nasse�c~oes 9.3.1 e 9.3.2. Para simular os resultados utilizou-se o software Scilab, dispon��vel no site: www-rocq.inria.fr/scilab.Exemplo 9.4.1 Considere o seguinte sistema incerto_x = � 0 �1 + 0:3�1 �0:5 �x+ � �2 01 0 �wy = � �100 100 �x+ � 0 1 �w (9.77)z = � 1 0 �x

9.4. EXEMPLO NUM�ERICO 137Deseja-se encontrar o �ltro �otimo considerando 8� : fj�j � 1; _� = 0g.Utilizando as abordagens apresentadas nas se�c~oes 9.3.1 e 9.3.2, projeta-se o �ltro robusto para estimativa dez. Para �ns de compara�c~ao projeta-se tamb�em o �ltro de Kalman para o caso nominal (� = 0), e para osextremos do intervalo do parametro incerto �, ou seja para � = �1 e � = 1.Uma importante valida�c~ao do m�etodo �e dada pela compara�c~ao dos valores obtidos para o limitante superiorp(F), os quais s~ao observados nas Tabelas 9.1 e 9.2. Na Tabela 9.1 tem-se os valores dos limitantes obtidospelas aplica�c~oes das abordagens 1 e 2, na seguinte, Tabela 9.2, tem-se os valores obtidos pelo �ltro de Kalman.Teorema p(F) incerteza9.3.3 3.12739429.3.5 2.3120389 j�j < 1, _� = 09.3.1 0.026669.3.4 0.02666 � = 0 nominalTabela 9.1: Valores do limitante superior p(F): �ltro robustoSistema (9.77) com p(F)� = 1 1.2576955� = 0 (nominal) 0.02666� = �1 0.01365Tabela 9.2: Valores do limitante superior p(F): �ltro de KalmanConforme os resultados da Tabela 9.1, veri�ca-se que para este sistema a Abordagem 2 fornece, no casorobusto, um melhor ��ndice de performance. Para o caso nominal, � = 0, todos os dois retornam ao �ltro deKalman como era esperado.0 5 10 15 20 25 30

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

erro

0 5 10 15 20 25 30−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

erro

θ=−1

θ=1

k

k

b

b

a

a Figura 9.2: Comportamento do erro de estima�c~ao obtidos pela Abordagens 1(a) e 2(b) e �ltro de Kalman(k)O comportamento do erro para cada uma das abordagens pode ser visualizado nos gr�a�cos da Figura 9.2,onde tem-se a simula�c~ao do erro obtido por cada uma das abordagens e pelo �ltro de Kalman, considerando� = �1 e � = 1, e a condi�c~ao inicial: x(0) = [ 0:8 0 ]0; xf (0) = [ 0 0 ]0.Perceba que para as abordagens 1 e 2( curvas a e b ), o sinal de erro decai rapidamente para zero, o quen~ao ocorre no �ltro de Kalman, onde a curva quase linear tende lentamente a zero. Isso a priori parece umacontradi�c~ao, dado que o �ltro de Kalman �e o �ltro �otimo e tem tamb�em um melhor ��ndice de performance(veja Tabela 9.2). Mas examinando a dinamica do erro percebe-se que este comportamento lento esta ligadoao conjunto de autovalores da matriz Af do �ltro, vistos na Tabela 9.3.

138 CAP�ITULO 9. PROBLEMA DE FILTRAGEM ROBUSTAAbordagens Autovalores1- Teorema 9.3.3 - 299.99789 e - 0.44948592- Teorema 9.3.5 - 348.38739 e - 0.2360355Filtro de Kalman: � = �1 - 299.99604 e - 0.1000952Filtro de Kalman: � = 0 - 299.97444 e - 0.0033332Filtro de Kalman: � = 1 - 299.92932 e - 0.1000275Tabela 9.3: Autovalores da matriz Af 444Nem sempre a Abordagem 2, como ocorreu no Exemplo 1, fornece um valor do limitante superior p(F)menor que o da Abordagem 1. Este fato �e veri�cado aplicando-se estas abordagens a um novo sistema, comomostrado a seguir.Exemplo 9.4.2 Dado o sistema _x = � 0 1�1 + 0:3� �0:5 �x+ � 10 �wy = � �100 100 �x+ wz = � �2 1 �xDeseja-se encontrar o �ltro �otimo considerando 8� : fj�j � 1; _� = 0g.Aplicando os teoremas apresentados nas se�c~oes 9.3.1 e 9.3.2, obt�em-se no projeto de �ltros robustos osseguintes valores para o limitante superior p(F), conforme mostrado na Tabela 9.4.abordagem p(F)1 0.14680042 0.3281468Kalman(nominal) 0.0799Tabela 9.4: Valores do limitante superior p(F)Pelos resultados da Tabela tem-se que para este sistema a abordagem 1 obteve um resultado melhor quea abordagem 2. Com isso veri�ca-se que n~ao se pode ter a priori uma certeza de qual abordagem ter�a omelhor resultado. Isso se deve ao fato das abordagens estarem baseadas em diferentes em Gramianos, poistem-se que para sistemas incertos os Gramianos de observabilidade e controlabilidade possuem propriedadesdiferentes. 4449.5 Atividades Complementares1. Prove o Teorema 9.3.3.2. Prove o Teorema 9.3.2.3.3Dica: considere que P3 = � P40 � e que a matriz de transforma�c~ao J1 seja constru��da com P4 e n~ao P3

9.6. REFERENCIAS COMPLEMENTARES 1393. Prove que para P e P�1 dadas em (9.62) tem-se X > Y �1 > 0 e U e V s~ao n~ao singulares.4. Considere que exista agora uma transferencia direta de w para a vari�avel de medida z. Tal quez = Cxf + Dzww em (9.15) e no �ltro (9.18): zf = Cf + Dfy. Reformule as condi�c~oes do Teorema9.3.4.9.6 Referencias ComplementaresUma introdu�c~ao ao problema de �ltragem pode ser encontrado em [8].Na tese de doutorado de Oliveira [36] e referencias desta, pode-se encontrar a solu�c~ao do problema de�ltragem para o caso de sistemas discretos e pelo c�alculo do limitante superior p(F) pela norma H1. Em[98] pode-se encontrar uma introdu�c~ao ao problema de �ltragem via norma H1.Em [99] pode-se encontrar a solu�c~ao para o Problema 1 via a norma H1, considerando uma fun�c~ao deLyapunov quadr�atica nas incertezas.

140 CAP�ITULO 9. PROBLEMA DE FILTRAGEM ROBUSTA

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