Application de la simulation au risque de marché · 2008. 3. 10. · Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1 >>Les techniques sans tirages Les méthodes

Application de la simulation au risque de marché

26 Avril 2007

Christian [email protected]

Introduction● Simulation

– Action de remplacer une expérience aléatoire par une autre expérience aléatoire plus simple

● La finance de marché est un des domaines d'application de la simulation– Nécessité de mettre du certain dans un

environnement largement incertain

Page 1

● >>Introduction

Application de la simulation à la mesure du risque de marché

Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1

● >>Introduction

Position du problèmeBANQUECLIENTS

1 Milliard d'€

CAS 1: P augmente Tout va bien

CAS 2: P diminue Tout va mal: (Menaces sur la survie de l'entreprise)

Nécessité d'avoir un outil permettant d'évaluer les réserves permettant de faire face au risque de marché!!!

BANQUE Achat d'un produit financier au prix P

1 Milliard d'€


● >>Introduction

Position du problème(I)

● Objectif ≠ Empêcher les pertes– En jouant en bourse, on peut à tout moment tout

perdre!!!● Objectif = Évaluer la probabilité de perdre une

somme d'argent


● >>Introduction

Plusieurs techniques● Des techniques sans tirage de nombres

pseudo-aléatoires– Le Stress Testing– La méthode de variance/covariance

● Des techniques basés sur des tirages de nombres aléatoires


● >>Formalisation

Mathématisation du problème(I)● Soit un produit financier de prix P

– P dépend de p variables Z1,.., Zp● Nature diverses des variables Z

1,..Z

p

– Internes au produit (cas de portefeuille d'actions)– Externes au produit (Indices,....)– Externes au marché (environnement politique,

économique....)– De format variés(elles peuvent être discrètes

comme continues)


● >>Formalisation

Mathématisation du problème(II)Date t Date t+1

Z1

.......Z

1+ΔZ

1

.......

Zp

Zp+ΔZ

p

P(Z1,..,Z

p) P(Z1+ΔZ1,..,Zp+ΔZp)


● >>Formalisation

Mathématisation du problème(III)● On s'intéresse à:

– ΔP=P(Z1+ΔZ1,..,Zp+ΔZp)-P(Z1,..,Zp)

– P&L du produit● Value At Risk avec une probabilité α notée

VAR(α)– Valeur que les pertes d'un produit financier ont α

de chance de dépasser.– Mathématiquement c'est le quantile 1-α de la

distribution des gains du produit.


● >>Formalisation

Mathématisation du problème(IV)● Value At Risk avec une probabilité 95% notée

VAR(95%)– Valeur que les pertes d'un produit financier ont

95% de chance de ne pas dépasser.– Mathématiquement c'est le quantile à 5% de la

distribution des gains du produit.


● >>Formalisation

Mathématisation du problème(V)

VAR(α)

PERTES GAINS


● >>Les techniques sans tirages

Le Stress Testing● Soit P un produit financier dépendant d'une

seule variable Z1

– P=P(Z1)● On calcule le quantile à 95% (ou à 5%) de ΔZ

1

(noté qZ)

● La Value at Risk à 95% est donné par– Var(95%)=P(Z+qZ)-P(Z)



Le Stress Testing● Soit un produit financier contenant une action

ACCOR dont le prix est Z1

– Le prix du produit est P=Z1● On calcule le quantile à 95% (ou à 5%) de ΔZ

1

(noté qZ)

● La Value at Risk à 95% est donné par– VAR(95%)=P(Z1+qZ)-P(Z1)=qZ



Le Stress TestingDate Z1 ΔZ1

17/01/08 49,25 -0,6316/01/08 49,88 -1,38 QUANTILE(5%) -1,3815/01/08 51,26 -1,0414/01/08 52,3 1,76 VAR(95%) -1,3811/01/08 50,54 1,0410/01/08 49,5 1,4109/01/08 48,09 -2,9408/01/08 51,03 -0,6307/01/08 51,66 -1,13



Le Stress Testing

● Quel quantile choisir?– Le quantile à 5% où à 95% ?

● On calcule le quantile à 95% (ou à 5%) de ΔZ1

(noté qZ)

● La Value at Risk à 95% est donné par– Var(95%)=P(Z+qZ)-P(Z)



Le Stress Testing● Le quantile à 5% lorsque P est une fonction

croissante ● Le quantile à 95 % lorsque P est une fonction

décroissante



Le Stress Testing

Z+Quantile à 95%

ZP(Z+q

Z)

P(Z) VAR(95%)=P(Z+qZ)-P(Z)

CAS OU P EST DECROISSANTE



Le Stress Testing

Z+Quantile à 5%ZP(Z+qZ)

P(Z)

VAR(95%)=P(Z+qZ)-P(Z)

CAS OU P EST CROISSANTE



Le Stress Testing (II)

● Simplicité d'utilisation– Un quantile unique à

calculer

Avantages Inconvénients● Pas du tout adapté pour

les produits avec un prix dépendant de plusieurs paramètres

● Ne permet pas de traiter le cas de plusieurs produits financiers

● Nécessité d'identifier la monotonie du produit



La méthode variance/covariance(I)● On dispose de p produits financiers A

1,...,A

p en

quantité q1,..,q

p dont le prix à t est donné par

Z1,..,Z

p

– Exemple un portefeuille d'actions ● Le P&L de ce portefeuille d'actions

– P&L=P(Z+ΔZ)-P(Z)– P&L=q1 ΔZ1+...qpΔZp



La méthode variance/covariance(I)

● Le P&L est donné par q1 ΔZ

1+...q

pΔZ

p qui est

une variable gaussienne vérifiant:

● On suppose que le vecteur (ΔZ1,...,ΔZ

p) est un

vecteur gaussien

Z1 , .. ,Z p~N 0,

P& L~N 0,q1, .. , q pq1, .. , q pt

σ2



La méthode variance/covariance(I)● La VAR(95%) est donnée par la formule

– VAR(95%)=1,64 σ

=q1, .. , q pq1, .. , q pt

● Exemple: un portefeuille d'actions– 4 actions d'Air France (Z1)

– 2 action ACCOR (Z2)



La méthode variance/covariance(I)ΔZ1 ΔZ2-0,31 -0,63 AIRFRANCE ACCOR-0,24 -1,38 QUANTITE 4 2-0,76 -1,040,45 1,760,34 1,04 MATRICE DE VARIANCE-COVARIANCE-0,18 1,41 AIRFRANCE ACCOR-1,25 -2,94 AIRFRANCE 0,18 0,14-0,38 -0,63 ACCOR 0,14 0,73-0,25 -1,13-0,9 -1,24

-0,36 -0,39 VARIANCE DU P&L 8,06-0,41 -0,280,2 -0,05 ECART-TYPE 2,84

0,38 1,28-0,63 -0,53 VAR(95%) 4,66



La méthode variance-covariance(II)

● Simplicité d'utilisation– Un quantile unique à

calculer

●Cadre théorique intéressant pour des produits basés sur des actions

Avantages Inconvénients● Pas du tout adapté à des

produits non linéaires

● Pas adapté pour des produits dont les variations ne sont pas des variables gaussiennes



La méthode variance/covariance(III)● Pour un produit non linéaire

– On « linéarise » le produit – P(Z

1+ΔZ

1,., Z

p+ΔZ

p)=P(Z

1,.,Z

p)+P'(Z

1,.,Z

p)(ΔZ

1,.,ΔZ

p)t

● Le P&L devient:– P&L=P'(Z

1,.,Z

p)(ΔZ

1,.,ΔZ

p)t

● On applique alors la méthode de variance covariance

● Intéressant pour les obligations



Les techniques sans tirages● Difficulté pour évaluer le risque des

portefeuilles de produit variés– Difficulté de se priver de l'hypothèse de normalité– Difficulté pour modéliser des produits complexes

(non linéaires et à plusieurs variables)



Vers les techniques avec tirage● Objectif: avoir la distribution de:

– P&L= P(Z1+ΔZ1,..,Zp+ΔZp)-P(Z1,..,Zp)● Algorithme itératif:

– Faire un tirage aléatoire de ΔZ=(ΔZ1,..,ΔZp) (sous quelle loi?)

– Pour chaque tirage, on calcule le P&L● Constitution d'un échantillon qui est tiré selon la

distribution du P&L dont on peut évaluer le quantile


● >>Les principales méthodes de simulation de nombres pseudoaléaoires

Les méthodes basées sur la loi uniforme(I)

● Objectif:– Simuler n observations Y1,..,Yn issues d'une

distribution f● Hypothèse fondamentale

– Si U est une variable aléatoire admettant une densité une loi uniforme, alors g(U) admet comme densité f



Les méthodes basées sur la loi uniforme

● Se doter d'un générateur de nombres pseudo-aléatoires suivant une loi uniforme pour avoir X

1,..,X

n

– (exemple: Kiss (Keep It Simple Stupid)) ● Calculer Y

1=g(X

1) ,.., Y

n=g(X

n)

● Y1,..,Y

n forment une suite de nombres pseudo-

aléatoires tirées selon f



Les méthodes basées sur la loi uniforme (III)

● Exemple: Simuler une variable aléatoire dont la la densité est donné par exp(-x)1

[0;+∞[● Théorème fondamental

– Si U suit une loi uniforme -log(U) suit une loi exponentielle!

● Méthode– Tirer des observations U1,..,Un suivant une loi uniforme

– Y1=-log(U1),.., Yn=-log(Un) répondent à notre problème



Les méthodes basées sur la loi uniforme (IV)

● L'algorithme de Box-Muller– Objectif: simuler une loi normale

● Méthode– On simule deux lois uniformes U1 et U2

indépendantes– On calcule

{X 1=−2 lnU 1 cos 2U 2 X 2=−2 lnU 1 sin2U 2



La méthode d'acceptation rejet(I)● Objectif:

– Simuler une loi f● Hypothèse fondamentale

– Il existe g que l'on sait simuler densité vérifiant f(x)≤M g(x) avec M réel



La méthode d'acceptation rejet(II)● Étape 1:

– Simuler X suivant g et U suivant une loi uniforme

● Étape 2– Dire que Y=X si U≤f(X)/(M g(X))

● Étape 3– Retour à 1


● >>Les techniques avec tirage

Rappels de nos objectifs● Un produit financier dont le prix P dépend de

plusieurs paramètres– P=P(Z1,..,Zp)

● On cherche à déterminer le quantile à 95% du P&L– ΔP=P(Z1+ΔZ1,..,Zp+ΔZp)-P(Z1,..,Zp)



Monte-Carlo dans le cas gaussien(II)● Étape 1:

– On fait un tirage aléatoire pour ΔZ= (ΔZ1,..,ΔZp)

– (ΔZ1,..,ΔZp) suit une loi gaussienne multivariée● Étape 2:

– On calcule pour chaque tirage ΔZ le P&L ΔP=P(Z

1+ΔZ

1,..,Z

p+ΔZ

p)-P(Z

1,..,Z

p)

Page 34

● Étape 3: – On calcule le quantile avec la distribution de ΔP

ainsi obtenue



Monte-Carlo dans le cas gaussien(II)● Produit financier défini par:

– P&L=10 ΔZ1+10 ΔZ

2 -4ΔZ

12-3ΔZ

2 2+30 exp(ΔZ

1)-30

– ΔZ1 et ΔZ2 sont indépendants de variance 1 ● Étape 2:

– On calcule pour chaque tirage ΔZ le P&L

Page 35

● Étape 3: – On calcule le quantile avec la distribution de ΔP

ainsi obtenue



Monte-Carlo dans le cas gaussien(III)

Page 36

U1 U2 ΔZ1 ΔZ2 P&L0,25 0,87 1,16 -1,17 56,36 VAR(95%)0,77 0,61 -0,54 -0,47 -24,46 -58,230,2 0,53 -1,77 -0,28 -58,21

0,57 0,1 0,87 0,62 52,260,92 0,54 -0,39 -0,09 -15,120,91 0,23 0,05 0,44 5,980,24 0,95 1,62 -0,53 120,980,18 0,18 0,8 1,67 50,420,17 0,55 -1,79 -0,55 -62,16



Exemple sur un produit(I)

Page 37

0 500 1000

0.00

00.

002

0.00

40.

006

0.00

80.

010

Densite du P&L

P&L

Den

sité

Aucune chance que cette distribution soit gaussienne!



● Rappel– P&L=10 ΔZ

1+10 ΔZ

2 -4ΔZ

12-3ΔZ

2 2+30 exp(ΔZ

1)-30

● Méthode avec tirage– VAR(95%)=-51,83

Monte-Carlo dans le cas gaussien(I)

● Que donne la méthode sans tirage?– VAR(95%)=-69



Autre méthode de simulationSimulation à partir des historiques

● Idée de base:– L'historique d'une variable est « tirée » selon sa

propre loi!!!!● Méthode

– Obtenir un historique des variables– Tirer les ΔZ issus de cet échantillon au hasard


● >>La validation

La validation(I)● Motivation

– Prouver que l'outil est pertinent (gérer la réticence des traders, assurer que les mises en réserve seront suffisantes...)

– Calibrer la probabilité du quantile( doit-on prendre un quantile de 95%,80%.....)


● >>La validation

La validation(II)● Backtesting

– On se place sur une période – On évalue le montant des gains et des pertes pour

chacune des journées de la période– On regarde si le gain ou la perte se situe dans

l'intervalle donné par l'outil d'évaluation de risque● Performance= le maximum de gains (ou pertes)

tombant dans l'intervalle donné par l'outil


● >>Autres applications

Autres applications ● Construction de superstructure (plateforme

pétrolière)

● Prospective sur un territoire

Documents

Application de la simulation au risque de marché · 2008. 3. 10. · Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1 >>Les techniques sans tirages Les méthodes